ELBMENTI MATEMATIKE

ANAUZE I

Dr DOBRIVOJE MIHAILOVIC. redovni profesor Univerziteta u Beogradu Dr RADOVAN R. JANle. vanredni profesor Univerziteta u Beogradu

ELEMENTI MATEMATICKE ANALIZE

I izdanje 1963. Tira: 3000 II izdanje 1966. Tira: 3000

III izdanje 1969. Tira: 3000 IV izdanje 1974. Tira: 4000 V izdanje 1976. Tira: 3000

VI izdanje 1978. Tira: 3000 VII. izdanje 1982. Tira!: 3000

i "

" .'

J!f."z,.~ BEOGRAD, 1982.

D. MIHAILOVI R. R. JANI

,

ELEMENTI MATEMATiKE

ANALIZE I

SEDMO DOPUNJENO IZDANJE

Za izdavaa: Dragoslav Jokovi, direktor

Boica Vidanovi, urednik Mihailo Jozi, tehniki urednik

Stampa: SIRO Srbija", Beograd, M. Kovaevia S

PREDGOVOR ETVRTOM IZDANJU

Ovo etvrto izdanje udbenika Elementi matematike analize znatno se razlikuje od prethodnog koje je pod istim naslovom kao stalni univer-zitetski udbenik publikovao prvopotpisani autor.

Knjiga je raena prema propisanom programu nastave matematike na prvoj godini studija na elektrotehnikim fakaltetima. Meuu'm, njome se mogu koristiti i studenu' drugih tehnikih fakulteta, zatim studenti prirodno-matematikih fakulteta, viih kola i akademija, inenjeri, me-

haniari, fiziari i svi oni koji. ele da upoznaju elemente matematike analize u obliku i na nz'vou izloenom u ovoj knjizi.

U ovom izdanju celokupan tekst je ponovo krz'tiki pregledan. Na mnogim mestima su date nove formulaczje i dopune, izvrene su izvesne izmene u . redosledu izlaganja materije, dodata su poglavlja o realnim brojevima i nizovzma. Poglavlja o funkcijama vie nezavisno promenlji-vih z' diferencijalnim jednainama su znatno skraena, s obzz'rom na to da ova materija pripada matematici za drugu godinu studija.

S obzirom na postojee dole navedene zbirke zadataka prof. D. S. Mi-trinovia i njegovih saradnika, u ovom izdanju smanjen je broj pn'mera koji su sluili kao ilustracija izloenog gradi~!a.

Za ovo izdanje izraene su nove slike i njihov broj je takoe znatno smanjen.

Najvei deo ovih izmena i dopuna, redigovanje celokupnog teksta z' korekture izvrio je drugopotpisani, dok je prvopotpz'sani izvrio ispravke

uoenih 'greaka u treem izdanju, kao i neke izmet/e, skraenja i dopune. Ovo izdanje proitali su u rukopisu prof. dr S. Cetkovi, prof. dr

P. M. Vasi z' docent dr j. D. Keki i stavili korisne primedbe. Docent dr D. Cvetkovi takoe je stavio korisne primedbe.

Slike za ovo izdanje izradio je dipl. tng. p. V. Slavi, asistent Elektrotehnikog fakulteta, i time doprineo kvalitetu ove knjige.

Svesni smo da, kao i sv~ki posao, ma kako da je savesno raen, i ovaj nije bez nedostataka. Posluiemo se ovde jednom misli amerikih

matematiara Alendorfera i Oklia, koji u knjizi Principi matematz'ke kau: "Nadamo se da u ovoj knjizi nema mnogo greaka, a ako se neka i otkrije, svak:' od nas dvojice pisaca okrivljuje onog drugog".

Svaku primedbu na ovo izdanje primiemo sa zahvalnou i kori-su'ti je za eventualno peto izdanje ove knjige.

v

VI

Valja nflfJesti da Mia kniigalini celinu sa udbenikom: D. S. Mitrinovi, D. Mihailovi, P. M. Vasi: Linearna algebra.

Polinomi. Analitika geometrija, lesto izdanje. Beograd 1973. Sledee zbirke su i:lT(ulene prema programu obra4enom u oooj

knjizi: D. S. Mitrinovi: Matematika u obliku metodike zbirke zada-

taka sa relenjima II deo, 3. izdanje. Beograd 1972. D. S. Mitrinovi, D. D. Adamovi: Nizooi i redovi. Beograd 1971.

Beograd, l. maja 1973.

D. Mihailooi R. R. Jani

PREDGOVOR SEDMOM DOPUNJENOM IZDANJU

u 0'V0m izdanju iZfJTlena je samo jedna izmena u odnosu na pret-hodno izdanje. Pogla'Olje Diferencijalne jedntJine je prera4sno i napisano prema najnooijem programu iz matematike na Elektrotehnikom fakultetu u Beogradu. Takoe je ispra'Oljeno nekoliko uoenih ltampa1'skih grelak4. Beograd, 3. II 1982. D. M.

R.R.J.

1. LI. 1.2. t.3. 1.4. 1.4.1. 1.4.2. 1.4.3. 1.4.4. 1.4.5. 1.5.

2.

UVOD .......... . Skup realnih brojeva Proiren skup realnih brojeva Apsolutna vrednost realnog broja Podskupovi skupa realnih brojeva Prirodni brojevi Celi brojevi Racionalni brojevi Iracionalni brojevi Interval. Segment ..... Brojna prava. Koordinatni sistemi

POJAM FUNKCIJE . . . . .

2.1. Konstante i promenljive . . . . . . . . 2.2. Pojam funkcije jedne nezavisno promenljive 2.3. Naini prikazivanja funkcija ..... 2.4. Grafik funkcije ........... 2.4.1. Grafici prostijih funkcionalnih zavisnosti 2.5. Napomena o definiciji pojma funkcije ...... 2.6. Definicije nekih specijalnih klasa funkciJa jednog argumenta 2.6.1. Ograniene i neograniene funkcije 2.6.2. Monotone funkcija 2.6.3. Parne i neparne funkcije .... 2.6.4. Periodine funkcije . . . . . . . 2.7. Inverzna funkcija ...... . 2.8. Sloena funkcija ........... . 2.9. Funkcija definisana u parametarskom obliku 2.10. Elementarne funkcije ....... . 2.11. Pregled osnovnih elementarnih funkcija 2.11.1. Stepena funkcija ......... . 2.11.2. Eksponencija1na i hiperbolike funkcije 2.11.3. Logaritamska funkcija ......... . 2.11.4. Inverzne funkcije trigonometrijskim funkcijama 2.11.5. Inverznc funkcije hiperbolikim funkciJama

3.

3.1. 3.1.1. 3.1.2. 3.1.3. 3.1.4. 3.1.5. 3.1.6. 3.1.7.

GRANINI PROCESI Nizovi ....... . Pojam niza ...............

Taka nagomilavanja niza. Granina vrednost niza Osobine konvergentnih nizova Nula-niz ........... . Ogranieni nizovi ....... . Operacije sa konvergentnim nizovima Monotoni nizovi ....... .

SADRAJ

Strana 1 1 5 6 8 8 8 8 9 9 9

12

12 12 14 16 17 21 22 22 24 25 27 28 31 32 34 36 36 7 40 41 44

47 47 47 47 48 49 49 50 52

vm

~.l.\I,. Bolzano-Weierstrassova teorema S3 3.1.9. Cauchyev kriterijum konvergencije S4 3.1.10. Broj e .. SS 3.2. Granina vrednost funkcije S9 3.2.1. Pojam granine take skupa . . S9 3.2.2. Konana granina vrednost funkcije S9 3.2.3. Beskonane granine vrednosti . . . . 63 3.2.4. Pregled teorema o egzistenciji granine vrednosti 65 3.2.5. Beskonano velike i beskonano male veliine 66 3.2.6. Operacije sa graninim vrednostima funkcija .......... 68 3.2.7. Komparacija beskonano malih veliina. Ekvivalentne beskonano male veliine 7~ 3.2.8. Primena infinitezimala na aproksimaci;u jedne funkcije drugom 76 3.2.9. O jo nekim kriterijumima za odreivanje graninih vrednosti 78

sin x 3.2.10. Granina vrednost lim -- 80

x->O x

3.2.11. Granina vrednost lim 1 +-. ( l)X x-'c:o x

3.2.12. Pojam jednostrane (leve i desne) granine vrednosti 3.3. Neprekidnost funkcija .... 3.3.1. Prirataj argumenta i prirataj funkcije 3.3.2. Funkcija neprepdna u taki . . . . . 3.3.3. Take prekida. Prekidne funkcije . . . . . 3.3.4. Osobine funkcija neprekidnih na segmentu

4. DIFERENCIJALNI RACUN 4.1. Prvi izvod . . ~ . . 4.1.1. Definicija izvoda . . . .. . . . . . 4.1.2. Forma prirataj a funkcije za koju egzistira izvod u taki ... 4.1.3. Tangenta i normala krive u ravni. Geometrijska interpretacija izvoda 4.1.4. Fizika interpretacija izvoda 4.1.5. Teoreme o izvodima ..... 4.1.6. Izvod sloene funkcije .... 4.1.7. Izvod inverzne funkcije .. 4.1.8. Izvodi osnovnih elementarnih funkcija 4.1.9. Logaritamsko diferenciranje .. 4.1.10. Napomene u vezi sa tehnikom nalaenja izvoda 4.1.11. Diferencijabilne funkcije . . . 4.1.12. Pojam diferencijala funkcije .. 4.1.13. Geometrijska interpretacija diferencijala 4.1.14. Leibnizova oznaka izvoda ..... 4.1.15. Pojam jednostranih izvoda ... 4.1.16. Beskonani izvodi . . . . . . 4.1.17. Izvod funkcije date u parametarskom obliku . . . . . . . . . 4.1.18. Geometrijska intergretacija izvoda radijus-vektora po polarnom uglu 4.1.19. Jednaina tangente i normale u polarnim koordinatama 4.2. Izvodi vieg reda . . . . . 4.2.1. Pojam izvoda viiieg reda ....... 4.2.2. Izvodi viega reda sloene funkcije . . . 4.2.3. Leibnizova formula .......... 4.2.4. Izvodj viega reda inverznih funkci,a . . . . 4.2.5. Izvodi viega reda funkcije date u parametarskom obliku 4.2.6. Mehanika interpretacija drugog izvoda . . . . . . 4.2.7. Diferencijali vieg reda ......... 4.2.8. Zamena promenljivih u diferencijalnim izrazima . . . . . . . 4.3. Osnovne teoreme diferencijalnog rauna i njihove priro ene na ispitivanje funkcija 4.3.1. Osnovne leme . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 4.3.2. Rolleova teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3. Lagrangeova teorema ..................... 4.3.4. Cauchyeva teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.5. Granine vrednosti kolinika beskonano malih i beskonano velikih veliina.

L'Hopitalova teorema . . . . . . . . . . . . . . ; . . .

81

83 84 84 8S 86 90

9S 95 9S 97 98

101 102 lOS 101 108 liS Il6 118 119 120 124 124 126 127 128 130 131 J31 133 133 r 135 13S 136 137 139 J40 140 142 145 148

149

4.3.6. Taylorov polinom i Taylorova formula . . . . 4.3.7. Taylorova formula sa ostatkom u Peanovom obliku 4.3.8. Primena Taylorove formule ........ 4.3.9. Ispitivanje monotonosti funkcija primenom izvoda 4.3.10. Najvea i najmanja vrednost funkcije . . . . . . . 4.3.11. Pojam lokalnog ekstremuma i kriterijumi za njegovu egzistenciju 4.3.12. Lokalni ekstremumi nediferencijabilnih funkcija ... 4.3.13. Konkavnost i konveksnost. Prevojne take ..... 4.3.14. Konkavnost i konveksnost krivih u polarnim koordinatama 4.3.1S. Asimptote ................. . 4.3.16. Asimptote krivih u polarnim koordinatama 4.3.17. Opta shema za ispitivanje funkcija .... 4.3.18. Uputstva za konstrukciju grafika funkcije p=/(6)

5.

S.l. S.2. S.3. S.4. S.S. S.6. S.7.

6.

FUNKCIJE DVE NEZAVISNO PROMENLJIVE

Pojam euklidskog dvodimenzionalnog prostora . . Pojam funkcije dva argumenta . . . . . . . . . . .

