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Elettromagnetismo per la Trasmissione dell’Informazione
Prof. Marco Farina
Dipartimento di Bioingegneria, Elettronica e Telecomunicazioni
Modalità EsamiProva scritta
“Auto-correzione”
Prova orale
Testi consigliati
Ramo-Whinnery-Van Duzer: Campi e Onde nell’elettronica delle Telecomunicazioni
R. Feynman, La Fisica di Feynman, vol 2: Elettromagnetismo e Materia, Zanichelli
Un po’ di storia...
William Gilbert (1544-1603): “De Magnete”; la ‘terrella’; distinzione fenomeni elettrici e magnetici; Otto Von Guericke (1602-1686): ingegnere; studi sul vuoto; primo “generatore” con sfera di zolfo Stephen Gray (1666-1736): conduttori ed isolanti Charles Dufay (1698-1739): chimico; elettricità “vetrosa” e “resinosa” Pieter Van Musschenbroek (1692-1761) di Leida: fisico; il primo condensatore John Canton (1718-1772): induzione elettrica Benjamin Franklin (1706-1790): tipografo, giornalista, inventore, politico… Conservazione della carica, proprietà dei corpi appuntiti Charles Augustine de Coulomb (1736-1806): ingegnere; legge quantitativa
Un po’ di storia... Henry Cavendish (1731-1810): più famoso per contributi in chimica; analogo di Coulomb, e studi su capacità di condensatori di forme diverse (definizione di capacità) Joseph Louis Lagrange (1736-1813): il concetto di potenziale Pierre Simon De Laplace (1749-1827) Siméon Denis Poisson (1781-1840) George Green (1793-1841) Carl Friederich Gauss (1777-1875) Alessandro Volta (1745-1827): elettroforo, elettrometro, eudiometro, pila… Hans Christian Oersted (1777-1851): effetti magnetici delle correnti André-Marie Ampère (1775-1836): leggi dell’azione meccanica tra correnti elettriche Michael Faraday (1791-1867): attività colossale (leghe dell’acciaio, rotazioni elettromagnetiche, liquefazione dei gas, vetri ottici, scoperta del benzene, induzione elettromagnetica,
decomposizione elettrochimica, scariche nei gas, benzene, elettricità e magnetismo, diamagnetismo…. Il più grande fisico sperimentale del XIX secolo
Un po’ di storia... James Clerk Maxwell (1831-1879):teoria dell’elettromagnetismo
(“Treatise on electricity and Magnetism”), termodinamica e meccanica statistica. Maxwell intuì che la luce era una manifestazione del campo elettromagneticoDa una lettera di Faraday a Maxwell nel 1857: “...C’è qualcosa che mi piacerebbe chiederle. Quando un matematico impegnato sulla ricerca delle azioni e sugli effetti fisici è giunto alle sue conclusioni, non è possibile che queste ultime siano esposte nel linguaggio di tutti i giorni, con la pienezza, chiarezza e precisione che esse hanno nelle formule matematiche? E, in caso affermativo, il farlo non sarebbe un gran dono verso uno come me? Tradurle dal linguaggio dei geroglifici in cui sono espresse, così che anche uno come me vi possa lavorar su per mezzo di esperimenti….”
Heinrich Hertz (1857-1894):Generazione/rivelazione onde EM: prove della teoria di Maxwell
Struttura dell’atomoNegli anni ‘30 J.J. Thomson, Ernest Rutherford, Niels Bohr e James Chadwick sviluppano il modello di tipo “planetario”, con un nucleo di protoni e neutroni circondato di una nube di elettroni
Z = numero atomico A = numero di massa
Nel Nucleo:Z protoniA – Z neutroni
Z elettroni esterni
10-10 m
10-15 m
Struttura dell’atomo…non prendete troppo sul serio l’idea planetaria...
…nessuna possibilità di trovarci sopra dei lillipuziani ...Del resto: perché un elettrone non cade nel nucleo?
Non c’è spiegazione nella meccanica classicaLa spiegazione è nel “principio di indeterminazione” della meccanica quantistica, che stabilisce che alcune quantità (coniugate) non sono misurabili simultaneamente con precisione arbitraria; l’incertezza nella misura di grandezze coniugate è tale che il loro prodotto non può essere migliore di una costante (legata alla costante di Plank)
hxp (a meno di qualche fattore 2 e …)
Se elettrone e protone in un atomo di idrogeno finissero l’un l’altro, la quantità di moto tenderebbe a crescere fino ad infinito: il raggio dell’idrogeno è un compromesso tra la forza attrattiva e l’energia cinetica imposta dal principio di indeterminazione
Struttura dell’atomosupponete che a sia il “raggio” dell’atomola quantità di moto sarebbe dell’ordine
e l’energia cinetica
La forza elettrica attrattiva darà all’elettrone un’energia potenziale
ahp /mahmpEc 2/2/ 22
aqEp 02 4/
L’energia totale è la somma dei due: vediamo a che distanza a l’energia è minimizzata
20
232 4//0 aqmahda
dE 1010528.0 a
raggio di Bohr….
