estimador reducido 60

UNIVERSIDAD MICHOACANA

DE SAN NICOLS DE HIDALGO

FACULTAD DE INGENIERA ELCTRICA

DISEO DE OBSERVADORES DEDICADOS APLICADOS AL PROBLEMA DEL DIAGNSTICO DE

FALLAS EN SISTEMAS LINEALES

TESIS

Que para obtener el Ttulo de: INGENIERO EN ELECTRNICA

Presenta: CELSO CORTS CERVANTES

Asesor de Tesis: DR. JUAN ANZUREZ MARN

Morelia, Michoacn, Diciembre 2009

Agradecimientos

A llegado el momento de reconocer a las personas que durante el transcurso de esta larga travesa han contribuido en gran medida dentro de mi formacin acadmica, social y moral, con la finalidad nica del mejoramiento de mi persona.

En primer lugar quisiera agradecer a mi asesor el Dr. Juan Anzurez Marn por su empeo y dedicacin presentado a lo largo de todo ste trabajo que sin su ayuda no hubiera sido posible concluir en tiempo y forma, que en colaboracin con el M.C. I. Isidro Lzaro Castillo y la Dra. Elisa Jurez Espinoza conforman un equipo de trabajo muy completo que motivan a que l alumno que se encuentre a su cargo de su mejor esfuerzo y con los cuales se vive un ambiente de trabajo muy dinmico y de grandes retos, as como grandes emociones.

Los siguientes agradecimientos son para el pilar ms grande que he tenido en toda mi vida, mi FAMILIA, que siempre me han mostrado su confianza y apoyo en todos los proyectos a los que me he enfrentado y que sin el verdaderamente me hubiera derrumbado antes de culminar con mis objetivos. Los cuales a pesar de ser buensimas personas son todos ellos un ejemplo de fortaleza y humildad, que me han enseado que los nicos limites son los que uno mismo se impone.

Pero hace falta mencionar a las personas que hacen mi vida ms alegra y con los que he convivido como si fuesen mi segunda familia, mis compaeros con los cuales he trabajado, me he divertido e incluso me he peleado, y que a lo largo de diferentes etapas de mi vida he sembrado un vinculo muy especial con cada uno de ello y que espero cumplan sus metas al igual que yo.

Tal vez no me alcanzara la vida para terminar de agradecer a todas las dems personas que han apoyado y que en pequea o gran medida han contribuido para llegar al lugar en que me encuentro y no quisiera dejar de mencionar a ninguno, mis profesores, mis amigos, mis abuelos que aunque algunos ya no se encuentren conmigo los tengo bien presentes en cada paso que doy...

Dedicatoria

Quiero dedicar el presente trabajo a mis PADRES, hermanos y familia en general por brindarme su apoyo durante toda mi formacin profesional

ndice general

Resumen V

1. Introduccin 1

1.1. Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3. Justicacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4. Metodologa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5. Contenido de la tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2. Conceptos Fundamentales del Diagnstico de Fallas 9

2.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2. Modelado en Espacio de Estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3. Observabilidad y Controlabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4. Deteccin de Fallas en Sistemas Dinmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4.2. Clasicacin de los mtodos de generacin de residuos . . . . . . . . . . . 25

2.5. Robustez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.5.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.5.2. Generacin Robusta de Residuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.6. Observador Luenberger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3. Diseo de Observadores de Orden Completo y Orden Reducido 37

3.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

i

ii NDICE GENERAL

3.2. Observador de orden Competo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2.1. Mtodo de Diseo Abreviado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2.2. Mtodo de Diseo por la Formulacin de Ackerman. . . . . . . . . . . . 42

3.2.3. Mtodo de Diseo Completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.2.4. Diseo Mediante el Software MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3. Observador de Orden Reducido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.3.1. Diseo de Observadores de Orden Reducido . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.3.2. Metodologa de Diseo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4. Casos de Estudio 57

4.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.2. Motor CD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.2.1. Descripcin del Sistema (Motor de CD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.2.2. Modelado en Espacio de Estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.2.3. Diseo del Observador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.2.4. Resultados de Simulacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.3. Pndulo Invertido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.3.1. Descripcin del Sistema (Pndulo Invertido) . . . . . . . . . . . . . . . . 68




4.4. Bola Suspendida Magnticamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.4.1. Descripcin del Sistema (Bola Suspendida Magnticamente) . . . . . . . 78




5. CONCLUSIONES 87

A. Artculos publicados 91

ndice de guras

2.1. Representacin a bloques de un sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2. Diagrama de un sistema dinmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3. Esquema de un sistema retroalimentado de control . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.4. Retroalimentacin directa de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.5. Retroalimentacin de estados usando un estimador . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.6. Sistema de diagnstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.7. Clasicacin de mtodos de generacin de residuos . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.8. Representacin de fallas en actuadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.9. Representacin de fallas en sensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.10. Representacin de fallas en procesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.11. Esquema para la deteccin robusta de fallas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.1. Observador de orden reducido (diagrama de bloques) . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2. Observador de orden completo (diagrama de bloques) . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.1. Motor (diagrama de cuerpo libre) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.2. Diagrama de bloques motor de CD a) planta, b) observador, c) entrada u(t) . . 63

4.3. Bloque de fallas: a) escaln, b) pulso, c) senoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.4. Motor libre de fallas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.5. Motor ante una falla tipo escaln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.6. Motor ante una falla tipo pulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.7. Motor ante una falla tipo senoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.8. Pndulo invertido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

iii

iv NDICE DE FIGURAS

4.9. Pndulo Invertido (diagrama de cuerpo libre) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.10. Diagrama de bloques pndulo Invertido: a) planta, b) observador, c) entrada u(t) 73

4.11. Bloque de fallas pndulo invertido a) escaln, b) pulso, c) senoidal . . . . . . . . 74

4.12. Pndulo libre de fallas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.13. Pndulo ante una falla tipo escaln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.14. Pndulo ante una falla tipo pulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.15. Pndulo ante una falla senoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.16. Bola suspendida magnticamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.17. Diagrama de bloques bola suspendida: a) planta, b) observador, c) entrada u(t) 81

4.18. Bloque de fallas bola suspendida: a)escaln, b)pulso, c)senoidal . . . . . . . . . . 82

4.19. Bola suspendida libre de fallas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.20. Bola suspendida ante falla tipo escaln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.21. Bola suspendida ante falla tipo pulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.22. Bola suspendida ante falla senoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Resumen

Por lo general todo proceso requiere ser monitoreado para evitar fallas o problemas en el

proceso en cuestin, es por ello que el rea de control y diagnstico adquiere vital importancia,

el cual es un tema bastante amplio y existen diferentes maneras en su implementacin .

El presente trabajo presenta una aproximacin para el diagnstico de fallas basado en

el esquema de Observadores Dedicados, el cual trabaja con un mtodo basado en el modelo

matemtico del sistema en estudio, y que pretende cambiar la redundancia fsica por redun-

dancia analtica o funcional con lo que se logra la disminucin de costos en procesos.

Si bien el esquema que se presenta slo es aplicable a sistemas lineales, se realizaron prue-

bas en sistemas no lineales que operan en un pequeo rango trabajo con lo que pretendemos

linealizarlo en este rango, y de los resultados obtenidos se observ un buen desempeo.

La mayor parte de este trabajo se hace en base a simulacin para analizar los resultados

obtenidos y poder realizar su implementacin en un sistema real, el cual se encuentra en la

etapa de construccin y posible en poco tiempo se pueda disponer de l para continuar con

nueva investigaciones.

v

vi RESUMEN

Captulo 1

Introduccin

La mayora de los sistemas de produccin estn dotados con mecanismos de control que

son capaces de adaptarse rpidamente a perturbaciones y uctuaciones que intervienen so-

bre el sistema y su ambiente, lo cual garantiza niveles de conabilidad apropiados y condi-

ciones de produccin segura. En general, el monitoreo-diagnstico se dene como el conjunto

de acciones que se aplican con la nalidad de detectar, localizar y diagnosticar posibles fa-

llas. Por ello un sistema de monitoreo-diagnstico tiene como tarea fundamental recaudar la

informacin completa y detallada relativa al estado de funcionamiento de los procesos bajo

supervisin: El diagnstico consiste en distinguir las condiciones de fallas a partir de las obser-

vaciones que caracterizan el funcionamiento del sistema y en identicar las variables de origen

[Gertler 1998],[Mangoubi 1998],[Patton y Frank 1989].

En general, los dispositivos que permiten el diagnstico de fallas se les denomina: l-

tros de deteccin y diagnstico de fallas, los cuales tienen dos funciones bsicas: la primera

es la generacin de residuos que informan sobre la ocurrencia o tendencia a una falla. En

la segunda a partir del anlisis de los residuos, indicar cual dispositivo ha originado la falla

[Gertler 1998],[Beard 1971],[Jones 1973]. Existen bsicamente dos losofas: una est basada

en la utilizacin de replicas fsicas de los dispositivos que conforman el sistema conocido como

redundacia fsica; La otra se basa en la utilizacin de modelos matemticos de esos disposi-

tivos que constituyen el sistema conocido como redundacia analtica[Alcorta 2001].

Los ltros se construyen a partir de observadores de estado. Un observador es un sistema

1

2 CAPTULO 1. INTRODUCCIN

dinmico capaz de estimar algunas de las variables de estado de la planta, a partir de las

variables medidas de los sensores, de este modo puede utilizarse la variable estimada en lugar

de la medida para cerrar el lazo de control, mejorando as, las caractersticas dinmicas del

conjunto en lazo cerrado. Adems, permiten estimar las variables o estados de un sistema en

base a mediciones de las seales de salida y seales de control. Estos observadores permiten

enviar informacin estimada acerca del valor que toman dichos estados, permitiendo conocer

un aproximado del valor real, adems cuentan con muy poco margen de diferencia o error. Se le

considera una herramienta virtual, puesto que se desarrolla como software o programa dentro

de una computadora [ Douglas y Speyer 1996],[Tsong 1998].

