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Espaces vectoriels normes ∗
MP
27 decembre 2012
Faites des dessins
Table des matieres
1 Espaces vectoriels normes 31.1 Normes, espaces normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Normes dans les espaces pre-hilbertiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Notion de limite dans les ev normes, normes equivalentes . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Topologie dans un espace norme 102.1 Notion d’ouvert, de ferme, de point adherent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2 Adherence d’une partie de E, notion de partie dense . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3 Limites des fonctions dans les evn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.4 Fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.5 Le jeu de lego c© des fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.6 Continuite uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3 Suites de Cauchy dans les evn, espaces complets 203.1 Suites de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2 Espaces complets ou espaces de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3 Theoreme du point fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4 Espaces vectoriels normes en dimension finie 244.1 Suites des composantes dans une base, equivalence des normes . . . . . . . . . . . 244.2 Theoreme de Bolzano-Weierstrass. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.3 Suites de Cauchy en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.4 Continuite en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5 Connexite par arcs 28
6 Notion de compact 306.1 En dimension quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306.2 Compacite en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316.3 Compacite, exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
7 Exercices divers et varies 34
∗Document disponible sur mpcezanne.fr ou univenligne.fr sous le nom EspacesNormes.pdf
1
8 Continuite des applications lineaires 418.1 Caracterisation des applications lineaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418.2 Cas de la dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428.3 Continuite des applications bilineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428.4 Normes subordonnees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438.5 Normes subordonnees aux normes usuelles de Kn : . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448.6 Recettes pratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448.7 Algebre normee (HP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468.8 Exercices : continuite des applications lineaires, topologie et matrices . . . . . . . . 46
9 Questions rapides admettant reponses rapides ; le flash-eclair 51
10 Resumons nous 5310.1 En dimension quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
10.1.1 Generalites : limites, normes equivalents, topologie . . . . . . . . . . . . . . 5310.1.2 Fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5410.1.3 Suites de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
10.2 Espaces vectoriels normes en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5510.3 Les compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5710.4 Applications lineaires dans les evn et continuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
11 Quelques corriges 58
2
1 Espaces vectoriels normes
Nous introduisons ici la notion de norme generalisant par la les normes || − ||∞, || − ||1, || −||2 definies en sup sur les espaces Rn ainsi que les normes euclidiennes definies a partir d’unproduit scalaire. Ces normes nous permettront de definir les limites de suites dans des espacesdivers : suites de vecteurs (solutions approchee de systemes d’equations), suites de fonctions (calculsd’integrales, etude des series de Fourier, solutions approchees des equations differentielles,...), suitesde matrices (recherche de solutions approchees de systemes lineaires, recherche de valeurs propresde matrices...).
1.1 Normes, espaces normes
Definition 1 norme dans un espace vectoriel sur R ou C;Une norme sur un K−ev E est une application N : E 7→ R+ telle que :
1. N (x) = 0⇒ x = 0
2. N (x+ y) ≤ N (x) +N (y)
3. N (λx) = |λ| N (x).
Un espace norme est un couple (E,N ), forme d’un ev et d’une norme sur E.
Remarque les normes generalisent les notions de valeurs absolues et de module. Elles verifientpar exemple la propriete fondamentale (inegalites triangulaires) :
| N (x)−N (y) | ≤ N (x− y)| ≤ N (x) +N (y).
| ||x|| − ||y|| | ≤ ||x− y|| ≤ ||x||+ ||y||.
Exemples
1. Dans Rn ou Cn, les normes
||x||1 =
n∑k=1
|xk|||x||2 =
(n∑k=1
|xk|2)1/2
||x||∞ = supk|xk|
On commencera par les exercices 5, 7 pour une premiere approche de ces normes...
2. Dans B(A,K), fonctions bornees de A dans K, la norme
||f ||∞ = supx∈A|f(x)|
(norme infinie ou norme de la convergence uniforme qui interviendra de facon fondamentaleen analyse).
3. Dans C([a, b],K), ensemble des fonctions continues sur [a, b], les normes
3
||f ||1 =
∫ b
a
|f(x)| dx ||f ||2 =
(∫ b
a
|f(x)|2 dx
)1/2 ||f ||∞ = supx∈[a,b]
|f(x)|
4. On peut encore definir sur C1([a, b],K), ensemble des fonctions de classe C1 sur [a, b], lesnormes
N1(f) = ||f ||1 + ||f ′||1 N2(f) = ||f ||2 + ||f ′||2 N∞(f) = ||f ||∞ + ||f ′||∞
5. De facon analogue, on considere les sous-espaces vectoriels de suites– `1 espace des suites a valeurs complexes telles que
∑|ui| converge ;
– `2 espace des suites a valeurs complexes telles que∑|ui|2 converge ;
– `∞ espace des suites bornees a valeurs complexeson definit sur ces espaces les trois normes
||u||1 =
∞∑i=0
|ui|||u||2 =
( ∞∑i=0
|ui|2)1/2
||u||∞ = supi∈N|ui|
6. Sur les espaces de matrices voir le tableau du paragraphe (8.5) et la norme de Schurdefinie par
||A|| =√Tr(A ¯tA).
Exercice 1 normes
1. Au kilometre : demontrer que dans le tableau qui precede nous avons bien defini des normes(pour ce qui est de la colonne centrale et de la norme de Schur, attendez d’avoir etudie leparagraphe (1.2) sur les espaces prehilbertiens).
2. Demontrer que
N(f) = |f(0)|+∫ b
a
|f ′(t)| dt
definit une norme sur l’espace des fonctions de classe C1 sur [a, b].
3. Soit E l’espace vectoriel des fonctions de classe C1 sur R. Definit on une norme sur E enposant pour f ∈ E,
N(f) = |f(a)|+ ||f ′||∞?
4. Soient a0, a1, ..., ap des complexes. La fonction N definie par
N(P ) =
p∑k=0
|P (ak)|
definit elle une norme sur Cp[X]?
4
1.2 Normes dans les espaces pre-hilbertiens
Les espaces prehilbertiens sont les espaces munis d’un produit scalaire reel ou complexe, normespar N2(x) =< x|x >1/2 .L’inegalite triangulaire est alors une consequence de l’inegalite de Cauchy-Schwarz.Ils interviendront, pour ce qui est de notre programme, en geometrie, en algebre lineaire (diago-nalisation des matrices symetriques...), pour l’etude des series de Fourier... Ils jouent par ailleursun role fondamental dans l’etude des equations differentielles ; en physique, ils donnent le cadremodelisant la mecanique quantique, etc...
Definition 2 Soit E un K−espace vectoriel (K = R ou C). On appelle produit scalaire (reel oucomplexe) sur E, une application :
φ : E × E → K
telle que :– φ est lineaire a gauche : ∀(x, y, z) ∈ E3,∀λ ∈ K, φ(x+ λy, z) = φ(x, z) + +λφ(y, z);– φ est hermitique :∀(x, y) ∈ E2, φ(y, x) = φ(x, y);– φ est positive : ∀x ∈ E, φ(x, x) ≥ 0;– φ est definie positive : ∀x ∈ E, φ(x, x) = 0⇒ x = 0.On dit alors que (E, φ) est un espace prehilbertien (reel ou complexe) ; lorsque E est de dimen-sion finie on parle d’espace euclidien pour le cas reel, d’espace hermitien pour le cas complexe.
On aura remarque que si K = R, on retrouve la definition usuelle du produit scalaire reel : formebilineaire, symetrique et definie positive.
Theoreme 1 Si E est un espace prehilbertien de produit scalaire φ(x, y) = (x|y), alors :– Pour tout (x, y) ∈ E2, | < x|y > | ≤
√< x|x >
√< y|y >.
– L’egalite a lieu ssi x et y sont lies.– L’application x ∈ E →
√< x|x > ∈ R+ est une norme sur E; on dit qu’elle derive du produit
scalaire (on note souvent ||x||2 =√< x|x >).
Questions prealables
– l’application λ ∈ K→ (< x+ λy|x+ λy >∈ K est elle un polynome en λ?– l’application λ ∈ R→< x+ λy|x+ λy >∈? est elle un polynome en λ?– Exprimer < λx|y >,< x|λy >,< x|eiθy > ...
Demonstration
1. Remarquons que l’inegalite est evidente si y par exemple est nul.
2. Supposons alors y 6= 0 et considerons le polynome de la variable reelle
F (λ) =< x+ λy |x+ λy >= λ2 < y | y > +2λRe(< x|y >)+ < x|x > .
C’est un polynome du second degre (le coefficient de λ2 est strictement positif) qui est positifsur R. Nous avons donc
∆ = 4Re2(< x|y >)− 4 < y|y >< x|x >≤ 0
soit|Re < x|y > | ≤
√< x|x >
√< y|y >.
5
3. Considerons alors x et y quelconques.Pour majorer | < x|y > |, notons < x|y >= eiθ| < x|y > | et x′ = e−iθx. La relationprecedente devient
|Re < x′|y > | ≤√< x′|x′ >
√< y|y >
avec Re(< x′|y >) = Re(e−iθ < x|y >) = Re(| < x|y > |) = | < x|y > | et < x′|x′ >=<x|x > nous obtenons alors la relation de Cauchy-Schwarz :
| < x|y > | ≤√< x|x >
√< y|y >.
4. Le cas d’egalite :
⇐ Supposons que x = λy ou y = λx, il y alors egalite dans la relation precedente ;
⇒ Supposons que | < x|y > | =√< x|x >
√< y|y >.
Si y 6= 0, pour x′ quelconque,
G(λ) =< x′ + λy |x′ + λy >= λ2 < y | y > +2λRe(< x′|y >)+ < x′|x′ > .
C’est un polynome du second degre reel dont le discriminant est
4|Re < x′|y > | − 4√< x′|x′ >
√< y|y > ≤ 0.
En choisissant comme precedemment x′ = e−iθx, cette inegalite devient une egalite et ilexiste λ reel tel que x′ = λy soit x = λeiθy.
Le tableau ci-dessous donne quelques exemples de produits scalaires reels ou complexes et lesnormes associees :
l’espace le produit scalaire la norme
Kn (x|y) =
n∑k=1
xkyk ||x||2 =
(n∑k=1
|xk|2)1/2
C([a, b],C) (f |g) =
∫ b
a
f(x)g(x) dx ||f ||2 =
(∫ b
a
|f(x)|2 dx
)1/2
suitestelles que∑∞i=0 |ui|2
converge
< u, v >=
∞∑i=0
ui vi ||u||2 =
( ∞∑i=0
|ui|2)1/2
Mn(K) (A|B) = Tr(A ¯tB) ||A|| =√Tr(A ¯tA)
Les questions specifiques aux espaces prehilbertiens : voir les exercices 47, 41, 50, ...
Exercice 2 normes
6
1. Soient a0, a1, ..., ap des complexes. La fonction N definie par
N(P ) =
(p∑k=0
P (ak)P (ak)
)1/2
definit elle une norme sur Cp[X]?
2. Soit E l’ensemble des fonctions continues et de carres integrables sur R :
E = f : R→ C \ f C0, |f |2 integrable
(a) S’agit il d’un espace vectoriel ?
(b) Definit on une norme en posant ||f ||2 =
∫R|f |2?
(c) Donner dans cet espace une majoration de
∫R
e−|x|
(1 + x2)1/2dx
1.3 Notion de limite dans les ev normes, normes equivalentes
Definition 3 limite d’une suite dans un evnOn dit qu’une suite d’elements (xn)n d’un espace norme (E, || ||) est convergente de limite l ∈ E,
ssilimn→∞
||xn − l|| = 0,
ou, ce qui est equivalent :
∀ε > 0, ∃n0, ∀n ∈ N, n ≥ n0 ⇒ ||xn − l|| ≤ ε.
Remarque fondamentale :l’existence de la limite et la limite elle-meme dependent de la norme choisie (en dimen-sion infinie, comme nous le verrons). L’exemple de l’exercice 4 est edifiant.
Theoreme 2 unicite de la limiteUne suite d’elements de l’evn (E,N) converge vers au plus un element.
Demonstration
Exercice 3 fondamental, sera generalise dans l’etude des evn de dimension finie...
1. On note Xn =t (xn,1, xn,2, ..., xn,d) ∈ Kd. Montrer que les propositions qui suivent sontequivalentes :– (Xn)n converge vers X pour la norme || ||∞;– (Xn)n converge vers X pour la norme || ||1;– (Xn)n converge vers X pour la norme || ||2;– limxn,1 = xi pour 1 ≤ i ≤ d.
2. Pour une norme de votre choix dans le tableau du paragraphe (8.5), montrer l’equivalence– (Mn)n converge vers M pour la norme N ;– les suites de composantes (mn,i,j)n convergent vers les Mi,j .
3. voir l’exercice 65 pour une suite de polynomes qui ne converge pas alors que les suites descoordonnees convergent...
7
Exercice 4Soit C l’espace vectoriel des fonctions continues sur [0, 1], a valeurs dans C.
1. Dans cet espace, on considere les suites (fn)n, (gn)n des fonctions
fn : x ∈ [0, 1]→ xn, gn : x ∈ [0, 1]→ n1/2xn.
(a) Montrer que ||fn − 0||1 a pour limite 0 ; que dire de ||gn − 0||1?
(b) Montrer que ||fn − 0||2 a pour limite 0 ; que dire de ||gn − 0||2?
(c) Que dire de ||fn − 0||∞? de que dire de ||gn − 0||∞?
2. Montrer que si une suite (fn)n d’elements de C converge vers g ∈ C pour la norme || ||∞,elle converge aussi pour les normes || ||1 et || ||2.
Theoreme 3 convergence des suites pour des normes differentesSoit E un ev muni de normes N1 et N2. Les proprietes suivantes sont equivalentes
1. Toute suite N1−convergente est N2−convergente
2. Il existe un reel α > 0 tel que N2 ≤ αN1
Demonstration(2)⇒ (1) : quasi-immediat ;(1)⇒ (2) : raisonner par l’absurde
Definition 4 normes equivalentesOn dit que deux normes sur un ev E, N1 et N2 sont equivalentes s’il existe des reels strictement
positifs α, β, tels que∀X ∈ E, αN2 ≤ N1 ≤ βN2.
Theoreme 4Soit E un espace vectoriel et N1, N2, deux normes equivalentes et (xn)n une suite d’elements deE. Alors– (xn)n converge vers l pour N1 ssi elle converge vers l pour N2.– (xn)n est une suite de Cauchy pour N1 ssi c’est une suite de Cauchy pour N2.
DemonstrationLa premiere assertion est consequence du theoreme 3.Pour la deuxieme assertion, par symetrie des hypotheses, il suffit de montrer qu’une suite de Cauchypour pour N1 est une suite de Cauchy pour N2 : pour cela on observe que
N2(xn+p − xn) ≤ 1
αN1(xn+p − xn)...
Exercice 5 Exemples des normes usuelles de Kn
1. Montrer que les trois normes ||x||1, ||x||2, ||x||∞, definies sur Kn, verifient les inegalites sui-vantes (preciser les cas d’egalite) :
||x||∞ ≤ ||x||1 ≤ n||x||∞||x||∞ ≤ ||x||2 ≤
√n||x||∞
||x||2 ≤ ||x||1 ≤√n||x||2.
On en deduit qu’elles sont equivalentes. On montrera en fait que dans un ev de dimensionfinie toutes les normes sont equivalentes.
8
2. Montrer (si ce n’est deja fait) que dans K3, pour toute suite (Xn)n, les relations suivantessont equivalentes :– (Xn)n converge vers X pour la norme || ||∞;– (Xn)n converge vers X pour la norme || ||1;– (Xn)n converge vers X pour la norme || ||2;– limxn = x, lim yn = y, lim zn = z.Les notations sont evidentes.
3. Montrer que si l’une quelconque des propositions precedentes est verifiee, alors pour toutenorme N sur Kn, limN (X −Xn) = 0.
Exercice 6 le cas de la dimension infinie
1. Montrer que la suite de fonctions x→ xn est convergente dans C0([0, 1],C) muni de la norme
||f ||1 =
∫ 1
0
|f(t)| dt
et que ce n’est pas une suite de Cauchy (meme definition que dans R) dans ce meme espacenorme par || ||∞.En deduire que les normes ||f ||1, ||f ||∞, ne sont pas equivalentes. Comparer les.
2. Montrer que les normes ||f ||1, ||f ||2, definies dans C([a, b],K), ne sont pas equivalentes. Re-chercher les relations entre elles.
9
2 Topologie dans un espace norme
Pensez a faire des dessins !
2.1 Notion d’ouvert, de ferme, de point adherent
Definition 5 notion de boule, d’ouvert, de ferme...Soit (E, || ||), un espace norme.
1. On appelle boule fermee de centre Ω, de rayon r > 0, l’ensemble
B(Ω, r) = x ∈ E; ||x− Ω|| ≤ r.
2. De la meme facon, la boule ouverte de centre Ω, de rayon r > 0, est l’ensemble B(ω, r) =x ∈ E; ||x− Ω|| < r.
3. Si D une partie de E, a ∈ E, on dit que a est un point adherent a D ssi :
∀ε > 0, B(a, ε) ∩D 6= ∅.
Lorsque E = R, on dit aussi que +∞ est adherent a D ssi
∀M > 0, D∩ ]M, +∞[ 6= ∅.
On pourra noter D ou adh(D), l’ensemble des points adherents a D (adherence de D).
4. Soit D, une partie de E, et a ∈ E; on dit que a est un point interieur a D ssi :
∃r > 0, B(a, r) ⊂ D.
On note de facon analogue Do l’interieur de D.
5. Une partie D de E est un ouvert de (E, || ||) ssi pour tout a ∈ D, il existe δ > 0 tel que laboule B(a, δ) soit contenue dans D.
6. Une partie F de E est un ferme de (E, || ||) ssi son complementaire est un ouvert.
7. Soit a ∈ E, un voisinage de a dans E est une partie de E qui contient une boule ouverte decentre a;
8. la frontiere d’un ensemble A est l’ensemble des points adherents qui ne sont pas des pointsinterieurs, elle est parfois notee ∂A.
Remarque : E et ∅ sont des parties a la fois ouvertes et fermees de (E, || ||). Il existe egalementdes parties qui ne sont ni ouvertes ni fermees.
Proposition 5 Dans un espace norme (E, || ||),1. une boule ouverte est un ouvert,
2. une boule fermee est un ferme,
3. une reunion quelconque, une intersection finie d’ouverts sont des ouverts,
4. une intersection quelconque, une reunion finie de fermes sont des fermes,
5. un ensemble est ouvert ssi il est voisinage de chacun des ses points.
Demonstrations :
1. Dessiner et utiliser l’inegalite triangulaire pour montrer que si x ∈ B(a, r), il existe ρ tel queB(x, ρ) ⊂ B(a, r);
10
2. Analogue, en raisonnant sur le complementaire d’un boule fermee ;
3. ensembliste ;
4. ensembliste, en justifiant les formules :
∩i Ai = ∪iAi, ∪i Ai = ∩iAi, .
