Estocasticos labotorio

ii

DEPARTAMENTO DE ELECTRICA Y ELECTRONICA

CARRERA DE INGENIERIA ELECTRONICA

ASIGNATURA: ESTOCSTICOS

LABORATORIO II

Profesor: Ing. Vinicio Carrera

NOMBRE:

Alex Bez Espinosa

1. INTRODUCCIN

Para intentar resolver los problemas planteados se debe tener una clara revisin, a travs

del anlisis y comparacin acontecimientos ejemplares que nos permitan encontrar una

probabilidad tanto tericamente como tambin a travs de un software.

2 SIMULACIN SIMPLE

Muestreo sin reemplazo.

1) Para el juego de 6 bolas, con 3 rojas y 3 verdes, donde se pide encontrar el nmero de veces en que al sortear la primera es roja y segunda verde, se utiliz este cdigo.

clc; bag = [ 1 1 1 2 2 2 ] % 1=red ball, 2=green ball n=0; for i=1:100 perm = randperm(6); % random ordering of the numbers 1 to 6 % simulating the order in which balls are drawn draw = perm(1:2); % only consider the first two balls balls = bag(draw); % find the actual two balls drawn, in order if (balls==[1 2]) n=n+1; end end fprintf('Numero de coincidencias: %d\n',n); fprintf('Probabilidad n/100: %d\n',n/100);

2) Al pedir 100 veces el sorteo en una simulacin, y determinar n veces el sorteo deseado de 100, se ejecut el cdigo para tres simulaciones donde se obtuvo los siguientes valores simulados.

bag =

1 1 1 2 2 2

Numero de coincidencias: 36

Probabilidad n/100: 3.600000e-001

>>

bag =

1 1 1 2 2 2



>>

bag =

1 1 1 2 2 2



3) Para el clculo terico y ver la aproximacin a la simulacin, podemos utilizar el diagrama de rbol R

2/5 R 3/6 3/5 V 3/6 3/5 R 2/5 V

Con esa la probabilidad p(V/A), tenemos

= 0.3.

Anlisis: Por lo tanto en el cdigo anterior tambin se obtuvo una probabilidad cercana usando n/100 a la probabilidad terica que es casi cerca al simulado

4) Repetir los pasos anteriores para 500, 1.000, 5.000 y 10.000 experimentos. Qu encuentras? Para un caso de 500, 1000, 5000 sorteos. La probabilidad es casi la misma, por ejemplo utilizando para 5000 sorteos con el cdigo anterior se obtiene: bag = 1 1 1 2 2 2 Numero de coincidencias: 1465 Probabilidad n/100: 2.930000e-001 >>

Anlisis: Observamos que la probabilidad es de 1465/5000 = 0.29 que casi el valor terico calculado

3. PROBLEMAS. 1) Una moneda al aire se lanza en cuatro ocasiones. Cul es la

probabilidad de obtener dos cabezas y dos colas (en cualquier orden)? Para calcular la probabilidad del lanzamiento de 4 veces la misma moneda, utilizamos diagrama de rbol.

Tomando la probabilidad de las 6 ramas tenemos:

outcomes_coin = [0 0 0 0]; % 1=head, 2=tail n_head=0; n_tail=0; for i=1:4 perm = randperm(2); % random ordering of the numbers 1 to 2 % simulating the order in which head or tail are drawn draw = perm(1); % only consider the first outcome in a tossed outcomes_coin(1,i) = draw; if (draw==1) n_head=n_head+1; else n_tail=n_tail+1; end end fprintf('Resultado de 4 lanzamientos de la moneda: \n'); disp(outcomes_coin); if(n_head==2|n_head==2) fprintf('Ganador\n'); else fprintf('Siga participando\n'); end

Resultado de 4 lanzamientos de la moneda: 1 2 1 2 Ganador >> Resultado de 4 lanzamientos de la moneda: 2 1 2 2 Siga participando

Ahora para 100 experimentos de este juego, donde n representa las veces que gan por cada juego, se implement aadiendo un for mas unos cuantos cambios.

