Elemente de Sisteme Dinamice - · PDF fileOctavian G. Mustafa Elemente de Sisteme Dinamice Despre ecua¸tiile diferen¸tiale netede ˆın plan Publica¸tiile DAL Craiova Fis¸ier prelucrat

Octavian G. Mustafa

Elemente de Sisteme Dinamice

Despre ecuatiile diferentiale netede ın plan

Publicatiile DAL

Craiova

Fisier prelucrat ın data de [December 28, 2017]

Sabia, desi fragila,E mai tareCa sa taieOrice om ce-i vine-n cale!

Andrei, 30 ianuarie 2011

Avertisment

Acest eseu nu a fost raportat vreunui referent. In consecinta, continutul sau trebuie

considerat “ca atare.”

Autorul va asteapta comentariile la adresa lui de e-mail1 si va multumeste anti-

cipat pentru efortul depus.

Fiecare proiect de la Publicatiile DAL trebuie considerat “santier” daca nu este

declarat altfel. Versiunea sa este cea a datei de pe pagina cu titlul.

Craiova, Mai 18, 2015 O.G.M.

1 [email protected]

vii

Prefata

Am vazut recent o fotografie a satelitului Europa, una dintre lunile galileene ale

planetei Jupiter. Pe suprafata aproape sferica a corpului ceresc, o multime de curbe

Fig. 0.1 Satelitul Europa al planetei Jupiter, c© NASA/JPL–Caltech/SETI Institute.

rosiatice — ca niste rauri serpuind pe o harta — traseaza itinerarii misterioase. . .

Imaginea aceasta este o buna analogie2 a oricarui studiu despre sistemele dinamice:

raurile necunoscute reprezinta solutiile unor sisteme de ecuatii diferentiale ce curg

fara oprire printr-o lume alba, la fel de misterioasa. Se vor mai ıntalni doua asemenea

rauri, odata plecate dintr-un izvor comun? Se va mai ıntoarce vreodata raul la albia

lui de pornire? Etc. Iata ıntrebari la care ıncearca sa raspunda teoria sistemelor

dinamice.

2 Evident, analogia nu este noua, vezi [20], ci extrem de potrivita.

ix

x Prefata

In tutorialul de fata prezentam rezultate, consecinte si demonstratii ale unor teo-

reme clasice privind sistemele dinamice netede. Acolo unde a fost cazul, am preferat

o demonstratie veche uneia (prea) abstracte, iar aceasta pentru a pune ın evidenta

ratiunile care au dat nastere tehnicii. Intuitia geometrica sta la baza metodelor de

lucru ın teoria sistemelor dinamice.

Un element fundamental aici ıl reprezinta ilustrarea concluziilor: solutiile sunt

niste rauri, dar cum le calculam–desenam–coloram? O suita de informatii privind

grafica pe calculator si coduri-sursa de programe acompaniaza discutia despre sis-

temele dinamice.

Craiova, [December 28, 2017] O.G.M.

Cuprins

1 Ecuatii 2×2: planul fazelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1 Procesarea datelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Preparatorul de grafice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3 Obtinerea ilustratiei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Sisteme liniare si perturbatiile lor: schimbari de coordonate, forma

canonica, varietati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1 Utilizarea matricelor superior-triunghiulare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 Prelungirea functiilor continue. O abordare de tip E. McShane-H.

Whitney . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3 Teorema Poincare-Liapunov-Perron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4 Reparametrizarea traiectoriilor: modificarea

timpului t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.5 Modificarea coordonatelor spatiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.6 Sisteme plane ın forma canonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.7 Echivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.8 Varietatea stabila W s si varietatea instabila W u ale unui echilibru

hiperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.9 Lema lui M. Morse: reprezentarea functiilor scalare prin forme

patratice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3 Varietati centrale, solutii periodice, stabilitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.1 Poze (iarasi. . . ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.2 Sisteme diferentiale omogene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.3 Desene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

3.4 Varietati centrale W c ale unui echilibru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

3.5 Teorema Poincare-Bendixson I: solutii periodice ın plan . . . . . . . . . . 114

3.6 Hasuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

3.7 Multimi limita: ω , α . Functii Liapunov. Principiul lui J. LaSalle.

Stabilitate Liapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

3.8 Excurs de functii Liapunov. Criterii de stabilitate Liapunov . . . . . . . 134

xi

xii Cuprins

3.9 Simboluri, coordonate si curbe punctate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

3.10 Teorema Poincare-Bendixson II: demonstratie, aplicatia lui Poincare 148

Referinte Bibliografice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

Lista de Figuri

0.1 Satelitul Europa al planetei Jupiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix

1.1 Un sistem dinamic liniar: portretul fazelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 WINPP si ferestrele sale ın Windows XP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Optiunea RK4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1 In interiorul multimii M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 Exemplul lui Vinograd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3 Sistemul de matrice A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.4 Sistemul de matrice B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.5 Matricea B−2,−11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.6 Matricea C−1B−2,−11 C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.7 Matricea B2,11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.8 Matricea B−1,01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.9 Matricea B−1,−11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.10 Matricea B−12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.11 Matricea B12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.12 Matricea B−1,11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.13 Matricea B0,13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.14 Matricea B−1,23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.15 Matricea B−1,−23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.16 Clasificarea originii 0R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.17 S, U ortogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.18 S, U ne-ortogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.1 Constructia unei orbite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.2 Echilibrul nehiperbolic 0R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.3 Vectorul viteza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.4 Convexitate ın M catre O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3.5 Raza invarianta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