Struttura dell’atomoNegli anni ‘50 Reines e Cowan dimostrano l’esistenza di un ulteriore tipo di particella, predetta da Wolfgang Pauli negli anni 30: il Neutrino
Alla fine degli anni ‘30 nei raggi cosmici si identifica un cugino pesante dell’elettrone, il Muone (200 volte più pesante, per il resto identico all’elettrone) e più tardi, negli accelleratore di particelle, un altro cugino, Tau
Nelle collisioni ad altissime energie, volte riprodurre condizioni successive al Big Bang, si identificano due parenti del neutrino, denominati muon-neutrino e tau-neutrinoNeutrini, muoni e tau non sono costituenti della materia, e quelli ottenuti negli accelleratori sono di solito particelle effimere.
Struttura dell’atomoNel ‘68 a Stanford si scopre che protoni e neutroni NON sono fondamentali: essi sono composti da combinazioni di QUARK (QUestion mARK) denominati SU e GIU’ (Up/Down), che hanno carica elettrica +2/3 e -1/3 rispetto alla carica dell’elettrone rispettivamente
ci sono 2 UP ed 1 Down in un protone e viceversa in un neutrone
Particelle non elementari composte da combinazioni di Quark vengono anche definiti Adroni, che si distinguono dai Leptoni (elettrone, muone, tau) che non hanno altri costituenti e non sono sensibili alla Forza Forte
“Zoologia” delle particelle
Particella Massa Particella Massa Particella Massa
Elettrone .00054 Muone .11 Tau 1.9
Neutrinoelettronico
<10-8 Neutrinomuonico
<.0003 NeutrinoTau
<.033
Quark up .0047 Quarkcharm
1.6 Quark top 189
Quarkdown
.0074 Quarkstrange
.16 Quarkbottom
5.2
Particelle elementari (Fermioni)
+antiparticelle (identiche con carica opposta)
Combinazioni di Quark danno origine a:
- Barioni, composti da 3 quark (come neutrone e protone)
- Barioni esotici (4, 5 quark)
- Mesoni (quark+anti-quark): pioni, kaoni…..
“Zoologia” delle particelle
Le Forze
Ad oggi tutte le interazioni sembrano ricondursi a 4 forze fondamentali Interazione Elettromagnetica Interazione Gravitazionale Interazione Nucleare Forte Interazione Nucleare Debole
Le Forze e i quanti
“C’era un tempo in cui i giornali scrivevano che solo 20 persone avevano capito la teoria della relatività. Non credo che tale tempo sia mai esistito. Potrebbe essere esistito un tempo in cui un solo uomo l’aveva capita perché l’unico a concepirla, prima di scrivere il suo articolo. Ma dopo aver letto l’articolo molti capirono la teoria della relatività, in un modo o nell’altro, sicuramente più di venti. D’altro canto posso affermare con sicurezza che nessuno capisce la meccanica quantistica”
Richard Feynman
Il paradosso alla fine del 1800 Data una cavità metallica, si valutano le soluzioni
dell’insieme equazioni di Maxwell+condizioni al contorno Si verifica che solo un numero discreto di “modi” sono
possibili, ovvero onde che hanno in ciascuna direzione un numero d’onda pari ad un multiplo discreto di /L, se L è la dimensione in tale direzione della cavità
Tuttavia il numero di modi possibili, sebbene discreto, è infinito L’uso della termodinamica classica (Rayleigh e Jeans) portava a
prevedere che, ad una data temperatura, tutti i modi venissero eccitati con la stessa ampiezza: l’energia totale del sistema (integrale su tutti i modi)=infinito!
L’ipotesi di Planck
Energia fornita per pacchetti interi (quanti) L’energia minima di un’onda è proporzionale
alla frequenza dell’onda stessa
Nella cavità alcuni modi avranno minima energia associata (il pacchetto più piccolo) troppo elevata per essere eccitati: ad una data temperatura solo un numero finito di modi è eccitato!
L’ipotesi di Planck: applicazione alla radiazione di corpo nero
Occorreva solo stabilire sperimentalmente la costante di proporzionalità: la costante di Planck: h ~ 6.6 10-34 Js
Con l’aggiustamento di un solo parametro si aveva un accordo perfetto con l’esperimento: premio Nobel 1918
Legge di PlanckLegge di Rayleigh-Jeans
Effetto Fotoelettrico Un metallo colpito da luce, può emettere elettroni Se si aumenta l’intensità della luce, non aumenta
l’energia cinetica degli elettroni, ma il numero di elettroni emessi
Se si aumenta la frequenza della luce incidente, aumenta l’energia cinetica degli elettroni
Spiegazione (Einstein; 1905): la luce ha natura corpuscolare (fotoni) che hanno energia E=h f
Quindi corpuscoli o onde ?
