UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO

Espacio Vectorial

Sea V un conjunto no vaco sobre el cual existen dos operaciones. Una llamada suma de vectores y otra llamada multiplicacin de un escalar por un vector. La suma de vectores, o simplemente suma, es una regla o funcin que asocia a dos vectores, digamos u y v un tercer vector, a este se le representara como u v. La multiplicacin es una regla que asocia a un escalar y a un vector, digamos c y u un segundo vector representadopor c u. Diremos que el conjunto V se llama espacio vectorial si cumple todos y cada uno de los siguientes axiomas:

(A1) Para cualquiera dos vectores u y v en Vu v V (1)

Este axioma se conoce como el axioma de cerradura bajo la suma:La suma de dos elementos del conjunto debe dar como resultado tambin un elemento del conjunto.

(A2) Para cualquiera dos vectores u y v en Vu v = v u (2)Este axioma se conoce como el axioma de la conmutatividad de la suma:El orden de los sumandos no altera el resultado de la suma.

(A3) Para cualquiera tres vectores u, v y w en Vu (v w) = (u v) w (3)

Este axioma se conoce como axioma de la asociatividad de la suma:En una suma de vectores, no importa el orden como asocien la sumas entre dos; el resultado ser siempre el mismo.

(A4) Existe un nico vector en V que se simbolizar por 0 y que se llamar el vector cero tal que para cualquier vector u V se cumpleu 0 = 0 u = u (4)

Este axioma se conoce como el axioma de la existencia del elemento neutro:Existe en el conjunto un elemento distinguido que sumado con cualquier elemento da el mismo segundo elemento.

(A5) Para cualquier vector u V existe un nico vector tambin en V y simbolizado por u que cumpleu (u) = (u) u = 0 (5)

Este axioma se conoce como axioma de la existencia de inversos aditivos:Cada elemento del conjunto posee un inverso aditivo; un elemento del conjunto que sumado con l da el neutro aditivo.

(M1) Para cualquier vector u V y para cualquier escalar c R se cumplec u V (6)

Este axioma se conoce como el axioma de cerradura bajo la multiplicacin por escalares:El resultado del producto entre cualquier escalar por cualquier elemento del conjunto debe dar como resultado tambien un elemento del conjunto.

(M2) Para cualquiera dos vectores u y v en V , y para cualquier escalar c en R se cumplec (u v) = (c u) (c v) (7)

Este axioma se conoce como la propiedad distributiva del producto (por escalares) sobre la suma (de vectores):En un producto de un escalar por una suma de vectores, da lo mismo realizar la suma de los vectores y el resultado multiplicarlo por el vector que individualmente multiplicar cada vector por el escalar y despues sumar los resultados.

(M3) Para cualquier vector u V y para cualquiera dos escalares a y b en R se cumple(a + b) u = (a u) (b u) (8)

Este axioma se conoce como la propiedad distributiva del producto por escalares sobre la suma escalares.

(M4) Para cualquier vector u V y para cualquiera dos escalares a y b en R se cumplea (b u) = (a b) u (9)

Esta propiedad se conoce como la ley asociativa del producto entre escalares y el producto de escalar con vector. Lo llamaremos simplemente como la propiedad asociativa del producto.

(M5) Para cualquier vector u V se cumple1 u = u (10)

Cuando se elabora una argumentacin en algn clculo o demostracin uno debe hacer referencia a los axiomas.Por ellos es que es conveniente y elegante llamarlos por su descripcin. Se le pide al alumno que entienda la lgica de cada uno de ellos y memorice sus descripciones.