xiii

xiv Lista de Figuri

3.6 Directiile campului vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89







3.13 Alura traiectoriilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92






3.19 Alura traiectoriilor, asimptotele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95











3.30 Traversarea dreptei N, discurile D si D1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

3.31 Traversari ale dreptei N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

3.32 Stabilitatea Liapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

3.33 Stabilitatea orbitala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

3.34 Vizualizarea pozitiilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

3.35 Codurile caracterelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

3.36 Cercul topologic PT R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

3.37 Transversala S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

3.38 Traversari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

3.39 Curba invarianta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

3.40 Multimile α si ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

3.41 Aplicatia lui Poincare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

Capitolul 1

Ecuatii 2×2: planul fazelor

Sa consideram urmatorul sistem de ecuatii diferentiale ordinare:

( .x.y

)

=

(

−1 0

0 −2

)(

x

y

)

, t ∈ R. (1.1)

Aici, prin “.⋆ ” ıntelegem d

dt(⋆), unde cantitatea t desemneaza timpul — matematic

—.

Evident, sistemul (1.1) poate fi decuplat ın ecuatiile scalare

.x=−x,.y=−2y,

t ∈ R,

cu solutiile

x(t) = c1 · e−t , y(t) = c2 · e−2t , unde c1,2 ∈ R. (1.2)

Eliminand parametrul t din ecuatiile (1.2), obtinem o familie uni-parametrica de

curbe, si anume

y−C · x2 = 0, C ∈ R.

Familia (de parabole) este ilustrata ın Figura 1.1.

Solutiile sistemului algebric

−x = 0, (=.x)

−2y = 0 (=.y)

ne conduc — daca exista — la solutii constante ın timp ale sistemului diferential

(1.1). In cazul de fata avem o singura solutie de acest tip, si anume x = y = 0. Ei ıi

corespunde, ın planul (x,y) din Figura 1.1, punctul (0,0). Orice asemenea punct se

numeste punct stationar [2, p. 7], echilibru [57, p. 8] sau punct singular [17, p. 2],

[61, p. 37] al sistemului (1.1).

1

2 1 Planul fazelor

Planul Oxy constituie planul fazelor1 (starilor) sistemului dinamic reprezentat de

ecuatiile diferentiale (1.1), vezi [3, p. 15].

Sagetile stilizate din Figura 1.1 descriu sensul ın care punctele (x(t),y(t)) parcurg

familia uni-parametrica de parabole odata cu trecerea timpului t. Mai precis, daca

pentru t = t0 ∈ R punctul (x0,y0) dat de formulele

x(t0) = x0, y(t0) = y0

se gaseste ın cadranul I — x0 > 0, y0 > 0 —, atunci, pe un mic interval temporal

la dreapta lui t0, x(t) > 0, y(t) > 0. Tinand seama de ecuatiile (1.1), deducem ca.x (t) < 0,

.y (t) < 0, adica abscisa si ordonata punctului curent M = M(x(t),y(t))

descresc, acesta “apropiindu-se” de originea O a planului. Pentru a insista asupra

“atractiei” exercitate de punctul stationar O, el este numit si nod stabil, cf. [57, pg.

25, 26].

Numim curbele din Figura 1.1 traiectorii ori orbite ale sistemului dinamic (1.1)

[3, p. 24].

x

y

(0,0)

Fig. 1.1 Un sistem dinamic liniar: portretul fazelor

1 In limba engleza, phase plane.

1.1 Procesarea datelor 3

1.1 Procesarea datelor

Desi nu ınlocuiesc demonstratiile, reprezentarile grafice ale familiilor uni-para-

metrice de curbe ın planul fazelor sunt un element esential ın teoria sistemelor di-

namice. De aceea, descriem ın cele ce urmeaza una dintre modalitatile de a produce

ilustratii ca ın Figura 1.1.

Mai ıntai, avem nevoie de un calculator de orbite, si aici optam pentru progra-

mul WINPP (gratuit) scris de profesorul G.B. Ermentrout de la Universitatea din

Pittsburgh [10, 11]. Alta varianta poate fi programul P4 [17], care necesita ınsa si

software comercial (MAPLE, etc.).

