1

ESERCITAZIONE 6

15 maggio 2014.

Premessa

* massimizzazione del profitto di monopolio (in generale):

MR= MC

* I ricavi marginali, in generale:

MR =

Se la funzione di domanda è lineare, il ricavo marginale si può trovare rapidamente:

p(y) = a – by

MR(y) = a – 2by

Esercizio 1

1.1.

La funzione di domanda inversa è

.

Attenzione! Per trovare i ricavi totali partiamo dalla curva di domanda inversa (prezzo in funzione della

quantità).

Di conseguenza, i ricavi totali in funzione della quantità sono:

( ) (

)

I ricavi marginali, derivando TR rispetto alla quantità:

MR =

=

N.B.: essendo la funzione di domanda lineare, avremmo potuto trovare i ricavi marginali anche a partire

dalla funzione di domanda,

(cfr. la Premessa).

Per massimizzare il ricavo totale, F.O.C. (First Order Condition):

MR =

= 0

Risolvendo, q = 100 è la quantità che massimizza i ricavi totali.

2

Per qualsiasi funzione di costo, al monopolista non converrebbe mai superare il livello di output in cui si

massimizzano i ricavi. Infatti, per q > 100 i ricavi marginali diventano negativi e, dunque, i ricavi totali

cominciano a diminuire (a riprova di questa riflessione, si consideri che proprio in corrispondenza di q =

100 l’elasticità della domanda al prezzo è uguale a 1 …).

1.2.

Per risolvere l’esercizio bisogna ricordare che il monopolista non sceglie mai di produrre nei tratti in cui

la curva di domanda è inelastica: qualsiasi punto in cui |ε| < 1 non può rappresentare per il monopolista

un punto di massimo profitto, dato che il profitto potrebbe essere aumentato producendo una quantità

minore di output.

Anzitutto, usando la funzione di domanda si determina il prezzo che corrisponde a q = 160:

10

Elasticità della domanda al prezzo:

Essendo | | , la quantità q = 160 corrisponde al tratto inelastico della curva di domanda: non si può

perciò trattare di una situazione compatibile con l’equilibrio di monopolio.

1.3.

Se i costi medi sono costanti, allora anche i costi marginali sono costanti:

LAC(q) = 20 ⇒ LMC(q) = 20

Massimizzazione del profitto Π in monopolio:

maxq TR(q) – TC(q) ⇒ F.O.C.: MR = MC

3

= 20

q* = 60

Sostituendo nella funzione di domanda, trovo il prezzo:

35

Profitto in equilibrio (1):

Π = TR – TC = 35 60 = 900

Nero: LAC e LMC (coincidono perché LAC costanti)

Rosso: MR

Blu: funzione di domanda

Punto arancione: p e q di equilibrio

Area del rettangolo verde: profitti

1.4.

Perdita netta di monopolio: il monopolista produce una quantità di output inferiore a quella

concorrenziale e quindi la soluzione non è Pareto-efficiente.

Per quantificare la perdita netta di monopolio, bisogna confrontare l’equilibrio di concorrenza perfetta

con quello di monopolio:

Equilibrio di concorrenza

perfetta Equilibrio di monopolio

p = MC MR = MC

1 Attenzione, se i costi medi AC sono costanti, allora i costi totali TC sono TC = AC · q.

4

Equilibrio in concorrenza perfetta:

p = MC

Essendo

e MC = 20:

Risolvendo, qconcperfetta = 120

E il prezzo, p = MC = 20

Riprendiamo ora il grafico precedente, evidenziando l’equilibrio di monopolio e quello di concorrenza

perfetta:

La perdita netta di monopolio corrisponde all’area del triangolo rosso:

Perdita netta di monopolio = ( ) ( )

1.5.

Nel monopolio naturale il livello di produzione efficiente (p = MC) non consente al monopolista di

coprire i costi (ossia, p < AC).

Nel caso dell’esercizio, abbiamo però che AC = MC = 20. Producendo la quantità per cui p = MC = 20,

ossia q = 60, il monopolista riuscirebbe allora a coprire i propri costi e, nello specifico, il profitto del

monopolista sarebbe nullo (2). Di conseguenza, quello considerato non è un caso di monopolio naturale.

1.6.

