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Corso di Elettronica Applicata II (N.O.) 1
Corso di Elettronica Applicata II (N.O.) Prof. Ing. L. Masotti
Libri di testo
Jacob Millman, Arvin Grabel: Microelectronics Mc Graw Hill, 1981
Ulrich Tietze, Christoph Schenk: Electronic circuits - Design and applications Springer Verlag Heidelberg, 1991
John G. Kassakian, Martin F. Schlecht, George C. Verghese: Principles of power electronics Addison-Wesley Publishing Company, Inc., 1992
Corso di Elettronica Applicata II (N.O.) 2
Reti amplificatrici elementari
Vout RL
Rout
VinAvVinVS
+ +
RS
Rin
(Convertitore tensione/tensione)Amplificatore di tensione
⇒≅⇒<<
≅⇒>>
inoutLout
SinSin
VAVRRseVVRRse
vSvout VAV ≅
in
outRv V
VAL ∞→
= lim
_________________________________________________________________________________________________________
RLRoutIinA i
Iin
IS RS Rin
(Convertitore corrente/corrente)
Iout
Amplificatore di corrente
⇒≅⇒>>
≅⇒<<
inoutLout
SinSin
IAIRRseIIRRse
iSout IAI i≅
in
outRi I
IAL 0
lim→
=
Corso di Elettronica Applicata II (N.O.) 3
RLRoutVinGmVinVS
RS
Rin
(Convertitore tensione-corrente)
Iout+
Amplificatore di transconduttanza
⇒≅⇒>>
≅⇒>>
inoutLout
SinSin
VGIRRseVVRRse
mSmout VGI ≅
in
outRm V
IGL 0
lim→
=
________________________________________________________________________________________________________
Iin
IS RS Rin
(Convertitore corrente-tensione)
Vout RL
Rout
IinRm
+
Amplificatore di transresistenza
⇒≅⇒<<
≅⇒<<
inoutLout
SinSin
IRVRRseIIRRse
mSout IRV m≅
in
outRm I
VRL ∞→
= lim
Corso di Elettronica Applicata II (N.O.) 4
Schema di un amplificatore retroazionato
Ampl
ifica
tore
retro
azio
nato
I in V in I f V f
I out
V out
Rete di
reaz
ione
Ampl
ificat
ore
basedi
Rete di
prel
ievo
Caric
oRe
te
misc
elaz
ione
diG
ener
ator
e
segn
ale
di
Corso di Elettronica Applicata II (N.O.) 5
Reti di prelievo
Prelievo di tensione (parallelo)
Amplificatore
basedi
Retedi
reazione
CaricoVout
_________________________________________________________________________________________________________
Prelievo di corrente (serie)
Amplificatore
basedi
Retedi
reazione
CaricoIout
Corso di Elettronica Applicata II (N.O.) 6
Reti di miscelazione
Miscelazione (somma) di tensioni (o confronto serie)
Amplificatore
basedi
Retedi
reazione
Vin
Vf
VS
RS+ +
−
+
−
V =in VS Vf
_________________________________________________________________________________________________________
Miscelazione (somma) di correnti (o confronto parallelo)
Amplificatore
basedi
Retedi
reazione
Iin
If
IS RS
I =in IS If
Corso di Elettronica Applicata II (N.O.) 7
Grandezze tipiche di un amplificatore retroazionato
XSXin A
β
Xout
Xf RL
+−
X X Xin S f= − A XX
outin
= A XXf
outS
=
out
f
XX
=β
)1( AXXAXXXXX inSinSoutSin βββ +=⇒−=−=
⇓
=+
== )1( AXX
XXA
in
out
S
outf β A
Aβ+1 ββ
β 1=>>
≅ AA1A
⇓
⇒<⇒>+ AAA f11 β reazione negativa
⇒>⇒<+ AAA f11 β reazione positiva
Corso di Elettronica Applicata II (N.O.) 8
Sensibilità e desensibilità
S
dAAdAA
f
f= ovvero
f
f
AA
dAdA
S ⋅= D S= 1
dAdA A
AA
A AA
AA A A
AA A
f f= + −+
= + −+
= ⋅ + + = +1
1 11
11
1 1 12 2βββ
β ββ β β β( ) ( ) ( )( ) ( )
SA
A AA
Af
f= + ⋅ =( )1 β
11+ βA D = 1+ βA
_________________________________________________________________________________________________________
Esempio: β βA A dAA
dAA
ff
= ⇒ + = = ⇒ =9 1 10 20 2; % %
ovviamente se A Af= ⇒ =1000 100
_________________________________________________________________________________________________________
Ipotesi
1) Il segnale tra ingresso ed uscita è trasmesso soltanto attraverso A Quindi A Xout= ⇒ =0 0. [la rete β è unilaterale]
2) Il segnale tra uscita ed ingresso è trasmesso soltanto attraverso β Sono assenti sia l'effetto Early che l'effetto Miller. [la rete A è unilaterale]
Corso di Elettronica Applicata II (N.O.) 9
Distorsione lineare
A( )f = A0
A( )f = =ϕ ( )f k f s t( )in s t( )out
S S
S S
tt t
out in
out in
( ) ( )
( ) ( )
ω ω
ω ω
ϕ ωϕ ω ω
1 0 1
3 0 3
1 1 0
3 3 0 1 03
=
=
== =
A
ALLLLLLLLL
LLLLLLLLL
LLLLLLL
LLLLLLL
Principiodi causalità
τ ϕω= = − >t d
d0 0 se ϕ ωϕ ω
1 1 0
3 3 00 0
= ′= ′′
′ ≠ ′′ ⇒tt
con t tquadripolodispersivo
s t( )out
t
s t( )out
t0
t
t
s t( )i
Corso di Elettronica Applicata II (N.O.) 10
Risposta in frequenza di un amplificatore retroazionato
C
R
R'
C'
A0
Vin Vout
X
VX
1
V1
Passa-bassoPassa-alto
Circuito passa-alto
V A VX = 0 1
V RR j C
V V
j RC
V
jin
in inL
1 1 1 1 1=
+⋅ =
+=
−ω ωωω
con ω L RC= 1
V V A V
j ff
outin
L≅ =
−X
0
1 per frequenze basse
A f VV j f
f
outin L
( ) = ≅−
A0
1
Corso di Elettronica Applicata II (N.O.) 11
Circuito passa-basso
H
outj
VCRj
V
CjR
VCjVωωω
ω
ω+
=′′+=
′+′
⋅′=
111
1XX
X
con ωH R C= ′ ′1
V A VinX ≅ 0 per frequenze alte
