Energa MagnticaEE-521 Propagacin y Radiacin Electromagntica IMiguel Delgado Len MSc Ing Miguel Delgado Len

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Introduccin Miguel Delgado Len Establecer un campo magntico requiere un gasto de energa. Si una fuente de tensin se aplica a un circuito, entonces la corriente puede expresarse como:

es la tensin inducida y la resistencia del circuito de corriente. El trabajo realizado por para mover el incremento de carga a travs del circuito es: se obtuvo con la ley de Faraday. representa la conversin irreversible de la energa elctrica en calor. es el trabajo efectuado contra la tensin inducida en el circuito. Es la parte del trabajo realizado por la fuente para alterar el campo magntico. Despreciando el trmino (implica considerar el circuito conductor perfecto). Escribimos: Donde el subndice indica que es el trabajo realizado por la fuente de energa externa (bateras)

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Cambio de la energa magntica y energa magntica de circuitos acopladosMiguel Delgado Len Para un circuito rgido estacionario que no tenga otras prdidas por efecto Joule (es decir, no hay histresis) , el trmino es igual al cambio de la energa magntica del circuito.Si hay n circuitos, entonces, segn (3), el trabajo elctrico hecho en contra de la tensin inducida est dado por: El flujo en el circuito k es debido a l y los otros circuitos:Diferenciando (5) llegamos a:Reemplazando (6) en (4):Las corrientes e son instantneas. La relacin con las corrientes mximas e alcanzadas es: (donde ) que reemplazado en (7) e integrando obtenemos:

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Energa magntica de circuitos acopladosMiguel Delgado Len La energa magntica para dos circuitos (n=2) es:Por lo tanto la energa magntica de n circuitos acoplados es:Para n=1 ( k=j=1, ). La energa magntica ser: Es decir, puede obtenerse la inductancia de un circuito a partir de la energa magntica.De aqu: El flujo sobre el circuito k es: Reemplazando en (8) resulta:

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Miguel Delgado Len Energa magntica en funcin de los campos magnticos El flujo magntico sobre el circuito k es conocido como que reemplazando en (12) obtenemos (ten en cuenta que: ):Teniendo en cuenta que entonces (13) cambia a: Aplicando la identidad conocida (considerando ) A partir de est identidad (14) se transforma en: La integral de superficie es cero, entonces:

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EjemplosMiguel Delgado Len Ejemplo 1Dos circuitos superconductores aislados conducen ciertas corrientes cuando se colocan de tal manera que sus inductancias mutuas sean cero. Posteriormente se mueven hasta que su inductancia mutua es M. Si los circuitos son idnticos con auto inductancia L y tienen las corrientes iniciales Io encuentre las corrientes finales I Ejemplo 02Encontrar la energa, la inductancia interna y externa de una lnea de transmisin coaxial formada por dos conductores. El conductor interno tiene un radio a y el conductor externo es una cascara de radio b (b>a).

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Miguel Delgado Len Fuerzas y momentos de rotacin sobre circuitos magnticosLa fuerza magntica puede calcularse mediante la ley de fuerzas de Ampere. Est fuerza puede tambin calcular mediante energa magntica. Supongamos que permitimos (desplazamiento virtual) que la fuerza magntica desarrolle un trabajo mecnico: Este trabajo tiene dos contribuciones: Es decir la diferencia de la variacin de la energa de la fuente externa (batera) y la variacin de la energa magntica.A corriente constante: El circuito est conectado a la fuente. La variacin de la energa magntica segn (12) es: La variacin de la energa de la fuente externa es segn (3):Es decir es el doble que reemplazando en (16) y luego en (15): El subndice indica a corriente constante Si el circuito se desplaza en una direccin ejemplo x