Apoi, trebuie instalat un translator de orbite, care sa exprime datele obtinute

ın urma integrarii numerice ıntr-un limbaj “ınteles” de imprimante si vizualizatoa-

re2. Aici, alegem limbajul PostScript [1], dezvoltat de Adobe Systems, inter-

pretorul Ghostscript [29] si vizualizatorul GSView [68], disponibile gratuit.

Pentru standardul limbajului PostScript, a se vedea [65].

In sfarsit, pentru a putea acompania graficele cu formule matematice, folosim

sistemul publicistic TeX Live [66, 43].

Odata instalate ın calculator3 aceste aplicatii, suntem gata sa calculam prima din-

tre cele patru curbe din Figura 1.1 — distinse prin sageti —. Incepem din cadranul

IV: x0 > 0, y0 < 0.

Intr-un fisier *.txt introducem textul urmator.

cadranul_iv.txt

1 dx/dt = -x

2 dy/dt = -2*y

3 @axes=2,xp=x,yp=y,x l o=-10,y l o=-10,xhi=10,yhi=10, t0=0, t r a n s=0,dtց

(cont.)=0.05, t o t a l=200,bounds=8.5

4 x(0)=5.0

5 y(0)=-7.0

6 done

Salvam apoi acest fisier drept cadranul_iv.ode si ıl lansam ın executie ın

cadrul programului WINPP. Mai precis, odata ıncarcat fisierul, apasam butonul Go

din fereastra (auxiliara) Initial Data, vezi Figura 1.2. Cu ajutorul butonului

Abort all putem opri procesarea atunci cand graficul curbei este deja “com-

pact”.

Dintre diversele metode de integrare numerica, am ales algoritmul RK4 (metoda

Runge-Kutta de ordinul al IV-lea, cf. [57, p. 79]), vezi Figura 1.3, folosind sub-

meniul Numerics/Int. Pars.

Apoi, utilizand butonul Write din fereastra Browser, exportam rezultatele

calculului ın fisierul (ASCII) num_cadranul_iv.dat.

num_cadranul_iv.dat

1 0 5 -7

2 In limba engleza, viewer.3 Utilizam sistemul de operare Windows XP SP 3, asupra caruia avem drept de administrator.

4 1 Planul fazelor

2 0.050000001 4.7561469 -6.3338623

3 0.1 4.5241871 -5.7311163

4 0.15000001 4.3035398 -5.185729

5 0.2 4.0936537 -4.6922421

6 0.25 3.8940039 -4.2457166

7 0.30000001 3.7040911 -3.8416836

8 0.34999999 3.5234406 -3.4760993

9 0.40000001 3.3516004 -3.1453049

10 0.44999999 3.1881409 -2.8459899

11 0.5 3.0326533 -2.5751584

12 0.55000001 2.8847492 -2.3300998

13 0.60000002 2.7440584 -2.1083617

14 0.64999998 2.610229 -1.9077249

15 0.69999999 2.4829266 -1.7261809

16 0.75 2.3618329 -1.5619133

17

18 [multe alte linii]

19

20 19.799999 1.2587507e-008 -4.4366189e-017

21 19.85 1.1973607e-008 -4.0144193e-017

22 19.9 1.1389647e-008 -3.6323972e-017

23 19.950001 1.0834168e-008 -3.286729e-017

24 20 1.0305779e-008 -2.9739558e-017

Fig. 1.2 WINPP si ferestrele sale ın Windows XP

Structura liniilor acestui fisier este data de sirul


t x(t) y(t),

unde parametrul t variaza, cu pasul 0.05, ıntre valorile 0 si 20.

In acest moment trebuie sa “traducem” valorile obtinute ıntr-un limbaj grafic

(*.ps, *.eps). Aici, putem opta fie pentru traducerile automate oferite de progra-

mul WINPP, respectiv de pachetul pst-plot [19, p. 313 si urm.], disponibil ın

cadrul TeX Live, fie pentru o prelucrare (aproape) manuala a datelor.

Alegem ultima varianta4. Prima etapa a transformarii datelor se refera la scalarea

lungimilor, respectiv la constructia unei linii poligonale (drum5) care sa uneasca

reprezentarile lor ca puncte ın sistemul de coordonate al utilizatorului.

Fig. 1.3 Optiunea RK4

Programul preparator.exe [55] modifica fisierul6 anterior:

num_cadranul_iv_preparat.ps

1 5 mare -7 mare lineto

2 4.7561469 mare -6.3338623 mare lineto

3 4.5241871 mare -5.7311163 mare lineto

4 4.3035398 mare -5.185729 mare lineto

5 4.0936537 mare -4.6922421 mare lineto

4 Un dezavantaj al automatizarii este dat de multitudinea de setari ale diverselor programe. . .5 In limba engleza, path.6 Resalvat, obligatoriu, drept *.txt. Adica, num_cadranul_iv.txt. In caz ca preferati altaextensie, trebuie modificata linia 57 din codul-sursa al preparatorului, vezi pagina 10.

