ESERCIZI SULLE PROPRIETA DEI LOGARITMI - Ripassiamo la definizione di logaritmo Definizione di logaritmo di b in base a Dati due numeri positivi a e b, il logaritmo di un numero b, detto argomento, rispetto a numero a, detto base, lesponente x a cui si deve elevare a per avere b. Si indica con x = log a b ; x il logaritmo di b rispetto ad a se a x = b 1 log 5 = 2 perch 5-2=1/25. Esempi: log 3 27 = 3 perch 33=27 25 IMPORTANTE Non esiste il logaritmo di 0 n di un numero negativo, perch per definizione a e b sono numeri positivi. La base del logaritmo a deve essere diverso da 1 perch 1x=b unequazione impossibile se b1 o indeterminata se b=1. Ricordiamo che: log a 1 = 0 perch ogni numero elevato a zero uguale a 1. log a a = 1 perch ogni numero elevato ad uno uguale a se stesso. - Ripassiamo ora le propriet dei logaritmi Le propriet fondamentali dei logaritmi sono tre: I) log a b c = log a b + log a c : il logaritmo del prodotto di due numeri positivi uguale alla somma dei logaritmi dei singoli fattori. Questa formula viene applicata anche al contrario ossia log a b + log a c = log a b c . b II) log a = log a b log a c : il logaritmo del quoziente di due numeri positivi uguale alla differenza c tra il logaritmo del dividendo e il logaritmo del divisore. b Questa formula letta anche al contrario ossia log a b log a c = log a . c n III) log a b = n log a b : il logaritmo della potenza di un numero positivo uguale al prodotto dellesponente della potenza per il logaritmo della base. n Questa formula pu essere applicata anche al contrario ossia n log a b = log a b . Queste formule, applicate da sinistra verso destra, si usano per risolvere i seguenti esercizi: - Applicando le propriet dei logaritmi sviluppare le espressioni di seguito indicate: 23 2 1 a2 5 b 3 a 3 (a 2 + 1) 1) log 2) log 2 3) log 4) log 1 4 4 b c 5a b2 2 2 3 : per sviluppare tale espressione si applica la formula del logaritmo di un quoziente 5a b 3 log a = log a b log a c in cui si sostituiscono b=3 e c=5a si ha dunque log = log 3 log 5 . c 5a 23 2 log 2 2) 2 : per sviluppare tale espressione si applica prima la formula del logaritmo di un 23 2 3 3 log 2 quoziente e si ha 2 = log 2 2 2 log 2 2 . In seguito al termine log 2 2 2 si applica la formula del prodotto log a b c = log a b + log a c dove b=2 e c= 3 2 e si ha log 2 23 2 = 1) log Esercizi svolti sulle propriet dei logaritmi Pr.ssa Rita Laudazi a. s. 2008/09 1

log 2 2 + log 2 3 2 , poi al termine log 2 3 2 applichiamo la formula del logaritmo di una potenza 1 log a b n = n log a b con b=2 e n= 1/3 e si ha log 2 3 2 = log 2 2 . Analogamente il secondo termine 3 23 2 1 1 1 log 2 - log 2 2 diventa - log 2 2 . Unendo il tutto si ha 2 = log 2 2 + 3 log 2 2 2 log 2 2. Per 2 23 2 1 1 6+23 5 log 2 = . finire, poich log 2 2 = 1 si ha che 2 = 1+ 3 2 = 6 6 a 3 (a 2 + 1) 3) log : per sviluppare tale espressione si applica prima la formula del logaritmo di un b2 a 3 (a 2 + 1) quoziente e si ha log = log a 3 (a 2 + 1) log b 2 . In seguito al termine log a 3 (a 2 + 1) si 2 b applica la formula del prodotto log a b c = log a b + log a c dove b=a3 e c= (a2+1) si ha log a 3 (a 2 + 1) = log a 3 + log( a 2 + 1) poi al termine log a 3 applichiamo la formula del logaritmo di una potenza log a b n = n log a b con b=a e n=3 e si ha log a 3 = 3 log a . Analogamente il secondo termine - log b 2 a 3 (a 2 + 1) = 3 log a + log( a 2 + 1) 2 log b. 2 b log( a 2 + 1) rimane invariato perch non c una formula che coinvolge la (si noti che il termine somma degli addendi nellargomento del logaritmo!) 1 a2 5 b 4) log 1 4 : per sviluppare tale espressione si applica prima la formula del logaritmo di un 4 b c 2 diventa - 2 log b . Unendo il tutto si ha log prodotto si ha log 12

