Capítulo 16

Estatística Não-paramétrica

16-1 Introdução

Os procedimentos descritos neste capítulo são competidores dos Procedimentos paramétricos t e F.

16-2 O TESTE DOS SINAIS

16-2.1 Uma Descrição do Teste dos Sinais

O teste dos Sinais é usado para o teste de hipóteses sobre a mediana de uma distribuição contínua. É utilizado no lugar do teste t paramétrico da média.

~

5,0)~X(P)~X(P

01

00~~:H

~~:H

Exemplo 16- 1

Montgomery, Peck e Vining (2001) relatam um estudo no qual um motor de foguete é feito pela união de um propulsor de explosão e um propulsor de manutenção dentro de uma cápsula de metal. A força de resistência ao cisalhamento da união dos dois tipos de propulsores é uma característica importante. A Tabela 16-1 mostra os resultados de teste de 20 motores selecionados aleatoriamente. Gostaríamos de testar a hipótese de que a força de cisalhamento mediana é de 2000 psi ao nível de significância de 5%

2000~:

2000~:

1

0

H

H

Hipóteses

Sinais positivos: R+= 14 Sinais negativos: R-= 6

Menor entre R+ e R-

R = mín(R+, R-) R = mín(14, 6) = 6

Observação i Xi Xi - 2000 Sinal

1 2158,70 158,70 +

2 1678,15 -321,85 -

3 2316,00 316,00 +

4 2061,30 61,30 +

5 2207,50 207,50 +

6 1708,30 -291,70 -

7 1784,70 -215,30 -

8 2575,10 575,10 +

9 2357,90 357,90 +

10 2256,70 256,70 +

11 2165,20 165,20 +

12 2399,55 399,55 +

13 1779,80 -220,20 -

14 2336,75 336,75 +

15 1765,30 -234,70 -

16 2053,50 53,50 +

17 2414,40 414,40 +

18 2200,50 200,50 +

19 2654,20 654,20 +

20 1753,70 -246,30 -

Tabela 16-1 Dados da força de cisalhamento

de propulsores.

56 *

05,0 RR

Portanto, como R = 6 não é menor ou igual a R*0,05 = 5, não podemos rejeitar a hipótese nula de que a força de cisalhamento mediana seja de 2000 psi.

520

5

05,00\

n

5*

05,0 R

Tabela X – Valores críticos para o teste dos sinais.

Empates no teste dos sinais

Quando ocorre empate entre algum valor do conjunto de dados e a mediana, o valor é descartado, aplicando-se o teste dos sinais nos dados restantes.

Hipóteses alternativas unilaterais

01

00~~:H

~~:H

Rejeita-se H0 se *RR

01

00~~:H

~~:H

Rejeita-se H0 se *RR

Nesses casos, o Nível de significância é a metade do apresentado na tabela X

Distribuição Binomial

Observa-se que R é uma variável aleatória que segue a distribuição binomial, então é possível testar a hipótese de interesse, calculando diretamente um Valor P da distribuição binomial. Quando é verdadeira, R tem uma distribuição binomial com parâmetros n = 20 e p = 0,5. Assim, a probabilidade de observar seis ou menos sinais negativos em uma amostra de 20 observações é

200~:H0

058,0)5,0(5,0r

20)6R(P r20r

6

0r

Como o valor P = 0,058 não é menor que o nível de significância = 0,05 desejado, não podemos rejeitar a hipótese nula psi200~:H0

16-2.2 O teste dos sinais para amostras emparelhadas

Exemplo 16-2

Um engenheiro de automóveis está estudando dois tipos de aparelhos de medida por um sistema de injeção eletrônica a fim de determinar se eles diferem em seus desempenhos de milhagem de combustível. O sistema é instalado em 12 carros diferentes, e um teste é realizado com cada sistema de medida em cada carro. Os dados do desempenho da milhagem de combustível, as diferenças e seus sinais, são mostrados na tabela 16-2.

