Elise Cristina Pinheiro da Silva Pires - UEPAccse.uepa.br/ppged/wp-content/.../10/Elise_Cristina... · Elise Cristina Pinheiro da Silva Pires O ensino da Geometria Analítica por

Universidade do Estado do Pará Pró-Reitoria de Pesquisa e Pós-Graduação Centro de Ciências Sociais e Educação Programa de Pós-Graduação em Educação

Elise Cristina Pinheiro da Silva Pires

O ensino da Geometria Analítica por meio de

atividades

Belém 2017


O ensino da Geometria Analítica por meio de atividades

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-graduação em Educação da Universidade do Estado do Pará como exigência parcial para obtenção do título de Mestre em Educação, na linha Formação de Professores e Práticas Pedagógicas da Universidade do Estado do Pará, sob orientação da Prof. Dr. Pedro Franco de Sá.

Belém 2017

Dados Internacionais de Catalogação-na-publicação (CIP) Biblioteca do CCCSE/UEPA, Belém - PA

Pires, Elise Cristina Pinheiro da Silva O ensino da geometria analítica por meio de atividades /Elise Cristina

Pinheiro da Silva; orientação de Pedro Franco de Sá, 2017 Dissertação (Mestrado em Educação) – Universidade do Estado do Pará, Belém, 2017.

1. Geometria analítica. 2. Ensino por atividades. 3. Educação

matemática. I. Sá, Pedro Franco (orient.). II. Título. CDD. 22º ed. 516.3


O ensino da Geometria Analítica por meio de atividades

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-graduação em Educação da Universidade do Estado do Pará como exigência parcial para obtenção do título de Mestre em Educação, na linha Formação de Professores e Práticas Pedagógicas da Universidade do Estado do Pará, sob orientação da Prof. Dr. Pedro Franco de Sá.

Banca Examinadora ___________________________________ - Orientador Prof. Dr. Pedro Franco de Sá Doutor em Educação - Universidade Federal do Rio Grande do Norte Universidade do Estado do Pará

___________________________________ - Membro externo Prof. Dr. João Claúdio Brandemberg Quaresma Doutor em Educação – Universidade Federal do Rio Grande do Norte Universidade Federal do Pará

___________________________________ - Membro interno Prof. Dr. Fábio José da Costa Alves Doutor em Geofísica – Universidade Federal do Pará Universidade do Estado do Pará/Universidade da Amazônia

Aos membros de minha família, Estelita, Josué, Henrique e Felipe

que são meus principais motivadores na vida e na minha

trajetória docente.

AGRADECIMENTOS

A Deus, que me proporciona, todos os dias, saúde e fé para seguir o caminho

docente com esperança.

Aos meus pais, Estelita Pinheiro da Silva e Carlos Neri da Silva (In memorian)

e minha irmã Eliane Silva, que me proporcionaram condições para superar os

obstáculos da vida, me dando amor e incentivo em minhas escolhas.

Ao esposo Josué Pires, pelo amor e apoio em todos os momentos de minha

vida. Aos meus filhos, Henrique e Felipe Pires, pelo carinho e paciência comigo

nessa fase da vida.

Aos meus familiares, em especial Benedita Pinheiro (In memorian), Orlando

Flexa (In memorian), tios, tias, primas e primos que me apoiaram em todos os

momentos difíceis, com palavras motivadoras, conselhos inspiradores e a

compreensão fraterna nos momentos de ausência.

Ao meu orientador, Professor Doutor Pedro Sá, pela sua dedicação,

paciência e amor ao seu trabalho, permitindo compartilhar momentos de

aprendizado que levarei para sempre em meu caminhar acadêmico e pessoal.

Aos professores doutores Fábio Alves, João Cláudio Brandemberg e Rosana

Gessinger, pelas contribuições valiosas a essa pesquisa.

Aos meus amigos, em especial Nazaré Moraes, Louriane Lima, Glaúcia

Mesquita, Denize Souza, Socorro Carvalho, Gilson Farias e Edna Santos, assim

como a minha cunhada Francilene Pires, pelos conselhos generosos, pelo carinho

e auxílio fraterno em minha trajetória profissional e pessoal.

Aos meus colegas de turma, em especial a Neusa Santos, Rosana Correa,

Lanna Rodrigues, Luciane Tavares e Adrielle Lopes, pelo carinho, por me permitirem

viver momentos prazerosos durante esse período, que enriqueceu minha rede de

conhecimento.

À Universidade do Estado do Pará, e em especial ao programa de Pós-

graduação em Educação (PPGED-UEPA) e a professora e coordenadora do

mestrado Ivanilde Apoluceno, pela oportunidade. Aos funcionários desse mestrado,

Jorge (nosso Jorginho), Joaquim e o Carlos, pelo apoio e profissionalismo.

À escola, alunos e professores que colaboraram ao desenvolvimento dessa

pesquisa.

RESUMO

PIRES, Elise Cristina Pinheiro da Silva. O ensino da Geometria Analítica por meio de atividades. 2016. 347 f. Dissertação (Mestrado em Educação) - Universidade do Estado do Pará, Belém, 2017.

Este trabalho apresenta os resultados de uma pesquisa baseada na Engenharia Didática (Artigue, 1996) como metodologia de pesquisa e teve como o objetivo analisar as potencialidades de uma sequência didática ao ensino da Geometria Analítica na educação básica por meio do ensino da matemática por atividades (Sá,2009). Essa pesquisa se desenvolveu em quatro fases. As análises prévias, primeira fase, foi composta por uma revisão de estudos; um breve levantamento histórico; consulta a discentes belenenses e a docentes paraenses sobre o processo de ensino e aprendizagem da geometria analítica, sendo que revelaram, dentre outras informações, que os alunos consideraram “regulares” os conhecimentos acerca de ponto, reta e circunferência, contudo obtiveram, no teste diagnóstico, média inferior a um, na escala de 0 a 10, indicando uma deficiência nos conhecimentos de base, como ponto, sistema de eixos cartesianos e distância entre pontos. A segunda etapa, concepção e análise a priori, teve como base as análises prévias e como resultado a proposta de uma sequência didática constituída por 20 atividades para abordar os conteúdos acerca de ponto, reta e circunferência, 2 testes (Pré-teste e Pós-teste) e 9 atividades de fixação. A terceira fase da pesquisa, a experimentação, teve a finalidade de aplicar a sequência didática elaborada e aconteceu em uma Escola Estadual do município de Belém-Pará, com 29 alunos do terceiro ano do nível médio, onde tivemos como um dos resultados a melhora no desempenho dos alunos em relação a aprendizagem da geometria analítica. A quarta fase da pesquisa, análise a posteriori e validação, com o objetivo de analisar as informações geradas na experimentação, assim como comparar os resultados com as análises a priori, verificamos que a sequência didática teve validação positiva uma vez que a maioria das atividades foram consideradas válidas e que houve um avanço de 47% em relação aos testes realizados. Palavras-chave: Geometria Analítica. Ensino por Atividades. Ensino da Geometria Analítica. Educação Matemática.

ABSTRACT

Pires, Elise Cristina Pinheiro da Silva. The Teaching of Analytic Geometry by Activities. 2016. 347 f. Dissertação (Mestrado em Educação) – Universidade do Estado do Pará, Belém, 2017. This research study aims to analyze the potentialities of a didactic sequence applied to the teaching of analytic geometry by activities in Brazil’s basic education according to the theoretical work of Sá (2009). Its methodology has been designed as a didactic engineering study (Artigue, 1996) developed in four phases. In the first one, a literature review and a brief historical survey have been done; also, a consult with students of Belém city and teachers of the state of Pará to discuss the teaching-learning process of analytic geometry. This first stage has revealed students’ lack of knowledge on fundamental contents to geometry, such as points, Cartesian coordinate system and distance between points. Although students consider themselves to have an average knowledge about the contents points, lines and circumference, they have scored below one (a lot less than average) on the diagnostic test given. The second phase of the research has been about the conception and the a priori analysis based on the previous data collected. As a result of phase two, not only a didactic sequence with 20 activities has been done (to address the contents points, lines and circumference), but also 1 pretest and 1 posttest. Furthermore, the a priori analysis has been done for it one of the activities listed before. The third phase will be the application of the didactic sequence to 29 high school students at a public school located in Belém, where we had as a result of the improvement in student performance in relation to learning of Analytic Geometry. Finally, the fourth will be the a posteriori analysis and the evaluation with the main objective of both analyzing and comparing the third phase results with second phase ones. Statistics resources will be used, such as tables, comparative graphs and the test of hypothesis to analyze the pretest and posttest, in order to perform the evaluation and that there was an advance of 47% in relation to the tests performed.

Keywords: Analytic Geometry. Teaching by Activities. Teaching of Analytic Geometry. Mathematics Education.

LISTA DE IMAGENS

Imagem 1- Maquete do campo de futebol quadriculado 43

LISTA DE TABELAS

Tabela 1- Escolaridade dos responsáveis dos discentes consultados 49 Tabela 2- Gosto pela Matemática (Discentes de Belém) 50 Tabela 3- Motivos das distrações nas aulas de Matemática 52 Tabela 4- Frequência de estudo em Matemática 53 Tabela 5- Abordagem do conteúdo matemático, conforme os discentes 55 Tabela 6- Fixação do conteúdo matemático, de acordo com os discentes 57 Tabela 7- Estudo do Bloco 1, conforme os discentes 60 Tabela 8- Estudo do Bloco 2, conforme os discentes 61 Tabela 9- Estudo do Bloco 3, conforme os discentes 62 Tabela 10- Estudo do Bloco 4, conforme os discentes 63 Tabela 11- Estudo do Bloco 5, conforme os discentes 64 Tabela 12- Faixa etária dos docentes paraenses 78 Tabela 13- Tempo de serviço dos docentes 79 Tabela 14- Ensino e exercício dos conteúdos, conforme os docentes 85

Tabela 15- Carga-horária que os docentes trabalham com a Geometria Analítica

88

Tabela 16- Grau de dificuldade para aprender, conforme os docentes – Bloco 1

90


91


92


94


95

Tabela 21 Avaliação das questões, conforme os docentes 97 Tabela 22 Idades dos participantes da experimentação 148 Tabela 23 Responsáveis pelos participantes da experimentação 149

Tabela 24 Escolaridade dos responsáveis pelos participantes da experimentação

150

Tabela 25 Ensino fundamental dos participantes da experimentação 151 Tabela 26 Declaração dos alunos sobre afinidade com Matemática 152 Tabela 27 Frequência de estudos dos participantes da experimentação 153

Tabela 28 Auxílio em casa nas tarefas dos participantes da experimentação

154

Tabela 29 Categorias de conclusões da atividade 3 163 Tabela 30 Categorias de conclusões da atividade 4 165 Tabela 31 Categorias de conclusões da atividade 5 166 Tabela 32 Categorias de conclusões da atividade 6 170 Tabela 33 Categorias de conclusões da atividade 7 174 Tabela 34 Categorias de conclusões da atividade 8 177 Tabela 35 Categorias de conclusões da atividade 9 181 Tabela 36 Categorias de conclusões da atividade 10 182 Tabela 37 Categorias de conclusões da atividade 11 185 Tabela 38 Categorias de conclusões da atividade 12 188 Tabela 39 Categorias de conclusões da atividade 13 191 Tabela 40 Categorias de conclusões da atividade 14 193

Tabela 41 Categorias de conclusões da atividade 15 196 Tabela 42 Categorias de conclusões da atividade 16 199 Tabela 43 Categorias de conclusões da atividade 17 201 Tabela 44 Categorias de conclusões da atividade 18 204 Tabela 45 Categorias de conclusões da atividade 19 207 Tabela 46 Categorias de conclusões da atividade 20 210 Tabela 47 Tempo de realização das atividades 213 Tabela 48 Desempenho nos testes e a diferença entre as notas 219 Tabela 49 Intensidade dos coeficientes de Pearson (r) 220

Tabela 50 Escolaridade dos responsáveis (valores parametrizados) x diferença de notas

221

Tabela 51 Afinidade pela Matemática (valores parametrizados) x diferença de notas

222

Tabela 52 Frequência de estudos (valores parametrizados) x diferença de notas

223

Tabela 53 Dificuldade em Matemática (valores parametrizados) x diferença de notas

224

Tabela 54 Distração nas aulas (valores parametrizados) x diferença de notas

225

Tabela 55 Auxílio nas tarefas de casa de Matemática (valores parametrizados) x diferença de notas

226

Tabela 56 Rede de ensino no nível fundamental (valores parametrizados) x diferença de notas

227

Tabela 57 Notas em Matemática (valores parametrizados) x diferença de notas

228

Tabela 58 Correlações entre a diferença de notas e as variáveis socioeconômicas

229

Tabela 59 Presenças nas aulas de experimentação x notas no Pós-teste 230 Tabela 60 Erros conceituais e procedimentais no Pós-teste 246 Tabela 61 Valores relativos dos erros dos testes no decorrer da pesquisa 254

Tabela 62 Valores relativos das questões em branco dos testes no decorrer da pesquisa

255

LISTA DE GRÁFICOS

Gráfico 1- Responsáveis pelos discentes 48 Gráfico 2- Escolaridade dos responsáveis 49 Gráfico 3- Cursos extracurriculares 50 Gráfico 4- Gosto pela Matemática 51 Gráfico 5- Afinidade com Matemática conforme pesquisas entre 2012

a 2014 51

Gráfico 6- Motivos das distrações nas aulas de Matemática 53 Gráfico 7- Frequência de Estudos em Matemática 54 Gráfico 8- Auxílio nas tarefas de casa 55 Gráfico 9- Abordagem do conteúdo matemático, conforme os

discentes 55

Gráfico 10- Abordagem do conteúdo matemático conforme pesquisas entre 2012 a 2014

56

Gráfico 11- Fixação do conteúdo matemático segundo os discentes 57 Gráfico 12- Modo de fixação do conteúdo matemático conforme

pesquisas entre 2012 a 2014 58

Gráfico 13- Estudo do bloco 1 conforme os discentes 61 Gráfico 14- Estudo do bloco 2 conforme os discentes 62 Gráfico 15- Estudo do bloco 3 conforme os discentes 63 Gráfico 16- Estudo do bloco 4 conforme os discentes 64 Gráfico 17- Estudo do bloco 5 conforme os discentes 65 Gráfico 18- Grau de dificuldade para aprender conforme os discentes

– bloco 1 67

Gráfico 19- Grau de dificuldade para aprender conforme os discentes – bloco 2

69


70


71


73

Gráfico 23- Acertos e erros das questões do teste diagnóstico 75 Gráfico 24- Notas do teste diagnóstico dos alunos consultados 76 Gráfico 25- Faixa etária dos docentes paraenses 78 Gráfico 26- Tempo de serviço docente 79 Gráfico 27- Escolaridade dos docentes 80 Gráfico 28- Professores que ensinam da mesma maneira que

aprenderam 81

Gráfico 29- Modo como os professores aprenderam geometria na educação básica

82

Gráfico 30- Modos de ensinar conforme os docentes 83 Gráfico 31- Modo de fixação conforme os docentes 84 Gráfico 32- Modo de ensinar, conforme pesquisas entre 2012 a 2015,

segundo docentes 86

Gráfico 33- Modo de exercitar conteúdos conforme pesquisa entre 2012 a 2015, segundo docentes

87

Gráfico 34- Carga-horária que os docentes trabalham com a Geometria Analítica

88

Gráfico 35- Grau de dificuldade para aprender conforme os docentes – bloco 1

90


92


93


94


96

Gráfico 40- Avaliação das questões conforme os docentes 97 Gráfico 41- Idade x gênero dos participantes da experimentação 149 Gráfico 42- Responsáveis pelos participantes da experimentação 150 Gráfico 43- Escolaridade dos responsáveis pelos participantes da

experimentação 151

Gráfico 44- Ensino fundamental dos alunos participantes da experimentação

152

Gráfico 45- Gosto pela Matemática entre os participantes da experimentação

152

Gráfico 46- Frequência de estudo dos participantes da experimentação

153

Gráfico 47- Frequência de estudo dos alunos conforme pesquisas no estado do Pará, entre 2013 a 2016

154

Gráfico 48- Auxílio nas tarefas em casa de Matemática 155 Gráfico 49- Auxílio nas tarefas de casa conforme pesquisas entre

2013 a 2016 155

Gráfico 50- Resultados do Pré-teste por questão 157 Gráfico 51- Resultados no Pós-teste por questão 213 Gráfico 52- Tempo de realização das atividades de abordagem dos

conteúdos em Geometria Analítica 215

Gráfico 53- Tempo de realização das listas de questões da experimentação

216

Gráfico 54- Dispersão entre notas em função da presença 231 Gráfico 55- Valores relativos dos acertos nos testes no decorrer da

pesquisa 245

Gráfico 56- Valores relativos dos erros, por questão, nos testes no decorrer da pesquisa

254

Gráfico 57- Valores relativos das questões em branco dos testes no decorrer da pesquisa

255

Gráfico 58- Desempenho dos alunos nos testes 257

LISTA DE QUADROS

Quadro 1- Trabalhos selecionados à revisão de estudos 31 Quadro 2- Grau de dificuldade dos conteúdos 39 Quadro 3- Responsáveis pelos discentes 48 Quadro 4- Cursos extracurriculares 50 Quadro 5- Auxílio nas tarefas de casa 54 Quadro 6- Grau de dificuldade para aprender, conforme os discentes –

Bloco 1 66

Quadro 7- Grau de dificuldade para aprender, conforme os discentes – Bloco 2

68


69

Quadro 9- O grau de dificuldade para aprender, conforme os discentes – Bloco 4

71


72

Quadro 11- Características das questões do teste diagnóstico 74 Quadro 12- Acertos e erros das questões do teste diagnóstico 74 Quadro 13- Professores que ensinam da mesma maneira que

aprenderam 81

Quadro 14- Modo como os professores aprenderam Geometria Analítica na educação básica

82

Quadro 15- Modo de ensinar conforme os docentes 83 Quadro 16- Modo de fixação, conforme os docentes 84 Quadro 17- Dificuldade de aprendizagem em relação ao bloco 1,

conforme alunos e professores 99

Quadro 18- Dificuldade de aprendizagem em relação ao bloco 2, conforme alunos e professores

100


101


103


104

Quadro 22- Fonte e ano das questões da lista 1 139 Quadro 23- Fonte e ano das questões da lista 2 140 Quadro 24- Fonte e ano das questões da lista 3 140 Quadro 25- Fonte e ano das questões da lista 4 141 Quadro 26- Fonte e ano das questões da lista 5 142 Quadro 27- Fonte e ano das questões da lista 6 143 Quadro 28- Fonte e ano das questões da lista 7 143 Quadro 29- Fonte e ano das questões da lista 8 144 Quadro 30- Fonte e ano das questões da lista 9 145 Quadro 31- Atividades realizadas x número de aulas da experimentação 146 Quadro 32- Desempenho individual dos alunos no Pré-teste 156 Quadro 33- Resultados do Pré-teste por questão 157 Quadro 34- Respostas da atividade 1 relacionadas a localização 159 Quadro 35- Desempenho individual dos alunos no Pós-teste 211 Quadro 36- Resultados do Pós-teste por questão 212

Quadro 37- Parametrização da escolaridade dos responsáveis 221 Quadro 38- Parametrização da afinidade em Matemática 222 Quadro 39- Parametrização da frequência de estudo em Matemática 223 Quadro 40- Parametrização da dificuldade em Matemática 224 Quadro 41- Parametrização da distração nas aulas de Matemática 225 Quadro 42- Parametrização do auxílio nas tarefas de casa de

Matemática 226

Quadro 43- Parametrização da rede de ensino no nível fundamental 227 Quadro 44- Parametrização das notas em Matemática 228 Quadro 45- Acertos realizados na primeira questão do pós-teste 237 Quadro 46- Acertos realizados na segunda questão do pós-teste 238 Quadro 47- Acertos realizados na terceira questão do pós-teste 239 Quadro 48- Acertos realizados na quarta questão do pós-teste 240 Quadro 49- Acertos realizados na quinta questão do pós-teste 242 Quadro 50- Acertos realizados na sexta questão do pós-teste 243 Quadro 51- Acertos realizados na sétima questão do pós-teste 243 Quadro 52- Acertos realizados na oitava questão do pós-teste 244 Quadro 53- Erros cometidos na primeira questão do pós-teste 247 Quadro 54- Erro cometido na segunda questão do pós-teste 248 Quadro 55- Erros cometidos na terceira questão do pós-teste 249 Quadro 56- Erros cometidos na quarta questão do pós-teste 249 Quadro 57- Erros cometidos na quinta questão do pós-teste 250 Quadro 58- Erros cometidos na sexta questão do pós-teste 252 Quadro 59- Erros cometidos na sétima questão do pós-teste 252 Quadro 60- Erros cometidos na oitava questão do pós-teste 253 Quadro 61- Comparação dos pré- e pós-testes 256 Quadro 62- Comparação da análise a priori com a posteriori das

atividades de abordagem dos conteúdos 258

Quadro 63- Comparação da análise a priori com a posteriori das atividades de fixação

263

Quadro 64- Comparação da análise a priori com a posteriori dos testes 265 Quadro 65- Comparativo dos acertos nos testes da pesquisa com o grau

de dificuldade indicada pelos docentes 269

LISTA DE FIGURAS

Figura 1- Organização didática dos livros didáticos conforme Andrade (2012)

36

Figura 2- Obra abstracionista utilizada por Segura (2013) 45 Figura 3- Sala de aula 158

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO 21

2 ANÁLISES PRÉVIAS 27

2.1 ASPECTOS HISTÓRICOS DA GEOMETRIA ANALÍTICA 27

2.2 ESTUDOS SOBRE O ENSINO DE GEOMETRIA ANALÍTICA 30

2.2.1 Estudos Diagnósticos 32

2.2.2 Estudos de propostas metodológicas 37

2.2.3 Estudos experimentais 41

2.3 CONSULTA AOS DISCENTES SOBRE O ENSINO E APRENDIZAGEM DE GEOMETRIA ANALÍTICA

47

2.3.1 Perfil dos discentes 48

2.3.2 Avaliação discente acerca de sua aprendizagem em Geometria Analítica 59

2.3.3 Dados sobre o resultado do teste diagnóstico 73

2.4 CONSULTA AOS DOCENTES SOBRE O ENSINO E APRENDIZAGEM DE GEOMETRIA ANALÍTICA

77

2.4.1 Perfil dos docentes 78

2.4.2 Avaliação dos docentes sobre o aprendizado dos discentes em Geometria Analítica 89

2.4.2.1 Bloco 1 segundo docentes 89





2.4.3. Avaliação dos docentes sobre o teste pertencente ao questionário 96

3 CONCEPÇÃO E ANÁLISE A PRIORI 107

3.1 ANÁLISE A PRIORI DO PRÉ-TESTE E PÓS-TESTE 109

3.2 APRESENTAÇÃO E ANÁLISE A PRIORI DAS ATIVIDADES PARA ABORDAGEM DOS CONTEÚDOS EM GEOMETRIA ANALÍTICA

115

3.2.1 Atividade 1 – localização na sala de aula 115

3.2.2 Atividade 2 – localização de pontos no xadrez 116

3.2.3 Atividade 3 – plano cartesiano 119

3.2.4 Atividade 4 – Pontos sobre o eixo x 120

3.2.5 Atividade 5 – Pontos sobre o eixo y 121

3.2.6 Atividade 6 – Ponto médio 122

3.2.7 Atividade 7 – Baricentro 123

3.2.8 Atividade 8 – alinhamento de três pontos 124

3.2.9 Atividade 9 – distância entre dois pontos com as mesmas abscissas 125

3.2.10 Atividade 10 – distância entre dois pontos com as mesmas ordenadas

126

3.2.11 Atividade 11 – distância entre dois pontos quaisquer 127

3.2.12 Atividade 12 – declividade de reta 129

3.2.13 Atividade 13 – declividade em pontos distintos e colineares 130

3.2.14 Atividade 14 – equação da reta 131

3.2.15 Atividade 15 – equação geral da reta 132

3.2.16 Atividade 16 – Retas paralelas 133

3.2.17 Atividade 17 – Retas perpendiculares 134

3.2.18 Atividade 18 – equação da circunferência 135

3.2.19 Atividade 19 – distância de um ponto a reta 136

3.2.20 Atividade 20 – área do triângulo 137

3.3 ATIVIDADES DE FIXAÇÃO DOS CONTEÚDOS EM GEOMETRIA ANALÍTICA

138

3.3.1 Listas de Questões 138

3.3.1.1 Listas de Questões 1 138









4 EXPERIMENTAÇÃO 146

4.1 PRIMEIRO ENCONTRO 148

4.1.1 Perfil dos participantes da experimentação 148

4.1.2 Resultados do Pré-teste 156

4.1.3 Desenvolvimento da atividade 1 158


4.2. SEGUNDO ENCONTRO 160


4.3 TERCEIRO ENCONTRO 164



4.4 QUARTO ENCONTRO 166

4.5 QUINTO ENCONTRO 167

4.6 SEXTO ENCONTRO 171



4.7 SÉTIMO ENCONTRO 178

4.8 OITAVO ENCONTRO 178



4.9 NONO ENCONTRO 183


4.9.2 Desenvolvimento da lista 3 186

4.10 DÉCIMO ENCONTRO 186

4.11 DÉCIMO PRIMEIRO ENCONTRO 187



4.12 DÉCIMO SEGUNDO ENCONTRO 191

4.13 DÉCIMO TERCEIRO ENCONTRO 193

4.14 DÉCIMO QUARTO ENCONTRO 194

4.15 DÉCIMO QUINTO ENCONTRO 194

4.16 DÉCIMO SEXTO ENCONTRO 196



4.17 DÉCIMO SÉTIMO ENCONTRO 201

4.18 DÉCIMO OITAVO ENCONTRO 202


4.18.2 Desenvolvimento da lista de questões 6 204

4.19 DÉCIMO NONO ENCONTRO 205


4.20 VIGÉSIMO ENCONTRO 207

4.21 VIGÉSIMO PRIMEIRO ENCONTRO 208


4.21.2 Desenvolvimento da lista de questões 8 210

4.22 VIGÉSIMO SEGUNDO ENCONTRO 210

4.23 VIGÉSIMO TERCEIRO ENCONTRO 211

4.23.1 Resultados do Pós-teste 211

4.23.2 Tempo de realização das atividades 213

4.24 ENCONTRO PARA AVALIAÇÃO DAS ATIVIDADES 217

5 ANÁLISE A POSTEORI E VALIDAÇÃO 218

5.1 TESTE DE HIPÓTESES 218

5.2 CORRELAÇÕES DE PEARSON 220

5.3 ANÁLISE A POSTERIORI DAS ATIVIDADES APLICADAS DURANTE A EXPERIMENTAÇÃO

231

5.3.1 Sobre as atividades de abordagem dos conteúdos em Geometria Analítica

232

5.3.2 Sobre as atividades de fixação 234

5.3.3 Acertos e erros no Pós-teste 235

5.3.3.1 Sobre os acertos no Pós-teste 236

5.3.3.2 Sobre os erros no Pós-teste 245

5.3.3.3 Sobre os testes aplicados durante a experimentação 256

5.4 COMPARAÇÃO ENTRE ANÁLISE A PRIORI E A POSTERIORI DAS ATIVIDADES DA SEQUÊNCIA DIDÁTICA

257

6 CONSIDERAÇÕES FINAIS 271

7 REFERÊNCIAS 273

APÊNDICES 278

21

1 INTRODUÇÃO

A Matemática é uma área do conhecimento necessária para a formação do

cidadão, uma vez que a partir das noções aritméticas, algébricas, geométricas e suas

estruturas lógicas, ao aluno é proporcionado o entendimento dos problemas que o

cercam e suas possíveis soluções, o que consequentemente os tornam mais

conscientes e críticos diante de situações vivenciadas por ele. Nesse sentido, é

relevante criar estratégias que desperte o interesse dos alunos em estudar

Matemática, no entanto, conforme nossas vivências docentes, essa tarefa não é fácil,

pois, de modo geral, a Matemática é vista desvinculada do cotidiano discente. De

acordo com DÁmbrósio (2007, pág. 31):

É muito difícil motivar com fatos e situações do mundo atual uma ciência que foi criada e desenvolvida em outros tempos em virtude dos problemas de então, de uma realidade, de percepção, necessidades e urgências que nos são estranhas. Do ponto de vista de motivação contextualizada, a Matemática que se ensina hoje nas escolas é morta.

Ao refletir sobre a afirmação de DÁmbrósio percebemos que necessitamos

investir mais na maneira de como ensinar Matemática, criando meios de ensino e

aprendizagem que incentive o aluno a constituir sua rede de conhecimentos

matemáticos para que possa desconstruir e reconstruir a impressão de que a

Matemática é uma área de conhecimento sem dinamismo. A Geometria, por sua vez,

uma parte importante no estudo da Matemática, exige uma atenção especial, quando

se trata de ensino e aprendizagem, uma vez que o mundo é lido por meio dela.

Conforme Murari (2012, pág. 216);

A Geometria, parte integrante do saber matemático, exige linguagem e procedimentos apropriados para que suas relações conceituais e sua especificidade quanto às representações simbólicas sejam entendidas. Por isso, a preocupação dos educadores matemáticos com sua prática pedagógica não é recente. Ela é um ramo da Matemática que possui um campo muito fecundo, e a maneira como for estudada irá refletir no desenvolvimento intelectual, no raciocínio lógico e na capacidade de abstração e generalização do aluno.

Durante a passagem pela Educação Básica, tínhamos a mesma impressão que

esses pesquisadores demonstraram em suas afirmações, nos incomodava o modo

como eram trabalhados alguns conteúdos matemáticos, tais como a Trigonometria e

a Geometria Analítica, pois acreditávamos que esses conhecimentos poderiam ter

uma abordagem mais dinâmica e próxima do cotidiano. Ao ingressarmos na academia

22

constatamos que existem maneiras diversas de abordar a Matemática escolar. Em

vista disso, procuramos por metodologias para ensinar Matemática de forma diferente

do que é aplicado em sala de aula, na maioria das vezes.

Os discentes ficavam mais motivados em estudar Matemática quando

trabalhávamos com recursos alternativos de ensino, tais como, o uso de jogos

didáticos, utilização de softwares educacionais e de resolução de problemas, como

percebemos no projeto Diagnósticos de conteúdos críticos de Matemática e propostas

no ensino fundamental e médio, no qual fizemos parte. Vale destacar que o referido

projeto, coordenado pelo prof. Dr. Fábio Alves, pertence ao programa Observatório

em Educação, financiado pela CAPES (Coordenação de aperfeiçoamento de pessoal

de nível superior), com parceria do INEP (Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas

educacionais Anisio Teixeira) e SECADI (Secretaria de Educação continuada,

alfabetização, diversidade e inclusão), e tem como finalidade diagnosticar e

apresentar propostas pedagógicas ao ensino da Matemática. Durante o trabalho

nesse projeto, observamos que a Geometria Analítica ainda nos desafiava, à medida

que notávamos a lacuna que permanecia no ensino e aprendizagem dela, o que nos

motivou a ter essa pesquisa como uma das ações do projeto mencionado.

Em relação ao processo de ensino e aprendizagem da Matemática, Sá (2009)

apontou para a importância da participação ativa dos agentes (alunos e professores)

envolvidos nesse processo, os alunos por meio da participação em atividades

estruturadas que possam proporcionar a capacidade de desenvolver estratégias

Matemáticas nas resoluções de problemas, e os professores por meio da mediação

entre o aluno e o conhecimento matemático, o que reconhecemos como o ensino da

Matemática por atividades. Fossa (2012), ao discutir sobre a Geometria e suas

abordagens a partir de situações-problemas, deixou claro que há necessidade de

encontrar alternativas de ensino que busque proporcionar a construção do

conhecimento pelo próprio aluno, pois é ineficaz entregar ao aluno estruturas

geométricas prontas.

Diante desse quadro e da observação de nossas práticas docentes,

percebemos que os discentes não conseguem ter uma ampla compreensão dos

conceitos básicos de Geometria Analítica plana, entre eles destacamos, a localização

de coordenadas de pontos, identificação de equação da circunferência e

determinação da equação da reta. Logo, optamos em aprofundar os estudos

relacionados ao ensino dessa área da Matemática para encontrar um meio

23

metodológico de ensino da Geometria Analítica que possibilite momentos de

aprendizagens mais representativos aos alunos. Com isso, surgiu o seguinte

questionamento: “Quais potencialidades de uma sequência didática, por meio de

atividades, podem ter no ensino de Geometria Analítica na educação básica? ”, assim

como, a priori será relevante saber “Como os docentes e discentes percebem o ensino

da Geometria Analítica na Educação Básica? ”, “Quais são abordagens metodológicas

mais frequentemente utilizadas no ensino de Geometria Analítica? ” e “O que temos a

oferecer positivamente à comunidade no que concerne meios didáticos e

metodológicos do ensino da Geometria Analítica plana na Educação Básica? ”.

Pretendemos assim, experimentar e analisar uma sequência didática que auxilie na

tentativa de alcançar um meio metodológico, que atenda a necessidade de

abordagem dos conteúdos elementares da Geometria Analítica, tais como, pontos,

retas e circunferências, tendo como sujeitos desta pesquisa discentes do 3º ano do

nível médio, pois é nessa série em que é abordado tal conteúdo matemático, conforme

livros didáticos, conteúdos programáticos de Faculdades e Universidades regionais e

os desenhos curriculares das Escolas de Ensino Médio.

Nesse sentido, nossa pesquisa tem como objetivo analisar as potencialidades

de uma sequência didática para o ensino da Geometria Analítica plana na Educação

Básica por meio de atividades, baseados no ensino da Matemática por atividades,

defendido por Sá(2009), com o uso de tratamento estatístico dos resultados dos testes

(pré-teste e pós-teste) e no desempenho dos participantes durante desenvolvimento

da sequência didática concebida. Para desenvolvimento dessa pesquisa, optamos

pela experimentação, com a utilização da Engenharia Didática como metodologia de

investigação, de acordo com Artigue (1996), com contribuições nacionais de Pais

(2008) e Almouloud (2010) e, em âmbito local, de Sá e Alves (2011).

Conforme esses autores, essa metodologia de pesquisa, no que concerne o

campo da Educação Matemática, mais especificamente, no campo da Didática da

Matemática, é comparada a pesquisa experimental, pois ocorrem análises

preliminares e experimentações que promovem comparação e validação de hipóteses

levantadas no processo da investigação. Optamos por essa metodologia por

acreditarmos que com ela exista uma possibilidade maior de proporcionar o retorno

prático da pesquisa à comunidade, já que, ao final dela, pretendemos oferecer um

produto metodológico de ensino ao professor, com observações que podem ser úteis

24

à prática docente do mesmo. Essa pesquisa, de acordo com a Engenharia Didática, é

composta de 4 fases:

1. Análises prévias (ou análises preliminares);

2. Concepção e análise a priori;

3. Experimentação;

4. Análise a posteriori e validação.

A etapa de análises prévias é constituída de um conjunto de observações que

o pesquisador precisa fazer para ter condições de construir atividades pautadas no

conhecimento acerca do seu objeto de investigação. Para que isso ocorra, Artigue

(1996) sugeriu uma análise epistemológica, análise do ensino habitual, das

concepções discente e docente acerca do objeto matemático estudado. Conforme

Almouloud (2010, p.179):

Um dos objetivos das análises prévias é identificar os problemas de ensino e aprendizagem do objeto de estudo e delinear de modo fundamentado a (s) questão (ões), as hipóteses, os fundamentos teóricos e metodológicos da pesquisa.

Para contemplar essa etapa da pesquisa, tratamos dos aspectos históricos

sobre a Geometria Analítica, da revisão de estudos acadêmicos acerca do ensino da

Geometria Analítica, das consultas aos docentes e discentes sobre o processo de

ensino e aprendizagem da Geometria Analítica. Os aspectos históricos foram

retratados por meio de revisões literárias, apoiadas em Eves (2004) e Boyer (2004;

2010), para abordar pontos sobre o surgimento da Geometria Analítica que auxilie na

compreensão da evolução dessa área de conhecimento matemático. Para a revisão

de estudos acadêmicos, que aconteceu por meio de revisões de estudos em trabalho

de conclusão de curso, dissertações e teses, publicados entre 2004 a 2014, obtemos

um panorama das pesquisas acerca do ensino da Geometria Analítica na Educação

Básica em busca de referências para a concepção da sequência didática pretendida.

Utilizaremos como fontes de busca as bibliotecas digitais de várias Universidades

brasileiras, tais como, UFRN, UFPA, PUC, dentre outras.

Nas consultas aos docentes, consultamos professores da rede pública

paraense, atuantes no Ensino Médio, onde tivemos informações sobre ensino habitual

da Geometria Analítica, com foco nos métodos de ensino utilizados, os obstáculos de

ensinar e o grau de dificuldade em aprender que os alunos apresentam. Utilizamos

como fonte de coleta de dados, questionários com questões fechadas e relacionadas

ao nosso objeto de estudo. Já em relação aos discentes, aconteceu consulta aos

25

alunos concluintes do 3º ano do Ensino Médio, com a finalidade de verificar a visão

deles sobre o ensino da área de conhecimento matemático em investigação, ao

contemplar os aspectos metodológicos e as possíveis dificuldades acerca do ensino

da Geometria Analítica na Educação Básica. Para esse momento, optamos pelo

modelo de questionário análogo ao que será aplicado ao docente como meio de

produção de informações à pesquisa.

Com base nos resultados dessa primeira etapa, seguimos para a fase de

concepção e análise a priori. Essa etapa é destinada a elaboração das atividades que

constituirão a sequência de ensino, que é entendido por Sá e Alves (2011) como

sequência didática. Conforme Sá e Alves (2011, p. 151):

A construção da sequência didática tem como objetivo a produção e a seleção de todo material que será necessário ao desenvolvimento da sequência de atividades propostas para o trabalho pedagógico a ser realizado. A sequência didática não precisa ser limitada por uma tendência didática vigente ou preferência do investigador. No caso específico da Educação Matemática, uma sequência didática pode ser baseada somente numa das tendências da mesma ou na conjunção de várias tendências.

Para a construção e desenvolvimento da sequência didática adotamos o ensino

de Matemática por atividades, defendida por Sá (2009), na intenção de proporcionar,

ao aluno, momentos de construção do conhecimento, por meio da redescoberta de

princípios e propriedades matemáticas. Nessa perspectiva, elaboramos 29 atividades,

acerca do estudo de ponto, reta e circunferência, com base em informações

abstraídas da etapa de análises preliminares.

A terceira fase da Engenharia Didática, intitulada “experimentação”, foi aplicada

da sequência didática produzida na etapa anterior. Para Almouloud (2010, p. 177) a

experimentação é considerada como:

[...] o momento de se colocar em funcionamento todo o dispositivo construído, corrigindo-o quando as análises locais do desenvolvimento experimental identificam essa necessidade, o que implica um retorno à análise a priori, um processo de complementação. Ela é seguida de uma fase de análise a posteriori, que se apoia no conjunto de dados recolhidos durante a experimentação: observações realizadas sobre as sessões de ensino e as produções dos alunos em sala de aula ou fora dela. Esses dados são, às vezes, complementados por dados obtidos por metodologias externas: questionários, entrevistas individuais ou em pequenos grupos, realizadas em diversos momentos do ensino.

As atividades que constituem a sequência didática dessa pesquisa foram

realizadas na mesma escola pública do município de Belém que houve a consulta dos

discentes concluintes (feita na etapa de análises prévias). A experimentação teve a

26

participação de 29 alunos do 3º ano do nível médio – equivalente a uma turma dessa

escola. Nessa etapa da pesquisa, a produção de informações para análise foi

realizada por meio de diário de campo, atividades preenchidas pelos discentes e os

testes (Pré- e Pós-teste) realizados por eles.

Como foi citado por Almouloud (2010), temos a etapa final, seguida da fase de

experimentação: a análise a posteriori e validação. Nesse momento analisamos as

informações produzidas nas fases anteriores, com abordagens quantitativas – por

meio do tratamento estatístico dos resultados dos testes – e qualitativas, por meio dos

registros das atividades realizadas. Após a sistematização dos resultados,

realizaremos a comparação entre as análises a priori e a posteriori para a validação

(ou não), conclusões e sugestões que o desenvolvimento da pesquisa proporcionou.

Esse texto pretende apresentar os resultados dessa pesquisa, dividido em 5

seções, onde cada uma descreverá uma etapa da pesquisa, conforme a engenharia

didática. Logo a primeira seção será destinada para analises prévias, a segunda

seção apresentará a concepção e análise a priori, a terceira seção trataremos da

experimentação, a quarta seção das análises a posteriori e validação e a quinta,

considerações finais.

27

1 ANÁLISES PRÉVIAS

Nesta seção temos o objetivo de apresentar aspectos históricos sobre a

Geometria Analítica; uma revisão de estudos sobre o processo de ensino de

Geometria Analítica; resultados de uma pesquisa de campo sobre as experiências no

processo de ensino e aprendizagem da Geometria Analítica de professores e alunos.

Estes elementos constituem a primeira fase de nossa pesquisa, como prevê a

Engenharia Didática.

2.1 ASPECTOS HISTÓRICOS DA GEOMETRIA ANALÍTICA

A Geometria Analítica emergiu, reconhecidamente moderna, na França com os

trabalhos de Descartes e Fermat. Reconhecidamente moderna porque se tem registro

de elementos dessa Geometria em épocas anteriores, mas de maneira rudimentar,

como a ideia de paralelismo encontradas nas técnicas de entalhes em ossos de

animais, com idade estimadas em 24.000 anos, conforme Almeida (2013). Outros

elementos dessa Geometria encontrados na antiguidade, aproximadamente no século

quatro antes de Cristo foram as ideias de coordenadas, variáveis e equações, noções

utilizadas por Apolônio em seus trabalhos sobre proporcionalidade e Geometria das

curvas.

Apolônio de Perga (262 – 190 a.C) pertenceu a idade Áurea da Matemática

grega, juntamente com Euclides e Arquimedes. Sua obra mais conhecida é “As

cônicas” na qual trabalhou com curvas cônicas (parábolas, elipses e hipérboles),

demonstrando propriedades entre elas. Seu método de demonstração era o uso de

coordenadas – sem o tratamento técnico que se usa na modernidade, pois esse

sentido técnico, assim como, a composição das coordenadas (abcissa e ordenada),

foram contribuições de Leibniz, em 1692, aproximadamente dois milênios após

Apolônio. Alguns historiadores da Matemática, tais como Boyer (2010) e Eves (2004)

atribuem a Apolônio o título de precursor da Geometria Analítica, já que seus trabalhos

influenciaram os estudos de Oresme e, possivelmente, Descartes e Fermat, a

exemplo. Segundo Boyer (2010, p. 107):

Que Apolônio, maior geômetra da antiguidade, não tenha desenvolvido a Geometria Analítica se deveu provavelmente à pobreza de curvas mais do que de ideias. Não são necessários métodos gerais quando os problemas se referem sempre a um caso dentre um número limitado de casos particulares.

28

Além disso, os inventores modernos da Geometria Analítica tinham toda a álgebra da Renascença à sua disposição, enquanto que Apolônio trabalhava necessariamente com o instrumento mais rigoroso, mas menos manejável da Álgebra geométrica.

Oresme foi um dos matemáticos que teve como base de estudo os trabalhos

de Apolônio e também apresentou um elemento, antecipadamente, da Geometria

Analítica – gráfico da equação da reta. Nicole Oresme (1323 – 1382) foi reconhecido

como um dos antecipadores da Geometria Analítica. Com a ideia do uso das

coordenadas, Nicole Oresme apresentou gráficos que representaram as leis de

correspondências físicas – como, por exemplo, a relação da velocidade com o tempo

- entre variáveis dependentes e independentes, diferenciando-se de Apolônio pelo

modo de representação de equação da reta. Conforme Eves (2004, p. 382):

Os que defendem Oresme como o inventor da Geometria Analítica argumentam com esse aspecto de seu trabalho, que seria a primeira manifestação explícita da equação da reta, com algumas outras noções a que ele chegou envolvendo espaços de dimensões superiores.

Tais influências matemáticas, fizeram com que Descartes e Fermat, no século

XVII começassem a apresentar ao mundo uma nova maneira de enxergar a

Geometria euclidiana. Com o avanço do simbolismo matemático e da álgebra, esses

matemáticos aprimoraram o “método novo” que Eves (2004, p. 382) considerou

“poderoso método de enfrentar problemas geométricos”, à época de sua

apresentação. Nesse contexto, os problemas que desde Euclides eram solucionados,

exclusivamente, através da Geometria euclidiana, passam a ser resolvidos pelo viés

da álgebra e da análise dos números reais.

Rennè Descartes (1596 – 1650) se destacou nessa área do conhecimento por

meio de um tratado intitulado “Discours de la methode pour bien conduire as Raison

et chercher la Vérité dans les sciences” (Discurso do método para bem conduzir a

razão e procurar a verdade nas ciências) no qual tratava do seu modo de interpretar

o mundo, fazer questionamento sobre o método de produção do conhecimento e sua

validade. Nesse trabalho, apresentou seu método de validação do conhecimento,

tomando como ponto de partida a dúvida metódica, como explicou Ferreira (1986, p.

21):

Descartes vai servir-se da dúvida metódica, isto é, duvidar de tudo o que o que não se apresentar com força suficiente para poder ser considerado como absolutamente irrecusável, o que, por outras palavras, significa pôr de parte sucessivamente todas as ideias em que a dúvida seja possível, até encontrar

29

uma cuja clareza e distinção sejam tais que perante ela a dúvida se torne de todo em todo impossível.

Nesse trabalho havia três apêndices: La Dioptrique, Les Meteores e La

Géométrie. O que interessa para esse momento é o último, pois tratou do método

algébrico para resolver problemas geométricos. A Geometria (La Géometrié) foi

escrita em três partes. Conforme (Eves, 2004), Descartes iniciou esse apêndice com

a explicação sobre alguns princípios da Geometria Algébrica e apontou os avanços

em relação à Geometria grega.

Para os gregos, uma variável correspondia ao comprimento de um segmento, o produto de duas variáveis à área de algum retângulo e o produto de três variáveis ao volume de algum paralelepípedo retângulo. Os gregos não iam além disso. Para Descartes, por outro lado, x² não sugeria uma área, antes, porém o quarto termo da proporção 1: x = x: x², suscetível de ser representado por um segmento de reta fácil de construir quando se conhece x. (EVES, 2004, p. 384)

Nesse momento, Descartes anunciou um modo diferenciado de representar os

termos matemáticos da Geometria euclidiana ao estabelecer a convenção do uso das

primeiras letras de nosso alfabeto para apresentar incógnitas e as últimas letras para

indicar variáveis. Na segunda parte dessa obra, o matemático classificou algumas

curvas e trouxe um método diferente de construir tangentes a curvas. Por fim, na

terceira parte foi trabalhado alguns problemas de resoluções de equações de grau

maior que dois.

Outro estudioso de Matemática, mas com formação em direito, que contribuiu,

quase paralelamente a Descartes, ao desenvolvimento da Geometria Analítica e ficou

marcado como um dos principais representantes dessa área do conhecimento

matemático foi o francês Pierre de Fermat (1601 – 1665). Seu trabalho apresentou

definições de curvas hiperbólicas e parabólicas analiticamente, no qual apresentou

uma curva rn = aƟ como as espirais de Fermat. Além disso, pesquisou a teoria dos

números e conjecturou várias propriedades sobre números primos e equações, que

foram comprovadas por matemáticos posteriores, como Euller, Lagrange, Legendre,

entre outros. Por conta de suas várias contribuições à Matemática, Pierre de Fermat

é considerado o maior matemático do século XVII, conforme Eves (2004) e Boyer

(2010).

Fermat se diferenciava de Descartes pelo ponto de partida de seus estudos,

pois enquanto o segundo partia do lugar geométrico para encontrar uma equação, o

30

primeiro partia de uma equação para encontrar um lugar geométrico correspondente.

E esses dois pontos diversos de pensamento foram os princípios fundamentais do

desenvolvimento da Geometria Analítica.

O resgate de aspectos históricos do surgimento da Geometria Analítica, por

meio dos trabalhos de Apolônio, Oresme, Descartes e Fermat, foi necessário para se

entender os motivos que levaram a Geometria Analítica ser inserida no currículo da

Matemática básica, já que com a expansão industrial o mundo necessitava de uma

Matemática que oferecesse opções à evolução tecnológica e a Geometria Analítica

contribuiu para esse desenvolvimento.

2.2 ESTUDOS SOBRE O ENSINO DE GEOMETRIA ANALÍTICA

Nesta subseção apresentaremos o levantamento bibliográfico e a revisão de

estudos correspondentes as análises teórico-acadêmicas. No período de setembro de

2014 a março de 2015, fizemos o levantamento bibliográfico acerca das dissertações

e teses nacionais que discutiram o ensino de Geometria Analítica. Identificamos como

fontes de busca o portal da Coordenação de aperfeiçoamento de pessoal de nível

superior (CAPES), portal da Biblioteca Digital de Teses e Dissertações (BDTD),

portais de algumas universidades, tais como, UEPA, UFPA e UNAMA, dentre outras,

colocando como palavras-chave “ensino da Geometria Analítica” e “Geometria

Analítica”. Optamos por trabalhos, entre 2004 a 2014, que abordassem o ensino da

Geometria Analítica direcionada à educação básica na expectativa de apontar

recursos metodológicos possíveis de trabalhar em sala de aula, assim como, trabalhos

que problematize o ensino e a aprendizagem da Geometria Analítica da educação

básica.

Dentre os trabalhos encontrados, selecionamos 13, sendo 11 dissertações,

uma tese e um trabalho de conclusão de curso, com variadas abordagens didático-

metodológicas para diferenciados conteúdos referentes a Geometria Analítica

trabalhadas na Educação Básica. No quadro abaixo, destacamos os trabalhos

selecionados, com seus respectivos autores, títulos, ano de publicação, objetivos da

pesquisa, a instituição que está vinculada à pesquisa, sendo que o quadro foi

organizado por ano de publicação, na tentativa de oferecer um panorama cronológico,

pelo menos parcial, de produções realizadas nesse período sobre o ensino de

Geometria Analítica.

31

Em âmbito local, encontramos três trabalhos, nesse período entre teses e

dissertações, que abordam o objeto de estudo dessa pesquisa no estado do Pará –

Andrade (2007, 2012) e Patricio (2010). Patricio (2010) analisou atividades realizadas

pelos alunos do curso de licenciatura em Matemática da Universidade do Estado do

Pará – campus Moju/Pa - com o intuito de contribuir para o ensino e aprendizagem da

Geometria Analítica no Ensino Superior sob o ponto de vista da teoria dos registros

de representações semióticas. Como fizemos um recorte de nível de ensino,

exploraremos, nesse caso, apenas os trabalhos de Andrade (2007, 2012) expostos

na revisão de estudos apresentada após o quadro a seguir.

Quadro 1 – Trabalhos selecionados à revisão de estudos Nº AUTOR (A) OBJETIVO DA PESQUISA INST/UF ANO

01 Carmem Franzon Apresentar uma análise do livro I do Geometria de Descartes fazendo uma reflexão sobre o ensino

da Geometria Analítica

UFRN/RN 2004

02 Roberto Andrade Construir e aplicar uma organização didática para a Geometria Analítica plana

UFPA/PA 2007

03 Fabiana Hajnal Fazer um estudo sobre argumentação e prova envolvendo o paralelismo no ensino de Geometria

Analítica, por meio da Engenharia Didática.

PUC/SP 2007

04 Ricardo Santos Introduzir o software Grafeq no ensino de Geometria Analítica no Ensino Médio

UFRS/RS 2008

05 Katya Rizzon Investigar os conteúdos matemáticos aprendidos pelos do 3º ano do Ensino Médio

PUC/RS 2008

06 Michelli Silva e Marcos Silva

Propor um conjunto de atividades para o ensino de Geometria Analítica com o auxílio do KIG

UNAMA/PA 2008

07 Márcia Varella Analisar como os autores de materiais didáticos do Ensino Médio organizaram as tarefas

propostas envolvendo provas e demonstrações no conteúdo de Geometria Analítica plana

PUC/SP 2010

08 Roberto Andrade Construir uma compreensão do papel que a tarefa deve cumprir para que seja eleita tarefa

fundamental ao desenvolvimento de organizações matemáticas e didáticas no ensino da Geometria

Analítica

UFPA/PA 2012

09 Welligton Silva Construir uma sequência didática para o Ensino Médio utilizando Geogebra

UFAL/AL 2013

10 Paulo Cezar Guedes

Elaborar aulas práticas para revisar e aprofundar os principais conceitos da Geometria Analítica

plana usando o Geogebra

UFES/CE 2013

11

Ana Paula Pereira Aproximar a Matemática do cotidiano do aluno por meio de uma sequência didática partindo das medidas de um campo de futebol para ensinar

Geometria Analítica

UFSCar/SP 2013

12 Claudia Segura Apresentar uma sequência didática de aplicações de conceitos em Geometria Analítica através da

releitura de uma obra abstracionista e o Geogebra

UEL/PR 2013

13 José Victor de Mesquita Filho

Analisar a eficiência do uso do software educacional Geogebra como ferramenta

pedagógica para o estudo da circunferência na perspectiva da Geometria Analítica

UFC/CE 2014

Fonte: Pesquisa de campo (2014)

32

Nossa revisão de estudos tem a intenção de oferecer um panorama das

pesquisas selecionadas no levantamento bibliográfico que fizemos. Conforme

Vosgerau e Romanowski (2014, p. 167):

Os estudos de revisão consistem em organizar, esclarecer e resumir as principais obras existentes, bem como fornecer citações completas abrangendo o espectro de literatura relevante em uma área. As revisões de literatura podem apresentar uma revisão para fornecer um panorama histórico sobre um tema ou assunto considerando as publicações em campo. Muitas vezes uma análise ou assunto das publicações pode contribuir na reformulação histórica do diálogo acadêmico por apresentar uma nova direção, configuração e encaminhamentos.

Nesse sentido, distribuímos nosso estudo em três categorias: diagnósticos,

propostas metodológicas e experimentais.

Os estudos diagnósticos foram caracterizados por aquelas pesquisas que

têm a finalidade de apontar uma análise sobre o processo de ensino e aprendizagem

da Geometria Analítica, assim como, um diagnóstico sobre o livro didático, logo

optamos pelos estudos de Rizzon (2008), Varella (2010) e Andrade (2012).

Os estudos de propostas metodológicas foram considerados os trabalhos

que oferecem, como produto de suas pesquisas, sugestões metodológicas de como

abordar conteúdos matemáticos referente a Geometria Analítica, tais como

sequências didáticas e situações pedagógicas, então escolhemos as pesquisas de

Frazon (2004), Silva e Silva (2008) e Silva (2013).

Os estudos experimentais foram caracterizados como as pesquisas que

propõem, experimentam e analisam atividades alternativas de ensino em sala de aula,

logo optamos pelos estudos de Andrade (2007), Hajnal (2007), Santos (2008), Guedes

(2013), Pereira (2013), Segura (2013) e Mesquita Filho (2014).

2.2.1 Estudos diagnósticos

O estudo diagnóstico é composto de análises de situações didáticas e de livro

didático da educação básica. Rizzon (2008), por meio da sua questão-problema

“Como os alunos aplicam a linguagem Matemática na interpretação de questões sobre

Geometria Analítica em uma escola do Ensino Médio? ”, fez um estudo com o objetivo

de identificar e analisar conteúdos matemáticos descritos pelos alunos após a

realização de uma Unidade de Aprendizagem (UA) sobre Geometria Analítica.

Sua pesquisa desenvolveu-se a partir de uma UA no qual os alunos,

organizados em grupos, interpretaram e exploraram quatro etapas dessa UA: etapa

exploratória, etapa de organização dos conteúdos, etapa da investigação e

33

comunicação e etapa da aplicação e de aprofundamento. Esses momentos tiveram

como modelo predominante o sociocultural, no qual valorizou o contexto e a

linguagem, primou pela participação do aluno e do professor e desenvolveu o senso

crítico e a autonomia dos participantes, conforme Rizzon (2008).

A produção de informações ocorreu por meio de relatórios elaborados pelos

alunos onde identificaram conteúdos matemáticos presentes em problemas – 3

questões escolhidas dentre 62 resolvidas – que foram propostos em provas de

vestibulares entre 1998 a 2006 das Universidades públicas e privadas do estado Rio

Grande do Sul. Os sujeitos do trabalho de Rizzon (2008) foram alunos – de 16 a 18

anos – do 3º ano do nível médio de uma escola particular de Porto Alegre. Os assuntos

acerca da Geometria Analítica abordados na pesquisa de Rizzon (2008) foram

distância entre dois pontos, a posição entre duas retas, o estudo do ângulo formado

por duas retas, equação da circunferência, posições entre ponto e circunferência,

entre reta e circunferência e entre duas retas no plano cartesiano, contudo a pesquisa

centrou-se em três questões sobre equação da circunferência, pois considerou que

tal conteúdo é relevante à aprendizagem uma vez que “tem por objetivo conciliar os

fatos geométricos as relações algébricas” (Rizzon, 2008, p. 38).

Na primeira questão solicitou aos grupos a equação da circunferência a partir

de um gráfico descrito no plano cartesiano, com a presença de alguns pontos. A autora

afirmou que por meio da circunferência apresentada “o aluno tem a possibilidade de

interpretar os conteúdos fundamentais para demonstrar a tese do problema” (Rizzon,

2008, p. 42) e destacou a solução de um grupo que relata todos os passos de

resolução do problema, pois “utiliza uma linguagem Matemática adequada e

demonstra relacionar os conteúdos anteriores para apresentar a tese” (Rizzon, 2008,

p. 44).

A segunda questão analisada tratava da determinação da equação da reta que

passa pelo centro da circunferência x² + y² + 4x – 6y = 0 e é paralela à reta x – y =0.

Conforme Rizzon (2008, p. 48), “a segunda questão estimula a atenção e a

concentração do aluno, pois a linguagem Matemática implícita nas hipóteses da

questão é fundamental para a interpretação e o encaminhamento da tese”. O grupo

que se destacou, segundo a pesquisadora, foi aquele que representou o problema de

maneira sintética, embora não tenham anunciado os conteúdos dos termos utilizados,

ou o motivo pelo qual aplicou os procedimentos algébricos e afirmou que a

34

interpretação dos termos da circunferência, feita pelos grupos, ficou em segundo

plano.

A terceira questão analisada abordou a determinação da medida de um

segmento de reta a partir dos pontos em que a reta 3x + 2y + 12 = 0 intercepta a

circunferência de equação x² + y² + 4x + 6y = 0. Conforme Rizzon (2008, p. 54), “na

terceira questão a leitura dos conteúdos e a representação gráfica que a hipótese

sugere são importantes para a interpretação da linguagem Matemática envolvida”. A

pesquisadora apresentou que todos os grupos identificaram os conteúdos envolvidos

diretamente nas hipóteses do problema e quase todos (entre 92% a 96% dos grupos)

identificaram a equação geral e reduzida da reta na questão. Entretanto,

demonstraram dificuldades em relacionar o coeficiente angular com a declividade e

a tangente, indicando a ausência de compreensão de tais conceitos.

Em suas considerações finais, Rizzon (2008) apontou que a unidade de

aprendizagem (UA) proporcionou ao aluno ser mais participativo, já que promoveu a

relação interpessoal na sala de aula, sugerindo que a escola seja um local de reflexão

para permitir que aluno exponha suas ideias e estratégias de solução de problemas.

À luz da Teoria Antropológica do Didático (TAD) e da tipologia de provas de

Balacheff (1988), Márcia Varella (2010), por meio da pesquisa qualitativa, analisou

como os autores de materiais didáticos organizaram propostas referentes ao estudo

da equação geral da reta. Teve como questão central da pesquisa “quais

organizações didáticas envolvendo prova e demonstrações são propostas por

materiais didáticos do Ensino Médio, no conteúdo de Geometria Analítica? ”. Para

isso, a pesquisadora utilizou como fontes de produção de informações coleções de

livros didáticos pertencentes ao Programa Nacional de Livro Didático para o ensino

médio e os cadernos bimestrais adotados pela Secretaria de Educação do estado de

São Paulo. Selecionou sete livros didáticos e dois cadernos e identificou quatro

questões, contendo tarefa e técnica, que auxiliaram a pesquisadora a alcançar seu

objetivo de pesquisa, conforme descrito no quadro 1.

Em relação à questão 1 – “Qual a abordagem utilizada pelo autor para

introdução ao conteúdo Geometria Analítica? ” Varella (2010) afirmou que alguns

livros didáticos – Dante (2005), Smole e Diniz (2005) e Rubio e Freitas (2005) –

possuem textos sobre a história da Geometria Analítica, fazendo referência a Nicole

Oresme, Rennè Descartes, o sistema cartesiano ortogonal, os estudos de Newton e

Fermat. Nesses textos, a pesquisadora ressaltou a correlação feita entre a álgebra e

35

geometria, e a relevância de trabalhar, nem que seja de maneira embrionária, a

história da Matemática.

Relacionada a questão 2 “Como os conceitos matemáticos que antecedem o

estudo da equação da reta são apresentados? ” Varella (2010) verificou que os livros

de Dante (2005) e Rubio e Freitas (2005) trabalham com registros de figuras em malha

quadriculada e com a linguagem Matemática simbólica para os pares ordenados e

observou que são trabalhados exemplos numéricos, sem definir generalização para

um ponto qualquer do plano. A autora mostrou que os livros demonstram preocupação

em relacionar as linguagens algébrica e geométrica. Considerou que os materiais, em

geral, contemplam uma das finalidades da Geometria Analítica, que é compreender a

representação de uma reta no plano, algebricamente e geometricamente, seja a

representação dada por meio de figuras, linguagem natural ou linguagem Matemática

simbólica. Contudo, ressaltou que alguns conteúdos, do jeito que foram abordados,

podem causar o entendimento de fórmula pronta, desvinculado de teoremas e

propriedades.

Sobre a questão 3 “Na introdução aos conceitos que antecedem o estudo da

equação da reta são utilizados os termos propriedade, teorema, demonstração, prova

ou mesmo é feita alguma diferenciação entre eles?”, Varella (2010) percebeu a

preocupação dos autores na busca de se fazerem ser compreendidos ao tratarem de

teoremas e propriedades, contudo fazem isso por meio de casos particulares e/ou

exemplos, o que levam as generalizações se resumirem em apresentações de

fórmulas e, ainda não é estabelecida diferenças entre propriedade, teorema,

demonstração e prova.

Acerca da questão 4 “As tarefas utilizadas, voltadas ao estudo da equação da

reta apresentam demonstrações ou provas? ”, a autora considerou que todos os

materiais didáticos abordam o objeto de estudo dela, no entanto com diferenciação no

modo como iniciam o estudo da equação da reta. Ressaltou que não é esclarecido o

que pode ser uma demonstração e uma prova, alguns materiais didáticos não se

referem a elaboração de demonstração como técnica de resolução de tarefas, e com

isso o aluno não relaciona que algumas resoluções estão no processo de

demonstrações de teoremas. Varella (2010) considerou que da maneira como

apresenta-se atualmente os materiais didáticos, não é possível que os alunos da 3ª

série do nível médio alcance a maturidade à argumentação consistente, uma vez que

se privilegia a aplicação de fórmulas no lugar de trabalhar a análise de situações-

36

problema. Assim como, a ausência de esclarecimentos acerca de termos de um

sistema dedutivo contribuiu para inconsistência da compreensão e elaboração de

provas e demonstrações. Além disso, sugeriu que haja pesquisas sobre a produção

de alunos em termos de provas e demonstrações em relação a Geometria Analítica.

Andrade (2012) com a finalidade de construir uma compreensão do papel que

a tarefa deve cumprir para que seja eleita como tarefa fundamental para permitir o

desenvolvimento de organizações matemáticas e didáticas ao ensino da Geometria

Analítica plana, tendo como base teórica a Teoria Antropológica do Didático (TAD) e

sujeitos participantes da pesquisa professores e alunos de uma Escola Pública

Federal de Belém-PA, realizou um estudo sobre possíveis tarefas fundamentais que

podem se transformar em um dispositivo metodológico de formação de professores.

Como parte de seu estudo, Andrade (2012) realizou uma análise sobre os

tipos de tarefas considerando as Organizações Matemáticas (OMs) e Organizações

Didáticas (ODs) presentes nos livros didáticos selecionado por ele – Dante (2005) e

Youssef (2005) – onde apontou que eles apresentam similaridade no que concerne

os objetos matemáticos propostos ao estudo e apresentou um quadro com a

organização didática distribuída em blocos, como mostra a figura 1.