Granini procesi i neprekidnost funkcija dva argumenta Parcijalni izvodi funkcije dva argumenta Diferencijal funkcije dva argumenta . .' Parcijalni izvodi vieg reda Implicitno data funkcija i njen izvod

INTEGRALNI RACUN

6.1. Neodreeni integral . . . . . . 6.1.1. Pojam primitivne funkcije i neodreenog integrala 6.1.2. Egzistencija neodreenog integrala 6.1.3. Tablica integrala . 6.1.4. J o neke osobine neodredenog integrala 6.1.S. Integracija metodom zamene . . 6.1.6. Parcijalna integracija .. 6.1. 7. Integracija metodom l!eodreenih koeficijenata 6.1.8. Integracija pomou rekUrsivnih obrazaca 6.1.9. Integracija racionalnih funkcija 6.1.10. IntegraCija iracionalnih funkcija 6.1.11. Integracija diferencijalnog binoma 6.1.12. Integracija trigonometrijskih funkcija . 6.1.13. Napomena o integraciji u konanom obliku 6.2. Odreeni integral . . . . . . . . . 6.2.1. Problemi koji dovode do pojma odredenog integrala 6.2.2. Gornja i donja Darbouxova suma. Integralne sume 6.2.3. Definicija odreenog integrala 6.2.4. Uslovi integrabilnosti . . 6.2.5. Klase integrabilnih funkcija 6.2.6. Osobine odredenog integrala 6.2.7. Teoreme osrednjoj vrednosti 6.2.8. Newton - Leibnizova formula . 6.2.9. Odreeni integral sa promenIjivim granicama 6.2.10. Metod zamene u odreenom integralu 6.2.1'1. Parcijalna integracija u odreenom integralu 6.2.12. Pojam uoptenog integrala ...... 6.2.13. Kriterijumi za konvergenciju uoptenih integrala 6.2.14. Priblino izraunavanje odredenih integrala 6.3. Primene odredenog integrala 6.3.1. Komplanacija ravnih figura 6.3.2. Kubatura tela ..... . 6.3.3. Rektifikacija krivih u ravni 6.3.4. Izraunavanje povrine obrtnih tela . . . . . . . . 6.3.S. Primena odreenog integrala 7.8 dokaz Taylorove teoreme

IX

lS4 lS9 162 166 168 169 173 176 180 181 18S . 186 188

190

190 191 192 193 19S 199 201

204

204 204 208 209 212 213 216 219 221 223 230 236 238 243 24S 245 247

-ZSO ~SO 2S2 2S8 263 267 270 272 27S 277 282 286 292 292 294 297 300 303

7. KRIVINA IOSKULACIJA

7.1. Krivina krivih u ravni 7.2. Krug krivine. Evoluta i evolventa 7.3. Dodir krivih u ravni .

8. DIFERENCIJALNE JEDNACINE B. J. Pojam diferencijalne jednaine . 8.2. Diferencijalne jednaine prvog reda . 8.2.1. OpIte i partikularno rdenje diferencijalne jednaine prvog reda 1.2.2. Geometrijska interpretacija diferencijalne jednaine prvog reda 8.2.3. Diferencijalna jednaina y' = f{x) . . . . . . S.2.4. Diferencijalne jednaine u kojima se promenljive mogu razdvojiti 8.2.5; Homogene jednaine prvog reda ...'...... 8.2.6. Linearna diferencijalna jenaina prvog reda . . . 8.2. 7. ~mO~e~ jedn.aina S.2.S. Ric:c:atl.eva Jenaina . . . . 8.2.9. Diferencijalna jednaina u ob1i1tu totalnog diferencijala' 8.2.10. Integradoni initelj . . . S.2.11. Obvojnica jednoparametars1te familije krivih 8.2.12. Sin~larno rdenje diferencijalne jednaine prvog reda 8.2.13. Clairautova diferencijalna jednaina . 1.2:14. Lagrangeova diferencijalna jednaina . 8.2J5. Trajektorije .. . 8.3. Diferencijalne jednaine drugog reda .... 8.3.1. OpIte i partikularno reenje diferencijalne jednaine drugog reda 8.3.2. Specijalni tipovi diferencijalnih jednaina drugog reda . 8.3.3. LiDeame diferencijalne jednaine drugog reda . . 8.3.4. Rdavanje homogenih linearnih jednaina drugog reda sa konstantnim koefici-

jentima ........... ; .... 8.3.5. Reavanje homogene linearne jednaine drugog reda sa' funkcionalnim koefici-

jentima ...................... 8.3.6. Reavanje nehomogenih linearnih jednaina drugog reda sa konstantnim koefici-

jentima ....... o' S.3.7. Jedna primena linearnih diferencijainih jednaina u elektrotehnici 8.3.8. Jedna primena linearnih diferendjalnih jednaina u mehanici ..... 8.4. Diferen~jal~e je~naine viiega reda ...... 8.4.1. Osnovni POJmoVI . . . . . . . . . . . . 8.4.2. ~iferencijalne jenaine viiega reda koje se mogu integraliti ili im se moe sni-

ZIti. red .......... .. 8.4.3. Linearne diferencijalne jednaine viega reda ...... 8.4.4. Homogena linearila diferencijalna jedna&a n-tog reda . 8.4.5. Opite reienje linearne diferencijalne jednaine reda n . . . 8.4.6. Opite reknje nehomogene linearne diferencijalne jednaine reda n 8.4.7. Lagrangeov metod varijacije konstana(a '. . ...... 8.4.8. Inte~cij~ homogene linearne difer~ncijalne jednainereda n sa konstantnim

koeflClJennma ...... 1.4.9. Integracija nehomogene linearne diferencijalne jednaine reda n sa konstantnim

koeficijentima ....... . . . . .

301 301 309 312

318 3J8 319 3J9 322 323 3'-3 326 329 335 336 338 340 342 344 345 346 347 349 349 350 355

360

365

366 373 376 378 378

380 383 385 388 389 390 391

393

LITBRATURA

T. M. Apostol: Mathematical analysis. Reading 1957. T. M. Apostol: Ca1culus. New York 1961. D. Blanua: Vila matematika I, prvi i drugi svezak. Zagreb 1965. R. Daci: Vila matematika I. Beograd 1972. J. Dieudonne: Foundations of modern analysis. New York 1960. JI. 3. 3JThcroJThQ: pu44epeH~uaIl6Hble YPatJHeHUJI. MOCJ

1. UVOD

1.1. SKUP REALNIH BROJEVA

Pojam realnog broja je jedan od osnovnih pojmova matematike. Pretpostaviemo stoga da je itaocu manje-vie poznato skoro sve o realnim !:rojevima. To upo-znavanje je teklo na ta; nain to je italac prvo upoznao prirodne brojeve, zatim cele, racionalne i na kraju iracionalne brojeve, koji svi zajedno ine skup realnih brojeva. To je genetiki metod izgradnje pojma realnog broja.

Sada emo izloiti jednu ne sasvim strogu aksiomatiku realnih brojeva. Aksiome realnih brojeva podeljene su u etiri grupe. U prvu grupu spadaju aksiome sabira-nja u drugu aksiome mnoenja, treu grupu sainjavaju aksiome poredka, dok se etvrta grupa sastoji samo iz jedne aksiome: aksiome potpunosti.

.. Definicija 1. Skup R je skup realnih brojeva ako za njegove elemente vai: 10 U skupu R definisana je operacija sabiranje, tj. ako su a, b bilo koja dva ele-

menta iz R postoji jedinstven element u R koji zovemo zbir elemenata a i b i oznaavamo a+b.

Sabiranje ima ove osobine: a) Sabiranje je komutativno, tj. za svako a, bE R vai

b) Za sabiranje vai asocijativni zakon, tj. za svako a, b, e E R je (a+b)+c=a+(b+c).

v) Postoji u R element, oznaimo ga sa O (nula), takav da za svako aE Rvali a+O=a.

g) Za svako aER postoji element ~aER takav da je a+(-a)=O.

Element -a je suprotan elementu a. 20 U skupu R definisana je operacija mnoenje, tj. ako su a i b bilo koja

dva elementa iz R postoji jedinstven element u R koji zovemo proizvod elemenata a i b i oznaavamo a b ili ah.

I Elementi matematike analize l

Z I. Uvod

Mnoenje ima ooe osobine: a) Mnoenje je komutati'OnD, tj. za roako a, b iz R je

ab=ba. b) Mnoenje je asocijati'OnD, tj. vai

(a b) . e=a' (b e), za roako a, b, e iz R.

'V) . Post()ji fl Rekment ( ;#:0), ()~mo ga sa 1 Uedan), takau da za roako a iz R 'lJai

"

al=a. g) Za roako a (a#:O) iz Rpostoji'elemem a-l izR taka'lJ daje

aa-1=1. Element a-l zooe se reciproni element elementu a i obeldava se ~.' .

. .' a

d) Mnoenje je distributi'lJnoprema sabira1tju, tj~ zaroako a, b, e ;a R vai a (b+e)=a. b+a e.

Za skup {a, b,' e, ... } koji zadovoljava napred navedene aksicme kaemo da ima strukturu polja.

3~ Skup R je ureen, tj. fl skupu R definisana je relacija ~ takva da za bilo koja d'lJa elementa a, b iz R 'lJai barjedan od iskaza a

1.1. Skup rea1nlh brojeva S

za skup e, podskup od, R, kate se da je ogranien ako je ogranien odozdo i odozgo.

40 S'Oaki nep7'QZan skup A, podskup od R, ogranien odosgo ima supremum koji pripada R.

Ovo je aksioma potpunosti. Ako u skupu R vae sve navedene aksiome, kaemo da je R potpuno ureeno polje.

Na osnovu navedenih aksioma mogu se izvesti sve ostale osobine realnih brojeva. Ilustracije radi izveemo neke od tih osobina. Teorema 1. Za wako a, b iz R, jednaina

a+x=b ima jedinstveno re/enje u skupu R dato sa b+( -a), koje obeleavamo sa b-a.

Dokaz. Dodajmo levoj i desnoj strani date jednaine broj -a. Dobijamo (-a)+(.l+X)=( -a)+b. Koristei asocijativnost i komutativnost sabiranja, imamo

(e -a)+a)+x=b+e -a). Kako je e -a)+a=O, poslednja jednakost pOstaje

x=b+( -a), tj. x=b-a. To znai ako data jednaina ima reenje ono je jednako b-a. Sada emo doka-

zati da je b-a zaista reenje date je

4 l. Uvod .

Doka:. Kako je O neutralni e1ew:a.ent za sabiranje, imamo 0+0=0.

Mnoenjem poslednje jednaine sa a, dobijamo a (O+O)=a' O,

tj. na osnovu distributivnog zakona, aO+aO=aO.

Kako je a O+O=a' O, imamo aO+aO=aO+O,

odakle aO=O.

Odavde s1eduje da O n~a inv~ element, jer bi u protivnom bilo aO=1.

To se esto kae: Deliti nulom hema smisla. Teorema ... Ako je ab=O, mora bar jedan od brojeva a ili b biti O.

tj.

Dokaz. pretpostavimo da je a'=l6. Tada postoji a-l, pa je a-l(a b)=a-l . O,

(a-la) b=O. Prema tome je

b=O. Teorema 5. Akoje a

Polazei od toga da je b'O i b proizvoljan realan broj, postoji prirodan broj n takav da je n.ab. Na slian nain,

koristei prethodnu teorernu, zakljuujemo da postoji prirodan broj m' takav da je m'aO, tada je a (+00)=( +(0) a=+oo, a (-oo) =( -oo) a= -oo.

I. U\I'Od

Ako je a O, -a ako je a< O.

Nekada je celishodno uzeti da je I a I = max (a, -a) ili I a 1= v' aU.

za apsolutne vrednosti realnih brojeva vae sledee teoreme. Teorema 1. Neka su a i x rm/ni brojevi i a>O. Tada je

Ixl

1.3. Apeolutaa ~t realDOI' broj. 1

Teorema 2. Ako su a i b real1librojevi, . tada j. I ah 1=1 a II bl.

Dob:. Imamo labl= v' (ab)2= v' a2b2= v' a2 v'b2= lallbl.

Teorema 3. Ako su a i b realni brojevi i ab#O, tada je

I: 1=:::' Dokaz. Ako . na a =( ~) b primenimo prethodnu teoremu, dobijamo

odakle, deoborn sa I b I, nalazimo

:::=1:1 Teorema 4. Za realne brojeve a i b vai

I a+bl0, imamo ili a=1 a I ili a=-I a I. Dakle, -I a l

l. U ..

1.4. PODSKUPOVI SKUPA REAJ.N1B BROJEVA

Posmatraemo neke podskupove skupa realnih brojeva koji se u daljem tekstu ov~ knjige esto pominju.

1.4.1. PRIRODNI BROJEVI

DefiDicija 1. Skup prirodnih broje'()a, u oznaci N~ je podskup skupa realnih broje'()a takav da je

l l je prirodan broj, tj. 1 EN; 2 Svaki prirodan broj n ima swga sledbenika n' (=n+ l) koji je takode prirodan

broj, tj. ako nEN tada i n+lEN; 3 1 nije sledbenik ni jednog prirodnfJg broja, tj. l je najmanji prirodan broj; 4 Ako je m' =n' tada je m=n, tj. svaki prirodan broj moie biti sledbenik najwe

jednog 'prirodnog broja; 5 Akoje M podskup od N i ako u M vai l i 2 tadaje M=N. Drugim reima, kaemo da je skup prirodnih brojeva okarakterisan Peanovim

aksiomama. Skup prirodnih brojeva ima "manu" to u njemu jednaine

m+x=n i mx=n nemaju uvek reenja. Drugim reima, u skupu prirodnih brojeva operacije oduzima-nje i deljenje nisu uvek izvodljive.

loU. CELI BROJEVI

DefiDicija 1. Skup celih broje'()a, u oznaci Z, je podskup skupa realnih broje'()a R takWJ, da jedfta6na

m+x=n

ima ruenje za sve prirodne broje'()e m i n. Iz definicije skupa celih brojeva sleduje N e Z CR. Medutim, jednaina

mx=n (m, nEZ) nema uvek reienja, tj. u skupu Z nije uvek izvodljiva operacija deljenje.

1.4.3. RACIONALNI BROJEVI

DefJalciJa 1. Skup ,acionalnih brojftJa, u oznaci Q, je Pb/fIIP s_pa realnih brojefJa R u lUmrI jedntllina

mx=n

ima ,dmje zalfJaleo mEN i maItO nEZ. Iz iz1of.enog s1eduje da Je NCZCQCR.

1.5. Brojna prava. Koordinatni Iliatemi 9

1.4.4. IRACIONALNI BROJEVI

DefiniCija 1. Skup iracionalnih brojeva, u oznaci. l, je podskup skupa realnih brojeva R, dat sa

I={x I xER",Q}. Da skup I nije: prazan dokazuje sledea teorema.