Ejemplo 1

Indique cual opcin enuncia la propiedad distributiva de la suma de escalares sobre el producto.1.- (c + k) x = (c x) (k x) Respuesta2.- x 0 = 0 x = x3.- x y = y x Conmutatividad4.- c x es vector Cerradura5.- x (x) = (x) x = 06.- x y es vector Cerradura

Ejemplo 2

Indique cual opcin describe la propiedad:x 0 = 0 x = x1.- Cerradura del producto por escalares.2.- Existencia del neutro de la suma. Respuesta3.- Distributividad del producto sobre la suma de vectores.4.- Distributividad de la suma de escalares sobre el producto.5.- Asociatividad del producto por escalares.6.- Existencia del inverso aditivo

Ejemplo 3A pesar que nuestro inters no es hacer demostraciones matemticas si es conveniente entender cmo se construyen.El siguiente argumento prueba que el vector cero es nico. Es decir, que si hay otro vector que cumple la propiedad que define al neutro debe ser el mismo neutro. Justifique los pasos.Suponga quex + y = xEntonces por (a) existe (x) que al sumarlo en ambos miembros da(x) + (x + y) = (x) + xPor la propiedad (b) se deduce entonces((x) + x) + y = (x) + xPor la propiedad (c) se tiene entonces0 + y = 0Finalmente, por la propiedad (d) se tieney = 0.1: la propiedad del inverso aditivo, 2: asociativa, 3: del neutroRespuesta: la correspondencia es (a)=1,(b)=2,(c)=1,(d)=3

Teoremas sobre espacios vectoriales

Resultados generales sobre espacios generales:Sea V es un espacio vectorial, y sean u V y c R, entonces:

1. 0 u = 0 (El escalar 0 por cualquier vector da el vector cero)2. c 0 = 0 (Cualquier escalar por el vector cero da el vector cero)3. c u = 0 implica c = 0 o u = 0 (Cuando el producto de un escalar por un vector da el vector cero, o el escalar es cero o el vector es el vector cero)4. (c) u = (c u) (Multiplicar por un escalar negativo implica obtener el inverso aditivo delProducto del escalar sin el signo por el vector)

Ejemplos de EVVeamos algunos de los espacios vectoriales que utilizaremos.

Ejemplo EV 1

Sea V = R+ con las operaciones: x y = x y y c x = xc, veamos que V con tal operaciones cumple los axiomas de espacio vectorial:

Axioma A1: x y VEfectivamente, pues si x, y V entonces x, y > 0 y por tanto x y = x y > 0, probando que x y V .

Axioma A2: x y = y xEfectivamente, pues x y = x y = y x = y x. Esto se tiene por la propiedad conmutativa del producto de nmeros reales.

Axioma A3: x (y z) = (x y) zEfectivamente, pues x (y z) = x (y z) = x (y z) = (x y) z = (x y) z = (x y) z. Esto se tiene por la propiedad asociativa del producto de nmeros reales.

Axioma A4: Existe en V un neutro para Efectivamente, el nmero 1 de V = R cumple la propiedad requerida pues 1 x = 1 x = x = x 1 = x 1.

Axioma A5: Todo elemento de V posee un inverso aditivo en VEfectivamente, si x V es nmero, 1/x tambin est en V = R (Pues si x > 0, tambin se cumple 1/x > 0) y cumple la propiedad requerida pues x 1/x = x 1/x = 1 = 1/x x = 1/x x.

Axioma M1: c x VEfectivamente, pues si x V entonces x > 0 y c x = xc > 0 para cualquier numero c. (Recuerde que para x > 0, xc = ec ln(x) > 0)

Axioma M2: c (x y) = (c x) (c y)Efectivamente, c (x y) = c (x y) = (x y)c = xc yc = (xc) (yc) = (c x) (c y). Y esto vale por la ley de los exponentes con bases positivas.

Axioma M3: (c1 + c2) x = (c1 x) (c2 x)Efectivamente, (c1 + c2) x = xc1+c2 = xc1 xc2 = (xc1) (xc2) = (c1 x) (c2 x). Esto vale por la ley de los exponentes con bases positivas.

Axioma M4: (c1 c2) x = c1 (c2 x)Efectivamente, (c1 c2)x = xc1c2 = (xc2)c1 = c1(xc2) = c1(c2x). Esto vale por la ley de los exponentes con bases positivas.