6 1 Planul fazelor

6 3.8940039 mare -4.2457166 mare lineto

7

8 [multe alte linii: in total 401]

9

10 1.1973607e-008 mare -4.0144193e-017 mare lineto




Structura liniilor acestui (nou) fisier este data de sirul

x(t) mare y(t) mare lineto,

unde parametrul t variaza, cu pasul 0.05, ıntre valorile 0 si 20.

Fara a ne interesa de semnificatia procedurii (PostScript) mare [1, p. 29],

reluam operatiile anterioare pentru celelalte trei curbe7 din Figura 1.1. Dispunem

acum de fisierele ASCII:

num_cadranul_i_preparat.ps

num_cadranul_ii_preparat.ps

num_cadranul_iii_preparat.ps

num_cadranul_iv_preparat.ps

A doua etapa a transformarii presupune introducerea unor axe de coordonate, a

sagetilor care indica sensul de miscare pe curbe, respectiv comasarea informatiei

din cele patru fisiere *_prelucrat.ps si trecerea la ıncapsulare [19, p. 35].

Cum procedam? Copiem liniile 1 – 90 din codul-sursa al imaginii figura

_1_1.eps, listat ın continuare, ın fisierul (ASCII) poza.eps. Acestora le adau-

gam “centrarea” imaginii, adica instructiunea

100 100 translate

Mai departe, preluam prima linie din codul-sursa al fisierului num_cadra

nul_i_preparat.ps, adica

5 mare -7 mare lineto

pe care o modificam ın

5 mare -7 mare moveto

si o inseram ın codul din poza.eps.

Apoi, introducem tot codul-sursa al fisierului num_cadranul_i_prepara

t.ps, urmat de comanda stroke, vezi linia 106. Prima orbita a fost, asadar, cons-

truita.

In continuare, fie inseram alte orbite, fie introducem sagetile triunghi, ur-

mate de axele de coordonate sistemdeaxe. Sagetile trebuie pozitionate manual,

urmand indicatiile de la linia 45 din codul-sursa al imaginii figura_1_1.eps.

Incheiem cu comanda showpage. Fisierul poza.eps este gata.

7 Am apelat la date initiale simetrice doar pentru aspectul vizual.


figura_1_1.eps

1 %!PS-Adobe-3.0 EPSF-3.0

2 %%BoundingBox: 14 14 180 180

3 %%%Octavian, 24 sept. 2012

4

5 /mare 10 mul def

6

7 %--constructia triunghiului

8 /triunghidict 11 d i c t def

9 triunghidict begin

10 /matrice matrix def

11 end

12

13 /triunghi

14 triunghidict begin

15 /mijlocbazax exch def

16 /mijlocbazay exch def

17 /numaratorunghi exch def

18 /numitorunghi exch def

19 /lungimelatura exch def

20

21 /unghiul numaratorunghi numitorunghi atan def

22 /jumatatedelatura lungimelatura 2 div def

23 /radical 3 s q r t def

24 /inaltimea radical jumatatedelatura mul def

25

26 /matricesalvata matrice currentmatr ix def

27

28 mijlocbazax mijlocbazay t r a n s l a t e

29 unghiul r o t a t e

30

31 0 jumatatedelatura neg moveto

32 inaltimea neg 0 l i n e t o

33 0 jumatatedelatura l i n e t o

34 c l o s e p a t h

35 gsave

36 .6 s e t g r a y f i l l

37 g r e s t o r e

38 .8 s e t l i n e w i d t h

39 s t r o k e

40 matricesalvata s e t m a t r i x

41 end

42 def

43

44 %la apelul triunghiului folosim ordinea:

45 %lungimelatura numitorunghi numaratorunghi mijlocbazay ց

(cont.)mijlocbazax triunghi

46

47 %---constructia axelor

48 /axedict 5 d i c t def

49 axedict begin

50 /matriceaxe matrix def

51 end

52

8 1 Planul fazelor

53 /sistemdeaxe

54 axedict begin

55 /originex exch def

56 /originey exch def

57 /lungimeaxe exch def

58

59 /matriceaxesalvata matriceaxe currentmatr ix def

60

61 /Times-Roman f i n d f o n t 6 s c a l e f o n t s e t f o n t

62 .6 s e t g r a y


64

65 originex originey t r a n s l a t e

66 lungimeaxe neg 0 moveto

67 lungimeaxe 0 l i n e t o

68 0 lungimeaxe neg moveto

69 0 lungimeaxe l i n e t o

70 s t r o k e

71

72 lungimeaxe 2 add 0 moveto

73 (x) show

74 0 lungimeaxe 2 add moveto

75 (y) show

76

77 0 s e t g r a y

78 2 -6 moveto

79 ((0,0)) show

80

81 matriceaxesalvata s e t m a t r i x

82 end

83 def

84

85 %la apel folosim ordinea:

