Equazioni Meccanica dei Fluidi

7/27/2019 Equazioni Meccanica dei Fluidi

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Sommario

Variabilifluidodinamiche.............................................................................................................1Densit(Unitdimisura:Kgm3).......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..1Pressionediunfluido(Unitdimisura: bar = 100000Pa = 0.9869atm = 10N/cm2).......... .......... .......... 2VolumeV(Unitdimisura:dm3 = 1l = 0,001m3).......... .......... .......... .......... ......... .......... .......... .......... .......... .......... ....2Lavorodellepressioni(Unitdimisura: J)............................................................................................................................2

Viscosit............................................................................................................................................................................................2Portata(Unitdimisura:m3s = 1000ls).......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... .......... .......... .......... .......... .......... ....2Forze......................................................................................................................................................................................................2ForzedivolumeproporzionaliadV.........................................................................................................................................2 Forzedisuperficieproporzionalia dS....................................................................................................................................2 Forzadiattritointerno..................................................................................................................................................................2 Forzadiresistenza(velocitlimite)........................................................................................................................................2 Portanza...............................................................................................................................................................................................2

Equilibrio.....................................................................................................................................3Equilibriostaticodiunfluido.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... 3Equilibrioinpresenzadellaforzapeso......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..3

Fluidoinrotazione.......................................................................................................................3 Inunsistemadiriferimentorotanteconilliquido(noninerziale)...................................................................3 Inunsistemadiriferimentoinerziale.............................................................................................................................4

Effettidinamici............................................................................................................................4RiconsiderazionedellaleggediLeonardoedelteoremadiBernoulli......................................................................4 Correntefluidainuncondottocurvo.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .....4Conservazionedelmomentoangolareevortici..................................................................................................................4

Motolaminare...................................................................................................................................................................................5Motovorticoso..................................................................................................................................................................................5

Fenomeni....................................................................................................................................6 Disuperficie................................................................................................................................................................................6Superficieliberanonpiana..........................................................................................................................................................6

Dicoesioneediadesione......................................................................................................................................................6 Dicapillarit...............................................................................................................................................................................6

Leggi............................................................................................................................................7LeggediStevino(pressioneinpresenzadellaforzapeso).............................................................................................7 PrincipiodiArchimede(spintaforzadensit).............................................................................................................7 TeoremadiBernoulli(relazionefondamentale)................................................................................................................7 TeoremadiTorricelli(efflusso)......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......7LeggediHagen-Poiseuille(portata)........................................................................................................................................8 LeggediStokes(forzadiresistenza).......................................................................................................................................8

Esempi........................................................................................................................................9TubodiVenturi..................................................................................................................................................................................9 Paradossoidrostatico.....................................................................................................................................................................9 EffettoMagnus......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... 9

Costantiesimboli........................................................................................................................9Coefficientidi = -VVp =modulocompressibilitisoterma................................................................................9 Coefficientidi = dWdS = dFds =tensionesuperficiale..........................................................................................10

Variabilifluidodinamiche

Densit(Unitdimisura: )

=


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Pressionediunfluido(Unitdimisura: = = . = /) =

VolumeV(Unitdimisura: = = ,) =

Unavariazionedivolumenecomportaunadidensit;percentualmentelevariazionisonougualiinmodulomadisegnoopposto.

Lavorodellepressioni(Unitdimisura:)

=

= = =lavoroneifenomenidisuperficie

=!

!!

!=lavoropercompressioneuniformeisoterma

=

=

=tensionesuperficiale

=

=modulocompressibilitisoterma

Viscosit

Dipendedalfluido.Neiliquididecresceallaumentaredellatemperatura.Neigascresceallaumentaredellatemperatura.

Portata(Unitdimisura: = )Volumedifluidochepassatoattraversoinunsecondo.

= =

!

=mediaspaziale(enontemporale)dellevelocit

Forze

Forzedivolumeproporzionalia

! = = = = =forzapeso

Forzedisuperficieproporzionalia

! = = =

Forzadiattritointerno

=

Forzadiresistenza(velocitlimite)

!"#=

1

2

!

