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DOS CURSOS DE MATEMÁTICAS-TECNOLOGÍA ANALIZADOS DESDE LA
PERSPECTIVA CURRICULAR COLOMBIANA
Angee Samaris Solano Bernal
Código 2007240064
Katherine Tatiana Espitia Florián
Código 2007240025
Asesor
Edgar Alberto Guacaneme Suárez
UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL
FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
2013
ii
DOS CURSOS DE MATEMÁTICAS-TECNOLOGÍA ANALIZADOS DESDE LA
PERSPECTIVA CURRICULAR COLOMBIANA
Angee Samaris Solano Bernal
Código 2007240064
Katherine Tatiana Espitia Florián
Código 2007240025
Asesor
Edgar Alberto Guacaneme Suárez
Trabajo de grado presentado como requisito para optar por el título de la Licenciatura en
Matemáticas
UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL
FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
2013
iii
Agradecimientos
Le doy gracias a Dios por darme la fortaleza para terminar este ciclo que mi vida después
de tanto esfuerzo, por brindarme la posibilidad de crecer como persona y a vivir los éxitos
y fracasos cada día con un poco más de sabiduría.
A mi familia que siempre me apoyo y estuvo para alentarme con todo su cariño y
paciencia, especialmente mis hermanos y mi mamá que es la persona más importante de mi
vida, es mi fortaleza y las ganas de luchar a pesar de las derrotas, me enseño que siempre
se puede salir adelante con mucho empeño, esfuerzo y amor.
También quiero dar le gracias a los amigos que me acompañaron en este proceso y me
alentaron en los momentos débiles, especialmente a las muchachas y a mi compañera de
trabajo de grado que me apoyo y escucho.
Le agradezco al profe Guacaneme por habernos apoyado en este proceso, enseñado a ser
mejores profesionales y por habernos permitido reflexionar para ser mejores personas.
Angee Solano.
Agradezco a Dios por la oportunidad que me dio de comenzar esta aventura pero sobre
todo por permitirme terminarla, brindándome su ayuda cada vez que un obstáculo se
presentaba; a mi familia por su colaboración apoyo e inversión tanto económica como de
tiempo y esfuerzo que han realizado en miras de mi desarrollo profesional.
Agradezco a nuestro asesor por cada una de sus enseñanzas en la asesoría y por
acompañarnos en la realización de este documento, aportando sus ideas y brindándonos la
oportunidad de reflexionar frente a nuestra labor como profesionales docentes.
Además, a todas las personas que contribuyeron y fueron parte de mi vida en este proceso
que hoy termina pero que abre las puertas a una nueva experiencia y a grandes
expectativas; a aquellos, que con el paso del tiempo me brindaron su ayuda y estuvieron
recordándome que debía seguir luchando que ya faltaba poco tiempo y lo lograría.
Katherine Espitia
iv
1. Información General
Tipo de documento Trabajo de grado.
Acceso al documento Universidad Pedagógica Nacional. Biblioteca Central
Título del documento
DOS CURSOS DE MATEMÁTICAS-TECNOLOGÍA
ANALIZADOS DESDE LA PERSPECTIVA CURRICULAR
COLOMBIANA.
Autor(es) Espitia Florián, Katherine Tatiana; Solano Bernal Angee Samaris.
Director Edgar Alberto Guacaneme Suarez
Publicación Publicación: Bogotá. Universidad Pedagógica Nacional, 2013. 103 p.
Unidad Patrocinante Universidad Pedagógica Nacional
Palabras Claves Tecnología, educación, lineamientos del currículo colombiano,
GeoLab, existencia de los objetos.
2. Descripción
Trabajo de grado que se propone mostrar que los eventos matemáticos realizados brindan a los
futuros docentes herramientas para el mejoramiento de la educación matemática en Colombia,
para ello se reseñan dos cursos los cuales hacen una reflexión del uso de la tecnología en la
enseñanza de las matemáticas.
Así mismo, se reconoce la inclusión de las nuevas tecnologías en el currículo de matemáticas y sus
diferentes vertientes, las cuales sirvieron para desarrollar un análisis de los cursos e identificar su
relación y caracterización.
Por otro lado, aunque no se tenía previsto a partir de la reseña de los cursos, se evidenció la
importancia de ahondar en la existencia de los objetos matemáticos.
3. Fuentes
Castiblanco, A. (2000). Proyecto “Incorporación de Nuevas Tecnologías al Currículo de
Matemáticas de la Educación Media de Colombia” y sus avances. Ministerio de Educación
Nacional. Obtenido el 16 de octubre del 2012 desde
v
http://www.colombiaaprende.edu.co/html/mediateca/1607/articles-92732_archivo.pdf
Castiblanco Paiba, A. C., Camargo Uribe, L., Villarraga Rico, M. E., & Obando Zapata, G.
(1999). Nuevas tecnologías y currículo de matemáticas. Apoyo a los Lineamientos Curriculares.
Santafé de Bogotá, D.C.: Ministerio de Educación Nacional.
MEN. (1998). Matemáticas. Lineamientos curriculares. Bogotá: Ministerio de Educación
Nacional.
MEN. (2006). Estándares básicos de competencias en Lenguaje, Matemáticas, Ciencias y
Ciudadanas. Bogotá: Ministerio de Educación Nacional.
Espitia Katherine & Solano Angee (2013) "Circunferencias sin centro ni radios"
4. Contenidos
Entre los objetivos que pretende desarrollar este trabajo esta el divulgar y promover el contenido
de los cursos “Incorporación de la geometría analítica en primaria y secundaria” y “Uso de las
tecnologías en la enseñanza de la matemáticas”, desarrollados en el CANP-2012, analizándolos
desde la perspectiva curricular colombiana.
Para desarrollar estos objetivos se describieron los cursos mencionados, reconociendo los
diferentes software que emplearon y las reflexiones que se desarrollaron en torno al curso.
Ademas, se describen los lineamientos curriculares y su inclusion de las nuevas tecnologias en la
enseñanza de matemáticas, reconocienndo los aspectos que frente al curso son relevantes y se
evidencian seguun el MEN.
En ultima instancia, se desarrolla un analisis frente a la existencia de algunos objetos matemáticos
mencionados en el curso “Incorporación de la geometría analítica en primaria y secundaria”.
5. Metodología
En el marco del desarrollo de este trabajo, se realizaron actividades que permitieron el
cumplimiento del objeto de estudio de acuerdo con lo propuesto.
Inicialmente, se realizó la tarea de recopilación de la información, es decir la compilación de los
videos, las memorias presentadas por los ponentes, la información web de los grupos de
investigación y eventos matemáticos, documentación de los documentos de política curricular y la
propuesta de solución al problema de Pappus, según Descartes. Posteriormente, se desarrolló una
descripción general de los cursos “Uso de las tecnologías en la enseñanza de la matemática” e
vi
“Incorporación de la Geometría analítica en primaria y secundaria”, a partir del cual se planteó
una estructura de trabajo que permitió reconocer asuntos relacionados con el conocimiento
matemático que no eran objeto de estudio de los ponentes, pero que como profesoras en formación
generó un interés para el desarrollo de la clase en matemáticas. Tales asuntos refieren a:
1. Un aporte de solución al problema del fracaso escolar mediante el uso de tecnología en las
clases de matemáticas.
2. La existencia de los objetos matemáticos (mediatriz, circunferencia y cónicas), debida o
asociada con la construcción realizada.
3. Reconocer que el objeto determinado por una condición lógica, constituía una
circunferencia, lo cual generó una nueva definición de esta a través de la distancia entre
tres puntos.
4. La construcción de cónicas a través del Problema de Pappus descrito por Descartes, en el
libro La Geometría.
Para finalizar el estudio, se realizó una lectura crítica a los lineamientos curriculares de las nuevas
tecnologías de matemáticas identificando los parámetros esenciales que se corresponden con los
cursos descritos.
6. Conclusiones
La realización de este trabajo llevó a la reflexión sobre el papel que desempeñan las nuevas
tecnologías en los procesos de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas, a propósito del análisis
de los cursos desde la perspectiva curricular colombiana.
Además, como experiencia personal en la experimentación del ejercicio circunferencia propuesto
por el Dr. Hernández, más precisamente, vivenciamos la actividad matemática en torno al objeto
matemático, en donde resaltamos dos aspectos; uno de ellos refiere al valor de la herramienta
tecnológica y el otro al acercamiento del objeto hacia una nueva definición.
Por otro lado, evidenciamos la necesidad de conocer propuestas de enseñanza – aprendizaje
dirigidas al uso de herramientas tecnológicas en la educación matemática, que aporten a la
formación profesional del docente, ya que según el MEN la nuevas tecnologías deben estar
inmersas en nuestras actividades matemáticas en el aula.
Elaborado por: Espitia Katherine; Solano Angee
Revisado por: Guacaneme Edgar.
vii
Fecha de elaboración del
Resumen: 27 11 2013
viii
TABLA DE CONTENIDO
PRESENTACIÓN ....................................................................................................................... 1
1 Generalidades del estudio................................................................................................ 2
1.1 Objeto de estudio ..................................................................................................... 2
1.2 Objetivos .................................................................................................................. 3
1.2.1 Objetivos generales........................................................................................... 3
1.2.2 Objetivos específicos ........................................................................................ 3
1.3 Metodología de desarrollo ....................................................................................... 3
2 Descripción de los cursos ................................................................................................ 6
2.1 Curso “Uso de las tecnologías en la enseñanza de la matemática” a cargo del Dr.
Mancera .............................................................................................................................. 6
2.1.1 Discurso del profesor Mancera ......................................................................... 8
2.1.2 Una experiencia de uso de la Tecnología ....................................................... 10
2.1.3 Reflexiones ..................................................................................................... 36
2.2 Curso “Incorporación de la geometría analítica en primaria y secundaria” a cargo
del Dr. Hernández ............................................................................................................. 37
2.2.1 Discurso .......................................................................................................... 37
2.3 Reflexiones ............................................................................................................ 66
3 Lineamientos curriculares ............................................................................................. 69
3.1 Uso de la tecnología ............................................................................................... 70
3.1.1 Nuevas tecnologías en el aula desde el currículo ........................................... 70
3.2 Correspondencia de los cursos con los Lineamientos curriculares en matemáticas
para las nuevas tecnologías ............................................................................................... 72
3.2.1 “Uso de las tecnologías en la enseñanza de la matemática”........................... 73
3.2.2 Incorporación de la geometría analítica en primaria y secundaria ................. 76
4 La discusión sobre la existencia de objetos matemáticos; un asunto no previsto ......... 80
4.1 Definición no usual ................................................................................................ 80
ix
4.1.1 Mediatriz ......................................................................................................... 80
4.1.2 4.1.2 Circunferencia ....................................................................................... 81
4.2 Cónicas usando la mediatriz .................................................................................. 84
4.3 Aproximación al problema de Pappus ................................................................... 88
5 Conclusiones ............................................................................................................... 101
Bibliografía ......................................................................................................................... 103
1
PRESENTACIÓN
En el primer capítulo se presenta una contextualización, en relación al anteproyecto que se
había propuesto desarrollar, realizando una breve descripción del objeto de estudio que se
hizo, así como también la metodología que se implementó para lograr los objetivos.
En el segundo capítulo, se encuentra la descripción de dos cursos: “Uso de las tecnologías
en la enseñanza de la matemática” e “Incorporación de la geometría analítica en primaria y
secundaria”, que tuvieron lugar en el evento Capacity & Networking Project CANP-2012
en Costa Rica, los cuales presentan sendas propuestas de uso de tecnología en la clase de
matemáticas. Cada uno de estos cursos describe diferentes construcciones que, de acuerdo
con las autoras de este Trabajo de grado, brindan herramientas de enseñanza-aprendizaje de
las matemáticas.
En el tercer capítulo, se desarrolla un análisis de los cursos desde lo propuesto en el
documento Nuevas Tecnologías y Currículo de Matemáticas (MEN, 2001), en donde se
explicita la relación de cada uno de los cursos con los planteamientos del documento.
Además, se realiza una contextualización sobre el uso de la tecnología en la educación en
matemáticas y se describe cómo aquella influye en el aprendizaje.
En cuarto capítulo se describe de manera detallada, una propuesta presentada en el curso
“Incorporación de la geometría analítica en primaria y secundaria”, dictado por el
profesor Carlos Hernández, que tienen que ver con una forma alterna de definir círculo y
circunferencia, desde una condición general en la cual la mediatriz es uno de los casos
particulares; también se presenta un análisis de las cónicas, desde el problema de Pappus y
la solución que realiza Descartes de este, y la construcción de cónicas a partir de las ideas
de círculo y mediatriz.
Finalmente, en el quinto capítulo se presentan algunas conclusiones obtenidas al desarrollar
este trabajo.
2
1 Generalidades del estudio
1.1 Objeto de estudio
El Capacity & Networking Project (CANP) es un proyecto de organismos internacionales
de matemáticos y educadores matemáticos de la International Mathematical Union (IMU)
y la International Commission of Mathematics Instruction (ICMI), que responde al interés
por potenciar las capacidades de las regiones para mejorar la educación en matemáticas en
la actualidad; para ello se emplea como estrategia la reunión de profesionales en Educación
Matemática de cada región, el desarrollo de una serie de cursos y la construcción de redes
de interacción académica. La primera versión del CANP se gestionó en Mail (África) en el
2011; en el año 2012 se llevó a cabo en Costa Rica, donde uno de los cuatro docentes
invitados por Colombia fue el profesor de la Universidad Pedagógica Nacional Edgar
Alberto Guacaneme, quien recopiló una serie de información, por medio de registros
audiovisuales y memorias de dichos cursos.
Con intención de divulgar la información, el 7 de septiembre se realizó la conferencia
“Génesis de una estrategia internacional para favorecer la educación matemática en
Colombia” a cargo del profesor Guacaneme, a través de la cual compartió a la comunidad
educativa la experiencia en el CANP-2012 Escuela-seminario internacional: Construcción
de Capacidades en Matemáticas y Educación Matemática. A partir de ella, las docentes en
formación, autoras de este trabajo, se interesan en estudiar dicha información, al reconocer
que las investigaciones expuestas en el CANP-2012 pueden llegar a aportar a la formación
de educadores matemáticos ya que, al parecer, brindan herramientas para reflexionar sobre
los procesos de enseñanza y aprendizaje de las mismas. Es por esto, que la motivación
esencial que orienta el desarrollo del trabajo aquí expuesto, radica en el interés de promover
y divulgar parte de la información, experiencias y propuestas didácticas presentadas en el
CANP-2012.
Adicionalmente, las docentes en formación encuentran especial interés en dos cursos. El
primero, titulado “Incorporación de la geometría analítica en primaria y secundaria”,
realizado por el Dr. Carlos Hernández, dado que se relaciona con su experiencia como
estudiantes de la Licenciatura en Matemáticas en el espacio académico de Geometría
analítica, y les ofrece un ámbito para reconocer en su formación profesional la necesidad de
un análisis detenido al comportamiento de las cónicas, lo cual se ve factible realizar
mediante las herramientas que ofrece el curso. El segundo curso, “Uso de las tecnologías en
3
la enseñanza de las matemáticas”, realizado por el Dr. Eduardo Mancera, quien plantea que
el uso de una herramienta tecnología permite dar solución al problema del fracaso escolar
en matemáticas y comparte una experiencia exitosa del uso de la tecnología.