86 % lungimeaxe originey originex sistemdeaxe

87

88

89

90 %----introducerea datelor-----

91 100 100 t r a n s l a t e

92 5 mare -7 mare moveto

93

94 5 mare -7 mare l i n e t o

95 4.7561469 mare -6.3338623 mare l i n e t o

96 4.5241871 mare -5.7311163 mare l i n e t o

97 4.3035398 mare -5.185729 mare l i n e t o

98

99 [multe linii]

100

101 1.1973607e-008 mare -4.0144193e-017 mare l i n e t o




105

106 s t r o k e


107 5 mare 7 mare moveto

108

109 5 mare 7 mare l i n e t o

110 4.7561469 mare 6.3338623 mare l i n e t o

111 4.5241871 mare 5.7311163 mare l i n e t o

112 4.3035398 mare 5.185729 mare l i n e t o

113 4.0936537 mare 4.6922421 mare l i n e t o

114 3.8940039 mare 4.2457166 mare l i n e t o

115

116 [multe linii]

117

118 1.1389647e-008 mare 3.6323972e-017 mare l i n e t o



121

122 s t r o k e

123 -5 mare -7 mare moveto

124

125 -5 mare -7 mare l i n e t o

126 -4.7561469 mare -6.3338623 mare l i n e t o

127 -4.5241871 mare -5.7311163 mare l i n e t o

128 -4.3035398 mare -5.185729 mare l i n e t o

129

130 [multe linii]

131

132 -1.1973607e-008 mare -4.0144193e-017 mare l i n e t o




136

137 s t r o k e

138 -5 mare 7 mare moveto

139

140 -5 mare 7 mare l i n e t o

141 -4.7561469 mare 6.3338623 mare l i n e t o

142 -4.5241871 mare 5.7311163 mare l i n e t o

143 -4.3035398 mare 5.185729 mare l i n e t o

144

145 [multe linii]

146

147 -1.1389647e-008 mare 3.6323972e-017 mare l i n e t o



150

151 s t r o k e

152

153 newpath

154 8 0.4 1 -12 22.5 triunghi

155 newpath

156 8 0.8 1 13 21.5 triunghi

157 newpath

158 8 -0.4 1 -12 -22.5 triunghi

159 newpath

160 8 -0.8 1 13 -21.5 triunghi

10 1 Planul fazelor

161

162 newpath

163 40 0 0 sistemdeaxe

164

165 showpage

Pentru constructia ın PostScript a sagetilor am urmat indicatiile din [1, pg.

51–53, 143–145]. Aceasta carte poate fi descarcata gratuit si de pe site-ul profesoru-

lui B. Casselman [13].

1.2 Preparatorul de grafice

Codul-sursa al programului preparator.exe, compilat ın cadrul mediului

de dezvoltare Microsoft Visual Studio 2010 Ultimate [48], este listat ın continuare.

program.cpp

1 # i n c l u d e <conio.h>

2 # i n c l u d e <stdio.h>

3 # i n c l u d e <iostream>

4 # i n c l u d e <string>

5 # i n c l u d e <ctype.h>

6 # i n c l u d e <cstdlib>

7 # i n c l u d e <fstream>

8

9 i n t main()

10

11 /*------Ce face programul------*/

12 s t d::cout

13 << "\n+++++++++++++++++++++++++++++"

14 "\n++++PREPARATOR DE GRAFICE++++"

15 "\n+++++++++++++++++++++++++++++\n"

16 "\nProgramul prepara datele din "

17 "\nfisierul \"nume.txt\" pentru "

18 "\nvizualizarea cu \"gsview\"."

19 "\nAstfel, se insereaza instructiunile:"

20 "\n\t--\"mare\", adica"

21 "\n\t \"/mare 10 mul def\""

22 "\n\t in PostScript;"

23 "\n\t--\"lineto\"."

24 "\n\nTastati o Litera pentru a continua:"

25 << s t d::endl;

26 g e t c h();

27 system("cls");

28

29 /*------Disclaimer------*/

30 s t d::cout

31 << "\n++++++++++++++++++"

32 "\n++++DISCLAIMER++++"

33 "\n++++++++++++++++++\n"

34 "\nFisierul care trebuie manipulat:"

1.2 Preparatorul de grafice 11

35 "\n\t--va avea extensie [NUME.EXTENSIE];"

36 "\n\t--va fi corect formatat, adica"

37 "\n\t toate liniile sale sunt de forma:"

38 "\n\t ============================"

39 "\n\t timpul x y un_spatiu_liber"

40 "\n\t ============================"

41 "\n\t unde \"timpul\", \"x\" si \"y\""

42 "\n\t sunt numere reale din intervalul"

43 "\n\t [-50,50]."

44 "\nAltfel, rezultatul este ARBITRAR."

45 "\n\nTastati o Litera pentru a derula operatiuni:"

46 << s t d::endl;

47 g e t c h();

48 system("cls");

49

50 s t d::cout

51 << "\nIntroduceti numele fisierului"

52 " (fara extensie):"

53 << s t d::endl;

54 s t d:: s t r i n g nume,nume_preparat;

55 g e t l i n e( s t d::cin ,nume);

56 nume_preparat = nume + "_preparat.ps";

57 nume += ".txt";

58 s t d::cout

59 << "\nVa intereseaza fisierul ["

60 << nume

61 << "].\n"

62 "\nTastati: D ca sa continuam,\n"

63 " Altceva ca sa iesim "

64 "din program."

