ESTIMASI KOMPONEN VARIAN PADA RANCANGAN

FAKTORIAL ACAK LENGKAP DENGAN METODE

RESTRICTED MAXIMUM LIKELIHOOD

SKRIPSI

NUR KHAMARIA SAFITRI

H121 12 264

PROGRAM STUDI STATISTIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS HASANUDDIN

MAKASSAR

2017

i

ESTIMASI KOMPONEN VARIAN PADA RANCANGAN

FAKTORIAL ACAK LENGKAP DENGAN METODE

RESTRICTED MAXIMUM LIKELIHOOD

SKRIPSI

Diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada

Program Studi Statistika Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam Universitas Hasanuddin Makassar

NUR KHAMARIA SAFITRI

H121 12 264

PROGRAM STUDI STATISTIKAJURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS HASANUDDIN

MAKASSAR

2017

ii

LEMBAR PENYATAAN KEOTENTIKAN

Saya yang bertanda tangan di bawah ini menyatakan dengan sungguh-sungguh

bahwa skripsi yang saya buat dengan judul:

Estimasi Komponen Varian Pada Rancangan Faktorial Acak Lengkap

dengan Metode Restricted Maximum Likelihood

adalah benar hasil karya saya sendiri, bukan hasil plagiat dan belum pernah

dipublikasikan dalam bentuk apapun.

Makassar, 30 Mei 2017

Nur Khamaria Safitri

NIM. H121 12 264

iii

iv

v

KATA PENGANTAR

Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam, shalawat serta salam semoga

selalu dilimpahkan kepada Nabi yang paling dimuliakan, pemimpin orang-orang

bertakwa, Muhammad bin Abdullah dan kepada para keluarga serta sahabat

beliau.Alhamdulillah, berkat pertolongan Allah akhirnya skripsi dengan judul

“Estimasi Komponen Varian Pada Rancangan Faktorial Acak Lengkap

dengan Metode Restricted Maximum Likelihood” yang disusun sebagai salah

satu syarat akademik untuk meraih gelar sarjana pada Program Studi Statistika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Hasanuddin

berhasil dirampungkan. Penulis berharap skripsi ini bisa memberikan tambahan

pengetahuan bagi pembelajar statistika.

Penulisan skripsi ini tentunya tidak lepas dari bantuan berbagi pihak, baik

moril maupun materil. Oleh karena itu, penulis menyampaikan ucapan terima

kasih yang tak terhingga untuk Ayahanda dan Ibunda tercinta: Muh. Waris dan

Hudyani yang tak kenal lelah mendoakan dan memberikan semangat kepada

penulis selama ini. Terima kasih yang besar juga penulis ucapkan untuk kakak

dan adik-adikku tercinta Mutawatir Saputra, Muh. Alwahir Saputra dan Nur

Farika atas doa, motivasi dan kasih sayang yang selalu diberikan kepada penulis.

Penghargaan yang tulus dan ucapan terima kasih dengan penuh keikhlasan

juga penulis ucapkan kepada :

1. Bapak Prof. Dr. Amir Kamal Amir, M.Sc selaku Ketua Jurusan Matematika

sekaligus penasehat akademik penulis Terima kasih atas segala masukan yang

diberikan kepada penulis selama menjalani pendidikan di Departemen

Matematika.

2. Ibu Dr. Erna Tri Herdiana, S.Si., M.Si, selaku Ketua Program Studi

Statistika, dosen-dosen pengajar yang telah membekali ilmu selama proses

perkuliahan, serta seluruh staf pegawai Departemen Matematika yang telah

membantu proses administrasi selama penulis menyelesaikan tugas akhir.

3. Bapak Drs. Raupong, M.Si. selaku dosen pembimbing utama dan Bapak Dr.

Nirwan Ilyas, M.Si. selaku dosen pembimbing pertama yang telah bersedia

vi

meluangkan begitu banyak waktunya dan senantiasa memberikan masukan

dalam penulisan skripsi ini.

