ESERCIZI DELLA SETTIMANA

Enrico Massoni e Nicola Pellicanò

April 20, 2013

Trovare il dominio delle seguenti funzioni e tracciarne il gra�co

1. f(x, y) =√

|y2−x2|log(x2+y2−1)

Raccogliamo a sistema tutte le condizioni|y2−x2|

log(x2+y2−1) ≥ 0

log(x2 + y2 − 1) 6= 0

x2 + y2 − 1 > 0

Siccome il modulo è sempre positivo la prima condizione equivale a imporreil denominatore > 0log(x2 + y2 − 1) > 0

log(x2 + y2 − 1) 6= 0

x2 + y2 − 1 > 0

{log(x2 + y2 − 1) > 0

x2 + y2 − 1 > 0

{x2 + y2 − 1 > 1

x2 + y2 − 1 > 0

{x2 + y2 > 2

x2 + y2 > 1

Sono condizioni su due circonferenze. Essendo un sistema i valori da prenderesono esterni alla circonferenza più ampia, quindi la prima (raggio sqrt(2)=1.42).

1

domf = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 > 2}

2.f(x, y) = log(49− x2) +√

arctan(|y−8|)x2+y2−49

49− x2 > 0arctan(|y−8|)x2+y2−49 ≥ 0

x2 + y2 − 49 6= 0

Notiamo come l'arcotangente di un numero sempre positivo è sempre positiva,quindi la condizione diventa

49− x2 > 0

x2 + y2 − 49 > 0

x2 + y2 − 49 6= 0

{49− x2 > 0

x2 + y2 − 49 > 0

{−7 < x < 7

x2 + y2 > 49

2

domf = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 > 49 ∧ −7 < x < 7}

3.f(x, y) = tan(yx

)tan

(yx

)=

sin( yx )

cos( yx )

{x 6= 0

cos(yx

)6= 0 =⇒ y

x 6=π2 + kπ =⇒ y 6=

(π2 + kπ

)x

domf = {(x, y) ∈ R2 : x 6= 0 ∧ y 6=(π2 + kπ

)x}

Il dominio è rappresentato da tutto il piano tranne l'asse y (prima condizione)ed un fascio di rette con centro l'origine e coe�cienti angolari π2 + kπ (disegno

3

improponibile ;) )

4. f(x, y) = arcsin(x−yx+y

)La condizione da ricordare sull'arcsin è che l'argomento deve essere in mod-ulo minore di 1!

{x+ y 6= 0

−1 ≤ x−yx+y ≤ 1

x+ y 6= 0x−yx+y + 1 ≥ 0x−yx+y − 1 ≤ 0y 6= −xx−y+x+y

x+y ≥ 0x−y−x−y

x+y ≤ 0

y 6= −x2xx+y ≥ 0−2yx+y ≤ 0

Abbiamo quattro casi distinti, in quanto la seconda condizione si distingue indue casi e la terza in altri due (dobbiamo incrociare le varie possibilità)

y 6= −x2x ≥ 0

x+ y > 0

−2y ≤ 0

x+ y > 0

y 6= −x2x ≥ 0

x+ y > 0

−2y ≥ 0

x+ y < 0

y 6= −x2x ≤ 0

x+ y < 0

−2y ≤ 0

x+ y > 0

y 6= −x2x ≤ 0

x+ y < 0

−2y ≥ 0

x+ y < 0

A causa delle condizioni 3 e 5 il secondo e il terzo sistema non danno soluzione.Per quanto riguarda gli altri 2 abbiamo

y 6= −xx ≥ 0

y > −xy ≥ 0

4

che, eliminando le informazioni ridondanti vuol dire

{x ≥ 0

y ≥ 0, escluso il punto

(0,0)

y 6= −xx ≤ 0

y < −xy ≤ 0

che, eliminando le informazioni ridondanti vuol dire

{x ≤ 0

y ≤ 0, escluso il punto

(0,0)

Il dominio (se volete disegnarlo) è rappresentato dal primo e dal terzo quad-rante, assi inclusi, origine esclusa.

domf = {(x, y) ∈ R2 : [(x ≥ 0 ∧ y ≥ 0) ∧ (x ≤ 0 ∧ y ≤ 0)] \ {0, 0}}

Determinare le linee di livello e l'immagine delle seguenti funzioni (l'immagineal tutorato non l'abbiamo citata ma come in analisi 1 non è altro l'intervallo divalori che può assumere f(x,y) [al tutorato il caso del piano era tutto R mentre1/(x^2+y^2) presupponeva che la f potesse assumere solo valori positivi])

1. f(x, y) = 2x− 5y

Fatto a tutorato [messo per errore]

5

2.f(x, y) = x2y

Im(f) = R, non c'è alcun limite ai valori di z

Fisso uno z particolare

z0 = x2y =⇒ y = z0x2

Studio dei casi notevoli z0=0, z0=1, z=-1

Per z0=0 ho y=0, quindi la linea di livello è l'asse x (attenzione che anchecon x=0 ho z=0 quindi la linea di livello 0 è l'incrocio degli assi x e y! [asse ynon riportato erroneamente nel disegno �nale])