Aparelho de Medição

1 2 Diferença, Dj Sinal

17,6 16,8 0,8 +

19,4 20 -0,6 -

19,5 18,2 1,3 +

17,1 16,4 0,7 +

15,3 16 -0,7 -

15,9 15,4 0,5 +

16,3 16,5 -0,2 -

18,4 18,0 0,4 +

17,3 16,4 0,9 +

19,1 20,1 -1,0 -

17,8 16,7 1,1 +

18,2 17,9 0,3 +

16-2 Desempenho dos Aparelhos de Medição de fluxo

R+ = 8 R- = 4

R = min (R+ , R- )

R = min (8, 4) = 4

R+ = 8 R- = 4 R = min (R+ , R- ) = min(8, 4) = 4

Tabela X – Valores críticos para o teste dos sinais

Como R = 4 não é menor que R*0,05 = 2, não podemos rejeitar a hipótese nula de que os dois aparelhos de medição resultem no mesmo desempenho de milhagem de combustível

212

5

05,00\

n

R*0,05 = 2

24 *

05,0 RR

16-3 O TESTE DOS POSTOS COM SINAIS DE WILCOXON

16-3.1 Uma descrição do teste para uma amostra

Exemplo 16-3

Para ilustrar o teste dos postos com sinais de Wilcoxon considere os dados da força de cisalhamento de propulsores apresentados na tabela 16-1

Observação i Xi - 2000

Posto com sinal

16 +53,50 +1

4 +61,30 +2

1 +158,70 +3

11 +165,20 +4

18 +200,50 +5

5 +207,50 +6

7 -215,30 -7

13 -220,20 -8

15 -234,70 -9

20 -246,30 -10

10 +256,70 +11

6 -291,70 -12

3 +316,00 +13

2 -321,85 -14

14 +336,75 +15

9 +357,90 +16

12 +399,55 +17

17 +414,40 +18

8 +575,10 +19

19 +654,20 +20

R+ = ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5+ 6 + 11 +13 +15 +16 +17+ 18 +19 +20) = 150

R- = ( 7 + 8 +9 +10 + 12 + 14) = 60

R = min(R+ , R-

) = min(150 , 60 ) = 60

2000~:

2000~:

1

0

H

H

Hipóteses

Como R = 60 excede a R*0,05 = 52, não podemos rejeitar a hipótese nula de que a força de cisalhamento média (ou mediana, uma vez que se supõe que as populações sejam simétricas) seja de 2000 psi.

Tabela XI – Valores críticos para o teste

de Postos com sinais de Wilcoxon.

5220

4

05,00\

n

R*0,05 = 52

16-3.3 Observações emparelhadas

Exemplo 16-4

Considere os dados sobre os aparelhos de medição de combustível do exemplo 16-2. Os postos com sinais são mostrados a seguir:

Ordem crescente absoluta Carros Diferença

Posto com sinal

7 -0,2 -1

12 0,3 2

8 0,4 3

6 0,5 4

2 -0,6 -5

4 0,7 6,5

5 -0,7 -6,5

1 0,8 8

9 0,9 9

10 -1,0 -10

11 1,1 11

3 1,3 12

5,62

76

R+ = (2 + 3 +4 + 6,5 +8 + 9 +11 +12) =55,5

R- = (1 + 5 + 6,5 + 10) =22,5

R = mín(R+ , R- ) = mín(55,5 ; 22,5 ) = 22,5

Como R = 22,5 excede a R*0,05 = 13, não podemos rejeitar a hipótese nula de que os dois aparelhos de medição resultem no mesmo desempenho de milhagem de combustível

Tabela XI – Valores críticos para o teste

de Postos com sinais de Wilcoxon.