Credits:Dr. Tonomura
Come reinterpretare i fenomeni luminosi in termini corpuscolari: Feynman
http://vega.org.uk/video/subseries/8
Tornando alle interazioniI fotoni sono i quanti o i “mediatori” (particelle) delle forze elettriche (elettromagnetiche); quali per le altre forze?
Interazione Particella(Bosoni)
Massa
Nucleare Forte Gluone (8possibili stati)
0
Elettromagnetica Fotone 0
Nucleare Debole Bosoni W e Z 86,97
Gravitazionale Gravitone (?)mai osservato
0
Il nostro corso
Esistono fattori comuni? Molti fisici teorici sono alla ricerca di una TOE (Theory Of Everything)
cercando una spiegazione comune a tanta varietà di particelle
Apparentemente gravità e le altre interazioni sottostanno a leggi inconciliabili (relatività generale e meccanica quantistica)
Le due teorie più promettenti sono quelle dei Twistors (Roger Penrose, 1970) e quella delle Stringhe (1968-1970 circa)
Nel 2003 Edward Witten ha collegato le due teorie, e in gennaio 2005, ad Oxford, la prima conferenza dedicata alla convergenza delle due teorie…
Morale: Non tutto ciò che studiate è assodato, statico, immutabile! Da ingegneri, applicherete concetti che sono consolidati da un punto di vista operativo; concetti classici (equazioni di Maxwell) o quantistici (dispositivi, laser); senso critico!
Carica elettrica La carica elettrica (q) è la proprietà delle particelle sensibili alla forza
(interazione) elettromagnetica, così come la massa (o carica) gravitazionale (m) è la proprietà delle particelle sensibili alla forza gravitazionale)
La carica di una particella non dipende dal suo stato di moto: essa è uno scalare invariante, indipendente dal sistema di riferimento in cui viene misurata (principio di invarianza della carica elettrica)
La carica elettrica elementare è quella dell’elettrone (e): scoperta da JJ Thomson nel 1897, fu misurata da R. Millikan tra il 1909 e il 1917
e (1.60217733 0.000 000 49) 10 19 coulomb(C)
Quantizzazione della carica La carica elettrica osservata sperimentalmente è sempre un
multiplo intero (positivo o negativo) di e
I quark (carica frazionaria) non compaiono mai da soli (principio di schiavitù asintotica) ma in combinazioni che consentono di non violare tale regola
Q e,2e,3e,.... .,ne,.. ...
Neutralità della carica
In un sistema isolato la somma algebrica delle cariche elettriche è costante Benjamin Franklin [1706-1790]
La materia è macroscopicamente neutraA livello atomico le forze di attrazione tra cariche opposte sono formidabili
Quantificazione interazione tra caricheCharles Augustin de Coulomb [1736-1806]
Legge di Coulomb (1785)
rr
qquF
221
04
1
q1
q2r
ur
rr
ru
rF
321
04
1
r
Nel vuoto
Legge di Coulomb
q1
q2
r-r’
O
r
r’
)'('4
13
21
0
rrF
rr
Se l’origine non coincide con una delle due particelle
212120 mNC10854.8
Nota: permettività o permeabilità elettrica nel vuoto
Pensate ad una forza simile alla gravitazione […] ma che sia all’incirca un miliardo di miliardi di miliardi di miliardi di volte più forte.[…] tutta la materia è una miscela di protoni positivi ed elettroni negativi che si attirano e si respingono con questa gran forza. Tuttavia la compensazione è così perfetta che stando accanto ad un’altra persona voi non risentite alcuna forza. Eppure se ci fosse anche un piccolo difetto nella composizione ve ne accorgereste subito. Se vi trovaste ad un metro di distanza da un altro ed ambedue aveste l’un per cento di elettroni in più che di protoni, la forza di repulsione sarebbe incredibile. Quanto grande? Sufficiente per sollevare l’Empire State Building? No! Per sollevare il monte Everest? No! La repulsione sarebbe abbastanza grande per sollevare un “peso” uguale a quello della Terra!Richard P. Feynman
Forze in un sistema di caricheSovrapposizione degli effetti
+
+
+
+
q
q1
q2
q3
q4
F1
F 2 F 3
F 4
F
q=
F F1 F 2 F3 F4
rN
N
N
rrr
r
r
qquuuF
20
22
2
2
0
12
1
1
0 4
1...
4
1
4
1
rii i
i
r
qquF
2
04
Distribuzioni continue di caricaIl numero di cariche solitamente coinvolte nei fenomeni elettromagnetici è così alto che ha senso considerare campi generati da distribuzioni continue
La forza su q0 dovuta all’elemento infinitesimo di carica dq vale
q0
dqr-r’
O
r
r’3
0
0'4
')(
rr
rrrF
dqq
Densità di carica in un volume
Carica totale distribuita nel volume V
dV
Volume V
dq
Carica Q
dqdV
Q dVV
dq = (r’) dV’
V
dVq3
0
0'4
'')'()(
rr
rrrrF
Integrale di difficoltà enorme!