Axioma M5: 1 x = xEfectivamente, 1 x = x1 = x.Habindose cumplido los 10 axiomas, concluimos que V con las operacionesX y = x y y c x = xcS es un espacio vectorial

Ejemplo EV 2: Rn

El conjunto de toda la n-adas con componentes reales Rn:

Operaciones:La suma: La suma de dos vectores con n componentes es un vector tambin con n componentes cuya componente i-esima es la suma de las componentes i-esimas de los vectores que se estn sumando:(xi) + (yi) = (xi + yi)El producto por escalares: El producto de un escalar por un vector de n componentes es tambin un vector de n componentes cuya componente i-sima es el producto del escalar por la iesima componente del vector que se multiplica:c (xi) = (c xi)

Axiomas A1 y M1: x + y Rn y c x RnDe la misma definicin de la suma y producto por escalares.

Axioma A2 : x + y = y + xLos vectores son iguales pues tienen la misma dimensin y al comparar las componentes i se tienexi + yi = yi + xi

Axioma A3: x + (y + z) = (x + y) + zLos vectores son iguales pues tienen la misma dimensin y al comparar las componentes i se tienexi + (yi + zi) = (xi + yi) + zi

Axioma A4: Existe el vector neutro bajo la adicin:Este vector es el vector con todas sus componentes cero 0 = (0) y cumple 0+x = x+0 = x pues al comparar las i-simas componentes se cumple:0 + xi = xi + 0 = xi

Axioma A5: Cada vector de tiene su inverso aditivo:Para cada vector x = (xi) el vector x = (xi) cumple x+(x) = (x)+x = 0 pues al comparar las i-simas componentes se cumple:xi + xi = 0 = xi + xi

Axioma M2: c(x+y) = c x+c y:Los vectores son iguales pues tienen la misma dimensin y al comparar las componentes i se tienec(xi + yi) = c xi + c yi

Axioma M3: (c1+c2)x = c1 x+c2 x:Los vectores son iguales pues tienen la misma dimensin y al comparar las componentes i se tiene(c1 + c2)xi = c1 xi + c2 xi

Axioma M4: (c1 c2)x = c1 (c2 x):Los vectores son iguales pues tienen la misma dimensin y al comparar las componentes i se tiene(c1 c2)xi = c1(c2xi)

Axioma M5: 1 (xi) = (1 xi) = (xi)Habindose cumplido los 10 axiomas, concluimos que Rn con las operaciones(xi) + (yi) = (xi + yi) y c(xi) = (c xi)s es un espacio vectorial

Ejemplo EV 3: Mmn

El conjunto de todas las matrices m n con componentes reales Mmn:

Operaciones:

La suma: La suma de dos matrices m n es una matriz tambin m n cuyo elemento (i, j) es la suma de los elementos (i, j) de las matrices que se estn sumando:(aij) + (bij) = (aij + bij)

El producto por escalares: El producto de un escalar por una matriz mn es tambin una matriz mn cuyo elemento (i, j) es el producto del escalar por el elemento (i, j) de la matriz que se multiplica:c (aij) = (c aij)

Axiomas A1 y M1: A + B Mmn y c A Mmn:De la misma definicin de la suma de matrices y producto por escalares.

Axioma A2 ; A + B = B + A:Las matrices son iguales pues tienen la misma dimensin y al comparar los elementos (i, j) se tiene aij + bij = bij + aij

Axioma A3: A + (B + C) = (A + B) + C:Las matrices son iguales pues tienen la misma dimensin y al comparar los elementos (i, j) se tiene aij + (bij + cij) = (aij + bij) + cij

Axioma A4, Existe una matriz neutra bajo la adicin:Esta matriz es la matriz con todas sus componentes cero 0 = (0) y cumple 0 + A = A + 0 = A, pues al comparar los elementos (i, j) componentes se cumple:0 + aij = aij + 0 = aij

Axioma A5: Cada matriz de tiene su inverso aditivo:Para cada matriz A = (aij), la matriz A = (aij) cumple A+(A) = (A)+A = 0, pues al comparar los elementos (i, j) se cumple: aij + aij = 0 = aij + aij

Axioma M2: c(A+ B) = cA+ cB:Las matrices son iguales pues tienen la misma dimensin y al comparar los elementos (i, j) se tiene c(aij + bij) = c aij + c bij