O pesquisador observou que os blocos, em sua maioria, são tratados de modo

isolado, deixando a cargo do leitor estabelecer relações entre os blocos. Quando

existe uma conexão, são apresentados brevemente, “não evidenciando as possíveis

articulações e integrações que podem ser realizadas entre os tipos de tarefas

propostos ao longo do processo de estudo. ” (Andrade, 2012, p. 71). Andrade (2012)

fez também uma análise na Obra “La Geometrie” (1937) de Descartes para auxiliá-lo

Figura 1 – Organização didática dos livros didáticos conforme Andrade (2012)

Fonte: ANDRADE (2012, p. 69)

37

na busca de tarefas fundamentais e detectou a presença marcante do teorema de

Tales nas demonstrações de proposições da obra, no qual o considerou como

elemento articulador que Descartes utilizou para relacionar a Geometria, a Aritmética

e a Álgebra ao estabelecimento de seu método analítico. Além disso, identificou três

tipos de tarefas que são comuns nas OMs e ODs existentes nos livros didáticos

analisados: “representar um ponto por um par de números reais; determinar a

distância entre dois pontos e determinar a equação da reta” (Andrade, 2012, p.83).

A partir das experiências didático-metodológica dos participantes do estudo,

quando trata os tipos de tarefas fundamentais que eleitas durante o processo de

análises em livro didáticos, livro-texto da escola e a obra de Descartes, Andrade

(2012) construiu Percurso de Estudos e Pesquisa (PER) a ser experimentado na

formação de professores, concluiu que o PER se revelou como um dispositivo

metodológico diferenciado à formação continuada de professores no exercício da

função porque proporcionou o enfrentamento do problema da desarticulação dos

saberes, demonstrou a dimensão escolar dos objetos matemáticos, deixou claro as

funcionalidades das tarefas e fomentou a geração de questões, por meio das práticas

docentes.

Em relação a esta categoria, percebemos a necessidade de ter uma atenção

maior ao que o discente trás de conhecimento obtido no espaço escolar e não-escolar

para compreender suas deficiências e proporcionar condições reais de aprendizagem

e, em relação aos livros didáticos, de valorizar as demonstrações e provas, assim

como, de estabelecer e evidenciar conexões entre os tópicos da Geometria Analítica

para que o discente tenha possibilidade de amadurecimento de seu raciocínio lógico

e abstrato.

2.2.2 Estudos de propostas metodológicas

Os estudos de propostas metodológicas apontam abordagens metodológicas

diferenciadas de ensino. Frazon (2004) abordou a história da Matemática como fonte

pedagógica ao ensino da Geometria Analítica por meio de análise de textos antigos

da Matemática. Com os objetivos de realizar uma análise do livro I do Geometria do

Descartes, fazendo um estudo sobre o ensino de Geometria Analítica atual e apontar

questões pedagógicas a partir das quais podem ser criadas situações

problematizadoras a serem discutidas em sala de aula, Frazon (2004) desenvolveu

sua pesquisa realizando dois tipos de abordagens de análise de textos, uma de

38

natureza histórica e outra pedagógica acerca da obra de Descartes, A Geometria –

um dos apêndices da sua obra principal O Discurso do método – trabalhando com o

livro I desse apêndice.

A pesquisadora reconstruiu a trajetória histórica da Geometria Analítica e fez

um recorte enfatizando os trabalhos de Pappus (problema de três e quatro retas),

Apolônio (obra Cônicas) e Diofanto (obra Arithmética) que influenciaram Rennè

Descartes. Além disso, a pesquisadora destacou os trabalhos de matemáticos árabes

e europeus que contribuíram ao desenvolvimento da álgebra. Utilizou fontes

secundárias, tomando cuidado com as informações para evitar discrepância de datas

e minimizar as influências ideológicas dos autores consultados como fonte de

informações. Ressaltou outros trabalhos que também serviram de base ao

desenvolvimento de tal geometria, tais como, os trabalhos com raízes quadradas (de

Rafael Bombelli), equações de duas incógnitas (de François Viete) e equação da reta

e da circunferência, assim como, as cônicas de Pierre de Fermat, dentre outros.

Analisando a obra Geometria de Descartes, Frazon (2004) constatou que o

desenvolvimento da história da Geometria Analítica não condiz com a sequência

apresentada nos livros didáticos atualmente e nem seguiu o padrão utilizado por

Euclides na época de Os Elementos.

Para sala de aula, Frazon (2004) propôs que os professores levem os textos

de Geometria – livro I – para introduzir discussões não apenas relacionadas aos

conceitos da Geometria Analítica, mas também relacionadas à natureza da

Matemática, tais como tratar a dualidade do significado de expressões do tipo a² e a³,

ou seja, seu significado geométrico e seu significado algébrico; à importância da

compreensão do significado da linguagem Matemática para a sua manipulação

coerente; à concepção de que a criação de novas teorias matemáticas está

relacionada, em geral; à resolução de questões ligadas à própria Matemática ou a

outro campo do saber; e ao significado e importância da quebra de paradigma nas

ciências e, em particular, na Matemática. Sugeriu a reconstrução do currículo no

ensino da Geometria Analítica, articulando a história da Matemática com as técnicas

de resolução de problema usada atualmente, no entanto reconheceu a dificuldade que

tal mudança ocasionará, já que os alunos estão mais acostumados ao ensino de

técnicas do que à análise de textos matemáticos.

Silva e Silva (2008), com a finalidade de construir uma sequência didática de

ensino da Geometria Analítica, fizeram um levantamento de informações entre

39

professores da rede, da cidade Belém, para identificar as principais dificuldades em

ensinar conteúdos referentes a essa área do conhecimento e elaboraram 12

atividades - mediado por um software de geometria - e um jogo, relacionados a

conteúdos de Geometria Analítica.

Conforme os pesquisadores, os professores declararam que as habilidades de

localizar pontos nos eixos das ordenadas e abcissas são as mais fáceis de adquirir,

enquanto na categoria difícil e mais difícil, os índices mais elevados estão nos

assuntos referentes a retas perpendiculares, pontos de intersecção entre retas,

cônicas e demonstração de resultados, como mostraram o quadro 2:

Quadro 2: Grau de dificuldades dos conteúdos conforme Silva e Silva (2008)

Assunto

Fácil Regular Difícil Muito difícil

Valor absoluto

% Valor absoluto

% Valor

absoluto %

Valor absoluto

%

Localização dos pontos no eixo X.

21 65,62 11 34,37 ----- ----- ----- ----

Localização dos pontos no eixo Y.

22 68,75 10 31,25 ----- --- ---- ---

Distância entre dois pontos 11 34,37 17 53,12 2 6,25 ---- --

Equação da reta que passa por dois pontos

6 18,75 17 53,12 6 18,75 ---- ---

Equação da reta que passa por um ponto conhecendo o coeficiente angular.

5 15,62 18 56,25 5 15,62 ---- ---

Ângulo entre duas retas 6 18,75 13 40,62 6 18,75 ----- ---

Posição entre duas retas 6 18,75 17 53,12 3 9,37 ----- ---

Equação da reta paralela à outra reta.

5 15,62 14 43,75 6 18,75 ---- ---

Equação da reta perpendicular à outra reta

2 6,25 14 43,75 8 25 ---- ----

Ponto de interseção entre duas retas

5 15,62 11 34,37 8 25

Equação da circunferência 2 6,25 12 37,50 6 18,75 2 6,25

Cônicas 1 3,12 4 12,50 8 25 3 9,37

Demonstração de resultados da Geometria plana por Geometria Analítica

1 3,12 4 12,50 5 15,62 4 12,5

Fonte: SILVA E SILVA (2008, p. 41)

Os pesquisadores apresentaram que os professores, em sua maioria (52,4%),

fazem abordagens de Geometria Analítica por meio de definição, seguida de

exemplos, propriedades e exercícios. No entanto, com 31% aproximadamente, há

professores que a partir de uma situação-problema, sistematiza conceitos; com 9,5%

existem docentes que modelam situações reais para explicar os assuntos

matemáticos; e os que, por meio de jogos e recreações, trabalham os assuntos em

voga (7,1%).

40

A partir de algumas informações levantadas na pesquisa com os professores,

os pesquisadores elaboraram as atividades. O software utilizado nessas atividades,

como facilitador no processo de aprendizagem, foi o KIG – programa educacional de

geometria disponível no Boto Set – Linux (sistema operacional utilizado nos

laboratórios de informática das escolas estaduais paraenses).

As atividades tratavam de marcação e identificação de pontos no plano

cartesiano, a distância entre dois pontos, a determinação da equação da reta,

identificação de retas paralelas e perpendiculares, a determinação da equação da

circunferência, todas realizadas no programa KIG. O jogo trabalhava com a

localização de pontos no plano, por meio de um baralho intitulado “baralho das

coordenadas”. Conforme Silva e Silva (2008), essa sequência de atividades foi

oferecida na expectativa de proporcionar um elo entre a educação e a tecnologia, uma

alternativa diferenciada de ensino da Matemática aliada com a tecnologia acessível a

comunidade docente e discente, já que o KIG é um software livre.

Com o objetivo de apresentar uma sequência didática mediado pelo Geogebra,

Silva (2013) propôs, aos professores do ensino básico, baseado na Engenharia

Didática, 12 aulas acerca dos conteúdos de Geometria Analítica, englobando plano

cartesiano, vetores, estudo de retas e circunferências. Essa sequência didática

possuiu o auxílio de vídeos explicativos e a utilização do Geogebra. Em suas

considerações, salientou aos professores à necessidade de planejar suas aulas, para

a familiarização com os vídeos e para o programa Geogebra. Enfatizou que essa

sequência didática demandará um tempo maior do que é geralmente usado, no

entanto, durante o desenvolvimento das atividades, “o esforço do professor será

recompensado”, Silva (2013, p. 131).

Em relação a essa categoria, observamos que a tecnologia, por meio das

mídias e dos softwares de geometria dinâmica, é um caminho metodológico que pode

nos auxiliar na construção de nossas atividades que busca oferecer ao professor

alternativa diferenciada de ensino, assim como, os aspectos históricos também podem

ser considerados para o alcance da compreensão das famosas perguntas que cerca

o dia a dia do professor de Matemática: “por quê?” e “para quê? ”.

2.2.3 Estudos experimentais

Os estudos experimentais mostram resultados sobre ensino baseado em

experimentações de sala de aula. De acordo com a Teoria Antropológica do Didático

41

(TAD), Andrade (2007), com o objetivo de construir e aplicar uma organização didática

para a Geometria Analítica plana com tratamento no estudo de vetores, elaborou e

experimentou sete atividades, tendo como sujeitos da pesquisa alunos do 3º ano do

Ensino Médio de uma escola pública da cidade de Belém. Nessas atividades contou

com a história da Matemática e com a teoria de aprendizagem significativa de David

Ausubel para compor sua pesquisa de natureza qualitativa do tipo etnográfica na

educação.

O pesquisador afirmou que quase todos os alunos perceberam que os estudos

da Geometria Analítica e dos vetores não emergiram como consequência da ideia de

uma única pessoa ou de um único período histórico. Destacou a história da

Matemática como um meio de criar espaços de reflexão em sala de aula. Além disso,

afirmou que os alunos demonstraram interesse durante as atividades para solucionar

o problema, indicando a importância da utilização de questões abertas, o que

proporcionou um momento de institucionalização da técnica através da socialização

do conhecimento.

De acordo com Andrade (2007), as praxeologias didáticas permitiram

evidenciar as conexões existentes entre a Geometria Analítica plana e o estudo dos

vetores e estimulou as reflexões acerca dos assuntos, por parte dos alunos, ao

desenvolverem as organizações didáticas propostas, no momento das socialização e

indagações, por meio da interação dialógica entre os alunos, professor e pesquisador.

Hajnal (2007), com a finalidade de fazer um estudo sobre argumentação e

prova envolvendo o paralelismo no ensino de Geometria Analítica, elaborou e aplicou

uma sequência didática constituída de três etapas, compostas por 18 atividades. Para

isso, utilizou como recurso didático de sua sequência, o software Cabri-geometre e

teve como sujeitos da pesquisa alunos do 1º ano do nível médio.

Em suas análises prévias, Hajnal (2007) fez um breve histórico sobre a

Geometria euclidiana e seu percurso até chegar à Geometria Analítica, com os

trabalhos de Descartes e Fermat. Além disso, faz uma breve análise de alguns livros

didáticos com o foco no estudo do paralelismo no qual evidencia a ausência de

demonstrações e provas de propriedades, retirando a possibilidade do aluno levantar

hipóteses e aprimorar o manuseio da linguagem Matemática, corroborando com

Varella (2010).

Hajnal (2007), destacou a interação e os questionamentos dos alunos durante

o desenvolvimento das atividades, uma vez que, a partir disso, os alunos formularam

42

hipóteses, argumentaram, justificaram suas respostas e produziram provas, apesar

de às vezes serem provas rudimentares, elementos que caracteriza o pensar

matemático, conforme a pesquisadora. Além disso, ressaltou que o recurso

tecnológico adotado como ambiente de interatividade de sua sequência de ensino

favoreceu à elaboração de argumentações e provas, já que “os fatos observados

durante a movimentação [dos desenhos no Cabri] exigem que devem ser justificadas

e provadas” (Hajnal, 2007, p. 200). Concluiu que os alunos apresentaram evolução na

estrutura de pensamento matemático, no momento em que tomando como ponto de

partida a validação empírica, chega nas validações dedutivas de acordo com as

propriedades estudadas.

Com a finalidade de analisar a utilização do software gráfico Grafeq como

recurso didático no estudo da Geometria Analítica, Santos (2008) testou, em sua

pesquisa, atividades com o Grafeq em sala de aula. Seu estudo empírico foi realizado

em uma Escola privada de Ensino Básico na cidade de Porto Alegre, com a

participação de 12 estudantes do 2º ano do Ensino Médio. O pesquisador utilizou o

estudo de caso, apropriando-se de gravações construídas no software Grafeq,

arquivos de áudio e vídeo, questionários e as atividades feitas pelos alunos como

fontes de produção de informações para análises.

A sequência didática elaborada por Santos (2008) constituiu-se de 9 atividades,

todas elas realizadas no programa Grafeq e teve como auxiliar, o endereço eletrônico,

para melhorar a comunicação entre os alunos e o pesquisador e para o envio dos

trabalhos feitos pelos alunos. Santos (2008) considerou, durante o desenvolvimento

dessas atividades, que essa sequência proporcionou a oportunidade de reflexão dos

estudantes no que se refere aos conhecimentos adquiridos nesse processo, já que os

alunos puderam discutir ora sobre expressões algébricas para obtenção de

representações geométricas, ora sobre o uso dessas representações.

Santos (2008), em relação as TIC´s, destacou a relevância para professor da

apropriação dessas tecnologias, pois pode auxiliar no processo de (re)organização de

ideias no momento da construção do saber, por exemplo, explorar o correio eletrônico

e a utilização de programa para facilitar a comunicação e, consequentemente,

promover a aprendizagem. O pesquisador criou, como produto final, um tutorial para

o uso do Grafeq, contendo uma sequência de atividades em Geometria Analítica de

modo que o usuário vai aprendendo as ferramentas do software à medida que evolui

nas atividades.

43

Guedes (2013), com objetivo de propor aulas diferenciadas de Geometria

Analítica aos alunos do 3º ano do Ensino Médio de Escola Estadual da cidade de

Vitória/ES, elaborou 4 atividades abrangendo os conteúdos elementares dessa área

do conhecimento matemático, tais como, ponto, reta e paralelismo e teve como

recurso didático o software Geogebra. Conforme o pesquisador, com a utilização do

Geogebra o desenvolvimento da atividade tornou-se mais acessível à compreensão

dos alunos. Com isso, perceberam a importância de escrever uma propriedade

corretamente, pois visualizaram as consequências dessas informações no programa.

Logo, o interesse dos alunos era latente pelos conteúdos abordados.

A partir da maquete de um campo de futebol quadriculado (imagem 1) e a

simulação de uma partida de futebol, Pereira (2013) experimentou 20 atividades

envolvendo os tópicos básicos da Geometria Analítica e teve como base as teorias de

Ausubel (aprendizagem significativa).

Conforme a pesquisadora o campo de futebol quadriculado funcionou como um

ótimo recurso de apoio para trabalhar os conteúdos de Geometria Analítica e sugeriu

a utilização desse recurso também ao ensino de Física e no nível fundamental pode

relacionar esse produto didático com o trabalho de equações, áreas e perímetro.

Segura (2013), em seu estudo, experimentou uma série de atividades com a

finalidade de apresentar uma sequência didática ao ensino da Matemática auxiliado

pelo uso de uma obra de arte e o Geogebra. Essa experimentação aconteceu em uma

Escola Estadual do Estado do Paraná, com 21 alunos do 3º ano do Ensino Médio.

A autora abordou o ensino da Matemática e a utilização da tecnologia,

destacando que os usos das mídias proporcionam aos alunos confiança necessária

para resolver problemas que vão além da sala de aula. Consequentemente, a postura

Imagem 1 – maquete do campo de futebol quadriculado

Fonte: PEREIRA (2013, p. 40)

44

dos agentes participantes do processo, professor e aluno, se altera. Conforme a

pesquisadora, o professor e o aluno trabalham colaborativamente, já que ambos

passam a participar de modo mais ativo das aulas, com respeito ao ritmo de

aprendizagem de cada envolvido na atividade.

Ao apresentar o Geogebra como recurso facilitador de aprendizagem, a

pesquisadora afirmou que o software é de fácil manuseio, no entanto de pouca

utilização pelos professores. Destacou que sua escolha foi motivada pela familiaridade

dos alunos com a tecnologia e pelo dinamismo do programa, oferecendo a

possibilidade de elaboração coletiva e criativa da Matemática.

A releitura da obra de arte, com vista no ensino da Geometria Analítica, teve a

intenção de mostrar aos alunos a conexão entre a Matemática com outra área do

conhecimento, que no caso é a arte. Por meio do Geogebra, Segura (2013) utilizou

equações de retas e curvas para reconstruir a obra escolhida para a intervenção

pedagógica em sala de aula.

A sequência didática elaborada por Segura (2013) contou com 15 atividades,

nas quais foram abordadas os seguintes conteúdos: plano cartesiano, intervalos e

inequações, ponto médio, a distância entre dois pontos, condição de alinhamento,

equação reduzida e geral da reta, posições relativas entre ponto e circunferência,

ângulo entre duas retas, ponto de intersecção entre retas concorrentes,

perpendicularidade, paralelismo, posições relativas entre reta e circunferência e área

da região triangular. Todas as atividades foram realizadas a partir da análise da obra

abstracionista a seguir:

Figura 2 – Obra abstracionista utilizada por Segura (2013)

Fonte: SEGURA (2013, p. 55)

45

Segundo a pesquisadora, os alunos conseguiram realizar com sucesso as

atividades e utilizaram, adequadamente, as barras de ferramentas do Geogebra para

obtenção das equações e curvas, no entanto apresentaram dificuldades em limitar

linhas, então não utilizaram esse elemento. Segura (2013) afirmou que foram

necessárias 24 aulas para a execução da sequência. Além disso, esclareceu que a

proposta exige que o professor esteja disposto a rever suas práticas, aperfeiçoar sua

linguagem Matemática, a pesquisar e a dedicar um tempo maior ao planejamento,

pois esses elementos proporcionarão ao professor um recurso didático capaz de

ofertar um número significativo de possibilidades de ensino em uma única aula.

Mesquita Filho (2014), buscou avaliar um módulo de atividades ao ensino da

circunferência mediada pelo software Geogebra. Para isso, construiu 3 atividades -

composto por um pré-teste (com 3 questões), um módulo de 14 tarefas e um pós-teste

(com 04 questões) - para 6 alunos do 3º ano de uma Escola Pública do Ceará. Essa

pesquisa aconteceu em três etapas: a realização do pré-teste, a intervenção

metodológica (com a utilização do Geogebra) e a realização do pós-teste.

Ao comparar pré-teste e pós-teste, Mesquita Filho (2014, p. 48) afirmou que

houve, em relação aos acertos, um índice de crescimento de 42,85%, o que significou,

para o autor, que a mediação do software educacional Geogebra contribuiu para a

compreensão do aluno a respeito da circunferência. Ressaltou a participação ativa

dos alunos, a interação dos mesmos com a atividade, o programa e o professor, ao

indicar que a tecnologia colaborou, positivamente, para o desenvolvimento cognitivo

dos alunos, assim como facilitou a interação entre alunos e o professor durante o

desenvolvimento da experiência didática.

Ao considerar essa categoria, verificamos que a preocupação com o ensino da

Geometria Analítica na educação básica existe, já que encontramos várias

alternativas oferecidas e experimentadas em sala de aula, com resultados bastante

satisfatórios, conforme os pesquisadores citados. Observamos uma predominância de

pesquisas que utilizam como recursos didáticos ou facilitador de aprendizagem, a

tecnologia, no qual predominou o uso do Geogebra. Além disso, percebemos que a

Geometria Analítica pode ser uma alternativa para trabalhar a interdisciplinaridade -

como mostram Pereira (2013) e Segura (2013) ao relacionar a Matemática com a arte

e o esporte - ainda tão desafiador as nossas práticas docentes, seja por conta de

condições mínimas de trabalho ou por desconhecimento de alternativas

metodológicas de ensino que tratam da interdisciplinaridade.

46

Durante nosso levantamento de referências e revisão de estudos, observamos

que no período escolhido (2004 – 2014) a ocorrência de trabalhos foi bem

representativo, visto que em quase todos os anos decorrentes desse período existem

pesquisas acerca do objeto investigado, o que indica a preocupação da comunidade

acadêmico-científica em relação ao ensino dessa área do conhecimento. Percebemos

também que a tecnologia está presente em várias pesquisas relacionadas com o

ensino da Geometria Analítica, exemplo disso são os trabalhos de Santos (2008) e

Guedes (2013), que se valeram de programas educacionais, alguns mais populares

que outros, como o Geogebra e o Grafeq, para encaminhar seus estudos.

O problema desses estudos, sob o ponto de vista da realidade paraense, é que

o principal recurso material necessário (computadores) parece ser ausente na maioria

das escolas públicas de nosso estado, conforme nossas experiências docentes.

Apesar de existirem políticas públicas que incentivam a formação digital, como o

“Programa Nacional de Informática na Educação – PROINFO” que garante

computadores, bem como, recursos digitais às escolas participantes do projeto, como

informou Schlemmer (2013, p. 116), quando acrescentou “Em contrapartida, estados,

Distrito Federal e municípios devem garantir a estrutura adequada para receber os

laboratórios e capacitar os educadores para o uso das máquinas e tecnologias”,

alguns municípios paraenses não conseguem proporcionar estruturas físicas em suas

escolas, de modo geral, para manter laboratórios de informáticas que funcionem

minimamente. Logo, poucas escolas têm o privilégio de ter um espaço educativo

digital em pleno funcionamento, ocasionando assim obstáculos para efetuar

atividades metodológicas dessa natureza.

As pesquisas de Frazon (2004) e Andrade (2007) foram as únicas que

exploraram a história da Matemática como recurso didático de ensino da Geometria

Analítica, no entanto a história da Matemática aparece em quase todos os trabalhos

estudados de maneira informativa. Varella (2010) explorou pontos interessantes

durante as análises em livros didáticos ao constatar que pouquíssimos livros

trabalham demonstrações e provas em suas atividades, pois nossa experiência

docente indica que essas ausências, deixam deficientes algumas compreensões

matemáticas na medida em que os alunos não têm habitualidade de manipular

artifícios matemáticos advindos de provas e demonstrações. Silva e Silva (2008) foi a

única pesquisa que fez uma consulta com os professores de Matemática, antes de

sugerir atividades. Os saberes da experiência que os docentes trazem do dia a dia

47

escolar enriquece a pesquisa, pois a mesma torna-se um produto útil e possível para

o trabalho em sala de aula, uma vez que é fruto dos anseios apontados pelos docentes

em suas práticas cotidianas.

Com base nessa revisão de estudos, optamos também em fazer uma consulta

a alguns docentes desse estado, assim como a alguns discentes, para ter a ideia do

que estão trabalhando/estudando em relação a esse assunto, como estão realizando

suas aulas, aos docentes, e como entendem as práticas de seus professores, no que

concerne a opinião discente. Nossa expectativa é de ter resultados, a partir dessa

consulta, que possa nos proporcionar o ponto de partida para elaboração e

experimentação de nossa sequência didática para que seja útil para futuras atividades

em sala de aula e atenda a necessidade do processo de ensino e aprendizagem de

modo eficaz.

2.1 CONSULTA A DISCENTES SOBRE O ENSINO E APRENDIZAGEM DE

GEOMETRIA ANALÍTICA

Nesta subseção apresentaremos os resultados de uma consulta realizada com

discentes de Escola Pública Estadual da cidade de Belém durante no mês de

dezembro de 2014. Essa amostra foi composta por 113 alunos egressos do 3º ano do

Ensino Médio, com a participação de 58 alunos e 55 alunas na faixa etária de 16 a 20

anos. A escolha desses alunos se deve ao fato de que eles são da escola que

pretendemos aplicar a sequência didática, logo consideramos importante saber as

opiniões do público pertencente ao lócus da pesquisa.

Essa consulta teve, como instrumento de produção de informações, um

questionário (apêndice A) composto por perguntas fechadas, abertas e relacionadas,

dividido em 3 partes: a primeira parte tratava de informações pessoais, tais como

idade, sexo, escolaridade dos responsáveis, hábitos de estudos e afinidade com

Matemática. A segunda parte do questionário abordou a opinião dos informantes

acerca do grau de dificuldade em aprender alguns tópicos da Geometria Analítica e a

terceira parte foi composta por 10 questões sobre Geometria Analítica, nos quais os

discentes tiveram que resolver da maneira que considerasse conveniente.

Por meio desse instrumento, obtivemos as seguintes informações:

48

2.1.1 Perfil dos discentes

Em relação a faixa etária, os alunos de 17 anos correspondem a maioria, pois

equivale a 52% dos informantes (59 alunos), enquanto que 4% dos alunos têm 16,

30% têm 18 anos, 10% têm 19 anos e 4% possuem 20 anos, o que indica que esses

anos estão na faixa etária adequada a série que estudam, já que atualmente os alunos

iniciam o ensino básico com 6 anos e, consequentemente, terminam esse ciclo com

17 anos de idade. A maioria dos alunos declararam que a mãe é responsável por eles,

conforme o quadro 3, por meio da frequência absoluta (FA) e a relativa (FR).

Quadro 3 – Responsáveis pelos discentes

Responsáveis Frequência Absoluta Frequência Relativa

Mãe 51 45%

Pai 10 9%

Os pais 38 34%

Os avós 4 3%

Irmãos 2 2%

Tios 5 4%

Não tem responsável 2 2%

Não declarou 1 1%


O gráfico 1 traz as porcentagens referentes ao quadro 3:

Já em relação com a escolaridade, a maioria dos responsáveis possui o Ensino

Médio completo, no entanto apenas 9% alcançaram o nível superior, de acordo com

o gráfico 2 e a tabela 1.

Mãe45%

Pai9%

Os pais34%

Os avós3%

Irmãos2%

Tios4%

Não tem responsável

2%

Não declarou1%

GRÁFICO 1 - RESPONSÁVEIS PELOS DISCENTES


49

Tabela 1 – Escolaridade dos responsáveis dos discentes consultados

Escolaridade Frequência absoluta Frequência Relativa

Fundamental Incompleto

14 12%

Fundamental Completo 8 7% Médio Incompleto 17 15% Médio Completo 60 53% Superior 10 9% Não estudou 3 3% Não respondeu 1 1% Fonte: Pesquisa de campo (2014)

O gráfico 2 mostra os índices relativos, em %, da escolaridade dos

responsáveis:

Os alunos, predominantemente, são oriundos de Escola Pública, já que 82%

(93 declarantes) declararam que estudaram o Ensino Fundamental em Escola

Estadual, 8% dos alunos vieram de Escolas Municipais, 2% oriundos de Escola

Pública Federal e o restante são egressos de Escola Particular.

Quando tratamos de trabalho renumerado, os alunos informaram que 24%

trabalham, sendo que 17% regularmente e 7%, esporadicamente, o restante,

equivalente a 73%, não trabalha ou não responderam (3%).

O quadro 4, assim como gráfico 3, representa os cursos que os alunos fazem

nos horários livres da escola, predominando a ausência de atividades fora da escola,

pois 41% declararam que não fazem atividades em outros horários. Os cursos

técnicos, que representa 6% do quadro, são, conforme os alunos, os cursos de auxiliar

administrativo, redes de computadores, segurança do trabalho e designer.

Fundamental Incompleto

12% Fundamental Completo

7%

Médio Incompleto

15%

Médio Completo53%

Superior9%

Não estudou3%

Não respondeu1%

GRÁFICO 2 - ESCOLARIDADE DOS RESPONSÁVEIS


50

Quadro 4 – Cursos Extracurriculares dos egressos

Cursos Extracurriculares FA FR Língua estrangeira 16 14%

Informática 20 18%

Cursos técnicos 7 6%

Música/teatro 2 2%

Cursinho vestibular 1 1%

Nenhum 47 41%

Não respondeu 20 18%


Em relação a afinidade com Matemática, a tabela 2 mostra que os alunos, em

geral, gostam pouco ou não gostam de Matemática.

Tabela 2 – Gosto pela Matemática (Discentes de Belém)

Frequência Absoluta Frequência Relativa

GOSTA POUCO 71 63%

NÃO GOSTA 28 25%

GOSTA MUITO 13 11%

NÃO RESPONDEU 1 1% Fonte: pesquisa de campo (2014)

Os dados do gráfico 4 enfatiza 88% dos alunos participantes dessa consulta

não gosta ou gosta pouco de Matemática.

Língua estrangeira14%

Informática18%

Cursos técnicos6%

Música/teatro2%

Cursinho vestibular

1%

Nenhum41%

Não respondeu18%

GRÁFICO 3 - CURSOS EXTRACURRICULARES


51

Alguns trabalhos foram escolhidos para compararmos os resultados, sendo que

neles constam consultas aos discentes do Ensino Médio da capital paraense no que

se refere a afinidade com a referida disciplina e verificar se houve alguma evolução

na categoria afinidade em Matemática. Optamos pelos trabalhos de Santos (2012),

Gomes (2013) e Silva (2014), pois além de ser um público com características

similares ao do trabalho aqui exposto, também buscavam a partir dessas informações

construir sequências didáticas ao ensino de Matemática, que é a perspectiva desse

trabalho. Vale ressaltar, que todas as consultas aconteceram um ano antes da

publicação de suas pesquisas, logo Santos (2012) consultou alunos no ano de 2011,

Gomes (2013) em 2012 e Silva (2014) em 2013.

14%

85%

1%

23%

62%

15%

24%

70%

6%

25%

63%

11%

1%

N Ã O G O S T A G O S T A P O U C O G O S T A M U I T O N Ã O R E S P O N D E U

GRÁFICO 5 - AFINID ADE COM MAT EMÁT ICA CONFORME PESQUISAS ENT RE 2012 A 2014

Santos (2012) Gomes (2013) Silva(2014) Pesquisa atual


GOSTA POUCO63%

NÃO GOSTA25%

GOSTA MUITO11%

NÃO RESPONDEU1%

GRÁFICO 4 - GOSTO PELA MATEMÁTICA

52

De acordo com o gráfico 5, Observamos que os alunos continuam a demonstrar

pouco ou nenhum gosto pela Matemática, pois os índices (em %) de pouca ou

nenhuma afinidade são bem acentuados, enquanto que os índices de alta afinidade

vêm decaindo ao longo dos últimos quatro anos, de acordo com trabalhos analisados.

Quando abordamos o grau de dificuldade para aprender Matemática, 63% (71

informantes) declararam que sentem um pouco dificuldade, 19% possuem muita

dificuldade e 18% afirmam ter facilidade em compreender o assunto matemático.

Ao perguntarmos sobre distração durante as aulas de Matemática, 53 alunos

afirmaram que se distraem totalmente (30%) ou parcialmente (17%) nas aulas de

Matemática, enquanto que 43% declararam que se concentram nessas aulas, e o

restante não quis responder. Para os que informaram que se distraem, perguntamos

quais os motivos dessas distrações, como a pergunta foi aberta estabelecemos as

seguintes categorias para enquadrar as respostas e colocá-la na tabela 3 e no gráfico

6: Bagunça, Cansativa, Complicada e Sonolenta. A categoria bagunça indica como

motivo das distrações os comportamentos das turmas que, para alguns alunos, têm

bagunça, conversas paralelas e barulho. A Cansativa indica alunos que declararam

que as aulas são cansativas, chatas e desinteressantes. Complicada é a categoria

que compreende as respostas referentes ao modo como é abordado a Matemática,

considerada pelos alunos consultados, aulas complicadas e difíceis de aprender.

Sonolenta é a categoria destinada aos alunos que responderam que sentem sintomas

físicos, como sono e dor de cabeça. Além disso, também existem discentes que

declararam, como justificativa de distração nas aulas, não gostarem de Matemática.

Tabela 3 – Motivos das distrações nas aulas de Matemática

DISTRAÇÕES EM SALA Frequência Absoluta Frequência Relativa

Bagunça 19 36%

Cansativa 10 19%

Complicada 16 30%

Sonolenta 2 4%

Não gosta 5 9%

Não respondeu 1 2%


53

Dos 22 alunos que declararam ter muita dificuldade em aprender Matemática,

14 – 64% dos referidos declarantes - informaram que não se concentram nas aulas e

estão nas categorias bagunça (02 informantes), cansativa (03 informantes) e

complicada (09 informantes), como foi indicado na tabela acima, o que podemos inferir

a necessidade de possibilitar meios mais diferenciados de aprendizagem, uma vez

que os alunos declararam que a abordagem dos seus professores é,

predominantemente, tradicional, como veremos na tabela 5.

Sobre o hábito de estudo em Matemática, dos 113 alunos informantes, a

maioria absoluta não possui o costume de estudar todos os dias, como mostra a tabela

4 e o gráfico 7, apontando apenas 1 aluno que tem um hábito diário de estudo.

Tabela 4 – Frequência de estudo em Matemática

Frequência de estudo FA FR

Período de prova 33 29%

Véspera da prova 11 10%

Só estuda em sala de aula 14 12%

Alguns dias na semana 48 43%

Fins de semana 6 5%

Todo dia 1 1%

Bagunça36%

Cansativa19%

Complicada30%

Sonolenta4%

Não gosta9%

Não respondeu2%

GRÁFICO 6 - MOTIVOS DAS DISTRAÇÕES NAS AULAS DE MATEMÁTICA


Período próximo das avaliações


54

Conforme o gráfico 7, 51% estudam em período próximo das provas bimestrais

que acontecem nas escolas ou somente em sala de aula, o que pode ocasionar um

baixo rendimento nas atividades fora desse período, como aconteceu na terceira parte

desse questionário com 10 questões sobre o assunto em investigação para os

resolverem.

Em relação a ajuda nas tarefas de casa em Matemática, o quadro 5 e o gráfico

8, mostram que a maioria dos alunos não tem auxílio em casa referente a Matemática,

o que nos indica a necessidade de aprimorar as aulas, estabelecendo cuidado com a

didática e metodologia utilizadas em sala de aula, já que ajuda profissional (professor

particular) equivale a somente 8%, enquanto que a ausência de ajuda chega a 73%.

Quadro 5 – Auxílio nas tarefas de casa dos egressos

Auxílio em casa Frequência Absoluta Frequência Relativa

Ninguém 83 73%

Amigo 8 7%

Família 9 8%

Professor Particular 9 8%

Outros 4 4% Fonte: pesquisa de campo (2014)

Período de prova29%

Véspera da prova10%

Só estuda em sala de aula

12%

Alguns dias na semana

43%

Fins de semana5%

Todo dia1%

GRÁFICO 7 - FREQUÊNCIA DE ESTUDOS EM MATEMÁTICA


55

Fonte: pesquisa de campo (2014)

Ao informar a maneira como seu professor ministra suas aulas, conforme a

tabela 5 e o gráfico 9, os alunos indicaram que 72% (82 informantes) iniciam suas

aulas pela definição seguida de exemplos e exercícios, e o segundo índice maior, em

valores absolutos, foi de aulas que começam por uma situação-problema e depois

introduz o assunto, o que equivale a 17% dos informantes.

Tabela 5 – Abordagem do conteúdo matemático, conforme os

discentes

Abordagem do conteúdo Frequência Absoluta Frequência Relativa

Pela definição seguida de exemplos

e exercícios 82 72%

Com uma situação problema para

depois introduzir o assunto 19 17%

Com um experimento para chegar

ao conceito 5 4%

Com um modelo para situação e em

seguida analisando o modelo 3 3%

Com a história do assunto 3 3%

Não respondeu 1 1%


Ninguém73%

Amigo 7%

Família8%

Professor Particular

8%

Outros4%

GRÁFICO 8 - AUXÍLIO NAS TAREFAS DE CASA

Pela Definição seguida de exemplos e exercícios

72%

com uma situação-problema para depois introduzir o

assunto17%

com um experimento para

chegar ao conceito4%

com um modelo para situação e em seguida analisando o modelo

3%

com a história do Assunto

3%

Não Respondeu1%

GRÁFICO 9 - ABORDAGEM DOS CONTEÚDOS, CONFORME OS DISCENTES

Fonte: Campo de Pesquisa (2014)

56

Quando comparamos os resultados com os trabalhos de Santos (2012), Gomes

(2013) e Silva (2014), não percebemos mudanças significativas, já que ao longo dos

últimos quatro anos os índices indicativos de que as aulas são tradicionais, com aulas

que iniciam pela definição e são seguidas de exemplos, ainda são bem atenuantes,

como mostra o gráfico 10.

As aulas que começam por situações-problema para introduzir o assunto

matemático (legenda cor laranja) aparecem em todos os anos, porém com alternância

de incidências, logo não podemos afirmar que esse estilo de aula está crescente nas

salas de aulas. No entanto, a situação-problema é defendida por educadores como

um meio do aluno constituir sua rede de conhecimento. Fossa (2012) destacou a

utilização de situações-problema como alternativa de auxilio aos alunos às

construções matemáticas necessárias para compreensão do conteúdo.

Em relação ao uso da história da Matemática nas aulas, observamos também

a pouca incidência, que aparecendo apenas em 2014 e na pesquisa atual, com os

índices de 7% e 3%, respectivamente. Isso indica a perda de possibilidade de

enriquecimento das aulas como Frazon (2004) e Mendes et al (2005) apontaram, em

suas obras, ao tratar do uso da história da Matemática como instrumento

metodológico relevante ao ensino da Matemática, já que favorece a aprendizagem no

intuito de responder os “porquês” que estão, constantemente, presentes em sala de

aula. Frazon (2004) afirmou que a história da Matemática, há mais de uma década,

ganha espaço, no que concerne a tendência educacional, em âmbito nacional. No

Santos (2012) Gomes (2013) Silva (2014) Pesquisa atual

83%76%

60%

72%

6% 5%19%

17%

11%5%

5%4%14%

9%3%7% 3%

1%

Gráfico 10 - Abordagem do conteúdo matemático conforme pesquisas entre 2012 a 2014

Definição Situação-problema Experimento Modelagem História Sem resposta


57

entanto, percebeu carência na formação inicial dos professores de Matemática nessa

área do conhecimento, o que mostra necessidade da inserção de discussões sobre a

temática nos centros de formação.

Mendes et al (2005) discorreram sobre a história da Matemática como meio de

explicar a existência de determinados conceitos, que pode ocasionar um interesse

dos alunos nas aulas, uma vez que eles demonstraram um desinteresse em

Matemática, confirmados pelos índices de afinidade e distração nas aulas de

Matemática que essa pesquisa aponta.

A história pode ser nossa grande aliada quanto à explicação desses porquês, desde que possamos incorporar às atividades de ensino-aprendizagem aspectos históricos necessários a solução desse obstáculo. Tais informações devem certamente passar por adaptações pedagógicas que, conforme os objetivos almejados, devem se configurar em atividades a serem desenvolvidas em sala de aula ou fora dela (extraclasse). (Mendes et al, 2005, p. 53)

Em relação as atividades de fixação dos conteúdos matemáticos, os alunos

declararam que a maior parte equivale ao uso de livro didático ou lista de exercícios,

que representa 93,5% dos recursos utilizados para exercitar assuntos matemáticos,

conforme a tabela 6 e o gráfico 11.

Fixação do conteúdo matemático Frequência Absoluta Frequência Relativa

Lista de exercícios 79 70%

Livro didático 23 21%

Lista de exercício e livro didático 4 3%

Pesquisa de questões pelos alunos 4 3%

Não propõe questões 2 2%

Não respondeu 1 1%


Lista de exercícios70%

Livro didático21%

Lista de exercícios e livro didático

3%

Pesquisa de questões pelos alunos

3%

Não propõe questões2% Não respondeu

1%

GRÁFICO 11 - FIXAÇÃO DO CONTEÚDO MATEMÁTICO, SEGUNDO OS DISCENTES

Tabela 6 – Fixação do conteúdo matemático, de acordo com os discentes


58

Ao relacionar as pesquisas de Santos (2012), Gomes (2013) e Silva2 (2014),

observamos que a lista de exercícios é o modo mais usado para exercitar os

conteúdos matemáticos, embora exista outros recursos didáticos de fixação, tais como

os jogos e livros didáticos, sendo o último presente em uma boa parte das escolas

públicas do estado.


A insignificante incidência dos jogos nas práticas pedagógicas, como mostra o

gráfico 12, no qual somente aparece o jogo como meio de fixação na pesquisa de

Silva (2014), nos faz refletir sobre a necessidade de material diferenciado ao trabalho

docente, seja ele para ensinar determinados conteúdos, ou para realizar a fixação dos

mesmos. Brenelli (2005, p. 24), ao tratar do jogo como atividade criadora de momentos

propícios à reflexão, afirmou que os jogos recebem a importância na medida em que

há um espaço para investigação, diagnóstico e remediação de dificuldades – afetiva,

cognitiva ou psicomotora. Logo, o jogo pode ser uma alternativa metodológica que,

além de conquistar a atenção da turma, pode ser um caminho para reflexão e/ou uma

tentativa de complementar as lacunas, ocasionadas pela ausência de conhecimento

ou pelo pouco conhecimento adquirido no momento de aprendizagem.

2.1.2 Avaliação discente acerca de sua aprendizagem em Geometria Analítica

A segunda parte do questionário é composto por 50 itens que compreende os

conteúdos mínimos para compreensão da Geometria Analítica voltado para a

educação básica. É importante esclarecer que dentre esses itens não estão incluídas

as cônicas, pois não são conteúdos exigidos no currículo atual no estado do Pará,

83%

14%

3%

66%

31%

3%

64%

18%

7% 6% 5%

70%

20%

3,50

%

2% 1%

L I S T A D E E X E R C Í C I O S

L I V R O D I D Á T I C O

J O G O S P E S Q U I S A D E Q U E S T Õ E S

N Ã O P R O P Õ E Q U E S T Õ E S

N Ã O R E S P O N D E U

Gráf ico 12 - Modo de f ixação do conteúdo matemát ico conforme pesquisas ent re 2012 a 2014

Santos (2012) Gomes (2013) Silva2 (2014) Pesquisa atual

59

conforme o guia dos estudantes da secretaria de educação desse Estado, exceto a

parábola que aparece nos conteúdos programáticos no estudo das funções

quadráticas, que não é o foco da nossa pesquisa.

Como são muitos itens a serem analisados, dividimos em 5 blocos descritos a

seguir:

Bloco 1 – sistema cartesiano: Nesse bloco, tratamos os itens relacionados

com o sistema cartesiano ortogonal e apresentam-se como: identificar as

coordenadas de um ponto marcado no 1º, 2º, 3º e 4º quadrantes, sobre o eixo das

abscissas e das ordenadas; marcar o ponto no 1º, 2º, 3º e 4º quadrantes, sobre o eixo

X e Y;

Bloco 2 – relação entre pontos e retas: Esse bloco compreende os itens que

relaciona pontos com retas ou com outros pontos e consta os seguintes itens:

encontrar a distância entre dois pontos e as coordenadas do ponto médio de um

segmento de reta; determinar o ponto de intersecção de duas retas; verificar se um

ponto pertence a uma reta e quando dois pontos estão alinhados; encontrar a área de

um triângulo a partir de 3 pontos;

Bloco 3 – retas: O bloco sobre retas trás os itens referentes ao estudo das

retas. São eles: determinar a declividade de uma reta; escrever a equação de reta na

sua forma geral, na forma segmentária e na forma paramétrica; representar

graficamente uma equação da reta; determinar a equação da reta a partir de 2 pontos

e a partir de um ponto e sua declividade; reconhecer retas paralelas, concorrentes e

perpendiculares; determinar a equação da reta paralela a outra conhecendo um ponto

da mesma e a equação da reta paralela a outra reta conhecendo um ponto da primeira

reta;

Bloco 4 – circunferência: Nesse bloco estão contidos conteúdos

relacionados a circunferência. São elas: reconhecer uma equação da circunferência

em sua forma reduzida e na forma normal; determinar o centro a partir da equação da

circunferência reduzida e geral da circunferência; determinar o raio a partir da

equação reduzida e geral da circunferência; verificar se um ponto pertence ou não a

uma circunferência; representar graficamente uma circunferência; reconhecer quando

uma reta é secante, tangente ou exterior à circunferência; determinar a equação da

circunferência a partir da tangência exterior e interior a outra circunferência;

determinar a área da circunferência a partir da equação da mesma;

60

Bloco 5 – Situação-problema: Esse bloco é destinado a itens referentes a

situações-problema relacionados com ponto, reta e/ou circunferência, sendo eles:

resolver situações-problema nos quais são fornecidos os pontos e solicitada a

equação da reta; os pontos e solicitada a área de um triângulo; é necessário a

interpretação gráfica da reta; é fornecida a equação da circunferência e é solicitado o

raio dela; são fornecidos o centro e o raio da circunferência e solicitado a equação da

mesma; é fornecido a equação da circunferência e é solicitado a área do círculo.

Inicialmente, nessa etapa, foi indagado aos alunos, se eles lembravam de ter

estudados todos os itens e obtivemos as seguintes respostas:

Para o bloco 1, a maioria declarou que estudou o sistema cartesiano, conforme

a tabela 7, indicados pelos valores absolutos e relativos em cada item. Ressaltamos

que identificar e marcar pontos, são considerados, por nós, itens distintos, pois

quando nos referimos a identificar, estamos indicando que os pontos estão nos

quadrantes para os alunos localizarem, enquanto que ao enunciarmos marcar,

estamos fornecendo os pontos para ser colocados no eixo cartesiano.

Tabela 7 – Estudo do bloco 1 conforme os discentes

Itens Referentes aos conteúdos de Geometria Analítica

LEMBRA DE TER

ESTUDADO

SIM % NÃO %

1.1- Identificar as coordenadas de um ponto marcado no 1º quadrante 89 79 24 21




1.5- Identificar as coordenadas de um ponto marcado sobre o eixo das abcissas 86 73 27 27

1.6- Identificar as coordenadas de um ponto marcado sobre o eixo das ordenadas 89 79 24 21

1.7 – Marcar o ponto no 1º quadrante 74 65 39 35




1.11 – Marcar o ponto sobre o eixo X 96 85 17 15

1.12 – Marcar o ponto sobre o eixo Y 97 86 16 14


O gráfico 13 mostra as porcentagens referentes aos itens do bloco 1, no qual

aponta que a maioria absoluta declara que estudaram o eixo cartesiano.

61


Embora a maior parte dos alunos declarou estudar tais conteúdos, nos

surpreendeu os índices de “não” apresentados na tabela 6, que apesar de menores

que 50%, são significativos, quando sabemos que tais itens são amplamente

trabalhadas durante todo o ensino médio, sejam eles vistos no estudo de funções (1º

ano), quanto no estudo geométrico euclidiano (2º e 3º anos) e nos indica que existe

uma lacuna de conhecimento que necessita de atenção, já que esses saberes são as

bases do estudo geométrico seja ele, analítico ou não.

Para o bloco 2, como mostra a tabela 8 e o gráfico 14, obtivemos que os alunos

estudaram assuntos referentes a relação entre pontos e retas, já que as frequências

absolutas e relativas foram superiores a 75%.

79%

77%

66%

63% 73

% 79%

65%

63%

61%

63%

85%

86%

21%

23% 34

%

37%

27%

21%

35%

37%

39%

37%

15%

14%

G R Á FI CO 13 - E S T U D O D O B L O CO 1 CO NFO R ME O S D I S CENT ES

sim não

Tabela 8 – Estudo do Bloco 2 conforme os discentes

ITENS REFERENTES AOS CONTEÚDOS DA GEOMETRIA

ANALÍTICA

LEMBRA DE TER ESTUDADO

SIM (Valor

Absoluto)

% NÃO (Valor

absoluto)

%

2.1 – Encontrar a distância entre dois pontos 103 91 10 9

2.2 – Encontrar as coordenadas do ponto médio de um

segmento de reta

100 88 13 12

2.3 – Determinar o ponto de intersecção de duas retas 88 78 25 22

2.4 – Verificar se um ponto pertence a uma reta 97 86 16 14

2.5 – Verificar quando os pontos estão alinhados 100 88 13 12

2.6 – Encontrar a área de um triângulo a partir 3 pontos 87 77 26 23


62


O bloco 3, como se vê na tabela 9, apresenta que a maior parte dos alunos

estudou os assuntos referentes a reta, no entanto destacamos os itens 3.4 (equação

paramétrica) e 3.12 (perpendicularidade), pois apesar de seus índices (%) de “não”

ser inferiores aos índices de “sim”, as porcentagens são bem significativas, pois são

próximo ou igual a 50%, o que pode indicar a ausência desse tópico no estudo da

Geometria Analítica, em sala de aula.


ITENS REFERENTES AOS CONTEÚDOS DA GEOMETRIA ANALÍTICA LEMBRA DE TER

ESTUDADO

SIM % NÃO %

3.1 - Determinar a declividade de uma reta 95 84 18 16

3.2 - Escrever a equação da reta na sua forma geral 96 85 17 15

3.3 - Escrever a equação da reta na sua forma segmentária 81 72 32 28

3.4 - Escrever a equação da reta na sua forma paramétrica 57 50 56 50

3.5 - Representar graficamente de uma equação da reta 94 83 19 17

3.6 - Determinar a equação da reta a partir de 2 pontos 97 86 16 14

3.7- Determinar a equação da reta a partir de 1 ponto e sua declividade 89 79 24 21

3.8 - Reconhecer retas paralelas 94 83 19 17

3.9 - Reconhecer retas concorrentes 80 71 33 29

3.10- Reconhecer retas são perpendiculares 96 85 17 15

3.11 - Determinar a equação da reta paralela a outra conhecendo um ponto da mesma 75 66 38 34

91%

88%

78%

86% 88

%

77%

9%

12%

22%

14%

12%

23%

2 . 1 E N C O N T R A R A D I S T Â N C I A E N T R E

D O I S P O N T O S

2 . 2 E N C O N T R A R A S C O O R D E N A D A S D O

P O N T O M É D I O D E U M S E G M E N T O D E R E T A

2 . 3 D E T E R M I N A R O P O N T O D E

I N T E R S E C Ç Ã O D E D U A S R E T A S

2 . 4 V E R I F I C A R S E U M P O N T O P E R T E N C E A

U M A R E T A

2 . 5 V E R I F I C A R Q U A N D O O S P O N T O S

E S T Ã O A L I N H A D O S

2 . 6 E N C O N T R A R A Á R E A D E U M

T R I Â N G U L O A P A R T I R 3 P O N T O S

GRÁFI CO 14 - ESTUD O D O BLOCO 2 CONFORME OS D I SCENTES

Sim Não

63

3.12 – Determinar a equação da reta perpendicular à outra reta conhecendo um ponto

da primeira reta

61 54 52 46


O bloco 4, de acordo com tabela 10, apresenta que a maior parte dos alunos

lembram de ter estudado os assuntos relacionados a circunferência, contudo no item

4.13 (tangência de circunferência) a maioria dos alunos (51%) informaram não ter

estudado esse assunto.


ITENS REFERENTES AOS CONTEÚDOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA LEMBRA DE TER

ESTUDADO

SIM % NÃO %

4.1 - Reconhecer uma equação da circunferência em sua forma reduzida 87 77 26 23

4.2 - Reconhecer uma equação da circunferência em sua forma geral 100 88 13 12

4.3 - Determinar o centro a partir da equação reduzida da circunferência 101 89 12 11

4.4 - Determinar o centro a partir da equação geral da circunferência 102 90 11 10

4.5 - Determinar o raio a partir da equação reduzida da circunferência 102 90 11 10

4.6 - Determinar o raio a partir da equação geral da circunferência 101 89 12 11

4.7 - Verificar se um ponto pertence ou não a uma circunferência 94 83 19 17

4.8 - Representar graficamente uma circunferência 81 72 32 28

4.9 - Reconhecer quando uma reta é secante à circunferência 61 54 52 46

4.10 - Reconhecer quando uma reta é tangente à circunferência 73 65 40 35

4.11 - Reconhecer quando uma reta é exterior à circunferência 64 57 49 43

4.12 - Determinar a equação da circunferência a partir da tangência exterior a outra

circunferência

61 54 52 46

4.13 - Determinar a equação da circunferência a partir da tangência interna a outra

circunferência

55 49 58 51

4.14 - Determinar a área da circunferência a partir da equação dela 78 69 35 31


84%

85%

72%

50%

83%

86%

79%

83%

71%

85%

66%

54%

16%

15%

28%

50%

17%

14% 21

%

17% 29

%

15%

34% 46

%

GRÁFICO 15 - ESTUDO DO BLOCO 3 CONFORME OS DISCENTES

sim não


64

O bloco 5, que trata de situações-problema, por meio da tabela 11 e o gráfico

17, mostra que os alunos lembram de ter estudados todos os itens no que se refere

aos problemas relacionados com ponto, reta e circunferência.


ITENS REFERENTES AOS CONTEÚDOS DA GEOMETRIA ANALÍTICA LEMBRA DE TER ESTUDADO

SIM % NÃO %

5.1 - Resolver situações-problema no qual são fornecidos os pontos e solicitada

a equação da reta

77 68% 36 32%

5.2 - Resolver situações-problema no qual são fornecidos os pontos e solicitada

a área de um triângulo

80 71% 33 29%

5.3 - Resolver situações-problema no qual é necessário a interpretação gráfica

da equação da reta

80 71% 33 29%

5.4 - Resolver situações-problema no qual é fornecida a equação da

circunferência e é solicitado o raio dela

96 85% 17 15%

5.5 - Resolver situações-problema no qual são fornecidos o centro e o raio da

circunferência e solicitado a equação da mesma

97 86% 16 14%

5.6 - Resolver situações-problema no qual é fornecido a equação da

circunferência e é solicitado a área do círculo.

95 84% 18 16%


77%

88%

89%

90%

90%

89%

83%

72%

54%

65%

57%

54%

49%

69%

23%

12%

11%

10%

10%

11% 17

%

28%

66%

35% 43

%

46% 51

%

31%


sim não


65


Aos alunos que declararam ter estudado os tópicos da Geometria Analítica,

solicitamos a avaliação acerca do grau de dificuldade em aprender cada item, no qual

o informante tinha que classificar em Muito Fácil (MF), Fácil (F), Regular (R), Difícil

(D), Muito Difícil (MD), nos quais caracterizamos:

Muito Fácil - os itens que os discentes consideram ter, absolutamente,

nenhuma dificuldade para aprender;

Fácil – os itens que os discentes consideram não ter dificuldade para

aprender;

Regular – os itens que os discentes consideram ter dificuldade, mas

consiga aprender;

Difícil – os itens que os discentes consideram ter dificuldade para

aprender;

Muito difícil – os itens que os discentes consideram ter muita dificuldade

para aprender.

Consideramos que as iniciais MF, F, R, D e MD serão utilizados para todos os

quadros dessa natureza, com os valores absolutos (VA), em relação ao total de

declarantes que afirmaram ter estudado cada item apresentado, conforme as tabelas

6, 7, 8, 9 e 10. O Não Respondeu (NR) será utilizado aos itens que estão sem

respostas.

68% 71

%

71%

85%

86%

84%

32%

29%

29%

15%

14%

14%

5 . 1 - R E S O L V E R S I T U A Ç Õ E S - P R O B L E M A

N O Q U A L S Ã O F O R N E C I D O S O S P O N T O S

E S O L I C I T A D A A E Q U A Ç Ã O D A R E T A


N O Q U A L S Ã O F O R N E C I D O S O S P O N T O S E S O L I C I T A D A A Á R E A D E

U M T R I Â N G U L O


N O Q U A L É N E C E S S Á R I O A I N T E R P R E T A Ç Ã O

G R Á F I C A D A E Q U A Ç Ã O D A R E T A


N O Q U A L É F O R N E C I D A A E Q U A Ç Ã O D A

C I R C U N F E R Ê N C I A E É S O L I C I T A D O O R A I O

D E L A


N O Q U A L S Ã O F O R N E C I D O S O C E N T R O E

O R A I O D A C I R C U N F E R Ê N C I A E

S O L I C I T A D O A E Q U A Ç Ã O D A M E S M A


N O Q U A L É F O R N E C I D O A E Q U A Ç Ã O D A

C I R C U N F E R Ê N C I A E É S O L I C I T A D O A Á R E A D O

C Í R C U L O .


sim não

66

Quadro 6 – grau de dificuldade para aprender conforme os discentes – bloco 1

Grau de dificuldade para aprender MF

(VA)

F

(VA)

R

(VA)

D

(VA)

MD

(VA)

NR

(VA)

TO

TAL

(VA)

1.1- Identificar as coordenadas de um

ponto no 1º quadrante 6 19 42 14 3 5 89








ponto marcado sobre o eixo das

abscissas

4 18 38 18 3 5 86


ponto marcado sobre o eixo das

ordenadas

5 16 41 20 2 5 89

1.7 - Marcar o ponto no 1º quadrante 6 14 37 11 2 4 74




1.11 - Marcar o ponto sobre o eixo X 8 27 39 15 3 4 96

1.12 - Marcar o ponto sobre o eixo Y 7 27 40 15 3 5 97


67


De acordo com o quadro 6 e o gráfico 18, e em relação ao grau muito fácil,

destacamos o item 1.11, no qual possui maior frequência absoluta nessa categoria,

nele é abordado a marcação dos pontos sobre o eixo das abcissas, no entanto a maior

frequência absoluta nesse item é 39, 41% dos alunos que consideraram “regular”, ou

seja, não é fácil, mas também não chega a ser de difícil compreensão. Já em relação

ao grau fácil, ressaltamos o item 1.12 – apresenta frequência absoluta de 27 respostas

– que aborda a marcação dos pontos sobre o eixo das ordenadas e sua maior

frequência absoluta concentra-se no grau regular, com 40 respostas, equivalentes a

7% 7%

5% 6% 5% 6%

8% 8% 7%

10%

8% 7%

21%

21%

21%

21%

21%

18%

19%

18% 20

%

20%

28%

28%

47%

45%

43% 45

%

44% 46

%

50%

54%

51%

48%

41%

41%

16%

17% 19

%

16%

21%

22%

15%

14%

12% 14

% 16%

16%

3% 4% 4% 4% 3% 2% 3% 3% 4%

0%

3% 3%

6% 6%

8% 8%

6% 6% 5%

3%

6%

8%

4% 5%

GR ÁFICO 18 - GRAU DE DIFICULDADE PARA APRENDER CONFORME OS

DISCENTES – B LOCO 1Muito Fácil Fácil Regular Difícil Muito Difícil Não Respondeu

68

41%. Os dois casos nos chamaram atenção porque considerávamos a marcação dos

pontos como habilidades muito fácil ou fácil, contudo observamos que tanto para os

itens 1.11 e 1.12, a maior parte dos informantes consideram regulares, difíceis e muito

difíceis resultando na maioria absoluta, com a soma de 60% ao item 1.11 e 59% ao

item 1.12.

Em relação ao grau “difícil”, destacam-se os itens 1.5 e 1.6, que tratam da

identificação das coordenadas sobre os eixos das abcissas e ordenadas. Já a

frequência absoluta maior ao grau “muito difícil” está no item 1.2, que aborda a

identificação dos pontos no 2º quadrante. Isso já era esperado, pois os alunos,

geralmente, conforme nossa experiência docente, sentem dificuldades em manipular

números negativos e o zero, elementos necessários a serem abordados para trabalhar

os itens em questão, embora que a maioria desses alunos não consideraram “difícil”

ou “muito difícil”, como mostra os índices gerais desses graus de dificuldade em

aprender.

Abaixo temos o quadro 7 que traz a avaliação do bloco 2, em valores absolutos

(VA):

Itens referentes ao bloco 2 MF

(VA)

F

(VA)

R

(VA)

D

(VA)

MD

(VA)

NR

(VA)

TOTAL

(VA)

2.1 - Encontrar a distância entre dois pontos 8 34 42 10 4 5 103

2.2 - Encontrar as coordenadas do ponto médio de um

segmento de reta

6 22 49 18 2 3 100

2.3 - Determinar o ponto de intersecção de duas retas 3 16 40 18 4 7 88

2.4 - Verificar se um ponto pertence a uma reta 6 24 44 17 2 4 97

2.5 - Verificar quando os pontos estão alinhados 5 22 50 17 2 4 100

2.6 - Encontrar a área de um triângulo a partir 3 pontos 5 11 43 19 6 3 87


Quadro 7 – Grau de dificuldade para aprender conforme os discentes – Bloco 2

69


De modo geral, os alunos consideram os tópicos desse bloco de “regular”

compreensão, conforme o quadro 7 e o gráfico 19. Dentre os que avaliaram em fácil,

o item 2.1 (distância entre dois pontos) teve maior frequência relativa, o que foi

esperado, já que são os principais elementos trabalhados em sala de aula, quando se

refere ao estudo da Geometria Analítica. Dentre os que avaliaram em Difícil ou Muito

Difícil, o item 2.6 (área do triângulo) teve maior frequência, que também era esperado,

pois o cálculo da área, do ponto de vista da Geometria Analítica, geralmente é

abordado através do cálculo de determinante, que ainda é um obstáculo de

aprendizagem, como sugere nossa experiência docente. O quadro 8 mostra a

avaliação dos alunos acerca do bloco 3, que se refere ao estudo da reta por meio das

frequências absolutas (FA).


Itens referentes ao bloco 3

MF

(F

A)

F (

FA)

R (

FA)

D (

FA)

MD

(F

A)

NR

(F

A)

TO

TA

L (

FA)

3.1 - Determinar a declividade de uma reta 5 15 45 18 7 5 95

3.2 - Escrever a equação da reta na sua forma geral 9 22 41 17 3 4 96

3.3 - Escrever a equação da reta na sua forma segmentária 5 15 34 19 3 5 81

3.4 - Escrever a equação da reta na sua forma paramétrica 1 9 22 18 3 4 57

3.5 - Representar graficamente de uma equação da reta 5 22 41 18 3 5 94

3.6 - Determinar a equação da reta a partir de 2 pontos 7 26 42 15 3 4 97

8% 6%

3%

6% 5% 6%

33%

22%

18% 25

%

22%

13%

40%

49%

45%

45% 50

%

49%

10%

18% 21

%

18%

17% 22

%

4% 2%

5%

2% 2%

7%5% 3%

8%

4% 4% 3%

2 . 1 -E N C O N T R A R A

D I S T Â N C I A E N T R E D O I S

P O N T O S

2 . 2 -E N C O N T R A R A S C O O R D E N A D A S

D O P O N T O M É D I O D E U M S E G M E N T O D E

R E T A

2 . 3 -D E T E R M I N A R O

P O N T O D E I N T E R S E C Ç Ã O

D E D U A S R E T A S

2 . 4 -V E R I F I C A R S E

U M P O N T O P E R T E N C E A U M A R E T A

2 . 5 -V E R I F I C A R

Q U A N D O O S P O N T O S E S T Ã O

A L I N H A D O S

2 . 6 -E N C O N T R A R A Á R E A D E U M

T R I Â N G U L O A P A R T I R 3 P O N T O S

GRÁFICO 19 - GRAU DE DIF ICULDADE PARA APRENDER CONFORME OS DISCENTES - BLOCO 2

Muito Fácil Fácil Regular Difícil Muito Difícil Não Respondeu

70

3.7- Determinar a equação da reta a partir de 1 ponto e sua

declividade 3 13 44 20 4 5 89

3.8 - Reconhecer retas paralelas 8 26 40 12 4 4 94

3.9 - Reconhecer retas concorrentes 5 18 40 11 3 3 80

3.10- Reconhecer retas são perpendiculares 6 21 46 13 4 6 96 3.11 - Determinar a equação da reta paralela a outra conhecendo um

ponto da mesma 1 11 35 21 4 3 75

3.12 – Determinar a equação da reta perpendicular à outra reta

conhecendo um ponto da primeira reta 0 12 37 8 2 2 61



Os alunos declararam que os tópicos trabalhados nesse bloco também são de

“regular” compreensão, de acordo com as frequências apontadas no quadro acima. O

tópico considerado “mais difícil” foi a determinação da declividade de uma reta, e o

“mais fácil” escrever a equação da reta na sua forma geral.