L’introduzione di una tassa t sulla quantità determina un aumento dei costi marginali MC in misura pari

all’ammontare della tassa: la curva del costo marginale MC si sposta verso l’alto, diventando MC + t. L’intersezione tra MR e MC si sposta verso sinistra.

2 Tutto questo si nota anche dal primo grafico disegnato: se si produce q = 20, l’area del rettangolo verde si azzera.

5

Anzitutto, utilizzando la funzione di domanda si determina la quantità che corrisponde al prezzo di

mercato pari a 40:

q** = 200 – 4 40

Ora si determinano i MR corrispondenti:

MR(q = 40) = 50 – ½ q = 50 – ½ 40 = 30

In equilibrio di monopolio, MR = MC. Dunque, i costi marginali del monopolista in presenza della tassa

sono uguali a 30. Dal momento che in assenza della tassa i costi marginali erano uguali a 20, questo

significa che la tassa è pari alla variazione dei costi marginali, ossia 30 – 20 = 10.

Infine, è possibile notare che il prezzo è aumentato da 35 a 40, ossia di una misura uguale a metà della

tassa (t = 10): si tratta di un risultato legato al fatto che la curva di domanda è lineare.

Il gettito fiscale:

T = 10 · 40 = 400

1.7.

Nel caso di una tassa sui profitti, il monopolista deve versare una quota τ del proprio profitto allo Stato. Il

problema di massimizzazione diventa:

( ) ( ) ( )

Il problema è interpretabile nel modo seguente: si tratta dei ricavi meno i costi, il tutto moltiplicato per il

complemento a 1 dell’aliquota τ. Va notato che il valore di y che massimizza il profitto in assenza della

tassa sui profitti coincide con il valore che massimizza anche il prodotto tra il profitto e il termine

( ). Di conseguenza, una tassa sui profitti non influirà in alcun modo sulla scelta dell’output del

monopolista (3).

Svolgendo il punto 1.6., si è visto che T = 400. Abbiamo appena concluso che una tassa sui profitti non

influisce sulla scelta della quantità ottima, che sarà dunque ancora pari a 60 con un profitto al lordo

dell’imposta Π = 900. Volendo ottenere un gettito fiscale pari a 400:

L’aliquota deve essere pertanto pari al 44%.

Esercizio 2

2.1.

I costi medi sono costanti e uguali a 30, dunque:

AC = MC = 30

Se non può operare alcuna discriminazione, il monopolista fronteggia l’intera domanda di mercato.

Bisogna antitutto considerare che il massimo prezzo che il monopolista può praticare sul mercato 2

(curva di domanda più bassa) è p = 50. Per 50 < p 500 la domanda dell’intero mercato coincide con la

domanda del mercato 2 (curva di domanda più alta).

3 La spiegazione è anzitutto di carattere matematico. Per dato valore di τ, il calcolo della F.O.C. porta comunque

allo stesso risultato determinato svolgendo il punto 1.3.

6

Si esprimono le due funzioni di domanda in forma diretta:

Poi, tenendo conto di quanto appena ricordato:

per , la domanda è:

per , la domanda è:

Per massimizzare il profitto bisogna applicare l’usuale uguaglianza tra ricavi marginali e costi marginali.

Come si evince dal grafico, il monopolista sceglie di servire solo il primo tipo di consumatori (4). Perciò:

maxq TR1 – TC1 ⇒ F.O.C.: MR1 = MC1

MR1 = q* = 117,5

Sostituendo nella funzione di domanda:

p* = 500 – 2 · 117,5 = 265

Profitto:

Π = 265 · 117,5 – 30 · 117,5 = 27.612,5

4 Si osservi l’andamento dei ricavi marginali (MR 1 e 2) riferiti alla domanda calcolata come somma delle domande

dei due tipi di consumatori. Tali ricavi marginali si trovano a partire dalla funzione di domanda q =

,

quindi p = 200 – 2/3 q e MR = 200 – 4/3 q. Come si nota, per livelli della quantità superiori a 150 i ricavi marginali

MR 1 e 2 sono negativi.

7

2.2.