Axioma M3: (c1+c2)A = c1A+c2A:Las matrices son iguales pues tienen la misma dimensin y al comparar los elementos (i, j) se tiene (c1 + c2)aij = c1 aij + c2 aij

Axioma M4: (c1 c2)A = c1 (c2A):Las matrices son iguales pues tienen la misma dimensin y al comparar los elementos (i, j) se tiene (c1 c2)aij = c1(c2aij)

Axioma M5: 1 (aij) = (1 aij) = (aij)Habindose cumplido los 10 axiomas, concluimos que Mmn con las operaciones (aij) + (bij) = (aij + bij) y c(bij) = (c aij)S es un espacio vectorial

Ejemplo EV 4: PDe todos los polinomios con coeficientes reales en la variable x con las operaciones:Suma: Cuando son dos polinomios, esta operacin se lleva a cabo sumando los coeficientes de las mismas potencias de x de los polinomios.a0 + a1 x + + am xm+b0 + b1 x + + bm xm= (a0 + b0) + (a1 + b1) x + + (am + bm) xm(Alguno de los polinomios se completa hasta el grado mayor de los dos con coeficientes cero)

Multiplicacin: La multiplicacin por escalar es la multiplicacin de todo el polinomio por una constante:c(a0 + a1 x + a2 x2 + + am xm)= c a0 + c a1 x + + c am xm

Axiomas A1 y M1: p(x) + q(x) P y c p(x) P:De la misma definicin de la suma de polinomios y producto por escalares.

Axioma A2; p(x) + q(x) = q(x) + q(x):Los polinomios son iguales pues estn en la misma variable y comparando los coeficientes de xi se tiene:pi + qi = pi + qi

Axioma A3: p(x) + (q(x) + r(x)) = (p(x) + q(x)) + r(x):Los polinomios son iguales pues estan en la misma variable y comparando los coeficientes de xi se tiene:pi + (qi + ri) = (pi + qi) + ri

Axioma A4, Existe un polinomio neutro bajo la adicin:Este polinomio es el polinomio con todos sus coeficientes cero: 0 = 0 = 0 + 0 x y cumple 0 +p(x) = p(x)+ 0 = p(x), pues al comparar los coeficientes de xi se tiene: 0 + pi = pi + 0 = pi

Axioma A5: Cada polinomio de tiene su inverso aditivo:Para cada polinomio p(x) = p0 + p1x + c . . . , el polinomio p(x) = (p0) + (p1) x + (p2)x2 + cumple p(x) + (p(x)) = (p(x)) + p(x) = 0, pues al comparar los coeficientes de xi se tiene:(pi) + pi = 0

Axioma M2: c(p(x) + q(x)) = c p(x) + c q(x):Los polinomios son iguales pues estn en la misma variable y comparando los coeficientes de xi se tiene: c(pi + qi) = c pi + c qi

Axioma M3: (c1 + c2)p(x) = c1 p(x)+c2 p(x):Los polinomios son iguales pues estn en la misma variable y comparando los coeficientes de xi se tiene:(c1 + c2)pi = c1 pi + c2 pi

Axioma M4: (c1 c2)p(x) = c1 (c2 p(x)):Los polinomios son iguales pues estn en la misma variable y comparando los coeficientes de xi se tiene:(c1 c2)pi = c1(c2pi)

Axioma M5: 1 p(x) = p(x)Habindose cumplido los 10 axiomas, concluimos que P con las operaciones suma de polinomios y producto de un escalar por un polinomio conocidas s es un espacio vectorial

Ejemplo EV 5: Pn

Todos los polinomios con coeficientes reales en la variable x de grado menor o igual que n (n es entero mayor o igual que cero):1 operaciones: Sea x la variable independiente de los polinomios.a) Suma: Misma que en P.b) Multiplicacin por escalares: Misma que en P.2 el cero: El polinomio 0, es aquel cuya totalidad de coeficientes es cero.3 inversos aditivos: El inverso de p de un polinomio p tiene por coeficientes los opuestos de los coeficientes de p

Ejemplo EV 6: F(R)