Atendiendo a lo anterior, el objeto esencial de estudio del estudio es la síntesis
(recapitulación de la información) y análisis de los cursos citados, desarrollados en el
CANP-2012.
El análisis se realiza atendiendo a lo planteado en los documentos de política curricular
colombianos (Castiblanco et al, 1999; MEN, 1998, 2006).
1.2 Objetivos
1.2.1 Objetivos generales
Divulgar y promover el contenido de los cursos “Incorporación de la geometría analítica en
primaria y secundaria” y “Uso de las tecnologías en la enseñanza de la matemáticas”,
desarrollados en el CANP-2012.
Analizar los cursos desde la perspectiva curricular colombiana.
1.2.2 Objetivos específicos
Disponer de un documento que contenga las reseñas de cada uno de los cursos
mencionados anteriormente, que sirva como fuente de información a matemáticos y
educadores matemáticos.
Brindar un aporte a la formación de educadores matemáticos en relación con la
correspondencia entre los cursos citados y la política curricular colombiana.
1.3 Metodología de desarrollo
En el marco del desarrollo de este trabajo, se realizaron actividades que permitieron el
cumplimiento del objeto de estudio de acuerdo con lo propuesto.
Inicialmente, se realizó la tarea de recopilación de la información, es decir la compilación
de los videos, las memorias presentadas por los ponentes, la información web de los grupos
de investigación y eventos matemáticos, documentación de los documentos de política
curricular (Castiblanco et al, 1999; MEN, 1998, 2006) y la propuesta de solución al
problema de Pappus, según Descartes. Posteriormente, se desarrolló una descripción
general de los cursos “Uso de las tecnologías en la enseñanza de la matemática” e
“Incorporación de la Geometría analítica en primaria y secundaria”, a partir del cual se
4
planteó una estructura de trabajo que permitió reconocer asuntos relacionados con el
conocimiento matemático que no eran objeto de estudio de los ponentes, pero que como
profesoras en formación generó un interés para el desarrollo de la clase en matemáticas.
Tales asuntos refieren a:
5. Un aporte de solución al problema del fracaso escolar mediante el uso de
tecnología en las clases de matemáticas.
6. La existencia de los objetos matemáticos (mediatriz, circunferencia y cónicas),
debida o asociada con la construcción realizada.
7. Reconocer que el objeto determinado por una condición lógica, constituía una
circunferencia, lo cual generó una nueva definición de esta a través de la distancia
entre tres puntos.
8. La construcción de cónicas a través del Problema de Pappus descrito por Descartes,
en el libro La Geometría (Descartes, 1954).
Los asuntos anteriormente mencionados se abordarán con mayor exactitud en el capítulo 4
de este trabajo. Acá, por ahora, se pretende hacer un pequeño acercamiento a dos asuntos
que fueron significativos. El primero de tales asuntos se refiere al estudio de la
circunferencia. Como se verá adelante, al alterar un dato sobre la condición que está ligada
a la definición de mediatriz (todos los puntos C que equidistan de dos puntos dados A y B,
es decir los puntos que satisfacen la condición ), se llega a una nueva
condición que determina una circunferencia definida por todos los puntos C cuya distancia
al punto A es el doble de la distancia al punto B(es decir, ).
A este respecto es importante rescatar, que el proceso algebraico/simbólico de comprobar
que la nueva condición lógica efectivamente genera una circunferencia, se desarrolló a
partir de la desigualdad planteada en la construcción del Dr. Hernández (la cual se trabajó
hasta llegar a la ecuación de una circunferencia) y finalmente se plateó como una igualdad
para reconocer su existencia. Además, es de precisar, que el proceso mencionado
anteriormente no es trivial (como se podría considerar al observar el resultado de la
comprobación), ya que para llegar a la ecuación de la circunferencia se deben tener en
cuenta algunas consideraciones algebraicas que no son evidentes.
El segundo asunto significativo corresponde al trabajo realizado de la construcción de
cónicas mediante el Problema de Pappus. Inicialmente, se procuraron unas construcciones
en un software de geometría dinámica, pero bajo ninguna condición se obtuvieron
hipérbolas; luego, considerando las razones entre distancias y ángulos dados se generaron
partes o fragmentos de las cónicas elipse y circunferencia. De lo anterior, se tuvo como
última reflexión el cómo se considera lo dado en una construcción mecánica, ya que el
análisis realizado por Descartes es bajo la geometría analítica, es decir trabajar con lo
5
desconocido como si fuera dado. Reconociendo así, una dificultad de interpretación en lo
que Descartes denomina lo dado, que impide una construcción exitosa de la cónica. Por otra
parte, desde la construcción que se presenta en este trabajo (Cap. 4), se puede visualizar que
la cónica está segmentada en dos partes del plano, además, que cada una pertenece a una
cónica. Adicionalmente, al reconocer los parámetros, se puede generar una familia de
cónicas en el plano con estas mismas características.
Para finalizar el estudio, se realizó una lectura crítica a los lineamientos curriculares de las
nuevas tecnologías de matemáticas identificando los parámetros esenciales que se
corresponden con los cursos descritos.
6
2 Descripción de los cursos
En este capítulo se encuentra la descripción de los dos cursos a tratar en este trabajo, “Uso
de las tecnologías en la enseñanza de la matemática” e “Incorporación de la Geometría
analítica en primaria y secundaria”, los cuales tuvieron lugar en el CANP-2012 en Costa
Rica.
En el primero de los cursos mencionados “Uso de las tecnologías en la enseñanza de la
matemática”, la descripción se realiza en tres partes: discurso del profesor Mancera (que en
este caso es una invitación al profesor de matemáticas sobre el uso de tecnología en sus
clases), una experiencia con el uso de la tecnología (se refiere a un ejemplo de una
experiencia exitosa con el uso de tecnología en las clase de matemáticas), y finalmente
algunas reflexiones (de los asistentes y ponente).
En el segundo curso “Incorporación de la Geometría analítica en primaria y secundaria”, la
descripción se realiza en dos partes: discurso del Drt. Hernández (que corresponde a los
planteamientos del profesor) y algunas reflexiones (tanto de los asistentes como del
ponente).
Con el objetivo de realizar un análisis de los cursos mencionados, un primer acercamiento
corresponde a conocer qué se hizo en cada uno de ellos mediante una descripción, la cual se
muestra a continuación.
2.1 Curso “Uso de las tecnologías en la enseñanza de la matemática” a
cargo del Dr. Mancera
En el presente apartado se desarrollará una descripción del curso Uso de las tecnologías en
la enseñanza de la matemática, realizado por el Dr. Eduardo Mancera Martínez, quien
participó como conferencista invitado en el CANP-2012 en Costa Rica.
El Dr. Eduardo Mancera es considerado como especialista en la enseñanza de las
matemáticas, gracias a su trayectoria académica y experiencia en la Educación Matemática,
expresada en sus títulos (Licenciado en Física y Matemáticas por la Escuela Superior de
Física y Matemáticas del Instituto Politécnico Nacional, Maestría y Doctorado en Ciencias
en el Centro de Investigación y Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional), y
su experiencia profesional (docente de Matemáticas en los niveles de media básica, media
superior, superior y posgrado, coordinador de la academia de matemáticas de la línea de
7
Educación Matemática de la maestría y doctorado, secretario académico de la Universidad
Pedagógica Nacional, coordinador de la línea de investigación sobre didáctica de las
ciencias en la Universidad Iberoamericana).
Precisamente de la experiencia académica del Dr. Mancera y su interés en mejorar la
enseñanza de las matemáticas, en el curso plantea una discusión sobre el uso de tecnología
en las clases de matemáticas y adicionalmente presenta una experiencia en la que usó
herramientas tecnológicas para la enseñanza matemática, fundamentada en el tratamiento
simultáneo de tres representaciones (numérica, algebraica y gráfica); lo anterior, con ánimo
de aportar a la solución del problema del fracaso escolar en las clases de matemáticas.
Es así, como se presenta una propuesta de uso de la tecnología en el aula de matemáticas, a
partir de una experiencia como profesor en el curso Métodos Cuantitativos Aplicados a la
Economía I en la Universidad Iberoamericana de México en el 2004. Los estudiantes de
este curso se distinguían porque reiteradamente habían reprobado este espacio académico.
Con el fin de obtener mejores resultados, se le asigna este grupo al profesor Mancera; de
esta experiencia de docencia, se obtuvieron algunos resultados (que más adelante se
describen) que aportan a los profesionales de la educación matemática y al aprendizaje de
sus estudiantes.
En el Mapa 1 se muestran los aspectos desarrollados durante el curso impartido en el
evento CANP-2012. En este se destacan tres momentos claves a describir, los cuales son: el
discurso del profesor Mancera, una propuesta de uso de tecnología en el aula y, por último,
algunas reflexiones generadas en el curso.
Mapa 1 Descripcion del curso uso de las tecnologia en la enseñanza de la matematica.
8
A continuación se desarrollan desde nuestra perspectiva los tres momentos mencionados
anteriormente.
2.1.1 Discurso del profesor Mancera
En este segmento del curso, el profesor Mancera planteó varias ideas, que recapitulamos a
continuación.
Un asunto central frente a la preocupación por el fracaso en las clases de matemáticas,
reflejado en los bajos niveles de aprendizaje de las Matemáticas, alude a la formación de
los profesores y a cómo esta puede ser corresponsable de tales niveles. Sin lugar a dudas, el
conocimiento matemático de los profesores y sus conocimientos acerca de cómo actuar en
las diversas situaciones de enseñanza o aprendizaje que se presentan en la escuela,
constituyen un factor determinante en el éxito escolar, de las diferentes generaciones de
estudiantes con quienes interactuarán como profesores.
Desde hace algunos años ha aparecido en el contexto escolar el uso de nuevas tecnologías
(por ejemplo, software, calculadoras, tableros electrónicos) que, desde algunos enfoques, se
asumen como parte de la solución al problema del fracaso escolar, en tanto que desde otros,
impiden, o al menos coartan, el aprendizaje de las Matemáticas. Desde los primeros
enfoques, la tecnología en las aulas de clase de Matemáticas, se piensa como una
herramienta que podría ser usada para ampliar las posibilidades de aprendizaje de los
estudiantes. Esta postura conlleva al planteamiento de diversas preguntas, tales como: ¿qué
se puede hacer con la tecnología en el aula?, ¿es posible aprender matemáticas sin/con esta
tecnología?, ¿qué se aprende exclusivamente con esta tecnología?, o ¿qué no se aprende
con esta tecnología?
A propósito de tales cuestiones es necesario precisar que si bien algunas gentes entienden
por tecnología el uso de computadores o calculadoras, y en este sentido solo recientemente
existiría el uso de tecnología en las aulas, en realidad la tecnología se ha visto reflejada
desde el cambio de pizarras, pupitres, regletas, compases, entre otras herramientas, que se
han ido transformando; en consecuencia siempre se ha usado tecnología en el aula. En
relación con las nuevas tecnologías nos estamos refiriendo al uso de calculadoras y
software matemáticos que permiten trabajar simultáneamente varias representaciones
(aritmética, algebraica y gráfica), del objeto matemático.
Ahora bien, uno de los primeros usos de la tecnología fue evitar cálculos engorrosos usando
calculadoras en el aula de matemáticas, reconociendo que un algoritmo sin sentido no tiene
trascendencia en el estudiante, puesto que la calculadora solo hace operaciones y es el
estudiante quien interpreta los resultados. Luego el uso de la tecnología en el aula no es
9
algo trivial, cuando se pretende que el estudiante realice algún tipo de actividad matemática
y no solo aplicar un algoritmo.
A partir de lo anterior, se hace pertinente explorar esquemas del uso de las tecnologías, y
así poder ampliar la visión de lo que se puede hacer con esta en el aula; así, el profesor
Mancera tiene en cuenta cuatro esquemas de uso de la tecnología en la educación
matemática que se describen a continuación:
1. Entrada-salida: el usuario ingresa los datos e interpreta los resultados de acuerdo
con la situación.
2. Entrada limitada o condicionada-salida: este esquema es muy común, en este se le
pide al usuario que realice una operación simulando que una o más teclas no sirve;
por ejemplo, hacer una división sin usar la tecla de división.
3. Entradas múltiples-provocar conjeturas: el usuario ingresa varios datos y analiza las
salidas para luego proponer una conjetura.
4. Decidir entradas-salida dada: el usuario ya sabe la salida y puede plantear diferentes
formas de llegar a esta.
Además, usar tecnología en el aula conlleva al diseño de actividades en las que se justifique
realmente el uso de una herramienta tecnológica, generando una nueva inquietud: ¿qué
tanto los docentes conocen experiencias de incorporación de tecnología en el aula de
matemáticas o qué tantas experiencias profesionales tienen en esta dirección?; responder
esta cuestión es precisamente uno de los objetivos del curso, es decir, dar a conocer
propuestas del uso de tecnología en el aula.
Pero dar a conocer una propuesta de uso de tecnología en el aula de matemáticas no es lo
más importante de este curso, puesto que la propuesta solo es un ejemplo exitoso de tal uso,
que el profesor Mancera usa para platear a través de ella algunas cuestiones como: ¿es
posible aprender matemática con tecnología?, ¿qué implicaciones tiene el uso de tecnología
para el estudiante? y ¿qué implicaciones tiene para el docente el uso de tecnología en las
clases de matemáticas?, tales cuestiones las desarrollaremos en la tercera parte de esta
descripción.
Con el propósito de justificar el uso de una herramienta tecnológica en la clase de
matemáticas, el profesor Mancera menciona cómo es posible conjugar tres tipos de
representaciones básicas (numéricas, algebraicas y gráficas) y cómo las representaciones y
sus cambios, brindan información y una mejor comprensión del objeto que se está tratando.
Si tuviéramos 21
3 sin la tecla pudo acercarme a
través de la multiplicación 7 ∗ 7 ∗ 7
10
Así mismo, el profesor mancera menciona que la teoría de la flexibilidad del pensamiento y
reversibilidad del pensamiento planteada por Piaget y la teoría de la Gestalt permite ver el
objeto matemático como un todo y trabajarlo por partes de tal manera que al final se
obtenga una nueva concepción de este. Lo anterior se evidencia en su propuesta de uso de
tecnología en el aula.
Para aportar en este sentido, a continuación se presenta la experiencia que ha modo de
ilustración, el profesor Mancera presentó en el curso.
2.1.2 Una experiencia de uso de la Tecnología
A continuación se realiza la descripción de la experiencia presentada por el profesor
Mancera sobre el uso de la tecnología en el aula de matemáticas. En esta se tuvieron en
cuenta factores como: una metodología concreta, cambios de representación y el diseño de
una secuencia de actividades.