outcomes_coin = [0 0 0 0]; % 1=head, 2=tail n_head=0; n_tail=0; n=0; for j=1:100 for i=1:4 perm = randperm(2); % random ordering of the numbers 1 to 2 % simulating the order in which head or tail are drawn draw = perm(1); % only consider the first outcome in a tossed outcomes_coin(1,i) = draw; if (draw==1) n_head=n_head+1; %conteo de caras en un experimento else n_tail=n_tail+1; %conteo de sellos en un experimento end end if(n_head==2) n=n+1; %Conteo de coincidir 2 caras y 2 sellos en un juego end n_head=0; n_tail=0; %disp(outcomes_coin); end fprintf('Resultado de n en 100 experimentos: %d\n',n); fprintf('Probabilidad n/100: %f\n',n/100);

Simulando dos veces los 100 experimentos tenemos: Resultado de n en 100 experimentos: 37 Probabilidad n/100: 0.370000 >> Resultado de n en 100 experimentos: 31 Probabilidad n/100: 0.310000 >> Por lo tanto: La probabilidad es cercana al terico. 2) Una lotera tiene bolas numeradas del 1 al 10. Cinco bolas se extraen, y el

ganador debe coincidir con todos las 5 bolas (orden no importa). Cul es la probabilidad de ganar?

clc; state = pick_nums(1:10,5); %Estado sortea 5 nums de 10 player = pick_nums(1:10,5); %Jugador selecciona 5 nums de 10 [num_matches val_matches] = count_matches(state,player); %grabamos el nmero de coincidencias y valores q coinciden disp(1:10) % bolas enumeradas disp(state); % valores de estado disp(player); % valores del jugador disp(num_matches); %num de coincidencias disp(val_matches)% valores coincididos

Anlisis1: En la primera simulacin tenemos 3 coincidencias, la probabilidad de

coincidir 3 fue ( )(

)

( )

Anlisis2: En la segunda simulacin hubo 4 coincidencias, su probabilidad fue

( )(

)

( )

; por lo tanto la probabilidad va bajando conforme se

quiere coincidir los cinco, luego de 30 simulaciones Matlab nunca dio un acierto completo.

Esto debido porque tericamente su probabilidad es: ( )(

)

( )

4) troquel de cuatro lados se lanza 6 veces. Cul es la probabilidad de sacar

dos 4s consecutivamente?

Realizando los clculos by hand: En las 6 posiciones, todas las posibilidades que existen de combinarse nmeros

del 1 al 4, sin importar si se repiten es:

x x x X x x

Ahora hay que sacar a un lado aquellas combinaciones que poseen dos 4 consecutivos en distintas posiciones, y con combinaciones del 1 al 4. Pero hay que tomar las siguientes medidas.

4 4 x x x X

x 4 4 x x X

x x 4 4 x X

x x x 4 4 X

x x x x 4 4

1. Para la 1ra fila tomamos las siguientes combinaciones de las ltimas

posiciones , ya que un 4 no puede estar a un lado de los 1ero 4.

2. En la 2da fila, como no puede estar ningn cuatro a un lado de la 2da y 2ra posicin, las combinaciones totales son:

3. Para 3era y 4ta fila es el mismo anlisis del segundo entonces tenemos dos

veces ms el anterior resultado: 4. La ltima fila es el mismo anlisis del primero:

Sumando todos los resultados de los 4 tems tenemos: 816

Entonces la probabilidad de encontrar dos 4 consecutivos es:

4. ASISTENCIA DE CONFERENCIA

Asistencia a las 9h00 Asistencia a las10h00

Present Ausent Total

Males 9 15 24

Females 12 4 16

Total 21 19 40

1) Para cada lectura, usar los datos para encontrar las matrices que dan las matrices de probabilidad conjunta de estar presente o estar ausente de una lectura, y ser hombre o mujer.

Present Ausent

Males p(M P) p(M A)

Females p(F P) p(F A)

Para asistencia a las 9h00 tenemos: ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( )

Por teorema de Bayes: ( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Para asistencia a las 10h00 tenemos: ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( )

Por teorema de Bayes: ( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Present Ausent Total

Males 27 9 36

Females 18 6 24

Total 45 15 60

( ) ( ) ( )

2) Para cada lectura, encontrar dos vectores, uno dando ( ) y ( ), y otra dando ( ) y ( ). Para asistencia a las 9h00 tenemos:

( )

( )

( )

( )

Para asistencia a las 10h00 tenemos:

( )