A f VV j f
f
outin
H
( ) = ≅+
A0
1
_________________________________________________________________________________________________________
In bassa frequenza
A f A fA f
j ff
j ff
j ff j f
ff
L
LL L
( ) ( )( )
( )
= + =−
+−
=− +
= +++ − +
1
1
11
111 1
0
00
0
00
00 0
ββ β
βββ β
A
1 AA
A
AA
AA A
A AA
f f
f
fLL
00
0
0
1
1
= +
= +
⇒β
βA
A fj
ff
ff
L f( ) =
−
A
1
0
( )( ) f
ffAfA
f fL
f
f == )Re()Im(
arctg)(ϕ − >dd
ϕω 0
Corso di Elettronica Applicata II (N.O.) 12
_________________________________________________________________________________________________________
In alta frequenza
A f A fA f
j ff
j ff
j ff j f
ff
H
HH H
( ) ( )( )
( )
= + =+
++
=+ +
= +++ + +
1
1
11
111 1
0
00
0
00
00 0
β β β
βββ β
A
1 AA
A
AA
AA A
A AA
f f
f
fH H
00
0
0
1
1
= +
= +
⇒β
β( )A
A fj f
ff
f
H f
( ) =+
A
10
( )( )
fHf
f
ff
fAfA
f =−= )Re()Im(
arctg)(ϕ − >dd
ϕω 0
Corso di Elettronica Applicata II (N.O.) 13
Distorsione non lineare
vout RLvinAvvinvS
+ +
RS
−1
23456
−2−3−4−5−6
20 40 60−20−40−60 vin[mV]
out[V]v
Punto di lavoro
( )V5costante0AmV60
04,02500100100AmV6040
100100AmV4002
==⇒=⇒>•
−−=⇒<⇒≤≤•
=⇒=⇒≤≤•
outvin
ininoutvin
inoutvin
vvvvvv
vvv
Corso di Elettronica Applicata II (N.O.) 14
vout RLv inAvv invS
+ +
RS
vfβ
vf =0,09 vout
+
−
v vf out= 0 09,
1 1 100 0 09 10+ = + ⋅ =βAv ,
Tensione di ingresso:
v v v v A v v vAin S f S v in in
Sv
= − = − ⇒ = +β β1
Tensione di uscita:
v A v A v A v A v A v v A vAout v in v S v f v S v out out
v Sv
= = − = − ⇒ = +β β1
⇓
A vv
AA
Af
outS
vv
v= = + =1 10β
Corso di Elettronica Applicata II (N.O.) 15
Risultati analitici
Rete senza reazione Rete con reazione
vin [mV]
vout [V]
A dAA
vS [mV]
vin [mV]
vout [V]
Af dAA
f
f10 1.0 100 0 100 10 1.0 10 0 20 2.0 100 0 200 20 2.0 10 0 30 3.0 100 0 300 30 3.0 10 0 40 4.0 100 0 400 40 4.0 10 0 45 4.44 98,6 1,4% 444 45 4.44 10 0 50 4.75 95 5% zona 478 50 4.75 9,93 0,7%55 4.94 89,8 10,2% di non 500 55 4.94 9,88 1,2%60 5.0 83,3 16,7% linearità 510 60 5.0 9,8 2%
dAA
dAA
f
f<
−1
23456
−2−3−4−5−6
200 400 600−200−400−600 vS[mV]
out[V]
v
Punto di lavoro
vin
Corso di Elettronica Applicata II (N.O.) 16
Effetti della retroazione nei confronti dei disturbi e del rumore
Per un segnale sinusoidale ⇒ termine quadratico (II armonica)
v t V t t tin iM
V mViM( ) sen sen cos= ⇒ = −
>ω ω ω
402 1
212 2
In generale ⇒ intermodulazioni
Per la sola vd si ha:
v v v Ad d df f= − β
v vAd
df
= +1 β
v Av vout S d= + (senza reazione)
fdSfout vvAv += (con reazione)
Utilizzo di un preamplificatore ⇒ ′ = = +v A v A vS P S S( )1 β
⇓
v A v v A A v vout f S d f S df P f f,( )= ′ + = + +1 β (con reazione)
________________________________________________________________________________________________________
In presenza di rumore si ha: v vAN
Nf
= +1 β
Ma deve risultare v vN NP << poichè:
v v v A A v A vN N f N f N Ntotale P P= + ⋅ = + + ⋅1
1 β ( )
vSvin A
β
vout
vf
+− ++
vd
vdf
Corso di Elettronica Applicata II (N.O.) 17
Effetti sulla resistenza di ingresso Reazione serie
V V V V AVV A
S in f in in
in
= + = + =
= +
β
β( )1
V Xf out= β
X I
X V
out out
out out
=
=
X AVout in=
R VI
VVR
V AV Ri
S
in
S
in
in
in
ininf = = = + =( )1 β ( )1+ βA Rin
________________________________________________________________________________________________________
Reazione parallelo I I I I AI
I AS in f in in
in
= + = + =
= +
β
β( )1
I Xf out= β
X I
X V
out out
out out
=
=
X AIout in=
R VI
R II
R II Ai
in
S
in in
S
in in
inf= = = + =( )1 β
RA
in1+ β
Vin
Vf
VS Rin
+ +
−
+
−β
I
Rif
Af
A
in
Iin
If
IS Rin
β
A
Rif
Af
Vin
Corso di Elettronica Applicata II (N.O.) 18
Effetti sulla resistenza di uscita Reazione di tensione (serie-parallelo, parallelo-parallelo)
Ipotesi: - A unidirezionale - β unidirezionale - A non risente degli effetti di carico
R VIo
oc
scf=
oc = open circuit sc = short circuit
Poichè AXXAXXXXX S
inininfinS ββ+
=⇒+=+= 1
⇓
V AX AXAoc inS= = +1 β
Se l'uscita è s.c.:
out
SscinSfout R
AXIXXXV =⇒=⇒=⇒= 00
⇓
R AXA
RAXo
S out
Sf= + =1 β
RA
out1+ β
AXin
Rof
A
Af
Rout+
β
Corso di Elettronica Applicata II (N.O.) 19
Reazione di corrente (serie-serie, parallelo-serie)
Ipotesi: - A unidirezionale - β unidirezionale - A non risente degli effetti di carico
R VIo
oc
scf=
oc = open circuit sc = short circuit
Poichè quando l'uscita è o.c. non scorre corrente si ha:
X X Xf in S= ⇒ =0
⇓
V AX R AX Roc in out S out= − ⋅ = − ⋅
Essendo I AX AXAsc inS= − = − +1 β
⇓
R AX RAX Ao
S out
Sf = −− ⋅ + =( )1 β R Aout ( )1+ β
AXin
Rof
β
A
Af
Rout
+
Corso di Elettronica Applicata II (N.O.) 20
In realtà: - la rete A non è unidirezionale e risente degli effetti di carico della rete β,
del carico RL e della resistenza interna RS del generatore di segnale.
