PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E FÍSICA

Professores: Edson Vaz e Renato Medeiros

ELETRICIDADE E MAGNETISMO

NOTA DE AULA I

Goiânia - 2014

ELETROMAGNETISMO

CARGA ELÉTRICA

A carga elétrica, assim como a massa, é uma propriedade fundamental e característica

intrínseca das partículas elementares que constituem a matéria; ou seja, é uma propriedade

associada à própria existência dessas partículas. Com efeito, toda matéria é composta de

átomos, estes por sua vez são compostos por prótons (possuem carga positiva), nêutrons (não

possuem carga) e elétrons (possuem carga negativa).

CORPO ELETRIZADO

Um corpo em seu estado normal, não eletrizado, possui um número de prótons igual

ao número de elétrons. Se este corpo perder elétrons, estará eletrizado positivamente. Se ele

receber elétrons estará eletrizado negativamente.

A unidade de carga elétrica no SI é o coulomb (C), sendo comum o uso dos

submúltiplos seguintes:

1 mC (milicoulomb ) = 10

-3 C

1 C (microcoulomb ) = 10-6

C

1 nC ( nanocoulomb ) = 10-9

C

1 pC ( picocoulomb ) = 10-12

C

A CARGA ELÉTRICA É QUANTIZADA

Quando uma grandeza Física, tal como a carga, só pode ter valores discretos em vez

de qualquer valor, dizemos que esta grandeza é quantizada.

Para a determinação da quantidade de carga elétrica (q) que um corpo possui, utiliza -

se a expressão:

19

onde:

1,6 10 carga eleme

ntar

é a diferença entre o número de elétrons e próton

q

s do corp

ne

e C

n o

PRINCÍPIOS DA ELETROSTÁTICA

PRINCÍPIO DA ATRAÇÃO E REPULSÃO

Corpos carregados interagem exercendo forças uns sobre os outros, sendo que, corpos

com cargas elétricas de mesmo sinal se repelem e de sinais opostos se atraem.

PRINCÍPIO DA CONSERVAÇÃO DAS CARGAS ELÉTRICAS

A carga elétrica não pode ser criada, nem destruída. A carga total de um sistema

isolado não pode variar, sendo que as cargas podem ser reagrupadas e combinadas de modos

diferentes.

CONDUTORES

Os sólidos que, como os metais, possuem elétrons livres em seu interior, permitem o

deslocamento de carga elétrica através deles, sendo, por este motivo, denominados

“condutores de eletricidade”.

ISOLANTES

Ao contrário dos condutores, existem sólidos nos quais os elétrons estão firmemente

ligados aos respectivos átomos. Portanto, “não será possível“ o deslocamento de carga elétrica

através destes corpos, os quais são denominados isolantes elétricos, ou dielétricos.

SEMICONDUTORES

Os semicondutores, dentre os quais citamos o silício e o germânio, são materiais que

pertencem a uma classe intermediária entre os condutores e os isolantes. A revolução da

microeletrônica se deve principalmente aos dispositivos construídos usando materiais

semicondutores.

SUPERCONDUTORES

Os supercondutores não oferecem resistência ao movimento da carga elétrica através

deles. Se for estabelecida uma corrente elétrica, em um anel supercondutor, ela permanecerá

“para sempre”, sem necessidade de uma bateria ou outra fonte de energia para mantê-la.

TIPOS DE ELETRIZAÇÃO

ELETRIZAÇÃO POR ATRITO

Experiências bem simples podem ser feitas para verificar a eletrização por atrito.

Como exemplo podemos citar o fato de um canudo de refresco, após ser atritado com um

pedaço de lã, atrair pequenos pedaços de papel.

Na eletrização por atrito os corpos adquirem cargas de mesmo módulo e sinais

opostos.

Série Triboelétrica

ELETRIZAÇÃO POR CONTATO

Na eletrização por contato os corpos ficam com cargas de mesmo sinal, o valor da

carga de cada um dos corpos, após o contato, depende da capacidade de cada um deles

armazenar cargas.

Observações:

I - Para condutores de mesmas dimensões e mesma forma e mesmo material, após o contato eles terão cargas iguais.