Si el observador se emplea para estimar todas las variables de estado del sistema, indepen-

dientemente de si se pueden medir o no, se le denomina observador de orden completo. En otras

ocasiones esto no ser necesario, pues habr variables de estado medibles de forma directa. Las

variables de estado y las de salida estn relacionadas, y ya que estas ltimas son medibles, slo

ser necesario observar (n - m) variables de estado, donde n es la dimensin del vector de estado

y m es la dimensin del vector de salida. Cuando el observador nicamente estima el nmero

mnimo de variables de estado, se le denomina observador de orden mnimo. En determinadas

ocasiones puede resultar ms sencilla la aplicacin de un observador de orden mnimo, cuando

el nmero de variables del sistema es muy elevado [Tsong 1998],[Ogata 1998],[Wiberg 1971].

Para el diseo de observadores, el nmero de entradas que tenga el sistema, no afectar

el diseo del observador, puesto que estos datos no intervienen en los clculos. Sin embago,

el nmero de salidas con que cuente el sistema si afecta el diseo del observador. Aunque

podra aplicarse el principio de linealidad, el cual consiste en separar las salidas y trabajarlas

como si fueran provenientes de sistemas distintos. Cabe sealar que la funcin principal de un

observador es estimar los estados y que se supone que hay un conocimiento perfecto del sistema,

esto es, que el modelo que se tiene del sistema reeja perfectamente la relacin entre la entrada

y la salida del mismo [Wiberg 1971],[Tsong 1998].

Las propiedades que debe poseer un observador son: robustez frente a errores en los

parmetros del modelo y en las medidas, inmunidad al ruido, rapidez de convergencia y baja

carga computacional. Algunas de estas propiedades entran en conicto, como la rapidez de con-

1.1. ANTECEDENTES 3

vergencia y la inmunidad al ruido, por esta razn se suele dar una solucin de compromiso que

d prioridad a una de ella, garantizando un nivel razonable para el resto. Los observadores se

disean para optimizar la velocidad de convergencia, existiendo adicionalmente la posibilidad

de reducir la inuencia del ruido [Snchez 1992].

Los dos tipos de observadores ms utilizados son el observador Luenberger y el ltro de

Kalman, siendo el primero de tipo determinista y el segundo de tipo estocstico. Estos dos

observadores tienen su aplicacin limitada a sistemas lineales, que adems deben ser inva-

riantes en el tiempo, para el caso de Luenberger. Por ello se aplican cada vez ms las versiones

extendidas de ambos observadores que permiten la aplicacin a sistemas no lineales.

Un observador de Luenberger extendido se puede aplicar a sistemas deterministas no li-

neales y variantes en el tiempo. Debido a su facilidad de ajuste es una alternativa a considerar

para su implementacin en sistemas industriales. El ltro de Kalman extendido proporciona

no slo estimaciones de las variables de estado sino tambin de parmetros del sistema. Este

sistema es un ltro recursivo que incorpora en la estimacin los valores estadsticos de los ruidos

asociados a los estados y a las medidas. Este observador presenta la ventaja de tratar el sistema

de forma ms realista pero a su vez precisa de un mayor clculo computacional.

Otra posibilidad en este sentido es la aplicacin de un observador de Gran Ganancia.

Este ltimo es un observador extendido aplicable a sistemas no lineales y generalmente ms

sencillo de ajustar que un ltro de Kalman.

Por ltimo existe la posibilidad de emplear estimadores basados en inteligencia articial. En

este sentido se pueden considerar dos lneas bsicas: soluciones basadas en redes neuronales arti-

ciales y redes de lgica difusa. Estas tcnicas presentan ventaja como la no necesidad de conocer

con gran precisin el sistema a controlar [Edelmayer 1996],[Frank 1992],[Frank y Schreier 1999].

1.1. Antecedentes

El rea de control siempre ha sido tema interesante para avances en ingeniera y la ciencia,

adems de su gran importancia en procesos industriales y de manufactura, para mejorar la pro-

ductividad evitar el exceso de operaciones manuales o rutinarias etc. Es por ello que este campo

requiere de un buen conocimiento por parte de los ingenieros y cientcos e investigadores. Des-


de los inicios del control clsico hasta el control moderno nos podemos encontrar con grandes

avances que marcaron historia en su tiempo, como el regulador de velocidad centrifugo, usado

en el control de velocidad de una mquina de vapor. Mynorsky, que trabaj en controladores

automticos para dirigir embarcaciones, mostrando que la estabilidad puede determinarse a

partir de las ecuaciones diferenciales del sistema. Nyquist, determina la estabilidad de sistemas

en lazo cerrado, con base en la respuesta en lazo abierto en estado estable cuando la entrada

es una senoide. Hazen, analiz el diseo de los servomecanismos con relevadores, capaces de

seguir con precisin una entrada cambiante. Durante la dcada de los cuarenta, los mtodos

de la respuesta en frecuencia hicieron posible que los ingenieros disearan sistemas de control

lineales en lazo cerrado que cumplieran con los requerimientos de desempeo. A nales de los

aos cuarenta y principios de los cincuenta, se desarroll por completo el mtodo del lugar

geomtrico de las races propuesto por Evans [Ogata 1998].

Los mtodos de respuesta en frecuencia y del lugar geomtrico de las races, que forman

el ncleo de la teora de control clsica, conducen a sistemas estables que satisfacen un con-

junto ms o menos arbitrario de requerimientos de desempeo. En general, estos sistemas son

aceptables pero no ptimos en forma signicativa.

Conforme las plantas modernas con muchas entradas y salidas se vuelven ms y ms

complejas, la descripcin de un sistema de control moderno requiere de una gran cantidad

de ecuaciones. La teora del control clsica, que trata de los sistemas con una entrada y una

salida, pierde su solidez ante sistemas con entradas y salidas mltiples. Desde alrededor del

ao 1960, debido a la disponibilidad de las computadoras digitales se hizo posible el anlisis

en el dominio del tiempo de sistemas complejos. La teora de control moderna, basada en el

anlisis en el dominio del tiempo y la sntesis a partir de variables de estados, se ha desarrollado

para enfrentar la creciente complejidad de las plantas modernas y los requerimientos limitativos

respecto a la precisin, el peso y el costo en aplicaciones militares, espaciales e industriales.

Durante los aos comprendidos entre 1960 y 1980, se investigaron a fondo el control ptimo

tanto de sistemas determinsticos como estocsticos, y el control adaptable, mediante el apren-

dizaje de sistemas complejos. De 1980 a la fecha, los descubrimientos en la teora de control

moderna se centraron en el control robusto, el control de H1, y temas asociados. Aunque desde

1.1. ANTECEDENTES 5

los primeros aos de la dcada de los 70 se vienen produciendo avances signicativos en el cam-

po del diagnstico de fallas tanto en la teora como en la prctica, ha sido en los ltimos aos

cuando las investigaciones en este campo han aumentado considerablemente [Alcorta 2001].

Un sencillo diseo para la deteccin de fallas en instrumentos (por sus siglas en inlges

Instrument Failure Detection) es el llamado Esquema de Observadores Dedicados (por sus

siglas en inlges Dedicated Observer Scheme) que surgi como propuesta de R. N. Clark (1979),

pero desde 1974 iniciaron sus primeras pruebas y demostr ser extraordinariamente sensible a

fallas en instrumentos en las simulaciones prcticas [Clark 1979].

El esquema original de observadores dedicados utiliza n estimadores de estado (obser-

vadores), uno para cada salida. Cada observador usa las entradas u del sistema y una de las n

salidas para generar una estimacin de los m estados del sistema. Este factor redundante de n

variables de estado provee un conveniente modo para detectar una falla potencial en el sensor:

comparando los estados de cada observador revelando cual sensor tiene posible falla, cuando

el estado estimado de los correspondientes observadores sea diferente del resto. Es decir, Clark

propone hacer una redundancia funcional en lugar de una redundancia por hardware, y hace

notar que tal redundancia debe de ser mayor o igual a tres para poder garantizar una correcta

comparacin con la salida del sistema [Clark 1979],[Emami y Akhter 1998].

El DOS es til en buena manera por cumplir con dos de los cuatro criterios de monitoreo

de fallas: deteccin y aislamiento. Desafortunadamente, los otros dos criterios de monitoreo

de fallas, acondicionamiento y estimacin, no son destinados en el esquema DOS. Un tema de

gran inters en el diagnstico de fallas es el umbral a utilizar: pequeas perturbaciones en el

sistema bajo observacin dirigir a pequeas perturbaciones entre diferentes estados estimados.

Claramente, no es suciente una simple identicacin de cual estado es diferente del resto, para

determinar cual sensor a fallado. Para lo cual Clark propone usar un observador Luenberger

como estimador para cada salida del sistema lo cual permite la deteccin y aislamiento de

la falla de manera directa. En este esquema se debe de hacer una consideracin importante

como lo es que el sistema sea observable y controlable, dos criterios propuestos por Kalman

[Clark 1979],[ Tylee 1986].

Dentro de las versiones modicadas del DOS podemos encontrar la simplicacin del DOS


la cual fue aplicado a un sistema bajo condiciones ideales en el cual slo se hace el diseo de

un observador por salida entonces la lgica de comparacin se hace entre las salidas estimadas

y las salidas actuales del sistema y se prueba con perturbaciones o fallas aleatorias. Aunque

Clark menciona que aumento de seales redundantes en el DOS permite realizar variaciones en

el esquema bsico para proponer nuevas modicaciones.

Clark y Campbell propusieron una modicacin al DOS (MDOS) [Clark y Campbell 1982].

Su MDOS usa ltros de Kalman, que permite al sistema ser aplicado a sistemas estocsticos.