1312

4

05,00\

n

R*0,05 = 13

16-4 O TESTE DA SOMA DOS POSTOS DE WILCOXON

Exemplo 16-5

Está sendo estudado o esforço axial médio em membros extensíveis usados nas estrutura de aeronaves. Duas ligas estão sendo investigadas. A liga 1 é um material tradicional, e a liga 2 é uma nova liga de alumínio e lítio, muito mais leve do que o material padrão. Dez espécimes de cada liga são testados, medindo o esforço axial em psi. Os dados amostrais estão reunidos na ta bela a seguir:

Liga 1 Liga 2

3238 3254 3261 3248

3195 3229 3187 3215

3246 3225 3209 3226

3190 3217 3212 3240

3204 3241 3258 3234

Ordem crescente

R1 = (2 + 3 +4 + 8 + 9 + 11 + 13 + 15 + 16 + 18) = 99 R2 = n1 (n1 + n2 + 1) - R1

n1 = n2 = 10

R2 = 10 (10 + 10 + 1) - 99 = 111

Soma menor dos postos

Número da liga Tensão Axial Posto

2 3187 1

1 3190 2

1 3195 3

1 3204 4

2 3209 5

2 3212 6

2 3215 7

1 3217 8

1 3225 9

2 3226 10

1 3229 11

2 3234 12

1 3238 13

2 3240 14

1 3241 15

1 3246 16

2 3248 17

1 3254 18

2 3258 19

2 3261 20

Como nem R1 nem R2 são menores do que R*0,05 = 78, não podemos rejeitar a hipótese nula de que ambas as ligas mostrem o mesmo esforço axial médio.

Tabela XI – Valores críticos para o Teste de Wilcoxon de duas amostras

R*0,05

7810

4

102\ 12

nn

R*0,05 = 78

16-5 MÉTODOS NÃO-PARAMÉTRICOS NA ANÁLISE DE VARIÂNCIA 16-5.1 O este de Kruskall -Wallis

a210 :H

iijiij

n,2,,1j

a,,2,1iy

Estatística do teste Fórmula Alternativa Para a = 3 grupos e ni 6 para i = 1, 2, 3, ou para a > 3 e ni 5 para i = 1,2 ,. . .,a, K tem proximadamente

distribuição qui-quadrado com a-1 graus de

liberdade. Rejeita-se H0 se

2a

1i.ii

2

1NRn

)1N(N

12K

)1N(3ni

R

)1N(N

12K

a

1i

2.i

21a,

K

Empates no teste de kruskall –Wallis Quando houver empate entre as observações no teste de Kruskall Wallis, deve-se associar um posto médio a cada uma das observações empatadas. Nesse caso a Estatística do teste será:

4

)1N(N

ni

R

S

1K

2a

1i

2.i

2

a

1i

n

1j

22ij

2j

4

)1N(NR

1N

1S

Exemplo 16-6

Em Design and Analysis of experiments, 5ª Edição (John Wiley & Sons, 2001), D. C. Montgomery apresenta dados de um experimento no qual cinco níveis diferentes de conteúdo de algodão em uma fibra sintética foram testados para determinar se o conteúdo de algodão tem um efeito sobre a força de tração da fibra. Os dados amostrais e os postos desse experimento estão na tabela 16-3.

23

321

73

876

5,9

2

109

5,122

1312

5,16

4

18171615

5,20

4

22212019

Porcentagem de algodão

15 20 25 30 35

Y1j R1j Y2j R2j Y3j R3j Y4j R4j Y5j R5j

7 2 12 9,5 14 11,0 19,25 20,5 7 2

7 2 17 14 18 16,5 22 25 10 5

15 12,5 12 9,5 18 16,5 19 23 11 7

11 7 18 16,5 19 20,5 23 20,5 15 12,5

9 4 18 16,5 19 20,5 24 11 7

Rj. 27,5 66,0 85 113 33,5

Como há empates entre as observações usaremos

a

1i

n

1j

22ij

2j

4

)1N(NR

1N

1S

03,534

)26(2579,5497

24

1S

22

79,549775,1222R 2222a

1i

n

1j

2ij

j

4

)1N(N

ni

R

s

1K

2a

1i

2.i

2

52455

5,33

5

113

5

85

5

66

5

5,27

n

R 22222a

1i i

2.i

25,194

)26(255245

03,53

1K

2

Como , rejeita-se H0 e conclui-se que os tratamentos diferem.

28,13K 24;01,0