Per z0=1 ho y = 1x2 ,che ha gra�co

Per z0=-1 ho y = − 1x2 , che ha gra�co

Deduciamo da ciò che le linee di livello sono del tipo

6

3. f(x, y) = xy

Im(f) = R

z0 = xy =⇒ y = z0x

Stavolta abbiamo, per z0=1

7

Mentre per z0=-1

Con un risultato del tipo

4. f(x, y) =√x2 + 4y2

Im(f) = [0,+∞), la radice pretende valori di z unicamente positivi

8

z0 =√x2 + 4y2 =⇒ x2 + 4y2 = z20

Per z0=0 (caso patologico) abbiamo il punto (0,0), altrimenti

x2

z20+ 4y2

z 20

= 1, ellissi di dimensione dipendente da z0. Sostituento qualche z0 a

piacere si ottiene

N.B L'origine c'è ma non si vede

5. f(x, y) =√

y2x2+1

Im(f) = [0,+∞)

z0 =√

y2x2+1 =⇒ z20(2x

2 + 1) = y =⇒ y = 2z20x2 + z20

Con z0=0 ho y=0 (asse x) [non c'è l'asse y]

Negli altri casi ho delle parabole di centro traslato sull'asse y ed ampiezza cheaumenta al diminuire di z0

(le parabole sono solo sopra l'asse x in quanto il vertice è sempre positivo ela parabola va sempre verso l'alto [il dominio y>0 deve essere rispettato ovvia-mente])

9

Disegnare il gra�co delle seguenti funzioni

1. z =√−(x− 1)2 + 5− y2

Noto come è una funzione di tipo sferico. Il raggio è√5, prendo la semis-

fera positiva e noto come il centro della sfera non è l'origine, ma il punto (1,0,0)

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2. y = 5 + (x+ 2)2 + z2

Noto che è una funzione di tipo paraboloide. Il paraboloide attenzione cheè rispetto all'asse y ( non z come al solito), quindi dovremo disegnarlo orizzon-tale verso l'asse y. Il vertice inferiore è nel punto (-2,5,0)!

11

N.B. Sono orgoglioso di questo disegno

3. y = −√2− x2 − z2[come avrete notato c'era un errore nella traccia}

Si tratta di una semisfera negativa non rispetto al piano z=0 ma rispetto alpiano y=0! Il raggio è

√2

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Calcolare il gradiente delle seguenti funzioni

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1.f(x, y) = y2e−x

domf = R2

∇f =(−y2e−x, 2ye−x

)

2.f(x, y) = log(x2 + y2)

domf = R2 \ (0, 0)

∇f =(

2xx2+y2 ,

2yx2+y2

)

3. f(x, y) = ex/y

domf = {(x, y) ∈ R2 : y 6= 0}

∇f =(

1y ex/y,− x

y2 ex/y)

4.f(x, y) = tan(yx

)domf = {(x, y) ∈ R2 : x 6= 0 ∧ y 6=

(π2 + kπ

)x}

∇f =(

−yx2cos2(y/x) ,

1xcos2(y/x)

)

5. f(x, y) = ylog(x)

domf = {(x, y) ∈ R2 : y > 0 ∧ x > 0}

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∇f =(log(y)x ylog(x), log(x)ylog(x)−1

)

Calcolare la matrice Hessiana delle seguenti funzioni

1. f(x, y) =√y − 2x2

domf = {(x, y) ∈ R2 : y ≥ 2x2}

∇f =

(− 2x√

y−2x2, 1

2√y−2x2

)dom∇f = {(x, y) ∈ R2 : y > 2x2}derivate con-

tinue all'interno del dominio, dunque vale teorema di Schwarz

Hf =

(∂2f∂x2

∂2f∂y∂x

∂2f∂yx∂y

∂2f∂xy2

)=

(−2y

(y−2x2)3/2x

(y−2x2)3/2x

(y−2x2)3/2− 1

4(y−2x2)3/2

)

2.f(x, y) = log( 1x+y )

domf = {(x, y) ∈ R2 : y > −x}

∇f =(− 1x+y ,−

1x+y

)

Hf =

(1

(x+y)21

(x+y)21

(x+y)21

(x+y)2

)

Calcolare le seguenti derivate direzionali

1. f(x, y) = x2 − xy − 2 in P(1,0) nella direzione (2,1)

domf = R2, (è bene controllare che il punto stia nel dominio)

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∇f = (2x− y,−x)

∇f(1, 0) = (2,−1)

∂f∂~v (1, 0) = ∇f(1, 0) • ~v = (2,−1) • (2, 1) = 4− 1 = 3

2. f(x, y) = excosy in P(0,0) nella direzione (1,2)

∇f = (excosy,−exsiny)

∇f(0, 0) = (1, 0)

∂f∂~v (0, 0) = ∇f(0, 0) • ~v = (1, 0) • (1, 2) = 1

Calcolare il piano tangente al gra�co di f nei punti indicati

1. f(x, y) = x4 − x2y2 − 2x2 + 2y2 in P(1,1,0)

Ricordiamo che il piano tangente ha formula

z = z0 +∇f(x0, y0) • (x− x0, y − y0)

∇f =(4x3 − 2xy2 − 4x,−2x2y + 4y

)∇f(1, 1) = (−2, 2)

z = 0 + (−2, 2) • (x− 1, y − 1) = −2(x− 1) + 2(y − 1) = −2x+ 2y

2.f(x, y) =√x2 + y2in P(2,0,2)

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∇f =

(x√x2+y2

, y√x2+y2

)

∇f(2, 0) = (1, 0)

z = 2 + (1, 0) • (x− 2, y) = 2 + x− 2 = x

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