Tambin, mejora cada ltro para una salida simple. Esta condicin mejora estimaciones de los

m estados. Sin embargo esto requiere una aproximacin diferente para identicacin de fallas.

Clark y Campbell aplicaron estos MDOS a un modelo de reactor nuclear presurizado y se

encontr satisfactorio. Sin embargo, el asunto de umbrales aceptables y acondicionamiento de

fallas no son tan satisfactorios. Diere la prueba de las propiedades estadsticas de la innovacin

secuencial en un ltro de Kalman, que es una manera comn de detectar fallas, el esquema de

Clark y Campbell no requiere ventanas de muestreo de datos, cada punto muestral puede

ser hecho individualmente. Idealmente, entonces debera ser posible detectar todas las fallas

inmediatamente. Este es un benecio para sistemas de seguridad crtica tal como en procesos

nucleares[Tylee 1983],[Tylee 1982],[Clark y Campbell 1982].

1.2. Objetivo

El objetivo general de esta tesis es desarrollar un algoritmo capaz de resolver el problema

de aislamiento y deteccin de fallas basados en el modelo matemtico del sistema, aplicado

a diferentes casos de estudio empleando observadores dedicados y plantear mejoras a futuro

mediante los resultados obtenidos.

1.3. Justicacin

Es un hecho que los modernos sistemas se vuelven cada vez ms complejos y que los

algoritmos que se implementan son cada vez ms sosticados. Por ello las caractersticas de

seguridad y proteccin adquieren cada vez mayor importancia. Estas caractersticas son impor-

1.4. METODOLOGA 7

tantes no slo en aquellos sistemas cuya seguridad es crtica, tales como centrales nucleares,

aviones, hospitales etc., sino en cualquier otro tipo de proceso. Por lo que existe una necesidad

de supervisin y de diagnstico, con el objetivo de eliminar prdidas. La principal ventaja del

diagnstico de fallos basado en el modelo de la planta es que no es necesario aadir componentes

de hardware al proceso para implementar un algoritmo de diagnostico de fallas.

1.4. Metodologa

Investigacin: Se realiza una revisin del estado del arte del diagnstico de fallas con la

nalidad de aclarar los conceptos bsicos de control clsico y moderno, de manera tal que

se muestre su aplicacin prctica sobre el diagnstico. Por ejemplo, el diseo del observador,

simulacin del problema y anlisis de resultados. As como revisin de los antecedentes sobre

este esquema de observadores y reas de aplicacin. En esta fase se identica la herramienta

que ser utilizada para resolver el problema.

Descripcin de problema: La tcnica propuesta a utilizarse en esta tesis para la solucin

del problema de diagnstico de fallas est basada en el modelo en espacio de estados de la

planta bajo anlisis, entonces el siguiente paso es dominar el modelado en espacio de estados

de diferentes esquemas y posteriormente estudiar el diseo de observadores dedicados aplicados

a la solucion del ploblema de diagnstico de fallas

Diseo y Simulacin: A partir del modelo del sistema se realiza el diseo de los observadores.

Se prueba la respuesta del sistema en lazo abierto y en lazo cerrado incluyendo los observadores

la simulacin se realiza con nes de comparacin de las salidas del sistema y las salidas estimadas

por los observadores y de esta forma generar las seales de error conocidos como residuos. El

sistema es llevado a puntos crticos bajo condiciones de falla y se analiza su comportamiento.

Anlisis de resultados: Con los resultados obtenidos de la simulacin y una vez que se ha

realizado una prueba completa considerando los puntos crticos hasta los puntos en condiciones

normales de operacin del sistema. Se realiza un evaluacin para comprobar si el observador

responde como se pretenda, de lo contrario regresamos al proceso de diseo y simulacin hasta

obtener una respuesta apropiada para el sistema


1.5. Contenido de la tesis

En el Captulo 1 se realiza una breve explicacin de los objetivos generales de este trabajo

de tesis as como una introduccin y una revisin del estado del arte. Se muestran algunos

esquemas bsicos y antecedentes de algunos de ellos. As como los alcances de este trabajo.

En el Captulo 2 se presentan los conceptos generales as como los crterios necesarios para

el diseo de observadores con el esquema DOS. Se introduce el tema de diagnstico de fallas,

se mencionan propiedades de los observadores entre las que resalta el tema de robustez que es

de gran importancia en la actualidad. Se describen brevemente los conceptos introducidos por

Kalman, controlabilidad y observabilidad

En el Captulo 3 Se describe la metodologa para el diseo de observadores Luenberger

ya que es la base para el esquema de observadores dedicados, se plantean algunos ejemplos

para ilustrar la metodologa de diseo, as como algunas variantes en el diseo ya sea de orden

completo o de orden reducido

En el Captulo 4 Basados en el esquema DOS se plantean tres sistemas y realizar sus

respectivas simulaciones, dos de los cuales son sistemas no lineales pero se plantea una lineal-

izacin cercana a un punto estable de modo que su comportamiento se asemeje a un sistema

lineal acotado a la linea- lizacin . Por ltimo se presentan los resultados de simulacin y se

hace un analisis de los mismos

En el Captulo 5 se presentan los resultados y las conclusiones

Captulo 2

Conceptos Fundamentales del

Diagnstico de Fallas

En este captulo se presentan brevemente los conceptos principales en que se basan el

control clsico y el control moderno, as como algunos de los esquemas utilizados en el control

inteligente como son el control difuso, el control neuronal y el control neurodifuso. Se mencionan

algunos de los aspectos importantes de cada uno de los esquemas, as como su utilizacin para

el control de procesos. El objetivo primordial de este captulo es presentar los elementos ms

importantes en que se basan los estimadores.

2.1. Introduccin

Existen diferentes formas de control automtico, en general, todas se basan en un conocimien-

to del sistema a controlar, de sus caractersticas fsicas como de sus condiciones de operacin,

a travs de un modelo matemtico que lo describa en forma bastante aproximada, en todo

su rango de operacin y para cualquier instante de tiempo. Este modelo se usa como parte

integrante del sistema de control as como para evaluar el desempeo del sistema a travs de

tcnicas de simulacin. Por lo general, ninguno de los algoritmos de control avanzado pueden

considerarse de parmetros optimizadossino que responden ms bien a estrategias de estruc-

tura optimizada, ya que su estructura depende del sistema particular a controlar. El desarrollo

9

10 CAPTULO 2. CONCEPTOS FUNDAMENTALES DEL DIAGNSTICO DE FALLAS

de este tipo de algoritmos, por lo general, implica una fuerte plataforma computacional y,

por tanto, difcilmente pueda pensarse en encontrar productos comerciales que los contenga

(salvo excepciones de simple implantacin como es el caso de control por lgica difusa fuzzy-

logic). Esto hace que este tipo de control no pueda ofrecerse como un producto particular,

disponible en un gabinete o equivalente, sino que la estrategia de control se programa dentro de

una computadora, para cada caso. Por tanto, controladores con estrategias de control avanzado

no pueden comprarse en el mercado, sino que requieren ser conguradas por un experto en

control, quien deber posteriormente capacitar al operador del proceso para hacer los ajustes

que podran requerirse durante la operacin rutinaria del sistema que est siendo controlado

[Gertler 1998],[Rugh 1995]:

Sin duda, existe diversidad de estrategias de control que responden a esta clasicacin

(basadas en el modelo). A continuacin, se hace referencia a las ms relevantes, partiendo de

aquellas que tienen aplicacin industrial.

La teora desarrollada para el control de procesos, desde el punto de vista clsico y moderno,

tiene su base esencial en el conocimiento de la dinmica del proceso que se desea controlar.

Esta dinmica normalmente se expresa haciendo uso de ecuaciones diferenciales ordinarias, y

en el caso de sistemas lineales, se hace uso de la transformada de Laplace para obtener una

representacin matemtica que relaciona la seal que se quiere controlar y la seal de entrada

al sistema. Esta relacin matemtica se conoce como funcin de transferencia [Eronini 2001].

Desde la teora clsica de control, considerando el caso ms sencillo de un sistema lineal

de una entrada y una salida, la dinmica se puede representar como en la Fig. 2.1. En esta

gura se representa el bloque denominado Procesoo Planta, que es el sistema que se desea

controlar. A este sistema le llegan dos seales, una etiquetada como Entrada de controlque

ser la seal que genera el controlador que se ha de disear y la seal etiquetada como Entrada

inciertaque puede representar cualquier seal indeseable externa al sistema y que se conoce

tambin como perturbacino ruido. Finalmente la seal de Salidaque ser la seal que

se desea que se comporte de una forma determinada. La seal de salida tambin se conoce como

seal controlada [Walter y Vincent 1998],[Eronini 2001].

La funcin de transferencia, expresada como una relacin de dos polinomios puede ser

2.1. INTRODUCCIN 11

Figura 2.1: Representacin a bloques de un sistema

representada en forma general como se muestra en la Ec. (2.1).

Y (s)

U(s)=K0(s+ z1)(s+ z2) (s+ zm)(s+ p1)(s+ p2) (s+ pn) (2.1)

Donde z n y pn representan los ceros y polos del sistema.

La representacin anterior (2.1) puede ser un poco ms general si se hace uso de la teora

de control moderna, en donde la representacin matemtica utiliza el concepto denominado

estado del sistema. Su representacin ms general se muestra en la Fig. 2.2. De la planta ahora

se observa una seal adicional denominada Estado x del sistema, que es la seal que nos

proporcionar informacin ms completa de la planta. El estado de un sistema dinmico es

un conjunto mnimo de parmetros (variables de estado) que permiten representar de manera

nica al sistema [Eronini 2001]:

Figura 2.2: Diagrama de un sistema dinmico

La ecuacin matemtica desde el punto de vista de la teora moderna del control se puede

expresar mediante la relacin de la Ec. (2.2).


dx

dt= g(x; u; f) (2.2)

Partiendo de cualquiera de estas representaciones matemticas, se utiliza el concepto del

control retroalimentado que en forma de diagrama de bloques tiene la estructura mostrada en

la Fig. 2.3. Este es el esquema ms comn para el control automtico [Walter y Vincent 1998].