Esta propuesta, como ya se mencionó, fue una experiencia exitosa en el curso Métodos
Cuantitativos Aplicados a la Economía I, en donde se tuvo como objetivo general
identificar características de los puntos de rectas y cónicas a partir de su representación
gráfica cartesiana, lo cual permitirá determinar la ecuación de dichas rectas y cónicas
eventualmente. La tarea de identificar algunas características de los puntos se realiza de
manera gráfica, es decir, llevando a que el estudiante logre abstraer información de la
gráfica que le permite hallar representaciones simbólicas sin usar fórmulas preestablecidas
(como por ejemplo estableciendo la ecuación punto pendiente a partir de la información de
la gráfica). De hecho este es uno de los componentes que caracteriza el curso, ya que el
profesor Mancera plantea la reflexión en torno al valor de desarrollar problemas
matemáticos a través de caminos no usuales apoyados por una herramienta tecnológica;
como por ejemplo hallar la ecuación de una recta, sin el uso de fórmulas preestablecidas.
Vale la pena mencionar que los asistentes de este curso fueron profesores de matemáticas,
matemáticos y profesionales en la educación, a los que no se les pretendía enseñar cómo
encontrar la ecuación de una recta a partir de su gráfica, recordemos qué esta propuesta es
un ejemplo a través del cual el profesor desarrolla las cuestiones planteadas anteriormente.
A continuación se presenta el Mapa 2 que recapitula aspectos centrales de la experiencia
del curso Métodos Cuantitativos Aplicados a la Economía I.
11
Mapa 2 Descripcion de la experiencia con el uso de tecnologia.
El relato de la experiencia inicia reseñando que el propósito del curso estaba ligado a la
tarea de resolver las siguientes tareas sin usar fórmulas:
1. Grafica la recta que pasa por y tiene pendiente 2
Encuentra la ecuación de la
recta.
2. Determina siete puntos que pertenezcan a la recta que pasa por y tiene
pendiente 2
3 .
3. ¿El punto pertenece a la recta que pasa por y tiene pendiente 5?
4. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por y 7 .
5. Encuentra las ecuaciones de algunas cónicas a partir de la gráfica.
6. Encuentra expresiones algebraicas de algunas funciones dada la gráfica.
Luego se hace mención de los parámetros generales en relación con la metodología a
implementar durante el desarrollo de la propuesta, los cuales son:
Lo nuevo se parece a lo anterior: permite al estudiante establecer relaciones durante
la secuencia de actividades.
Ensayos necesarios: genera libertad de manipular el medio tecnológico para
encontrar soluciones.
12
Buscar caminos cortos: la exploración con el medio tecnológico desarrolla en el
estudiante estrategias para la solución de problemas, como la búsqueda de
algoritmos que direccionen a la resolución de problemas matemáticos.
Explicar lo que se hizo: desarrolla cambios de representaciones ya que el estudiante
debe proponer verbalmente una descripción de lo gráfico lo cual no necesariamente
es una representación simbólica.
Definir cuando sea necesario: permite ir construyendo a lo largo del proceso
conceptos y definiciones que por último se simbolizan matemáticamente.
Por otra parte, desarrolla en el curso el estudio de la característica de los puntos de algunas
rectas, en las siguientes situaciones:
donde es un número cualquiera.
siendo
siendo
Pendiente de rectas paralelas.
Pendiente de rectas perpendiculares.
Luego se muestra movimientos claves en el plano que corresponden a:
siendo el punto de corte con el eje .
Por último operaciones entre rectas:
Suma entre rectas.
Resta entre rectas.
Producto entre rectas.
División entre rectas
Atendiendo así, a los diferentes cambios de representación a saber, numérica, algebraica y
gráfica.
13
Con el objetivo de lograr que los estudiantes alcancen exitosamente las tareas propuestas, el
profesor Mancera realiza un trabajo secuencial con la función afín mostrando las
situaciones anteriormente mencionadas y algunas representaciones, en donde la pregunta
clave será ¿qué característica cumplen los puntos de la recta?, con la cual se busca que los
estudiantes logren abstraer de la gráfica información de rectas y cónicas todo esto en la
calculadora ClassPad 330. .
2.1.2.1 Trabajo con la función afín
Una de las consideraciones fundamentales del desarrollo de las siguientes actividades con
la función afín, es la idea de no llenar a los estudiantes de fórmulas (teniendo en cuenta las
deficiencias en el manejo algebraico) y construir las definiciones a lo largo del camino de
acuerdo con el comportamiento de los objetos.
A continuación se presentan las situaciones que se consideraron en la secuencia de
actividades a desarrollar:
Primera situación
Figura 1 Prime Situación
En esta situación se plantea la pregunta ¿qué relación tienen las coordenadas de los puntos
de la gráfica? Observando en la herramienta tecnológica la gráfica y la tabla de valores de
la recta, se puede llegar a establecer que:
Las ordenadas de los puntos siempre vale 2, así que los puntos que pertenecen a
esa recta tienen una ordenada y la recta no tiene inclinación, así como se
muestra en la Figura1.
14
Segunda situación
Figura 2 Segunda Situación
Ahora se plantea ¿qué relación tienen las coordenadas de los puntos de la figura 2?,
estableciendo así:
Las abscisas de los puntos siempre vale 2, así que los puntos que pertenecen a
esa recta tienen una abscisa y la recta no tiene inclinación, así como se
muestra en la Figura 2.
Lo cual, genera la reflexión ¿esta figura se parece a la anterior?, la respuesta es afirmativa
pues solo se cambió los ejes y las letras. Lo cual se corresponde con el primen ítem de la
metodología planteada inicialmente, que busca que los estudiantes logren establecer
relaciones durante las situaciones que se van desarrollando.
Tercera situación
Inicialmente se plantea a los estudiantes la pregunta: ¿qué característica tienen los puntos
que pertenecen a la gráfica, que se muestra en la Figura 3?
15
Figura 3 Tercera Situación
Luego el estudiante tiene la opción de visualizar la tabla de valores de dicha recta, como se
muestra en la Figura 4, lo cual le servirá más adelante para darle sentido a la expresión
algebraica.
Figura 4 Tercera Situación con tabla de datos
En esta situación, la abscisa de cada punto es igual a la ordenada, es decir que, la ecuación
correspondiente será
Cuarta situación
La pregunta formulada a los estudiantes es: ¿Qué característica tienen los puntos que
pertenecen a la gráfica que se presenta en la Figura 5?; precisamente en esta gráfica se
presentan dos rectas; la recta de la parte izquierda corresponde al caso anterior (es decir,
16
) y la recta de la pate derecha muestra a partir de la anterior un desplazamiento del
punto de coordenadas al de coordenadas .
Figura 5 Cuarta Situación
Se observa que la ordenada que estaba en ahora está en , y todas las ordenadas
tuvieron un cambio, usando también la opción de visualizar la tabla de valores se logra
establecer que la ecuación de la recta es como se observa en la Figura 6.
Figura 6 Cuarta situación con tabla de datos
Además, si se construyen algunos triángulos característicos se puede observar gráficamente
las relaciones entre triángulos (en términos de la pendiente), como se muestra en la Figura
7:
17
Figura 7 Relación de triángulos
Quinta situación
Se plantea ¿qué característica tienen los puntos que pertenecen a la gráfica, si se aumenta el
valor de la pendiente en la ecuación anterior ?, lo cual se realiza mediante ejemplos
que se muestran en la Figura 8 y en la Figura 9.
18
Figura 8 Quinta situación
Figura 9 Quinta situación
En conclusión en la expresión , se va visualizando mediante la exploración con el
medio tecnológico, que cuando y aumenta la recta se va viendo más vertical.
Actividad que se enmarca en el segundo ítem de la metodología propuesta que plantea que
19
los estudiantes tienen la libertad de manipular la herramienta tecnológica con el fin de
buscar soluciones.
Sexta situación
Se observa que pasa si se disminuye el valor de la pendiente en la ecuación de la cuarta
situación ¿qué característica tienen los puntos que pertenecen a la gráfica?, lo cual
se desarrolla mediante los ejemplos que se muestran en la Figura 10 y 11.
Figura 10 Sexta situación
Figura 11 Sexta situación
Finalmente en la expresión , se va visualizando mediante la exploración con la
herramienta tecnológica, cuando y a medida va disminuyendo se observa que la
recta va siendo horizontal.
Otra forma: cambiando los ejes
La herramienta tecnológica brinda diversas opciones que permite que los estudiantes
puedan hacer acciones, es decir, “jugar con el objeto”. Se llega a la misma conclusión
cuando y a medida que disminuye la recta se va acostando más, se va viendo
horizontal. En este caso como se muestra en la Figura 12, 13 y 14 solo será reflejar el eje:
20
Figura 12 Cambiando los ejes
Ejemplo:
Figura 13 Cambiando los ejes
Ejemplo:
Recta roja 2
Recta negra 2
21
Figura 14 Sexta situación
Luego existe una relación entre coeficientes y signos (positivo y negativo), en los casos en
que y que .
Séptima situación
En el desarrollo del curso se plantea la cuestión ¿Qué pasa cuando yo subo una recta? No
sube un punto suben todos, como se muestra en la Figura 15.
Figura 15 Séptima situación
En la Figura 15 la recta de ecuación se subió unidades, luego la nueva recta tendrá
como ecuación , en donde el corte en el eje se encuentra en y el corte en el
eje x se encuentra en -2.
Además, en la Figura 16 a partir de la recta , realizando un movimiento hacia la
derecha se obtiene la recta , en donde el punto de corte con eje es y el corte
en el eje será .
22
Figura 16 Análisis séptima situación
Otro ejemplo se muestra en la Figura 17, donde a partir de la recta representada por la
ecuación y realizando un movimiento se obtiene la ecuación de la recta
que corta al eje en -6, que también se puede expresar como , que se muestra
en la imagen con su respectiva tabla de valores.
Figura 17 Séptima situación cambios
Los estudiantes pueden ir relacionando la representación gráfica con la representación
algebraica llegando a establecer qué información brinda cada una de estas y además realizar
cambios de representaciones. Así como en la Figura18.
(
)
Está indicando el punto de corte con el eje x
2
Indica el punto de corte con el eje y.
23
2
Figura 18 Análisis de representaciones
Explorando con la herramienta tecnológica se puede llegar a resultados como:
Las rectas paralelas tienen la misma pendiente, como se muestra en la Figura19.
Figura 19 Recatas paralelas
Las rectas perpendiculares tiene pendiente recíproca y de signo contrario, como se
puede observar en la Figura 20.
24
Figura 20 Rectas perpendiculares
Ahora ya se les puede pedir a los estudiantes que a partir de una tabla de valores encuentren
la ecuación de la recta.
Lo que ven los estudiantes de acuerdo a lo desarrollado en los planteamientos mencionados
es:
Ven la gráfica y sacan información.
Ven la tabla y sacan información.
Ven la ecuación y sacan la información.
Después de las primeras siete situaciones se pueden resolver los primeros cuatro ejercicios
que se propusieron inicialmente
1. Grafica la recta que pasa por y tiene pendiente 2
. Encuentra la ecuación de la
recta.
Trazo el punto y la pendiente, como se muestra en la Figura 21.
25
Figura 21 Punto y pendiente
¿Cómo encontrar los puntos de corte con los ejes sino se tiene la ecuación? Trazando un
triángulo semejante, como se muestra en la Figura 22.
Figura 22 Relaciones de la recta
Luego 2
(el valor de la ordenada del punto de corte es aproximado).
2. Determina siete puntos que pertenezcan a la recta que pasa por y tiene
pendiente 2
3 .
Se ubica el punto y se traza la pendiente, como se muestra en la Figura 23.
26
Figura 23 Pendiente
Luego, se considera qué condición cumplen los puntos que pertenecen a la recta y se trazan
triángulos semejantes, como se muestra en la Figura 24.
Figura 24 triángulos semejantes
Acá claramente los puntos pertenecen a la recta
2
3 (el valor de la ordenada del punto de corte es aproximado).
3. ¿El punto pertenece a la recta que pasa por y tiene pendiente 5?
Ahora, gráficamente se ubica el punto y la pendiente y visualmente, como
se muestra en la Figura 25, es evidente que el punto no pertenece.
27
Figura 25 Punto y pendiente
4. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por y 7 .
Luego se ubican los puntos y se traza el triángulo, como se ve en la Figura 26.
Figura 26 Traza de triangulo
Además, se traza un triángulo semejante para calcular la ordena del punto de corte con el
eje y, como se muestra en la Figura 27.
28
Figura 27 Triángulos semejante
En este desarrollo se evidencia que los estudiantes logran obtener la ecuación sin necesidad
de usar el álgebra, solo tienen que razonar sobre las cosas que está visualizando.
Luego la ecuación de la recta es
Octava situación Suma de funciones
Con el desarrollo realizado frente a las rectas se plantea ¿Por qué no darles a los estudiantes
las gráficas y que encuentren la suma y la diferencia desde la imagen?, a partir de la
situación de la Figura 28.
Figura 28 Octava situación
Es así, que para trazar la suma de las rectas presentadas en la Figura 28 subyace la cuestión
¿cuántos puntos se necesitarían? Y dando solución a este planteamiento se presenta la
figura 29 donde se muestra que los puntos más indicados son donde en cada una de
las rectas.
29
Figura 29 Puntos
Ecuación de la recta negra
Ecuación de la recta rosada
Suma de las ecuaciones
Ecuación de la recta verde
Tabla de valores:
x Y
-3 -1
-2 0
-1 1
2
1 3
2 4
3 5
Tabla de valores:
x Y
-3 -7
- -6
-1 -5
0 -4
1 -3
2 -2
3 -1
Tabla de valores:
x y
-3 -8
-2 -6
-1 -4
0 -2
1 0
2 2
3 4
Al ir analizando las tablas de las rectas, se visualiza que las ordenadas de la recta suma es
la suma de las ordenas de las rectas iniciales. La recta suma se muestra a continuación en la
Figura 30.
30
Figura 30 Recta suma
Se obtuvo la suma a partir del lenguaje geométrico,
La recta suma a partir del lenguaje geométrico, mediante la representación tabular
muestra que las ordenadas de la recta verde son la suma de las ordenadas de las otras
dos.
Novena situación Resta de funciones
Una de las consideraciones que se debe tener inicialmente es saber a qué se le resta que; por
ejemplo, a continuación (en la Figura 31) se presenta las funciones de color verde y la
función de color negro, se va a representar gráficamente de color rojo, se logra al
responder ¿qué característica tiene los puntos para poder delimitar el otro?
31
Figura 31 Resta de rectas
A continuación se presenta un acercamiento a algunas cónicas, de manera análoga con lo
que se hizo con la función afín, con el fin de lograr abordar las tareas (5. cónicas y 6.
funciones) propuestas inicialmente.
Parábola "solo hay una".
2
Figura 32 Parábola 1
2
32
Figura 33 Parábola 2
2
Figura 34 Parábola 3
¿Qué pasa si el número que multiplica a 2 es menor?