( )

( )

( )

3) Utilice las respuestas de las dos preguntas anteriores para el estado, para cada clase, si el sexo del estudiante que tenga es un factor que afecta a la asistencia de clase, mediante la bsqueda de si los eventos M y F son independientes de los eventos P y A. Los eventos de estar presente o ausente, P y A, no son independientes de que sea hombre o mujer, M o F, y viceversa. Pues puede haber el caso que sin alguien no asisti, hay tambin esa probabilidad que sea hombre o mujer, por ejemplo se puede determinar el evento de que alguien no asisti dado que esta persona es mujer. el evento de que ser hombre dado que este no haya asistido. Concluimos en primera parte que no son eventos independientes. Ahora para cada clase, por ejemplo el de las 9H00, el gnero de cada estudiante si afecta al evento de inasistencia, pues en esta primera clase la probabilidad de inasistencia es casi el 50% (2do prob.), y este gran peso es porque la mayora que quienes no asisten son los hombres (1er prob.), con probabilidad de 0.375 En la segunda clase 10h00, el evento de ausencia es menor, con 0.25, pero el mayor peso de inasistencia es igualmente el de los hombres, con 0.15 un valor un poco ms alto al del evento de las mujeres con inasistencia con 0.1 de probabilidad.

4) Ahora calcular la matriz que da la probabilidad condicional de un estudiante que asiste a una conferencia, dado el sexo del estudiante. Para la primera clase podemos sacar los clculos de probabilidad condicional de los resultados del tem 1).

Present Ausent

Males p(P/M) = 9/24 p(A / M) =15/24

Females p(P/F) =12/16 p(A/F) =4/16

Para la segunda clase podemos sacar los clculos de probabilidad condicional de los resultados del tem 2)

Present Ausent

Males p(P/M) = 27/36 p(A / M) =9/36

Females p(P/F) =18/24 p(A/F) =6/24

De una conclusin hacia su jefe: En conclusin vemos que la mayor parte de inasistencia es de los hombres, entonces debemos decir al jefe de departamento que hay que detectar quienes son y dar severas sanciones para que sean ms puntuales y perseverantes.

5 LANZAMIENTO DE MONEDAS SESGADAS.

1) Una de las dos monedas se ha seleccionado (no sabemos cul). La moneda es volteada y sale cara. Cul es la probabilidad de que la moneda elegida es la sesgada, dado que sali cara?

H 0.6

S=sesgada 1/2 0.4 T 1/2 1/2 H F= fair 1/2 T

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

2) La misma moneda es lanzada una segunda vez. Cul es la probabilidad de que la moneda salga en cara dado que sali cara en la primera vuelta? Por qu los dos eventos no son independiente?

H 0.6

H 0.6 T 0.4

S=sesgada 1/2 0.4 T 1/2 1/2 H F= fair 1/2 T

( )

3) Supongamos que una de las monedas es lanzada 2n veces. Escriba una funcin en Matlab para calcular la probabilidad de obtener n cabezas y n cruces, dado que la moneda es equitativa, y dado que la moneda es sesgada (esto debe ser un argumento a la funcin). La funcin debe funcionar para cualquier valor de n.

Con moneda sesgada: H 0.6

H

0.6 T 0.4 H 0.6 0.4 T 1/2 F= fair

Con moneda equitativa:

H 0.5

H 0.5 T 0.5

H 0.5 0.5 T 1/2 F

En el caso de la moneda equitativa para cara y moneda se tiene las mismas probabilidades, entonces para que en 3 lanzamientos y salga H, su probabilidad es

( ) , generalizando ( )

En la moneda sesgada para que salga cara con p = 0.6 en tres lanzamientos, su

probabilidad es ( ) , generalizando ( ) , entonces para que salga cruz

su frmula general sera: ( )

function moneda(n,w) clc; n_head=0; outcomes_coin=0; if w==1 for i=1:2 for j=1:n perm = randperm(2); % random ordering of the numbers 1 to 2 % simulating the order in which head or tail are drawn respectively draw = perm(1); % only consider the first outcome in a tossed outcomes_coin(1,j) = draw; %acumulador de lanzamientos end outcomes_coin2(i,1:n)=outcomes_coin;%acumulador de 2 veces los