65 << s t d::endl;

66 i n t raspuns = s t d::c i n.g e t();

67 i f ( to lower(raspuns) != i n t(’d’))

68 e x i t(EXIT SUCCESS);

69

70

71 s t d:: i f s t r e a m fisier(nume. c s t r());

72 i f (!fisier)

73 s t d::cout

74 << "\nPar a fi probleme "

75 "cu fisierul mentionat..."

76 "\nTastati o Litera ca "

77 "sa iesim din program."

78 << s t d::endl;

79 g e t c h();

80 e x i t(EXIT FAILURE);

81

82

83 s t d::ofs tream fisier_preparat(

84 nume_preparat. c s t r()

85 );

86 i f (!fisier_preparat)

87 s t d::cout

88 << "\nPar a fi probleme "

12 1 Planul fazelor

89 "cu constructia fisierului..."

90 "\nTastati o Litera ca sa "

91 "iesim din program."

92 << s t d::endl;

93 g e t c h();

94 e x i t(EXIT FAILURE);

95

96

97 char simbolul_spatiu = ’ ’,

98 rulaj = ’a’;

99 i n t contorul_spatiu = 0,

100 numarul_de_randuri = 0;

101 /*---

102 Optiuni pentru "contorul_spatiu":

103 -- contorul = 0, ignoram caracterul

104 -- contorul = 1, adaugam caracterul

105 -- contorul = 2, trebuie adaugat sirul " mare "

106 -- contorul = 3, trebuie adaugat sirul " mare lineto"

107 ---*/

108

109 whi le(!fisier.e o f() || !fisier_preparat)

110 rulaj = fisier.g e t();

111 s w i t c h(rulaj)

112 case ’ ’: contorul_spatiu++;break;

113 case ’\r’:

114 case ’\n’: break;

115 d e f a u l t: i f (contorul_spatiu != 0)

116 fisier_preparat.put(rulaj);

117

118

119 i f (rulaj == simbolul_spatiu)

120 i f (contorul_spatiu == 2)//suntem intre x si y...

121 fisier_preparat.put(’ ’);

122 fisier_preparat.put(’m’);

123 fisier_preparat.put(’a’);

124 fisier_preparat.put(’r’);

125 fisier_preparat.put(’e’);


127

128 i f (contorul_spatiu == 3)//am trecut de y...


130 fisier_preparat.put(’m’);

131 fisier_preparat.put(’a’);

132 fisier_preparat.put(’r’);



135 fisier_preparat.put(’l’);

136 fisier_preparat.put(’i’);

137 fisier_preparat.put(’n’);


139 fisier_preparat.put(’t’);

140 fisier_preparat.put(’o’);

141 fisier_preparat.put(’\r’);

142 fisier_preparat.put(’\n’);

1.3 Obtinerea ilustratiei 13

143 contorul_spatiu = 0;

144 numarul_de_randuri++;

145

146

147

148

149 fisier_preparat. c l o s e();

150 fisier. c l o s e();

151

152 s t d::cout

153 << "\nAm procesat ["

154 << numarul_de_randuri

155 << "] randuri."

156 "\nTastati o Litera ca sa "

157 "incheiem programul."

158 << s t d::endl;

159 g e t c h();

160 re turn 0;

161

1.3 Obtinerea ilustratiei

A mai ramas sa inseram imaginea din Figura 1.1 ıntr-un fisier *.tex. In acest

scop, utilizam instructiunea \includegraphics din pachetul graphicx [19,

p. 28 si urm.].

introducerea_figurii.tex

1 \documentc lass[a4paper,12pt]article

2 \usepackageamsfonts,amssymb

3 \usepackagegraphicx,xcolor

4

5 \begindocument

6

7 \ t i t l e Ilustra\ctii\dot s

8

9 \author\ t e x t t t pictor Ion Tapi\ctescu

10

11 \date

12 \m a k e t i t l e

13 \ t h i s p a g e s t y l eempty

14

15 \begincenter

16 \ i n c l u d e g r a p h i c s[width=9cm,height=8cm]C:/Octavian/Munca_dec2013ց

(cont.)/Eseuri/SistemeDinamice_1_2012/Toate_Imaginile_nov2014/ց

(cont.)figura_1_1.eps

17 \endcenter

18

19 \enddocument

14 1 Planul fazelor

Pentru a procesa8 rapid fisierul anterior, folosim fisierul de comenzi prezentat

mai jos. Acesta poate fi salvat pe Desktop si lansat ın executie printr-un dublu

click.

