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Matematica
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Espacio vectorialEste artículo está orientado a proporcionar un tratamiento riguroso y abstracto del concepto de espacio vectorial. Para una introducción más accesible al concepto, véaseVector
Representación artística de un espacio vectorial.
En álgebra abstracta, un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna(llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo ), con 8 propiedades fundamentales.
A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares.
Historia[editar]
Históricamente, las primeras ideas que condujeron a los espacios vectoriales modernos se
remontan al siglo XVII: geometría analítica, matrices y sistemas de ecuaciones lineales.
Los espacios vectoriales se derivan de la geometría afín, a través de la introducción
de coordenadas en el plano o el espacio tridimensional. Alrededor de 1636, los matemáticos
franceses Descartes y Fermat fundaron las bases de la geometría analítica mediante la
vinculación de las soluciones de una ecuación con dos variables a la determinación de
una curva plana.nota 1 Para lograr una solución geométrica sin usar coordenadas, Bernhard
Bolzano introdujo en 1804 ciertas operaciones sobre puntos, líneas y planos, que son
predecesores de los vectores.nota 2 Este trabajo hizo uso del concepto de coordenadas
baricéntricas de August Ferdinand Möbius de 1827.nota 3
La primera formulación moderna y axiomática se debe a Giuseppe Peano, a finales del siglo
XIX. Los siguientes avances en la teoría de espacios vectoriales provienen delanálisis
funcional, principalmente de espacios de funciones. Los problemas de Análisis funcional
requerían resolver problemas sobre la convergencia. Esto se hizo dotando a los espacios
vectoriales de una adecuada topología, permitiendo tener en cuenta cuestiones
de proximidad y continuidad. Estos espacios vectoriales topológicos, en particular losespacios
de Banach y los espacios de Hilbert tienen una teoría más rica y elaborada.
El origen de la definición de los vectores es la definición de Giusto Bellavitis de bipoint, que es
un segmento orientado, uno de cuyos extremos es el origen y el otro un objetivo. Los vectores
se reconsideraron con la presentación de los números complejos de Argand y Hamilton y la
creación de los cuaterniones por este último (Hamilton fue además el que inventó el nombre
de vector).nota 4 Son elementos de R2 y R4; el tratamiento mediante combinaciones lineales se
remonta a Laguerre en 1867, quien también definió lossistemas de ecuaciones lineales.
En 1857, Cayley introdujo la notación matricial, que permite una armonización y simplificación
de las aplicaciones lineales. Casi al mismo tiempo, Grassmann estudió el cálculo baricéntrico
iniciado por Möbius. Previó conjuntos de objetos abstractos dotados de operaciones.nota 5 En su
trabajo, los conceptos de independencia lineal y dimensión, así como de producto
escalar están presentes. En realidad el trabajo de Grassmann de 1844 supera el marco de los
espacios vectoriales, ya que teniendo en cuenta la multiplicación, también, lo llevó a lo que
hoy en día se llaman álgebras. El matemático italiano Peano dio la primera definición moderna
de espacios vectoriales y aplicaciones lineales en 1888.nota 6
Un desarrollo importante de los espacios vectoriales se debe a la construcción de los espacios
de funciones por Henri Lebesgue. Esto más tarde fue formalizado por Banach en su tesis
doctoral de 1920nota 7 y por Hilbert. En este momento, el álgebra y el nuevo campo del análisis
funcional empezaron a interactuar, en particular con conceptos clave tales como los espacios
de funciones p-integrables y los espacios de Hilbert. También en este tiempo, los primeros
estudios sobre espacios vectoriales de infinitas dimensiones se realizaron.
Los espacios vectoriales tienen aplicaciones en otras ramas de la matemática, la ciencia y
la ingeniería. Se utilizan en métodos como las series de Fourier, que se utiliza en las rutinas
modernas de compresión de imágenes y sonido, o proporcionan el marco para
resolver ecuaciones en derivadas parciales. Además, los espacios vectoriales proporcionan
una forma abstracta libre de coordenadas de tratar con objetos geométricos y físicos, tales
como tensores, que a su vez permiten estudiar las propiedades locales
de variedades mediante técnicas de linealización.