1 a2 5 b 1 a2 5 b a2 5 b 4 log 1 + log 1 4 . In seguito al termine log 1 4 si applica la = 4 b c 4 2 2 b c 2 b c a2 5 b b4 c25 4 = log 1 a b log 1 b c ; in seguito con le formule del 2 2

formula del quoziente e si ha log 12

25 4 prodotto e del logaritmo di una potenza si continua a sviluppare gli addendi log 1 a b e log 1 b c 2 2

e si ha: log 1 a 2 5 b = log 1 a 2 + log 1 5 b = 2 log 1 a + 1 log 1 b 5 2 2 2 2 2 log 1 b 4 c = log b + log 4 c = log b + 1 log c . 1 1 1 1 2 4 2 2 2 2 1 1 1 a2 5 b 1 Unendo tutti i pezzi si ha log 1 4 = log 1 + 2 log 1 a + log 1 b log 1 b + log 1 c , ma 4 5 4 b c 4 2 2 2 2 2 2 1 1 1 4 1 a2 5 b log 1 = 2 si ha log 1 =2+ 2 log 1 a + log 1 b log 1 b + log 1 c =2+ 2 log 1 a log 1 b 4 4 5 4 5 4 b c 2 2 2 2 2 2 2 2 1 log 1 c . 4 2 Le stesse formule, applicate destra verso sinistra, si usano per risolvere unaltra tipologia di esercizi, Esercizi svolti sulle propriet dei logaritmi Pr.ssa Rita Laudazi a. s. 2008/09 2

linversa di quelli appena visti: - Applicandole propriet dei logaritmi scriviamo le seguenti espressioni sotto forma di un unico logaritmo: 1 1) log 3 + log 7 log 6 2) log 2 x log 2 ( x 1) + log 2 5 3) log 2 ( x 3) log 2 ( x 1) 1 4 1) log 3 + log 7 log 6 : per ridurre i primi due termini in un unico logaritmo usiamo la formula log a b + log a c = log a b c con b=3 e c=7 e si ha log 3 + log 7 log 6 = log(3 7) log 6 = log 21 log 6 ; applichiamo in seguito la formula del quoziente b 21 7 log a b log a c = log a con b=21 e c = 6 e si ha log 21 log 6 = log = log ; in definitiva si ha c 6 2 7 log 3 + log 7 log 6 = log . 2 2) log 2 x log 2 ( x 1) + log 2 5 : per ridurre tale espressione in un unico logaritmo applichiamo la formula log a b + log a c = log a b c al primo e al terzo termine con b = x e c = 5 e si ha log 2 x log 2 ( x 1) + log 2 5 = log 2 5 x log 2 ( x 1) ; applichiamo in seguito la formula del quoziente b 5x log a b log a c = log a con b=5x e c = (x-1) si ha log 2 5 x log 2 ( x 1) = log 2 . c x 1 1 3) log 2 ( x 3) log 2 ( x 1) 1 : prima di ridurre, notiamo che lultimo termine un numero, 1, e 4 non un logaritmo, quindi trasformiamolo in logaritmo. Poich gli altri logaritmi hanno come base 2 trasformiamo 1 in un logaritmo di base 2 e ricordando che log a a = 1 scriviamo 1 = log 2 2 . 1 1 Lesercizio log 2 ( x 3) log 2 ( x 1) 1 diventa log 2 ( x 3) log 2 ( x 1) log 2 2 . Per ridurre tale 4 4 n espressione in un unico logaritmo applichiamo la formula n log a b = log a b al secondo termine che 1 1 diventa log 2 ( x 1) = log ( x 1) 4 = log 2 4 x 1 . Riscriviamo log 2 ( x 3) log 2 4 x 1 log 2 2 = 2 4 log 2 ( x 3) (log 2 4 x 1 + log 2 2) e applichiamo la formula log a b + log a c = log a b c al secondo e al terzo termine con b = 4 x 1 e c = 2 si ha log 2 ( x 3) (log 2 4 x 1 + log 2 2) = log 2 ( x 3) (log 2 24 x 1) ; per finire applichiamo la formula b del quoziente log a b log a c = log a con b = (x-3) e c = 24 x 1 si ha log 2 ( x 3) (log 2 24 x 1) = c ( x 3) log 2 4 . 2 x 1

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