246
 © 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Vector Mechanics for Engineers: Statics  S  e v  e  t   h E  d i     t   i     o n  © 2009  Ing . Íta lo Mendoza, UNE MI  V ector es mecá nicos para Ingenie ros: Estática MECANICA TEORICA I (ESTATICA) INGENIERÍA INDUSTRIAL: MENCIÓN MANTENIMIENTO INDUSTRIAL ASIGNATUR A: Me nic a cnica I  NÚMERO DE HORAS SEMANALES: 3 Horas PROFESOR: In g. Mecánico Italo Mendo za Haro, Mba HORA RI O: Lunes de 21 H1 0- 22 H00 (1 Ho ra ) Miércoles de 20H20- 22 H00 (2 Horas ) BIBLIOGRAFÍA: 1. Mecánica vectorial para ingeniero s de Fe rd inand P. Beer y E. Russell Johnston 2. Mecánica para ingenieros de Ferdinand L. Singer  3. Dinámica de J. L. Meriam

ESTATICA ESPAÑOL

Embed Size (px)

Citation preview

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: Esttica MECANICA TEORICA I (ESTATICA) INGENIERA INDUSTRIAL: MENCIN MANTENIMIENTO INDUSTRIAL ASIGNATURA: Mecnica Tcnica I NMERO DE HORAS SEMANALES: 3 Horas PROFESOR: Ing. Mecnico Italo Mendoza Haro, Mba HORARIO: Lunes de 21H10-22H00 (1 Hora) Mircoles de 20H20-22H00 (2 Horas) BIBLIOGRAFA: 1. Mecnica vectorial para ingenieros de Ferdinand P. Beer y E. Russell Johnston 2. Mecnica para ingenieros de Ferdinand L. Singer 3. Dinmica de J. L. Meriam 2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: Esttica

MECANICA TEORICA I (ESTATICA) Italo Mendoza H. Ingeniero mecnico, ESPOL. Ao 1986. Mba. Administracin y Direccin de Empresas. UTEG Universidad Tecnolgica Empresarial de Guayaquil, Ao 2008 Supervisor de fbrica. Sociedad Agrcola e Industrial San Carlos. (1986-1991) Jefe de planta. Fbrica de caramelos y galletas Guayaquil Loor Rigal (1991-1993) Director de mantenimiento en fabrica de Compaa Azucarera Valdez S.A. desde el ao 1993. Catedrtico en el SECAP (1985) Catedrtico en la Escuela Superior Naval (1984-1993) Catedrtico en la UNEMI desde el ao 2006

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: Esttica MECANICA TEORICA I (ESTATICA)PROCEDIMIENTO DE EVALUACIONES Las pruebas de aportes y especialmente las evaluaciones finales tienen que ser documentadas; es decir, escritas a base de preguntas y respuestas valorativas cuantificables. MECANICA TEORICA I INGENIERA INDUSTRIAL MENCIN MANTENIMIENTO INDUSTRIAL. Se tomaran 4 evaluaciones/15 puntos en el semestre = 60 puntos Se tomara 1 evaluacin final/40 puntos en el semestre = 40 puntos Total .. = 100 puntos Las evaluaciones sobre 15 puntos estad divididas: 5 puntos de asistencia a clases; 5 puntos por actuacin en clase, y participacin en charlas seminarios y visita industriales; 5 puntos de deberes y lecciones Alumnos con puntajes < 34/100 puntos pierden el semestre Alumnos con puntajes (35-64)/100 puntos con opcin recuperacin Alumnos con puntajes (65-100)/100 aprobados

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaMECANICA TEORICA I (ESTATICA)LAS EVALUACIONES SOBRE 15 PUNTOS TIENEN LA SIGUIENTE PLANIFICACIN Evaluacin sobre capitulo 2:Esttica de la Partcula; fecha: Mircoles, 24 de Jun./09 Evaluacin sobre capitulo 3: Cuerpos rgidos: Sistemas equivalentes de fuerza; fecha: Mircoles, 29 de Jul./09 Evaluacin sobre capitulo 4: Equilibrio de cuerpos rgidos; Fecha: Mircoles, 26 de Agost./09 Evaluacin sobre capitulo 5:Fuerzas distribuidas: Centroides y centros de gravedad; Fecha: Mircoles, 09 Sept./09. Evaluacin sobre capitulo 6 y 7: Anlisis d estructuras y fuerzas en vigas y cables; Fecha: Mircoles,30 Sept./09. Evaluacin sobre Capitulo 8: Ficcin : Fecha: Mircoles, 07 de Octubre/09

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaMECANICA TEORICA I (ESTATICA)OBJETIVOS DEL CURSOLiderar la investigacin y la enseanza. Adems de producir los futuros lideres de la industria, universidad, gobierno y la sociedad cuya perspectiva se sustente en el conocimiento fundamental, las capacidades, creatividad, la amplitud de miras y tica. Intentamos desarrollar la ciencia y combinar el conocimiento bsico con la aplicacin innovadora de los principios de ingeniera, tratamos de enriquecer nuestros programas educativos. Nuestra misin preparar estudiantes para unas trayectorias profesionales que requieran alta tecnologa y liderazgo. En la parte tcnica esta asignatura suministra al estudiante los conocimientos de las leyes y teoras que gobiernan el equilibrio de los cuerpos sujetos a la accin de sistemas de fuerzas que no producen aceleracin. En la parte de la esttica se instruye al estudiante sobre las condiciones de los cuerpos materiales en equilibrio, sometidos a la accin de fuerzas externas.

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaCAPITULO # 1 INTRODUCCIN

QU ES LA MECNICA? CONCEPTOS FUNDAMENTALES PRINCIPIOS FUNDAMENTALES SISTEMA DE UNIDADES MTODOS DE SOLUCIN DE PROBLEMAS PRECISIN NUMRICA

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

1-6

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: Esttica SYLLABUS ASIGNATURA MECANICA TEORICA I.pdf

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

1-7

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaQu es la Mecnica? Mecnica es la ciencia que describe y predice las condiciones de reposo o movimiento de los cuerpos sometidos a la accin de fuerzas. Categoras de la mecnica: - Cuerpos rgidos Esttica Dinmica - Cuerpos deformables Fludos. La mecnica es una ciencia aplicada, no es una ciencia abstracta o pura pero no tiene fundamentos empiricos en otras ciencias de la ingeniera. La mecnica es el fundamento de otras ciencias y es un prerequisito indispensable para el studio de ellas 2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies, 1-8

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaConceptos Fundamentales Espacio Asociado con la nocin de la posicin de un punto P dado enterminos de tres coordenadas medidas desde un punto de referncia u origen.

Tiempo Definicin de un evento que requiere de especificacin de tiempo y posicin para el cual este ocurre. Masa Usado para caracterizar y comparar cuerpos, ejemplo, Responde a la atraccin gravitacional de la Tierra y su resistencia a los cambios en el ovimiento de traslacin. Fuerza Representa la accin de cuerpo sobre otro. Una fuerzaes caracterizada por este punto de aplicacin, magnitud, y direccin, ejemplo, Una fuerza es una cantidad vectorial.En Mecnica newtoniana, El espacio, Tiempo y masa son concepos absolutos, independiente el uno del otro. Fuerza, sin embargo, no es independiene de los estos tres conceptos. La fuerza actua que sobre un cuerpo es relativa de masa de el cuerpo y de la variacin de su velocidad con el tiempo. 2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies, 1-9

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaEl estudio de la mecnica elemental reposa en seis principios fundamentales basados en la evidencia experimental. La ley del paralelogramo para suma de fuerzas. Esta ley establece que dos fuerzas que actan sobre una partcula pueden ser reemplazadas por una sola, llamada resultante, dada por la diagonal del paralelogramo que tiene lados iguales a las fuerzas dadas. Principio de transmisibilidad. Establece que las condiciones de equilibrio o de movimiento de un cuerpo rgido permanece inmodificables si una fuerza que acta en un punto dado del cuerpo rgido es reemplazada por otra de igual magnitud e igual direccin, pero que acta en un punto diferente, con la condicin que las dos fuerzas tengan la misma lnea de accin.

Parallelogram Law

Principio de la Transmisibilidad

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

1 - 10

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaPrincipales fundamentos Las tres leyes fundamentales de Newton. Formuladas por Sir Isaac Newton al final del siglo XVII; estas leyes pueden ser establecidas as:

Primera Ley de Newton: Si las fuerzas resultantes sobre una partcula es cero, la partcula permanecera en reposo o continuara movindose en una lnea recta (si originalmente estaba en moviento). Segunda Ley de Newton: Una partcula tiene una aceleracin proporcional a la masa resultante aplicado a la fuerza.