Figura 2.3: Esquema de un sistema retroalimentado de control

El problema de control se restringe, una vez que ha sido seleccionado el mejor sistema

de medicin y que tambin es representado mediante ecuaciones, al diseo del controlador

que busca determinar la relacin funcional ms adecuada para generar la entrada u (Entrada

de Control) de manera que el modelo del sistema, sujeto a entradas de comando (Entrada

de referencia) y posiblemente entradas inciertas, genere una respuesta del estado x(t) o una

respuesta en la seal de salida y(t) con propiedades especcas o comportamiento aceptable.

En algunas aplicaciones, el controlador puede generar la misma seal de comando (Entrada

de Referencia segn se ilustra en la Fig. 2.3), u = r(t). La seal de comando es una seal

externa al controlador y es, como su nombre lo expresa, la seal que comandar al sistema

de control; esta funcin de comando r(t) debe ser conocida para propsitos de diseo. En

otras aplicaciones el controlador podr ser una funcin de la seal de comando y tambin

del tiempo, u = u[r(t),t]. Estos dos tipos de relaciones funcionales para el controlador co-

rresponden a los sistemas denominados de lazo abierto que no se esquematizan aqu. La relacin

funcional para el controlador puede ser una funcin de la entrada de comando y de la salida

del sistema u = u[r(t),y] ; a este tipo de sistema se le conoce como control en lazo cerrado

2.1. INTRODUCCIN 13

o control retroalimentado. En este esquema, la perturbacin f generalmente es desconocida e

independiente del controlador. Este tipo de sistema de control es el que se usar en este trabajo

[Eronini 2001],[Walter y Vincent 1998],[Ogata 1998].

Los esquemas de control retroalimentado se pueden clasicar en dos. Aquellos esquemas

que retroalimentan propiamente la seal de salida, como el mostrado en la Fig. 2.3 y que

se denomina como retroalimentacin de la seal de salida y es el esquema utilizado en la

teora de control clsico. La otra forma es retroalimentar el estado, conocido el esquema como

retroalimentacin de las variables de estado y cuya funcin se puede expresar como u=u[r(t),x].

Al usar estos esquemas de retroalimentacin de las variables de estado, se pueden obtener

tambin dos formas diferentes de hacerlo, una denominada directa en donde las variables de

estado se retroalimentan directamente al controlador y cuyo diagrama a bloques se muestra

en la Fig. 2.4 . Es indispensable en este esquema que se retroalimenten todas las variables de

estado [Ogata 1998]:

Figura 2.4: Retroalimentacin directa de estados

Para el caso en que no se pueda tener acceso a los estados del sistema y slo se tenga un

conjunto de variables de salida, entonces se usa el esquema de la Fig. 2.5.

Para poder aplicar este esquema es necesario disear un elemento denominado estimador

que, alimentado por la informacin de la salida y la entrada disponibles del sistema, pueda

reconstruir el estado x(t) del sistema. En general un estimador requerir como entradas tanto

la salida del sistema como la entrada de control u(t), como se aprecia en el esquema de la Fig.

2.5.


Figura 2.5: Retroalimentacin de estados usando un estimador

El problema fundamental de control est asociado con la transferencia del estado del sis-

tema x(t) a un conjunto destino determinado en el espacio de estados o cerca de ese destino

(cambiar o moverse de un estado a otro). Si el conjunto destino es un conjunto constante (usual-

mente un punto jo) en el espacio de estados, el problema de control se conoce como problema

de control de regulacin. Si el conjunto destino es variante con el tiempo, especicado me-

diante una entrada de comando que depende del tiempo, entonces el problema se conoce como

problema de control de seguimiento [Walter y Vincent 1998].

Asociadas a estas caractersticas, aparecen otros dos conceptos fundamentales en la teora

del control y que son abordados normalmente por la teora de control moderna, estos conceptos

son la "controlabilidad" y la "observabilidad". El tema de controlabilidad est relacionado con

una entrada de control que se supone como existente y que llevar al estado del sistema a

un destino determinado. Un requerimiento primordial en el diseo de un sistema de control

automtico es contar con sistemas controlables. El objetivo es que la salida y(t) se aproxime o

siga a la entrada de comando r(t). La tarea del controlador es llevar al sistema a la condicin de

operacin deseada. Si el sistema es controlable, el objetivo de diseo corresponde a hacer que el

sistema global sea estable alrededor del punto de operacin. El tema de observabilidad se enfoca

en el problema de determinar el estado x(t) a partir de las mediciones y(t). Frecuentemente las

mediciones contienen solamente algunos de los estados. Se dice que un sistema es observable si

es posible inferir el estado inicial x(0), a partir de un conjunto de mediciones de la salida y(t)

2.1. INTRODUCCIN 15

sobre un intervalo nito de tiempo [Vera 1994].

Todos estos conceptos se tratan en la teora clsica y moderna del control, y normalmente

se realizan con formalismo matemtico riguroso. Mientras ms complejo es el sistema, el pro-

cedimiento se vuelve tambin muy complejo. Tambin se han establecido procedimientos para

determinar las caractersticas o parmetros del controlador sin pasar por toda la herramienta

matemtica, sin embargo los resultados no siempre son los mejores [Ogata 1998].

Cuando se desea obtener comportamientos realmente satisfactorios y apegados lo ms

elmente posible a las especicaciones de diseo, entonces las tcnicas de control ptimo re-

sultan ser las ms convenientes, estas tcnicas buscan mediante procedimientos matemticos

de optimizacin, generar los mejores parmetros de control, considerando algunos criterios de

optimizacin. Aparece luego el concepto de control adaptivo, que de alguna manera ser breve-

mente mencionado ms adelante y que se puede considerar como inicio de las tcnicas de control

inteligente en el caso en donde el sistema contenga mltiples entrada y salidas, aparece la teora

de control multivariable.

Control ptimo: Este control se basa en la denicin de una funcin o funcional que

por lo general incluye el error de control y la accin de control y/o sus desviaciones, con

ponderaciones que permiten pesar en forma relativa cada una de ellas, y se establece un

criterio de optimizacin sobre dicho funcional que se ajuste a los objetivos del control. Inclusive,

pueden incluirse tambin las restricciones del mismo (rangos de operacin de variables, de las

acciones de control y del sistema), produciendo una accin de control ptima segn el criterio

establecido, sujeta a las restricciones presentes en el proceso. Este ltimo aspecto es su principal

fortaleza frente a controladores convencionales como el PID. Control Predictivo por Modelo

(Model Predictive Control o MPC ). El sistema utiliza un modelo matemtico del proceso para

predecir el comportamiento del mismo en el futuro frente a posibles acciones de control a aplicar.

Se dene un horizonte de prediccin(tiempo sobre el cual se evalan las posibles respuestas

del sistema) y un horizonte de control(tiempo sobre el que las acciones de control pueden

variar y despus del cual se mantienen constantes). Se determina la accin de control ptima a

aplicar al sistema para lograr la respuesta deseada del sistema dentro del horizonte de prediccin

previsto, tanto para la accin de control en el instante presente como en los futuros instantes


de muestreo. A pesar de denirse varias acciones de control (actual y futuras) solamente se

aplica la actual, ya que en el prximo intervalo de control se vuelve a repetir el clculo. El

sistema ms difundido es el que usa un modelo lineal para el sistema , tanto por la facilidad

de implantacin como por la posibilidad de ajustar el modelo en distintos instantes del proceso

usando cualquiera de los mtodos de identicacin de sistemas conocidos [Wikipedia 2009].

Control Experto: Este tipo de control se basa en la recopilacin de conocimiento de un

sistema, a partir de operadores del mismo que pueden considerarse como expertosen su rea

de conocimiento. Este conocimiento se transforma en una serie de reglas del tipo SI x 1, x 2,...

xn, ENTONCES y1 , y2,... ym,...(IF ..., THEN ...), donde x 1, x 2,... xnrepresentan los

antecedentes o premisas e y1 , y2,... ym las consecuencias o acciones. La forma de proce-

sar estas reglas, contrastndolas con la informacin disponible del proceso controlado, da las

caractersticas de cada tipo de control en particular. El mejor exponente de este tipo de con-

trol, por el grado de aceptacin que ha tenido a nivel industrial es el control borroso, Difuso

o por Lgica Difusa (Fuzzy Logic Control). Este es quizs el sistema de control avanzado que

ha tenido mejor aceptacin entre sus exponentes, principalmente por la industria japonesa, y

se encuentran aplicaciones de estrategias de control basadas en lgica difusa en el ajuste au-

tomtico del foco en cmaras fotogrcas, resolucin del sistema de frenos ABS en la industria

automotriz, lavadoras automticas, etc. Inclusive, las principales empresas fabricantes de PLCs

incorporan mdulos de control de lgica difusa, y las plataformas SCADA o DCS tambin los

estn incluyendo como herramientas de control. Este tipo de control se basa en la aplicacin

de un lgebra difusa planteada por Lofti Zadeh, al tratar de representar el pensamiento lgico

humano. Para utilizar esta lgica, las variables controladas y observadas que provienen de los

distintos sensores presentes en el proceso, cuya informacin ser utilizada por el sistema de

control, debe pasarseal mundo difusoa travs de un procedimiento conocido como fusi-

cacin(fuzzication), teniendo en cuenta el grado de pertenencia que tiene cada variable a

los conjuntos difusos en que se subdivide el rango de aplicacin de cada variable, a travs de

la denicin de funciones de membresa asignadas a las mismas. Cuando las variables estn ya

denidas en forma difusa, se contrasta la informacin del sistema con la base de conocimiento

disponible del proceso y, mediante aplicacin de lgebra difusa, se determina la accin de con-

2.1. INTRODUCCIN 17

trol requerida para el sistema, pero con carcter difuso. Para entregar esta informacin al

mundo real, la accin de control debe ser desemborronadao defusicada(defuzzication),

y entonces estar disponible para ser aplicada a los actuadores del proceso. Entre las princi-

pales ventajas de esta tcnica puede destacarse la simpleza de su implantacin, la extensin

directa que tiene para aplicarse tanto a sistemas SISO como MIMO y, en este ltimo caso, sin

requerir un mismo nmero de entradas que de salidas. Adems, como se basa en una estructura

de informacin similar a la del pensamiento humano, la forma de proceder tiene muy buena

aceptacin por parte de los operadores del sistema [Antsaklis y Kevin 1993],[Tanaka 1997].