Notación[editar]
Dado un espacio vectorial sobre un cuerpo , se distinguen.
Los elementos de como:
se llaman vectores.
Caligrafías de otras obras
Si el texto es de física suelen representarse bajo una flecha:
Los elementos de como:
se llaman escalares.
Definición de espacio vectorial[editar]
Un espacio vectorial sobre un cuerpo (como el cuerpo de los números reales o
los números complejos) es un conjunto no vacío, dotado de dos operaciones para las
cuales será cerrado:
operación interna tal que:
1) tenga la propiedad conmutativa, es decir
2) tenga la propiedad asociativa, es decir
3) tenga elemento neutro , es decir
4) tenga elemento opuesto, es decir
y la operación producto por un escalar:
operación externa tal que:
5) tenga la propiedad asociativa:
6) sea elemento neutro del producto:
7) tenga la propiedad distributiva del producto respecto la suma de vectores:
8) tenga la propiedad distributiva del producto respecto la suma de escalares:
Véase también: Espacio euclídeo
Véase también: Vector
Véase también: Representación gráfica de vectores
Observaciones[editar]
La denominación de las dos operaciones no condiciona la definición de espacio vectorial por
lo que es habitual encontrar traducciones de obras en las que se utilizamultiplicación para
el producto y adición para la suma, usando las distinciones propias de la aritmética.
Para demostrar que un conjunto es un espacio vectorial:
Lo es si sus dos operaciones, por ejemplo y admiten una redefinición
del tipo y cumpliendo las 8 condiciones
exigidas.
Si supiésemos que es un grupo conmutativo o abeliano respecto la suma ya tendríamos
probados los apartados 1, 2, 3 y 4.
Si supiésemos que el producto es una acción por la izquierda de tendríamos probados los
apartados 5 y 6.
Si no se dice lo contrario:
.
Propiedades[editar]
[Expandir]Unicidad del vector neutro de la propiedad 3
[Expandir]Unicidad del vector opuesto de la propiedad 4
[Expandir]Unicidad del elemento en el cuerpo
[Expandir]Producto de un escalar por el vector neutro
[Expandir]Producto del escalar 0 por un vector
Si
Si es cierto.
Si entonces:
Notación
.
Observación
Si
Si
Primer ejemplo con demostración al detalle[editar]
Se quiere probar que es un espacio vectorial sobre
Si juega el papel de y el de :
Los elementos:
son, de forma genérica:
es decir, pares de números reales. Por claridad se conserva la denominación del vector, en
este caso u, en sus coordenadas, añadiendo el subíndice x o y para denominar su
componente en el eje x o y respectivamente
En se define la operación suma:
[Expandir]Unicidad del elemento inverso en el cuerpo
donde:
y la suma de u y v sería:
donde:
esto implica que la suma de vectores es interna y bien definida.
La operación interna suma tiene las propiedades:
1) La propiedad conmutativa, es decir:
2) La propiedad asociativa:
3) tiene elemento neutro :
4) tenga elemento opuesto:
La operación producto por un escalar:
El producto de a y u será:
donde:
esto implica que la multiplicación de vector por escalar es externa y aún así está bien definida.
5) tenga la propiedad asociativa:
Esto es:
6) sea elemento neutro en el producto:
Que resulta:
Que tiene la propiedad distributiva:
7) distributiva por la izquierda:
En este caso tenemos:
8) distributiva por la derecha:
Que en este caso tenemos:
Queda demostrado que es espacio vectorial.
Ejemplos de espacios vectoriales[editar]
Los cuerpos[editar]
Todo cuerpo es un espacio vectorial sobre él mismo, usando como producto por escalar el
producto del cuerpo.
es un espacio vectorial de dimensión uno sobre .
