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Estimaci on Consistente del Capital Asset Pricing Model Javier Eduardo P erez Bastida y Andr es Ponce de Le on Rosas Microeconometria Avanzada, 2008 Se presenta un ejercicio de estimaci on para los par ametros del CAPM. Seguimos dos metodolog as, a trav es del M etodo Generalizado de Momentos (GMM) y a trav es del m etodo que se propone en Dominguez y Lobato (2004). 1. Introducci on Siguiendo a Dom nguez y Lobato (2004) existen modelos denidos por momentos condicionales, esto es, en donde se impone que la media condi- cional de ciertas funciones param etricas sea cero al evaluarse en el verdadero valor del par ametro. Generalmente estos modelos son estimados aplicando el M etodo Generalizado de Momentos (GMM), sin embargo, demuestran que generalmente este proceso de estimaci on arroja estimadores inconsistentes, ya que el n umero de instrumentos elegidos es nito, cuando el procedimiento exige un n umero innito de restricciones. Para solucionar ese problema, los autores introducen un m etodo de estimaci on que no requiere el uso de in- strumentos, con lo cual se evita el problema mencionado anteriormente. En este documento realizamos la estimaci on del Capital Asset Pricing Model (CAPM) a tr aves de las dos metodolog as y comparamos sus princi- pales propiedades estad sticas. El CAPM plantea la existencia de un consumidor representativo que resuelve el siguiente problema: max E 0 f 1 X t=0 t ( c 1 t 1 )g s:a: c t + k t+1 f (k t ) La condici on de primer orden del problema es:

Estimación Consistente CAPM

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En esta investigación se presenta un método de estimación consistente para el Capital Asset Pricing Model (CAPM).

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Estimaci�on Consistente del Capital Asset PricingModel

Javier Eduardo P�erez Bastida y Andr�es Ponce de Le�on Rosas

Microeconometria Avanzada, 2008

Se presenta un ejercicio de estimaci�on para los par�ametros del CAPM. Seguimosdos metodolog��as, a trav�es del M�etodo Generalizado de Momentos (GMM) ya trav�es del m�etodo que se propone en Dominguez y Lobato (2004).

1. Introducci�on

Siguiendo a Dom��nguez y Lobato (2004) existen modelos de�nidos pormomentos condicionales, esto es, en donde se impone que la media condi-cional de ciertas funciones param�etricas sea cero al evaluarse en el verdaderovalor del par�ametro. Generalmente estos modelos son estimados aplicando elM�etodo Generalizado de Momentos (GMM), sin embargo, demuestran quegeneralmente este proceso de estimaci�on arroja estimadores inconsistentes,ya que el n�umero de instrumentos elegidos es �nito, cuando el procedimientoexige un n�umero in�nito de restricciones. Para solucionar ese problema, losautores introducen un m�etodo de estimaci�on que no requiere el uso de in-strumentos, con lo cual se evita el problema mencionado anteriormente.

En este documento realizamos la estimaci�on del Capital Asset PricingModel (CAPM) a tr�aves de las dos metodolog��as y comparamos sus princi-pales propiedades estad��sticas.

El CAPM plantea la existencia de un consumidor representativo queresuelve el siguiente problema:

maxE0f1Xt=0

�t(c1��t

1� �)g

s:a: ct + kt+1 � f(kt)

La condici�on de primer orden del problema es:

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c��t = �Etfc��t+1(1

Pt+1)g

donde1

Pt+1� 1 + f 0(kt+1).

Sea X � ct+1ct, entonces:

Etf�X��t+1 � Pt+1g = 0 (1)

Dicha ecuaci�on determina la condici�on que nos permite identi�car a lospar�ametros � y �.

2. Metodolog��a

El procedimiento de estimaci�on fue el siguiente:1. Determinaci�on de los par�ametros (�, �, N, B):Se realizaron estimaciones para dos diferentes pares de valores de � y

�. Para cada par de valores se realizaron dos ejercicios, con N=500 y conN=1000, para cada uno de los cuales se crearon B=1000 muestras.