33
1
2 2
Tabla:
x Y
-3 5
-2 2
-1
0 0
1 1
2 2
3 5
Figura 35 Parábola
1
3 2
Tabla:
X y
-3 3
-2 1
-1 0
0 0
1 0
2 1
3 3
Figura 36 Parábola
Se sigue observando una parábola.
¿Qué le pasa a la parábola?
Se obtiene como resultado haciendo analogía con la recta, que entre más pequeño
es el número más se abre la parábola.
El trabajo propuesto brinda a los estudiantes la posibilidad de descubrir mediante la
exploración gráfica cosas por ellos mimos, quitando peso a la escritura como primera
34
estancia. Evidenciando por ejemplo que el cambiar el signo solo implica girar el eje
haciendo analogía con la recta, así como se muestra en la Figura 37:
Figura 37 Cambio de signo
Ahora dándole sentido a los parámetros se puede llegar a establecer la ecuación de las dos
parábolas, que se muestran en la Figura 38:
Figura 38 Cambio de parámetros
Luego se puede transformar una ecuación en otra, así:
2
2
2 =0 ¿Qué indican los coeficientes?
35
Factorizando se obtienen las raíces: 1 √3
2 y 2
√3
2.
Es así como se logra otro resultado, y es determinar cuántas raíces reales se van a obtener a
partir de los cambios de signo.
Producto de rectas
Como primera cosa, se plantea ¿qué daría la ecuación?, para lo cual se hace una analogía
con lo realizado en la suma entre rectas sería conveniente observar las ordenadas de cada
una de las rectas, ya que en la suma lo que se opera son ordenadas. Así el estudiante podrá
tener una idea de la gráfica y lo podrá comprobar con la herramienta tecnológica; además,
puede llegar a ver la relación entre el producto de rectas y polinomios.
Hipérbola “solo hay una”
Al igual que con la parábola se realiza un trabajo con la hipérbola, en particular usar la idea
de asíntotas para definir cosas, que corresponde al último aspecto de la metodología
descrita al inicio de este apartado (Definir cuando sea necesario), algunos de los resultados
son:
Hablar de límites a través de los comportamientos asintóticos, diciendo que el límite
cuando es muy grande tiende a .
Todo cociente de rectas son hipérbolas equiláteras.
División de rectas como resultado las fracciones parciales.
Retomando las tareas propuestas inicialmente, como lo es encontrar una expresión
algebraica de funciones como las que se muestran a continuación:
Figura 39 Recopilación de resultados
36
A partir de estos análisis desarrollado por el Profesor Mancera y reconociendo su
experiencia, describe que los estudiantes al final del curso lograron realizar un
acercamiento a las expresiones algebraicas de funciones a partir de su representación
gráfica.
Finalizando de esta manera la presentación de una experiencia exitosa con el uso de la
tecnología, tienen lugar algunas reflexiones tanto del expositor como de los asistentes, las
cuales describen a continuación.
2.1.3 Reflexiones
Siendo esta la última parte de la descripción del curso “Uso de las tecnologías en la
enseñanza de la matemática”, se da lugar a las intervenciones de los asistentes y expositor,
en las que se discute en relación con:
El reconocimiento de los beneficios que puede brindar el uso de una herramienta
tecnológica en el aula, tales como: la oportunidad de que el estudiante logre
conjeturar a partir de la exploración con la herramienta sin necesidad de ser un
estudiante brillante en el campo de las matemáticas, mejorando su autoestima y
permitiendo que construyan una mejor relación con las matemáticas; además,
genera un avance en el aprendizaje matemático de los estudiantes ya que es posible
trabajar bajo las tres representaciones (aritmética, algebraica y gráfica)
simultáneamente.
El trabajo del profesor es fundamental pues es el que propone y diseña el tipo de
tareas que justifiquen el uso de una herramienta tecnológica, abriendo un espacio de
participación en el cual puedan realizar una actividad matemática en el aula.
Mitos, como lo es pensar que si se usan calculadoras en clase los estudiantes no van
a aprender matemáticas, pero en la experiencia que se presentó los estudiantes
aprendieron matemática porque tenían calculadora, ya que realizar los movimientos
en el plano cartesiano y manejar simultáneamente diferentes representaciones a
lápiz y papel hubiese sido un trabajo las laborioso.
Se reconoce la importancia de hacer reflexión sobre la naturaleza de las
matemáticas y los aspectos cognitivos que intervienen en el aprendizaje cuando se
usa una herramienta tecnológica, algunos asistentes manifestaron que efectivamente
con tecnología se aprenden otras cosas de las matemáticas.
Finalmente paras las cuestiones propuestas en la primera parte de la descripción de este
curso, sean: ¿es posible aprender matemática con tecnología?, ¿qué implicaciones tiene el
uso de tecnología para el estudiante? y ¿qué implicaciones tiene para el docente el uso de
tecnología en las clases de matemáticas?, se puede decir que, de acuerdo a la experiencia
37
que tuvo el profesor Mancera si es posible aprender matemáticas aun usando calculadoras
(como en este caso), puesto que los estudiantes aprendieron cosas, que podrían considerarse
triviales pero que en cursos anteriores los estudiantes no habían comprendido, además se
evidencio que el uso de tecnología permitió que los estudiantes que no se consideraban
buenos en matemáticas, ganaran confianza en si mismos, puesto que no necesitaban tener
muchos conocimientos en matemáticas para enfrentarse al problema, platear una hipótesis y
posteriormente una solución.
Por otro último, la cuestión que se refiere a las implicaciones que tiene para el docente el
uso de tecnología en el aula, en relación a esta se presenta una invitación a los docentes a
cambiar la perspectiva o las ideas de ver los procesos en matemáticas usando la tecnología
en sus clases, como herramienta de enseñanza, como medio para evaluar, entre otras
actividades, que el profesor tendría que replantear, con el fin de redefinir qué es aprender
matemáticas.
2.2 Curso “Incorporación de la geometría analítica en primaria y
secundaria” a cargo del Dr. Hernández
En este apartado se pretende realizar una descripción del curso Incorporación de la
geometría analítica en la primaria y secundaria, realizado por el Dr. Carlos Hernández
quien participó en el CANP-2012 en Costa Rica.
El Dr. Carlos Hernández es investigador en el Instituto de Matemáticas UNAM
(Universidad Nacional Autónoma de México), Doctor de Matemáticas de la UNAM,
escritor de libros de matemáticas y participa en el desarrollo de software en el Instituto
Federal Electoral.
2.2.1 Discurso
Carlos Hernández hace una pequeña reseña al uso de la tecnología en el aula al proceso de
enseñanza-aprendizaje de la geometría, dando relevancia a las tecnologías digitales
(software), y, en específico, de los software Descartes, Arquímedes y GeoLab. Respecto de
este último software, describe algunas características.
Señala que GeoLab es un programa interactivo que permite un acercamiento a la geometría
plana y analítica. Este software libre es creado por el Dr. Arturo Ramírez Flórez (CIMAT)
y Dr. Carlos Hernández Garciadiego (Instituto de Matemáticas, UNAM). Para instalarlo, es
necesario ingresar a la página Web http://puemac.matem.unam.mx; en esta se deben
diligenciar los datos de la búsqueda a realizar de la siguiente manera. Área: Geometría y
búsqueda: GeoLab. Como se muestra en la imagen 1.
38
Imagen 1
Este software brinda ventajas enriquecedoras como los son la herramienta muestreo y la
relación entre GeoLab y páginas Web la cual permite una descripción de procedimientos
tanto auditiva como textual (cuaderno) permitiendo la interacción con la construcción, esto
se hace desarrollando la construcción en GeoLab y exportándola al formato html.
Hernández menciona: “GeoLab es una herramienta que brinda utilidades en el aula, a
través de la experimentación”. Este software de geometría dinámica permite el
acercamiento con la experimentación (cuando se cumple o evidencia alguna recurrencia
matemática) y explicación1 de teoremas (actividad demostrativa-evidenciar).
En el Mapa 3 se hace mención de la estructura del curso.
Mapa 3 Estructura del curso Incorporacionde la geometria analitica en la primaria y secundaria
1Esta palabra la usa el Dr. Hernández para describir la acción que realiza el estudiante para inferir
características de una construcción realizada.
39
En el mapa anterior se recogen dos usos de la geometría dinámica en el aula identificados
en el curso:
1. Experimentación
2. Explicación de teoremas
Para cada uno, Hernández realiza construcciones las cuales se describen y explican en las
siguientes secciones de este capítulo.
2.2.1.1 Experimentación
La experimentación genera definiciones, teoremas y nuevos objetos matemáticos, llevando
a la creación y descubrimiento de conocimiento, el cual puede ser conjeturando y
analizando.
Además, las construcciones de objetos por distancia aquí planteadas permiten realizar un
análisis a la naturaleza y existencia de los objetos reconociendo la posibilidad de crear
nuevos conceptos, lo cual será tratado más a fondo en el capítulo 4. Las siguientes son las
construcciones desarrolladas por Dr. Carlos Hernández que apuntan al planteamiento de
una nueva definición de circunferencia, a través de la distancia.
Objetos por distancia
En este apartado se describen las construcciones realizadas bajo la existencia de un punto el
cual está determinado por la condición de este a dos puntos dados, es por esta razón que se
ha asignado el nombre “objetos por distancia”. Carlos Hernández hace mención de
mediatriz y circunferencias.
A. Mediatriz
La tarea establecida es: averiguar los puntos cuya distancia de a es la misma, para lo
cual el software utilizado requiere hacer uso de la condición menor que “<”.
Esta construcción implica:
1. Crear los puntos y
2. Definir las distancias y
3. Crear la condición
4. Determinar que el punto sea visible de acuerdo con la condición establecida.
40
Figura 40. Punto visible
Figura 41. Punto invisible
Como se observa en la Figura 40 el punto es visible, pero en la Figura 41 el punto no es
visible; su existencia visual en el plano esta generada por la herramienta de arrastre de los
software de geometría dinámica. Cabe mencionar que al hablar de punto no se refiere a la
etiqueta o nombre, para el caso de GeoLab.
5. Realizar el muestreo
Figura 42 Muestreo
El muestreo2 es una herramienta de GeoLab que crea gran cantidad de objetos que
satisfacen una condición lógica; además, se pueden determinar la cantidad que se deseen
para enriquecer la construcción.
2 En el uso de esta herramienta Hernández hace mención del Método Monte Carlo: Refiere a la determinación
aleatoria de números; para este caso de puntos.
41
En este caso la condición está determinada por la distancia de los puntos, es decir
, aunque en la construcción el puto es generado desde el principio, la
existencia de este depende de la satisfacción de la condición.
B. Circunferencias
Se realiza primero la construcción (Figura 43) y luego se indaga a los asistentes ¿cuáles son
los puntos cuya distancia a es veces la distancia a ?
La primera construcción implica:
1. Crear los puntos y
2. Definir la distancia y
3. Definir número tal que es dos veces .
4. Determinar que el punto sea visible de acuerdo a la condición .
5. Realizar el muestreo.
Figura 43 Muestreo
Al crear un número tal que es tres veces el valor de la distancia se obtiene el
gráfico de la Figura 44.
42
Figura 44 Muestreo
Y al crear un número tal que es cuatro veces el valor de la distancia se obtiene el
gráfico de la Figura 45.
Figura 45 Muestreo
Así, se puede identificar que la condición sobre las distancias genera circunferencias, y que
entre mayor sea c, el radio de la circunferencia es menor. Estas construcciones permiten en
el estudiante desarrollar un análisis algebraico, conceptual y existencial de los objetos
matemáticos propuestos; esto se realizará en el capítulo 4.
43
En el mapa 4 se describe claramente el desarrollo del curso de manera sintáctica.
Mapa 4 Objeto por Distancia
2.2.1.2 Explicación
La explicación de teoremas3 que genera la geometría dinámica permite realizar actividad
demostrativa sin hacer uso de la axiomática, sino haciendo uso de herramientas propias del
software, para el caso características de polígonos, triángulos, cónicas.
Polígonos
En este apartado se identificarán dos construcciones que resaltan características de los
polígonos, como lo son la suma de los ángulos interiores del polígono e identificar un
polígono regular.
Para estas construcciones, y con la intención de identificar cálculos, medidas y
características propias del objeto, el Dr. Hernández hace uso de la herramienta cuaderno, la
cual a través del arrastre permite reconocer lo mencionado.
A. Suma de ángulos interiores.
3 Explicación de Teoremas: Concepto determinado por Hernández este describe la acción de demostrar un
concepto matemático a través del uso de una herramienta tecnológica.
44
En la geometría se estableció un teorema que determina la suma de los ángulos internos de
un Polígono en relación con el número de lados. GeoLab permite en los estudiantes
reconocer, concluir, razonar, analizar y conjeturar a través de las propiedades identificadas.
Esta construcción requiere:
1. Construir la cantidad de puntos como lados del polígono (figura 46).
Figura 46 Puntos
2. Con la herramienta Polígonos, y haciendo clic en cada vértice, determinar el
polígono (figura 47).
Figura 47 Polígono
3. Determinar un punto en el interior del polígono (figura 48).
45
Figura 48 Punto interior
4. Realizar los segmentos definidos por los vértices del polígono y el punto en el
interior, (figura 49) lo cual determina triángulos.
Figura 49 Segmentos
5. Establecer y calcular la medida de los ángulos determinados por los polígonos
(figura 50).
46
Figura 50 Medida de ángulos
6. Calcular la suma de los ángulos centrales (ángulos alrededor del punto interior),
esto es (figura 51).
Figura 51 Suma de angulos
7. Sumar los ángulos interiores de un triángulo, esto es (figura 52).
47
Figura 52 Sumad de ángulos
8. Realizar el producto de la cantidad de triángulos por la suma de los ángulos
interiores del triángulo 7 .
9. Restar al producto anterior la suma de los ángulos centrales .
Figura 53 Obtención la ecuación
De lo cual, se puede determinar que para un heptágono la suma de los ángulos interiores es
. Con este proceso se puede generalizar la suma de los ángulos interiores de un
polígono, descrita con la siguiente manera.
1. Se suman los ángulos centrales que corresponde a
48
2. Se multiplica la cantidad de lados por (la suma de los ángulos interiores del
triángulo)
3. Al resultado de la multiplicación se le resta la suma de los ángulos centrales.
Esto se podría simbolizar como:
Siendo (Suma ángulos de polígono) y (Número de lados del polígono).
Se espera que esta construcción cree en el estudiante una apropiación del aprendizaje en
lugar de una memorización de la fórmula.
B. Polígono regular
En esta construcción se hace un acercamiento al juego en el aula, a través de la pregunta
¿qué forma debe tener un polígono para que tenga área máxima? Es a través de esta
actividad que se caracteriza al polígono como regular.
En esta construcción se puede observar por primera vez en el curso, el uso de una
herramienta de GeoLab llamada el cuaderno. Al dar clic en una nota del cuaderno se
obtiene la parte de la construcción que se desea y así se puede observar paso a paso la
actividad propuesta. Para el caso del polígono regular las notas son:
1 Este polígono tiene todos sus lados iguales ¿Organiza el polígono para que su área sea
máxima?