II - Se ligarmos um condutor eletrizado à Terra, o mesmo ficará praticamente descarregado.

ELETRIZAÇÃO POR INDUÇÃO

Na eletrização por indução, não há contato direto entre os corpos. Basta aproximar um

corpo carregado (indutor) de um corpo neutro a ser carregado (induzido). O induzido deve ser

ligado temporariamente à Terra ou a um corpo maior que lhe forneça elétrons ou que dele os

receba.

Na eletrização por indução, o induzido eletriza-se com carga de sinal contrário à do

indutor. A carga do indutor não se altera.

CARGA ELÉTRICA PUNTIFORME (OU PONTUAL)

Uma carga puntiforme ou pontual é aquela que está distribuída em um corpo cujas

dimensões são desprezíveis em comparação com as demais dimensões envolvidas no

problema.

LEI DE COULOMB

Em 1785, o Francês Charles Augustin de Coulomb realizou experimentos que

comprovaram que a força elétrica entre cargas puntiformes obedecia a seguinte relação

(chamada de lei de Coulomb):

A força elétrica, de atração ou repulsão, entre duas cargas puntiformes atua na direção da

linha reta que passa pelas cargas. Ela é diretamente proporcional ao produto destas cargas e

inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas.

A equação matemática que representa esta lei, no vácuo, é a seguinte:

1 2

0 2

.q qF K

r

onde: 9 2 2

0 8,99 10 /K Nm C ( é a constante eletrostática no vácuo )

A força que a carga q1 exerce em q2 ( 12F ) e a força que a carga q2 exerce em q1 ( 21F )

formam um par ação e reação (3o lei de Newton). A direção da força sobre cada partícula é

sempre ao longo da linha que as liga, puxando uma de encontro à outra, no caso de forças

atrativas em cargas de sinais diferentes, e empurrando-as para fora, no caso de forças

repulsivas em cargas de sinais iguais. Observe que 12F e 21F possuem mesmo módulo

12 21F F .

A constante eletrostática 0K pode ser escrita como 1 / (40), onde 0 é outra

constante. Embora isto pareça uma complicação, na verdade, essa mudança simplifica

algumas fórmulas a serem encontradas mais tarde. A lei de Coulomb torna-se então:

1 2

2

0

.1

4

q qF

d

onde: o = 8,8510 –12

C 2 / N. m

2 (Constante de permissividade no vácuo).

A força eletrostática obedece ao princípio da superposição. Quando duas ou mais

cargas exercem forças simultânea sobre uma dada carga, observa-se que a força total sobre

esta ultima é a soma vetorial das forças que as várias cargas exerceriam individualmente sobre

ela.

E X E R C Í C I O S

1. O esquema abaixo mostra três cargas puntiformes fixas, no vácuo. Determine o módulo, a direção e o

sentido da força elétrica resultante: (a) Que atua na carga Q2 (b) Que atua na carga Q3.

R: a) 1,29 N, na direção horizontal e sentido para direita.

R: b) 3,610-2

N, na direção horizontal e sentido para direita.

q1 q2

r

Q1 =36C Q2= 16C Q3= 2C

2m 4 m horizontal

2. A figura abaixo mostra duas cargas, q1 e q2, mantidas a uma distância fixa d uma da outra. (a) Qual é o

módulo da Força eletrostática que atua sobre q1? Suponha q1 = q2 = 20,0 C e d = 1,50 m. (b) Uma terceira

carga q3 = 20,0 C é trazida e colocada na posição mostrada na Fig.01b. Qual é agora o módulo da força

eletrostática que atua sobre q1? R: 1,6N; 2,77 N

3. Três partículas carregadas, localizadas sobre uma linha reta, estão separadas pela distância d, como mostra a

figura abaixo. As cargas q1 e q2 são mantidas fixas. A carga q3, que é livre para mover-se, encontra-se em

equilíbrio (nenhuma força eletrostática líquida atua sobre ela). Determine q1 em termos de q2. R: 1 24q q

4. As cargas q1 e q2 se encontram sobre o eixo dos x, nos pontos x = -a e x =+a, respectivamente. (a) qual deve

ser a relação entre q1 e q2 para que a força eletrostática líquida sobre a carga + Q, colocada no ponto x =

+a/2, seja nula? (b) Repita o item (a) com a carga +Q colocada no ponto x =+3a/2.

