Engrenages à denture conique

Engrenages à denture conique

1/28


1 Généralité ....................................................................................... 3

1.1 Déport de profil en hauteur ............................................................ 5

1.2 Coefficient d’application des efforts dynamiques extérieurs Kap, Kaf

7

1.3 Coefficient d’application des efforts dynamiques intérieurs .......... 8

1.4 Pression limite PH_Lim et Contraintes de flexion σfl Lim ...................... 9

1.5 Facteur KL ...................................................................................... 10

1.6 Facteur ZV (facteur d’influence de la vitesse) ................................ 10

1.7 Facteur ZR (facteur de qualité de denture (Rugosité)) .................. 11

1.8 Coefficient de sécurité SH .............................................................. 11

1.9 Facteur KFα (géométrique d’application de l’effort) ...................... 11

1.10 Coefficient de forme YF ............................................................ 12

1.11 Coefficient de rapport de conduite Yε ...................................... 13

1.12 Coefficient d’application de type de charge ccharge ................... 13

1.13 Coefficient de matières Cmatiere ................................................. 13

1.14 Coefficient de sécurité Sfl......................................................... 13

2 Denture conique à denture droite sans correction de denture ...... 14

2.1 Dimensions principales ................................................................. 15

2.2 Condition limite d’usinage ............................................................ 16

2.3 Rapport de conduite εα ................................................................. 16

2.4 Efforts appliquées sur la denture .................................................. 17

2.4.1 Les efforts agissant sur la denture ...................................... 17

2.4.2 Contrainte sur la denture .................................................... 18


2/28

2.4.2.1 Dimensionnement de la denture à là pression ......... 18

2.4.2.2 Contrainte de flexion dans le pied de la dent ........... 19

3 Denture conique à denture droite avec couronne dentée sans

correction de denture ............................................................................. 21


3.2 Condition limite d’usinage ............................................................ 21

3.3 Rapport de conduite εα ................................................................. 22



3.4.2 Contraintes sur la denture .................................................. 23


3.4.2.2 Dimensionnement de la denture à la contrainte de

flexion dans le pied de la dent ...................................................... 23

4 Denture conique à denture droite avec déport de denture ........... 24

4.1 Déport de profil en hauteur .......................................................... 24

4.2 Déport de profil latéral ................................................................. 24


4.4 Rapport de conduite εα ................................................................ 26



4.5.2 Contraintes sur la denture .................................................. 28


4.5.2.2 Dimensionnement de la denture à la contrainte de

flexion dans le pied de la dent ...................................................... 28


3/28

1 Généralité • Axes des deux roues se coupent sous un angle : 1 2δ δΣ = + [°]

• Rapport de transmission :

1

2

2

1

2

1

i

di

d

zi

z

ωω

=

=

=

• Angle du cône primitif δ1 de la roue : 12

1

sinarctan

cosz

z

δ

Σ = + Σ

• la forme de la denture peut être :

o Une denture droite à axes concourants en un point o Une denture hélicoïdale à axes concourants en un point o Une denture hélicoïdale à axes gauches

• flanc en développante de cercle.

• Le nombre de dents de la roue virtuelle : cos

iVi

i

zz

δ=


4/28

• module métrique : p

mπ

=

0,3 0,4 0,5 0,6 0,8 1 1,25 1,5 2 2,5 3 4 5 6 8 10 12 16 20 25 32 40 50 60

• Le nombre de dents de la roue de taillage : 1

1sinplane taillage

zz

δ=

• Pas primitif : .p mπ=

• Epaisseur nominale s de la dent : *2

s mπ=

• L’ angle de pression α est normalisé à 20° pour la mécanique générale

et à 14° pour la microtechnique.