Teorema 1. Broj V2 nije racionalan. Dokaz. Pretpostavimo, suprotno, da je Vl' =~, gde su 11 i m relativno prosti,

m

tj. razlomak ~ ne moe se vie skratiti. m

Kvadriranjemjcdnaine V2 =~ dobijamo 2=~, tj. m m2

2m2=n2 . Iz poslednje jednakosti sleduje da je n2 paran broj, to je moguno samo ako je

n paran broj, tj. n=2 p. Ako se ujednaini 2 m2=n2 stavi ,n=2p dobija se 2 m2=4 p2; tj.

m2=2p2. Dakle, m2 je paran broj, to znai da je m paran broj. Prema tome, doli smo do zakljuka da su n i m parni brojevi, tj. ni m nisu

relativno prosti, to je suprotno pretpostavci. Ova kontradikcija znai da pretpostavka da je V2 racionalan broj nije tana. Znai V2 je iracionalan broj.

1.4.5. INTERVAL. SEGMENT. Neka su a i b realni brojevi i a

10 I. tmNI

Ako du OM nanesemo vie puta po pravoj 1 levo od take O, dobiemo take Nl, Na, Na itd. Taki Nl pridurujemo broj -1, taki Ns broj -2, taki Na broj ~3; itd. Nasluujemo da je skupu celih brojeva pridruen skup taaka prave I.

o /OI

Sl. 1.Sa Sl. 1.5 b

Moguno je svakom racionalnom broju x pridruiti jednu taku prave l: Tako, na primer, racionalnom broju r-p/q (p, q prirodni brojevi) pridruujemo taku R prave l odreenu na sledei nain. Iz take O prave I povuemo polupravu OS koja sa polupravom OMl zaklapa otar ugao. Na polupravoj OS odredimo take p i Q takve da je OP p, OQ=q. Taku Q spojimo sa takom Ml. Zatim povucimo pravu kroz taku P paralelno sa QMl. Ova prava see pravu l u traenoj taki R. Take prave I koje su pridruene racionalnim brojevima zovu se racionalne take.

Skupom racionalnih taaka nisu obuhvaene sve take prave I. Na primer, broju Vl, koji nije racionalan odgovara taka I prave I takva da je du OI jednaka duini dijagonale kvadrata ije su strane jednake dui OM = l.

Dakle, nasluujemo da se svakom realnom broju moe pridruiti jedna taka prave I. .

Prava l zove se brojna prava (brojna osa). Celishodno je usvojiti sledeu Cailtorovu aksiomu:

Aksioma C. S"aiwm realnom broju odgovara jedna i samo Jedna taka na brojnoj pravoj i obrnuto, svakoj taki na brojnoj pravoj odgovara jedan i samo jedan realan broj.

Ovom aksiomom uspostavljena je biunivoka korespondencija izmeu' skupa realnih brojeva (aritmetikog kontinuuma) i skupa taaka brojne prave (geometri-jskog kontinuuma). Zbog toga se esto mesto broj kae taka i obrnuto.

Sada emo videti kako se uspostavlja biunivoka korespondencija izmeu skupa ureenih parova realnih brojeva i skupa taaka jedne ravni.

Uoimo dve ose koje imaju zajedniki poetak O, takve da je jedna horizon-talna a druga vertikalna (tj. druga osa je normalna na pravoj). ,Prvu osu obeleiemo sa x i zvaeIno je x-osa, drugu emo obeleitisa y i zvaemo je y-osa. Ovako izabrane x i y-osa ine pravougli Dekartov koor9inatni sistem u ravni sa poetkom u O.

UznUmo (ali nije obavezno) da su jedinine dui na x i y-osi meusobno jednake. Y

Posmatrajmo ureen par (a, b) realnih brojeva.' B /OI Realnom broju a odgovara na x-osi taka A, dok realnom broju b odgovara na y-osi taka8. Kroz

taku A postavimo pravu paralelnu y-osi i kroz taku B pravu paralelnu x-osi. Ove dve prave seku se u taki II A.x M. Ovako odreenu taku M priduruujemo uree-nom paru (a, b). Obrnuto, uoimo proizvoljnu taku Sl. 1.5 e M u xy-ravni. Prava kroz taku M paralelno y-osi see X"08U u taki A, dok prava kroz M paralelno x-osisee y-osu u taki B. Taki A odgo'f8tarealan broj a, taki B odgovara realan broj b. Dakle, taki M odgovara jedinstven ureen par (a, b). Broj a zove se apscisa i broj b ordinata take M.

1.5. Brojna prava. KoonDbatlli sistemi 11

Tri uzajamno normalne ose sa zajednikim poetkom O ine pravougli Dekar-tov koordinatni sistem u prostoru. Prvu osu zovemo x-osa, drugu y-osa, treu z-osa. Po dve koordinatne ose odreuju koordinatne ravni: x i y-osa odreuju xy-ravan, y i z-osa odreuju yz-ravan, z i x-osa odreuju zx-ravan.

Izmeu skupa ureenih trojki realnih brojeva i skupa taaka prostora takoe postoji biunivoka kores-pondencija.

Uoimo ureenu trojku (a, b, e) realnih brojeva. Realnom broju a odgovara jedinstvena taka A na x-osi, realnom broju b odgovara jedinstvena~ka B na y-osi i realnom broj e odgovara jedhIstvena taka e na .... osi. Kroz take A, B, e postavimo ravni redom paralelne sa. yz, ZX,. ,xY-ravni. Ove ravnis~u se u je-dinstvenoj taki M. Ovako odredenu tak~.M pridru-ujemo ureenoj trojki (a, p, e).

z

y

Sl. I.S d

Obrnuto, svakoj taki M prostora pridruujemo ureenu trojku (a, b, e) na sledei nain: Ravan kroz taku M paralelno yz-ravni see x-osu U taki A. Taki A odgovara jedinstven realan broj a. Ravan' kroz taku M, paralelno zx-ravni see y-osu u taki B. Taki B odgovara jedinstven realan broj b. Ravan kroz M paralelno

xy~ravni see s-osu u taki e kojoj odgovara jedinstven realan broj c. Realni brojevi a, b, e ZOY1l se redom, apscisa, ordinata, aplikata take M.

2. POJAM FUNKCIJE

2.1. KONSTANTE I PROMENLJIVE

U cilju prouavanja kvantitativUih zakonitosti prirodnih pojava ili tehnikih procesa, matematika analiza uzima u ~ostupak rezultate operacija rauna imerenja, polazei od brojnih vrednosti odgovarajuih veliina.

Od ovih veliina neke su promenljive, dok druge zadravaju stalnu (konstantnu) vrednost. Definicija l. Veliina koja u datim,uslovima moe dobiti razliite brojne vrednosti nQziva se promenijivom veliinom; veliine koje se u datim uslovima ne menjaju ve zadravaju jednu istu brojnu vrednost nazivaju se stalnim veliinama ili konstantama. Primer 1. U obrascima za obim kruga 1=2n:r, odnosno za povrinu kruga p=n: r2 poluprenik, predstavlja promenijivu veliinu, koja se menja od kruga do kruga, dok 2 i n: predstavljaju stalne veliine (konstante). Primer 2. U zakonu puta pri slobodnom padanju

s=!..-. t2 2

vreme t predstavlja promenijivu veliinu, dok g (ubrzanje Zemljine tee) i 2 predstavljaju stalne veliine (konstante).

Meutim, u cilju optih formulacija i mogunosti izvoenja optih zaklju-aka, celishodno je stalne veliine tretirati kao specijalni sluaj promenljivih veliina, to je u matematici i realizovano poev od XVII veka posle fundiranja osnovnih principa analitike geometrije od strane Dekarta i posle razrade optih metoda za prouavanje promenljivih veliina, koje predstavljaju predmet prouavanja matema-tike analize.

2.2. POJAM FUNKCIJE JEDNE NEZAVISNO PROMENLJIVE

Neka su data dva skupa Ea; i E" i neka x oznaava jedan element skupa Ez a y element skupa E y , tj. xEEz, yEEy

Preslikavanje skupa Ez na skup Eli definisano je ako je dat zakon korespon-dencije, po kome svakom xEEa; odgovara jedan element yEE".

Element x skupa Ea; naziva se nezavisno promenljivom ili argumentom, a element y skupa Ey, koji odgovara ovome x, naziva se zavisno promenljivom ili funkcijom.

12

2.2. Pojam funkcije Jed1le nezavisno promeDlJIve 13

Definicija 1. Funkcijom jedne nezavisno promenljive (jednog argumenta) nazivamo preslikavanje skupa Ex vrednosti argumenta na skup Ey vrednosti promenljive y po fiksiranom zakonu korespondencije.

Zakon korespondencije oznaavamo simboliki sa J, q;, Iji, F itd. tako da se funkcija simboliki moe oznaiti sa

x-f (x) ili y=J (x), (ita se: y je jednako f od x).

Smisao ove simbolike sadran je u napred datoj definiciji pojma funkcije. To znai da svakom elementu xEEx, tj. svakoj vrednosti argumenta x iz skupa

E~, odgovara jedan element y-I(x)EEy, tj. jedna vrednost zavisno promenlijive veliine y ..

Analognismisao imale bi i sledee simbolike oznake: y=q; (x), y=1ji (x). y=F (x), y=

Primer 3. Funkcija II xO

(sgn x ita se "signum x") definisana je na celom skupu realnih"brojeva.

2.3. NACJ:NI PRIKAZIV ANJA FUNKCIJA

Najei naini na koje moebiti udata funkcionalna zavisnost jesu: analitiIki, tablini i grafiki. Ovde emo prouiti prva dva, a grafiki nain prouiemo posebno.

1. za funkciju y=/ (x) kae se da je data analitilkiako je zakon preslikavanja / dat obrascem (formulom) koji sadri skup svih operacija koje je u odredenom poret-ku, neophodno izvriti nad argumentom x da bi se dobila odgovarajua vrednost funkcije / (x).

Ako je funkcija data analitikim izrazom, oblast njene definiaaDosti. odreuje se na taj nain to se na osnovu samog izraza utvruje skup vrednosti argqmenta & na kome izraz ima smisla odnosno na kome dobija realnu vrednost. Primer l. Funkcija definisana formulom

f(x}=xs-S x+2 ima smisla i dobija re!llne vrednosti za sve realne vrednosti argumenta x. Prema tome, njenu oblast definisanosti ini skup realnih brojeva.

Primer 2. Funkcija sin x f(x)=-

x

definisana je za sve realne vrednosti argumenta x, osim x=O, jer za x=O analitiki izl"az funkcije nema smislL

Primer 3. Funkcija y=ax

kojom je izraena zavisnost povrine pravougaonika y, stalne duine a, a promenljive irine x defi~ nisana je za X>O, tj. na skupu realnih pozitivnih brojeva, jer za X

2.3. NaSal priMzlvaafa fuakclJa 1&

~ J. Oblut definisanosu . fJ,ankc:ije . f(s)=v'sin2X'

je skup vrednosti argumenta x za koje je sin 2%2:0. To e biti segmenti [AI 7t,k 7t+ ;] (k=O, l, 2, ... ). PrImer 7. za funkciju

2+x f(x)=log-

2-x

oblast definisanosti predstavlja skup vrednosti argunlenta za, koji je 2 + x > O. Ova nejednakost je .' ., .. 2-x

zadovoljena za xE(-2, 2). Primer B. U funkciji

f(x)=v' -x+ _.: _1_ V2+x

prvi sabirak ima realnu vrednost za x~O, a drugi za 2+x>O, tj. x> -2. Prema tome, oblast defuu-sanosti funkcije f (x) predstavlja skup vrednosti argumenta za koji je

-2

18 2.' p ..... faakdJ.

Tablini nain izraavanja funkcionalne zavisnosti ima velike primeae u prirodnim i tehnikim naukama, u kojima se pomiu rezultata eksperimentalnih istraivanja dolazi do skupa parova vrednosti argumenta i odgvarajuih vrednosti funkcije. Ovakvi parovi se slau u tablicu:

X Xl XI! xal ... lx"

y=f(x) Yl YI! Ya \ ... I y" Ovakva tablica predstavlja jedan od naina prikazivanja funkcionalne zavisnosti~

2.4. GRAFIK FUNKCIJE

Grafik funkcije predstavlja takoe jedan od naina prikazivanja funkcionalne zavisnosti. Imajui u vidu definiciju pojma funkcije jedne nezavisno promenljive, pOjam grafika ove funkcije uvodi se sledeom definicijom. Definicija 1. Orafik funkcije Y-4 (x) je tako:o skup taaka ravni za koji STJaka taka ima apscisu jednaku fiksiranoj wednosti argumenta, a ordinatu jednaku odgova-rajuoj wednosti funkciJe; i obrnuto, STJaka taka, ija je apsicisa jednaka wednosti

~~a, a ordinatajednaka odgovarajuoj wednostifunkcije pripada grafiku funkcije. Iz ove definicije grafika Proizlazi da se skup vrednosti argumenta E,; i skup korespondirajuih vrednosti funkcije E", mogu predstavljati na dvema upravnim, orijentisanim pravima - osama D~ovog pravouglog sistema. Grafikom Je tada definisano preslikavnje skupa Es tadll sa x-ose na ortogonalnu y-osu, na skup E" po zakonuf(x). >

Dalje, iz definicije pojma funkcije i definicije grafika' proizlazi da svaka prava x=a (ako aE&) paralelna ordinatnoj osi moe sei grafik funkcije najvie u jednoj taki.

o IC D

Sl. 2.4a SL 2.4b

Grafik jedne funkcije moe bid dat i u polarnom .koordinatnom mtemu. Kao to je poznato kod polarnih> koordinata se svakom paru realnih brojeva

(cp, p), pri emu je p>O, moe staviti u korespondenciju jedna taka ravni M (cp, p), za koju je

OM=p, ~XOM=cp.