R: a) q1 = 9q2 ; b) q1 = - 25q2

5. Na figura abaixo, quais são os componentes horizontal e vertical da força eletrostática resultante que atua

sobre a carga no vértice inferior esquerdo do quadrado, sendo q = 1,0 x 10-7

C e a = 5,0 cm? R: 0,169N

0,047N

6. Duas cargas puntiformes livres +q e +4q estão a uma distância L uma da outra. Uma terceira carga e

colocada de tal modo que todo o sistema fica em equilíbrio. Determine a posição, o módulo e sinal da

terceira carga. R:-4q/9, L/3 de +q, entre as duas cargas.

7. Uma carga Q é dividida em duas partes q e (Q – q), que são, a seguir, afastadas por certa distância entre si.

Qual deve ser o valor de q em termos de Q, de modo que a repulsão eletrostática entre as duas cargas seja

máxima. R: q=Q/2

8. Duas pequenas bolas condutoras idênticas, de massa m e carga q, estão suspensas por fios não condutores de

comprimento L como mostra a figura. Suponha tão pequeno que tan possa ser substituída por sen com

erro desprezível. (a) Mostre que, para o equilíbrio,

Onde x é a separação entre as bolas. (b) Sendo L = 120 cm, m = 10 g, e x = 5,0 cm. Qual o valor de q?

R: 2,4 . 10 –8

C

9. Um nêutron consiste em um quark “up” de carga +2e/3 e dois quarks “down” cada um tendo carga de – e/3.

Se os quarks down estiverem a uma distância de 2,6 x 10-15

m um do outro, dentro do nêutron, qual será o

módulo da força eletrostática entre eles? R: 3,79 N

10. Qual deve ser a distância entre dois prótons pra que o módulo da força eletrostática atuando sobre qualquer

um deles seja igual ao seu peso na superfície da Terra? Massa do próton = 1,67 x 10-27 kg. R: 0,12 m

CAMPO ELÉTRICO

Se colocarmos uma carga de prova q, num ponto A, onde existe um campo elétrico E ,

a carga de prova sofre ação de uma força elétrica dada por:

FF qE E

q

Devemos observar que a relação entre os módulos destas grandezas é: F q E .

,2

3/1

0

2

mg

Lqx

Sendo o campo elétrico uma grandeza vetorial, suas propriedades são determinadas

quando, tanto a intensidade quanto sua direção são especificadas. Com base na equação

vetorial F qE , obtemos a relação entre a direção e o sentido dos vetores e F E .

A direção do campo E é sempre a mesma da força F .

- Se q > 0, e F E têm o mesmo sentido.

- Se q < 0, e F E têm sentidos opostos.

Em resumo:

Uma carga positiva, colocada em um ponto onde existe um campo elétrico E , tende a se deslocar no sentido deste

campo, e uma carga negativa tende a se deslocar em sentido contrário ao do campo.

Observação:

É importante salientar que a existência do campo elétrico em um ponto não depende da presença da carga de prova

naquele ponto, então, o sentido do campo elétrico num ponto não depende do sinal da carga de prova colocada nesse

ponto.

A unidade do campo elétrico no SI, é o newton por coulomb ( N / C ).

CAMPO ELÉTRICO CRIADO POR CARGAS PUNTIFORMES.

Usando a lei de Coulomb e a relação entre força e o campo elétrico, podemos

encontrar a equação que nos permite calcular o valor do campo elétrico, gerado pela carga Q,

num ponto A, a uma distância d da carga Q.

0 2

0 2

0 2

:

:

FE

q

Q qmas F K

d

então

Q qK QdE E K

q d

Onde:

E é o campo elétrico, gerado pela carga Q, no ponto A.

d é a distância da carga Q até o ponto A.

