Esercitazioni di Modellistica e Simulazione 1 1

Modellistica e simulazione1 Esercitazione 3

Sommario:

- Algoritmi di discretizzazione

- Taratura dei parametri di un modello

Esercitazioni di Modellistica e Simulazione 1 2

Richiami: SIMULAZIONE di un sistema dinamico

dato un sistema dinamico:

continuo discreto

calcolare il movimento delle variabili di stato e di uscita

Esercitazioni di Modellistica e Simulazione 1 3

Richiami: SIMULAZIONE di un sistema dinamico

cosa serve ?1. un sistema dinamico completamente definito 2. orizzonte di simulazione3. funzioni di ingresso u(•) definite su tutto l’orizzonte

calcolare le traiettorie delle variabili di stato e di uscita

Esercitazioni di Modellistica e Simulazione 1 4

Il caso dei sistemi DISCRETICOME FUNZIONA

- fissato un’orizzonte H (ad es. 10 istanti)

- noti i parametri che definiscono il sistema [se lineare note le matrici A, B, C, (D)]

- dato lo stato iniziale (t=0):

- definita una funzione di ingresso u(•) su tutto H:

oppure

Esercitazioni di Modellistica e Simulazione 1 5

Il caso dei sistemi DISCRETI COME FUNZIONA

calcolo iterativamente i valori di x(t) con t=1, 2, ..., H:

se il sistema è lineare

con 1,2,...,H

Esercitazioni di Modellistica e Simulazione 1 6

Esempio di un sistema discretosistema a 3 serbatoi

eq. di stato:

eq. di uscita:

parametri:

equilibrio:

se

Esercitazioni di Modellistica e Simulazione 1 7

Esempio di un sistema discretosistema a 3 serbatoi

1 2 3 ... ... 10

2 2 2 ... ... 2

2 2 2 ... ... 2

0 4 4 ... ... 4

t

stato iniziale:

ingresso:

parametri:

orizzonte: H=10

dopo due passiè all’equilibrio!!

Esercitazioni di Modellistica e Simulazione 1 8

Esempio di un sistema discretosistema a 3 serbatoi

stato iniziale:

ingresso:

parametri:

1 2 3 ... ... 10

2 3 3,5 ... ... ...

2 3 3,5 ... ... ...

0 2 3 ... ... ...

t

orizzonte: H=10

non è ancora arrivatoall’equilibrio!!

Esercitazioni di Modellistica e Simulazione 1 9

Il caso dei sistemi CONTINUI

sistema di equazioni differenziali

- dato lo stato iniziale (t=0):

- fissato un’orizzonte H (ad es. 10 istanti)

- noti i parametri che definiscono il sistema [se lineare note le matrici A, B, C, (D)]

- definita una funzione di ingresso u(•) su tutto H

Esercitazioni di Modellistica e Simulazione 1 10

Il caso dei sistemi CONTINUIsoluzione analitica

sistema di equazioni differenziali

1. sistemi semplici (caso raro): integro le equazioni differenziali (soluzione analitica)

es. sistema lineare con u(•)=0: ( )dx tx t x t

dt &

0 0

1x t

x

dx adtx

(0) tx t x e

equazione del movimento

Esercitazioni di Modellistica e Simulazione 1 11

Il caso dei sistemi CONTINUImetodi di discretizzaione

sistema di equazioni differenziali

2. caso generale su calcolatore: approssimo

cioè approssimo la derivata con il rapporto incrementale

diversi metodi a seconda di come viene calcolata

esplicitiimplicitia un passoa più passi

Esercitazioni di Modellistica e Simulazione 1 12

Metodo di EULERO

discretizziamo:

Es. massa-mollaMK U

Esercitazioni di Modellistica e Simulazione 1 13

Metodo di RUNGE-KUTTA

Esercitazioni di Modellistica e Simulazione 1 14

Metodo di RUNGE-KUTTA

Esercitazioni di Modellistica e Simulazione 1 15

Metodo di RUNGE-KUTTA

esempio monodimensionale:

........

Esercitazioni di Modellistica e Simulazione 1 16

Metodo di RUNGE-KUTTA

caso bidimensionale

Esercitazioni di Modellistica e Simulazione 1 17

Metodo di RUNGE-KUTTA

esempio bidimensionale: massa-molla MK U

.... continua

p1

f1

Esercitazioni di Modellistica e Simulazione 1 18

Excel

Foglio Excel

Esercitazioni di Modellistica e Simulazione 1 19

Osservazioni

1. Più il passo è piccolo: - più il metodo è preciso- maggiori sono i tempi di calcolo

2. Se il movimento calcolato è instabile:- riduco il passo- cambio metodo

Se è ancora instabile lo è strutturalmente

Esercitazioni di Modellistica e Simulazione 1 20

Modelli deterministici

Per alcuni modelli i parametri rappresentano dei coefficienti misurabili

Per altri modelli i parametri non sono misurabili ma vanno stimati

( )p t

a t

MK U

Esercitazioni di Modellistica e Simulazione 1 21

Richiami: taratura di un modello lineare

Modello:

Coefficiente di oblio

Parametri:

forma ricursiva

Dati Stima

Innovazione

Esercitazioni di Modellistica e Simulazione 1 22

Esempio: Valore medio (1)T

arat

ura

di u

n m

odel

lo li

near

e

Dati:

Modello:

Qual’è la retta orizzontale che passa più vicino a tutti i punti?

Esercitazioni di Modellistica e Simulazione 1 23

Esempio: Valore medio (2)

Dati:

Modello:

Tar

atur

a di

un

mod

ello

line

are

Esercitazioni di Modellistica e Simulazione 1 24

Esempio: Regressione lineare (1)T

arat

ura

di u

n m

odel

lo li

near

e

Dati:

Modello:

Qual’è la retta passante per l’origine che passa più vicino a tutti i punti?

Esercitazioni di Modellistica e Simulazione 1 25

Esempio: Regressione lineare (2)

Dati:

Modello:

Tar

atur

a di

un

mod

ello

line

are

Esercitazioni di Modellistica e Simulazione 1 26

Esempio: Ticino e Po (1)

B

A

C

scala di deflusso

Esercitazioni di Modellistica e Simulazione 1 27

Esempio: Ticino e Po (2)T

arat

ura

di u

n m

odel

lo n

on li

near

e

Dati:

Parametri:

Come posso calcolare la portata nel tratto A?

A

B

C

scala di deflusso

rigurgito

Esercitazioni di Modellistica e Simulazione 1 28

Esempio: Ticino e Po (3)T

arat

ura

di u

n m

odel

lo n

on li

near

e

Scomposizione:

Linearizzazione:

Modello: