EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacionalengenhariaaeroespacial.ufabc.edu.br/old/profs/annibal/pagina/CFD... · resolução de problemas de dinâmica de fluidos com comportamento

EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional

Universidade Federal do ABC


Apresentação do Curso


Universidade Federal do ABC

Sod’s Shock Tube Problem

Um simples modelo de uma dimensional de um gás introduzido por G.A. Sod, J. Computational Physics 27,

1 (1978), para testar a capacidade de algoritmos de resolução de problemas de dinâmica de fluidos com

comportamento de onda de choque.


As equações da dinâmica de gases

As equações da dinâmica dos fluidos são declarações matemáticas de três princípios físicos fundamentais:

• A massa é conservada.

• Segunda lei de Newton: F = ma

• A energia é conservada.



As equações unidimensionais para a dinâmica de fluidos de um gás podem ser escrito na forma conservativa:

onde r é a densidade do fluido, u é a velocidade, e é a energia por unidade de volume, e p é a pressão.

0))((

0)()(

0)(

2

peuxt

e

puxt

u

x

u

t

rr

rr


Precisamos de mais uma equação para fechar o sistema. Esta é a equação de estado

onde g é o índice adiabático do gas.

• Para um gas ideal g = 1.4.


2

2

1)1( uep rg



Na forma vetorial, estas equações ficam

onde

0

F(U)U

xt

e

ur

r

U

)(

2

peu

pu

u

r

r

F


The shock tube problem

• Sod considerou um tubo unidimensional de comprimento 0 x 1 e com a seguintes condições inicias em t = 0:

0)0,(

1,0

0,1)0,(

125,0

0,1)0,(

21

21

21

21

xu

xpara

xparaxp

xpara

xparaxr


Condições iniciais

• Este estado inicial pode ser imaginado como havendo uma película no meio do tubo.

• O gás para a esquerda e para a direita da película está inicialmente em repouso.

• A pressão e densidade são descontinuas ao atravessar a película.

• Em t = 0, a película se rompe.



Dois tipos de singularidades se propagam através do gás:

• Discontinuidades de contato: a pressão p e a velocidade u são continuas, mas a densidade r e energia por unidade de volume e são descontinuas.

• Ondas de choque: todas as grandezas p, u, r e e são em geral descontinuas ao longo da frente de choque.



• Para simular um tubo fechado, condições de contorno reflexivas podem ser aplicada em x = [0, 1].

• O tubo de choque então exibe um comportamento interessante, com ondas de choque e descontinuidades de contato indo e voltando no tubo, interagindo umas com as outras.


Métodos de Godunov e Riemann Solvers

• A simulação de descontinuidades, como frentes de choque está entre os problemas mais interessantes e difíceis em dinâmica de fluidos computacional.

• Simples esquemas de diferenças finitas não podem lidar com este tipo de comportamento singular.

• Segundo o trabalho de Godunov, Mat. Sb. 47, 271 (1959), baseado em sua tese de PhD, muitos esquemas eficazes de captura de choque foram desenvolvidos para aplicações em astrofísica e na indústria aeroespacial.


A equação de advecção linear

• Considere a equação linear simples

onde c é uma constante com dimensões de velocidade.

• Dado um perfil inicial u(x, 0) = (x), a solução desta equação é facilmente reconhecida como sendo u(x, t) = (x − ct).

• Esta é uma forma de onda que se move a uma velocidade constante dx/dt = c sem alterar sua forma.

0),(),(

txu

xctxu

t


O problema de Riemann

Este tipo de condição inicial define um Problema de Riemann.

Fisicamente, esta condição inicial representa uma frente

de choque que se move com velocidade constante c, sem alterar a sua forma.

Uma forma simples de estado inicial é uma

função degrau ou uma função constante por

partes u(x,0).


O problema de Riemann

• Apesar de ser um problema tão simples, com uma solução simples, é muito difícil para simular numericamente.

• A razão para isso é que a derivada u/x é infinita na descontinudade: matematicamente trata-se de uma função delta.

• Esquemas de diferenças finitas assumem que a solução é suave, isto é, as derivadas são limitadas, de modo que uma expansão em série de Taylor de passo h seja válida.