Densità Superficiale di caricaDensità superficiale di carica
Carica Q
Superficie S
dS dq
dqdS
Q dSS
Carica totale sulla superficie
S
dSq3
0
0'4
'')'()(
rr
rrrrF
Densità Lineare di caricaDensità lineare di carica
Carica totale sul filo
l
dlq3
0
0'4
'')'()(
rr
rrrrF
aa
dl
linea l
dq
Carica Q
l
q
d
d
Q dll
Intensità del campo elettrico
q
FE
rr
QuE
204
1
Nel vuoto
E E
Linee di Campo
+
F qE
q
+q
F qE
In presenza di materiale dielettrico
- +
E
- +
EpolE
Il campo elettrico all’interno di un dielettrico sarà la sovrapposizione del campo esterno e di quello indotto
dalle cariche di polarizzazione: il dielettrico agisce quindi riducendo l’intensità del campo. Il fattore di riduzione di tale intensità è la
costante dielettrica relativa r
In presenza di materiale
rr
qquF
221
4
1
0
01
r
r
F
F
Definiamo una quantità che non dipende dal mezzo: il vettore Spostamento Elettrico o Densità di Flusso Elettrico [C/m2]
ED
rr
quD
24
Per una carica puntiforme:
Nota: questa espressione è vera se il materiale è “lineare”, cioè se la carica indotta e quindi il campo di polarizzazione è proporzionale al campo che induce la polarizzazione. Se non lineare, dipende da E
Legge di Gauss in forma integrale
La carica netta totale racchiusa richiede sia le cariche libere che quelle indotte, nel caso ci sia un materiale nel volume racchiuso dalla superficie di Gauss Non importa la posizione delle cariche (purché distinguiamo quelle interne da quelle esterne alla superficie) Il campo che compare è quello totale, cioè anche dovuto ad eventuali cariche esterne però una carica esterna non altera il flusso totale (tanto ne entra quanto ne esce) La legge di Gauss è una forma alternativa della legge di Coulomb: consente di sfruttare le simmetrie, ed è valida anche per cariche in moto
0q
dE AE
Legge di Gauss per D
Con D dobbiamo considerare solo la carica libera, visto che le cariche indotte in eventuali materiali sono contenute nella definizione di D
liberaD qd AD Legge di Gauss in forma
Integrale
Distribuzione di carica coassialeSi supponga di avere un cavo coassiale infinitamente lungo, in cui il cilindro interno è uniformemente carico, con densità lineare di carica . Lo spazio tra i due cilindri è riempito da un mezzo con costante dielettrica . Si calcoli il campo tra i due conduttori.
Si applica Gauss ad superficie cilindrica intermedia r di lunghezza l; il campo elettrico è solo radiale
a
b
r
D
r
DE
lrlD
Qds
rr
r
S
2
2
nDD
Stesso risultato in assenza di conduttore esterno
Teorema di Gauss in forma differenziale
xy
z
n=xn’=-x
E
E’dx
dy
dv
dzdyEdsd xx nE
1
dzdyEd xx '2 dzdyEEdd xxxx )'(21
dvx
Edxdydz
x
EdzdydE xx
x
0
z
E
y
E
x
E
dv
d zyxtot
0
)(
EE
Div DD
)( invece Dper Div
00
dvdQ
dvz
E
y
E
x
Ed zyx
tot
Teorema della Divergenza
QdvdvVV
D
dvdsVS
DnD
Integriamo a destra e a sinistra il teorema di Gauss in forma differenziale
Confrontiamo con il teorema di Gauss in forma integrale e otteniamo
Nota Con gli operatori differenziali descriviamo ciò che succede in un
punto: se in un certo punto la densità di carica è zero, in quel punto la divergenza è nulla
L’operatore divergenza è l’espressione del flusso attraverso una superficie chiusa infinitesima: quanto più il campo “diverge” da quel punto, tanto maggiore è la densità di carica, sorgente del campo, in tale punto
Potenziale Per un campo conservativo è sempre possibile definire un
POTENZIALE, ovvero una grandezza che dipende solo dalla posizione nello spazio
Se esiste una ddp tra due punti, siamo in presenza di un campo si misura in Volt [V]=[J/C]; nota che E è misurato in N/C cioè V/m
UUUdW BA
B
A
AB lF
ticoElettrosta Potenziale / 1qUV
1q
UVVVd
q
WBA
B
A
AB lE
Superfici Equipotenziali
Sono definiti come luogo dei punti a potenziale costante
sono sempre ortogonali alle linee di forza
Campo uniforme Carica puntiforme dipolo
Il concetto di Gradiente Calcoliamo il prodotto scalare di E ed elemento infinitesimo di
spostamento, per esempio lungo x
Il campo elettrico diviene funzione di uno scalare!!