2.... Grafik fuDkc1Je 17

Koordinata p naziva se radijus-vektorom take M, a ugao

ovaj oblik tunkcionalne zavisnosti javlja 114' u fizici koc:i de Broglievog zakona: ;,J1

).=,- (h=const), , Boyl-Mariottovog zakona:

II V=- (k=CODSt), itd. , 4 Kvadratna funkcija

f (x)=AxI+Bx+ e mote se dovesti na kanonini oblik:

f(x)=A (X+~)2 _ BI-4AC lA 4A

Njen grafik e biti parabola ije je teme u taki T(-~, BL 4AC)

2A 4A' , b l' . dnain lJ a ~ para o e una Je ,U X= - ZA

So Pomou grafikafunkcijey I (x) moe se nacrtati grafikfunkcijey f (x)+b (b=CODSt) i to na taj nain Ito grafikfunkcije [(%) treba za ~jedinica pomeriti u pravcuy-ose. To znai da se otdinate ta'aka na grafiku funkcijeY-/(x)+b dobijaju kada se za odgovarajue apscise ordinate taaka na grafiku funkcije y I (x)

poveavaju za b jedinica, tj. izvri translacija sistema DX,)' sa novim poetkom u taki (O, -b). ",

6 Iz grafika funkcije y I(x) mole se dobiti grafik funkcije y I (x-a) (a=const).

Grafik poslednje funkcije se dobija kada se grafik funkcijey I (x) translatorno pomeri du x-ose za veliinu a. To znai 9a je ovim izvriena translacija koordinatnog sistema sa novim poetkom u taki (a, 0).

7 Polazei od grafika funkcije y I (x) nacrtati grafik funkcije y=cf (x) (C=CODSt).

za O

Kombinacijom postupaka izloenih u opitijim primerima (S, 6, 7 i 8) mogue je, polazei od grafika jednostavnijih funkcija, konstruisati grafike sloenijih funkcija.

Preporuuje se itaocU da na osnovu ovoga nacrta grafike sledeih funkcija: y=2 sin 3x, y=3 sin (2 x-L6), y=S cos (x-2).

9 Nacrtati grafik funkcije l-x, xO.

Oblast definisanosti ove funkcije je skup realnih brojeva, no ona je data analitiki sa tri izraza: polupravom y= -x za xE( - oo, O); takom x=O i polupravom y=x za xE(O, +00) (sl. 2.4. la).

Sl. 2.4.1 a

100 Funkcija. I I XO

x D

Sl. 2.4.1 b

defini$ana je za sve realne vrednosti argumenta. Njen grafik sastoji se iz poluprave y= -1 za X 1. OVU funkciju moe-mo analitiki izraziti na ovaj nain: ....

ako definiAemo/(O)=O. Bez poslednjeg uslova funkcija/ex) je nedefinisana u taki x=O i njen grafik je predstavljen slikom 2.4.lb, ali grafiku ne pripada taka O (O, O).

II Funkcija E (x) = [x]

zove se najfJeeecelo od x ili C80 deo od x. Ona se efiniictako

10 2. Pojam faUCije

Funkcija [x) moe biti data i sa neogranieno mnogo analitikih izraza:

[x] =

-2, -1,

O, 1, 2, 3,

y

xE[-2,-I) xE[-I,O) xE[O, l) xE[1,2) xE[2,3) xE[3,4]

x

y

-J -2 -;;

Sl. 2:4.1 Sl. 2.4.1 d

ili krae: y=[x]=k, xE[k, k+1), (k=O, l, 2, ... ).

12 Grafik funkcije {x}=x-[x]

moe se dobiti oduzimanjem ordinata grafika za y=[x] od ordinata na pravoj y=x (videti sl. 2.4. ld).

Ova funkcija moe biti definisana sa beskonano mnogo analitikih izraza: r

{X}~X-[Xl~! I

x+2, x+l, x, x-l, x-2,

xE( -2,-1) xE[-l,O) xE[O,l) xE[1,2) xE[2,3)

13 Nacrtati grafik funkcije p=R (R=const>O)

u polarnim koordinatama. Grafik je krug iji centar lei u polu, a poluprenik kruga je jednak pozitivnoj

konstanti R. Ovde je za proizvoljnu vrednost polarnog ugla op, poteg p=R, tj. jednak polupreniku kruga.

2.5. Napomena o definiciji pojma Cu.akc:ije 21

14 Nacrtati grafik funkcije p=2 R cos cp (R=const>O).

Grafik je krug poluprenika R, iji centar lei na polarnoj osi u taki (O, R), a koji prolazi kroz pol O (sl. 2.4.le).

Sa slike se vidi da poteg p proizvoljne take na grafiku predstavlja projekciju konstantne dui OA=2R na taj poteg.

italac moe sasmostalno nacrtati ovaj grafik ako argumentu cp daje proizvoljne vrednosti i prema analitikom izrazu funkcije, odreuje odgovarajue vrednosti funkcije p.

Sl. 2.4.1 e

15 Grafik funkcije

A x

p=k cp (k=const, cp>O)

p

Sl. 2.4.1 f

predstavlja Arhimedovu spiralu. Za cp=O dobija se p=O, tj. kriva prolazi kroz pol. Sa raenjem argumenta cp, funkcija p raste i grafik funkcije e se obavijati oko pola (sl., Z.4.If).

2.5. NAPOMENA O DEFINICIJI POJMA FUNKCIJE Neka su X i Y dva skupa i neka xEX i yE Y.

Definicija 1. Dekartov proizvod dva skupa X i Y je skup ureenih parova ex, y) od kojih xEX, yE Y, tj.

Xx Y={(x,y) I xEX,yEY}. Definicija 2. Neka je P ma koji podskup skupa X.x Y. Trojka skupova CP, X, Y) naziva se funkcijom ako u P nema parova sa jednakim prvim i razliitim drugim komponentama.

Skup X predstavlja definicioni skup, oblast, domen definisanosti funkcije, a skup Y predstavlja oblast vrednosti funkcije. Funkcija sa domenoin definisanost X i domenom vrednosti funkcije Y naziva se funkcijom tipa X -+ Y. Ova injenica se moe formUliSati i na sledei nain. Funkcija f je definisana u X i dobija svoje vred-nosti u Y:, to se simbolizuje u formi

X-+Y, ili f : X-+Y, ili f : (x, y) (xEX, yE Y). Neka je

r,g(p, X, Y)

proizvoljna funkcija. Ako (a, b)EF, element b se naziva vrednoiu funkcije na (ili u) a, a se naziva orginalom, a b slikom. U tom sluaju se govori da lunkcija 1 preslikafJa (prfllJOdJ) el""." a u ele1nent b. Vrednost funkcije 1 na elementu a oznaavamo simbolom 1 (a), pri emu piJemO' b~f (a).

Funkcija ~(F, X, y)

Dije nigde definisana ako jC.F==0. U specijalnom sluaju trojka (0, 0, 0)

predstavlja primer fUDkcije koja nigde nije deimisana. Iz definicije pojma funkcije proizlazi da je proizvoljna funkcija definisana na

praznom skup~ Funkcija;

~(F, X, y) se .naziva konstantom ako postoji element b E Y, takav da je

F==Xx {b}, tj. konstanta je funkcija iji se skup vrednosti sastoji iz jednog elementa.

Z.8. DEFINICIJE NEKIH SPECIJALNIH KLASA PUNKCIJA JEDNOG ARGUMENTA

Ovde emo navesti deiuliclje specijalnih klasa funkcija jednog argumenta koje su znaajne za dalje izuavanje pojmova matematike analize i njihove primene.

Z.I.I. OGRANlCBNB I NBoGRANI~ FUNKCIJE Pojam ograniene funkcije uvodi' se sledeom definicijom.

DefiDiciJ. t. FUnkcija! (x) jednog l6pmenta na ... kom skupu EnasifJa se: 10 Ogranienom s lornje strans, ako postoji broj P takav da je Ila lfJB Vl'ednosti

x E B ispunjena nejednakost 1 (x)-5':.P;

20 Ogranienom s donie straM, ako postoji broj P takav da je za me Vl'ednosti argumenta xE B ispunjena nejednakost

p'5:.l(x); 30 Ogranienom,akO je ograniena slornje i s dmVe strans, tj. /!DItoje dwJ broja,

p i p, takva da je Ila IW Vl'ednosti l6gumenta xE B ispunjena dvostruka nejednakost p~(x)

2~8. Definicije aeldh spedJaIalh lua faDkdJa Jedn. arpmeata II

donje strane postoji prava y p takva da se grafik funkcije y=1 (x) nalazi iznad ove prave. Najzad, za ograniep1J{unkciju postoje dve prave, y p iy=P(p

1.1.2. MONOTONE FUNKCIJE Definisaemo najpre rastuu i opadajuu funkciju jednog argumenta na izves-

nom skupu El koji predstavlja deo oblasti definisanosti ove funkcije. Definicija 1. Funkcija I (x) naziva se rastuom na skupu El ako za dve razliite vrednosti argumenta iz toga skupa veoj vrednosti argumenta odgovara vea vrednost lunkcije.

Funkcija I (x) naziva se opadajuom na skupu El ako za dve razliite vrednosti argumenta iz toga skupa veoj vrednosti argumenta odgovara manja vrednost lunkcije.

Ako, dakle, xIEEI. x2EEI, EIC&,

tada iz navedene definicije proizlazi da je za rastuu funkciju, za dve razliite vrednosti argumenata, tj. za Xl

2.8. Definicije lieldh apeci,alalh kIaaa f1mkc:lJa ..... arpmeata ZI

Pri .". a. FUDkcijaf(x)=x2 je strogo monotona, ito opadajuazaxE(-oo,O) a rastua za xE(O, +(0). PrImer ~. Funkcija f (x)= [xl je monotona neopadajua funkcija u celoj oblasti definisanosti, sa neogranienjIn skupom intervala konstantnosti. . Primer 5. Funkcija

f(x}= . . {cosx, XE[O, ;]

O, XE1; , +(0) predstavlja monotonu nerastuu funkciju u celoj oblasti definisanosti, pri emu interval kon-stantnosti predstavlja beskonani polusegment [; , + oo )

2.8.3; PARNE I NEPARNE FUNKCIJE

Pojam parne i neparne funkcije uvodi se sledeom definicijom. Definicija 1. Funkcija J (x) naziva se parnom ako su, za '01'ednosti argumenta koje su suprotni brojevi njene vrednosti meu sobom jednake tj. ako je

J( -x)=J(x). Definicija 2. Funkcija J(x) naziva se neparnom ako su njene '01'ednosti suprotni brojevi za '01'ednosti argumenta koje su suprotni brojevi, tj. ako je

J( -x)=-J(x). Iz ove definicije proizlazi da (, parnosti odnosno neparnosti jedne funkcije ima

smisla govoriti pod pretpostavkom da ako je ova definisana u taki a, mora biti definisana i u taki-a. Drugim reima, kod parnih i nepamih funkcija mora biti skup taaka na brojnoj pravoj, koji obrazuje oblast definisanosti funkcije J (x),

simetrian u odnosu na nultu t8kuove prave. Geometrijska interpretacija parnosti i neparnosti je sledea. Iz definicije parne funkcije proizlazi da ako taka A (x, J (x)) pripada grafiku

funkcije, tada i taka A' (-x, J (-x)) mora pripadati ovom grafiku. Take A i A' simetritne su u odnosu na y-osu, te je i grafik parne funkcije kriva simetrina ~a ordinatnoj osi (sl. 2.6.3 a). .

y y

X I . x " ... S1. 2.603 a Sl. 2.6.3 b

Iz definicije neparne funkcije proizlazi da ako taka A (x, / (x)) pripada grafiku funkcije, tada i taka A' (-x, / (-x)) mora pripadati ovom grafiku. Iz uslova J (-x)=-/(x) proizlazi da su take A i A'. simetrine u odnosu ,rta koordinatni

poetak. Zato grafik neparne funkcije predstavlja kriw simetrinu . u odnosu na koordinatni poetak (sl. 2.6.3 b).

Iz napred date geometrijske interpretacije proiZlazi da je pri konstrukciji grafika parne ili neparne funkcije dovoljno ove konstruisati u poluravni x> 0, a onda za parnu funkciju nacrtati deo grafika simetrian konstruisanom u odnosu na ordinatnu osu, a za neparnu funkciju drugi deo grafika lronstruisati simetrino u odnosu na koordinl\tni poetak prema onome iz poluravni ~O.

Primer l. Funkcije :&2" ek ceo broj), COIX, I x I

su parne. Na primer I -x I = I x I.

Primer 2. FU1'Jkci.ja xU+l' (k cca broD, sin x, tg X,

su neparne. Na primer sin e -x)= -sin x.

Primer 3. Nisu ni parne ni neparne sledee funkcije: :&2+x+ 1, aZ, [x], {x}.

PriDi er 4. Ako su I (x) i cp (x) dve neparne funkcije, tada je funkcija F ex) =1 (x)cp ex) parna. , Zaista imamo ' '.' ,

F(-x)=/( -~).cp e-x)= {-/(x)}> {-cp (x)} =1 (x) tp (x)=F(x).

Primer S. Ako je I (x) parna, a cp (x) neparna finkcija, tad,a je F (x) =1 (x) tp (x) neparna. Zaista, ovde imamo

F (-x)=/( -x) tp (-x)=/(x)' {-cp (x)}= -/(x) tp (x) = -,-p (x). Primer lo Ako je/(x) proizvoljna funkci.ja- definisana u takama x i -x, tada je funkcija Ft(x) =1 (xHI ( -x) parna, a funkcija F. (x)=I(x)-/(-x) je nepuna.

Zaista ovde emo imati Fl (-x)=1 (-xH/(x)=Fl (x),

tj. funkcija Fl (x) je parna. Analogno dobijamo

FI (-x)=/(-x)-/(x)=- {f(x)-/(-x)}=-F. (x) tj. funkcija FI (x) je nepuna.