- la rete β non è unidirezionale, carica l'amplificatore di base A e risente del carico RL e della resistenza interna RS del generatore di segnale.
A = guadagno unidirezionale reale che tiene conto della resistenza di carico ( AV , AI , RM , GM )
A = guadagno unidirezionale ideale ( Av, Ai, Rm, Gm) dove A Av
RLV=
→∞lim A Ai
RLI=
→lim
0 R Rm
RLM=
→∞lim
G GmRL
M=→
lim0
________________________________________________________________________________________________________
Tabella riassuntiva
Tipo di reazione
Grandezza serie di tensione (serie-parallelo)
serie di corrente (serie-serie)
parallelo di corrente (parallelo-serie)
parallelo di tensione(parallelo-parallelo)
Ro f RA
outv1+ β R Gout m( )1+ β R Aout i( )1+ β R
Rout
m1+ β
′Ro f ′+R
Aout
V1 β ′ +
+R G
Gout m
M
( )11
ββ
′ ++
R AA
out iI
( )11
ββ
′+R
Rout
M1 β
Ri f R Ain V( )1+ β R Gin M( )1+ β RA
inI1+ β
RR
inM1+ β
avendo posto ′ =R R Ro f o f L e ′ =R R Rout out L
Corso di Elettronica Applicata II (N.O.) 21
Analisi di circuiti in retroazione
(1) Classificazione del tipo di reazione Anello (VS , E-B, S-G, +/− operazionale colleg. con out)
X Vf f= ⇔ reazione di tipo serie in ingresso
Nodo (IS , B, G, − operazionale colleg.con out) X If f= ⇔ reazione di tipo parallelo
di tensione (Vout = ⇒ ⇒0 ? ); RL = 0
in uscita
di corrente (Iout = ⇒ ⇒0 ? ); RL = ∞
(2) Rappresentazione dell'amplificatore di base reazione di tensione ⇒ =Vout 0 effetti di carico di β su A sul circuito di ingresso reazione di corrente ⇒ =Iout 0
reazione di parallelo 0=⇒ iV effetti di carico di β su A sul circuito di uscita reazione di serie 0=⇒ iI (3) Sostituzione dei circuiti equivalenti al posto dei dispositivi attivi
(4) Calcolo di X f e Xout
(5) Determinazione di β =XX
f
out
Corso di Elettronica Applicata II (N.O.) 22
(6) Calcolo di A in base alle leggi di Kirchhoff alle maglie e ai nodi (7) Calcolo di S, D, Af , Ri f , Ro f , ′Ro f con le formule note
_________________________________________________________________________________________________________
Esempio 1
(1) reazione serie di tensione
(2)
G
D
SR Vout+
VS
(3)
G D
S
R vout
+vS
+vinvin −µ
rd
(4) V Vf out= (5) β = =VV
f
out1 (6) A V
VV
VR
R rVoutin
inin d
= = ⋅ +µ
GD
S
+VDD
R G
R Vout
+
VS
sin VV ≡
( )d
d
rRRrAD+
++=+=
µβ 11 ( )µµ
++==
1RrR
DAA
d
vv f
Corso di Elettronica Applicata II (N.O.) 23
Esempio 2
R Vout
+VS 2R1
RS B C
E
BC
E
I
I'
(1) reazione serie di tensione
(2) ( ′ <<I I )
RVout
+VS
2R1
RS B C
E
BC
E
R2
R1 Vf
(4) VR
R R Vf out= +1
1 2
(5) β = +R
R R1
1 2
Oss.: A AVf>> ⇒ ≅1 1β
Vf
Corso di Elettronica Applicata II (N.O.) 24
Esempio 3
(1) reazione serie di corrente
(2)
VS
RC Vout 1
R1
1+
−
RS
R2
R1
R2
Vf
c
e
b Iout
(4) V I Rf out eq= − .
(5) β = −Req. con R R Req. = 1 2
RS
Corso di Elettronica Applicata II (N.O.) 25
Esempio 4
VS
RC
+VCC
Vout
RS+
−
R'
Vin
(1) reazione parallelo di tensione
(2)
(4) I VRfout= − ′
(5) β = −′
1R
Corso di Elettronica Applicata II (N.O.) 26
Stabilità dei sistemi retroazionati
La reazione è positiva (rigenerativa) quando A Af >
1 1+ < ⇒βA βA < 0
1>+
==
⇓
AA
dAA
dA
S f
f
β11
_____________________________________________________________________________________________________
Con XS = 0 si ha:
X X X Xin S f f= − = −
outinout
outf
AXAXX
XX
β
β
−==⇓
=
Condizioni di Barkhausen: βA = − ⇔1
Nascita di una oscillazione che si autosostiene ⇒ vantaggioso per realizzare un oscillatore Non linearità dei dispositivi attivi ⇒ Nascita di intermodulazioni Interessamento delle porzioni di interdizione e saturazione ⇒ Spostamento del punto di lavoro
− ≤ <
< −
1 0
1
β
β
A
A
XSXin A
β
Xout
Xf
+−
Amplificatore retroazionato
−=∠
=o180
1
A
A
β
β
Corso di Elettronica Applicata II (N.O.) 27
Studio della stabilità
• Un amplificatore deve essere stabile sia in banda che fuori banda; • Un sistema fisico stabile eccitato con un segnale limitato nel tempo non può rispondere
con un segnale non limitato nel tempo, o che tende a crescere indipendentemente, e la funzione di trasferimento del sistema non presenta poli né nel semipiano destro né sull'asse immaginario. Se A è stabile lo sarà anche Af purché 1 A+ β abbia zeri solamente nel semipiano sinistro aperto.