A

Q

d

O módulo do campo elétrico também pode ser escrito como:

2

0

1

4

QE

d

onde: o = 8,8510 –12

C 2 / N. m

2 (Constante de permissividade no vácuo)

DIREÇÃO E SENTIDO DO CAMPO ELÉTRICO: Se a carga for positiva, teremos o sentido do campo elétrico se afastando da carga geradora, se a carga for

negativa, teremos o sentido do campo elétrico aproximando da carga geradora.

CAMPO ELÉTRICO DE VÁRIAS CARGAS PUNTIFORMES

O campo elétrico resultante, gerado por várias cargas puntiformes num determinado

ponto, é dado pela soma vetorial dos campos gerados por cada uma das cargas neste ponto.

LINHAS DE CAMPO ELÉTRICO (OU LINHAS DE FORÇA)

As linhas de campo são traçadas de tal modo que, em cada ponto, o vetor E seja

tangente a ela. Em qualquer ponto, o campo elétrico resultante tem uma única direção,

portanto, somente uma linha de campo pode passar em cada ponto do campo. Em outras

palavras, linhas de campo elétrico nunca se interceptam.

CAMPO ELÉTRICO UNIFORME

Dizemos que um campo elétrico é uniforme, em uma dada região do espaço, quando

ele apresentar o mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo sentido em todos os pontos

desta região. As linhas de força que representam um campo elétrico uniforme são retas

paralelas e equidistantes.

COMPORTAMENTO DE UM CONDUTOR ELETRIZADO.

Se um condutor eletrizado estiver em equilíbrio eletrostático, as cargas elétricas em excesso

estarão distribuídas em sua superfície externa. O campo elétrico no interior de um condutor, em

equilíbrio eletrostático, é nulo, e em pontos externos e próximos da superfície deste condutor E será

perpendicular a ela.

E X E R C Í C I O S

11. Qual é o modulo de uma carga puntiforme cujo campo elétrico, a uma distância de 50 cm, tem módulo igual

a 2,0 N/C? R: 5,5x 10-11

C

12. O esquema abaixo mostra duas cargas fixas, no vácuo. Determine o módulo, a direção e o sentido do campo

elétrico resultante: R: a) zero; b) 4,5 x 108 N/C, na direção horizontal e sentido para a direita.

a) No ponto A.

b) No ponto B.

Q1 = 64 .10- 6

C A Q2 = 64 . 10- 6

C B

2 cm 2 cm 4 cm horizontal

13. Duas cargas puntiformes de módulos Q1 = 2,0 x 10-7

C e Q2 = 8,5 x 10-8

C estão separadas por uma

distância de 12 cm. (a) Qual o módulo do campo elétrico que cada uma cria no local onde está a outra? (b)

Qual o módulo da força que atua sobre cada uma delas?

R: a) E1 = 1,25 . 10 5 N/C e E2 = 5,31 . 10

4 N/C ; b) 1,1 . 10

-2 N

14. Duas cargas iguais, mas de sinais postos (de módulo 2,010-7

C) são mantidas a uma distância de 15 cm

uma da outra. (a) Quais são o módulo, a direção e o sentido de E no ponto situado a meia distância entre as

cargas? (b) Qual o módulo, a direção e o sentido da força que atuaria sobre um elétron colocado nesse

ponto?

R: a) 6,4x10 5 N/C na direção da carga negativa; b) 1,024x10

–13 N na direção na carga positiva.

15. Na figura abaixo, localize o ponto (ou os pontos) onde o campo elétrico resultante é nulo.

R:1,72a, à direita da carga + 2q.

16. Na figura abaixo, as cargas +1,0q e –2,0q estão fixas a uma distância d uma da outra. (a) Determine E nos

pontos A, B e C. (b) Esboce as linhas do campo elétrico.

R: 0

22A

K qE

d , para a esquerda ; 0

2

12B

K qE

d , para a direita ; 0

2

7

4C

K qE

d , para a esquerda

17. Duas cargas q1 = 2,1x10

-8 C e q2 = -4 q1 estão fixas a uma distância de 50 cm uma da outra. Determine, ao

longo da linha reta que passa pelas duas cargas, o ponto onde o campo elétrico é zero. R: 0,5 m de q1 e a 1,0

m de q2

18. Na figura abaixo, qual o campo elétrico no ponto P criado pelas quatro cargas mostradas? Onde q1 = +5q, q2

= +5q, q3 = +3q e q4 = -12q. R: ER = 0

19. Determine o módulo do campo elétrico resultante, gerado pelas cargas q1=q2= e e q3=2e, no ponto P da

figura abaixo. Adote 66,00 10 ma

R: 2

0

1 4

4

e

a; 160 N/C. Este campo aponta em 45°, em relação ao eixo x.