Lavelocitlimitediunasferachecadeinunfluido:

!"# =

2

9!"#$%

!!"#$% !"#$%&

!"#$%&

Portanza

Laformadellealisceltainmodotaledacausareunadissimmetrianellelineedicorrente.Lariapivelocerispettoallalanellapartesuperiorechenellaparteinferioreequindilapressioneminoresoprarispettoasotto.Nerisultaunaspintaversolalto:

= 2

=variazionedelmodulodellavelocitindirezioneortogonalea


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=coefficienteadimensionaledipendentesolodallaformadelcorpo =superficiealare

Equilibrio

Equilibriostaticodiunfluido

Inunfluidoinquietetuttiglielementihannoaccelerazioneevelocitnulla,inunsistemadiriferimentoinerziale.

! + ! = 0Lacondizionediequilibrio:

=

!

= !

=

!

= = Selaforzadivolumeconservativa:

=!,!

= = !,! = |!,!|

Ilgradientedellapressionehalastessadirezioneeversooppostodelgradientedellenergiapotenzialeperunitdimassa.Unasuperficieequipotenzialeeisobaricaesudiessaladensitcostante. =componentedellaforzalungolasse

, =energiapotenzialeperunitdimassa

Equilibrioinpresenzadellaforzapeso

Seladensitcostante: =

PrincipiodiPascal:ognicambiamentodellapressioneesternadluogoaunugualevariazionedipressioneinterna.

Fluidoinrotazione

Inunsistemadiriferimentorotanteconilliquido(noninerziale)Ognielementoinequilibriostaticosottolazionedelleforzedivolumee!edalleforzedipressionedovuteaglielementidiliquidocircostanti.

Lenergiapotenzialeperunitdimassadelleforzedivolume:!,! = !

!!!+ !

Lasuperficieliberadelliquido: !

!!!+

!= = = !,!(0,0,)

Lequazionedelparaboloidedirotazione:

= +!

2!= +

!

2(! + !)

Ilvolumetotalesottoilparaboloide:

= ! +

!!

4

Laltezzadelliquidorispettoalfondodelrecipiente:

= !!

4

Lavelocitangolaremassima:


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!"#

=

4

!

InunsistemadiriferimentoinerzialeLaforzaagentesuognielementodiliquidoinrotazionelarisultantedellaforzadivolume(forzapeso)edelleforzedisuperficieedeveesserecentripeta(dovutaallavariazionedipressione):

= !Lungoladirezioneverticale,leforzeagentisonoinequilibrio:

=

Laforzaradiale,nonnulla,dipendedalledifferenzedipressione:

=

Perci:

=

!

Lafunzione(, ):

, = +1

2

!!+

Lequazionedelparaboloidedirotazione:

= +!

2!

=versoredelladirezioneradiale,orientataversolesterno =altezzadelliquidoinquiete = + =pressionesulfondodelrecipienteesullassedirotazione

Effettidinamici

RiconsiderazionedellaleggediLeonardoedelteoremadiBernoulli Selasezionecostanteeilcondottoorizzontalerettilineo,lavelocitcostantein

modulo,direzioneeverso,perchlapressionecostanteenoncisonoforzerisultanti,verificandoilprincipiodinerzia.

Seilmotoavvienelungouncondottoinclinato,lapressionenonpuesserecostanteperchleforzedipressionedevonocontrastarelazionedellaforzapeso.

Correntefluidainuncondottocurvo

Perrealizzareilmotocurvilineodeveessereapplicataalfluidounaforzacentripetaesercitatadalcondotto.Allinternodelfluidolazionedellaforzacentripetaavvieneattraversounavariazioneradialedipressione,checresceversolesterno,cioversolaparetedelcondotto

pilontanadalcentrodicurvatura.

Conservazionedelmomentoangolareevortici

Seilliquidoidealeleunicheforzeagentisonoleforzedipressioneradialieaforzapesoverticale,chehannomomentonullorispettoallasseverticale,percuinelmotodiunelementodiliquidosiconservailmomentoangolarechevale = .Lavelocitlineare:

=

!"!"

Lavelocitangolare:

=

=

!"!"

!

!

Aumentanoentrambemanmanochecisiavvicinaallasse.Lequazionedellasuperficieliberadelvortice:

= !2=

!"

!!"

!

2!


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Motolaminare

Velocitnonelevata;regimestazionario;lineedicorrentecostantineltempoechenonsiintersecanomai.Ilfluidoacontattoconleparetidelcondottofermo.Lavelocitmassimasullassedelcondotto.

=

4(! !)