Todo cuerpo es un espacio vectorial sobre su subcuerpo, usando como producto por escalar
el producto del cuerpo.
es un espacio vectorial de dimensión 2 sobre .
es un espacio vectorial de dimensión infinita sobre .
Sucesiones sobre un cuerpo [editar]
El espacio vectorial más conocido notado como , donde n>0 es un entero, tiene como
elementos n -tuplas , es decir, sucesiones finitas de de longitud n con las operaciones:
(u1, u2, ..., un)+(v1, v2, ..., vn)=(u1+v1, u2+v2, ..., un+vn).
a(u1, u2, ..., un)=(au1, au2, ..., aun).
Las sucesiones infinitas de son espacios vectoriales con las operaciones:
(u1, u2, ..., un, ...)+(v1, v2, ..., vn, ...)=(u1+v1, u2+v2, ..., un+vn, ...).
a(u1, u2, ..., un, ...)=(au1, au2, ..., aun, ...).
El espacio de las matrices , , sobre , con las operaciones:
También son espacios vectoriales cualquier agrupación de elementos de en las cuales se
defina las operaciones suma y producto entre estas agrupaciones, elemento a elemento,
similar al de matrices , así por ejemplo tenemos las cajas sobre que
aparecen en el desarrollo de Taylor de orden 3 de una función genérica.
Espacios de aplicaciones sobre un cuerpo[editar]
El conjunto de las aplicaciones , un cuerpo y un conjunto, también
forman espacios vectoriales mediante la suma y la multiplicación habitual:
Los polinomios[editar]
Suma de f(x)=x+x2 y g(x)=-x2.
El espacio vectorial K [x] formado por funciones polinómicas, veámoslo:
Expresión general: ,donde
los coeficientes , considérese .
,
donde y ,
.
Las series de potencias son similares, salvo que se permiten infinitos términos distintos de
cero.
Funciones trigonométricas[editar]
Las funciones trigonométricas forman espacios vectoriales, con las siguientes operaciones:
Expresión general:
,
.
Los sistemas de ecuaciones lineales homogéneas[editar]
Artículos principales: Ecuación lineal, Ecuación diferencial lineal y Sistemas de ecuaciones
lineales.
Sistema de 2 ecuaciones y 3 variables
o
equivalentemente simplificado
como
Un sistema de ecuaciones lineales homogéneas( ecuaciones lineales en las que es
siempre una solución, es decir, ) posee soluciones que
forman un espacio vectorial, se puede ver en sus dos operaciones:
Si
Si .
También que las ecuaciones en sí, filas de la matriz notadas como una matriz , es
decir, , son un espacio vectorial, como se puede ver en sus dos
operaciones:
Si
Si .
Definición de subespacio vectorial[editar]
Sea un espacio vectorial sobre , y no vacío, es un subespacio
vectorial de si:
Consecuencias[editar]
hereda las operaciones de como aplicaciones bien definidas, es decir que no escapan
de , y como consecuencia tenemos que es un espacio vectorial sobre .
Con cualquier subconjunto de elementos seleccionados en los espacios vectoriales anteriores,
no vacío, se pueden generar subespacios vectoriales, para ello seria útil introducir nuevos
conceptos que facilitarán el trabajo sobre estos nuevos espacios vectoriales.
Resultados internos[editar]
Para detallar el comportamiento interno de todos los espacios vectoriales de modo general es
necesario exponer una serie de herramientas cronológicamente vinculadas entre ellas, con las
cuales es posible construir resultados válidos en cualquier estructura que sea espacio
vectorial.
Combinación lineal[editar]
Cada vector u es combinación lineal de forma única
Dado un espacio vectorial , diremos que un vector u es combinación lineal de los vectores
de si existen escalares tales que
Notaremos como el conjunto resultante de todas las combinaciones lineales de los
vectores de .
Proposición 1[editar]
Dado un espacio vectorial y un conjunto de vectores, el conjunto es
el subespacio vectorial más pequeño contenido en y que contiene a .