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Miguel Delgado Len Fuerzas y momentos de rotacin sobre circuitos magnticosSi el circuito gira (rota) en lugar de desplazarse, tenemos el momento de rotacin A flujo constante: El circuito est aislado de la la fuente. La variacin de la energa magntica segn (12) es: De la ecuacin (3) se obtiene: Reemplazando (23) en (16) y luego en (15) obtenemos: El subndice indica a flujo constante Si el circuito se desplaza en una direccin ejemplo x Si el circuito gira (rota) en lugar de desplazarse, tenemos el momento de rotacin

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Miguel Delgado Len Energa propia y de interaccinComo ya sabemos, la energa magntica de dos circuitos esEl primer trmino es la energa propia del circuito 1, el tercer trmino es la energa propia del circuito 2 y el segundo trmino es la energa de interaccin.Suponiendo que las corrientes son constantes y en el caso de un desplazamiento virtual la nica cantidad que varia es M. Entonces la fuerza magntica sobre el circuito 2 ser: Est frmula puede modificarse. Recurriendo a la definicin de la inductancia mutua: que reemplazado en (28) tenemos:

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EjemplosMiguel Delgado Len Ejemplo 1Una corriente recta de longitud infinita lleva una corriente I1. Otra espira circular de radio a conduce una corriente I2 como se muestra en la figura. Si los dos circuitos estn en el mismo plano. Determine al fuerza magntica sobre la espira.Ejemplo 2Un conductor circular en forma de alambre de dimetro d, resistividad r y densidad de masa rm cae desde una gran altura en medio de un campo magntico Bz=Bo(1+kz) donde. El dimetro D siempre es paralelo al plano XY. Determine la velocidad final.

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Miguel Delgado Len Interaccin de un cuerpo magntico con un campo externo (cambio de energa)Cuando se introduce un material magntico en un campo inicial, el campo cambia como se observa en la figura. El cambio de energa es:No es difcil demostrar que este cambio de energa es igual a: es la variacin del volumen del cuerpo. La fuerza magntica sobre el cuerpo en una situacin a flujo constante ser:

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EjemplosMiguel Delgado Len Ejemplo 1El campo de induccin magntica entre los polos de un electroimn es relativamente uniforme y se mantiene en un valor constante Bo. Una placa paramagntica delgada que solo puede moverse verticalmente se coloca en el campo como se muestra en la figura . La susceptibilidad de la placa es cm y su area de seccin transversal es A Calcule la fuerza sobre la placa Obtenga el valor numrico si Bo=0.25 T y A=1 cm2

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Miguel Delgado Len Prdidas por corrientes de Foucault y prdidas por histresisLos ncleos de material ferro magntico son construidos con laminas para disminuir las perdidas por corrientes parasitas Cuya solucin esPotencia disipada en la placa por efecto de JouleV, es el volumen de la placa V= lx ly e

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Miguel Delgado Len Suponiendo que Bx vare senoidalmenteCalculando el valor medio de potencia, teniendo en cuenta que para el clculo de perdidas interesa en particular el valor instantneo.El valor medio de Es 1/2La potencia por unidad e volumen es

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Miguel Delgado Len De la expresin anterior se puede concluir que pf depende del cuadrado de la espesura de la lamina. pf depende de 2 (frecuencia) Los materiales que presentan baja conductividad presentan pequeas prdidas

Por lo general una frecuencia es impuesta por condiciones de funcionamiento del Dispositivo.Se debe de adaptar una espesura de la lamina a la pulsacin del campo.Cuanto mayor sea la frecuencia mas delgada debe ser la lamina.

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Prdidas por HistresisMiguel Delgado Len Otra prdida en forma de calor son las asociadas con el mantenimiento de la curva de histresisLlamando Ph a la potencia asociada al ciclo de histresis.Wh la energa consumida en un ciclo.Densidad volumtrica de energa magnticaDonde v es el volumen

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Miguel Delgado Len Se demuestra que la energa por unidad de volumen es el rea encerrada por la curva de histresis, es decir Entonces la energa consumida en un ciclo es: La prdida en todo el ncleo debido a la histresis ser

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Miguel Delgado Len Jos Daz Zegarra*Miguel Delgado Len Jos Daz Zegarra