Metodi per lo studio della stabilità di un sistema: - Determinazione delle radici dell'equazione algebrica che si ottiene eguagliando a 0 il
deno-minatore della funzione di trasferimento; - Criterio di Nyquist (1931); - Diagramma di Bode. ______________________________________________________________________________________________________
Criterio di Nyquist
Re[ ]Aβ
Im[ ]Aβ
−1
Re[ ]Aβ
Im[ ]Aβ
−1
ω=0ω=0
Proprietà delle funzioni di trasferimento delle reti elettriche:
[ ]*)()( ωβωβ jAjA −=
Corso di Elettronica Applicata II (N.O.) 28
Margini di guadagno e di fase
[ ]dB
)()log(201log20 ϕωω ωββϕ
jAAmG −=−= =
(mG ≥ 10dB)
m A j Gϕ β ω= ± °Φ ( ) 180 ( / ≥ °mϕ 45 )
Stabilità Instabilità
ω ωϕ > G ω ωϕ < G
mm
G >>
00ϕ
mm
G <<
00ϕ
Re[ ]Aβ
Im[ ]Aβ
ω=01−1
ωωϕ2
2G
mϕ2
m 2G
(<0)
(<0)
Sistema instabile
Im[ ]Aβ
ω=01−1
ω
ωϕ1
1G
mϕ1
m 1G
(>0)
(>0)
Re[ ]Aβ
Sistema stabile
( )[ ] o180−=Φ ϕωβ jA
Corso di Elettronica Applicata II (N.O.) 29
Generazione di segnali
Segnali
Periodici Non periodici- sinusoidali- ad onda quadra- a rampa(lineare e non)
- impulsivi- a gradino
________________________________________________________________________________________________________
Generazione di segnali sinusoidali - Oscillatori
Condizioni di Barkhausen: βA = − ⇔1
0
1
1
⋅∞→⋅=⇓
∞→+
==
⇓−=
Sfout
S
outf
VAV
AA
VVA
A
β
β
Questa condizione viene soddisfatta per un determinato valore della pulsa-zione (ω ω ωϕ= =G , vedi diagramma di Nyquist).
Teoricamente lo spettro del segnale generato è costituito da una sola riga. In realtà, per effetto della non costanza dei parametri nel tempo, si ha un allargamento delle righe per cui lo spettro degenera in una banda.
⇔≡
= = °ω ωϕ
ϕ
G
Gm m0 0;
−=∠
=o180
1
A
A
β
β
Corso di Elettronica Applicata II (N.O.) 30
Oscillatore a sfasamento (100's kHz)
(a FET, config. CS)
VoutVin
RS
G
D
S
CS
VDD
C
R
C
R
C
R
RD Rete di reazione
Reazione serie di tensione
Ipotesi: 1) AV costante al variare di f ∀ ∈f B
2) R Rin >>
3) Z Req out. >>
___________________________________________________________________________________________________________________________________
++−=
−
++−=
−
+=
RCjIRI
RIRCjIRI
RIRCjIVout
210
210
1
32
321
21
ω
ω
ω
Vout Vin
C
R
C
R
C
RI3I2I1
Corso di Elettronica Applicata II (N.O.) 31
Posto α ω= 1RC si trova
[ ])6(51)2(0)2(0
)1(
323
32
321
21
ααααα
α
−+−=⇒
−+−=−−+−=
−−=
jRV
IjII
IjII
IjIR
V
out
out
⇓
VV
I RV
VV j
in
out out
in
out= ⇒ =
− + −3
2 31
1 5 6α α α( )
⇓
α α α α ω3 6 0 6 1 6− = ⇒ = ± ⇒ = = ⇒RC
ωosc RC= 1
6
Sostituendo si ottiene 291−=
= oscout
inVV
ωω
⇓ β
βA AV= ⇒ = =1 1 29 (meglio AV = ⋅ +29 1 05 5, ( %))
_________________________________________________________________________________________________________
(con a.o.)
−
+
R =1
R2
Vout Vin
C
R
C
R
C
A'Vf
R
Reazione positiva serie di tensione
Reazione negativa parallelo di tensione
fSin VVV −= fin VV −=
Corso di Elettronica Applicata II (N.O.) 32
In questo caso risulta AA
AVV
Vf
f
f
=′
+ ′1 β dove 291
2 −=−=′RR
AfV
___________________________________________________________________________ (con FET in config. CD)
AV = + <µµ 1 1
Procedendo come nel caso precedente:
)6(51
)6(511
32
32
ααα
ααα
−+−=′
⇓−+−
=′
jVV
jVV
out
out
Quindi ωosc RC
= 16
. Essendo però V V Vout in= + ′ , dividendo per Vout si ha:
034,12930
291129
111 ≅=+=
−−=′−==
outout
inVV
VVβ
Pur essendo AV < 1 si riesce ad avere βAV > 1 per un valore di µ sufficientemente elevato.
Ad esempio, per µ β= ⇒ = ⋅ + ≅50 1 034 5050 1 1 014AV , , .
Corso di Elettronica Applicata II (N.O.) 33
Oscillatore a ponte di Wien
Z 1
Z 2
V 2
−+
R 2 R 1V
=V
1in
V out
− +
R 1
R2
RC
R C
V 2
V = 1
V in
V out
Z 1
Z 2
Reazione positiva (sfasamento e ampiezza)
Rea
zion
e ne
gativ
a(r
egol
azio
ne d
el g
uada
gno)
Corso di Elettronica Applicata II (N.O.) 34
inoutoutin VRR
VVRRR
VVV
+=⇒
+===
1
2
21
121 1
Ma: outoutoutin VR
RZZ
ZVVZZ
ZV
+⋅
+
=⇒
+
=1
2
21
2
21
2 1
⇓
111
2
21
2 =
+⋅
+ R
RZZ
Z
Posto ′ =α ωRC si trova:
ZZ Z
Rj
jj C
Rj
Rj
j jj C j
jj j
jj
jj j j j
2
1 22 2
2 2 2
11
1
11
11 2
1 3 3 3 1
+ = + ′+ ′ + + ′
= + ′+ ′ + ′
+ ′
= ′− ′ + ′ + ′
=
= ′− ′ + ′
⋅ = − ′− ′ − ′
= ′′ + ′ −
αα
ω α
αα α
ω α
αα α α
αα α
αα α
αα α
( )( )
( )
⇓
′ − = ⇒ ′ = = ⇒α α ω2 1 0 1RC ωosc RC= 1
⇓
ZZ Z
RR
2
1 2
2
1
13 1 3+ = ⇒ + = ⇒ R R2 12=
Problema della stabilizzazione dell'ampiezza della tensione di uscita. Soluzioni: Al posto di R1 si può inserire un sensistor (coefficiente termico positivo) Al posto di R2 si può inserire un termistor (coefficiente termico negativo)
Corso di Elettronica Applicata II (N.O.) 35
Oscillatori a tre punti
V ZZ Z Vout13
1
1 3= +
Schematizzazione adottata per l'analisi del circuito
Z3
Z2
Vout
Z1
1
3
2
Rout1
V13V13Av
+
ZL
Vout
Rout
V13Av
+
dove Z Z Z Z Z Z ZZ Z ZL = + = +
+ +2 1 31 3 2
1 2 3( ) ( )
−
+
Z3
Z2
V13
Vout
Z1
1
3
2
Corso di Elettronica Applicata II (N.O.) 36
Vout = ?