F

ma

Tercera Ley de Newton: Las fuerzas de accin y reaccin entre cuerpos en contacto tienen la misma magnitud, la misma lnea de accin y sentidos opuestos. Ley de la Gravitacin de Newton: Establece que dos partculas de masas M y m se atraen mutuamente con fuerzas iguales y opuestas F y F de magnitud F dada por la formula

F

G

Mm r2

W

mg ,

g

GM R21 - 11

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaSistema de Unidades El Sistema internacional de Unidades (SI): Las unidades bsicas son la longitud, tiempo, y masa que se definen arbitrariamente como el metro (m), segundo (s), y kilogramo (el kg). la Fuerza es la unidad derivada,

Las Unidades cinticas: la longitud, tiempo, masa, y fuerza.

F ma

m Pueden definirse tres de las unidades 1 N 1 kg 1 2 cinticas, llamado las unidades s bsicas, arbitrariamente. La cuarta Las Unidades personalizadas americanas: unidad, llamado una unidad Las unidades bsicas son la longitud, derivada, debe tener una definicin tiempo, y fuerza que se definen compatible con la 2 Ley de Newton, arbitrariamente como el pie (el pie), segundo (s), y libra (el lb). la Masa es la F maunidad derivada,m 1slug 2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

F a 1 lb 1 ft s1 - 12

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaMtodo para solucin de problemas Un problema en mecnica debe abordarse de la misma manera en que se planteara un problema real de ingeniera. Si se toma como base la experiencia y la intuicin propias, ser ms fcil entender y formular el problema. Sin embargo, una vez que el problema se ha establecido en forma clara, no hay sitio para suposiciones particulares. La solucin se debe basar en los seis principios fundamentales establecido en los teoremas derivados de estos. Cada paso debe estar justificado con estas bases. Deben seguirse reglas estrictas que conduzcan a la solucin de una manera casi automtica, sin dejar lugar para la intuicin o sentimientos particulares. Despus de obtener una respuesta , sta debe verificarse. Aqu, de nuevo, se puede utilizar el sentido comn y la experiencia personal. Si el resultado obtenido no es completamente satisfactorio, debe verificarse en forma cuidadosa la formulacin del problema, la validez del mtodo utilizado para la solucin y la exactitud de los clculos. 2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies, 1 - 13

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaMetodo para solucin de un problema Planteamiento del problema:

Comprobacin de resultados: Debe ser claro y preciso y contener - La prueba para los errores razonando datos proporcionados, e informacin verificando que las unidades de los requerida. Anexar dibujos con medidas resultados computados son correctas, - la prueba para los errores en el cmputo sustituyendo los datos dados y comput los resultados en ecuaciones previamente sin usar basadas en los seis principios, - siempre aplica experiencia y la intuicin fsica para evaluar si los resultados parecen razonable

Diagrama de cuerpo libre: Mostrar un dibujo como diagramas de cuerpos libres en donde deben esta bien definidas las fuerzas que actan sobre l. Principios fundamentales: Los seis principios fundamentales se aplican para expresar las condiciones de resto o movimiento de cada cuerpo. Se aplican las reglas de lgebra para resolver las ecuaciones para las cantidades desconocidas.

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

1 - 14

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaLa exactitud numrica La exactitud de la solucin depende de 1) de la exactitud de los datos, y, 2) de la exactitud de interpretacin de los resultados de las computadoras. La solucin no puede ser ms exacto que el menos exacto de estos dos. El uso de calculadoras de la mano y computadoras generalmente hace la exactitud de los cmputos muy mayor que la exactitud de los datos. De, la exactitud de la solucin est normalmente limitada por la exactitud de los datos. Como una regla general por disear los problemas, los datos son raramente conocidos con una exactitud mayor que 0.2%. Por consiguiente, es normalmente apropiado grabar parmetros que empiezan con 1 con cuatro dedos y con tres dedos en todos los otros casos, es decir, 40.2 lb y 15.58 lb.

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

1 - 15

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaEl sistema de informaciones y el mantenimientoHay cuatro volmenes de tapa dura, todos del mismo tamao y con el mismo numero de pagina. Las cubiertas y los lomos estn hechos de una tira de 0.4 cm. de ancho. Las paginas de cada uno de los cuatro libros ocupan exactamente 5 cm. de ancho.D.O

D.OD.O D.O

SI UN GUSANO DE PAPEL COMIENZA A COMER EN LA PAGINA UNO DEL PRIMER VOLUMEN Y TERMINA EN LA ULTIMA PAGINAS DEL VOLUMEN 4. CUANTO A VIAJADO?

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

12 - 16

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaCAPITULO # 2 ESTTICA DE PARTCULAS Introduccin Resultantes de dos fuerzas Vectores Adicin de vectores Resultantes de varias fuerzas concurrentes Problema de aplicacin 2.1 Componentes rectngulares de una fuerza. Vectores unitarios Suma de fuerzas por adicin de componentes x y y Problema de aplicacin 2.3 Equilibrio de una partcula Diagramas de cuerpos libres Problema de aplicacin 2.4 Problema de aplicacin 2.6 Componentes rectngulares en el espacio1 - 17

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaIntroduccin El objetivo del presente capitulo es investigar el efecto d las fuerzas que actan sobre las partculas:- Reemplazando multiple fuerzas por una sola fuerza actuando sobre la partcula que tenga el mismo efecto que ellas o. fuerza resultante

- Relaciones entre fuerzas actuandos obre una partcula en un estado de equilibrio. El uso de la palabra partcula no significa que este captulo se limite a pequeos corpsculos. Quiere decir que el tamao y la forma d los cuerpos en consideracin no afectar en la solucin de los problemas tratados en este capitulo, y que todas las fuerzas ejercidas sobre el cuerpo dado se supondrn aplicadas en un mismo punto. Puesto que tal suposicin se verifica en muchas aplicaciones prcticas, se podrn resolver un buen nmero de problemas de ingeniera.

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

2 - 18

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaFuerza sobre una partcula. Resultante de dos fuerzas. Fuerza: accin de un cuerposobre el otro; caracterizado por su punto de apicacin, magnitud o mdulo y direccin.

La evidencia experimental. Muestra que el efcto de la combinacin de dos fuerzas puede representarse por una fuerza resultante. La resultante es equivalente a la diagonal de un paralelogramo el cual contiene las dos fuerzas en piernas adyacentes. Fuerza es una cantidad vectorial.

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

2 - 19

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaVectores Vectores: Expresiones matemticas que poseen magnitud, direccin y sentido, los cuales se suman de acuerdo con la ley del paralelogramo Ej: desplazamientos, velocidades, aceleraciones.

Escalar: Parmetro que posee magnitud pero no direccin. Ej: masa,volmen, temperatura.

Clasificacin de los vectores: Vector Fijo o ligado: Vector que acta sobre una partcula que tiene punto de aplicacin definido , a saber, la partcula misma, y no puede cambiar su posicin sin modificar las condiciones del problema. Vectores libres: Pueden moverse libremente en el espacio sin cambiar ellos el efecto sobre un anlisis. Vectores deslizantes: Pueden ser aplicados a los largo de su lnea de accin moviendose o r.ebalando sin afectar el anlisis. Vectores Iguales: Tienen la misma magnitud , sentido y direccin , tengan o no el mismo punto de aplicacin. Vectores negativo: de un vector dado se lo define como de la misma magnitud pero de direccin opuesta al vector dado P y P se los denomina vectores iguales y opuestos. 2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies, 2 - 20

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaSuma de vectores La regla del trapezoide para la suma del vector La regla del tringulo para la suma del vector Ley de los consenos,C B C

R 2 P 2 Q 2 2 PQ cos B R P Q Ley de los senos,

B

sin A Q

sin B R

sin C P

La suma de vectores es conmutativo, P Q Q P Sustraccin de vectores 2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies, 2 - 21

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaSuma de vectores La suma de tres o ms vectores a travs de la aplicacin repetida de la regla del tringulo.

La regla del polgono para la suma de tres o ms vectores.

La suma del vector es asociativa, P Q S P Q S P Q S

La multiplicacin de un vector por un scalar

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

2 - 22

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaEl resultante de Varias Fuerzas Coexistentes Las fuerzas coexistentes: ponga de fuerzas que todo el paso a travs del mismo punto. Un juego de fuerzas coexistentes aplicado a una partcula puede reemplazarse por una sola fuerza del resultante que es la suma del vector de las fuerzas aplicadas.

Los componentes de fuerza de vector: dos o ms vectores de fuerza que, juntos, tenga el mismo efecto como un solo vector de fuerza.

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

2 - 23

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaProblema ejemplo 2.1SOLUCIN:

El dos acto de fuerzas en una saeta a A. Determine su resultante.

La solucin grfica - construya un paralelogramo con los lados en la misma direccin como P y Q y longitudes en la proporcin. Grficamente evale el resultante que es equivalente en la direccin y proporcional en la magnitud a la diagonal. La solucin trigonomtrica - use la regla del tringulo para la suma del vector junto con la ley de cosenos y ley de senos encontrar el resultante.