O quadro 9 mostra a avaliação do bloco 4 conforme os alunos:

5%

9%

6%

1%

5% 7%

3%

8% 6% 6%

1% 0%

16%

23%

19%

16%

24% 27

%

15%

28%

22%

22%

15% 20

%

48%

43%

42%

39% 44

%

43% 49

%

43%

50%

48%

47%

61%

19%

18% 23

%

32%

19%

16%

23%

13%

14%

14%

28%

13%

7%

3% 4% 5% 3% 3% 4% 4% 4% 4% 5% 3%5% 4% 6% 7% 5% 4% 6% 4% 4% 6% 4% 3%

GRÁFICO 20 - GRAU DE DIF ICULDADE PARA APRENDER CONFORME OS DISCENTES - BLOCO 3


71



(VA)

F

(VA)

R

(VA)

D

(VA)

MD

(VA)

NR

(VA)

Total

(VA)

4.1 - Reconhecer uma equação da circunferência em sua

forma reduzida 8 10 49 10 7 3

87

4.2 - Reconhecer uma equação da circunferência em sua

forma geral 5 26 49 13 4 3

100

4.3 - Determinar o centro a partir da equação reduzida da

circunferência 9 23 44 17 4 4

101

4.4 - Determinar o centro a partir da equação geral da


102

4.5 - Determinar o raio a partir da equação reduzida da


102

4.6 - Determinar o raio a partir da equação geral da


101

4.7 - Verificar se um ponto pertence ou não a uma


94

4.8 - Representar graficamente uma circunferência 3 15 44 10 5 4 81

4.9 - Reconhecer quando uma reta é secante à


61

4.10 - Reconhecer quando uma reta é tangente à


73

4.11 - Reconhecer quando uma reta é exterior à


64

4.12 - Determinar a equação da circunferência a partir da

tangência exterior a outra circunferência 0 5 27 22 3 4

61

3.13 – Determinar a equação da circunferência a partir da

tangência interna a outra circunferência 0 6 24 16 5 4

55

3.14 – Determinar a área da circunferência a partir da

equação dela 0 12 44 14 5 3

78



9%

5%

9% 9% 9% 8%

4% 4%

1% 3% 1% 0% 0% 0%

12%

26%

23%

23% 28

%

23%

22%

19%

10% 13

%

11%

8%

11% 15

%

56%

49%

43%

42%

37% 44

% 47% 54

%

56%

48% 52

%

44%

44%

56%

12%

13% 17

%

17%

19%

16%

18%

12%

21% 25

%

22%

36%

29%

18%

8%

4% 4% 5% 4% 5% 4% 6% 7% 7% 8%

5%

9%

6%

3% 3% 4% 4% 3% 4% 5% 5% 5% 4% 6% 7% 7% 5%

GRÁFICO 21 - GRAU DE DIFICULDADE PARA APRENDER CONFORME OS DISCENTES - BLOCO 4

Muito fácil fácil regular difícil Muito Difícil Não Respondeu

72

As frequências do quadro 9 e do gráfico 21 acima indicam que os alunos

consideraram “regular”, como foram apontados nos outros blocos. Dos tópicos

declarados “mais fáceis” foram as determinações do centro e do raio a partir da

equação geral e reduzida da circunferência, e do grau de dificuldade “mais difícil”, a

maior frequência é reconhecer uma equação da circunferência em sua forma reduzida

e da categoria “difícil” a determinação da equação da circunferência a partir da

tangência exterior a outra circunferência teve o maior índice.

O quadro 10 aponta a avaliação do bloco 5 (Situações-problema) pelos alunos,

em valores absolutos (VA):



(VA)

F

(VA)

R

(VA)

D

(VA)

MD

(VA)

NR

(VA)

Total

(VA)

5.1 - Resolver situações-problema no qual são

fornecidos os pontos e solicitada a equação da reta 0 13 30 24 5 5 77


fornecidos os pontos e solicitada a área de um

triângulo

2 11 41 16 8 2 80

5.3 - Resolver situações-problema no qual é

necessário a interpretação gráfica da equação da reta 0 7 41 26 4 2 80

5.4 - Resolver situações-problema no qual é fornecida

a equação da circunferência e é solicitado o raio dela 1 17 49 19 4 6 96


fornecidos o centro e o raio da circunferência e

solicitado a equação da mesma

1 15 49 21 6 5 97

5.6 - Resolver situações-problema no qual é fornecido

a equação da circunferência e é solicitado a área do

círculo.

1 7 47 23 12 5 95


73


Assim como nos blocos anteriores, esse bloco foi considerado “regular” pelos

alunos. As situações-problema nos quais são fornecidos os pontos e solicitada a área

de um triângulo foram declarados os itens mais fáceis, enquanto as mais difíceis foram

consideradas as situações-problema nos quais são necessárias as interpretações

gráficas da equação da reta, tiveram as maiores frequências.

2.1.3 Resultados do teste diagnóstico em Geometria Analítica

A terceira parte do questionário foi composta por um teste com 10 questões

(apêndice A), sendo 8 subjetivas e 2 objetivas de múltipla escolha, onde denominamos

de teste diagnóstico. Todas as questões foram problemas de Matemática retirada de

livros didáticos mais utilizados nas Escolas Públicas do Estado do Pará e outros de

vestibulares e do Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM) dos anos compreendidos

entre 2009 e 2013. O quadro abaixo especifica a fonte bibliográfica, o ano de

publicação, o assunto abordado e estilo de questões que classificamos em contexto e

direta, onde o estilo contexto será o problema que apresentar contextualização em

0%

2,50

%

0% 1% 1% 1%

17%

14%

8,50

%

18%

15%

7,50

%

39%

51%

51%

51%

51%

49,5

0%

31%

20%

33%

20% 22

% 24%

6,50

%

10%

5% 4%

6%

13%

6,50

%

2,50

%

2,50

%

6% 5% 5%

GRÁFICO 22 - GRAU DE DIFICULDADE PARA APRENDER CONFORME OS DISCENTES - BLOCO 5

Muito fácil Fácil Regular Difícil Muito Difícil Não respondeu

74

alguma situação e o estilo direta, se o problema for apenas numérico, sem

contextualização. Para nossa pesquisa, optamos por 50% direta e 50% contexto,

como veremos a seguir:

QUESTÕES FONTE ANO ESTILO ASSUNTO ABORDADO

01 Questão do livro

“Matemática volume 3” 2009 Direta

Ponto médio de um segmento


“Matemática volume 3” 2009 Direta Distância entre dois pontos

03 Questão da prova de

seleção da UFPI 2009

Direta

Equação da reta a partir da área de um triângulo

04 Questão da prova de seleção da UNICAMP

2010 Contexto Distância entre dois pontos


“Matemática: contexto e aplicações”

2013 Direta Equação da circunferência


“Matemática: contexto e aplicações”

2013 Direta Área do triângulo a partir de

3 pontos

07 Questão da prova de

seleção da UEPA 2012 Contexto

Coordenadas de pontos a partir da equação da reta

08

Questão da prova de seleção da UEPA

(adaptada pela pesquisadora)

2011 Contexto Área do círculo a partir da equação da circunferência

09 Questão do exame ENEM 2010 Contexto Localização de pontos

10 Questão do exame ENEM 2013 Contexto Gráfico da circunferência Fonte: pesquisa de campo (2014)

No teste diagnóstico, aos discentes, não apareceu a origem das questões

porque, conforme nossa experiência docente, quando os discentes, em sua maioria,

sabem de onde são originados os problemas para serem resolvidos, rejeitam as

questões justificando que não conseguem resolver e acabam, sem ao menos ler o

problema, não resolvendo a questão. Logo escolhemos não declarar a instituição que

produziu cada questão.

A maior parte dos alunos, equivalente a 71%, não respondeu alguns problemas

das questões. O quadro 12 apresenta os valores absolutos e relativos de acertos e

erros das 10 questões.

Quadro 12 – acertos e erros das questões do teste diagnóstico

QUESTÕES Acertos

(FA)

% Erros (FA) % Em Branco (FA) %

1ª QUESTÃO 15 13,5% 15 13,5% 83 73%

2ª QUESTÃO 11 10% 19 17% 83 73%

3ª QUESTÃO 0 0% 13 12% 100 88%

4ª QUESTÃO 0 0% 18 16% 95 84%

5ª QUESTÃO 5 4% 17 15% 91 81%

Quadro 11 – Características das questões do teste diagnóstico

75

6ª QUESTÃO 1 1% 12 11% 100 88%

7ª QUESTÃO 0 0% 9 8% 104 92%

8ª QUESTÃO 3 3% 6 5% 104 92%

9ª QUESTÃO 21 19% 67 59% 25 22%

10ª

QUESTÃO

10 9% 81 72% 22 19%


O gráfico 23 aponta que a maioria dos alunos deixaram as questões em branco,

apesar de declararem que os conhecimentos de Geometria Analítica são de regulares

compreensão.


A primeira questão, como resume o quadro 10, tratou do ponto médio de um

segmento entre dois pontos no primeiro quadrante, no qual obtivemos apenas 13%

de acertos, o que contradiz os resultados das avaliações referente a esse item (bloco

2), pois 77% dos alunos afirmaram que esse assunto é “fácil’, ‘muito fácil’ e de “regular”

compreensão, conforme o quadro 5, logo esperávamos um resultado mais alto.

A segunda questão abordou da distância entre dois pontos no primeiro

quadrante e tivemos 10% de acertos, enquanto o erro alcançou 17%. A terceira

questão que trabalhou equação da reta, teve um índice de acertos de 0%, assim como

a questão 4, que tratou da distância entre dois pontos contextualizado em um

problema envolvendo leitura de mapa e escala, e a questão 7, que solicitou as

13,5

0%

10%

0% 0%

4%

1% 0%

3%

19%

9%

13,5

0%

17%

12% 16

%

15%

11%

8%

5%

59%

72%

73%

73%

88%

84%

81% 88

% 92%

92%

22%

19%

Q U E S T Ã O 1

Q U E S T Ã O 2

Q U E S T Ã O 3

Q U E S T Ã O 4

Q U E S T Ã O 5

Q U E S T Ã O 6

Q U E S T Ã O 7

Q U E S T Ã O 8

Q U E S T Ã O 9

Q U E S T Ã O 1 0

GRÁFICO 23 - ACERTOS E ERROS DAS QUESTÕES DO TESTE DIAGNÓSTICO

Acertos Erros Em Branco

76

coordenadas de pontos a partir da leitura gráfica da reta, sendo que nos três

problemas a maioria dos alunos optaram em não os resolver.

A quinta questão solicitou de maneira direta a equação da circunferência,

fornecendo o centro e o raio e teve como frequência de acertos somente 4%. A sexta

questão, que pediu a área de uma figura composta por dois triângulos inseridos no

plano cartesiano obteve apenas um acerto, enquanto que 88% dos alunos deixaram

a questão em branco. A oitava questão solicitou a área do círculo a partir da equação

geral da circunferência por meio de uma situação-problema e obteve como resultado

apenas 3% de acertos. A nona questão que trabalhou localização de pontos foi o

problema com maior índice de acertos (19%), enquanto que a décima – abordou a

identificação gráfica da circunferência – obteve um acerto de 9%. Esses desempenhos

nas resoluções geraram o gráfico 24, com os valores relativos, em %, referentes as

notas, em uma escala de 0 a 10, alcançadas pelos alunos consultados.


De acordo com o gráfico 24, nenhum aluno consegue acertar mais do que a

metade do teste, sendo que apenas 2% (2 alunos) acertaram cinquenta por cento do

teste. A maioria absoluta, 64% (72 alunos), tiveram nota zero e, consequentemente,

a média das notas inferior a 1 – aproximadamente 0,6 – embora, conforme as

declarações os alunos, os conhecimentos serem considerados regulares, fácil e muito

fácil, com índices superiores ao grau difícil e muito difícil.

64%

25%

5%

1%

3% 2%

N O T A 0 N O T A 1 N O T A 2 N O T A 3 N O T A 4 N O T A 5

GRÁFICO 24 - NOTAS DO TESTE DIAGNÓSTICO DOS ALUNOS CONSULTADOS

Quantidade de alunos, em %, que obtiveram a nota destacada

77

Das informações disponibilizadas pelos discentes, podemos inferir a

necessidade de possibilitar meios mais diferenciados de ensino, uma vez que os

alunos declararam que a abordagem dos seus professores é, predominantemente,

tradicional, considerando esse modo aquele em que os professores usam como

recursos aulas expositivas, com apresentação de definição, exemplos e exercícios, e

isso não refletiu nas avaliações fornecidas pelos discentes, nem nos resultados do

teste diagnóstico realizado, já que a média das notas foram inferiores a um. Esse

necessário aprimoramento de ensino exige cuidado com a didática e metodologia

utilizadas em sala de aula, já que a ajuda profissional (professor particular) é muito

inferior ao índice que representa a ausência de ajuda. Nesse sentido, o que pensam

os docentes acerca desse processo de ensino e aprendizagem da Geometria

Analítica? Para responder tal questionamento, consultamos professores do estado do

Pará para verificar a visão docente sobre o ensino da Geometria Analítica.

2.2 CONSULTA A DOCENTES SOBRE O ENSINO E APRENDIZAGEM DE

GEOMETRIA ANALÍTICA

A consulta aos docentes compreendeu a última etapa realizada para compor a

fase de análises prévias dessa pesquisa e aconteceu no período de dezembro de

2014 a junho de 2015 com os professores de Matemática da rede estadual de ensino

do estado do Pará. Os participantes desse processo foram 30 professores que

ministram aulas de Matemática no 3º ano do Ensino Médio e se disponibilizaram a

participar da pesquisa. Esses professores são dos municípios de Belém, Ananindeua,

Bragança, Castanhal e Tailândia.

Essa consulta foi realizada por meio de um questionário (apêndice B) –

impresso e online. Dividimos em três partes esse questionário: a primeira parte

composta de solicitação de dados pessoais, acerca da faixa etária, tempo de serviço,

escola em que trabalha, formação acadêmica, dentre outras. A segunda parte consiste

em solicitação de informações sobre sua experiência docente, e a terceira, com a

avaliação docente relacionada ao grau de dificuldade para os alunos à resolução de

problemas de livros didáticos, de vestibulares e de Exame Nacional do Ensino Médio.

O tratamento das informações tem abordagens de aspectos quantitativos, com análise

78

de gráficos, quadros, tabelas, e qualitativos, levantando discussões acerca de alguns

problemas didático-pedagógicos.

2.4.1 Perfil dos docentes

Nessa consulta prévia, participaram 10 professoras e 20 professores, sendo

que 60% são, exclusivamente, docentes da escola pública do estado do Pará e 40%

são de escolas públicas e de outras instituições, dentre as municipais, federais e

privadas. Os professores estão concentrados, com 33% aproximadamente, na faixa

etária de 36 a 40 anos, como mostra a tabela 12 a seguir:

Tabela 12 – Faixa etária dos docentes paraenses

Faixa Etária Frequência Relativa

< 21 3%

26 a 30 17%

31 a 35 17%

36 a 40 33%

41 a 45 17%

46 a 50 6,5%

51 a 55 6,5%



Em relação ao tempo de serviço, a tabela 13 mostra que os maiores índices

estão na faixa de 6 a 10 anos e 11 a 15 anos de tempo de serviço, o que demonstra

um grupo experiente no trabalho docente.

< 213%

26 a 3017%

31 a 3517%

36 a 4033%

41 a 4517%

46 a 506,5%

51 a 556,5%

Gráfico 25 - Faixa etária dos docentes paraenses

< 21

26 a 30

31 a 35

36 a 40

41 a 45

46 a 50

51 a 55

79

Tabela 13 – Tempo de Serviço Docente

Tempo de Serviço Frequência Relativa

< 21 3%

1 a 5 10%

6 a 10 30%

11 a 15 30%

16 a 20 20%

21 a 25 3%

31 a 35 3%



O gráfico 27 retrata o nível de aperfeiçoamento (pós-graduações) em que estão

os docentes desta pesquisa.

< 214% 1 a 5

10%

6 a 1030%

11 a 1530%

16 a 2020%

21 a 253%

31 a 353%

GRÁFICO 26 - TEMPO DE SERVIÇO DOCENTE

80


Sobre a escolaridade dos professores consultados, destacamos que todos que

possuem algum tipo de pós-graduação estão na área educacional, sendo que 8 na

Educação Matemática, 2 na Educação Inclusiva, 1 na Didática da Matemática, 2 na

Informática Educativa, 1 na Matemática Elementar, 1 na Diversidade Racial, 1 no

Ensino da Matemática a E.J.A., 1 na Docência Superior e os outros, que estão na

categoria mestrado, em andamento ou concluído, atuam na área de Educação, seja

Matemática ou não.

Todos os professores que estão nas faixas de tempo de serviço entre 6 a 15

anos, que corresponde a 60% como mostra a tabela 13, têm pós-graduação,

especialização ou mestrado, o que indica uma apropriação maior, pelo menos

teoricamente, do campo educacional, no que concerne teorias e técnicas de ensino e

aprendizagem.

A maioria dos professores (27 participantes) declararam que inserem a

Geometria Analítica nos planos de cursos anuais de sua escola, desses 7% ensinam

esse conhecimento matemático no 2º ano do nível médio, enquanto que 93% afirmam

que ensinam no 3º ano, o que acompanha o plano anual de educação – guia dos

estudantes do Ensino Médio: orientações gerais - disponível na Secretaria de

Educação do Estado, por meio de seu site. Nele é proposto o estudo do plano

cartesiano, retas, circunferências, paralelismo e perpendicularidade no 3º bimestre do

3º ano do Ensino Médio.

Somente Graduação23%

Especialização57%

Mestrado em andamento

7%

Mestrado concluído13%

Gráfico 27 - Escolaridade dos Docentes

Somente Graduação

Especialização

Mestrado em andamento

Mestrado concluído

81

Durante sua formação acadêmica, apenas 9 professores afirmaram não ter

estudado disciplina sobre o ensino da Geometria Analítica. Dos que declararam que

estudaram, 76% afirmaram estudar a disciplina Geometria Analítica, enquanto que

19% declararam que abordaram esse conhecimento na disciplina Álgebra. No entanto,

nenhum participante fez referência ao ensino, pois de acordo com as ementas desses

cursos nas principais instituições de formação dos docentes (UFPA, UEPA e UNAMA),

o estudo das referidas disciplinas é realizado exclusivamente no campo da

Matemática pura e aplicada.

Quando perguntamos se os professores participaram de algum evento, tais

como congresso, seminário, palestra, dentre outros, sobre o ensino de Geometria

Analítica, obtivemos que 4 docentes participaram de algum desses eventos, contudo

todos declararam cursos de Geometria Analítica pura, sem citar algum relacionado

com o ensino.

Dos professores consultados, 43% afirmaram que ensinam Geometria Analítica

do mesmo modo que aprenderam em sua formação básica, como ilustra o gráfico 28

e quadro 13.

Quadro 13 – Professores que ensinam da mesma maneira que

aprenderam

Ensina da mesma maneira que aprendeu? (%)

Sim 43%

Não 57%



sim43%

não57%

GRÁFICO 28: PROFESSORES QUE ENSINAM DA MESMA MANEIRA QUE APRENDERAM

82

Ao perguntar sobre o modo como os professores aprenderam geometria

Analítica na época em que estudou tal assunto, a maioria respondeu que foi pela

definição seguida de exemplos, como mostra o quadro 14 e o gráfico 29, assim como

os discentes responderam, quando consultados, em 2014.

Quadro 14 – Modo como os professores aprenderam geometria analítica na educação básica

O modo como aprendeu Geometria Analítica Valor Relativo

Com um modelo para situação e em seguida analisando o modelo

3%

Pela definição seguida de exemplos e exercícios 83%

Pela definição seguida de exemplos e exercícios e com uma situação problema para depois introduzir o assunto

11%

Não informou 3% Fonte: pesquisa de campo (2015)


Dos professores que declararam que ensinam da mesma maneira que

aprendeu, todos afirmaram que a maioria das aulas eram iniciadas pela definição

seguida de exemplos e exercícios, sendo que apenas 8% cita também a situação-

problema para introduzir o assunto de Geometria Analítica, o restante apontou como

única alternativa o referido modo de ensino predominante.

Conforme o quadro 15 e o gráfico 30, os professores, em geral, trabalham o

conhecimento geométrico analítico de modo tradicional, considerando que esse modo

tem seu início na definição de conteúdo, depois a resolução de exemplos e, em

Com um modelo para situação e em seguida analisando o modelo

3%

Pela definição seguida de exemplos e exercícios

83%

Pela definição seguida de exemplos, exercícios e com uma situação problema para depois

introduzir o assunto11%

Não informou3%

GRÁFICO 29: MODO COMO OS PROFESSORES APRENDERAM GEOMETRIA ANALÍTICA NA EDUCAÇÃO BÁSICA

83

seguida, a apresentação de exercícios. Como as informações seguintes tem haver

diretamente com o ensino da Geometria Analítica e um professor declarou que não

ensina tal conteúdo, desconsideramos sua opinião quando relacionado com o ensino

do referido objeto matemático.

Quadro 15 – Modos de ensinar conforme os docentes

Modos de ensinar Frequência Relativa

Com um modelo para situação e em seguida analisa o modelo 10%

Com uma situação-problema para depois introduzir o assunto 28%

Pela definição seguida de exemplos e exercícios 45%

Com jogos para depois sistematizar os conceitos 0%

Com um experimento para chegar ao conceito 0%

Com uma situação-problema para depois introduzir o assunto

e pela definição seguida de exemplos e exercícios

17%


O gráfico 30 nos revela que nenhum professor, dentre os consultados que

ensinam Geometria Analítica, utiliza o jogo e a o experimento didático em suas

práticas docentes, em relação a Geometria Analítica, no qual o meio de ensino mais

utilizado é o uso da definição, exemplos e exercícios.


Modelagem10%

Situação-problema28%

Definição45%

Jogo0%

Experimento didático

0%

Situação-problema e definição

17%

GRÁFICO 30 - MODOS DE ENSINAR CONFORME OS DOCENTES

84

Como os professores demonstraram conforme a quadro 16, permeiam em suas

práticas de fixação de conteúdos o uso da lista de exercícios, que somam 90% das

declarações.

Quadro 16 – Modo de fixação conforme docentes

Modo de Fixação Frequências

Relativas

Apresentar listas de exercícios para ser resolvidas 49%

Lista de exercícios e jogos 3%

Livro didático 7%

Lista de exercícios e livro didático 17%

Livro didático, lista de exercício e solicitação de pesquisa 24%


O gráfico 31 ilustra predomina, nas práticas cotidiano dos docentes, o uso de

lista de exercício e /ou livro didático.

Ao relacionar a maneira de ensinar e exercitar, percebemos dos que optam

pela aula tradicional, preferem o uso somente de lista de exercício e/ou livro didático,

enquanto que os 8 docentes, que afirmaram utilizar a situação-problema para

introduzir o assunto conforme a tabela 14 (em valores relativos), se inseriram em todas

as opções existentes nessa tabela, estabelecendo uma variedade de utilização de

recursos didáticos para fixar os conteúdos trabalhados.

Lista de exercícios49%

Lista de exercícios e jogos

3%

Livro didático7%

Lista de exercícios e livro didático

17%

Livro didático e lista de exercício e

solicitação de pesquisa

24%

GRÁFICO 30 - MODO DE FIXAÇÃO CONFORME OS DOCENTES


85

Tabela 14 – Ensino e Exercício dos conteúdos conforme os docentes

MODOS DE

ENSINAR

Modos de Exercitar

Lista de

exercícios

Lista de

exercícios

e jogos

Lista de

exercícios

e livro

didático

Lista de

exercícios,

livro

didático,

Solicitação

de

pesquisa

Livro didático

Modelagem 7%

Situação-

problema

7% 3% 7% 7% 3%

Definição 33%

7% 7%

Jogo

Experimento

didático

Definição e

situação-

problema

3%

3% 10% 3%


Na tabela 14, ressaltamos o fato de apenas um professor mencionar o uso do

jogo, que é um recurso muito eficaz para estimular a reflexão e ação. Conforme

Brenelli (2005, p.24) os jogos “revestem-se de importância na medida que permitem

investigar, diagnosticar e remediar as dificuldades, sejam elas de ordem afetiva,

cognitiva ou psicomotora”. Quando comparamos os dados do quadro 13, levando em

conta as categorias Modelagem, Situação-problema, definição, jogos e experimentos

didáticos, com as pesquisas de Santos (2012), Gomes (2013) e Silva (2014), que

também buscaram ter a opinião de docentes sobre o modo de ensinar determinados

assuntos matemáticos, percebemos que aconteceram algumas variações que

entendemos como positiva, no que concerne ao modo como se ensina e exercita,

como mostram o gráfico 32 e 33.

86

No gráfico 32, em relação a categoria definição decresceu os índices do modo

tradicional de ensinar, desde 2013, o que pode ser um indicativo de transformação, já

que os resultados negativos que mostram as avaliações, tanto nacionais como

regionais, na educação, sugerem a necessidade de mudança para que haja um

avanço nos resultados de aprendizagem em Matemática.

Em relação à modelagem, houve uma evolução, já que em 2013 era 0%

passando para 10% em 2015, mostrando de maneira ainda discreta que a modelagem

Matemática está ganhando espaço nas práticas docentes como metodologia de

ensino. A categoria situação-problema está presente em todas as referidas pesquisas,

com índices crescentes até 2014 e em2015 baixou seu índice para 27%, porém

continua como o segundo maior modo de ensinar, atrás apenas do modo

predominante de ensino, que se concentra na categoria definição.

A categoria jogo tem um índice, em %, muito pequeno e aparece apenas nas

pesquisas de Santos (2012) e Silva (2014). Essa insignificante frequência do jogo nas

aulas de Matemática, seja para abordar conteúdos ou para ser um meio de fixação,

pode ter ocorrido, conforme nossa experiência docente, por conta do modo como a

sociedade encara esse procedimento metodológico, pois para alguns professores e

alunos, principalmente do Ensino Médio, o jogo não representa um meio de

construção de conhecimento, e sim apenas um momento de entretenimento.

Conforme Smole et. al (2008, p. 10):

Uma das fases escolares que menos utiliza jogos nas aulas de Matemática é, sem dúvida, o ensino médio. De fato, o sistema educativo de modo geral oferece resistência a esse recurso devido a uma crença bastante difundida na sociedade de que a Matemática se constitui em uma disciplina séria,

6%

0 2%

10%

18%

35%

47%

27%

28%

62%

45%

43%

11%

0% 2%3% 3% 4%

S A N T O S ( 2 0 1 2 ) G O M E S ( 2 0 1 3 ) S I L V A ( 2 0 1 4 ) P E S Q U I S A A T U A L ( 2 0 1 5 )

GRÁFICO 32 - MODO DE ENSINAR, CONFORME PESQUISAS ENTRE 2012 A 2015, SEGUNDO DOCENTES

Modelagem Situação-problema Definição Jogos Experimento didático


87

enquanto a utilização de jogos supõe introduzir a essa disciplina um componente divertido, o que comprometeria tal seriedade. Assim, o jogo na escola foi muitas vezes negligenciado por ser visto como uma atividade de descanso ou apenas como um passatempo.

A categoria experimento didático não aparece nos referidos estudos, no

entanto, nesta pesquisa, ao serem perguntados se já realizaram algum experimento

didático, três professores declararam que utilizaram como experimento didático

atividades com programas matemáticos educacionais e citam o Geogebra como

exemplo.

Dos docentes que declararam ter feito nenhum experimento, 51% afirmaram

que o motivo pelo qual não o realizaram foi a carga horária curta, que atualmente são

de 4 aulas semanais com 45 minutos cada. 30% desconhecem experimentos que

trabalham Geometria Analítica, 15% preferem ministrar o conteúdo de maneira

expositiva e 4% declararam não ter interesse em fazer experimento didático.

O gráfico 33 mostra um comparativo, de 2012 a 2015, sobre a maneira de

exercitar determinados conteúdos matemáticos.

A lista de exercícios é o recurso mais utilizado, em todas as pesquisas, não de

maneira regularmente crescente, mas está presente com frequências, relativamente,

altas, quando comparadas com os outros recursos.

A incidência do jogo nas maneiras de realizar fixação de conteúdo aparece de

maneira irregular, sendo que na pesquisa atual não há jogo no rol de respostas dos

participantes. O livro didático é um recurso de pouca utilização, conforme os

professores, já que só aparece nas pesquisas de Santos (2012), Silva (2014) e na

pesquisa atual, com índices muito baixos, apesar de que o livro é o único recurso

didático disponível na maioria das Escolas Públicas do Estado do Pará. Nessa

22%

76%

51%

47%

15%

4%

47%

0%

17%

0% 3% 7%0% 5% 0% 3%0%

15%

0% 0%

S A N T O S ( 2 0 1 2 ) G O M E S ( 2 0 1 3 ) S I L V A ( 2 0 1 4 ) P E S Q U I S A A T U A L ( 2 0 1 5 )

GRÁFICO 33 - MODO DE EXERCITAR CONTEÚDOS CONFORME PESQUISAS ENTRE 2012 A 2015, SEGUNDO

DOCENTES

Lista de exercícios Jogos Livro didático Lista/Jogos Lista/livro


88

consulta, perguntamos se os professores usam o livro didático adotado pela escola e

obtemos que 77% usam o livro, enquanto que 17% não utiliza e 6% não respondeu.

A tabela 15, com as frequências relativas (FR), mostra a declaração dos

professores participantes dessa pesquisa sobre a carga-horária, despendida ao

estudo da Geometria Analítica em sala de aula, levando em conta aulas de 45 minutos.

Tabela 15 – Carga-horária que os docentes trabalham com a

geometria analítica

Carga-horária FR

3 3%

4 3%

9 3%

10 15%

12 7%

14 3%

15 3%

16 22%

20 11%

30 7%

32 3%

36 3%

40 11%

48 3%

80 3% Fonte: Pesquisa de campo (2015)

3% 3% 3%

15%

7%

3% 3%

22%

11%

7%

3% 3%

11%

3% 3%

3 4 9 1 0 1 2 1 4 1 5 1 6 2 0 3 0 3 2 3 6 4 0 4 8 8 0

GRÁFI CO 34 - CARGA-HORÁRI A QUE OS D OCENTES TRABALHAM COM A GEOMETRI A ANALÍ TI CA


89

Ao considerar os 29 professores declarantes a respeito do número de aulas

utilizadas para o ensino da Geometria Analítica, vimos que, em média, o mesmo é

trabalhado em aproximadamente 24 aulas, com a moda estatística de 16 aulas, que

corresponde a 22% do total de entrevistados. Tal média corrobora com os estudos de

Segura (2013), no qual afirmou que utilizou 24 aulas para experimentar sua

sequência.

2.4.2 Avaliação dos docentes sobre o aprendizado dos discentes em Geometria

Analítica

A avaliação dos docentes sobre o aprendizado dos discentes em Geometria

Analítica foi feita por meio do critério “muito fácil” (MF), “fácil” (F), “regular” (R), “difícil”

(D) e “Muito difícil” (MD) que os professores tinham que apontar em relação de alguns

tópicos da Geometria Analítica para nos informar qual o grau de dificuldade de

aprendizagem os seus alunos apresentam, segundo sua experiência docente, no qual

caracterizamos da mesma forma que fizemos na pesquisa com os discentes. Contudo,

alguns professores declararam que não ministram alguns tópicos, sendo

representados por NM (Não Ministro o assunto).

Dividimos, assim como na consulta aos discentes, os 50 itens analisados em 5

blocos:

Bloco 1: sistema cartesiano;

Bloco 2: relação entre pontos;

Bloco 3: Retas

Bloco 4: circunferência;

Bloco 5: Situação-problema.

2.4.1.1 Bloco 1 segundo docentes

Como já informamos anteriormente, o bloco 1 possui itens acerca do eixo

cartesiano ortogonal. Conforme a tabela 16, com valores absolutos (VA), de modo

geral, os professores informam que os conhecimentos acerca do sistema de eixo

cartesiano são fáceis (47%) ou muito fáceis (39%), sendo que apenas 3% dos

docentes consideram difícil e 11% regular.

90

Itens referentes ao bloco 1

MF F R D MD NM

1.1- Identificar as coordenadas de um ponto marcado no 1º

quadrante 15 12 1 1 0 0


quadrante 13 14 1 1 0 0


quadrante 13 14 1 1 0 0


quadrante 13 14 1 1 0 0

1.5- Identificar as coordenadas de um ponto marcado sobre o

eixo das abscissas 9 12 7 1 0 0

1.6- Identificar as coordenadas de um ponto marcado sobre o

eixo das ordenadas 9 12 7 1 0 0

1.7 - Marcar o ponto no 1º quadrante 13 14 1 1 0 0




1.11 - Marcar o ponto sobre o eixo X 9 12 7 1 0 0

1.12 - Marcar o ponto sobre o eixo Y 8 13 7 1 0 0

A tabela 16 gerou o gráfico a seguir:


Conforme a tabela 16 e confirmado pelo gráfico 35, vimos que o bloco 1 foi

considerado fácil pelos professores consultados. Os itens considerados mais fáceis

foram a identificação das coordenadas de um ponto marcado no 2º, 3º e 4º

quadrantes, assim como a marcação do ponto no 1º quadrante. Quando comparamos

com a pesquisa de Silva e Silva (2008), percebemos que a maioria dos professores já

52%

45%

45%

45%

31%

31%

45%

45%

45%

45%

31%

28%

42%

49%

49%

49%

42%

42%

49%

45%

45%

45%

42% 45

%

3% 3% 3% 3%

24%

24%

3%

7% 7% 7%

24%

24%

3% 3% 3% 3% 3% 3% 3% 3% 3% 3% 3% 3%

0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%

1 . 1 1 . 2 1 . 3 1 . 4 1 . 5 1 . 6 1 . 7 1 . 8 1 . 9 1 . 1 0 1 . 1 1 1 . 1 2

GRÁFICO 35 -GRAU DE DIFICULDADE PARA APRENDER CONFORME OS DOCENTES - BLOCO 1

Muito Fácil Fácil Regular Difícil Muito Difícil Não Ministra o assunto


Tabela 16: Grau de dificuldade para aprender conforme os docentes – Bloco 1

91

não avaliam identificação nos eixos x e y como “fácil”, visto que em 2008, 65%

consideravam fácil tais conteúdos (quadro 2), enquanto que na pesquisa atual esse

percentual diminuiu para 43%.


O bloco 2 trata dos itens acerca da relação entre pontos, como mostra a tabela

17, na qual os professores afirmaram, de modo geral, que o grau de dificuldade à

aprendizagem relacionado aos pontos é “regular”, indicado por 48% dos professores,

a seguir 21% avaliaram “fácil”, 19% “difícil”, 8% “muito fácil”, 2% “muito difícil” e 1%

afirmaram não ensinar alguns tópicos do bloco 2, referente a intersecção de duas

retas e a relação de pertinência entre ponto e reta.

Tabela 17 – Grau de dificuldade para aprender conforme os docentes – bloco 2

Itens referentes ao bloco 2 MF F R D MD NM

2.1 - Encontrar a distância entre dois pontos 5 8 12 4 0 0

2.2 - Encontrar as coordenadas do ponto médio de um

segmento de reta

4 10 12 3 0 0

2.3 - Determinar o ponto de intersecção de duas retas 1 5 18 3 1 1

2.4 - Verificar se um ponto pertence a uma reta 2 4 18 3 1 1

2.5 - Verificar quando os pontos estão alinhados 3 6 13 6 1 0

2.6 - Encontrar a área de um triângulo a partir 3 pontos 0 5 11 12 1 0


O gráfico 36 evidencia que os docentes consideraram “regular” o grau de

dificuldade de os alunos aprenderem os conhecimentos acerca da relação entre

pontos e retas.

92

O item 2.3, que representa a determinação do ponto de intersecção de duas

retas e o item 2.4, que trata da verificação se um ponto pertence a uma reta foram os

itens que tiveram maior índice, com 63% dos professores apontando como regulares

esses conhecimentos. O item 2.6 (encontrar a área de triângulo a partir de três pontos)

foi o único desse bloco que foi considerado “difícil” aos alunos, conforme os

professores consultados.


No bloco 3 foram avaliados os conhecimentos acerca do estudo de reta. De

maneira geral, 40,3% dos professores declararam que esse bloco é “difícil “para os

alunos, 34,8% indicaram que é “regular”, 15,6% “fácil”, 3,5% “muito difícil” e 2,5%

“muito fácil”. O restante dos professores informou que não trabalham os tópicos

destacados neste bloco.

Tabela 18 – Grau de dificuldade para aprender conforme os docentes – bloco 3


3.1 – Determinar a declividade de uma reta 2 3 7 11 4 2

3.2 – Escrever a equação da reta na sua forma geral 0 4 14 11 0 0

3.3 – Escrever a equação da reta na sua forma segmentária 0 3 12 12 0 2

3.4 – Escrever a equação da reta na sua forma paramétrica 0 3 9 11 3 3

3.5 – Representar graficamente de uma equação da reta 0 3 15 10 0 1

3.6 – Determinar a equação da reta a partir de 2 pontos 1 5 14 9 0 0

3.7- Determinar a equação da reta a partir de 1 ponto e sua declividade 0 3 11 10 3 2

3.8 – Reconhecer retas paralelas 2 9 9 9 0 0

17%

14%

3%

7%

10%

0%

28%

35%

18%

14%

21%

17%

41%

41%

63%

63%

45%

39%

14%

10%

10%

10%

21%

41%

0% 0%

3% 3% 3% 3%

0% 0%

3% 3%

0% 0%

2 . 1 2 . 2 2 . 3 2 . 4 2 . 5 2 . 6

GRÁFICO 36 - GRAU DE DIFICULDADE PARA APRENDER CONFORME OS DOCENTES - BLOCO 2

Muito Fácil Fácil Regular Difícil Muito Difícil Não ministra o assunto


93

3.9 – Reconhecer retas concorrentes 2 9 8 10 0 0

3.10- Reconhecer retas são perpendiculares 1 8 9 11 0 0

3.11 – Determinar a equação da reta paralela a outra conhecendo um

ponto da mesma

1 2 9 16 0 1

3.12 – Determinar a equação da reta perpendicular à outra reta

conhecendo um ponto da primeira reta

0 4 7 17 0 1

O gráfico 37 mostra que os índices de difícil são bem representativos, uma vez

que a maior parte dos itens receberam índices superiores a 40%.


O bloco 3 foi considerada “difícil”, de acordo com os professores consultados.

Determinar a equação da reta perpendicular a outra reta conhecendo um ponto da

primeira reta foi considerado “difícil”, como mostra a tabela 17 e gráfico 36, segundo

os professores consultados. Os itens considerado mais fáceis foram reconhecer retas

paralelas e concorrentes. A avaliação regular com maior índice ficou por conta da

representação gráfica da equação de uma reta e a maior porcentagem da avaliação

“muito difícil” foi a determinação da declividade de uma reta.


O bloco 4 abordou quatorze itens sobre circunferência, como mostra a tabela

19. Os professores, em geral, 47,1% consideram esse bloco “difícil” para os alunos

aprenderem, 21,1% afirmaram ser regular, já 13% apontaram ser “fácil” o bloco 4,

enquanto que 6,8% dos professores indicaram ser “muito difícil”, 0,5% “muito fácil” e

11,5% afirmaram não ensinar os tópicos analisados.

7%

0% 0% 0% 0%

3%

0%

7% 7%

3% 3%

0%

10% 14

%

10%

10%

10%

17%

10%

31%

31%

28%

7%

14%

24%

48%

42%

32%

52%

48%

38%

31%

27% 31

%

31%

24%

38%

38% 42

%

38%

35%

32% 35

%

31% 35

% 38%

56% 59

%

14%

0% 0%

10%

0% 0%

10%

0% 0% 0% 0% 0%

7%

0%

7%

10%

3%

0%

7%

0% 0% 0%

3% 3%

3 . 1 3 . 2 3 . 3 3 . 4 3 . 5 3 . 6 3 . 7 3 . 8 3 . 9 3 . 1 0 3 . 1 1 3 . 1 2

GRÁFICO 37 - GRAU DE DIFICULDADE PARA APRENDER CONFORME OS DOCENTES - BLOCO 3

Muito Fácil Fácil Regular Difícil Muito Difícil Não Ministra o assunto


94

Tabela 19 – Grau de dificuldade para aprender conforme os docentes –

bloco 4


4.1- Reconhecer uma equação da circunferência em sua forma

reduzida

0 5 7 14 1 2

4.2 - Reconhecer uma equação da circunferência em sua forma

geral

0 4 11 13 0 1

4.3 - Determinar o centro a partir da equação reduzida da

circunferência

1 2 7 16 0 3

4.4 - Determinar o centro a partir da equação geral da

circunferência

0 4 6 15 1 3

4.5 - Determinar o raio a partir da equação reduzida da

circunferência

1 3 9 14 0 2

4.6 - Determinar o raio a partir da equação geral da

circunferência

0 4 6 15 1 3

4.7 - Verificar se um ponto pertence ou não a uma

circunferência

0 4 8 14 1 2

4.8 - Representar graficamente uma circunferência 0 5 10 11 1 2

4.9 - Reconhecer quando uma reta é secante à circunferência 0 5 4 12 4 4

4.10 - Reconhecer quando uma reta é tangente à circunferência 0 4 6 12 3 4

4.11 - Reconhecer quando uma reta é exterior à circunferência 0 4 5 12 4 4


tangência exterior a outra circunferência

0 4 4 9 6 6


tangência interna a outra circunferência

0 3 4 11 5 6

4.14 - Determinar a área da circunferência a partir da equação

dela

0 4 2 16 2 5



0% 0%

3%

0%

3%

0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%

17%

14%

7%

14%

10% 14

%

14% 17

%

17%

14%

14%

14%

10% 14

%

25%

38%

25%

21%

31%

21%

28%

34%

14%

21%

17%

14%

14%

7%

48%

45%

55%

52%

49% 52

%

48%

39% 41

%

41%

41%

30%

38%

55%

3%

0% 0%

3%

0%

3% 3% 3%

14%

10% 14

%

21%

17%

7%7%

3%

10%

10%

7%

10%

7% 7%

14%

14%

14%

21%

21%

17%

4 . 1 4 . 2 4 . 3 4 . 4 4 . 5 4 . 6 4 . 7 4 . 8 4 . 9 4 . 1 0 4 . 1 1 4 . 1 2 4 . 1 3 4 . 1 4

GRÁFICO 38 - GRAU DE DIF ICULDADE PARA APRENDER CONFORME OS DOCENT ES - BLOCO 4

Muito Fácil Fácil Regular Difícil Muito Difícil Não ministrou o assunto

95

Os docentes consultados declararam que são mais difíceis os itens, conforme

a tabela 19, determinar o centro a partir da equação reduzida da circunferência e a

área da circunferência a partir da equação dela, com índices relativos de 57%. Dentre

a avaliação mais difícil, a determinação da equação da circunferência a partir da

tangência exterior a outra circunferência teve a maior porcentagem.

Dentre os itens considerados fáceis, foram o reconhecimento de uma equação

da circunferência em sua forma reduzida, representação gráfica de uma circunferência

e o reconhecimento de uma reta quando é secante à circunferência que receberam

os maiores índices.


O bloco 5 trata de seis itens acerca de situações-problema que trabalha ponto,

reta e/ou circunferência, como indica a tabela 20, com valores absolutos e suas

respectivas frequências relativas (FR). Em geral, 43,3% dos professores afirmaram

que esse bloco é “difícil” aos alunos, 25,5% indicaram ser “regular”, 8,9%

consideraram “muito difícil”, 8,5% “fácil” e 13,8% dos professores não ensinam esse

bloco. O que nos surpreendeu, pois, esse bloco se resume em resolução de

problemas, que deveria ser trabalhado por todos levando em conta os exames

avaliativos nacionais, que exigem tais habilidades

.


5.1 - Resolver situações-problema no qual são fornecidos os pontos e

solicitada a equação da reta 0 3 9 12 1 4

5.2 - Resolver situações-problema no qual são fornecidos os pontos e

solicitada a área de um triângulo 0 2 7 14 3 3

5.3 - Resolver situações-problema no qual é necessário a interpretação

gráfica da equação da reta 0 3 9 10 2 5

5.4 - Resolver situações-problema no qual é fornecida a equação da

circunferência e é solicitado o raio dela 0 2 8 11 4 4

5.5 - Resolver situações-problema no qual são fornecidos o centro e o raio

da circunferência e solicitado a equação da mesma 0 3 6 14 2 4

5.6 - Resolver situações-problema no qual é fornecido a equação da

circunferência e é solicitado a área do círculo. 0 2 7 11 4 5

O gráfico 39 evidencia que o bloco referente a situações-problema é

considerado pelos professores “difícil”.


Tabela 20 – Grau de dificuldade para aprender conforme os docentes – Bloco 5

96

Os “mais difíceis”, conforme os professores, são as resoluções de situações-

problema nos quais são fornecidos os pontos e solicitado a área de um triângulo, e os

quais são fornecidos o centro e o raio da circunferência e solicitado a equação da reta,

com 49% de indicação.

Os itens resolver problemas no qual são fornecidos os pontos e solicitada a

equação da reta e problemas nos quais são necessárias a interpretação gráfica da

reta são considerados as habilidades com maior índice na avaliação “regular”. A

resolução de problemas no qual é fornecido a equação da circunferência, e é solicitada

a área do círculo possui o maior índice (13%), dentre o grau “muito difícil”.

2.4.3 Avaliação dos docentes sobre o teste diagnóstico

Os professores também avaliaram, como “muito fácil”, “fácil”, “regular”, “difícil”

ou “muito difícil”, avaliaram 10 questões (apêndice B), as mesmas que os alunos

resolveram como parte do questionário dado a eles, acerca dos conteúdos sobre

ponto, reta e circunferência. A tabela 21 mostra os resultados, indicados com valores

absolutos (VA) e relativos (%):

0% 0% 0% 0% 0% 0%

10%

7%

10%

7%

10%

7%

31%

24%

31%

27%

20% 24

%

42%

49%

35% 38

%

49%

38%

3%

10%

7%

14%

7%

14%

14%

10%

17%

14%

14% 17

%

5 . 1 5 . 2 5 . 3 5 . 4 5 . 5 5 . 6

GRÁFICO 39 - GRAU DE DIF ICULDADE PARA APRENDER CONFORME OS DOCENTES - BLOCO 5



97

Tabela 21 – avaliação das questões conforme docentes

QUESTÃO MF

(VA)

MF

%

F

(VA)

F

%

R

(VA)

R

%

D

(VA)

D

%

MD

(VA)

MD

%

1ª Questão 15 52% 12 42% 1 3% 1 3% 0 0%

2ª Questão 8 28% 13 44% 8 28% 0 0% 0 0%

3ª Questão 1 3% 4 14% 16 56% 7 24% 1 3%

4ª Questão 1 3% 2 7% 11 39% 14 48% 1 3%

5ª Questão 1 3% 8 28% 18 62% 2 7% 0 0%

6ª Questão 0 0% 1 3% 7 24% 17 59% 4 14%

7ª Questão 0 0% 0 0% 10 34% 17 59% 2 7%

8ª Questão 0 0% 2 7% 6 21% 16 55% 5 17%

9ª Questão 0 0% 2 7% 6 21% 15 51% 6 21%

10ª Questão 0 0% 3 10% 11 38% 13 45% 2 7%

As questões, em geral, foram consideradas “regulares”. A primeira questão

solicita que seja encontrado o ponto médio entre dois pontos dados. A metade dos

professores a consideraram “muito fácil”, não recebendo nenhuma classificação

“muito difícil”. A segunda, aborda a distância entre dois pontos, sendo que a maioria,

44%, indicam a questão como “fácil”. Já a terceira, que envolve equação da reta, foi

considerada “regular” pela maioria (56%). A quarta, que trabalha a distância entre dois

pontos, juntamente com escala estabelecida no mapa apresentado no problema,

recebeu em sua maioria (48%), a avaliação de “difícil”.

52%

42%

3% 3%

0%

28,0

0%

44%

28,0

0%

0% 0%

3%

14%

56%

24%

3%3%

7%

39%

48%

3%3%

28%

62%

7%

0%0%

3%

24%

59%

14%

0% 0%

34%

59%

7%

0%

7%

21%

55%

17%

0%

10%

38%

45%

7%

0%

10%

38%

45%

7%

M U I T O F Á C I L F Á C I L R E G U L A R D I F Í C I L M U I T O D I F Í C I L

GRÁFI CO 40 - AV ALI AÇÃO D AS QUESTÕES CONFORME D OCENTES

Questão 1 Questão 2 Questão 3 Questão 4 Questão 5

Questão 6 Questão 7 Questão 8 Questão 9 Questão 10



98

A quinta questão, que trata da determinação da equação da circunferência

apresentando o centro e o raio, foi indicada como “regular” (62%) pelos professores.

A sexta questão, na qual é solicitada a área de um triângulo dados os pontos dos

vértices, foi considerada “difícil” (59%). Assim como, a sétima, que aborda as

coordenadas do ponto a partir da equação da reta, teve a classificação de “difícil”

(59%) e a oitava questão, que envolve equação da circunferência e área do círculo,

também foi indicada como “difícil” (55%).

A nona e a décima questão foram objetivas, sendo retiradas do Exame Nacional

do Ensino Médio (ENEM). A nona trouxe a localização de pontos no plano, enquanto

que a décima solicita a representação gráfica de uma circunferência, a partir de

algumas informações dadas. As duas questões receberam avaliação “difícil”, sendo

que a nona obteve índice de 51%, enquanto a décima ficou com 45% da opinião dos

professores, conforme indicado na tabela 20.

A partir da consulta realizada, podemos dizer que, apesar dos docentes

consultados apresentarem experiência no trabalho docente, com seus

aperfeiçoamentos (mestrado ou especialização) na área de educação, ainda existe

uma postura tradicional de ensino, embora esteja diminuindo ao longo dos anos, mas

predomina em suas práticas o estilo tradicional que entendemos como as aulas que

iniciam pela definição de conceitos, seguida de exemplos e exercícios, quando

comparadas com outros modos de ensinar, tais como a modelagem, situação-

problema, jogos ou experimento didático.

O experimento didático é outro procedimento metodológico pouco trabalhado

em sala de aula, que no caso dessa pesquisa não foi citado, pois, conforme os

consultados, a principal justificativa está na carga-horária curta em sala de aula ou

pelo desconhecimento de experimentos que abordem a Geometria Analítica, o que

traz a necessidade de elaborar e apresentar atividades que possam ser exploradas

em sala de aula, com tempo considerado aceitável, em média 24 aulas, pelos

docentes interessados.

Em relação a avaliação dos docentes sobre a aprendizagem dos alunos acerca

dos conteúdos de Geometria Analítica, podemos afirmar que os professores julgam

“regular” os itens apresentados, contudo os problemas foram considerados “difícil” ou

“muito difícil”, o que pode ser um indicativo de que os conhecimentos, tais como

determinação da reta e da circunferência e situações-problema, devem ser mais

abordados em sala de aula para que o aluno, tendo o contato com esses itens

99

matemáticos de modo mais efetivo, possa ter oportunidades reais de resolver os

problemas relacionados a essa área do conhecimento e assim, promover a

aprendizagem.

O quadro 17 reúne as porcentagens correspondentes as respostas dos

professores consultados e alunos que estudaram os itens correspondentes ao bloco

1. Consideramos que as iniciais NR (Aluno que Não Respondeu), NM (Professor Não

Ministrou o assunto), A (Informações dos Alunos) e P (Informações dos Professores)

a todos os quadros dessa natureza.

Quadro 17 – Dificuldade de aprendizagem em relação ao bloco 1, conforme alunos e

professores

BLOCO 1

MUITO

FÁCIL

FÁCIL REGULAR DIFÍCIL MUITO

DIFÍCIL

NR NM

A

(%)

P

(%)

A

(%)

P

(%)

A

(%)

P

(%)

A

(%)

P

(%)

A

(%)

P

(%)

A

(%)

P

(%)

1.1. Identificar

as

coordenada

s marcadas

no 1º

quadrante

7 52 21 42 47 3 16 3 3 0 6 0

1.2. Identificar

as

coordenada

s marcadas

no 2º

quadrante

7 45 21 49 45 3 17 3 4 0 6 0

1.3.Identificar as

coordenadas

marcadas no 3º

quadrante

5 45 21 49 43 3 19 3 4 0 8 0

1.4.Identificar as

coordenadas

marcadas no 4º

quadrante

6 45 21 49 45 3 16 3 4 0 8 0

1.5.Identificar as

coordenadas

marcadas sobre

o eixo X

5 31 21 42 44 24 21 3 3 0 6 0

1.6.Identificar as

coordenadas

marcadas sobre

o eixo Y

6 31 18 42 46 24 22 3 2 0 6 0

1.7.Marcar o

ponto no 1º

quadrante

8 45 19 49 50 3 15 3 3 0 5 0

1.8.Marcar o

ponto no 2º

quadrante

8 45 18 45 54 7 14 3 3 0 3 0

1.9.Marcar o

ponto no 3º

quadrante

7 45 20 45 51 7 12 3 4 0 6 0

1.10.Marcar o

ponto no 4º

quadrante

10 45 20 45 48 7 14 3 0 0 8 0

100

1.11.Marcar o

ponto sobre o

eixo X

8 31 28 42 41 24 16 3 3 0 4 0

1.12.Marcar o

ponto sobre o

eixo Y

7 28 28 45 41 24 16 3 3 0 5 0


O quadro 17 mostra que os professores e alunos discordaram em seu grau de

dificuldade com maiores índices relativos, uma vez que os alunos consideraram

regular de aprender os conteúdos do bloco 1, com destaque para marcação do ponto

no 2º quadrante, que recebeu 49% na categoria regular, enquanto que os professores

apontaram como fácil de aprender os conteúdos relacionados ao sistema cartesiano,

nos quais a identificação das coordenadas no 2º, 3º e 4º quadrantes e marcar o ponto

no 1º quadrante receberam um índice de 49% na categoria fácil. Apesar da diferença

entre as porcentagens das avaliações dos alunos e professores consultados, nas

categorias difícil e muito difícil, serem superiores a 10%, os consultados declararam

que os conteúdos abordados no bloco 1 não apresentam grandes dificuldades de

aprendizagem, considerando que os índices nessas categorias são inferiores a 23%.

Para o bloco 2, obtivemos que a maioria dos alunos, 85%, estudaram assuntos

referentes a relação entre pontos e retas. Ao considerar os alunos que declararam ter

estudado os conteúdos relacionado ao bloco 2 e os professores consultados, obtemos

o quadro 18 que apresenta as avaliações acerca do grau de dificuldade de

aprendizagem dos alunos no bloco 2, segundo alunos e professores.

Quadro 18 – Dificuldade de aprendizagem em relação ao bloco 2, conforme alunos

e professores

BLOCO 2

MUITO

FÁCIL


DIFÍCIL

NR NM

A

(%)

P

(%)

A

(%)

P

(%)

A

(%)

P

(%)

A

(%)

P

(%)

A

(%)

P

(%)

A

(%)

P

(%)

2.1.Encontrar

a distância

entre dois

pontos

8 17 33 28 40 41 10 14 4 0 5 0

2.2.Encontrar

as

coordenadas

do ponto

médio de um

segmento de

reta

6 14 22 35 49 41 18 10 2 0 3 0

2.3.Determina

r o ponto de

intersecção

de duas retas

3 3 18 18 45 63 21 10 5 3 8 3

101

2.4.Verificar

se um ponto

pertence a

uma reta

6 7 25 14 45 63 18 10 2 3 4 3

2.5.Verificar

quando os

pontos estão

alinhados

5 10 22 21 50 45 17 21 2 3 4 0

2.6.Encontrar

a área de um

triângulo a

partir 3 pontos

6 0 13 17 49 39 22 41 7 3 3 0


De modo geral, os alunos e professores consultados consideraram os

conteúdos acerca da relação entre pontos e retas regulares. As habilidades de

encontrar a distância entre dois pontos e encontrar as coordenadas do ponto médio

de um segmento de reta foram considerados os mais fáceis, enquanto que entre os

difícil e muito difícil, encontrar a área de um triângulo a partir de 3 pontos obteve os

maiores valores relativos, o que pode indicar a necessidade de dedicar um maior

tempo para trabalhar tal conteúdo, já que exige conhecimento prévio de outro assunto

– determinante – que pode ser fator de dificuldade de aprendizagem. Os alunos que

declararam que estudaram os “sim” e os professores consultados e produzimos o

quadro 19, com as porcentagens de Alunos (A) e Professores (P) que julgaram os

tópicos relacionados com as habilidades do bloco 3 (retas).


professores

BLOCO 3

MUITO

FÁCIL


DIFÍCIL

NR NM

A

(%)

P

(%)

A

(%)

P

(%)

A

(%)

P

(%)

A

(%)

P

(%)

A

(%)

P

(%)

A

(%)

P

(%)

3.1.Determinar a

declividade de

uma reta

5 7 16 10 48 24 19 38 7 14 5 7

3.2.Escrever a

equação da reta

na forma geral

9 0 23 14 43 48 18 38 3 0 4 0

3.3.Escrever a

equação da reta

na forma

segmentária

6 0 19 10 42 41,5 23 41,5 4 3 6 7

3.4.Escrever a

equação da reta

na forma

paramétrica

1 0 16 10 39 32 32 38 5 10 7 10

3.5.Representar

graficamente de 5 0 24 10 44 52 19 35 3 0 5 3

102

uma equação da

reta

3.6.Determinar a

equação da reta

a partir de 2

pontos

7 3 27 17 43 48 16 32 3 0 4 0

3.7.Determinar a

equação da reta

a partir de 1

ponto e sua

declividade

3 0 15 10 49 38 23 35 4 10 6 7

3.8.Reconhecer

retas paralelas 8 7 28 31 43 31 13 31 4 0 4 0

3.9.Reconhecer

retas

concorrentes

6 7 22 31 50 27 14 35 4 0 4 0

3.10.Reconhecer

retas

perpendiculares

6 3 22 28 48 31 14 38 4 0 6 0

3.11.Determinar

a equação da

reta paralela a

outra

conhecendo um

ponto da mesma

1 3 15 7 47 31 28 56 5 0 4 3

3.12.Determinar

a equação da

reta

perpendicular à

outra reta

conhecendo um

ponto da

primeira reta

0 0 20 14 61 24 13 59 3 0 3 3


Tantos professores, quantos alunos, consideraram o bloco 3 de grau de

dificuldade regular, com destaque ao tópico 3.12 - determinar a equação da reta

perpendicular a outra reta conhecendo um ponto da primeira reta – de acordo com os

alunos, que recebeu 61% e ao tópico 3.4 - representar graficamente de uma equação

da reta conforme os professores, com 54% na categoria regular. Os tópicos indicados,

considerando os maiores índices relativos, como muito fácil e fácil foram reconhecer

retas paralelas e reconhecer retas são perpendiculares, resultados previstos já que o

reconhecimento de retas paralelas e perpendiculares, de modo prático, depende

somente da comparação entre dois valores que representam a declividade da

equação da reta. Já as habilidades determinar a equação da reta paralela a outra

conhecendo um ponto da mesma e determinar a declividade de uma reta foram

indicados como os itens mais difíceis, dentre as categorias difícil e muito difícil.

103

Para o bloco 4, os alunos, aproximadamente 73%, declararam que estudaram

os assuntos relacionados com o bloco relacionado com a circunferência. O quadro 20

apresenta as avaliações em relação ao grau de dificuldade de aprendizagem em torno

do bloco 4, segundo alunos e professores.

Quadro 20 – Dificuldade aprendizagem em relação ao bloco 4, conforme alunos e

professores HABILIDADES DO

BLOCO 4

MUITO

FÁCIL


DIFÍCIL

NR NM

A

(%)

P

(%)

A

(%)

P

(%)

A

(%)

P

(%)

A

(%)

P

(%)

A

(%)

P

(%)

A

(%)

P

(%)

4.1Reconhecer

uma equação

da

circunferência

na forma

reduzida

9 0 12 17 56 23 12 50 8 3 3 7

4.2Reconhecer

uma equação

da

circunferência

na forma geral

5 0 26 13 49 37 13 47 4 0 3 3

4.3Determinar o

centro a partir

da equação

reduzida da

circunferência

9 3 23 7 43 23 17 57 4 0 4 10

4.4Determinar o

centro a partir

da equação

geral da

circunferência

9 0 23 13 42 20 17 54 5 3 4 10

4.5Determinar o

raio a partir da

equação

reduzida da

circunferência

9 3 28 10 37 30 19 50 4 0 3 7

4.6Determinar o

raio a partir da

equação geral

da

circunferência

8 0 23 13 44 20 16 54 5 3 4 10

4.7Verificar se

um ponto

pertence ou não

a uma

circunferência

4 0 22 13 47 27 18 50 4 3 5 7

4.8Representar

graficamente

uma

circunferência

4 0 19 17 54 33 12 40 6 3 5 7

4.9Reconhecer

quando uma

reta é secante à

circunferência

1 0 10 17 56 13 21 44 7 10 5 13

4.10Reconhecer

quando uma

reta é tangente

à circunferência

3 0 13 13 48 20 25 44 7 10 4 13

104

4.11Reconhecer

quando uma

reta é exterior à

circunferência

1 0 11 13 52 17 22 44 8 13 6 13

4.12Determinar

a equação da

circunferência a

partir da

tangência

exterior a outra

circunferência

0 0 8 13 44 13 36 34 5 20 7 20

4.13Determinar

a equação da

circunferência a

partir da

tangência

interna a outra

circunferência

0 0 11 10 44 13 29 40 9 17 7 20

4.14Determinar

a área da

circunferência a

partir da

equação dela

0 0 15 13 56 7 18 57 6 7 5 16


O quadro 20 indica que existência de discrepância de resultados, quando

comparamos os índices relativos das avaliações entre alunos e professores. Os

alunos consideraram, de modo geral, regular o bloco 4, contudo os professores

consideraram difícil. A partir dos maiores índices, podemos observar que determinar

o raio a partir da equação reduzida da circunferência foi apontado como o mais fácil,

enquanto que determinar a equação da circunferência a partir da tangência interna a

outra circunferência foi designado como o mais difícil.


professores HABILIDADES DO

BLOCO 4

MUITO

FÁCIL


DIFÍCIL

NR NM

A

(%)

P

(%)

A

(%)

P

(%)

A

(%)

P

(%)

A

(%)

P

(%)

A

(%)

P

(%)

A

(%)

P

(%)

5.1Resolver

situações-

problema no

qual são

fornecidos os

pontos e

solicitada a

equação da

reta

0 0 17 10 39 31 31 42 6,5 3 6,5 14

5.2 Resolver

situações-

problema no

qual são

fornecidos os

pontos e

solicitada a

2,5 0 14 7 51 24 20 49 10 10 2,5 10

105

área de um

triângulo

5.3 Resolver

situações-

problema no

qual é

necessário a

interpretação

gráfica da

equação da

reta

0 0 8,5 10 51 31 33 35 5 7 2,5 17

5.4 Resolver

situações-

problema no

qual é fornecida

a equação da

circunferência e

é solicitado o

raio dela

1 0 18 7 51 27 20 38 4 14 6 14

5.5 Resolver

situações-

problema no

qual são

fornecidos o

centro e o raio

da

circunferência e

solicitado a

equação da

mesma

1 0 15 10 51 20 22 49 6 7 5 14

5.6 Resolver

situações-

problema no

qual é fornecido

a equação da

circunferência e

é solicitado a

área do círculo

1 0 7,5 7 49,5 24 24 38 13 14 5 17


O quadro 21 apresenta as opiniões de professores e alunos sobre a resolução

de problemas de Geometria Analítica. Os alunos consideraram todos os itens do bloco

5 “regulares”, pois os maiores índices recaem nesse grau de dificuldade de

aprendizagem, enquanto que os professores denominaram difíceis tal bloco. Dentre

os graus de dificuldade “fácil” e “muito fácil”, os professores e alunos discordam em

relação a avaliações dos itens, pois professores trataram o item 5.4 como “mais fácil”,

enquanto que aos alunos os maiores índices são os itens resolver situações-problema

nos quais são fornecidos os pontos e solicitada equação de reta, ou são necessários

interpretação gráfica da equação da reta ou aqueles nos quais são fornecidos o centro

e o raio da circunferência e solicitado a equação da reta. Em relação aos graus de

dificuldade “difícil” e “muito difícil” houve também uma discrepância de opiniões. Os

itens 5.2 e 5.5 tiveram os maiores índices, conforme os professores, enquanto aos

106

alunos o “muito difícil” foi o item 5.3, um indicativo que, nesse caso, resolver problemas

não é tarefa fácil nem aos professores, muito menos aos alunos.

Conforme os resultados das análises prévias realizadas, que os softwares

educacionais são recursos muito utilizados em experimentações didáticas, contudo a

realidade do lócus da pesquisa não nos permite contar com esses materiais de apoio.