Uzimajui, na primer, F(x)=ax imaemo Fl (x)=az+a-z, FI (x)=az-a-z,

od kojih je prva funkcija parna, a druga nepafllll Ato itala

L ..... PERIODINE PlJNKqJB. Periodine funkcije predstavljaju specijalnu klasu funkcija koje se definiu na

sled 'i nain. Definicija 1. Funkcija / (x) naziva se periodinom ako postoji jedan realan pozitivan broj takav da su wednosti funkcije / (x) u takama x, x+6), meu sobom jednake, tj. da za wako x 'Vai

/ (x)-} (x+6)); pri ~emu se najmanji pozitivan broj 6) nazi'V4 primitifJ1Wm periodom funkcije / (x).

Ako x pripada oblasti definisanosti funkcije/ex), tada svaki broj oblika x+k 6) (k=O, l, ... )

pripada ovoj oba1sti pri emu je / (x+k 6)) f (x) (k=O, 1, ... ).

Iz definicije periodine funkcije sleduje / (x) f(x6)) f [(x6))6)J=/ (x2 6))='" =/ (x+k 6)).

OdaV'de proizlazi da e se take .. , a-2 6), a-6), a, a+6), a+26), .. iz skupa &, oblasti def'misanosti funkcije/ex), preslikati u jednu taku/ea) skupa Er vrednosti funkcije. Zato e se skup vrednosti argumenta za koje

xE [k 6), (k+ 1) 6)] (k=O, 1, 2, ... ) preslikati na jedan isti skup brojeva u Er, pa e to biti sluaj i sa vrednostima argu-menta x koje pripadaju segmentu [a + k 6), a+(k+ l) 6)] gde je k ceo broj. Zbog toga

e igrafik periodine fun-kcije sainja~ti beskona-

an skup lukova koji se ponavljaju na svakom od ovih segmenata.

Prema tome, ako je periodina funkcija prou-ena, na primer na segm-entu (O, 6) J, tada emo je poznavati u celoj oblasti njene definisanosti. '

( II lt

SL 2.6.4a

Primer l. Triaonometrljske funkcije sins i cou BU periodine funkcije, periodom Cl)=2~; funkcije tg s i ctg s su takoe periodine 8 periodom 6I=n. Primer L za funkciju f(s)=sin ax period cl) mo!e se odrediti iz definicione relacije f(s+6I)-f(s). tj.

sin [lI{s+6I)==sin (ax+2 n)=sin ax. Odavde je

2~ a 6I-ln. tj. 61--.

a

PrImer SO Funkcijaf(s)-{s}-s-[s) je perioditna s periodom 61=1, jer je {s+6I}=-s+6I-[s+6I)==s-[s)-{s}, i UOPIte {s+A(.)}={s} (A ... O.l. 2, ... ).

28 2. Pojam fW1kclje

2.7. INVBRZNA FUNKCIJA Neka je j (x) funkcija jednog argumenta definisana na nekom' skupu Ex

vrednosti argumenta x. Skup Ey vrednosti funkcije j (x) predstavlja sliku skupa Ex i na osnovu definicije pojma funkcije svakom elementu x E Ex odgovara jedinstveni broj y=j(x)EEy.

Ako se skupovi Ex i Ey predstave na dvema brojnim pravima, tada jednoznano preslikavanje skupa Ex na skup Ey po zakonu j, tj. funkcionalna zavisnost y=j (x), ,znai da jednoj taki s gornje prave (iz skupa Ex) odgovara jedna taka s donje prave (iz skupa Ey).

Meutim, jednoj taki iz skupa Ey vrednosti funkcije y=j (x) uopte ne mora odgovarati jedna taka iz skupa Ex vrednosti argumenta. Na primer, taki donje prave, za koju je j (Xl) =j (X2), odgovaraju dve take gornje prave: Xl E Ex i Xz E Ex. To znai da preslikavanje skupa Ey vrednosti funkcije y=j (x) na skup Ex vrednosti argumenta uopte ne mora biti jednoznano. Zato ovakva korespondencija uopte ne definie funkciju x od argumenta y=j (x), poto se ovde naruava uslov da jednoj vrednosti argumenta y=j(x)EEy odgovara jedna vrednost funkcije x, ve jednoj vrednostiy=j(x)EEy odgovara skup vrednosti funkcije Ex={xh X2, ... }.

U specijalnom sluaju zakon korespondencije y=j (x) moe biti takav da se i svakoj vrednosti y=j (x) EEy moe staviti u korespondenciju jedinstveni broj xEEx, i to onaj ija je slika u skupu Ey taka y-j (x). Ova injenica tj. uzajamno

jednoznano preslikavanje skupa Ex na skup Ey, i obrnuto, moe se grafiki prikazati na taj nain to svakoj taki xEEz s gornje prave odgovara jedna takay=j(x)EEy na donjoj pravoj, i obrnuto, svakoj taki y=j(x)EEy na donjoj pravoj odgovara jedna taka xEEx na gornjoj. Definicija l. Ako svakojvre.mosti junkcije y-j (x) iz skupa Ey odgovara u njenoj oblasti dejiniianosti jedinstvena taka xEEx, tada se junkcijom inverznom u odnosu na y=j (x) naziva junkcija x-J(y) za koju Je oblast dejinisanosti skup Ey vrednosti junkcije y=j(x), a zakon koresponedencije je takav da svakoj vrednosti y=j (x) EE" odgovara jedna vrednost xEEx, za koju je y=j (x).

Inverzna funkcija funkcije y=j(x) oznaava se i na ovaj nain: X=j-l(y).

Iz ove definicije inverzne funkcije proizlazi da je i funkcija y=j (x) inverzna u odnosu na funkciju x=f(y).

Funkcije y=j (x) i x=!Cy) nazivaju se uzajamno inverznimjunkcijama: presli-kavanje vrednosti x E Ex posredstvom zakona korespondencije j dovodi do funckije y=j(x), a preslikavanje vrednosti y=j(x)EEy posredstvom zakona 7 dovodi do funkcije x=!Cy). To znai da je

!C!(x))=x i j (1(y))=y. Korespondencija izmeu dva skupa uspostavljena posredstvom uzajmno

inverznih funkcija naziva se uzajamno jednoznaanom (biunivokom) korespondencijom. Ako se u analitikom izrazu inverzne funkcije x=f(y) argument y zameni sa

x, a funkcija x sa y, dolazi se do funkcije y=Jcx),koja se takoe naziva inverznom junketjom funkcije y=f (x).

2.7.lnverzna funkcija 29

Primer I. za funkciju y=2 x-S inverzna funkcija je y+5. - y+S

x=-. Ovde le l(x)==2x-5, 1(Y)=-. 2 2 Funkcije I(x) i f(y) uzajamno su inverzne, jer je

- (lx-SHS y+S I (f(x)) 2 X; IV(Y)=2'T- S=y; fi,_I. oo X+ S tak d . fi k" 2 S w .... Clla y=-2- o e Je mverzna za un CIlU y= x- .

Primer 2. za funkciju y=x8 inverzna funkcija je X= {/y, odnosno y= {IX: Primer 3. za funkciju y=az inverzna funkcij-a je x=log" y, odnosno y=loga x. Primer 4. Funkcija l(x)=x2n (n prirodan broj) definie preslikavanje beskonanog intervala (-oo, +00) na beskonani polusegmentyE[O, +00), i to jednoznano.

Inverzno preslikavanje nije jednoznano, poto svakom y>O odgovaraju dve vrednosti 2n

za x, tj. x= v';-' Zato funkcija y=x2n nema inverznu funkciju. Grafici dveju uzajamno inverznih funlccijay=f(x) i x=fCy) predstavljeni su

jednom istom krivom. Meutim, grafik funkcije y=f (x) je sa grafikom funkcije y-f (x) simetrian

u odnosu na pravu y=X (bisekrrisu koordinatnih uglova I i III kvadranta). Ovo se moe pokazati na sledei nain. Ako taka M (a, b) pripada grafiku

funkcije y-4Cx) odnosno x Fry), tada taka M' Cb, a) mora pripadati grafiku funkcije y 1cx).

Neka je OR bisektrisa koordinatnog ugla xOy, tada je

tj. OR je simetrala ugla MOM'. Trougao MOM' je ravnokraki, jer je MO=M~ = ya2+b2, te simetrala njegovog ugla sa temenom u O mora biti i simetrala dui MM'.

To znai da su take M i M' simetrine u odnosu na pravu y=x, a ovo je bilo potrebno i pokazati.

Primer 6. za funkciju y=:r inverzna fUnkcija je x=t'y.

Grafici ovih uzajamno inverznih funkcija predstavljeni su jednom istom krivom. Meutim, grafik funkcije y= t'X" simetrian je grafiku funkcije y=x3 u odnosu na pravu

y=x (sl. 2.7b). Naveemo bez dokaza sledeu teoremu.

Teorema 1. Svaka strogo monotona funkcija ima inverznu funkciju. Meutim, monotona funkcija (neopadajua ili nerastua) nema inverznu

funkciju, jer ako je [a, bl segment na kome funkcija ima konstantnu vrednost, tada je na AB,tj. za sve xE[a, bl

f(x)=f(a)=f(b)=c. Obrnuto, vrednosti y=c odgovara ne jedna, ve skup vrednosti za x i to skup svih onih vrednosti za koje xE[a, bl, a ovim ne moe biti definisana inverzna funkcija.

y y

'..... A

'(X~ e e

II x D b x

SI. 2.7 e SI. 2.7 d

No, iako funkcija y I(x), posmatrana za sve xEEz, tj. u svojoj oblasti defi-nisanosti nema inverznu funkciju, ako je ona strogo monotona za xEE', gde je E' deo skupa Ez mogue je da za ovu na E' postoji inverzna funkcija. Tada e x=Jcy) predstavljati inverznu funkciju funkcije y=f (x) na skupu E', na kome je poslednja funkcija strogo monotona. Teorema 2. Ako je funkcija y=f (x) rastua (opadajua), tada je i njena inverzna funkcija rastua (opadajua).

Dokaz. Neka je, na primer, f (x) strogo monotona, i to rastua funkcija, tada po definiciji rastue funkcije iz Xl

2.1. SI..... fUakclJa al

Kako je xl i~), XI i~l); l(xl)=Y1, I (X8) Ya

dve prethodne nejednakosti, napisane u obrnutom poretku, daju: iz Y1

32 2. PoJam fimkcije

Obrnuto, svaka sloena funkcija moe se razloiti na lanac uzastopnih presli-kavanja, tj. funkcija u kome e izmeu funkcijey i argumenta x posredovati konaan broj meuargumenata. Zato se sloena funkcija naziva i posrednom funkcijom. Primer 1. Neka je:dat lanac preslikaVanja X'"+U-4y definisan sledeim zakonima korespondencije

y=j (u) = loga u, u=cp (x)=x-2. Funkcija u=cp(x)efinisanaje za sve xE(-oo, +00). Ovaj beskonani interval obrazuje

skup Erz:. Medutim, za sve vrednosti x iz tog sItupa, odgovarajue vrednosti za 11= cp (x) ne pripadaju oblasti definisanosti funkcije j (u) = logz u. Toj oblasti nee pripadati sve vrednosti 14

2.9. F1IDkciJa deflnisana u parametankom obUku

Odavde izlazi da je za svako tEEt identiki f (cp (t)) = lj! Ct).

Prelaz od funkcije y=f (x) na parametarski oblik x=

Primer 3. Jednaine x=a cos. t, y=a sinB t (O:lit:li2 n)

predstavljaju parametarske jednaine krive koja se zove astroida. Eliminacija parametra t ovde se vrli na sledei nain. Iz navedenih jednaina dobijamo

cost=(:)'/3, Sint=(:)'/3.

Odavde kvadriranjem i sabiranjem dobijamo jednainu astroide u obliku xBl3+yI18=aI18.

Primer 4. Cikloida je putanja take kruga koji se kotrlja bez klizanja po pravoj liniji.

SI. 2.ge

Poetni poloaj kruga je obeleen i njegovu taku dodira sa pravom biramo za koordinatni poetak, a pravu za x-osu.

Posle obrta kruga za ugao t, taka O e doi u poloaj M tako, da je ~ MCT=t; MT= =OT=Rt, pa ako su koordinate take M (x,y), tada je, prema slici 2.9 e,

tj.

___ r--._

x=OQ=OT-QT=MT-MP=Rt-R cos t, y=MQ= T-PM=R- R sin t, x=R(t-cost), y=R(l-sint),

a ovo su parametarske jednaine cik1oide.

Kako je x(t+2kn)=~x(t)+2Rkn; y(t+2kn)=y(t) (k=O, 1, ... ), zakljuujemo da cikloida predstavlja krivu sastavljenu od neogranienog broja "svodova" duine osnove 2nR.

2.10. ELEMENTARNE FUNKCIJE U elementarnoj matematici posmatraju se ove osnovne elementarne funkcije: l) stepena funkcija x (\t racionalan broj ); 2) eksponencijalna funkcija aZ (a >0, a* l) ; 3) logaritamska funkcija log" x; 4) trigonometrijske funkcije:

sin x, cos x, tg x, ctg x, sec x, cosec x; 5) inverzne funkcije trigonometrijskim, tj. ciklometrijske funkcije:

arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x.

2.10. Elem_tarDe fuDkdJe

Definicija 1. Ftmkcije koje se mogu dobiti iz osnOfJnih elementarnih ftmkcija pomou aritmetikih operacija i obrazO'Oanjem sloenih ftmkcija nazivaju se elementarnim funkcijama. Primer l. Funkcija

l(x)=Vx-l + sini x je suma funkcija V x-l i sini x.

Prvi sabirak je sIoIena funkcija Vu, u=x-l;

drugi sabirak je takoe sloena funkcija oblika s . u, U=S1DX.

Oblast definisanosti funk.cije 1 (x) je beskonani polusegment [1, + oo), jer Vx-I ima realnu vrednost na polusegmentu

l:::;;;x ' , . , an proizvoljni realni brojevi, i n prirodan broj, Oblast definisa-nosti polinoma je beskonani interval (-oo, +(0).