20. Determine o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico no centro do quadrado da figura abaixo,

sabendo que q1 =+1,010-8

C, q2 =-2,010-8

C, q3 =+2,010-8

C e q4 = -1,010-8

C e a = 5,0 cm.

R: 1,02x105N/C

21. Um elétron é liberado a partir do repouso num campo elétrico uniforme de módulo 2,00 x 102 N/C. Calcule a

aceleração do elétron. (Ignore a gravidade.) me = 9,11 x 10 -31

kg. R: 173,2 10 N ;

13 23,5 10 /m s

CAMPO ELÉTRICO GERADO POR DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE CARGAS

No cálculo do campo elétrico gerado por distribuições contínuas de cargas é comum

expressar a carga de um objeto em termos de uma densidade de carga (linear, superficial ou

volumétrica).

A densidade linear de carga (λ), a densidade superficial de carga (σ) e a densidade

volumétrica de carga (ρ) são dadas respectivamente por:

q

s

q

A

q

V

Onde: s representa o comprimento, A a área e V o volume.

Como exemplo do cálculo de campo de uma distribuição contínua de carga, vamos

calcular o campo elétrico a uma distância z sobre o eixo central de um anel fino, não condutor

e uniformemente carregado com uma carga positiva q.

As componentes horizontais se anulam e as verticais se somam.

Como: dq ds , temos:

0 02 2

2 2 2

0 2 2

:

:

dq dsdE K K

r r

mas r R z

então

dsdE K

R z

Mas temos ainda: 2 2

cos cosz z

r R z

então:

0 2 20

3/22 2 2 2cos

zK

K zR zdE ds dsR z R z

Integrando:

2 2

0

3/22 2

0 0

0

3/22 2

0

3/22 2

0

3/22 2

cos

2

2

R R

T

T

q

T

T

K zE dE ds

R z

K zE R

R z

K R zE

R z

K qzE

R z

Na expressão acima, se considerarmos o caso de z>>R, podemos considerar que 2 2R z tem

um valor próximo de 2z , resultando em:

0 0 0

3/2 3/2 22 2 2T z R

K qz K qz K qE

zR z z

Este resultado é razoável, já que, para z>>R podemos considerar o anel como uma carga

pontual. Para 0z (o ponto considerado está no centro do anel) a expressão determinada

anteriormente nos indica que o campo elétrico é nulo. Este resultado também é razoável, pois,

se observarmos que para cada elemento de carga existente teremos outro elemento no lado

oposto de maneira que os campos gerados pelos dois elementos se anulam no centro do anel.

E X E R C Í C I O S

22. Uma barra fina, não condutora, de comprimento L, tem uma carga positiva +q uniformemente distribuída ao

longo dela. Mostre que o módulo do campo elétrico no ponto P sobre a mediatriz da barra (como está

representado na figura abaixo) é dado por:

E = q / [2oR(L2 + 4R

2) ½

23. Uma barra fina não condutora, de comprimento L, tem uma carga negativa q uniformemente distribuída ao

longo de seu comprimento. Mostre que o campo elétrico no ponto P, sobre o eixo da barra, a uma distância

a de sua extremidade é dado por:

E = q / [4oa(L+a)]

24. Uma barra fina de plástico é encurvada na forma de um círculo de raio R. Uma carga +Q está

uniformemente distribuída ao longo do círculo. (a) Mostre que o campo elétrico no centro do círculo, gerado

pelo semicírculo que se encontra à esquerda do eixo y, é dado por: E = Ko Q/π R2. (observe que a carga de

cada semicírculo é +Q/2 ). (b) Determine o valor do campo elétrico gerado por toda barra circular no centro

do círculo.