procesarea_fisierului.bat

1 @echo o f f

2 s e t program1=c:\texlive\2011\bin\win32\latex.exe

3 s e t program2=c:\texlive\2011\bin\win32\dvips.exe

4 s e t program3=c:\texlive\2011\bin\win32\ps2pdf.exe

5 ::se modifica in functie de versiunea reader-ului

6 s e t program4="C:\program files\adobe\reader 10.0\reader\acrord32ց

(cont.).exe"

7

8 ::se introduce calea catre fisierul de procesat

9 s e t cale2=c:\octavian\de_pe_seagate\eseuri\ց

(cont.)sistemedinamice_1_2012

10 ::numele fisierului de procesat

11 s e t nume=introducerea_figurii

12

13 s e t fisier=%cale2%\%nume%.tex

14 s e t fisier2=%cale2%\%nume%.dvi

15 s e t fisier3=%cale2%\%nume%.ps

16 s e t fisier4=%cale2%\%nume%.pdf

17 chdir %cale2%

18

19 ::cele trei compilari LaTeX standard

20 %program1% %fisier%



23

24 ::de la dvi la ps

25 %program2% %fisier2%

26

27 ::de la ps la pdf


29 ::citirea pdf-ului


31 c a l l cmd

8 Presupunem ca a fost deja instalata ın calculator una dintre versiunile programului Adobe Rea-

der, aici X. In caz contrar, vezi [56].

Capitolul 2

Sisteme liniare si perturbatiile lor: schimbari decoordonate, forma canonica, varietati

Revenind la (1.2), ne intereseaza constructia planului fazelor pentru sistemele

diferentiale de forma

( .x.y

)

= A ·(

x

y

)

, t ∈ R, (2.1)

unde A ∈ M2(R).In acest scop, apelam la o suita de schimbari de variabile.

2.1 Utilizarea matricelor superior-triunghiulare

Fie matricea A ∈ Mn(R), unde n ≥ 2. Atunci, afirmam ca exista matricea in-

versabila T ∈ Mn(C) cu proprietatea ca

T−1AT =

λ1 b12 . . . . . . b1n

0 λ2 b23 . . . b2n

......

. . .. . .

...

0 0 . . . λn−1 bn−1n

0 . . . . . 0 λn

, (2.2)

unde (λi)1≤i≤n sunt valorile proprii ale matricei A — nu neaparat distincte — iar

b jk ∈ C pentru orice j < k ın 1, . . . ,n.

Pentru a proba acest fapt, urmam demonstratia din [6, p. 21 si urm.], bazata pe

inductie matematica ın raport cu n.

Luand n = 2, introducem matricele

A =

(

a b

c d

)

, T =

(

c1 t1c2 t2

)

, T−1 =

(

α βδ ε

)

15

16 2 Sisteme liniare si perturbatiile lor

astfel ıncat

A

(

c1

c2

)

= λ1 ·(

c1

c2

)

, T−1 ·T = I2 =

(

1 0

0 1

)

.

In particular, au loc relatiile

ac1 +bc2 = λ1c1,cc1 +dc2 = λ1c2,

αc1 +βc2 = 1,δc1 + εc2 = 0.

Folosind asociativatea produselor de matrice, deducem egalitatile

T−1AT = T−1(AT ) =

(

λ1(αc1 +βc2) . . .λ1(δc1 + εc2) . . .

)

=

(

λ1 b12

0 b22

)

, bi j ∈ C. (2.3)

Valorile proprii1 ale matricei A verifica ecuatia algebrica |A−λ I2| = 0, cf. [63,

p. 24]. Una dintre solutiile acestei ecuatii a fost deja introdusa ın discutie, si anume

λ1. Plecand de la identitatea

|A−λ I2|= |T−1(A−λ I2)T |= |T−1AT −λ I2|, λ ∈ C,

stabilim ca matricele T−1AT si A au aceleasi valori proprii.

Pe de alta parte, forma speciala a matricei (2.3) ne permite sa concluzionam ca

matricea T−1AT are valorile proprii λ1 si b22. Asadar, b22 = λ2 (a doua valoare

proprie a matricei A), ceea ce probeaza afirmatia anterioara ın cazul n = 2.

Presupunand afirmatia2 adevarata pentru n = k, abordam cazul n = k + 1. Mai

precis, fie c1 ∈ Ck+1 un vector propriu — coloana — asociat valorii proprii λ1 a

matricei A ∈ Mk+1(R). Acest vector poate fi completat cu k coloane a2, . . . ,ak+1

(k+1)–dimensionale pana la o baza a spatiului liniar complex3 Ck+1.