2 Funkcija koja moe biti obrazovana iz funkcija /l (x)=x i Iz (x)=const posredstvom operacija pod 10 i operacije deljenja naziva se racionalnom funkcijom. Polinomi se nazivaju i celim racionalnim funkcijama.

Svaka racionalna funkcija moe se smatrati kolinikom dva polinoma aoX'l+alXn-1+ . +a .. -lx+a" boX"'+blXm- 1+ ... +bm-lX+bm '

Oblast definisanosti racionalne funkcije je skup realnih brojeva razliitih od korena imenioca, tj. razliitih od realnih nula jednaine

boxm+ht xm-1+ ... +bm-l x+bm=O. Pod realnom nulom funkcijey=l (x) podrazumeva se realna vrednost argumen-

ta x=aE& za koju je vrednost funkcije jednaka nuli, tj.f(a)=O. 30 Funkcije koje mogu biti dobijene iz

fl (x)=x i Iz (x) = const = 1 posredstvom operacija pod 10 i 20 i operacije izvlaenja korena nazivaju se algebarskim funkcijama (kod parnih korena bira se njegova aritmetika vrednost).

36 2. PoJam. fuDkciJe

Algebarske funkcije koje se ne javljaju racionalnim nazivaju se iracionalnim. Iracionalne funkcije mogu biti date izrazom koji sadri izvlaenje korena, ali ne moe biti predstavljen u obliku algebarskog razlomka ili polinoma.

4 Sve ostale elementarne funkcije nazivaju se elementarnim transcendentnim funkcijama. Primer 1. Transcendentne funkcije su:

xa. (IX iracionalan broj), sin x, allJ, log x, arcsin x, itd.

Primer 2. Iracionalne algebarske funkcije su: y={lxll y=yx-s,

dok je funkcija y= y (x2+ 1)1=XI + 1 data iracionalnim izrazom, iako nije iracionalna.

2.11. PREGLED OSNOVNIH ELEMENTARNIH FUNKCIJA

2.11.1. STEPENA FUNKCIJA

Stepena funkcija je funkcija oblika y=x,

gde je izloilac IX proizvoljan realan broj. Ako je IX racionalni broj, tada je stepena funkcija algebarska, a kada je IX

iracionalan broj, stepena funkcija je transcendentna. Precizna definicija stepena kada su osnova i izloilac proizvoljni realni brojevi,

kako racionalni tako i iracionalni, zasniva se na teoriji iracionalnih brojeva, u koju se ovde ne moemo uputati.

Oblast definisanosti stepene funkcije x moe biti razliita za razliite vrednosti izloioca IX.

Za kakvo bilo realno IX stepena funkcija je definisana za sve xE(O, +00). Za x< funkcija .XIX moe za neke vrednosti IX biti definisana, a za druge ne

mora.

Ako je 1X=l..>0, tj. pozitivan racionalan broj, Y -/-2 q

tada je XIX definisana za xE( -oo, +00) ako je q= 2k+ 1, i to: za p parno grafik funkcije je simetrian prema y-osi, za p neparno grafik je simetrian prema koordinatnom poetku_

Ako je q=2 k, tada za p neparno, .XIX nije de-finisano za negativne vrednosti x.

Najzad za IX> 0, pri emu je IX iracionalni broj, .XIX je definisano samo za x>O, na beskona-

nom polusegmentu [O, + oo). Sve prethodne napomene vae i za IX

2.U. Pretrled omovaJh elementandh fuukdja 37

Ponaanje f'unkcije y=X je razliito za at>O i atO. Funkcija tada raste u intervalu (O, + oo), grafik

prolazi kroz take (0,0) i (1, 1). Grafici su pravom y=x podeljeni u dve klase: za n< 1 i za n> l. Krive y=x", (n>O) nazivaju se parabolama.

20 Posmatrajmo sada sluaj at=nO); tad,a je l

y=xm'

Ove krive opadaju u intervalu (O, + oo). Kad x neogranieno raste, y neograni-eno opada ka nuli i kada se x pribliava nuli, y neogranieno raste; x i y-osa su asimptote krivih. Krive prolaze kroz taku (1,1) a odvaja ih hiperbola y=.!. na skup

% hiperbola za m>l i na skup za mO iznad x-ose i svi prolaze kroz taku (O, 1). Ponaanje eksponencijalne funkcije zavisi od toga da li je

a>1 ili a 1 s uveanjem argumenta x uveava se iy, a sa neogranienim raenjem

argumenta x neogranieno raste i y. To znai da je funkcija strogo monotona, i to rastua.

Za a< l funkcija opada i neogranieno se pribliava nuli kada argument neogranieno raste. Funkcija je strogo monotona, i to opadajua.

Negativna grana x-ose je asimptota za krive y=az za a> 1, a pozitivna grana x-ose je asimptota za krive y=ax za a< 1.

Grafik funkcije s osnovom a simetrian je prema y-osi s grafikom funkcije sa osnovom l/a.

U stvari, funkciju ( :)" moemo napisati u obliku y=a-z

i ona za x>O dobija one vrednosti koje funkcijay=az dobija za ~1 za a 1, i obrnuto, simetrian u odnosu nay-osu. ovi grafici zovu se ekspo-nencijalne krive.

Posmatrajmo linearne kombinacije funkcija az i a-, tj. "s+r- "s-t:r hl (x)=--, hl(~)==--' 2 2

Njihove grafike moemo dobiti sabiranjem i oduzimanjem ordinata grafika funkcija

l .- . l -(6"'" I -a-z. 2 2

Nije tdko proveriti da je hl (-X)=hl (x), ha (-x)= -ha (x),

tj. hl (x) predstavlja parnu, a ha (x) neparnu funkciiu argumenta x.

Citalac moe samostalno proveriti tanost sledeih jednakosti

hl (x)l-hl (X)I= 1, hl (x)2+h. (X)I _ hl (2%).

SI. 2.11.2 b

Sl. 2.11.2 a

J(

U specijalnom sluaju, kada se u funkcijama hl (x) i hi (x) umesto proizvoljne osnove a> 1 uzme broj e (osnova prirodnih logaritama), dobijaju se sledee dve funkcije .

,s+rX ,s-.--chx=--, shx=--.

2 2

z.1t. Prqled oacmdh e1emeataralh f'1aablJa

Prva od njih se zove kosinus hiperboli/ki, a druga sinus hi'perbolilki. Iz definicije sinusa hiperbolikog i kosinusa hiperbolikog sleduje

,-. -I" .-z + l" sh( -x)=--= -sh x, ch( -x)=--=chx, ,2 2

tj. sh x je nepama, a ch x parna funkcija argumenta x. Karakter monotonosti, na primer, funkcije ch x moe se jednostavno prouiti

na sledei nain. Iz definicije ch x pre svega imamo chxs-chX1=",,+r"- ",,+.-ZI I (rl(eXI-Zl_1)+e-"-(1-eXl-Zl)

2 2 2

~.!..(eXI-Z'-l) (eX1-e-"-). 2

Neka je 0

2. Pojam faakc1Je

Po definiciji sinusa hiperbolikog je h( ) r+lI-rCXH? 2rell-2.-x ,-1I s x+y

2 4 = (e" eli +e" ,-1I_'-X ell-e-X e-I!) + (e" efi-e" e-II + e-X ell-e-X e-I!)

4 e"-e-X ell+e-II e"+,-x ell-e-II

=-__-+----=shxchy+chxshy. 2 2 2 2

Citalac moe samostalno da proveri da je ch (x+y)=ch x chy+sh x shy.

Deobom pretposlednje poslednjom relacijom dobija se th (x+y) thx+thy

l+thxthy Ako se u prethodnim formulama staviy=x, dobijaju se formule za hiperbolike

funkcije dvostrukog argumenta 2thx

sh2x=2shxchx, ch2x=ch2x+sh2 x, th2x=---. l+thlx

Citalac moe samostalno da izvede i sledee relacije ChS ch2x+l h2 ch2x-l x , s x

2 2

2.11.3. LOGARITAMSKA FUNKCQA Logaritamskom funkcijom sa osnovom a naziva se funkcija

y=log,.x, inverzna eksponencijalnoj funkciji y=aZ.

I ovde kao i kod eksponencija1ne funkcije pretpostavljamo da je osnova loga-ritamskog sistema a>O, a:;61.

Kako su log" x i aZ inverzne funkcije, to je log,. aZ=x i a!D&os=x.

Grafik funkcijey=loga x moe se kon-struisati prema optem pravilu za konstruk-ciju grafika inverzne funkcije, tj. polazei od grafika eksponencija1ne funkcije aZ.

Obmuwi grafik funkcije aS oko prave y=x dobija se grafik logaritamske funkcije log" x.

Iz ovoga grafika mogu se izvesti sledei zakljuci o ponaanju logaritamske funkcije.

l) Logaritamska funkcija nije definisa-na za negativne vrednosti x i nulu; ona je definisana i neprekidna * za x>O.

* Definicija neprekidnosti funkcija data je u 3.3.

y

o

2

x

~'" '- ___________ ,/J " ~ 21J '/2

SI. 2.11.3 a

2.11. Pregled osnovnih elementarnih funkcija 41

2) Logaritamske linije prolaze kroz taku (1, O), tj. logaritrni jedinice su jednaki nuli za proizvoljnu osnovu a>O, a::;i: 1.-

3) Ponaanje logaritarnske funkcije zavisi od toga da li je a> 1 ili je a< l. Za a> 1 je y=loga x strogo monotona, i to rastua funkcija u celom intervalu (O, +00), pri emu je negativna u intervalu (O, 1), a pozitivna u intervalu (1, +00). Za O 1 poev od neke take, ordin ate funkcije x1l postaju vee od odgovarajuih ordinata funkcije y=loga x ea> 1), tj. stepena funkcija bre raste od logaritarnske funkcije.

2.11.4. INVERZNE FUNKCIJE .. RIGONOMETRIJSKlM FUNKCIJAMA

Ove se funkcije nazivaju jo i ciklometrijskim funkctj'ama. A1:aliziraemo ove funkcije.

Funkcija arcsin x. Na segmentu -"::'

Ta je funkcija neprekidna i raste na segmentu -l

2.11. Prealed OIDOVDih, elemeatanlh fuakc:iJ.

Funkcija x=sin y raste na segmentima n < n 2k' (k 1)

--+2kn_y

44 2. Pojam funkcije

Na osnovu periodinosti, funkcija x=tg y raste u intervalima (-; +k1t, ; +k1t) (kceo broj).

Inverzne funkcije u tim intervalima su y=arctgx+k1t (k=O, 1, ... )

ili sa uobiajenom oznakom Arctg x=arctg x+k 1t (k=O, l, ... ),

gde je arctg x glavna vrednost funkcija Arctg x. Funkcija arcctg x. Za funkciju x=ctg y, koja opada u intervalu O

2.11. Pregled oSDovnih elementarnih fUnkcija 45

Funkcija Arch x. Inverzna funkcija hiperbolikog kosinusa je x=chy. Ona se oznaava sa

y=Archx i ita: y je argument kosinusa hiperbolikog od x. Ova funkcija raste na polusegmentu [1, +00) i preslikava taj polusegment na beskonani polusegmr:nt [O, +00).

Na osnovu definici}e je eli + e-II

x=---2 '

pa reavanjem ove jednaine po y nalazimo (1) . y=1n(xvx2-l) (x> 1).

Funkcija ch x je monotono opadajua za -oo

Funkcija Arcth x. Funkcija x=cth y ima inverznu funkciju koja se zove . argument kotangensa ht:perbolikog i obeleava se

Iz y=Arcthx.

ell+e- II eSII+l x=--=--

ell-e-II eBII-I

reavapjem po y dobijamo y=..!..lnx+I,lxl>l,

2 x-l tj.

Arcthx=..!..ln x+l, lxi >1. 2 x-l Koristei grafike hiperbolikih funkcija italac moe samostalno nacrtati

grafike njima inverznih funkcija.

3. GRANINI PROCESI

3.1. NIZOVI

3.1.1. POJAM NIZA

Neka je N skup prirodnih brojeva i R skup realnih brojeva. Definicija 1. Svako presilikavanje a:N -R zooe se realni niz.

Elementi skupa vrednosti niza su a (1), a (2), .. , a (n), .. koji se obeleavaju krae ah aa, .. , a., .. Ureeni par (n, a,.) zove se n-ti lan niza, pa se esto samo a. zove n-ti ili opti lan niza. Broj n je indeks opteg lana a.. Niz se kratko obele-ava (a.) n=I,2, ili (a.) nEN ili samo (a.).

Skup N zove se domen ili skup indeksa niza (a.), dok se skup a (N) zove skup vrednosti ili antidomen niza (a.). Definicija 2. Interval (a-e, a+e) (e>O) zooe se e-okolina take (broja) a. Broj e je poluprenik okoline.

Okolinom take +00 naziva se interval (M, +(0), gde je M realan broj. Okolinom take -oo naziva se interval ( -oo, M), gde je M realan broj. Dakle, e-okolina take a je skup realnih brojeva x za koje je I x-a I

.. 3. Grani&ll proceel

Definicija 2. Ako postoji taka (brlYJ) a takva da se u svakoj njenoj okolini. nalaze skoro svi lanovi niza (an), kaemo da je niz (an) konvergentan i da je a njegova gra-

nina vrednost. Definiciji 2 ekvivalentna je sledea definicija.

Definicija 3. Niz (an) je konvergentan i a muje granina vrednost, ako za svako e>O postoji prirodan broj no (odreen u zavisnosti od e), takav da je

lan-alno.

Ovo se pie an-a, n-+ oo ili lim an=a ili lim an=~ i,govori da niz (an) _+00

konvergira ka a ili da an tei ka a. Teorema 2. Ako niz (an) ima graninu vrednost ona je jedinstvena, tj. ako an-a i an-b, tada je a=b.