2. Muestreo :Para crear las muestras, se simul�o una Cadena de Markov con cuatro

estados para Xt y Matriz de Transici�on T . Dada la ecuaci�on (1) y losestados de Xt y T generamos una Cadena de Markov para Pt. Un an�alisism�as detallado de la metodolog��a se encuentra en el ap�endice del documento.

3. Estimaci�on GMM :El problema que enfrentamos es encontrar �, � que satisfagan la relaci�on

dada por (1).En la introducci�on de este documento mencionamos que para identi�car

� y � se utilizan un n�umero �nito de intsrumentos. En la estimaci�on elegimoslos instrumentos que garantizan varianza m��nima. Si de�nimos:

h(�; �;Xt) � �X��t � Pt

�t(Xt) � Et�1�h(�; �;Xt)

2 jXt�

Rt(Xt) � Et�1�@h(�; �;Xt)

@(�; �)

����Xt� = � �X�tlnXt1X�t

!Los instrumentos �optimos est�an dados por:

'(�; �;Xt) � ���1t (Xt) �Rt(Xt)

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Estimacion del CAPM

De donde deducimos que el modelo est�a identi�cado por:

E [h(�; �;Xt) � '(�; �;Xt)] = 0

Aplicando el Principio de Analog��a tenemos que, si de�nimos:

un(�; �) = En [h(�; �;Xt) � '(�; �;Xt)]

el problema que enfrentamos es encontrar �GMM y �GMM que mini-mizen:

QGMM (�; �) = [un(�; �)]0 un(�; �)

Se cre�o una rutina en Matlab que, para cada una de las B muestras detama~no N, primero calculara num�ericamente los instrumentos �optimos, se-gundo se calculara la funci�on objetivo para �nalmente estimar num�ericamente�GMM y �GMM .

Los resultados de dicha estimaci�on se reportan en la secci�on de resulta-dos.

4. Estimaci�on Consistente :Siguiendo a Dom��nguez y Lobato (2004) para cada una de las B muestras

de tama~no N se calcul�o num�ericamente la siguiente funci�on objetivo:

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QC(�; �) =1

n3

NXl=1

(NXt=1

(�X��t � Pt)I(Xt�Xl))

2

La cual, a tr�aves de una rutina de Matlab, fue minimizada para obtenerlos par�ametros �C y �C .

Los resultados de dicha estimaci�on se reportan en la secci�on de resulta-dos

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Estimacion del CAPM

5. Estad��sticas :Se reportan cuatro estad��sticos para los diferentes experimentos y tanto

para �GMM y �GMM como para �C y �Cse reportan: la media, la varianza,el sesgo y el error cuadr�atico medio (MSE).

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6. Test de Especi�caci�on del modelo:Considere el problema de contrastar la hip�otesis nula:

H0 : Etf�X��t+1 � Pt+1g = 0

contra la alternativa:

Ha : Etf�X��t+1 � Pt+1g 6= 0

Como hacen notar Dom��nguez y Lobato (2004) es dif��cil obtener unestad��stico cuya distribuci�on permita contrastar la hip�otesis de especi�caci�ondel modelo, siguiendo a Lobato (2008) construimos un estad��stico Bootstrapque nos permita contrastar H0 vs. Ha.

Los resultados del desempe~no de este estad��stico a tr�aves de las B mues-tras bajo los diferentes ejercicios en diferentes niveles de signi�cancia se re-portan en la secci�on de resultados.