Portanto, optamos por adaptações na pesquisa de Silva e Silva (2008) referente as

atividades propostas, visto que está mais próxima do que é possível fazer com

materiais acessíveis ao professor.

Em relação a consultas com os discentes e docentes, observamos que embora

os conteúdos expostos à análise serem julgados “regulares”, quando colocados em

forma de problemas, demostraram-se difíceis, como indicados nos resultados do teste

diagnóstico e na avaliação docente sobre as questões do teste. Logo, escolhemos

com base nesses resultados, investir em assuntos relacionados ao plano cartesiano,

distância entre dois pontos e entre ponto e reta, ponto médio, baricentro de um

triângulo, equação da reta, retas paralelas e perpendiculares, área do triângulo e

equação da circunferência, distribuídas em 20 atividades de abordagem de conteúdos

e 9 atividades de fixação, descritas na seção a seguir.

107

3 CONCEPÇÃO E ANÁLISE A PRIORI

Nessa seção apresentaremos os resultados da segunda etapa da nossa

pesquisa conforme a engenharia didática: Concepção e análise a priori. Logo

adotamos a metodologia de ensino da Matemática por atividades, com base nos

estudos de Sá (2009) e Sá e Jucá (2014). O ensino da Matemática por atividades tem

como principal característica, segundo Sá (2009), a interação dos alunos com o

professor durante o processo de construção do conhecimento. Destacamos alguns

elementos essenciais presentes na fase de elaboração das atividades, conforme Sá

(2009, p. 18):

As atividades devem apresentar-se de maneira auto orientadas para que os alunos consigam conduzir-se durante a construção de sua aprendizagem;

Toda atividade deve procurar conduzir o aluno à construção das noções matemáticas através de três fases: experiência, a comunicação oral das ideias apreendidas e a representação simbólica das noções construídas;

As atividades devem prever um momento de socialização das informações entre os alunos, pois isso é fundamental para o crescimento intelectual do grupo. Para que isso ocorra, o professor deve criar um ambiente adequado e de respeito mútuo entre os alunos e adotar a postura de membro mais experiente do grupo e que possa colaborar na aprendizagem deles;

As atividades devem ter características de continuidade, visto que precisam conduzir o aluno ao nível de representação abstrata das ideias matemáticas construídas a partir das experiências concretas vivenciadas por ele;

Nesse sentido, a partir das análises prévias realizadas, elaboramos a

sequência didática composta por 20 atividades para trabalhar alguns conteúdos da

Geometria Analítica plana. As atividades aqui propostas, baseados no ensino de

Matemática de Sá (2009), são aulas estruturadas a partir de procedimentos que

conduz o aluno a observar propriedades, testar e levantar hipóteses, socializar e

sistematizar informações, que geralmente é alguma propriedade Matemática a ser

trabalhada. Dessa forma, cada atividade dessa sequência didática, possui os

momentos a seguir:

1. Momento de elaboração: nesse momento a atividade é produzida, conforme

o assunto a ser abordado, baseado em necessidades apontadas nas

análises preliminares. A referida atividade contém os seguintes elementos:

título, objetivo, materiais necessários, procedimentos de execução da

atividade, quadro do roteiro (um quadro composto por colunas para colocar

informações que ajudarão o aluno a testar e levantar hipóteses), o espaço

108

para as observações que os alunos construirão acerca das informações do

quadro e o espaço às conclusões que os alunos desenvolverão, conforme

suas observações;

2. Momento de organização: essa organização se refere a distribuição da

turma para desenvolvimento da atividade, que pode ser feita em dupla ou

em grupo, em comum acordo com a turma;

3. Momento de apresentação: após a organização da turma, nesse momento,

apresentaremos a atividade, especificando a função de cada elemento

contido nela;

4. Momento de execução: nesse momento o professor terá o papel de

mediador no processo de interação dos alunos e coleta de dados para a

análise. Os alunos interagem entre si, trocam informações acerca dos

dados, expostos no quadro do roteiro da atividade e levantam hipóteses;

5. Momento de análise: os alunos, nesse momento, testam hipóteses,

socializam suas ideias, formando suas observações acerca dos dados

preenchidos no quadro do roteiro, com a nossa mediação, que os auxiliarão

na construção da conclusão;

6. Momento de conclusão: os alunos, nesse momento, a partir de suas

observações e socialização delas com os demais colegas, descrevem os

resultados da análise, por meio da linguagem Matemática ou da linguagem

materna, na tentativa de sistematizar o conhecimento matemático

redescoberto no momento de análise, de acordo com o objetivo da

atividade.

Essas aulas dedicadas às atividades podem durar mais ou menos tempo de

que uma aula normal (45 minutos). Nessa pesquisa, acrescentamos a hora de início

e fim da atividade para ter uma estimativa de tempo gasto por dupla em cada

atividade.

Além das aulas de abordagem dos conteúdos, fizemos 9 atividades de fixação

constituídas de 9 listas de questões, para aprimorar os conhecimentos acerca dos

assuntos estudados nas atividades e auxiliar no desenvolvimento dos testes, um pré-

teste, com a intenção de apurar o nível de conhecimento que os discentes

participantes da fase de experimentação se encontram e um pós-teste, com as

mesmas questões do pré-teste, para comparar os resultados dos mesmos

estatisticamente com os resultados do pré-teste, utilizando tabelas, gráficos e o

109

método teste de hipótese. Abaixo apresentaremos a análise a priori de cada questão

que constituíra o pré- e pós-teste, assim como as análises a priori das atividades

pertencentes a nossa sequência didática.

3.1 ANÁLISE A PRIORI DO PRÉ-TESTE E PÓS-TESTE

O pré-teste tem as mesmas questões do teste que pertenceu ao questionário

aplicado aos discentes consultados na etapa das análises prévias. O pós-teste será o

mesmo do pré-teste. A seguir apresentaremos e faremos a análise a priori do Pré e

Pós-testes por questão.

1ª questão: “Encontre o ponto médio do segmento, em que A (4, 6) e B (8, 10).”

Análise a priori do Pré-teste: Os alunos sentiram dificuldades em resolver a

questão, uma vez que é pouco provável ter estudado o assunto.

Análise a priori do Pós-teste: Os alunos encontrarão a resposta mais

adequada para resolver a questão, pois utilizarão os conhecimentos construídos nas

atividades referentes ao ponto médio.

2ª questão: “Calcule a distância entre A (6, 7) e B (9, 11). ”

Análise a priori do Pré-teste: Os alunos sentiram dificuldades em resolver a

questão, uma vez que é pouco provável ter estudado o assunto.

Análise a priori do Pós-teste: Os alunos encontrarão a resposta mais

adequada para resolver a questão, pois utilizarão os conhecimentos construídos nas

atividades relacionadas a distância entre dois pontos.

3ª questão: “De acordo com a figura abaixo, a área da região delimitada pelos eixos

coordenados e pela reta r vale 4 unidades de área. Se o ponto A = (-1, 2) pertence

à reta r, qual é a equação da reta r? ”

110

Análise a priori do Pré-teste: Os alunos não conseguirão resolver a questão,

já que ainda não estudaram o assunto.

Análise a priori do Pós-teste: Os alunos encontrarão, em sua maioria, a

resposta mais adequada para resolver a questão, pois utilizarão os conhecimentos

construídos nas atividades referentes a equação da reta.

4ª questão: “A figura abaixo apresenta parte do mapa de uma cidade, no qual estão identificadas a catedral, a prefeitura e a câmara de vereadores. Observe que o quadriculado não representa os quarteirões da cidade, servindo apenas para a localização dos pontos e retas no plano cartesiano. Nessa cidade, a Avenida Brasil é formada pelos pontos equidistantes da catedral e da prefeitura, enquanto a Avenida Juscelino Kubitschek (não mostrada no mapa) é fornecida pelos pontos equidistantes da prefeitura e da câmara de vereadores.

Sabendo que a distância real entre a catedral e a prefeitura é de 500m, qual é a

distância real, em linha reta, entre a catedral e a câmara de vereadores? ”





construídos nas atividades relacionadas a distância entre dois pontos, no entanto

alguns terão dificuldades em trabalhar com escala de mapas.

111

5ª questão: “Determine uma equação da circunferência cujo centro é C (2, 5) e o

raio é igual a 3. ”





construídos nas atividades referentes a equação da circunferência.

6ª questão: “Qual é a área da figura colorida no diagrama abaixo? ”





construídos nas atividades referentes a área do triângulo.

7ª questão: “O gráfico abaixo representa, dentro do sistema de eixos cartesianos ortogonais, a trajetória de um táxi, de um bairro A para um bairro B, passando pelos bairros X e Y nessa ordem.

Se os pontos A X, Y e B pertencem à reta de equação 3x – 4y + 120=0 e as distâncias entre os pontos A e X; X e Y; Y e B são iguais entre si, então, nessas condições, quais são as coordenadas dos pontos A e B? ”



112



construídos nas atividades referentes as coordenadas de pontos e equação da reta.

8ª questão: “Um professor de Matemática preocupado com o desmatamento na

Amazônia resolveu desenvolver uma atividade com seus alunos, na qual abordava

o desmatamento de uma determinada área. O objetivo da atividade estava

relacionado à sensibilização para a

necessária preservação da floresta

amazônica. Na atividade foram

apresentados os gráficos abaixo, com a

figura 1 representando a área sem o

desmatamento e a figura 2 representando a

área com o desmatamento existente. Se a

área desmatada pode ser representada

pela equação da circunferência x2 + y2 – 8x

– 10y+ 40 = 0, então qual é o valor da área

desmatada? ”





construídos nas atividades referentes equação da circunferência, contudo alguns

alunos terão dificuldades de calcular a área, logo apresentaremos a expressão que

representa essa área.

9ª questão: “A figura ao lado é a representação de uma região por meio de curvas

de nível, que são curvas fechadas representando a altitude da região, em relação

ao nível do mar. As coordenadas estão expressas em graus de acordo com a

longitude, no eixo horizontal, e a latitude, no eixo vertical. A escala em tons de cinza

desenhada abaixo está associada à altitude da região.

113

Um

pequeno helicóptero usado para reconhecimento sobrevoa a região a partir do ponto

X = (20, 60). O helicóptero segue o percurso: 0,8° L → 0,5° N → 0,2° O → 0,1° S →

0,4° N → 0,3° L.

De acordo com as orientações, o helicóptero pousou em um local cujo altitude é:

a) Menor ou igual a 200 m.

b) Maior que 200 m e menor ou igual a 400 m.

c) Maior que 400 m e menor ou igual a 600 m.

d) Maior que 600 m ou igual a 800 m.

e) Maior que 800 m.”

Análise a priori do Pré-teste: A maioria dos alunos não conseguirá resolver a

questão, já que ainda não estudaram o assunto, no entanto como a questão é objetiva

pode ter aproximadamente 15% de acertos.



construídos nas atividades referentes a localização de pontos.

10ª questão: “Durante uma aula de Matemática, o professor sugere aos alunos que seja fixado um sistema de coordenadas cartesianas (x, y) e representa na lousa a descrição de cinco conjuntos algébricos, I, II, III, IV e V, como se segue:

I — É a circunferência de equação x2 + y2 = 9;

II — É a parábola de equação y = − x2− 1, com x variando

de −1 a 1;

III — É o quadrado formado pelos vértices (−2, 1), (−1, 1), (−1,

2) e (−2, 2);

114

IV — É o quadrado formado pelos vértices (1, 1), (2, 1), (2, 2) e

(1, 2);

V — É o ponto (0, 0).

A seguir, o professor representa corretamente os cinco conjuntos sobre uma mesma malha quadriculada, composta de quadrados com lados medindo uma unidade de comprimento, cada, obtendo uma figura.

Qual destas figuras foi desenhada pelo professor? ”

Análise a priori do Pré-teste: A maioria dos alunos não conseguirá resolver a

questão, já que ainda não estudaram o assunto, no entanto como a questão é objetiva

pode ter aproximadamente 15% de acertos.



9

-9 9

-9

9

-9 9

-9

3

-3 3

-3

3

-3 3

-3

a) b)

c) d)

e)

115

construídos nas atividades referentes a equação da circunferência, mas alguns terão

dificuldades de interpretar as descrições apresentadas no problema.

3.2 APRESENTAÇÃO E ANÁLISE A PRIORI DAS ATIVIDADES PARA ABORDAGEM DOS CONTEÚDOS EM GEOMETRIA ANALÍTICA

As atividades propostas para compor a nossa sequência didática abordam os

seguintes conteúdos: Localização e marcação de pontos nos quadrantes e sobre os

eixos cartesianos; coordenadas do ponto médio e do baricentro do triângulo; Condição

de alinhamento de três pontos; Distância entre dois pontos e entre ponto e uma reta;

Declividade e equação da reta; Propriedades das retas paralelas e perpendiculares;

Área do triângulo; Equação da circunferência.

A seguir apresentaremos essas atividades com suas respectivas análises

3.2.1 Atividade 1

Título: Localização na sala de aula

Objetivo: Praticar a localização de pontos no plano.

Material: Roteiro da atividade 1, papel, caneta ou lápis.

Hora de Início da atividade: _______________

Procedimentos

Observe a figura a seguir que representa uma sala de aula com carteiras

organizadas em fileira:

Identifique os alunos a partir das orientações do quadro abaixo:

Localização Identificação

O aluno que está na 3ª carteira, da 2ª fileira.





Fonte: www.portaldoprofessor.mec.gov.br/ acesso em 25/08/15

http://www.portaldoprofessor.mec.gov.br/

116

Você conseguiria identificar os alunos, se fosse fornecido apenas uma informação,

por exemplo, o aluno que está na 2ª fileira? Por quê?

Quantas informações foram necessárias para fornecer a localização dos alunos?

Quantas informações são necessárias para fornecer a localização de qualquer

objeto?

Hora do final da atividade: _________________________________

A atividade 1 foi produzida por Sá e Pires (2016) como atividade exploratória.

Atividade exploratória é aquela cujo objetivo é verificar até onde se conhece sobre o

conceito de ponto e localização. Para análise a priori da atividade 1, esperamos que

os alunos percebam a noção de coordenadas em uma situação cotidiana, no entanto,

provavelmente os alunos encontrarão resultados diferentes, já que não

estabelecemos nenhum ponto de referência, de modo proposital, para que haja a

discussão acerca do assunto.

3.2.2 Atividade 2

Atividade 2

Título: Localização de pontos no xadrez

Objetivo: Praticar a localização de pontos no tabuleiro de xadrez.

Material: Roteiro da atividade 2, caneta ou lápis.

Hora de Início da atividade: _______________

Procedimento:

A partir das figuras, indique a posição das peças em cada questão;

Identifique a posição seguindo a seguinte nomenclatura:

1) Qual é a posição do rei preto no tabuleiro a seguir?

2) Qual é a posição da torre branca no tabuleiro a seguir?

117

3) Qual é a posição do bispo branco no tabuleiro a seguir?

4) Qual é a posição da rainha preta, no tabuleiro a seguir?

5) Qual é a posição do cavalo branco no tabuleiro a seguir?

6) Ao considerar o bispo do tabuleiro a seguir, qual é a posição dele se ele for deslocado até

a metade de sua trajetória no sentido AB?

118

7) Se o bispo preto da figura a seguir estiver na parte inferior à direita, qual será sua posição?

8) De acordo com a figura 8, se a torre branca se deslocar para a última casa a direita,

considerando sua movimentação, qual será sua nova posição?

9) Considerando a movimentação do cavalo branco, qual será a posição dele se ele se

deslocar para a esquerda, de acordo com a figura a seguir?

10) Qual será a posição do peão preto, ao se deslocar para frente, conforme a figura a seguir?

A

B

119

Hora do final da atividade: _________________________________

A atividade 2 foi elaborada por Sá e Pires (2016). Para análise a priori da

atividade 2, atividade exploratória, prevemos que os alunos sentirão dificuldades de

identificar os pontos, já que o xadrez apesar de ser um jogo conhecido é pouco usado

em nossas escolas como recurso pedagógico. Logo, apresentaremos as peças do

xadrez e suas respectivas movimentações, antes de iniciar a atividade.

Conforme as análises prévias, verificamos que, aproximadamente 50% dos

discentes egressos julgaram “regulares” o grau de dificuldade de aprendizagem para

o bloco I (plano cartesiano), embora dos docentes, de modo geral, avaliarem como

“fácil” o mesmo. Logo optamos em abordar esse bloco em três atividades distintas

(atividades de 3 a 5) trabalhando as habilidades de marcar e identificar pontos no

plano cartesiano ortogonal.

3.2.3 Atividade 3

Atividade 3

Título: Plano Cartesiano Objetivo: Encontrar relações entre pontos de mesmo quadrante ou eixo do plano cartesiano. Material: Roteiro da atividade 3, folha do sistema de eixos cartesianos I, caneta ou lápis. Hora de Início da atividade: __________________ Procedimentos:

A partir dos pontos indicados abaixo, marquei-os no plano cartesiano: A(1, 4); B(2, 5); C(1,1); D(0,0); E(-3,5); F(-4,6); G(-5, 1); H(-1, -2); I(-6, -5); J( -7, -3); K(0,7); L(8,0); M(-2, 0); N(0, -7); O(7, -3); P(10, -8); Q(5, -5); R (4, -10); S (-5, 0); T (-2, -4).

Após a marcação dos pontos no plano, preencha o quadro a seguir:

Pontos do

1º

Quadrante

Pontos do

2º

Quadrante

Pontos do

3º

quadrante

Pontos do

4º

quadrante

Pontos

sobre o

eixo x

Pontos

sobre o

eixo y

120

Observação: Conclusão: Hora do final da atividade: ___________________

A atividade 3 foi produzida por Sá e Pires (2016). Para análise a priori da

atividade 3 esperamos que os alunos percebam que os pontos pertencentes ao 1º

quadrante têm abscissas e ordenadas positivas, os pontos do 2º quadrante têm

abscissas negativas e ordenadas positivas, os pontos do 3º quadrante têm abscissas

e ordenadas negativas e os pontos do 4º quadrante possuem abscissas positivas e

ordenadas negativas.

3.2.4 Atividade 4

Título: Ponto sobre o eixo x

Objetivo: Descobrir uma condição suficiente para um ponto esteja sobre o eixo das abscissas. Material: Roteiro da atividade 4, caneta ou lápis. Hora de Início da atividade: ______________________________________ Procedimentos:

Observe o plano cartesiano a seguir:

Identifique as coordenadas dos pontos que estão destacados no plano cartesiano ortogonal;

121

Com os dados obtidos, complete o quadro a seguir:

PONTO COORDENADAS DO

PONTO

O PONTO ESTÁ SOBRE

O EIXO X?

Abscissa Ordenada Sim Não

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

Observação: Conclusão: Hora Final da atividade: ______________________________________


atividade 4 prevemos que os alunos percebam que os pontos sobre o eixo das

abscissas possuem ordenadas iguais a zero.

3.2.5 Atividade 5

Título: Ponto sobre o eixo Y Objetivo: Descobrir uma condição suficiente para um ponto sobre o eixo das ordenadas. Material: Roteiro da atividade 5, folha sistema de eixos cartesianos III, caneta ou lápis. Hora de Início da atividade: ______________________________________ Procedimentos:

Observe o plano cartesiano a seguir:

122

Identifique as coordenadas dos pontos que estão destacadas no eixo cartesiano;

Com os dados obtidos, complete o quadro abaixo:

PONTO COORDENADAS DO

PONTO

O PONTO ESTÁ SOBRE

O EIXO Y?

Abscissa Ordenada Sim Não

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

Observação: Conclusão: Hora de Final da atividade: ______________________________________

A atividade 5 foi formada por Sá e Pires (2016). Para análise a priori dessa

atividade esperamos que os alunos percebam que os pontos que se encontram sobre

o eixo das ordenadas possuem abscissas iguais a zero.

3.2.6 Atividade 6

Título: Ponto Médio Objetivo: Descobrir uma maneira de determinar analiticamente o ponto médio de um segmento Material: Roteiro da atividade 6, papel quadriculado, caneta ou lápis. Hora de Início da atividade: ______________________________________ Procedimentos: Para cada par de pontos a seguir:

Marque cada de par de pontos no plano cartesiano;

Encontre, com o auxílio da régua, em cm, o ponto médio em cada segmento AB;

Após os dados obtidos, preenche o quadro a seguir: PONTOS SOMA DAS

ABSCISSAS

SOMA DAS

ORDENADAS

COORDENADAS DO PONTO MÉDIO

(XM,YM) DO SEGMENTO AB

A= (3,1)

B= (1,7)

A = (2,3)

B = (4,3)

123

A= (5,6)

B = (7,8)

A = (-3,4)

B = (-5,8)

A= (-5,1)

B= (-5,5)

A = (-6, -8)

B = (-8,2)

A= (-1, -2)

B= (-3, -2)

A= (2, -8)

B = (4, -6)

A= (5, -6)

B = (3, -2)

A= (1, -8)

B= (3, -4)

Observação: Conclusão: Hora de Final da atividade: ______________________________________

A atividade 6 foi produzida por Sá e Pires (2016) baseada nos índices

declarados pelos docentes e discentes (análises prévias). Para análise a priori dessa

atividade indicamos que, a partir do plano cartesiano, os alunos marcarão os pares de

pontos no plano e destacarão o segmento de reta formados pelos referidos pares de

pontos e, com auxílio de uma régua, encontrarão o ponto médio. Preencherão o

quadro conforme a solicitação do roteiro da atividade, em seguida farão observações

sobre os valores do quadro. Com isso, esperamos que os alunos percebam que as

coordenadas do ponto médio de um segmento são determinadas pela média dos

valores das abscissas dos pontos A e B e das ordenadas dos pontos A e B.

3.2.7 Atividade 7

Atividade 7

Título: Baricentro Objetivo: Descobrir uma maneira de determinar analiticamente as coordenadas do baricentro de um triângulo Material: Roteiro da atividade 7, quadro do baricentro, caneta ou lápis. Hora de Início da atividade: ______________________________________ Procedimentos:

Para cada triangulo do quadro de figuras determine:

As coordenadas dos vértices;

As coordenadas do ponto de interseção das medianas;

124

Após os dados obtidos, preenche o quadro a seguir: TRIÂN GULO

ABSCISSA

DO 1º

VÉRTICE

ABSCISSA

DO 2º

VÉRTICE

ABSCISSA

DO 3º VÉRTICE

ABSCISSA

DO PONTO

DE

INTERSEÇÃO

DAS

MEDIANAS

ORDENADA

DO 1º

VÉRTICE

ORDENADA DO 2º

VÉRTICE

ORDENADA DO 3º

VÉRTICE

ORDENADA DO PONTO DE

INTERSEÇÃO

DAS MEDIANAS

COORDENADAS DO PONTO

DE INTERSEÇÃO DAS

MEDIANAS

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Observação: Conclusão:

Hora final da atividade: _______________

A atividade 7 foi elaborada por Sá e Pires (2016). Para análise a priori dessa

atividade apontamos que os alunos terão que encontrar o ponto que representa o

baricentro de um triângulo. Como os alunos já terão noção básica de determinação

de pontos, eles não terão dificuldades de realizar essa atividade, embora, para alguns

triângulos os vértices serão negativos, o que pode ser um obstáculo para que eles

percebam que a abscissa e a ordenadas do ponto do baricentro é a média aritmética

das abcissas e ordenadas dos vértices.

3.2.8 Atividade 8

Título: alinhamento de três pontos Objetivo: Descobrir uma condição para o alinhamento de três pontos. Material: Roteiro da atividade 8, folha plano cartesiano ortogonal, caneta ou lápis. Hora de Início da atividade: ______________________________________ Procedimentos:

Marque os pontos A (a1, a2), B (b1, b2) e C (c1, c2), exibidos pelo quadro abaixo, no plano cartesiano ortogonal;

Verifique se os pontos estão alinhados ou não;

Calcule o determinante da matriz D, sendo D =[𝑎1 𝑎2 1𝑏1 𝑏2 1𝑐1 𝑐2 1

]

Com as informações obtidas preencha o quadro a seguir:

A (a1, a2) B (b1, b2) C (c1, c2) Os pontos A, B e C

estão alinhados? Det D

(1,5) (3,8) (-1,1)

(-1,-3) (2,3) (0,-1)

125

(-2,2) (0,0) (-6,6)

(-4,1) (4,4) (-4,5)

(-1,0) (0,1) (-2,-1)

(3,-5) (1,-5) (1,1)

(-1,4) (2,-2) (3,-4)

(3,-1) (-4,-8) (7,3)

(-2,-4) (8,1) (-8,3)

(-4,-2) (2,1) (4,2)


Hora de Final da atividade: ______________________________________

A atividade foi elaborada por Sá e Pires (2016), baseados na pesquisa de Silva

e Silva (2008). Para análise a priori da atividade 8, prevemos que os alunos marcarão

os pontos no plano cartesiano ortogonal e verificarão se eles estão alinhados. Após

isso, calcularão o determinante (det D), em cada caso. Esperamos que os alunos

observem que o det D terá resultado zero quando os pontos forem alinhados,

enquanto que, quando os pontos não forem, o det D será diferente de zero.

3.2.9 Atividade 9

Título: Distância entre dois pontos com as mesmas abscissas Objetivo: Descobrir uma maneira de determinar a distância entre dois pontos que possuem as mesmas abscissas. Material: roteiro da atividade 9, régua, papel A4, régua, caneta ou lápis. Hora de Início da atividade: ______________________________________ Procedimentos:

Para cada par de pontos a seguir:


Determine, em cm, a distância entre cada par de pontos;

Com os dados obtidos, preenche o quadro a seguir:

PARES

DE

PONTOS

ABSCISSA ORDENADA VARIAÇÃO DAS

ABSCISSAS

(∆X)

VARIAÇÃO DAS

ORDENADAS

(∆Y)

DISTÂNCIA

ENTRE OS

PONTOS (D) 1º ponto 2º ponto 1º ponto 2º ponto

(1,1)

(1,7)

(2,3)

(2,5)

(5,6)

(5,7)

(-3,4)

(-3,8)

126

(-5,8)

(-5,5)

(-6,-8)

(-6,-1)

(-1,-2)

(-1,-5)

(2,-8)

(2,-8)

(5,-6)

(5,-2)

(1,-7)

(1,-4)



A atividade foi produzida por Sá e Pires (2016), adaptada de Silva e Silva

(2008). Para análise a priori da atividade 9, esperamos que os alunos, a partir dos

pontos colocados o plano cartesiano, percebam que as distâncias entre os pontos

com as mesmas abscissas são iguais as variações das ordenadas, enquanto que as

variações das abscissas, nesses casos, são iguais a zero.

3.2.10 Atividade 10

Título: Distância entre dois pontos com as mesmas ordenadas Objetivo: Descobrir uma maneira de determinar analiticamente a distância entre dois pontos que possuem as mesmas ordenadas. Material: Roteiro da atividade 10, régua, papel A4, régua, caneta ou lápis. Hora de Início da atividade: ______________________________________ Procedimentos:

Para cada par de pontos a seguir:


Determine, em cm, a distância entre cada par de pontos; Com os dados obtidos, preenche o quadro a seguir:

PARES

DE

PONTOS

ABSCISSA ORDENADA VARIAÇÃO

DAS

ABSCISSAS

(∆X)

VARIAÇÃO DAS

ORDENADAS

(∆Y)

DISTÂNCIA

ENTRE OS

PONTOS (D) 1º

ponto

2º

ponto 1º ponto

2º

ponto

(1,1)

(7,1)

(5,3)

(8,3)

(3,5)

(4,5)

(-2,1)

(-4,1)

127

(-4,3)

(-8,3)

(-5,-2)

(-1,-2)

(-6,-1)

(-7,-1)

(5,-3)

(8,-3)

(4,-1)

(10,-1)

(7,-8)

(2,-8)



A atividade foi produzida por Sá e Pires (2016) adaptada da atividade de Silva

e Silva (2008). Para análise a priori da atividade 10, esperamos que os alunos, a partir

dos pontos colocados no plano cartesiano, percebam que as distâncias entre os

pontos com as mesmas ordenadas são iguais as variações das abscissas, enquanto

que a variação das ordenadas, nesses casos, são iguais a zero.

3.2.11 Atividade 11

Atividade 11

Título: Distância entre dois pontos quaisquer Objetivo: Descobrir uma maneira de determinar a distância entre dois pontos quaisquer. Material: Roteiro da atividade 11, caneta ou lápis, régua, calculadora (opcional). Hora de Início da atividade: ______________________________________ Procedimentos:

Para cada segmento de reta a seguir:

128

Determine a variação de X (∆X);

Determine a variação de Y (∆Y);

Encontre a distância entre eles (d), com o auxílio da régua, em cm;

Calcule o quadrado de (∆X), (∆Y) e (d); Após os dados obtidos, preencha o quadro a seguir:

Coordenadas

do Ponto

Coordenadas

do Ponto

Variação

de X (∆X)

Variação

de Y

(∆Y)

Distância

entre os

pontos e

(d)

(∆X)2 (∆Y)2 (d) ²

A B

C D

E F

G H

I J

K L

M N

O P

Q R

S T

Observação: Conclusão: Hora final da atividade: ______________________________

A atividade foi produzida por Sá e Pires (2016) baseados nas pesquisas de

Silva e Silva (2008), que apontamos nas análises prévias. Para análise a priori da

atividade 11, prevemos que os alunos calcularão a distância entre dois pontos com o

auxílio do teorema de Pitágoras e dos conhecimentos adquiridos nas atividades 9 e

10. Determinarão o quadrado dessa distância, o quadrado da variação de x e de y.

Esperamos que os alunos observem que a distância ao quadrado é aproximadamente

129

a soma dos quadrados das variações de x e y. A partir disso, esperamos que concluam

que a distância entre dois pontos quaisquer é igual a raiz quadrada da soma dos

quadrados das variações de x e y.

3.2.12 Atividade 12

Título: Declividade da reta Objetivo: Descobrir uma maneira de determinar a declividade da reta (tg α). Material: Roteiro da atividade 12, quadro de retas, calculadora, caneta ou lápis. Hora de Início da atividade: ______________________________________ Procedimentos: Para cada reta, conforme o quadro de retas (apêndice F):

Identifique os pontos destacados;

Determine a variação de X (∆X = XB - XA);

Determine a variação de Y (∆Y = YB - YA);

Encontre a razão entre ∆Y e ∆X;

Determine a tangente do ângulo entre essa reta e o eixo x (tg α); Com os dados obtidos, preencha o quadro abaixo:

Retas Coordenadas

do Ponto A

Coordenadas

do Ponto B

Variação

de X (∆X)

Variação

de Y (∆Y)

∆𝑦

∆𝑥

Ângulo

α

(tg α)

A 31,19º

B 21,8º

C 122,01º

D 26,57°

E 135º

F 21,8°

G 26,57º

H 140,19º

I 52,13º

J 71,57º


Hora final da atividade: ________________________________________

A atividade 12 foi elaborada por Sá e Pires (2016), conforme recomendações

da Rizzon (2008), que apontamos nas análises prévias. Para análise a priori da

atividade 12, esperamos que os alunos percebam que a declividade da reta (tg α) é,

aproximadamente, a razão entre as variações de Y e X, no entanto os alunos sentiram

dificuldades em dividir os valores dessa razão, já que, em alguns casos, não serão

exatos.

130

3.2.13 Atividade 13

Título: declividade em pontos distintos e colineares Objetivo: Descobrir uma relação entre a declividade pontos distintos e colineares de uma reta. Material: Roteiro da atividade 13, caneta ou lápis. Hora de Início da atividade: ______________________________________ Procedimentos: Para cada terna de pontos apresentados verifique se os mesmos são

colineares; -Determine a declividade dos pontos A e B; -Determine a declividade dos pontos B e C; -Determine a declividade dos pontos A e C;

Com os dados obtidos, preencha o quadro a seguir: PONTOS OS PONTOS A, B E C SÃO

COLINEARES?

DECLIVIDADE NOS

PONTOS A E B

DECLIVIDADE NOS

PONTOS B E C

DECLIVIDADE NOS PONTOS

A E C

Sim Não

A (2, 5)

B (3, 7)

C (1, 3)

A (-1, 1)

B (3, 4)

C (0, -2)

A (2, -1)

B (-1,11)

C (3, -5)

A (4,3)

B (1,1)

C (-2,2)

A (1, -3)

B (4, -9)

C (-2, 3)

A (-3, 0)

B (3, -6)

C (0, -3)

A (2,2)

B (-1,3)

C (4,0)

A (1, 0)

B (2, 1)

C (-1, -2)

A (2, 2)

B (8, 5)

C (10, 6)

A (-2,5)

B (1,2)

C (-2, -2)

Observação: Conclusão: Hora final da atividade: __________________________________________

A atividade 13 foi elaborada por Sá e Pires (2016). Para análise a priori da

atividade 13, apontamos que os alunos calcularão as declividades da reta nos pontos

A B, C, dados em cada caso, combinados 2 a 2. Esperamos que os alunos observem

131

que os valores das declividades da reta entre os pontos dados serão iguais, quando

colineares.

3.2.14 Atividade 14

Título: Equação da reta Objetivo: Descobrir uma maneira de encontrar a equação da reta a partir de dois pontos. Material: Roteiro da atividade 14, caneta ou lápis. Hora de Início da atividade: ______________________________________ Procedimentos:

Determine a declividade nos pontos A e B; Determine a declividade nos pontos A (ou B) e um ponto genérico (x, y); Determine a relação entre as declividades obtidas; Isole a variável y da equação obtida; Com dados obtidos, preencha o quadro abaixo:

Coordenadas dos

Pontos

Declividade dos

pontos A e B

Declividades no

ponto A (ou B) e um

ponto genérico (x, y)

Relação entre

as declividades

Equação obtida

A (1,2)

B (3,4)

A (2,7)

B (5,13)

A (-1,5)

B (2, -4)

A (3, -14)

B (-2,11)

A (-1, -10)

B (5,8)

A (-2,1)

B (0, -9)

A (1, -9)

B (-1, -5)

A (5, -37)

B (-4,26)

A (5,3)

B (10,4)

A (8, -5)

B (-4,4)

Observação: Conclusão: Hora final da atividade: _______________________________________

A atividade foi produzida por Sá e Pires (2016). Para análise a priori da

atividade 14, indicamos que os alunos encontrarão declividades solicitadas. Como na

atividade 13 descobrirão que as declividades entre pontos de uma mesma reta são

iguais, esperamos que os alunos percebam que as igualdades das declividades de

uma mesma reta, gerará a equação dela.

132

3.2.15 Atividade 15

Atividade 15

Título: Equação geral da reta Objetivo: Descobrir uma maneira de encontrar analiticamente a equação da reta na forma geral; Material: Roteiro da atividade 15, caneta ou lápis. Hora de Início da atividade: ______________________________________ Procedimentos:

Considere que os pontos de cada terna do quadro abaixo pertencem à mesma reta. A partir disso, determine:

A declividade da reta nos pontos A e B; A equação da reta obtida a partir da declividade em sua forma geral, ou

seja, equação na forma ax +by +c = 0, onde a, b, c ϵ IR;

O determinante da matriz D=(𝑥 𝑦 1𝑥𝑎 𝑦𝑎 1𝑥𝑏 𝑦𝑏 1

), onde 𝐴 = (𝑥𝑎, 𝑦𝑎) 𝑒 𝐵 = (𝑥𝑏 , 𝑦𝑏);

Com dados obtidos, preencha o quadro abaixo: Nº Terna

dos

pontos

Equação geral

(ax +by +c = 0) D = |

𝑥 𝑦 1𝑥𝑎 𝑦𝑎 1𝑥𝑏 𝑦𝑏 1

|

1 P(x,y)

A(3,3)

B(0,1)

2 P(x,y)

A(2,8)

B(1,5)

3 P(x,y)

A(2,9)

B(1,4)

4 P(x,y)

A(0,5)

B(2,1)

5 P(x,y)

A(0,0)

B(2,12)

6 P(x,y)

A(0,10)

B(1,5)

7 P(x,y)

A(3,2)

B(1,4)

8 P(x,y)

A(1,5)

B(5,25)

9 P(x,y)

A(4,4)

B(12,6)

10 P(x,y)

A(3,15)

B(1,7)


133

Hora final da atividade: _______________________________________


atividade 15 apontamos que os alunos encontrarão a equação na forma geral

conforme a atividade 14 e encontrarão o determinante de uma matriz formada pelos

pontos da reta. Esperamos que os alunos percebam que a equação da reta por meio

da declividade seja equivalente a equação da reta encontrada por meio do

determinante da matriz gerada pelos pontos colineares da reta.

3.2.16 Atividade 16

Título: Retas paralelas Objetivo: Descobrir uma relação analítica entre retas paralelas. Material: Roteiro da atividade 16, quadro de pares de retas I, caneta ou lápis. Hora de Início da atividade: ______________________________________ Procedimentos:

Identifique cada par de reta r e s; Para cada par de reta r e s, verifique se as retas são paralelas (r//s) ou

não paralelas [retas concorrentes Determine a declividade da reta r(mr) e da reta s(ms); Com os dados obtidos, preencha o quadro abaixo:

Pares

de

retas

As retas r

e s são

paralelas?

Declividade

da reta r

(mr)

Declividade

da reta s

(ms)

1º par

2º par

3º par

4º par

5º par

6º par

7º par

8º par

9º par

10º par

Observação: Conclusão: Hora final da atividade: _____________________________

A atividade 16 foi construída por Sá e Pires (2016) com base na pesquisa de

Silva e Silva (2008), conforme análise prévias realizadas. Para análise a priori da

atividade 16, previmos que os alunos identificarão as retas r e s, verificarão,

visualmente, se essas retas são paralelas ou não, identificarão os coeficientes

(r s)];

134

angulares de cada reta são paralelas ou não, identificarão os coeficientes angulares

de cada reta para verificar se há relação entre eles. Assim, esperamos que os alunos

percebam que os coeficientes angulares de r e s, quando são paralelas, serão iguais,

enquanto que quando as retas não forem paralelas os valores dos coeficientes

angulares serão diferentes.

3.2.17 Atividade 17

Título: Retas perpendiculares Objetivo: Descobrir uma relação analítica entre retas perpendiculares. Material: Roteiro da atividade 17, quadro pares de retas II, caneta ou lápis. Hora de Início da atividade: ______________________________________ Procedimentos:

Identifique cada par de reta r e s; Para cada par de reta r e s, verifique se as retas são perpendiculares ou

não perpendiculares (ou seja, serão paralelas ou concorrentes obliquas); Identifique o valor do ângulo entre as retas r e s, em cada par de retas; Determine a declividade da reta r (mr) e da reta s (ms); Com os dados obtidos, preencha o quadro abaixo:

Pares

de retas

As retas r e s são

perpendiculares?

Valor dos ângulos

entre as retas r e s

Declividade

da reta r (mr)

Declividade da

reta s (ms)

mr . ms

1º par

2º par

3º par

4º par

5º par

6º par

7º par

8º par

9º par

10º par


Hora final da atividade: __________________________

A atividade 17 foi produzida por Sá e Pires (2016) baseados nas pesquisas de

Silva e Silva (2008), de acordo com as análises prévias. Para análise a priori dessa

atividade indicamos que os alunos identificarão as retas r e s, verificarão, visualmente,

se essas retas são perpendiculares ou não, identificarão a declividade de cada reta,

efetuarão a multiplicação entre esses valores. Assim, esperamos que os alunos

percebam que essa multiplicação entre os coeficientes angulares de r e s, quando são

perpendiculares, será -1, enquanto que quando as retas não forem perpendiculares a

(r s)

135

referida multiplicação será diferente de -1, para concluir que as declividades serão

inversas e opostas para retas perpendiculares.

3.2.18 Atividade 18

Título: Equação da circunferência Objetivo: Descobrir a forma da equação da circunferência Material: Roteiro da atividade 18, quadro de circunferências, papel e caneta ou lápis. Hora de início da atividade: _____________________________ Procedimentos:

1. Para cada circunferência do quadro de circunferências:

Determine as coordenadas do centro C (xo, yo);

Determine a medida do raio (r), em cm;

Determine a expressão de distância do centro a um ponto genérico

P(x, y) da circunferência;

2. Com os dados obtidos preencha o quadro a seguir:

Circunferência Coordenadas do

centro (C)

Medida do

raio (r)

Expressão simplificada da distância

entre o centro e um ponto P(x,y)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Observação: Conclusão: Hora final da atividade: ______________________________________

A atividade 18 foi construída por Sá e Pires (2016), de acordo com as análises

prévias. Para análise a priori dessa atividade prevemos que os alunos, por meio dos

gráficos contidos no quadro de circunferência, encontrarão os valores do raio e das

coordenadas do Centro da circunferência, em cada caso. Após os resolverem os

procedimentos solicitados, os alunos determinarão a distância entre o centro e um

ponto genérico pertencente a circunferência. Logo, esperamos que os alunos

observem que, na forma simplificada, a referida distância representa a equação da

circunferência e que o centro e o raio são elementos contidos nessa equação,

resultando na forma r² = (x – xo) ² + (y – yo) ².

136

3.2.19 Atividade 19

Atividade 19

Título: Distância de um ponto a reta Objetivo: Descobrir a forma analítica de determinar a distância de um ponto a reta. Material: Roteiro de atividade 19, papel e caneta ou lápis. Hora de início da atividade: _____________________________ Procedimentos: Para cada equação da reta r (ax +by + c = 0) e um ponto P (Xo, Yo) do quadro de

ponto e reta:

Identifique a reta r e os pontos P e Q;

Determine a distância entre P e Q;

Encontre os valores |aXo + bYo + c| e √𝑎2 + 𝑏2.

Com os dados obtidos, preencha o quadro a seguir:

Par

Reta r

ax +by +c = 0

Ponto

P(Xo, Yo) Ponto Q

Distância entre

P e Q √𝑎2 + 𝑏2 |𝑎𝑋𝑜 + 𝑏𝑌𝑜 + 𝑐|

1º

2º

3º

4º

5°

6°

7°

8°

9°

10°



A atividade 19 foi construída por Sá e Pires (2016), de acordo com as análises

prévias. Para análise a priori dessa atividade, prevemos que os alunos identificarão

os pontos P e Q, que são pertencentes à reta perpendicular à reta r. Esperamos que

os alunos observem que a distância entre um ponto P a uma reta é representado pela

razão entre |aXo + bYo + c| e √𝑎2 + 𝑏2, contudo, é possível que os alunos sintam

dificuldades em calcular essa razão, já que envolve a divisão e radiciação.

137

3.2.20 Atividade 20

Título: Área do triângulo Objetivo: Descobrir uma maneira diferenciada de calcular a área do triângulo. Material: Roteiro da atividade 20, quadro de triângulos, papel e caneta ou lápis. Hora de início da atividade: _____________________________ Procedimentos:

1. Para cada triângulo do quadro de triângulos:

Identifique os vértices A (a1, a2), B (b1, b2) e C (c1, c2) de cada triângulo;

Determine a equação da reta (r) que passa pelos vértices A e C; Determine a distância do ponto B a reta r; Determine a distância entre os pontos A e C; Calcule a área do triângulo ABC;

Calcule o valor do determinante de D (det D), no qual 𝐷 = [𝑎1 𝑎2 1𝑏1 𝑏2 1𝑐1 𝑐2 1

]

2. Com os dados obtidos preencha o quadro a seguir:

∆

ABC

Ponto

A

Ponto

B

Ponto

C

Reta

r

Distância

do ponto

B

a reta r

Distância

entre os

Pontos

A e C

Área

do

∆

ABC

Det D

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



A atividade 20 foi produzida por Sá e Pires (2016), adaptada de Silva e Silva

(2008) de acordo com as análises prévias. Para análise a priori dessa atividade

indicamos que os alunos encontrarão a reta r que passa pelos vértices A e C para

determinar a distância do vértice B à reta r, valor equivalente à altura do triângulo ABC,

além disso, determinarão a distância entre os pontos A e C, que se refere a base do

triângulo ABC, para encontrar o valor da área do referido triângulo. Após calcular os

138

determinantes solicitados (det D), esperamos que os alunos observem que o valor do

det D é o dobro do valor da área do triângulo ABC, em cada caso.

Durante o desenvolvimento da experimentação vamos inserir as atividades de

fixação, que serão apresentadas a seguir.

3.3 ATIVIDADES DE FIXAÇÃO DOS CONTEÚDOS EM GEOMETRIA ANALÍTICA

As atividades de fixação de nossa sequência didática serão constituídas de lista

de Questões, baseados nos livros de Iezzi (2005), Iezzi et al (2010), Souza (2010),

Paiva (2009, 2010) e Dante (2012), além da utilização de questões adaptadas de

vestibulares, SISPAE (Sistema de Avaliação Paraense) e do ENEM (Exame Nacional

do Ensino Médio). Essas listas de questões serão aplicadas durante a

experimentação, após a realização de algumas atividades e terão como principais

objetivos aprimorar as atividades de abordagem dos conteúdos e auxiliar os alunos

na resolução do teste no final da experimentação.

3.3.1 Listas de Questões

As análises prévias mostraram que a maioria dos alunos, equivalente a 73%,

não possuem ajuda em casa em suas atividades de Matemática, o que nos motivou a

construir listas com questões distribuídas de três em três, com raciocínios similares,

no qual uma, resolveremos com os alunos para compartilhar estratégias de resolução

das questões da lista, retomando as informações descoberta por eles nas atividades;

a outra questão, o aluno resolverá em sala de aula com a nossa orientação para

aperfeiçoar o que foi aprendido e deixamos, aos alunos, a última questão de raciocínio

parecido para ser resolvido em casa no intuito de fazer com que os alunos revisem o

que foi construído de conhecimento nesse processo. Logo essas listas têm como

objetivo aperfeiçoar os assuntos discutidos em sala durante os encontros. A seguir

apresentaremos as fontes de cada lista da sequência, que podem ser identificadas

nos apêndices desse trabalho.

3.3.1.1 Lista de questões 1

A lista de questões 1 (apêndice L) possui 12 questões sobre localização,

determinação e interpretação de pontos no plano artesiano que contempla a matriz de

referência do ENEM (Exame Nacional do Ensino Médio), no qual relaciona a

competência “utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a

139

representação da realidade e agir sobre ela” (BRASIL, 2015, p. 36) com as habilidades

de “interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço

tridimensional e sua representação no espaço bidimensional” (BRASIL, 2015, p.36) e

de “interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas” (BRASIL,

2015, p.37). O quadro 22 indica a fonte e o ano de cada questão da referida lista.

Quadro 22: Fonte e ano das questões da lista 1

QUESTÕES FONTE ANO

01 Questão do livro “Matemática: ciência e aplicações” 2010

02 Questão do livro “Matemática: ciência e aplicações” (2010), adaptada pela pesquisadora

2016

03 Questão do livro “Matemática: ciência e aplicações” (2010), adaptada pela pesquisadora

2016

04 Questão do livro “conexões da Matemática. Volume 3”, adaptada pela pesquisadora

2016

05 Questão do livro “Matemática. Volume 3” 2010

06 Questão elaborada pela pesquisadora 2016




10 Questão do livro “Cálculo: um curso moderno e suas aplicações” (1998), adaptada pela pesquisadora

2016


2016


2016


A análise a priori da lista de questões 1 indica que, nessa atividade, os alunos

utilizarão, para resolver os problemas, os conhecimentos construídos durante o

desenvolvimento das atividades da sequência referente a localização e determinação

de ponto. Esperamos que os alunos percebam, por meio dos problemas, a utilização

prática dos conteúdos abordados.


A lista de questões 2 (Apêndice M) é composta de 10 questões sobre ponto

médio, baricentro e alinhamento entre pontos, que contemplam a matriz de referência

do Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM), competência de “modelar e resolver

problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas usando

representações algébricas” (BRASIL, 2015,p.36) com as habilidades de “interpretar

gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas “(BRASIL, 2015, p. 36) e

140

“avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos

algébricos”(BRASIL, 2015, p.36). O quadro 23 apresenta as fontes e ano de produção

de cada questão.


QUESTÕES FONTE ANO

01 Questão do livro “Matemática: contexto e aplicações” 2009



04 Questão do vestibular da PUC/RJ 2005

05 Questão do vestibular da UERJ (2005) citado no livro “Matemática: ciência e aplicações”

2010




09 Questão do livro “Matemática: ciência e aplicações”, adaptada pela pesquisadora

2016


2016



utilizarão, para resolver os problemas, os conhecimentos adquiridos durante o

desenvolvimento das atividades da sequência referente a ponto médio, alinhamento

entre pontos e baricentro. Esperamos que os alunos consigam efetuar os cálculos

com sucesso.


A lista de questões 3 (Apêndice N) é constituída de 9 questões sobre distância

entre dois pontos. A lista de questões 3 contempla a matriz de referência do ENEM

na competência “modelar e resolver problemas que envolvem variáveis, usando

representações algébricas” (BRASIL, 2015, p.36) referente as habilidades de

“interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas” (BRASIL,

2015, p. 36) e “utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para

construção de argumentação” (BRASIL, 2015, p.36). O quadro 24 apresenta as fontes

e ano de produção de cada questão.


QUESTÕES FONTE ANO




141


05 Questão do exame ENEM 2012




2016


2016




desenvolvimento das atividades da sequência referente a distância entre pontos.

Esperamos que a maioria dos alunos consigam realizar as questões de acordo com

as atividades estudadas.


A lista de questões 4 (Apêndice O) é constituída de 15 questões sobre equação

da reta. A lista também contempla a matriz de referência do ENEM na competência

“interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e

tabelas” (BRASIL, 2015, p.36) referente as habilidades de “resolver problemas com

dados apresentados em tabelas e gráficos” (BRASIL, 2015, p. 36) e “analisar

informações expressas em gráficos e tabelas como recurso para construção de

argumentos” (BRASIL, 2015, p.36). O quadro 25 apresenta as fontes e ano de

publicação das questões.


QUESTÕES FONTE ANO



03 Questão do vestibular da UFPB (2005), adaptada pela pesquisadora

2016


05 Questão da prova de seleção da EFOMM (2002), adaptada pela pesquisadora

2016




09 Questão do livro “Conexões com a Matemática” 2010






142

15 Questão elaborada pela pesquisadora 2016 Fonte: pesquisa de campo (2016)



desenvolvimento das atividades da sequência referente a equação da reta.

Esperamos que a maioria dos alunos consigam realizar as questões de acordo com

os assuntos estudados.


A lista de questões 5 (Apêndice P) é constituída de 9 questões sobre retas

paralelas e perpendiculares baseados nos livros didáticos de Matemática. O quadro

26 apresenta as fontes e ano de produção de cada questão.


QUESTÕES FONTE ANO

01 Questão do livro “Matemática: contexto e aplicações”

2010

02 Questão do livro “Matemática: ciência e aplicações”

2010


04 Questão da prova de seleção à UFRN (2001) adaptada pela pesquisadora

2016

05 Questão da Prova de seleção à UFRN 2001

06 Questão da prova de seleção à EFOMM 1997






desenvolvimento das atividades da sequência referente a retas paralelas e

perpendiculares. Esperamos que a maioria dos alunos consigam realizar pelo menos

a metade dos exercícios com sucesso.


A lista de questões 6 (Apêndice Q) é formada de 6 questões sobre equação da

circunferência conforme algumas questões de vestibulares e na prova do ENEM que

contempla a matriz de referência na competência “interpretar informações de natureza

143

científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas” (BRASIL, 2015, p.36)

referente as habilidades de “resolver problemas com dados apresentados em tabelas

e gráficos” (BRASIL, 2015, p. 36) e “analisar informações expressas em gráficos e

tabelas como recurso para construção de argumentos”(BRASIL, 2015, p.36) O quadro

27 apresenta as fontes e ano de produção de cada questão.


QUESTÕES FONTE ANO

01 Questão da prova de seleção da EFOMM 1998


03 Questão da prova de seleção da UEPA 2013

04 Questão do exame ENEM (2014) adaptada pela pesquisadora

2016

05 Questão da prova de seleção da EFOMM 2007




desenvolvimento da atividade da sequência que trata de equação da circunferência.

Esperamos que os alunos consigam realizar as questões de modo coerente com que

foi realizada durante as atividades.


A lista de questões 7 (Apêndice R) é constituída de 9 questões sobre distância

de um ponto a reta de acordo baseados nos livros didáticos que trabalham os assuntos

dessa lista. O quadro 28 apresenta as fontes e ano de produção de cada questão.


QUESTÕES FONTE ANO

01 Questão do livro “Fundamentos de Matemática elementar: Geometria Analítica” (2010) adaptada pela pesquisadora

2016


2016


2016


2016

144


2016


2016


2016


2016


2016




desenvolvimento da atividade da sequência correspondente a distância de um a reta.

Esperamos que a maioria dos alunos consigam realizar as questões com sucesso.


A lista de questões 8 (Apêndice S) é correspondente de 6 questões acerca da

área de triângulos e quadrilátero de acordo com os livros didáticos que abordam os

assuntos trabalhados nessa lista. O quadro 29 apresenta as fontes e ano de produção

de cada questão.


QUESTÕES FONTE ANO


02 Questão do livro “Matemática: ciência e aplicações” (2010) adaptada pela pesquisadora

2016


2016



06 Questão da prova de seleção da EFOMM 1998 Fonte: pesquisa de campo (2016)



desenvolvimento da atividade da sequência correspondente a área do triângulo.

145

Esperamos que a maioria dos alunos consigam realizar as questões conforme as

atividades estudadas sobre área do triângulo.


A lista de questões 9 (Apêndice T) é composta de 9 questões abordando os

conhecimentos adquiridos durante a experimentação. O quadro 30 apresenta as

fontes e ano de produção de cada questão.


QUESTÕES FONTE ANO

01 Questão da prova de seleção da UFSC (2006) adaptada pela pesquisadora

2016





2016



2016

08 Questão da prova de seleção da UFRN (2001) adaptada pela pesquisadora

2016



utilizarão todos conhecimentos construídos durante o desenvolvimento das

atividades. Esperamos que a maioria dos alunos consigam entender e realizar a

revisão sobre os assuntos estudados.

As atividades que contemplam a sequência didática foram aplicadas em uma

escola da rede estadual de ensino, sendo que o desenvolvimento e resultados de cada

atividade será descrita na seção a seguir.

146

4 EXPERIMENTAÇÃO

Essa seção é dedicada ao relato e alguns resultados da experimentação da

sequência didática em sala de aula, na qual foi realizada em uma Escola Estadual de

Ensino Fundamental e Médio do Município de Belém-Pa, localizado no bairro de Val-

de-cans, onde trabalha a pesquisadora na função de professora de algumas turmas

do ensino médio no turno da manhã e da tarde. Conforme o site da Secretaria de

Estado de Educação do Estado do Pará, essa escola 35 turmas do ensino médio,

distribuídas nos turnos da manhã, tarde ou noite. Em relação as avaliações nacionais

promovidas pelo Ministério de Educação (MEC), em 2013, o índice de

desenvolvimento da Educação Básica (IDEB) foi de 3,5, conforme o Instituto Nacional

de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira (INEP).

A turma escolhida para essa experimentação pertence ao turno da tarde

composta por alunos do 3º ano do nível médio, e tem como tempo disponível 4 aulas

semanais de Matemática, com 45 minutos cada, distribuídas em duas aulas na terça-

feira, uma na quinta-feira e uma na sexta-feira. Essa turma tem como professor

responsável a pesquisadora, que vai mediar a aplicação dessa sequência didática.

Essa experimentação aconteceu no período de 30 de agosto de 2016 a 19 de

dezembro do mesmo ano, com a participação de 29 alunos, realizada em 23

encontros, destinados ao desenvolvimento das atividades com abordagem dos

conteúdos (20 atividades), atividades de fixação dos conteúdos (9 listas de questões)

e dois testes (um pré-teste e um pós-teste). O quadro 31 abaixo especifica as

atividades realizadas, o tempo despendido e a presença da turma em cada encontro:

Quadro 31 – Atividades realizadas x números de aulas da experimentação ENCONTROS ATIVIDADES REALIZADAS QUANTIDADE

DE AULAS NÚMERO

DE

ALUNOS

1º - Pré-teste; Ativ. 1: Localização na sala de aula; Ativ. 2: Localização de pontos no xadrez

02 29

2º Ativ. 3: Plano Cartesiano 01 26 3º Ativ. 4: Pontos sobre o eixo X;

Ativ. 5: Pontos sobre o eixo Y 01 22

4º Resolução de questões sobre Localização de pontos e leitura de gráfico.

02 19

5º Ativ. 6: Ponto Médio 01 25

6º Ativ. 7: Baricentro; 02 25

147

Ativ. 8: Condição de alinhamento de três pontos

7º Resolução de questões sobre ponto médio, baricentro e alinhamento de três pontos

01 20

8º Ativ. 9: Distância entre dois pontos com as mesmas abscissas; Ativ. 10: Distância entre dois pontos com as mesmas ordenadas.

01 12

9º Ativ. 11: Distância entre dois pontos quaisquer; Resolução de questões sobre distância entre pontos

02 29

10º Conclusão da resolução de questões sobre distância entre pontos

01 26

11° Ativ.12: Declividade da reta; Ativ.13: Declividade em pontos distintos e colineares

02 25

12º Ativ. 14: Equação da reta 01 24 13° Resolução de questões sobre

equação da reta 02 24

14º Conclusão da resolução de questões sobre equação da reta

01 27

15° Ativ. 15: equação da reta na forma geral

01 29

16° Ativ. 16: Retas paralelas; Ativ. 17: Retas perpendiculares

01 26

17º Resolução de questões sobre retas paralelas e perpendiculares

02 28

18º Ativ. 18: equação da circunferência Resolução de questões sobre equação da circunferência

02 12

19º Ativ. 19: distância de um ponto a reta 02 25

20° Resolução de questões sobre distância de um ponto a reta

02 21

21º Ativ. 20: área do triângulo; Resolução de questões sobre área do triângulo

02 18

22º Revisão dos assuntos estudados 02 25

23º Pós-teste 03 29 Fonte: pesquisa de campo (2016)

Como explicita o quadro 31, a experimentação foi realizada em 37 aulas, sendo

33 aulas dedicadas à sequência didática e 4 aulas aos testes (pré-teste e pós-teste).

As atividades aplicadas foram realizadas em duplas e individual, sendo que foram

formadas 14 duplas (denominadas por D1, D2, D3, ...., D13, D14) e um aluno que fez

as atividades individualmente (Denominado por D15), nos quais D1 representava os

148

alunos A1 e A2; D2, os alunos A3 e A4; D3, os alunos A5 e A6; D4, os alunos A7 e

A8; D5, os alunos, A9 e A10; D6, os alunos, A11 e A12; D7, os alunos A13 e A14; D8,

os A15 e A16; D9, os alunos A17 e A18; D10, os alunos A19 e A20; D11, os alunos

A21 e A22; D12, os alunos A23 e A24; D13, os A25 e A26; D14, os alunos A27 e A28

e D15 representava o aluno A29.

A seguir descreveremos o desenvolvimento dos encontros e os resultados das

atividades realizadas.

4.1 PRIMEIRO ENCONTRO

O primeiro encontro foi realizado no dia 30/08/16, com duração de duas aulas.

Incialmente explicamos o objetivo da experimentação assim como apresentamos o

roteiro previsto das atividades. Os alunos demonstraram curiosidade em saber como

se desenvolveriam essas atividades, uma vez que declararam que outras turmas que

já estudaram Geometria Analítica, a consideraram de difícil compreensão.

Após explicação sobre como aconteceria a experimentação, aplicamos um

questionário socioeconômico de caráter pessoal, com a finalidade de estabelecer um

perfil da turma. Abaixo o breve perfil dos participantes da experimentação.

4.1.1 Perfil dos participantes da experimentação

A turma participante da experimentação tem 29 alunos, constituída por 13 sexo

feminino e 16 do masculino. As idades variam de 16 a 19 anos, distribuídas por sexo,

de acordo com a tabela 22:

Tabela 22: Idades dos participantes da experimentação

Idade Feminino Masculino

Frequência Absoluta

Frequência Relativa

Frequência Absoluta


16 1 3% 2 6% 17 9 32% 9 32% 18 3 10% 4 14% 19 0 0% 1 3%


A tabela 22 gerou o gráfico 40 a seguir:

149

Dentre os alunos participantes, observamos que os participantes estão com as

idades adequadas ao 3º ano do nível médio, uma vez que é considerada adequada a

faixa etária de 16 a 18 anos e apenas 3% tem a idade superior a essa faixa etária.

Isso ocorre provavelmente porque nenhum desses participantes são repetentes,

conforme suas declarações.

Relacionado aos responsáveis, os participantes declararam que os pais (mãe

e pai), tios, apenas a mãe ou somente o pai respondem por eles, conforme mostra a

tabela 23.

Tabela 23: responsáveis pelos participantes da experimentação

Responsáveis Frequência Absoluta Frequência Relativa

PAIS 10 34%

PAI 5 18%

MÃE 10 34%

TIOS 4 14%


O gráfico 42 explicita as porcentagens correspondentes aos responsáveis dos

participantes dessa etapa da pesquisa.

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

16 anos 17 anos 18 anos 19 anos

3%

32%

10%

0%

6%

32%

14%

3%

Gráfico 40: Idade x Gênero dos participantes da experimentação

feminino masculino


150

Nesse gráfico a palavra “pais” está relacionada aos alunos que afirmam que

seus responsáveis são pai e mãe. Observamos que a participação materna é

predominante, com a frequência de 68%. Desse grupo, 79% trabalham, enquanto que

10,5% não trabalham e 10,5% dos alunos optaram em não responder.

Em relação a escolaridade dos responsáveis dos participantes da

experimentação, observamos que a maioria tem a educação básica completa,

conforme a tabela 24 e o gráfico 42:

Tabela 24: Escolaridade dos Responsáveis pelos participantes da experimentação

Escolaridade dos Responsáveis

Frequência Absoluta Frequência relativa

Fundamental Completo 1 3,5%

Médio Completo 17 57%

Superior Incompleto 1 3,5%

Superior Completo 3 11%

sem escolaridade/ Sem resposta

7 25%


Pais44%

Pai7%

Mãe44%

Tios5%

GRÁFICO 42:RESPONSÁVEIS PELOS PARTICIPANTES DA EXPERIMENTAÇÃO


151

O gráfico 43 é originado da tabela 24:

Os índices relativos de escolaridade dos pais dos participantes da

experimentação melhoraram, um pouco, em relação a escolaridade dos responsáveis

dos discentes da pesquisa realizada em 2014 na etapa de análises prévias, no qual a

maioria está com ensino médio completo. A maior parte dos alunos fizeram o ensino

fundamental em rede pública, como mostra a tabela 25:

Tabela 25: Ensino fundamental dos participantes da experimentação

Rede Frequência Absoluta Frequência relativa

Municipal 3 10%

Estadual 17 59%

Privada 9 31%


O gráfico 44 apresenta os índices relativos da rede de ensino fundamental dos

alunos participantes da experimentação:


Fundamental Completo

3%

Médio Completo57%

Superior Incompleto4%

Superior Completo11%

Sem resposta25%

Gráfico 43: Escolaridadade dos responsáveis pelos participantes da experimentação

Fundamental Completo Médio Completo Superior Incompleto

Superior Completo Sem resposta

152

Entre os participantes dessa experimentação, apenas 7% trabalham de forma

remunerada, 7% trabalham às vezes, 7% não responderam, 79% declararam não

trabalhar, sendo que 64% deles apenas estudam no ensino médio regular, enquanto

que 36% dos alunos que não trabalham fazem cursos de língua estrangeira ou curso

técnico. No questionário, perguntamos se os alunos gostavam de Matemática e

obtivemos que:

Tabela 26: Declaração dos alunos sobre afinidade com Matemática

Gosto pela Matemática Frequência Absoluta


Não 3 10% um pouco 21 72%

muito 5 18% Fonte: pesquisa de campo (2016)

A tabela 26 gerou o gráfico 45:

Municipal10%

Estadual59%

Privada31%

GRÁFICO 44: ENSINO FUNDAMENTAL DOS ALUNOS PARTICIPANTES DA EXPERIMENTAÇÃO

Não10%

Um pouco72%

Muito18%

Gráfico 45: Gosto pela Matemática dos participantes da experimentação

Não Um pouco Muito



153

Observamos que poucos alunos declararam não gostar de Matemática, o que

pode ser um fator positivo ao bom desenvolvimento das atividades. No entanto, não

significa a ausência de dificuldades no aprendizado em Matemática, uma vez que

somente 18% dos participantes da experimentação declararam não ter dificuldades

em aprender Matemática, enquanto que 7% declararam ter muita e 75% informaram

ter pouca dificuldade com Matemática. Perguntamos ainda se eles se distraem nas

aulas de Matemática, o que obtivemos 42% declarando que se distraem nas aulas

sempre ou às vezes, 36% não se distraem e o restante não quiseram responder. Nos

casos de distração, o motivo foi a bagunça da turma, segundo os declarantes.