Dokaz. Pretpostavimo da je a=l=b. Neka je la-b 1=2 e>O. Uoimo e-okoline taaka a i b. Ove dve okoline su disjunktne.Kako je a granina vrednost niza (an)u e-okolini take a ima beskonano mnogo lanova niza, a to znai da izvan e-okoline take b ima beskonano mnogo lanova niza. To znai da b nije granina vrednost niza, to je suprotno pretpostavci. Dakle, mora biti a=b.

Dokazana teorema je ekvivalentna tvrenju da konvergentan niz ima samo jednu taku nagomilavanja i to graninu vrednost niza. '

Inae, jedan niz (an) moe imati vie taaka nagomilavanja. Najmanja od njih zove se limes inferior i obeleava lim inf an. Najvea taka nagomilavanja zove se limes superior i obeleava lim sup an. DefiniciJa 4. Za ms koji nije konvergentan kae se da je divergentan.

Niz moe biti divergentan u uem i irem smislu. Definicija S. Kae se da je niz (an) divergentan u uem smislu, ako za svaki pozitivan broj M (ma kako velikt) postoji prirodan broj nl takav daje an>M za svako n>nl, ili ako za svaki negativan broj N (ma kako veliki po apsolutnoj vrednostt) postoli prirodan broj nz takav da je annz.

Kad niz divergira u uem smislu kae se jo da an tei ka + oo u prvom, odnosno ka - oo u drugom sluaju. Definicija 6. Za divergentan niz, koji nije divergentan u uem smislu, kae se da je divergentan u !irem smislu.

3.1.3. OSOBINE KONVERGENTNIH NJZOVA

Teorema 1. Ako je a granina vrednost niza (an), tada i niz (I an D takoe konvergira i granina vrednost mu je I a I.

Dokaz. Kako je niz (an) konvergentan, za svako e>O postoji prirodan broj no takav da je I an-a Ino.

Dalje je I an I-I a 1

prema tome, imamo

. Ir a. l-la I/0. Poko niz (a.) konvergira ka a postoji prirodan broj ftJ.

takav da je la. -alnl. Isto tako iz konvergencije niza (c.) ka a s1edujc egzistencija prirodnOg broja n. takvog da je Ic.-alna.

Nela1 je no==max (nl, na). Tada je a-e

10 3. Gnai&J. proceai

Niz (a,,) ogram'en je ako je ogranien i sa gornje i sa donje strane. Prlmedba. Ako je niz (an) ogranien, tada je g~a .. ~G. Neka je M =m8X (Igl, I Gl). Tada je

-M~an~M, tj. lanl~M. Dakle, moemo rei da je niz (an) ogranien ako postoji broj M>O takav da je lan ~M. .

Na osnovu definicije gornje i donje granice niza, moe se zakljuiti da ako je G gornja i g donja granica tada je svaki broj Gl>G takoe jedria gornja, odnc;>sno svaki broj gl no. Na osnovu toga i la"i=la,,-a+a1

za svako n>no. Dalje je lt

Ia.Ot"I=la"IIOt"I"0, M tj. niz (a" Ot,,) je nula-niz.

3.1. Nizovi 51

Posledice. lO ProiZ'Vod konstante i nula-niza je nula-niz; 2 ProiZ'Vod konvergentnag niza i nula-niza je nula-niz; 3 ProiZ'Vod dva nula-niza je nula-niz. Teorema 4. Kolinik nula-niza i niza kome O nije taka nagomilavanja i lanovi su mu razliiti od nule, je tfula-niz. .

Dokaz. Neka je (a,,) niz kome O nije taka nagomilavanja i lanovi su mu razliiti od nule. Tada postoji e-okolina take O u kojoj nema lanova niza (a,,). Prema tome je I a,,+> e, tj. -I _1_1

52 S. Graaibl procesi

Dokaz. Kako su nizovi (an) i (bn) konvergentni imamo an=a+Otn i bn=b+~n, otn-O i ~n-O. Na osnovu toga imamo anbn=ab+b otn+a ~n+otn ~n. Kako je (b otn+a ~n+otn ~n) nula-niz zakljuujemo da je niz (anbn) konvergentan i da mu je granina vrednost ab, tj

lim (a" b,,)=ab= lim a" lim b". _+an+l za svako nEN, kae se daje monotono nerastui. Primedbe. U prva dva sluaja kae se jo i da je niz strogo monoton.

Za monotone nizove vai sledea teorema. Teorema 1. Monoton i ogranien niz je konvergentan.

Dokaz. Pretpostavimo da je niz (a,,) monotono rastui. Poto je niz (a,,) ogra-nien on ima gornju meu a. Dokazaemo da je niz (a,,) konvergentan i da mu je a granina vrednost.

Kako je a gornja mea, za svako n E N vai an < a. Takoe, za svako e: > O postoji prirodan broj no takav da je a,..>a-e:. Ako to ne bi bio sluaj, ne bi a bila najmanja gornja granica ve bi to bio broj a-e:a-e: za svako n>no. Dakle, imamo

O

3.1. NJsov1 U

Teorema 2. N:ckaSf4. (a.) monotono rastui i (b.) monotcmo opadajui nil:uoi takui da je a.

14 a. Graul&al procesi

Teorema 2. Svaki ogranien niz ima bar jednu taku nagomi/a'Oanja. Ovo je Bo1zano-Weierstrassova teorema. Dokaz. Neka je niz (an) ogranien, tj. m

3.1. Nizovi.

Ako stavimo n=nl=no+l, tada je takoe I am-am 1nl.

Dakle je I am 1=1 am-an.+a'h 1e:.

Na osnovu uslova teoreme mota postojati prirodan broj no takav da za svaka dva od njega vea prirodna broja m i n vai I am-an I

Ako ovu nejednakost pode1imo sa ( 1- !)" (>0) dobijamo (1+ !t>( 1- !Y-"

Kako je

poslednja nejednakost dobija oblik

(1+ !)">( 1+ n~lr-\ tj.

0,.>4,,-1.

Lema 2. Niz iji je opIti lan an=( l + ! t je ogranien. Dokaz. Kako je posmatrani niz monotono rastui on je ogranien sa donje

strane sa al =2. Dokazaemo sada da je ovaj niz ogranien i sa gornje strane.

tj.

Z aki . d b . '"1 l l . 1 l l . a sv pnro an rOJ n Je - -< , tj. +-

tl vidu sume dva sabirka na ovaj nain:

(1+ !t = [2+ !I( 1- !)+ !I( 1- !)(1- !)+ ... + !,( 1- !)( 1- !)- .. ( l_k:l)]

"I . ~ 17

+ ~I( 1- !)( 1- ~)- .. ( l_k:1)[.:1 (1- :) l ( k) ( k+l) + 1-- . 1--.- + ... (k+l)(k+2) n n

+ (k+l)(k~2) ... n ~ ( 1- :r( 1-n:I)} Za drugi sabirak imamo sledeu ocenu:

l. (l-l.) (1-'!) ... ( 1-k-I)[( 1-~) + ... + ( 1-~ ) ... ( 1-7)] kl n n n'+ 1 (k+ l) n

1 l

18 3. Graal&i proc:e.l

s tanou do

krk

Stavljajui, na primer, k= 10, dobijamo e ~ 2,718281 s tanou do _1_ < 0,0000001.

lOllO

Tanijim raunom se nalazi

e~2,718281828459045 ...

Kako su logaritmi brojeva za dve razliite osnove proporcionalni, to su prirodni idekadni 'logaritmi vezani relacijama

10810 x=M Inx, 1 Inx=-log10 x, M

g4e je moduo prelaza

M=logl0e=_I_=O,434294, a L=2,302S85. InlO M

Pokaimo da je broj e iracionalan., Broj e lei izmeu 2 i 3. Pretpostavimo da je broj e racionalan, tj. da je oblika

ili

ili

e=~ (q> l). q

U tom sluaju stavimo u prethodno naenu nejednakost k=q, te dobijamo 0< I e_(_l +_1 + ... +_1 ) j

3.2. GraDim. vrednost, funkcije 59

Nastala protivrenost pokazuje da broj e ne moe biti racionalan, ve iraciona-lan broj.

Detaljnije ispitivanje pokazuje da je broj e transcendentan broj. Transcendent-nim brojevima nazivaju se brojevi koji ne zadovoljavaju nikakvu algebarsku jednainu

120 Xn+alxn- 1+ ... +an=O s racionalnim koeficijentima, gde je

120*0. Transcendentnost broja e dokazao je Hermite 1873. godine, a transcendentnost

broja 1t Lindemann 1882. godine.

3.2. GRANiNA VREDNOST FUNKCIJE 3.2.1. POJAM GRANICNE TACKE SKUPA

Definicija 1. T aka p naziva se granina taka (ili taka nagomilavanja) skupa E ako proizvoljna okolina take p sadri bar jednu taku koja pripada skupu E razliitu od take p. . Posledica. Proizvoljna okolina granine take p sadri beskonaan skup taaka koje pripadaju skupu E.

Ustvari, ako bi neka okolina Up sadrala samo konaan broj taaka Xi> X2, , Xn skupa E, tada bi postojao konaan sistem okolina V 11' V;I;O V;I;., ... , V"ft koji bi se sadrao u U 11' a ne bi imao zajednikih taaka. Okolina U p take p ne bi sadrala nijednu taku skupa E, te taka p ne bi bila granina taka skupa E, to je suprotno definiciji granine

take. Sama taka p moe pripadati, a moe

i ne pripadati skupu E. Teorema 1. Svaki beskonani ogranien skup ima bar jednu graninu taku.

Sl. 3.2.la

Ovo je Bolzano-Weierstrassova teorema za skupove. Bolzano-W eierstrasov~ teoreme za nizove je specijalan sluaj ove optijeteoreme. Meutim, dokaz je isti u oba sluaja. '

3.2.2. KONACNA GRANICNA VREDNOST FUNKCIJE

Definicija 1. Broj b se naziva graninom vrednoufunkcljey=f(x) u taki a ako: , 10 Taka a predstavlja graninu taku za oblast definisanosti .funkcije f (x); 2 Za kakav bilo unapred dati pozitivan broj & postoji okolina U /J take a, takva

da za proizvoljnu vrednost argumenta X iz oblasti definisattOSti funkcije, a koja se sadri u U /J i razliita je od a, vai nejednakost

If(x)-b 1

ili, Ito je ;sIO, nsjednaiwst b-ej~ okolinom take a ;jlvliideinterval (a-3, a+3),

te se definicija granine vrednosti funkcije moe 'oVak6 formulisati.' Definicija 3. Za funkciju I (x) kae se da ima graninu vrednost b, kada x tei ka a, ak9 liJa' proizvoljan pozitivan broj e: poslCji broj 3>0 takav da za svaku vrednost argumenta koja pripada 3-okolini take a (irazliituod a) vai nejednakost

If(x).:....bl

ili, Ito je isto, da je b-e

82 3. Gnid.&Ii procesi

Za dati pozitivni broj t, iz nejednakosti

\ x2-2S I \ x2-10x+2S \ ---10!0.

Nejednakost 2

----1. e

o

\ /~ \ / ,/

...........

N X x

Sl. 3.2.2 b

U ovom sluaju moemo uzeti 2

N=--l. e

te je zaista x-l

lim -=1, x-+oo x+ l

3.2. GraniIla vredlloet t'uDkc:iJe 83

Za sluaj a= -oo okolina take a je interval (-oo, N). Osnovni uslovi f(x)EUb za xEUa

dobijaju oblik If(x)-b I0 da je nejednakost f(xM ispunjenja za prOt:ZfJoljnu vrednost argumenta x koja zadovoljava uslov

0

Geometrijska interpretacija. Ma kako bio veliki broj M, take grafika (osim moda take (a, I(a)) lee iznad prave y=M, ako se vrednosti argumenta sadre u intervalu

(a-3, a+3). y

o x

Sl. 3.2.3 a Sl. 3.2.3 b

Sluaj 2. lim I (x) = + oo. - U ovom sluaju okolina take a::: + oo je interval _+00

(N, +00) i tada se lim I (x) = +00 uvodi sledeom definicijom. " .... +00

Deflaici'a'" Ako Ila proizvoljan uiIlJpred dati I:wqj M (koliko se hoe ~f)elikt}postoji takav broj N da je nejednakost I (x) > M ispunjena .#la sve vrednosti x> N, kae se da lunkcija I(x) ima Ila graninu vrednost +00 kad argument x tei ka +ro.

Geometrijska interpretacija. Za proizvoljno veliki unapred dati broj M, a za sve vrednosti argumenta x vee od N, grafik funkcije y=f(x) lei iznad prave y=M. Zadatak. - Fonnulisati definicije sledeih graninih vrednosti:

l) lim f(x)= -CX>, 2) lim f(x)= -CX>, "..... _+co

3) lim f(x)=+cx>, 4) lim f(x)=-cx>. S-+-CID " ..... -co

za svaki od ovih sluajeva dati geometrijsku interpretaciju i navesti po jedan konkretan primer. . .. . . Primer l. Pokazati da je

ako je

. 1 lim -=+cx>. " .... 0 Xl

U stvari, za unapred dato M imamo l ->M Xl

1 Xl

3.2. GraDi&ua vreduoet fUDkclje 86

U datom primeru moemo uzeti

1 s (M) = .y M'

Primer 2. Ako je f(x)=log2 x, pokazati na osnovu definicije da je lim f(x)=-oo. X-+O

Taka O je granina taka za oblast definisanosti funkcije, tj. za interval (O, + oo). Argument x dobija vrednost samo iz skupa pozitivnih brojeva.

1 Ako je O

DefiDlel'at (Heine). Funkcijaf(x)ima u taki a graninu wednost jednaku A, ako za bilo kakarJ niz wednosti argumenta Xl, xz, .. , X,,, ... , gde je x" -:Fa koji ima granicu jednaku a, tj.

lim x,,=a, _+00 odgovarajui niz wednosti funkt;,Je ima graninu wednost jednaku A.