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

2 - 24

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaProblema ejemplo 2.1 La solucin grfica - UN paralelogramo con los lados igual a P y Q se dibuja para descascarar. La magnitud y direccin del resultante o de la diagonal al paralelogramo es moderado,

R

98 N

35

La solucin grfica - UN tringulo es arrastrado con P y cabeza-a-cola de Q y para descascarar. La magnitud y direccin del resultante o del tercer lado del tringulo es moderado,

R

98 N

35

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

2 - 25

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaProblema ejemplo 2.1 La solucin trigonomtrica - Aplique la regla del tringulo. De la Ley de Cosenos,R2 P2 Q2 40N 2R 97.73 N

2 PQ cos B 60N 2 2 40N 60N cos155

De la Ley de Senos,sin A Q sin B R Q R 60N 97.73N

sin A sin B

sin 155 A 15.04 20 A 35.04 2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

2 - 26

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaProblema ejemplo 2.2SOLUCIN: Encuentre una solucin grfica aplicando la Regla del Paralelogramo para la suma del vector. El paralelogramo tiene los lados en las direcciones de las dos sogas y una diagonal en la direccin del eje de la barcaza y longitud proporcional a 5000 lbf.

Un lanchn es arrastrado por dos remolcadores. Si la resultante de las fuerzas ejercidas por los remolcadores es una fuerza de 5000 lb dirigida a lo largo del eje del lanchn. Determine: a) La tensin en cada una de las cuerdas, sabiendo que = 45o, b) El valor de tal que la tensin en la cuerda 2 sea mnima.

Encuentre una solucin trigonomtrica aplicando la Regla del Tringulo para la suma del vector. Con la magnitud y direccin del resultante conocidas y las direcciones de los otros dos lados paralelo a las sogas, aplique la Ley de Senos para encontrar las tensiones de la soga. El ngulo para la tensin mnima en soga 2 es determinado aplicando la Regla del Tringulo y observando el efecto de variaciones en el .2 - 27

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaProblema ejemplo 2.2 La solucin grfica - la Regla del Paralelogramo con la direccin del resultante conocida y magnitud, direcciones conocidas para los lados.T1 3700 lbf T2 2600 lbf

La solucin trigonomtrica - la Regla del Tringulo con la Ley de SenosT1 sin 45T1 2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

T2 sin 30T2

5000 lbf sin 1052590 lbf2 - 28

3660 lbf

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaProblema ejemplo 2.2 El ngulo para la tensin mnima en soga 2 es determinado aplicando la Regla del Tringulo y observando el efecto de variaciones en . La tensin mnima en soga 2 ocurre cuando T1 y T2 son perpendiculares.T2 T1 5000 lbf sin 30 5000 lbf cos 3090 30

T2 T1

2500 lbf 4330 lbf60

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

2 - 29

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaLos Componentes rectangulares de una Fuerza: Los Vectores de la unidad Pueda reslverse un vector de fuerza en los componentes perpendiculares para el paralelogramo resultante sea un que rectngulo. Fx and F y estn referenciados los componentes del vector rectangulares y

F

Fx

Fy

Define las unidades perpendiculares delos vectores I i and j los cuales son paralelos a los ejes x y y.

Pueden expresarse los componentes del vector como los productos de los vectores de la unidad con las magnitudes del escalar de los componentes del vector. F Fx i Fy j Fx y Fy son referenciados a los componentes del escalar F 2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

2 - 30

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaLa suma de Fuerzas. Sumando los Componentes Desee encontrar el resultante de 3 o las fuerzas ms coexistentes, R P Q S Resulvase cada fuerza en los componentes rectangulares. R x i R y j Px i Py j Qx i Q y j S x i S y j Px Qx S x i Py Q y S y j

Los componentes del escalar resultante son iguales a la suma de los componentes de los escalares correspondientes de las fuerzas dadas. R y Py Q y S y Rx Px Qx S x Fx Fy Para encontrar la magnitud y direccin resultante,2 Rx 2 Ry 1

R

tan

Ry Rx2 - 31

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaProblema ejemplo 2.3SOLUCIN: Resulvase cada fuerza en los componentes rectangulares.

Determine los componentes del resultante agregando los componentes de fuerza correspondientes.Cuatro acto de fuerzas en la saeta A cuando mostrado. Determine el resultante de la fuerza en la saeta. Calcule la magnitud y direccin del resultante.

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

2 - 32

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaProblema ejemplo 2.3SOLUCIN: Resulvase cada fuerza en los componentes rectangulares.

force mag F1 150 F2 80 F3 110 F4 100

x comp 129.9 27.4 0 96.6

y comp 75.0 75.2 110.0 25.9

Rx

199.1 R y

14.3

Determine los componentes del resultante agregando los componentes de fuerza correspondientes. Calcule la magnitud y direccin.

R

tan

199.12 14.32 14.3 N 199.1 N

R 199 .6 N 4 .12 - 33

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaEl equilibrio de una Partcula Cuando el resultante de todo las fuerzas que actan en una partcula es el cero, la partcula est en el equilibrio. La Primera Ley de newton: Si la fuerza del resultante en una partcula es el cero, la partcula permanecer en reposo o continuar a la velocidad constante en una lnea recta.

Particle acted upon by two forces: - equal magnitude - same line of action - opposite sense

Particle acted upon by three or more forces: - graphical solution yields a closed polygon - algebraic solution R F 0

Fx

0

Fy

02 - 34

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: StaticsBibliografa ser Sir Isaac Newton Isaac Newton naci en las primeras horas del 25 de diciembre de 1642 (4 de enero de 1643, segn el calendario gregoriano), en la pequea aldea de Woolsthorpe, en el Lincolnshire. Su padre, un pequeo terrateniente, acababa de fallecer a comienzos de octubre, tras haber contrado matrimonio en abril del mismo ao con Hannah Ayscough, procedente de una familia en otro tiempo acomodada. Cuando el pequeo Isaac acababa de cumplir tres aos, su madre contrajo de nuevo matrimonio con el reverendo Barnabas Smith, rector de North Witham, lo que tuvo como consecuencia un hecho que influira decisivamente en el desarrollo del carcter de Newton: Hannah se traslad a la casa de su nuevo marido y su hijo qued en Woolsthorpe al cuidado de su abuela materna. Del odio que ello le hizo concebir a Newton contra su madre y el reverendo Smith da buena cuenta el que en una lista de pecados de los que se autoinculp a los diecinueve aos, el nmero trece fuera el haber deseado incendiarles su casa con ellos dentro. Cuando Newton contaba doce aos, su madre, otra vez viuda, regres a Woolsthorpe, trayendo consigo una sustanciosa herencia que le haba legado su segundo marido (y de la que Newton se beneficiara a la muerte de ella en 1679), adems de tres hermanastros para Isaac, dos nias y un nio.

2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

1 - 35

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaLos Diagramas del libre-cuerpo

El Diagrama espacial: Una exhibicin del boceto las condiciones fsicas del problema.

El Diagrama del libre-cuerpo: Una exhibicin del boceto slo las fuerzas en la partcula seleccionada.

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

2 - 36

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaProblema ejemplo 2.4SOLUCIN: Construya un diagrama del libre-cuerpo para la partcula a la unin de la soga y cable. Aplique las condiciones para el equilibrio creando un polgono cerrado de las fuerzas aplic a la partcula. Aplique las relaciones trigonomtricas para determinar las magnitudes de fuerza desconocidas.

En un funcionamiento de la enviardescarga, un 3500-lb automvil se apoya por un cable. Una soga se ata al cable y tir para centrar el automvil encima de su posicin intencional. Cul es la tensin en la soga?

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

2 - 37

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaProblema ejemplo 2.4SOLUCIN: Construya un diagrama del libre-cuerpo para la partcula a A. Aplique las condiciones para el equilibrio. Resuelva para las magnitudes de fuerza desconocidas.

TAB sin 120T AB

TAC sin 2

3500 lb sin 58

3570 lb

TAC

144 lb

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

2 - 38

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaProblema ejemplo 2.6SOLUCIN: Escogiendo la cscara como el cuerpo libre, dibuje un diagrama del libre-cuerpo.

Exprese la condicin para el equilibrio para la cscara escribiendo que la suma de todo las fuerzas debe ser el cero. Se deseaba determinar el arrastre la fuerza a una velocidad dada en una cscara de barca de vela de prototipo. Un modelo se pone en un cauce de la prueba y se usan tres cables para encuadrar su inclinacin en el lnea central del cauce. La tensin es 40 lb en el cable AB y 60 lb en el cable para una velocidad dada, AE.Determine el arrastre fuerza ejercida en la cscara y la tensin en el CA del cable. 2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies, 2 - 39

Resulvase la ecuacin de equilibrio de vector en dos ecuaciones del componente. Resuelva para las dos tensiones del cable desconocidas.