Control Robusto: Consiste en denir una estructura de control que tenga un desempeo

acorde a las especicaciones del sistema, independientemente de las perturbaciones a las que

est expuesto. A nivel acadmico, los mayores desarrollos en torno a este tema tienen relacin

con el Control ptimo H1. Sin embargo, otro buen ejemplo que s ha sido aplicado a nivelindustrial es el Control por Modelo Interno (Internal Model Control o IMC ). Este sistema de

control tambin ha tenido buena aceptacin industrial, debido a que el controlador resultante

puede asimilarse a un control PID. Tal como en MPC (Control Predictivo por Modelo), este

control incorpora un modelo matemtico de la planta, pero en este caso se usa para compensar

la dinmica modelable y no modelable de planta. Aunque las acciones de control que pueden

lograrse con sistemas de control robusto son ms cautelosas que las que resultan de otros

sistemas, con un buen ajuste del controlador se pueden lograr sistemas que cumplan ambas

prestaciones [Rivera 2002].

Control Neuronal: Las Redes Neuronales (Neural Networks) son estructuras matemticas

que procuran representar la informacin en forma similar a como se estructura en nuestro

cerebro. El objetivo de usar redes neuronales es disponer de un sistema que se comporte como

una caja negraque pueda emular el comportamiento de un sistema. Para ello, se requiere de

una etapa de entrenamiento (donde se ingresa informacin disponible del sistema procurando

que la red aprenda lo que se le quiere ensear) y una de validacin(donde se contrasta

el aprendizaje de la red con otros datos disponibles del sistema que no se utilizan para el

entrenamiento). Cuando la red ha aprendido, se la puede utilizar tal como si se operara con

el sistema real. En el caso de Control Neuronal (Neural Control), se pueden generar datos que


representen condiciones del proceso y acciones de control que lleven al sistema a los valores

deseados. Incorporando esa informacin al aprendizaje de la red, podra lograrse que el sistema

emule tales condiciones. Este sistema requiere que el proceso de entrenamiento incluya todo

el espectro posible de situaciones a las que podra estar expuesto el sistema, ya que si se

llegase a presentar una condicin que no fue considerada durante la etapa de entrenamiento, no

puede asegurarse que el sistema responda en la forma esperada. Por tanto, la parte ms crtica

es la seleccin de datos adecuados para el entrenamiento de la red. En esta etapa se puede

considerar la combinacin de otras tcnicas, como es el caso de sistemas neuro-fuzzy, que

emplean lgica difusa para poder establecer la seleccin de datos a utilizar en el entrenamiento

[Yong 1996],[Nogaard y Ravn 2000].

2.2. Modelado en Espacio de Estados

El estado de un sistema dinmico es el conjunto ms pequeo de variables (denominadas

variables de estado) de modo que el conocimiento de estas variables en t=to, junto con el

conocimiento de la entrada para tto, determina por completo el comportamiento del sistemapara cualquier tiempo tto.

El concepto de estado no est limitado a los sistemas fsicos, se puede aplicar a sistemas

biolgicos, econmicos, sociales y otros. Las variables de estado de un sistema dinmico son las

que forman el conjunto ms pequeo de variables que determinan el estado del sistema dinmico.

Se necesitan n variables x1, x 2,. . . ,xn para describir por completo el comportamiento de un

sistema dinmico (por lo cual una vez que se proporciona la entrada para tto y se especicael estado inicial en t=to, el estado futuro del sistema se determina por completo). Dichas n

variables son el llamado conjunto de variables de estado [Wiberg 1971],[Rugh 1995].

Las variables de estado no necesariamente son cantidades medibles u observables fsica-

mente. Las variables que no representan cantidades fsicas y aquellas que no son medibles ni

observables pueden seleccionarse como variables de estado. Tal libertad al elegir las variables

de estado es una ventaja de los mtodos de espacio de estados. Sin embargo, en la prctica

es conveniente elegir cantidades que se midan con facilidad para las variables de estado, si es

posible, debido a que las leyes del control ptimo requerirn la realimentacin de todas las

2.2. MODELADO EN ESPACIO DE ESTADOS 19

variables de estado con una ponderacin conveniente [Tsong 1998].

Si se necesitan n variables de estado para describir por completo el comportamiento de

un sistema determinado, estas n variables de estado se consideran los n componentes de un

vector x. Tal vector se denomina vector de estado. Por tanto un vector de estado es aquel que

determina de manera nica el estado del sistema x(t) para cualquier tiempo tto, una vez quese obtiene el estado en t=to y se especica la entrada u(t) para tto.

El espacio de n dimensiones cuyos ejes de coordenadas estn formados por el eje x1, el eje

x2,. . . el eje xn se denomina espacio de estados. Cualquier estado puede representarse mediante

un punto en el espacio de estados.

En el anlisis en el espacio de estados, nos concentramos en tres tipos de variables in-

volucrados en el modelado de sistemas dinmicos: variables de entrada, variables de salida y

variables de estado. No es nica la representacin en el espacio de estados para un sistema

determinado, excepto en que la cantidad de variables de estado es igual para cualquiera de las

diferentes representaciones en el espacio de estados del mismo sistema.

El sistema dinmico debe incorporar elementos que memoricen los valores de la entrada

para tt1. Dado que los integradores de un sistema de control en tiempo continuo funcionancomo dispositivos de memoria, las salidas de tales integradores se consideran las variables

que denen el estado interno del sistema dinmico. Por tanto, las salidas de los integradores

funcionan como variables de estado. La cantidad de variables de estado necesarias para denir

completamente la dinmica del sistema es igual a la cantidad de integradores que contiene el

sistema [Tsong 1998],[Wiberg 1971].

Un modelo matemtico de un sistema dinmico se dene como un conjunto de ecuaciones

que representan la dinmica del sistema con precisin o bastante aceptables. Dicha dinmica de

muchos sistemas se describe en trminos de ecuaciones diferenciales. Dichas ecuaciones diferen-

ciales se obtienen a partir de leyes fsicas que gobiernan un sistema determinado, como las leyes

de Newton para sistemas mecnicos y las leyes de Kirchho para sistemas elctricos. Debemos

siempre recordar que obtener un modelo matemtico razonable es la parte ms importante de

todo el anlisis.

Los modelos matemticos pueden adoptar distintas formas. Dependiendo del sistema del


que se trate y de las circunstancias especcas, un modelo matemtico puede ser ms conveniente

que otros. Una vez obtenido un modelo matemtico de un sistema, se usan diversos recursos

analticos, as como computacionales, para estudiarlo y sintetizarlo [Ogata 1998].

Un sistema se denomina lineal si cumple el principio de superposicin. Este principio

establece que la respuesta producida por la aplicacin simultnea de dos funciones de entradas

diferentes es la suma de las dos respuestas individuales. Por tanto, para el sistema lineal, la

respuesta a varias entradas se calcula tratando una entrada a la vez y sumando los resultados.

Si en una investigacin experimental de un sistema dinmico son proporcionales la causa y el

efecto, lo cual implica que se aplica el principio de superposicin, el sistema se considera lineal.

Una ecuacin diferencial es lineal si sus coecientes son constantes o es una relacin que

contiene funciones de una sola variable independiente, y una o ms de sus derivadas con respecto

a esa variable. Los sistemas dinmicos formados por componentes de parmetros concentrados

lineales invariantes con el tiempo se describen mediante ecuaciones diferenciales lineales inva-

riantes con el tiempo (de coecientes constantes). Tales sistemas se denominan sistemas lineales

invariantes con el tiempo (o lineales de coecientes constantes). Los sistemas que se representan

mediante ecuaciones diferenciales cuyos coecientes son funciones del tiempo, se denominan

sistemas lineales variantes con el tiempo.

Un sistema es no lineal si no se aplica el principio de superposicin. Por tanto, para un

sistema no lineal la respuesta a dos entradas no puede calcularse tratando cada una a la vez y

sumando los resultados. Aunque muchas relaciones fsicas se representan a menudo mediante

ecuaciones lineales, en la mayor parte de los casos las relaciones reales no son verdaderamente

lineales. De hecho, un estudio cuidadoso de los sistemas fsicos revela que incluso los llamados

sistemas linealesslo lo son en rangos de operacin limitados. En la prctica, muchos sistemas

involucran relaciones no lineales entre las variables.

En general, los procedimientos para encontrar las soluciones a problemas que involucran

tales sistemas no lineales son muy complicados. Debido a la dicultad matemtica aunada a los

sistemas no lineales, resulta necesario introducir los sistemas lineales equivalentesen lugar

de los no lineales. Tales sistemas lineales equivalentes slo son vlidos para un rango limitado

de operacin. Una vez que se aproxima un sistema no lineal mediante un modelo matemtico

2.3. OBSERVABILIDAD Y CONTROLABILIDAD 21

lineal, pueden aplicarse varias herramientas lineales para anlisis y diseo.

En ingeniera de control, una operacin normal del sistema puede ocurrir alrededor de un

punto de equilibrio, y las seales pueden considerarse seales pequeas alrededor del equilibrio.

Sin embargo, si el sistema opera alrededor de un punto de equilibrio y si las seales involu-

cradas son pequeas, es posible aproximar el sistema no lineal mediante un sistema lineal.