El conjunto de todas las funciones de valor real definidas en R:1 operaciones: Sean f y g dos funciones de valor real con dominio R y sea c cualquier escalar.a) Suma: Se define la suma de f + g de f y g como la funcin cuyos valores estn expresados por:(f + g)(x) = f(x) + g(x) para toda x Rb) producto por escalares: Igualmente, el producto por escalar cf se define como sigue:(c f)(x) = c f(x) para toda x R2 el cero: La funcin cero, 0 es aquella cuyos valores son todos ceros: 0(x)= 0 para toda x R.3 inversos aditivos: La inversa de f de f es la funcin (-1)f.4 axiomas: La comprobacin de los axiomas se deja como ejercicio.De manera ms general, el conjunto F(X) de todas las funciones de valor real definidas en un conjunto X es un espacio vectorial. Las operaciones, el cero y el negativo se definen en la misma forma. La nica diferencia es que x se encuentra en el conjunto X, en lugar de estar en R.

Subespacio Vectorial

Como se ha visto probar que un conjunto es un espacio vectorial es un trabajo arduo. Sin embargo, hay situaciones en las que la prueba se reduce considerablemente: Cuando el conjunto est contenido en un conjunto mayor que ya es un espacio vectorial. En este caso, como todas las propiedades de los axiomas hacen referencia a elementos del conjunto y por tanto a elementos al conjunto mayor que ya es espacio vectorial ypor consiguiente se verifican. Salvo posiblemente los axiomas A1 y M1 que hacen referencia a la cerradura.Definicin 1Sea V = (V,+, ) un espacio vectorial. Un subconjuto U de V (U V ) que no es vaco se dice subespacio vectorial o simplemente subespacio de V si U con las mismas operaciones de suma y multiplicacin por escalares que estn definidas en V , pero restringidas a vectores de U , es un espacio vectorial.A pesar que en la definicin de subespacio est implcita la verificacin de los axiomas, el siguiente resultado da la clave para la verificacin de que un conjunto se subespacio.

TeoremaUn subconjunto no vaco U de un espacio vectorial V es subespacio de V si cumple las siguientes condiciones:

El conjunto U es cerrado bajo la suma;Cualesquiera dos elementos de U sumados dan como resultado un elemento que tambin est en U.El conjunto U es cerrado bajo la multiplicacin por escalares;Cualquier elemento de U multiplicado por cualquier escalar da como resultado un elemento que tambin est en U.Observe que realmente el resultado anterior hace referencia a tres condiciones: La que est en el enunciado:que el conjunto no sea vaco, y las dos explcitamente citadas.trans=R,toc=Ejemplo

El subconjuto W de P2 formado por solo polinomios de la forma p(x) = a x + 3 a x2donde a es un nmero real, es un subespacio vectorial?

SolucinRequisito 0: Se debe probar que el conjunto posee al menos un elemento: Debemos dar un ejemplo concreto de un polinomio que corresponde a este formato: Por ejemplop(x) = 2 x + 6 x2 el coeficiente de x2, 6, es justo el doble del coeficiente de x, que es 2. Por tanto, W 6= .Requisito 1: Debemos probar que si se suman dos elementos cualquiera del conjunto, el resultado tambin est en el conjunto. Para abarcar cualquier elemento de W no podemos utilizar un valor numrico de a; debemos utilizar letras. Sean p(x) = a1 x + 3 a1 x2 y q(x) = a2 x + 3 a2 x2 dos elementos de W, veamos sip(x) + q(x) W:p(x) + q(x) = a1 x + 3 a1 x2 + a2 x + 3 a2 x2 = (a1 + a2) x + 3 (a1 + a2) x2de donde vemos que el coeficiente de x2 es el de x multiplicado por 3. Por tanto, p(x)+q(x) W. Por tanto,W es cerrado bajo la suma.Requisito 2: Debemos probar que si se multiplica un escalar cualquiera por un elemento cualquiera del conjunto, el resultado tambin est en el conjunto. Para abarcar cualquier elemento de W no podemos utilizar un valor numrico de a; debemos utilizar letras. Sea p(x) = a1 x + 3 a1 x2 un elemento cualquiera de W y cun escalar cualquiera, veamos si c p(x) W:c p(x) = c (a1 x + 3 a1 x2) = (c a1) x + 3 (c a1) x2de donde vemos que el coeficiente de x2 es el de x multiplicado por 3. Por tanto, c p(x) W. Por tanto, W es cerrado bajo el producto por escalares.Como hemos probado los tres requisitos, W es un subespacio vectorial de P2.