V A V ZR Z V A Z
R Z V ZZ Zout v
L
out Lout v
L
out Lout= − ⋅ + ⇒ = − ⋅ + ⋅ +13
1
1 3
⇓
− ⋅ + ⋅ + =A ZR Z
ZZ Zv
L
out L
1
1 31
⇓
− ⋅+ ⋅ + +
+ + ⋅+ +
⋅ + = −+ + + + =A
Z Z ZZ Z Z
R Z Z ZZ Z Z
ZZ Z
A Z ZR Z Z Z Z Z Zv
out
v
out
( )
( ) ( ) ( )1 3
2
1 2 3
1 32
1 2 3
1
1 3
1 2
1 2 3 2 1 31
⇓
− ⋅+ + + + =
= + + − + =
A jX jXjR X X X jX jX jX
A X XjR X X X X X X
v
out
v
out
1 2
1 2 3 2 1 3
1 2
1 2 3 2 1 31
( ) ( )
( ) ( )
⇓
X X X1 2 3 0+ + = ⇒ + = −X X X1 3 2
⇓
A X XX X
A XX
v v1 2
2 2
1
21− − = = ⇒( )
A XXv = 2
1 Þ X1 e X2 dello stesso segno
j Lω
Z jXi i= 1j Cω
Corso di Elettronica Applicata II (N.O.) 37
Oscillatore Hartley Oscillatore Colpitts
X L1 1= ω X C11
1= − ω
X L2 2= ω X C22
1= − ω
X C33
1= − ω X L3 3= ω
oscC
LLωωω
ωω=
=−+ 013
21
osc
LCC ωω
ωωω =
=+−− 0113
21
+=
213
11LLCoscω
+=
213
111CCLoscω
A LLV = 2
1 A C
CV = 1
2
Oscillatore Hartley
L
1Ca,
2
CS+
RS
RG
L1 2
C3 Ca,
Ca,
Vout
VDD
RD
3
1
1
2
Corso di Elettronica Applicata II (N.O.) 38
Oscillatore Colpitts
1Ca
2
CS+
RS
RGL3
C1
Ca
Vout
VDD
RD
3
C2
________________________________________________________________________________________________________________________________
Utilizzo di stub alle alte frequenze
Parametri parassiti: tempo, temperatura, pressione, dispersione dei parametri, ecc.
l
X
λ4
λ2 λ4
3λ
cc
l
Xca
Corso di Elettronica Applicata II (N.O.) 39
Oscillatori a quarzo
Piezoelettricità (Curie, 1880)
X X X
X X X
X S XSf
f
2 3 1
2 3 1
1 1
+ = −
+ = −
= ⇒ =
∆ ∆ ∆
∆∆ ∆ ∆
ω ω
Simboli circuitali e modello di un quarzo (Mason)
( )
( )( ) ( )[ ]RCCLCCCj
RjLCCCLCsCsRCCCsC
LCssRCCCs
sCsLRCs
sCsLRCsZ
js
eq
−′−′++−
=′+′+′+′
++′=
=+++′
++′=
=
2
2
2
22
.
11
11
11
11
ωωωωω
Per R ≅ 0 si ha:
λ2
SiO2monocristallino
LC'
1
C
R
2
1
2
1
2
1
2
Corso di Elettronica Applicata II (N.O.) 40
( )[ ]( )[ ] [ ]CC
CCLCjLC
CLCCCCLCj
LCLC
CLCCCjLCZeq
′′+−′
−=
−′′+′
−=
′−′+−
= 1
111
2
2
2
2
2
2
.ωω
ω
ωω
ω
ωωω
Posto ω S LC= 1 e
′′+= CC
CCLP1ω si ottiene:
Z j CeqS
P. =
′−−
12 2
2 2ωω ωω ω
′ >> ⇒ ≅C C S Pω ω
QP S
=−
= ÷ω
ω ω0 1000 10000
con ωω ω
0 2=+P S
""....
mm......2
MHz......
overtoneinQuarzi
didecimid
didecinef
⇓
==⇓
=
λ
ωS ω
X
1ωC'
−
ωP
C L C
Corso di Elettronica Applicata II (N.O.) 41
Oscillatore Hartley a quarzo
CGD
CS+
RS
RG
L
Vout
+VDD
CDD
X1
X3( )
X2
(choke)
C L
ωosc dipende dal cristallo
X3 dipende dal JFET
X1( )
Per soddisfare X + 1 X + 2 X = 3 0
Si agisce su ovvero su X 2 L D
ω DD DL C
= 1
ωDoscω ω
X2
Corso di Elettronica Applicata II (N.O.) 42
Tipi di disturbi e metodi per la loro riduzione
DISTURBIINTERNI
Interni ai dispositivi attivi
Interni ai dispositivi passivi
Accoppiamenti all'interno del circuito
Rumore termicoRumore flickerRumore di ricombinazioneRumore rosa
- galvanico- capacitivo- induttivo
Piezoelettrici
Potenziali di contatto tra metalli diversi e/o con temperature diverse delle giunzioni bimetallo
Sporco (genera correnti di dispersione confrontabili con le correnti in ingresso di dispositivi ad effetto di campo)
DISTURBIESTERNI
Naturali- Scariche atmosferiche- Rumore cosmico- Raggi γ
Man-made
- Motori a scoppio con candele- Alimentatori a commutazione- Emissioni radio, TV, telefoniche - Processi industriali - Macchine elettriche- Strumentazione biomedicale per terapia e diagnosi
⇓
Problema della Compatibilità Elettromagnetica (e.m.c.=electromagnetic compatibility)
Corso di Elettronica Applicata II (N.O.) 43
Accoppiamento galvanico
+X Y ZA
+X Y ZA
+X Y ZA
R' R'' R'''
x y z
+X Y ZA
+X Y ZA1 + A2
Corso di Elettronica Applicata II (N.O.) 44
Schermo elettrostatico (E.S.) Sistemi per la riduzione della potenza irradiata
R+
VS LNO!