A frequência de estudo dos participantes é bem distribuída, como mostra a

tabela 27:

Tabela 27: Frequência de estudos dos participantes da experimentação

Frequência de estudos Frequência Absoluta Frequência Relativa Alguns dias na semana 12 41%

Fins de semana 2 7% Período de prova 5 17% Véspera da prova 1 3,5% Em sala de aula 8 28% Sem resposta 1 3,5%


Os declarantes, conforme mostra a tabela 27, mostraram que a metade dos

alunos estudam pouco Matemática, como explicita o gráfico 46, apesar de afirmarem

gostar de Matemática muito ou pouco.

Alguns dias da semana

41%

Fins de semana7%

Período de prova17%

Véspera da prova3%

Em sala de aula28%

Sem resposta4%

Gráfico 46: Frequência de estudo dos participantes da experimentação

Alguns dias da semana Fins de semana Período de prova

Véspera da prova Em sala de aula Sem resposta


154

Ao comparar com as pesquisas de Gomes (2013), Silva (2014) e Silva (2015),

que fizeram consultas aos discentes do ensino médio do estado do Pará em relação

a frequência de estudo, observamos que os índices de estudo em alguns dias na

semana aumentaram, contudo, nos últimos dois anos, decresceram um pouco,

conforme ilustra o gráfico 47:

O índice de estudo somente em sala de aula aparece apenas na pesquisa atual,

onde nenhum aluno declarou estudar todos os dias. Os índices de estudos nos fins

de semana, assim como na véspera de prova, são relativamente baixos, embora seja

oscilante. O índice “Outros” que apresenta a pesquisa de Gomes (2013) faz referência

aos alunos que estudam em casa, só quando tem tarefas de casa. Em relação a ajuda

nas tarefas de casa de Matemática, de acordo com as declarações dos alunos

participantes da experimentação, verificamos que a maioria absoluta não tem auxílio

em casa, como mostra a tabela 28:

Tabela 28: Auxílio em casa nas tarefas dos participantes da experimentação

Auxílio em casa Frequência Absoluta Frequência Relativa Mãe 1 3,5%

Ninguém 23 79% Amigo 2 7% Irmão 1 3,5%

Professor Particular 2 7% Fonte: pesquisa de campo (2016)

A tabela 28 associa ao gráfico 48:

14%

8%

28%

2%

0%

6%

42%

5% 5%

55%

10%

0%

25%

0%

45%

5%

39%

10%

0% 1% 0%

41%

7%

17%

4%

28%

0% 0%

A L G U N S D I A S D A S E M A N A

F I N S D E S E M A N A

P E R Í O D O D E P R O V A

V É S P E R A D E P R O V A

E M S A L A D E A U L A

T O D O D I A O U T R O S

GRÁFICO 47: FREQUÊNCIA DE EST UDO DOS ALUNO CONFORME PESQUISAS NO EST ADO DO PARÁ, ENT RE 2013

A 2016

Gomes (2013) Silva(2014) Silva(2015) Pesquisa atual (2016)


155

Os dados do gráfico 48, assim como a pesquisa feita na etapa das análises

prévias em 2014, mostram que os alunos estudam por conta própria, uma vez que

apenas 21% tem ajuda dos amigos, parentes ou professor particular. Quando

comparamos com as pesquisas de Gomes (2013), Silva (2014) e Silva (2015) cujas

pesquisas também aborda esse fator, verificamos que o auxílio de ninguém em casa

para realização de tarefas cresce nos últimos dois anos, como enfatiza o gráfico 49:

Os índices de familiares que ajudam os alunos em tarefas de casa vêm

diminuindo, enquanto aumenta o índice da falta de auxílio, o que pode ser um

indicativo preocupante, pois a presença da família é um fator determinante para o

sucesso escolar do aluno.

Mãe3%

Ninguém79%

Amigo7%

Irmão4%

Professor Particular7%

Gráfico 48: Auxílio nas tarefas em casa de Matemática

Mãe Ninguém Amigo Irmão Professor Particular

2% 0%

10%

40%

22%

18%

0% 0%

15%

0%

5%

80%

1% 3% 1%

15%

5%

69%

3,50

%

0%

3,50

%

7% 7%

79%

M Ã E P A I I R M Ã O A M I G O P R O F E S S O R P A R T I C U L A R

N I N G U É M

GRÁFICO 49 : A U X Í L I O N A S T A R E F A S D E C A S A C O N F O R M E P E S Q U I S A S E N T R E 2 0 1 3 A 2 0 1 6

Gomes (2013) Silva(2014) Silva(2015) Pesquisa atual (2016)



156

4.1.2 Resultados do Pré-teste

O Pré-teste foi realizado individualmente no dia 31/08/16 e composto por 10

questões sobre problemas acerca de ponto, reta e circunferência, juntamente com o

questionário socioeconômico. Cada aluno foi representado por A1, A2, A3, ......, A27,

A28 e 29. O quadro 32 apresenta o desempenho individual dos alunos, onde A

representa questão certas, E indica questão errada e B, questões em branco.

Quadro 32: Desempenho Individual dos alunos no Pré-teste

ALUNO Q 1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Q7 Q8 Q9 Q10

A1 B B B B B B B B B B










A11 A A B B B E B B B B

A12 A A B B B B B B B B








A20 B B B B B B B B E B






A26 A B B B B B B B B B





157

Como demonstra o quadro 32, a quantidade de branco é predominante nos pré-

testes dos alunos participantes da experimentação. Além disso, os poucos acertos se

restringiram a primeira e a segunda questão. O quadro 33 mostra o desempenho por

questão realizada pela turma por questão.

Quadro 33: Resultados do pré-teste por questão

QUESTÕES

Acertos Erros Branco

Valor Absoluto

%

Valor Absoluto

%

Valor Absoluto

%

1ª Q 3 10% 0 0% 26 90%

2ª Q 2 7% 0 0% 27 93%

3ª Q 0 0% 0 0% 29 100%

4ª Q 0 0% 0 0% 29 100%

5ª Q 0 0% 0 0% 29 100%

6ª Q 0 0% 1 3% 28 97%

7ª Q 0 0% 0 0% 29 100%

8ª Q 0 0% 0 0% 29 100%

9ª Q 0 0% 1 3% 28 97%

10ª Q 0 0% 0 0% 29 100% Fonte: pesquisa de campo (2016)

Os acertos são referentes ao ponto médio (1ª questão) e distância entre dois

pontos (2ª questão). O erro que aparece na sexta questão cujo assunto abordado foi

área de figura geométrica composta por triângulos, ocorreu porque o aluno assumiu

que a figura poderia ser dividida em 4 triângulos equiláteros e calculou área,

demonstrando que houve um erro relacionado a definição de triângulo equilátero. O

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

1ªquestão

2ªquestão

3ªquestão

4ªquestão

5ªquestão

6ªquestão

7ªquestão

8ªquestão

9ªquestão

10ªquestão

Gráfico 50: Resultados do Pré-teste por questão

Acertos Erros Em Branco


158

erro da nona questão aconteceu porque o aluno não soube ler o plano cartesiano e

não seguiu as orientações norte, sul, leste e oeste.

Após a realização do pré-teste, como tínhamos tempo disponível, fizemos as

duas primeiras atividades. Abaixo o desenvolvimento das atividades:

4.1.3 Desenvolvimento da Atividade 1

A atividade 1 cujo título é “Localização na sala de aula” teve a finalidade de

praticar a localização de pontos na sala de aula e servir como atividade exploratória –

atividade para verificar entendimento do aluno sobre a localização de um ponto em

um plano. A atividade solicitou a localização de alunos a partir da observação da figura

4 que representa a sala de aula.

Inicialmente falamos sobre o surgimento da Geometria Analítica, a utilização

desse conhecimento no cotidiano. Após o breve comentário sobre o assunto,

distribuímos o roteiro da atividade 1, onde solicitamos que eles identificassem os

alunos a partir das orientações dada no quadro sobre cada aluno a ser localizado. Ao

preencher o quadro, os alunos levantaram algumas dúvidas acerca da sequência da

identificação dos alunos e 50% afirmaram uma sequência diferente da outra metade

das duplas, como mostra o quadro 34 e a exemplo de respostas as duplas D9 e D14:

Fonte: www.portaldoprofessor.mec.gov.br/ acesso em 25/08/15

Figura 3: sala de aula


159

Quadro 34: Respostas da atividade 1 relacionadas a localização

Nº Respostas Duplas 1

Localizaram os alunos considerando a primeira fileira a que estava na frente da mesa do professor.

D1, D2, D5, D6, D8, D9, D13

2

Localizaram os alunos considerando a primeira fileira a que estava próximo na porta da sala.

D3, D4, D7, D10, D11, D12, D14


As duplas que deram a resposta 1, justificaram que iniciaram a contagem das

fileiras a partir da mesa do professor e tiveram como resposta a sequência: Valéria,

Sara, Vitor, Fernando e Carolina, enquanto que, os que deram a resposta 2

informaram que começaram a contar as fileiras considerando como ponto de

referência a porta de entrada da sala e tiveram como resposta a sequência: Bruno,

Jonas, Fábio, Rodrigo e Patrícia, o que gerou a discussão sobre a importância de um

ponto de referência. Perguntamos se com apenas uma informação é possível localizar

um objeto, que no caso são os alunos na sala de aula, e os alunos, de modo geral,

responderam que ficaria difícil, porque, em relação a figura, “são quatro alunos em

cada fileira e não daria para identificar apenas com uma informação” (Dupla D1) e

“poderia haver uma confusão já que não possuímos nenhum referencial do ponto de

Fonte: resposta da dupla D9 na atividade 1

Fonte: resposta da dupla D14 na atividade 1

160

partida para definir qual seria a segunda fileira” (Dupla D6). Além disso, perguntamos

“quantas informações são necessárias para fornecer a localização de qualquer

objeto? ”, e os alunos responderam que duas ou mais informações são obrigatórios

para determinação de qualquer ponto no plano. Ao final, os alunos demonstraram

satisfação com a atividade.

Essa atividade durou 30 minutos e a execução da atividade, por dupla, variou

entre 3 a 15 minutos, conforme as declarações dos participantes. A partir dessa

discussão na turma, fomos para próxima atividade.


A atividade 2 teve como título “Localização de pontos no xadrez” cujo objetivo

era de praticar a localização de pontos no tabuleiro. Essa atividade também é uma

atividade exploratória, com nível mais complexo uma vez que o xadrez é jogo de

estratégia que tem como base de movimentação das peças no plano cartesiano.

Ao entregar o roteiro das atividades as duplas formadas, perguntamos aos

alunos se eles conheciam o jogo de xadrez e metade da turma respondeu que sim,

mas não sabia jogar e a outra metade afirmou saber como as peças se

movimentavam, então apresentamos as peças com suas devidas movimentações e

solicitamos que eles identificassem a posição delas conforme as perguntas do roteiro,

utilizando como nomenclatura (letra, número) para indicar a localização das peças,

onde a letra indica a posição no sentido horizontal e o número representa a posição

no sentido vertical.

As duplas demonstraram interesse e realizaram a atividade sem dificuldades,

fazendo até a questão 6, que consideramos a mais difícil das dez perguntas feitas

sobre a localização das peças, visto que nela solicitamos a posição do bispo na

metade de sua trajetória, partindo do ponto A até o B, indicado no roteiro. Logo o

tempo de realização da atividade 2 foi 20 minutos, sendo que a execução da mesma,

por dupla, variou entre 3 a 12 minutos.

4.2 SEGUNDO ENCONTRO

O segundo encontro aconteceu no dia 02/09/16, com a duração de uma aula

de 45 minutos. Nesse encontro foi desenvolvida a atividade 3 intitulada “plano

cartesiano” com a finalidade de encontrar relações entre os pontos de mesmo

quadrante. Esse encontro teve a participação dos alunos A1eA2 (D1), A3eA4 (D2),

161

A5eA6 (D3), A7 (D4), A9eA10 (D5), A11eA12 (D6), A13eA14 (D7), A15eA16 (D8),

A17eA18 (D9), A19eA20 (D10), A21eA22 (D11), A23eA24 (D12), A26 (D13),

A27eA28(D14). Pedimos a turma que permanecessem com as mesmas duplas.

4.2.1 Desenvolvimento da atividade 3

Nessa atividade, foram fornecidos 20 pontos os quais deveriam ser marcados

no plano cartesiano para que eles observassem a que quadrante cada ponto

pertencia. Aproximadamente 46% das duplas demonstraram dificuldade em marcar

os pontos, não compreendendo a função do tracejado na folha de plano cartesiano,

como exemplifica a dupla D10:

Nesse caso, orientamos as duplas informando a função do tracejado e

indicando os sentidos dos eixos das abscissas e ordenadas. As duplas D1, D4, D5,

D9, D10 e D13 apontaram para tais dificuldades. Quando acabaram de marcar os

pontos no plano cartesiano, pedimos que verificassem quais pontos ficavam em cada

quadrante e colocassem no quadro que estava no roteiro da atividade 3, agrupando

os pontos de mesmo quadrante. Após esse agrupamento, as duplas verificaram que

“os pontos no I quadrante são todos positivos, no segundo os pontos do eixo x é

negativo e o y é positivo, 3º quadrante os pontos são todos negativos e no quarto o

eixo x é positivo e o y é negativo” (Dupla D1). Respostas semelhantes a essa foram

Fonte: determinação dos pontos no plano cartesiano pela dupla D10 na atividade 3

162

dadas por 54% das duplas participantes. 23% observaram corretamente, mas quando

foram escrever suas observações, confundiram os eixos, ocasionando erros de sinais

no quarto quadrante, como descreve a dupla D13 ao afirmar que “1º quadrante são

positivo, 2º x=negativo e o y=positivo, 3º quadrante são todos negativos, 4º quadrante

x=negativo e y=positivo”.

Em alguns casos, relacionaram os sinais aos quadrantes, sem especificá-los

para que eixo pertence os sinais, como respondeu a dupla D3 “O D passa sobre os

dois eixos, os pontos do primeiro quadramento são positivos, os pontos do segundo e

do quarto quadramento são positivos e negativos, os pontos do terceiro quadramento

são negativos”. Nesse caso, a dupla D3 usou a expressão “quadramento” para

representar os quadrantes. Após as observações feitas, cada dupla socializou as

informações produzidas. Solicitamos que cada dupla fizesse suas conclusões com

base nas observações, tentando utilizar a linguagem Matemática para efetuar a

conclusão da atividade.

As conclusões foram agrupadas em categorias especificadas em cada

atividade. Informaremos as categorias de conclusão realizadas em duplas em cada

atividade a partir da terceira. Na atividade 3, tivemos três tipos de categorias de

conclusões, sendo que a categoria 1 da atividade 3 representou as conclusões dadas

indicando as relações entre os pontos de mesmo quadrante informados de modo

correto, especificando os sinais das abscissas e ordenadas das coordenadas de cada

quadrante, conforme mostra a dupla D3, a exemplo.

As duplas dessa categoria fizeram com clareza a análise dos sinais nos

quadrantes, enquanto as duplas da categoria 2 dessa atividade fizeram análise das

coordenadas nos quadrantes, sem especificar os sinais das abscissas e das

ordenadas, a exemplo da dupla D10:

Fonte: conclusão da atividade 3 feita por D3

163

A categoria 3 da atividade 3 representou as duplas que analisaram os sinais

corretamente somente de alguns quadrantes, como a dupla D12, que não comentou

relação alguma sobre os sinais das coordenadas no quarto quadrante.

A tabela 29 mostra as duplas que se enquadraram nas categorias acima

citadas.

Tabela 29: Categorias de conclusões da atividade 3 Nº CATEGORIAS DE CONCLUSÕES DA ATIVIDADE 3 DUPLAS

1

Informaram as relações entre os pontos de mesmo quadrante corretamente, em todos os quatro quadrantes.

D3, D6, D8, D14

2

Informaram as relações entre os pontos de mesmo quadrante, em todos os quadrantes, sem especificar os sinais das abscissas e ordenadas.

D1, D2, D7, D10

3 Informaram as relações entre os pontos de alguns quadrantes. D4, D12

Sem produção escrita na conclusão D9, D5, D13


Como os alunos fizeram relações entre os pontos de mesmo quadrante

conforme o esperado, entendemos que as conclusões foram válidas e a atividade teve

ótimo rendimento, considerando a atividade de ótimo rendimento aquela que teve a

maioria das conclusões válidas. Essa atividade teve a duração de 40 minutos, com a

produção, por dupla, variando de 10 a 25 minutos.



164

4.3 TERCEIRO ENCONTRO

O terceiro encontro aconteceu em uma aula no dia 09/09/16, com a aplicação

da atividade 4, intitulada “Ponto sobre o eixo x”, e da atividade 5, denominada de

“Ponto sobre o eixo y”. Esse encontro contou com a participação dos alunos A1eA2

(D1), A3eA4 (D2), A5(D3), A7eA8(D4), A9eA10(D5), A11eA12 (D6), A13 (D7),

A15eA16 (D8), A17 (D9), A19eA20 (D10), A21 (D11), A23eA24 (D12), A25eA26

(D13).


A atividade 4 teve o objetivo de descobrir uma condição suficiente para que um

ponto esteja sobre o eixo das abscissas. Para isso, fornecemos o plano cartesiano

com 10 pontos marcados nos quais as duplas deveriam identificar os valores das

coordenadas, especificando quem seria a abscissa e a ordenada. Além disso,

responderiam se o ponto estava, ou não, sobre o eixo x, conforme mostra a dupla D6,

a exemplo.

De início, orientamos as duplas acerca da atividade, enfatizando o objetivo dela

e solicitamos que preenchessem o quadro do roteiro da atividade 4, antes que

fizessem as observações e conclusões. As duplas preencheram o quadro de acordo

com as orientações. Após o preenchimento do quadro, perguntamos se eles tinham

observado os pontos quando estão sobre o eixo x e o que tinha em comum entre eles.

Logo os alunos perceberam a relação e responderam, como observação, de forma

similar a dupla D14:

Fonte: Resposta da dupla D14

165

Das duplas participantes desse encontro, as duplas D2, D3, D4 e D10 duplas

preencheram o quadro, inicialmente, mas não conseguiram estabelecer relação

alguma entre os dados para fazer suas observações. Solicitamos a esses alunos que

observassem a coordenadas dos pontos que se encontravam sobre o eixo das

abscissas para verificar se haveriam algo em comum entre eles. Nesse momento, os

alunos perceberam a semelhança e as duplas fizeram suas conclusões, exceto D3 e

D13. A atividade 4 teve uma única categoria de conclusão, onde os alunos informaram

corretamente a condição suficiente para um ponto que está sobre o eixo de x, como

mostra a dupla D1:

A tabela 30 indica as duplas que entraram na categoria de conclusões indicada

na atividade 4.

Tabela 30: Categoria de conclusões da atividade 4

Nº CATEGORIA DE CONCLUSÕES DA ATIVIDADE 4 DUPLAS

1

Estabeceu corretamente a condição da coordenada do ponto quando está sobre o eixo das abscissas

D1, D2, D4, D5, D6, D9, D10, D12

Sem produção escrita na conclusão D3, D13 Fonte: pesquisa de campo (2016)

Essa atividade foi realizada com tranquilidade visto que a maioria das duplas

percebeu a relação entre as coordenadas sobre o eixo das abscissas, embora duas

duplas não explicitaram em suas conclusões a relação encontrada. Todas as

conclusões foram consideradas válidas, pois alcançaram o objetivo da atividade. O

tempo de duração dessa atividade foi de 20 minutos, com o tempo de execução, por

dupla, variando de 3 a 15 minutos. Como a atividade acabou dentro do tempo

disponível, prosseguimos para a atividade 5, que era semelhante a esta.


A atividade 5 teve a finalidade de descobrir uma condição suficiente para que

um ponto esteja sobre o eixo das ordenadas. Como na atividade anterior, colocamos

10 pontos no plano cartesiano e solicitamos que eles identificassem os pontos e

colocassem no quadro da atividade 5 as coordenadas desses pontos, separando

Fonte: Conclusão da dupla D1 na atividade 4

166

abscissa e ordenada, assim como, respondessem se o ponto estava sobre o eixo y

ou não.

As duplas preencheram o quadro fornecido, e logo deram resposta semelhante

a essa “quando o ponto está no eixo do y o x é igual a zero” (Dupla D1). Socializaram

as informações e fizeram suas conclusões de acordo com o esperado, ou seja,

estabelecendo a condição suficiente para o ponto sobre o eixo das ordenadas, como

exemplifica as duplas D5 e D6.

A dupla D6 foi a única que acrescentou uma informação complementar:

A tabela 31 apresentou as duplas que se enquadraram na única categoria de

conclusões da atividade 5.


Nº CATEGORIAS DE CONCLUSÕES DA ATIVIDADE 5 DUPLAS

01

Estabeleceu corretamente a condição da coordenada do ponto quando o mesmo está sobre o eixo das ordenadas.

D1, D2, D5, D6, D9, D10, D12, D13

Sem produção escrita da conclusão D3, D4 Fonte: pesquisa de campo (2016)

As conclusões apresentadas nessa atividade foram consideradas válidas, pois

todas alcançaram a finalidade da atividade. A mesma durou 15 minutos, tendo o tempo

de execução, por dupla, tempo variando de 3 a 14 minutos.

4.4 QUARTO ENCONTRO

O quarto encontro foi dedicado a resolução da lista 1 (Apêndice L) e aconteceu

no dia 13/09/16 em duas aulas e contamos com a participação dos alunos A1, A2, A3,

A4, A6, A8, A11, A12, A13, A14, A15, A16, A20, A21, A22, A23, A24, A27 e A28. O

encontro teve como finalidade de aprimorar os conhecimentos construídos durante as

atividades de 1 a 5 – localização e determinação de pontos no plano cartesiano.



167

Inicialmente, foi combinado entre todos que resolveríamos algumas questões juntos,

outras os alunos fariam em sala de aula sob nossa orientação e outros para levarem

para casa para exercitar. Resolvemos a 1ª,4ª,7ª e 10ª questões. A 2ª, 5ª,8ª e 11ª

questões foram feitas pelos alunos e a 3ª,6ª,9ª e 12ª questões para casa.

Os alunos apresentaram dificuldades em marcar os pontos no 3º e 4º

quadrantes, mas à medida que eles exercitavam as dúvidas se dissipavam e

conseguiam resolver as questões. A quarta questão, que tratou de localização de

pontos, os alunos não demonstraram falta de entendimento do problema e fizeram

com tranquilidade a quinta, que foi similar a quarta.

A sétima questão, onde solicitamos as coordenadas dos vértices de um

trapézio isósceles dados os segmentos que medem seus lados, foi a questão mais

complicada para eles, pois não sabiam a definição de trapézio isósceles e não

lembravam do teorema de Pitágoras, que foi utilizado para encontrar a altura e,

consequentemente, auxiliou na determinação dos vértices da figura. Ao resolver a

questão, tiramos as dúvidas em relação a esses assuntos e os alunos resolveram a

8º questão (semelhante a 7ª), onde mostraram segurança em resolver as questões. A

10ª questão tratou de análise de gráficos a partir da observação da reta. Nessa

questão os alunos tinham que determinar em que momento o fabricante teria lucro ou

prejuízo na venda de um certo produto, sendo que os alunos não apresentaram

incompreensão acerca do problema e conseguiram fazer a 11ª questão que era

semelhante a décima. Em relação ao dever de casa, 31% resolveram o dever de casa

completamente, 31% entregaram o dever incompleto e 38% não entregaram o dever

de casa.

Os alunos mostraram ter entendimento do assunto e a aula discorreu com

tranquilidade e durou aproximadamente 90 minutos.

4.5 QUINTO ENCONTRO

O quinto encontro aconteceu no dia 23/09/16 em uma aula para execução da

atividade 6 que teve como finalidade determinar analiticamente o ponto médio de um

segmento. Teve a participação dos alunos A1eA2 (D1), A3eA4 (D2), A5 (D3), A7eA8

(D4), A9eA10 (D5), A11eA12 (D6), A13eA14 (D7), A15 (D8), A17 (D9), A19eA20

(D10), A21eA22 (D11), A23eA24 (D12), A26 (D26), A27eA28 (D14) e A29 (D15).

Como recurso material auxiliar, utilizamos a régua e o papel quadriculado para

construção do plano cartesiano ortogonal, pois verificamos que os alunos não tinham

168

familiaridade com o mesmo. Entregamos o roteiro da atividade e os materiais

auxiliares para que as duplas construíssem seu plano cartesiano, considerando como

unidade o centímetro. Solicitamos aos alunos que marcassem os pontos dados no

quadro da atividade em seus planos cartesianos construídos e medissem, utilizando

a régua, o tamanho do segmento delimitado pelos pares de pontos dados no quadro

do roteiro da atividade 6 e, em seguida, encontrassem o ponto que divide o segmento

AB ao meio, como mostra o plano cartesiano desenhado pela Dupla D9.

Paralelamente, as duplas preencheram o quadro contendo os pares de pontos,

a coluna da soma das abscissas, a coluna da soma das ordenadas e o espaço para

informar as coordenadas do ponto médio, como ilustra D7:

Fonte: atividade no papel quadriculado por D9

169

Os alunos levaram aproximadamente, em média, de 15 minutos para desenhar

o plano cartesiano e marcar os pontos nele. Para agilizar a atividade, já que apenas

tínhamos disponível uma aula, alguns alunos sugeriram que colocássemos o quadro

da atividade 6 no “quadro branco” para que cada dupla preenchesse as informações

correspondentes a um par de ponto. Portanto, reproduzimos no “quadro branco” o

quadro da atividade 6 e cada dupla respondeu o que foi solicitado, que as duplas D1,

D4, D9 e D10 apresentaram dificuldades em montar o plano cartesiano, no

preenchimento do quadro e nas observações, pois confundiram os eixos das

abscissas com o eixo das ordenadas e, além disso, não conseguiam operacionalizar

os pontos que apresentavam uma das coordenadas negativas, o que mostrou a falta

de domínio as regras elementares dos números inteiros relacionados com suas

operações. Nesse momento, lembramos as operações com números inteiros e

orientamos a turma sobre o assunto.

Quando todos informaram seus dados, perguntamos quais foram as

observações feitas em relação ao ponto que representava a metade do segmento AB

e 9 duplas (D3, D6, D9, D7, D10, D11,D12,D14 e D15) se manifestaram afirmando

que o ponto médio tem relação com a metade dos valores das coordenadas do

segmento dado, sendo que a D6 foi a única dupla que relacionou as coordenadas de

A e B com o ponto médio utilizando a expressão “dobro” ao afirmar que “A soma das

abscissas e a soma das ordenadas é sempre o dobro da abscissa e ordenada do

ponto médio” (Dupla D6). A dupla D9 verbalizou corretamente demostrando no plano

Fonte: quadro preenchido pela dupla D7

170

construído sua observação, porém quando escreveu suas observações, não utilizou

os termos de modo adequado:

A dupla D7 percebeu mais rápido que as outras a relação gerada pela atividade

6 e utilizou por pouco tempo a régua, como recurso auxiliar, por isso respondeu, em

suas observações, que não precisavam da régua e conseguiram sistematizar

matematicamente a informação descoberta por eles. Em seguida, solicitamos aos

alunos que, em suas conclusões, escrevessem com a linguagem Matemática o que

descobriram pensando como seria a expressão para determinar o ponto médio para

um segmento de reta qualquer. Nesse sentido, surgiu duas categorias de conclusões.

A categoria de conclusões 1 da atividade 6 representou as duplas que

mostraram a expressão Matemática do ponto médio como correto, como exemplifica

a dupla D11 e D7:

A categoria de conclusões 2 da atividade 6 apresentou uma conclusão no qual

expressou o ponto médio como a divisão das somas das abscissas e ordenadas por

dois, o que foi considerada conclusão inválida, conforme mostra a dupla D3:

A tabela 32 mostra as duplas que se encaixaram nas categorias de conclusões

citadas na atividade 6.

Tabela 32: Categorias de conclusões da atividade 6


1 expressou as coordenadas do ponto médio adequadamente. D1, D2, D5, D6, D7, D9, D10, D11, D12, D14, D15

2 expressou a as coordendas do ponto médio inadequadamente.

Fonte: Observação de D9 na atividade 6

Fonte: Conclusão de D11 na atividade 6


171

D3

Sem produção escrita na conclusão D4 Fonte: pesquisa de campo (2016)

Como a maioria da turma conseguiu atingiu conclusões válidas, consideramos

a atividade com ótimo rendimento e válida. A atividade 6 teve a duração de 50 minutos,

com tempo médio de desenvolvimento da atividade, por dupla, variando de 15 a 40

minutos.

4.6 SEXTO ENCONTRO

O sexto encontro ocorreu no dia 29/09/16 em duas aulas. Compreendeu a

realização das atividades 7 e 8, referente as coordenadas do baricentro de um

triângulo e o alinhamento entre pontos, com a participação dos alunos A2 (D2), A3eA4

(D2), A5eA6(D6), A7eA8 (D4), A9 (D5), A11eA12 (D6), A13eA14 (D7), A17eA18 (D9),

A19eA20 (D10), A21eA22 (D11), A23eA24(D12), A25eA26 (D13), A27eA28 (D14) e

A29 (D15).


A atividade 7 denominada “baricentro” teve o objetivo de descobrir uma maneira

de determinar analiticamente as coordenadas do baricentro de um triângulo a partir

da análise dos vértices dos 10 triângulos dados, da coordenada do ponto de

interseção das medianas de cada triângulo. A partir dessas informações, os alunos

deveriam preencher o quadro do roteiro da atividade 7, no qual solicitamos,

separadamente, os valores das abscissas e ordenadas de cada vértice do triângulo,

assim como, as abscissas e ordenadas do ponto de interseção das medianas, que foi

destacado em cada triângulo.

O encontro foi iniciado com a revisão da atividade sobre o ponto médio e, a

partir disso, perguntamos se algum aluno já tinha ouvido falar do termo mediana e

baricentro e com o sinal de negativo dos alunos, comentamos acerca da definição de

mediana e baricentro para que eles pudessem identificar nos triângulos dados essas

informações. Organizamos as duplas e foi entregue a cada uma o roteiro da atividade

7, juntamente com o “quadro de baricentro” – folha contendo 10 triângulos, com suas

medianas e baricentro marcados no plano cartesiano (apêndice E). Assim como na

atividade anterior, o quadro do roteiro da atividade 7 foi colocado no quadro branco,

172

onde cada dupla era responsável em escrever as informações referentes a um

triângulo, sendo que todos fariam a atividade inteira.

Dentre os participantes dessa atividade, 6 duplas (D2, D4, D9, D11, D13 e D14),

inicialmente, não conseguiram preencher o quadro, logo preenchemos a primeira linha

para ensinar como obter as informações solicitadas a partir do triângulo dado. A partir

disso, os alunos compreenderam melhor o preenchimento do quadro e o objetivo do

mesmo para sistematização de informações e construção da relação projetada à

atividade, visto que informamos que por meio dos dados preenchidos poderíamos

encontrar uma relação para determinar as coordenadas do baricentro. Como exemplo,

a ilustração de dupla D13, que mostra o quadro do roteiro preenchido.

Quando a maioria da turma tinha preenchido seus quadros, solicitamos que

cada dupla colocasse as informações no quadro branco. Duas duplas (D4 e D9)

demonstraram dificuldades identificar os vértices e baricentros dos triângulos.

Percebemos que persistia a falta de compreensão em determinar o ponto no plano,

assim orientamos cada dupla na tentativa de sanar tais dificuldades.

A partir do quadro preenchido, solicitamos que os alunos observassem as

informações referentes as abscissas e ordenadas destacadas. Os alunos demoraram

alguns minutos e desenvolveram algumas observações acerca dos dados coletados

no quadro. Seis duplas (D2, D4, D6, D12, D14, D15) associaram as coordenadas do

baricentro a divisão por três das somas das abscissas dos vértices do triângulo e das

somas das ordenadas dos vértices do mesmo triângulo para determinação das

coordenadas do baricentro, sendo que D15 foi o único que utilizou o termo média para

representar a ideia de baricentro. A dupla D10 observou que o baricentro é “a soma

de um triângulo dividido por 3”, confundindo a ideia de triângulo com coordenadas do

Fonte: o quadro da atividade 7 preenchido pela dupla D13

173

vértice de um triângulo. A dupla D4, apesar da dificuldade inicial em desenvolver a

atividade, compreendeu relação dos elementos destacados no triângulo e expressou

somente o processo aritmético de encontrar o valor do baricentro. Seis duplas (D1,

D3, D7, D9, D11, D13) declararam dificuldades em encontrar as relações devidas,

então solicitamos que eles observassem as abscissas dos vértices e a abscissa do

baricentro e tentasse relacioná-las por meio de alguma operação aritmética e assim

fizessem com as ordenadas dos vértices do mesmo triângulo e a ordenada do

baricentro. Com a nossa orientação e a ajuda dos colegas que compreenderam o

processo aritmético, as duplas com dificuldades em entender a atividade,

conseguiram encontrar e compreender a relação existente.

Após as observações declaradas verbalmente e em forma escrita, as duplas

construíram suas conclusões, que se encaixaram em duas categorias de conclusões.

Na categoria de conclusão 1 da atividade 7, as duplas utilizaram a linguagem

Matemática apropriada, apresentando a fórmula algébrica das coordenadas do

baricentro do triângulo corretamente, como exemplifica a dupla D10:

Na categoria de conclusão 2 da atividade 7, a dupla representou o baricentro

como a divisão da soma das ordenadas por 3 ou pela divisão da soma das abscissas

por 3, o que tornou sua conclusão inválida, como indica D14:

A dupla D4 conseguiu fazer observação pertinente sobre o assunto,

demonstrando o processo aritmético da determinação do baricentro, no entanto não

representou algebricamente tal observação, deixando sua atividade sem conclusão.

A tabela 33 mostra as duplas que se enquadraram em cada categoria de

conclusões da referida atividade.



174



1 Expressou as coordenadas do baricentro corretamente.

D1, D2, D3, D6, D7, D9, D10, D11, D12, D13, D15

2 Expressou as coordenadas do baricentro incorretamente. D14

Sem produção escrita D4 Fonte: pesquisa de campo (2016)

De modo geral, a atividade 7, apesar de 4 duplas (D1, D3, D4 e D9)

demonstrarem que possuem pouca compreensão relacionada aos conceitos de

pontos, vértices e triângulos, teve um bom desempenho uma vez que, a maioria dos

participantes conseguiu produzir conclusões de acordo com a finalidade da atividade,

o que consideramos a mesma válida.

Essa atividade teve a duração de 35 minutos, com o tempo de execução, por

dupla, variando de 10 a 30 minutos. Como ainda restava uma aula, fizemos a atividade

8 que tratava de alinhamento entre pontos.


A atividade 8 intitulada “Alinhamento de três pontos” teve a finalidade de

descobrir uma condição analítica para o alinhamento entre pontos, no qual os alunos,

divididos em duplas, tinham que marcar os pontos no plano cartesiano e verificar se

eles estavam sobre a mesma reta, ou seja, se estavam alinhados. Além disso, para

cada terna de pontos, os alunos deveriam encontrar o determinante da matriz gerada

por tais pontos. No roteiro da atividade 8 continha um quadro que seria preenchido de

acordo com as informações solicitadas.

Ao entregar e ler o roteiro dessa atividade à turma enfatizamos o objetivo e os

conceitos de alinhamento e determinante. Uma breve revisão sobre o assunto de

determinante foi feita antes do preenchimento do quadro no roteiro da atividade. Os

alunos iniciaram a atividade marcando os pontos no plano para verificar se esses

estavam alinhados, como ilustra D15.

175

Após a marcação e verificação se os pontos são ou não alinhados, as duplas

calcularam o determinante da matriz formada pela terna de pontos dados. Orientamos

dupla por dupla para tirar as dúvidas em relação as operações com os números

inteiros. Por conta dessa dificuldade, a turma gerou dois quadros diferentes, conforme

mostra a quadro preenchido por D14 e D15:

Fonte: plano marcado por D15


176

O primeiro quadro (dupla D14) representou 8 duplas – D1, D2, D7, D9, D10,

D11, D13 e D14 – que responderam de forma similar, e que erraram a sétima, oitava

e nona linha, por conta de erros de sinal dos números inteiros, enquanto que o

segundo quadro (dupla D3) representou 4 duplas que conseguiram encontrar todos

os valores dos determinantes corretamente, apresentando pequenos erros de

subtração, que foram corrigidos facilmente durante a exposição das informações no

quadro branco. As duplas que chegaram a resultados semelhantes ao primeiro

quadro, observaram que “quando os pontos não são alinhados, o resultado é diferente

de zero” (Dupla D14). Essas duplas não conseguiram formular uma conclusão

Matemática para atividade e deixaram em branco suas conclusões.

Das duplas que preencheram corretamente a coluna do determinante, duas

delas (D3 e D11) observaram que “O det só vai ser 0 quando os pontos alinhados”

(Dupla D11), enquanto que as duplas D6 e D15 observaram de modo mais amplo,

considerando os casos de pontos alinhados e não-alinhados, comentando como

mostra, a exemplo, a dupla D6.


Fonte: observação da dupla D6 na atividade 8

177

Ao socializar as informações, os alunos corrigiram seus cálculos, mas a maioria

das duplas, não conseguiram formular conclusões, o que gerou apenas duas

categorias de conclusões. A categoria de conclusão 1 da atividade 8 representou a

dupla D3 que usou a linguagem materna para estabelecer a condição para pontos

alinhados, porém não deixou claro que matriz faria o determinante ser zero.

A categoria de conclusões 2 da atividade 8 representou a dupla D15, que foi a

única que conseguiu formular sua conclusão recorrendo a linguagem Matemática,

demonstrando um bom domínio, enquanto que as outras duplas não conseguiram

concluir a referida atividade.

A tabela 34 mostra a produção de conclusão da atividade 8:

Tabela 34: Categorias de conclusões da atividade 8 N° CATEGORIAS DE CONCLUSÕES DE ATIVIDADE 8 DUPLAS

1 Estabeleceu a condição de alinhamento entre três pontos por meio da linguagem materna

D3, D6

2 Estabeleceu a condição de alinhamento entre três pontos por meio da linguagem Matemática

D15

Sem produção escrita na conclusão D1, D2, D7, D9, D10, D11, D12,

D13, D14


Como apenas poucos conseguiram realizar a conclusão conforme o esperado,

podemos dizer que essa atividade não teve um bom rendimento. O tempo de

realização dela foi de aproximadamente 60 minutos e teve tempo de execução, por

dupla, variando de 17 a 55 minutos.

Fonte: conclusão da dupla D3 na atividade 8


178

4.7 SÉTIMO ENCONTRO

O sétimo encontro ocorreu no dia 04/10/16 em uma aula onde abordamos a

lista de questões 2 (apêndice M) referente aos conhecimentos de ponto médio,

baricentro e alinhamento. Nesse encontro contamos com a participação dos alunos

A2, A3, A4, A5, A6, A9, A10, A11, A12, A13, A14, A15, A16, A18, A22, A25, A26, A27,

A28 e A29. Essa lista contém 10 questões, da qual resolvemos, junto com eles, as

questões 1, 5, 7a e 9, enquanto que os alunos resolveram em sala as questões 2,4,7b

e 9 e para casa foram as questões 3, 6, 7c e 10.

Os alunos demonstraram ter entendido o assunto de ponto médio e baricentro,

porém a condição de alinhamento entre pontos ainda faltava uma compreensão maior,

por isso revisamos atividade 8, que apesar da maioria não ter concluído, entenderam

o motivo pelo qual o determinante da matriz formada pelos pontos, em alguns casos,

é zero, e em outros, diferente de zero. Resolvemos a questão 4 referente a condição

de alinhamento e pedimos que eles resolvessem a quinta questão, sendo que os

alunos A2 (dupla D1), A18 (dupla D9) e A22 (Dupla D11), indicaram problemas em

relação ao cálculo do determinante por conta do “jogo de sinal” dos números inteiros,

então tentamos diminuir as dúvidas em relação a esse assunto.

Apesar de tais dificuldades, os alunos fizeram as questões e exercitaram os

conteúdos trabalhados na referida lista. Sobre o dever de casa, verificamos que 56%

o fizeram completamente, 38% parcialmente e 6% não apresentaram o dever de casa.

A aula durou aproximadamente 50 minutos.

4.8 OITAVO ENCONTRO

O oitavo encontro abordou as atividades 9 e 10 correspondentes a distância

com mesmas abscissas e ordenadas e aconteceu em uma aula no dia 07/10/16. Teve

a participação dos alunos A7eA8 (D4), A9eA10 (D5), A11eA12 (D6), A17eA18 (D9),

A25eA26 (D13), A27 (D14) e A29 (D15). Esse encontro teve um número de presença

baixo, pois a maioria dos alunos pensavam que não haveria aula nesse dia uma vez

que era uma sexta-feira antes do círio da cidade, dia que normalmente não tem aula

por conta das romarias que acontecessem nesse período.


A atividade 9 cujo título foi “Distância entre dois pontos com as mesmas

abscissas” teve a finalidade de descobrir uma maneira de determinar a distância entre

179

dois pontos que possuam as mesmas abscissas. Essa atividade foi organizada em

dupla, onde disponibilizamos uma régua, juntamente com o roteiro, para cada dupla

fazer seu plano cartesiano. Os alunos deveriam, a partir dos pares de pontos dados,

identificar as abscissas e ordenadas de cada ponto, assim como, construir um plano

cartesiano – que poderia ser feito no caderno ou na folha A4 –, utilizando como

unidade o centímetro, e marcar os pontos dados, como exemplifica D4.

Após a construção do plano e marcação dos pontos, as duplas mediriam a

distância entre tais pontos para preencher o quadro do roteiro da atividade 9. As

duplas não demonstraram dificuldades em manipular a régua e fazer o plano

cartesiano. A fim de socializar os resultados e aproveitar melhor o tempo disponível,

copiamos o quadro do roteiro no quadro branco, onde cada dupla colocou as

informações referentes a uma linha e a turma preencheu o quadro de modo

semelhante ao da dupla D13.

Fonte: plano desenhado pela dupla D4

Fonte: quadro feito pela dupla D13

180

No quadro do roteiro dessa atividade, foram solicitadas as variações das

abscissas e ordenadas, sendo que os alunos, inicialmente, não recordavam da

nomenclatura “variação” e perguntaram sobre o significado de tal termo. Nesse

momento explicamos o sentido da variação entre dois valores e fizemos associação a

física, onde é usado tal conhecimento para determinar o intervalo de tempo, assim

como o de distância, e consequentemente, encontrar o valor da velocidade de um

certo corpo. Ressaltamos que utilizamos os valores absolutos para representar as

variações. Logo os alunos demonstraram ter lembrado do termo e preencheram o

quadro sem problemas. Após o preenchimento do quadro do roteiro dessa atividade,

as duplas fizeram suas observações e socializaram com a turma. Essas observações

foram semelhantes a essa “a distância entre os pontos sempre igual a variação das

ordenadas, quando x1=x2” (Aluno D15). Depois desse momento, os alunos fizeram

suas conclusões que geraram duas categorias. Na categoria de conclusão 1 da

atividade 9, a dupla D5 que expressou a distância entre dois pontos com as mesmas

abscissas, sem deixar claro que essa expressão só vale para esse caso.

A categoria de conclusão 2 da atividade 9 representou as duplas que

conseguiram escrever a distância entre dois pontos, deixando claro que a subtração

entre as ordenadas representa a distância, quando os pontos possuem as mesmas

abscissas, como mostra, em sua conclusão, D15:

Duas duplas (D9 e D13), embora tenham elaborado suas observações de

maneira clara, não finalizaram a atividade, afirmando que não conseguiram

transformar o que observaram para linguagem Matemática.

Conforme suas observações, as duplas construíram suas conclusões que se

encaixaram nas categorias citadas nessa atividade, conforme a tabela 35.



181

Tabela 35: Categorias de conclusões da atividade 9 N° CATEGORIAS DE CONCLUSÕES DA ATIVIDADE 9 DUPLAS

1 Expressou a distância entre dois pontos, sem especificar que esses pontos possuem as mesmas abscissas

D5

2 Expressou a distância entre dois pontos, especificando que esses pontos possuem as mesmas abscissas

D4, D6, D15

Sem produção escrita D9, D13


A atividade teve um bom rendimento, visto que a maior parte dos alunos

descobriu um modo de determinar a distância entre dois pontos que possuam as

mesmas abscissas. Essa atividade durou 30 minutos e teve um tempo de execução,

por dupla, variando de 10 a 28 minutos. Como ainda tínhamos tempo disponível,

realizamos a atividade 10 em seguida.


A atividade 10 intitulada “Distância entre dois pontos com as mesmas

ordenadas” teve por objetivo descobrir uma maneira de determinar analiticamente a

distância entre dois pontos que possuem mesmas ordenadas. O procedimento de

realização dela foi similar ao da atividade 9, o que proporcionou às duplas mais

agilidade no processo de construção da mesma. Sem dificuldades, os alunos fizeram

o plano cartesiano, marcaram os pontos e preencheram o quadro do roteiro da

atividade 10. Rapidamente, os alunos fazendo analogia com a atividade 9, colocaram

os dados no quadro branco a fim de que cada dupla socializasse as informações,

formando um quadro similar ao produzido pela dupla D4:


182

As duplas logo fizeram suas observações, análogas ao da atividade anterior,

sendo que a maioria – D4, D6, D9, D13 e D15 - observaram que “Quando dois pontos

possuem as mesmas ordenadas, a distância entre os pontos é igual a variação das

abscissas e a variação das ordenadas é igual a zero” (Dupla D6). A dupla D5

expressou a variação das abscissas como distância, sem explicar em que condições

será obedecido esse cálculo, afirmando apenas que “A variação das abscissas é a

distância entre os pontos AB” (dupla D5). Das duplas participantes, duas – D9 e D13

– não conseguiram produzir suas conclusões, alegando não saber escrever

matematicamente a expressão da distância, apesar de insistirmos que as duplas

poderiam se expressar pela linguagem materna, como fez a dupla D5. Com isso, essa

atividade gerou duas categorias de conclusões. A categoria de conclusão 1 da

atividade 10, representou a dupla D5 que expressou a distância sem considerar que

a expressão vale apenas para situação onde os pontos têm as mesmas ordenadas,

conforme mostra sua conclusão.

A categoria de conclusões 2 da atividade 10 representou as duplas que

apresentaram a distância entre dois pontos, restringindo que o cálculo vale quando os

pontos têm as mesmas ordenadas, como exemplifica D15:

A tabela 36 mostra as categorias de conclusões da atividade 10 apresentadas

logo acima.


1 Expressou a distância entre dois pontos, sem especificar que esses pontos possuem as mesmas ordenadas

D5

2 Expressou a distância entre dois pontos, especificando que esses pontos possuem as mesmas ordenadas

D4, D6, D15

Sem produção escrita D9, D13




183

Como a maioria das duplas alcançou suas conclusões conforme o objetivo da

atividade, a consideramos com bom rendimento. O tempo de duração da atividade foi

15 minutos, com o tempo de realização, por dupla, variando de 5 a 14 minutos.

4.9 NONO ENCONTRO

O nono encontro abordou a atividade 11 e a lista de questões 3 (apêndice N),

abordando distância entre dois pontos quaisquer. O encontro ocorreu no dia 13/10/16

em duas aulas. Esse encontro contou com a participação de todos os alunos da turma.


A atividade 11 denominada de “Distância entre dois pontos quaisquer” teve a

finalidade de descobrir uma maneira de determinar a distância entre dois pontos

quaisquer. Os alunos, divididos em duplas, tinham que encontrar a distância, com a

ajuda da régua, de 10 segmentos de retas colocados em um mesmo plano cartesiano

dado na folha roteiro da atividade 11, encontrar a variação das abscissas e ordenadas,

assim como, calcular o quadrado das variações de x, y e da distância encontrada. Ao

apresentar a atividade, enfatizando seu objetivo. Fizemos a primeira linha do quadro

do roteiro da atividade 11, como exemplo para realização da atividade, e proporcionar

mais agilidade no desenvolvimento dela, indicando uma linha para cada dupla

preencher. Os alunos utilizaram a régua para medir os segmentos entre os pontos do

plano cartesiano e preencheram um quadro semelhante ao da dupla D1:

184

Durante o preenchimento do quadro, percebemos que aproximadamente 60%

das duplas apresentavam dificuldades em identificar os pontos no plano cartesiano,

logo orientamos dupla por dupla na tentativa de sanar essa dificuldade. As duplas D6,

D14 e D15 se destacaram nesse momento, pois auxiliaram os colegas da turma,

reforçando onde localizava as abscissas e ordenadas, ajudaram com a manipulação

da régua e no cálculo dos quadrados, o que permitiu uma interatividade maior entre

eles.

Em relação ao quadro do roteiro da atividade 11, quatro linhas (2ª, 6ª, 7ª e 9ª)

são dadas por valores inteiros, gerando o quadrado dessas distâncias números

inteiros, enquanto que seis linhas (1ª, 3ª, 4ª, 5ª, 8ª e 10ª) tiveram distâncias cujos

valores são não-inteiros, sendo assim o quadrado dessas distâncias também não-

inteiros, o que causou um pequeno obstáculo para observação, mas o aluno A29

sugeriu que houvesse um arredondamento dos valores ao quadrado para facilitar os

cálculos e a visualização da relação que pretendíamos encontrar e os alunos assim

fizeram. As duplas D1, D2, D7, D8, D9 e D11 não conseguiram perceber, inicialmente,

a relação entre a distância e as variações das abscissas e ordenadas, por isso não

registraram nenhuma informação em suas observações. As outras duplas fizeram

observações, semelhante à da dupla D10 ao afirmar que “A soma de (∆x)² e (∆y) ² é

a mesma de d²”. A dupla D13 embora tenha se expressado de forma adequada, não

representou em sua escrita o que verbalizou, uma vez que a dupla informa que “a


185

distância ao quadrado é resultado das variações ao quadrado”. Já D15 associou ao

teorema de Pitágoras ao acrescentar que “A distância entre dois pontos é obtida

utilizando Pitágoras, onde os catetos são variações (∆x e ∆y) e a hipotenusa é a

distância”.

Os alunos socializaram suas observações e, no momento da construção das

conclusões, as duplas D1, D4, D8, D9 e D11 sentiram dificuldades em sistematizar a

relação encontrada para linguagem Matemática, logo auxiliamos nesse processo de

construção da conclusão, solicitando que eles usassem a relação encontrada entre as

três últimas colunas e baseados no objetivo da atividade tentassem determinar a

distância entre dois pontos, e assim fizeram. Com isso, gerou duas categorias de

conclusões dessa atividade. A categoria de conclusão 1 da atividade 11 representou

a dupla D4 que expressou a distância sem associar a raiz quadrada:


indicaram a distância como a raiz quadrada da soma dos quadrados das variações

das abscissas e ordenadas, como exemplifica D11:

A tabela 37 mostra a distribuição das duplas nas categorias de conclusões que

se apresentaram nessa atividade.


N° CATEGORIAS DE CONCLUSÕES DA ATIVIDADE 11 DUPLAS

1 Expressou a distância entre dois pontos na forma d² = (∆x) ² + (∆y) ²

D4

2 Expressou a distância entre dois pontos por meio da raiz quadrada das somas dos quadrados das variações

D1, D2, D3, D5, D6, D7, D8, D9, D10, D11, D12, D13, D14, D15




186

Atividade 11 teve ótimo rendimento uma vez que todas as duplas concluíram

suas atividades. Essa atividade durou 45 minutos, com o tempo de realização, por

dupla, variando de 10 a 43 minutos.

4.9.1 Desenvolvimento da Lista 3

A lista de questões 3 (apêndice N) teve a finalidade de trabalhar os

conhecimentos de distância entre pontos e foi elaborada com 9 questões. Ao ler as

questões com eles, percebemos que os alunos estavam entendendo pouco as

questões que envolviam problemas que relacionava distância no gráfico com a

distância real, pois não compreendiam a ideia de escala no plano cartesiano.

Resolvemos então a 1ª e 2ª para tratar da dificuldade encontrada, inicialmente. Os

alunos compreenderam e resolveram conosco a questão. Solicitamos que

resolvessem em sala a 3ª e 4ª questões cujo desenvolvimento foi mais demorado do

que o esperado, pois ainda era um obstáculo o entendimento das questões e

associação dela no plano cartesiano. Orientamos cada dupla para uma melhor

compreensão dos problemas e eles conseguiram fazer as questões solicitadas e os

alunos que compreenderam auxiliaram os outros para o entendimento e solução das

questões.

Como o tempo disponível já tinha acabado, deixamos para o próximo encontro

as questões de 5 a 9 da lista 3.

4.10 DÉCIMO ENCONTRO:

O décimo encontro foi realizado no dia 14/10/16 em uma aula. Foi dedicado ao

término da lista 3. Contamos com a participação dos alunos A2, A3, A4, A5, A6, A9,

A10, A11, A12, A13, A14, A15, A16, A17, A18, A19, A120, A21, A22, A23, A24, A25,

A26, A27, A28 e A29. Antes de iniciar a aula, os alunos nos disseram que não

conseguiram fazer as questões em casa, logo fizemos o restante da lista em sala.

Os alunos, sob nossa orientação, entenderam as questões e as resolveram,

contudo as questões mais complexas foram a 7, 8 e 9, nas quais eram informados os

vértices dos triângulos e solicitado a prova de que o triângulo era retângulo, já que

estavam habituados em enxergar o triângulo em uma mesma disposição – triângulo

ABC, com o ângulo reto em A, todos os vértices no primeiro quadrante -, no entanto,

no caso dessas questões, cada vértice estava em quadrante diferente, o vértice A, no

187

1º, o vértice B, no 3º e o vértice C no 4º quadrante, e isso foi um fator complicador

para entendimento das questões. Quando resolvemos a sétima, eles compreenderam

e resolveram as demais.

4.11. DÉCIMO PRIMEIRO ENCONTRO:

O décimo primeiro encontro aconteceu dia 18/10/16 em duas aulas. Nesse

encontro foram realizadas as atividades 12 e 13, que tratavam de declividade da reta.

Contamos com a participação dos alunos A1eA2 (D1), A3eA4 (D2), A5eA6 (D3),

A8(D4), A9eA10 (D5), A13eA14 (D7), A15eA16 (D8), A17eA18 (D9), A19eA20 (D10),

A21eA22 (D11), A23eD24 (D12), A25eA26 (D13), A27eA28 (D14).


A atividade 12 denominada de “Declividade da reta” teve como objetivo

descobrir uma maneira analítica de determinar a declividade da reta. Cada dupla

recebeu seu roteiro da atividade e um quadro de retas (apêndice F) – uma lista de 10

planos cartesianos contendo, em cada um, uma reta que passa pelos pontos A e B.

Nesse roteiro havia um quadro a ser preenchido no qual era solicitado os valores das

coordenadas de A e B, suas variações de x e y, a razão entre essas variações e a

tangente do ângulo que forma entre a reta destacada no plano e a eixo das abscissas,

como mostra o quadro preenchido pela dupla D8:

Ao apresentar a atividade as duplas, enfatizamos a finalidade da atividade.

Como estava acontecendo nos encontros anteriores, reproduzimos o quadro do

roteiro da atividade 11 no quadro branco e cada dupla se responsabilizou por uma


188

linha a ser preenchida. As duplas D1, D3, D4, D5, D11 e D13 ainda apresentavam

pouca compreensão em relação as operações com números inteiros, logo orientamos

cada dupla na tentativa de sanar essas dificuldades. Após o preenchimento do quadro,

cada dupla fez sua observação em relação a declividade da reta, e socializou a

informação com a turma. As duplas D1 e D8 observaram que “o valor da divisão de y

e x é o mesmo valor da tangente” (dupla D8), a dupla D7 escreveu que “a tangente é

o número de variações de x”, enquanto que a dupla D10 afirmou que “dividindo as

variações de X e de y achamos o ângulo e a tangente”. As outras duplas observaram

que “a divisão de variação de y pela variação de x é igual a tangente do ângulo” (dupla

D12), exceto a dupla D13 que não registrou observação escrita, mas se manifestou

dizendo “a variação de y dividido pela variação de x encontra a tangente”.

Questionamos sobre algumas dessas afirmações e os alunos perceberam suas falhas

e ao fazer a conclusão tentaram escrever de modo matematicamente adequado, que

gerou uma categoria de conclusão.

A única categoria de conclusão da atividade 12 representou as duplas que

expressaram a declividade da reta corretamente, como exemplifica as duplas D6 e

D7:

A tabela 38 apresenta as duplas que se enquadraram na categoria criada nessa

atividade.

Tabela 38: Categoria de conclusões da atividade 12 N° CATEGORIA DE CONCLUSÕES DA ATIVIDADE 12 DUPLAS

1 Representou a declividade da reta como a razão entre ∆y e ∆x.

D1, D2, D3, D4, D5, D7, D8, D9, D10, D11, D12, D13, D14




189

Como todos fizeram conclusões da atividade conforme a finalidade a atividade,

a consideramos com ótimo rendimento. Essa atividade durou 40 minutos, com a média

de desenvolvimento, por dupla, variando de 10 a 37 minutos.


A atividade 13 intitulada “Declividade em pontos distintos e colineares” teve

como finalidade descobrir uma relação entre a declividade de pontos distintos e

colineares de uma reta. Os alunos deveriam verificar se os pontos A, B e C de cada

terna de pontos dados no quadro do roteiro se eram colineares, assim como deveriam

encontrar os valores das declividades nos pontos A e B, nos pontos B e C e nos pontos

A e C.

Quando aos alunos foi apresentada a atividade, resgatamos os conhecimentos

acerca de alinhamento entre pontos e o cálculo do determinante. Perguntamos o valor

do determinante quando os pontos são alinhados e a dupla D5 respondeu “zero”.

Nesse momento, afirmamos que eles precisariam dessa informação para o

desenvolvimento da atividade 13. Resolvemos a primeira linha do quadro do roteiro

da atividade e encaminhamos para cada dupla uma linha para que eles socializassem

com a turma, referente as informações obtidas através dos cálculos das declividades.

A dupla D1 foi a única que para verificar se os pontos são colineares, ou não,

desenharam o plano cartesiano e marcaram os pontos nele. O restante das duplas

calculou os determinantes necessários para responder a pergunta do quadro do

roteiro. As duplas D2, D4, D5 e D9 apresentaram insegurança referente aos cálculos

envolvendo números inteiros, logo explicamos novamente o processo aritmético de

dupla em dupla na tentativa de tirar as dúvidas referente a esse assunto. As duplas

D13 e D14 se destacaram ao se mostrarem dispostos a ajudar os colegas com

dificuldades em preencher o quadro, que ficou similar a dupla D9:

190

Após o preenchimento do quadro, a maioria das duplas (com exceção de D4)

perceberam facilmente a relação entre as declividades afirmando, em suas

observações que “Quando os pontos são colineares a declividade é a mesma em

todos eles” (Dupla D13) ou “Quando os pontos são colineares a declividade entre eles

serão sempre os mesmos valores” (Dupla D2). As duplas, em sua maioria, baseadas

nas observações feitas e socializadas, fizeram suas conclusões, que gerou uma

categoria de conclusões dessa atividade.

Essa categoria de conclusão da atividade 13 representou as duplas que

expressaram coerentemente a relação entre as declividades nos pontos sobre a

mesma reta, como mostra a dupla D12 a exemplo:

A tabela 39 mostra as duplas que produziram suas conclusões.



191

Tabela 39: Categoria de conclusões na atividade 13 N° CATEGORIA DE CONCLUSÕES DA ATIVIDADE 13 DUPLAS

1 Estabeleceu a relação da declividade entre pontos colineares adequadamente

D1, D2, D3, D4, D5, D6, D10, D11, D12, D14

Sem produção escrita na conclusão D8, D9, D13


Como a maioria das duplas finalizaram essa atividade, a consideramos com um

bom rendimento. E teve a duração de 40 minutos, com o tempo de realização, por

dupla, variando de 25 a 40 minutos, conforme suas declarações.

4.12. DÉCIMO SEGUNDO ENCONTRO:

O décimo segundo encontro ocorreu no dia 21/10/16 em uma aula, no qual

trabalhamos a atividade 14 intitulada “Equação da reta” que teve como objetivo

descobrir uma maneira de encontrar a equação da reta a partir de dois pontos. Esse

encontro teve a participação A2 (D1), A3eA4 (D2), A5eA6 (D3), A7eA8 (D4), A9eA10

(D5), A11eA12 (D6), A13eA14 (D7), A15eA16 (D8), A19e A20 (D10), A21eA22 (D11),

A23eA24 (D12), A27eA28 (D14) e A29 (D15).

Nessa atividade solicitamos a declividade dos pontos A e B dados,

declividades dos pontos A (ou B) e um ponto genérico (x,y), a relação entre as

declividades e a equação da reta. Apresentamos a atividade, resolvemos a primeira

linha do quadro para exemplificar o procedimento, como fizemos nas atividades

anteriores, indicando para cada dupla uma linha a ser preenchida do quadro. As

duplas preencheram o quadro similar ao feito pela dupla D2:

192

A maioria dos alunos apontou uma dificuldade no desenvolvimento da equação,

se confundindo com sinais dos números inteiros. Quando acabaram de informar os

valores solicitados no quadro não conseguiram fazer observações, com exceção da

dupla D8 que escreveu “a declividade de A e B é igual ao coeficiente de x”. Como

percebemos que a maioria não tinha feito observações, enfatizamos o objetivo da

atividade e os procedimentos para chegar até a equação da reta que as duplas

encontraram. Com isso apenas duas duplas conseguiram alcançar uma conclusão

adequada, gerando uma categoria de conclusões dessa atividade.


entenderam o processo algébrico de chegar a equação da reta a partir da tangente,

como exemplifica a dupla D14:

A tabela 40 aponta as duplas que fazer as conclusões e se encaixaram na

categoria apresentada logo acima.

Fonte: Quadro preenchido feito por D2


193



1 Representou a equação da reta por meio da tangente D14, D15

Sem produção escrita na conclusão D1, D2, D3, D4, D5, D6, D7, D8, D10, D11, D12


As demais duplas não registraram conclusões e nem observações,

demostrando o não entendimento da atividade. Consideramos com essa situação que

a atividade teve um baixo rendimento. Essa atividade teve a duração de 50 minutos,

com o tempo de realização, por dupla, variando de 10 a 50 minutos.

4.13 DÉCIMO TERCEIRO ENCONTRO:

O décimo terceiro encontro ocorreu no dia 25/10/16 em duas aulas, onde

trabalhamos a lista de questões 4 (apêndice O) sobre declividade e equação da reta,

contendo 15 questões. Esse encontro teve a participação dos alunos A1, A2, A3, A4,

A5, A7, A8, A9, A10, A11, A12, A13, A14, A15, A16, A17, A19, A20, A21, A22, A23,

A24, A27 e A28.

Como os alunos sentiram dificuldades em visualizar a equação da reta a partir

da declividade no encontro anterior, resolvemos as questões 1, 2, 3 e 4 juntos e a 5,

6 e 7 resolveram sob nossa orientação em sala.

Inicialmente, os alunos demonstraram pouco entendimento do assunto, mas

conforme eles resolviam as questões, demonstravam mais segurança para

representar a equação. No entanto, observamos que os alunos A1, A2, A5, A7, A8,

A15, A17, A19, A21, A22 e A24, no momento de encontrar a declividade se

confundiam ao efetuar cálculos com números inteiros. Nesse momento, quase

individualmente, tiramos as dúvidas e a maioria dos alunos conseguiu fazer as

questões solicitadas (exceto os alunos A7, A8 e A17 que não conseguiram resolver

sozinhos) e pedimos que fizessem as questões 8 e 9 em casa. As questões de 10 a

15, deixamos para o próximo encontro, uma vez que não tínhamos mais tempo para

concluir a lista 4. Essa aula durou aproximadamente, 90 minutos.

194

4.14 DÉCIMO QUARTO ENCONTRO:

O décimo quarto encontro ocorreu no dia 01/11/16 em uma aula, onde

concluímos a lista de questões 4 (equação da reta) e teve a participação dos alunos

A1eA2 (D1), A3eA4 (D2), A5eA6 (D3), A9eA10 (D5), A11eA12 (D6), A13eA14 (D7),

A15eA16 (D8), A17eA18 (D9), A19eA20 (D10), A21eA22 (D11), A23eA24 (D12),

A25eA26 (D13), A27eA28 (D14) e A29 (D15).

Os alunos declararam que não conseguiam resolver as questões deixadas para

casa, então resolvemos questão 8, 10 e 13, os alunos fizeram em sala as questões 9,

11, 14 e 15, sob nossa orientação. Após a abordagem das questões feitas por nós, os

alunos conseguiram fazer as questões deixadas para eles. Demonstraram

entendimento dos procedimentos algébricos e geométricos para obtenção do ponto

por meio da equação e determinação da equação da reta através dos pontos dados.

4.15 DÉCIMO QUINTO ENCONTRO:

O décimo quinto encontro aconteceu no dia 22/11/16 em uma aula para

desenvolver a atividade 15 denominada “Equação da reta geral” e contamos com a

participação de todos os alunos da turma.