5. Qu’y a-t-il a montrer ?
Theoreme 6 caracterisation sequentielle des points adherents, des fermesDans un espace norme (E, || ||),
1. un point a de E est adherent a A ssi il existe une suite de points de A qui converge vers a.
2. un ensemble A ⊂ E est ferme ssi pour toute suite convergente, (xn)n, formee d’elements deA, limxn ∈ A.
Demonstration
1. ⇒: considerer des boules de rayons 1/n...
⇐:
2. ⇒:
⇐:
Theoreme 7Soit E un espace vectoriel et N1, N2, deux normes equivalentes, U une partie de E.– U est un ouvert (respectivement un ferme) de E pour la norme N1 ssi c’est un ouvert (respecti-
vement un ferme) de E pour N2.– U est l’adherence de U dans (E,N1) ssi c’est l’adherence de U dans (E,N2);
Demonstration : facile, avec la definition ou les caracterisation sequentielles ; on observera queles boules, a contrario dependent des normes !
Exercice 7 les boules usuelles.
1. Dessiner les boules unites de R2 muni des normes || ||1, || ||2, || ||∞.2. En utilisant les encadrements obtenus dans l’exercice 5 determiner r de telle sorte que
BN (O, r) ⊂ BN ′(0, 1)
lorsque N et N ′ sont les normes usuelles.
3. Montrer que deux normes sont equivalentes ssi toute boule (de rayon > 0) pour l’une contientune boule pour l’autre (de rayon > 0).
11
–1
–0.5
0.5
1
–1 –0.5 0.5 1
–1
–0.5
0.5
1
–1 –0.5 0.5 1
–1
–0.5
0.5
1
–1 –0.5 0.5 1
–1
–0.5
0.5
1
–1 –0.5 0.5 1
corrige en 11
Exercice 8 definition sequentielle des fermesMontrer que les ensembles suivants sont fermes ou ouverts :
1. Dans Rn muni de l’une des trois normes usuelles, montrer qu’un demi-espace d’equationa1x1 + a2x2 + ...+ anxn + dn ≥ 0 est ferme, que a1x1 + a2x2 + ...+ anxn + dn > 0 est ouvert.
2. Dans R2, montrer que l’hyperbole xy = 1 est un ferme, de meme que xy ≤ 1.
3. Dans M2(K) muni de la norme N (M) = sup|mi,j |, montrer que l’ensemble des matricessingulieres est ferme, que l’ensemble des matrices inversibles est un ouvert.
4. Dans l’ensemble des fonctions continues sur [0, 1] muni de la norme de votre choix, f ; f(1/2) =0 est-il ferme ?
Exercice 9 faire joujou avec les boules et dessinerSoit (E, || ||), un espace norme, a ∈ E, r > 0. Quel est l’ensemble des points adherents a la bouleouverte B(a, r)?
Exercice 10 faire joujou avec les boules et dessinerSoit (E, || ||), un espace norme et F un sev de E. Montrer que si F contient une boule ouverte,alors F = E.
Exercice 11 faire joujou avec les boules et dessinerSoit (E, || ||), un espace norme, a et b deux points de E, r > 0, ρ > 0. Montrer que si les boulesfermees B(a, r) et B(b, ρ) sont egales alors a = b et r = ρ.Indication :commencer par montrer que r = ρ en introduisant, pour x 6= a, x1 = a± r
||x− a||(x− a)...
2.2 Adherence d’une partie de E, notion de partie dense
Definition 6Soit (E,N ) un espace norme, A une partie non vide de E.
1. L’adherence de A dans E notee A ou adh(A) est l’ensemble des points adherents de A.
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2. On dit qu’un partie de E est dense dans E ssi A = E. 0n observe que A est dense dans Essi tout element de E est limite d’une suite d’elements de A;
Proposition 8Soit A une partie non vide de l’evn E.– Un element y ∈ E est adherent a A ssi il est limite d’une suite d’elements de A. (rappel)– L’adherence de A dans E, est le plus petit ferme contenant A.
Demonstration
Exercice 12 exemples
1. Justifier que Q est dense dans R, sachant que vous avez admis en L1 qu’entre deux reels ilexiste un rationnel ; en va-t-il de meme pour les decimaux ?
2. Soit (G,+), un sous-groupe de (R,+). Montrer que deux cas sont possibles :– soit il existe a ∈ R tel que G = aZ;– soit G est dense dans R.
Voir une application dans l’exercice 14.
3. Demontrer le theoreme 9
4. On suppose que A est une partie dense de l’evn (E,N), que f est une fonction continue surA, valeurs dans (F, || ||). Donner des conditions pour que f soit prolongeable en une fonctioncontinue de E dans F. Donner aussi des contre-exemples.
Theoreme 9Soient f et g deux fonctions continues sur un evn (E,N) a valeurs dans (F, || ||). S’il existe une
partie A, dense dans E sur laquelle f et g coıncident, alors f et g sont egales sur E.
DemonstrationNous verrons en analyse l’importance de cette notion, quelques exemples ci-dessous :
Exercice 13 Demonstrations par densite
1. Existe-t-il une application continue de R dans lui-meme meme telle que sur les rationnels,f(x) = x2, f(x) = 0 ailleurs ?
2. Soit f une fonction continue sur R telle que f(x + y) = f(x) + f(y). On note a = f(1).Calculer f sur Q. Que vaut elle sur R?
Exercice 14 les suites(ein)n∈Z , (cosn)n et (sinn)n
On se propose de prouver que ces suites sont denses dans U et [−1, 1].
1. Montrer que l’ensemble des reels m+ 2kπ forme, lorsque (m, k) decrit Z2, un sous-groupe de(R,+).
2. En deduire la densite de ein;n ∈ Z. dans U (on admettra que π est irrationnel, ce qui estpropose en exercice dans la chapitre topologie de R).
3. Montrer que l’ensemble des sinn, n ∈ N est dense dans [−1, 1].
Exercice 15 Soit (E, || ||), un evn ;
13
1. Une intersection d’espaces denses est elle dense ?
2. Demontrer qu’un intersection de deux ouverts denses est dense.
3. * Que dire d’un intersection quelconque d’ouverts denses ?
La suite du paragraphe est plus difficile, deuxieme lecture
Exercice 16 lemme de Riemann, premiere approcheOn se propose d’etablir, pour certaines classes de fonctions numeriques definies sur [a, b], la
propriete
limn→+∞
∫ b
a
f(t)eint dt = 0,
1. Montrer cette relation lorsque f est de classe C1 sur [a,b].
2. On s’interesse maintenant aux fonctions continues. On introduit pour cela l’espace E =(C([a, b],K) des fonctions numeriques continues sur [a, b], muni de la norme || ||∞.(a) Montrer que les fonctions affines par intervalles forment une partie dense de E;
indication : penser a la continuite uniforme d’un element f de E;
(b) Soit f affine par intervalles sur [a, b], montrer que
limn→+∞
∫ b
b
f(t)eint dt = 0.
(c) En deduire la relation pour toute fonction continue.
corrige en 11
Exercice 17 ∗ mines, planches diverses
1. Montrer la densite dans [−1, 1] de la famille (cos lnn)n∈N∗
Indications :On se donne α = cos θ ∈ [−1, 1] et a tout p ∈ N, on associe np tel que np ≤ eθ+2pπ < np+ 1;
Exercice 18Soient f et g deux endomorphismes de E evn de dimension finie.
1. On suppose f inversible, montrer que f g et g f ont le meme polynome caracteristique.
2. Generaliser.
2.3 Limites des fonctions dans les evn
Definition 7 limite d’une fonction de E dans F...
1. Soient (E,N ) et (F, || ||), deux espaces normes, f une application de D ⊂ E dans F et aun point adherent a D. On dit que f admet le point L ∈ F pour limite en a, et on notelimx→a f(x) = L, ssi
∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ D, N (x− a) ≤ δ ⇒ ||f(x)− L|| ≤ ε.
2. Lorsque E = R et a = +∞ est adherent a D, on dit que limx→+∞f(x) = L ssi
∀ε > 0, ∃M > 0, ∀x ∈ D, x > Ml⇒ ||f(x)− L|| ≤ ε.
3. Lorsque F = R et a est adherent a D, on dit que limx→af(x) = +∞ ssi
∀A > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ D, N (x− a) ≤ δ ⇒ f(x) > A.
14
Theoreme 10 limite et composeesSoient (E, || ||), (F, || ||) (G, || ||) trois espaces normes (on note par commodite les trois normes dela meme facon), et deux applications :f : D ⊂ E → F, g : D′ ⊂ F → G, telles que g f soit definiesur D. Alors, pour tout a point adherent a D, pour tout b ∈ F,
limx→a
f(x) = b⇒ b ∈ D′
limx→a
f(x) = b et limy→b
g(y) = L⇒ limx→a
g f(x) = L
2.4 Fonctions continues
Definition 8 Soient (E,N ) et (F, || ||) deux espaces normes et f : D ⊂ E → F, une application.
1. On dit que f est continue en a ∈ D ssi limx→a f(x) = f(a).
2. On dit que f est uniformement continue sur D ssi :
∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀(x, y) ∈ D2, N (x− y) ≤ δ ⇒ ||f(x)− f(y)|| ≤ ε.
3. On dit que f est lipschitzienne sur D s’il existe K > 0 tel que
∀(x, y) ∈ D2, ||f(x)− f(y)|| ≤ KN (x− y).
Theoreme 11 caracterisation sequentielleUne fonction f : D ⊂ E 7→ F est continue en a ∈ D ssi pour toute suite (xn)n d’elements de Dconvergeant vers a on a limn→∞ f(xn) = f(a).
Demonstration• La partie ⇒ est consequence du theoreme precedent (composition des limites).• Pour la reciproque raisonnons par l’absurde en supposant f non continue en `.Il existe alors ε > 0 tel que pour tout α > 0 il existe x ∈ Df tel que ||x−`|| ≤ α et ||f(x)−f(`)|| > ε.En faisant successivement α = 1, α = 1/2, ...,α = 1/n, on construit une suite (xn)n d’elements deDf de limite ` ∈ Df , tel que pour tout n ∈ N∗ on ait ||f(xn)− f(`)||F > ε.
Exercice 19Les applications suivantes sont elles continues ? uniformement continues, lipschitziennes ?
1. Les applications coordonnees X ∈ Kn → xk ∈ K, l’espace de depart etant muni d’unequelconque des normes usuelles ;
2. Si M est une matrice de Mn(K), l’application lineaire associee :
X ∈ Kn →MX ∈ Kn,
lorsque les espaces de depart et d’arrivee sont munis de l’une quelconque des trois normesusuelles (ce qui fait 9 cas, pour une seule preuve !).
3. Le determinant ;
15
4. Montrer que l’ouvert des matrices inversibles GLn(K) est dense dans Mn(K) pour la normede votre choix.Indication : le determinant det(M + λIn) est un polynome en λ;
5. On note C = C([0, 1],K). Etudier la continuite des applications
δ : f ∈ C → f(0) ∈ K, I : f ∈ C →∫ 1
0
f(t) dt ∈ K,
lorsque C est muni de la norme || ||∞, de la norme || ||1...
Exercice 20 a propos de fonctions lipschitziennes
1. Une fonction lipschitzienne est continue ;
2. Une fonction f, de classe C1 sur un intervalle [a, b] de R, a valeur dans R est lipschitzienne.En effet, f ′ est continue est bornee sur [a, b] et pour tout couple (x, y) ∈ [a, b]2, il existe tcompris entre x et y tel que
|f(y)− f(x)| = |f ′(t)| |y − x| ≤ supu∈[a,b]
|f ′(u)||y − x|
f est donc M−lipschitzienne avec M = supu∈[a,b] |f ′(u)|.3. l’ensemble des fonctions lipschitziennes sur A ⊂ E a valeur dans F est un sev de C0(A,F ).
4. le produit d’une fonction lipschitzienne et d’une fonction lipschitzienne bornee est une fonc-tion lipschitzienne.
5. Voir probleme Centrale PSI 1 - 2001, partie 2 (apres etude des espaces prehilbertiens).
Exercice 21 quelques notions ensemblistes avant la suiteSoit f une application de E dans F, et A, B deux parties de F. Verifier les formules (triviales ?) :
f−1(A ∪B) = f−1(A) ∪ f−1(B)f−1(A ∩B) = f−1(A) ∩ f−1(B)
f−1(FA) = Ef−1(A)
Puis pour les suivantes, prouvez les ou donner des contre-exemples :
f(A ∪B) = f(A) ∪ f(B)f(A ∩B) = f(A) ∩ f(B)
f(EA) = F f(A)
Theoreme 12 images reciproques des ouverts, des fermes par les applications continues definiessur E tout entierSoit f une application continue de l’espace norme (E,N ) a valeurs dans (F, || ||). Pour toute partie
Ω de F on note f−1(Ω) = x ∈ E; f(x) ∈ Ω.1. Si Ω est un ouvert de F, f−1(Ω) est un ouvert de E.
2. Si Ω est un ferme de F, f−1(Ω) est un ferme de E.
Theoreme 13 images reciproques des ouverts, des fermes par les applications continues surune partie de ESoit f une application continue sur une partie D de l’espace norme (E,N ) a valeurs dans
(F, || ||). Pour toute partie Ω de F on note f−1(Ω) = x ∈ E; f(x) ∈ Ω.
16
1. Si Ω est un ouvert de F, f−1(Ω) est un ouvert relatif de D (ie : l’intersection de D et d’unouvert de E).
2. Si Ω est un ferme de F, f−1(Ω) est un ferme relatif de D (ie : l’intersection de D et d’unferme de E).
Exercice 22 continuite et images reciproquesDire si les ensembles suivants sont ouverts ou fermes plus rapidement que dans l’exercice 8. Onprecisera pour quelles normes ;
1. un hyperbole, une branche d’hyperbole, un cercle, un disque (lequel), une ellipse, la partiedelimitee par l’ellipse (laquelle ?), une courbe d’equation f(x, y) = 0 lorsque f est continue ;
2. l’ensemble des matrices inversibles ;
Exercice 23 bassin d’attraction Soit f une fonction de classe C1 sur R, a un point fixe de f. Onsuppose que ce point fixe est attractif, ie : |f ′(a)| < 1. On note J le plus grand intervalle contenanta et tel que pour tout x0 ∈ J, la suite de premier terme x0 telle que xn+1 = f(xn) pour tout n ∈ N,converge vers a (bassin d’ attraction de a).
1. Montrer que J contient un voisinage ]a− ε, a+ ε[ de a.
2. Montrer que J est un intervalle ouvert.
voir commentaire ??
2.5 Le jeu de lego c© des fonctions continues
Comme pour les fonctions numeriques, c’est un jeu de lego : on montre que certaines fonctionssont continues, les autres s’obtiennent par addition, multiplication, projection, duplication, compo-sition...
Pour parler de sommes et produits nous avons besoin de la
Definition 9 espaces produitsSoient (E1, N1), ...(En, Nn) une famille d’evn sur le corps K. On definit une norme sur l’ev produit∏ni=1Ei, en posant :
∀x = (x1, ...xn) ∈n∏i=1
Ei, N(x) =∑
Ni(xi).
On appelle espace produit des (Ei, Ni)i l’evn ainsi defini.
Exercice 24 Verifier que sur l’espace produit∏ni=1Ei, les normes
N(x) =∑
Ni(xi) et N ′(x) = supiNi(xi)
sont equivalentes
Theoreme 14 Soit (E, || ||), un espace norme, on munit les espaces produits E × E, K× E etF ×G des normes definies par
||(x, y)||E×E = ||x||E + ||y||E
||(λ, x)||K×E = |λ|+ ||x||E||(y, z)||F×G = ||y||F + ||y||G
17
– l’application norme x ∈ E → ||x|| ∈ R, est continue ;– l’addition (x, y) ∈ E × E → x+ y ∈ E, est continue ;– la multiplication externe (λ, x) ∈ K× E → λx ∈ E, est continue ;– la projection (x, y) ∈ E × F → x ∈ E est continue ;– la remontee x ∈ E → (x, y) ∈ E × F est continue pour tout y ∈ F ;– si f et g sont des applications continues de E dans F et G respectivement, alors
x ∈ E → (f(x), g(x)) ∈ F ×G
est egalement continue.
Theoreme 15 continuite des coordonneesLorsque E est de dimension finie, les fonctions coordonnees dans une base (ei)i quelconque,
x =
n∑i=1
xiei ∈ E → xi ∈ K,
sont des fonctions continues quelque soit la norme sur E.
Commentaires :– ce dernier resultat est fondamental, d’un usage constant : voir l’etude des evn de dimension finie
en (4) pour sa preuve ;– les normes, sommes, produits, produits par un scalaire, par une fonction scalaire continue, quo-
tients par une fonction scalaire continue , produits scalaires, produits vectoriels, composees, defonctions continues lorsqu’ils sont definis, sont des fonctions continues.
Exercice 25 Expliquer pourquoi les applications suivantes sont continues :
1. (x, y) ∈ K2 → x× y ∈ K;
2. x ∈ E → f(x)× x ∈ E, lorsque f est continue sur E a valeurs dans K;
3. (x, y) ∈ R2\(0, 0) → ln(x2 + xy + y2) ∈ R;Pour bien comprendre de quoi il s’agit, dessiner l’arbre syntaxique et identifier chaque sous-arbre...
4. une application lineaire d’un evn de dimension finie dans un autre ;
5. Un produit scalaire sur E euclidien muni de la norme euclidienne :
(x, y) ∈ E2 → (x|y) ∈ R;
2.6 Continuite uniforme
On a vu que f est uniformement continue sur D ssi :
∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀(x, y) ∈ D2, N (x− y) ≤ δ ⇒ ||f(x)− f(y)|| ≤ ε.
On observera que la difference entre les caracterisations de la continuite sur I et de la continuiteuniforme su I tiennent a la position du quantificateur ∀x. En effet, f est continue sur I ssi :
∀x ∈ I, ∀ε > 0, ∃α > 0, ∀y ∈ I, |x− y| ≤ α⇒ |f(x)− f(y)| ≤ ε.
Dans ce dernier cas, α depend de x et de ε, dans le cas d’une continuite uniforme ilne depend plus que de ε.
18
Exercice 26
1. Montrer que toute fonction lipschitzienne est uniformement continue ;
2. Montrer directement que x→√x est uniformement continue et qu’elle n’est pas lipschitzienne
sur [0,+∞[.
3. Montrer que → lnx n’est pas uniformement continue sur ]0, 1] mais qu’elle l’est sur [1,+∞[.
Theoreme 16 theoreme de Heine (voir aussi la generalisation aux compacts dans un norme :theoreme ??)Soit f une fonction definie sur une partie compacte I de R. Si f est continue sur I, elle est aussi
uniformement continue.
Demonstration proceder de la facon suivante :On suppose que f est CONTINUE sur le COMPACT I, et on raisonne par l’absurde.