Tal sistema es equivalente al sistema no lineal, considerado dentro de un rango de operacin

limitado [Ogata 1998],[Rugh 1995].

2.3. Observabilidad y Controlabilidad

Una representacin mediante variables de estados de un sistema lineal, con matrices A,

B, C y D, las matrrices A y C describen el comportamiento no-forzado del sistema (o el

comportamiento a entrada-cero), mientras que la matriz B caracteriza el efecto de la entrada

(o el control) sobre la dinmica del sistema. La matriz D representa la transmisin directa de

la entrada a la salida.

Los conceptos de controlabilidad y observabilidad fueron introducidos por Kalman en el

ao 1960. Ellas afrontan respectivamente la relacin que existe entre la entrada y el estado (la

controlabilidad), y entre el estado y la salida (la observabilidad) [Tsong 1998],[Ogata 1998]. La

controlabilidad de un sistema responde a la siguiente incgnita: Existe siempre una entrada

de control u(t) la cual puede transferir el sistema desde el estado inicial x0 a cualquier otro

estado x1 deseado en un tiempo nito. Mientras que la observabilidad responde al siguiente

cuestionamiento: El estado inicial x0 del que parte un sistema, puede siempre identicarse

mediante la observacin de la salida y(t) y de la entrada u(t) sobre un tiempo nito t

Estas caractersticas del sistema pueden ser contestadas mediante las propiedades de las

matrices A, B, C y D. Ya que las matrices A y B tienen que ver con la relacin entre entrada

y estado, a este par de matrices se las conoce como el par de controlabilidad. En cambio, como

las matrices A y C involucran el estado con la salida, a estas dos matrices se las conoce como

el par de observabilidad.

Considere el sistema lineal contnuo en el tiempo representado por:


x(t) = Ax(t) +Bu(t) (2.3)

y(t) = Cx(t) +Du(t) (2.4)

Donde A, B, C y D son funciones contnuas del tiempo.

Supongamos que para alguna entrada u(t), t 2 [t0 ,t1 ], y para el estado inicial x0 , el estadoal tiempo t1 es x1 . Decimos entonces que la entrada u transere el sistema desde el estado x0

(en el tiempo t0 ) al estado x1 (al tiempo t1 ). Y y(t) describe las salidas del sistema.

Denicin 1 Estado controlable

El estado inicial x 0 del sistema descrito por las Ec. (2.3) y (2.4), se dice que es controlable

sobre el intevalo [t0, t1] donde t1 es un tiempo nito, si existe alguna entrada u(t) sobre [t0,

t1] el cual transere el sistema desde el estado x0 (al tiempo t0) al origen del espacio de estado

al tiempo t1. De otra manera se dice que el estado x0 es incontrolable en [t0, t1].

En la denicin utilizamos como estado de arrivo al origen del espacio de estado x = 0

pero esto se cumple, si y solo si, el estado nal fuera cualquier otro estado x1 (por tratarse de

sistemas lineales) [Bay 1999],[Doyle y Francis 1992],[Ogata 1998].

Adems que en la denicin al menos exista una u(t), pero esta u(t) no necesariamente

tiene que ser nica (puede haber ms de una u(t) que nos lleve el sistema desde x0 a 0 ).

Denicin 2 Sistema completamente controlable

Si todo estado x(t0) del sistema es controlable sobre [t0, t1] , el sistema se dice que es

completamente controlable en [t0, t1].

El sistemamostrado por las Ec. (2.3) y (2.4). Donde la matrizA 2 R de dimensiones (nxn) yB 2R de dimensiones (nxr), es completamente controlable, si y solo si, la matriz de controlabilidad

de dimensin nx(n.r)

Co = [B AB A2B A(n1)B] ; es de rango n.

El concepto de observabilidad est relacionado con el siguiente problema: dado el sistema

representado por las Ec. (2.3) y (2.4), sus entradas u(t) y sus salidas y(t) sobre un intervalo

nito de tiempo [t0, t1], calcular el estado inicial x0 [Tsong 1998],[Bay 1999],[Ogata 1998].

2.3. OBSERVABILIDAD Y CONTROLABILIDAD 23

Denicin 3 Estado observable

El estado inicial x0 6= 0 del sistema descrito por las Ec. (2.3) y (2.4) se dice que es observablesobre el intevalo [t0, t1] , si el conocimiento de la entrada u(t) y de la salida y(t) sobre [t0, t1]

son sucientes para determinar x 0. De otra manera se dice que el estado x0 es inobservlable

sobre [t0, t1] .

El sistema mostrado en las Ec. (2.3) y (2.4). Es completamente observables, si y solo si, la

matriz de observabilidad de dimensin (m.n)xn. Donde la matriz A 2 R de dimensiones (nxn)y C 2 R de dimensiones (mxn) [Bay 1999],[Doyle y Francis 1992],[Ogata 1998].

O =

26666666664

C

CA

CA2

...

CA(n1)

37777777775; es de rango n.

Denicin 4 Sistema completamente observable

Si todo estado x(t0) del sistema es observable sobre [t0, t1], el sistema se dice que es

completamente observable sobre [t0, t1].

Ya que la respuesta de estado cero puede ser calculada directamente, el problema de la

observabilidad del sistema puede ser resuelto considerando que u=0.

Como ya se mencion Kalman introdujo los conceptos de controlabilidad y observabilidad,

mismos que juegan un papel importante en el diseo de los sistemas de control en el espacio de

estados. De hecho, las condiciones de controlabilidad y observabilidad determinan la existencia

de una solucin completa para un problema de diseo de un sistema de control. Tal vez no

exista una solucin a este problema si el sistema considerado es no controlable. Aunque la

mayor parte de los sistemas fsicos son controlables y observables, los modelos matemticos

correspondientes tal vez no posean la propiedad de controlabilidad y observabilidad. En este

caso, es necesario conocer las condiciones bajo las cuales un sistema es controlable y observable

[Ogata 1998].

La condicin de controlabilidad de estados implica que es posible, mediante entradas ad-

misibles, dirigir los estados desde cualquier valor inicial a cualquier valor nal dentro de un


intervalo de tiempo.

La condicin de observabilidad es la medida de que tan bien los estados internos de un sis-

tema pueden ser inferidos conociendo las salidas externas. La observabilidad y la controlabilidad

son matemticamente duales.

2.4. Deteccin de Fallas en Sistemas Dinmicos

2.4.1. Introduccin

Un proceso productivo se mide en relacin al nivel de seguridad que se puede garanti-

zar en cada uno de los subprocesos que lo constituyen. La garanta de la seguridad exige de

sosticados sistemas que deben responder oportuna y adecuadamente ante cualquier situacin

del proceso productivo. En particular, si el proceso de produccin presenta, eventualmente,

cualquier anomala, se debe contar con sistemas que permitan distinguir y evaluar tal situacin

y a su vez, los sistemas de control deben responder en la direccin de minimizar o rechazar los

impactos negativos que se puedan presentar, es decir, los sistemas deben ser tolerantes a los

eventos no considerados como de operacin normal.

Por otro lado, en los procesos industriales, a objeto de garantizar la produccin, se debe

vericar el funcionamiento de los componentes, de los sensores y actuadores. La regularidad de

esas inspecciones es guiada, por lo general, por la experiencia, lo cual se traduce en el man-

tenimiento preventivo. Una alternativa a ese mtodo consiste en seguir, permanentemente, el

estado del proceso productivo a n de detectar, automticamente, todo cambio signicativo del

funcionamiento de un componente. La informacin que as se deriva puede ser utilizada para

planicar las labores del equipo de mantenimiento. Este segundo mtodo, denominado mante-

nimiento centrado en conabilidad, permite evitar los costos suplementarios debido a las opera-

ciones de mantenimiento intiles o repetitivos [Joel 1997],[Moubray 2001],[Nieuwenhuis 1990].

Para implantar este tipo de mantenimiento es necesario disponer de metodologas que per-

mitan detectar y de localizar los disfuncionamientos incipientes. Tales metodologas explotan

el hecho de que, en funcionamiento seguro, las mediciones deben vericar ciertas relaciones

construidas sobre la base de un modelo del proceso productivo. En ese caso se habla de rela-

2.4. DETECCIN DE FALLAS EN SISTEMAS DINMICOS 25

ciones de redundancia analtica. Dichas relaciones cesan de ser vericadas luego de la aparicin

de un disfuncionamiento. El empleo simultneo de varias relaciones de redundancia, juiciosa-

mente construidas, permite entonces localizar el origen del comportamiento anmalo. As, la

automatizacin de las operaciones de mantenimiento relativa a la conabilidad, est ligada a los

sistemas de supervisin, monitoreo y diagnstico [Gertler 1998],[August 2000],[Sohlberg 1998].

Dado que la conabilidad est relacionada con el concepto de seguridad, entonces es fun-

damental dotar a los procesos industriales de exigentes sistemas de seguridad, en los cuales

los elementos de base son los sub-sistemas de deteccin y localizacin de fallas. Los cuales se

distinguen porque, a partir de los sensores, indicadores y de las variables medidas, permiten

una supervisin continua y constante del comportamiento evolutivo de la produccin. As, los

sistemas de monitoreo, deteccin y localizacin de fallas, se fundamentan en su capacidad para

responder ante situaciones inesperadas del comportamiento del proceso, de manera que su prin-

cipal tarea es la del diagnstico de fallas . Un sistema de diagnstico como se muestra en la

Fig. 2.6 utiliza las mediciones del proceso a objeto de producir unos residuos, a partir de los

cuales, mediante funciones de evaluacin y lgicas de decisin, se busca la identicacin y la

separacin de las fallas. En el marco de estas ideas, cualquier sistema que permita, a partir de

las variables medidas de los procesos, generar los residuos y de evaluarlos en forma objetiva, en

relacin a las tomas de decisiones orientadas en el reconocimiento de fallas, se denomina Filtro

de Diagnstico de Fallas.