dVdxEdxEd x cosxE
dx
E
Exdx
dVE x
... ;y
VE
x
VE yx
VEEE zzyyxx
uuuE
Promemoria
Fin qui abbiamo definito due “operatori differenziali”: La Divergenza (indicata con Div oppure )
essa associa ad un campo vettoriale una funzione scalare
zyx Fz
Fy
Fx
F
Il gradiente (indicato con Grad oppure “nabla”) essa associa ad una funzione scalare un campo vettoriale
zyx z
V
y
V
x
VV uuu
PromemoriaNotate come il simbolo della divergenza sia molto informativo: Nel calcolare facciamo effettivamente un prodotto scalare tra l’operatore gradiente ed il campo: infatti il gradiente è una sorta di vettore speciale (un operatore appunto…) che ha bisogno di avere qualcosa alla sua destra su cui “operare”: ha tre componenti che sono in realtà derivate
zzyyxx FFF uuuF
F
zyx zyx
uuu
zyx Fz
Fy
Fx
F
Alcune note Gli operatori differenziali che abbiamo introdotto,
sono stati scritti in coordinate rettangolari (x,y,z) Essi assumono forme diverse nei diversi sistemi di
riferimento (cilindrico, sferico ecc.) In generale li trovate tabellati, da usare
all’occorrenza, o ve li fate spiegare da un professore di analisi
Gli operatori sono potenti strumenti matematici, con un’algebra simile a quella delle matrici
Potenziale per una carica puntiforme
B
ABA dVV rE
B
A
drr
q24
A
B
r
q
4
AB r
q
r
q
44
Hanno senso solo differenze di potenziale Uno dei due potenziali è preso come “riferimento” In questo caso un riferimento comodo è B all’infinito
r
qrV
4)(
Calcolo del campo di un dipolo usando i potenziali
)()(
)()(
0)()(0)()( 44
1
rr
rrq
r
q
r
qVVV
2)()()()( cos rrrdrr
20
20
20 4
1cos
44
cos
rr
p
r
qdV rup
Se vogliamo il campo elettrico in coordinate sferiche (come determinato in una precedente lezione) occorre calcolare il Grad(V) in coordinate sferiche
Campo Elettrico del dipolo a partire dal potenziale
Il gradiente in coordinate sferiche è (come da appendice Ramo-Whinnery)
uuu
V
rsin
V
rr
VV r
11 Poiché V non dipende da
uuE sinr
pVr r cos2
4),(
30
Quanto avevamo ottenuto in precedenza…...Nota: mentre il campo elettrico di una carica decresce con r come r-2, il dipolo, a causa della seconda carica ha campo che decresce come r-3
Potenziale di una distribuzione continua di cariche
Distribuzione di cariche
'4
')(
0
V
dVV
rrr
puntiformecarica 4
)(0 r
r
q
V
V
P
r
r’
r-r’
dV
L’approssimazione di dipolo per distribuzione arbitraria di cariche
Distribuzione arbitraria di cariche: il potenziale in P in prima approssimazione, a grande distanza: P
r
r’
ri
di
i0
4
1)(
i
i
r
qV
r
r
r 0ii
0 4
4
1
Ma se ci sono cariche positive e negative in ugual quantità? L’approssimazione è chiaramente insufficiente
L’approssimazione di dipolo per distribuzione arbitraria di cariche
P
r
r’
ri
di
cosii drr
Per cui il potenziale diventa
Approssimiamo meglio ri
rr ud i
rrr
rr
ii
ud i
111 1
i2
0
... 4
1)(
rq
r
QV ri
iud
r
L’approssimazione di dipolo per distribuzione arbitraria di cariche
Se definiamo momento di dipolo per una distribuzione di cariche
iiiq dp
Vediamo che il secondo termine dell’espansione è
20
4
1
rrup
Cioè esattamente il potenziale di dipolo calcolato nella scorsa
lezione Questo è importante in quanto stabilisce che qualunque distribuzione
di cariche, globalmente neutra, ad una certa distanza ha un potenziale (e quindi un campo) che dipende dal momento di dipolo
Esempio: approssimazioni a grande distanza Supponiamo di avere una distribuzione di cariche piuttosto
complicata:Q1= 1nC in R1 (0.01,0.01,0.02)m
Q2= 3nC in R2 (0.02,0.02,0.02)m
Q3= 12nC in R3 (0.01,0.03,0.02)m
Q4= 8nC in R4 (0.03,0.03,0.02)m
Qual è il potenziale in P (3,0,4) m? P
Esempio: approssimazioni a grande distanza
Le cariche sono tutte vicine all’origine, da cui P dista circa 5m
Sappiamo quindi che il risultato sarà con buona approssimazione
R
RV
0ii
0 4
4
1
510854.84
102412
9
V14.43
Se avessimo fatto il conto in modo esatto avremmo ottenuto
i
i
0
4
1
ir
qV
i
i
0
4
1
RR
i
q
V37.43
….la distanza in questo caso non è poi così grande...