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaProblema ejemplo 2.6SOLUCIN: Escogiendo la cscara como el cuerpo libre, dibuje un diagrama del libre-cuerpo.tan 7 ft 1.75 4 ft 60.25tan 1.5 ft 0.375 4 ft 20.56

Exprese la condicin para el equilibrio para la cscara escribiendo que la suma de todo las fuerzas debe ser el cero. R T AB T AC T AE FD 0

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

2 - 40

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaProblema ejemplo 2.6 Resulvase la ecuacin de equilibrio de vector en dos ecuaciones del componente. Resuelva para las dos tensiones del cable desconocidas. T AB 40 lb sin 60.26 i 40 lb cos 60.26 j 34.73 lb i 19.84 lb j T AC T AC sin 20.56 i T AC cos 20.56 j 0.3512T AC i 0.9363T AC j T 60 lb i FD FD i R 0 34.73 0.3512T AC 19.84 0.9363T AC 2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

FD i 60 j2 - 41

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaProblema ejemplo 2.6 R 0 34.73 0.3512T AC FD i 19.84 0.9363T AC 60 j

Esta ecuacin slo est satisfecha si cada componente del resultante es igual poner a ceroFx Fy 0 0 0 34.73 0.3512T AC FD 60

0 19.84 0.9363T AC

T AC FD

42.9 lb 19.66 lb

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

2 - 42

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaLos Componentes rectangulares en el Espacio

El vector F est contenido en el plano OBAC.

Resuelva F en los Resuelva Fh en los componentes componentes rectangulares horizontales y verticales. Fx Fh cos Fy F cos y F sin cosy

Fh

F sin y

Fy

Fh sin F siny

sin2 - 43

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaLos Componentes rectangulares en el Espacio

Con los ngulos entre F y los ejes,

Fx F

es una unidad vectorian a lo largo de la lnea F , de accin cos x , cos y and cos z y estn la direccin cosena para F 2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies, 2 - 44

F cos x Fy F cos y Fz Fx i Fy j Fz k F cos x i cos y j cos z k F cos x i cos y j cos z k

F cos

z

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaLos Componentes rectangulares en el EspacioLa direccin de la fuerza se define por la situacin de dos puntos, M x1 , y1 , z1 and N x2 , y 2 , z 2 d dx F

vector joining M and N d xi d y j d z k x2 x1 d y y 2 y1 F 1 d xi d y j d z k d Fd y Fd x Fy Fz d d dz z2 z1

Fx 2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

Fd z d2 - 45

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaCAPITULO # 3 CUERPOS RIGIDOS, SISTEMAS EQUIVALENTES DE FUERZAS Introduccin Fuerzas externas e internas Principio de transmisibilidad: Fuerzas equivalentes Producto vectorial de dos vectores Momento de una fuerza con respecto a un punto Teorema de Varignon Componentes rectngulares del momento de una fuerza. Problema de aplicacin 3.1 Producto escalar de dos vectores Triple producto escalar de tres vectores Momento de una fuerza con respecto a un eje dado Problema de aplicacin 3.5 Momento de un par Suma de pares Los pares pueden ser representados por vectores Descomposicin de una fuerza dada en una fuerza aplicada en O y un par de fuerzas Problema de aplicacin 3.6 Reduccin de un sistema de fuerzas a una fuerza y un par Otras reducciones de un sistema de fuerzas Problema de aplicacin 3.6 Problema de aplicacin 3.10

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

1 - 46

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaIntroduccin El tratamiento de un cuerpo como una sola partcula no siempre es posible. En general, el tamao del cuerpo y los puntos especficos de aplicacin de las fuerzas debe ser considerado. Se asume que la mayora de los cuerpos en las mecnicas elementales est rgido, es decir, las deformaciones reales son pequeas y no afectan las condiciones de equilibrio o movimiento del cuerpo. El captulo actual describe el efecto de fuerzas ejercido en un cuerpo rgido y cmo reemplazar un sistema dado de fuerzas con un sistema equivalente ms simple. el momento de una fuerza sobre un punto

el momento de una fuerza sobre un eje el momento debido a una pareja Cualquier sistema de fuerzas que actan en un cuerpo rgido puede reemplazarse por un sistema equivalente que consiste en una fuerza que acta a un punto dado y una pareja. 2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies, 3 - 47

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaLas Fuerzas externas e Interiores Fuerzas que actan en los cuerpos rgidos son dividido en dos grupos:

Las fuerzas externas Las fuerzas interiores Se muestran las fuerzas externas en un diagrama del libre-cuerpo.

Si no oponemos, cada fuerza externa puede impartir un movimiento de traduccin o rotacin, o ambos. 2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies, 3 - 48

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaEl principio de Transmisibilidad: Las Fuerzas equivalentes El principio de Transmisibilidad - las Condiciones de equilibrio o movimiento no son afectado transmitiendo una fuerza a lo largo de su lnea de accin. LA NOTA: F y F ' son las fuerzas equivalentes. Moviendo el punto de aplicacin de la fuerza F al parachoques trasero no afecta el movimiento o las otras fuerzas que actan en el camin.

El principio de transmisibilidad no siempre puede aplicar determinando fuerzas interiores y deformaciones. 2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies, 3 - 49

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaEl Producto del vector de Dos Vectores El concepto del momento de una fuerza sobre un punto se entiende ms fcilmente a travs de las aplicaciones del producto del vector o producto de la cruz.

El producto del vector de dos vectores P y Q se define como el vector V que satisface las condiciones siguientes:1. La lnea de accin de V es perpendicular allanar conteniendo P y Q.

2. La magnitud de V es V

PQ sin

3. La direccin de V se obtiene de la regla diestra. Los productos del vector: no es los commutativa, Q P es distributivo, P Q1 no es asociativo,

P Q

P Q Q2 P Q1 P Q2 S P Q S3 - 50

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaLos Productos del vector: Los Componentes rectangulares Los productos del vector de vectores de la unidad Cartesianos,

i i i

i 0 j k k j

j j j

i j k

k k 0 k i k

i j k

j

i

0

Los productos del vector por lo que se refiere a las coordenadas rectangulares

V

Px i Py j Pz k Qx i Q y j Qz k Py Qz Pz Q y i Pz Qx Px Qz j Px Q y Py Qx k i j k Px Py Pz Qx Q y Qz3 - 51

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaEl momento de una Fuerza Sobre un productos de Pointector por lo que se refiere a las coordenadas rectangulares

Un vector de fuerza se define por su magnitud y direccin. Su efecto en el cuerpo rgido tambin depende de l el punto de aplicacin. El momento de F sobre O se define como MO r F El vector del momento MO es perpendicular al O conteniendo plano y la fuerza F. La magnitud de medidas de MO la tendencia de la fuerza a causar rotacin del cuerpo sobre un eje a lo largo de MO. El sentido del momento puede determinarse por la regla diestra. Cualquier fuerza F ' que tiene la misma magnitud y direccin como F, es equivalente si tambin tiene la misma lnea de accin y por consiguiente, produce el mismo momento. 2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies, 3 - 52

MO

rF sin

Fd

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaEl momento de una Fuerza Sobre un Punto Las estructuras bidimensionales tienen longitud y anchura pero profundidad despreciable y se sujetan a fuerzas contenidas en el avin de la estructura.

El avin de la estructura contiene el punto O y la fuerza F. MO, el momento de la fuerza sobre O es perpendicular al avin. Si la fuerza tiende a girar la estructura en el sentido de las agujas del reloj, el sentido del vector del momento est fuera del avin de la estructura y la magnitud del momento es positivo. Si la fuerza tiende a girar la estructura en sentido contrario a las agujas del reloj, el sentido del vector del momento est en el avin de la estructura y la magnitud del momento es negativo. 2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies, 3 - 53

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaEl Teorema de Varignon El momento sobre un d el punto O del resultante de varias fuerzas coexistentes es igual a la suma de los momentos de los varios momentos sobre el mismo punto O. r F1 F2 r F1 r F2

El Teorema de Varigon lo hace posible reemplazar la determinacin directa del momento de una fuerza F por los momentos de dos o ms componente fuerza de F.

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

3 - 54

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaLos Componentes rectangulares del Momento de una FuerzaEl momento de F acerca de O, M O r F , r xi yj zk F Fx i Fy j Fz k MO M xi M y j M z k i x Fx yFz j y Fy k z Fz zFx xFz j xFy yFx k

zFy i

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

3 - 55

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaLos Componentes rectangulares del Momento de una FuerzaEl momento de F acerca de B, M B rA / B F rA / B F rA x A xB i yA Fx i Fy j Fz k i xA Fx xB yA Fy j yB zA Fz rB j k

yB

zA

zB

MB

k zB

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

3 - 56

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaLos Componentes rectangulares del Momento de una FuerzaPara estructuras de dos dimensiones, M O xFy yFz kMO MZ xFy yFz

MO MO

xA MZ xA

x B Fy x B Fy

yA yA

y B Fz k y B Fz

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

3 - 57

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaProblema ejemplo 3.1Una 100-lb fuerza vertical se aplica al fin de una palanca que se ata a un rbol a O.