• La saillie : sh m=

• le creux : ch m c= +

• Le vide à fond de dent : 0,167. 0,3.m c m≤ ≤

o valeur recommandé : 0,25.c m=

• Hauteur totale de la dent : 2,25.h m=


5/28

1.1 Déport de profil en hauteur

Pour les engrenages de réduction : ( )1i >


6/28

Pour les engrenages d’amplification ( )1i < :


1.2 Coefficient d’application des efforts dynamiques extérieurs Ka p, Kaf

7/28

Coefficient d’application des


8/28

1.3 Coefficient d’application des efforts dynamiques intérieurs

• Kv


9/28

1.4 Pression limite P H_Lim et Contraintes de flexion σfl Lim


10/28

1.5 Facteur K L Viscosité en 10-6 m2/s

6 10 20 40 60 80 100 150 200

Facteur KL

0,83 0,84 0,86 0,90 0,925 0,97 1 1,06 1,1

Pour une valeur plus précise voir fichier Excel

1.6 Facteur Z V (facteur d’influence de la vitesse)

Vitesse en m/s

2 4 6 8 10 15 20 40 60

Facteur ZV

0,85 0,90 0,93 0,97 1 1,05 1,09 1,17 1,21

Pour une valeur plus précise voir fichier Excel


11/28

1.7 Facteur Z R (facteur de qualité de denture (Rugosité))

Type d’usinage rectifié rectifié fraisé fraisé Qualité ISO ISO 8 ISO 7 ISO 8 > ISO 7 trempés ZR = 1 ZR = 0,96 (ZR= 0,94) (ZR = 0,9 ) non trempés ZR = 1 ZR = 0,93 ZR = 0,88 ZR = 0,7

1.8 Coefficient de sécurité S H o Pour le régime en continu :

� 1,25 2HS≤ ≤ → pour z1> 20 dents

� 1,4 2,5HS≤ ≤ → pour z1 ≤ 20 dents

o Pour le régime temporaire : 0,4 1HS≤ ≤

1.9 Facteur K Fα (géométrique d’application de l’effort)

1 2FK α≤ ≤

o Bonne qualité d'exécution (cas le plus favorable)

1FK α =

o Qualité d’exécution moyenne (cas le plus défavorable)

2FK α =


12/28

1.10 Coefficient de forme Y F


13/28

1.11 Coefficient de rapport de conduite Y ε

Pour une denture de précision : 1

Yεαε

=

Pour une denture de précision moyenne : 1

1 Yεαε

≥ ≥

1.12 Coefficient d’application de type de charge c charge

Si la charge est alterné : arg0,6 1ch ec≤ ≤

1.13 Coefficient de matières Cmatiere

0,8 1matierec≤ ≤

1.14 Coefficient de sécurité S fl

Pour le régime en continu : 1,5 3flS≤ ≤

Pour le régime temporaire : 1,3 2flS≤ ≤


14/28

2 Denture conique à denture droite sans correction de denture

• Grand diamètre sur le cône primitif : 1 1*d m z=


15/28

2.1 Dimensions principales

• Diamètres des cercles primitifs : 1 1.d m z=

• Diamètres des cercles de tête : ( )1 1 1. 2.cosde m z δ= +

• Diamètres des cercles de pied : 1 1 1.( 2,5..cos )di m z δ= −

• Angles de tête : 11

1

2.sinarctane

z

δκ =

• Angles de pied : 11

1

2,5.sinarctani

z

δκ =

• Angles du cône de tête : 1 1 1e eδ δ κ= +

• Largeur de la denture :

1

1

10.

6.sin

b m

et

db

δ

≤

≤

• Diamètres des cercles de têtes intérieurs :

11 1

1

sin2. .

cos

edei de b

e

δκ

= −

• Position du sommet du :

1 1.sinae m δ= 11

1

cos

cos

eab b

e

δκ

= 11

12.tan

deiai

eδ=


16/28

1 1 1 1totala ae ab ai= + +

• Diamètres moyens des dentures :

1 1 1. .sindm m z b δ= −

• Diamètres de cercles primitifs des roues virtuelles :

11

1cos

dmdvm

δ=

2.2 Condition limite d’usinage • Nombre de dents minimum de la roue virtuelle est :

minmin

min

cos

17,097

v

v

zz

donc

z dents

δ=

=

2.3 Rapport de conduite εα

1 2αε ε ε= +

[ ]1 1 2 2

1(tan tan ) (tan tan )

2. V Ve V Vez zαε α α α απ

= − + −

Avec

11

1

.coscos

2.V

VeV

darc

d m

αα = +

Et 11

1

.

cos

m zdv

δ=


17/28

Pour les engrenages rapides, on exige : 1,4αε ≥

Pour les engrenages lents, on exige : 1,1αε ≥

2.4 Efforts appliquées sur la denture

2.4.1 Les efforts agissant sur la denture

• Force tangentielle : 11

1

2.MtFt

dm=

• Composante normale radiale :