2 Casi formas un polígono regular. Pon los puntos en la circunferencia y podrás ver que
allí el polígono tiene su área máxima.
Para realizar esta construcción seguidamente se describe una opción.
1. Crear un escalar el cual será el radio de la circunferencia
2. Determinar un punto en plano
3. Crear circunferencia dado centro y radio (figura 54).
49
Figura 54 Circunferencia
4. Crear dos puntos preferiblemente que estén cerca de la circunferencia (figura 55).
Figura 55 Puntos
5. Con centro en uno de los puntos y punto en el otro punto que pertenece al segmento
determinar circunferencia (figura 56).
50
Figura 56 Circunferencia
6. Esto se realiza la cantidad de lados del polígono menos dos (figura 57).
Figura 57 Lados de polígono
7. Con centro en las en los primeros puntos y los últimos realizar las dos
circunferencias que se determinan y encontrar el punto de intersección (figura 58).
51
Figura 58 untos de intersección
8. Con herramienta polígono, determinar el polígono con los puntos obtenidos y
ocultar algunos de los objetos creados (figura 59).
Figura 59 Polígono
9. Encontrar el área del polígono.
Luego de esto se dan las características del cuaderno, para que la actividad determinada por
esta construcción, obtenga resultados en la explicación de teoremas.
Es así, como a través del juego y la acción de tener el área a su máxima expresión se
obtiene una aproximación al polígono regular.
Triángulos
En la escuela un objeto geométrico que se trabaja con regularidad es el triángulo y sus
características, es por esto que se hacen algunas descripciones de este.
52
A. Alturas de triángulo
Las alturas del triángulo se encuentran limitadas por la definición que se enseña, en algunos
casos se define la altura como un segmento lo que impide su existencia para cada lado del
triángulo. Además, se espera que esta construcción cree en el estudiante una apropiación
del aprendizaje en lugar de una memorización de la fórmula.
Para realizar esta construcción se requiere.
1. Crear tres puntos y los segmentos respectivos (interior y exterior de segmentos)
2. Realizar el triángulo (figura 60).
Figura 60 Triangulo
3. Crear rectas perpendiculares entre el segmento (tanto el interior y el exterior) y el
punto (vértice) opuesto a dicho segmento (figura 61).
Figura 61 Alturas del triangulo
53
En esta construcción es importante reconocer que en GeoLab la recta que contiene al
segmento se denomina como exterior del segmento, las alturas deben estar determinadas
por las rectas para el caso el exterior de los segmentos, ya que si están en función del
segmento para algunos lados del triángulo no se determinará.
Al enseñar en el aula la definición de altura es importante no definirla a partir de segmentos
ya que cuando el triángulo no sea acutángulo dejará de existir alguna altura del triángulo; si
por el contrario se define por rectas se crea la existencia de todas las alturas sin importar el
tipo de triángulo.
B. Puntos interiores del triángulo
Ortocentro
Para esta construcción se siguen los pasos de las alturas del triángulo, y, el punto de
intersección de las rectas es aquel que se denomina ortocentro.
Circuncentro
1. Crear tres puntos y determinar el triángulo.
2. Determinar la mediatriz de cada uno de los segmentos del triángulo (figura 62).
Figura 62 Mediatriz
3. Establecer el punto de intersección de las rectas (figura 63).
54
Figura 63 Circuncentro
La característica del circuncentro es que con este punto y uno de los vértices del triángulo
se puede determinar una circunferencia la cual contiene cada vértice del triángulo (figura
64).
Figura 64 circunferencia
Grabicentro
1. Realizar el triángulo
2. Determina puntos medios de cada lado (figura 65).
55
|
Figura 65 Punto medio
Crear rectas desde el punto medio vértice opuesto al mismo y determinar el punto de
intersección (figura 66), estas rectas se denominan medianas del triángulo.
Figura 66 Medianas
Cabe observar, que en estas construcciones se habla del punto de intersección de las rectas
y para ello solo se toman dos, surge la duda de ¿las demás intersecciones son el mismo
punto? Para abordar esta duda, GeoLab tiene una herramienta que permite reconocer si ese
punto pertenece a la recta.
56
Figura 67 Grabicentro
Esto se puede hacer para cada una de las construcciones mencionadas.
C. Ángulos interiores del triángulo
La suma de los ángulos interiores del triángulo es un teorema que requiere de la axiomática
para ser demostrado, pero a través de esta construcción podemos observar el valor de los
ángulos internos.
1. Definir el triangulo
2. Determinar los ángulos interiores (figura 68)
Figura 68 Ángulos interiores
3. Sumar los ángulos obtenidos (figura 69).
57
Figura 69 Suma de ángulos
Con la herramienta cuaderno y arrastre podemos observar que para todo tipo de triángulo
esta característica se mantiene, lo cual permite en el estudiante platee conjeturas en torno a
la actividad propuesta y los resultados obtenidos.
D. Recta de Euler
Los puntos anteriormente construidos determinan una recta, para reconocer esto se
requiere:
1. Realizar el triángulo
2. Construcción auxiliar (exporta lo que queremos de otra construcción) ortocentro,
circuncentro y grabicentro (figura 70).
Figura 70 Puntos del triangulo
58
3. Determinar la recta por dos de los puntos (figura 71).
Figura 71 Recta de Euler
4. Reconocer si todos los elementos pertenece a la recta, reconociendo que los puntos
son colineales.
Cónicas
Las cónicas en principio se realizaban por medio de cortes del plano a un cono.
Posteriormente surge el problema de Pappus al cual Descartes da solución desde la
geometría analítica. Estos y otros análisis serán desarrollados en el capítulo 6. Por ahora se
harán las descripciones de las construcciones desarrolladas en el curso.
A. Problema de Pappus
De acuerdo con la descripción del curso, Hernández hace mención de esta construcción
como el “Teorema” de Pappus.
1. Crear dos rectas y determinar sobre cada una de ellas tres puntos (figura 72)
59
Figura 72 Puntos sobre rectas
2. Crear las rectas determinadas por los puntos (figura 73)
|
Figura 73 Rectas determinadas por los puntos
3. Encontrar dos puntos de intersección de las rectas (figura 74)
60
Figura 74 Puntos de intersección
4. Determinar la recta por los dos puntos de intersección (figura 75).
Figura 75 Recta
Luego de esto, se realiza una construcción auxiliar del “Teorema” de Pappus, modificada
por Carlos Hernández, la cual implica.
1. Construir cinco puntos.
2. Determinar un segmento (mostrar interior y exterior del segmento)
61
Figura 76 Segmento
3. Determinar dos segmentos, uno que tenga un punto del segmento anterior y así para
el tercero (incluyendo un punto del segundo) (figura 77).
Figura 77 segmento 2
4. Un cuarto segmento que una el segmento tres con el puno faltante (figura 78).
Figura 78 Segmento 3
5. Crear circunferencia con centro al primer punto creado y un punto en ella.
62
Figura 79 Circunferencia
6. Crear recta por los puntos: punto de la circunferencia y centro (figura 80).
Figura 80 Recta por punto de la circunferencia
7. Determinar el punto de intersección con el segmento
Figura 81 Punto de intersección
8. Determinar el punto de corte entre el primer segmento y el último; con este
determinar la recta con el punto determinado anteriormente (figura 82).
63
Figura 82 Punto de corte
9. Crear el punto de intersección de esta recta con el segundo segmento; crear la recta
por los dos puntos (figura 83).
Figura 83 Punto de intersección
10. Determinar el punto de intersección de la recta anterior con la recta del numeral 6.
Figura 84 Punto de intersección 2
64
11. Crear la traza, con movimiento del punto de la circunferencia y mostrando el
recorrido del último punto creado.
Para esta traza se determinan dos cónicas (figura 85 y 86)
Figura 85 Traza 1
Figura 86 Traza 2
B. Cónicas - circunferencia
En este caso se hace otra construcción que conlleva a la construcción de cónicas.
1. Construir un punto
2. Definir un escalar, el cual será el radio de la circunferencia
3. Con centro en el punto y con el radio definido por el escalar, construir la
circunferencia (figura 87).
65
Figura 87 Circunferencia
4. Crear dos puntos, uno que pertenezca a la circunferencia y otro que no (este último
puede estar dentro o fuera del círculo; en este caso se eligió el que está dentro).
Figura 88 Puntos
5. Crea la recta mediatriz determinada por estos puntos
Figura 89 Mediatriz
66
6. A través de una herramienta denominada traza, aplicada a la recta, se construye el
rastro que deja esta al mover el punto que pertenece a la circunferencia.
Figura 90 Traza
Si el punto C del numeral 4 se hubiese colocado fuera del círculo, lo que se hubiese
obtenido está representando en la Figura 91.
Figura 91 Traza Cambiando posición del punto
En el capítulo 4 se hará un análisis de las cónicas haciendo énfasis en sus envolventes.
2.2.2 Reflexiones
En este curso se realizaron diferentes intervenciones por parte de los asistentes; algunas de
ellas, se retoman a continuación de manera textual y se incluye las respuestas o reacciones.
Un interventor expreso “Estos programas permiten representar objetos geométricos a
través de figuras propias, utilizando el lenguaje de Gardis, es decir, en donde los
67
objetos y las propiedades son más o menos transparentes: un triángulo, un ángulo (con
las complicaciones que se señalaban y otras cosas), etc. Pero no conozco que estos
software permitan representar relaciones entre objetos y, específicamente (un asunto
que ha sido de mi interés) la razón entre dos segmentos, no entendida como el real que
representa la división de la longitud que representa los dos segmentos. ¿Este software
permite la representación de un concepto matemático como lo es la razón entre dos
magnitudes geométricas?”
A lo cual el Dr. Hernández respondió, en alguna de las construcciones se identifica la
pertenencia de un punto en una recta, lo cual es una relación entre dos objetos, además,
el software permite determinar si dos rectas son concurrentes o paralelas esto con
respecto a relaciones de dos objetos, respecto a la razón se puede construir relaciones
de razón entre ellos es decir, dada una razón esta se le puede asignar a un segmento y
el contrario también, dados tres puntos alineados puedo determinar cuál es la razón de
la distancia que existe entre ellos.
A parir de la respuesta expresada por el Dr. Mancera el interventor añadió. Discutiendo
los niveles de representación de esos objetos que son geométricos pero no son
trasparentemente geométricos, es decir, no son las figuras propias porque hay una
limitación no del software sin por el carácter epistémico del objeto que no es de la
misma condición epistémica del otro y esos elementos son fundamentales para la
formación docente. La razón no se deja representar geométricamente pero si
aritméticamente y no lo deja hacer por su carácter epistémico en tanto la relación y
puede ser por la imposibilidad de definirla y la posibilidad que una teoría matemática
tiene de desarrollarse a pesar de que hallan objetos que no están definidos y que se
puedan representar.
“Preocupación de los profesores de matemáticas por hacer una enseñanza más
trasparente o más fácil en particular para los niños de primaria eso hecho que
eliminando dificultades se incurra en errores que se han analizado y en el pasado se
hicieron muchas investigaciones sobre obstáculos epistemológicos en dificultades
errores generados por esa buena intencionalidad de hacer fácil eliminar decimales no
trabajar con el cero, es decir, todo lo que genera obstáculo en términos generales o
dificultad, entonces a través de la geometría dinámica hay software que aborda
problemas que hacen más transparente que podrían hacer “más fácil” la enseñanza
¿Ustedes, en experiencias con niños y maestros, cómo se manejan estas limitaciones
que en la representación figural o en los problemas de visualización, por ejemplo
cuando el punto es un círculo o los pixeles en segmentos y rectas, es decir, qué
dificultades han encontrado y si se ha estudiado la manera de manejar todos esos
68
posibles obstáculos, dificultades y errores que se generan al hacer fácil la enseñanza
cada vez utilizando recursos más sofisticados en el plano o 3D?”
No mucha experiencia ya que no somos pedagogos por lo tanto no hemos abocado a
tratar de resolver o poner una hipótesis, en principio sentimos que ayuda el tener un
software de este tipo el poder mover el poder cambiar la posición y ver qué sucede
pero no se ha hecho ningún trabajo riguroso y pedagógico con los chicos.
“¿Qué usos tiene la introducción de elementos audiovisuales en el trabajo de este
software?”
La gran ventaja del audio es que la voz hace que el alumno no necesite leer con mucho
cuidado lo que dice el cuaderno (herramienta de GeoLab), ahora la voz lo atrapa, el
hecho de tener actividades interactivas y además con voz personaliza la enseñanza.
69
3 Lineamientos curriculares
En el capítulo anterior se realizó un primer acercamiento, mediante la descripción de cada
uno de los cursos con el ánimo de conocer qué se hizo, para así analizar los cursos desde la
perspectiva curricular colombiana que es nuestro interés. En este capítulo estudiaremos el
documento de los lineamientos curriculares “Nuevas Tecnologías y Currículo de
Matemáticas” (MEN, 2001), y su correspondencia con cada uno de los cursos
mencionados.
Los Lineamientos Curriculares en Matemáticas (MEN, 1998) constituyen una apuesta del
Ministerio de Educación Nacional para perfilar el estudio de las Matemáticas, no como un
fin en sí mismo, sino como un medio para el desarrollo del pensamiento matemático; en la
propuesta del MEN se evidencia la necesidad de crear un currículo en donde las nuevas
tecnologías, inmersas en esta generación informática, tengan un lugar fundamental. La serie
de lineamientos curriculares “Nuevas Tecnologías y Currículo de Matemáticas” (MEN,
2001), es un proyecto del Ministerio de Educación Nacional, que surge del interés en
mejorar el proceso de enseñanza-aprendizaje de la educación matemática mediante la
incorporación de nuevas tecnologías.
El documento mencionado, evidencia cómo las herramientas tecnológicas contribuyen al
aprendizaje de las matemáticas, desde los tres ejes en que se organiza el currículo de
matemáticas en las instituciones educativas, es decir, desde el contexto, los procesos de
aprendizaje y los conocimientos básicos; plantea la importancia de la incorporación de
herramientas tecnológicas en la práctica del profesor de matemáticas y sus estrategias de
uso, con el objetivo de mejorar la educación en matemáticas en Colombia. Además, expone
las posibilidades que puede brindar el uso de herramientas tecnológicas en la actividad
matemática del estudiante.
En el desarrollo de tal proyecto, inicialmente se consolidó una comunidad de profesores e
investigadores con el fin de reconocer las tecnologías que permitieran reconstruir y
desarrollar el currículo, conduciendo de una enseñanza tradicional, entendida como la
realización de cálculos con papel y lápiz, a una usando nuevas tecnologías que permitan a
los estudiantes interpretar resultados, implementar estrategias y aplicar lo aprendido en
diferentes contextos.
70
A continuación, se hará mención del uso de la tecnología de acuerdo a la serie de
lineamientos curriculares “Nuevas Tecnologías y Currículo de Matemáticas” (MEN, 2001),
desatancando los tres ejes curriculares: procesos de aprendizaje, conocimientos básicos y
contexto, estableciendo desde estos una correspondencia entre la serie de lineamientos
curriculares y los cursos descritos anteriormente (apartado 2).