Determine:a) el momento sobre O,

b) la fuerza horizontal a A qu crea el mismo momento, c) la fuerza ms pequea a A qu produce el mismo momento,

d) la situacin para un 240-lb vertical obliga a producir el mismo momento, e) si cualquiera de las fuerzas de b, c, y d es equivalente a la fuerza original.

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

3 - 58

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaProblema ejemplo 3.1a) El momento sobre O es igual al producto de la fuerza y la distancia perpendicular entre la lnea de accin de la fuerza y O. que desde que la fuerza tiende a girar la palanca en el sentido de las agujas del reloj, el vector del momento est en el avin del papel.MO d MO Fd 24 in. cos 60 100 lb 12 in. 12 in.

MO

1200 lb in

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

3 - 59

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaProblema ejemplo 3.1c) La fuerza horizontal a A eso produce el mismo momento,d MO 1200 lb in. F 24 in. sin 60 Fd F 20.8 in. 1200 lb in. 20.8 in. 20.8 in.

F

57.7 lb

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

3 - 60

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaProblema ejemplo 3.1c) La fuerza ms pequea A producir el mismo momento ocurre cuando la distancia perpendicular es un mximo o cuando F es perpendicular a OA.MO 1200 lb in. F Fd F 24 in. 1200 lb in. 24 in.

F

50 lb

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

3 - 61

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaProblema ejemplo 3.1d) Determinar el punto de aplicacin de un 240 lb obligan a producir el mismo momento,MO 1200 lb in. d OB cos60 Fd 240 lb d 1200 lb in. 240 lb 5 in. 5 in.

OB 10 in.

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

3 - 62

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaProblema ejemplo 3.1e) Aunque cada uno de las fuerzas en las partes b), c), y d) produce el mismo momento como los 100 lb fuerce, ninguno es de la misma magnitud y se da cuenta de, o en la misma lnea de accin. Ninguno de las fuerzas es equivalente a la 100 fuerza del lb.

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

3 - 63

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaProblema ejemplo 3.4SOLUCIN: El momento que MA de la fuerza que F ejerci por el alambre se obtiene evaluando el producto del vector, M A rC A F

El plato rectangular se apoya por los anaqueles a A y B y por un CD del alambre. Sabiendo que la tensin en el alambre es 200 N, determine el momento sobre A de la fuerza ejercida por el alambre a C. 2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies, 3 - 64

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaProblema ejemplo 3.4SOLUCIN: M A rC A F

rC A F F

rC

rA

0.3 m i rC D

0.08 m j

200 N

MA MA

0.24 m j 0.32 m k 200 N 0.5 m 120 N i 96 N j 128 N k i j k

rC D 0.3 m i

0.3

0

0.08 128 28.8 N m j 28.8 N m k3 - 65

120 96

7.68 N m i

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaEl Producto Escalar de Dos Vectores El producto del escalar o producto del punto entre dos vectores P y Q se define como P Q PQ cos scalar result Los productos de escalar: Es conmutativa, es distributiva, no es asociativa,

P P P

Q Q P Q1 Q2 P Q1 P Q2 Q S undefined

Los productos de escalar con los componentes de la unidad Cartesianos, P Q Px i Py j Pz k Qx i Q y j Qz k i i 1 j j 1 k k 1 i j 0 j k 0 k i 0

P Q P P

Px Q x Px2

Py Q y Py2 Pz2

Pz Q z P23 - 66

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaEl Producto de Escalar de Dos Vectores: Las aplicaciones Oriente entre dos vectores: P Q PQ cos Px Qx Py Q ycos Px Qx Py Q y PQ Pz Qz Pz Qz

La proyeccin de un vector en un eje dado:POL P cos projection of P along OL P Q PQ cos P Q P cos POL Q

Para un eje definido por un vector de la unidad : POL PPx cosx

Py cos

y

Pz cos

z

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

3 - 67

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaMixed Triple Product of Three Vectors El producto triple mezclado de tres vectores, S P Q scalar result Los seis productos triples mixtos formaron de S, P, y Q tienen las magnitudes iguales pero no la misma seal,

S

P Q

P

Q S Q S P S Q P P S Q

Q

P S

Evaluando el producto triple mixto, S P Q S x Py Qz Pz Q y S y Pz QxS z PxyQz Sx Px Qx 2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

Px Qz

Py Qx

Sy Py Qy

Sz Pz Qz3 - 68

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaEl momento de una Fuerza Sobre un Eje Dado El momento MO de una fuerza F aplic al punto A sobre un punto O, MO r F El momento de escalar MOL sobre un eje OL es la proyeccin del vector del momento MO hacia el eje, M OL MO r F Los momentos de F sobre las hachas de la coordenada, M x yFz zFyMy Mz zFx xFy xFz yFx3 - 69

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaEl momento de una Fuerza Sobre un Eje Dado El momento de una fuerza sobre un eje arbitrario, M BL MB rA B F rA B rA rB El resultado es independiente del punto B a lo largo del eje dado.

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

3 - 70

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaProblema ejemplo 3.5Un cubo ha actuado adelante por una fuerza P como mostrado. Determine el momento de P a) sobre A b) sobre el borde AB y c) sobre el AG diagonal del cubo. d) Determine la distancia perpendicular entre AG y FC.

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

3 - 71

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaProblema ejemplo 3.5 El momento de P sobre A, M A rF A P rF A ai a j a i j P P 2i 2j P 2i j MA a i j P 2 i j M A aP 2 i El momento de P sobre AB, M AB i M A i aP 2 i j kM AB aP 2

j k

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

3 - 72

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaProblema ejemplo 3.5 El momento de P sobre el AG diagonal, M AG MA rA G ai aj ak 1 i j k rA G a 3 3 aP MA i j k 2 1 aP M AG i j k i j k 3 2 aP 1 1 1 6M AG aP 6

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

3 - 73

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaProblema ejemplo 3.5 La distancia perpendicular entre AG y FC,

P

P j k 2 0

1 i 3

j k

P 0 1 1 6

Por consiguiente, P es perpendicular a AG.M AG aP 6 Pd

d

a 6

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

3 - 74

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaEl momento de una Pareja Dos fuerzan F y - F que tiene la misma magnitud, las lneas paralelas de accin, y se dice que el sentido opuesto forma a una pareja. El momento de una Pareja, M rA F rB F rA rB F r F M rF sin Fd El vector del momento de la pareja es independiente de la opcin del origen de la coordenada hachea, es decir, es un vector libre que puede aplicarse a cualquier punto con el mismo efecto. 2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies, 3 - 75

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaEl momento de una ParejaDos parejas tendrn los momentos iguales si F1d1F2 d 2

la dos mentira de las parejas en los aviones paralelos, y las dos parejas tienen el mismo sentido o la tendencia a causar la rotacin en la misma direccin.

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

3 - 76

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaSuma de parejas Considere dos aviones cortndose P1 y P2 con cada uno conteniendo a una pareja M 1 r F1 in plane P 1 M 2 r F2 in plane P2 Los resultantes de los vectores tambin forman a una pareja M r R r F1 F2

Por el teorema de Varigon M r F1 r F2 M1 M 2 La suma de dos parejas tambin es una pareja que es igual a la suma del vector de las dos parejas 2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies, 3 - 77

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaLas parejas pueden Ser representadas por los Vectores

Una pareja puede representarse por un vector con la magnitud e igual de la direccin al momento de la pareja.

Una pareja de vectores obedecen la ley de suma de vectores. La pareja de vectores son los vectores libres, es decir, el punto de aplicacin no es significante. La pareja de vectores puede resolverse en los vectores del componente. 2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies, 3 - 78

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaLa resolucin de una Fuerza En una Fuerza a O y una Pareja

La fuerza del vector F simplemente no puede moverse a O sin modificar su accin en el cuerpo. Adjuntando igualmente y fuerza opuesta a los vectores en O no producen una el efecto neto en el cuerpo. Las tres fuerzas pueden reemplazarse por un vector de fuerza equivalente y vector de la pareja, i.e, un sistema del fuerza-pareja,

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

3 - 79

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaLa resolucin de una Fuerza En una Fuerza a O y una Pareja

F mudanza de A a un punto diferente O ' requiere la suma de un vector de la pareja diferente MO M O' r F Los momentos de F sobre O y O ' estn relacionados, M O' r ' F r s F r F s F MO s F

Moviendo el sistema del fuerza-pareja de O a O ' requiere la suma del momento de la fuerza a O sobre O. 2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies, 3 - 80

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaProblema ejemplo 3.6SOLUCIN:

Adjunte igual y en situacin opuesta 20 lb fuerza en la direccin de + x a UN, produciendo a 3 parejas para que los componentes del momento se computan fcilmente por eso.