lanzamientos end prob_fairCoin_H = 0.5^n; %probabilidad de salir H con fair coin disp(outcomes_coin2); fprintf('Prob de H con fair coin en %d veces: %f\n',n,prob_fairCoin_H); fprintf('Prob de T con fair coin en %d veces: %f\n',n,prob_fairCoin_H);

end outcomes_coin=0; if w==2 for i=1:2 fprintf('Lanzamientos %d',i); flipped_coin=rand(1,n) %probabilidades aleatorias en c/lanzamiento %en dos tiempos distintos. for j=1:n if flipped_coin(j)>=0.6 outcomes_coin(j)=1; %acumulacion de Heads else outcomes_coin(j)=2; %acumulacion de Tails end end outcomes_coin2(i,1:n)=outcomes_coin; end %proabilidades de ser H o T con moneda sesgada. prob_biasedCoin_H = 0.6^n; prob_biasedCoin_T = 0.4^n; disp(outcomes_coin2); fprintf('Prob de H con biased coin en %d veces:

%f\n',n,prob_biasedCoin_H); fprintf('Prob de T con biased coin en %d veces:

%f\n',n,prob_biasedCoin_T); end

Corriendo este programa se tiene la simulacin con moneda equitativa, con 4 lanzamientos 2 dos tiempos distintos. Y su probabilidad calculada de H y T en los 4 lanzamientos es:

>> moneda(4,1)

A continuacin se simulo con moneda sesgada 4 lanzamientos 2 dos tiempos distintos. Y

su probabilidad de H y T en los 4 lanzamientos es:

>> moneda(4,2)

6 ANLISIS DE RESULTADOS

Parte 2, Muestreo sin reemplazo: En los anlisis mencionados anteriormente de este ejercicios, el procedimiento sugerido de la gua prctica de calcular la probabilidad

(n/100) en la simulacin, coincide con un

de error tomando en

cuenta la 2da simulacin, con el clculo terico; aunque cabe mencionar que hubo casos que algunas simulaciones sacaban un 0.31 de probabilidad. Parte 3: 1er Ejercicio: De la simulacin de los 100 experimentos, la probabilidad sugerida (n/100) fue de 0.37 en la primera simulacin, tericamente tenemos 0.35, entonces su

porcentaje de error es

2do Ejercicio: Tericamente la probabilidad terica 0.004 de coincidir 5 bolas de los 5 que elige el estado es muy difcil, como menciona se menciona en ese ejercicio se puede simular 30 veces el juego y casi nunca va a aparecer las 5 coincidencias

Parte 4: En el hecho de ser eventos dependientes, se nota que al calcular la probabilidad de un solo evento, es mayor a la probabilidad que cuando se calcula la probabilidad de este evento dado que se evala un acontecimiento anterior a este, o que haya pasado por ello. Si bien en la primera clase la probabilidad de estar ausente es 19/40=0.475 este valor es mayor a la probabilidad que cuando un estudiante de un

determinado sexo est ausente, ( )

Parte 5: Aqu los eventos son independientes, por lo general en juegos de monedas equitativas sucede as, conforme se quieren mayores coincidencias de un lado de la moneda, la probabilidad se reduce, ya que inicialmente una moneda tiene 0.5 de probabilidad de obtener un lado, y este valor se eleva a la n veces que queremos repetir el lanzamiento

7 CONCLUSIONES

Parte 2: Se logr mediante Matlab poder simular el juego de 100 experimentos para

luego poder calcular la relacin de aciertos vs sucesos, que fue casi similar a la

probabilidad terica.

Parte 3: Los clculos fueron coincidentes en la primera simulacin; en la 2da los clculos probabilsticos tericos concordaban con los despliegues y resultados que daba cada juego mediante el programa. Parte 4: La probabilidad condicional nos sirve para distinguir la independencia y dependencia de cada evento, en este caso la dependencia de los eventos dio potestad a poder usar el teorema de Bayes para sacar conclusiones totales y verdicas de cada clase. Parte 5: Con Matlab se puede simular cuantas veces se quiera dar el lanzamiento de una moneda, a travs de la gua prctica que nos da la parte 2. La nica va de simulacin de probabilidad fue interpretar el diagrama de rbol en cada evento, para trasladarlo a Matlab.

Documents

Estocasticos labotorio