3.1 Uso de la tecnología
A lo largo de la vida académica se ha hecho uso de tecnología desde diferentes
herramientas, como lo son: compás, reglas, calculadoras, software de matemáticas, entre
otros, que han servido de medio entre el conocimiento matemático y el estudiante, con el
objetivo de mejorar los procesos de enseñanza-aprendizaje. Cada una de estas herramientas
está asociada con una actividad diferente, lo cual es un hecho relevante, puesto que, lo que
se aprende del objeto matemático depende de la herramienta con la que se manipula.
De acuerdo con lo planteado en los lineamientos curriculares “Nuevas Tecnologías y
currículo Matemáticas” (MEN, 2001), se puede reconocer el uso de la tecnología en el aula
como una herramienta de aprendizaje que brinda un nuevo realismo de los objetos
matemáticos, puesto que las nuevas tecnologías permiten conocer el objeto desde: la
realización de cálculos, la visualización de gráficas como parábolas, y diferentes lugares
geométricos, la exploración de características (por ejemplo la herramienta de arrastre), es
decir, desde diferentes representaciones, lo cual brinda al estudiante la oportunidad de
construir el significado de objetos matemáticos.
3.1.1 Nuevas tecnologías en el aula desde el currículo
A partir de los lineamientos curriculares “Nuevas Tecnologías y currículo Matemáticas”
(MEN, 2001), se realizan reflexiones acerca de la naturaleza de los objetos matemáticas y
los procesos de enseñanza-aprendizaje, lo que conlleva al reconocimiento de las nuevas
tecnologías y el papel que desempeñan en el Currículo de Matemáticas.
Por lo anterior, se plantea una reestructuración en la educación atendiendo a la importancia
del uso de nuevas tecnologías en el aula, en particular el uso de computadores, ya que estos
brindan la posibilidad de potencializar habilidades como: creatividad, procesos de
modelación, experimentación, visualización de patrones, entre otros. Luego se plantea el
cómo incorporar los recursos tecnológicos en el aula de matemáticas.
Es así, como el Ministerio de Educación Nacional replantea la Educación en Tecnología
para la Educación Básica y Media, incorporando la tecnología e informática como área
obligatoria, atendiendo a hechos como: la tecnología como herramienta interdisciplinar, la
71
tecnología como un proceso de transformación continua, y el uso de tecnología como
necesidad social.
Es así, como el uso de tecnología empieza a ser un objeto de estudio, en donde se cuestiona
el uso de estrategias para introducirla en el aula, replantear qué se enseña, cómo se enseña y
cómo aprenden los estudiantes. Puesto que las nuevas tecnologías proponen un cambio en
la naturaleza de los problemas en matemáticas, mediados por la facilidad en los cálculos y
representaciones gráficas.
En relación con el qué enseñar, en el documento se plantean tres tipos de saberes
matemáticos los cuales son:
Saber matemático científico, que se presenta mediante un lenguaje axiomático
deductivo, relacionándolo con el uso de tecnología se cuestiona la aceptación de
demostraciones a través de medios computacionales;
Saber matemático cotidiano, que se refiere a las matemáticas de la vida cotidiana,
las cuales se pueden modelar con herramientas tecnológicas, que permiten
animaciones de movimientos, que propician la comprensión a situaciones
matemáticas que no son evidentes en representaciones a lápiz y papel;
y el saber matemático escolar, caracterizado por la transposición didáctica de
saberes matemáticos que debe hacer el docente, con el fin de proponer situaciones
problemas, que permitan construir soluciones generadoras de aprendizaje, lo que
implica que el estudiante no solo aprende algoritmos que luego usa en determinadas
situaciones, sino que le encuentra un sentido al problema.
Respondiendo a cómo se enseña y cómo se aprenden las matemáticas, se precisa la idea de
desarrollar una actitud positiva hacia las matemáticas, desde su construcción en donde los
estudiantes tienen la oportunidad de crear conocimientos mediante la indagación en torno a
una situación problemática, logrando una mejor compresión, en tanto el estudiante explora
diferentes representaciones de un objeto matemático, posibilidad que brindan las
tecnologías en la actualidad, ya que no solo realizan gráficas sino que también permiten
manipulación simbólica.
De lo anterior, se tiene que el estudiante puede transitar por diferentes representaciones lo
que permite que el conocimiento se forme mediante un proceso de construcción ligado a un
instrumento que incide en la naturaleza del conocimiento. Los instrumentos tecnológicos,
por ejemplo, modifican la naturaleza del conocimiento que se construye a lápiz y papel, ya
que el aprendizaje depende de la forma de construcción. Se hace ineludible reconocer el
impacto del uso de la tecnología en la educación matemática, reconociendo la facilidad de
cambiar de representaciones de un objeto matemático.
72
Es preciso mencionar, que los lineamientos curriculares “Nuevas Tecnologías y currículo
Matemáticas” (MEN, 2001), están demarcados por tres ejes como los son (el contexto, los
procesos de aprendizaje y los conocimientos básicos). En cada uno de estos se analiza
cómo el uso de nuevas tecnologías potencia el aprendizaje de las matemáticas.
El contexto, se constituye como un entorno en el cual los estudiantes se estimulan por
aprender, a través de la exploración, formulación y resolución de situaciones problemáticas.
Lo anterior está relacionado al ambiente de trabajo que vive el estudiante en el aula, el cual
implica un cambio, en relación con la valoración de la exploración, descubrimiento y
postulación de hipótesis.
Procesos de aprendizaje, enmarcados en el razonamiento, resolución y planteamiento de
problemas, comunicación, modelación y elaboración, comprobación y ejercitación de
procedimientos. Además, se resaltan algunas habilidades tales como: la visualización, la
capacidad investigativa, la retroalimentación, la observación de patrones y el
establecimiento de conexiones, que se pueden desarrollar haciendo uso de una herramienta
tecnológica.
Con el ánimo de fortalecer las habilidades mencionadas desde una experiencia personal
para el estudiante, el uso de una herramienta tecnológica lo satisface mediante la
exploración y la experimentación (provee la oportunidad de observar, hacer predicciones,
lograr representaciones, validar hipótesis, controlar variables) de objetos matemáticos.
Conocimientos básicos, corresponde a la contribución de la tecnología en cada uno de los
pensamientos propuestos por el currículo en matemáticas, los cuales son: pensamiento
numérico y sistemas numéricos, pensamiento espacial y sistemas geométricos, pensamiento
métrico y sistemas de medida, pensamiento aleatorio y sistemas de datos, y pensamiento
variacional y sistemas algebraicos y analíticos. En cada uno de estos se rescatan las
múltiples posibilidades que brinda el uso de calculadoras o computadores en la clase de
matemáticas; por ejemplo, la oportunidad de formular hipótesis, explorar los problemas y
tomar decisiones, lo anterior caracterizado por la motivación de los estudiantes, ya que
dejan de lado las dificultades operatorias y con ello la actitud negativa hacia las
matemáticas.
3.2 Correspondencia de los cursos con los Lineamientos curriculares en
matemáticas para las nuevas tecnologías
En el presente apartado se presenta el análisis de cada uno de los cursos, atendiendo al
documento de “Nuevas Tecnologías y Currículo de Matemáticas Apoyo a los Lineamientos
Curriculares”, del Ministerio de Educación Nacional.
73
3.2.1 “Uso de las tecnologías en la enseñanza de la matemática”
De acuerdo con el documento de los Lineamientos Curriculares en Matemáticas para las
Nuevas Tecnologías (MEN, 2001), que surge con el ánimo de incorporarlas y profundizar
su importancia en el Currículo de Matemáticas, a continuación se describe la posible
correspondencia entre el curso desarrollado por el profesor Mancera (descrito en el
apartado 2.1) y dichos lineamientos, en términos de los tres ejes (procesos de aprendizaje,
conocimientos básicos y el contexto), en que se organizan los Lineamientos Curriculares de
Matemáticas (MEN, 1998).
En lo que se refiere a los procesos de aprendizaje (el razonamiento, la resolución y
planteamiento de problemas, la comunicación, la modelación y la elaboración, comparación
y ejercitación de procedimientos), encontramos que la propuesta de incorporación de
tecnología en el aula, expuesta por el profesor Mancera brinda la posibilidad de que el
estudiante realice procesos como:
Exploración
Descripción del planteamiento cuando se le dan valores ala pendiente y punto de corte para
la construcción de la recta, como se desarrolla en la quinta situación que refiere a los casos
de que la pendiente sea mayor que 1 o menor que 1.
Observación
Analizar las situaciones planteadas desde la observación, vista como los cambios de
condiciones. Por ejemplo, pasar de las funciones lineales a las funciones afines, la
determinación de la pendiente, reflejar una recta respecto al eje , la suma de rectas.
Este es un proceso al que se le da bastante importancia puesto que el objetivo es que al final
los estudiantes logren dar la ecuación de las rectas desde lo que se puede visualizar, es decir
de la información que proporciona la gráfica.
Cuando se le propone al estudiante, que caracterice los puntos de una recta, ya sea de una
función lineal o afín, este puede navegar por diferentes representaciones, en este caso puede
explorar la gráfica y su respectiva tabla.
Formulación de conjeturas
A partir de lo observado, el estudiante va estableciendo algunas hipótesis, por ejemplo,
cuándo la pendiente de una recta es positiva o negativa, que la suma de rectas se hace punto
a punto, cuando una recta pasa por el origen, cuál es la ecuación de un la parábola si se
desplaza en alguna dirección en el plano.
74
Establecer conexiones
Desde el inicio el profesor Mancera se propone en la metodología a implementar que “lo
nuevo se parezca a lo anterior”, es así como cada una de las situaciones que propone están
estrechamente ligadas, a partir de un objeto “fácil” para el estudiante como lo es la recta,
hasta llegar a las cónicas. Un ejemplo concreto en el curso es que se plantea la misma
pregunta en diferentes situaciones el donde el estudiante a partir de o visto en la situación
anterior logra dar solución a una nueva situación.
Comunicación y retroalimentación inmediata
La comunicación es un proceso que sobresale en la propuesta, ya que en el ambiente de
trabajo que se maneja el aula los estudiantes tienen que interactuar las ideas y soluciones
que van encontrando, lo cual se consigue en un tiempo corto puesto que la herramienta
tecnológica a porta al conocimiento del estudiante de manera inmediata.
Es así, como el desarrollo de los procesos mencionados implica que el estudiante realice en
el aula una actividad matemática en torno a una situación problemática. Lo cual adquiere
importancia en términos de la valoración de estos procesos en el aula, reconociendo que
aporta al aprendizaje de las matemáticas. Dicha actividad entendida como: cometer
errores, elaborar hipótesis, generalizar y comunicar; brinda al estudiante la posibilidad de
construir el conocimiento matemático.
Sabiendo que el uso de la tecnología en un principio se llevó a cabo con el objetivo de
evitar cálculos largos, en la actualidad se reconoce que permite avances en los procesos
cognitivos de los estudiantes, ya que permite “saltarse”, de alguna manera, los cálculos y
centrarse en la interpretación de situaciones y resultados.
En relación con los conocimientos básicos (que se refiere al desarrollo del pensamiento,
numérico, especial, métrico, variacional, entre otros), reconocemos que el uso de una
herramienta tecnológica, aporta a los diferentes pensamientos, tomando como referente que
el uso de la tecnología en la clase de matemáticas permite trabajar con un objeto desde
diferentes representaciones, en la propuesta que hace el profesor Mancera, en particular se
trabajaron las representaciones, gráficas y algebraicas, así como los pensamientos:
Espacial y sistemas geométricos, desde las gráficas de rectas y cónicas.
Variacional y sistemas algebraicos y analíticos, usando las representaciones
algebraicas que brinda la calculadora.
Es así, como el uso de una herramienta tecnológica, brinda al estudiante la posibilidad de
tener a una serie de experiencias “más reales” con el objeto matemático desde diferentes
representaciones (que no se logran con lápiz y papel), lo que propicia nuevas estrategias
75
para mejorar el aprendizaje de las matemáticas en cada uno de los pensamientos, desde lo
que se puede visualizar gráficamente y algebraicamente con tecnología.
Esta forma de trabajar en matemáticas, es decir, con el uso de la tecnología, da lugar a
cuestiones planteadas por el profesor Mancera, tales como ¿las matemáticas que se
aprenden con tecnología son distintas de las aprendidas a lápiz y papel? ¿qué matemática se
aprende con tecnología? . De acuerdo con los lineamientos para las nuevas tecnologías, el
uso de los instrumentos de mediación (en este caso tecnológicos), generan la existencia del
objeto matemático, luego el estudiante construye su propia versión de la existencia del
objeto de acuerdo con el trabajo realizado en la herramienta tecnológica.
Finalmente, en lo que se refiere al contexto (que tiene que ver con el ambiente que rodea al
estudiante y le da sentido a lo que aprende, en donde se da solución a una situación
problema), inicialmente reconocemos que el contexto va más allá de las matemáticas que se
refieren a lo “cotidiano” en términos de las cuentas diarias, por ejemplo, en el mercado o en
el transporte. A partir de lo anterior y de acuerdo con los Lineamientos de incorporación de
las nuevas tecnologías en el Currículo de Matemáticas, el contexto matemático es el medio
que permite que el estudiante realice una actividad científica en el aula con el propósito de
resolver una situación problema.
Es así, como el uso de una herramienta tecnológica le brinda al estudiante la posibilidad de
“experimentar” una situación problemática en donde realiza los procesos mencionados
hasta descubrir la solución. Es por esto que el contexto es fundamental en el proceso de
enseñanza-aprendizaje de las matemáticas, puesto que permite que el estudiante pueda ver
el conocimiento matemático como algo que se construye, generando de esta manera un
aporte muy importante hacia una actitud positiva frente a la actividad matemática, puesto
que el contexto generado con el uso de tecnología permite que el estudiante trabaje en el
problema sin que tenga muchas habilidades o conocimientos matemáticos.
Lo anterior, surge de los resultados que obtuvo el profesor Mancera, ya que los estudiantes
que no tenían buen rendimiento en matemáticas presentaron predisposición, puesto que no
querían manifestar sus debilidades frente al tema. Pero el uso de la herramienta tecnológica
permitió un acercamiento positivo hacia la actividad matemática y de alguna manera lograr
en el estudiante una cultura de estudio autónomo que fuera de su agrado. El profesor
Mancera durante el curso reconoce que estudiantes que no eran considerados buenos en
matemáticas empezaron a tener cambios; por un lado se empezaron a interesar por explorar
situaciones en la calculadora fuera de la clase de matemáticas y, por otro lado, empezaron a
tener mejor desempeño. En lo anterior se evidencia cómo los procesos de enseñanza
aprendizaje mediados por calculadoras o computadores promueven una actitud positiva
76
hacia las matemáticas, ya que los estudiantes se ven motivados a trabajar en el problema y
buscar relaciones dejando de lado los cálculos que suelen ser una dificultad.