25. Uma barra fina de vidro é encurvada na forma de um semicírculo de raio r. uma carga +q está

uniformemente distribuída ao longo da metade superior e uma carga –q está uniformemente distribuída ao

longo da metade inferior, como mostra a figura abaixo. Determine o campo elétrico E em P, o centro do

semicírculo. R: 0

2

42 y

K QE E

r

26. Na experiência de Millikan, uma gota de raio 1,6410-6

m e densidade de 0,851 g/cm3 fica suspensa na

câmara inferior quando o campo elétrico aplicado tem módulo igual a 1,92105 N/C e aponta verticalmente

para baixo. Determine a carga da gota em termos de e. R: 5q e

DIPOLO ELÉTRICO

Um sistema formado por duas partículas carregadas com cargas de mesmo módulo q e

sinais opostos, separadas por uma distância d pode ser chamada de dipolo elétrico. Uma

grandeza que está relacionada as característica do dipolo é o momento de dipolo elétrico. O

momento de dipolo elétrico é uma grandeza vetorial p cujo módulo é dado por p = qd, sua

direção é a do eixo do dipolo e o sentido é orientado da carga negativa para a positiva.

Cálculo do campo elétrico produzido por um dipolo em um ponto P,

0 2 2

Obtém-se o campo elétrico resultante no ponto P somando-se vetorialmente

o módulo dos vetores é dado por:

/ 4

As componentes sobre a mediatriz se cancelam

enquanto as co

E E E

qE E K

z d

2 2

mponentes perpendiculares a ela somam-se. Com isso temos:

2 cos

/ 2com: cos

/ 4

E E

d

z d

0 2 2 2 2

00 3 3 3

2 2 2 2 22 2 2

2 2

/ 22

/ 4 / 4

/ 4 1 / 4

como: / 4 0

q dE K

z d z d

Kqd qdE K

z d z d z

z d d z

0

3

K qdE

z

0 3

Em termos do momento de dipolo , uma vez que e tem sentidos opostos, temos:

p qd E p

pE K

z

UM DIPOLO EM UM CAMPO ELÉTRICO EXTERNO

O comportamento de um dipolo na presença de um campo elétrico externo pode ser

descrito em termos deste campo elétrico e do momento do dipolo elétrico.

Para calcular o torque exercido por um campo elétrico externo sobre um dipolo vamos

considerar um dipolo no interior de um campo elétrico uniforme.

Neste caso o campo elétrico uniforme não exerce força resultante sobre o dipolo, porém temos

um torque que tende a girar o dipolo de maneira que seu momento de dipolo fique alinhado

com o campo elétrico externo. O torque pode ser escrito como o produto vetorial entre o

momento de dipolo p e o campo elétrico E . A seguir vamos mostrar esta relação.

O valor do torque resultante ( ) em relação ao centro do dipolo é:

/ /

/

2 2ang dipolo campo

sent horário

d dF sen F sen

Fdsen qEdsen pEsen

p E

Devemos observar que o torque é nulo para θ = 0 ou θ = 180o

e seu valor é máximo para

θ = 90o.

Uma energia potencial pode ser associada ao dipolo na presença de um campo elétrico

externo. Se considerarmos que esta energia potencial é nula para θ = 90o podemos escrevê-la

como um produto escalar entre o momento de dipolo p e o campo elétrico E :

U p E .

Devemos observar que a energia potencial é mínima para θ = 0 (U = - pE), máxima para

θ = 180o

(U = pE) e nula para θ = 90o.

O estudo do dipolo elétrico pode ser justificado pelo fato de algumas moléculas se

comportarem como dipolo elétrico. A molécula de água (H2O) é um exemplo de molécula que

se comporta como um dipolo na presença de um campo elétrico externo. Esta propriedade é

aproveitada nos fornos de micro-ondas para o aquecimento dos alimentos.

Quando ligamos o forno de micro-ondas, um campo elétrico alternado é aplicado nas

moléculas de água (por exemplo). Com isso um torque é aplicado ao momento de dipolo da

molécula fazendo com ele se alinhe com o campo elétrico. Como o campo elétrico é

alternado, o torque faz com que o dipolo fique oscilando produzindo energia térmica, e com

isso aquecendo os alimentos.