Alternativamente, compute la suma de los momentos de las cuatro fuerzas sobre un solo punto arbitrario. El punto D es una opcin buena como slo dos de las fuerzas producir non-ceras contribuciones del momento. Determine los componentes de la sola pareja equivalente a las parejas mostradas.

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

3 - 81

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaProblema ejemplo 3.6 Adjunte igual y en situacin opuesta 20 lb fuerza en la direccin de + x a A The three couples may be represented by three couple vectors,Mx My Mz 30 lb 18 in. 20 lb 12 in. 20 lb 9 in. M

540 lb in. 240lb in. 180 lb in. 240lb in. j

540 lb in. i

180 lb in. k

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

3 - 82

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaProblema ejemplo 3.6 Alternativamente, compute la suma de los momentos de las cuatro fuerzas sobre D. Slo las fuerzas al C y E contribuyen al momento sobre D. M M D 18 in. j 30 lb k 9 in. j 12 in. k 20 lb i M 540 lb in. i 240lb in. j

180 lb in. k

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

3 - 83

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaEl sistema de Fuerzas: La reduccin a una Fuerza y Pareja

Un sistema de fuerzas puede reemplazarse por una coleccin de sistemas del fuerza-pareja que actan un punto dado O Pueden combinarse la fuerza y vectores de la pareja en un vector de fuerza de resultante y un vector de pareja de resultante,

R

F

R MO

r F

El sistema del fuerza-pareja a O puede moverse a O ' con la suma del momento de R sobre O ',

R M O'

R MO

s R

Dos sistemas de fuerzas son equivalentes si ellos pueden reducirse al mismo sistema del fuerza-pareja. 2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies, 3 - 84

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaMs all la Reduccin de un Sistema de Fuerzas Si la fuerza del resultante y acopla a O es mutuamente perpendicular, ellos pueden reemplazarse por una sola fuerza que acta a lo largo de una nueva lnea de accin. El sistema de fuerza-pareja de resultante para un sistema de fuerzas ser los si: 1) mutuamente perpendiculares las fuerzas son coexistentes, 2) las fuerzas son los coplanar, o 3) las fuerzas son paralelas.

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

3 - 85

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaMs all la Reduccin de un Sistema de Fuerzas El sistema de fuerzas coplanar se del R reduce a un sistema R and M O de la fuerza-pareja que es mutuamente el perpendicular. El sistema puede reducirse a una sola fuerza moviendo la lnea de accin de R R hasta su momento sobre O se vuelve M O Por lo que se refiere a las coordenadas rectangulares,xR y yRxR MO

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

3 - 86

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaProblema ejemplo 3.8SOLUCIN:

a) Compute la fuerza del resultante por las fuerzas mostradas y el resultante acople para los momentos de las fuerzas sobre A.Para la viga, reduzca el sistema de fuerzas mostrado a (un) un sistema del fuerzapareja equivalente a UN, (b) un sistema de pareja de fuerza equivalente a B, y (c) una sola fuerza o resultante. La nota: Desde que las reacciones de apoyo no son incluido, el sistema dado no mantendr la viga en el equilibrio.

b) Encuentre un sistema del fuerzapareja equivalente a B bas en el sistema del fuerza-pareja a A.c) Determine el punto de aplicacin para la fuerza del resultante tal que su momento sobre A es igual a la pareja del resultante a A.

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

3 - 87

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaProblema ejemplo 3.8SOLUCIN: a) Compute la fuerza del resultante y el resultante acople a A. R F 150 N j 600 N j 100 N j 250 N j R 600 N jR MA r F 1.6 i 600 j 2.8 i 100 j 4.8 i 250 j R MA 1880 N m k

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

3 - 88

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaProblema ejemplo 3.8b) Encuentre un sistema del fuerza-pareja equivalente a B bas en el sistema del fuerzapareja a A. c) La fuerza est inalterada por el movimiento del sistema del fuerza-pareja de A a B.

R

600 N j

La pareja a B es igual al momento sobre B del sistema del fuerza-pareja encuentre a A. R R M B M A rB A R 1880 N m k 4.8 m i 600 N j 1880 N m k 2880 N m k R MB 1000 N m k 2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

3 - 89

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaProblema ejemplo 3.10SOLUCIN: Determine los vectores de la posicin relativos para los puntos de aplicacin del cable fuerza con respecto a A. Resulvase las fuerzas en los componentes rectangulares. Compute la fuerza equivalente, R F Se atan tres cables al anaquel como mostrado. Reemplace las fuerzas con un sistema del fuerza-pareja equivalente a A. Compute a la pareja equivalente, R MA r F

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

3 - 90

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaProblema ejemplo 3.10 Resulvase las fuerzas en los componentes rectangulares. FB 700 N rE B 75 i 150 j 50k175 0.429 i 0.857 j 0.289k 300 i 600 j 200k N 1000 N cos 45 i cos 45 j 707 i 707 j N 1200 N cos 60 i cos 30 j 600 i 1039 j N

rE B

FB

SOLUCIN: Determine los vectores de la posicin relativos con respecto a A. rB A 0.075 i 0.050k m rC A 0.075 i 0.050k m rD A 0.100 i 0.100 j m 2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

FC FD

3 - 91

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaProblema ejemplo 3.10 Compute la fuerza equivalente, R F 300 707 600 i 600 1039 j 200 707 k R 1607 i 439 j 507 k N Compute a la pareja equivalente, R MA r F i j k rB A F B 0.075 0 0.050 30i 45k 300 600 200 i j k rC A F c 0.075 0 0.050 17.68 j 707 0 707 i j k rD A F D 0.100 0.100 0 163.9k 600 1039 0R MA 2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

30 i 17.68 j 118 .9k3 - 92

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaCAPITULO # 4 EQUILIBRIO DE CUERPOS RIGIDOS Introduccin Diagrama de cuerpo libre Reacciones en apoyos y conexiones de una estructura bidimensional Equilibrio de un cuerpo rgido en dos dimensiones Reacciones estticamente indeterminadas Problema de aplicacin 4.1 Problema de aplicacin 4.3 Problema de aplicacin 4.4 Equilibrio de un cuerpo sometido a la accin de dos fuerzas Equilibrio de un cuerpo sometido a la accin de tres fuerzas Problema de aplicacin 4.5 Equilibrio de un cuerpo rgido en tres dimensiones Reacciones en apoyos y articulaciones en estructuras tridimensionales. Problema de aplicacin 4.81 - 93

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaIntroduccin Para un cuerpo rgido en el equilibrio esttico, las fuerzas externas y momentos son equilibrados e impartirn ningn translacional o el movimiento rotatorio al cuerpo. La condicin necesaria y suficiente para el equilibrio esttico de un cuerpo es que la fuerza del resultante y acopla del formulario de fuerzas todo externo un sistema equivalente poner a cero, F 0 MO r F 0

Resolvindose cada fuerza y momento en sus componentes rectangulares lleva a 6 ecuaciones del escalar que tambin expresan las condiciones para el equilibrio esttico,Fx Mx 0 0 Fy My 0 0 Fz Mz 0 04 - 94

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaEl Diagrama del libre-cuerpoPrimero camine en el anlisis de equilibrio esttico de un cuerpo rgido es identificacin de todo las fuerzas que actan en el cuerpo con un diagrama del librecuerpo. Seleccione la magnitud del libre-cuerpo y destaqelo de la tierra y todos los otros cuerpos. Indique el punto de aplicacin, magnitud, y direccin de fuerzas externas, incluso el peso del cuerpo rgido. Indique punto de aplicacin y la direccin supuesta de fuerzas aplicadas desconocidas. stos normalmente consisten en reacciones a travs de que los cuerpos molidos y otros oponen el posible movimiento del cuerpo rgido. Incluya las dimensiones necesario computar los momentos de las fuerzas. 2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies, 4 - 95

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaLas reacciones a los Apoyos y Conexiones para una Estructura Bidimensional Las reacciones equivalente a una fuerza con la lnea conocida de accin.

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

4 - 96

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaLas reacciones a los Apoyos y Conexiones para una Estructura Bidimensional Las reacciones equivalente a una fuerza de direccin desconocida y magnitud.