Es importante tener en cuenta que en cada uno de los aspectos descritos anteriormente
(procesos, conocimientos básicos y contexto), el rol del docente y su actividad profesional,
desempeñan un papel fundamental en el proceso de enseñanza-aprendizaje mediante el uso
de una herramienta tecnológica, ya que es el docente quien diseña las situaciones problema,
que será mediada por el medio tecnológico. Así como se puede evidenciar en la descripción
realizada de la propuesta del profesor Mancera en el apartado 2.1, en donde se plantea una
serie de tareas en torno a unos objetivos particulares, que dan lugar al conocimiento que se
quiere enseñar.
De lo anterior, surge una reflexión en relación con la actividad profesional del docente en el
aula de matemáticas, puesto que el diseño de una actividad como la propuesta toma tiempo,
así que con el ánimo de aportar a la realización de actividad matemática en el aula, una
opción es investigar propuestas que aporten a la enseñanza de algún objeto.
3.2.2 Incorporación de la geometría analítica en primaria y secundaria
En este apartado se hará un análisis al curso del Dr. Hernández (descrito en el apartado 2.2)
teniendo como directriz las características propias de los Lineamientos curriculares Nuevas
tecnologías (MEN, 2001) los cuales se desarrollan para orientar la educación en
matemáticas, aludiendo a aspectos como:
La naturaleza de las Matemáticas
Representaciones de los objetos matemáticos
La naturaleza de las Matemáticas está determinada, para algunos, como una ciencia exacta
que ya está creada. El Dr. Hernández, a través de sus propuestas en torno a la
experimentación, brinda la posibilidad de que el individuo sienta que fue el creador y autor
de un nuevo conocimiento, representación o concepto, lo cual genera un aprendizaje de un
objeto matemático de acuerdo a su construcción.
En la escuela se ha infiltrado un pensamiento en torno a que el estudiante debe ser un
receptor que aprende y repite algoritmos u operaciones ya determinadas por el currículo,
pero las nuevas tecnologías dan cabida a que el proceso enseñanza-aprendizaje esté basado
en la experiencia que tiene el individuo frente a su exploración del conocimiento.
Si bien el Dr. Hernández no hace una descripción del uso de la tecnología en el aula, sí hace
mención de los aportes que puede generar su uso en el desarrollo del pensamiento y
aprendizaje del estudiante; a través de la exploración pretende que tanto el profesor como el
77
estudiante jueguen un papel importante, ya que el docente debe ser un mediador entre el
conocimiento y el estudiante, diseñando actividades claras y con objetivos de aprendizaje
matemático, así como el estudiante debe estar dispuesto a experimentar y explorar las
actividades generadoras de conocimiento.
Con respecto a lo mencionado anteriormente, los Lineamientos (MEN, 2001), están
determinados por tres ejes los cuales son: procesos de aprendizaje, conocimientos básicos y
contexto; algunos de estos aspectos se relacionan con el curso desarrollado por el Dr.
Hernández así.
Al hablar de los procesos matemáticos, se evidencian tres vertientes:
1. Razonamiento. Este lo vemos en la construcción e identificación de los objetos por
distancia, ya que el individuo de ser posible debe identificar y relacionar lo obtenido
con un objeto matemático que conoce e intentar demostrar su existencia. Lo que hace a
partir de las condiciones lógicas y sus conocimientos previos.
2. Resolución y planteamiento de problemas. Se identifica en los objetos por distancia
aunque dicho planteamiento no está en el eje del contexto sino que es un problema
planteado bajo el lenguaje matemático (condición lógica ); a pesar de ello, este
planteamiento requiere de una exploración para identificar el lugar geométrico lo que
denominamos como la resolución. En un primer momento el estudiante por intuición y
lo visto gráficamente por la herramienta de muestreo se plantea una hipótesis (en este
caso una de ellas es que el lugar geométrico es una circunferencia), luego usa los
conocimientos que tiene sobre el objeto (en este caso sabe la forma algebraica general
de una circunferencia e intenta llegar a esta) y finalmente da solución a la problemática.
Esta vertiente también se evidencia en el curso al determinar las características del
polígono ya que para identificarlas se plantea una situación problema, en el caso de las
alturas del triángulo, si bien no alude a un planteamiento, sí lo hace a los docentes,
enmarcado en el cómo definir las alturas.
3. Modelación. En cada proceso desarrollado a través del software GeoLab se evidencia
este proceso; si bien, en algunos casos el software es quien lo desarrolla, el estudiante
puede reconocer las diferentes representaciones.
Además, aunque el Dr. Hernández no hace un desarrollo exhaustivo en la
experimentación, nosotras lo que encontramos enriquecedor (apartado 4.1) para ser
planteado a los estudiantes permitiéndole acceder a un cambio de representaciones entre
78
gráfica, algebraica y verbal, ya que de acuerdo a los lineamientos (MEN, 2001) la
forma conocer un objeto se realiza mediante sus representaciones.
Al hablar de los conocimientos básicos, se evidencian dos vertientes
1. Pensamiento. En cuanto a la experimentación el pensamiento numérico lo
evidenciamos en el aumento de la condición lógica, por ejemplo, de la condición lógica
de la mediatriz a la de la circunferencia. El pensamiento aleatorio en la herramienta
muestreo permitiendo identificar el significado de aleatoriedad, al elegir la cantidad de
puntos que cumplen la condición y que quiero que se visualicen. Y en general el
pensamiento variacional, en el hecho de arrastrar y tener diferentes propuestas en una
misma construcción y bajo las mismas condiciones.
2. Sistemas. sistema geométrico lo evidenciamos en lo que denomina el Dr. Hernández
como explicación de teoremas y sistema algebraicos y analíticos, en el acercamiento
que desarrolle el individuo por demostrar lo que en el software se visualiza como un
objeto matemático.
En términos del eje contexto, no se evidencia tarea alguna en este curso que gire en torno a
las posibles problemáticas de un individuo de la escuela. El torno se compone de la
situación problemática que plante el profesor y el medio tecnológico que permite
solucionarla que implica que se adquirió un saber matemático.
Aportando a lo anterior, los lineamientos curriculares en Colombia hacen mención del
medio tecnológico como una herramienta que permite retroalimentar, representar,
conjeturar y demostrar sin hacer uso de una axiomática puntual, es decir, es un
acercamiento al objeto desde las posibilidades que puede tener cualquier estudiante. Esta
visión de la tecnología informática en el aula permite al estudiante experimentar, crear y
desarrollar conexiones con diferentes representaciones matemáticas de un objeto sin que le
interese la formalidad algebraica en un primer acercamiento al objeto.
Por lo tanto, esta visión genera un reto para el docente en el diseño de actividades que
propicien dichas acciones, atribuyendo a la apropiación de conocimiento a través de la
construcción del mismo, como lo hacen las propuestas determinadas por el curso en
mención.
Además, la relación establecida anteriormente entre el curso y los lineamientos nos permite
evidenciar que las propuestas mencionadas por el Dr. Hernández se puede desarrollar
claramente bajo los lineamientos del currículo escolar colombiano. Es de precisar que la
integración de las TIC en el aula de matemáticas es de gran importancia para la evolución
de la aprehensión del conocimiento matemático.
79
Finalmente se evidenció que los cursos analizados se corresponden con algunos de los
elementos de los procesos de aprendizaje que establecen los lineamientos “Nuevas
Tecnologías y Currículo de Matemáticas” (MEN, 2001), tales como: la exploración, la
observación, la formulación de conjeturas y el establecer conexiones.
Además, se trabajaron aspectos referentes a la existencia de los objetos matemáticos, que
no estaba previsto pero que genero un interés particular en las autoras, puesto que los
objetos a trabajar eran cónicas y desde la elección de cursos a analizar expusimos la
necesidad de realizar un acercamiento al comportamiento de las cónicas. Es así como nace
el capítulo que se presenta a continuación en donde se hace un análisis a algunos objetos
matemáticos.
80
4 La discusión sobre la existencia de objetos matemáticos; un
asunto no previsto
En este capítulo se desarrollará el planteamiento de la existencia de objetos matemáticos a
través del conocimiento construido con herramientas tecnológicas.
4.1 Definición no usual
En este capítulo no entraremos en detalles respecto a las construcciones ya que se
encuentran registradas en el capítulo 2; en este, centraremos nuestra atención al desarrollo
algebraico que nos permita identificar la existencia del objeto matemático contribuyendo a
una nueva definición.
Además, se debe reconocer que la existencia de los objetos no está determinada por la
condición lógica de las construcciones sino por la negación de dicha condición, a
mencionar la mediatriz y la circunferencia.
4.1.1 Mediatriz
Si a cada punto de la Figura 37 le asignamos una coordenada 1 1 , 2 2 y
respectivamente, la distancia entre y es
√ 1 2 1
2
√ 2 2 2
2
De acuerdo a la construcción se determinan los puntos que cumplen la condición lógica
si bien estos puntos no pertenecen a la mediatriz, tampoco lo sería su
contraria es decir es aquí donde la existencia del objeto mediatriz se
determina por la negación de las dos condiciones lógicas.
A pesar de ello y con la intención de verificar si el objeto es una mediatriz haremos un
desarrollo algebraico a partir de la condición lógica ), así.
√ 1 2 1
2 √ 2 2 2
2
(√ 1 2 1
2)2 (√ 2
2 2 2)
2
1 2 1
2 2 2 2
2
81
2 1 12 2 1 1
2 2 2 22 2 2 2
2
1 12 1 1
2 2 22 2 2
2
1 12 2 2
2 2 22 1 1
2
2 1 12 2
2 22 1
2 1 2
2 1
1 2
12 2
2 22 1
2
1 2
2 1
1 2
12 2
2 22 1
2
1 2
Esta inecuación se puede relacionar con la ecuación de una recta, pero se debe tener en
cuenta que la solución de la inecuación es un intervalo de valores de que no pertenecen a
una recta sino a un semiplano delimitado por ella.
Según lo anterior, para hablar de Mediatriz se hace necesario definirla a través de la
igualdad como.
2 1
1 2
12 2
2 22 1
2
1 2
Esta ecuación es una representación del lugar geométrico determinado por la condición
, denominado Mediatriz.
4.1.2 Circunferencia
Al aumentar el factor de la distancia , es decir, la condición lógica
ver la figura 38, nos surgió la siguiente cuestión: ¿en verdad la condición define
una circunferencia? Con el ánimo de responder a esta cuestión realizamos, con un halo de
escepticismo y un tanto de dificultad, el siguiente procedimiento algebraico:
Como ya se mencionó 1 1 , 2 2 y se tiene que:
√ 1 2 1
2 y √ 2 2 2
2
√ 1 2 1
2 (√ 2 2 2
2)
1 2 1
2 2 2 2
2
2 1 12 2 1 1
2 2 2 22 2 2 2
2
2 1 12 2 1 1
2 2 2 22 2 2 2
2
82
Para avanzar en este proceso, se hizo necesario hacer uso de un caso específico, dando
coordenadas a los puntos .
2 2
2 2
2 2
2 2
De este desarrollo se reconoce una estrategia, la cual es completar el cuadrado, así
es √ 1 2 1
2 (√ 2 2 2
2)
2 1 12 2 1 1
2 2 2 22 2 2 2
2
2 1 12 2 1 1
2 2 2 22 2 2 2
2
2 1 12 2 2 2
2 2 2 2
2 2 1 12
2 1 12 2 2 2
2 2 2 22 2 1 1
2
2 2 1 12 2
2 2 1 2 12 2
2
2
2 1
2
2 12 2
1 2
1
2 22
2
2 1
2
2 12 2
1 2
1
2 22
Se completará el cuadrado en función de
((
2 1 )
2
(
2
2
2 1
1
2)) (
1 2 )
2
(
1
2
2 1
2
2)
(
2 1 )
2
(
2
2
2 1
1
2) (
1 2 )
2
(
1
2
2 1
2
2)
(
2 1 )
2
(
1 2 )
2
(
1
2
2 1
2
2) (
2
2
2 1
1
2)
(
2 1 )
2
(
1 2 )
2
1
2 2 1 22 2
2 2 1 12
(
2 1 )
2
( (
1 2 ))
2
1 2
2 2 1 2
83
Esta inecuación determina el exterior de una circunferencia cuando
como lo representa a figura 38, es aquí donde se hace necesario precisar la existencia del
objeto circunferencia que al igual que la mediatriz requiere ser representada por la igualdad,
es decir, confluye a la ecuación.
(
2 1 )
2
( (
1 2 ))
2
1 2
2 2 1 2
La cual es una representación de una circunferencia.
Como se mencionó en el capítulo 2, al aumentar la constante de
radio cada vez menor.
Como parte de la experimentación que puede desarrollarse con este trabajo se puede
cuestionar ¿qué ocurre cuando aumenta o disminuye el valor de la constante a través de la
condición lógica en el software?; desarrollando una capacidad de
análisis entre la construcción realizada y el procedimiento algebraico que conlleve a
características del objeto matemático (circunferencia).
Aportando a la cuestión mencionada anteriormente, se puede decir que para la condición
lógica , siendo 1 1 , 2 2 y se obtiene la
ecuación
(
2 2 2 1 )
2
( (
2 1 2 2 ))
2
2
2 2 1 2
2 2 1 2
La cual representa la circunferencia, recordemos que no se hace uso de la inecuación
porque esta no permite la existencia de la circunferencia sino el interior o exterior de ella.
Si bien, ya se mencionó el aspecto de la existencia del objeto matemático por medio del
acercamiento a lo que reconocemos (ecuación) como propio del objeto a saber mediatriz y
circunferencia, otro aspecto a analizar es la conceptualización de los objetos, es decir,
la circunferencia puede definirse por la distancia a dos puntos dados,
así también mediatriz puede definirse como el límite de dichas circunferencias.
Lo anterior dicho en otras palabras atribuye a identificar una nueva manera de definir
circunferencia como lugar geométrico. Es decir, la circunferencia es el lugar geométrico de
los puntos para los cuales su distancia a dos puntos dados 1 1 y
2 2 satisface la condición con .
Otra manera de representar esta definición es a través de la ecuación.
84
(
2 2 2 1 )
2
( (
2 1 2 2 ))
2
2
2 2 1 2
2 2 1 2
Adicionalmente se podría observar que el crecimiento del factor implica decrecimientos
en los radios de las circunferencias. Sin embargo, hay que advertir que para cuando a=1 se
obtiene la mediatriz.
Es vital reconocer que la experimentación brinda la posibilidad de crear actividades de
transposición didáctica, frente al aprendizaje de un objeto matemático.
“Consideramos que el potencial que tiene esta aproximación se refiere
inicialmente a la posibilidad que le brinda al docente de reconocer que existen
maneras alternas de definir los objetos matemáticos (en este caso la
circunferencia) incluso en el mismo contexto de enunciación (es decir la
geometría analítica).” (Espitia & Solano, 2013)
Que el docente reconozca maneras alternas de definir la circunferencia da un valor al uso
de las nuevas tecnologías informáticas que están estipuladas en el proceso de enseñanza
aprendizaje de las matemáticas del currículo colombiano; además permite explorar el
desarrollo en la geometría analítica y el uso del algebra.