1. Exprimer que f n’est pas uniformement continue ;
2. Montrer que si f n’est pas uniformement continue, il existe a > 0 et une suite double (xn, yn)telle que
|xn − yn| < 1/n et |f(xn)− f(yn)| ≥ a.
3. Conclure avec le theoreme de Bolzano-Weierstrass.
Interventions de la notion de continuite uniforme : nous en ferons surtout usage dans l’etudedes suites de fonctions (theoremes de Weierstrass par exemple...)
19
3 Suites de Cauchy dans les evn, espaces complets
3.1 Suites de Cauchy
Definition 10 suites de CauchySoit (Xn)n une suite d’elements d’un evn, (E,N ). On dit que c’est une suite de Cauchy pour la
norme N lorsqu’elle verifie :
∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀p ≥ N, ∀q ≥ 0, N (xp − xp+q) ≤ ε.
Proposition 17 proprietes generales des suites de Cauchy
1. Toute suite convergente est une suite de Cauchy.
2. Toute suite de Cauchy est bornee
3. Si une suite de Cauchy (Xn) admet une sous-suite convergente de N− limite L, (Xn) estelle-meme convergente et de limite L.
Exercice 27 Comment prouver qu’une suite est une suite de Cauchy ?
1. Soit (xn)n une suite de (E, || ||) un espace norme. On suppose qu’il existe une fonctionφ : N→ R, de limite 0 en +∞, telle que
∀(n, p) ∈ N2, ||xn+p − xn|| ≤ φ(n).
Montrer que (xn)n est une suite de Cauchy.
2. Exemples : sont elles des suites de Cauchy ?– lorsque z ∈ C, la suite des complexes definie par
sn =n∑k=0
zk
k!;
– la suite (f)n, lorsque fn est la fonction x → xn element de C([0, 1],R) muni de l’une desnormes || ||∞, || ||1, ou || ||2?
20
3.2 Espaces complets ou espaces de Banach
Definition 11 On appelle espace complet ou espace de Banach, un evn dans lequel lessuites de Cauchy sont convergentes. On dit encore que c’est un espace de Hilbert s’il s’agit d’unprehilbertien reel ou complexe complet.
Nous verrons que tous les evn de dimension finie sont des espaces complets. Lesexercices qui suivent donnent des exemples et contre-exemples en dimension infinie :
Exercice 28 un espace non complet...On considere l’espace C([−1, 1],R) muni de la norme || ||1. On definit une suite de fonctions (fn)n
en posant : fn(x) = 2n+1√x
1. Montrer que c’est une suite de Cauchy.
2. Representer quelques unes de ces fonctions.
3. On suppose qu’il existe une fonction f telle que (fn)n → f pour la norme || ||1. On considerea ∈]0, 1[ et on veut montrer que f(a) = 1 et f(−a) = −1.
(a) On suppose que f(a) > 1.Dessiner, puis montrer qu’il existe un intervalle ]a−α, a+α[⊂
]− 1, 1[ sur lequel f(x) >1 + f(a)
2. Minorer ||f − fn||1. En deduire une contradiction.
(b) On suppose maintenant que f(a) < 1.Dessiner, puis montrer qu’il existe un intervalle ]a − α, a + α[⊂] − 1, 1[ sur lequel
f(x) <1 + f(a)
2.
Dessiner encore, puis justifier qu’a partir d’un rang que vous preciserez au mieux,
||fn − f ||1 > fn(a− α)− 1 + f(a)
2.
En deduire une contradiction.
(c) Dessiner la fonction f et repondre a la question :
C([−1, 1],R) muni de la norme || ||1 est il complet ?
Exemples fondamentaux d’espaces de Banach :
Exercice 29 espace de fonctions borneesOn considere ici l’ensemble B des fonctions bornees f : A→ K (K = R ou C). On le munit de la
norme ||f ||∞ = supx∈A |f(x)|.1. Pourquoi || ||∞ est elle une norme sur B?
2. Ecrire que (fn)n est un suite de Cauchy dans (B, || ||∞).
3. Montrer que si (fn)n est un suite de Cauchy dans (B, || ||∞), pour tout element x ∈ A,(fn(x))n est une suite de Cauchy de reels.
4. Justifier qu’il existe une fonction f telle que pour tout a ∈ A lim fn(x) = f(x). Pourquoi estelle bornee sur A?
5. Montrer enfin que (B, || ||∞) est complet.
Ce resultat est a associer au cours sur les suites de fonctions et la convergence uniformeque nous retrouverons bientot.
Exercice 30 convergence des suites de fonctionsOn considere les ev B = B([0, 1],R) forme des fonctions bornees sur [0,1], C = C([0, 1],R) forme
des fonctions continues et C1 = C1([0, 1],R) forme des fonctions de classe C1 sur [0, 1] a valeursreelles.On les munit de la norme ||f ||∞ = sup |f(x)|.
21
1. Montrer que si (fn) converge vers f dans un de ces trois espaces, alors
∀x ∈ [0, 1], lim fn(x) = f(x).
2. Un evn non complet
(a) On pose un(x) =
√(x− 1
2
)2
+1
npour x ∈ [0, 1]. Montrer que cette suite converge
dans (B, || ||∞) mais pas dans (C1, || ||∞).
(b) En deduire que dans l’evn (C1, || ||∞) il existe des suites de Cauchy qui ne convergentpas.
3. On admet ici que (B, || ||∞) est complet (ce qui est detaille dans l’exercice 29).
(a) ** Montrer que C est ferme dans (B, || ||∞).Indication : on montrera que si ||fn− f ||∞ → 0, alors f est aussi continue, en utilisantla relation suivante :
f(x)− f(x0) = f(x)− fn(x) + fn(x)− fn(x0) + fn(x0)− f(x0)
(b) En deduire que (C, || ||∞)est complet.
Ce dernier resultat fait partie du cours sur les suites de fonctions et la convergence uniforme.
Exercice 31 espaces de suites complets
1. Espace `∞(N) :
(a) Donner des exemples d’elements de `∞;
(b) Donner un exemple de suite de Cauchy d’elements de `∞;
(c) Montrer que `∞ est complet.
2. Espace `2(N) : meme questions...
3. ** Espace `1(N) :
(a) Donner des exemples d’elements de `1;
(b) Donner un exemple de suite de Cauchy d’elements de `1;
(c) Montrer que `1 est complet.
3.3 Theoreme du point fixe
Theoreme 18 point fixe dans les espaces normesSoit (E, || ||), un espace norme dans lequel les suites de Cauchy sont convergentes. Si f est une
application de E dans lui-meme, lipschitzienne pour une constante k < 1, (on dit que f estcontractante), alors
1. f admet un point fixe et un seul (notons le a);
2. pour tout choix de x0 ∈ E, la suite recurrente xn+1 = f(xn) converge vers a;
3. de plus, ||xn − a|| ≤kn
1− k||x0 − a||.
Demonstration : en tout point identique a la demonstration proposee pour les suites numeriques.
Ce theoreme n’est pas explicitement au programme. Sachez refaire la demonstration qui in-tervient dans tous les problemes de point fixe et les etudes de suites recurrentes - voir le chapitreprecedent (topologie de R). Il est a la base de resultats fondamentaux en analyse et geometrie :voir par exemple la demonstration du theoreme des fonctions implicites proposee en mini-problemea la fin du chapitre Topologie de R.
22
Exercice 32 Un algorithme de point fixeOn considere deux droites D1 et D2 non paralleles. On souhaite prouver l’existence et l’unicite
des points M et N appartenant respectivement a D1 et D2 tels que MN realise le minimum deXY/(X,Y ) ∈ D1×D2 et calculer une approximation de leurs coordonnees et de la distance MN.
Description d’un algorithme :- On se donne A0 ∈ D1.- Pour An ∈ D1, on considere Bn le projete orthogonal de An sur D2 et An+1 le projete orthogonalde Bn sur D1.
1. On rappelle que la projection vectorielle orthogonale de l’espace euclidien ~E sur une droitevectorielle ~D de vecteur directeur ~u verifie :
π : ~w ∈ ~E → < ~w|~u >< ~u|~u >
~u.
Donner une expression de π1 π2 ou πi est la projection vectorielle orthogonale de ~E sur−→Di.
2. Montrer qu’il existe une application ψ de D1 dans elle meme telle que pour tout n ∈ N,An+1 = ψ(An). Demontrer que ψ est strictement contractante.
3. Justifier que les suites (An)n et (Bn)n convergent et que leurs limites respectives M et Nverifient- (MN) est perpendiculaire a D1 et D2
- MN = infXY/X ∈ D1, Y ∈ D2.
4. Un programme MAPLE qui realise la figure ci-dessus :
(a) Justifier que la fonction P(A,U,M) calcule le projete affine orthogonal de M sur la droitepassant par A, de vecteur directeur U :
ps:=(U,V)->sum(U[i]*V[i],i=1..3);
P:=(A,U,M)->evalm(A+ps(evalm(M-A),U)*U/ps(U,U));
(b) Ecrire une fonction Phi :=proc(A,U,B,V,M,n) qui prend en arguments des tripletsA,U,B, V,M et un entier n et retourne les listes [A0, A1, ..., An] et [B0, B1, ..., Bn− 1]lorsque A0 est le projete orthogonal de M sur D1.
voir corrige en 11
Exemples de sujets dans lesquels intervient le theoreme de point fixe de Banach :– CPP 2000-MP ;– CPP 2001-MP (equation integrale de Fredholm) ;– CCP 2009-MP (systemes dans R2)
23
4 Espaces vectoriels normes en dimension finie
Dans cette section E est un espace vectoriel de dimension finie sur K = R ouC. La plupart desresultats obtenus sont faux dans le cas generique ou n’ont pas de sens en dimension infinie.
4.1 Suites des composantes dans une base, equivalence des normes
On suppose ici que E est de dimension N et qu’il admet pour base la famille (ei)1≤i≤N . On note(Xn)n une suite d’elements de E avec
Xn =
N∑i=1
x(i)n ei.
Proposition 19 des suites de composantes aux suites de vecteurs
Si les N suites de composantes (x(i)n )n sont convergentes, de limites respectives li, alors pour toute
norme N sur l’ev E, la suite (Xn) est N−convergente de limite :
L =∑
liei.
Demonstration Application facile de l’inegalite triangulaire.
Proposition 20 reciproque de la proposition precedente ; des suites de vecteurs aux suites descomposantesSi la suite (Xn)n d’elements de E, evn de dimension finie, converge vers L pour la norme N , alors
les suites des composantes (x(i)n ), convergent dans K vers les coordonnees correspondantes Li de
L.
DemonstrationResultat plus difficile. L’exercice qui suit propose une demonstration dans un espace reel de dimen-sion 2, comme une belle application du theoreme de Bolzano-Weierstrass dans R ou C; on l’adaptea une demonstration par recurrence en considerant l’espace produit (E′, N) = (E×K, N) la normeproduit etant definie par N(X) = X(X ′, x) = sum(N(X), |x|).
Exercice 33Soit (Xn)n une suite dans un K−evn, (E,N), de dimension 2, de base (e1, e2).
Posons Xn = xne1 + yne2.
1. Justifier que N(Xn) ≥ | |xn|N(e1)− |yn|N(e2) |.2. On suppose que limN(Xn) = 0.
(a) Montrer que si (xn)n ne converge pas vers 0, il existe une suite extraite (xnp)p telle que
∃m > 0, ∀p ∈ N, |xnp | ≥ m.
(b) En deduire que la suite zp =ynp
xnp
est bornee.
(c) A l’aide d’une suite extraite de |zp|, ainsi que de vos neurones, concluez.
24
3. Montrer que si limN(Xn −X) = 0, alors les suites de coordonnees verifient :
limxn = x, lim yn = y.
voir correction en 10.1.2.
Une fois ce dernier resultat etabli, on demontre facilement le theoreme fondamental suivant :
Theoreme 21 equivalence des normes en dimension finieDans un espace vectoriel de dimension finie, toutes les normes sont equivalentes.
Demonstration Si une suite (Xn) est N1−convergente, les suites de ses composantes convergent,elle est alors convergente pour une norme N2 quelconque. On sait qu’il existe dans ce cas un reelα > 0 tel que N2 ≤ αN1. Par symetrie les normes sont equivalentes.
Remarque : En dimension finie, les suites convergentes, les fonctions continues, les ouverts, lesparties bornees, les fermes, les parties denses, la continuite, les limites... ne dependent pas de lanorme. On n’a donc pas a preciser pour quelle norme une suite converge et la locution ”espacevectoriel norme de dimension finie sur K” a un sens. Par contre les boules sont attachees a la normequi les definit.Attention, ce resultat est toujours faux en dimension infinie.
4.2 Theoreme de Bolzano-Weierstrass.
Theoreme 22 de Bolzano WeierstrassDans un espace de dimension finie, de toute suite bornee on peut extraire une sous-suite conver-
gente.
Demonstration On le demontre par recurrence sur la dimension de l’espace en raisonnant commeen dimension 2 (preuve de BW dans C chapitre ”Topologie de R et C”).
Exercice 34On considere une suite de matrices symetriques reelles convergente : (Sn)n ∈Mk(R)N.
1. La limite est elle symetrique ?
2. On sait que pour chaque entier n, Sn est orthogonalement semblable a une matrice diagonaleDn = diag(λn1 , λ
n2 , ..., λ
nk ), c’est a dire une matrice Pn ∈ On(R) telle que P−1
n SnPn = Dn.Justifier qu’il existe une sous-suite de (Pn)n qui converge dans Mn(R).
3. Que peut on dire des suites de valeurs propres ?
4.3 Suites de Cauchy en dimension finie
Une consequence de la propriete de Bolzano-Weierstrass est qu’en dimension finie les suites deCauchy sont convergentes. Ceci nous fournit un critere de convergence dont il faut savoir se servira l’occasion .
25
Theoreme 23 les evn de dimension finie sont completsDans un evn de dimension finie une suite converge ssi c’est une suite de Cauchy. On dit que
les evn de dimension finie sont complets.
Demonstration consequence directe de la propriete de B-W et des proprietes generales des suitesde Cauchy. La demonstration est la meme que dans le chapitre topologie de R.
Exercice 35 Soit (E, || ||), un espace norme,
1. Montrer que tout sous- espace vectoriel de dimension finie de E est ferme.
2. On se propose de demontrer que si F est un sev ferme de E et G un sev de dimension finiede E, alors F +G est ferme dans E :
(a) Justifier l’existence d’un sev G′ de E tel que F +G = F ⊕G′?(b) On considere une suite (xn)n d’elements de F +G qui converge vers un element ` ∈ E.
i. Montrer que l’on peut ecrire xn = an + bn avec an ∈ F et bn ∈ G′.ii. Montrer que si (bn)n est bornee, ` ∈ F ⊕G′.iii. Que faire lorsque (bn)n n’est pas bornee ?
(c) Conclure.
corrige en 10.1.2
4.4 Continuite en dimension finie
Cette section est fondamentale. On rappelle le theoreme :
Theoreme 24 continuite des coordonneesLorsque E est de dimension finie, les fonctions coordonnees dans une base (ei)i quelconque,
x =
n∑i=1
xiei ∈ E → xi ∈ K,
sont des fonctions continues.
Theoreme 25 Soit f une application de E norme (de dimension qque) dans F norme et dedimension finie, a un point de E.. Les propositions suivantes sont equivalentes :– f est continue en a– il existe une base (ej)j de F dans laquelle les fonctions composantes de f sont continues en a;– dans toute base de F, les fonctions composantes de f sont continues en a.Rappelons que les fonctions composantes de f dans (ej)j , sont les fonction fj definies par
f(x) =
n∑j=1
fj(x)ej .
Exemples d’applications continues dans les e.v.n. :
Comme les applications coordonnees (x1, x2, ..., xn) ∈ K3 → xi ∈ K ou A ∈ Mn(K) → ai,j ∈ K,sont continues, il s’ensuit que :
26
1. Toute aplication lineaire de (E, || ||E) de dimension finie, dans F norme, de di-mension quelconque, est continue
2. Les fonctions polynomes de plusieurs variables P (x1, x2, ..., xn) =∑α aαx
α11 xα2
2 ...xαnn , sont
des fonctions continues.
3. Des parties de R2 de la forme xy = 1, xy ≥ 1, sont fermees alors que xy < 1, xy < 1,sont ouvertes...
4. La fonction determinant definie sur M2(K), a valeurs scalaires,∣∣∣∣a1,1 a1,1
a1,1 a1,1
∣∣∣∣ = a1,1a2,2 − a2,1a1,2
est une fonction continue : ecrire l’arbre syntaxique, verifier que toutes les operations conserventla continuite.
5. La fonction determinant definie sur Mn(K), est egalement continue (recurrence ou formuleexplicite det(A) =
∑σ
(ε(σ)
∏i ai,σ(i)
));
6. Pour n ≥ 2, l’ensemble des matrices inversibles GLn(K) = M ; det(M) 6= 0 est un ouvertde l’espace norme de dimension finie Mn(K).
Theoreme 26 continuite des applications lineaires en dim finieSoient E et F deux espaces vectoriels normes sur le meme corps. Si E est de dimension finie, lesapplications lineaires de E dans F sont des fonctions continues.
27
5 Connexite par arcs
Definition 12 connexite par arcsUne partie X d’un evn (E,N) est connexe par arcs ssi pour tout couple (a, b) ∈ X, il existe
une courbe parametree continue, γ : t ∈ [0, 1]→ γ(t) ∈ X telle que γ(0) = a et γ(1) = b.
Theoreme 27 generalites
1. Les parties connexes par arcs de R sont les intervalles ;
2. Un convexe de E est connexe par arcs ;
3. Soit f : D ⊂ E → F une application continue, l’image par f d’un connexe par arcs de D estun connexe par arcs dans F ;
4. Soit f : D ⊂ E → R une application continue, l’image par f d’un connexe par arcs de D estun intervalle dans R et f satisfait a la propriete de la valeur intermediaire ;
Demonstration on fait usage du TVI
Exercice 36
1. Montrer que le plan prive d’une droite n’est pas connexe par arcs.
2. Une hyperbole, une ellipse, une parabole sont elles connexes par arcs ?
3. Montrer qu’une intersection de connexes par arcs est connexe par arcs ; que dire d’unereunion ?
4. R∗ est il connexe par arcs dans R?
5. R∗ ou C∗ sont ils connexes par arcs dans C?
6. Les matrices inversibles constituent elles une partie connexe par arcs dans Mn(K)? Ondistinguera avec soin les cas reels et complexes.
7. Un ensemble etoile par rapport a un de ses points A, est il connexe par arcs ?
–2
–1
1
2
–2 –1 1 2
28
Exercice 37 Les hyperboloıdes suivants sont ils connexes par arcs ?