Discriminazione dei prezzi di 1° grado (o discriminazione perfetta dei prezzi): il monopolista vende

ciascuna unità del bene al prezzo massimo che è in grado di esigere. Cioè, ciascuna unità è venduta al

consumatore che le attribuisce il valore più alto al massimo prezzo al quale il consumatore è disposto ad

acquistarla.

L’intero surplus spetta al produttore (tutto PS, mentre CS = 0).

La massimizzazione del profitto avviene in corrispondenza della quantità di equilibrio che (attenzione!)

in questa particolare forma di monopolio corrisponde al livello di output per cui il prezzo è uguale al

costo marginale. Quindi, è importante non fare confusione: nella discriminazione di 1° grado si ottiene

questo particolare risultato per cui il monopolista produce la quantità in corrispondenza della quale p =

MC. Va inoltre notato che si tratta della stessa quantità che si produrrebbe in un mercato perfettamente

concorrenziale. Vi è però un’importante differenza:

Equilibrio di concorrenza

perfetta

Equilibrio, monopolio

con discriminazione

di 1° grado

p = MC

massimizzato CS

p = MC

massimizzato PS

Ossia:

q* : p = MC

Che sul mercato 1 vuol dire:

= 30

E sul mercato 2:

= 30

8

I profitti del monopolista coincidono con le aree rappresentanti il surplus (colorate in figura):

Domanda 1

Retta orizzontale verde: MC

In nero la funzione di domanda

In verde l’area PS1.

Similmente, domanda 2:

Π1 = ( )

= 55.225

Π2 = ( )

= 200

ΠTOT = 55.225 + 200 = 55.425

9

2.3.

Discriminazione di III grado: il monopolista pratica un prezzo diverso nei due mercati, poiché è in grado

di distinguere i due gruppi di consumatori (es.: prezzi del biglietto del cinema più basso per studenti con

meno di 25 anni). Bisogna allora cercare il prezzo ottimo in ciascun mercato.

Il problema di ottimo è espresso considerando i ricavi sul mercato 1 e sul mercato 2, nonché i costi totali

legati alla produzione dell’output complessivo:

( )

La soluzione ottima sarà allora:

MR1 = MC

MR2 = MC

Il costo marginale deve cioè essere uguale al ricavo marginale in ciascun mercato:

MR1 = MC, ossia: MR2 = MC, ossia:

Da cui:

Sostituendo le quantità nelle rispettive funzioni di domanda:

ΠTOT = ( ) = 265 ( )

Graficamente:

10

Verde: AC = MC

In nero le due funzioni di domanda

In fucsia i ricavi marginali

In arancione, i punti (p; q) di equilibrio relativamente ai due tipi di consumatori.

Perdita netta di monopolio nei due mercati: come nell’Esercizio 1.4, si calcola confrontando con

l’equilibrio di concorrenza perfetta. Rispetto al caso 1.4, qui è però necessario fare il calcolo rispetto a

due mercati.

Perdita netta, consumatore 1 = ( ) ( )

=

Perdita netta, consumatore 2 = ( ) ( )

=

Perdita secca totale = 13.806,25 + 50 = 13.856,25

Esercizio 3

3.1.

Il monopolista che richiede una tariffa a due parti massimizza il profitto:

fissando una tariffa variabile p uguale al costo marginale, che gli consente dunque di vendere la

massima quantità possibile di output e

fissando un canone ad un livello tale da sottrarre tutto il surplus del consumatore (area in verde

nel grafico).

Di conseguenza, la tariffa variabile è:

p = MC

MC =

p = MC = 10

Sostituendo nella funzione di domanda il valore p = 10:

p = 60 − 2q

si ottiene:

q* = 25

Il canone totale fissato in modo tale da “privare” il consumatore di tutto il suo surplus (area del triangolo

verde):

κ = CS = ( )

11

3.2.

Il profitto del monopolista è 625, ossia esattamente uguale al canone applicato. Infatti:

ΠTOT = entrate da tariffa variabile + canone – costi totali

Dunque:

ΠTOT = 10

Con le entrate da tariffa variabile si coprono interamente i costi totali.