Las reacciones equivalente a una fuerza de direccin desconocida y magnitud y una pareja de magnitud desconocida

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

4 - 97

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaEl equilibrio de un Cuerpo Rgido en Dos Dimensiones Para todo las fuerzas y momentos que actan en una estructura bidimensional, Fz 0 M x M y 0 M z M O Las ecuaciones de equilibrio se vueltas

Fx

0

Fy

0

MA

0

donde A es cualquier punto en el avin de la estructura. Las 3 ecuaciones pueden resolverse para ningn ms de 3 desconocidos. Las 3 ecuaciones no pueden aumentarse con las ecuaciones adicionales, pero ellos pueden reemplazarse Fx 0 MA 0 MB 0 2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies, 4 - 98

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaEstticamente las Reacciones Indeterminadas

Ms desconocidos que las ecuaciones

Menos desconocidos que Los desconocidos del nmero iguales y ecuaciones pero las ecuaciones, inadecuadamente reprimi parcialmente reprimido,4 - 99

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaProblema ejemplo 4.1SOLUCIN: Cree un diagrama del libre-cuerpo para la gra. Determine B resolviendo la ecuacin para la suma de los momentos de todo las fuerzas sobre A. Note no habr ninguna contribucin de las reacciones desconocidas a A. Determine las reacciones a A resolviendo las ecuaciones para la suma de componentes de fuerza todo horizontales y los componentes de fuerza todo verticales. Verifique los valores obtenidos para las reacciones verificando que la suma de los momentos sobre B de todo las fuerzas es el cero.4 - 100

Una gra fija tiene una masa de 1000 kg y se usa para alzar una 2400 kg canasta. Se sostiene en el lugar por un alfiler a A y una mecedora a B. El centro de gravedad de la gra se localiza a G. Determine los componentes de las reacciones a A y B.

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaProblema ejemplo 4.1 Determine B resolviendo la ecuacin para la suma de los momentos de todo las fuerzas sobre A.

MA

0:

B 1.5m

9.81 kN 2m 0

23.5 kN 6m

B

107.1 kN

Cree el diagrama del librecuerpo.

Determine las reacciones a UN resolviendo las ecuaciones para la suma de fuerzas todo horizontales y las fuerzas todo verticales.

Fx AxFy Ay

0 : Ax 107.1 kN

B

0

0 : Ay 9.81kN 23.5 kN 33.3 kN

0

Verifique los valores obtenidos. 2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies, 4 - 101

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaProblema ejemplo 4.3SOLUCIN:

Cree un diagrama del libre-cuerpo para el automvil con el sistema de la coordenada alineado con la huella. Determine las reacciones a las ruedas resolviendo las ecuaciones anteriormente para la suma de momentos sobre los puntos cada eje. Un automvil cargante est en reposo en una huella inclinado. El peso grueso del automvil y su carga es 5500 lb, y est aplicado a en G. que La carreta se sostiene en la posicin por el cable. Determine la tensin en el cable y la reaccin a cada par de ruedas.

Determine la tensin del cable resolviendo la ecuacin para la suma de componentes de fuerza parangone a la huella. Verifique los valores obtenidos verificando que la suma de perpendicular de componentes de fuerza a la huella es el cero.4 - 102

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaProblema ejemplo 4.3 Determine las reacciones a las ruedas.MAR2

0:

2320 lb 25in. R2 50in. 0

4980 lb 6in.

1758 lb

MBR1x

0:

2320 lb 25in. R1 50in. 0

4980 lb 6in.

562 lb

Cree un diagrama del libre-cuerpo Determine la tensin del cable. W 5500 lb cos 254980 lb Wy 5500 lb sin 25 2320 lb 2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies, 4 - 103

Fx

0:

4980 lb

T

0

T

4980 lb

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaProblema ejemplo 4.4SOLUCIN: Cree un diagrama del libre-cuerpo para el marco y cable. Resuelva 3 ecuaciones de equilibrio para los componentes de fuerza de reaccin y acople a E.

El marco apoya parte del tejado de un edificio pequeo. La tensin en el cable es 150 kN. Determine la reaccin al fin fijo E.

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

4 - 104

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaProblema ejemplo 4.4 Resuelva 3 ecuaciones de equilibrio para los componentes de fuerza de reaccin y pareja.

Fx

0 : Ex

4.5 150 kN 7.5

0

ExFy

90.0 kN0 : Ey 4 20 kN 6 150 kN 7.5 0

Ey Cree un diagrama del librecuerpo para el marco y cable.ME

200 kN0:

20 kN 7.2 m 20 kN 3.6 m

20 kN 5.4 m 20 kN 1.8 m 0

6 150 kN 4.5 m M E 7.5ME 2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

180.0 kN m4 - 105

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaEl equilibrio de un Cuerpo de Dos-fuerza Considere un plato sujetado a dos fuerzas F1 y F2 Para el equilibrio esttico, la suma de momentos sobre UN imperativo es el cero. El momento de F2 debe ser cero. Sigue que la lnea de accin de F2 debe atravesar A. Semejantemente, la lnea de accin de F1 debe atravesar B para la suma de momentos sobre B ser el cero. Requiriendo que la suma de fuerzas en cualquier direccin es que ceros llevan a la conclusin que F 1 y F2 deben tener magnitud igual pero el sentido opuesto. 2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies, 4 - 106

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaEl equilibrio de un Cuerpo de tres-fuerza Considere un cuerpo rgido sujetado a fuerzas que actan a slo 3 puntos. Asumiendo que sus lneas de accin se cortan, el momento de F1 y F2 sobre el punto de interseccin representado por D es el cero. Desde que el cuerpo rgido est en el equilibrio, la suma de los momentos de F 1, F 2, y F 3 sobre cualquier eje debe ser el cero. Sigue que el momento de F 3 sobre D tambin debe ser el cero y que la lnea de accin de F 3 debe atravesar D. Las lneas de accin de las tres fuerzas deben ser coexistentes o paralelas.

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

4 - 107

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaProblema ejemplo 4.6SOLUCIN: Cree un diagrama del libre-cuerpo de la viga. La nota que la viga es un 3 cuerpo de fuerza actu en por la soga, su peso, y la reaccin a A.

Un hombre levanta una 10 kg viga, de longitud 4 m, tirando en una soga. Encuentre la tensin en la soga y la reaccin a A.

Las tres fuerzas deben ser coexistentes para el equilibrio esttico. Por consiguiente, la reaccin que R debe atravesar la interseccin de las lneas de accin del peso y fuerzas de la soga. Determine la direccin de la fuerza de la reaccin R. Utilice un tringulo de fuerza para determinar la magnitud de la fuerza de la reaccin R.

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

4 - 108

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaProblema ejemplo 4.6 Cree un diagrama del libre-cuerpo de la viga. Determine la direccin de la fuerza de la reaccin R.AF CD BD CE tan AB cos 45 AE1 2

4 m cos 45 2.828 m 1.414 m 1.414 m tan 20 0.515 m 2.313 m

AF

CD cot(45 20) BF BD CE AE58.6

2.828 0.515 m

2.313 1.636 1.414

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

4 - 109

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaProblema ejemplo 4.6 Determine la magnitud de la fuerza de la reaccin R.T sin 31.4T 81.9 N

R sin 110

98.1 N sin 38.6

R 147.8 N

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

4 - 110

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaEl equilibrio de un Cuerpo Rgido en Tres Dimensiones Se exigen seis ecuaciones del escalar expresar las condiciones para el equilibrio de un cuerpo rgido en el tres caso dimensional general. Fx 0 Fy 0 Fz 0

Mx

0

My

0

Mz

0

Estas ecuaciones pueden resolverse para ningn ms de 6 desconocidos que generalmente representan las reacciones a apoyos o conexiones. Las ecuaciones del escalar se obtienen convenientemente aplicando los formularios del vector de las condiciones para el equilibrio, F 0 MO r F 0

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

4 - 111

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaLas reacciones a los Apoyos y Conexiones para una Estructura Tridimensional

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

4 - 112

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaLas reacciones a los Apoyos y Conexiones para una Estructura Tridimensional

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

4 - 113

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaProblema ejemplo 4.8SOLUCIN: Cree un diagrama del libre-cuerpo para la seal. Aplique las condiciones para el equilibrio esttico desarrollar las ecuaciones para las reacciones desconocidas. Una seal de densidad uniforme pesa 270 lb y se apoya por una juntura de rtula al A y por dos cables. Determine la tensin en cada cable y la reaccin a A.

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

4 - 114

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaProblema ejemplo 4.8 TBD TBD TBD TBD TEC TEC TEC TEC rD rD rB rB

Cree un diagrama del libre-cuerpo para la seal.

