Escoamento em riosModelo Muskingum

Criado na década de 1930 por McCarthy para representar a propagação de vazão ao longo do rio Muskingum.

),( QIfS

QIdt

dS

Supõe que S (armazenamento) estárelacionado a I (vazão de entrada) e Q (vazão de saída)

2

Escoamento em rios: Muskingum

Continuidade

Relação

tttt QCICICQ 32111

2

t)X1(K

2

t)X1(K

C ;

2

t)X1(K

2

tKX

C ;

2

t)X1(K

2

tKX

C 321

QIdt

dS

S = K [X I +(1-X) Q]

C1+C2+C3=1

K é o tempo médio de deslocamento da onda

X é um ponderador entre as vazões de entrada e saída

A vazão (Q) na seção de jusante é dada por:

3

Intervalo de tempo

Para que os coeficientes da equação sejam positivos

t 2KX e 0

2t

)X1(K

2t

KXC1

t X)-2K(1 e 0

2t

)X1(K

2t

)X1(KC3

)X1(K2tKX2 )X1(2K

tX2

5,0X0

0 0,5 X

2K/t

1

0

R egião v ál id a

é o intervalo de tempo para simulação da propagaçãot

4

Significado dos parâmetros

X representa a ponderação entre a vazão de entrada e saída do trecho

K representa o tempo médio de translado do escoamento entre montante e jusante

t

I e Q

K

Diferença entre os centros de gravidade dos hidrogramas

I

Q

I

t.I

Q

t.QK

5

Métodos para estimativa dos parâmetros

Mínimos quadrados

Sc

So

Di

2)SOiSCi(D

])QI(QI[K

IQQSoISoQX

)IQ(QI

QSoISoQ)ISoQSo(QIK

222

2

222

22

Tradicional método da laçada

S/∆t

QI

X=X1 X= XnVariar o valor de X até que se crie uma laçada, com forma mais próxima possível de uma reta

Ajustar uma linha de tendência linear

K será igual ao coeficiente angular da reta

QI = a.S/∆t + b

K = a

Muskingum-Cunge

)1(5,0xcSb

QX

ooo

o

oc

xK

6,04,0

4,00

3,00

.3

5

nb

QSc

o

o

Adaptado para estimativa com base em parâmetros físicos do trecho

2,08,00

000

0 ..8,0..

xtccSb

Qx

8

Roteiro de Ajuste

1) Fixar ∆t = tp/5 ou outro valor para ∆t ≤ tp/5

2) Adotar valor de Qo = 2/3 da vazão máxima do hidrograma de entrada

3) Calcular co

4) Calcular ∆x por processo iterativo

5) A primeira estimativa de ∆x pode ser obtida por

6) Calcular K e X e verificar se está dentro da faixa de erro de 5%

7) Caso contrário modifique ∆x

ooo

oo cSb

Qx

5,2

9

Exemplo

Determine o hidrograma 18 km a jusante de uma seção de um rio. As características do trecho são: largura=30m, declividade=0,0007 m/m; rugosidade de Manning n=0,045.

o tempo tp = 240 min e =240/5=48 min, ∆t=40min. A vazão máxima de montante é 130 m3/s, Qo=87m3/s

smbon

QoSoco /86,1

3

54,06,0

4,03,0

mxx

x 568.586,10007,030

87.5,2

mx 6018Por convergência

tK = 1,34

X=0,31

mx 6000 adotado

Muskingum Cunge não linear

A celeridade não é constante Os parâmetros do método de

Muskingum Cunge deveriam variar Celeridade varia com o nível da

água ou com a vazão

Celeridade aumenta

Celeridade diminui

Muskingum Cunge não linear

Substituir K e X (C1, C2 e C3) constantes por variáveis

A cada passo de tempo é necessário recalcular o valor de K e X (C1, C2 e C3)

Só o que não muda é o x

Muskingum Cunge não linear

Qual vazão usar como referência? Criar tabela Q x C a partir de tabela h x A x Q

13

Solução não-linear

Cálculo de X e K em cada célula de cálculo

t

xi i+1

t

t+1 It+1

It

Qt+1

Qt

Calcular K e X com base em:

(1) Qt

(2) Qt, It e It+1

(3) todos.

31

tttt

IQIQo

14

Exemplo Jacuí

Linear x Não-linear