Dal punto di vista dell’efficienza, prezzo e quantità di equilibrio sono gli stessi che si avrebbero in

concorrenza perfetta perché sono ottenuti dall’uguaglianza tra prezzo e costi marginali (p = MC). La vera

differenza sta nella distribuzione del surplus, con un risultato che è esattamente opposto rispetto alla

concorrenza perfetta: il surplus totale coincide infatti con il surplus del produttore, mentre il surplus dei

consumatori è azzerato in quanto “assorbito” dal canone.

3.3.

Anche nel caso di perfetta discriminazione di prezzo, il monopolista sceglie di produrre la quantità in

corrispondenza della quale si verifica l’uguaglianza tra prezzo e costi marginali (si veda l’esercizio 2.2):

p = MC ⇒ p = 10

Sostituendo nella funzione di domanda il valore p = 10:

q* = 25

Anche in questo caso, il surplus del monopolista coincide con il surplus totale: Π = ( )

Il grafico è lo stesso del 3.1: l’unica differenza, più formale che sostanziale, è che l’area verde non

rappresenta il canone ma il risultato della discriminazione perfetta dei prezzi.

Esercizio 4

4.1.

Il monopolista non può praticare alcuna discriminazione di prezzo.

Massimizzazione del profitto Π:

maxq TR(q) – TC(q) –> F.O.C.: MR = MC

MR = 20 – 2q

(si ricordi che se la domanda è lineare, per trovare MR basta moltiplicare per 2 il coefficiente angolare).

12

MC =

2

MR = MC

20 – 2q = 2

Risolvendo, q = 9

Sostituendo nella funzione di domanda espressa in forma inversa:

p = 20 – q = 20 – 9 = 11

Profitto del monopolista:

Π = TR – TC = 11 · 9 – 2 · 9 = 81

Retta orizzontale verde: MC = AC

In nero, domanda e MR

Rettangolo arancione: profitto del monopolista

Triangolo verde: surplus del consumatore

CS = ( )

4.2.

Discriminazione perfetta: il monopolista vende ogni unità al consumatore che le attribuisce il valore più

alto al prezzo massimo (prezzo di riserva) che il consumatore è disposto a pagare. Dunque, l’intero

surplus spetta al produttore (CS = 0). La massimizzazione del profitto avviene in corrispondenza della

quantità di equilibrio che (attenzione!) in questa particolare forma di monopolio corrisponde a quella

concorrenza perfetta:

p = MC

Ossia, p* = 2

Dalla funzione di domanda si determina poi la quantità corrispondente:

q* = 20 – p = 20 − 2 = 18

Il profitto corrisponde all’area del triangolo colorato:

13

Π = ( )

= 162

Come detto, nel caso di discriminazione perfetta il surplus del consumatore è invece uguale a zero.

4.3.

In questo caso il monopolista:

produce, in totale, una quantità q2;

di queste unità prodotte, una parte (q1) è venduta al prezzo unitario p1;

la restante (q2 – q1) è venduta al prezzo unitario p2.

Massimizzazione del profitto Π:

maxq1, q2 TR(q1) + TR(q2 – q1) – TC(q2)

Esplicitando:

( )

Considerando che la funzione di domanda è p = 20− q, si sostituiscono i prezzi:

( ) ( ) ( ) =

Per la massimizzazione del profitto, F.O.C.: MR = MC

= + = 0

= + = 0

Dal momento che le due condizioni devono valere contemporaneamente, si pongono a sistema:

{

Risolvendo, = 12 e

= 6.

Dalla funzione di domanda, si trovano i corrispondenti valori dei prezzi:

= 20 − 6 = 14

= 20 − 12 = 8

14

E, dunque, il profitto massimo:

Π ( ) = 14 · 6 + 8 · (12 – 6) – 2 · 12 = 108

Esercizio 5

5.1.

Come visto negli esercizi precedenti:

Equilibrio, monopolio

con discriminazione di 1° grado

p = MC

massimizzato PS

In questo esercizio, veramente particolare, non ci sono costi, MC = 0. Quindi, per entrambi i mercati il

prezzo di equilibrio è zero.

Consumatore di tipo 1, funzione di domanda:

Consumatore di tipo 2, funzione di domanda:

15

Come visto negli esercizi precedenti, se vi è discriminazione di 1° grado: l’intero surplus spetta al

produttore monopolista. Quindi:

Π1 =

= 25

Π2 =

= 300

ΠTOT = 25 + 300 = 325

In caso di discriminazione di 1° grado il surplus totale è massimizzato: si produce la quantità per cui p =

MC (nel caso particolare di questo esercizio, abbiamo persino che MC = 0). Non vi è dunque perdita

netta di monopolio: semplicemente, tutto il surplus (massimizzato) spetta al monopolista; il surplus dei

consumatori è zero.