Esempio2: approssimazioni a grande distanza Modifichiamo lievemente i dati (le cariche) del problema
precedente:Q1= 1nC in R1 (0.01,0.01,0.02)m
Q2= 5nC in R2 (0.02,0.02,0.02)m
Q3= -4nC in R3 (0.01,0.03,0.02)m
Q4= -2nC in R4 (0.03,0.03,0.02)m
Qual è il potenziale in P(3,0,4) m? P
Esempio 2: approssimazioni a grande distanza
Le cariche sono ancora tutte vicine all’origine, da cui P dista circa 5m
Però se calcoliamo come prima
R
RV
0ii
0 4
4
1
0
Ovvero l’approssimazione è insufficiente: conta il contributo di dipolo (che sappiamo decrescere come r2)
Calcoliamo il termine di dipolo:
iiiq dp
Cm0,107,10 1111
20
4
1
rV r
dipup
30
4
1
r
Rp
3
11
12 )5(
00103
10854.84
1
V310157.2
Esempio 2: approssimazioni a grande distanza
Se avessimo calcolato in modo “rigoroso” avremmo ottenuto
i
i
0
4
1
ir
qV
V310298.2
Metodo delle Immagini
Se sostituiamo una superficie equipotenziale con una superficie conduttrice (o un conduttore pieno) avente il corretto potenziale, il campo rimane identico!
IDEA: studiare i campi di distribuzioni di cariche in prossimità di conduttori rimpiazzando i conduttori con distribuzioni di carica appropriate, o viceversa, a seconda della difficoltà del problema
Metodo delle Immagini
Tale procedura, ovvero sostituire ad un problema, un problema equivalente più semplice, è molto generale. Più avanti affronteremo il problema da un punto di vista matematico ( “unicità” di una soluzione di un sistema di equazioni integro-differenziali con condizioni al contorno)
Ovviamente il problema è equivalente per tutto quanto è al di fuori del conduttore equivalente
Il caso più semplice: un conduttore piano a potenziale zero (massa) in prossimità di una carica. Basta sostituire con un dipolo.
Carica in prossimità di un piano conduttore
Il campo dovuto alla carica sola è
Sul piano, il campo è tutto ortogonale, con direzione -x, e la componente di r lungo x di r è -a, ovvero
P
rr
q rE
204
xar
quE
304
r
xa
a
qu
2
322
04
Aggiungiamo l’effetto della carica immagine raddoppiando il campo
xTOT a
a
quE
2
322
04
2
a
-
-
-
-
-
-
-
-
Carica in prossimità di un piano conduttore
La densità di carica indotta (Gauss) è
Notate che, se integriamo su tutto il piano (nota: () individuano un punto in coordinate polari)
P
a)()( 0 E r
a
a
q
2
3224
2
2
0 0
)( dd
2
0 2d
-
-
-
-
-
-
-
-
Come deve essere. La forza che subisce la carica è ovviamente (forza tra due cariche uguali e opposte…)
xa
quF
20
2
24
Lo stesso risultato poteva essere ottenuto integrando i contributi di forza dovuti a (molto più laborioso!!)
2
0 0
222d
a
qa
ATTENZIONE L’equivalenza è valida solo per la regione al di fuori del
conduttore equivalente: es. appello luglio 2007
1nC
10cm
R=1m
Flusso attraverso la sfera? NON E’ ZERO come potreste immaginare mettendo la carica immagine
Usiamo il teorema della immagini per calcolare la carica sul piano
a
a
q
2
3224
2)(
Integrata nel cerchio di 1 m
nCRa
aRaqddQ
R
9.0)(22
222
0 0
2
Quindi per Gauss: VmQE tot 238.11/)( 0
Equazione di Poisson
ED
VE
V
Se il mezzo è omogeneo (costante dielettrica indipendente dalla posizione)
Vz
Vy
Vx
V2
2
2
2
2
2
V2 In assenza di cariche (eq. Di Laplace)
02 V
Teorema di Gauss+Conservatività campo
elettrostatico
EsercizioData una carica q posta nell’origine, verificare che tutti i punti a distanza r verificano l’equazione di Laplace
zx
y
q
r
2222 zyxr
rx
q
x
V 1
4 0
x
r
r
q2
0
1
4 304 r
xq
xx
rr
x
r22
2
Esercizio (Continuo)
5
2
30
31
4 r
x
r
q
5
2
30
2
2 31
4 r
y
r
q
y
V
30
2
2
4 r
x
x
q
x
V
5
222
30
2 )(33
4 r
zyx
r
qV
0
33
4 5
2
30
r
r
r
q
Come risolvere le equazioni di Laplace e Poisson? Digressione sui numeri complessi
Una variabile complessa è definita da una coppia di variabili reali Z=x+jy essendo j=(-1)1/2
Gerolamo Cardano [1501-1576]
Le coppie individuano un piano complesso o “piano di Gauss”
In coordinate polari
jrejsinrjyxZ cos Possiamo definire una funzione complessa di variabile complessa:
jejvuZfW
Digressione sui numeri complessi
La derivata di una tale funzione è definita dal limite del rapporto incrementale
Z
ZfZZf
dZ
dWZ
)()(lim
0 Una funzione complessa è analitica (o regolare) se tale limite esiste ed è
unico Condizione necessaria, è che il risultato che si ha derivando lungo dx o
lungo jdy sia lo stesso, ovvero
x
vj
x
ujvu
xx
W
dZ
dW
y
uj
y
vjvu
yjjy
W
dZ
dW
1
Uguagliando parte reale ed immaginaria si ha
y
u
x
v
y
v
x
u
Condizioni di Cauchy-Riemann
In realtà tali condizioni risultano anche sufficienti
Funzioni analitiche e potenziali Derivando la prima delle condizioni di CR rispetto a x, la seconda rispetto ad
y e sommando si ha
02
2
2
2
y
u
x
u
cioè l’equazione di Laplace in 2 dimensioni
Analogamente, invertendo l’ordine della derivazione si ottiene
Quindi parte reale e parte immaginaria di una funzione analitica possono essere usate come funzioni di potenziale in problemi 2D
02
2
2
2
y
v
x
v
Non solo: se per esempio u è usato come potenziale ( e quindi u=cost individua superfici -anzi curve- equipotenziali), v=cost individua curve perpendicolari proporzionali al flusso
Quindi: fissate delle condizioni al contorno per il potenziale, se troviamo una funzione analitica la cui parte reale (o immag) le soddisfa, abbiamo il potenziale e quindi il campo dappertutto!