Hay slo 5 desconocidos subsecuentemente, la seal es reprima parcialmente. Es libre girar sobre el eje de x. Es, sin embargo, en el equilibrio para la carga dada. 2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

8i 4 j 8k 12 2i 1 j 2k 3 3 3 rC rE rC rE 6i 3 j 2 k 7 6i 3 j 2k 7 7 7

4 - 115

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaProblema ejemplo 4.8 F i: j: k: MA j: k: A TBD TEC Ax Ay Az2T 3 BD 1T 3 BD 2T 3 BD

270 lb j 0 270 lb 0

0

6T 7 EC 3T 7 EC 2T 7 EC

0

rB TBD

rE TEC

4 ft i 0

270 lb j

0

5.333TBD 1.714TEC 2.667 TBD

Aplique las condiciones para el equilibrio esttico Resuelva las 5 ecuaciones para los 5 desconocidos, desarrollar las ecuaciones TBD 101.3 lb TEC 315 lb para las reacciones desconocidas. A 338 lb i 101.2 lb j 22.5 lb k 2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies, 4 - 116

2.571TEC 1080 lb

0

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaCAPITULO # 5 FUERZAS DISTRIBUDAS: CENTROIDES Y CENTROS DE GRAVEDAD. Introduccin Centros de gravedad de un cuerpo bidimensional Centroides y primer momento de reas y lneas Centroides de formas y reas comunes Centroides de formas y lneas comunes Placas y reas compuestas Problema de aplicacin 5.1 Determinacin de Centroides por integracin Problema de aplicacin 5.4 Teorema de Pappus.Guldinus Problema de aplicacin 5.7 Cargas distribuidas sobre vigas Problema de aplicacin 5.9 Centros de gravedad de un cuerpo tridimensional Centroides de un volmen Centroides de formas comunes tridimensionales Cuerpos compuestos. Problema de aplicacin 5.12

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

1 - 117

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaIntroduccin La tierra ejerce una fuerza gravitatoria en cada uno de las partculas que forman un cuerpo. Estas fuerzas pueden ser reemplace por un solo igual de fuerza equivalente al peso del cuerpo y aplicado al centro de gravedad para el cuerpo. El centroid de una rea es anlogo al centro de gravedad de un cuerpo. El concepto del primer momento de una rea se usa para localizar el centroid. La determinacin del rea de una superficie de revolucin y el volumen de un cuerpo de revolucin es cumplida con los Teoremas de Pappus-Guldinus.

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

5 - 118

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaEl centro de Gravedad de un 2D Cuerpo El centro de gravedad de un plato El centro de gravedad de un alambre

My My

xW yW

x W x dW y W y dW

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

5 - 119

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaCentroids y Primero los Momentos de reas y Lneas Centroid de una rea Centroid de una lnea

xW x At xA yA

x dW x t dA x dA Q y first moment with respect to y y dA Qx first moment with respect to x

xW x La xL yL

x dW x a dL x dL y dL

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

5 - 120

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaPrimero los Momentos de reas y Lneas Una rea es simtrica con respecto a un eje BB ' que si para cada punto P existe un punto all P ' tal que ese PP ' es perpendicular a BB ' y es dividido en dos partes del igual por BB '. El primer momento de una rea con respecto a una lnea de simetra es el cero. Si una rea posee una lnea de simetra, su centroid queda en ese eje Si una rea posee dos lneas de simetra, su centroid queda a su interseccin. Una rea es simtrica con respecto a un centro O si para cada dA del elemento a (el x,y) all existe un dA del rea ' de rea igual a (- el x,-y). El centroid del rea coincide con el centro de simetra. 2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies, 5 - 121

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaCentroids de Formas Comnes de reas

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

5 - 122

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaCentroids de Formas Comnes de Lneas

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

5 - 123

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaLos Platos compuestos y reas Los platos compuestosX Y W W xW yW

rea compuestaX Y A A xA yA

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

5 - 124

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaProblema ejemplo 5.1SOLUCIN: Divida el rea en un tringulo, rectngulo, y semicrculo con un cutout redondo. Calcule los primeros momentos de cada rea con respecto a las hachas. Encuentre el rea total y primero los momentos del tringulo, rectngulo, y semicrculo. Substraiga el rea y primero el momento del cutout redondo. Compute las coordenadas del centroid del rea dividiendo los primeros momentos por el rea total.

Para el rea plana mostrada, determine los primeros momentos con respecto al x y y hachea y la situacin del centroid.

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

5 - 125

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaProblema ejemplo 5.1

Encuentre el rea total y primero los momentos del tringulo, rectngulo, y semicrculo. Substraiga el rea y primero el momento del cutout redondo. 2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

Qx Qy

506.2 103 mm 3 757.7 103 mm 35 - 126

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaProblema ejemplo 5.1 Compute las coordenadas del centroid del rea dividiendo los primeros momentos por el rea total.

X

xA A

757.7 103 mm 3 13.828 103 mm 2X 54.8 mm

Y

yA A

506.2 103 mm 3 13.828 103 mm 2Y 36.6 mm5 - 127

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaLa determinacin de Centroids por la IntegracinxA yA xdA ydA x dxdy y dxdy xel dA yel dA

La integracin doble para encontrar el primer momento puede evitarse definiendo el dA como un rectngulo delgado o tira.

xA

xel dA x ydx yel dA y ydx 2

xA

xel dA a x a x dx 2 yel dA y a x dx

xA

xel dA 2r cos 3 1 2 r d 2 1 2 r d 25 - 128

yA

yA

yA

yel dA 2r sin 3

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaProblema ejemplo 5.4SOLUCIN: Determine el k constante. Evale el rea total. Las tiras verticales u horizontales usando, realice una sola integracin para encontrar los primeros momentos. Evale las coordenadas del centroid.

Determine por la integracin directa la situacin del centroid de un spandrel parablico.

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

5 - 129

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaProblema ejemplo 5.4SOLUCIN: Determine el k constante.y b y k x2 k a2 x2 a2 b k or b a2 x y1 2 b1 2 a

Evale el rea total. A dAa

y dx ab 3 2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

x 2 dx 2 0a

b

b x a2 3

3 a 0

5 - 130

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaProblema ejemplo 5.4 Las tiras verticales usando, realice una sola integracin para encontrar los primeros momentos. a b Qy xel dA xydx x 2 x 2 dx 0 ab x a2 4 Qx4 a 0

a 2b 4 y ydx 2 ab 2 10a

yel dA x 2a 4 5 0 b2 5 a

1 b 2 x 2 a2 0

2

dx

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

5 - 131

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaProblema ejemplo 5.4 O, usando las tiras horizontales, realice una sola integracin para encontrar los primeros momentos. b 2 a x a x2 Qy xel dA a x dy dy 2 2 01b 2 a 20 Qxb

a2 y dy b

a 2b 4 y a ab 2 10 a b1 2 y1 2 dy

yel dA ay0

y a x dy a y32

b

12

dy

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

5 - 132

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaProblema ejemplo 5.4 Evale las coordenadas del centroid.xA Q y ab x 3 a 2b 4x 3 a 4

yA Q x ab y 3 ab 2 10

y

3 b 10

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

5 - 133

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaLos teoremas de Pappus-Guldinus

La superficie de revolucin se genera girando una curva plana sobre un eje fijo.

El rea de una superficie de revolucin es igual a la longitud de los tiempos de la curva generadores que la distancia viaj por el centroid a travs de la rotacin. A 2 yL 2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies, 5 - 134

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaLos teoremas de Pappus-Guldinus

El cuerpo de revolucin se genera girando una rea plana sobre un eje fijo. El volumen de un cuerpo de revolucin es igual al rea generadora cronometra la distancia viajada por el centroid a travs de la rotacin. V 2 yA 2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

5 - 135

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaProblema ejemplo 5.7SOLUTION: Aplique el teorema de Pappus-Guldinus para evaluar los volmenes o revolucin para la seccin del margen rectangular y la seccin del cutout interna. Multiplique por la densidad y aceleracin para conseguir la masa y aceleracin.

El dimetro externo de una polea es 0.8 m, y la seccin cruzada de su margen es como mostrado. Sabiendo que la polea es hecho de acero y que la 7.85 10 3 kg m 3 densidad de acero es determinar la masa y peso del margen. 2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

5 - 136

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaProblema ejemplo 5.7SOLUCIN: Aplique el teorema de Pappus-Guldinus para evaluar los volmenes o revolucin para la seccin del margen rectangular y la seccin del cutout interna. Multiplique por la densidad y aceleracin para conseguir la masa y aceleracin.

mW

Vmg

7.85 10 kg m 7.65 10 mm60.0 kg 9.81 m s 2

3

3

6

3

10

9

m mm

3

3

mW

60.0 kg589 N5 - 137

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All rights reserved. 2002 The McGraw-Hill Companies,

Seventh Edition

Vector Mechanics for Engineers: Statics Vectores mecnicos para Ingenieros: EstticaLas Cargas distribuidas en las Vigas

L

W0

wdx

dA

A

Una carga distribuda se representa trazando la carga por la longitud de la unidad, w (N/m). La carga total es igual al rea bajo la curva de carga. Una carga distribuda puede ser reemplace por una carga concentrada con un igual de magnitud al rea bajo la curva de carga y una lnea de accin que atraviesa el centroid del rea.

OP WL

xdW xdA0

OP A

xA

2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI Inc. All right