R+VS
L
NO!
I2
I1
R+VS
L
NO!
I1
I2
Suggerimenti per la realizzazione di un circuito stampato
- Tutte le masse locali sono da connettersi ad un unico grande piano di massa;
- Le capacità di by-pass (10÷100nF) sono da collegarsi il più vicino
possibile ai circuiti integrati; - Le aree libere da componenti e piste vanno collegate al piano di massa; - Si deve cercare di realizzare circuiti con minime dimensioni.
Corso di Elettronica Applicata II (N.O.) 45
Esempi
+VS
+
+
+
E.S.
E.S.
E.S.
+VCC
Massa digitale
+ 15 V− 15 V
Ingresso analogico
Massa analogica
M
+ 15 V− 15 V
+ 15 V− 15 V
VS
Trasduttore
VCC
Massa analogica
Massa digitale
+ 5 V
Convertitore A/D
NO!
Corso di Elettronica Applicata II (N.O.) 46
Amplificatore differenziale
+VCC
V1
Vout
VEE
E+V2
+
RC RC
RE
IC1 IC2
IEE
VBE2VBE1
VE
T1 T2
+
−
Vout
V2
V1
V V V V V V V V V V VBE E BE E BE BE d1 2 1 21 2 1 2= + = + ⇒ − = + =;
I I e I eC F E CS
VV
S
VV
BET
CBT= − − −
− −α η η( ) ( )1 1
⇓ (regione attiva)
TVBEV
SeII EFC
1
1
−= α I I eC F ES
VVBE
T2
2
=−
α
2
12
2
1
2
1
21
1
2
1
21
11
11
C
C
EEFCEEF
C
CC
C
C
EEFCEEF
C
CC
EEEE
IIIIII
II
IIIIII
II
III
+=⇒=
+
+=⇒=
+
⇒=+αα
αα
Corso di Elettronica Applicata II (N.O.) 47 Supposti uguali i guadagni di corrente si ha:
II e e
II eC
C
C
C
V VV
VV
VV
BE BET
dT
dT1
2
2
1
1 2
= = ⇒ =− −
⇓
I I
e
I I
eC
F EEC
F EEVV
VV
dT
dT
1 2
1 1
=
+
=
+−
α α
Graficamente
IEEαF
0 VdVT2 VT4 VT6 VT8VT2−VT4−VT6−VT8−
I ,C1 IC2
IC1IC2
V =200mVT8
V V R Iout CC C C1 1= −
V V R Iout CC C C2 2= −
0 VdVT4VT4−
V ,out1 Vout2
Vout1Vout2
VCC
VCC − αF IEE RC
Corso di Elettronica Applicata II (N.O.) 48
Comparatori
Caratteristiche a confronto
Vd2
V out
42−4−
[V]
[mV]
10
− 10
Vd2
V out
42−4−
[V]
[mV]
10
− 10
0
V(1)
V(0)
A = V 100
Modelli di comparatori (∆Vi fino a 15µV e ritardi di 20 200÷ ns):
Fairchild µA710 National LM111 Analog Devices AD604 Harris HA2111
Funzionamento non invertente
Vin4
V out
21−2−
[V]
[mV]
10
−10
33−
V +V Z1 2γ
V +V Z2 1γ( )−
V =V +
−
1
V =V2
V'out
Vout
DZ1
DZ2
R
in R
Funzionamento invertente
Vin4
V out
21−2−
[V]
[mV]
10
−10
33−
V +V Z1 2γ
V +V Z2 1γ( )−
V =V +
−
1
V =V2
V'out
Vout
DZ1
DZ2
in
R R
Corso di Elettronica Applicata II (N.O.) 49
Zero crossing detector
V =V1
V =V =2
V'outVout
D
R
in
0
C
R RLVL
+
−
Clipper
Vin
t
t
t
Vout
VL
t
V(1)
V(0)
V'out
Corso di Elettronica Applicata II (N.O.) 50 Altri circuiti con comparatori
________________________________________________________________________________________________________
+
−
VoutC
Rfiltro passa-basso
V'out+
−
Vin
VR,2 INV
non INV
AND
VR,1 VR,1V >R,2
Vout1
Vout2
V RR R V VR
VV
AA Z, ( )1 =+
−
V RR R V V R
R R VRV
VAA Z Z, ( )2
21 2
=+
− ++
W V V RR R VR R Z= − =
+⋅, ,2 1
21 2
22
)(2
1,21
2
WVV
RRRVV
RRR
V R
ZZAAV
V
R +=+
+
−
+=
VZ
R
VR,2
R
VR,1
+VAA
V
R1
R2
Corso di Elettronica Applicata II (N.O.) 51 Vin
t
t
Vout
V(1)
V(0)
t
Vout
V(1)
V(0)
V'out
t
Vout
V(1)
V(0)
1
2
VR,2
VR,1W
_________________________________________________________________________________________________________________________________
Vin
t
t
Vout
V(1)
V(0)
t
Vout
V(1)
V(0)
V'out
t
Vout
V(1)
V(0)
1
2
1Vin2
Vin
+
−
VoutC
Rfiltro passa-basso
V'out
+
−
Vin1
AND
Vout2
Vout1
Vin2
Corso di Elettronica Applicata II (N.O.) 52
Trigger di Schmitt
Fenomeno del chattering
Vout
t
t
Vin
V ( )1 5= V
V ( )0 5= − V
A = 10 000.