3. Resultados

Tabla 1

Media���

�0N �GMM �GMM �CMM �CMM

�2 :95

�500 2.0778 0.9483 -1.4662 0.9420�

2 :95�

1000 2.0761 0.9483 -1.4714 0.9420�4 :98

�500 4.1517 0.9784 -1.8275 0.9676�

4 :98�

1000 2.0778 0.9483 -1.8213 0.9676

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Estimacion del CAPM

Tabla 2

Varianza���

�0N �GMM �GMM �CMM �CMM

�2 :95

�500 7.0476e-004 3.1640e-007 0.0086 3.0073e-008�

2 :95�

1000 6.8813e-004 1.5414e-007 0.0044 1.5606e-008�4 :98

�500 0.0032 7.8400e-007 0.0091 3.3945e-008�

4 :98�

1000 7.0476e-004 3.1640e-007 0.0044 1.5809e-008

Tabla 3

Sesgo���

�0N �GMM �GMM �CMM �CMM

�2 :95

�500 0.0778 -0.0017 -3.4662 -0.0080�

2 :95�

1000 0.0761 -0.0017 -3.4714 -0.0080�4 :98

�500 0.1517 -0.0016 -5.8275 -0.0124�

4 :98�

1000 -1.9222 -0.0317 -5.8213 -0.0124

Tabla 4

MSE���

�0N �GMM �GMM �CMM �CMM

�2 :95

�500 0.0068 3.1514e-006 12.0234 6.4818e-005�

2 :95�

1000 0.0065 3.0160e-006 12.0553 6.4749e-005�4 :98

�500 0.0262 3.3459e-006 33.9683 1.5462e-004�

4 :98�

1000 3.6954 0.0010 33.8916 1.5468e-004

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Tabla 5

Porcentaje de Rechazos

Signi�cancia���

�0N 90% 95% 99%

�2 :95

�500 85.2% 94.8% 99.2%�

2 :95�

1000 88.8% 95.3% 99.6%�4 :98

�500 86.2% 93.2% 98.8%�

4 :98�

1000 89.4% 94.7% 98.9%

3.1. � = 2 � = :95 N=500

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3.2. � = 2 � = :95 N=1000

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3.3. � = 4 � = :98 N=500

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3.4. � = 4 � = :98 N=1000

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4. Ap�endice

4.1. Matriz de Transici�on

El algoritmo que utilizamos para la construcci�on de la Matriz de Tran-

sici�on fue el que se propuso en la clase, primero se construy�o la serienCt+1Ct

o2007�11t=1966�03

,

se orden�o de menor a mayor con la intenci�on de econtrar, primero, los cuar-tiles, despu�es, se encontraron los octiles que en la siguiente secci�on identi�-caremos como el vector �. Los resultados son los siguientes.

T =

2664b�1;1 b�1;2 b�1;3 b�1;4b�2;1 b�2;2 b�2;3 b�2;4b�3;1 b�3;2 b�3;3 b�3;4b�4;1 b�4;2 b�4;3 b�4;4

3775 =26640:184 0:216 0:248 0:3440:208 0:24 0:32 0:2320:216 0:288 0:288 0:20:384 0:248 0:144 0:232

3775Donde la entrada b�i;j representa la probabilidad de pasar al estado j

dado que se estuvo en el estado i.

4.2. Precios

Utilizando los octiles relevantes, dados por el vector,

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� =

2664�1�2�3�4

3775 =26640:9961353631:0005602671:0035319731:007092525

3775y siguiendo la ecuaci�on

Pi;t+1 = �Eth(Ct+1Ct

)��i= �

4Xi=1

(�i)��b�i;j

Se encontr�o el vector de precios,

P =

2664P1;tP2;tP3;tP4;t

3775 =26640:9617004440:9719262720:9654166730:984856391

3775Dados los precios, y considerando el hecho de que Rt =

1Pt, es posible

encontra la tasa de inter�es,

Rt =

2664R1R2R3R4

3775 =26641:0398248291:0288846271:0358221771:015376464

3775

4.3. Datos

La raz�on Ct+1Ct

fue construida a partir de una una serie para el gastopersonal mensual en consumo (PCEC96). La fuente es la base de datos de laSt. Louis Federel Reserve. Las unidades de la serie son billones de d�olares(1000000000 d�olares) y est�an en t�erminos agregados, as�� que utilizando unaserie de poblaci�on (POPTHM ) de la misma fuente se construy�o el consumoper c�apita.

5. Bibliograf��a

1. (2004) Dominguez M. y Lobato, I., Consistent Estimation of ModelsDe�ned by Conditional Moments Restrictions. Econometrica, Vol 72,N�um 5.

2. (2008) Lobato I., Trabajo Emp��rico, Notas de clase Microeconometr��aAvanzada.

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3. St. Louis Federel Reserve, PCEC96, http://research.stlouisfed.org/fred2/series/PCEC96.

4. St. Louis Federel Reserve, POPTHM, http://research.stlouisfed.org/fred2/series/POPTHM.