4. Ibu Sri Astuti Thamrin, M.Stath. Ph.D. selaku Ketua Tim Penguji dan

Bapak Drs. M. Saleh AF. M.Si. selaku Sekretaris Tim Penguji. Terima kasih

telah memberikan kritikan yang membangun dalam penyempurnaan

penyusunan tugas akhir ini serta waktu yang telah diberikan kepada penulis.

5. Bapak Prof. Dr. Amir Kamal Amir, M.Sc selaku Penasehat Akademik

sekaligus sebagai Anggota Tim Penguji dalam penulisan tugas akhir ini.

Terima kasih atas segala masukan yang diberikan kepada penulis selama

menjalani pendidikan di Departemen Matematika.

6. Bapak Andi Kresna Jaya, S.Si, M.Si, selaku Dosen Jurusan Matematika

Universitas Hasanuddin yang telah memberikan kemudahan kepada penulis

selama penyusunan skripsi.

7. Sahabat-sahabat Daya, Niar, Yopi dan Thia. Terimakasih telah menjadi

sahabat sejak SMP dan selalu memberi motivasi selama penyusunan skripsi.

8. Sahabat-sahabat Lisma, Kak kiki, vira, Ahid, Andi Dian, Andi ola, dilla,

kak Mutek, Tisa, Inti, eky, arni. Terima kasih telah bersedia menjadi

tumpuan beban selama ± 4 tahun terakhir.

9. Sahabat Okto dan Angky yang selalu membantu dan mendukung secara

tekhnis dalam proses penyusunan skripsi.

10. Keluarga besar MIPA 2012, Keluarga besar REKURENSI 2012 terimakasih

telah menjadi keluarga baru yang selalu ada.

Serta kepada seluruh pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu,

terima kasih untuk semuanya. Semoga apa yang telah dituliskan pada skripsi ini

dapat bermanfaat.

Makassar, 30 Mei 2017

Penulis

PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI TUGAS AKHIR UNTUK

KEPENTINGAN AKADEMIS

vii

Sebagai civitas akademik Universitas Hasanuddin, saya yang bertanda tangan di

bawah ini:

Nama : Nur Khamaria Safitri

NIM : H121 12 264

ProgramStudi : Statistika

Departemen : Matematika

Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

JenisKarya : Skripsi

demi pengembangan ilmu pengetahuan, menyetujui untuk memberikan kepada

Universitas Hasanuddin Hak Bebas Royalti Noneksklusif (Non-exclusive

Royalty-Free Right) atas karya ilmiah saya yang berjudul :

“Estimasi Komponen Varian Pada Rancangan Faktorial Acak Lengkap

dengan Metode Restricted Maximum Likelihood”

beserta perangkat yang ada (jika diperlukan). Terkait dengan hal di atas, maka

pihak universitas berhak menyimpan, mengalih-media/format-kan, mengelola

dalam bentuk pangkalan data (database), merawat, dan mempublikasikan tugas

akhir saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis/pencipta dan

sebagai pemilik Hak Cipta.

Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya.

Dibuat di Makassar, pada tanggal 30 Mei 2017

Yang menyatakan

(Nur Khamaria Safitri)

viii

ABSTRAK

Dalam rancangan percobaan, untuk mengetahui variansi dari pengaruh perlakuan,

pengaruh interaksi dan pengaruh galat percobaan dapat dilakukan dengan

mengestimasi variansi galat yang biasa disebut komponen varian. Variansi atau

keragaman merupakan besaran statistika yang menunjukkan ukuran penyebaran

dari suatu data. Penelitian ini bertujuan untuk mengestimasi komponen varian

pada Rancangan Faktorial Acak Lengkap dengan model campuran. Pada

penelitian ini digunakan metode Restricted Maximum Likelihood (RML) yang

dilakukan dengan modifikasi Hartley-Rou pada metode RML yang dilanjutkan

dengan metode Newton Raphson. Metode tersebut diterapkan pada data faktorial

Rancangan Acak Lengkap (RAL) pemanasan kulit buah markisa dan dedak padi

untuk media jamur yang mempunyai aktivitas enzim amylase dari kultur

aspergilus niger. Hasil menunjukkan bahwa peningkatan suhu dan waktu

pemanasan yang mempunyai produktivitas enzim pada kulit buah markisa dan

dedak padi untuk media jamur. Selain itu, terdapat keragaman antara faktor

inkubasi dan keragam antara interaksi faktor suhu dan waktu dengan faktor

inkubasi.