!"#

=

!

4

=

!

8

=

!!

!=

!=

!

8

=

8

!!

Nelregimelaminarelaportata,lavelocitmediaelavelocitdeisingolistraticilindricisono

direttamenteproporzionalialgradientedipressione!

!.

=raggiodellostratocilindrico,distanzadallasse

=raggiodelcondotto=velocitmedia

Motovorticoso

Oltreunvalorecriticodivelocitperraggimaggioridiquellicapillarioltreilqualecompaionomotivorticosi.SihalatransizionedaregimelaminareavorticosoquandoilnumerodiReynolds:

=

: > 1200.Lavelocitcritica:

!= 1200

Per < !:

=

!

8

=

!!

Per !:

o Aparitdidifferenzadipressione:sihaunanotevolediminuzionediportata,motoinstabile;

o Aumentandoladifferenzadipressione:siraggiungedinuovounflussostabileinregimovorticosocon:

=

!

2

Inregimevorticosoilgradientedipressione!

!necessariopermantenereunacertavelocitdi

efflussofunzionequadraticadellavelocit,invecechelinearecomenelregimelaminare.

=coefficientediresistenza =raggiodelcondotto


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Fenomeni

DisuperficieNeiliquidi,alivellomicroscopico,lemolecolerisentonodiforzediorigineelettricachedipendonofortementedalladistanzaintermolecolare.

o Perdistanzeinferioriaduncertovalorechiamatocortoraggiolaforzarepulsivaecrescemoltorapidamentealdiminuiredi.

o Perdistanzemaggioriaduncertovalorechiamatocortoraggiolaforzadiventaattrattivaedecresceinmoduloconladistanza,conunandamentopilento.lasituazionepicomune.

o Perunamolecolainprossimitdellasuperficieliberasirisentediunaforzadirettaversolinternodelliquido.

Laumentodellasuperficieliberadiunliquidononpuavvenirespontaneamente;bisognacompierelavoroperportareunamolecoladallinternodelliquidoallasuperficie:

= Lasuperficieliberadiunliquidotendeacontrarsi,assumendolestensioneminimapossibile,compatibilmenteconleforzeesterneagentielecondizioniincuiilliquidostessositrova.Sesiseparaconuntagliolasuperficie,lungoiltaglioagisconodueforze:

=

=

=


Superficieliberanonpiana

Condizionediequilibrio:

=4

= ! ! ! = > !! = < !

o Nelcasodiunasuperficiesferica;leccessodipressionechecnellaparteinternarispettoaquellaesternaacausadellacurvatura:

!=

2

=raggiodellasuperficie

DicoesioneediadesioneSiparladiforzedicoesionecheessendodebolmenteattivateriesconoatenerelegatelemolecole,manonriesconoamantenerleinposizionefissa.direttaversolinternodelliquido.Laforzadicoesionesempredirettalungolabisettricedellangolodicontatto.Lamassadiliquidodellostratosuperficialeinprossimitdellaparete,oltreallaforzadicoesione,risenteanchedelleforzediadesione,cioleforzetralemolecoledelsolidoedelliquido.direttaversoilsolido.Laforzadiadesionesempreortogonaleallaparete.

o Ladesionepredominasullacoesione:lasuperficieliberaacontattoconlapareteincurvataversolaltoesidicecheilliquidobagnalaparete.Angolodicontattoacuto.

!"#$

< !"#$ 2o Lacoesionepredominasulladesione:lasuperficieliberaacontattoconlaparete

incurvataversoilbassoesidicecheilliquidononbagnalaparete.Angolodicontattoottuso.

!!"#

> !"#$ 2

DicapillaritPostaunacondizionedivasicomunicanti.Illivellodellasuperficieliberadelliquidonelcapillare,rispettoalquellodelrestodelrecipiente,:

o Maggioreseilliquidobagnalepareti,meniscoconvesso.o Minoreseilliquidononbagnalepareti,meniscoconcavo.


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Cidovutoalfattochelasuperficiedelcapillaresipuapprossimareadunasuperficiesferica.Ildislivellodovutoalfenomenodicapillarit:

=2 cos

Seilliquidobagnatotalmenteilcapillare, = 0,valelaleggediJurin:

=2

=

angolodicontatto

!=

Leggi

LeggediStevino(pressioneinpresenzadellaforzapeso)

= ! +

=

=

PrincipiodiArchimede(spintaforzadensit)! = !

