Estimador assintótico

8/18/2019 Estimador assintótico

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(sinopse )

J. A. M. Felippe de Souza

Extraído do texto manuscrito cujo título é “Teoria de Controle”,

http://webx.ubi.pt/~felippe/main_pgs/mat_didp.htm, escrito

originalmente em 1984 mas com observações , exemplos e exercícios acrescentados nos últimos anos.

Aula 14

“Estimador assintótico”


2/29

Estimador assintótico ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Um estimador assintótico (ou de Luemberger) tem como entradas:

u(t) e y(t)

do sistema original, e como saída:

x(t)

que é uma estimativa do estado x(t) do sistema original.

^


3/29


4/29



5/29



6/29


l 1

l 2

l n

l = ⋅⋅⋅

l é umvetorcoluna


7/29



8/29


Escolhendo l tal que (A – l c) tenha os seus autovaloresno !E, ent"o a converg#ncia do estimador é garantida.


9/29


Este $eorema %ermite que, se o sistema &or 'observável os

autovalores de (A– l c) seam escolhidos de &orma arbitr*ria.


10/29


+e &orma an*loga -ula / %ara Realimentação de Estado (matri0

A + bk ) %odemos desenvolver dois métodos semelhantes aqui

%ara Estimação de Estado (matri0 A – l c).

1étodo 2ra3al

4este método, semelhan3a da -ula /, nós calculamos ∆(s), o polinómiocaracterístico de (A – l c), em termos das n incógnitas l 1, l 2, 5, l n, ques"o os coe&icientes de l .

=

n

2

1

l

M

l

l

l


11/29


6omo nós queremos que (A – l c) tenha autovalores

λi , i = 1, 2, …, n

ent"o o polinómio característico de (A – l c) é

_

Equacionando as duas e7%ress8es de ∆(s)

, obtém9sen

equa38es

%ara os n coe&icientes de si, i = 1, 2, …, (n–1).

_

- solu3"o destas equa38es nos d* l .

=

n

2

1

l

M

l

l

l


12/29


-char

l = [ l 1 l 2 ]T

tal que o estimador tenha %olos

λ1,2 = –2 ± j


13/29


!or outro lado,

[ ]

−−−

−−

=

−

−=− 22

11

2

1

4131

4132

4311

12

)cA( ll

ll

l

l

l

5s4s

) j2s() j2s()s(

2++=

+−⋅−−=∆

gualando os coe&icientes:

=−−

=++−

5573

4433

21

21

ll

ll

==

−==

23,413

55

3,31343

2

1

l

l


14/29


Método Algoritmo

emelhantemente -ula / %ara Realimentação de Estado (matri0A + bk ), o algoritmo aqui %ara Estimação de Estado (matri0 A – l c)tem também ; %assos.


15/29


iv) 6alcular as linhas pi da matri0 P usando a &órmula recorrente

(;.

−=α+=

=

+−− 1n,,1i,pApp

cp

ni1inin

n

L

(;.


16/29


v) Achar Q = P–1

vi) -char l = Q l = P–1 l _ _

V~VPQ 11 −− ==

VV~

P 1−=

=

n

2

1

p

p

p

PM


17/29


-charl = [ l 1 l 2 ]

T

tal que o estimador tenha %olos

λ1,2 = –2 ± j


18/29


5s4s

) j2s() j2s()s(2

++=

+−⋅−−=∆

i)

iii)

54

2

1

=α

=α

ii)

iv) e

v) -qui vamos calcular P e Q usando as equa38es

VV~

P 1−

= V~VPQ 11 −− ==


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=

=

31

10

A~c~c~

V~

−=3130A~

[ ]10c~

=

−−==

−

43

57VV~

P 1

−−

=

−−

=== −−

5385,02308,0

3846,03077,0

13

7

13

3

135

134

V~VPQ 11

−

=

−

01

13

V

~ 1

-gora,


20/29


21/29


vi) ?inalmente, %odemos calcular o ‘l ’

−

=

⋅

−−

=== −

23,4

3,3

7

2

13

7

13

3

13

5

13

4

PQ

1lll

l 1

l 2l = =

–3,3

4,23


22/29


@eri&ica3"o:

l =

[ ]

5s4s

92,15s69,13

2,149,11sdet

)cA(sIdet)s(

2++=

=

+

−−=

=−−=∆ l

cuas raí0es s"o obviamente: λ1,2 = –2 ± j

–3,3

4,23

E i d i ó i


23/29


-char

l = [ l 1 l 2 l 3 ]Ttal que o estimador tenha %olos

λ1 = –3 ,

λ2 = –4,

λ3 = –5

R li t ã d E t d


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Realimentação de Estado ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2s9s)AsIdet()s( 3 +−=−=∆

60s47s12s

)5s)(4s)(3s()s(

23

+++=

+++=∆

2

90

3

2

1

=α

−=α

=α

60

47

12

3

2

1

=α

=α

=α

i)

ii)

iii) ( )( )

( )

=

α−α

α−α

α−α

=

12

56

58

11

22

33

l

Estimador assintótico


25/29


[ ]

[ ]

[ ]

−−=α+α+=α+=

=α+=α+=

==

− 726ccAcApApp

020ccApApp

100cp

21

2

31n21

13132

3

−−

=

100

020

726

P

=

==

−

100

05,00

166,1166,0166,0

100

02 / 10

6 / 76 / 16 / 1

PQ 1

v)

iv)



26/29


-lternativamente, %odemos calcular a matri0 Q da seguinte &orma:



27/29


=

⋅

===

−

12

28

33

12

56

58

100

02 / 10

6 / 76 / 16 / 1

PQ 1lll

l 1l 2l 3

l = =

33

2812

vi) ?inalmente, %odemos calcular o ‘l ’



28/29


@eri&ica3"o:

l =

−

−

=−

020

2813

3321

)cA( l

[ ]

60s47s12s

s20

281s33321s

det

)cA(sIdet)s(

23+++=

=

−

−+−

−−

=

=−−=∆ l

cuas raí0es s"o:λ

1 = –3 ,λ

2 = –4 e λ

3 = –5

33

28

12


29/29

ObrigadoA

?eli%%e de ou0a

&eli%%eBubi.%t

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