Equation reduite nom figure repres. parametrique
x2
a2+y2
b2− z2
c2= 0 cone(sommet a l′orig.)
x = am cos θy = bm sin θz = cm
x2
a2+y2
b2+z2
c2= 1 ellipsoιde
x = a cosφ cos θy = b cosφ sin θz = c sinφ
x2
a2+y2
b2− z2
c2= 1 hyperboloιde a une nappe
x = a chφ cos θy = b chφ sin θz = c shφ
x2
a2+y2
b2− z2
c2= −1 hyperboloιde a deux nappes
x = a shφ cos θy = b shφ sin θz = ±c chφ
29
6 Notion de compact
6.1 En dimension quelconque
Definition 13 partie compacteOn dit qu’une partie X de E, ev norme est compacte si et seulement si toute suite d’elements
de X admet une sous-suite convergente dont la limite est dans X (ou bien toute suite d’elementsde X admet une valeur d’adherence dans X).
Theoreme 28
1. Une partie compacte est fermee et bornee (la reciproque est fausse en general, vraie endimension finie) ;
2. Dans un compact, toute suite de Cauchy converge ;
Demonstration
1. deux implications : les contraposees sont faciles a etablir ;
2. c’est la propriete de BW qui permet de conclure, comme dans R, que les suites de Cauchyd’un compact convergent.
Theoreme 29
Si (xn)n est une suite convergente d’un evn (E,N), la partie X = xn;n ∪ limxn est compacte ;
Demonstration
Theoreme 30 image d’un compact par une application continueSoient E et F deux espaces vectoriels normes et f une application continue de D ⊂ E dans F.L’image par f de toute partie X compacte de E, est une partie compacte de F.
Demonstration analogue a celle du theoreme correspondant sur R.
Theoreme 31 continuite uniformeUne fonction continue sur un compact est uniformement continue.
Demonstration analogue a celle du theoreme de Heine sur R.
Exercice 38 compacts en dim quelconqueDonner des exemples de compacts en dimension quelconque (penser aux resultats qui precedent).
Exercice 39 breves a connaıtre (rappels du cours topologie de R ou C)
30
1. Montrer que si f est une fonction (a valeurs reelles ou complexes) de classe C1 sur R, alorsf est lipschitzienne sur tout intervalle [a, b] ⊂ R. Est-elle aussi lipschitziennne sur R?
2. Montrer que pour toute fonction sur C telle que
∀M > 0, ∃r > 0, ∀z ∈ C |z| ≥ r ⇒ |f(z)| ≥M
|f | atteint son minimum.
3. (a) Montrer que toute fonction sur C telle que
∃M > 0, ∃r > 0, ∀z ∈ C |z| ≥ r ⇒ |f(z)| ≤M.
est bornee et atteint son maximum.
(b) Montrer que pour tout polynome P, la fonction x→ P (x)e−x2
est bornee sur R. Atteintelle ses bornes ?
4. (a) Rappeler la definition d’un fonction continue par morceaux sur [a, b].
(b) Justifier que si f est continue par morceaux sur [a, b], il existe des reels m et M tels que
∀x ∈ [a, b], m ≤ f(x) ≤M.
Exercice 40Soit (E, || ||), un evn et K un compact de E. Montrer qu’il existe un element x0 ∈ K (respective-ment x1 ∈ K) tel que ||x0|| = infx∈K ||x||, (respectivement ||x1|| = supx∈K ||x||).
Exercice 41 boule unite en dimension infinie, un exemple...On considere l’espace des fonctions continues sur [0, 2π], a valeurs dans C, muni du produit scalaire
complexe :
(f |g) =1
2π
∫ 2π
0
f(t)g(t) dt.
1. Verifier que la famille des fonctions fn := x→ cosnx est orthogonale ; est elle orthonormale ?
2. Calculer ||fn − fm||2;.
3. Les boules fermees sont elles des compacts dans cet espace ?
6.2 Compacite en dimension finie
Theoreme 32 signification de la compacite en dim finieUne partie X de E, ev norme de dimension finie, est compacte ssi elle est fermee et bornee.
Demonstration : c’est une consequence du theoreme de Bolzano-Weierstrass.
6.3 Compacite, exercices
Exercice 42 classique, A SAVOIRSoit (E, || ||) un evn de dimension finie. Soit f une fonction continue sur E telle que
∀M > 0, ∃α > 0, ∀x ∈ E, ||x|| ≥ α⇒ f(x) ≥M,
alors f admet un minimum global sur E.Indication : saisir f(0) par exemple, puis M > f(0)...Voir aussi l’exercice 44 ou l’on reprend la meme idee, l’exercice 66 ( l’algorithme du gradient)...
31
Exercice 43 ** boule renfermant un borneSoit E norme de dimension n et A une partie non vide et bornee de E.
1. Montrer qu’il existe un plus petit reel r tel que A soit contenu dans une boule de rayon r.
2. On suppose desormais que E est un espace euclidien. Montrer qu’il n’existe qu’une seuleboule de rayon r contenant A.
3. On suppose que n = 2, on note
δ = sup||a− b|||(a, b) ∈ A2.
Montrer que√
3r ≤ δ.
Exercice 44 distance d’un point a un fermeSoit E, norme de dimension finie, et a ∈ E.
1. Montrer que si K est un compact de E, il existe un point x0 ∈ K tel que
||a− x0|| = infx∈K||a− x||.
2. Montrer que si F est ferme non vide de E, il existe un point x0 ∈ K tel que
||a− x0|| = infx∈F||a− x||.
3. Montrer que si F est un sev de E, il existe un point x0 ∈ K tel que
||a− x0|| = infx∈F||a− x||.
Prouver qu’il y a unicite lorsque l’espace est euclidien. Qu’en est il sinon ? Faire des dessins.
Exercice 45 distance d’un compact a un fermeSoit E, norme de dimension finie, et A un compact de E.
1. Montrer que si B est compact, il existe a ∈ A et b ∈ B tels que
||a− b|| = inf(x,y)∈A×B
||x− y||.
2. Montrer que cette propriete reste vraie pour B ferme
3. Donner un contre exemple lorsque B n’est pas ferme.
Exercice 46On considere un convexe compact C dans un evn E, et f une fonction 1-lipschitzienne de E dans
lui-meme telle que f(C) ⊂ C. Montrer en etudiant des fonctions fn : x ∈ E → 1
na+
(1− 1
n
)f(x),
que f admet un point fixe dans C.
Exercice 47 Projection sur un convexe ferme de Rn, d’apres le sujet CCP 2001 :Soit E = Rn muni de son produit scalaire canonique.
1. Demontrer que si (x, y) ∈ E2, on a : |(x|y)| ≤ ||x|| × ||y|| (inegalite de Schwarz).
2. Montrer que |(x|y)| = ||x|| × ||y|| si et seulement si x et y sont colineaires.
3. Montrer que si (a, b, c) verifie : b 6= c, ||a− b|| = ||a− c||, alors
||a− b+ c
2|| < ||a− b||.
Donner imperativement une interpretation geometrique et faire un dessin.
32
4. Soit F un ferme non vide de Rn, soit x ∈ Rn; montrer qu’il existe u ∈ F tel que ||x− u|| ≤||x − y|| pour tout y ∈ F (on supposera d’abord que F est borne avant d’etudier le casgeneral).
5. Soit A un convexe ferme non vide de Rn, montrer, en utilisant les questions precedentes, quepour tout x ∈ Rn, il existe un unique u ∈ A tel que ||x− u|| ≤ ||x− y|| pour tout y ∈ A.Ceci etablit le theoreme de la Projection sur les convexes fermes de Rn :soit A un convexe ferme non vide de Rn, il existe une unique application, notee P, de Rndans A qui verifie :
||x− P (x)|| = miny∈A||x− y||,
pour tout x ∈ Rn. P (x) s’appelle la projection de x sur A.
6. Montrer que s’il existe α ∈ A tel que : (x− α|y − α) ≤ 0 pour tout y ∈ A, on a : α = P (x).
7. Supposons qu’il existe y ∈ A tel que : (x−P (x)|y−P (x) > 0. Soit alors S : [0, 1]→ R definiepar :
S(t) = ||(x− P (x)− t(y − P (x))||2.
Montrer qu’il existe t ∈]0, 1[ tel que : S(t) ≤ ||(x− P (x)||2.8. Deduire des questions precedentes que u = P (X) si et seulement si : u ∈ A et (x−u|y−u) ≤ 0
pour tout y ∈ A.9. Soit (x, y) ∈ (Rn)2, montrer que : (x− y|P (x)−P (y)) ≥ ||P (x)−P (y)||2. En deduire que P
verifie les proprietes suivantes : P est continue, P (Rn) = A et P (x) = x si x ∈ A.10. Montrer que si x /∈ A, alors P (x) /∈ A(raisonner par l’absurde en supposant qu’il existe une
boule de centre P (x), de rayon strictement positif, incluse dans A).
Exercice 48 maximum sur un compact (ferme borne)Soit f definie sur Rn par
f(~x) =
n∑i=1
x2i ,
et K = ~x / ∀i, xi ≥ 0 et x1 + ...+ xn = 1.
1. Montrer que f admet un maximum et un minimum sur K.
2. On suppose n = 2. Determiner geometriquement puis par le calcul, les extrema de f sur K;
3. Reprendre l’etude pour n = 3.
4. Generaliser.
33
7 Exercices divers et varies
Exercice 49 a propos de normesSoit E l’ev des fonctions de classe C1 sur [0, 1] a valeurs dans R.
1. Montrer que l’on definit une norme sur E en posant
N(f) = |f(0)|+∫ 1
0
|f ′(t)| dt.
2. Montrer que pour toute fonction de classe C1 sur [0, 1] et pour tout x ∈ [0, 1], |f(x)| ≤ N(f).En deduire que ||f ||∞ ≤ N(f).Quelle(s) consequence(s) peut on en tirer parmi les enonces suivants :
- toute suite de E qui converge pour N converge pour || ||∞,- toute suite de E qui converge pour pour || ||∞ converge pour N?Justifier votre reponse.
3. (a) Soit n ∈ N∗, on pose gn(x) = cos(nπx). Montrer l’egalite des deux integrales qui suiventavant de les calculer : ∫ 1
0
|gn(t)| dt =
∫ nπ
0
| cos(u)| dunπ
(b) On pose fn(t) =sinnπt
n. Etudier la convergence de la suite (fn)n pour chacune des
deux normes || ||∞ et N.
(c) Ces deux normes sont elles equivalentes ?
voir corrige en 10.1.2
Exercice 50 a propos de normes et de prehilbertiensSoit n ∈ N∗. On considere l’espace vectoriel E =Mn(R) des matrices carrees a coefficients reels
et on definit Φ : E2 → R en posant Φ(A,B) = Trace(tAB).Precisons que Trace(M) =
∑ni=1mi,i.
1. Verifier que Φ est un produit scalaire sur E. Montrer que
Φ(A,B) =
n∑i=1
n∑j=1
ai,jbi,j .
2. Montrer que les matrices orthogonales a coefficients reels appartiennent a une boule de rayon√n et qu’elles forment un compact.
3. On considere le sev de matrices telles que tA = A et le sev des matrices telles que tA = −A.Que peut on dire de ces deux sous-espaces ?
Exercice 51On admet que l’ensemble ci-dessous est la boule unite fermee pour une norme N sur R2.
1. Expliciter r < r′ tels que B2(0, r) ⊂ BN (0, r) ⊂ B2(0, r′), B2(0, r) designant une boule pourla norme || ‖|2... Pas d’autre justification que le dessin.
–1
–0.5
0
0.5
1
1.5
2
–3 –2 –1 1
34
2. En deduire des constantes positives α et β telles que
α|| ||2 ≤ N ≤ β|| ||2.
3. Representer la boule de centre a et de rayon 1/4 pour la norme N. Justifier.
4. Que penser du meme enonce avec le dessin suivant :
–2
–1
1
2
–2 –1 1 2
Indication : montrer qu’une boule est necessairement convexe !
Exercice 52Soit (E, || ||), un espace norme, U une partie de E, et a ∈ E. On note a+U l’ensemble des elementsde la forme a+ x, x ∈ U.
1. Montrer que si U est ouvert, a+ U l’est aussi.
2. Qu’en est il si U est ferme ?
3. Qu’en est il si U est compacte ?
Exercice 53 ENSEA-2003Soient (E, || ||) un K-evn.
1. Montrer que B, la boule unite fermee de E,– est convexe, fermee,– symetrique par rapport a 0,– que E = ∪λ>0(λB),– 0 = ∩λ>0(λB).
2. * Reciproquement, montrer que si une partie X de E verifie ces proprietes, il existe unenorme N sur E pour laquelle X est la boule unite fermee. N est-elle equivalente a || ||?
Exercice 54 les fermes ouverts de ESoit E un evn de dimension quelconque...
1. Justifier que E est ouvert et ferme. Que dire de ∅?2. On suppose que A est une partie de E a la fois ouverte et fermee. Montrer que A = E ouA = ∅.
indication : raisonner par l’absurde en supposant A et EA non vides, en tracant le segment reliantun point de A a un point de EA.
Exercice 55
On considere la matrice A =
0 0 11 0 00 1 0
1. Calculer les puissances de A;
2. Determiner la limite de la suite (Cn)n ou Cn =1
n+ 1(I3 +A+A2 + ...+An).
35
Exercice 56On munit R[X] de la norme || || definie par∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣n∑i=0
aiXi
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =
n∑i=0
|ai|.
1. Comparer ||P ×Q|| et ||P || × ||Q||.2. L’espace (R[X], || ||) est il un espace de Banach ?
Exercice 57Soit E l’espace des fonctions de classe C2 de [0, 1] dans R telle que f(0) = f ′(0) = 0.
1. Verifier que l’on definit une norme sur E en posant
N(f) = ||f + 2f ′ + f”||∞.
2. Comparer les normes N et || ||∞.
Exercice 58 de brefs enonces (corriges en 10.1.2)
1. Soit A la partie R2[X] formee des polynomes de degre 2 scindes a racines simples. S’agit ild’un ferme de R2[X]?
2. Soit B la partie R2[X] formee des polynomes (de degres ≤ 2) scindes a racines simples. S’agitil d’un ouvert ou d’un ferme de R2[X]?
Pour etudier les questions analogues pour des degres superieurs il nous faut d’autres outils(resultants dans le probleme CCP 2009- maths 2).
3. Soit E un K−evn. Montrer qu’une forme lineaire sur E est continue ssi Keru est un fermede E.
Exercice 59 ∗Soit E l’espace des fonctions continues de [0, 1] dans R. On considere une norme N sur E. On noteA = f ∈ E; f(0) = 0.
1. Montrer que A est soit ferme soit dense dans E.
2. Donner un exemple de norme tel que A soit ferme et un exemple de norme pour laquelle Aest dense et non ferme.
Exercice 60 valeurs d’adherence pour une suite de matrices
Soit P =
0 1 0 0 0
1/2 0 1/2 0 0
0 1/2 0 1/2 0
0 0 1/2 0 1/2
0 0 0 1 0
.
1. Montrer que P est semblable a une matrice diagonale.
2. Montrer que la suite des puissances (Pn)n admet plusieurs valeurs d’adherence.
Exercice 61 suites
1. Soit (zn)n une suite de complexes telle que zn+1 =1
2(zn +
α2
zn). En etudiant φ definie par
φ(z) =1
2(z +
α2
z)
sur une boule fermee B(±α, r), montrer que pour certains choix de z0 elle converge. Est-cetoujours le cas ? Cette suite est elle toujours bien definie ?
36
2. la meme recurrence dans M2(C).
(a) Soit A =
[a 00 b
]une matrice diagonale inversible, de valeurs propres inversibles. On
definit une suite de matrices carrees (Mn) en choisissant M0 et en posant :Mn+1 = O si Mn n′est pas inversible
Mn+1 =1
2(Mn +AM−1
n ), sinon
Montrer que pour certains choix de M0 elle converge vers une matrice de carre A.
(b) Montrer que pour toute matrice diagonalisable de spectre contenu dans R∗+, il existeune suite de matrices (Rn)n definie par la meme relation de recurrence, qui convergevers R telle que R2 = A.
(c) Lorsque A =
[a c0 a
], l’ exercice 62 aborde une etude detaillee.
37
Exercice 62 Suite de matrices, methode de NewtonCet exercice fait suite aux questions abordees dans l’exercice 2 ou nous avons etudie cet algorithme
avec des scalaires puis avec des matrices diagonales. Nous utilisons ici les resultats du cours surles espaces normes et des notions sur les fonctions de plusieurs variables vues en premiere annee.On considere les deux matrices a coefficients reels
A =
[a c
0 a
], M0 =
[x0 y0
0 x0
]
et on definit la suite de matrices (Mn)n en posantMn+1 =
1
2(Mn +AM−1
n ), si Mn est inversible ;
Mn+1 = 0, sinon.
On suppose a > 0.
1. Ecrire une fonction MAPLE qui prend en arguments, une matrice A, une matrice M0, et unentier n et retourne le nieme terme de la suite (Mn)n.
1 Qu’observe-t-on ?
2. On note Mn =
[xn yn0 xn
]. Donner une relation de recurrence verifiee par les suites de coef-
ficients (xn, yn).
3. Montrer qu’il existe α > 0 tel que si√a− α < x0 <
√a+ α, alors (xn)n converge.
4. Une fonction de deux variables
(a) Ecrire la relation de recurrence ci-dessus sous la forme (xn+1, yn+1) = F (xn, yn),preciser l’ensemble de definition de F que l’on notera U.
(b) Justifier que U est un ouvert (pourquoi cette question a-t-elle un sens ?) Justifier que Fest de classe C1 sur cet ouvert.
(c) Montrer que V = X/x > 0 est ouvert convexe et que F (V ) ⊂ V. On suppose pour lasuite que x0 > 0; la suite (xn, yn)n est elle bien definie ?
(d) On suppose que la suite de matrices (Mn)n est convergente. Que peut on dire de salimite ? Montrer que F admet un point fixe au moins.
(e) Calculer la matrice jacobienne de F. Que vaut elle en A = (√a,
c
2√a
)?
5. Rappeler l’inegalite des accroissements finis pour les fonctions vectorielles de plusieurs va-riables. Justifier que, pour (x0, y0) bien choisi, la suite (Mn)n est convergente.
6. Vitesse de convergence∗∗.Soit || ||, une norme de R2.
(a) Soit φ(t) = F (A + t(u, v)). Ecrire la formule de Taylor reste integrale pour φ a l’ordre1. En deduire une majoration de ||F (X)− F (A)|| en fonction de ||X −A||2.
(b) Majorer ||Xn −A|| ou Xn est (xn, yn).
Exercice 63 mines**
1. Montrer que R et R2 ne sont pas diffeomorphes ( cours sur les fonctions de plusieurs variables).
2. Montrer que R et R2 ne sont pas homeomorphes (un homeomorphisme entre deux parties Aet B d’evn E et F, est une bijection φ : A→ B telle que φ, φ−1 sont toutes deux continues).
Exercice 64Soit E = C([−1/2, 1/2],K) muni de la norme || ||∞.
1. fichier RacineMatriceBabylone.mws
38
1. Montrer que la suite des fonctions polynomiales
pn(x) =
n∑k=0
xn
a une limite dans cet espace norme.
