ELETTROTECNICAIngegneria Industriale

− METODI DI ANALISI−− TRASFORMATORE IDEALE −

− MUTUE INDUTTANZE −

Stefano Pastore

Dipartimento di Ingegneria e Architettura

Corso di Elettrotecnica (043IN)

a.a. 2013-14

• Consideriamo un bipolo LRI collegato al resto del circuito tramite due terminali

Teorema di Thevenin

2

)()()( tvtiRtv eqeq +=

• Ogni bipolo LRI ben posto e controllato in corrente può essere sostituito con la serie di un generatore ideale di tensione e di una resistenza, calcolati opportunamente, senza influenzare la soluzione di un qualsiasi circuito esterno connesso al bipolo stesso.

Teorema di Thevenin (2)

3

• Req: si calcola spegnendo tutti i generatori indipendenti (di tensione: corto circuito, di corrente: circuito aperto)

• veq(t): tensione a vuoto ai morsetti con tutti i generatori inseriti

• La caratteristica di un bipolo LRI è

Teorema di Thevenin (3)

4

• Se la caratteristica deve essere la stessa in entrambi i casi, l’equazione diventa (Req ruota la retta, veq(t) la trasla)

eq

eq

eq

eqeq

R

tv

R

tvti

tvtiRtv

)()()(

)()()(

−=

+=

• Consideriamo un bipolo LRI collegato al resto del circuito tramite due terminali

Teorema di Norton

5

)()()( titvGti eqeq −=

Teorema di Norton (2)

• Ogni bipolo LRI ben posto e controllato in tensione può essere sostituito con il parallelo di un generatore ideale di corrente e di una conduttanza, calcolati opportunamente, senza influenzare la soluzione di un qualsiasi circuito esterno connesso al bipolo stesso.

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• Geq: si calcola spegnendo tutti i generatori indipendenti (tensione: corto circuito, corrente: circuito aperto)

• ieq(t): corrente di corto circuito ai morsetti con tutti i generatori inseriti

• Tutti i bipoli LRI descritti da una caratteristica obliqua hanno entrambi gli equivalenti

• La relazione tra i parametri delle rappresentazioni (vedi retta nella slide precedente) sono

Thevenin e Norton

7

precedente) sono

eqeqeq

eqeq

eqeq

GtvR

tvti

RG

)()(

)(

1

==

=

• Fanno eccezione i bipoli la cui retta è verticale o orizzontale (sorgenti ideali di tensione con in parallelo una resistenza e sorgenti ideali di corrente con in serie una resistenza)

Sorgenti indipendenti ideali

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• Per i bipoli LDI si ricorre ai fasori; gli equivalenti di Thevenin e di Norton si trovano con le stesse regole, sostituendo le impedenze e le ammettenze alle resistenze e alle conduttanze, rispettivamente, e i fasori alle grandezze nel dominio del tempo

Thevenin, Norton e fasori

9

eqeqeq

eqeq

eqeq

eqeq

eqeq

YVZ

VI

ZY

IVYI

VIZV

===

−=

+=

,1

• È un’applicazione del teorema di Norton

Teorema di Millmann

10

321

43

3

1

1

111RRR

iR

v

R

v

vs

ss

u

++

+−=

• È un derivato del tableau. Le variabili del sistema sono i potenziali di nodo ek, k=1…n-1

• È limitato ai circuiti che contengono componenti controllati in tensione

• Nel dominio del tempo (circuiti LRI), si ottiene

Metodi dei nodi puro

)()( s ttnod heG =

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• Con e(t) e hs(t) vettori colonna [n−1×1] e Gnod

matrice [n×n]

• Se det(Gnod)≠ 0, il circuito è ben posto, come nel tableau. Gnod è simmetrica se nel circuito ci sono solo bipoli.

• Nei circuiti LDI in alternata, utilizzando i fasori si ottiene

s

snod HEY =

• Scriviamo le due equazioni ai nodi per il circuito LRI di figura alimentato in continua

Metodi dei nodi puro - esempio

• Nodo 1:

12

( ) ( ) 0

,, )IIK,,)cost

0 )IK

2213111

2111

231

=−++−

−==−====

=++

GeeGeGVe

eevevVevGviGviGvi

iii

s

cbsa

ccbbaa

cba

• Nodo 2:

• Raccogliendo i coefficienti si ottiene

Metodi dei nodi puro – esempio (2)

( ) s

ba

bbaa

sba

IGeGee

eveevGviGvi

Iii

=+−

=−===

=+

42212

212

42

',' )IIK'','')cost

'' )IK

• In forma matriciale

• N.B. matrice Gnod simmetrica

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( )( )

=++−=−++s

s

IGGeGeGVGeGGGe

42221

1223211

=

+−−++

s

s

I

GV

e

e

GGG

GGGG 1

2

1

422

2321

• È un componente resistivo a due porte

Trasformatore ideale

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• n: rapporto di trasformazione

• È un componente non-controllato in tensione

=

=

21

21

1i

ni

vnv

• Proprietà fondamentale: è un componente inerte

Trasformatore ideale (2)

01

)( 22222211 =−

=−= ivin

nvivivtp

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• Proprietà di adattamento di impedenza: consideriamo un trasformatore chiuso su una resistenza Ru

uing Rni

vn

in

nv

i

vR 2

2

22

2

2

1

1

1====

• Si dimostra che valgono pure le seguenti proprietà di spostamento delle resistenze tra le porte, per cui i seguenti circuiti risultano equivalenti

Trasformatore ideale (3)

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• È il metodo principe dei programmi di analisi dei circuiti

• La presenza di uno o più trasformatori ideali viene risolta aggiungendo le relative correnti di ramo nelle equazioni di nodo. Le incognite sono quindi i potenziali di nodo e le correnti

Metodi dei nodi modificato (MNA)

quindi i potenziali di nodo e le correnti dei trasformatori. Il numero delle variabili aumenta, ma il metodo modificato risulta essere così assolutamente generale

• Per equilibrare il numero di incognite e di equazioni, si devono aggiungere al sistema puro le relazioni costitutive dei trasformatori ideali

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• Scriviamo le equazioni ai nodi per il circuito LDI di figura alimentato in alternata

Metodi dei nodi modificato - esempio

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• Il trasformatore ideale è un componente a due porte non-controllato in tensione. Infatti le equazioni sono (con i fasori)

=

=

21

21

1I

nI

VnV

• Si ottiene

Metodi dei nodi modificato –esempio (2)

( )

( )

( )

=+−

=+−+−

=++−

0

0

323

2

322

111

1

IEEE

LjR

EEI

ICjER

VE s

ω

ω

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• Sistema di 5 equazioni in 5 variabili (E1, E2, E3, I1, I2). Alle prime 3 equazioni relative ai nodi si aggiungono le equazioni costitutive dei componenti non-controllati in tensione

( )

=−

=−

=++−

01

0

21

21

3

3

2

23

In

I

EnE

IR

E

LjR

EEsω