Kata Kunci: Faktorial RAL, Komponen varian, Model Campuran, Restricted

Maksimum Likelihood

ABSTRACT

ix

In the design of the experiment, to find out the variance of treatment, interaction

and experimental error effect, can be done by estimating the variance of the error

usually called the variance component. Variance is a statistical quantity that

indicating the maeasure of the spreading of a data. This study aims to estimate the

variance component in a Completely Randomized Factorial Design with mixed

models. In this study, Restricted Maximum Likelihood (RML) method is used

with Hartley-Rou modification on RML method followed by Newton Raphson

method. The method was applied to factorial data of Completely Random Design

(CRD) of heating passion fruit skin and rice bran for mushroom media which

have amylase enzyme activity from aspergillus niger culture. The result shows

that the increase of temperature and heating time wich have enzyme productivity

on the skin of passion fruit and rice bran for mushroom media. In addition, there

is a variance between incubation factors and variance between the interaction of

temperature and time factors with incubation factors.

Keywords: Factorial RAL, Mixed Model, Restricted Maximum Likelihood,

Variance component

DAFTAR ISI

HALAMAN SAMPUL

HALAMAN JUDUL …………………….………………………………...... i

LEMBAR PERNYATAAN KEOTENTIKAN ……....……………………... ii

x

LEMBAR PERSETUJUAN …………………………...……………………. iii

HALAMAN PENGESAHAN ………………………….…………………... iv

KATA PENGANTAR ………………………………….…………………... v

PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI ………..…………………. vii

ABSTRAK ………………………………………………………………….. viii

ABSTRACT ……………………………………………………………….... ix

DAFTAR ISI ………………………………………………………………... x

DAFTAR TABEL …………………………………………………………... xii

DAFTAR LAMPIRAN ………………………………….…………………. xiii

BAB I PENDAHULUAN ……………………………….…………………. 1

1.1 Latar Belakang ………………………………………………….. 1

1.2 Rumusan Masalah ………………………………………………. 3

1.3 Batasan Masalah ……………………………………………….... 3

1.4 Tujuan Penulisan ………………………………………………... 3

BAB II TINJAUAN PUSTAKA …...………………………………………. 4

2.1 Percobaan Faktorial dengan Rancabngan Acak Lengkap……….. 4

2.2 Uji Asumsi Rancangan ………………………………………….. 5

2.3 Struktur data pada pengamtan dan Analisis Variansi ………….... 7

2.4 Persamaan Regresi Model Rancangan Faktorial dengan RAL...... 10

2.5 Model Linear ............…………………………………………..... 12

2.5 Distribusi Normal Univariat ..……………………………….…... 13

2.7 Distribusi Normal Multivariat ..…………………………………. 13

2.8 Fungsi Likelihood ..............……………………………………… 14

2.9 Metode Restricted Maximum Likelihood ……………....……….. 14

2.10 Metode Newton Raphson……............................……………….. 16

BAB III METODOLOGI PENELITIAN …………………………………... 17

3.1 Sumber Data …………………………………………………….. 17

3.2 Identifikasi Variabel …..………………………………………… 17

3.3 Metode Analisis …………………………………………………. 18

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN …..……………………………….. 20

4.1 Model Rancangan Percobaan Faktorial dengan Rancangan Acak

Lengkap dalam Persamaan Regresi …………………........……. 20

4.2 Estimasi Komponen Varian dengan Metode Restiricted Maximum

Likelihood ……………………………………………….………. 21

4.3 Penerapan Pada Data…………………………………….………. 24

4.3.1 Pengujian Asum Rancangan ……………………………… 24

4.3.2 Hipotesis .………………………………………………….. 25