• Quando esta suposição é violada por uma descontinuidade, um regime de primeira ordem tende a pertturbar a descontinuidade, incluindo os resultados de ordens mais elevadas, com oscilações instáveis na posição da descontinuidade.


Forma integral da lei de conservação

Para resolver este problema, Godunov utilizou a forma conservativa da equação de advecção

onde f(x, t) = cu(x, t) é o escoamento do campo u(x, t).

0),(),(

txf

xtxu

t



Escolhemos alguns pontos da matriz espaço tempo x= ih, t = nt .

Estes pontos serão usados para a resolução numerica do problema.



Se considerarmos o par (f, u) como uma função do vetor no plano (x, t), então a equação de conservação

corresponde à divergência do vetor

u

fuf tx



Vamos integrar essa divergência sobre a região retangular e utilizar o Teorema de Gauss para convertê-la em uma integral de linha no perímetro:

onde o integrando da integral de linha é o componente normal do campo de vetores no perímetro do retângulo.

0ˆ

dl

u

fdtdx

u

fn



Definimos as médias integrais de u(x, t) nos lados superior e inferior do retângulo:

2/1

2/1

2/1

2/1

),(1

),(1

1

1

i

i

i

i

x

x

n

n

i

x

x

n

n

i

dxtxuh

u

dxtxuh

u



E as médias integrais de tempo do fluxo ao longo dos lados esquerdo e direito do retângulo:

1

1

,1

,1

2/12/1

2/12/1

n

n

n

n

t

t

ii

t

t

ii

dttxuff

dttxuff

t

t



A integral de linha pode ser escrita como

Agora, se interpretamos como o valor da solução no ponto de grade i no instante de tempo n, então o valor da solução no ponto de grade i no próximo passo de tempo n + 1 é dada pela fórmula

02/12/1

1

dtffdxuu ii

n

i

n

i

n

iu

2/12/1

1

ii

n

i

n

i ffh

uut


Esquema Godunov para a frente para fluxos de meio-passo

O que resta é especificar os fluxos conservados de meio-passo

A Sugestão de Godunov para determinar os fluxos de meio-passo foi resolver dois problemas de Riemann.

2/1if



• Por exemplo, para determinar , considere o problema de Riemann no intervalo onde é o ponto central

2/1if

2/32/1 ii xxx 2/1ix

2/11

2/1),(

i

n

i

i

n

i

xxparau

xxparautxu



Para a equação advecção linear, a solução deste problema de Riemann é trivial

e também

0

0),(

1

2/1cparau

cparautxu

n

i

n

i

i

0

0

1

2/1cparacu

cparacuf

n

i

n

i

i



Como resultado, temos um esquema para a frente porque:

• se c > 0, a forma de onda se move para a direita e o valor inicial à esquerda abrange a fronteira direita da região retangular.

• se c < 0 a onda se move para a esquerda e o valor inicial à direita cobre a fronteira direita.

n

iu

n

iu 1



Substituindo os valores de fluxo de Godunov na fórmula de atualização conservativa, obtém-se a solução discreta

onde o número the Courant-Friedrichs-Lewy vale

0se

0se

1CFL

1CFL

2/12/11cuu

cuuuff

huu

n

i

n

i

n

i

n

in

iii

n

i

n

i

t

h

ct CFL


A solução de Godunov

Esta abordagem geral Godunov pode ser aplicada a problemas mais complicados.

Por example, na equação de Burgers’

o valor corrente da solução, em vez de uma velocidade constante de onda c determina a escolha de ou nas equações acima. n

iu n

iu 1

2

2

1uf


A solução de Godunov

No caso das equações de Euler 1-D de dinâmica de fluidos, o fluxo da solução e cada um tem três componentes

• Em vez de uma velocida de de onda única, a solução para o problema de Riemann envolve encontrar os autovalores de uma matriz 3 × 3

• A solução envolve várias regiões separadas por frentes de choque da esquerda e da direita em movimento e uma descontinuidade de contato, em vez de apenas uma única frente de choque.

• Deve-se escolher a região correta para calcular o fluxo de Godunov.

e

ur

r

U

)(

2

peu

pu

u

r

r

F

Documents

EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacionalengenhariaaeroespacial.ufabc.edu.br/old/profs/annibal/pagina/CFD... · resolução de problemas de dinâmica de fluidos com comportamento