Derivacin vectorialVectores variablesLos vectores podrn ser constantes o variables. Ahora bien, esa caracterstica se verificara tanto en las componentes como en la base. Esto quiere decir que cuando un vector esvariable podrn variar su mdulo, su direccin, su sentido o todo junto o separado. Obviamenteesta variabilidad del vector depender de la base en la cual se expreseA(t) = Ak (t) ek (t) = Akek (t)

Ntese que hemos utilizado una base {ek (t)} de vectores variables a diferencia de la tradicional base de vectores cartesianos, los cuales son constantes en mdulo ,direccin y sentido ;todo vector variable podr ser expresado como la suma de uno variable, A(t) ;Ms otro constante cA(t) = A(t) + c

DerivacinDe esta manera, cuando uno piensa en un vector variable A(t) uno rpidamente piensaen establecer un cociente incremental tal y como se muestra en:

Como siempre, las propiedades de esta operacin derivacin sern:

Ahora bien, esto implica que:

Con lo cual hay que tener cuidado al derivar vectores y cerciorarse de la dependencia funcional de base y componentes. Habr sistemas de coordenadas (bases de vectores) que sern constantes y otros en los cuales sus vectores bases cambiarn en su direccin. El primer trmino representa la variacin del mdulo y el segundo muestra la contribucin de los cambios en direccin del vector. Ms an, mostraremos apoyndonos en la ilustracin del cuadrante el cuadrante III de la Figura 1 que, independientemente del sistema de coordenada el cambio en el mdulo apunta en la direccin del vector, mientras que las contribuciones en direccin apuntan en la direccin perpendicular al vector. Esto es

Es fcil convencernos de la forma del primer trmino. Siempre podemos representar unvector como su mdulo y un vector unitario en la direccin apropiada. Esto es

Adicionalmente:

Con lo cual:

Para que finalmente podamos obtener:

Es decir que el cambio en el mdulo de un vector se manifiesta en la direccin del mismo vector, tal y como era intuitivo suponer. Adicionalmente vemos que el vector siempre ser perpendicular a su derivada. Grficamente podemos apreciarlo en el cuadrante IV de la Figura 1, pero tambin surge analticamente de si derivamos el vector unitario en la direccin de A(t) Si mejoramos la notacin haciendo los siguiente:

Entonces,

Es decir,

Supongamos que definimos un vector:

Donde es el ngulo de rotacin del vector A(t) (ver cuadrante V de la Figura 1). Claramente:

Donde hemos identificado w =

Entonces podemos ir ms all. Observando el cuadrante V de la Figura 1 vemos que siSuponemos que el mdulo del vector es constante, entonces

Velocidades y aceleraciones

El radio vector posicin de una partcula genera los vectores velocidad y aceleracin.

Ahora bien

si suponemos que la partcula describe un movimiento entonces

Con lo cual

ya que

y

Ms an

Con lo cual, una partcula que describe un movimiento genrico vendr descrita en coordenadas cartesianas por

y su velocidad ser:

y la aceleracin:

Mientras que en coordenadas polares sern:

con lo cual la velocidad:

y la aceleracin:

Claramente para el caso de un movimiento circular

De aqu podemos ver claramente que velocidad v (t) y posicin r (t) son ortogonales. LaVelocidad, v (t); siempre es tangente a la trayectoria r (t) y en este caso la trayectoria es una circunferencia.En general el vector

Es decir es tangente a la trayectoria. Es claro que:

Tal y como mencionamos arriba, para el sistema de coordenadas cartesiano podemosdefinir un vector (en este caso) velocidad angular:

Supongamos por que, simplicidad, elegimos el sistema de coordenadas cartesiano tal quer est el plano x; y: En este caso es inmediato comprobar que vi = eijkwjxk y dado que r yv tienen nicamente componentes 1; 2 entonces, necesariamente w tiene componente 3. Es decir:

como

como se ve ms claro es en coordenadas polares, esto es:

Vectores y funciones

Antes de continuar con la integracin repensemos algunas funciones de tipo (x; y; z) y v (x; y; z) : Son, sin duda funciones de varias variables

un par de reflexiones se pueden hacer en este punto. Primeramente, dado que hemos relacionado un punto del espacio con un radio vector posicin, entonces

La primera funcin, (r) ser una funcin escalar de argumento vectorial o, simplemente un campo escalar y la segunda se conoce como una funcin vectorial de argumento vectorial o campo vectorial. Como hemos dicho este tipo de funciones y las operaciones que pueden ser realizadas con ellas, as como tambin su significado, ser analizada en detalle ms adelante en este mismo curso.En segundo lugar, siempre podremos paramtrizar las coordenadas y tendremos:

Este caso lo hemos encontrado en montones de situaciones. El movimiento parablico viene descrito por un vector velocidad y posicin.

Derivada de funciones _ (r (t))

Al derivar una funcin de argumento vectorial tambin aplica la \regla de la cadena".Esto es:

donde hemos representado

y lo llamaremos el gradiente de la funcin. El gradiente de un campo escalar es uno de losobjetos ms tiles, el cual lo utilizaremos, por ahora de manera operacional y recordaremos que emerge como consecuencia de una derivacin contra un parmetro. El gradiente mide el cambio de la funcin (x; y; z).La idea de gradiente nos lleva a considerar al r como un operador vectorial que actasobre la funcin escalar de variable vectorial (r (t)). Es decir con un poquito de imaginacin.

Derivada de funciones vectoriales c (r (t))

De modo que inspirados en la regla de la cadena de una funcin escalar de variable vectorial comprobamos que

por consiguiente, si c; tiene por componentes cartesianas (cx; cy; cz) las componentes delvector derivado sern Con lo cual cada componente :

es decir, en trminos vectoriales

con v la derivada del radio vector posicin r (t), es decir, la velocidad. Es decir, estamosviendo el cambio del vector c respecto al tiempo es el cambio de sus componentes en ladireccin de la velocidad. Si se nos ocurre calcular la derivada del vector velocidad para encontrar la aceleracin tendremos que nos queda expresada como:

donde las componentes cartesianas de los vectores velocidad y aceleracin son vi = vi (x (t) ; y (t) ; z (t)) y ai = ai (x (t) ; y (t) ; z (t)) ; respectivamente.

El vector gradiente

El operador vectorial merece un poco de atencin en este nivel. Tal y como hemosVisto:

Recordemos que la notacin utilizada en este curso implica que 1 = x, . . .Con el operador nabla realizaremos operaciones igual como un vector comn ycorriente. As en el caso E se denomina rotor de E y viene definido por

Tambin tendremos el \producto escalar" de nabla por un vector. Esta operacin lallamaremos divergencia:

pero por ahora consideremos nabla como un vector. De este modo habr cantidad derelaciones vectoriales que involucren a las cuales se podrn demostrar. Veamos

El resultado es un gradiente, es decir un vector. El lado izquierdo ser:

mientras que el lado derecho

Veamos un ejemplo de derivacin de un vector, partiendo de una funcin vectorial:

Esta funcin representa una curva helicoidal alrededor del eje z, de radio unidad, como se ilustra en la figura. Podemos imaginar que esta curva es la trayectoria de una partcula y la funcin representa el vector posicin en funcin del tiempo t. Derivando tendremos:

Realizando la derivada:

La derivada del vector posicin respecto al tiempo es la velocidad, as que esta segunda funcin determina el vector velocidad de la partcula en funcin del tiempo, podemos escribir:

Este vector velocidad es un vector tangente a la trayectoria en el punto ocupado por la partcula en cada instante. Si derivsemos de nuevo obtendramos el vector aceleracin.