A finalidade da atividade foi descobrir a maneira de encontrar analiticamente a

equação da reta na forma geral por meio do determinante. Essa atividade não estava

prevista inicialmente na sequência didática dessa pesquisa, mas foi inserida pois

acreditamos que a turma precisava de um recurso a mais para determinar a equação

da reta uma vez que apresentaram muita dificuldade no desenvolvimento da atividade

14 (equação da reta por meio de dois pontos) e, além disso, sabemos que faz parte

do currículo escolar e do livro didático esse tópico da Geometria Analítica, então

incluímos essa atividade na sequência.

Na atividade 15 foi solicitado a equação da reta por meio da declividade dos

pontos A e B na forma ax + by + c = 0, assim como o determinante da matriz gerada

por esses pontos. A turma foi dividida em duplas, como nos encontros anteriores, e a

atividade foi apresentada. Fizemos a primeira linha do quadro do roteiro da atividade

15 e deixamos as outras linhas do quadro sob responsabilidade de cada dupla

participante do encontro. As duplas apresentaram, como era esperado, dificuldades

referentes ao cálculo do determinante e da declividade, sendo que somente as duplas

D6, D14 e D15 fizeram os cálculos sem problemas. O quadro preenchido mostrou-se

semelhante ao da D15:

195

Durante o momento de análise, a dupla D2 observou que “em alguns casos a

equação é igual ao determinante”, enquanto que as duplas D3, D4, D6, D8, D11, D12

e D14 declararam que “a equação geral é igual a equação do determinante” (dupla

D12). As duplas D1. D7 e D9 fizeram referência ao alinhamento, afirmando que “tanto

e equação geral, quanto o determinante, o resultado final vai ser igual a 0, quando são

alinhados” (dupla D9). Já a dupla D15 tenta explicar o processo da equação geral

quando afirmou que “a equação geral é igual ou divisora do determinante dos pontos,

pois são equações proporcionais”. As duplas D5 e D13 também faz referência a

proporcionalidade citada por D15, expressando que “o determinante pode multiplicar

a equação geral” (Dupla D5) e que as equações e os determinantes “são parecidas”

(Dupla D13). Após a socialização das observações, questionamos sobre alguns

termos utilizados nas observações das duplas, tais como, as palavras “divisora” e

“parecidas”. Os alunos explicaram que estavam se referindo as equações

equivalentes. Solicitamos a construção da conclusão, ressaltando que eles tinham que

utilizar a linguagem Matemática para sistematizar suas observações e surgiu duas

categorias de conclusões.


indicaram a equação da reta através do determinante da matriz gerada pelos pontos

da reta, sem fazer referência ao zero como um dos membros, como mostra D15:

Fonte: quadro preenchido por D15

196

A categoria de conclusão 2 da atividade 15 mostrou as duplas que

representaram a equação da reta utilizando o zero como um dos membros, como

exemplifica D10, para indicar que os pontos terão que pertencer a mesma reta.

A tabela 41 indica a distribuição das duplas nas categorias de conclusões

formadas nessa atividade.



1 Expressou a equação da reta por meio do determinante, sem igualar a zero a equação.

D4, D6, D12, D13, D15

2 Expressou a equação geral da reta por meio do determinante, igualando a equação a zero

D1, D2, D3, D5, D7, D8, D9, D10, D11, D14


.

Como todos concluíram a atividade, consideramos de ótimo rendimento a

mesma. O tempo de desenvolvimento da atividade foi de 50 minutos, sendo o tempo

de realização, por dupla, de 10 a 50 minutos.

4.16 DÉCIMO SEXTO ENCONTRO:

O décimo sexto encontro ocorreu no dia 24/11/16 em uma aula. Nesse encontro

foi trabalhado retas paralelas e perpendiculares que compreende as atividades 16 e

17. Desse encontro participaram os alunos A2 (D2), A3eA4 (D2), A5 (D3), A7eA8 (D4),

A9eA10 (D5), A11eA12 (D6), A13eA14 (D7), A15eA16 (D8), A17eA18 (D9), A19eA20

(D10), A21eA22 (D11), A23eA24 (D12), A25eA26 (D13), A27eA28 (D14).



197

4.16.1 O desenvolvimento da atividade 16

A atividade 16 denominada “Retas paralelas” teve o objetivo de descobrir uma

relação analítica entre as retas paralelas. Os alunos tinham que identificar os pares

de retas r e s, contidos no quadro de retas (apêndice G), e verificar se essas retas

eram paralelas ou não, assim como, determinar a declividade das retas r e s por meio

de suas equações. Apresentamos a atividade, ressaltando o objetivo da mesma.

Resgatamos a atividade 14, que tratou de equação da reta, devolvendo a cada dupla

a referida atividade e solicitamos que observassem os coeficientes das variáveis x e

y de cada equação e a declividade nos pontos A e B. Como uma dupla tinha percebido,

na época do desenvolvimento da atividade 14, tal relação, respondeu que “os

coeficientes de x é igual a declividade de A e B” (Dupla D8).

Nesse momento, abordamos a equação na forma reduzida e fizemos

associação com a função afim, destacando o coeficiente angular e linear, uma vez

que as retas r e s da atividade 16 e 17 estão na forma reduzida da reta. Ao explicar

os procedimentos da atividade, perguntamos a turma se alguém sabe o que são retas

paralelas. A dupla D5 tentou definir dizendo que as retas paralelas são retas que

“ficam uma em cima e outra embaixo”. Desenhamos tal representação e a partir disso,

acrescentamos que essas retas não vão ter pontos em comum. Aproveitamos a

situação e tratamos das retas concorrentes, diferenciando-as das paralelas. Nessa

atividade o quadro roteiro foi preenchido sem dificuldades e ficou similar a esse:


198

As duplas enxergaram a relação rapidamente, afirmando que “quando as retas

são paralelas as declividades são iguais” (dupla D2) e a dupla D6 a ideia observando

que “quando as retas r e s são paralelas a declividade é a mesma e em retas

concorrentes a declividade é diferente”. A dupla D3 compreendeu a relação, mas não

conseguiu expressar-se adequadamente, pois substituiu o termo “coeficiente” pelo

termo “reta” ao escrever “As retas têm o mesmo valor quando são paralelas” (dupla

D3), demonstrando pouca compreensão do conceito de reta. Os alunos socializaram

suas observações, onde a partir disso, construíram suas conclusões, formando três

categorias.


apresentaram as equações da reta e relação entre seus coeficientes angulares, no

caso das retas paralelas de forma coerente, como mostra a dupla D8, a exemplo:

A categoria de conclusão 2 da atividade 16, representada pela dupla D3,

utilizou, como recurso de representação auxiliar, a linguagem materna para concluir a

atividade:

A categoria de conclusão 3 da atividade 16 apresentou a conclusão da dupla

D6 que usou os símbolos das retas paralelas e concorrentes para finalizar sua

atividade:

A tabela 42 mostra a distribuição das duplas nas categorias formadas nessa

atividade.




199


1 Estabeleceu a relação entre os coeficientes angulares das retas paralelas, utilizando a linguagem Matemática como recurso para

representação.

D1, D2, D5, D7, D8, D9, D10, D11, D12, D14

2 Estabeleceu a relação entre os coeficientes angulares das retas paralelas, utilizando a linguagem materna como recurso auxiliar

para representação.

D3

3 Estabeleceu a relação entre os coeficientes angulares das retas paralelas, utilizando os símbolos específicos de retas paralelas e

concorrentes.

D6


Como todos conseguiram concluir suas atividades de acordo com o objetivo da

referida atividade, a consideramos de ótimo rendimento.

A atividade durou 20 minutos e o tempo de execução dela, por dupla, variou de

5 a 14 minutos. Com tínhamos tempo disponível na aula, realizamos a atividade 17.


A atividade 17 denominada “Retas perpendiculares” teve a finalidade de

“descobrir uma relação analítica entre retas perpendiculares”. A atividade 17, análoga

a atividade 16, consistia em identificar se as retas r e s, contido no quadro de retas

(apêndice H) eram perpendiculares a partir do ângulo entre elas, assim como,

identificar as declividades de r e s para, em seguida efetuar o produto desses valores.

Cada dupla recebeu seu roteiro e apresentamos a atividade. Informamos a

característica de identificação das retas perpendiculares, em relação ao ângulo entre

elas. A partir das informações dadas, as duplas preencheram a quadro do roteiro sem

dificuldades, como exemplifica o quadro da dupla D3:

200

Vale ressaltar que a 7º e 8º linhas referem-se a pares de retas paralelas, por

isso que as duplas colocaram que não existia um ângulo entre elas, outros colocaram

zero ou colocaram nada. Com base nos quadros preenchidos, as duplas observaram,

sem dificuldades, que o produto das declividades das retas r e s resultava -1, quando

as retas eram perpendiculares ao socializar que “quando as retas são perpendiculares

a multiplicação das declividades das retas r e s será igual a -1” (dupla D12) ou que

“quando as retas são perpendiculares a declividade da reta s é negativa e o produto

das declividades é -1” (dupla D6). No entanto, as duplas D1, D7, D9 e D10 não fizeram

observações escritas, mas verbalizaram a relação entre as retas perpendiculares.

Após a socialização da análise realizada, as duplas construíram suas conclusões, que

formou duas categorias.


mostraram relação entre os coeficientes angulares das retas perpendiculares por meio

da apresentação das equações, como ilustra a dupla D5 a exemplo:

A categoria de conclusão 2 da atividade 17 simbolizou a conclusão da dupla

D6 que usou os símbolos de retas perpendiculares para representar sua conclusão:

Fonte: quadro preenchido da atividade 17 por D3


201

A tabela 43 mostra a distribuição das duplas nas categorias formadas nessa

atividade.



1 Estabeleceu a relação entre os coeficientes angulares de retas perpendiculares, especificando as equações da reta.

D2, D3, D5, D7, D8, D9, D10, D11, D12, D14

2 Estabeleceu a relação entre os coeficientes angulares das retas perpendiculares com o uso dos símbolos específicos.

D6

Sem produção escrita na conclusão D1, D4


Como a maioria da turma concluiu a atividade conforme o esperado no objetivo,

consideramos que a atividade 17 teve bom rendimento. Ela durou 20 minutos. A

realização dela, por dupla, variou de 9 a 20 minutos.

4.17 DÉCIMO SÉTIMO ENCONTRO:

O décimo sétimo encontro aconteceu dia 01/12/16 em duas aulas, onde

trabalhamos a lista 5 (apêndice P), constituída de 9 questões, que tratava de retas

paralelas e perpendiculares. Contamos com a presença dos alunos A1, A2, A3, A4,

A5, A7, A8, A9, A10, A11, A12, A13, A14, A15, A16, A17, A18, A19, A20, A21, A22,

A23, A24, A25, A26, A27, A28 e A29.

Dessa lista, resolvemos as questões 1a, 2a, 3a, 4 e 6, junto com a turma. Aos

alunos para serem resolvidos em sala, foram solicitadas as questões 1b, 2b, 3c, 5 e 8

e para os alunos resolverem em casa, as questões 1c, 2c, 3c, 6 e 9.

Das questões resolvidas por nós, percebemos que a mais difícil ao

entendimento dos alunos foram as questões 3 e 4, que tratavam de determinar a

equação da reta r que passa por P e é perpendicular a reta s. Fizemos com bastante

cuidado, para que os alunos compreendessem e conseguissem fazer as questões que

são semelhantes.

Sob nossa orientação, os alunos fizeram as questões destinadas para sala,

mas se confundiram na questão 5, pois nela, que envolvia equações perpendiculares,


202

onde a partir de uma equação da reta r, pedia a equação da reta s, sendo r

perpendicular a s, os alunos se confundiam ao substituir as declividades das retas r e

s. Sobre os deveres de casa, 36% fizeram o dever todo, 6% o fez incompleto e 58%

não fizeram o dever de casa solicitado.

4.18 DÉCIMO OITAVO ENCONTRO:

O décimo oitavo encontro ocorreu no dia 03/12/16 em duas aulas onde

trabalhamos a atividade 18 e lista de questões 6, abordando a equação da

circunferência. Esse encontro teve a presença dos alunos A11eA12 (D6), A13eA14

(D7), A19eA20 (D10), A23eA24 (D12), A25eA26 (D13), A27eA28 (D14). Essa baixa

frequência deve-se ao fato de que essa aula aconteceu no sábado pela manhã – dia

que regularmente os alunos não estudam – logo alguns justificaram que não

apareceram por conta de motivos religiosos, trabalho ou por estarem fazendo cursos

de idiomas.


A atividade 18 intitulada “Equação da circunferência” teve o objetivo de

descobrir a forma da equação da circunferência. Incialmente, perguntamos se a turma

lembrava do conceito de raio e centro da circunferência e o aluno A27 informou que

era a “distância do meio até um ponto da circunferência”. A partir disso, apresentamos

os procedimentos da atividade 18, no qual as duplas deveriam identificar o centro das

circunferências, verificar as medidas do raio, considerando as unidades estabelecidas

em cada plano cartesiano, contido no quadro das circunferências (apêndice I). Além

disso, determinar a distância entre o centro e um ponto genérico pertencente a

circunferência, em função de x e y, na forma simplificada, como mostra o quadro da

dupla D6.

203

As duplas preencheram o quadro conforme as orientações. Observaram que

as variações de x e y nem sempre eram subtrações, logo as duplas D6 e D12 fizeram

comentários em torno dos sinais nos quadrantes “quando as coordenadas do centro

estão no 1º quadrante as variações de x e y serão uma subtração, no 2º quadrante a

variação de x será uma adição; no 3º quadrante a variação de x e y serão uma adição

e no 4º quadrante a variação de y será uma adição” (Dupla D12), enquanto que a

dupla D6 registrou que “em relação ao centro, quando o mesmo se encontra no II

quadrante a abscissa x será negativa e a ordenada y será positiva, entretanto, quando

estiver no III quadrante as coordenadas (x,y) será negativa”.

A dupla D14 percebeu a relação entre a distância e o raio da circunferência ao

observar que “a distância entre o centro e um ponto P (x,y) é igual ao valor do raio (r)

”. As demais duplas não registraram observações, alegando dificuldades de

entendimento da atividade, então orientamos de dupla em dupla para proporcionar

esse entendimento, chamando a atenção para o valor do raio e a distância entre o

centro e o ponto P(x,y). As duplas socializaram suas observações e a partir disso,

construíam suas conclusões, que gerou uma categoria.


expressaram a equação da circunferência na forma reduzida corretamente, como

exemplifica D14:



204

A tabela 44 mostra as duplas que construíram as conclusões conforme a

categoria formada.

Tabela 44: Categoria de Conclusão da atividade 18 N° CATEGORIAS DE CONCLUSÕES DA ATIVIDADE 18 DUPLAS

1 Expressou a equação da circunferência na sua forma reduzida corretamente

D6, D7, D10, D12, D13, D14


Como todos conseguiram concluir de acordo com a finalidade da referida

atividade, consideramos que a atividade teve ótimo rendimento. Teve a duração de

35 minutos, com o tempo de execução dela, por dupla, variando de 24 a 33 minutos.

Após essa atividade, fizemos a lista de questões 6 referente a circunferência.

4.18.2 Desenvolvimento da lista de questões 6

A lista de questões 6 (apêndice Q) tratava de questões para aprimorar os

conhecimentos sobre a equação da circunferência. Nela havia 6 questões, onde

resolvemos as questões 1 e 4, os alunos resolveram as questões 2 e 5 e para casa

ficaram as questões 3 e 6. Antes de iniciar a resolução das questões, comentamos

sobre a forma geral da equação da circunferência e fizemos uma revisão de produto

notável (quadrado da diferença e da soma), para desenvolver a equação da

circunferência. Apresentamos o procedimento para chegar na equação geral da

circunferência a partir da equação reduzida e o procedimento para encontrar a

equação reduzida a partir da equação geral da circunferência.

Ao resolver as questões, não percebemos muitas dificuldades de

entendimento, exceto a questão 4 que tratavam do conceito de tangência entre duas

circunferências e área. Demoraram para entender que a questão perguntava sobre a

área ampliada, acreditavam que a problema se referia a área circular apenas.

Chamamos a atenção para representação da situação do problema demonstrada pelo

desenho contido na questão. As questões destinadas para eles exercitarem em sala,

com nossa orientação foram feitas, sendo que a segunda no qual solicitamos a

equação da circunferência a partir do centro e o raio foi desenvolvida tranquilamente,

enquanto a quinta cujo objetivo era obter a razão entre área e o comprimento da

circunferência por meio da equação geral dela foi mais trabalhosa, pois os alunos se

perdiam quando tinham que fazer a redução da equação. Orientamos os alunos para

205

tirar as possíveis dúvidas em relação ao entendimento da questão e todos os

participantes da aula fizeram as questões propostas. Em relação ao dever de casa,

ninguém entregou o dever. Essa atividade aconteceu em aproximadamente em 45

minutos.

4.19 DÉCIMO NONO ENCONTRO:

O décimo nono encontro aconteceu dia 06/12/16 em duas aulas e teve a

presença dos alunos A2 (D1), A3eA4 (D2), A5 (D3), A7eA8 (D4), A9eA10 (D5),

A11eA12 (D6), A13eA14 (D7), A15eA16 (D8), A17 (D9), A19eA20 (D10), A21eA22

(D11), A23eA24 (D12), A26 (D13), A27eA28 (D14) e A29 (D15).

Nesse encontro trabalhamos a distância entre ponto a uma reta e fizemos um

quadro-resumo (apêndice U) das atividades anteriores, fruto de um comentário do

aluno A25 que, em encontros anteriores, sugeriu um quadro com as informações

estudadas, pois alguns alunos não registravam no caderno o que abordavam nas

atividades, logo um quadro com tais informações auxiliaria no momento de estudo em

casa. Nesse quadro-resumo colocamos três colunas: a primeira com o assunto

trabalhado, a segunda, um exemplo para ser resolvido e a última coluna um espaço

para colocar as conclusões já encontradas pela turma durante as atividades. Cada

aluno recebeu um quadro-resumo para preencher e guardar consigo. Todos

contribuíram para o preenchimento do quadro e resolveram os exemplos, exceto as

duas últimas linhas do quadro que seriam preenchidas após o desenvolvimento das

atividades 19 e 20. Depois do preenchimento do quadro-resumo, que levou

aproximadamente uns 30 minutos, iniciamos a atividade 19.


A atividade 19 teve o objetivo de descobrir a forma analítica de determinar a

distância de um ponto a reta. Os alunos, divididos em dupla, deveriam, a partir do

quadro de ponto e reta (apêndice J), identificar o ponto P(x0, y0) e o Q, pertencente a

reta r, determinar a distância entre esses pontos, encontrar os valores de

√𝑎2 + 𝑏2 𝑒 |𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦𝑜 + 𝑐|. Cada dupla recebeu seu roteiro de atividade e

apresentamos a atividade, de acordo com os procedimentos dela.

Conforme o combinado com a turma, cada dupla ficou responsável por uma

linha do quadro do roteiro da atividade 19 para preencher e socializar as informações.

As duplas geraram um quadro semelhantes ao da dupla D12

206

No momento da execução da atividade, os alunos perceberam que nas linhas

1, 3, 5, 6, 7, 8 e 10, tinham raízes quadradas não-exatas, então deixaram o resultado

em forma de raiz quadrada. O aluno A29 percebeu logo a relação e comentou que a

“a multiplicação entre a distância de P a Q e √𝑎2 + 𝑏2 é igual ao |𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦𝑜 + 𝑐|”,

explicando à turma como faria a multiplicação entre raiz não-exatas e a turma se

mostrou bastante atenta a explicação. As duplas D2, D4, D10 e D13 fizeram uma

relação com o teorema de Pitágoras ao escrever que a “multiplicação da dP,Q e o

Pitágoras obtemos o resultado no módulo |𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦𝑜 + 𝑐|” (Dupla D10), onde utilizou

a palavra Pitágoras para substituir a raiz quadrada de a² + b². Duas duplas (D1 e D3)

não registraram observações, mas com a socialização dos resultados conseguiram

entender a relação e formular uma conclusão. Para as conclusões dessa atividade

foram criadas duas categorias.

A categoria de conclusão 1 da atividade 19 representou as duplas que a partir

da relação encontrada, expressaram a distância de um ponto a reta como a razão

entre |𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦𝑜 + 𝑐| e √𝑎2 + 𝑏2, como exemplifica a dupla D10:

A categoria de conclusão 2 da atividade 19 representou a dupla D9 que

informou a relação da distância com valores |𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦𝑜 + 𝑐| e √𝑎2 + 𝑏2, sem

Fonte: quadro feito por D12


207

evidenciar a distância como razão entre esses dois valores, como coloca em sua

conclusão:

A tabela 45 mostra a distribuição das categorias de conclusões formadas na

atividade 19.



1 Expressou a distância como a razão entre os

valores |𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦𝑜 + 𝑐| e √𝑎2 + 𝑏2

D1, D2, D3, D4, D6, D8, D10, D11, D12, D14, D13, D15

2 Expressou a distância sem evidenciar a razão

entre os valores |𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦𝑜 + 𝑐| e √𝑎2 + 𝑏2

D9


Essa atividade teve ótimo rendimento, uma vez que todos conseguiram fazer

sua conclusão conforme a finalidade da atividade. A duração dela foi de 50 minutos,

com o tempo de realização, por dupla, variando de 20 a 50 minutos.

4.20 VIGÉSIMO ENCONTRO:

O vigésimo encontro aconteceu dia 07/12/16 em duas aulas, onde foi abordada

a lista de questões 7 (apêndice R), com a presença dos alunos A2, A3, A4, A8, A10,

A11, A12, A13, A14, A15, A16, A17, A18, A19, A20, A21, A23, A24, A25, A27 e A28.

Essa lista foi composta de 9 questões, que tratou de distância de um ponto a

reta. Como a maioria não estava retornando com os deveres de casa, apesar da

cobrança de nossa parte, decidimos fazer todas as questões dessa lista em sala de

aula, sendo que resolveríamos as questões 1, 4 e 7, enquanto os alunos fariam, sob

nossa orientação, as questões 2, 3, 4, 5, 6, 8 e 9.

Os alunos não demonstraram dificuldades de entendimento das questões feitas

por nós e desenvolveram o restante da lista 7 com tranquilidade, apresentando pouca

dificuldade em relação as operações com números inteiros, apenas as duplas A2, A8

e A17 apresentaram ainda essa dificuldade, que tentamos sanar.


208

4. 21 VIGÉSIMO PRIMEIRO ENCONTRO:

O vigésimo primeiro encontro ocorreu no dia 09/12/16 em duas aulas, no qual

aplicamos atividade 20 e a lista 8 referente a área de triângulo a partir das

coordenadas dos vértices. Esse encontro contou com a participação dos alunos A2

(D1), A9eA10 (D5), A11eA12 (D6), A13eA14 (D7), A15eA16 (D8), A19eA20 (D10),

A21eA22 (D11), A23eA24 (D12), A26 (D13), A27eA28 (D14).


A atividade 20 teve a finalidade de descobrir uma maneira analítica de

encontrar a área do triângulo. Organizamos a turma, solicitando como nos encontros

anteriores que os alunos permanecessem com as suas duplas, apresentamos a

atividade e seus procedimentos, nos quais os alunos deveriam identificar os vértices

do triângulo, contido no quadro de triângulos (apêndice K), a reta r que passa pelos

vértices A e C, determinar a distância do B a reta r (altura do triângulo) e a distância

entre os pontos A e C (base do triângulo), calcular a área do triângulo por meio da

fórmula (S = 𝑏

ℎ, onde b é a base e h é a altura do triângulo), assim como, calcular o

valor do determinante da matriz formada pelos vértices do triângulo para comparar e

relacionar os dois resultados (área e determinante).

Aos alunos, solicitamos que preenchessem o quadro do roteiro da atividade 20,

sendo que a primeira linha preenchemos para que relembrassem os procedimentos

para o cálculo da distância, base, altura, área e determinante. Em relação as outras

linhas, cada dupla se responsabilizou de preencher as informações referentes a uma

linha que representa um dos 10 triângulos do quadro de triângulos. A dupla D1

exemplifica o quadro preenchido:

209

As duplas D1, D7, D10 e D11 ainda apresentaram pouco domínio das

operações com números inteiros. Antes de concluir o quadro, os alunos comentaram

que “a área vai ser a metade do determinante” (Dupla 14) e completaram o quadro

afirmando que “a multiplicação da área por 2, o resultado é o mesmo do det” (dupla

D5). As duplas socializaram suas observações a turma, onde a maioria afirmou que

“quando multiplico a área do triângulo ABC por 2 obtém-se o valor do determinante”

(dupla D6). Após o momento de análise, os alunos construíram suas conclusões,

formando uma categoria de conclusão.

A única categoria de conclusão da atividade 20 mostra as duplas que

conseguiram expressar a área do triângulo como a metade do valor do determinante

da matriz gerada pelos vértices do triângulo a partir da relação encontrada nas

observações, como mostra a exemplo D10:

A tabela 46 mostra as duplas que formaram a categoria de conclusão dessa

atividade.

Fonte: quadro feito por D1 da atividade 20


210

Tabela 46: Categoria de conclusão da atividade 20

N° CATEGORIA DE CONCLUSÕES DA ATIVIDADE 20 DUPLAS

1 Expressão a área do triângulo como a metade do valor do determinante

D1, D5, D6, D7, D8, D10, D12, D11, D14


A atividade teve ótimo rendimento, visto que todos construíram suas

conclusões de acordo com a finalidade da mesma. Essa atividade durou 50 minutos,

com o tempo de execução da atividade, por dupla, variando de 35 a 50 minutos. Como

ainda tínhamos uma aula disponível, exploramos a atividade de fixação

correspondente a referida atividade.

4.21.2 Desenvolvimento da lista de questões 8

A lista de questões 8 (apêndice R), constituídas de 6 questões, teve a finalidade

de exercitar o cálculo da área do triângulo dados os vértices. Resolvemos as questões

3 e 6, enquanto os alunos resolveram as questões 1, 2, 4 e 5.

Durante a resolução, percebemos ainda dificuldade dos alunos em manipular

os pontos que estavam no 2º e 3º quadrante por conta do sinal negativo, que ao longo

da aula tentamos sanar. Apesar dessas deficiências, os alunos desenvolveram os

problemas com tranquilidade. O desenvolvimento dessa lista pelos alunos demorou

cerca de 45 minutos.

4.22 VIGÉSIMO SEGUNDO ENCONTRO:

O vigésimo segundo encontro aconteceu no dia 15/12/16 em duas aulas para

fazer uma revisão de todos os conhecimentos abordados durante o período da

experimentação. Esse encontro teve a presença dos alunos A1, A2, A3, A4, A5, A8,

A9, A10, A11, A12, A13, A15, A16, A17, A19, A20, A21, A22, A23, A24, A25, A26,

A27, A28 e A29.

Essa revisão foi realizada por meio da lista de questões 9 (apêndice K), formada

por 9 questões. À medida que íamos perguntando sobre qual assunto se tratava cada

questão, os alunos respondiam corretamente. Mostraram entendimento no que

concerne o ponto médio, distância entre dois pontos, distância de um ponto a reta,

retas paralelas, retas perpendiculares e área do triângulo, mas ainda ficavam em

dúvida, quando perguntávamos sobre equação, tanto da reta, quanto da

circunferência. Com o auxílio dos alunos que entenderam melhor o assunto, tentamos

211

tirar as possíveis dúvidas, que estavam em torno do número racional, no momento de

determinar a declividade da reta ou em torno dos produtos notáveis (ao resolver

questões relacionadas a equação da circunferência).

A questão 5 foi pouco compreendida, pois tratava da determinação da distância

a partir de duas retas paralelas quaisquer, demonstrando que eles ainda não têm

condições de resolver um problema algébrico sem auxílio. Apesar das dificuldades

ainda apresentadas, de modo geral, os alunos demonstraram ter compreendido os

assuntos abordados, o que vimos como ponto positivo para essa pesquisa.

4. 23 VIGÉSIMO TERCEIRO ENCONTRO:

O vigésimo terceiro encontro ocorreu dia 19/12/16 e correspondeu a realização

do pós-teste. No pós-teste continha as mesmas questões do pré-teste, 10 questões

acerca dos conteúdos de ponto, reta e circunferência.

4.23.1 Resultados do Pós-teste

Consideramos que E representa questões erradas relacionados com a

Geometria Analítica, A indica questões certas e B indica questões em branco. Abaixo

o rol de desempenho individual por questão:

Quadro 35: Desempenho individual dos alunos no pós-teste

ALUNO Q 1 Q 2 Q 3 Q 4 Q 5 Q 6 Q 7 Q 8 Q 9 Q 10

A1 E A B B B B B B E E

A2 A A A A A A B A A A

A3 A A B A A E B B E E

A4 A A E A A A B E A E

A5 E A B A B B E B A E

A6 B B B B B B B B E E

A7 B B B B B B B B E E

A8 B B B B B B B B A E

A9 A A B A A A E E E E

A10 E A B A A A B B A E

A11 A A A A A A E A A A

A12 A A A A A A A E A E

A13 A A B A A B B A A A

A14 A A B A A A B A A A

A15 E A B A A A B A A E

A16 E B B B B A B B E E

A17 A A B B B B B B E E

A18 A B B A E B B B E E

A19 E A B E A E E A A E

212

A20 A A B A A A B B A A

A21 A E B E E E B B A A

A22 A A B A A E B B A A

A23 A A B A A A A A A A

A24 A A B A A B B A E A

A25 A A E A E A B B A A

A26 A A A A A A B A A A

A27 A A B A A A E A A E

A28 A A E B A A E E E E

A29 A A B A B E B B A A


O pós-teste teve 49% de questões certas, 20% de questões erradas e 31% de

questões em branco, de acordo com o quadro 36:

Quadro 36: Resultados do Pós-teste por questão

QUESTÕES

ACERTOS ERROS EM BRANCO

Valor Absoluto

% Valor Absoluto

% Valor Absoluto

%

1ª questão 20 69% 6 20% 3 10% 2ª questão 23 79% 1 3% 5 17%






O gráfico 51 traz as informações para comparação dos números de

acertos, de erros e de questões deixadas em branco no pós-teste.

213

Ao observar o gráfico 51, verificamos que a quantidades de acertos é superior

ou iguais aos erros em cada questão, exceto na 7ª, que trabalha a equação da reta e

na 10ª questão, que trata da equação da circunferência.

4.23.2 Tempo de realização das atividades

Após o desenvolvimento da sequência didática, fizemos um levantamento do

tempo de realização das atividades de abordagem dos conteúdos trabalhados, o que

gerou a tabela 47:

Tabela 47: Tempo de realização das atividades

Atividades Tempo de realização da atividade, em

minutos

Tempo mínimo de realização

da atividade, por dupla,

em minutos

Tempo máximo de realização

da atividade, por dupla,

em minutos

Média do tempo de realização da

atividade, por dupla, em minutos

1.Localização de pontos na sala de

aula

30 3 15 9

2.Localização de pontos no xadrez

20 3 12 8

3.Plano cartesiano

40 10 35 30

4.Pontos sobre o eixo x

20 3 15 8

5.Pontos sobre o eixo y

15 3 14 7

6.Ponto médio 50 15 40 30 7.Baricentro 35 10 30 20

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

1ªquestão

2ªquestão

3ªquestão

4ªquestão

5ªquestão

6ªquestão

7ªquestão

8ªquestão

9ªquestão

10ªquestão

Gráfico 51: Resultados no Pós-teste por questão

Acertos Erros Em branco


214

8.Condição de alinhamento de 3

pontos

60 17 55 35

9.Distância entre dois pontos com

as mesmas abscissas

30 10 28 15

10.Distância entre dois pontos com

as mesmas ordenadas

15 5 14 8

11.Distância entre dois pontos quaisquer

45 10 43 26

12.Declividade da reta

40 10 37 23

13.Declividade em pontos distintos e

colineares

40 25 40 35

14.Equação da reta por meio da

declividade

50 10 50 37

15.Equação da reta por meio do

determinante

50 10 50 36

16.Retas paralelas 20 5 14 9 17.Retas

perpendiculares 20 9 20 15

18.Equação da circunferência

35 24 33 28

19.Distância de um ponto a reta

50 20 50 40

20.Área do triângulo

50 35 50 42


De modo geral, o tempo de realização das atividades oscilou no decorrer do

processo de experimentação, no entanto quando consideramos as atividades com o

mesmo grau de dificuldade, como a 3, 4 e 5, esse tempo decai ou se mantém

constante, como aconteceu com as atividades 19 e 20. O gráfico 52, mostra com mais

clareza tal afirmação.

215


O gráfico 52 destaca as atividades que possuem o mesmo grau de dificuldade,

ou seja, atividades contendo assuntos similares ou assuntos que se complementam –

como 19 e 20, que se completam, pois, para encontrar a área do triângulo (at. 20)

necessitou da distância de um ponto a reta (at. 19). Nesse sentido, separamos as

atividades por grupo (de A a H), onde o grupo A tem as atividades 1 e 2; grupo B, as

atividades 3, 4 e 5; grupo C, as atividades 6 e 7; grupo D, as atividades 9, 10 e 11;

grupo E, as atividades 12 e 13; grupo F, as atividades 14 e 15; grupo G, as atividades

16 e 17 e o grupo H tem as atividades 19 e 20. Percebemos que, em relação ao tempo

das atividades (linha azul), há uma redução de tempo nos grupos A, B e C e se

manteve constante nos grupos E, F, G e H. Apenas no grupo D houve uma oscilação,

0

10

20

30

40

50

60

70

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Gráfico 52: Tempo de realização das atividades de abordagem dos conteúdos em geometria analítica

Tempo de realização da atividade

Tempo mínimo de realização da atividade, por dupla

Tempo máximo de realização da atividade, por dupla

Média do tempo de realização da atividade, por dupla

A

B

C

D

E

F

G

H

216

isso aconteceu porque na atividade 11 exigiu-se mais cálculos aritméticos do que nas

atividades 9 e 10.

Em relação a média de tempo de realização das atividades por dupla (linha

amarela) houve um decrescimento de tempo nos grupos A, B e C, o tempo se manteve

constante no grupo H, houve uma alternância no grupo D e nos grupos E, F, G e H

tive um crescimento de tempo de realização das atividades cujos desenvolvimentos

exigiam mais operações aritméticas para alcançar as conclusões esperadas, do que

as outras, por isso esse fator crescente. Os tempos mínimos e máximos de execução

das atividades, por dupla, foram proporcionais na maioria das atividades.

Sobre a lista de questões abordadas nessa sequência, o tempo foi quase

constante, geramos o gráfico 53:

A maioria das listas teve duração de 90 minutos e um tempo médio 75 minutos

de realização, com moda estatística de 90 minutos. Essa duração se deve as

dificuldades que os alunos apresentaram em resolver as questões, pois algumas delas

exigiam conhecimentos prévios, tais como, teorema de Pitágoras, determinante,

radiciação e operações com números inteiros, que se apresentaram como obstáculos

de aprendizagem durante a experimentação.

Diante desse quadro, podemos dizer que a sequência didática experimentada

teve um aproveitamento bom em relação ao tempo de realização, proporcional ao

tempo gasto por Segura (2013) em sua pesquisa, que afirmou ter levado 24 aulas para

executar sua sequência de 15 atividades, com auxílio de tecnologia (Geogebra) e o

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Gráfico 53: Tempo de realização das listas de questões da experimentação

Tempo de realização, em minutos Tempo disponível para essas atividades


217

declarado pelos professores consultados na etapa de análises prévias, no qual

apontaram uma média de 24 aulas para trabalhar os assuntos da Geometria Analítica.

4.24. ENCONTRO PARA AVALIAÇÃO DAS ATIVIDADES

Após o pós-teste fizemos uma avaliação com os alunos sobre a

experimentação, onde eles apontaram os pontos positivos, os pontos negativos e

estabeleceram uma nota às atividades desenvolvidas.

Os alunos atribuíram uma nota, em média, 9,0 às atividades, em uma escala

de 0 a 10. Dentre os pontos positivos, apontaram a fácil compreensão, auxílio na

orientação espacial, a interatividade entre os alunos e aplicabilidade do conceito de

matriz na Geometria Analítica. Entre os pontos negativos, destacaram a demora,

fazendo referência a atividade 3, e que algumas foram complicadas e trabalhosas, ao

tratar das atividades 19 e 20.

Em relação as listas de questões, considerando as notas dadas, tiveram média

9,0, apontando como pontos positivos o auxílio para resolução de questões do

vestibular e aplicabilidade dos assuntos estudados, já entre os pontos negativos,

estão a complexidade das questões, avaliando como difíceis. Solicitamos aos alunos

um comentário sobre a sequência didática e tivemos declarações de que apesar das

dificuldades apresentadas durante a experimentação, conceituaram como ótimas as

atividades, sendo que um deles expressou que a sequência didática experimentada

foi “fácil de aprender, dinâmico, envolve trabalho em equipe, o único problema foi que

demorou muito. Embora a demora, o método é mais eficaz do que o tradicional” (aluno

A29), onde o tradicional para ele é a aula que começa pelos conceitos e propriedades

e depois exemplos. Essa demora que o aluno se refere foi ao período de

experimentação, que aconteceu por conta dos problemas físico-estruturais e

administrativos que a escola apresentou, algumas paralisações dos professores,

assim como, o período de revisão ao Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM), pois

nesses momentos tivemos que transferir as aulas, o que estendeu esse período.

Ao descrever as atividades, sistematizar e apresentar os resultados da

sequência didática experimentada, vamos para as análises a posteriori, comparando

com as análises a priori para a validação (ou não) da sequência didática.

218

5 ANÁLISE A POSTERIORI E VALIDAÇÃO

Essa seção é destinada à análise a posteriori e validação, cuja finalidade é

analisar o conjunto de resultados obtidos na aplicação da referida sequência didática,

com base nos registros das atividades realizadas pelos alunos, nos registros feitos

por nós sobre nossas impressões, enquanto pesquisadores do desenvolvimento do

experimento didático, avaliando os pontos positivos e negativos da sequência aplicada

e compará-la com as análises a priori realizadas.

Para validação da pesquisa utilizamos técnicas estatísticas, como o teste de

hipóteses e a correlação de Pearson e análises de tabelas para encontrar (ou não)

correlações entre as informações fornecidas pelos participantes com os resultados

obtidos durante o processo de experimentação. Além disso, consideramos os

registros das atividades realizadas pelos alunos participantes da pesquisa e o diário

de campo produzido por nós para obtenção de resultados.

Para iniciar essa análise, consideramos o teste de hipóteses para validação de

que, com a aplicação da sequência didática houve uma melhora no desempenho dos

alunos em Geometria Analítica.

5.1 TESTE DE HIPÓTESES

O teste de hipóteses tem como finalidade provar que a hipótese da pesquisa é

válida. Segundo Levin e Fox (2004) para utilizar o teste de hipóteses é preciso fazer

o teste unilateral para duas medições da mesma amostra. Logo, devemos determinar

quem é a nossa hipótese nula, ou seja, a hipótese que é a contrária a hipótese de

pesquisa. A partir da razão entre as diferenças das médias e o erro do desvio-padrão

das médias (𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜), faremos a comparação com 𝑡𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎𝑑𝑜 , conforme Levin e Fox

(2004, p. 465) para realizar o referido teste.

Logo, denotamos M1 a média obtida pelas notas dos alunos no pré-teste e M2

a média obtida pelas notas dos alunos no pós-teste, sendo que nossa hipótese de

pesquisa é que M2>M1. Portanto, adotamos nossa hipótese nula (M1 ≥ M2), ou seja,

o desempenho matemático dos alunos não melhora após a aplicação da sequência

didática da Geometria Analítica, enquanto que nossa hipótese de pesquisa (M1<M2)

indica que houve uma melhora no desempenho matemático dos alunos após a

sequência didática da Geometria Analítica.

219

Para efetuar o teste de hipóteses, precisamos encontrar o valor de tcalculado para

comparar com ttabelado, conforme Levin e Fox(2004, p. 241) que afirma se tcalculado< -

ttabelado, então a hipótese nula será rejeitada.

Para determinar o valor de tcalculado, consideramos as notas dos alunos nos dois

testes. Os testes foram compostos por 10 questões, onde cada questão valia 1 ponto,

logo, a nota está no intervalo de 0 a 10, no qual gerou a tabela 48:

Tabela 48: Desempenho nos testes e a diferença entre as notas

Alunos Notas no Pre- (X1)

Notas no Pós-(X2)

Diferença das notas (D) D²

A1 0 1 1 1

A2 0 9 9 81

A3 0 4 4 16

A4 0 6 6 36

A5 0 3 3 9

A6 0 0 0 0

A7 0 0 0 0

A8 0 1 1 1

A9 0 5 5 25

A10 0 5 5 25

A11 2 9 7 49

A12 2 8 6 36

A13 0 7 7 49

A14 0 8 8 64

A15 0 5 5 25

A16 0 1 1 1

A17 0 2 2 4

A18 0 2 2 4

A19 0 4 4 16

A20 0 7 7 49

A21 0 3 3 9

A22 0 6 6 36

A23 0 9 9 81

A24 0 6 6 36

A25 0 6 6 36

A26 1 9 8 64

A27 0 7 7 49

A28 0 4 4 16

A29 0 5 5 25


A partir dos dados da tabela 48, vamos calcular a média do Pré-teste (M1) e a

média do Pós-teste (M2), conforme abaixo:

220

𝑀1 =∑ 𝑋1

𝑛=

5

29≅ 0,2 𝑒 𝑀2 =

∑ 𝑋2

𝑛=

142

29≅ 4,9

O desvio-padrão das diferenças de notas (SD) é dado por:

𝑆𝐷 = √∑ 𝐷2

𝑛− (𝑀1 − 𝑀2)2 ≅ √

828

29− (0,2 − 4,9)2 = √6,4 ≅ 2,5

O erro padrão(𝑆�̅�) da diferença entre as notas do Pré- e Pós-teste, conforme

Levin e Fox (2004) é dado por:

𝑆�̅� =𝑆𝐷

√𝑛 − 1=

2,5

√28≅ 0,47

O valor de tcalculado é dado por:

𝑡 = 𝑀1 − 𝑀2

𝑆�̅�=

0,2 − 4,9

0,47≅ −10

Antes de comparar tcalculado com ttabelado, precisamos encontrar o grau de

liberdade (𝐺𝑙) dado por 𝐺𝑙 = 𝑛 − 1 = 28, onde n = 29 (nº de alunos participantes) e o

nível de significância, que Levin, Fox (2004) recomenda 0,05 para pesquisas na área

de ciências sociais e humanas. Portanto, ttabelado = 1,701, o que rejeita a hipótese nula,

uma vez que 𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜(−10) < −𝑡𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎𝑑𝑜(−1,701) e assim vale a hipótese da

pesquisa que indica que houve uma melhora no desempenho dos alunos após a

aplicação da sequência didática da Geometria Analítica.

4.1 CORRELAÇÕES DE PEARSON

A correlação de Pearson (r) é um coeficiente que estabelece um nível de

relação entre variáveis analisadas cujo valor de r varia entre -1 a +1. Conforme Levin

e Fox (2004, p.335) “Com auxílio do coeficiente de Pearson (r) podemos determinar a

intensidade e a direção entre as variáveis x e y”, onde dependendo de r, a relação

entre as variáveis apontará a uma direção, como indica a tabela 49:

Tabela 49: Intensidade dos coeficientes de Pearson ( r )

Coeficiente de Pearson (r) Intensidade e direção

-1 Correlação negativa perfeita

(-1; -0,6] Forte correlação negativa

(-0,6; -0,3] Correlação negativa moderada

(-0,3; -0,1] Fraca correlação positiva

(-0,1; 0,1) Não há correlação

[0,1; 0,3) Fraca correlação positiva

221

[0,3; 0,6) Correlação positiva moderada

[0,6; 1) Forte correlação positiva

1 Correlação positiva perfeita

Fonte: Adaptada de Levin e Fox (2004, p. 234)

Logo, usamos a correlação de Pearson para verificar relações (ou não) entre

variáveis sociais (variável x) e a diferença de notas do Pré-teste e Pós-teste (variável

y), já que entendemos essa diferença como a evolução dos alunos em relação as

notas. As variáveis sociais escolhidas foram “escolaridade dos responsáveis”,

“afinidade pela Matemática”, “Frequência de estudo em Matemática”, “dificuldades em

Matemática”, “distração nas aulas”, “auxílio nas tarefas de casa”, “rede de ensino do

nível fundamental dos alunos” e “notas em Matemática” – retirado entre as notas do

primeiro semestre (conforme o diário de classe da turma).

O quadro 37 mostra os valores utilizados a parametrização da variável

“escolaridade dos responsáveis”.

Quadro 37: Parametrização da escolaridade dos responsáveis

Escolaridade dos responsáveis Valor parametrizado

Sem escolaridade ou sem resposta 1

Nível fundamental completo ou incompleto 2

Nível médio completo ou incompleto 3

Nível superior completo ou incompleto 4 Fonte: adaptado Silva(2015)

A tabela 50 mostra as colunas que serão utilizadas para efetuar a correlação r

entre a variável “escolaridade dos responsáveis” e a diferença de notas.

Tabela 50: Escolaridade dos responsáveis (valores parametrizados) x Diferença de Notas

Alunos Escolaridade dos responsáveis Diferença das notas

A1 3 1

A2 3 9

A3 2 4

A4 3 6

A5 3 3

A6 3 0

A7 3 0

A8 3 1

A9 1 5

A10 4 5

A11 3 7

A12 3 6

222

A13 2 7

A14 1 8

A15 3 5

A16 1 1

A17 3 2

A18 3 2

A19 1 4

A20 4 7

A21 3 3

A22 3 6

A23 4 9

A24 1 6

A25 1 6

A26 3 8

A27 3 7

A28 4 4

A29 3 5


O quadro 38 mostra os parâmetros utilizados para variável “afinidade pela

Matemática”.

Quadro 38: Parametrização da Afinidade pela Matemática

Afinidade Valor parametrizado

Não gosta de Matemática 1

Gosta pouco de Matemática 2

Gosta muito de Matemática 3 Fonte: adaptado Silva(2015)

A tabela 51 mostra as colunas que serão utilizadas no cálculo da correlação

entre a variável “afinidade pela Matemática” e a diferença de notas.

Tabela 51: Afinidade pela Matemática (valores parametrizados) x Diferença de Notas

Alunos Afinidade pela Matemática Diferença das notas

A1 1 1

A2 2 9

A3 2 4

A4 2 6

A5 2 3

A6 2 0

A7 2 0

A8 2 1

A9 2 5

A10 2 5

A11 3 7

A12 2 6

A13 2 7

223

A14 2 8

A15 3 5

A16 1 1

A17 2 2

A18 2 2

A19 2 4

A20 1 7

A21 2 3

A22 3 6

A23 2 9

A24 3 6

A25 2 6

A26 2 8

A27 3 7

A28 2 4

A29 2 5


O quadro 39 Apresenta os parâmetros da variável “frequência de estudo”.

Quadro 39: Parametrização da Frequência de estudo em Matemática

Frequência de estudo Valor parametrizado

Véspera de prova ou somente em sala de aula 1

Período de prova 2

Fins de semana 3

Alguns dias da semana 4 Fonte: adaptado Silva (2015)


entre a variável “frequência de estudo” e a diferença de notas.

Tabela 52: Frequência de estudos (valores parametrizados) x Diferença de Notas

Alunos Frequência de estudos Diferença das notas

A1 1 1

A2 4 9

A3 1 4

A4 1 6

A5 3 3

A6 1 0

A7 1 0

A8 2 1

A9 2 5

A10 3 5

A11 4 7

A12 4 6

A13 4 7

A14 4 8

224

A15 1 5

A16 2 1

A17 1 2

A18 2 2

A19 4 4

A20 2 7

A21 4 3

A22 4 6

A23 4 9

A24 1 6

A25 4 6

A26 1 8

A27 4 7

A28 4 4

A29 4 5


O quadro 40 mostra os parâmetros da variável “dificuldades em Matemática”.

Quadro 40: Parametrização da Dificuldade em Matemática

Dificuldades em Matemática Valor parametrizado

Muita dificuldade 1

Um pouco de dificuldade 2

Não tem dificuldade 3 Fonte: adaptado Silva (2015)

A tabela 53 fornece as colunas que serão utilizadas no cálculo da correlação

entre a variável “dificuldade em Matemática” e a diferença de notas.

Tabela 53: dificuldade em Matemática (valores parametrizados) x Diferença de Notas

Alunos Dificuldade em Matemática Diferença das notas

A1 2 1

A2 3 9

A3 2 4

A4 2 6

A5 2 3

A6 2 0

A7 1 0

A8 2 1

A9 2 5

A10 2 5

A11 2 7

A12 2 6

A13 2 7

A14 2 8

A15 3 5

A16 2 1

225

A17 2 2

A18 2 2

A19 2 4

A20 1 7

A21 2 3

A22 2 6

A23 2 9

A24 3 6

A25 2 6

A26 2 8

A27 3 7

A28 3 4

A29 3 5


O quadro 41 apresenta os parâmetros da variável distração nas aulas de

Matemática.

Quadro 41: Parametrização da Distração nas aulas de Matemática

Distração nas aulas Valor parametrizado

Sim (ou sem resposta) 1

Ás vezes 2

Não 3 Fonte: adaptado Silva (2015)


entre a variável “distração nas aulas” e a diferença de notas

Tabela 54: Distração nas aulas (valores parametrizados) x Diferença de Notas

Alunos Distração nas aulas Diferença das notas

A1 3 1

A2 1 9

A3 1 4

A4 1 6

A5 2 3

A6 1 0

A7 3 0

A8 3 1

A9 1 5

A10 2 5

A11 3 7

A12 3 6

A13 1 7

A14 1 8

A15 3 5

226

A16 1 1

A17 2 2

A18 2 2

A19 1 4

A20 1 7

A21 1 3

A22 2 6

A23 3 9

A24 1 6

A25 3 6

A26 3 8

A27 2 7

A28 3 4

A29 3 5


O quadro 42 fornece os parâmetros da variável “auxílio nas tarefas de casa em

Matemática”.

Quadro 42: Parametrização do auxílio nas tarefas de casa de Matemática

Auxílio nas tarefas de casa Valor parametrizado

Não tem auxílio 1

Recebe auxílio de parentes ou amigos 2

Recebe auxílio especializado 3 Fonte: adaptado Silva (2015)

A tabela 55 apresenta as colunas que serão utilizadas no cálculo da correlação

entre a variável “auxílio nas tarefas de casa de Matemática” e a diferença de notas.

Tabela 55: Auxílio nas tarefas de casa de Matemática (valores parametrizados) x Diferença de Notas

Alunos Auxílio nas tarefas de casa de Matemática

Diferença das notas

A1 1 1

A2 1 9

A3 1 4

A4 1 6

A5 1 3

A6 1 0

A7 1 0

A8 1 1

A9 1 5

A10 1 5

A11 1 7

A12 1 6

A13 2 7

A14 2 8

A15 4 5

227

A16 1 1

A17 1 2

A18 1 2

A19 1 4

A20 1 7

A21 4 3

A22 2 6

A23 2 9

A24 1 6

A25 1 6

A26 1 8

A27 1 7

A28 1 4

A29 1 5


O quadro 43 apresenta os parâmetros da variável “rede de ensino no nível

fundamental”.

Quadro 43: Parametrização da rede de ensino no nível fundamental

Rede de ensino do nível fundamental Valor parametrizado

Municipal 1

Estadual 2

Particular 3 Fonte: pesquisa de campo (2016)


entre a variável “rede de ensino no nível fundamental” e a diferença de notas.

Tabela 56: Rede de ensino no nível fundamental (valores parametrizados) x Diferença de Notas

Alunos Rede de ensino no nível fundamental

Diferença das notas

A1 3 1

A2 2 9

A3 2 4

A4 3 6

A5 3 3

A6 2 0

A7 1 0

A8 3 1

A9 3 5

A10 3 5

A11 3 7

A12 3 6

A13 3 7

A14 1 8

A15 2 5

228

A16 2 1

A17 2 2

A18 2 2

A19 2 4

A20 2 7

A21 2 3

A22 2 6

A23 2 9

A24 1 6

A25 2 6

A26 2 8

A27 2 7

A28 2 4

A29 2 5 Fonte: pesquisa de campo (2016)

O quadro 44 fornece os parâmetros da variável “notas em Matemática”. Quadro 44: Parametrização das Notas em Matemática

Notas em Matemática Valor parametrizado

Geralmente abaixo da média 1

Na média 2

Geralmente acima da média 3 Fonte: adaptado Silva (2015)


entre a variável “Notas em Matemática” e a diferença de notas.

Tabela 57: Notas em Matemática (valores parametrizados) x Diferença de Notas

Alunos Notas em Matemática Diferença das notas

A1 1 1

A2 3 9

A3 2 4

A4 3 6

A5 3 3

A6 3 0

A7 2 0

A8 3 1

A9 3 5

A10 3 5

A11 3 7

A12 3 6

A13 3 7

A14 1 8

A15 3 5

A16 3 1

A17 2 2

229

A18 3 2

A19 3 4

A20 3 7

A21 1 3

A22 2 6

A23 3 9

A24 3 6

A25 3 6

A26 2 8

A27 3 7

A28 3 4

A29 3 5


Após a parametrização, com auxílio do programa Microsoft Office Excel,

utilizamos a função correl(matriz1;matriz2) para calcular as correlações de Pearson

(r). A tabela 58 indica a classificação da correlação de acordo com o valor de r

encontrado.

Tabela 58: Correlações entre a diferença de notas e as variáveis socioeconômicas

Variável socioeconômica Correlação de Pearson (r)

Classificação da Correlação

Escolaridade dos responsáveis 0,01 Nenhuma correlação

Afinidade pela Matemática 0,33 Fraca positiva Frequência de estudo em Matemática 0,51 Moderada positiva

Dificuldade em Matemática 0,31 Fraca positiva

Distração nas aulas -0,06 Fraca negativa

Auxílio nas tarefas de casa 0,2 Fraca positiva Rede de ensino no nível fundamental 0,07 Fraca negativa

Notas em Matemática 0,21 Fraca positiva Fonte: Pesquisa de campo (2016)

Ao observar os resultados das correlações, nenhuma obteve a classificação

forte, logo não podemos afirmar que essas variáveis interferem relevantemente nos

resultados dos alunos nos testes. No entanto, a variável frequência de estudo em

Matemática obteve a maior correlação, enquadrando-se na classificação moderada

positiva, o que pode indicar alguma relação entre a frequência de estudos e a

diferença de notas. Diante desses dados, nos questionamos se a frequência nos

encontros da experimentação influenciou nos resultados do pós-teste. Logo utilizamos

a correlação de Pearson (r) entre o número de presença dos alunos na

experimentação e a nota no pós-teste, o que gerou a tabela 59:

230

Tabela 59: Presenças nas aulas da experimentação x Notas no Pós-teste

Alunos Nº de Presenças nas aulas Notas no Pós-teste

A1 12 1

A2 20 9

A3 19 4

A4 19 6

A5 17 3

A6 11 0

A7 13 0

A8 16 1

A9 19 5

A10 19 5

A11 21 9

A12 21 8

A13 21 7

A14 19 8

A15 19 5

A16 18 1

A17 17 2

A18 13 2

A19 19 4

A20 20 7

A21 19 3

A22 18 6

A23 20 9

A24 20 6

A25 15 6

A26 18 9

A27 21 7

A28 20 4

A29 13 5


Ao calcular o valor de r, encontramos r = 0,69, classificando a correlação em

forte positiva, ou seja, existe uma forte relação entre a frequência nas aulas com os

resultados no pós-teste. Para visualizar com mais clareza, geramos o gráfico 54:

231

O gráfico 54 representa a dispersão entre a frequência dos alunos na

experimentação (variável x) e as notas no pós-teste (variável y) e nos indica uma

tendência a uma reta crescente, ou seja, um indicativo de que se os alunos fossem

mais frequentes nas aulas, os resultados no referido teste seriam melhores. Os

indicadores do teste de hipótese e das correlações apontam para uma sequência

didática válida ao ensino da Geometria Analítica, uma vez que os alunos, apesar dos

obstáculos para aprendizagem, melhoraram seus desempenhos em relação aos

resultados apresentados durante o desenvolvimento das atividades, como veremos a

seguir nas análises a posteriori das atividades.

5.3 ANÁLISE A POSTERIORI DAS ATIVIDADES APLICADAS DURANTE A

EXPERIMENTAÇÃO

Após os resultados da experimentação e apresentação de resultados a partir

das informações produzidas ao longo do processo de experimentação da sequência

didática, algumas análises a posteriori foram feitas acerca das atividades. Nesse

momento, a partir do rendimento da atividade e da produção de conclusões conforme

os objetivos de cada atividade (denominaremos de conclusões válidas), validaremos

positiva ou negativamente as atividades.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 5 10 15 20 25

Gráfico 54: Dispersão entre notas em função da presença

frequência de participação na experimentação


No

tas

do

s al

un

os

no

pó

s-te

ste

232

5.3.1 Sobre as atividades de abordagem dos conteúdos em Geometria Analítica

Das atividades exploratórias sobre a localização dos alunos em sala de aula,

verificamos que os alunos conseguiram perceber a importância de determinar um

ponto com no mínimo duas informações para localizar objetos, logo todas as

respostas foram consideradas válidas. Em relação a atividade de localização do

tabuleiro de xadrez, verificamos que os alunos conseguiram desenvolver as atividades

com sucesso e discutiram positivamente acerca a importância das coordenadas para

determinação de qualquer objeto, portanto consideramos todas as respostas válidas.

Em relação a atividade 3, observamos que a metade da turma tinha dificuldades

em marcar pontos no plano. Desses alunos, 43% demonstraram falta de compreensão

do conceito de ponto, enquanto que 57% erraram a marcação dos pontos ao

confundirem o eixo das abscissas com o eixo das ordenadas. Apesar dessas

dificuldades iniciais, os alunos conseguiram desenvolver essa atividade com 77% de

conclusões válidas. Sobre a atividade 4, 80% dos participantes construíram

conclusões válidas, demonstrando entendimento acerca da coordenada do ponto

quando está sobre o eixo das abscissas. De modo similar, aconteceu com a atividade

5 visto que 80% dos participantes elaboraram conclusões válidas, indicando que

compreenderam as condições dos pontos sobre o eixo das ordenadas.

Referente a atividade 6, embora alguns alunos apresentassem dificuldades em

construir o plano cartesiano, assim como marcar os pontos no plano, a atividade teve

bom rendimento, já que teve 77% das conclusões válidas, demonstrando o

entendimento sobre a determinação das coordenadas do ponto médio. Acerca da

atividade 7, podemos afirmar que o rendimento dela também foi bom, pois 85% das

conclusões foram consideradas válidas, indicando que a maioria dos alunos

entenderam como determinar as coordenadas do baricentro de um triângulo.

A atividade 8 não teve um bom rendimento, pois o índice de conclusões válidas

foi apenas de 17%, enquanto 83% dos participantes não registraram conclusões, o

que fez considerarmos tal atividade complexa, sendo que essa complexidade se deve

aos necessários conhecimentos prévios como o uso do determinante e das operações

com números inteiros relativos, que a maioria apresentou pouco domínio.

Em relação a atividade 9, os alunos, de modo geral, tiveram bom rendimento,

pois a maioria alcançou a finalidade da atividade e 67% das duplas produziram

conclusões válidas, demonstrando entendimento na determinação da distância entre

dois pontos com as mesmas abscissas. A atividade 10 proporcionou bom rendimento

233

aos alunos, uma vez que teve 67% de conclusões válidas, apontando boa

compreensão acerca da distância entre dois pontos com as mesmas ordenadas.

Sobre a atividade 11, apesar da dificuldade, apresentada pelos alunos, no momento

de calcular as variações e seus quadrados por conta do pouco domínio em relação as

operações com números inteiros, todos participaram e conseguiram alcançar o

objetivo da atividade, apresentando 100% de conclusões válidas e demonstrando que

a maioria dos alunos compreenderam como determinar a distância entre dois pontos

quaisquer.

A atividade 12 teve ótimo rendimento, pois os alunos alcançaram a finalidade e

teve 100% de conclusões válidas, indicando que todos os participantes entenderam

como encontrar a declividade da reta. A atividade 13 teve bom rendimento, visto que

a maioria atingiu o objetivo da atividade e produziram 85% das conclusões válidas,

apontando um entendimento sobre a relação entre as declividades de pontos distintos

e colineares. A atividade 14, determinação da equação por meio da declividade entre

dois pontos, não teve bom rendimento uma vez que 15% apenas conseguiu produzir

conclusões válidas, enquanto que 85% não registraram conclusões. Os alunos que

não registraram conclusões demonstraram pouco domínio com as operações dos

números inteiros e na manipulação de uma equação, o que se mostraram como

obstáculos para a compreensão e alcance a finalidade da atividade. Em contrapartida,

a atividade 15, que trabalhou a equação da reta por meio do determinante, teve ótimo

rendimento, pois todos os alunos chegaram na finalidade da atividade e tiveram 100%

de conclusões válidas, demonstrando entendimento acerca do assunto.

A atividade 16 teve ótimo rendimento, uma vez que todos os alunos

participantes conseguiram perceber a relação entre os coeficientes angulares das

retas paralelas, produzindo 100% de conclusões válidas. A atividade 17 obteve 85%

de conclusões válidas, indicando que a maioria dos alunos identificou a relação entre

os coeficientes angulares das retas perpendiculares.

A atividade 18 teve ótimo rendimento, com 100% de conclusões válidas,

mostrando que os alunos participantes conseguiram encontrar a equação da

circunferência por meio da distância entre um ponto qualquer da circunferência ao seu

centro.

A atividade 19 teve ótimo rendimento, obteve 100% de conclusões válidas, pois

os alunos conseguiram encontrar a expressão que determina a distância de um ponto

qualquer a uma reta, embora alguns alunos tenham apresentado dificuldades com

234

cálculos envolvendo radicais. A atividade 20 obteve 100% de conclusões válidas e

ótimo rendimento, já que todos os alunos conseguiram encontrar a expressão da área

de um triângulo por meio de seus vértices, no entanto alguns alunos apresentaram

dificuldades no desenvolvimento dos cálculos envolvendo divisão para se chegar a

relação desejada, mas não se tornou um obstáculo, uma vez que esses alunos, à

medida que faziam os cálculos, dissipavam essas dúvidas. De modo geral, as

atividades de abordagem de conteúdos da Geometria Analítica proporcionaram, aos

alunos, momentos de construção de conhecimentos visto que, por meio da

experimentação, os alunos puderam testar, verificar e redescobrir as relações

numéricas em propriedades relacionando com assuntos matemáticos trabalhados

durante as atividades, assim como, verificar como os procedimentos aritméticos e

algébricos funcionam para obtenção da equação da reta ou da circunferência.

4.3.2 Sobre as atividades de fixação

Como foi mencionado na etapa de concepção e análise a priori, as listas de

questões tiveram a finalidade de aprofundar sobre as informações obtidas durante as

atividades de abordagem de conteúdos, além de auxiliar os alunos na resolução do

teste final da experimentação. Em relação a primeira lista de questões, verificamos

que os alunos, embora as dificuldades apresentadas, em relação a determinação de

pontos e a não recordação de assuntos do ensino fundamental, tais como o teorema

de Pitágoras e trapézio isósceles, os alunos desenvolveram bem a lista. Contudo

observamos a pouca incidência de retorno em relação aos deveres de casa feito

completamente, o que é compreensível, uma vez que a maioria deles não têm auxílio

em casa, como declararam no primeiro encontro.

Sobre a lista 2, podemos dizer que apesar das dificuldades apresentadas nas

atividades de alinhamento entre três pontos, os alunos conseguiram entender e

resolver os problemas relacionados com esse assunto, da mesma forma, que

demonstraram entendimento sobre o ponto médio e baricentro. Nessa atividade, os

alunos retornaram com 58% dos deveres de casa completo, um índice superior ao da

lista anterior. Na lista 3, os alunos conseguiram realizar as questões solicitadas,

apesar das dificuldades no entendimento de escala.

Em relação a lista 4, os alunos apresentaram dificuldades em encontrar a

declividade para determinar a equação, mas à medida que eles exercitavam, as

questões ficavam mais claras e eles conseguiam resolver, o que entendemos como

235

positivo a esta atividade, uma vez que a lista 4 foi feita para aprimorar a atividade de

equação da reta, que eles não compreenderam bem. Já a lista 5, observamos que os

alunos conseguiram resolver as questões solicitadas de modo coerente com que foi

abordado durante as atividades de retas paralelas e perpendiculares, apontando

dificuldade em manipular as equações perpendiculares. Nesse caso, 36% dos alunos

fizeram o dever de casa completamente.