1 1

2 21 1 1

. tanFnr Ft

mais

Fnr Fr Fa

α=

= +

• Force radiale : 1 1 1

1 1 1

.cos

. tan .cos

Fr Fnr

Fr Ft

δα δ

==

• Force axiale : 1 1 1

1 1 1

.sin

. tan .sin

Fa Fnr

Fa Ft

δα δ

==

• Moment fléchissant : 11 1. 2Fa

dmM Fa=

• Vecteur force (denture droite) : 2 2 21 1 1 1Fn Ft Fr Fa= + +


18/28

11 cos

FtFn

α=

2.4.2 Contrainte sur la denture

2.4.2.1 Dimensionnement de la denture à là pression

1. Contraintes sur la denture : 1 1. . .d H pFt Ft K Ka Kvα=

• Facteur KHα (facteur géométrique d’application des efforts)

o Pour une bonne qualité d'exécution 1HK α =

o Pour une qualité moyenne d'exécution 1,5HK α =

• Facteur ZH 2

1

cos .tanHZα α

=

• Facteur ZM ( ) ( )2 21 2

1 2

10,8

1 1MZ

E E

ν ν=

− −+

Lorsque les deux dentures sont en acier, la valeur de ZM est de 268

• Facteur Zε 4

3Z α

εε−

=

2. Pression superficielle maximale PHmax

1 1max

1 2

. . .. . . 1

.H p

H H M

Ft K Ka Kv zP Z Z Z

b dvm zα

ε

= +

(N/mm2)


19/28

max _H H admP P≤

3. Pression superficielle admissiblee Padm . . .H Lim L V R

H admH

P K Z ZP

S=

4. 5. La durée de vie Lh en heures :

( )2

4

1 1

. . . .4,7.10

.H Lim L V R H

h

P K Z Z SL

E n≈ ( heures)

2.4.2.2 Contrainte de flexion dans le pied de la dent

1. Contrainte au pied de la dent 1 1. . .d fl FFt Ft Ka Kv K α=

2. Contraintes au pied de la dent

o Contrainte de compression 1 sin

..cos

d F

i

Ft

b s

ασα

=

αF = l’angle de la direction de la force normale hF =hauteur de l’application du moment fléchissant

o Contrainte de flexion 1

2

cos 6.. .

cosd F F

fli

Ft h

b s

ασα

=

o Contrainte de cisaillement 1 cos

..cos

d Fmoy

i

Ftc

b s

αα

Τ =

o Contrainte de comparaison ( ) 22

comp fl moycσ σ σ= + + Τ


20/28

La contrainte de flexion est la contrainte prépondérante elle suffit pour le dimensionnement de la denture. • Coefficient de forme YF

2

6. . .cos

.cosm F F

Fi

m hY

s

αα

=

La valeur du Coefficient de forme YF pour roues dentées extérieures est à prendre dans de la figure 3. Contraintes de flexion σfl

1max

. .. . . .

.F

fl F fl vm

Ft KY Y Ka K

b mα

εσ =

Avec

1

1m

dmm

z=

4. Contrainte de flexion admissible σfl adm

arg * *fl adm ch e matiere fl Limc cσ σ=

5. Contrainte de flexion maximale acceptable par la relation :

amax

fl dmfl

flS

σσ ≤


21/28

3 Denture conique à denture droite avec couronne dentée sans correction de denture

• Si 3 90δ > ° , nous obtenons une roue dentée intérieure appelée

également couronne dentée et on pose Z3 négatif. Ainsi tous les diamètres deviennent négatifs et lorsque 90Σ > ° le cosΣ devient

également négatif.

• L’orsque 3 90δ > ° , le 3cosδ devient également négatif.