βA > 1
−
+
RVin
VoutR1
R2
+VAA
C
Corso di Elettronica Applicata II (N.O.) 53
V RR R V R
R R Vout AA12
1 21
1 2
+ =+
++
V RR R V R
R R Vout AA12
1 21
1 2
− = −+
++
⇓ V V1 1
− +<
V V RR R V se R V Vout1 1
21 2
2 1 12 0 0+ − + −− =
+⇒ → ⇒ − →
V V RR R V seV la curva di isteresi si pone a cavallo delloAA AA
1 1 1
1 22 0 0+ −−
=+
⇒ =
t
t
Vout
V(1)
V(0)
Vin
V1+
V1−
T
T t
Vout
V(1)
V(0)
Vin
V1−
V1+
Vin
Vout
V(1)
V(0)
Vin
V1−
V1+
Corso di Elettronica Applicata II (N.O.) 54
Trigger di Schmitt realizzato a BJT
T1 interdetto, T2 saturo
≥=
2
,2
21fe
CBC h
III sat
⇓ V V R Iout CC C C sat= − 2 2, (bassa)
____________________________________________________________
Quando
V V V R I Vin E BE E C BEON sat ON+ = + = +
1 2 1, , ,
⇓
V Vout CC≅ (alta)
⇓ ________________________________________________
Quando
V V V R I Vin E BE E C BEON sat ON− = ′ + = +
2 1 2, , ,
⇓
V V R Iout CC C C sat= − 2 2, (bassa) __________________________________________________________________________________________________________________________________
V V V R I IH in in E C Csat sat= − = −+ − ( )
, ,2 1
Vout
VinVin
− Vin+
V(1)=VCC
V(0)=VCC R IC C2 2,sat
+VCC
V
Vout
RE
IC1 IC2
V E
VBE2VBE1
in
T 1 T 2
RC 1
RC 2R >C 1
RC 2
Corso di Elettronica Applicata II (N.O.) 55
Generatori di onda quadra e triangolare (10÷104 Hz)
ZVVV += γ)1(
ZVVV −−= γ)0(
β = +R
R R2
1 2
V V Vd C out= − β
V t e R CCt
( ) = + =−A B τ τ 3
_________________________________________________
V VC out( )0 = − = +β A B
V VC out( )+∞ = = A
_________________________________________________
V t V V eC out outt
( ) ( )= − + −1 β τ
Poichè [ ]τββ 2
T
)1(12T −+−==
eVVV outoutC
dividendo per Vout si trova:
( )1 12+ = − ⇒−β βτeT
+=
−+=
2
121ln2
11ln2T
RR
τββτ
−
+
RA
VoutR1
R2
R3
CVC βVout
B
t
t
VC
V(1)
V(0)
Vout
TV(0)
V(1)
T
Voutβ
Voutβ
Corso di Elettronica Applicata II (N.O.) 56
In generale T T T= +1 2 dove:
−+=
V(1)V(1)V(0)V(1)CR
ββlnT 31
−+=
V(0)V(0)V(1)V(0)CR
ββlnT 42
∫= dtiCv CC1
⇓
iC costante
⇓ v t I
C tCC( ) =
ID
V DS0
[mA]
[V]
V GS [V]
V -Vout C
RS1
V -Vout C
↓↑⇒↑⇒↑⇒ DSGRD IVVIS 11
B
RS1
A
T2
T1
V >B VA
R3
R4
BA
RS2RS1 T1 T2S D D S
BA
Corso di Elettronica Applicata II (N.O.) 57 Utilizzo di un integratore di Miller
RCjZZ
VVA out
V ω1
1
2
1−=−==
CiIRV
== 11
RV
dtdVCdt
dVCi outCC
1=−==
)0(10 1 outt
out VdtVRCV +−= ∫
____________________________________________________________________________________________________________________________________
−
+
R Vout
R1
R2
V1
−
+
R
C
VR
Vt
VS
integratore di Millertrigger di Schmitt
ZVVV(1) += γ ZVVV(0) −−= γ
ic
Z1
Z2
1
Corso di Elettronica Applicata II (N.O.) 58
Hp: 2
0 21TTTVS ==⇒=
I VRCout= V
RR R V
RR R Vt out1
1
1 2
2
1 2= + + +
V IC t K V
R t KCC out
C= + = +
t
t
V1
V(1)
V(0)
Vout
T
t
Vt
Vtmin
Vtmax
T2 T1
t2 t1
2VoutR2
R +1 R2
VR
2VoutR2
R +1 R2
V =S 0
2Vout
R2R1
Corso di Elettronica Applicata II (N.O.) 59
outRtRoutt VRR
VR
RRVVV
RRR
VRR
RtV
1
2
1
21
21
2
21
121 minmin)( −
+=⇒=
++
+=
V tR
R R VR
R R V V VR R
R VRR Vt out R t R out1 1
1
1 2
2
1 2
1 2
1
2
1( ) max max= + − + = ⇒ =
++
∆V V V V RR
V V R RR Vt t t out
t tR= − =
+=
+max min
max min2 22
1
1 2
1
V VT
dVdt
VRC V R
RVRC
Tt t C outout
outmax min−= = ⇒ = ⇒
22 2
2
1
T RC RR= 4 2
1
_____________________________________________________________________________________________________________________________________
V T TS ≠ ⇒ ≠0 1 2
2TVRVVII t
SoutCR ⇒↓⇒
−==
1TVRVVII t
SoutCR ⇒↑⇒
−−== ∗
T V RCV V
RR T V RC
V VRRout
out Sout
out S1
2
12
2
12 2= + = −
21
2
1
221
1
14112
−
=
−+
+=+=
out
SSoutSoutout
VVR
RRCVVVVRRRCVTTT
−=
2
2
1 14 out
SVV
RCRR
f
−===
+ out
SVV
TTT 12
121
1 Kδ
V V V V VS S out S out= ⇒ = = ⇒ = = − ⇒ =0 0 5 0 1δ δ δ,
−
+
R
C
Vt
Vout
V =S 0
IC
VC
Corso di Elettronica Applicata II (N.O.) 60
V.C.O. (Voltage Controlled Oscillator)
Corso di Elettronica Applicata II (N.O.) 61
Ipotesi: V Vout m>
Vm lentamente variabile ⇒P.F.M. (Pulse Frequency Modulation)
V V V V V saleout out m t= ⇒ ′ = − ⇒( )1
V V V V V scendeout out m t= ⇒ ′ = ⇒( )0
2
2
βVT
VRC
out m=
⇓
f V RC Voscout
m= 14β
Amplificatore bifase
mout
moutout
VVRR
RRVVV
−=′⇓=⇓
−=′⇒>
65
5
60
_______________________________________________________________
mout
mmoutout
VVRR
RRVR
RVVV
=′⇓=⇓
++−=′⇒<
65
5
6
5
6 10
t
t
V(1)
V(0)
Vout
T
t
Vt
Vm
V'out
Vm
T2
T2
V =tminVout−β
V =tmaxVoutβ
lentamentevariabile
V'out
−
+
R
Vm
NMOS
6
R4R3
R5
R7R8Vout
A
Corso di Elettronica Applicata II (N.O.) 62
Multivibratori monostabili Funzionamento ___________________________________________________________________________________________________________
Monostabile non risincronizzabile Ipotesi:
V RR R V ( 1)γ <<
+2
1 2
V V VT out> −β γ
t
V(1)
V(0)
Vout
t
VT
T
t
−
+
Vout
R1
R2
VT
R
R
C
CVC D
D
V −
V +
Corso di Elettronica Applicata II (N.O.) 63
t
t
V(1)
V(0)
Vout
T
t
Vt
Vγ
V'out
V(0)
V(1)
R 2R + 1 R 2
V(0)
T'
TR
tempo di recupero_________________________________________________________________________________________________________
R, C = ?