Esempio Una funzione analitica ZZF )(
Se tracciamo per esempio su mathcad la parte immaginaria, al variare della costante
costante2
2
1
jsinr
otteniamo
Che sono le mappe di campo in prossimità di una lamina di metallo sottile. La parte reale infatti rappresenta le superfici equipotenziali
22cos2/1
jsinr
2
2
y r ( ) ( )
y1 r ( ) ( )
y2 r ( ) ( )
y3 r ( ) ( )
22 x r ( ) ( ) x1 r ( ) ( ) x2 r ( ) ( ) x3 r ( ) ( )
2
2
y r ( ) ( )
y1 r ( ) ( )
y2 r ( ) ( )
y3 r ( ) ( )
22 x r ( ) ( ) x1 r ( ) ( ) x2 r ( ) ( ) x3 r ( ) ( )
Potenziale nullo
Esempio
Se quindi assumiamo che la parte reale è il potenziale per la lamina, possiamo calcolare
y
uE
x
uE yx
Ex in particolare è la componente di campo ortogonale allo spigolo della
lamina: sappiamo che i campi ortogonali agli spigoli tendono ad infinito Se calcoliamo la prima derivata, vedremo che in x=0, per r →→0 il campo tende ad infinito come r -1/2
Quindi abbiamo anche un’informazione quantitativa della singolarità di campo in prossimità di uno spigolo a lama di coltello: diremo che l’ordine della singolarità è -1/2
In modo analogo (trovando opportune funzioni analitiche che siano in grado di soddisfare le condizioni al contorno) si possono calcolare gli andamenti di campo in prossimità di spigoli diversi. In generale si ottiene che per uno spigolo metallico con angolo il campo tende ad infinito come r con =/(2-)-1
I potenziali governati dall’eq. Di Poisson (o da Laplace) in regioni con dati potenziali al contorno sono unici
Dimostrazione per assurdo (Laplace): siano 1 e 2 soluzioni
Contorno: 1- 2=0 00 22
12 021
2
Applichiamo il th.della divergenza a 2121
SV
dSdV n
21212121
fff AAA
Introduciamo l’identità:
Unicità soluzioni Eq. Poisson
Unicità soluzioni Eq. Poisson
S
VV
dS
dVdV
n
2121
22121
221
Primo integrale nullo per eq Laplace
Ultimo integrale nullo per ipotesi 1- 2=0 sul contorno
V
dV 0221
realeGradiente realeQuadrato>=0Integrale nullo argomento nullo
021 const 21
Condizione al contornocostante nullacvd ovunque
21
Sovrapposizione degli EffettiDividere un problema in più problemi più semplici
Combinare le soluzioni per ottenere la risposta:LINEARITA’ EQ. LAPLACE E POISSON
1
21
2
22
12
212
kk
Metodi analitici per risolvere le equazioni di Laplace/Poisson: separazione delle variabili
02
2
2
2
yx )()(),( yYxXyx
0'''' XYYX 0''''
Y
Y
X
X
2
2
''
''
y
x
kY
Y
kX
X
0''
0''2
2
YkY
XkX
y
x 022 yx kk
))()cos())(()cosh((),( kyDsinkyCkxBsinhkxAyx
))()cosh())(()cos((),( kyDsinhkyCkxBsinkxAyx
Proviamo a cercare
Osservazioni
Nota: per kx=jky=0 la soluzione è
DCyBAxyx ),(
Quali soluzioni usare? Dipende dalle condizioni al contorno La prima è periodica in y, la seconda in x Contorni all’infinito: sostituire f. iperboliche con esponenziali reali
Le costanti di separazione vengono fuori dall’imposizione delle condizioni al contorno
Le soluzioni dell’equazione di Laplace si definiscono Armoniche Una sola armonica può non essere sufficiente a soddisfare una o più delle
condizioni al contorno: in tal caso si cerca la soluzione per serie di armoniche
x
y
ab
=0
=Vo
Scegliamo soluzioni sinusoidali in y, perché consentono di avere zero in y=0 ed in y=b
Il potenziale per x=0 è nullo:A=0Il potenziale per y=0 è nullo:C=0
))sin()cos())(sinh()cosh(( kyDkyCkxBkxA
Il potenziale per y=b è nullo:kb=n b
nk
b
yn
b
xnCn
sinsinh Un solo termine non può
soddisfare la condizione in x=a
Esempio Un caso bidimensionale con potenziale 0 su
3 lati, e fissato su un quarto
Esempio (Cont.)