Integracin de Vectores

La nica diferencia con la integracin ya conocida de funciones escalares es que alrealizar la integral indefinida de una funcin vectorial aparecen tres constantes arbitrarias de integracin, Cx , Cy y Cz al integrar cada una de las tres componentes. Tres constantes que se pueden agrupar dando lugar a un vector arbitrario constante:

C = Cxi + Cyj + Cz k .

El valor de dicho vector s e tiene que determinar utilizando otros datos del problema (como las condiciones iniciales del movimiento). En nuestro ejemplo si queremos recuperar el vector de posicin ! r (t ) de la partcula nuestro vector constante debe valer:

C = i + 2 j + k .

Las integrales de fu nciones vectoriales pueden ser tambin definidas utilizando lmitesde integracin. En este caso ya no aparecen constantes de integracin.La derivacin e integracin de vectores tiene propiedades similares a las que cumplen los escalares. As, por ejemplo si tenemos los vectores Au, Buy la funcin escalar f use verifica:

Derivada de la suma de vectores:

Derivada del producto por un escalar:

Derivada de un producto Vectorial:

Nota: Es importante mantener el orden de los productos vectoriales durante laderivacin o integracin ya que sta operacin no verifica la propiedadconmutativa.

Problemas Propuestos:Derivacin de Vectores

1. Hallar la derivada respecto al tiempo de P=xi + 2yj -zk

2. Si P= 2ti + 3tj -tk y Q=ti + tj + tk, demostrar que :

d/dt ( P:Q) = 4t + 8t

3. En el problema anterior, demostrar que :

d/dt ( P X Q) = (15t4 + 3t)i - (8t + 2t)j - 3tkSolucin:1. Tenemos el vector posicin, para hallar su derivada con respecto a su variable t, calculamos la derivada de cada una de sus componentes como si de escalares se trataran.P(t) = x(t)i+ 2y(t)j+ z (t)kdP = dx i + dy j - 2z dz k

Si P = 2ti + 3t2j - tk y Q = ti + t2j + t3k , demostrar que:d (P.Q) = 4t + 8t........ 12. Primero debemos de recordar que al derivar dos funciones que se encuentran multiplicando, su derivada ser:d P(t) . Q(t) = P(T) d Q(t) + d P(t).q(t)..... 2Reemplazamos: 2 en 1

d (P.Q) = 4t + 8tP(T) d Q(t) + d P(t).Q(t)= 4t + 8t(2ti + 3t j - tk)(i + 2tj + 3t k) + (2i + 6tj - k)(ti + t j + t k)(2t + 6t- 3t k) + (2t + 6t - t)4t + 8t = 4t + 8t

3. dP.Q + P . dQ = d (P.Q)Aplicamos nuevamente la derivada al tener dos funciones multiplicndose, pero debemos de observar que ahora esa multiplicacion sera el producto vectorial.d (PxQ) = (15t + 3t) i - (8t - 2t) j -3t P(T) x d Q(t) + d P(t)x Q(t) = (2i + 6t j - k) x (T i + T J + T K)

i j k i k i j k i k 2 6t -1 2 6t + 2t 3t -t 2t 3t t t t t t 1 2t 3t 1 2t

(6t i - tj + 2t k) - (6t k - t i + 2t j) + (9t i - t j + 4t k) - (3t k - 2t i + 6t j) (15t i + 3t i) - (8t j + 2t j) - 3t k

Integracin de Vectores:

1. La aceleracin de un cohete viene dada por:

dondec velocidad de salida de los gasesg aceleracin de gravedadb constante relacionada con la variacin de la masa del cohete

Encuentre la expresin para la velocidad y posicin del cohete

2. Evale:

3. Dada una fuerza F = (2y + 3)i+ (xz) j+(yz x)k ;Evale la integral del lnea a lo largo de las siguientes curvas:

a) x = 2t2, y = t, z = t3 con t = 0 t = 1b) segmentos de lneas rectas con el siguiente recorrido:(0, 0, 0) (0, 0, 1) seguidamente (0, 0, 1) (0, 1, 1) para finalizar en (0, 1, 1) (2, 1, 1)

FISICA I23