Nota. En este caso se dice que es un sistema de generadores que genera a .
Independencia lineal[editar]
Diremos que un conjunto de vectores es linealmente
independiente si el vector 0 no se puede expresar como combinación lineal no nula de los
vectores de , es decir:
Si .
Diremos que un conjunto de vectores es linealmente dependiente si no es linealmente
independiente.
Proposición 2[editar]
son linealmente dependientes
Base de un espacio vectorial[editar]
Artículos principales: Base y Dimensión.
Las bases revelan la estructura de los espacios vectoriales de una manera concisa. Una base
es el menor conjunto (finito o infinito) B = {vi}i ∈ I de vectores que generan todo el espacio. Esto
significa que cualquier vector v puede ser expresado como una suma (llamada combinación
lineal) de elementos de la base
a1vi1 + a2vi2 + ... + anvin,
donde los ak son escalares y vik (k = 1, ..., n) elementos de la base B. La minimalidad, por otro
lado, se hace formal por el concepto de independencia lineal. Un conjunto de vectores se dice
que es linealmente independiente si ninguno de sus elementos puede ser expresado como
una combinación lineal de los restantes. Equivalentemente, una ecuación
a1vi1 + ai2v2 + ... + anvin = 0
sólo se consigue si todos los escalares a1, ..., an son iguales a cero. Por definición de la base
cada vector puede ser expresado como una suma finita de los elementos de la base. Debido a
la independencia lineal este tipo de representación es única. Los espacios vectoriales a veces
se introducen desde este punto de vista.
Base formalmente[editar]
v1 y v2 son base de un plano, si hubiese dependencia lineal(alineados) la cuadrícula no podría generarse
Dado un sistema de generadores, diremos que es una base si son linealmente
independientes.
Proposición 3. Dado un espacio vectorial es una base
.
Proposición 4. Dado un espacio vectorial linealmente
independiente y son linealmente
independiente.
Teorema de la base de generadores[editar]
Todo sistema de generadores tiene una base.
Teorema Steinitz[editar]
Toda base de un espacio vectorial puede ser cambiada parcialmente por vectores linealmente
independientes.
Corolario. Si un espacio vectorial tiene una base de vectores cualquier otra base
posee vectores.
Observación[editar]
Todo espacio vectorial tiene una base. Este hecho se basa en el lema de Zorn, una
formulación equivalente del axioma de elección. Habida cuenta de los otros axiomas de
lateoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, la existencia de bases es equivalente al axioma de
elección. El ultrafilter lemma, que es más débil que el axioma de elección, implica que todas
las bases de un espacio vectorial tienen el mismo "tamaño", es decir, cardinalidad. Si el
espacio es generado por un número finito de vectores, todo lo anterior puede demostrarse sin
necesidad de acudir a la teoría de conjuntos.
Dimensión[editar]
Dado un espacio vectorial sobre :
Si tiene base finita, diremos dimensión al número de elementos de dicha base.
Si tiene base no finita, diremos que es de dimensión infinita.
Notación[editar]
Dado un espacio vectorial y un subespacio , tenemos que:
Si tiene dimensión lo indicaremos como .
Si tiene dimensión como subespacio de lo indicaremos como .
Intersección de subespacios vectoriales[editar]
Dado dos subespacios vectoriales , la intersección es subespacio vectorial
contenido en estos y lo notaremos como:
.
Observaciones. Para la intersección sucesiva de espacios vectoriales se procede,
inductivamente, de dos en dos.
La unión de subespacios vectoriales no es en general un subespacio vectorial.
Suma de subespacios vectoriales[editar]
Dado dos subespacios vectoriales , la suma es un subespacio vectorial que
contiene a estos y la notaremos como:
.
Si F y G son subespacios vectoriales de E, su suma F+G es el subespacio vectorial de E más
pequeño que contiene a F y a G.
Observación. Para la suma sucesiva de espacios vectoriales se procede, inductivamente, de
dos en dos.