4.3.3 Perhitungan ANAVA ………………………………….….. 26

4.3.4 Estimasi Kompinen Varian pada Rancangan ……………... 28

BAB V KESIMPULAN .……………………………………………………. 30

xi

5.1 Kesimpulan ……………………………………………………… 30

5.2 Saran …………………………………………………………….. 30

DAFTAR PUSTAKA …..…………………………………………………… 31

xii

DAFTAR TABEL

Tabel 2.1 Tabulasi data yang terdiri dari faktor A dengan traf a, faktor B

dengan taraf b dan r ulangan ……………………………………. 7

Tabel 2.2 Tabulasi jumlah data yang terdiri dari faktor A dengan traf a,

faktor B dengan taraf b dan 3 ulangan ………………………….. 7

Tabel 2.3 Struktur tabel ANAVA pada rancangan acak kelompok ……….. 10

Tabel 4.1 Hasil perhitungan Analisis Varians pada data Optimasi

Pemansan Kulit Buah Markisa dan Dedak Padi untuk Media

Jamur yang Mempunyai Aktivitas Enzim Amilase dari Kultur

Aspergilus Niger …………………………………..………..…… 28

xiii

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran 1 Data Pengamtan dan Jumlah Data Pengamatan . ………… 34

Lampiran 2 Konstruksi matriks y ………………………………………. 35

Lampiran 3 Kontruksi matriks dan ……………………………… 36

Lampiran 4 Matriks T ………………………………………………….. 37

Lampiran 5 Nilai Sisaan dan Nilai Dugaan Data .……………….…….. 41

Lampiran 6.a Perhitungan Uji Homogen ……………………………….. 42

Lampiran 6.b Tabel Nilai Kritis Sebaran ………………………………. 43

Lampiran 7.a Perhitungan Uji Liliefors …….………………………….… 44

Lampiran 7.b Tabel Bantu Hasil Perhitungan Uji Liliefors ……………… 45

Lampiran 8 Nilai Kritis Untuk Uji Liliefors …………………………… 46

Lampiran 9 Luas daerah di Bawah Kurva Normal standar …………..… 47

Lampiran 10 Tabel Nilai Kritis distribusi Funtuk ........................ 48

Lampiran 11 Syntaks Program Matlab 7.8.0 untuk Estimasi Komponen

Varian untuk sigma beta ……………………….………….. 49

Lampiran 12 Syntaks Program Matlab 7.8.0 untuk Estimasi Komponen

Varian untuk sigma alpabeta ……………………………. 52

Lampiran 13 Output Program Matlab 7.8.0 untuk Estimasi Komponen

Varian untuk sigma beta ………………………………..... 59

Lampiran 13 Output Program Matlab 7.8.0 untuk Estimasi Komponen

Varian untuk sigma beta ………………………………..... 60

Universitas Hasanuddin

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Rancangan acak lengkap (RAL) adalah rancangan percobaan yang paling

sederhana. Rancangan ini digunakan untuk mengetahui pengaruh beberapa

perlakuan dengan beberapa ulangan sehingga menjadi satuan percobaan.

Rancangan ini hanya menguji pengaruh dari satu faktor. Namun dalam beberapa

percobaan, terdapat faktor yang digunakan lebih dari dua sehingga biasanya

terjadi interaksi antara faktor yang diterapkan. Percobaan ini disebut dengan

rancangan faktorial.

Rancangan faktorial dengan rancangan acak lengkap merupakan

percobaan faktorial dengan rancangan dasar RAL, faktor yang digunakan terdiri

dari dua faktor, yaitu faktor A dengan taraf a dan faktor B dengan taraf b, serta

kedua faktor tersebut saling berinteraksi. Dalam rancangan percobaan, untuk

mengetahui keragaman dari pengaruh perlakuan, pengaruh interaksi dan pengaruh

galat percobaan dapat diestimasi dari variansi galat yang biasa disebut sebagai

komponen varian. Variansi atau keragaman merupakan besaran statistika yang

menunjukkan ukuran penyebaran dari suatu data yaitu seberapa jauh persebaran

nilai observasi terhadap nilai rata-ratanya. Semakin menyebar suatu data maka

semakin besar juga nilai variansinya, begitupun sebaliknya (Wahyuni, 2015).