2. En deduire qu’il existe un sous-espace de E qui n’est pas ferme.
Exercice 65 une suite de polynomesOn considere les polynomes de K[X], definis par Fn(X) = 1 +X +Xn.
1. Expliciter la suite des composantes selon le vecteur X7. Determiner la limite de chaque suitede composantes dans la base canonique.
2. Etudier la suite des polynomes (Fn) dans K[X] muni de la norme N (F ) =∫ 1
0|F (t)| dt.
3. Etudier cette meme suite dans K[X] muni de la norme N ′(F ) =∫ 2
0|F (t)| dt.
4. Que devient la proposition 19 en dimension infinie ?
Exercice 66 algorithme du gradient (Centrale d’apres l’officiel de la Taupe)On considere une fonction J : Rn → R de classe C1 telle que
lim||x||→+∞
J(x) = +∞,
et dont le gradient, note ∇J(x), verifie :
||∇J(x)−∇J(y)|| ≤M ||x− y||.
1. Montrer que J admet un minimum global.
2. (a) Soient x et y deux elements de Rn. Montrer, en etudiant φ : t ∈ [0, 1]→ J(x+ t(y−x)),que
J(y) = J(x)+ < ∇J(x)|y − x > +
∫ 1
0
< ∇J(x+ u(y − x))−∇J(x)|y − x > du.
(b) On considere une suite (xk)k, d’elements de Rn, telle quex0 ∈ Rn,xk+1 = xk − ρk∇J(xk).
Montrer que si, pour tout k, 0 < α ≤ ρk ≤ β <2
M, la suite des valeurs (J(xk))k decroıt.
(c) Montrer que si J admet un seul point singulier, ω, (xk)k converge vers ω.
3. Mise en œuvre sous MAPLE : voir fichier...
voir corrige en 10.1.2
Exercice 67 Avec MAPLE pour les premieres questions ; methode de Jacobi (systemes lineaires)On se propose d’etudier un systeme lineaire AX = b avec A ∈Mn(R), b ∈ Rn, d’inconnue X ∈ Rn.
Lorsque la diagonale de A ne contient pas de terme nul, on definit par recurrence une suite devecteurs de Rn, (Xm)m ou X0 ∈ Rn et Xm+1 a pour iieme coordonnee
x(m+1)i =
1
ai,i
bi − n∑j=1,j 6=i
ai,jx(m)j
.
39
1. Justifier que si (Xm)m converge, sa limite est une solution de AX = b.
2. (a) Programmer une fonction J(A,b,X) qui prend en arguments une matrice carree Adeux vecteurs b et X (de tailles adaptees) et retourne le vecteur X ′ defini par l’iterationci-dessus.
On pourra observer que X ′ = Φ(X) ou Φ(X) = D−1(b − EX), D etant la matricediagonale diag(a1,1, ..., an,n)...
(b) Calculer les 20 premiers termes d’une telle suite lorsque
A =
−1 2 3 4
2 3 4 5
3 4 5 6
4 5 6 −7
, b =
1212
et avec des premiers termes X0 de votre choix , puis recommencer avec une matrice Atelle que, pour chaque i ∈ 1, ...n,
|ai,i| >n∑
k=1
k 6=i
|ai,k|.
(c) Demontrer que la suite recurrente (Xm)m converge quelque soit le terme X0 choisi, pourcertaines matrices A.
voir corrige en 10.1.2
40
8 Continuite des applications lineaires
8.1 Caracterisation des applications lineaires continues
Theoreme 33 Soient (E, || ||E) et (F, || ||F ), deux espaces normes et f une application lineairede E dans F. Les propositions suivantes sont equivalentes :
1. f est continue,
2. f est continue en 0,
3. il existe M > 0, tel que pour tout x ∈ E, ||f(x)||F ≤M ||x||E ,
4.
supx 6=0
||f(x)||F||x||E
< +∞
5. f est bornee sur la sphere unite de (E, || ||E)) :
supN(x)=1
||f(x)||F < +∞,
6. il existe M > 0, tel que pour tout x, y ∈ E, ||f(x)− f(y)||F ≤M ||x− y||E ,(ie : f est M−lipschitzienne).
Exercice 68 des exemples• Soit C l’espace des fonctions continues sur [0, 1] a valeurs dans C. Etudier la continuite desapplications suivantes selon que C est muni la la norme || ||∞, ou de la norme || ||1.
δ : f ∈ C → f(0) ∈ C;
ψ : f ∈ C →∫ 1
0
f(t) dt ∈ C;
(f, g) ∈ C2 → f(0) + g(0) ∈ C;
• Soit C1 l’espace des fonctions de classe C1 sur [0, 1] a valeurs dans C, muni de la norme || ||∞.Etudier la continuite de l’application :
δ : f ∈ C → f ′(0) ∈ C,
selon que C1 est muni la la norme || ||∞, ou de la norme f → ||f ||∞ + ||f ′||∞.
Exercice 69 un exemple de la vraie vieOn considere le probleme de Cauchy y”(t)− y(t) = u(t)
y(0) = 0y′(0) = 0
1. Pour faire vite : un calcul avec MAPLE donne
> restart;
> ed:=diff(y(x),x,x)-y(x)=u(x);
> dsolve(ed,y(0)=0,D(y)(0)=0,y(x));
41
d2
dx2y (x)− y (x) = u (x)
y (x) =1
2
(−∫ x
0
e z1u ( z1 ) d z1 +
∫ x
0
e− z1u ( z1 ) d z1e2 x
)e−x
Pour faire joli : ecrire la solution sous la forme
T (u)(x) =
∫ x
0
φ(x− t)u(t) dt.
2. Montrer que T est un operateur lineaire continu de (C([0, a],C), || ||∞) dans lui-meme.
3. Pour faire pro : retrouver ce resultat par la methode de variations des constantes (une foistrouvees les solutions de l’equation homogene, rechercher la solution de l’equation avec secondmembre sous la forme K(t)z0(t) ou z0 est ...)
Exercice 70Soit E un K−evn. Montrer qu’une forme lineaire sur E est continue ssi Keru est un ferme de E.
Exercice 71Soit A une partie non vide de R. On definit sur R[X] une application N en posant
N(P ) = supx∈A|P (x)|.
1. Donner une CNS pour que N soit une norme.
2. La condition etant realisee donner une CNS pour que la forme lineaire P → P (0) soitcontinue.
8.2 Cas de la dimension finie
Theoreme 34 continuite des applications lineaires en dimension finie• Si E et F sont des ev normes, E de dimension finie sur le corps K, toute application lineaire deE dans F est continue.• La fonction x → ||f(x)||F est donc continue et elle atteint ses bornes sur S qui est compacte(ferme bornee dans un evn de dimension finie), et il existe x0 ∈ S tel que
||f(x0)||F = supN(x)=1
||f(x)||F .
8.3 Continuite des applications bilineaires
Theoreme 35• Soient (E,NE), (F,NF ) et (G,NG) trois evn sur le corps K. On munit (E × F ) de la topologie
produit. Une application bilineaire f : E × F → G est continue ssi il existe une constante k > 0telle que pour tous (x, y) ∈ E × F,
NG(f(x, y)) ≤ kNE(x)NF (y).
• Lorsque E et F sont de dimensions finies, les applications bilineaires de (E × F dans G sontcontinues.
42
Demonstration
Exercice 72 exemples, preciser l’enonce, etudier la continuite ;
1. Que se passe-t-il en dim finie ?
2. multiplication externe sur un norme ;
3. Multiplication des matrices ;
4. Composition des endomorphismes continus ;
5. produit scalaire sur E prehilbertien ;
6. Dans C, l’espace des fonctions continues sur [0, 1] a valeurs dans C, muni de || ||∞,
f ∈ C → f(0)
(∫ 1
0
f(t) dt
)∈ C;
8.4 Normes subordonnees
Definition 14 normes sur L(E,F ) ou E et F sont normesSoient (E,N ) et (F, || ||) deux espaces normes sur le corps K. On definit une norme sur les sev deL(E,F ) forme des applications lineaires continues en posant
|||f ||| = supx 6=0
||f(x)||FN(x)
< +∞ (8.1)
Definition 15 normes de matricesSur l’espace des matrices carrees on peut definir trois notions
1. la notion generale de norme sur l’espace vectoriel, qui ne nous interesse pas particulierement
2. la notion de norme d’algebre ou norme matricielle : ce sont les normes qui verifient aussila propriete
||AB|| ≤ ||A|| ||B||.
3. la notion de norme subordonnee ou de norme associee a une norme de Kn : a toute norme|| − || ou N sur Kn, on associe
|||A||| = sup
||AX||||X||
; ||X|| > 0
ou N = sup
X 6=0
N (AX)
N (X)
On definit ainsi une norme matricielle que l’on appelle norme subordonnee a || − || ou N ,norme de Kn.
Remarque : la notion de borne subordonnee a un sens pour toute matrice, en effet, en dimensionfinie la boule fermee B(O, 1) est compacte, son image par une application lineaire est donc borneeet .
Theoreme 36 Soit N une norme sur Mn(K), subordonnee a la norme N de KN .– Pour tout vecteur X ∈ KN , et toute matrice M, N (MX) ≤ N (M)N (X).– Pour tout couple de matrices A,B N (AB) ≤ N (A)N (B).
43
8.5 Normes subordonnees aux normes usuelles de Kn :
norme sur Kn norme matricielle subordonnee sur Mn(K)
||x||1 =
n∑k=1
|xk| |||A|||1 = supj
n∑k=1
|Ak,j |
||x||∞ = supk|xk| |||A|||∞ = sup
k
n∑j=1
|Ak,j |
||x||2 =
(n∑k=1
|xk|2)1/2
|||A|||2 = (ρ(A∗A))1/2
avec ρ(A∗A) = supSp(A∗ A) |λ|.
Remarques
1. Nous calculerons la troisieme norme subordonnee ci-dessus apres etude des espaces hermi-tiens.
2. si || − || est une norme sur Kn, et si F ∈ GLn(K), alors N : X → ||FX|| est aussi une norme
sur Kn. Si ||| − ||| est la norme subordonnee a || − || et N la norme subordonnee a N , on a :
N (A) = |||F−1AF |||
Theoreme 37 theoreme de Householder, relation avec les valeurs propres
1. Soit N , la norme surMN (K), subordonnee a une norme N de CN . Pour toute valeur propreλ de u, on a |λ| ≤ N (u). D’ou
ρ(A) = sup(|λ|;λ val.propre de A) ≤ N (A) (8.2)
2. A l’inverse, pour tout ε > 0, il existe une norme N sur Kn, telle que pour la norme subor-donnee :
N (A) ≤ ρ(A) + ε.
Demonstration Ce resultat, fort utile en analyse numerique, n’est pas au programme. Il esttoutefois indispensable que vous sachiez retrouver et redemontrer la propriete 8.2.Quant a la relation inverse, on en donne une premiere approche dans l’exercice 81.
8.6 Recettes pratiques
Comment faire ?– Pour etablir la continuite des applications lineaires en dimension quelconque, on cherche une
constante positive M telle que pour tout X ∈ E,
||f(X)||E ≤M ||X||F .
44
– Lorsqu’il est etabli que f est continue, pour determiner la norme subordonnee de f (voirdefinition (8.1)), on cherche parmi les constantes M qui verifient la relation precedente un M0
tel queM0 = sup
||X||E=1
||f(X)||F .
On y parvient– En montrant qu’il existe X ∈ E 6= 0, tel que ||f(X)||F = M0||X||E .
Un tel X existe en dimension finie puisque la sphere unite est compacte et X → ||f(X)||F estcontinue.En dimension infinie, c’est parfois possible ; voir les exercices 73 et le premier exemple de 76...
– A defaut de trouver un tel X, on cherche alors une suite (Xn)n d’elements de E telle que
lim||f(Xn)||F||Xn||E
= M0.
C’est plus difficile, voir les exercices 75,76...– Pour prouver que f n’est pas continue, on ecrit la negation de la propriete caracterisant
la continuite des applications lineaires :
∃K > 0, ∀X ∈ E, ||f(X)||F ≤ K||X||E ,
qui est∀K > 0, ∃X ∈ E, ||f(X)||F > K||X||E .
Il suffit alors de mettre evidence une suite d’elements (xn)n de E telle que
limn→∞
||f(xn)||F||xn||E
= +∞.
Faisons nous la main :
1. Soit C ′ l’espace des fonctions de classe C1 sur [0, 1] a valeurs dans C, muni de la norme|| ||∞. Etudier la continuite des applications :
δ1 : f ∈ C ′ → f ′(0) ∈ C;
D : f ∈ C ′ → f ′ ∈ C ′;
2. Soit C ′ l’espace des fonctions de classe C1 sur [0, 1] a valeurs dans C, muni de la normeN1(f) = ||f ||∞ + ||f ′||∞. Etudier la continuite des applications :
δ1 : f ∈ C ′ → f ′(0) ∈ C;
D : f ∈ C ′ → f ′ ∈ C ′;
3. Soit Kn[X] muni de la norme que vous voulez (pourquoi une telle liberalite ?). Montrer quela derivation est continue. Calculer sa norme subordonnee lorsque– Kn[X] est muni de la norme
N(P ) = sup0≤i≤n
|ai|;
(notations evidentes !)– Kn[X] est muni de la norme
N(P ) = supx∈[0,1]
|P (x)|;
– Kn[X] est muni de la normeN(P ) = sup
x∈[0,1]
|P (x)|;
4. La derivation est elle continue sur K[X] muni de la norme ||P ||∞ = sup |ai|?
45
8.7 Algebre normee (HP)
Definition 16 algebre normeeRappelons qu’une algebre unitaire sur K est la donnee d’un ensemble A sur lequel sont definiesune addition +, une multiplication interne ×, une loi externe · : K×A→ A, telles que :– (A,+,×) soit un anneau unitaire ;– (A,+, ·) soit un K ev ;– pour x, y ∈ A, λ ∈ K, λ · (x× y) = (λ · x)× y = x× (λ · y).Une algebre normee est une algebre unitaire (A,+,×, ·) munie d’une norme verifiant ||x × y|| ≤||x|| ||y||
Exemples :– Algebre normee (Lc(E), N), des endomorphismes continus de (E,N) munie de la norme subor-
donnee ;– Algebre normee des fonctions bornees de X dans C, munie de la norme uniforme.
8.8 Exercices : continuite des applications lineaires, topologie et ma-trices
Exercice 73 CCP-PSIOn considere l’espace C des suites complexes convergentes, on le munit de la norme ||u|| = sup |un|.Soit L l’application qui a une suite u ∈ C associe sa limite.
1. Montrer que L est lineaire et continue ;
2. Calculer sa norme subordonnee ;
Exercice 74On considere l’espace E des fonctions continues sur [0, 1] a valeurs dans C et l’application
T : f ∈ E →∫ 1
0
t f(t) dt
1. Etudier la continuite de T pour chacune des trois normes || ||∞, || ||1 et || ||2 sur E.
2. on se propose de determiner la norme subordonnee associee a chacune de ces normes dansE.
(a) Cas de la norme || ||∞?
(b) Cas de la norme || ||1 : considerer la suite de fonctions (fn)n ou fn(t) = tn...
(c) Cas de la norme || ||2 : qu’a-t-elle de remarquable ?
Montrer que la norme subordonnee verifie |||T |||2 ≤√
1
3puis chercher une fonction
colineaire a, a...,a.. ?
Et pourquoi colineaire ?
Exercice 75 Centrale 2003 - a faire apres le cours sur les series, peut-etre les SE. On note E l’espace des suites complexes de limite 0, on le munit de la norme ||u|| = sup |un|.
1. Montrer que les formes lineaires
Φn : u ∈→n∑i=0
ui2i
et Φ : u ∈→∞∑i=0
ui2i
sont correctement definies, continues, et calculer leurs normes subordonnees.
2. On considere la suite u telle que un =1
n+ 1. Calculer Φ(u) (reconnaıtre du classique) ;
46
3. Quelle est la distance de u a H = Ker(Φ) ? Construire une suite v ∈ H telle que ||u− v|| ≤1, 5d(u,H).
Exercice 76Dans les questions qui suivent, E designe l’espace des fonctions a valeurs complexes, continues
sur [0, 1], muni de la norme de la convergence uniforme
||f ||∞ = supx∈[0,1]
|f(x)|.
1. Comment definit on, sur l’ensemble des applications lineaires continues de E dans C, la normesubordonnee associee a || ||∞?
2. Montrer que l’application lineaire φ : f ∈ E →∫ 1
0tf(t) dt, est continue et preciser, si possible,
sa norme subordonnee.
3. On considere maintenant l’application ψ : f ∈ E →∫ 1
0cos(πt)f(t) dt.
(a) Montrer que ψ est continue.
(b) Soit αn ∈ E, affine par intervalle, telle que αn(t) = 1, si t ∈ [0, 1/2− 1/n]αn est affine sur [1/2− 1/n, 1/2 + 1/n]αn(t) = −1, si t ∈ [1/2 + 1/n, 1].
Representer αn et t → cos(2πt) sur le meme graphique pour n = 4, 8 (prendre pourunite : 8 cm). Majorer ∣∣∣∣∫ 1
0
| cos(πt)| dt−∫ 1
0
αn(t) cos(πt) dt
∣∣∣∣ .(c) Que vaut la norme (subordonnee) de ψ?
Exercice 77 fondamentaux
1. Montrer que l’application qui a deux matrices carrees associe leur produit est continue.
2. Justifier que la transposition est continue.
3. Justifier que la trace est une fonction continue.
4. Montrer que l’application
Rot : (θ, u) ∈ R× R3|0 → Rot(u, θ) ∈ L(R3),
est continue. On pourra utiliser l’expression d’une rotation :
f(x) = projD(x) + cos(θ)(x− projDx) + sin(θ)
( −→u||−→u ||
)∧ x .
5. Montrer que le groupe orthogonal On(R) est compact.
6. Montrer que le groupe des rotations O+n (R), n = 2, 3... est compact.
Exercice 78 topologie et matrices, exemples eparsSoit n ∈ N∗. On note E =Mn(K) l’espace vectoriel norme des matrices carrees a coefficients dansK = R ou C.
47
1. Justifier que les applications suivantes sont continues :
Tr : M ∈ E → Tr(M) ∈ K;
T : M ∈ E →tM ∈ E;
det : M ∈ E → det(M) ∈ K;
M ∈ GLn(K)→M−1 ∈ GLn(K).
Dans ces deux derniers cas, on fera la demonstration pour n = 2 avant de la generaliser.
(Tr est la trace, det le determinant, tM la transposee de M).
2. Pour chacune des parties suivantes de E montrer selon le cas qu’elle est ouverte ou qu’elleest fermee :
– l’ensemble GLn(K) des matrices inversibles ;– le sous-espace des matrices symetriques ;– le sous-espace des matrices triangulaires superieures.
3. Soit a ∈ K, a 6= 0. On considere la suite (An)n des matrices An =
[1 a
0 1 +1
n
].
(a) Montrer que An est diagonalisable pour tout n ∈ N∗. Qu’en est il de limAn?