1
sinsinhn
n b
yn
b
xnC
I coefficienti si determinano imponendo la condizione al contorno restante (x=a)
byb
yn
b
anCV
nn
0sinsinh1
0
E’ un’espansione in serie di Fourier
byb
ynaVyf
nn
0sin)(1
0
parin
disparinn
Van
0
4 0
Esempio (Cont.)
nn ab
ansinhC
byb
yn
ban
n
bxn
V
disparin
0sinsinh
sinh4 0
Serie di Fourier: (richiamo)
Funzioni periodiche di periodo T: )()( Ttftf
T
Il th. di Fourier asserisce che è possibile sostituire ad f una serie di seni e coseni di periodo multiplo di T
tbtb
tataatf
2sinsin
2coscos)(
21
210
Coefficienti: usiamo ortogonalità sinusoidi, ovvero
T
2
L’integrale del prodotto di due sinusoidi qualsiasi a diversa frequenza, nel quale siano commensurabili, è zero
2
0
0)cos()cos( dxnxmx 2
0
0)sin()sin( dxnxmx
2
0
0)cos()sin( dxnxmx
2
0
22
0
2 )(sin)(cos dxmxdxmx
Moltiplicando ciascun termine della sommatoria per cos(nt) ed integrando tra 0 e 2, tutti i termini a destra si annullano tranne an
2
0
22
0
)()(cos)()cos()( tdtnatdtntf n
2
0
)()cos()(1
tdtntfan
2
0
)()sin()(1
tdtntfbn
2
0
0 )()(2
1tdtfa
a0 media di f nel periodo
Serie di Fourier: (richiamo) ortogonalità
Metodi numerici: differenze finite Una tecnica di “discretizzazione” molto diffusa: discretizzare:
sostituire a equazioni differenziali/integrali, equazioni algebriche
Costruiamo una griglia di punti, ed in alcuni dei punti il potenziale sia assegnato (condizioni al contorno). Siano i quadretti distanziati h
Possiamo espandere in serie di Taylor il potenziale in un intorno del punto (x,y)
2
22 ,
2
,,,
x
yxh
x
yxhyxyhx
2
22 ,
2
,,,
x
yxh
x
yxhyxyhx
Combinando le due si ottiene
22
2 ,,2,,
h
yhxyxyhx
x
yx
Metodi numerici: differenze finite
Per ogni punto della griglia (x0,y0) possiamo rimpiazzare l’equazione differenziale con il suo equivalente alle differenze finite: in esse non compaiono più derivate ma solo (x0,y0), che divengono le incognite di un sistema ad n incognite ed n equazioni, n è il numero di punti considerato
(x0,y0)
(x0+h,y0)
Sul sito http://www.av8n.com/physics/laplace.html due file Excel (versione “base” e “avanzata” -con un metodo più veloce-) che implementano quest’ultima strategia
2
,4,,,,h
yxhyxhyxyhxyhx
Un modo approssimato: notate che, dato un punto ed i 4 confinanti, l’eq di Laplace è soddisfatta se il punto centrale ha un potenziale pari alla media dei punti confinanti
Metodi numerici: differenze finite Esempio: appello del 31 Luglio 2007
Calcolare con le differenze finite il potenziale nei punti P1, P2...
2V
3V
5V
7V
P1 P2
P3 P4
Supponiamo P2=P3=P4=0: calcoliamo P1 come media (7+2+0+0)/4=2.25V
Aggiorniamo P2 di conseguenza (2.25+2+3+0)/4=1.813V
Ora Aggiorniamo P4 (1.813+0+3+5)/4=2.453V P3 (7+2.25+2.453+5)/4=4.176 Torniamo a P1 (7+2+P2+P3)/4=3.747: diverso dal valore precedente: iteriamo Dopo qualche iterazione i risultati si stabilizzano
P1: (7+2+P2+P3)/4=4.36P2: (P1+2+3+P4)/4=3.364P4: (P3+P2+3+5)/4=4.117P3: (7+P1+P4+5)/4=5.119