2.4.2. Clasicacin de los mtodos de generacin de residuos

Desde el punto de vista de la generacin de residuos por comparacin, las tcnicas de diseo

se pueden clasicar como se muestra en Fig. 2.7:

1. Mtodos de Redundancia Fsica; en los cuales se hace uso de las rplicas fsicas de

los dispositivos y sistemas bajo estudio. En la comparacin de las respuestas de los distintos

elementos se generan los residuos. Estas tcnicas tienen el inconveniente principal de los costos

involucrados para su implementacin y seguimiento.

2. Mtodos Basados en Modelos; a partir de los cuales se producen valores estimados de

las salidas de los procesos para la generacin de los residuos, mediante su comparacin con las


Figura 2.6: Sistema de diagnstico

salidas medidas. El principal inconveniente de estas tcnicas es el de construir o disponer de

modelos muy precisos.

En este caso, los mtodos de sntesis de ltros se pueden dividir en dos categoras:

1. Mtodos de Redundancia Analtica; en los cuales se utilizan modelos matemticos

analticos de los sistemas.

2. Mtodos Basados en el Conocimiento; en los cuales se emplean modelos cualitativos

de los sistemas, asociados con razonamiento heursticos.

En algunos casos es posible combinar, adecuadamente, ambas metodologas. En referencia a

los mtodos analticos, los sistemas dinmicos se pueden describir por modelos que entran dentro

de dos categoras: los modelos representativos y los modelos de diagnstico. Los modelos repre-

sentativos permiten describir el comportamiento dinmico de los sistemas en trminos de una

estructura estandarizada que, de manera satisfactoria, se aproxima al comportamiento entrada-

salida o al comportamiento de estado de los sistemas [Frank 1992],[Iserman y Ball 1997].

Por el contrario, los modelos de diagnstico permiten describir el comportamiento dinmico

a travs de una rplica de la estructura o arquitectura fsica de los sistemas.

All, las unidades funcionales bsicas, o de inters, se modelan en forma explcita: modelos


Figura 2.7: Clasicacin de mtodos de generacin de residuos

de sensores, de actuadores, etc. Si bien con estos modelos se obtiene un mayor conocimiento

del desempeo global de los sistemas, tiene el inconveniente de que el nmero de ecuaciones

algebraicas se incrementan, en comparacin con los modelos representativos.

A los nes de disear los ltros de Deteccin de Fallas, los modelos de diagnstico son los

ms tiles, mientras que para propsitos de control, lo son los modelos representativos.

En este orden de ideas, en las tcnicas analticas, toda la informacin proveniente de

los dispositivos de medicin del proceso, del cual se dispone de un modelo matemtico de

diagnstico, es procesada para generar los residuos a travs de:

1. La sustitucin directa en las ecuaciones del modelo.

2. La utilizacin del modelo en forma paralela con el proceso real, de manera que en

ambos se aplican las mismas entradas.

3. La utilizacin de un observador de estados. Esta es una extensin del mtodo del

modelo paralelo. La idea es la generacin de residuos con propiedades direccionales precisas,

mediante una seleccin adecuada de la ganancia del observador.

4. El empleo de modelos inversos a partir de los cuales es posible reconstruir los modos

de las fallas.

En virtud de que la evaluacin del desempeo del sistema dinmico se obtiene a partir del


monitoreo de sus variables, se pueden establecer los siguientes conceptos:

Denicin 5 Un proceso, se dice que est en un estado de operacin normal si sus variables

de estados medidas (observadas) estn en la vecindad de una referencia denida a priori.

La situacin de anomala se determina por un valor de las salidas en las variables pre-

determinadas que indican que el punto de operacin est fuera de la vecindad de la referencia

pre-denida o que cierto criterio de funcionamiento est siendo violado.

Denicin 6 Las fallas son funcionamientos anmalos que perturban la operacin normal del

sistema, causando una declinacin inaceptable del desempeo integral de dicho sistema.

Como cualquier tipo de mal funcionamiento puede presentarse en cada uno de los subsis-

temas o unidades funcionales, la concepcin de los ltros de diagnstico se basan en los tipos

de modelos del sistema y en las descripciones de las fallas. En el caso de los sistemas lineales

que estamos estudiando, las fallas se pueden describir en relacin al modelo adoptado.

As, las fallas en los actuadores se pueden modelar como entradas aditivas en la dinmica

del proceso [Tsong 1998],[Jones 1973],[Gertler 1998], (Ver la Fig. 2.8 ), esto es,

x(t) = Ax(t) +Bu(t) +Bffa (2.5)

y(t) = Cx(t) (2.6)

Figura 2.8: Representacin de fallas en actuadores

Las fallas en los sensores se pueden representar como una funcin vectorial en el espacio

de las salidas [Frank 1992],[Gertler 1998], (Ver la Fig. 2.9), es decir,


x(t) = Ax(t) +Bu(t) (2.7)

y(t) = Cx(t) + Cffs (2.8)

Figura 2.9: Representacin de fallas en sensores

En el caso de fallas en el proceso, estructuralmente, en el modelo adoptado, la matriz A

rige el comportamiento dinmico del sistema, entonces, cualquier funcionamiento anormal del

mismo se pueden representar por cambios en esa matriz dinmica. De esta manera, podemos

adoptar un modelo de fallas en el proceso mediante la incorporacin de una matriz dinmica

adicional [ Tylee 1986],[Gertler 1998], (Ver la Fig. 2.10), esto es,

x(t) = Ax(t) + Afx(t) +Bu(t) (2.9)

y(t) = Cx(t) (2.10)

Si consideramos que Afx = Af f p, entonces, para los modelos de fallas adoptados, f a ,

f s y f p (Fallas en actuadores, sensores y procesos respectivamente )son funciones temporales

vectoriales que se presentan en un determinado tiempo t t0 , t0 > 0. Es decir, f a ; f s ; f p =0 si t < t0 y f a ; f s ; f p 6= 0 si t t0 . En ese mismo orden, Bf , C f , Af son matrices dedimensiones apropiadas e indican las direcciones de las fallas.


Figura 2.10: Representacin de fallas en procesos

2.5. Robustez

2.5.1. Introduccin

Dentro de ese marco de las tcnicas analticas, los mtodos basados en observadores, ineren

de la disponibilidad de un modelo exacto del proceso dinmico. Esta exigencia es imposible de

satisfacer porque los procesos reales son, en su gran mayora: altamente complejos, no-lineales,

variantes en el tiempo, de parmetros inciertos, sometidos a perturbaciones externas y ruidos,

etc. De modo que en la prctica slo se dispondr de un modelo referencial, que recoge en buena

medida, las caractersticas ms signicativas del comportamiento dinmico del proceso, a partir

del cual se deben incorporar, de alguna forma, las dinmicas no modeladas, las inexactitudes,

las incertidumbres, las perturbaciones y ruido. Por ello, debemos prescindir de la existencia

de un modelo perfecto y operar en base a modelos con incertidumbres y con perturbaciones

externas, que, de esa forma, recopilan las diferencias entre el comportamiento verdadero y el

modelo referencial [Chen y Patton 1999],[Duan y Patton 1997],[Frank y Koppen 1993].

La presencia de incertidumbres y de perturbaciones producen serias dicultades para el

diseo de ltros (Observadores), ya que no se cuenta, como lo impone la prctica, de una

sensibilidad ilimitada para la deteccin de anomalas funcionales. Eso signica que, como con-

secuencia de las incertidumbres y perturbaciones, los valores estimados a travs del modelo,

no corresponden exactamente con los valores medidos del proceso, y por lo tanto los residuos

sern distintos de cero an en ausencia de fallas. Esas dicultades, valen decir, la produccin

2.5. ROBUSTEZ 31

de residuos parsitos, se pueden manifestar en la generacin de falsas alarmas durante la super-

visin y monitoreo del proceso, lo cual trae como consecuencia la degradacin del desempeo

del sistema. Las falsas alarmas en un sistema corresponden a la activacin de los dispositivos

de contingencia asociados a funcionamientos anormales del proceso, y que, eventualmente,

pudiesen dejar fuera de funcionamiento las unidades de produccin. De alguna manera, por el

impacto que pudiese tener en la productividad, hay que evitar la generacin de falsas alarmas

mediante mecanismos de robustez aplicados en el diseo e implementacin de los observadores.

Varias tcnicas de deteccin robusta han sido desarrolladas, dependiendo del tipo de incer-

tidumbre. Por ejemplo, el ltro de deteccin clsico, es robusto a incertidumbres en el modo de

la falla pero requiere de un perfecto conocimiento de la dinmica referente a la planta y de las

caractersticas del ruido. Mientras que la tcnica de relacin de mxima verosimilitud, demanda

un conocimiento preciso del modo de la falla, la estadsticas del ruido y de la dinmica de la

planta [Willsky 1986].

En cuanto a robustez ante incertidumbres del modelo, se debe estimar una margen con

respecto al efecto de las incertidumbres en los residuos, dicho margen se utiliza para seleccionar

un nivel de umbral adecuadamente [Chen y Patton 1996]. Desde el punto de vista de generacin

de residuos, las fallas son detectables si sus caractersticas espectrales son distinguibles de las

correspondientes a las incertidumbres. Esto es equivalente a que las fallas entren al sistema en

direcciones diferentes del espacio de estado con respecto a las direcciones de las incertidumbres.

Las fallas que tienen caractersticas frecuenciales o pertenecen al mismo sub espacio del espacio

de estado en relacin a las incertidumbres, no pueden ser detectables siempre.

En muchos procesos industriales, desafortunadamente, los efectos de las fallas y las incer-

tidumbres del modelo no se pueden separar uno del otro. En estos casos se busca ampliar la

capacidad o el desempeo de la deteccin al hacer que los residuos sean menos sensibles a las

incertidumbres con respecto a una direccin de falla en particular mediante el uso de tcnicas

de estimacin de estado ptimos [Chen y Patton 1995]. Fundamentalmente, estos son mtodos

de estimacin robusta en H con el objetivo primordial de la supresin de la perturbacin

efectiva, manteniendo una sensibilidad adecuada con respecto a las fallas.


