ESTIMASI MEAN

Dalam estimassi mean berdasarkan data sampel, terdapat beberapa hal yang perlu

diperhatikan :

1.Ukuran sampel ( sampel besar n > 30 atau sampel keci n < 30)

2.Apakah populasinya berhingga atau tidak berhingga

3.Apakah standar deviasinya diketahui atau tidak

4.Tingkat kesalahan estimasinya berapa

Estimasi Mean, σ Diketahui, n > 30

Dalam melakukan estimasi mean bilamana σ diketahui perlu diperhatikan hal – hal beikut :1.Rata – rata sampel ( X ) digunakan sebagai estimasi mean populasi ( μ )2.Estimasi interval yang digunakan adalah estimasi dua sisi. Nilai z(/2) dihitung sesuai dengan tingkat kepercayaan(1 - )3. σ dihitung dengan rumus :

Populasi berhingga Populasi tak berhingga

4. Estimasi intervalnya adalah :

1

NnN

nX

nX

XX zxzx 2/2/

Prosedur Estimasi μ, σ Diketahui, n > 30

Start

Tentukan sampel n > 30

Tentukan tingkat kepercayaan ( 1 - ) dan (/2)

Populasi tak hingga1

NnN

nX

nX

Interval estimasi untuk μ

XX zXzX 2/2/

end

YT

Contoh :Dari desain mesin diketahui standar deviasinya 0.25 menit. Diambil sampel secara acak, 50 rim kertas, waktu yang diperlukan untuk memproduksi 1 rim kertas rata – rata 1.52 menit. Tentukanlah estimasi mean untuk tingkat kepercayaan 95%.

Jawab :Asumsi populasi tak hingga, σ diketahui

05.0 ; 50 ; 25.0 ; 52.1 nX

Standar Deviasi sampel :

035.05025.0

nX

Untuk tingkat kepercayaan 95% atau 1 – 0.95 = 0.05 dan / 2= 0.05 / 2 = 0.025.Dari tabel didapat = 2.009Sehingga estimasi interval untuk rata – rata adalah :

59.145.1070.052.1070.052.1

035.0009.252.1035.0009.252.12/2/

XX zXzX

Sebuah toko besi mengetahui bahwa standar deviasi diameter besi yang berukuran 10 inchi adalah 0.05 inchi. Toko besi tua menerima kiriman pipa besi sebanyak 400 batang jenis 10 inchi. Diambil sampel sebanyak 50 pipa, dan diperoleh rata – rata sampel sebanyak 9.99 inchi. Dengan tingkat kepercayaan 99 %, tentukanlah estimasi interval rata – rata diameter pipa :

Jawab :Populasi berhingga, N = 400 ; σ = 0.05 inchi ; X = 9.99 ; n = 50 ; = 0.01

0066.09366.0*071.0140050400

5005.0

1

NnN

nX

Untuk tingkat kepercayaan 99%, = 1 - = 1 – 0.99 = 0.01 dan z = / 2 = 0.01/2 = 0.005 ; dari tabel didapat = 2,576Sehingga interval estimasi meannya adalah :

007.10 9.973

0066.0576.299.90066.0576.299.9

Prosedur Estimasi μ, σ Diketahui, n < 30

Start

Tentukan sampel n < 30

Tentukan tingkat kepercayaan ( 1 - ) dan (/2)

Populasi tak hingga1

NnN

nX

nX

Interval estimasi untuk μ

XnXn zXzX )1,2/()1,2/(

end

YT

Contoh :Data hasil pengukuran terhadap berat suatu produk dengan sampel sebanyak 25 unit diperoleh hasil rata – ratanya adalah 10.25 kg, dengan standar deviasi adalah 0.45 kg. Dengan tingkat kepercayaan 95%, tentukan estimasi meannya :

Jawab :Populasi tak hingga, n < 30n = 25 ; σ = 0.45 kg ; X = 10.25 kg

Standar Deviasi sampel :

09.02545.0

nX

Untuk tingkat kepercayaan 95% atau 1 – 0.95 = 0.05 dan / 2= 0.05 / 2 = 0.025.Sehingga untuk v= n-1 = 25 – 1 = 24, t(0,025,24) Dari tabel didapat = 2.064Sehingga estimasi interval untuk rata – rata adalah :

435.10064.10186.025.10186.025.10

09.0064.225.1009.0064.225.10)1,2/()1,2/(

XnXn zXzX

Prosedur Estimasi μ, σ tidak Diketahui, n > 30

Start

Tentukan sampel n > 30

Tentukan tingkat kepercayaan ( 1 - ) dan (/2)

Populasi tak hingga1

NnN

nX

nX

Interval estimasi untuk μ

XX zXzX 2/2/

end

Hitung nilai X dan s nXX

s i

2

YT

Diberikan data hasil pengukuran 100 sampel, dimana dinyatakan dalam dibawah ini :

X f26 337 848 1659 2570 2881 1392 5

103 2

Tentukan estimasi meannya dengan tingkat kepercayaan 90%

Jawab :

96.621006296

XX f X * f (X - X)226 3 78 1366.04237 8 296 673.921648 16 768 223.801659 25 1475 15.681670 28 1960 49.561681 13 1053 325.441692 5 460 843.3216

103 2 206 1603.2026296 5100.973

14.7

100973.5100

nXX

S i

σ tidak diketahui dan populasi tak hingga maka :

714.010014.7

ns

X

Untuk tingkat kepercayaan 90%, = 0.10 atau /2 = 0.05. Dari tabel = 1.660

145.64775.61185.196.62185.196.62

714.0660.196.62714.0660.196.622/2/

XX zXzX

Sehingga estimasi meannya adalah :

Prosedur Estimasi μ, σ tidak Diketahui, n < 30

Start

Tentukan sampel n < 30

Tentukan tingkat kepercayaan ( 1 - ) dan (/2)

Populasi tak hingga1

NnN

nX

nX

Interval estimasi untuk μ

XnXn zXzX )1,2/()1,2/(

end

Hitung nilai X dan s nXX

s i

2

YT

Pengukuran temperatur ruangan pada 10 unit ruangan menunjukkan hasil (derajat celcius) adalah 24, 24.5 , 23.6 , 26 , 25 , 25.3 , 25.2 , 22.3 , 21.5, 24.1. Tentukanlah estimasi mean untuk rata – rata temperatur ruangan dengan tingkat kepercayaan 95% :

Jawab :

X (X -X)224 0.0225

24.5 0.122523.6 0.302526 3.422525 0.7225

25.3 1.322525.2 1.102522.3 3.422521.5 7.022524.1 0.0025

17.465

n = 10 ; X = 24.15 ; s = 1.322

418.010322.1

ns

X

Untuk tingkat kepercayaan 95%, = 1 – 0.95 = 0.05 atau /2 = 0.025. n – 1 = 10 - 1 =9 Dari tabel = 2.262Sehingga estimasi meannya adalah :

096.25204.23946.015.24946.015.24

418.0262.215.24418.0262.215.24)1,2/()1,2/(

XnXn zXzX