Estimador assintótico

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  • 8/18/2019 Estimador assintótico

    1/29

    (sinopse )

    J. A. M. Felippe de Souza

    Extraído do texto manuscrito cujo título é “Teoria de Controle”,

    http://webx.ubi.pt/~felippe/main_pgs/mat_didp.htm, escrito

    originalmente em 1984 mas com observações , exemplos  e exercícios acrescentados nos últimos anos.

    Aula 14

    “Estimador assintótico”

  • 8/18/2019 Estimador assintótico

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    Estimador assintótico ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 

    Um estimador assintótico (ou de Luemberger) tem como entradas:

    u(t) e y(t)

    do sistema original, e como saída:

    x(t)

    que é uma estimativa do estado x(t) do sistema original.

    ^

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    Estimador assintótico ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 

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    Estimador assintótico ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 

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    Estimador assintótico ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 

    l 1

    l 2

    l n

    l  = ⋅⋅⋅

    l é umvetorcoluna

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    Estimador assintótico ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 

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    Estimador assintótico ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 

    Escolhendo l tal que (A – l c) tenha os seus autovaloresno !E, ent"o a converg#ncia do estimador é garantida.

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    Estimador assintótico ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 

    Este $eorema %ermite que, se o sistema &or 'observável os

    autovalores de (A– l c) seam escolhidos de &orma arbitr*ria.

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    Estimador assintótico ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 

    +e &orma an*loga -ula / %ara Realimentação de Estado (matri0

    A + bk ) %odemos desenvolver dois métodos semelhantes aqui

    %ara Estimação de Estado (matri0 A – l c).

    1étodo 2ra3al

    4este método, semelhan3a da -ula /, nós calculamos ∆(s), o polinómiocaracterístico de (A – l c), em termos das n incógnitas l 1, l 2, 5, l n, ques"o os coe&icientes de l .

    =

    n

    2

    1

    l

    M

    l

    l

    l

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    Estimador assintótico ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 

    6omo nós queremos que (A – l c) tenha autovalores

    λi , i = 1, 2, …, n

    ent"o o polinómio característico de (A – l c) é

    _

    Equacionando as duas e7%ress8es de ∆(s)

    , obtém9sen

    equa38es

    %ara os n coe&icientes de si, i = 1, 2, …, (n–1).

    _

    - solu3"o destas equa38es nos d* l .

    =

    n

    2

    1

    l

    M

    l

    l

    l

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    Estimador assintótico ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 

    -char

    l = [ l 1   l 2 ]T

    tal que o estimador tenha %olos

    λ1,2 = –2 ± j

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    Estimador assintótico ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 

    !or outro lado,

    [ ]  

    −−−

    −−

    =

    −=− 22

    11

    2

    1

    4131

    4132

    4311

    12

    )cA( ll

    ll

    l

    l

    l

    5s4s

    ) j2s() j2s()s(

    2++=

    +−⋅−−=∆

    gualando os coe&icientes:

    =−−

    =++−

    5573

    4433

    21

    21

    ll

    ll

    ==

    −==

    23,413

    55

    3,31343

    2

    1

    l

    l

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    Estimador assintótico ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 

    Método Algoritmo

    emelhantemente -ula / %ara Realimentação de Estado (matri0A + bk ), o algoritmo aqui %ara Estimação de Estado (matri0 A – l c)tem também ; %assos.

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    Estimador assintótico ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 

    iv) 6alcular as linhas pi da matri0 P usando a &órmula recorrente

    (;.

    −=α+=

    =

    +−−  1n,,1i,pApp

    cp

    ni1inin

    n

    L

    (;.

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    Estimador assintótico ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 

    v) Achar Q = P–1

    vi) -char l = Q l = P–1 l  _ _ 

    V~VPQ   11   −− ==

    VV~

    P   1−=

    =

    n

    2

    1

    p

    p

    p

    PM

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    Estimador assintótico ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 

    -charl = [ l 1   l 2 ]

    T

    tal que o estimador tenha %olos

    λ1,2 = –2 ± j

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    Estimador assintótico ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 

    5s4s

    ) j2s() j2s()s(2

    ++=

    +−⋅−−=∆

    i)

    iii)

    54

    2

    1

    ii)

    iv) e

    v) -qui vamos calcular P e Q usando as equa38es

    VV~

    P  1−

    =   V~VPQ   11   −− ==

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    Estimador assintótico ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 

    =

    =

    31

    10

    A~c~c~

    V~

      −=3130A~

    [ ]10c~

    =

      −−==

      −

    43

    57VV~

    P   1

      −−

    =

      −−

    ===  −−

    5385,02308,0

    3846,03077,0

    13

    7

    13

    3

    135

    134

    V~VPQ   11

    =

    01

    13

    V

    ~   1

    -gora,

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    Estimador assintótico ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 

    vi) ?inalmente, %odemos calcular o ‘l ’

    =

      −−

    ===  −

    23,4

    3,3

    7

    2

    13

    7

    13

    3

    13

    5

    13

    4

    PQ

      1lll

    l 1

    l 2l =   =

     –3,3

    4,23

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    Estimador assintótico ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 

    @eri&ica3"o:

    l =

    [ ]

    5s4s

    92,15s69,13

    2,149,11sdet

    )cA(sIdet)s(

    2++=

    =

    +

    −−=

    =−−=∆   l

    cuas raí0es s"o obviamente: λ1,2 = –2 ± j

     –3,3

    4,23

    E i d i ó i

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    Estimador assintótico ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 

    -char

    l = [ l 1   l 2   l 3 ]Ttal que o estimador tenha %olos

    λ1 = –3 ,

    λ2 = –4,

    λ3 = –5

    R li t ã d E t d

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    Realimentação de Estado ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 

    2s9s)AsIdet()s(   3 +−=−=∆

    60s47s12s

    )5s)(4s)(3s()s(

    23

    +++=

    +++=∆

    2

    90

    3

    2

    1

    −=α

    60

    47

    12

    3

    2

    1

    i)

    ii)

    iii) ( )( )

    ( ) 

    =

    α−α

    α−α

    α−α

    =

    12

    56

    58

    11

    22

    33

    l

    Estimador assintótico

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    Estimador assintótico ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 

    [ ]

    [ ]

    [ ]

    −−=α+α+=α+=

    =α+=α+=

    ==

    −  726ccAcApApp

    020ccApApp

    100cp

    21

    2

    31n21

    13132

    3

      −−

    =

    100

    020

    726

    P

    =

    ==

      −

    100

    05,00

    166,1166,0166,0

    100

    02 / 10

    6 / 76 / 16 / 1

    PQ  1

    v)

    iv)

    Estimador assintótico

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    Estimador assintótico ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 

    -lternativamente, %odemos calcular a matri0 Q da seguinte &orma:

    Estimador assintótico

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    Estimador assintótico ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 

    =

    ===

      −

    12

    28

    33

    12

    56

    58

    100

    02 / 10

    6 / 76 / 16 / 1

    PQ   1lll

    l 1l 2l 3

    l   =   =

    33

    2812

    vi) ?inalmente, %odemos calcular o ‘l ’

    Estimador assintótico

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    Estimador assintótico ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 

    @eri&ica3"o:

    l =

    =−

    020

    2813

    3321

    )cA(   l

    [ ]

    60s47s12s

    s20

    281s33321s

    det

    )cA(sIdet)s(

    23+++=

    =

    −+−

    −−

    =

    =−−=∆   l

    cuas raí0es s"o:λ

    1 = –3 ,λ

    2 = –4 e  λ

    3 = –5

    33

    28

    12

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    29/29

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