Komponen varian pada rancangan percobaan dapat diestimasi dengan

menggunakan beberapa metode diantaranya Analisis Variansi (Anava),

Maksimum Likelihood (MLE), dan restricted maximum likelihood (REML).

Anava merupakan suatu teknik penguraian keragaman total kedalam komponen-

komponen model. Metode yang digunakan pada pendugaan parameter untuk

Anava yaitu Metode Kuadrat Terkecil (MKT). Metode MLE adalah metode yang

digunakan untuk menduga parameter dengan memaksimumkan fungsi likelihood.

Kajian mengenai metode MLE telah dilakukan oleh beberapa peneliti, salah

satunya yaitu Lismayani Usman (2016) telah mengkaji mengenai estimasi

komponen varian pada rancangan acak kelompok dengan modifikasi Hartley-Rou.

Universitas Hasanuddin

2

Metode REML merupakan pengembangan dari MLE dimana REML memiliki

kelebihan dapat diterapkan pada model dengan kemungkinan saling berhubungan

dan memiliki ragam berbeda. Dengan kata lain, metode REML tidak terikat

asumsi ragam (O’Neill, 2 1 ).

Kajian mengenai metode REML dalam pendugaan komponen varian telah

dilakukan oleh beberapa peneliti, diantaranya yaitu Zoraida dkk (2006) mengkaji

tentang pendugaan komponen varian pada data tidak seimbang. Dengan

menggunakan data seimbang, Nugraheni, dkk (2013) mengkaji mengenai

Pendugaan Komponen Ragam pada rancangan Klasifikasi Satu Arah dengan

metode REML. Sedangkan Hasby dkk (2013) mengkaji mengenai pendugaan

komponen ragam pada rancangan klasifikasi dua arah menggunakan metode

REML. Rancangan klasifikasi satu arah adalah rancangan yang hanya memiliki

satu faktor yang akan menimbulkan variasi. Jika terdiri dari dua faktor yang

menimbulkan variasi disebut dengan rancangan klasifikasi dua arah.

Pendugaan komponen varian yang dikaji oleh Hasby dkk (2013) hanya

terbatas pada rancangan klasifikasi 2 arah tanpa interaksi sementara rancangan

yang menggunakan 2 faktor, interakasi mungkin saja terjadi.

Berdasarkan latar belakang tersebut, dalam skripsi ini akan dikaji estimasi

komponen varian pada rancangan faktorial acak lengkap dengan metode restricted

Maximum likelihood.

Universitas Hasanuddin

3

1.2 Rumusan Masalah

Adapun rumusan masalah yang akan dikaji oleh penulis sesuai dengan

latar belakang yang telah diuraikan yaitu:

1. Bagaimana memperoleh penduga komponen varian pada faktorial RAL

dengan metode REML?

2. Bagaimana penerapan REML pada optimasi pemanasan kulit buah markisa

dan dedak padi untuk media jamur yang mempunyai aktivitas enzim amilase

dari kultur aspergilus niger?

1.3 Batasan Masalah

Pembahasan ini akan dibatasi pada rancangan dua faktor dengan model

campuran dengan perlakuan bersifat tetap dan kelompok bersifat acak.

1.4 Tujuan Penulisan

Adapun tujuan penulisan berdasarkan masalah yang telah dirumuskan

adalah sebagai berikut :

1. Memperoleh penduga komponen varian pada faktorial rancangan acak

lengkap dengan metode restricted maximum likelihood

2. Memberikan kesimpulan mengenai pengaruh peningkatan suhu dengan waktu

pemanasan terhadap produktivitas enzim amilase pada kulit buah markisa dan

dedak padi untuk media jamur