(b) L’ensemble des matrices diagonalisables est il ferme dans E?
4. On considere sur E la norme N(M) = max1≤i,j≤n |mi,j |.(a) Soit ε > 0 expliciter une matrice non diagonalisable dans la boule ouverte BN (I2, ε).
(b) L’ensemble des matrices diagonalisables est il ouvert dans E?
5. On suppose dans cette question que K = R et que n = 2. Soit A =
(0 1−1 0
).
(a) Montrer queA n’est pas diagonalisable dansM2(R). Calculer sa trace et son determinant.
(b) On suppose qu’il existe une suite (An)n de matrices diagonalisables dans M2(R) quiconverge vers A. Montrer une impossibilite en raisonnant sur les valeurs propres λn etµn de An.
(c) L’ensemble des matrices diagonalisables est il dense dans E lorsque K = R?
6. Montrer que si E =M2(C), les matrices diagonalisables forment un sous-ensemble dense deE.
voir corrige en 10.1.2.
Exercice 79 matrices trigonalisables
1. Soit P (X) ∈ R[X], un polynome que l’on suppose unitaire et de degre d > 0.
(a) Montrer que si P (X) est scinde sur R, alors
∀z ∈ C, |P (z)| ≥ |Imz|d.
(b) Montrer la reciproque.
2. Soit (An)n une suite convergente de matrices trigonalisables de MN (R). Que peut on direde sa limite ?
3. Soit (An)n une suite convergente de matrices diagonalisables de MN (R). Que peut on direde sa limite ?
48
4. Soit (An)n une suite convergente de matrices semblables a une meme matrice A deMN (R).Que peut on dire de sa limite, lorsque A est diagonalisable a valeurs propres distinctes,confondues, dans le cas general ?
indication : normaliser les colonnes d’une matrice de passage, penser a Bolzano-Weierstrass
Exercice 80 c’est du cours !Soit ||| |||, une norme matricielle sur E = Mn(K). Montrer que pour toute matrice A ∈ E, pourtoute valeur propre λ de A, |λ| ≤ |||A|||.
Exercice 81 On se propose d’illustrer sur un exemple la deuxieme partie du theoreme 37 du aHouseholder (annees 60).
1. Montrer que si || − || est une norme sur Kn, et si F ∈ GLn(K), alors N : X → ||FX|| est
aussi une norme sur Kn. En deduire que, si ||| − ||| est la norme subordonnee a || − || et Nla norme subordonnee a N , on a :
N (A) = |||F AF−1|||
2. Soit T =
a u v0 b w0 0 c
et ∆ =
1 0 00 α 00 0 α2
. Calculer ∆−1T∆ ainsi que sa norme |||...|||∞.
3. Soit ε > 0. Montrer qu’il existe une norme sur Kn dont la norme subordonnee, verifie :
N (T ) ≤ sup|a|, |b|, |c|+ ε.
4. Applications : Soit A semblable a T. Montrer que si toutes les valeurs propres de A (ou deT ) ont des modules strictement inferieurs a 1, les suites suivantes sont convergentes. Preciser,si possible, leurs limites :– La suite de matrices :
Mn =
n∑k=0
An
– Avec α = 1/2, la suite de matrices :
Rn =n∑k=0
(αn)An
– La suite de vecteurs (Zn)n tq Zn+1 = AZn +W.Penser qu’il y a un theoreme fondamental dans votre cours.
Exercice 82 On se propose, dans cet exercice de montrer le lien entre les valeurs propres et lecomportement de suites recurrentes de la forme
Zn+1 = AZn +W, A ∈MN (C), W ∈ CN .
1. Montrer que les matrices A =
[a 10 a
]et A′ =
[a α0 a
]sont semblables pour tout α 6= 0.
2. On considere deux complexes a, b, distincts tels que |a| < 1, |b| < 1, la matrice complexe
∆ =
a 1 0 0
0 a 0 0
0 0 b 1
0 0 0 b
,et on note φ l’endomorphisme qui lui est associe dans la base canonique.
49
(a) Rechercher les valeurs propres et les sous-espaces propres de φ. Montrer que les sous-espaces F = ker((φ − a)2) et G = ker((φ − b)2) sont stables par φ et supplementairesdans C4.
(b) Etudier la convergence de la suite de matrices (∆k)k dans l’espace norme MN (C).
(c) Etudier la convergence dans C4 de la suite definie par
Zk+1 = ∆Zk +W, Z0 ∈ C4.
Montrer que cette suite converge et que sa limite est solution d’une equation que l’onprecisera.
3. On considere l’endomorphisme ψ de C4 de matrice
A =
3/4 1/2 0 1/2
1 0 0 −3/4
0 1/2 5/4 1/2
−1 5/4 0 2
dans la base canonique.Etudier la convergence dans C4 de la suite definie par
Zk+1 = AZk +W, Z0 ∈ C4.
On pourra commencer par exprimer ψ dans une base bien choisie.
50
9 Questions rapides admettant reponses rapides ; le flash-eclair
1. La fonction x→ x+ sinx est elle croissante, lipschitzienne sur R?
2. Connaissez vous des fonctions 1-lipschitziennes sans point fixe ?
3. Une fonction continue, f : [a, b]→ [a, b], admet elle toujours un point fixe ?
4. Vrai ou faux ? Le cas echeant donner des contre-exemples.• Une fonction de classe C1 sur R est necessairement lipschitzienne.• Une fonction de classe C1 sur [0, 1] est necessairement lipschitzienne.• une fonction uniformement continue est lipschitzienne.• une fonction lipschitzienne est uniformement continue.
5. Vrai ou faux ? Le cas echeant donner des contre-exemples.• une intersection d’ouverts est un ouvert ;• une intersection finie d’ouverts est un ouvert ;• une reunion d’ouverts est un ouvert ;
6. Soit E un ev de dimension finie et N1, N2, deux normes sur E. Les objets suivants sont ilsles memes dans (E,N1) et dans (E,N2)?
les boules ouvertes les hyperplans fermesles suites convergentes les suites de Cauchyles ouverts les fermesles fonctions continues les fonctions uniformement continuesles fonctions lipschitziennes les fonctions k-lipschitziennesles fonctions contractantesles ensembles bornes les compactsx x
7. Meme questions que ci-dessus, lorsque E est de dimension infinie.
8. Sont ils ouverts, fermes ?
l’espace norme : l’ensemble en question :R R, R∗, Q, ∅, 0...R2 l’hyperbole xy = 1Rn un hyperplanC0 ([0, 1], || ||∞) R[X]C0 ([0, 1], || ||∞) Rn[X]
C0 ([0, 1], || ||∞) les fonctions tq∫ 1
0f(t) dt = 0
Mn(K) GLn(K)
9. Construire un suite (zn) d’elements de R2 qui n’admet aucune valeur d’adherence (ou desous-suite convergente) et dont les composantes admettent toutes deux des sous-suites conver-gentes.
10. Peut on construire un exemple de suite bornee dans un evn qui n’admet aucune suite extraiteconvergente ?
11. Quels sont les enonce vrais ? Donner un contre-exemple s’ils sont faux.
(a) si lim(un+1 − un) = 0, alors la suite (un)n converge ;
(b) si pour tout p, limn(un+p−un) = 0, alors (un)n est une suite de Cauchy et elle converge ;
51
(c) s’il existe une suite (vn)n de limite 0, telle que pour tout (n, p), |un+p − un| ≤ vn, alors(un)n est une suite de Cauchy et elle converge ;
12. Dans un evn de dimension finie, une suite telle que, pour tout p ∈ N,
limn→+∞
||xn+p − xn|| = 0,
converge-t-elle ?
13. Une suite de Cauchy dans un evn est elle toujours convergente ?
14. les enonces suivant sont ils toujours vrais en dimension infinie :
(a) toute suite convergente est une suite de Cauchy ;
(b) toute suite de Cauchy est bornee ?
(c) si (xn)n est une suite de Cauchy pour la norme || ||, alors c’est une suite de Cauchy pourtoute autre norme.
15. Vrai ou faux ? Le cas echeant...• si f est continue, l’image d’un ouvert est un ouvert• si f est continue, l’image d’un ferme est un ferme• si f est continue, l’image d’un compact est un ouvert
16. Donner, avec le casting : (E,N) et (F, || ||) sont des evn, f : (E,N) → (F, || ||), est unefonction continue, A une partie de E, des exemples pour les scenarios suivants :– A est ferme, f(A) n’est pas ferme ;– A est borne, f(A) n’est pas borne ;– E est de dimension finie, A est ferme borne, f(A) n’est pas compact ;– A est ferme borne, f(A) n’est pas compact ;
17. Soit (E,N) un evn. Une application lineaire quelconque est elle bornee sur la boule unite ?
18. Soit (E,N) un evn. Une application lineaire continue est elle bornee sur la boule unite ?
19. Soit (E,N) un evn de dimension finie. Une application lineaire quelconque est elle borneesur la boule unite ?
Soit (E,N) un evn de dimension finie. La boule unite est elle fermee et bornee ? est ellecompacte ?
20. L’application lineaire f ∈(C1([0.1],R), || ||∞
)→ f ′(0) ∈ R est elle continue ?
52
10 Resumons nous
10.1 En dimension quelconque
10.1.1 Generalites : limites, normes equivalents, topologie
Definitions :• Une norme sur un K−ev E est une application N : E 7→ R+ telle que :
1. N (x) = 0⇒ x = 0
2. N (x+ y) ≤ N (x) +N (y)
3. N (λx) = |λ| N (x).
• Un espace norme est un couple (E,N ), forme d’un ev et d’une norme sur E.• On dit qu’une suite d’elements (xn)n d’un espace norme (E, || ||) est convergente de limite l ∈ E,ssi limn→∞ ||xn − l|| = 0, ou, ce qui est equivalent :
∀ε > 0, ∃n0, ∀n ∈ N, n ≥ n0 ⇒ ||xn − l|| ≤ ε.
• On dit que deux normes sur un ev E, N1 et N2 sont equivalentes s’il existe des reels strictementpositifs α, β, tels que ∀X ∈ E, αN2 ≤ N1 ≤ βN2.
Proprietes :• On retiendra l’inegalite triangulaire sous la forme equivalente :
| ||x|| − ||y|| | ≤ ||x− y|| ≤ ||x||+ ||y||.
• Une suite d’elements de l’evn (E,N) converge vers au plus une limite.
Theoreme -n dans le resume: 1 convergence des suites pour des normes differentesSoit E un ev muni de normes N1 et N2.• Les proprietes suivantes sont equivalentes
1. Toute suite N1−convergente est N2−convergente
2. Il existe un reel α > 0 tel que N2 ≤ αN1.
• Si N1, N2, sont des normes equivalentes pour toute suite (xn)n, d’elements de E :– (xn)n converge vers l pour N1 ssi elle converge vers l pour N2.– (xn)n est une suite de Cauchy pour N1 ssi c’est une suite de Cauchy pour N2.
Definitions Soit (E, || ||), un espace norme.
1. On appelle boule fermee de centre Ω, de rayon r > 0, l’ensemble
B(Ω, r) = x ∈ E; ||x− Ω|| ≤ r.
2. De la meme facon, la boule ouverte de centre Ω, de rayon r > 0, est l’ensemble B(ω, r) =x ∈ E; ||x− Ω|| < r.
3. Si D une partie de E, a ∈ E, on dit que a est un point adherent a D ssi :
∀ε > 0, B(a, ε) ∩D 6= ∅.
Lorsque E = R, on dit aussi que +∞ est adherent a D ssi
∀M > 0, D∩ ]M, +∞[ 6= ∅.
4. On note D ou adh(D), l’ensemble des points adherents a D (adherence de D).
53
5. D est dense dans E ssi D = E.
6. Soit D, une partie de E, et a ∈ E; on dit que a est un point interieur a D ssi :
∃r > 0, B(a, r) ⊂ D.
On note de facon analogue Do l’interieur de D.
7. Une partie D de E est un ouvert de (E, || ||) ssi pour tout a ∈ D, il existe δ > 0 tel que laboule B(a, δ) soit contenue dans D.
8. Une partie F de E est un ferme de (E, || ||) ssi son complementaire est un ouvert.
9. Soit a ∈ E, un voisinage de a dans E est une partie de E qui contient une boule ouverte decentre a;
10. la frontiere d’un ensemble A est l’ensemble des points adherents qui ne sont pas des pointsinterieurs, elle est parfois notee ∂A.
Proprietes Dans un espace norme (E, || ||),1. une boule ouverte est un ouvert,
2. une boule fermee est un ferme,
3. une reunion quelconque, un intersection finie d’ouverts sont des ouverts,
4. une intersection quelconque, une reunion finie de fermes sont des fermes,
5. un ensemble est ouvert ssi il est voisinage de chacun des ses points.
6. un point a de E est adherent a A ssi il existe une suite de points de A qui converge vers a.
7. un ensemble A ⊂ E est ferme ssi pour toute suite convergente, (xn)n, formee d’elements deA, limxn ∈ A.
10.1.2 Fonctions continues
DefinitionsSoient (E,N ) et (F, || ||), deux espaces normes et f : D ⊂ E → F, une application.
1. On dit que f est continue en a ∈ D ssi limx→a f(x) = f(a).
2. On dit que f est uniformement continue sur D ssi :
∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀(x, y) ∈ D2, N (x− y) ≤ δ ⇒ ||f(x)− f(y)|| ≤ ε.
3. On dit que f est lipschitzienne sur D s’il existe K > 0 tel que
∀(x, y) ∈ D2, ||f(x)− f(y)|| ≤ KN (x− y).
Theoreme -n dans le resume: 2 caracterisation sequentielle de la continuite• Une fonction f : D ⊂ E 7→ F est continue en a ∈ D ssi pour toute suite (xn)n d’elements de Dconvergeant vers a on a limn→∞ f(xn) = f(a).
Theoreme -n dans le resume: 3Soit f une application continue de l’espace norme (E,N ) a valeurs dans (F, || ||). Pour toute partieΩ de F on note f−1(Ω) = x ∈ E; f(x) ∈ Ω.
1. Si Ω est un ouvert de F, f−1(Ω) est un ouvert de E.
2. Si Ω est un ferme de F, f−1(Ω) est un ferme de E.
54
Theoreme -n dans le resume: 4Soit f une application continue sur une partieD de l’espace norme (E,N ) a valeurs dans (F, || ||).Pour toute partie Ω de F on note f−1(Ω) = x ∈ E; f(x) ∈ Ω.
1. Si Ω est un ouvert de F, f−1(Ω) est un ouvert relatif de D (ie : l’intersection de D et d’unouvert de E).
2. Si Ω est un ferme de F, f−1(Ω) est un ferme relatif de D (ie : l’intersection de D et d’unferme de E).
10.1.3 Suites de Cauchy
DefinitionSoit (Xn)n une suite d’elements d’un evn, (E,N ). On dit que c’est une suite de Cauchy pourla norme N lorsqu’elle verifie :
∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀p ≥ N, ∀q ≥ 0, N (xp − xp+q) ≤ ε.
Proprietes generales des suites de Cauchy• Toute suite convergente est une suite de Cauchy.• Toute suite de Cauchy est bornee.• Si une suite de Cauchy (Xn) admet une sous-suite convergente de N− limite L, (Xn) est elle-meme convergente et de limite L.• (xn)n est une suite de Cauchy ssi il existe une suite (vn)n, de limite 0 en +∞, telle que
∀(n, p) ∈ N2, ||xn+p − xn|| ≤ vn.
Definition :On appelle espace complet ou espace de Banach, un evn dans lequel les suites de Cauchysont convergentes. On dit encore que c’est un espace de Hilbert s’il s’agit d’un prehilbertien reelou complexe complet.Exemples : sont complets les evn de dimension finie (voir ci-dessous, C([a, b], || ||∞), `1(N), `2(N), `∞(N), ..Un contre-exemple est donne dans l’exercice 28.
10.2 Espaces vectoriels normes en dimension finie
On suppose ici que E est de dimension N et qu’il admet pour base la famille (ei)1≤i≤N . On note(Xn)n une suite d’elements de E avec
Xn =
N∑i=1
x(i)n ei.
Theoreme -n dans le resume: 5Soit (xn)n, une suite de E ev de dimension finie.
• Si les N suites des composantes dans une vase B, (x(i)n )n, sont convergentes, de limites respectives
li, alors pour toute norme N sur l’ev E, la suite (Xn) est N−convergente de limite :
L =∑
liei.
• Reciproquement, si la suite (Xn)n d’elements de E, evn de dimension finie, converge vers L pour
une norme N , alors, dans une base quelconque, les suites des composantes (x(i)n ), convergent dans
K vers les coordonnees correspondantes Li de L.
55
Theoreme -n dans le resume: 6 equivalence des normes en dimension finieDans un espace vectoriel de dimension finie, toutes les normes sont equivalentes.
Remarque : En dimension finie, les suites convergentes, les fonctions continues, les ouverts, lesparties bornees, les fermes, les parties denses, la continuite, les limites... ne dependent pas de lanorme. On n’a donc pas a preciser pour quelle norme une suite converge et la locution ”espacevectoriel norme de dimension finie sur K” a un sens. Par contre les boules sont attachees a la normequi les definit.Attention, ce resultat est toujours faux en dimension infinie.
Theoreme -n dans le resume: 7 de Bolzano WeierstrassDans un espace vectoriel norme de dimension finie, de toute suite bornee on peut extraire unesous-suite convergente.
Theoreme -n dans le resume: 8 suites de CauchyDans un evn de dimension finie une suite converge ssi c’est une suite de Cauchy. On dit que lesevn de dimension finie sont complets.
Theoreme -n dans le resume: 9 caracterisation des fonctions continues• Lorsque E est de dimension finie, les fonctions coordonnees dans une base (ei)i quelconque,
Xi := x =
n∑i=1
xiei ∈ E → xi ∈ K,
sont des fonctions continues.• Soit f une application de E norme (de dimension qque) dans F norme et de dimension finie, aun point de E. Les propositions suivantes sont equivalentes :– f est continue en a– il existe une base (ej)j de F dans laquelle les fonctions composantes de f sont continues en a;– dans toute base de F, les fonctions composantes de f sont continues en a.Rappelons que les fonctions composantes de f dans (ej)j , sont les fonction fj definies par
f(x) =
n∑j=1
fj(x)ej .
Theoreme -n dans le resume: 10 applications lineairesSoient E et F deux espaces vectoriels normes sur le meme corps. Si E est de dimension finie, lesapplications lineaires de E dans F sont des fonctions continues.
56
10.3 Les compacts
Definition Une partie K de l’evn (E, || ||) est compacte ssi toute suite d’elements de K admet unevaleur d’adherence dans K.Proprietes• un compact est ferme et borne (reciproque fausse en dim infinie)• Dans un compact les suites de Cauchy convergent.• L’image d’un compact par une fonction continue est un compact.• Une une fonction continue sur un compact est bornee et atteint ses bornes.• Une fonction continue sur un compact est uniformement continue (theoreme de Heine).