Sobre a lista 6, os alunos demonstraram entendimento sobre os problemas de

equação da circunferência, de modo geral, e fizeram com tranquilidade as questões

solicitadas. No entanto, não deram retorno em relação ao dever de casa, pois ninguém

entregou as questões solicitadas para casa. Os alunos participantes fizeram a lista 7

com segurança e com pouca dificuldade, apontando apenas as operações com

números inteiros como obstáculo a resolução de alguns problemas.

Ao considerar a lista 8, que abordava a área do triângulo, verificamos que os

alunos participantes conseguiram resolver as questões de modo coerente com que foi

tratado nas atividades sobre área de triângulo, no entanto ainda apresentando

dificuldades em marcar os pontos em determinados quadrantes, como o 2º e o 3º. E

a lista 9, os alunos mostraram ter entendido os assuntos abordados durante as

atividades, de modo geral, embora verificamos que a equação da reta ainda era um

obstáculo para superarmos.

Após todas as atividades realizadas, fizemos o pós-teste, como foi mencionado

na seção anterior, onde destacamos as categorias de acertos e de erros, como

apresentaremos a seguir.

5. 3.3 Acertos e Erros no Pós-teste

Os acertos e erros são parâmetros que buscam o aprimoramento das

atividades de ensino, mostrando os conceitos que precisamos abordar com mais

cautela e os conceitos que podemos continuar investindo para o entendimento da

Matemática. Conforme Cury (2008, p. 65):

Na análise das respostas dos alunos, o importante não é o acerto ou o erro em si – que são pontuados em uma prova de avaliação da aprendizagem -, mas as formas de se apropriar de um determinado conhecimento, que emergem na produção escrita e que podem evidenciar dificuldades de aprendizagem.

236

Nesse sentido, ao considerar aspectos gerais da ideia de Cury (2008), vamos

sintetizar em categorias de acertos e erros a produção escrita dos alunos no Pós-

teste, onde serão descritos os acertos e erros questão por questão.

5. 3. 3. 1. Sobre os acertos no Pós-teste

Os alunos, em algumas questões, ao resolver o teste, optaram por estratégias

diferentes de solução, então dividimos em 17 categorias de acertos, representadas

pelas letras de A até Q, distribuídas ao longo do teste, onde descrevemos o processo

de resolução de cada questão que foi possível fazer.

A primeira questão do pós-teste cujos acertos corresponderam a 69%, tem

duas categorias de acertos – A e B. A categoria A representa os alunos que utilizaram

corretamente a expressão do ponto médio, recorrendo a média aritmética, a exemplo

a resposta do aluno A29

A categoria B representada pela resposta do aluno A25 que apresentou a

distância entre os pontos, por meio do plano cartesiano como mostra sua resposta.

Nesse caso, esse aluno solicitou a régua como auxílio, o que foi permitido, uma vez

que eles usaram tal recurso durante o desenvolvimento das atividades da sequência

didática.

O quadro 45 indica a distribuição das respostas, conforme as categorias

estabelecidas na primeira questão.

Fonte: Resposta do aluno A29 na primeira questão


237

Quadro 45: Acertos realizados na primeira questão do pós-teste

Alunos Categorias de Acertos

A2, A3, A4, A9, A11, A12, A13, A14, A17, A18, A20, A21, A22, A23, A24, A26, A27, A28, A29

A. utilizou a média aritmética

A25 B. utilizou a representação gráfica Fonte: pesquisa de campo (2016)

Dentre esses acertos, 95% foram inseridos na categoria A, pois os alunos

compreenderam o ponto médio como a média aritmética das coordenadas dos pontos

A e B, e 5% é da categoria B uma vez representou graficamente sua resposta,

especificando a abscissa e a ordenada do ponto médio.

Em relação aos acertos da segunda questão, cujo assunto é a distância entre

dois pontos, identificamos duas categorias de acerto, que denominaremos C, para os

aqueles onde foi utilizado a fórmula da distância, e D para os acertos onde foi utilizada

a representação gráfica da distância. Observamos que a maioria dos acertos se

concentrou na categoria C, conforme resposta do aluno A11:

Para representar a categoria de acerto D, reproduzimos abaixo a resposta do

aluno A1:

Fonte: Resposta do aluno A11 na segunda questão


238

O quadro 46 abaixo representa a distribuição das respostas nas categorias de

acertos identificadas.

Quadro 46: Acertos realizados na segunda questão do pós-teste Alunos Categorias de Acertos

A2, A3, A4, A5, A9, A10, A11, A12, A13, A14, A15, A17, A19, A20, A22, A23, A24, A25, A26, A27, A28, A29

C. utilizou a expressão da distância

A1 D. utilizou a representação gráfica da distância


Dentre esses acertos, 96% foram inseridos na categoria C, já que os alunos

utilizaram a expressão 𝑑 = √∆𝑥2 + ∆𝑦2, enquanto que 4% foram da categoria D

porque representou graficamente sua resposta, utilizando a régua como recurso

auxiliar.

A terceira questão tratou da equação da reta por meio da análise gráfica e a

área de triângulo. Como a questão solicitava a equação da reta, consideramos correta

a solução que apresentou pelo menos o procedimento inicial que indicasse a equação.

Para essa questão tivemos duas categorias de respostas dadas, denominamos

categoria E para as respostas da terceira questão em que foi utilizado como recurso

para a resolução o cálculo do determinante, onde ilustramos esses casos com a

resposta do aluno A11.

Enquanto a categoria F refere-se ao tipo de acerto no qual foi utilizado o

recurso da declividade da reta para determinação da equação, abaixo destacamos a


Fonte: Resposta do aluno A11 na terceira questão

239

Conforme descrito no quadro 47 a maioria dos alunos que acertaram essa

questão enquadraram-se na categoria E, apesar das dificuldades com os cálculos

relacionados ao determinante.

Quadro 47: Acertos realizados na terceira questão do pós-teste Alunos Categorias de Acertos

A2, A11, A26 E. a equação da reta foi dada por meio do cálculo do determinante

A12 F. a equação da reta foi dada pela declividade Fonte: pesquisa de campo (2016)

A quarta questão que abordou distância entre pontos, aceitamos como certas

as questões que apresentaram coerentemente o cálculo da distância entre os pontos

dados (utilizando ou não a escala dada para converter para distância real). Nesse

caso, os acertos foram enquadrados em quatro categorias. Denominamos de G a

categoria de acertos em que os alunos calcularam a distância e determinaram, com o

auxílio da calculadora, o valor da raiz quadrada da distância solicitada e fizeram regra

de três para responder o problema, para ilustrar estes casos destacamos a resposta

do aluno A13.

Na categoria H, o aluno utilizou a distância na forma de raiz quadrada não-

exata e fez a conversão para distância real, ilustramos esse com a resposta do aluno

A12.

Fonte: Resposta do aluno A13 na quarta questão


240

Na categoria I, os alunos encontraram o valor da distância, mas não fizeram a

conversão para distância real. Abaixo a resposta do aluno A11 exemplifica as

resoluções que enquadramos nesta categoria.

Na categoria J, os alunos fizeram uma estimativa de quantas unidades no mapa

equivale a distância solicitada e fizeram uma regra de três, informando um valor

aproximado, como mostra a resposta do aluno A28.

O quadro 48 exibe a distribuição das respostas de acordo com as categorias

elencadas.

Quadro 48: Acertos realizados na quarta questão do pós-teste Alunos Categorias de Acertos

A2, A5, A9, A13, A14, A16, A22, A23, A24, A25, A26, A27, A29

G. Usou a expressão da distância entre dois pontos no seu valor aproximado.

A12 H. Usou a expressão da distância entre dois pontos na forma de raiz quadrada.




241

A quinta questão abordou a equação da circunferência, onde foi informado as

coordenadas do centro e o valor do raio. Consideramos a questão certa quando os

alunos apresentavam, pelo menos, a equação reduzida da circunferência.

Nesta questão identificamos três categorias de acertos, na categoria K estão

contidas as resoluções que apresentaram a equação da circunferência na sua forma

reduzida, sem a preocupação de mostrar a forma geral dessa equação. O aluno A12,

em sua resposta, ilustra essa categoria conforme abaixo:

Já na categoria L, além de apresentar a equação reduzida, os alunos tentaram

encontrar a forma geral, mas não foi possível porque erraram no momento de aplicar

o quadrado da diferença de dois termos e/ou alguns erros relacionados aos sinais dos

números inteiros relativos. Abaixo reproduzimos a resposta do aluno A9 para

representar esta análise

O aluno A11 foi o único que alcançou a equação geral utilizando a linguagem

Matemática mais adequada para resolver o problema, sua resposta está vinculada a

categoria M.

A4, A11 I. Usou a expressão da distância, contudo sem utilizar a escala dada.

A10, A18, A28 J. Encontrou a distância utilizando regra de três Fonte: pesquisa de campo (2016)

Fonte: Resposta do aluno A12 na quinta questão



242

Alguns alunos conseguiram apresentar a equação reduzida e tentaram

encontrar a partir dela a equação geral, porém por falta de conhecimento na área de

produtos notáveis não chegaram à equação geral adequada. O quadro 49 apresenta

a distribuição dos acertos nas categorias identificadas.

Quadro 49: Acertos realizados na quinta questão do pós-teste Alunos Categorias de Acertos

A2, A3, A4, A12, A13, A14, A15, A19, A20, A22, A23, A24, A26, A27, A28

K: apresentaram a equação da circunferência na forma reduzida

A9, A10 L: Apresentaram a equação na forma reduzida e uma tentativa de apresentar na forma geral

A11 M: Apresentou a equação na forma reduzida e geral


A sexta questão solicitou a área do quadrilátero descrito no plano cartesiano

através da área de triângulos, logo aceitamos como correta a questão que

apresentasse o quadrilátero como soma ou subtração de triângulos calculados por

meio do determinante da matriz dada pelos vértices do triângulo. Essa questão

apresenta duas categorias de acertos, são elas N e O.

Na categoria N, os alunos visualizaram o triângulo ABC, onde A(4,0), B(0,1) e

C(4,4) e o triângulo ABD, onde A(4,0), B(0,1) e D(3,2) e para encontrar o quadrilátero

destacado fizeram a diferença entre as áreas de ∆ABC e ∆ABD. O aluno A11

solucionou esta questão de acordo com a categoria N.

Já os alunos da categoria O dividiram o quadrilátero em dois triângulos, ∆ABC,

onde A(4,0), B(4,4) e C(3,2) e ∆BCD, no qual B(4,4), C(3,2) e D(0,1) e efetuaram a

soma das áreas desses triângulos para gerar a área do quadrilátero. Selecionamos a

resposta do aluno A2 para exemplificar esta categoria.

Fonte: Resposta do aluno A11 na sexta questão


243

No quadro 50 apresentamos a distribuição dos acertos nas categorias

estabelecidas.

Quadro 50: Acertos realizados na sexta questão do pós-teste Alunos Categorias de Acertos

A11, A12 N. Consideraram a área do quadrilátero como a diferença de dois triângulos.

A2, A6, A9, A10, A14, A15, A16, A20, A23, A25, A26, A27, A28

O. Consideraram a área do quadrilátero como a soma de dois triângulos.


A sétima questão pediu as coordenadas dos pontos pertencentes a uma reta

dada. Portanto, consideramos a questão certa a solução que apresentou os pontos A

e B de acordo com a determinação da questão. Essa questão teve o menor índice de

acertos entre as dez realizadas nesse teste.

Com isso, essa questão apresentou apenas a categoria de acertos P, e

representou as resposta dos alunos que substituíram os valores dos pontos X e Y na

reta dada, para encontrar os valores da abscissa de X e a ordenada de Y, e em

seguida, como eles sabiam que a declividade nos pontos dessa reta tem o mesmo

valor, então eles foram atribuindo valores no eixo das abscissas e ordenadas na

mesma proporção da declividade dessa reta para encontrar as coordenadas de A e

B, conforme destacamos a resposta do aluno A12.

O quadro 51 mostra a distribuição dos acertos na sétima questão:

Quadro 51: Acertos realizados na sétima questão do pós-teste

Alunos Categorias de Acertos

A12, A23 P. Encontraram as coordenadas A e B por meio da determinação dos pontos X e Y


A oitava questão solicitou a área do círculo por meio da equação da

circunferência, onde obteria o valor do raio. Consideramos acerto o cálculo que

Fonte: Resposta do aluno A12 na sétima questão

244

apresentou a equação na forma reduzida, e consequentemente, e encontrou o valor

da área do círculo.

Nessa questão foi apresentada uma categoria, a Q, e ela apresenta a solução

onde os alunos a partir da equação geral da circunferência encontraram a equação

reduzida da circunferência e indicou o raio, determinando a área do círculo. Abaixo a

solução apresentada pelo aluno A2

O quadro 52 exibe os alunos que conseguiram acertar a oitava questão:

Quadro 52: Acertos realizados na oitava questão do pós-teste Alunos Categorias de Acertos

A2, A11, A13, A14, A19, A23, A24, A26, A27

Q. Determinaram a área do círculo utilizando o raio da circunferência obtida na equação reduzida da circunferência encontrada.


A nona questão foi objetiva e solicitava a localização das coordenadas de um

determinado objeto (helicóptero), logo podemos afirmar que 66% acertaram,

marcando a alternativa em que altitude do helicóptero era menor ou igual a 200m.

A décima questão também foi objetiva e pediu a representação gráfica de uma

figura que exigia conhecimentos sobre circunferência, assim como, outras descrições

foram dadas sobre geometria plana e equação quadrática, mas se o aluno

conseguisse identificar o raio e a representação gráfica da equação da circunferência

corretamente e identificar em quais quadrantes a parábola se encontrava, conseguiria

encontrar a alternativa certa que era a alternativa “a”, tendo 41% de acertos.

Quando comparamos os resultados desse teste, com o pré-teste e o teste

diagnóstico (análises prévias), percebemos que houve uma evolução, visto que, ao

Fonte: Resposta do aluno A11 na oitava questão

245

considerar o total de itens analisados, o teste diagnóstico obteve um índice de acertos

de 6%, o pré-teste de 2% e o pós-teste de 49%, como indica o gráfico 55.

A partir do gráfico 55, observamos que em todas as questões houve um

aumento relevante de acertos no pós-teste em relação aos resultados outros testes,

com as mesmas questões realizados em momentos distintos, exceto nas questões 3

e 7, que houve uma evolução, mas foi de 14% e 7%, respectivamente.

5.3.3.2 Sobre os erros no Pós-teste

Os erros que aconteceram nesse teste são erros referentes ao conceito dos

assuntos em torno da Geometria Analítica ou erros em torno de outros conhecimentos

da Matemática e a falta de entendimento da pergunta do problema. Logo os dividimos

em dois tipos: erros procedimentais e conceituais1, onde entendemos o erro

procedimental como o erro cometido no âmbito da aritmética ou da álgebra

relacionados aos conteúdos matemáticos de natureza distinta do assunto que está

sendo trabalhado, assim como o não entendimento do problema, enquanto que o erro

conceitual é aquele cometido por conta do não entendimento do conceito estudado.

Esses erros foram distribuídos no pós-teste de acordo com a tabela 60:

1 As palavras conceitual e conceito estão relacionadas com a falta de entendimento do assunto estudado e não segundo a perspectiva de Vergnaud.

13,5

0%

10%

0% 0% 4%

1% 0% 3%

19%

9%

10%

7%

0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%

69% 79

%

14%

69%

62%

51%

7%

31%

66%

41%

G R ÁF ICO 55: V AL O R ES R EL AT IV O S D O S ACER T O S N O S T ES T ES N O D ECO R R ER D A P ES QU S A

Teste diagnóstico Pré-teste Pós-teste


246

Tabela 60: Erros conceituais e procedimentais no Pós-teste

Questões

Tipos de erros Conceitual

Procedimental

Valor Absoluto

Em %

Valor Absoluto

Em %

1ª Q. 6 100% 0 0% 2ª Q. 0 0% 1 100% 3ª Q. 0 0% 3 100% 4ª Q. 1 50% 1 50% 5ª Q. 2 67% 1 33% 6ª Q. 1 20% 4 80% 7ª Q. 1 17% 5 83% 8ª Q. 3 75% 1 25% 9ª Q. 10 100% 0 0% 10ª Q. 14 82% 3 18%


Como esses erros conceituais e procedimentais aconteceram de distintos

modos, utilizamos a nomenclatura E1, E2, E3,....., E20 para denominá-los e explicitá-

los. Os erros da primeira questão foram todos conceituais, uma vez que os alunos que

erraram a questão não compreenderam o conceito de ponto médio como a média

aritmética das coordenadas.

Em E1, o aluno entendeu ponto médio como a divisão das abscissas e

ordenadas por dois, onde cada ponto gera um ponto médio. Conforme exemplo de

solução apresentada pelo aluno A1:

Em E2, o aluno entendeu o ponto médio como a divisão da diferença entre as

ordenadas e a diferença entre as abscissas. A exemplo da resposta do aluno A5:

Em E3, o aluno A10 definiu o ponto médio como a soma das abscissas

dividido por 2.



247

Em E4, os alunos entenderam o ponto médio como a soma da metade da

diferença entre as coordenadas do ponto A e B. como mostra a resposta do aluno

A16:

Por fim, em E5, o aluno A19 considerou o ponto médio como a soma da divisão

por dois da subtração entre as coordenadas A e B.

O quadro 53 mostra os erros conceituais existentes na primeira questão.

Quadro 53: Erros cometidos na primeira questão do pós-teste Aluno Tipo de erro Erros cometidos

A1 Conceitual E1. Ponto médio foi considerado como divisão das abscissas e ordenadas por dois.

A5 Conceitual E2. Ponto médio assumiu a razão entre a diferença das ordenadas e abscissas.

A10 Conceitual E3. Ponto médio foi considerado a metade da soma das abscissas

A15, A16 Conceitual E4. O ponto médio foi considerado a coordenada dada por metade da diferença entre as coordenadas do ponto A e B.

A19 Conceitual E5. O ponto médio foi dado pela soma da metade da diferença entre as coordenadas A e B


Dentre os alunos que responderam a segunda questão, houve apenas um erro,

o aluno A21 lembrou que a distância entre dois pontos é dada pela raiz quadrada da

soma dos quadrados, mas não resolveu a variação das coordenadas por meio da

diferença, e sim pela soma, o que indicou incompreensão do conceito de variação

entre grandezas, gerando o equívoco no momento de resolver a questão sobre

distância entre dois pontos.




248

O quadro 54 mostra o tipo de erro do aluno A21.

Quadro 54: Erro cometido na segunda questão do pós-teste Aluno Tipo de erro Erros cometidos

A21 Procedimental E6. Assumiu a distância como √(𝑥𝑎

+ 𝑥𝑏)2 + (𝑦𝑎

+ 𝑦𝑏)2


Os erros, correspondentes a terceira questão, perpassam pela não

compreensão do que foi solicitado. Em E7, o aluno compreende que é solicitado uma

equação, contudo assumiu que essa equação é da circunferência e não da reta,

supondo que o valor da área dada é o raio dessa equação, o que demonstra o não

entendimento do problema e os conceitos de área e raio como ilustra a resposta do

aluno A4.

Já em E8, os alunos não entenderam o que foi solicitado, visto que eles

trabalharam a área do triângulo dado e não a equação da reta, como mostra a


O quadro 55 contém a distribuição dos erros de acordo com as categorias

elencadas.




249

Quadro 55: Erros cometidos na terceira questão do pós-teste Aluno Tipos de erros Erros cometidos

A4 Procedimental E7. Encontrou a equação da circunferência

A22, A28 Procedimental E8. Trataram a questão como somente um problema de área


Em relação a quarta questão, identificamos dois tipos de erros em E9, o aluno

A19 admitiu que, nesse caso, a distância era determinada pelo baricentro, no entanto

pensou o baricentro como a soma da razão entre o produto das abscissas por três e

o produto das ordenadas por três, ou seja, não entendeu de conceito de distância e

nem de baricentro.

Em E10, o aluno A21 utilizou o mesmo recurso da questão 2, onde expressou

a variação das abscissas e das ordenadas como uma soma, embora ter expressado

a distância como a raiz quadrada da soma dos quadrados.

O quadro 56 mostra a distribuição dos erros destacados na quarta questão.

Quadro 56: Erros cometidos na quarta questão do pós-teste Aluno Tipo Erros cometidos

A19 Conceitual E9. Assumiu que a solução era de baricentro (calculado errado)

A21 Procedimental

E10. Assumiu a distância como

√(𝑥𝑎 + 𝑥𝑏)2 + (𝑦𝑎

+ 𝑦𝑏)2




250

A quinta questão apresentou erros conceituais e procedimental, onde em E11

o aluno A18 lembra a forma da equação da circunferência, no entanto substituiu os

valores das coordenadas do centro em sua equação reduzida, sem se preocupar com

o sinal da expressão que representa a equação.

Enquanto que o aluno A21, em E12, entende a equação como um valor

numérico e resolve a expressão sem considerar as variáveis x e y, um indicativo que

o aluno não compreende o conceito de equação qualquer.

Já em E13, o aluno A25 entende a equação da circunferência como x² +y² - 2.ycx+

2xcy =0, sem uma aparente justificativa.

O quadro 57 exibe a distribuição dos erros na quinta questão:

Quadro 57: Erros cometidos na quinta questão do pós-teste Aluno Tipo Erros cometidos

A18 Procedimental E11. Equação da circunferência foi dada por (𝑥 + 𝑥𝑐)2 + (𝑥 + 𝑦

𝑐)2 =

𝑟2 onde o centro é dado por (xc,yc)

A21 Conceitual E12. Equação da circunferência foi entendida como um valor numérico

A25 Conceitual E13. Equação da circunferência foi dada por x² +y² - 2.ycx+ 2xcy =0


A sexta questão trabalhou área de triângulo por meio do valor da área de um

quadrilátero. Essa questão teve os dois tipos de erros. Em E14, o aluno A3 considerou

os vértices diferentes dos triângulos que compõem o quadrilátero, o que demonstra

que a identificação do ponto no plano ainda é uma dificuldade que precisa ser




251

trabalhada mais intensamente, mas calculou a área da figura construída por ele de

forma adequada.

Em E15, o aluno A19 encontra a área de um triângulo, por meio do

determinante adequadamente, no entanto esse está sobreposto a outro maior,

gerando uma área total maior do que a solicitada.

Em E16, o aluno A22 calculou apenas uma das áreas dos triângulos que

compõem o quadrilátero, fazendo com que o valor esteja inferior ao solicitado.

Em E17, o aluno A29 calculou o determinante corretamente utilizando os

vértices de acordo com o quadrilátero, porém considerou o valor desse determinante

como a área do triângulo, o que faz a área total ser o dobro do solicitado.





252

A maioria dos erros da sexta questão foram erros procedimentais, uma vez que,

os alunos lembram o conceito de área do triângulo utilizando o determinante, mas não

consegue uma estratégia de decomposição geométrica coerente. O quadro 58 exibe

a distribuição dos erros nas categorias elencadas:

Quadro 58: Erros cometidos na sexta questão do pós-teste Aluno Tipo Erros cometidos

A3, A21 Procedimental E14. Adotou vértices que não pertencem ao quadrilátero

A19 Procedimental E15. Calculou a área de triângulos sobrepostos

A22 Procedimental E16. Calculou apenas uma parte do quadrilátero

A29 Conceitual E17. Assumiu a área de um triângulo como o valor do determinante.


A sétima questão abordou coordenadas do ponto a partir da equação da reta

dada. A mesma teve um índice de acertos menor do que erros, e estes se restringiram

a má interpretação do problema. Em E18 foram agrupados pela interpretação

precipitada do problema uma vez que, nele foi solicitado os pontos A e B, sabendo

que as distâncias entre A e X; X e Y; Y e B são iguais e os alunos entenderam que os

pontos são iguais, e isso levou a esse erro, como mostra a resposta do aluno A11.

O quadro 59 mostra os alunos que cometeram E18.

Quadro 59: Erros cometidos na sétima questão do pós-teste Aluno Tipo Erros cometidos

A5, A9, A11, A19, A27, A28

Procedimental E18. Assumiram os pontos A e B com os mesmos valores de X e Y


A oitava questão trabalhou a área da circunferência a partir da equação da

circunferência na forma geral. Em E19, os alunos efetuaram as subtrações (x² - 8x) e

(y²- 10y) como se fossem termos semelhantes e não fizeram as potenciações

corretamente, a resposta do aluno A4 exemplifica esta categoria.

Fonte: Resposta do aluno A11 na sétima questão

253

Em E20, o aluno A12 apresentou a equação reduzida da circunferência,

contudo não soube manipular a equação e chegou ao valor do raio errado.

Conforme identificamos, os erros cometidos pelos alunos na oitava questão

mostraram que têm dificuldades em manipular equações algébricas. Conforme o

quadro 60:

Quadro 60: Erros cometidos na oitava questão do pós-teste Aluno Tipo Erros cometidos

A4, A9, A28 Conceitual

E19. Não manipulou corretamente a equação da circunferência

A12 Procedimental E20. Encontrou o raio errado da equação da circunferência Fonte: pesquisa de campo (2016)

A nona e décima questões são de múltiplas alternativas, sendo que a nona

questão trabalhou localização de pontos a partir das orientações norte, sul, leste,

oeste. Nessa questão houve 10 erros, sendo que 40% optaram pela alternativa b

(maior que 200m e menor ou igual a 400m), 10% marcaram a alternativa c (maior que

400m e menor ou igual a 600m) e 50% optaram pela alternativa d (maior que 600m

ou igual a 800m), que são indicativos de erros conceituais de pontos relacionados a

localização.

A décima questão trabalhou a representação gráfica da circunferência por

meio das caraterísticas dadas no problema. Dentre os erros da décima questão, 76%

(13 erros) optaram pela alternativa “b”, em que os alunos adotaram como raio da

circunferência o valor 9, sabendo que a equação é x² + y² = 9, enquanto 18% (3 erros)

marcaram a alternativa “e” que considerou o raio da circunferência igual a 3, no



254

entanto assumiram que a parábola dada na questão tem concavidade para cima,

sabendo que a parábola é dada por y = -x² - 1 e 6% (1 erro) opinou pela alternativa

“a” que acertou a parábola, contudo considerou o raio da circunferência igual a 9, logo

os que marcaram “b” foram considerados erros procedimentais, pois acertaram o raio

a partir da equação da circunferência e os outros erros foram conceituais, visto que,

não reconheceram o valor do raio na equação x² + y² = 9.

Ao comparar os resultados do teste diagnóstico (realizado na etapa de análises

prévias) e o pós-teste, verificamos que diminuíram os índices, em relação ao total,

como mostra a tabela 61 e gráfico 56:

Tabela 61: Valores relativos dos erros dos testes no decorrer da pesquisa

Questões Teste diagnóstico Pré-teste Pós-teste

1ª 13,5% 0% 20%

2ª 17% 0% 3% 3ª 12% 0% 14% 4ª 16% 0% 7% 5ª 15% 0% 10%

6ª 11% 3% 17% 7ª 8% 0% 20% 8ª 5% 0% 14% 9ª 59% 3% 34%

10ª 72% 0% 59% Fonte: Pesquisa de campo (2016)

Assim como diminuíram os índices de erros, aumentaram os índices de acertos

ao comparar os testes. Em relação ao Pré-teste, o índice de erros foi inferior porque

os alunos deixaram muitas questões em branco. Vale ressaltar, ao considerar as

questões em branco, que houve uma diminuição em índices relativos quando

13,5

0%

17%

12% 16

%

15%

11%

8%

5%

59%

72%

0% 0% 0% 0% 0%

3%

0% 0%

3%

0%

20%

3%

14%

7%

10% 17

% 20%

14%

34%

59%

1 ª 2 ª 3 ª 4 ª 5 ª 6 ª 7 ª 8 ª 9 ª 1 0 ª

G R ÁF ICO 56: V AL O R ES R EL AT IV O S D O S ER R O S , P O R QU ES T ÃO , N O S T ES T ES N O D ECO R R ER D A P ES QU IS A



255

comparamos o teste diagnóstico (análises prévias), o pré-teste e pós-teste da

experimentação, pois no teste diagnóstico foi de 71%, no pré-teste de 98%, enquanto

que no pós-teste 31%, como indica a tabela 62:

Tabela 62: Valores relativos das questões em branco dos testes no decorrer da pesquisa

Questões Teste diagnóstico Pré-teste Pós-teste 1ª 73% 90% 10% 2ª 73% 93% 17% 3ª 88% 100% 76% 4ª 84% 100% 24% 5ª 81% 100% 28% 6ª 88% 97% 32% 7ª 92% 100% 73% 8ª 92% 100% 55% 9ª 22% 100% 0%

10ª 71% 98% 0% Fonte: Pesquisa de campo (2016)

Os dados da tabela 62 e gráfico 57 podem ser um indício de que os alunos se

sentiram mais seguros em resolver as questões propostas nos testes, após o

processo da experimentação, o que consideramos um ponto positivo da pesquisa.

73%

73%

88%

84%

81% 88

% 92%

92%

22%

71%

90%

93% 10

0%

100%

100%

97%

100%

100%

100%

98%

14%

17%

73%

24% 28

% 32%

73%

52%

0%

1 ª Q U E S T Ã O

2 ª Q U E S T Ã O

3 ª Q U E S T Ã O

4 ª Q U E S T Ã O

5 ª Q U E S T Ã O

6 ª Q U E S T Ã O

7 ª Q U E S T Ã O

8 ª Q U E S T Ã O

9 ª Q U E S T Ã O

1 0 ª Q U E S T Ã O

GRÁFICO 57 : VALORES RELAT IVOS DAS QUEST ÕES EM BRANCO DOS T EST ES NO DECORRER DA PESQUISA



256

5.3.3.3 Sobre os testes aplicados durante a experimentação

Ao comparar com os resultados do pré-teste, percebemos que os índices dos

itens em branco diminuíram e de acertos aumentaram, exceto a 10ª questão que no

pré-teste nenhum aluno respondeu e no pós-teste 41% acertou e 59% errou, como

mostra a Quadro 61:

Quadro 61: Comparação dos Pré- e Pós-testes Questões

Assuntos

Acertos Erros Em branco

Pré-(%)

Pós-(%)

Pré-(%)

Pós-(%)

Pré-(%)

Pós- (%)

01 Ponto médio 10% 69% 0% 20% 90% 10%

02 Distância entre pontos estilo direta

7% 79% 0% 3% 93% 17%

03 Equação da reta 0% 17% 0% 7% 100% 76%

04 Distância entre pontos estilo contexto

0% 69% 0% 7% 100% 24%

05 Equação da circunferência

0% 59% 0% 14% 100% 27%

06 Área do triângulo 0% 51% 3% 17% 97% 32%

07 Equação da reta e coordenadas do ponto

0% 7% 0% 20% 100% 76%

08 Equação e área da circunferência

0% 31% 0% 10% 100% 55%

09 Localização de pontos

0% 66% 3% 34% 97% 0%

10 Representação gráfica da circunferência

0% 41% 0% 59% 100% 0%


Quando comparamos o desempenho individual dos alunos no Pré-teste e pós-

teste verificamos que a maioria dos alunos atingiu notas iguais ou superiores a 50%,

como ilustra o gráfico 58:

257

Os alunos A6 e A7 não conseguiram melhorar, assim como os alunos A1, A8,

A16, A17 e A18 tiveram índices inferiores a 20%. Percebemos que esses alunos

pouco participaram da experimentação, apresentando pouco interesse no momento

de desenvolvimento das atividades, o que é compreensível visto que elas declararam

estudar pouco Matemática. Os alunos que tiveram notas superiores ou iguais a 50%,

que foi a maioria, participaram mais ativamente da experimentação, pois 72% desses

alunos tiveram atividades válidas, 17% de participação nas atividades sem produção

escrita e 11% faltaram as atividades.

5.4 COMPARAÇÃO ENTRE A ANÁLISE A PRIORI E A POSTERIORI DAS

ATIVIDADES DA SEQUÊNCIA DIDÁTICA

Ao considerar Artigue (1996) e Almouloud (2010), compreendemos que a

comparação entre as análises a priori e a posteriori das atividades são necessários

para a validação da sequência didática experimentada nessa pesquisa.

O quadro 62 estabelece essa comparação e a validação correspondente aos

assuntos trabalhados na sequência.

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%A

1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

A8

A9

A1

0

A1

1

A1

2

A1

3

A1

4

A1

5

A1

6

A1

7

A1

8

A1

9

A2

0

A2

1

A2

2

A2

3

A2

4

A2

5

A2

6

A2

7

A2

8

A2

9

Gráfico 58: Desempenho dos alunos nos testes

Nota do Pré-teste Notas do Pós-teste


258

Quadro 62: Comparação da análise a priori com a posteriori das atividades de abordagem dos conteúdos

Atividade Análise Excertos Validação

Localização de pessoas em sala de aula

A priori Esperamos que os alunos percebam a noção de coordenadas em uma situação cotidiana, no entanto, provavelmente os alunos encontrarão resultados diferentes, já que não estabelecemos nenhum ponto de referência, de modo proposital, para que haja a discussão acerca do assunto.

Positiva

A posteriori

Verificamos que os alunos conseguiram perceber a importância de determinar um ponto com no mínimo duas informações para localizar objetos, logo todas as respostas foram consideradas.

Localização de peças no tabuleiro de xadrez

A priori Prevemos que os alunos sentirão dificuldades de identificar os pontos, já que o xadrez apesar de ser um jogo conhecido é pouco usado em nossas escolas como recurso pedagógico. Logo, apresentaremos as peças do xadrez e suas respectivas movimentações, antes de iniciar a atividade.

Positiva

A posteriori

Verificamos que os alunos conseguiram desenvolver as atividades com sucesso e discutiram positivamente acerca a importância das coordenadas para determinação de qualquer objeto, portanto consideramos todas as respostas válidas.

Plano cartesiano

A priori Esperamos que os alunos percebam que os pontos pertencentes ao 1º quadrante têm abscissas e ordenadas positivas, os pontos do 2º quadrante têm abscissas negativas e ordenadas positivas, os pontos do 3º quadrante têm abscissas e ordenadas negativas e os pontos do 4º quadrante possuem abscissas positivas e ordenadas negativas.

Positiva

A posteriori

Em relação a atividade 3, apesar das dificuldades iniciais, os alunos conseguiram desenvolver as atividades com 77% de conclusões válidas.

Pontos sobre o eixo x

A priori Esperamos que os alunos percebam que os pontos sobre o eixo das abscissas possuem ordenadas iguais a zero.

Positiva A

posteriori Sobre a atividade 4, 80% dos participantes construíram conclusões válidas, demonstrando entendimento acerca da coordenada do ponto quando está sobre o eixo das abscissas.

A priori Esperamos que os alunos percebam que os pontos que se encontram sobre o eixo

259

Pontos sobre o eixo y

das ordenadas possuem abscissas iguais a zero.

Positiva

A posteriori

A atividade 5 bom rendimento uma vez que 80% dos participantes elaboraram conclusões válidas, indicando que compreenderam as condições dos pontos sobre o eixo das ordenadas.

Ponto Médio A priori Esperamos que os alunos percebam que as coordenadas do ponto médio de um segmento são determinadas pela média dos valores das abscissas dos pontos A e B e das ordenadas dos pontos A e B.

Positiva

A posteriori

Embora alguns alunos apresentassem dificuldades em construir o plano cartesiano, assim como marcar os pontos no plano, a atividade teve bom rendimento, já que 77% das conclusões foram válidas, demonstrando o entendimento a determinação das coordenadas do ponto médio.

Baricentro A priori Como os alunos já terão noção básica de determinação de pontos, eles não terão dificuldades de realizar essa atividade, embora, para alguns triângulos os vértices serão negativos, o que pode ser um obstáculo para que eles percebam que a abscissa e a ordenadas do ponto do baricentro é a média aritmética das abcissas e ordenadas dos vértices.

Positiva

A posteriori

Acerca da atividade 7, podemos afirmar que o rendimento foi bom, pois 85% das conclusões foram consideradas válidas, indicando que a maioria dos alunos entenderam como determinar as coordenadas do baricentro de um triângulo.

Alinhamento de três pontos

A priori Esperamos que os alunos observem que o det D terá resultado zero quando os pontos forem alinhados, enquanto que, quando os pontos não forem, o det D será diferente de zero.

Negativa

A posteriori

A atividade 8 não teve um bom rendimento pois o índice de conclusões válidas foi de 17%, enquanto 83% dos participantes registraram conclusões.

Distância entre pontos com as mesmas abscissas

A priori Esperamos que os alunos, a partir dos pontos colocados o plano cartesiano, percebam que as distâncias entre os pontos com as mesmas abscissas são iguais as variações das ordenadas, enquanto que as variações das abscissas, nesses casos, são iguais a zero.

Positiva

260

A posteriori

Os alunos, de modo geral, tiveram bom rendimento, pois a maioria alcançou a finalidade da atividade e 67% das duplas produziram conclusões válidas.

Distância entre pontos com as mesmas ordenadas

A priori Esperamos que os alunos, a partir dos pontos colocados no plano cartesiano, percebam que as distâncias entre os pontos com as mesmas ordenadas são iguais as variações das abscissas, enquanto que a variação das ordenadas, nesses casos, são iguais a zero.

Positiva

A posteriori

A atividade 10 proporcionou bom rendimento aos alunos uma vez que teve 67% de conclusões válidas.

Distância entre dois pontos quaisquer

A priori Esperamos que os alunos observem que a distância ao quadrado é aproximadamente a soma dos quadrados das variações de x e y. A partir disso, esperamos que concluam que a distância entre dois pontos quaisquer é igual a raiz quadrada da soma dos quadrados das variações de x e y.

Positiva

A posteriori

Todos participaram e conseguiram alcançar o objetivo da atividade, apresentando 100% de conclusões válidas e demonstrando que a maioria dos alunos compreenderam como determinar a distância entre dois pontos quaisquer.

Declividade da reta

A priori Esperamos que os alunos percebam que a declividade da reta (tg α) é, aproximadamente, a razão entre as variações de Y e X, no entanto os alunos sentiram dificuldades em dividir os valores dessa razão, já que, em alguns casos, não serão exatos.

Negativa

A posteriori

A atividade 12 teve ótimo rendimento, pois os alunos alcançaram a finalidade e teve 100% de conclusões válidas, indicando que os participantes entenderam com encontrar a declividade da reta.

Declividade em pontos distintos e colineares

A priori Esperamos que os alunos observem que os valores das declividades da reta entre os pontos dados serão iguais, quando colineares.

Positiva

A posteriori

A atividade 13 teve bom rendimento visto que a maioria atingiu o objetivo da atividade e produziram 85% das conclusões válidas, apontando um entendimento sobre a relação entre declividades de pontos distintos e colineares.

261

Equação de reta por meio da declividade

A priori Esperamos que os alunos percebam que as igualdades das declividades de uma mesma reta, gerará a equação dela.

Negativa

A posteriori

A atividade 14 não teve bom rendimento uma vez que 15% apenas conseguiu produzir conclusões válidas, enquanto que 85% não registraram conclusões.

Equação geral da reta por meio do determinante

A priori Esperamos que os alunos percebam que a equação da reta por meio da declividade seja equivalente a equação da reta encontrada por meio do determinante da matriz gerada pelos pontos colineares da reta.

Positiva

A posteriori

A atividade que trabalhou a equação da reta por meio do determinante teve ótimo rendimento, pois todos os alunos chegaram na finalidade da atividade e tiveram 100% de conclusões válidas.

Retas Paralelas

A priori Esperamos que os alunos percebam que os coeficientes angulares de r e s, quando são paralelas, serão iguais, enquanto que quando as retas não forem paralelas os valores dos coeficientes angulares serão diferentes.

Positiva

A posteriori

A atividade 16 teve ótimo rendimento, uma vez que todos os alunos participantes conseguiram perceber a relação entre os coeficientes angulares das retas paralelas, produzindo 100% de conclusões válidas.

Retas Perpendiculares

A priori Esperamos que os alunos percebam que essa multiplicação entre os coeficientes angulares de r e s, quando são perpendiculares, será -1, enquanto que quando as retas não forem perpendiculares a referida multiplicação será diferente de -1, para concluir que as declividades serão inversas e opostas para retas perpendiculares.

Positiva

A posteriori

A atividade 17 obteve 85% de conclusões válidas, indicando que a maioria dos alunos identificou a relação entre os coeficientes angulares das retas perpendiculares.

Equação da circunferência

A priori Esperamos que os alunos observem que, na forma simplificada, a referida distância representa a equação da circunferência e que o centro e o raio são elementos contidos nessa equação, resultando na forma r² = (x – xo) ² + (y – yo) ².

Positiva

A posteriori

A atividade 18 teve ótimo rendimento, com 100% de conclusões válidas,

262

mostrando que os alunos participantes conseguiram encontrar a equação da circunferência por meio da distância entre um ponto qualquer da circunferência ao seu centro.

Distância de um ponto a reta

A priori Esperamos que os alunos observem que a distância entre um ponto P a uma reta é representado pela razão entre |aXo +

bYo + c| e √𝑎2 + 𝑏2, contudo, é possível que os alunos sintam dificuldades em calcular essa razão, já que envolve a divisão e radiciação.

Positiva

A posteriori

A atividade 19 teve ótimo rendimento, obteve 100% de conclusões válidas, pois os alunos conseguiram encontrar a expressão que determina a distância de um ponto qualquer a uma reta.

Área de triângulo

A priori Esperamos que os alunos observem que o valor do det D é o dobro do valor da área do triângulo ABC, em cada caso.

Positiva

A posteriori

A atividade 20 obteve 100% de conclusões válidas e ótimo rendimento, já que todos os alunos conseguiram encontrar a expressão da área de um triângulo por meio de seus vértices.


De acordo com o exposto no quadro 62, as atividades 8 e 14 teve validação

negativa, correspondente a 10% das atividades aplicadas relacionadas a abordagem

de conteúdos, enquanto as demais tiveram validação positiva. No caso da atividade 8

acreditamos que se colocássemos apenas pontos no primeiro quadrante, o

desempenho dos alunos melhoraria, já que os alunos apresentaram muita deficiência

em manipular os inteiros negativos. Com os pontos no primeiro quadrante o risco de

errarem por conta do “jogo de sinal” cairia. Já no caso da atividade 14, sugerimos o

acréscimo de uma coluna no quadro do roteiro, solicitando a equação reduzida da

reta, isso facilitaria, aos alunos, fazer observações acerca da equação da reta e seus

coeficientes.

O quadro 63 apresenta a comparação da análise a priori com a posteriori das

listas de questões trabalhadas durante a experimentação da sequência didática.

263

Quadro 63: Comparação da análise a priori com a posteriori das atividades de fixação

Atividade Análise Excertos Validação

Lista 1(localização de pontos)

A priori Os alunos utilizarão, para resolver os problemas, os conhecimentos construídos durante o desenvolvimento das atividades da sequência referente a localização e determinação de ponto. Esperamos que os alunos percebam, por meio dos problemas, a utilização prática dos conteúdos abordados.

Positiva

A posteriori

Verificamos que os alunos, embora as dificuldades apresentadas, em relação a determinação de pontos e a não recordação de assuntos do ensino fundamental, tais como o teorema de Pitágoras e trapézio isósceles, os alunos desenvolveram bem a lista.

Lista 2 (ponto médio, baricentro e alinhamento de pontos)

A priori Os alunos utilizarão, para resolver os problemas, os conhecimentos adquiridos durante o desenvolvimento das atividades da sequência referente a ponto médio, alinhamento entre pontos e baricentro. Esperamos que os alunos consigam efetuar os cálculos com sucesso.

Positiva

A posteriori

Apesar das dificuldades apresentadas nas atividades de alinhamento entre três pontos, os alunos conseguiram entender e resolver os problemas relacionados com esse assunto, da mesma forma, que demonstraram entendimento sobre o ponto médio e baricentro.

Lista 3 (distância entre dois pontos)

A priori Os alunos utilizarão, para resolver os problemas, os conhecimentos construídos durante o desenvolvimento das atividades da sequência referente a distância entre pontos. Esperamos que a maioria dos alunos consigam realizar as questões de acordo com as atividades estudadas.

Positiva A

posteriori Os alunos conseguiram realizar as questões solicitadas, apesar das dificuldades no entendimento de escala.

Lista 4 (equação da reta)

A priori Os alunos utilizarão, para resolver os problemas, os conhecimentos construídos durante o desenvolvimento das atividades da sequência referente a equação da reta. Esperamos que a maioria dos alunos consigam realizar as questões de acordo com os assuntos estudados.

Positiva

A posteriori

Os alunos apresentaram dificuldades em encontrar a declividade para determinar

264

a equação, mas à medida que eles exercitavam, as questões ficavam mais claras e eles conseguiam resolver, o que entendemos como positivo a esta atividade.

Lista 5 (retas paralelas e perpendiculares)

A priori Os alunos utilizarão, para resolver os problemas, os conhecimentos construídos durante o desenvolvimento das atividades da sequência referente retas paralelas e perpendiculares.

Positiva

A posteriori

Observamos que os alunos conseguiram resolver as questões solicitadas de modo coerente com que foi abordado durante as atividades de retas paralelas e perpendiculares, apontando dificuldade em manipular as equações perpendiculares.

Lista 6 (equação da circunferência)

A priori Os alunos utilizarão, para resolver os problemas, os conhecimentos construídos durante o desenvolvimento da atividade da sequência que trata de equação da circunferência. Esperamos que os alunos consigam realizar as questões de modo coerente com que foi realizado durante as atividades.

Positiva

A posteriori

Os alunos demonstraram entendimento sobre os problemas de equação da circunferência, de modo geral, e fizeram com tranquilidade as questões solicitadas.

Lista 7 (distância de um ponto a reta)

A priori Os alunos utilizarão, para resolver os problemas, os conhecimentos construídos durante o desenvolvimento da atividade da sequência correspondente a distância de um a reta. Esperamos que a maioria dos alunos consigam realizar as questões com sucesso.

Positiva

A posteriori

Os alunos participantes fizeram a lista 7 com segurança e com pouca dificuldade, apontando apenas às operações com números inteiros como obstáculo a resolução de alguns problemas.

Lista 8 (área do triângulo)

A priori Os alunos utilizarão, para resolver os problemas, os conhecimentos construídos durante o desenvolvimento da atividade da sequência correspondente a área do triângulo. Esperamos que a maioria dos alunos consigam realizar as questões conforme as atividades estudadas sobre área do triângulo.

Positiva

265

A posteriori

Verificamos que os alunos participantes conseguiram resolver as questões de modo coerente com que foi tratado nas atividades sobre área de triângulo, no entanto ainda apresentando dificuldades em marcar os pontos em determinados quadrantes, como o 2º e o 3º

Lista 9 (revisão)

A priori Os alunos utilizarão todos conhecimentos construídos durante o desenvolvimento das atividades. Esperamos que a maioria dos alunos consigam entender e realizar a revisão sobre os assuntos estudados.

Positiva

A posteriori

Os alunos mostraram ter entendido os assuntos abordados durante as atividades, de modo geral, embora verificamos que a equação da reta ainda era um obstáculo para superarmos.


As listas de questões foram importantes para que os alunos percebessem a

aplicação de determinados assuntos, tais como distância entre dois pontos e áreas do

triângulo, em questões próximos ao seu cotidiano. Todas as listas tiveram validação

positiva, porque serviram para aprimorar a Geometria Analítica plana estudada, assim

como, para que pudéssemos trabalhar em torno das dificuldades que os alunos têm

acerca de assuntos já estudado em outro nível de ensino, mas que ainda não foi

compreendido por eles.

O quadro 64 apresenta a comparação das análises a priori e a posteriori dos

pré- e pós-teste da experimentação.

Quadro 64: Comparação da análise a priori com a posteriori dos testes

Assunto Análise Pré-teste Pós-teste Validação

1ª Questão (Ponto médio)

A priori Os alunos não conseguirão resolver, já que ainda não estudaram o assunto.

Os alunos encontrarão a resposta mais adequada para resolver a questão, pois utilizarão os conhecimentos construídos nas atividades referentes ao ponto médio.

Positiva

A posteriori

Os alunos tiveram 10% de acertos e 90% de questões em branco.

Os alunos tiveram um avanço em relação a essa questão, pois apresentaram 69% de acertos, enquanto houve 20% de erros conceituais. Esses resultados são satisfatórios, uma vez que

266

os índices de acertos são superiores a 50%.

2ª Questão (Distância entre dois pontos estilo direta.


Os alunos encontrarão a resposta mais adequada para resolver a questão, pois utilizarão os conhecimentos construídos nas atividades relacionadas a distância entre dois pontos.

Positiva

A posteriori

Os alunos tiveram 7% de acertos e 93% de questões em branco.

Os alunos tiveram um avanço em relação a essa questão, pois apresentaram de 79% de acertos, enquanto houve 3% de erros procedimentais. Esses resultados são satisfatórios, visto que os índices de acertos são superiores a 50%.

3ª Questão (Equação da reta)


Os alunos encontrarão, em sua maioria, a resposta mais adequada para resolver a questão, pois utilizarão os conhecimentos construídos nas atividades referentes a equação da reta.

Negativa

A posteriori

Os alunos deixaram 100% das questões em branco.

Os alunos tiveram 14% de acertos nessa questão e 10% de erros procedimentais. Apesar dos índices de acertos no pós-teste serem maiores que no pré-teste, foram menores que o previsto na análise a priori.

4ª Questão (Distância entre dois pontos estilo contexto.


Os alunos encontrarão, em sua maioria, a resposta mais adequada para resolver a questão, pois utilizarão os conhecimentos construídos nas atividades relacionadas a distância entre dois pontos.

Positiva

A posteriori


Os alunos tiveram 69% de acertos nessa questão e 7% de erros, sendo a metade desses erros procedimental. Esses resultados foram satisfatórios, pois os

267

índices de acertos foram maiores que 50%.

5ª Questão (Equação da circunferência)


Os alunos encontrarão, em sua maioria, a resposta mais adequada para resolver a questão, pois utilizarão os conhecimentos construídos nas atividades referentes a equação da circunferência.

Positiva

A posteriori


Os alunos apresentaram 62% de acertos nessa questão e 10% de erros, onde 33% desses erros foram procedimentais, enquanto que 67% foram erros conceituais. Os resultados foram satisfatórios, visto que o índice de acerto representa a maioria das respostas nessa questão.

6ª Questão (Área do triangulo)


Os alunos encontrarão, em sua maioria, a resposta mais adequada para resolver a questão, pois utilizarão os conhecimentos construídos nas atividades referentes a área do triângulo.

Positiva

A posteriori

Os alunos deixaram 93% das questões em branco e teve 3% de erros.

Os alunos apresentaram 51% de acertos nessa questão e 17% de erros, onde 80% desses erros foram procedimentais, enquanto que 20%, erros conceituais. Os resultados foram satisfatórios, visto que o índice de acerto foi superior a 5% nessa questão.

7ª Questão (Equação da reta e coordenadas do ponto


Os alunos encontrarão, em sua maioria, a resposta mais adequada para resolver a questão, pois utilizarão os conhecimentos construídos nas atividades referentes as coordenadas de pontos e equação da reta.

Negativa

A posteriori

Os alunos deixaram

Os alunos indicaram 7% de acertos e 20% de erros,

268

100% das questões em branco.

onde 83% foram erros procedimentais e 17%, erros conceituais. Esses resultados não foram satisfatórios, uma vez que que o índice de acertos foi menor que o de erros, embora tenha sido maior que o do pré-teste.

8ª Questão (Equação e área da circunferência)


Os alunos encontrarão, em sua maioria, a resposta mais adequada para resolver a questão, pois utilizarão os conhecimentos construídos nas atividades referentes equação da circunferência.

Positiva

A posteriori


Os alunos apresentaram 31% de acertos e 14% de erros, no qual 25% são erros procedimentais e 75%, erros conceituais, o que indica erros relacionados a outros assuntos matemáticos, e não a equação da circunferência. Esses resultados foram satisfatórios mediante os dados mostrado.

9ª Questão (localização de pontos)


Os alunos encontrarão, em sua maioria, a resposta mais adequada para resolver a questão, pois utilizarão os conhecimentos construídos nas atividades referentes a localização de pontos

Positiva

A posteriori

Os alunos deixaram 97% das questões em branco e teve 3% de erros.

Os alunos indicaram 66% de acertos e 34% de erros conceituais. Esses resultados foram satisfatórios, uma vez que a maioria conseguiu alcançar a alternativa correta.

10ª Questão (Representação gráfica da circunferência)

A priori Os alunos não conseguirão resolver, já que ainda não

Os alunos encontrarão, em sua maioria, a resposta mais adequada para resolver a questão, pois utilizarão os conhecimentos construídos nas atividades

269

estudaram o assunto.

referentes a equação da circunferência.

A posteriori


Os alunos apresentaram 41% de acertos e 59% de erros, onde 82% foram erros conceituais e 18%, erros procedimentais, indicando erros relacionados com outros assuntos diferentes da equação da circunferência. Logo, consideramos o resultado satisfatório, visto que apenas 48% dos erros está diretamente relacionado com a equação da circunferência.

Positiva


Na etapa de análises prévias, foi realizado um teste diagnóstico com os alunos

da mesma escola lócus da pesquisa, assim como, realizamos dois testes, um no início

e outro no final da experimentação da sequência didática. Quando comparamos esses

testes, observamos que houve um aumento, em relação aos acertos nessas questões.

Esses valores relativos são indícios de uma melhora no desempenho dos alunos em

relação a Geometria Analítica, uma vez que a média no teste diagnóstico foi 0,6, no

pré-teste foi de 0,2, enquanto no pós-teste foi de 4,9, em uma escala de 0 a 10. O

quadro 65 trouxe um comparativo dos valores relativos, em relação aos acertos

desses testes, junto com o grau de dificuldade, em relação aos maiores índices,

apontado pelos professores nas análises prévias dessa pesquisa.

Quadro 65: Comparativo dos acertos nos testes da pesquisa com o grau de dificuldade indicada pelos docentes

Questões Grau de dificuldade Teste diagnóstico Pré-teste Pós-teste

1ª Muito Fácil 13,5% 10% 69%

2ª Fácil 10% 7% 79%

3ª Regular 0% 0% 14%

4ª Difícil 0% 0% 69%

5ª Regular 4% 0% 62%




9ª Difícil 19% 0% 66%

10ª Difícil 9% 0% 41% Fonte: pesquisa de campo (2016)

270

As questões que os professores, na etapa de análises prévias, afirmaram

serem “muito fácil” (questão 1) ou “fácil” (questão 2), alcançou os índices, no pós-

teste, de acordo com o grau de dificuldade apontada pelos professores, no entanto

nos outros testes foram inferiores a 14%. As questões 7, 8 e 10, julgadas pelos

professores “difícil” foram confirmadas em todos os testes, pois tiveram índices

inferiores a 42%, no entanto o pós-teste teve o maior índice, em relação aos outros

testes.

As questões 4, 6 e 9, embora julgadas “difícil” pelos professores, os índices no

pós-teste foram superiores a 50% no Pós-teste, mas nos outros testes foram inferiores

a 20%. A questão 5 avaliado como “regular” teve um índice de acertos superior a 50%

no pós-teste, contudo nos outros testes foram inferiores a 2%. A questão 3 também

julgada “regular” apresenta uma discordância com os resultados dos testes porque os

índices de acertos foram inferiores a 18%, indício de que a questão é difícil aos alunos.

De modo geral, as questões foram resolvidas de acordo com o grau de dificuldade

que os professores apontaram.

Ao observar os resultados das análises prévias, experimentação e das análises

a posteriori, observamos que essa pesquisa teve resultados semelhantes a pesquisa

de Mesquita Filho (2014) que trabalhou com pré- e pós-testes, onde apresentou um

avanço de 42%, enquanto que essa, houve um aumento de 47%, quando

comparamos os dois testes. Além disso, conforme os dados estatísticos

apresentados, podemos indicar a relevância dessa sequência ao ensino da

matemática, uma vez que, com recursos acessíveis aos professores e alunos,

obtivemos resultados satisfatórios, fazendo com que a mesma proporcionasse uma

melhora na habilidade matemática relacionada a geometria analítica plana, aos

alunos, e aos professores, uma alternativa de ensino diferente do convencional.

271

6 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Como mencionamos inicialmente, nossa intenção foi analisar as

potencialidades de uma sequência didática para o ensino da Geometria Analítica

plana na educação básica, baseado no ensino de Matemática por atividades,

abordando os conhecimentos acerca de ponto, reta e circunferência. Para isso,

optamos em adotar a engenharia didática como metodologia de pesquisa. Nesse

sentido, fizemos análises prévias do ensino habitual, baseados em uma revisão de

estudos dos centros de formação, em nível nacional, um breve histórico da Geometria

Analítica, uma consulta com discentes e docentes paraenses sobre o ensino e

aprendizagem, para elaboração e experimentação de nossa sequência didática.

Em relação as informações obtidas nas análises prévias, podemos dizer que

os estudos levantados, no que se trata o ensino da Geometria Analítica, mostram que

os softwares educacionais, tais como Geogebra, Grafeq, Kig e Cabri-geometre são

recursos bem recorrentes nas pesquisas, visto que a maioria dos estudos os utilizam

como suportes mediadores de aprendizagem. No caso específico desse estudo, não

foi possível o uso de recursos similares, pois a escola locus dessa pesquisa está com

seu laboratório de informática desativado.

As opiniões dos discentes e docentes consultados apontaram para a

necessidade de construir atividades valorizando os conhecimentos de base ao estudo

da Geometria Analítica plana, tais como, coordenadas de pontos, distância entre dois

pontos e equação da reta, visto que os testes, assim como as declarações fornecidas

pelos alunos, revelam possíveis deficiências de compreensão desses conceitos. As

consultas também indicaram que o experimento didático é um procedimento

metodológico pouco explorado em sala de aula por conta de carga-horária curta e

desconhecimento de atividades que possam trabalhar os conteúdos de Geometria

Analítica, o que traz a necessidade de elaborar e apresentar atividades que possam

ser trabalhadas, respeitando o tempo e os obstáculos que os professores apontam

durante suas avaliações relacionadas a aprendizagem de seus alunos.

Na experimentação, detectamos deficiências em relação a aprendizagem dos

conjuntos dos números inteiros, quando tratava-se do processo aditivo desse

conjunto, o que se tornou, inicialmente, um obstáculo de aprendizagem ao

desenvolvimento de algumas atividades, principalmente as relacionadas ao

272

alinhamento de três pontos e equação da reta. No entanto, isso não implica na

impossibilidade de realização das mesmas, pelo contrário, essa sequência

proporcionou a oportunidade à percepção mais clara das dificuldades dos alunos, no

momento de interação conosco e com os colegas de turma, para fazer com que os

alunos superem esses obstáculos.

No que se refere ao tempo de realização dessa sequência didática,

observamos que esse tempo é proporcional às experimentações que tem o auxílio da

tecnologia, o que destacamos como ponto positivo, já que, em algumas situações, por

conta da ausência de laboratórios de informática em funcionamento, as sequências

didáticas que exigem tais recursos específicos ficam comprometidas, e no caso dessa

sequência didática, para execução dela, foram necessários materiais de baixo custo

e bem acessíveis, tais como papel, caneta e régua.

A sequência didática analisada se revelou possível e válida, uma vez que os

alunos, por meio da sua realização, testaram e experimentaram as expressões e

propriedades da Geometria Analítica que habitualmente são apenas anunciadas.

De modo geral, essa sequência didática, mediante alguns ajustes relacionados

a equação de reta, pode se transformar em um produto metodológico, aos

professores, muito relevante ao ensino da Geometria Analítica, visto que os resultados

dessa pesquisa mostraram um avanço no que concerne o desempenho dos alunos,

em relação ao desenvolvimento das atividades aplicadas e aos testes que

aconteceram durante esse processo.

273

REFERÊNCIAS

ALMOULOUD, Saddo A. Fundamentos da didática da Matemática. 2ª edição. Curitiba: Ed. UFPR, 2010. ARTIGUE, Michèle. Engenharia Didáctica. In: BRUN, Jean (org.); FIGUEIREDO, Maria José (tradução). Didáctica das Matemáticas. Lisboa: instituto Piaget, 1996. ALMEIDA, Manoel de Campos. O nascimento da Matemática: a neurofisiologia e a pré-história da Matemática. 1ª edição. São Paulo: Editora livraria da física, 2013. ANDRADE, Roberto C. D. Geometria Analítica plana: praxeologias Matemáticas no ensino médio. Dissertação do programa de pós-graduação em educação em ciências e Matemáticas da Universidade Federal do Pará. Belém/PA, 2007. _________. A noção de tarefa fundamental como dispositivo didático para um percurso de formação de professores: o caso da Geometria Analítica. Tese do programa de pós-graduação em educação em ciências e Matemáticas da Universidade Federal do Pará. Belém/PA, 2012. BARBETTA, Pedro A. Estatística aplicada às ciências sociais. 8ª edição. Florianopólis: Ed. Da UFSC, 2012. BARROSO, Juliane M. (Org.). Conexões com a Matemática. Volume 3. 1ª edição. São Paulo: Moderna, 2010. BRASIL, MEC. Disponível em download.inep.gov.br/educaçao-basica/enem/edital/2015-enem.2015.pdf. Acesso em 01 de fevereiro de 2016. BRENELLI, Rosely P. O jogo como espaço para pensar: a construção de noções lógicas e aritméticas. 5ª edição. Campinas/SP: Papirus, 2005. BOYER, Carl B. A History of analytic geometry. Mineola/N.Y.: Dover publications, 2004. _____; GOMIDE, Elza (tradução); MERZBACH, Uta (revisão). A História da Matemática. 3ª edição. São Paulo: editora Blucher, 2010. BROSSEAU, Guy. Fundamentos e métodos da didáctica da Matemática. In: BRUN, Jean (org.); FIGUEIREDO, Maria José (tradução). Didáctica das Matemáticas. Lisboa: instituto Piaget, 1996. CURY, Helena N. Análise de erros: o que podemos aprender com as respostas dos alunos. 2ª ed. Belo Horizonte: 2015. DÁMBRÓSIO, Ubiratan. Uma história concisa da Matemática no Brasil. Petrópolis/RJ: Vozes, 2008.

274

_____.Educação Matemática: da teoria à prática. 14ª edição. Campinas, SP: Papirus, 2007. DANTE. Matemática: contexto e aplicações. Volume 3. São Paulo: Ática, 2012. EVES, Howard; DOMINGUES, Hygino (tradução). Introdução à história da Matemática. 6ª ed. Campinas/SP: Editora Unicamp, 2004. FERREIRA, Tomaz J. Breve nota sobre o pensamento de Descartes. In: DESCARTES; MELRO, Fernando (tradução). Discurso do método. 3ª ed. Portugal: Publicações Europa-América, 1986. FOSSA, John A. Ensaios sobre a educação Matemática. 2ª edição. São Paulo: ed. Livraria da Física, 2012. FRANZON, Carmem R. P. Análise do livro I do Geometria de Descartes: apontando caminhos para o ensino de Geometria Analítica segundo uma abordagem histórica. Dissertação do programa de pós-graduação em ensino de ciências naturais e Matemática da Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Natal/RN, 2004. GOMES, Rosana P. O ensino das relações trigonométricas no triângulo por atividades. Dissertação do programa de pós-graduação em educação da Universidade do Estado do Pará. Belém/Pa, 2013. GUEDES, Paulo C. C. Algumas aplicações do software GeoGebra ao ensino da Geometria Analítica. Dissertação do programa de mestrado profissional em rede nacional da Universidade Federal do Espírito Santo. Vitória/ES, 2013. HAJNAL, Fabiana. O estudo do paralelismo o no ensino da Geometria Analítica plana: do empírico ao dedutivo. Dissertação do programa de mestrado profissional em ensino da Matemática da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo. São Paulo/SP, 2007. HOFFMAN, Laurence D. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. 2ª edição. São Paulo: livros técnicos e científicos editora, 1998. IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática elementar: Geometria Analítica. volume 7. São Paulo: Atual, 2005. IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; DEGENSZAJN, David; PÉRIGO, Roberto; ALMEIDA, Nilze de. Matemática: ciência e aplicações. Volume 3 (ensino médio). 6ª edição. São Paulo: Saraiva, 2010. LEVIN, Jack; FOX, James A. Estatística para ciências humanas. 9ª ed. São Paulo: Pearson, 2004. MENDES, Iran A.; BRITO, Arlete; CARVALHO, Dione L. História da Matemática em atividades didáticas. Natal/RN: EDUFRN, 2005.