Con lo mencionado anteriormente, es de precisar que a través de esta exploración, se puede
evaluar en el estudiante la capacidad de conjeturar, definir un objeto matemático, reconocer
la existencia de un objeto y sus procesos mentales.
4.2 Cónicas usando la mediatriz
De acuerdo con lo expuesto en el apartado 2.3.4 Cónicas, al trazar la mediatriz del
segmento (como se muestra en la figura 92, el rastro que deja dicha recta corresponde
visualmente a una elipse (como se muestra en la figura 93.
85
Figura 93. Parámetros
Para comprobar si es una elipse usamos la herramienta lugar geométrico que ofrece
GeoGebra, para determinar la traza de la mediatriz. Para usar la herramienta mencionada se
debe indicar un punto que este sobre el lugar geométrico y el punto que se está deslizando,
que en este caso es el punto .
Dicho esto, surge el problema de encontrar el punto que pertenece al lugar geométrico, en
un primer intento trazamos el segmento y determinamos el punto de intersección
entre el segmento y su mediatriz (figura 94) luego determinamos la traza del punto
cuando se desliza (figura 95).
Figura 94 Mediatriz
Figura 95 Traza
Al trazar los segmentos y y hallar su longitud respectivamente, sumamos las
magnitudes y deslizando el punto nos damos cuenta que dicha suma no es constante, es
decir no cumple una de las definiciones de elipse.
Figura 92 Trza
86
Así que, trazando el segmento y determinando el punto medio de dicho segmento ,
trazamos el segmento como se muestra en la figura 96, determinando su longitud y al
deslizar el punto nos damos cuenta que el trazo corresponde a una circunferencia.
Figura 96 Correspondencia
En el segundo intento trazamos el segmento y marcamos el punto de interseccion
entre la mediatriz y el segmento (figura 97). Deslizando el punto y dejando la traza del
punto (figura 91 b).
Figura 97 Segmento
87
Figura 98 Traza
Al trazar el lugar geométrico, y determinar los segmentos y y su longitud
respectivamente, sumamos las magnitudes y deslizando se cumple que dicha suma es
constante y que los focos de la elipse son y . Además, si se arrastra el punto fuera de
la circunferencia y se deja el trazo de la recta mediatriz , se obtiene:
Figura 99 Traza cambio de condiciones
88
La traza anterior nos permite marcar un punto ( ) que este sobre la hipérbola, entonces
usando la herramienta de GeoGebra Hipérbola, que permite trazarla dando los focos y un
punto sobre la hipérbola, para lo cual suponemos empiricamente que son y los focos y
el punto que pertenece a la hipérbola, como se muestra en la figura 93 la traza de la
hipérbola encaja.
Figura 100 Traza
Es asi, como a través de la herramienta tecnologica GeoGebra podemos reconocer e
identificar la existencia de un objeto matemático usando como recurso construcciones,
definiciones y pertenencia a los lugares geométricos.
4.3 Aproximación al problema de Pappus
A partir de la construcción realizada por el Dr. Hernández que refiere al desarrollo del lugar
geométrico cónicas a través de una interpretación personal del Problema de Pappus surge
en nosotros un interés por comprender en que consiste. Es así como, a través de la
investigación encontramos la solución que da descartes a este problema, descrito en el libro
II de La Geometría enunciándolo de la siguiente manera.
“Sean , etc., varias líneas dadas, debiendo hallarse un punto
como C, desde el que trazando varias líneas rectas sobre las líneas dadas,
como y de modo que los ángulos sean
dados, y de modo tal que el resultado de la multiplicación de una parte de
estas líneas sea igual al resultado obtenido por la multiplicación de las otras, o
bien que guarden alguna otra proporción dada, lo cual en nada dificulta el
problema.” ()
Cuando se tienen tres o cuatro líneas dadas en el problema de Pappus lo que se quiere
encontrar es el punto que se encuentra en una sección cónica bajo las condiciones
establecidas. Para esto, Descartes trabaja con la hipótesis de solución de problema y asigna
89
una medida de longitud a las líneas dadas facilitando la escritura y el uso de las
proporciones.
El método de solución usado contribuye en el desarrollo de las matemáticas como referente
histórico al inicio de la geometría analítica, puesto que Descartes mediante las proporciones
geométricas establece una seria de relaciones algebraicas, obteniendo como resultado la
familia de cónicas.
Teniendo en cuenta la interpretación mencionada, desarrollamos un acercamiento a la
construcción de cónicas desde el problema de Pappus haciendo uso de geometría dinámica
en los programas Geogebra y Geolab. En donde se evidencian cuatro momentos
importantes que se describen a continuación.
Primer momento. Realizamos una construcción, en donde solo se tuvieron en cuenta las
interestancias y tratando de reconstruir la
representación gráfica que se muestra en el Libro II de la Geometría de Descartes, como
sigue:
Figura 101 Problema de Pappus según Descartes
La construcción se realizó siguiendo los pasos:
1. Dada la recta con y puntos sobre la recta, y un punto fuera:
90
Figura 102 Puuntos
2. Se traza la recta y la recta , tal que el punto se pueda deslizar por la recta.
Figura 103 Recta
3. Se marca el punto de intersección entre las rectas y , luego se determina el
polígono .
91
Figura 104 Punto de intersección
4. Se traza el polígono y un punto libre en la recta .
Figura 105 Poligono
5. Se taza la recta y se ubica un punto en la recta .
92
Figura 106 Recta
6. Se traza la recta y se ubica un punto libre en dicha recta.
Figura 107 Traza y punto
7. Luego se traza el polígono y las rectas y siendo un punto libre
sobre la recta .
93
Figura 108 Polígono
8. Ahora animando el punto y dejando la traza del punto , se obtiene lo que parece
una parábola.
Figura 109 Traza
9. Si se ubica el punto tal que cumpla la interestancia se obtiene lo
que aparentemente son hipérbolas.
94
Figura 110 Traza con cambio de interestancia
Después de realizar la construcción y visualizar las curvas (figura 101,102), tratamos de
corroborar de alguna manera que el rastro del punto determinaba un lugar geométrico,
para esto usamos la herramienta dicha herramienta en GeoGebra, en donde encontramos
una dificultad ya que no determinó ningún lugar.
A raíz de este resultado, realizamos una lectura más detallada del enunciado del problema
de Pappus hecho por Descartes, reconociendo que no habíamos tenido en cuenta para esta
construcción las razones entre segmentos, lo que generó una discusión apropósito de la
diferencia entre dibujo y construcción.
Identificando así, que una construcción es un conjunto de pasos dependientes, es decir, si se
modifica alguna condición los elementos que dependen de esta cambian. Es así como
reconocemos que en este primer intento lo que se realizó fue un dibujo ya que las
interestancias varían aleatoriamente y no bajo una condición que garantice que se
mantenga.
Segundo momento. Realizamos una construcción teniendo en cuenta las proporciones
dadas en el enunciado, a saber , , es a como es a , es a como
es a , es a como es a , es a como es a , es a como es a
y es a como es a , estas relaciones deben cumplir la siguiente igualdad para
determinar una cónica .
Haciendo uso de la solución, es decir, el punto se dio una distancia a los segmentos de
acuerdo con las relaciones establecidas, en donde se reconoció que los rastros no
determinaban secciones cónicas o elemento geométrico reconocible e identificable; es por
95
ello, que planteamos una nueva construcción descrita en el tercer momento, atribuyendo a
lo dado en el planteamiento de descartes.
Tercer momento. Realizamos la construcción teniendo en cuenta todo lo dado, es decir, las
interestancias, las proporciones, las constantes y los ángulos. En este momento obtuvimos
un resultado más cercano a nuestro objetivo inicial de generar cónicas, puesto que en esta
ocasión fue posible que el programa determinara el lugar geométrico.
Cabe notar que nuestro interés no es profundizar en la escritura de las proporciones ya que
estas se encuentran descritas en el libro de Descartes, lo fundamental es el acercamiento a
la modelación de cónicas (problema de Pappus), a través de geometría dinámica.
La construcción se realizó siguiendo los pasos:
1. Se traza una recta a la cual pertenecen los puntos y , en donde las
distancias , y (figura 111).
Figura 111 Recta
2. Determinamos el punto tal que la distancia cumpla la proporción es a
como es a tomando un ángulo dado (este puede variar).
Figura 112 Punto
96
3. Determinar los puntos y según las proporciones.
Figura 113 Puntos
4. A partir de las proporciones y magnitudes ya establecidas, hacemos uso de la
ecuación establecida por Descartes que atribuye a cada una de ellas, obteniendo la
distancia , la cual a través de una circunferencia trasladamos a la construcción, es
de precisar que se generan dos puntos de intersección en la recta (figura 114).
Figura 114 Circunferencia
97
5. Determinamos los puntos según las proporciones (figura 115).
Figura 115 Determinación de puntos
6. A continuación se usa la herramienta de lugar geométrico determinado por el punto
a partir del movimiento del punto en donde se visualiza (figura 116).
Figura 116 Lugar geométrico 1
7. El lugar geométrico determinado por el punto 1 a partir del movimiento del punto
se visualiza.
98
Figura 117 Lugar geométrico 2
De esta construcción concluimos.
En la teoría descrita por Descartes, la solución debe tener en cuenta las distancias
que cumplan la condición , pero al realizar la construcción estas
distancias están determinadas por procedimientos algebraicos según las
proporciones lo cual conlleva a obtener el punto , esto hace que dichos segmentos
al ser creados sean fijos y no generen ninguna influencia en la existencia del punto
ni en la sección cónica a encontrar.
Los puntos descritos por el lugar geométrico tanto de como de 1, pertenecen a
una sección cónica circunferencia y elipse respectivamente, pero no lo son en su
totalidad, es de aquí que surgen cuestiones como ¿Estas dos partes de cónicas son la
misma? De ser así ¿por qué se encuentran dividas? ¿es acaso una reflejo de la otra?
Cuando el segmento tiende a ¿qué pasa con el segmento ?
Con la intención de responder las cuestiones y tener en cuenta la condición establecida
realizamos un acercamiento a través de GeoLab.
Tercer momento Haciendo uso del Software GeoLab y con la herramienta muestreo
obtuvimos lo siguiente figura 118.
99
Figura 118 Muestreo 1
Al obtener esta construcción se tiene la dificultad de no poder variar el punto , además, no
se obtiene un acercamiento a las secciones cónicas que determinan el problema de Pappus,
si bien, al arrastrar el punto se podría reconocer un lugar geométrico figura 119.
Figura 119 Muestreo 2
En esta ocasión dejaremos al lector las cuestiones anteriormente mencionadas, además de la
reflexión acerca del uso de la tecnología para determinar la existencia de un objeto
matemático, ya que para el desarrollo de esta construcción se trabaja con la solución del
problema, es decir, con el razonamiento de la geometría analítica (Descartes) y estos
software están programados a partir de la geometría euclidiana.
100
Lo anterior, nos llevó a pensar que la dificultad de esta construcción radica en el
planteamiento de solución que muestra Descartes el cual no puede desarrollarse paso a paso
en un software de geometría dinámica, pero queda como cuestión para un posible trabajo de
investigación.
101
5 Conclusiones
La realización de este trabajo llevó a la reflexión sobre el papel que desempeñan las nuevas
tecnologías en los procesos de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas, esto a través de la
descripción de los cursos pero además, porque se reconoció la relación que tiene el
desarrollo de cada uno con la perspectiva curricular colombiana ya que no es ajena a los
procesos y características que se establecen. Así, encontramos que las TIC constituyen un
contexto matemático significativo, que promueve la actividad científica en el aula.
Además, como experiencia personal en la experimentación de uno de los ejercicios
propuestos por el Dr. Hernández, más precisamente, la circunferencia que se encuentra
descrita en el capítulo cuatro, vivenciamos la actividad matemática en torno al objeto
matemático, en donde resaltamos dos aspectos; uno de ellos refiere a la existencia del
objeto que está mediada por el instrumento tecnológico, este hecho lo reconocemos como
valioso en nuestro proceso como profesoras de matemáticas, ya que nos permite reconocer
que el concepto de un objeto matemático no es único sino que depende del instrumento con
que se aborda; por otro lado, la experiencia nos permitió hacer un acercamiento al objeto
hacia una nueva definición, brindando la oportunidad a la sorpresa, el interés, el
cuestionamiento construyendo nuevas cosas, que creemos es lo que se debe generar en la
relación estudiante y su aprendizaje de las matemáticas.
En relación con el acercamiento que se hizo al problema de Pappus planteado por descartes
y desarrollado en el capítulo cuatro, la herramienta tecnológica se constituyó como un
mediador indispensable para entender el problema, puesto que en el desarrollo de tal
acercamiento, se iban generando ideas de cómo proceder, aunque no se dio una solución
concreta se generaron cuestiones que esperamos contribuya a otros compañeros que estén
interesados en el tema puesto que consideramos que en la descripción hecha por Descartes
no se realiza una construcción geométrica.
Por otro lado, evidenciamos la necesidad de conocer propuestas de enseñanza – aprendizaje
dirigidas al uso de herramientas tecnológicas en la educación matemática, que aporten a la
formación profesional del docente, ya que según el MEN la nuevas tecnologías deben estar
inmersas en nuestras actividades matemáticas en el aula generando conocimientos
matemáticos y desarrollando procesos con un contexto preciso según los estudiantes;
puesto que un concepto abordado por sus diferentes formas de representación permite en el
docente generar actividades enriquecedoras y significativas para el aprendizaje.
102
Adicionalmente, y cumpliendo a unos de los objetivos de divulgar y promover el contenido
de los cursos, se presentó la oportunidad de asistir a la Cuarta Escuela Nacional de Historia
y Educación Matemática (4ª ENHEM - 2013) con el fin de compartir a la comunidad
matemática la reflexión que hicimos en relación con las diferentes definiciones que puede
tener un objeto matemático y las formas de abordar su enseñanza. Esta participación se
realizó con la ponencia corta titulada ¿Circunferencias sin centro ni radios?
103
Bibliografía
Castiblanco, A. (2000). Proyecto “Incorporación de Nuevas Tecnologías al Currículo de
Matemáticas de la Educación Media de Colombia” y sus avances. Ministerio de Educación
Nacional. Obtenido el 16 de octubre del 2012 desde
http://www.colombiaaprende.edu.co/html/mediateca/1607/articles-92732_archivo.pdf
Castiblanco Paiba, A. C., Camargo Uribe, L., Villarraga Rico, M. E., & Obando Zapata, G.
(1999). Nuevas tecnologías y currículo de matemáticas. Apoyo a los Lineamientos
Curriculares. Santafé de Bogotá, D.C.: Ministerio de Educación Nacional.
Descartes, R. (1954). La Geometría Traducción. Nueva .
MEN. (1998). Matemáticas. Lineamientos curriculares. Bogotá: Ministerio de Educación
Nacional.
MEN. (2006). Estándares básicos de competencias en Lenguaje, Matemáticas, Ciencias y
Ciudadanas. Bogotá: Ministerio de Educación Nacional.
Espitia Katherine & Solano Angee (2013)"Circunferencias sin centro ni radios"