Heineova definicija je ekvivalentna ranije datoj Cauchyevoj. U Heineovoj koncepciji definicije kao polazna taka se javlja pojam granine 'Urednosti niza, dok se pojam granine vrednosti funkcije javlja kao iZ'lJedeni pojam. Prlmer l. Funkcija

. 1 I(x)=x'sm-x

ima graninu vrednost O u taki x=O i

te je

E Odaberimo c>O, tada u - - okolini take x=O je

2

pa je I/(xl)-/(xl) 1

DefiDldJa 2. Funkdjay 1(:&) naZifJa " balumalltQ wlikom WlilinDm kt.ula :& uli ka +ex> ili -ex> i obeldatJa ss

lim 1/(:&)1= + ex> __ .oo

ako ss .a lfJaki proiftoljnD wliki po.itifmi broj M mols odrlditi takav pollitifJan broj N=N(M), da js .a SfJS fJrsdnosti argunrsnta :& .a kojs js 1:& I>N ispunjena nejednakost

1f(:&)I>M. Defbalc1,a S. BukoMlno m4lom wli6nom (injinitssimalom) naZifJa ss ftmkcija 1(:&) koja tdi ka nuli kada argument:& tsii ka a (ili ~..ex, tj. ako ss .aproiftoljan una-prsd dati pollitifJ4n broj e mois odrediti takmJ pollitifJ4n broj 3 (ili N) da .a IfJS fJrednosti argumenta :& za kojs js

0

68 3. Granini procesi

imamo

1_1_1 < e za O < I x-a I < 8, I (x) a to znai da je _1_ beskonano mala veliina u okolini take x=ra. I (x)

Analogno se dokazuje i drugi deo teoreme. Beskonano male veliine ili infinitezimale imaju veliku ulogu u matematikoj

analizi. Svaki problem vezan za funkcije za koje egzistiiagranina vrednost svodi se na

problem o beskonano malim veliinama. Stvarno, ako je lim J (x)=b,

tada razlika IX (x)=J (x)-b

predstavlja beskonano malu veliinu kad x-a. Stoga se funkcija J (x) moe predsta-viti u obliku

J(x)=b+1X (x), gde je IX (x) beskonano mala veliina kad x-a. Otuda zakljuak:

Funkciju koja ima graninu vrednost moemo predstavlti kao sumu konstante (jednaku ovoj graninoj vrednosttl i beskonano male veliine.

Vai i obrnuta teorema. Teorema 2. Ako je Junkciju mogue predstaviti kao sumu konstante i beskonano male veliine, tada konstantni sabirak predstavlja graninu vrednost Junkcije.

Dokaz. Iz J (x)=b+1X (x)

sleduje IJ(x)-b 1=1 IX (x) I,

te kako je IX (x) infinitezimala, tj. I IX (x)l

Dob,. Neka su ot1(X), ota (x), . .. ,ot~(x) beskonano male veliine kad x-+a. DokazaeIno da je i njihova suma

CI) (X)=ot1 (x)+ota (x)+ ... + ot~ (x) beskonano mala veliina kad x-+a. Ovde je pre svega

I CI) (x) 1=1 ot1 (x)+ota (x)+ +ot~(x) I, tj.

I CI) (x) 1< I ot1 (x) 1+1 Ota (x) 1+ ... +1 otk (x) I. Ako je dat proizvoljan mali pozitivan broj e, tada u nekoj B-okolini take a (ili

lV-okolini take oo), uz uslov da su otf (x) (i= 1, 2, ... ,k) infinitezimale, imamo: lot1(x)I

70 3. Graal&l proc:eai

Svaka od funkcija uf (x) (i=l, 2, ... , k) moe se predstaviti u obliku uf (x)=b,+, (x) (i=l, 2, ... , k),

gde su IX, (x) beskonano male veliine kad x--+a (ili x--+oo). Zato je

CI) (x) = (bl +ba+ .. +bk)+[l (x)+a(x)+ . +k (x)] = (h! +h2+ ... +bk)+ (x),

gde je (x) prema teoremi 1 beskonano mala veliina. Kako je CI) (x) suma konstante bl +ba+ .. +bk i infinitezimale (x), to je

lim CI) (x)=h! +ba+ ... +bk=lim Ul (x)+lim Ua (x)+ ... +lim Uk (x), a ovo je i trebalo dokazati. Teorema 3. ProiZ'Vod ograniene funkcije i beskonano male veliine je beskonano mala veliina.

Dokaz. Neka je u izvesnoj 3-okolini take x=a (ili N-okolini take x=oo) funkcija U (x) ograniena, tj.

I u (x) I

3.z. Graalha VnCIaOIt t\mIrCl,. 71 za dva inioca je

lim CI) (X)=lim Ul (x)lim Ua (X)=blba. Kako je

ue (x)=bc+.(x) (i=l, 2), to je

Ul (x) Ua (x)=[bJ +1 (x)]. [ba+a (x)]=bJbs+[ba 1 (x)+bt a (x) +1 (x) a(x)], pa poito izraz u srednjoj zagradi predstavlja beskonano malu veliinu, imamo

lim [U]. (x) Ua (x)] =bJ ba=lim u]. (x). lim Ua (x). Ako je

CI) (x)=U]. (x) Ua (x) ua (x), tada je

lim CI) (x)=lim [(U]. ua) ua] =lim (Ul ua) lim Ua --

=lim u]. (x).lim Ua (x) . lim ua (x).

Iz ove teoreme kao specijalni sluaj proizlazi ovaj rezultat: lim lk U (x)] =klim U (x) (k konstanta). -- .

Isto tako, za prirodan broj n imamo ..

lim [u (x)]1t = lim u U ~=limu . limu .. lim 14= [lim U (X)]II. --

Teorema 5. Kolilnik beskonano male fJeliine i funkcije ija je granina fJrednost rasliBta od nule je beskonalno mala wliina.

Dk~. Neka je (x) beskonano mala veliina kad x-+a, a U (x) funkcija za ~~ ,

lim U (x)=6:#O. Poslednji. uslov znai da je u nekoj okolini take x=a

16-141 I b I-I U (x) I

to je 161-1 u (x) 1

tj. I'b 1-e: I b l-e:

Odavde je 1 U~x) 1< I hll_e '

to znai da je _1_ ograniena funkcija kad x~a. u (x)

Zato kako je cx(x) =ot(x). _l_ u (x) u (x)

proizvod beskonano male i ograniene funkcije, to' e ~ predstavljati beskonano u

malu veliinu. Kolinik dveju beskonano malih veliina moe biti i beskonano mala i besko-nano velika veliina, a moe imati graninu vrednost razliitu od nule, ili, pak, ova moe i ne postojati. Teorema 6. Granina vrednost kolinika jednaka je koliniku graninih vrednosti brojioca i imenioca, ukoliko ooe postoje, a imenilac nije beskonano mala veliina.

Dokaz. Neka je lim u (x)=A i lim v (x)=B,

tada je U (x)=A+ot (x), v (x)=B+~ ex),

gde su ot (x) i ~ (x) beskonano male veliine kad x~a. Treba pokazati da je

lim(U=lim~=limu=A (B*O). :11:-" ,...." v lim v B

Stvarno, imamo: (U=~=A+cx(x) A+JA+cx(x) A}=A +Bcx(x)-A [)(x).

v B+~(x) B tB+~(x) B B B [B+~ (x)] Drugi razlomak na desnoj strani predstavlja beskonano malu veliinu, te je

lim (U = lim ~= A = limu. v B lunv

Na osnovu navedenih teorema mogu se nalaziti granine vrednosti funkcija izraavajui ove, pomou aritmetikih operacija, drugim funkcijama ije su granine vrednosti poznate. Primer l. za racionalnu funkciju je

:11:-" ao (lim x)m+al (lim x)m-l+ . .. +a... ao "",+al am-1+ . . +a... ho (lim x)n+hl (lim x)1I 1+ ... + h.. bo a"+ hl an-l + ... +h ..

3.2. GraniDa vrednost funkcije 73

pod uslovom da je bo an+bl an- 1 + ... +b,,*O.

Kad imenilac tei nuli za x-+ a ovaj rezultat nema smisla. Primer 2.

Primer 3. italac moe samostalno da proveri da e za racionalnu funKciju Pm (x) ao xm+al xm- 1 + . .. +am_l x+alll

R (x)=-- = -----------, Q,,(x) boxn+blXn-l++bn_lX+bn

biti I 0, . ao hmR(X)=l-' X-o oo bo

oo,

za n=1n

za n

74 3. GraaiDi procesi

Uopte, ot se javlja beskonano malom respektivno vieg reda od ~, nieg reda od f1 ili istog reda sa ~ u zavisnosti od toga da li je respektivno

lim~= +00,-00 ot l O . ~ konanom brojui=O. Nula se smatra beskonano malom veliinom koja se ne poredi s drugom beskonano malom veliinom.

Ako su ot i ~ beskonano male veliine i ako je lim.!.= l,

~ tada se one nazivaju ekvivalentnim.

Tada je takoe i lim~=1.

ot

Teorema 1. Ako su ot i ~ ekvivalentne beskonano male veliine, tadaje njihova raz/ika beskonano mala vieg reda i od ot i od ~. I obrnuto, ako se dve beskonano male veliine razlikuju za beskonano malu viega reda, one su ekvivalentne.

Dokaz. Stavljajui y=ot-~

imamo

jer je lim ~ = lim ot~~ = lim ( ; -l )=1-1=0, lim.!.= l,

~ a to znai da je y=ot-~ beskonano mala veliina vieg reda u poreenju sa ot i ~ ponaosob.

Neka je y=ot-~ i uz to neka je

! --?O (ili ; --?O ); treba dokazati da

.!-?1. Kako je

i kako

to i

ot

yot-~ ~ ~=-=l-ot ot ot

y/ot--?O,

l-.!--?O, tj . .!-.+1, ot ot

to znai da su ot i ~ ekvivalentne beskonano male veliine.

3.2. Granina vreno.t funkcije 75

Ekvivalentnost beskonano malih veliina ot i ~ oznaava se IX- ~.

Primer 1. Kad X-HO, tada su x+l _ 1

IX (x)=-- l ~ (X)=-x2 x

ekvivalentne beskonano male veliine. Njihov kolinik IX (x) x+l ----=------+1 kad x-+co.

~ (x) X U mnogim problemima mogue je bez greke zamemti beskonano malu veliinu njoj ekvivalentnom, i to na osnovu sledee teoreme. Teorema 2. Granina vrednost odnosa beskonano malih veliina ne menja sc ako ove zamenimo ekvivalentnim beskonano malim veliinama.

Dokaz. Ako je IX '" IX' i ~ '" W, tada je lim.!. = lim (.!. ~ E) = lim -~ lim ~ lim J3.: = lim -~~ .

~ IX' W ~ IX' (3' ~ (3' Iz ove teoreme proizlazi da se pri raunanju granine vrednosti odnosa IX/~ mogu u brojiocu i imeniocu zanemariti beskonano male vieg reda i time uprostiti ovo

izraunavanje. Navedimo jedan zgodan nain oznaavanja koji je u upotrebi u savremenoj

matematici u sluajevima kada se u graninim procesima posmatra odnos dve veliine ~ i ot (ot>O), a u cilju skraenog prikazivanja karaktera promene toga odnosa.

Ako je odnos! ograniena veliina u graninom procesu, tada se upotrebljava IX

oznaka ~=O (IX).

Ako je lim !=O, tj. odnos! predstavlja beskonano malu veliinu, tada se IX IX

upotrebljava oznaka ~=o (IX).

Iz ~=o (IX) proizlazi ~=O (ot), no iz ~=O (ot) ne mora proizii ~=o (ot). Primer 2. Veliine IX=X i ~=X3 kad x-+O predstavljaju beskonano male veliine. Ovde je

lim~=lim x 2=O, pa je x3=o (x). x'O IX x-.O

Primer 3. Veliine IX=X i ~=5 tg x kad x-+O predstavaljaju beskonano male veliine, pri emu je

. ~ . 5tgx hm .--- =hm --=5, x~O IX x ..... o X

pa je 5 tg x=O (x).

76 3. Granini procesi

injenicu da IX predstavlja beskonano malu veliinu moemo napisati u obliku IX=O (l),

dok oznaka

l =0 (IX) znai da IX u datom procesu predstavlja beskonano veliku veliinu. Najzad, ako je IX ograniena veliina u izvesnom procesu, upotrebljava se oznaka

IX=O (1).

3.2.8. PRIMENA INFINITEZIMALA NA APROKSIMACIJU JEDNE FUNKCIJE DRUGOM

U vezi s pojmom ekvivalentnosti beskonano malih veliina je i pitanje aproksi-macije jedne funkcije drugom.

Neka dve funkcije u (x) i v (x) kad x~a tee istoj graninoj vrednosti A, tj. neka je

lim u (x) = lim v (x)=A; X-4Q x-'la

tada je lim (u-v)=lim u-lim v=A-A=O,

x->a

tj. u (x)-v (x)=~ (x),

gde je ot (x) beskonano mala veliina kad x~a. Zato, ako u okolini take x=a zamenirno funkciju v (x) funkcijom u (x), tada je apsolutna greka ot (x) beskonano mala veliina. Kvalitet aproksimacije se ocenjuje ne po apsolutnoj, ve po relativnoj greki IX (x~. To znai da-se u okolini take x=a moe uzeti aproksimativno da je

u (x) v(x)~u(x)

ako je relativna greka IX (~ dovoljno mala. u Cx)

Ako u i v tee jednoj istoj vrednosti A, onda je za A *0 lim -~=limu-v=l-lim~-=l-~=O.

x~a u x-ta U % .... a U A

Meutim, za A=O, tj. kada su u i v beskonano male veliine, relativna greka ne