5.2.

Discriminazione di prezzi di 2° grado: il monopolista offre differenti combinazioni prezzo-quantità.

Rappresentiamo le due funzioni di domanda sullo stesso grafico:

16

Nel caso della “prima opzione”, le combinazioni prezzo quantità sono le seguenti:

“vendita di una quantità pari a 10 per un valore complessivo pari a 25 oppure vendita di una quantità pari a 30 per un valore complessivo pari a 300”.

Considerando le funzioni di domanda:

– il consumatore 1 sceglie una quantità uguale a 10. Tutto il surplus spetta al monopolista, dal momento

che l’area A è uguale a:

A =

= 25

Cioè, l’area A è esattamente uguale a quanto chiesto dal monopolista per la vendita di una quantità

uguale a 10. Tutto il surplus, uguale a 25, va al monopolista.

Anche il consumatore 2 sceglie di acquistare una quantità uguale a 10. Infatti, domandando una quantità

pari a 10, il consumatore 2 pagherebbe una somma pari all’area A e otterrebbe un surplus uguale all’area

B (che, appunto, sta sotto la sua curva di domanda). Se scegliesse di domandare una quantità uguale a 300

(5), il surplus totale (A + B + C) pari a 300, andrebbe interamente al monopolista. Riassumendo:

Domanda una

quantità uguale a …

Paga al monopolista

…

Il suo surplus è …

Consumatore 1 10 Area A = 25 0

Consumatore 2 10 Area A = 25 Area B

Area B = ( )

= 141,65

5 L’area A + B + C si calcola infatti come area del triangolo che ne costituisce la somma, A + B + C =

17

n.b.: l’area B si può calcolare trovando l’area del trapezio (A + B) a cui si sottrae l’area del triangolo A.

Detto altrimenti, il monopolista si trova di fronte al seguente problema: vorrebbe spingere il

consumatore 2 a domandare una quantità maggiore. In particolare, vorrebbe che il consumatore 2

domandasse una quantità uguale a 20, così da massimizzare i profitti di monopolio.

Ecco che pertanto il monopolista può presentare la seconda opzione:

“vendita di una quantità pari a 9 per un valore complessivo pari a 24,75 oppure vendita di una quantità pari a 30 per un valore complessivo pari a 171,75”

Il consumatore 1 domanderebbe la quantità uguale a 9, pagando complessivamente 24,75 e lasciando

tutto il surplus al monopolista. Questo surplus è infatti pari all’area A meno il piccolissimo triangolo

rosso in figura (6).

Area triangolo rosso =

Area A – triangolo rosso = 25 – 0,25 = 24,75

Quindi, tutto il surplus al monopolista.

Quel che è importante notare è che ora la combinazione 1 (“9 unità al prezzo 24,75”) è meno attraente

per il consumatore 2. Infatti, scegliendo questa combinazione il consumatore 2 otterrebbe un surplus

uguale all’area B meno l’area verde (7).

Area verde = ( )

= 13,67 – 0,25 = 13,42

Area B – verde = 141,65 = 128,23 (risultato approssimato)

Se optasse per la combinazione 2 (“30 unità al prezzo 171,75”), il surplus del consumatore 2 sarebbe pari

all’area del triangolo (A + B + C = 300) meno la somma di 171,75 pagata al monopolista.

Surplus del consumatore 2 = 300 – 171,75 = 128,25

Di conseguenza, il consumatore 2 sarebbe indifferente tra le due alternative che costituiscono la

“seconda opzione”, poiché otterrebbe sempre un surplus pari a 128,25.

6 Perché l’area del triangolo rosso si calcola in questo modo? Per rispondere, si consideri che il triangolo rosso:

ha base 10 – 9 = 1

ha un’altezza che è data dal prezzo corrispondente alla quantità uguale a 9 (occorre un piccolo sforzo visivo

…). Tale prezzo è p =

.