Theoreme -n dans le resume: 11Dans un evn de dimension finie un ensemble non vide est compact ssi il est ferme et borne.
10.4 Applications lineaires dans les evn et continuite
et si vous le faisiez tous seuls ?
57
11 Quelques corriges
Corrige de l’exercice 7
1.
2. Rappelons que nous avons dans Kn :
||x||∞ ≤ ||x||1 ≤ n||x||∞
||x||∞ ≤ ||x||2 ≤√n||x||∞
||x||2 ≤ ||x||1 ≤√n||x||2.
A titre d’exemple, considerons l’inegalite (2-2) :||x||2 ≤√n||x||∞ et montrons sa relation
avec l’inclusionB|| ||∞(a, r) ⊂ B|| ||2(a, 1).
x ∈ B|| ||∞(a, r)⇒ ||x− a||2 ≤√n||x− a||∞ <
√nr
on choisit donc r =1√n
pour avoir l’inclusion voulue.
3. Deux implications a etablir,
⇒ S’il existe α > 0, β > 0 tels que βN2 ≤ N1 ≤ αN2, alors∀a ∈ E,∀r > 0,∃r′ > 0, BN2(a, r′) ⊂ BN1(a, r)(1)
∀a ∈ E,∀r > 0,∃r′ > 0, BN1(a, r′) ⊂ BN2
(a, r)(2)
On reprend l’idee de la question precedente : de N1 ≤ αN2, on deduit que si x ∈ BN2(a, r′)
on a N1(x− a) ≤ αN2(x− a) ≤ αr′ donc x ∈ BN1(a, r) des que r′ ≤ r
α. Cela prouve (1) et
on etablit(2) de meme maniere.
⇐ Supposons que (1) soit verifiee. Nous allons montrer que toute suite N2−convergente estN1−convergente (ce qui etablira l’existence de α tel que N1 ≤ αN2, avec le theoreme 3 decomparaison des normes).
On suppose donc que BN2(a, r′) ⊂ BN1(a, r) pour un certain couple (r, r′) et on considereune suite (xn)n telle que limN2(xn − a) = 0. Pour tout ε > 0 il existe un rang a partir
duquel N2(xn − a) ≤ εr′. On a donc N2
(1
ε(xn − a)
)≤ r′ d’ou ; par inclusion des boules,
N1
(1
ε(xn − a)
)≤ r et N1 (xn − a) ≤ εr′.
Nous avons bien etabli que toute suite N2−convergente est N1−convergente.
Corrige de l’exercice 16
1. Supposons que f soit de classe C1 sur [a, b], il vient alors, pour n ≥ 1,∫ b
a
f(t)eint dt =
[f(t)
eint
in
]ba
−∫ b
a
f ′(t)eint
indt
58
∣∣∣∣∣∫ b
a
f(t)eint dt
∣∣∣∣∣ ≤ |f(b)|+ |f(a)|n
+
∫ b
a
|f ′(t)|n
dt
D’ou ∣∣∣∣∣∫ b
a
f(t)eint dt
∣∣∣∣∣ ≤ 2||f ||∞n
+ |b− a| ||f′||∞n
limn→+∞
∫ b
a
f(t)eint dt = 0,
2. On s’interesse maintenant aux fonctions continues avec une technique de densite. On introduitpour cela l’espace E = (C([a, b],K) des fonctions numeriques continues sur [a, b], muni de lanorme || ||∞.
(a) Dire que les fonctions affines par intervalles forment une partie dense de E, signifie quepour toute fonction f ∈ E, pour tout ε > 0, il existe φ affine par intervalle sur [a, b]telle que ||f − φ||∞ ≤ ε
Comme f est continue sur le compact [a, b] elle y est aussi uniformement continue(theoreme de Heine : cours de premiere annee ou cours Topologie de R et C ou theoreme31 dans ce chapitre ). Donnons nous donc ε > 0. Il existe un reel α > 0 tel que pourtout couple (x, x′) ∈ [a, b]2
|x− x′| ≤ α⇒ |f(x)− f(x′)| ≤ ε.
On definit donc une subdivision t0 = a < t1 < ... < tp = b telle que max |ti+1 − ti| ≤ αet on lui associe une fonction φ affine sur chaque [ti, ti+1], telle que φ(ti) = (ti) pourtout i.
Soit alors x ∈ [a, b], il existe un indice i et un reel s ∈ [0, 1] tels que x = sti+(1−s)ti+1 ∈[ti, ti+1] et ainsi
|f(x)− φ(x)| = |s(f(x)− φ(ti)) + (1− s)(f(x)− φ(ti+1)| ≤ ε.
(b) Soit f affine par intervalles sur [a, b], attachee a une subdivision t0 = a < t1 < ... <tp = b ∫ b
a
f(t)eint dt =
p−1∑i=0
∫ ti+1
ti
f(t)eint dt.
limn→+∞
∫ b
a
f(t)eint dt =
p−1∑i=0
limn→+∞
∫ ti+1
ti
f(t)eint dt = 0
(en effet, la restriction de φ a chaque [ti, ti+1] est de classe C1 ).
(c) Premiere reponse :On considere ε > 0, il existe φε affine par intervalle telle que ||f −φ||∞ ≤ ε. Nous avonsalors pour tout entier n,∣∣∣∣∣∫ b
a
f(t) eint dt−∫ b
a
φε(t) eint dt
∣∣∣∣∣ ≤∫ b
a
|f(t)−φε(t)| dt ≤ |b−a| ||f −φε||∞ ≤ |b−a|ε,
d’ou ∣∣∣∣∣∫ b
a
f(t) eint dt
∣∣∣∣∣ ≤∣∣∣∣∣∫ b
a
φε(t) eint dt
∣∣∣∣∣+ |b− a|ε.
59
Ceci etant, nous pouvons choisir Nε de telle sorte que pour n ≥ Nε∣∣∣∣∣∫ b
a
φε(t) eint dt
∣∣∣∣∣ ≤ εAinsi, il existe un rang a partir Nε duquel∣∣∣∣∣
∫ b
a
f(t) eint dt
∣∣∣∣∣ ≤ (1 + |b− a|)ε.
Corrige de l’exercice 32
Description d’un algorithme :- On se donne A0 ∈ D1.- Pour An ∈ D1, on considere Bn le projete orthogonal de An sur D2 et An+1 le projete orthogonalde Bn sur D1.
1. Puisque la projection vectorielle orthogonale de ~E sur ~D = V ect(~u) verifie : π : ~w ∈ ~E →< ~w|~u >< ~u|~u >
~u, nous avons
π1 π2(x) = π1
(< ~x| ~u2 >
< ~u2| ~u2 >~u2
)=
< ~x| ~u2 >
< ~u2| ~u2 >π1( ~u2) =
< ~x| ~u2 >
< ~u2| ~u2 >
< ~u2| ~u1 >
< ~u1| ~u1 >~u1
2. Notons pi la projection affine orthogonale sur Di. On sait que pour tout couple de points
de l’espace on a :−−−−−−−−→pi(M)pi(N) = πi(
−−→MN).
La fonction Ψ = (p1 p2)|D1(restriction de p1 p2 a D1) est definie sur D1 a valeurs dans D1
et strictement contractante. En effet, ψ est associee a la restriction de l’application lineaireπ1 π2 et l’on a :
−−−−−−−−→ψ(M)ψ(N) = π1 π2(
−−→MN) =
<−−→MN | ~u2 >
< ~u2| ~u2 >
< ~u2| ~u1 >
< ~u1| ~u1 >~u1,
Il vient donc avec l’inegalite de Cauchy-Schwarz,
∣∣∣∣∣∣−−−−−−−−→ψ(M)ψ(N)∣∣∣∣∣∣ ≤ ||−−→MN || × || ~u2||
< ~u2| ~u2 >
| < ~u2| ~u1 > |< ~u1| ~u1 >
× || ~u1|| =| < ~u2| ~u1 > ||| ~u1|| × || ~u2||
× ||−−→MN ||
ψ est strictement contractante puisque| < ~u2| ~u1 > ||| ~u1|| × || ~u2||
< 1 (inegalite stricte de Cauchy-
Schwarz, les deux droites n’etant pas paralleles).
3. Nous venons de voir que An+1 = ψ(An) ou ψ est strictement contractante de D1 dans D1.ψ admet donc un point fixe et un seul qui est aussi la limite de la suite (An)n.
Comme (An)n converge, (Bn)n = (p2(An))n converge egalement, puisque la projection affineorthogonale, qui est 1-lipschitzienne par exemple, est continue. En notant M = limAn ∈ D1
il vient, N = limBn = lim p2(An) = p2(M). De la meme facon, An+1 = p1(Bn) et M =limAn+1 = lim p1(Bn) = p1(N). Cela montre que- (MN) est perpendiculaire a D1 et D2
- MN = infXY/X ∈ D1, Y ∈ D2.
60
4. Un programme MAPLE qui realise la figure ci-dessus :
(a) Le projete affine orthogonal de M sur la droite passant par A, de vecteur directeur U,est defini par
−−−−−−−−→P (A)P (M) = π(
−−→AM) =
<−−→AM |−→u >
< −→u |−→u >−→u ,
Ce qui s’exprime encore
P (M) = A+<−−→AM |−→u >
< −→u |−→u >−→u .
Ce qui suit en est la traduction mot a mot.
ps:=(U,V)->sum(U[i]*V[i],i=1..3);
P:=(A,U,M)->evalm(A+ps(evalm(M-A),U)*U/ps(U,U));
(b) Ecrire une fonction Phi :=proc(A,U,B,V,M,n) qui prend en arguments des tripletsA,U,B, V,M et un entier n et retourne les listes [A0, A1, ..., An] et [B0, B1, ..., Bn− 1]lorsque A0 est le projete orthogonal de M sur D1.
61
un algorithme de point fixe
> restart; with(linalg): with(plots):
Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected
Warning, the name changecoords has been redefined
Définition du produit scalaire canonique de R^2 (on peut aussi utiliser dotprod) et de la projection affine sur la droite de repère A,U.
> ps:=(U,V)->sum(U[i]*V[i],i=1..3); P:=(A,U,M)->evalm(A+ps(evalm(M-A),U)*U/ps(U,U)); P([1,0,1],[0,-1,1],[x,y,z]); P([1,0,1],[0,-1,1],[u,v,w]); P([1,0,1],[0,-1,1],%);
:= ps → ( ),U V ∑ = i 1
3
Ui Vi
:= P → ( ), ,A U M
evalm + A
( )ps ,( )evalm − M A U U
( )ps ,U U
, ,1 + −
y
2
1
2
z
2 − +
1
2
y
2
z
2
, ,1 + −
v
2
1
2
w
2 − +
1
2
v
2
w
2
, ,1 + −
v
2
1
2
w
2 − +
1
2
v
2
w
2
On définit ici les deux points A et B et les deux vecteurs unitaires (la fonction normalize retourne U/||U||) qui caractérisent les droites D1 de repère (A,u) et D2 de repère (B,v).
> A:=vector([1,1,1]); u:=normalize(vector([1,0,1])); B:=vector([3,0,-1]); v:=normalize(vector([3,-2,4]));
:= A [ ], ,1 1 1
62
:= u
, ,
2
20
2
2
:= B [ ], ,3 0 -1
:= v
, ,
3 29
29−
2 29
29
4 29
29
> Appartient:=proc(A,U,M) local AM: AM:=evalm(evalm(M)-evalm(A)); evalm(U); if iszero( crossprod(AM,U)) then true else false; f i; end: crossprod(A,A-u); Appartient(A,u,A); Appartient(A,u,B);
La fonction/procédure Appartient qui suit retrourne true si M appartient à la droite de repère (A,U), false sinon. Elle ne sert qu'à la vérifiacation des l'algorithme. Elle est d'ailleurs désactivée dans la fonctioPhi. Je la laisse ici pour information: bien qu'elle ne contribue pas directement à la solution du problème, elle montre comment l'on peut (et doit) construire des outils de vérification tout en avançant dans la construction d'un (mini-)programme.
, ,−
2
20
2
2
true
false> Appartient:=proc(A,U,M)
local AM: AM:=evalm(evalm(M)-evalm(A)); evalm(U); if iszero( crossprod(AM,U)) then true else false; fi; end: crossprod(A,A-u); Appartient(A,u,A); Appartient(A,u,B);
, ,−
2
20
2
2
63
true
false
================ L'algorithme: ==================
La fonction/procédure Phi prend en arguments des points A, B et M, des vecteurs U et un entier n. Elle retourne une séquence de deux listes (LA,LB) formées de points (Ak), (Bk) où
LA[1] est le projeté orthogonal de M sur D1 de repère (A,U) LB[1] est le projeté orthogonal de LA[1] sur D2 de repère (B,V) pour k variant de 1 à n-1, LA[k+1] est le projeté orthogonal de LB[k] sur D1 . LB[k+1] est le projeté orthogonal de LA[k+1] sur D2 de repère (B,V) ================
> Phi:=proc(A,U,B,V,M,n) local LA, LB, Ak, Bk, k; Ak:=P(A,U,M): Bk:=P(B,V,Ak); LA:=[evalm(Ak)]; LB:=[evalm(Bk)]; for k from 1 to n-1 do Ak:=P(A,U,Bk); #if Appartient(A,U,Ak) then NULL else print("e rreur"); fi; Bk:=P(B,V,Ak); #if Appartient(B,V,Bk) then NULL else print("e rreur"); fi; LA:=[op(LA),evalm(Ak)]; LB:=[op(LB),evalm(Bk)]; od; LA,LB; end:
Dans ce qui suit LL contient la séquence formée des 2 listes des points Ak et Bk retournée par la fonction/procédure Phi; LL[1][n] est donc An et LL[2][n] est Bn.
64
> n:=30; LL:=Phi(A,u,B,v,vector([5,-6,7]),n): SAB:=seq(Dr(LL[1][k], evalm(LL[2][k]-LL[1][k]) ,t),k=1..n): SBA:=seq(Dr(LL[2][k], evalm(LL[1][k+1]-LL[2][k]),t),k=1..n-1):
:= n 30> A30:=LL[1][n-1];
A31:=LL[1][n]: B30:=LL[2][n-1]: Appartient(A,u,A30); Appartient(B,v,B30);
A3024825455427243697731236292223248263424758703639621
237675173582315707730476454143098700433084026716161, ,
:=
24825455427243697731236292223248263424758703639621
23767517358231570773047645414309870043308402671616
true
true
Les figures:
Une représentation paramétrique est en mathématiques une application t->M(t), nous en faisons une fonction/procédure MAPLE de la même façon. l'expression D1(t) est un argement de la fonction spacecurve qui permet le tracé de courbes paramétrées dans l'espace.
> Dr:=(A,U,t)->[seq(A[i]+t*U[i],i=1..3)]; D1:=t->Dr(A,u,t); D2:=x->Dr(B,v,x);
:= Dr → ( ), ,A U t [ ]( )seq , + Ai t Ui = i .. 1 3
:= D1 → t ( )Dr , ,A u t
:= D2 → x ( )Dr , ,B v x> spacecurve(D1(t),t=-7..7,color=black,thickness=3,li nestyle=0,
style=LINE): spacecurve(D2(x),x=-7..7,color=black,thickness=3,li nestyle=0,style=LINE):
65
D1D2:= %,%% :
> SABSBA:=spacecurve(SAB, t=0..1,color=red,thickness= 2), spacecurve(SBA, t=0..1,color=blue,thickness=2, orientation=[-143,88 ]): display(D1D2,SABSBA);G:=%:
>
66
Corrige de l’exercice 33On note comme dans l’enonce, Xn = xne1 + yne2. On suppose que (Xn)n converge dans E munide la norme N .
1. Par inegalite triangulaire, N(Xn) = N(xne1 + yne2) ≥ | |yn|N(e2)− |xn|N(e1) | ♥2. (a) Raisonnons par l’absurde, comme on nous y invite, et supposons que (xn)n 6→0.
La negation de∀ε > 0, ∃Nε, ∀n ∈ N, n ≥ Nε ⇒ |xn| ≤ ε,
s’exprime∃m > 0, ∀N, ∃nN ∈ N, n ≥ N et |xn| > m,
on obtient la suite extraite en choisissant n1 ≥ N = 1, n2 ≥ N = n1 + 1, etc...
(b) D’apres ♥,
|zp| :=|ynp|
|xnp|≤ 1
|xnp|N(Xnp
) + |xnp|N(e1)
N(e2)≤N(Xnp
)
mN(e2)+N(e1)
N(e2).
Comme la suite (N(Xnp))p converge vers 0, elle est bornee. (zp)p aussi.
(c) D’apres le theoreme de Bolzano-Weierstrass, (zp)p admet une sous-suite convergente :
zpq =ynpq
xnpq
→ α.
La contradiction est la, sous nos yeux :
Xnpq
xnpq
= e1 +ynpq
xnpq
e2...
3. On remplace (Xn)n par (Xn − L)n.
67
Corrige de l’exercice 35Soit (E, || ||), un espace norme,
1. Soit F un sev de dimension finie de (E,N). On considere une suite d’elements de F quiconverge dans E. Cette suite est une suite de Cauchy de (E,N) (car N(xp−xq) = N |E(xp−xq)) et aussi de (F,N |F ) (restriction de la norme N a F ).
Mais alors comme dim F est finie, cette suite converge dans le norme (F,N |F ); sa limite dansF pour N est la meme que sa limite dans E. F est donc ferme de l’espace (E,N).
2. Considerons maintenant F un sev ferme de E et G un sev de dimension finie de E.
(a) Comme G est de dimension finie, G∩F admet un supplementaire dans G. Notons doncG′ un tel supplementaire.
• On a F + G = F + G′. En effet, si x = f + g avec f ∈ F, g ∈ G, comme g est de laforme g = g1 + g2 ou g1 ∈ F ∩G, g2 ∈ G′, nous pouvons reecrire
x = f + g = (f + g1) + g2.
On a bien F +G = F ⊕G′.• La somme est directe car F ∩G′ = (F ∩G) ∩G′ = ∅.
(b) Soit (xn)n une suite d’elements de F +G qui converge vers ` ∈ E.i. Comme xn ∈ F +G = F +G′, on peut ecrire xn = an + bn avec an ∈ F et bn ∈ G′.ii. Si (bn)n est bornee, c’est une suite bornee dans un evn de dimension finie, elle admet
une sous-suite convergente (bnp)p; on a alors
limp→+∞
(anp + bnp) = `
comme (bnp)p converge, (anp
)p aussi. Comme F est ferme lim anp∈ F et l’on a
` = lim anp + bnp = a+ b ∈ F +G′.
iii. Lorsque (bn)n n’est pas bornee on considere une sous-suite (bnp)p telle que lim ||bnp
|| =+∞ et on divise
limp→+∞
(anp
||bnp ||+
bnp
||bnp ||
)= 0.
On est ramene au cas precedent (a′p + b′p)p a pour limite ` = 0 ∈ F +G avec (b′p)pbornee. Mais cette fois on obtient une contradiction car on devrait avoir lim b′p = 0(composante de ` = 0 ce qui n’est pas possible, la suite etant formee de vecteursunitaires ?
