Escher in Het Paleis Wiskundepakket Regelmatige vlakvullingen

Regelmatige vlakvullingen

Een regelmatige vlakvulling is een manier om een vlak te vullen doormiddel van een

zich steeds herhalend patroon. Omdat dit veel wordt toegepast op behangpapier

wordt ook wel eens gesproken van behangpatronen. Ook de term regelmatige

vlakverdeling wordt gebruikt. Eenvoudige voorbeelden zijn tegelwanden die zijn

opgebouwd uit vierkante tegels en de structuur van honingraten.

Deze twee voorbeelden laten zeer verschillende patronen zien. Wiskundigen

onderscheiden dit soort structuren door de soorten van symmetrie die ze hebben. Zo

heeft de tegelwand vier verschillende typen symmetrieassen: horizontaal, verticaal,

schuin naar rechts en schuin naar links. Bij de honingraat zijn zes soorten

symmetrieassen te onderscheiden, die hoeken van 30 met elkaar maken. De

tegelwand kan ook om een hoekpunt of een middelpunt van een tegel over een

hoek van 90 draaien, waarbij de vierkantjes weer mooi op vierkantjes uitkomen.

Deze draaipunten worden viervoudige draaicentra genoemd, omdat de kleinst

mogelijke draaihoek gelijk is aan 3604

. De honingraat heeft zesvoudige draaicentra:

de middelpunten van de zeshoeken.

Een patroongroep wordt gevormd door alle patronen die dezelfde symmetrie-

eigenschappen hebben. In 1891 bewees de kristallograaf E.S.Fedorov dat er precies

17 verschillende patroongroepen zijn. Hieronder zie je voorbeelden van patronen uit

al deze groepen.

Met onderstaand schema kan je bepalen tot welke groep een bepaalde

vlakverdeling hoort.

De tegelvloer hoort bijvoorbeeld tot de groep p4m en de honingraat tot p6m. In een

artikel van Jan van der Craats, dat je vindt op

http://staff.science.uva.nl/~craats/SymIslam1.pdf, staat nog veel meer uitgelegd

over behangpatronen.

Al deze patroongroepen zijn terug te vinden in decoraties in Moorse paleizen in

Spanje en andere plaatsen . Hier zie je twee voorbeelden van het type p3 en p6.

Toen Escher in 1922 voor het eerst dit soort decoraties zag in de paleizen van het

Alhambra in Granada werd hij hierdoor zeer gefascineerd. “De rijkste inspiratiebron

die ik in mijn leven ben tegengekomen” zei hij er later over. In zijn werk wist Escher

aan deze decoratiekunst drie elementen toe te voegen:

1. Het gebruik van realistische figuren: mensen, dieren, gebouwen etc.

2. Het idee dat alle ruimtes tussen de figuren wederom realistische figuren

moesten voorstellen.

3. De afwisseling van lichte en donkere figuren en een realistische interpretatie

daarvan (licht-donker, water-lucht, goed-slecht etc.).

Het is mogelijk dat hij op deze ideeën is gekomen door in gedachten kleine

accenten toe te voegen aan bestaande decoraties. Bijvoorbeeld op de volgende

wijze:

Door de cirkeltjes en ellipsen toe te voegen aan een abstract patroon ontstaan

opeens vogeltjes!

In 1937 kwam Escher op de hoogte van de wiskundige theorie achter

vlakverdelingen en begon hij te experimenteren met alle 17 verschillende

patroongroepen. Zodoende bouwde hij als het ware een archief op aan patronen,

waar hij later steeds uit kon putten. Op zich zijn deze vlakverdelingen vrij saai,

vanwege de grote hoeveelheid symmetrieën. Als groot kunstenaar vond Escher hier

een uitweg, op twee wijzen:

1. Door de vlakvulling te laten overgaan in een realistische omgeving en

daarmee te verweven.

2. Door vlakvullingen continu in elkaar te laten overgaan. Metamorfosen

werden die genoemd.

Beide ideeën vind je terug in de houtsnede ‘metamorfose 1’ die Escher in 1937

vervaardigde. Dit is de eerste prent waarin Escher de mogelijkheden die regelmatige

vlakverdelingen bieden op overtuigende wijze heeft verwerkt.

Metamorfose 1, houtsnede, 1937

Dag en Nacht, houtsnede, 1938

Overigens heeft Escher ook prenten gemaakt met onregelmatige vlakverdelingen.

Alhoewel deze prenten wel de drie bovengenoemde elementen bevatten, bezitten

ze niet de symmetrie-eigenschappen waardoor de prent uit te breiden is tot een

regelmatige vlakverdeling. Hieronder staat een voorbeeld.

vlakvulling, litho, 1957

Opgaven vlakvullingen

Opgave 1

Controleer met het schema voor de 17 verschillende patroongroepen dat een

tegelvloer (met effen vierkante tegels) tot de groep p4m behoort en de honingraat

tot p6m. Laat eveneens zien dat de twee decoraties in Moorse paleizen tot het type

p3 en p6 behoren.

Opgave 2

Op http://home.wanadoo.nl/wvdput/Werkstuk/Escher/Werkstuk%20Escher.htm kan

je ontdekken hoe je zelf een regelmatige vlakvulling kan maken. Bekijk deze website

en werk de bijbehorende opgaven uit.

Opgave 3

Deze, door Escher gemaakte vlakvulling, behoort tot de symmetriegroep p3. De

oorspronkelijke tekening was niet zwart/wit ingekleurd en had toen patroon p6. Laat

dit zien. Wat zijn de rotatiecentra?

Opgave 4

Bij de volgende vlakvulling maakte Escher gebruik van het symmetriepatroon pg.

Om dat te zien moet je de zwart/wit inkleuring wegdenken en alleen letten op de

lijnen die ten grondslag liggen aan het patroon. Wat is het effect dat Escher creëert

door het gebruik van dit patroon?

Een basisrechthoek voor dit patroon zie je ook. Controleer dat de lijnen bij A en A’

doorlopen en dat de lijnen bij B, B’ en bij C, C’ in gespiegelde richting doorlopen.

Probeer zelf eens een eenvoudig patroon te maken waarvan de basis deze

eigenschap heeft.

Dit symmetriepatroon pg gebruikt Escher vaak. Probeer nog enkele prenten te

ontdekken waarin hij dit gebruikt.