7 Per calcolare l’area verde dobbiamo fare riferimento ai valori dei prezzi corrispondenti a q = 9 e a q = 10,

rispettivamente: p = 14 e p = 13,3.

18

Esercizio 6

Nel caso dei monopoli “a monte” e “a valle” si ha a che fare con due monopolisti: il monopolista a monte

produce un bene x che è il fattore produttivo impiegato dal monopolista a valle. Il monopolista a valle

impiega il fattore x per produrre l’output y secondo la funzione di produzione xxy .

6.1.

Il monopolista a monte fronteggia una funzione di domanda che è rappresentata dalla domanda per il

fattore produttivo x espressa dal monopolista a valle.

A sua volta, il monopolista a valle opera massimizzando il profitto (come è tipico). Dunque, il problema

di massimizzazione del profitto per il monopolista a valle è:

Il primo termine rappresenta i ricavi totali, il secondo i costi totali. Infatti, per il monopolista a valle il

costo unitario di produzione è uguale a k: una unità di y viene prodotta impiegando una unità di x, che

costa appunto k.

Con l’usuale condizione MR = MC si ottiene:

MRvalle = 100 – 4y

MCvalle = k

100 – 4y = k

Poiché sappiamo che per ciascuna unità di output y prodotta il monopolista a valle domanda una unità di

input x (ossia, y = x):

k = 100 – 4x

Questa relazione esprime la funzione di domanda fronteggiata dal monopolista a monte, il quale vende al

prezzo k una quantità x di unità del bene prodotto.

6.2.

Data questa funzione di domanda, il monopolista a monte sceglierà di produrre una quantità di x tale per

cui il suo profitto sia massimo. Anche qui, dunque, MR = MC. Ricordando che per il monopolista a

monte la funzione di domanda è k = 100 – 4x:

MRmonte = 100 – 8x

MCmonte =

= 4

100 – 8x = 4

19

x = 12

Dalla funzione di domanda si determina il prezzo k:

k = 100 – 4x = 100 – 4 · 12 = 52

Poiché la funzione di produzione è semplicemente y = x e dato che anche il monopolista a valle sta

massimizzando il profitto (abbiamo infatti cominciato a svolgere l’esercizio considerando il problema di

massimizzazione dal punto di vista del monopolista valle), allora anche y = 12.

Il prezzo praticato dal monopolista valle:

ypy 2100 = 100 – 2 · 12 = 76

Π monopolista a monte = 52 · 12 – 4 · 12 = 624 – 48 = 576

Π monopolista a valle = 76 · 12 – 52 · 12 = 912 – 624 = 288

Π totali = 576 + 288 = 864

6.3.

Se le due imprese si integrassero vi sarebbe un solo monopolista anziché due: l’unico monopolista

(monopolista integrato) produrrebbe x e lo utilizzerebbe come input per produrre y, venduto sul mercato

ai consumatori finali. L’unico monopolista fronteggerebbe cioè l’intera domanda di mercato,

ypy 2100 producendo con costi totali uguali a xxTC 4 .

Come tipico, il problema di massimizzazione del profitto è risolto ponendo:

MR = MC

MR = 100 – 4y

MC = 4

100 – 4y = 4

y = 24

Il monopolista integrato produrrebbe cioè una quantità doppia (24 anziché 12) rispetto alla situazione in

cui vi sono due monopolisti, uno a monte e l’altro a valle.

Il prezzo:

ypy 2100 = 100 – 2 · 24 = 52

Π monopolista integrato = 52 · 24 – 4 · 24 = 1.248 – 96 = 1.152

Se le due imprese si integrassero, non solo il prezzo di mercato sarebbe più basso ma persino i profitti di

monopolio sarebbe più alti (1.152 anziché 864).

20

Retta nera: funzione di domanda di mercato fronteggiata dal monopolista a valle

Retta verde: MC, monopolista a monte

Retta fucsia: MR del monopolista a valle (coincide con la domanda fronteggiata dal monopolista a monte)

Retta rossa: MR del monopolista a monte

Punto fucsia: ottimo del monopolista a valle

Punto verde: ottimo del monopolista integrato: il monopolista integrato produce una quantità doppia rispetto al caso di due monopolisti, uno a monte, l’altro a valle.