(c) Conclusion : toute suite de F +G qui converge a sa limite dans F +G qui est donc ferme(et de plus, les suites de composantes selon F ⊕G′ convergent vers les composantes de`.)
68
Corrige de l’exercice 49E est l’ev des fonctions de classe C1 sur [0, 1] a valeurs dans R.
1. On definit N en posant :
N(f) = |f(0)|+∫ 1
0
|f ′(t)| dt.
– N prend ses valeurs dans R+;– N(λ f) = |λ|N(f);
– N(f + g) = |f(0) + g(0)|+∫ 1
0|f ′(t) + g′(t)| dt ≤ N(f) +N(g)
( deux inegalites triangulaires et positivite de l’integrale) ;
– Enfin, si N(f) = 0, on a : |f(0)| = 0 et∫ 1
0|f ′(t)| dt = 0 (somme de deux positifs).
Comme |f ′| est a la fois positive et continue, si son integrale est nulle, elle est nulle sur[0, 1]. Ainsi, f est constante sur [0, 1] donc nulle car f(0) = 0.
2. Soit f de classe C1 sur [0, 1] et x ∈ [0, 1].
|f(x)| =∣∣∣∣f(0) +
∫ 1
0
f ′(t) dt
∣∣∣∣ ≤ |f(0)|+∫ 1
0
|f ′(t)| dt = N(f).
On a donc pour tout x ∈ [0, 1], |f(x)| ≤ N(f) donc
||f ||∞ = supx∈[0,1]
|f(x)| ≤ N(f).
– Considerons une suite (hn)n de E telle que limN(h− hn) = 0. Comme 0 ≤ ||h− hn||∞ ≤N(h− hn), on a aussi lim ||h− hn||∞ = 0.On peut donc enoncer que toute suite de E qui converge pour N converge pour || ||∞ etvers la meme limite.
– Il n’est par contre pas possible de deduire de cette seule inegalite que toute suite de Equi converge pour pour || ||∞ converge pour N.
(a) Le changement de variable
u = nπ t, dt =1
nπdu, t = 0↔u = 0, t = 1↔u = nπ,
donne ∫ 1
0
|gn(t)| dt =
∫ 1
0
| cos(nπ t)| dt =
∫ nπ
0
| cos(u)| dunπ
Comme la fonction g est π−periodique et paire :∫ nπ
0
| cos(u)| dunπ
=1
nπ
n−1∑k=0
∫ (k+1)π
kπ
| cos(u)| du
=1
π
∫ π
0
| cos(u)| du =1
π
∫ π/2
−π/2| cos(u)| du 2
π
∫ π/2
0
cos(u) du =2
π.
(b) On pose fn(t) =sinnπt
n.
• ||fn||∞ =1
net (fn)n tend vers 0 dans (E, || ||∞.
• N(fn) = |fn(0)| +∫ 1
0|π cos(nπt)| dt = 2. Cette suite ne converge pas vers 0 dans
(E,N).
(c) Ces deux normes ne sont donc pas equivalentes.
69
Corrige de l’exercice 58
1. R2[X] est un evn de dimension 3. La notion d’ouvert ou de ferme ne depend pas de la normechoisie puisque toutes les normes sont equivalentes. La partie A formee des polynomes dedegre 2 scindes a racines simples s’ecrit :
A = aX2 + bX + c/a 6= 0 ∩ aX2 + bX + c/b2 − 4ac > 0
(a 6= 0 car le degre est exactement 2, ∆ > 0 car le polynome est scinde a racines simples surR). C’est donc l’intersection de deux ouverts de R2[X].
En effet, les applicationsf : P (X) = aX2 + bX + c→ a
g : P (X) = aX2 + bX + c→ b2 − 4ac
sont continues et aX2 + bX + c/a 6= 0 = f−1(R∗), aX2 + bX + c/b2 − 4ac > 0 =g−1(]0,+∞[) sont ouverts comme images reciproques d’ouverts de R par des applicationscontinues.
2. La partie B formee des polynomes (de degres ≤ 2) scindes a racines simples s’ecrit
A = aX2 + bX + c/b2 − 4ac > 0
En effet, elle contient les polynomes de degre deux de discriminants positifs ainsi que lespolynomes de degre 1 (de la forme bX + c avec b 6= 0). C’est donc un ouvert de R2[X].
3. Soit E un K−evn et Φ : E → K, une forme lineaire sur E.
⇒ Si Φ est continue, Ker = φ−10 est un ferme (image reciproque d’un ferme de K);⇐ Supposons que Ker(φ) soit ferme.
• Nous allons montrer que la forme lineaire Φ est continue en 0. Pour cela on considere unesuite (xn)n d’elements de E qui converge vers 0 et on montre que lim Φ(xn) = Φ(0) = 0 ∈ K.On sait que le noyau d’une forme lineaire admet pour supplementaire une droite vectorielle,
soit Ker Φ + vect(d) = E. Chaque xn s’ecrit, avec des notations evidentes : xn = kn + αnd.Deux cas se presentent :
(a) (αn)n est une suite bornee de K = R ou C et alors il existe une suite extraite (αnp)p quiconverge. Comme knp + αnp d a pour limite 0, il vient lim knp = − limαnp d = −αd ∈KerΦ ∩ vect(d) = 0. On a donc
limn
Φ(xn) = limp
Φ(xnp) = limpαnpΦ(d) = 0.
(b) si (αn)n n’est pas bornee, il existe une suite extraite telle que lim |αnp | = +∞. On divisealors et il vient :
limknp
αnp
+ d = 0.
C’est ici qu’intervient l’hypothese sur le noyau : comme il est ferme
limknp
αnp
= −d ∈ KerΦ ∩ vect(d) = 0.
C’est la une contradiction et seul le premier cas est possible.
• Il ne reste plus qu’a montrer que si Φ est continue en 0 et lineaire, elle est aussi continueen tout x ∈ E. Pour cela on ecrit que Φ(xn)− Φ(x0) = Φ(xn − x) et le reste suit...
70
Corrige de l’exercice 66
1. Soit A > 0 tel que A > J(0). Comme lim||x||→+∞ J(x) = +∞, il existe R > 0 tel que||x|| > R⇒ J(x) ≥ A.Comme, par ailleurs J est continue, elle admet un minimum J(ω) sur la boule fermee B(0, R)qui est compacte. Ce minimum sur la boule est aussi un minimum global car J(ω) ≤ J(0) ≤J(x) si x /∈ B(0, R).
2. (a) Nous avons φ(1) = φ(0) +∫ 1
0φ′(u) du. Cela s’ecrit encore
J(y) = J(x) +
∫ 1
0
< ∇J(x+ u(y − x))|y − x > du
= J(x)+ < ∇J(x)|y − x > +
∫ 1
0
< ∇J(x+ u(y − x))−∇J(x)|y − x > du.
(b) Nous ecrironsJ(xk+1) = J(xk)+ < ∇J(xk)|xk+1 − xk >
+
∫ 1
0
< ∇J(xk + u(xk+1 − xk))−∇J(xk)|xk+1 − xk > du.
Cela donne, en remplacant xk+1,
J(xk+1)−J(xk) = −ρk(||∇J(xk)||2 +
∫ 1
0
< ∇J(xk + u(xk+1 − xk))−∇J(xk)|∇J(xk) > du
).
Majorons l’integrale :
∣∣∣∣∫ 1
0
< ∇J(xk + u(xk+1 − xk))−∇J(xk)|∇J(xk) > du
∣∣∣∣ ≤Mρk||∇J(xk)||2∫ 1
0
u du.
On en deduit que l’expression entre () est minoree par
||∇J(xk)||2(
1− M
2ρk
),
donc positive des que ρk ≤2
M. La suite (J(xk))k est decroissante sous ces conditions
et elle converge puisqu’elle est minoree.
(c) Si r > 0 est tel que J(x) > J(x0), la suite (xk)k est bornee et admet une sous suiteconvergente, la suite (J(xk)) converge elle aussi. On a toujours
J(xkp)− J(xkp+1)
ρkp≥ ||∇J(xkp)||2
(1− M
2ρkp
)> 0
Comme le membre de gauche a pour limite 0, on en deduit que ∇J(limxkp) = 0. Parunicite du point singulier, c’est la limite de (xkp)p. La suite (xk)k admet une seule valeurd’adherence, elle converge.
71
Corrige de l’exercice 67
1. Si la suite des vecteurs converge, les suites de coordonnees convergent. On note `i la limite
de (x(m)i )m.
De
x(m+1)i =
1
ai,i
bi,i −∑j 6=i
ai,jx(m)j
on passe a
`i =1
ai,i
bi,i −∑j 6=i
ai,j`j
On multiplie par ai,i il vient :
ai,i`i +∑j 6=i
ai,j`j = bi,i.
2. On observe en effet que
x(m+1)i =
1
ai,i
bi,i −∑j 6=i
ai,jx(m)j
est la iieme ligne de l’equation matricielle Xm+1 = D−1(b−(A−D)Xm), ce qui peut simplifierla programmation (mais pas son efficacite !) :
avec Maple (Ex1AlgLin254Jacobi.mws) avec Mathematica (ExAlgLinJacobi.nb)
J:=proc(A,b,X)
local n, d,e, k;
n:=rowdim(A);
d:=diag(seq(A[k,k],k=1..n));
e:=evalm(A-d);
evalm(d^(-1)&*(b-e&*X));
end:
A:=matrix(4,4,[[-1,2,3,4],[2,3,4,5],
[3,4,5,6],[4,5,6,-7]]);
b:=vector([1,2,1,2]);
X:=vector([1,1,2,1]);
for k from 1 to 12 do
X:= map(evalf,J(A,b,X));
od;
J[A_, b_, X_] := Module[n, D, E,
n = First[Dimensions[A]];
D = DiagonalMatrix[
Table[A[[i, i]], i, 1, n]];
E = A - D;
(Inverse[D].(b - E.X))
]
A = 12, 1, 1, 1, 1, 12, 1, 1,
1, 1, 12, 1, 1, 1, 1, 12
b := 1, 1, 1, 1
X = 0, 0, 0, 3.
For[i = 0, i < 12, i++,
X = J[A, b, X];
Print[X]]
Remarque de bons sens : Un jour d’oral, on peut aller plus vite avec une programmationad hoc. Par exemple : n :=rowdim(A) remplace par n :=4 pour aller vite et ne paschercher si on ne se souvient plus du nom des fonctions, ou placer n en argument. Idem pourle map(evalf,...) : il suffit d’envoyer des flottants en arguments)
72
3. Une idee elementaire pour les suites recurrentes sert ici. On va ecrire lorsque J(X∗) = X∗ :
Xn+1 −X∗ = J(Xn)− J(X∗).
L’equation AX = b s’ecrit aussi DX = b− (A−D)X ou encore
X = D−1(b− (A−D)X) = J(X).
• Si A est inversible et si X∗ est la solution, il vient donc
Xm+1 −X∗ = D−1(b− EXm)−D−1(b− EX∗) = D−1E(Xm −X∗).
Xm −X∗ = Jm(X0 −X∗) ou J = D−1E. (11.1)
• Si de plus A est a diagonale strictement dominante la matrice J verifie
Ji,i = 0
Ji,j =ai,jai,i
si i 6= j
∑j |Ji,j | ≤
∑j 6=i |ai,j ||ai,i|
< 1
Pour un vecteur Y quelconque
|[JY ]i| =
∣∣∣∣∣∣n∑j=1
Ji,jyj
∣∣∣∣∣∣ ≤n∑j=1
|Ji,j ||yj |
Posons α = supi
(∑j |Ji,j |
), on montre alors (recurrence) que
||Jn(X −X∗)||∞ ≤ Ctse× αn → 0.
• Si l’on sait ou demontre ou conjecture qu’une matrice a diagonale dominante est inversible(ce qui n’est pas du cours) la deuxieme hypothese seule suffit. Il n’y a pas de raison de lesavoir a priori.
73
Corrige de l’exercice 78Soit n ∈ N∗. On note E =Mn(K) l’espace vectoriel norme des matrices carrees a coefficients dansK = R ou C.
1. • Les applications Tr : M ∈ E → Tr(M) ∈ K et T : M ∈ E →tM ∈ E sont lineaires. Ellessont donc continues puisque l’espace de depart dans les deux cas est de dimension finie.
• La fonction det : M ∈ E → det(M) ∈ K verifie, lorsque n = 2, la relation
det
[a bc d
]= ad− bc,
c’est une fonction continue puisque polynomiale en les fonctions coordonnees qui sont conti-nues. On generalise en dimension quelconque avec la formule
det(A) =∑σ∈Sn
ε(σ)a1,σ(1)...an,σ(n)
qui est elle aussi polynomiale en les coordonnees.
• La fonction M ∈ GLn(K)→M−1 ∈ GLn(K) est donnee, lorsque n = 2, par la relation[a bc d
]−1
=1
ad− bc
[d −b−c a
].
C’est une fonction continue puisque ses 4 composantes sont continues. Ce sont, en effet,des fonctions rationnelles en les fonctions coordonnees qui sont continues. On generaliseen dimension n quelconque avec la formule
M−1 =1
det(M)tCom(M)
qui montre que les n2 composantes sont des fonctions rationnelles des coordonnees.
2. – l’ensemble GLn(K) des matrices inversibles est ouvert : c’est l’image reciproque de l’ouvertK∗ = K/0 par la fonction det qui est continue.
– le sous-espace des matrices symetriques est ferme : c’est l’image reciproque de 0 (matricenulle) par M →M −tM qui est lineaire de E dans lui-meme.Remarque : On peut aussi savoir qu’un sev de dimension finie est toujours ferme dansun evn.
– le sous-espace des matrices triangulaires superieures est ferme : c’est en effet l’intersection
desn(n− 1)
2fermes de E d’equations ai,j = 0 avec 1 ≤ j ≤ i ≤ n.
3. Soit a ∈ K, a 6= 0 et An =
[1 a
0 1 +1
n
].
(a) An est diagonalisable pour tout n ∈ N∗ puisque ses valeur propres 1 et 1 +1
nsont
distinctes. On a par ailleurs limAn =
[1 a0 1
].
(b) L’ensemble des matrices diagonalisables n’est pas ferme dans E : nous venons en effetde mettre en evidence une suite d’elements de cet ensemble qui converge en dehors de
cet ensemble (
[1 a0 1
]n’est pas diagonalisable puisque son spectre ne contient que 1 et
qu’elle n’est pas semblable a I2 si a 6= 0.)
4. On considere sur E la norme N(M) = max1≤i,j≤n |mi,j |.
74
(a) Soit ε > 0.
N
([1 00 1
]−
[1
ε
20 1
])=ε
2< ε.
(b) L’ensemble des matrices diagonalisables n’est pas ouvert dans E : aucune boule de centreI2 n’est contenue dans l’ensemble (et par definition O est ouvert ssi pour tout point deO, il existe une boule ouverte de centre ce point contenue dans O). Cela est verifie pourla norme N mais reste vrai pour toute norme equivalente, donc pour toute norme surE qui est de dimension finie.
5. On suppose dans cette question que K = R et que n = 2. Soit A =
(0 1−1 0
).
(a) A n’est pas diagonalisable dans M2(R) ni meme trigonalisable cas SpR(A) = ∅.tr(A)=0 et det(A)=1.
(b) On suppose que limAn = A. Notons λn et µn les valeurs propres de An(supposees reellespuisque la matrice An est diagonalisable dans M2(R)).
Comme la trace et le determinant sont des fonctions continues on a :
- lim tr(A) = lim(λn + µn) = tr(A) = 0;- lim det(A) = lim(λnµn) = det(A) = 1;
Le produit λnµn de limite 1 est > 1/2 a partir d’un certain rang. λn et µn sont donc dememe signe, l’un d’eux au moins admet donc une valeur absolue superieure a
√2 par
exemple. La somme ne peut avoir pour limite 0. Contradiction etablie.
(c) L’ensemble des matrices diagonalisables n’est pas dense dans E lorsque K = R puisque,par exemple, A n’est limite d’aucune suite de matrices diagonalisables.
6. Montrer que si E =M2(C), les matrices diagonalisables forment un sous-ensemble dense deE.
75
Index
adherence, 9, 11algebre
normee, 46algorithme
du gradient, 39application contractante, 22
Banachespace de Banach, 20exemples fondamentaux, 21
boule, 9fermee, 9ouverte, 9
caracterisation sequentiellede la continuite, 14des fermes, 10
compactdefinition sequentielle, 30proprietes, 30
comparaison des normes, 7, 53complet
espace, 20connexe par arc, 28constante
de Lipschitz, 14continuite
caracterisation en dim finie, 26caracterisation sequentielle, 14des fonctions, 14des fonctions coordonnees en dim finie, 26uniforme, 14, 18, 30
continuite des appl. lineairesrecettes pratiques, 44
continuite des coordonnees, 17convexe
projection, 32
definition sequentielledes compacts, 30
densepartie, 11
diffeomorphisme, 38
espacecomplet, 20de Banach, 20de Hilbert, 20
espace norme, 3
ferme, 9fonction
continue (exemples de), 16lipschtzienne, 14
frontiere, 9
gradientalgorithme, 39
Hilbertespace de, 20
homeomorphisme, 38
inegalites triangulaires, 3index
interieur, 9interieur, 9intersection
de fermes, 9finie d’ouverts, 9
limited’une fonction, 13d’une suite, 6
methodede Newton
racine carree d’une matrice, 38
Newtonmethode de, 38
norme, 3d’algebre, 43matricielle, 43subordonnee, 43
normes equivalentes, 8, 25normes usuelles
dans les espaces Kn, 3dans les espaces de suites, 4dans les espaces fonctionnels, 3
ouvert, 9
pointadherent, 9
polynomescinde sur R, 48
produitd’evn, 16
reunion
76
d’ouverts, 9finie de fermes, 9
Riemannlemme de, 13
suitede matrices, 48de Cauchy, 19
theoremeequivalence des normes en dim finie, 25Bolzano Weierstrass, 31CN de convergence des composantes, 24continuite applc. bil., 42continuite des appl. lineaires, 41continuite des appl. lineaires en dim finie,
27convergence des suites de Cauchy en dim
finie, 25CS de convergence des composantes, 24de Bolzano Weierstrass, 25de Heine, 18, 30du point fixe, 22fcts egales sur A dense, 12image d’un compact, 30images reciproques des ouverts et fermes
par une fonction continue, 15limite d’une fonction composee, 14
topologiesur Mn(R)), 48
77
![ANALYSE DANS LES ESPACES VECTORIELS NORMES · 2020-05-26 · Analyse dans les espaces norm´es 3 mars 2004 Exercice 1. Soit F l’ensemble des fonctions continues sur [a,b] a valeurs](https://img.dokumen.tips/doc/110x75/5f3f60999b173046827dd3a2/analyse-dans-les-espaces-vectoriels-normes-2020-05-26-analyse-dans-les-espaces.jpg)