• Nombre de dents de la roue virtuelle : 33

3cosV

zz

δ−

=

3.1 Dimensions principales Voir 2.1 Dimensions principales, p15

3.2 Condition limite d’usinage Voir 2.2 Condition limite d’usinage, p16


22/28


1 2αε ε ε= +

[ ]1 1 3 3



= − + −

Avec

11

1

.cosc cos

2.V

VeV

darc

d m

αα = +

V3Ve3

V3

d .cosαα =arc cos

d -2.m

Et

11

1

.

cos

m zdv

δ=





Voir 2.4.1 Les efforts agissant sur la denture. p17


23/28

3.4.2 Contraintes sur la denture


Voir 2.4.2.1 Dimensionnement de la denture à là pression, p17 1. Pression superficielle maximale PHmax

1 1max

1 3

. . .. . . 1

.H p

H H M

Ft K Ka Kv zP Z Z Z

b dvm zα

ε

= −

(N/mm2)

max _H H admP P≤

3.4.2.2 Dimensionnement de la denture à la contrainte de flexion dans le pied de la dent

Voir 2.4.2.2 Contrainte de flexion dans le pied de la dent, p19


24/28

4 Denture conique à denture droite avec déport de denture

• Engrenages ayant une correction totale 1 2( 0)x x+ ≠ sont très

rarement utilisés.

Si 1 2( 0)x x+ = 2 1x x= −

• Deux types de déport de denture :

o Déport de profil en hauteur o Déport de profil latéral o Déport de profil latéral

et déport de profil en hauteur

4.1 Déport de profil en hauteur • Modifie :

o L’angle primitif δ1 o L’angle de tête κe o L’angle de pied κi

4.2 Déport de profil latéral

• Epaisseur de la dent au cercle primitif : 1 1. 2. .2

s m x mπ= +

• L'épaisseur de la dent de la grande roue devient plus petite puisque x2

est négatif


25/28

4.3 Dimensions principales

• Diamètres des cercles primitifs : 1 1 1 12 cosd m z xh m δ= ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅

• Diamètres des cercles de tête :

1 1 1 1 12 cos 2 cosde m z m xh mδ δ= ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅

• Diamètres des cercles de pied :

1 1 1 1 12.5 cos 2 cosdi m z m xh mδ δ= ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅

• Variation de l’angle primitif :

1 11

1

2 sinarctan

xhx

z

δκ ⋅ ⋅=

• Angles des cônes primitif : 1 1 1xδ δ κ′ = +

• Angles de tête : 11

1 1 1

2.sinarctan

2 cose

z xh m

δκδ

′=

+ ⋅ ⋅ ⋅

• Angles des cônes de tête : 1 1 1e eδ δ κ′= +

• Largeur de la denture :

1

1

10.

6.sin

b m

et

db

δ

≤

≤′


26/28

• Diamètres des cercles de têtes intérieurs : 11 1

1

sin2. .

cos

edei de b

e

δκ

= −

• Position du sommet du cône : 1 1 1 1totala ae ab ai= + +

Avec

( )1 1 12. . . sinae m xh m δ= +

11

1

cos

cos

eab b

e

δκ

=

11

12.tan

deiai

eδ=

• Diamètre moyens : 1 1 1. .sindm m z b δ ′= −

• Angles de pied : 11

1 1 1

2.5 sinarctan

2 cosi

z xh m

δκδ

′⋅= + ⋅ ⋅ ⋅

• Les diamètres des primitifs de la roue virtuelle :

11

1cos

dmdvm

δ=

′


1 2αε ε ε= +

[ ]1 1 3 3



= − + −

Avec


27/28

11

1

.cosc cos

2.V

VeV

darc

d m

αα = +

Et

11

1

.

cos '

m zdv

δ=





• Force tangentielle : 11

1

2.MtFt

dm=

• Composante normale radiale :

1 1

2 21 1 1

. tanFnr Ft

mais

Fnr Fr Fa

α=

= +

• Force radiale :

1 1 1

1 1 1

.cos '

. tan .cos '

Fr Fnr

Fr Ft

δα δ

==

• Force axiale :

1 1 1

1 1 1

.sin '

. tan .sin '

Fa Fnr

Fa Ft

δα δ

==


28/28

• Moment fléchissant : 11 1. 2Fa

dmM Fa=

• Vecteur force (denture droite) : 2 2 2

1 1 1 1Fn Ft Fr Fa= + +

11 cos

FtFn

α=

4.5.2 Contraintes sur la denture


Voir 2.4.2.1 Dimensionnement de la denture à là pression, p18

4.5.2.2 Dimensionnement de la denture à la contrainte de flexion dans le pied de la dent

Voir 2.4.2.2 Contrainte de flexion dans le pied de la dent, p19

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Engrenages à denture conique