275

MENDES, Iran A. Matemática e investigação em sala de aula: tecendo redes cognitivas na aprendizagem. Natal: Flecha do tempo, 2006. MESQUITA FILHO, José Victor. A aprendizagem da circunferência na perspectiva da Geometria Analítica mediada pelo software educacional geogebra. Dissertação do programa de pós-graduação em Matemática em rede nacional da Universidade Federal do Ceará. Fortaleza/CE, 2014. MURARI, Claudemir. Espelhos, caleidoscópios, simetrias, jogos e softwares educacionais no ensino e aprendizagem de Geometria. In: BICUDO, Maria Aparecida V.; BORBA, Marcelo C. Educação Matemática: Pesquisa em movimento. 4ª edição. São Paulo: Cortez, 2012. PAIS, Luis Carlos. Didática da Matemática: uma análise da influência francesa. 2ª edição. Belo Horizonte: Autêntica, 2008. PAIVA, Manoel. Matemática. Volume 3. 1ª edição. São Paulo: Moderna, 2009. PATRICIO, Rafael S. As dificuldades relacionadas à aprendizagem do conceito de vetor à luz da teoria dos registros de representação semiótica. Dissertação do programa de pós-graduação em educação em ciências e matemáticas da Universidade Federal do Pará. Belém/Pa: 2011. PEREIRA, Ana Paula L. Futebol: a Geometria Analítica no campo. Dissertação do programa de pós-graduação profissional (PROFMAT) da Universidade Federal de São Carlos. São Carlos/SP: 2013 Portal do Professor, MEC. Disponível em: www.portaldoprofessor.mec.gov.br Acesso em 25 de agosto de 2015 RIZZON, Katya. Análise da linguagem Matemática relacionada a Geometria Analítica do ensino médio. Dissertação do programa de pós-graduação em educação em ciências e Matemática da Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul. Porto Alegre/RS, 2008. SÁ, Pedro F. Atividades para o ensino de Matemática no nível fundamental. Belém/Pa: Eduepa, 2009. SÁ, Pedro F.; JUCÁ, Rosineide de S. Matemática por atividades: experiências didáticas bem-sucedidas. Petrópolis/RJ: Vozes, 2014. _____; ALVES, Fábio José C. A engenharia didática: alternativa metodológica para pesquisa em fenômenos didáticos. In: MARCONDES, Maria Inês; OLIVEIRA, Ivanilde A.; TEIXEIRA, Elizabeth. (Org.). Abordagens teóricas e construções metodológicas na pesquisa em educação. Belém: EDUEPA, 2011. SANTOS, Ricardo S. Tecnologias digitais na sala de aula para aprendizagem de conceitos de Geometria Analítica: manipulações no software GraFeq. Dissertação do programa de pós-graduação em ensino da Matemática da Universidade Federal do Rio Grande do sul. Porto Alegre/RS, 2008.


276

SANTOS, Waldízia L. S. O ensino de volume de sólidos por atividades. Dissertação do programa de pós-graduação em educação da Universidade do Estado do Pará. Belém/Pa, 2012. SCHLEMMER, Eliane. Políticas e práticas de professores a distância: por uma emancipação digital cidadã. In: Gatti, Bernadete Angelina et al(Org.). Por uma política nacional de formação de professores. 1ª ed. São Paulo: Editora Unesp, 2013. SEGURA, Claudia S. C. Releitura de obras de arte pelo viés da Geometria Analítica: uma proposta interdisciplinar para o ensino da Matemática. Dissertação do programa de mestrado profissional da Universidade Estadual de Londrina. Londrina/PR, 2013. SILVA, Michelli P.; SILVA, Marcos B. As novas tecnologias e o ensino da Geometria Analítica. Trabalho de Conclusão de Curso de licenciatura em Matemática da Universidade da Amazônia. Belém/Pa, 2008. SILVA, Welligton M. S. Uma Abordagem Dinâmica e Inovadora para o ensino da Geometria Analítica no Ensino Médio. Dissertação do mestrado profissional em Matemática em rede Nacional da Universidade Federal de Alagoas. Maceió/AL, 2013. SILVA, Silvio T.T. O ensino das funções exponencial e logarítmica por atividades. Dissertação de mestrado do programa de pós-graduação em educação da Universidade do Estado do Pará. Belém/Pa, 2014. SILVA, Hugo C.M. da. O ensino de matrizes a partir da resolução de problemas. Dissertação de mestrado do programa de pós-graduação em educação da Universidade do Estado do Pará. Belém/Pa, 2015. SMOLE, Katia S; DINIZ, Maria Ignez; PESSOA, Neide; ISHIHARA, Cristiane. Cadernos do Mathema: jogos de Matemática. Porto Alegre: Grupo A, 2008. Só Xadrez. Disponível em: www.soxadrez.com.br Acesso em 07 de agosto de 2015 Seduc-Pa. Disponível em: www.seduc.pa.gov.br. Acesso em 26 de setembro de 2015. SOUZA, Joamir. Matemática. Volume 3. Coleção novo olhar. 1ª edição. São Paulo: FTD, 2010. TÁVORA, Maria Josefa S.; BENTES, Nilda de O. O questionário como instrumento de pesquisa: algumas aproximações teórico-metodológicas. In: MARCONDES, Maria Inês; OLIVEIRA, Ivanilde A.; TEIXEIRA, Elizabeth. (Org.). Abordagens teóricas e construções metodológicas na pesquisa em educação. Belém: EDUEPA, 2011.

http://www.soxadrez.com.br/

http://www.seduc.pa.gov.br/

277

VALENTE, Wagner R. (Org.). História da Matemática no Brasil: problemáticas de pesquisa, fontes, referências teórico-metodológicas e histórias elaboradas. São Paulo: editora livraria da Física, 2014. VARELLA, Marcia. Prova e demonstrações na Geometria Analítica: uma análise das organizações didática e Matemática em materiais didáticos. Dissertação do mestrado em educação Matemática da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo. São Paulo/SP, 2010. VOSGERAU, Dilmiere S.; ROMANOWSKI, Joana P. Estudos de revisão: implicações conceituais e metodológicas. Rev. Diálogo Educ., vol. 14, n. 41., p. 165-189, jan/abr. Curitiba, 2014. Wikipédia. Disponível em: <Wikipédia/wiki/xadrez> Acesso em 07 de agosto de 2015.

278

APÊNDICE A–Questionário para Discentes

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO – MESTRADO

Prezado (a) aluno (a), Neste momento estamos realizando um estudo que busca a melhoria do processo de ensino-

aprendizagem da Matemática, para tanto necessitamos de sua colaboração respondendo as questões abaixo para o êxito deste trabalho. Desde já agradecemos sua colaboração e garantimos que a sua identificação será mantida em sigilo.

Muito obrigada!

1. Idade: ____ anos. 2- Município da escola: _______________ Data: ____/____/______

3. Sexo: () masculino () feminino 4. Quem é o seu responsável? () Pai () Mãe () Avô () Avó () Tia () Tio () Irmão () Irmã () não tenho () outro. Quem? ________________________________ 5. Até que série estudou o seu responsável? ________________________________________________________ 6. Seu responsável trabalha? ( ) Sim ( ) Não 7. Você estudou o Ensino Fundamental em que tipo de escola: ( ) Estadual ( ) Municipal ( ) Particular ( ) Outra. Qual?___________ 8. Você trabalha de forma remunerada? ( ) Sim ( ) Não ( ) Às vezes 9. Você faz algum curso extracurricular? ( ) Não faço ( ) Informática ( ) Língua estrangeira ( ) Outro, qual?

___________ 10. Você gosta de Matemática? ( ) Não gosto ( ) Gosto pouco ( ) gosto muito 11. Você está repetindo esta série? ( ) Não ( ) Sim 12. Você tem dificuldade para aprender Matemática? ( ) Não ( ) Um pouco ( ) Muito

13. Você se distrai nas aulas de Matemática? Por quê? __________________________________________________________________________________________

14. Você costuma estudar Matemática fora da escola? ( ) Só no período de prova ( ) Só na véspera da prova. ( ) Só nos fins de semana. ( ) Alguns dias da semana. ( )Todo dia. ( ) Só estudo em sala de aula. 15. Quem lhe ajuda nas tarefas de casa de Matemática? ( ) Professor particular ( ) Pai ( ) Mãe ( ) Irmão ( ) Amigo(a) ( ) Ninguém ( ) Outros. Quem? _______________________________ 16. Quando você estudou Geometria Analítica, a maioria das aulas iniciava:

( ) pela definição seguida de exemplos e exercícios. ( ) com uma situação problema para depois introduzir o assunto. ( ) com um experimento para chegar ao conceito. ( ) com um modelo para situação e em seguida analisando o modelo. ( ) com a História do assunto. ( ) Ainda não estudei esse assunto em sala.

17. Para exercitar os conteúdos de Geometria Analítica seu professor costuma: ( ) apresentar uma lista de exercícios para serem resolvidos. ( ) apresentar jogos envolvendo o assunto. ( ) solicitar que os alunos resolvessem questões do livro didático. ( ) não propor questões de fixação. ( ) solicitar que os alunos procurassem questões sobre o assunto para resolver. ( ) o professor ainda não ministrou esse conteúdo.

18 – Acerca dos conhecimentos de Geometria Analítica, preencha o quadro abaixo:

279

ITENS REFERENTES AOS CONTEÚDOS DE GEOMETRIA

ANALÍTICA

VOCÊ

LEMBRA DE

TER

ESTUDADO?

GRAU DE DIFICULDADE PARA APRENDER

Sim Não Muito

Fácil

Fácil Regular

Difícil Muito

Difícil

1) Identificar as coordenadas de um ponto marcado no 1º quadrante.




5) Identificar as coordenadas de um ponto marcado sobre o eixo das abcissas.

6) Identificar as coordenadas de um ponto marcado sobre o eixo das ordenadas.

7) Marcar o ponto no 1º quadrante.




11) Marcar o ponto sobre o eixo X.

12) Marcar o ponto sobre o eixo Y.

13) Encontrar a distância entre dois pontos.

14) Encontrar as coordenadas do ponto médio de um segmento de reta.

15) Determinar o ponto de intersecção de duas retas.

16) Verificar se um ponto pertence a uma reta.

17) Verificar quando os pontos estão alinhados.

18) Determinar a declividade de uma reta.

19) Escrever a equação da reta na sua forma geral.

20) Escrever a equação da reta na sua forma segmentária.

21) Escrever a equação da reta na sua forma paramétrica.

22) Representar graficamente uma equação da reta.

23) Determinar a equação da reta a partir de 2 pontos.

24) Determinar a equação da reta a partir de 1 ponto e sua declividade.

25) Reconhecer retas paralelas.

26) Reconhecer retas concorrentes.

27) Reconhecer retas são perpendiculares.

28) Determinar a equação da reta paralela a outra conhecendo um ponto da mesma.

29) Determinar a equação da reta perpendicular a outra reta conhecendo um ponto da primeira reta.

30) Encontrar a área de um triângulo a partir de 3 pontos.

31) Reconhecer uma equação da circunferência em sua forma reduzida.

32) Reconhecer uma equação da circunferência em sua forma geral.

33) Determinar o centro a partir da equação reduzida da circunferência.

34) Determinar o centro a partir da equação geral da circunferência.

280

35) Determinar o raio a partir da equação reduzida da circunferência.

36) Determinar o raio a partir da equação geral da circunferência.

37) Verificar se um ponto pertence ou não a uma circunferência.

38) Representar graficamente uma circunferência.

39) Reconhecer quando uma reta é secante à circunferência.

40) Reconhecer quando uma reta é tangente à circunferência.

41) Reconhecer quando uma reta é exterior à circunferência.

42) Determinar a equação da circunferência a partir da tangência exterior a outra circunferência.

43) Determinar a equação da circunferência a partir da tangência interna a outra circunferência.

44) Determinar a área da circunferência a partir da equação dela.

45) Resolver situações-problema no qual são fornecidos os pontos e solicitada a equação da reta.

46) Resolver situações-problema no qual são fornecidos os pontos e solicitada a área de um triângulo.

47) Resolver situações-problema no qual é necessário a interpretação gráfica da equação da reta.

48) Resolver situações-problema no qual é fornecida a equação da circunferência e é solicitado o raio dela.

49) Resolver situações-problema no qual são fornecidos o centro e o raio da circunferência e solicitado a equação da mesma.

50) Resolver situações-problema no qual é fornecido a equação da circunferência e é solicitado área do círculo.

Por favor, resolva as questões abaixo:

1) Encontre o ponto médio do segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , em que A(4, 6) e B(8, 10).

2) Calcule a distância entre A(6, 7) e B(9, 11).

3) De acordo com a figura abaixo, a área da região delimitada pelos eixos coordenados e pela reta r vale 4 unidades de área. Se o ponto A = (-1, 2) pertence à reta r, qual é a equação da reta r ?

4) A figura abaixo apresenta parte do mapa de uma cidade, no qual estão identificadas a Catedral, a

Prefeitura e a Câmara de Vereadores. Observe que o quadriculado não representa os quarteirões da cidade, servindo apenas para a localização dos pontos e retas no plano cartesiano. Nessa cidade, a Avenida Brasil é formada pelos pontos equidistantes da Catedral e da Prefeitura, enquanto a Avenida Juscelino Kubitschek (não mostrada no mapa) é fornecida pelos pontos equidistantes da Prefeitura e da Câmara de Vereadores.

281

Sabendo que a distância real entre a Catedral e a Prefeitura é de 500m, qual é a distância real, em linha reta,

entre a Catedral e a câmara de Vereadores?

5) Determine uma equação da circunferência cujo centro é C (2, 5) e o raio é igual a 3.

6) Qual é a área da figura colorida no diagrama abaixo?

7) O gráfico abaixo representa, dentro do sistema de eixos cartesianos ortogonais, a trajetória de um táxi, de um bairro A para um bairro B, passando pelos bairros X e Y nessa ordem.

Se os pontos A, X, Y e B pertencem a reta de equação 3x – 4y + 120=0 e as distâncias entre os pontos A e X; X e Y; Y e B são iguais entre si, então, nessas condições, quais são as coordenadas dos pontos A e B ?

8) Um professor de Matemática preocupado com

o desmatamento na Amazônia resolveu

desenvolver uma atividade com seus alunos,

na qual abordava o desmatamento de uma

determinada área. O objetivo da atividade

estava relacionado à sensibilização para a

necessária preservação da floresta

amazônica. Na atividade foram apresentados

os gráficos abaixo, com a figura 1

representando a área sem o desmatamento e

a figura 2 representando a área com o

desmatamento existente. Se a área

desmatada pode ser representada pela equação da circunferência x2 + y2 – 8x – 10y+ 40 = 0, então qual é o

valor da área desmatada?

Dados: 𝜋 = 3,14

Ac = 𝜋. 𝑟2

282

9) A figura a seguir é a

representação de uma região por

meio de curvas de nível, que são

curvas fechadas representando a

altitude da região, em relação ao

nível do mar. As coordenadas

estão expressas em graus de

acordo com a longitude, no eixo

horizontal, e a latitude, no eixo

vertical. A escala em tons de cinza

desenhada abaixo está associada

a altitude da região. Um pequeno

helicóptero usado para

reconhecimento sobrevoa a região a partir do ponto X = (20, 60). O helicóptero segue o percurso: 0,8° L

→ 0,5° N → 0,2° O → 0,1° S → 0,4° N → 0,3° L.






e) Maior que 800 m.

10) Durante uma aula de Matemática, o professor sugere aos alunos que seja fixado um sistema de coordenadas cartesianas (x, y) e representa na lousa a descrição de cinco conjuntos algébricos, I, II, III,

IV e V, como se segue:

VI — É a circunferência de equação x2 + y2 = 9;

VII — É a parábola de equação y = −x2− 1, com x variando de −1 a 1;

VIII — É o quadrado formado pelos vértices (−2, 1), (−1, 1), (−1, 2) e (−2, 2);

IX — É o quadrado formado pelos vértices (1, 1), (2, 1), (2, 2) e (1, 2);

X — É o ponto (0, 0).


Qual destas figuras foi desenhada pelo professor?

3

-3 3

-3

9

-9 9

-9

9

-9 9

-9

3

-3 3

-3

283

APÊNDICE B–Questionário para os Docentes

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ CENTRO DE CIÊNCIASSOCIAIS E EDUCAÇÃO

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO STRICTO SENSU EM EDUCAÇÃO - MESTRADO

Caro(a) Professor (a), Este instrumento tem como objetivo obter informações para um estudo que pretende contribuir na

superação dos obstáculos de ensino e aprendizagem de Matemática, encontrados por professores e alunos durante as atividades em sala de aula referente ao ensino de Geometria Analítica. Nesse sentido, sua

colaboração respondendo a este questionário é de grande importância para o êxito do estudo em questão e garantimos que a sua identificação será mantida em sigilo.

Desde já agradecemos a sua colaboração com o nosso trabalho!

1 - Sexo: Masculino ( ) Feminino ( ) 2 – Município:________________ Data:___/_____/_____ 3 - Faixa Etária: ( ) Menos de 21 anos ( ) 21-25 anos ( ) 26-30 anos ( ) 31- 35 anos ( ) 36-40 anos ( ) 41-45 anos ( ) 46-50 anos ( ) 51-55 anos ( ) 56 –60 anos ( ) 61-65 anos ( ) mais de 65 anos 4 - Escolaridade (informe sua graduação e todas as suas pós-graduações)

Ensino Superior.____________________________Instituição:_________________ Ano de Conclusão_______ Especialização. ____________________________Instituição:________________ Ano de Conclusão_______ Mestrado._________________________________Instituição:________________ Ano de Conclusão_______ Doutorado.________________________________Instituição:________________ Ano de Conclusão_______ 5 - Tempo de serviço como professor de Matemática? ( ) Menos de um ano ( ) 1-5 anos ( ) 6-10 anos ( ) 11-15 anos ( ) 16-20 anos ( ) 21-25 anos ( ) 26-30 anos ( ) 31-35 anos ( ) Mais de 35 anos 6 - Tipo de escola que trabalha atualmente: ( ) Pública Estadual. Qual?____________________________________________________________________ ( ) Pública Municipal. Qual?___________________________________________________________________ ( ) Publica Federal. Qual?____________________________________________________________________ ( ) Privada. Qual?____________________________________________________________________________ ( ) Outra. Qual?____________________________________________________________________________ 7 – Você insere o conteúdo de Geometria Analítica em seu plano de curso anual? ( )sim ( )não 8 – Se você respondeu sim para a questão 7, em que série (ensino médio) você ensina o conteúdo de Geometria

Analítica? ( ) 1º ano ( ) 2º ano ( ) 3º ano 9 - Durante sua formação de professor de Matemática, você fez alguma disciplina sobre o ensino de Geometria Analítica? ( ) Não ( ) Sim, Qual?________________________________________________________

10 - Como professor de Matemática, você já participou de algum evento (por exemplo, congresso, seminário ou palestra) ou curso sobre o ensino de Geometria Analítica? ( ) Não ( ) Sim, qual?

_________________________________ 11 - Você ensina Geometria Analítica do modo como aprendeu na sua formação básica? ( ) Não ( ) Sim

12 – Na época que você estudou Geometria Analítica suas aulas iniciavam: ( ) pela definição seguida de exemplos e exercícios. ( ) com uma situação problema para depois introduzir o assunto. ( ) com um experimento para chegar ao conceito. ( ) com um modelo para situação e em seguida analisando o modelo. ( ) com jogos para depois sistematizar os conceitos. 13 - Quando você ensina Geometria Analítica, a maioria das aulas começa:

( ) pela definição seguida de exemplos e exercícios. ( ) com uma situação problema para depois introduzir o assunto. ( ) com um experimento para chegar ao conceito.

284

( ) com um modelo para situação e em seguida analisando o modelo. ( ) com jogos para depois sistematizar os conceitos. 14 - Para exercitar os conteúdos de Geometria Analítica você costuma:

( ) Apresentar uma lista de exercícios para serem resolvidos. ( ) Apresentar jogos envolvendo o assunto. ( ) Solicitar que os alunos resolvam os exercícios do livro didático. ( ) Não propõe questões de fixação. ( ) Solicita que os alunos procurem questões sobre o assunto para resolver. 15 - Você já realizou o ensino Geometria Analítica por meio de experimentos didáticos? ( ) Não ( ) Sim, qual? _________________________________________________________________________________________ 16 - Se você respondeu não para a questão 15, qual seria o motivo? ( ) A carga horária é muito curta para realizar experimento didático. ( ) Desconheço experimentos didáticos para trabalhar o conteúdo de Geometria Analítica. ( ) Prefiro ministrar o conteúdo de Geometria Analítica de maneira expositiva. ( ) Outro motivo__________________________________________________________________________ 17 – Quantas aulas você gasta aproximadamente para ministrar o conteúdo de Geometria Analítica?________________ 18 – Você utiliza o livro didático adotado para ensinar os conteúdos de Geometria Analítica? ( ) sim ( ) não 19 – Sobre sua experiência docente ensinando os conteúdos referentes a Geometria Analítica, preencha abaixo:

ITENS REFERENTES AOS CONTEÚDOS DA GEOMETRIA

ANALÍTICA

VOCÊ

COSTUMA

MINISTRAR

?

GRAU DE DIFICULDADE PARA OS ALUNOS

APRENDEREM

Si

m

Não Muito

Fácil

Fáci

l

Regular Difícil Muito

Difícil

1) Identificar as coordenadas de um ponto marcado

no 1º quadrante.


no 2º quadrante.


no 3º quadrante.


no 4º quadrante.


sobre o eixo das abcissas.


sobre o eixo das ordenadas.





11) Marcar o ponto sobre o eixo X.

12) Marcar o ponto sobre o eixo Y.

13) Encontrar a distância entre dois pontos.

14) Encontrar as coordenadas do ponto médio de um

segmento de reta.

15) Determinar o ponto de intersecção de duas retas.

16) Verificar se um ponto pertence a uma reta.

17) Verificar quando os pontos estão alinhados.

18) Determinar a declividade de uma reta.

19) Escrever a equação da reta na sua forma geral.

285

20) Escrever a equação da reta na sua forma

segmentária.

21) Escrever a equação da reta na sua forma

paramétrica.

22) Representar graficamente uma equação da reta.

23) Determinar a equação da reta a partir de 2 pontos.

24) Determinar a equação da reta a partir de 1 ponto

e sua declividade.

25) Reconhecer retas paralelas.

26) Reconhecer retas concorrentes.

27) Reconhecer retas são perpendiculares.

28) Determinar a equação da reta paralela a outra

conhecendo um ponto da mesma.

29) Determinar a equação da reta perpendicular a

outra reta conhecendo um ponto da primeira reta.

30) Encontrar a área de um triângulo a partir de 3

pontos.

31) Reconhecer uma equação da circunferência em

sua forma reduzida.

32) Reconhecer uma equação da circunferência em

sua forma geral.

33) Determinar o centro a partir da equação reduzida

da circunferência.

34) Determinar o centro a partir da equação geral da

circunferência.

35) Determinar o raio a partir da equação reduzida da

circunferência.

36) Determinar o raio a partir da equação geral da

circunferência.

37) Verificar se um ponto pertence ou não a uma

circunferência.

38) Representar graficamente uma circunferência.

39) Reconhecer quando uma reta é secante à

circunferência.

40) Reconhecer quando uma reta é tangente à

circunferência.

41) Reconhecer quando uma reta é exterior à

circunferência.

42) Determinar a equação da circunferência a partir

da tangência exterior a outra circunferência.

43) Determinar a equação da circunferência a partir

da tangência interna a outra circunferência.

44) Determinar a área da circunferência a partir da

equação dela.

45) Resolver situações-problema no qual são

fornecidos os pontos e solicitada a equação da reta.


fornecidos os pontos e solicitada a área de um

triângulo.

47) Resolver situações-problema no qual é

necessário a interpretação gráfica da equação da

reta.

48) Resolver situações-problema no qual é fornecida

a equação da circunferência e é solicitado o raio dela.

286


fornecidos o centro e o raio da circunferência e

solicitado a equação da mesma.

50) Resolver situações-problema no qual é fornecido

a equação da circunferência e é solicitado área do

círculo.

Por favor, a seguir solicitamos que indique o grau de dificuldade, relacionado a resolução, em cada questão abaixo:



3) De acordo com a figura abaixo, a área da região delimitada pelos eixos coordenados e pela reta r vale 4

unidades de área. Se o ponto A = (-1, 2) pertence à reta r, qual é a equação da reta r?

4) A figura abaixo apresenta parte do mapa de uma cidade, no qual estão identificadas a Catedral, a Prefeitura e a Câmara de Vereadores. Observe que o quadriculado não representa os quarteirões da cidade, servindo apenas para a localização dos pontos e retas no plano cartesiano. Nessa cidade, a Avenida Brasil é formada pelos pontos equidistantes da Catedral e da Prefeitura, enquanto a Avenida Juscelino Kubitschek (não mostrada no mapa) é fornecida pelos pontos equidistantes da Prefeitura e da Câmara de Vereadores.

Sabendo que a distância real entre a Catedral e a Prefeitura é de 500m, qual é a distância real, em linha

reta, entre a Catedral e a Câmara de Vereadores?

5) Determine uma equação da circunferência cujo centro é C(2, 5) e o raio é igual a 3.



Nível de dificuldade para resolução aos alunos: ( ) Muito Fácil ( ) Fácil ( ) Regular

( ) Difícil ( ) Muito Difícil













287

Se os pontos A, X, Y e B pertencem à reta de equação 3x – 4y + 120=0 e as distâncias entre os pontos A e X; X e Y; Y e B são iguais entre si, então, nessas condições, quais são as coordenadas dos pontos A e B?

8) Um professor de Matemática preocupado com o desmatamento na Amazônia resolveu desenvolver uma

atividade com seus alunos, na qual abordava o desmatamento de

uma determinada área. O objetivo da atividade estava relacionado

à sensibilização para a necessária preservação da floresta

amazônica. Na atividade foram apresentados os gráficos abaixo,

com a figura 1 representando a área sem o desmatamento e a

figura 2 representando a área com o desmatamento existente. Se

a área desmatada pode ser representada pela equação da

circunferência x2 + y2 – 8x – 10y+ 40 = 0, então qual é o valor da

área desmatada?

Dados: 𝜋 = 3,14

Ac = 𝜋. 𝑟2 9) A figura a seguir é a representação de uma região por meio de curvas de nível, que são curvas fechadas

representando a altitude da região, em relação ao nível do mar.

As coordenadas estão expressas em graus de acordo com a

longitude, no eixo horizontal, e a latitude, no eixo vertical. A escala

em tons de cinza desenhada abaixo está associada à altitude da

região. Um pequeno helicóptero usado para reconhecimento

sobrevoa a região a partir do ponto X = (20, 60). O helicóptero

segue o percurso: 0,8° L → 0,5° N → 0,2° O → 0,1° S → 0,4° N

→ 0,3° L. De acordo com as orientações, o helicóptero pousou em

um local cujo altitude é:





e) Maior que 800 m.

10) Durante uma aula de Matemática, o professor sugere aos alunos que seja fixado um sistema de coordenadas cartesianas (x, y) e representa na lousa a descrição de cinco conjuntos algébricos, I, II, III,

IV e V, como se segue:

XI — é a circunferência de equação x2 + y2 = 9;

XII — é a parábola de equação y = −x2− 1, com x variando de −1 a 1;

XIII — é o quadrado formado pelos vértices (−2, 1), (−1, 1), (−1, 2) e (−2, 2);

XIV — é o quadrado formado pelos vértices (1, 1), (2, 1), (2, 2) e (1, 2);

XV — é o ponto (0, 0).

A seguir, o professor representa corretamente os cinco conjuntos sobre uma mesma malha quadriculada, composta de quadrados com lados medindo uma unidade de comprimento, cada, obtendo uma figura. Qual destas figuras foi desenhada pelo professor?

9

-9 9

-9

9

-9 9

-9

3

-3

3 -3

Nível de dificuldade para resolução aos alunos: ( ) Muito Fácil ( ) Fácil ( ) Regular ( ) Difícil ( ) Muito Difícil



a) b) c)

288

3

-3 3 -3

d)

e)



289

Apêndice C – Pré- e Pós-teste

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO – MESTRADO

Prezado(a) aluno (a), Neste momento estamos realizando um estudo que busca a melhoria do processo de ensino-

aprendizagem da Matemática, para tanto necessitamos de sua colaboração respondendo as questões abaixo para o êxito deste trabalho. Desde já agradecemos sua colaboração e garantimos que a sua identificação será mantida em sigilo.

Muito obrigada!

Nome do(a) aluno(a):________________________________________ Identificação:_______ 1. Idade: ____ anos. 2- Município da escola:_______________ Data:____/____/______

3. Sexo: ( ) Masculino ( ) Feminino 4. Quem é o seu responsável? ( )Pai ( )Mãe ( )Avô ( )Avó ( )Tia ( )Tio ( )Irmão ( )Irmã ( ) Não tenho ( )Outro. Quem?________________________________

5. Até que série estudou o seu responsável? __________________________________________ 6. Seu responsável trabalha? ( ) Sim ( ) Não 7. Você estudou o Ensino Fundamental em que tipo de escola: ( ) Estadual ( ) Municipal ( ) Particular ( ) Outra. Qual?___________ 8. Você trabalha de forma remunerada? ( ) Sim ( ) Não ( ) Às vezes 9. Você faz algum curso extracurricular? ( ) Não faço ( ) Informática ( ) Língua estrangeira ( ) Outro,

qual?___________ 10. Você gosta de Matemática? ( ) Não gosto ( ) Gosto pouco ( ) gosto muito 11. Você está repetindo esta série? ( ) Não ( ) Sim 12. Você tem dificuldade para aprender Matemática? ( ) Não ( ) Um pouco ( ) Muito 13. Você se distrai nas aulas de Matemática? Por quê? _________________________________

14. Você costuma estudar Matemática fora da escola? ( ) Só no período de prova ( ) Só na véspera da prova ( ) Só nos fins de semana ( ) Alguns dias da semana. ( )Todo dia ( ) Só estudo em sala de aula 15. Quem lhe ajuda nas tarefas de casa de Matemática? ( ) Professor particular ( ) Pai ( ) Mãe ( ) Irmão ( ) Amigo(a) ( ) Ninguém ( ) Outros. Quem? _____________

290

Por favor, resolva as questões abaixo:



3) De acordo com a figura abaixo, a área da região delimitada pelos eixos coordenados e pela

reta r vale 4 unidades de área. Se o ponto A = (-1, 2) pertence à reta r, qual é a equação da

reta r ?

4) A figura abaixo apresenta parte do mapa de uma cidade, no qual estão identificadas a catedral,

a prefeitura e a câmara de vereadores. Observe que o quadriculado não representa os quarteirões da cidade, servindo apenas para a localização dos pontos e retas no plano cartesiano. Nessa cidade, a Avenida Brasil é formada pelos pontos equidistantes da catedral e da prefeitura, enquanto a Avenida Juscelino Kubitschek (não mostrada no mapa) é fornecida pelos pontos equidistantes da prefeitura e da câmara de vereadores.

Sabendo que a distância real entre a catedral e a prefeitura é de 500m, qual é a distância real, em linha

reta, entre a catedral e a câmara de vereadores?

5) Determine uma equação da circunferência cujo centro é C (2, 5) e o raio é igual a 3.


291


Se os pontos A, X, Y e B pertencem à reta de equação 3x – 4y + 120=0 e as distâncias entre os pontos A e X; X e Y; Y e B são iguais entre si, então, nessas condições, quais são as coordenadas dos pontos A e B ?

8) Um professor de Matemática preocupado com o desmatamento na Amazônia resolveu desenvolver

uma atividade com seus alunos, na qual abordava o

desmatamento de uma determinada área. O objetivo

da atividade estava relacionado à sensibilização para

a necessária preservação da floresta amazônica. Na

atividade foram apresentados os gráficos abaixo,

com a figura 1 representando a área sem o

desmatamento e a figura 2 representando a área com

o desmatamento existente. Se a área desmatada

pode ser representada pela equação da

circunferência x2 + y2 – 8x – 10y+ 40 = 0, então qual

é o valor da área desmatada?

Dados: 𝜋 = 3,14

Ac = 𝜋. 𝑟2

9) A figura a seguir é a representação de uma região por meio de curvas de nível, que são curvas

fechadas representando a

altitude da região, em relação ao

nível do mar. As coordenadas

estão expressas em graus de

acordo com a longitude, no eixo

horizontal, e a latitude, no eixo

vertical. A escala em tons de

cinza desenhada abaixo está

associada à altitude da região.

Um pequeno helicóptero usado

para reconhecimento sobrevoa

a região a partir do ponto X =

(20, 60).

O helicóptero segue o percurso: 0,8° L → 0,5° N → 0,2° O → 0,1° S → 0,4° N → 0,3° L.


f) Menor ou igual a 200 m.

g) Maior que 200 m e menor ou igual a 400 m.

h) Maior que 400 m e menor ou igual a 600 m.

i) Maior que 600 m ou igual a 800 m.

j) Maior que 800 m.

292

10) Durante uma aula de Matemática, o professor sugere aos alunos que seja fixado um sistema de coordenadas cartesianas (x, y) e representa na lousa a descrição de cinco conjuntos algébricos, I, II, III, IV e V, como se segue:

XVI — é a circunferência de equação x2 + y2 = 9;

XVII — é a parábola de equação y = − x2 − 1, com x variando de −1 a 1;

XVIII — é o quadrado formado pelos vértices (−2, 1), (−1, 1), (−1, 2) e (−2, 2);

XIX — é o quadrado formado pelos vértices (1, 1), (2, 1), (2, 2) e (1, 2);

XX — é o ponto (0, 0).


Qual destas figuras foi desenhada pelo professor?

a) b)

c)

d) e)

9

-9 9

-9

9

-9 9

-9

3

-3 3

-3

3

-3 3

-3

293

APÊNDICE D - PLANO CARTESIANO

294

APÊNDICE E – QUADRO DE BARICENTRO Triângulo 1:

Triângulo 2:

Triângulo 3:

Triângulo 4:

295

Triângulo 5:

Triângulo 6:

Triângulo 7:

Triângulo 8:

296

Triângulo 9:

Triângulo 10:

297

APÊNDICE F - QUADRO DE RETAS I

RETA a:

RETA b:

RETA c:

RETA d:

298

RETA e:

RETA f:

RETA g:

299

RETA h:

RETA i:

RETA j:

300

301

APÊNDICE G - QUADRO DE PARES DE RETAS II

1º par:

2º par:

3º par:

4º par:

5º par:

302

6º par:

7º par:

8º par:

9º par:

303

10° par:

304

APÊNDICE H - QUADRO DE PARES DE RETAS III

1º par:

2º par:

3º par:

4º par:

5º par:

305

6º par:

7º par:

8º par:

9º par:

306

10º par:

307

APÊNDICE I - QUADRO DE CIRCUNFERÊNCIAS

Circunferência 1:

Circunferência 2:

Circunferência 3:

Circunferência 4:

Circunferência 5:

308

Circunferência 6:

Circunferência 7:

Circunferência 8:

Circunferência 9:

309

Circunferência 10:

310

APÊNDICE J – QUADRO DE PONTO E RETA 1º par:

2º par:

3º par:

4º par:

311

5º par:

6º par:

7º par:

312

8º par:

9º par:

313

10º par:

314

Apêndice K – Quadro de triângulos

Quadro de triângulos Triângulo 1:

Triângulo 2:

Triângulo 3:

315

Triângulo 4:

Triângulo 5:

b Triângulo 6:

316

Triângulo 7:

Triângulo 8:

317

Triângulo 9:

Triângulo 10:

318

319

APÊNDICE L – LISTA DE QUESTÕES 1 Título: Lista de Questões sobre localização

Objetivo: Exercitar os conhecimentos acerca de localização, marcação de pontos e leitura de

gráficos.

Material: folha de atividade de fixação 1, lápis ou caneta.

Procedimento:

Resolver as seguintes questões:

1) Situe no mesmo sistema de eixos cartesianos os pontos A (1,3), B (-2,1), C (0, -4), D (4,0), E (-2,

-3), F (2, -1) e G (3, -4).

2) Marque, em um mesmo plano cartesiano, os pontos A (-1, -2), B (-4,5), C (0,4), D (3,0), E (6,7), F

(0, -5) e G (3, -3).

3) Identifique em um plano cartesiano os pontos A (-3,4), B (0, -1), C (-3,0), D (0,5), E (1,1), F (-2, -

5) e G (3,6).

4) O corpo de bombeiros de certa região florestal recebeu um chamado de grupo de pessoas que se

perdeu em uma caminhada na mata. Para o resgate, há um helicóptero, que está posicionado a 8km

ao norte do centro médico local, conforme indica o esquema a seguir. O helicóptero não conseguirá

ir em reta para encontrar o grupo, no entanto seguirá uma rota que indicará o ponto de encontro para

capturar essas pessoas. A rota será 3km ao leste, 4km ao norte, 5km ao leste, 2km ao sul e 6km ao

leste.

a) Qual é a posição do grupo de pessoas, de acordo com o sistema de eixos cartesianos

apresentado?

b) Qual é a coordenada que indica o ponto de encontro do helicóptero com o grupo?

5) Um sistema cartesiano ortogonal é associado à planta de uma cidade plana de modo que o eixo

Ox é orientado de oeste para leste, e eixo Oy é orientado de sul para norte e a unidade adotada em

cada eixo é o quilômetro. Um automóvel que parte do ponto A do terceiro quadrante distante 3 km

do eixo Ox e 5km do eixo Oy percorre o seguinte trajeto: 15km para o leste, 3km para o norte, 3km

320

para o oeste e, finalmente, 2km para o norte, estacionando em um ponto B. Que coordenadas

representa o ponto B?

6) Um pai, na época da páscoa, esconde ovos de chocolate para que seu filho os encontrem. Para

localizá-los, o filho fica em uma posição determinada pelo pai

e segue as orientações dadas para encontrar os ovos. Se o

pai fornecer as seguintes orientações: “Dê 10 passos para o

norte, em seguida, 4 passos para o leste, 15 passos para o

sul e 5 passos para o oeste e encontrará seu desejado ovo

de páscoa”, qual será as coordenadas do ponto onde estarão

os ovos, considerando que o menino estava na posição

(1,1)?

7) Encontre as coordenadas do vértice do trapézio isósceles ABCD a seguir, sabendo que A (3,3),

BC̅̅̅̅ = 9cm, AD̅̅ ̅̅ = 15cm e CD̅̅ ̅̅ = 5cm.

8) Determine as coordenadas dos vértices A, B, C e D do trapézio isósceles abaixo:

9) Determine as coordenadas do vértice de um quadrado ABCD, sabendo que A (2,0), os vértices

AC estão sobre o eixo X e os vértices BD estão sobre o eixo Y.

A

B C

D

321

10) Um fabricante vende a unidade de certo produto por R$150,00. O custo total consiste em uma

taxa fixa de R$10.000,00 somada ao custo de produção de R$50,00 por unidade. Os gráficos abaixo

representam o custo total e a receita do fabricante.

a) Quantas unidades o fabricante precisa vender para atingir o ponto de equilíbrio?

b) Se forem vendidas 90 unidades, o fabricante terá lucro ou prejuízo? Por quê?

c) Qual quantidade mínima para que o fabricante tenha lucro?

11) Em certo clube de tênis, a taxa anual cobrada aos sócios é de R$500,00 e o sócio pode utilizar

a quadra de tênis, pagando R$1,00 por hora. Em outro clube, a taxa é de R$440,00 e cobram R$1,75

por hora de uso da quadra. O tenista fez gráficos que representam os custos que os clubes lhe darão.

a) Se o tenista pretende treinar 4h por dia de segunda a sexta durante o mês e levando em

conta apenas a questão financeira, ou seja, o que for mais barato, qual clube o tenista

escolherá?

322

b) Se esse tenista aumentar a quantidade de horas diárias de treinamento, qual clube ele

optará, considerando somente a questão financeira na escolha?

12) O aluguel de um carro numa agência A é de R$100,00 mais R$25,00 por km rodado. Uma

segunda agência B cobra R$500,00 mais R$5,00 por km rodado. Os gráficos a seguir representam

os custos dos aluguéis das agências A e B.

a) Em que ponto não há diferença de preço entre as agências A e B?

b) Que agência oferece o melhor plano?

Suponha que a pessoa deseja alugar um carro para dirigir 80km, logo qual será a melhor opção de aluguel, considerando apenas o custo?

323

APÊNDICE M – LISTA DE QUESTÕES 2

Título: Lista de Questões 2

Objetivo: Exercitar os conhecimentos acerca de ponto médio, baricentro e

alinhamento de três pontos


Procedimentos:

Resolva as questões abaixo:

1) Determine as coordenadas do ponto médio do segmento das seguintes extremidades: a) A (2, 5) e B (1, 1). b) A ( -2, 6) e B (4, -2).

2) No plano cartesiano, os pontos A e B representam duas casas de uma

propriedade rural. Deseja-se perfurar um poço equidistante às casas, de maneira que essa distância seja a menor possível. Quais devem ser as coordenadas do ponto M onde o poço deve ser construído?

3) Para estudar o movimento de um astro que se desloca com velocidade constante em trajetória retilínea, um astrônomo fixou um plano cartesiano, contendo essa trajetória, e adotou nos eixos coordenados uma unidade conveniente para grandes distâncias. Em certo momento, o cientista observou que o astro estava no ponto A(1, 2) e oito minutos depois estava no ponto B(7, 10). a) Qual era a posição do astro, quatro minutos após a passagem pelo ponto A? b) Qual era a posição do astro, dois minuto após a passagem pelo ponto A? 4) Qual é o valor de x para que os pontos (1,3), (-2,4) e (x,0) do plano sejam

colineares?

5) A promoção de uma mercadoria em um supermercado está representada,

no gráfico a seguir, por 6 pontos de uma mesma reta.

324

Quem comprar 20 unidades dessa

mercadoria, na promoção, pagará

por unidade, em reais, o equivalente

a:

a) R$4,50

b) R$5,00

c) R$5,50

d) R$6,00

6) Em um jogo de computador, idealizado na tela por um plano cartesiano, o

herói encontra-se no ponto (-3,2) e precisa salvar a princesa no castelo, representado pelo ponto (2,5), do outro lado de um estreito rio, de trajetória retilínea, representado pelo eixo das ordenadas. O objetivo do jogo é fazer esse caminho o mais rápido possível. Nessas condições, em que ponto do plano ele deverá cruzar o rio a fim de minimizar o tempo de viagem?

7) Determine as coordenadas do baricentro dos segmentos de extremidades: a) A (-4, 1), B (5, 5) e C (5, -3) b) A (3, -1), B (6, -2) e C (3, -6) c) A (5, 10), B ( 3, 2) e C (1, 3) 8) Seja um triângulo ABC cujo baricentro é dado pelo ponto G(5,1). Se A(9,3) e B(1,2), qual será a coordenada do vértice C? 9) Se o triângulo DEF tem como baricentro o ponto B(4,3) e os vértices D(1,1) e E(5,4), qual será a coordenada do vértice F? 10) Considere o triângulo EFG, com vértice E(-2,-1) e F(7,10) e baricentro dado por B(3,4). Qual é a coordenada do vértice G?

325

APÊNDICE N – LISTA DE QUESTÕES 3

Título: Lista de questões 3 Objetivo: Aprimorar os conhecimentos acerca de distância entre dois pontos. Material: folha de atividade, lápis ou caneta. Procedimento: - Resolver as questões dessa folha de exercícios. 1) Calcule a distância entre os pontos:

a) A (1, 9) e B( 2, 8)

b) C(-3,5) e B(-3,12)

c) M (0, 12) e N(9,0)

2) Observe no esquema parte da rota de um ônibus. Entre os pontos de paradas

A e B, deseja-se instalar outros

dois pontos, C e D, tal que a

distância entre os pontos

adjacentes seja a mesma.

a)Determine as coordenadas

dos pontos C e D.

b)Sabendo que cada unidade

do esquema representa 120m,

qual é a distância, em metros, entre os pontos A e B?

3) Observe o esquema abaixo que representa a localização das cidades A, B,

C, D, E e de uma antena de transmissão de sinal de rádio, R. Sabendo que o

raio de transmissão dessa é de 300km e que cada unidade representada no

esquema corresponde a 100km. Considerando √2 = 1,4:

a) Qual cidade recebe o sinal transmitido?

326

b) Qual é a distância do Rádio R até a cidade que está dentro do raio de

transmissão?

4) Ao mapa de uma região plana foi associado um sistema cartesiano de

coordenadas, cuja unidade adotada em cada eixo é o quilômetro, conforme

mostra a figura a seguir. O ponto E representa uma empresa de entregas, que

se comunica com seus motoboys via rádio, cuja alcance é de 23 km.

a) A empresa conseguirá se comunicar com o motoboy, via rádio, quando

ele estiver no ponto P(6, -12)? Por quê?

b) A empresa conseguirá se comunicar com motoboy, via rádio, quando ele

estiver no ponto M(14,16)? Por quê?

5) Nos últimos anos, a televisão tem

passado por uma verdadeira revolução,

em termos de qualidade de imagem,

som e interatividade com o

telespectador. Essa transformação se

deve à conversão do sinal analógico

para o sinal digital. Entretanto, muitas

cidades ainda não contam com essa

tecnologia. Buscando levar esses

benefícios a três cidades, uma emissora

327

de televisão pretende construir uma nova torre de transmissão, que envie sinal

às antenas A, B e C, já existentes nessas cidades. As localizações das antenas

estão representadas no plano cartesiano. A torre deve estar situada em um local

equidistante das três antenas. Qual é o ponto de coordenadas que corresponde

o local adequado para a construção dessa torre?

6) Um sistema cartesiano ortogonal é associado à planta de uma cidade plana

de modo que o eixo Ox é orientado de oeste para leste, e eixo Oy é orientado

de sul para norte e a unidade adotada em cada eixo é o quilômetro. Um

automóvel que parte do ponto A do terceiro quadrante

distante 3 km do eixo Ox e 5km do eixo Oy percorre o

seguinte trajeto: 15km para o leste, 3km para o norte, 3km

para o oeste e, finalmente, 2km para o norte, estacionando

em um ponto B. Qual é a distância entre os pontos A e B?

7) Prove que o triângulo cujos vértices são A(2,2), B(-4,-6) e C(4, -12) é

retângulo.

8) Prove que o triângulo cujos vértices são A(1,1), B(5,4) e C(-5,9) é retângulo.

9) Prove que o triângulo cujos vértices são A(2,1), B(5,1) e C(5,5) é retângulo.

328

APÊNDICE O – lista de questões 4


Objetivo: Aprimorar os conhecimentos acerca de equação da reta


Procedimentos:

Resolva as questões abaixo:

1) O gráfico abaixo descreve a temperatura y, em grau Celsius, de um aquecedor

de ambiente, em função do tempo x, em minuto desde o instante em que foi ligado

(instante zero), quando sua temperatura era de 32°C, até o instante em que atinge

sua temperatura máxima, que é de 50°C.

Determine o coeficiente angular (declividade da reta) e a equação da reta que

representa essa situação.

2) Quando um tanque continha 10 litros de água, foi aberta uma torneira com a

vazão constante. Vinte e quatro segundos depois o tanque havia atingido sua

capacidade total, que é de 40 litros, conforme o gráfico abaixo.

a) Qual é a equação da reta que determina o volume de água, em l, em

função do tempo, em s?

10

40

24 Tempo (s)

Volume (L)

0

329

b) Quantos litros de água continha o tanque 8 segundos depois que a torneira

foi aberta?

3) O gráfico abaixo mostra como varia a pressão da água do mar em função da

profundidade.

Baseado no gráfico, responda:

a) Qual a expressão que representa a relação de x(profundidade em metros) e

y (pressão em atm)?

b) Quando a pressão da água do mar estiver em 12 atm, qual será a

profundidade?

4) Certo móvel desloca-se em velocidade constante, tendo a relação entre a sua

posção (y) e o tempo (x) representada por uma reta r. Sabendo que nos instantes

2s e 5s o móvel encontra-se, respectivamente, nas posições 24m e 60m,

responda:

a) Qual é a equação da reta r?

b) O ponto A (9, 110) pertence a r?

c) No instante 8s, qual era a posição do móvel?

d) Em que instante o móvel ocupava a posição 156m?

5) O instituto de Pesquisa da Marinha, em estudo realizado sobre a variação de

temperatura nas águas do Oceano Atlântico em função da profundidade,

apresentou a tabela abaixo:

Profundidade Superfície 100m 300m 500m

Temperatura 27°C 21°C 9°C -3°C

Considerando que a temperatura é linear entre duas quaisquer das medições

consecutivas apresentadas, qual é a equação da reta que representa essa

situação e qual é a temperatura na profundidade de 400m?

330

6) Para um estudo oceanográfico foram feitas duas medições da temperatura duas medições da temperatura das águas de certa região do oceano Atlântico: uma na superfície, onde se obteve a temperatura de 27°C e a outra a 100m de profundidade, onde se obteve a temperatura varie linearmente com a profundidade de 21°C. Admitindo que a temperatura varie linearmente com a profundidade, de 0 a 100m, determine a equação da reta que representa a temperatura em função da profundidade e calcule a temperatura da água a 40m de profundidade. 7) A temperatura de uma região variou linearmente de 12°C a -3°C das 5h às 11h de determinado dia, conforme mostra gráfico ao lado. a) qual é a equação da reta que representa esse gráfico? b) Qual era a temperatura às 6h desse dia?

8) Na troposfera, que é a camada da atmosfera que vai desde o nível do mar

até a altitude de 40 mil pés, a temperatura varia linearmente em função da

altitude. Quando a temperatura, ao nível do mar, é 36°C, pode-se

representar essa variação por meio do gráfico abaixo.

Analisando o gráfico, determine:

36

-44

40.000

Temperatura (°C)

Altitude (em pés) 0

12

5

11

- 3

Temperatura (°C)

Horário (h)

331

a) a equação da reta que representa a temperatura (em °C) em função da

altitude (em pés).

b) A temperatura a 20 mil pés de altitude.

9) Um laboratório estudou uma colônia de bactérias composta de 350 indivíduos vivos. Verificou-se que, após a aplicação de certa droga, o número de indivíduos vivos na colônia diminuía com o tempo, sendo que, após 25 horas, não havia mais nenhum indivíduo vivo na colônia. Supondo que o número y de indivíduos vivos varie linearmente com o tempo x de vida, como mostra o gráfico abaixo: Qual é a equação da reta que representa essa situação? 10) O gráfico abaixo mostra, dentro do sistema de eixos cartesianos ortogonais, a rua onde moram as amigas Ana e Bianca, representada pelos pontos A e B, respectivamente. Nessa rua reside também a mãe de Ana (ponto X) e a mãe de Bianca (ponto Y) de tal modo que a distância entre as casas das mães das amigas é a mesma distância entre as casas das mães e suas respectivas filhas.

X

y

x

Y

B

A

350

25

y(número de indivíduos)

x (em horas) 0

332

Se pontos A, X, Y e B pertencem à reta de equação 13x + 5y – 65=0, então quais são as coordenadas dos pontos que representam a casa de Ana e Bianca?

11) Considere os pontos A,B,C e D pertencentes a reta 3x -4y +24 = 0 tal que a

distância entre os pontos adjacentes são equidistantes, como mostra a figura:

Quais são as coordenadas dos pontos A, B, C e D?

12) Seja uma reta r: 3x -4y +12 = 0 com E,F,G, H pertencentes a r. Se as

distâncias entre os pontos E e F; F e H; G e E são iguais entre si, como ilustra o

eixo cartesiano a seguir:

D

C

B

A

x

y

333

Quais são as coordenadas dos pontos G, E, F e H?

13) Considere a área da região delimitada pelos eixos cartesianos e a reta r é

igual a 16 cm². Se B (-1,6) pertence a r, qual é a equação da reta?

H

F

E

G

x

y

334

14) Seja a área da região limitada pelos eixos cartesianos e a reta s é igual a

6cm². Se A(-2, 4/3) a reta s, qual é a equação da reta s?

15) Seja a área da região limitada pelos eixos cartesianos e a reta s é igual a

8cm². Se A(-3, 1) a reta s, qual é a equação da reta s?

335

APÊNDICE P – lista de questões 5

Título: Lista de questões 5 Objetivo: Exercitar conhecimentos sobre retas paralelas e perpendiculares. Material: folha de atividade, lápis ou caneta. Procedimentos:

1) Em cada item, verifique, se as retas r e s são paralelas, ou perpendiculares:

a) r: x + y – 3 = 0 e s: x – y + 1 = 0 b) r: 2x – y + 2 = 0 e s: x – 1/2y + 1 = 0 c) r: x + y – 2 = 0 e s: x + y -1 = 0 d) r: 5x – 7y = 0 e s: 7x +5y – 1 = 0 e) r: 3x –4y – 2 = 0 e s: 6x -8y +1 = 0 f) r: 5y -3 = 0 e s: 2y +7 = 0

2) Forneça o valor de k para que sejam paralelas as retas de equações: a) Y = 2x -1 e 6x +ky +4 = 0 b) Y = 2x +k e kx –y +1 = 0 c) 4x +10y +13 = 0 e 6x +ky +11 = 0

3) Obtenha, em cada caso, a equação da reta r que passa por P e é

perpendicular à reta s. a) P (2,3), s: 4x – 5y -1 = 0 b) P (3, -2), s: x +2y -3 = 0 c) P (5, -6), s: 2x + 3 = 0

4) Um objeto se desloca em um plano, ao longo de uma reta. Esse objeto

passa pelo ponto (1,2) e percorre a menor distância até interceptar a trajetória retilínea de outro objeto descrita pela equação y + x = 10. Qual é o percurso do primeiro objeto?

5) Uma formiga se desloca num plano, ao longo de uma reta. Passa pelo ponto (1, -2) e percorre a menor distância até interceptar a trajetória retilínea de outra formiga, nesse mesmo plano, descrita pela equação y +2x = 8. Qual é a equação da reta representa a trajetória da primeira formiga?

6) Sabendo-se que P ϵ r: 2x – y = 0 e Q ϵ s: 3x + 4 = y e R(3,10) é o ponto

médio do segmento 𝑃𝑄, então, podemos afirmar que a distância entre os pontos P e Q e a equação da reta que passa por P e é perpendicular a reta t: 3x +y – 16 = 0 valem, respectivamente:

a) √7 𝑒 𝑦 = 𝑥

3+

10

3

b) 2√37 𝑒 𝑦 = 𝑥

3−

10

3

c) 3√2 𝑒 𝑦 = 3𝑥 + 10

d) √37 𝑒 𝑦 = 3𝑥 − 10

e) 2√37 𝑒 𝑦 = 𝑥

3+

10

3

336

7) Demonstre que (r) 𝑥

3+

𝑦

7= 1 e (s)

𝑥

7=

𝑦

3 são retas perpendiculares.

8) Mostre que (r) 2𝑥 − 5(𝑦 + 1) = 0 e (s) 2

5𝑥 − 𝑦 = 5 são retas paralelas.

9) Mostre que (r) 2𝑦 + 𝑥 − 8 = 0 e (s) 𝑦 = 2𝑥 + 3 são perpendiculares.

337

APÊNDICE Q – lista de questões 6


Objetivo: Aprimorar os conhecimentos acerca da Circunferência


Procedimentos:

1) Sabendo-se que a C(-1,3) e 2√2 cm representam, respectivamente, o

centro e o raio de uma circunferência, pode-se afirmar que sua equação

é:

a) x² + y² + 2x -6y = 0

b) 3x² +3y² +2x +7y = 0

c) 2x² + 2y² +2x -6y +2 = 0

d) X² + y² -2x +6y +2 = 0

e) X² +y² +2x -6y +2 = 0

2) Dado um centro C(1,4) e raio igual a 4cm representa qual equação da

circunferência?

3) Com o projeto Sivam será implantado um radar com capacidade de

captar sinais num raio de 250km. Um técnico situou a ação desse radar

no sistema de coordenadas cartesianas, conforme a figura abaixo.

A equação dessa circunferência tangente aos eixos coordenados é:

a) (𝑥 − 500)2 + (𝑦 − 500)2 = 5002

b) (𝑥 − 250)2 + (𝑦 − 250)2 = 5002

c) (𝑥 − 250)2 + (𝑦 − 250)2 = 2502

d) (𝑥 − 500)2 + (𝑦 − 500)2 = 2502

e) 𝑥2 + 𝑦2 = 2502

x

y

338

4) Uma empresa de telefonia celular possui duas antenas que serão substituídas por uma nova, mais potente. As áreas de cobertura das antenas que serão substituídas são círculos cujas equações são x² +y² -2x -8y +13 = 0 e x² +y² +2x -8y +13 = 0 e se tangenciam no ponto O, como mostra a figura.

O ponto O indica a posição da nova antena, e sua região de cobertura será um círculo cuja circunferência tangenciará externamente as circunferências das áreas de cobertura menores. Com a instalação da nova antena, a medida da área de cobertura, em quilômetros quadrados, foi ampliada em:

a) 8 π b) 12 π c) 16 π d) 32 π e) 64

π

5) Uma embarcação destinada à pesca deparou-se com a situação de homem

ao mar (DHM), iniciando rapidamente uma manobra de resgate, cuja

trajetória é dada pela função x² + y² +4x -6y +4 = 0. A razão da área varrida

e o comprimento da manobra é: (Dados: 𝐴 = 𝜋𝑟2 𝑒 𝐶 = 2𝜋𝑟 )

a) 1 b) 1,5 c) 2 d) 2,5 e) 3

6) A equação 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 − 8𝑦 + 11 = 0 representa uma região alagada em uma pequena cidade indicada no eixo cartesiano ortogonal abaixo. Sabendo que cada unidade do eixo cartesiano corresponde 200 metros, qual é a área dessa região alagada? (Dados: 𝐴 = 𝜋𝑟2 𝑒 𝜋 = 3,14)

y

339

APÊNDICE R – lista de questões 7


Objetivo: Aprimorar os conhecimentos acerca de distância de um ponto a reta.


Procedimentos:

Resolver as questões abaixo:

1) Determine a distância do Ponto P(-2,-4) à reta r: -x +y +8 = 0.

2) Calcule a distância do Ponto P(1,3) à reta r: 5x +12y -2 = 0.

3) Determine a distância do Ponto P(1,5) à reta r: x –y -2 = 0.

4) Calcule a distância da origem do eixo cartesiano ortogonal a reta r: x +y

-10 = 0.

5) Calcule a distância da origem do eixo cartesiano ortogonal a reta r: 2x –

y +30 = 0

6) Encontre a distância da reta r: 3x +4y -25=0 a origem do eixo cartesiano

ortogonal que a reta r está inserida.

7) Sejam as retas r: x + y -4 = 0 e s: x + y – 14 = 0 pertencentes ao mesmo

plano cartesiano ortogonal. Determine a distância entre as retas r e s.

8) Calcule a distância entre as retas r: 3x +4y – 11 = 0 e s: 3x +4y +9 = 0.

9) Determine a distância entre as retas de equações 3x – y – 1 = 0 e

6x -2y +15 = 0.

x

340

APÊNDICE S – lista de questões 8


Objetivo: Aprimorar os conhecimentos acerca da área de triângulo a partir do

vértice


Procedimentos:

Resolver as questões abaixo:

1) Determine a área do triângulo de vértices A(2,3), B(5,4), e C(6,-3).

2) Obtenha a área do triângulo dos vértices C(4,1), D(-3,1) e E(-1,-2).

3) Obtenha a área do triângulo cujo vértices são A(0,0), B(3,4) e C(-2,11).

a) A região de alcance de transmissão do sinal de uma operadora de

telefonia celular, em um pequeno município, está representada no mapa

pelo interior do quadrilátero ABCD. A origem do sistema de coordenadas

cartesianas coincide com o local onde está instalada a torre da operadora.

A unidade de medida considerada é o quilômetro. Qual é, em km², a área

da região do município que recebe o sinal da operadora?

5) Em uma região plana, os pontos E,F, G e H são vértices de um terreno quadrilateral onde será construído um aeroporto. Um sistema cartesiano ortogonal, cuja unidade adotada nos eixos é o quilômetro, foi associado ao plano dessa região, conforme mostra a figura:

341

Calcule a área do terreno destinada à construção do aeroporto.

6) Em relação à figura abaixo, podemos afirmar que sua área vale:

a) 3/2 u.a b) 5 u.a c) 7/2 u.a d) 6 u.a

e) 9 u.a

5

6

1

1

Y

X

4

-3 -1

-1

G

F

E

H

342

APÊNDICE T – lista de questões 9

Título: Lista de Questões 9 – Revisão Geral

Objetivo: Revisar os assuntos já estudados acerca de ponto, reta e

circunferência


Procedimentos:

1) Dados, num sistema de coordenadas cartesianas, os pontos A (4,1), B (1,1), C(4,5) e a reta r representada pela equação x + y – 2 = 0. Analise em Falso (F) ou verdadeiro (V).

a. O ponto médio do lado BC é o ponto M de coordenadas (5

2, 3).

b. A distância do ponto C à origem do sistema de coordenadas cartesianas é de 6 unidades.

c. A ponto A pertence à reta r. d. A reta s de equação -5x + 5y – 13 = 0 e a reta r são perpendiculares. e. A equação de reta que passa pelos pontos A e B é y – 1 = 0.

2) Dado uma circunferência de centro (2,4) de raio 3, qual é a sua equação?

3) Dado a equação da circunferência x² +y² +4x +2y -4 = 0, indique o valor do

raio nessa circunferência.

4) As casas de um condomínio estão distribuídas ao longo de três grandes avenidas retilíneas: A1, A2 e A3. No plano cartesiano seguinte, que é uma planta do condomínio feita com a escala 1:2000, estão representadas as posições dessas avenidas. A origem desse sistema representa uma rotatória que dá acesso às três avenidas:

343

Dois irmãos, Fábio e Gabriel, possuem casas nesse condomínio, indicadas,

respectivamente, pelos pontos F(4,0) e G, que está a 500 metros uma da outra.

No ponto P(-3,1) está representada a piscina do condomínio. Sabe-se que a

unidade de medida é o centímetro.

a) Determine as coordenadas do ponto G.

b) Determine a distância real entre a casa de Fábio até a piscina. Dados

√2 = 1,4 𝑒 √13 = 3,6.

c) Um grande amigo dos irmãos planeja comprar uma casa, na avenida 3,

no ponto A(4,4), logo qual será a equação que representa a avenida 3?

5) Dado duas retas s: ax + by + c = 0 e r:ax +by + c1 = 0, qual é a distância entre

essas duas retas sabendo que elas são paralelas?

6) Um engenheiro quer construir duas ruas paralelas em um condomínio

fechado. Ele faz um eixo cartesiano ortogonal para inserir as ruas como duas

retas e melhor visualizar a estrutura que pretende construir. Cada unidade

utilizada no eixo cartesiano representa 200 metros.

O engenheiro representa a rua 1 pela reta r e a rua 2 pela reta s. Qual será a

menor distância real, em metros, entre as ruas 1 e 2?

7) Qual é a distância da origem a uma reta r qualquer?

8) Um objeto se desloca em um plano, ao longo de uma reta. Esse objeto passa pelo ponto (2,4) e percorre a menor distância até interceptar a trajetória retilínea

r: 6x +8y - 1 = 0

s: 6x +8y +10 = 0

344

de outro objeto descrita pela equação y + 2x = 5, nesse mesmo plano. Qual é a equação da reta que representa o percurso do primeiro objeto?

9) Qual é a área da figura hachurada abaixo?

345

APÊNDICE U – QUADRO RESUMO DAS ATIVIDADES

Assuntos Exemplos Conclusões

Pontos sobre o eixo X

Ponto sobre o eixo Y

Ponto médio

Dados os pontos A(2,8) e B(4,10), o ponto

médio será: Pm =

Baricentro

Dados o triângulo A(2,4), B(2,10) e C(5, 18), o

ponto Baricentro (G) será: G =

Alinhamento dos

pontos sobre a reta

Os pontos A(2 ,2), B(4,4) e C(0,0) são alinhados?

Distância entre dois

pontos quaisquer

Dados os pontos A (2,4) e B(4,6), a distância

entre os dois pontos é:

dAB =

Declividade da reta

Dados os pontos A (2,4) e B(4,8), a declividade

da reta será:

Equação da reta por

meio da declividade

Dados os pontos A(3,13) e B(4,18), a equação

da reta será:

346

Equação da reta na

forma geral

Dados A(2, 5) e B(3,8), sabendo que esses

pontos são alinhados, sua equação da reta será:

Retas Paralelas Dados as retas r: y = 2x + 5 e s: -2x +y +4 = 0, as

retas são paralelas ou concorrentes?

Retas perpendiculares Dados as retas r: y = 2x + 1 e s: x + 2y +5 = 0, elas

são perpendiculares?

Equação da

Circunferência

Dado o centro da circunferência C(1,2) e raio

igual a 4. Qual é a equação da circunferência?

Distância de um ponto

a reta

Dado um ponto P(1,2) e uma reta r: 3x +4y -5=0,

a distância do ponto P até a reta r será:

Área do triângulo

A área do triângulo dado abaixo é:

347

Universidade do Estado do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação

Programa de Pós-Graduação em Educação Travessa Djalma Dutra, s/n – Telégrafo

CEP: 66113-200 Belém-PA www.uepa.br/mestradoeducacao

Documents

Elise Cristina Pinheiro da Silva Pires - UEPAccse.uepa.br/ppged/wp-content/.../10/Elise_Cristina... · Elise Cristina Pinheiro da Silva Pires O ensino da Geometria Analítica por