T RC
VVout=
+
−ln1
1
γ
β con β = +R
R R2
1 2
R R V Vout1 212= ⇒ = << ⇒β γ; T RC RC= =ln ,2 0 69
( ) ( ) RCt
ooc eVVVtV−
++−= γ( ) oc VtV β−=
Corso di Elettronica Applicata II (N.O.) 64 Monostabile risincronizzabile
_________________________________
Carica di C:
τ = CR
_________________________________
Scarica di C:
τ = ⋅C rdON
__________________________________
+=
=
−=
1
21ln
11ln
RRRC
RCT β
⇓= 21 RR
T RC= 0 69,
−
+
Vout
R1
R2
Vt
R
CC
+VDD
R3
R
VC
VGG
−=
−RCt
DDC eVV'
1
T
t’
Corso di Elettronica Applicata II (N.O.) 65
Monostabile con NE555
V VCC123=
V VCC213=
V t V eC CCt
RC( ) ( )= −−
∗
1
V T V V eC CC CCT
RC( ) ( )= = −−2
3 1
T RC RC= =ln ,3 1 1
Vout
C
+VCC
R
VC
−
+
+
−VT
R
S
totemQ
Q
pole
NE 555
bistabile
1
2
V2
V1
5kΩ
5kΩ
5kΩ
GND
t
t
V(1)
V(0)
Vout
t
t
VT
VC
V2
V1
VCC
T
*
Corso di Elettronica Applicata II (N.O.) 66
Astabile con NE555
Vout
C
+VCC
R
VC
−
+
+
−
R
S
totemQ
Q
pole
NE 555
bistabile
1
2
V2
V1
5kΩ
5kΩ
5kΩ
GND
A
RB
t
t
V(1)
V(0)
Vout
VC
V2
VCC
T
V1
1 T2T =1 T2
t1 t2
( ) ( )
+−−−=
+−−−= CRR
tVVVCRRtVVVtV CCCCCCCCC )(exp)(exp)(
BA2
BA2
V t V T V T R R C T R CC C( ) ( ) . . . . . . . . . ( ) ln ; ln1 1 1 1 22 2= = ⇒ ⇒ = + =A B B
Corso di Elettronica Applicata II (N.O.) 67
Tecniche di modulazione con portante armonica
Con portante sinusoidale - Modulazione di ampiezza o AM (Amplitude Modulation) - Modulazione di frequenza o FM (Frequency Modulation) - Modulazione di fase o PM (Phase Modulation) Con portante ad impulsi - Modulazione di ampiezza di impulsi o PAM (Pulse Amplitude Modulation) - Modulazione di larghezza di impulsi o PWM (Pulse Width Modulation) - Modulazione di posizione di impulsi o PPM (Pulse Position Modulation) - Modulazione di frequenza di impulsi o PFM (Pulse Frequency Modulation) _______________________________________________________________
Amplificatore stabilizzato a chopper
Modulatore DemodulatoreFiltrop.a. Amplificatore VmAVm V' V''
AMPLIFICATORE STABILIZZATO A CHOPPER
Generatoredi
onda quadra
Corso di Elettronica Applicata II (N.O.) 68
Modulazione PAM
f
V'( )f
f0 f03 f05
VmAVm
Amplificatore
+
stabilizzato a chopper
Filtrop.b.
Filtrop.a.
Amplificatorein
alternata
_____________________________________________________________________________________________________________________________________
Modulatori e demodulatori
V V V V
V V V V
out out m
out out m
= ⇒ ′ =
= ⇒ ′ = −
( )
( )
1
0
V'out
−
+
R
Vm
NMOS
6
R4R3
R5
R7R8Vout
A
Corso di Elettronica Applicata II (N.O.) 69
t
Vm
t
Vout
t
V(1)
V(0)
V'out
t
V''out
T
Corso di Elettronica Applicata II (N.O.) 70
Filtrop.a. Amplificatore VmAVm
V' V''
AMPLIFICATORE STABILIZZATO A CHOPPER
Generatoredi
onda quadra
out out
Vout
ModulatoreDemodulatore
Filtrop.b.
V'''out
_____________________________________________________________________________________________________________________________________
Ricostruzione del segnale modulato:
Ipotesi: Interruttore = JFET a canale n ⇒ V V JFET ON V
V V JFET OFF V V
out out
out out m
= ⇒ = ⇒ ′ ≈
= ⇒ = ⇒ ′ ≈
( )
( )
1 0
0
t
V''out
T1
T2
V-
VI
VII
durante CIout VVVONJFETT =⇒′′′⇒=⇒1
durante CIIout VVVOFFJFETT =⇒′′′⇒=⇒2
VmAV''out
Demodulatore
Filtrop.b.
V'''out
Vout
VC
AV' =out
Corso di Elettronica Applicata II (N.O.) 71
t
Vm
t
Vout
t
V(1)
V(0)
V'out
t
V''out
T
t
V'''out
VmA
Corso di Elettronica Applicata II (N.O.) 72
Modulatore PWM
Ipotesi: Vm varia lentamente rispetto a Vt ;
V Vm>
−==
⇓
−=⇒==
max
maxmin
121
22
2
t
m
mtt
VV
T
VVTVVVV
τδ
τ
t
V(1)
V(0)
Vout
t
Vt Vm,
τ
V
V
V V V V Vm m out m out= ⇒ = = ⇒ = = − ⇒ =0 0 5 0 1δ δ δ, ; ;
−
+
VoutVt
VCO
Vm
Comparatore