Uncorpoimmersoinunfluidoriceveunaspintaversolaltopariallaforzapesodelvolumedifluidospostato.Permisurareladensitdelfluido:

!"#$%& = !"#$%"

!"#$%&

!"#$%"

= !"#$%"

!"#$%&

!"#$%"

TeoremadiBernoulli(relazionefondamentale)

+1

2

!+ =

Inunfluidoidealeinmotoconregimestazionariolasommadellapressione,delladensitdienergiacineticaperunitdivolumeedelladensitdienergiapotenzialeperunitdivolumecostantelungoqualsiasitubodiflusso.Seilcondottoorizzontale:

+1

2

!=

Quandocambialasezionecambianoanchepressioneevelocit:

! > !! < !! > !

! < !! > !! < !

TeoremadiTorricelli(efflusso)

Lavelocitdiefflussonondipendendalladensitndallapressionesulfluidoedpariaquellacheavrebbeseilliquidoscendesseincadutaliberadallaltezza.

= 2

= = 2

=

portata = 2 =massaeffluitaalsecondo = =massatotale


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=

2

=

Quandocisonoduefluidiacontatto,lavelocitdiefflussodiquellopivicinoalforo: = ! + !! =pressionesullasuperficiediseparazione = 0 =velocitsullasuperficiediseparazione

=

2

!

!! + !!

LeggediHagen-Poiseuille(portata)

=

!

8

Sempreverificatasecisitrovacontubicapillari. =raggiodelcapillare

LeggediStokes(forzadiresistenza)

!"#= 6

Validapersfereconpiccolavelocit. =

raggiodellasfera


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Esempi

TubodiVenturi

!!=

2

!!

!

!

!

!

Paradossoidrostatico

+1

2

!= !"# < !"#

=pressionedellariachesimuoveavelocit.

EffettoMagnus

Uncorpoinrotazioneinunfluidotrascinaconslostratodifluidoimmediatamenteacontattoconesso,equest'ultimo,asuavolta,trascinaconslostratoattiguo:attornoalcorporotantesiformanocosstratidifluidorotantisucirconferenzeconcentriche.Seilcorpohaunmotoditraslazionerettilinea

(versosinistranell'immagineinalto)comesevenisseinvestitodaunacorrentedifluidochesimuoveindirezioneoppostaaquelladelcorpo(nelnostrocasoquindiversodestra).Seilmotopuramenteditraslazionerettilinealelineedicorrentesarannougualmentespaziatetralorointornoalcorpo.Nelmomentoincuiilcorpodotatodimotosiarotatoriochetraslatorio,lavelocitdelfluidoaumentasuperiormenteoinferiormentealcorpoasecondadelversodirotazionedelcorpo,proprioperiltrascinamentodelfluidoattornoalcorpostesso(levelocitdeglistratidifluidoinrotazioneamplificanoilmotodellacorrentedovutoallatraslazioneinversoconcordeaquest'ultimaediminuisconolavelocitnellazonaincuiiversisonoinvecediscordi).

Costantiesimboli

=variazionedelmodulodellavelocitindirezioneortogonalea

, =energiapotenzialeperunitdimassa

=componentedellaforzalungolasse

!=

=mediaspaziale(enontemporale)dellevelocit

=velocitmedia

=superficiealare

=

coefficienteadimensionaledipendentesolodallaformadelcorpo =altezzadelliquidoinquiete =coefficientediresistenza = + =pressionesulfondodelrecipienteesullassedirotazione =raggiodelcondotto =raggiodellostratocilindrico,distanzadallasse =versoredelladirezioneradiale,orientataversolesterno =angolodicontatto

=


=

=


Coefficientidi =


Acciaio 160GPaAcqua 2,2GPaAria 0,142MPa


10/10

Diamante 442GPaEliosolido 50MPaVetro 35-55GPa

Coefficientidi =

=


Superficiedicontattotraliquidoegas

acqua-aria 0.073alcooletilico-aria 0.022

etereetilico-aria 0.016mercurio-vuoto 0.435Superficiedicontattotraliquidoeliquido

mercurio-acqua 0.418mercurio-oliodioliva 0.335acqua-oliodioliva 0.020alcooletilico-oliodioliva 0.0023

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