2.5.2. Generacin Robusta de Residuos

La primera fase en un proceso de deteccin de fallas es la generacin de residuos, los cuales,

posteriormente, se utilizan, mediante mecanismos de evaluacin, para las toma de decisiones

orientadas a minimizar los efectos de esos comportamientos anormales en el desempeo integral

del sistema.

El punto de vista de robustez, signica que la produccin de los residuos debe considerar

todas aquellas diferencias entre el modelo de diagnstico y el proceso real. Por lo tanto, se debe

contar con una descripcin real de las incertidumbres y de las perturbaciones que estn presentes

en el sistema a supervisar. Dado que estas divergencias son proclives a la generacin de residuos

en ausencia de una falla verdadera, tambin se debe considerar, en el marco de las decisiones

lgicas, un nivel de aseguramiento de la presencia de una falla, es decir, bajo la presencia de

incertidumbres y de perturbaciones externas, a partir de los residuos debe existir un nivel de

disparo (umbral) que garantice la presencia de una falla ya sea en sensores, actuadores o en

un proceso . Eso signica que a partir de los residuos, debemos disponer de un mecanismo o

generador de funcin de decisin que nos permita distinguir, a partir de un umbral, cuando

est presente un comportamiento anormal.

Una evaluacin simple, los modelos de incertidumbres y las perturbaciones externas en

el modelo, al igual que las descripcin para las fallas, representan entradas adicionales en

la dinmica del proceso; en este caso, entradas desconocidas. El problema, entonces, es la

generacin de residuos orientados al deteccin bajo la presencia de entradas desconocidas en

los modelos del proceso, sensores y actuadores. Los residuos son, posteriormente, procesados

mediante una funcin de decisin, la cual permite garantizar la presencia de una falla y evitar,

en lo posible, falsas alarmas. Finalmente, los residuos son evaluados por un bloque de decisin

lgica a los nes de distinguir el origen de la falla, (Ver Fig. 2.11).

Lo signicante del problema de detecin de fallas robusta es que:

1. Para la deteccin, el efecto de una falla debe ser distinguible del efecto de las

entradas desconocidas. Esta capacidad de indicar que una falla ha ocurrido en presencia de las

entradas desconocidas la denominaremos como detectabilidad robusta.

2. Para la separacin, el efecto de una falla debe ser distinguible del efecto de las

2.6. OBSERVADOR LUENBERGER 33

Figura 2.11: Esquema para la deteccin robusta de fallas

entradas desconocidas y del efecto de las otras fallas. Esta capacidad de separacin robusta

est vinculada a dos aspectos importantes:

a) La cantidad de fallas que se pueden identicar.

b) La cantidad de falsas alarmas que se pueden tolerar con una identicacin o

separacin incorrecta.

Si hemos establecido que la presencia de una falla se distingue por comparacin de los

residuos con un nivel umbral, un primer objetivo del diseo de un ltro de deteccin, bajo

la presencia de incertidumbres y de perturbaciones externas, es la de reducir el efecto, en los

residuos de las entradas externas sin, al mismo tiempo, degradar el efecto de las fallas.

2.6. Observador Luenberger

Sea el sistema (2.3) y (2.4) modelado en variables de estado que aqu se reescribe:

x(t) = Ax(t) +Bu(t)

y(t) = Cx(t) +Du(t)


Donde x(t) 2 Rn el par (u(t),y(t)) es escalar y las matrices (A,B,C ) son perfectamenteconocidas.

Entonces un estimador de estados est compuesto por una reproduccin del sistema y un

trmino adicional de correccin. La arquitectura del observador es:

(t) = A(t) +Bu(t) + L(y(t) C(t)) (2.11)y^(t) = C(t) (2.12)

Donde (t) 2 Rn es el estado estimado, L es la ganancia de Luenberger y y^(t) 2Rn representa a las salidas estimadas del sistema. Entonces el observador reproduce la en-

trada y la salida del sistema y adems corrige la ecuacin dinmica con un trmino que

es proporcional al error entre la salida del sistema real (y(t)) y la salida estimada (C(t))

[Ogata 1998],[Anzurez 2007].

Deniendo el error entre los estados reales del sistema y los estimados como:

e(t) = x(t) (t) (2.13)

Entonces, la dinmica del error (e(t)) ser:

e(t) =

x(t)

(t) (2.14)

Sustituyendo la Ec (2.3) y (2.11) en la dinmica del error e(t) (2.14):

e(t) = (Ax(t) +Bu(t)) (A(t) +Bu(t) + L(Cx(t) C(t))) (2.15)

Ahora desarrollando y simplicando la ec.(2.15) tenemos:

e(t) = Ax(t) +Bu(t) A(t)Bu(t) L(Cx(t) C(t))e(t) = A[x(t) (t)] LC[x(t) (t)] (2.16)

Por ltimo sustituimos la ec. de error (2.13) en la ec. (2.16) y agrupando obtenemos:

2.6. OBSERVADOR LUENBERGER 35

e(t) = (A LC)e(t) (2.17)

Entonces, (t)! x(t) si los valores propios de la matriz A-LC son todos estables , y estn enel semiplano izquierdo. Ello porque la solucin de la ecuacin

e(t) = (A LC)e(t) es:

e(t) = e(ALC)te0 (2.18)

e(t) = e(ALC)t(x0 0) (2.19)

De modo que, si los valores propios de A-LC tienen todos partes reales negativas, el error

(e(t)) tiende a cero sin importar su condicin inicial. Lo que quiere decir que, el observador

de Luenberger, bajo la suposicin de conocimiento perfecto del sistema, a medida que pasa el

tiempo, mejora asintticamente la estimacin de los estados.

Remarcamos que, tal como estructurado el observador propuesto, el problema de diseo

de un estimador de estados se reduce a la determinacin de una ganancia del observador L tal

que los valores propios de la matriz A-LC estn todos en el semiplano izquierdo, en ese sentido,

el problema de diseo de un observador es equivalente a aquel de localizacin de polos por

realimentacin de estados y, por ejemplo, podemos usar los mismos comandos de MATLAB, a

saber, place o acker, para calcular L.

Para la ubicacin de los polos del observador slo debemos tomar en cuenta que stos deben

estar ms a la izquierda en el semiplano complejo que los polos del sistema con realimentacin

de estados, esto es, que la dinmica del observador debe ser ms rpida que la del sistema a

observar si se desea tener una estimacin adecuada de los estados [Ogata 1998],[Wiberg 1971].

Captulo 3

Diseo de Observadores de Orden

Completo y Orden Reducido

3.1. Introduccin

Los observadores de estado, permiten estimar las variables o estados de un sistema en

base a mediciones de las seales de salida y seales de control. Estos observadores permiten

enviar informacin estimada acerca del valor que toman dichos estados, permitiendo conocer

un aproximado del valor real, adems cuentan con muy poco margen de diferencia o error.

Figura 3.1: Observador de orden reducido (diagrama de bloques)

Existen 2 tipos de observadores: observadores de orden completo, y observadores de orden

37

38CAPTULO 3. DISEODEOBSERVADORESDEORDENCOMPLETOYORDENREDUCIDO

reducido u orden mnimo. Los observadores de orden reducido, son aquellos utilizados para

observar o estimar solo algunos estados de un sistema como se ilustra en la Fig. 3.1. Los

observadores de orden completo, son aquellos utilizados para observar o estimar todos los estados

de un sistema como se muestra en la Fig. 3.2.

3.2. Observador de orden Competo

Figura 3.2: Observador de orden completo (diagrama de bloques)

Dado el sistema:

x(t) = Ax(t) +Bu(t)

y(t) = Cx(t) +Du(t)

Donde:

x(t) 2 Rn :Vector de estado (nx1 )u(t) 2 Rm :Seal de control (escalar)y(t) 2 Rp : Seal de salida (escalar)A: Matriz (nxn)

3.2. OBSERVADOR DE ORDEN COMPETO 39

B : Matriz (nx1 )

C : Matriz (1xn)

D: Matriz (nx1 )

Se pueden estimar sus estados mediante el sistema representado por las Ec. (2.11) y (2.12):

(t) = A(t) +Bu(t) + L(y(t) y^(t))y^(t) = C(t)

Donde:

L: Vector de ganancias que permiten la observacin de estados (1xn)

(t) 2 Rz: Vector de estados estimadosy(t) 2 Rp: Salida estimada

Las matrices A, B y C son las mismas tanto para un sistema real como para el sistema

estimado. Para los clculos siguientes se asume que el valor de D es cero.

La diferencia existente entre x(t) y (t) se denomina error de observacin, y el trmino

L[ y(t)- y(t)] se denomina factor de correccin. Siendo la dinmica del error como se indica en

la Ec. (2.17)e(t) = (A LC)e(t)

A partir de esta expresin se puede conocer el comportamiento dinmico y la estabilidad

del sistema, si la matriz jA-LCj es estable, entonces dada cualquier condicin inicial, el sistematender a un error cero.

La eleccin de correctos valores para las ganancias L del observador, permitir que el

comportamiento dinmico del vector de error sea asintticamente estable y lo sucientemente

rpido para tender a un valor de cero.

La estabilidad asinttica y la velocidad de respuesta de la dinmica del error se determina

mediante los valores propios de la matriz jA-LCj, dados por el polinomio caracterstico jsI-A+LCj.

Ejemplo 1 Determinar la ecuacin caracterstica del sistema siguiente, si se le agrega

un observador de estados L.

40CAPTULO 3. DISEODEOBSERVADORESDEORDENCOMPLETOYORDENREDUCIDO

x =

24 0 21 4

35x+24 0

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estimador reducido 60