Teorema Fórmula de Grassmann[editar]
Dado dos subespacios vectoriales de dimensión finita, tenemos el resultado
siguiente:
.
Suma directa de subespacios vectoriales[editar]
Dados dos subespacios vectoriales , diremos que es una suma
directa si y lo notaremos como:
.
Cuando y están en suma directa, cada vector de se expresa de forma única
como suma de un vector de y otro vector de .
Cociente de espacios vectoriales[editar]
Dado un espacio vectorial y un subespacio vectorial .
Dados diremos que están relacionados modulo si .
La relación anterior es una relación de equivalencia.
Se nota por a la
clase de modulo .
Llamaremos conjunto cociente o espacio cociente al conjunto de las clases de equivalencia
anterior:
Se nota por a dicho espacio cociente.
El espacio es un espacio vectorial con las operaciones siguientes:
Construcciones básicas[editar]
Además de lo expuesto en los ejemplos anteriores, hay una serie de construcciones que nos
proporcionan espacios vectoriales a partir de otros. Además de las definiciones concretas que
figuran a continuación, también se caracterizan por propiedades universales, que determina
un objeto X especificando las aplicaciones lineales de X a cualquier otro espacio vectorial.
Suma directa de espacios vectoriales[editar]
Dado dos espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo , llamaremos suma directa al
espacio vectorial , veamos que están
bien definidas las dos operaciones:
,
.
Espacios vectoriales con estructura adicional[editar]
Desde el punto de vista del álgebra lineal, los espacios vectoriales se comprenden
completamente en la medida en que cualquier espacio vectorial se caracteriza, salvo
isomorfismos, por su dimensión. Sin embargo, los espacios vectoriales ad hoc no ofrecen un
marco para hacer frente a la cuestión fundamental para el análisis de si una sucesión de
funciones converge a otra función. Asimismo, el álgebra lineal no está adaptada per se para
hacer frente a series infinitas, ya que la suma solo permite un número finito de términos para
sumar. Las necesidades del análisis funcional requieren considerar nuevas estructuras.
Espacios normados[editar]
Artículos principales: Espacio vectorial normado y Norma (matemáticas).
Un espacio vectorial es normado si está dotado de una norma.
Espacio métrico[editar]
Un espacio métrico es un espacio vectorial dotado de una aplicación distancia.
Proposición 5. Un espacio normado es un espacio métrico, donde la distancia viene dada
por:
Toda distancia inducida por la norma es una distancia.
Espacios vectoriales topológicos[editar]
Artículo principal: Espacio vectorial topológico
Dada una topología sobre un espacio vectorial donde los puntos sean cerrados y las dos
operaciones del espacio vectorial sean continuas respecto dichas topología, diremos que:
es una topología vectorial sobre ,
es un espacio vectorial topológico.
Proposición 6.. Todo espacio vectorial topológico dotado de una métrica es espacio
normado.
Proposición 7.. Todo espacio normado es un espacio vectorial topológico.
Espacios de Banach[editar]
Artículo principal: Espacio de Banach
Un espacio de Banach es un espacio normado y completo.
Espacios prehilbertianos[editar]
Artículo principal: Espacio prehilbertiano
Un espacio prehilbertiano es un par , donde es un espacio vectorial y es
un producto a escalar.
Espacios de Hilbert[editar]
Artículo principal: Espacio de Hilbert
Un espacio de Hilbert es un espacio prehilbertiano completo por la norma definida por el
producto escalar.
Morfismos entre espacios vectoriales[editar]
Son aplicaciones entre espacios vectoriales que mantienen la estructura de los espacios
vectoriales, es decir, conservan las dos operaciones y las propiedades de éstas de uno a otro
de dichos espacios.
Aplicaciones lineales[editar]
Artículo principal: Aplicación lineal
Dado dos espacios vectoriales y , sobre un mismo cuerpo, diremos que una
aplicación es lineal si:
,
.