Matricea4 T ′ = (c1,a2, . . . ,ak+1) verifica relatia

(T ′)−1AT ′ =

λ1 b′12 . . . b′1k+1

0 b′22 . . . b′2k+1

. . . . . . . . . . . . . .0 b′k+12 . . . b′k+1k+1

=

λ1 b′12 . . . b′1k+1

0... Bk

0

,

1 In limba engleza, eigenvalues.2 Evident, ın forma sa generala, afirmatia este valabila pentru A ∈ Mn(C). La aceasta forma serefera presupunerea noastra.3 Acesta este complexificarea spatiului liniar real Rk+1, vezi [3, p. 144]. In particular, dacae1, . . . ,es este o baza a spatiului liniar Rs — peste corpul R —, atunci e1+ i ·0Rs , . . . ,es+ i ·0Rseste o baza a spatiului liniar Cs — peste corpul C —.4 Fiind matrice de schimbare de baza ın Ck+1, este, evident, nesingulara.

2.1 Utilizarea matricelor superior-triunghiulare 17

unde Bk ∈ Mk(C). Ca si anterior, matricea Bk are drept valori proprii numerele

(λi)2≤i≤k+1 — celelalte valori proprii ale matricei A —.

Tinand seama de ipoteza de inductie, obtinem matricea nesingulara Tk cu propri-

etatea ca

T−1k BkTk =

λ2 d12 . . . . d1k

0 λ3 d23 . . . d2k

......

. . .. . .

...

0 0 . . . λk dk−1k

0 . . . . . 0 λk+1

∈ Mk(C). (2.4)

Apoi, introducem matricea

Tk+1 =

1 0 . . . 0

0... Tk

0

, T−1k+1 =

1 0 . . . 0

0... T−1

k

0

pentru care avem, evident, detTk+1 = detTk 6= 0.

Fie T = T ′Tk+1. Atunci,

T−1AT = T−1k+1

(

(T ′)−1AT ′)Tk+1 = T−1k+1

λ1 b′12 . . . b′1k+1

0... Bk

0

Tk+1

=

λ1 . . . . . . .0... T−1

k BkTk

0

. (2.5)

Concluzia rezulta combinand (2.4), (2.5). Afirmatia a fost probata5.

Rezultatul din expresia (2.2) poate fi rafinat. Mai precis, afirmam ca fiind dat

ε > 0, elementele (bi j)1≤i< j≤n pot fi alese astfel ıncat |bi j| ≤ ε pentru orice i, j, [6,

p. 24], [3, p. 174]. Intr-adevar, sa notam cu T 0, respectiv b0i j marimile T , respectiv

bi j din asertiunea anterioara. Existenta lor este deja dovedita.

Pentru ε0 ∈ (0,1) dat, fie matricea

5 Daca, ın calculul anterior, am fi ortonormat baza c1,a2, . . . ,ak+1, atunci matricea T ar fi devenitunitara. In acest caz, formula (2.2) desemneaza descompunerea I. Schur a matricei A, cf. [28, p.79].


E =

ε0 0 . . . 0

0 ε20 0 . . . 0

. . . . . . . . .0 . . . 0 εn

0

, E−1 =

1ε0

0 . . . 0

0 1ε2

0

0 . . . 0

. . . . . . . . .0 . . . 0 1

εn0

.

Atunci, avem

(T 0E)−1A(T 0E) = E−1(

(T 0)−1AT 0)

E

= E−1

λ1ε0 b012ε2

0 . . . . . . . . . . b01nεn

0

0 λ2ε20 b0

23ε30 . . . b0

2nεn0

......

. . .. . .

...

0 0 . . . λn−1εn−10 b0

n−1nεn0

0 . . . . . . . . 0 λnεn0

=

λ1 b012ε0 . . . . . . . b0

1nεn−10

0 λ2 b023ε0 . . . b0

2nεn−20

......

. . .. . .

...

0 0 . . . λn−1 b0n−1nε0

0 . . . . . . . . 0 λn

.

Pentru a proba cea de-a doua asertiune este suficient sa alegem ε0 astfel ıncat

ε0 ·(

1+ max1≤i< j≤n

|b0i j|)

< ε , (2.6)

respectiv sa luam T = T 0 ·E si bi j = b0i jε

j−i0 pentru orice i, j.

2.2 Prelungirea functiilor continue. O abordare de tip E.

McShane-H. Whitney

Fie n ≥ 1 un numar ıntreg. Incepem discutia cu justificarea afirmatiei ca multi-

mea Rn este ınchisa ın raport cu topologia euclidiana din Cn.

Introducem norma euclidiana ‖z‖ = ‖z‖2 =

√

n

∑j=1

|z j|2, unde z =

z1

...

zn

∈ Cn.

Topologia din Cn este data de metrica d : Cn ×Cn → [0,+∞) cu formula

d(z,z′) = ‖z− z′‖, z, z′ ∈ Cn. (2.7)

Fie z ∈Cn\Rn cu elementele (intrarile) zk = ak + ibk, unde ak, bk ∈R si k ∈ 1,n.

Stim can

∑k=1

b2k > 0, adica cel putin unul dintre numerele bk este nenul. Multimea

2.2 Prelungirea functiilor continue. O abordare de tip E. McShane-H. Whitney 19

B =

bk

∣

∣bk 6= 0,k ∈ 1,n

contine cel putin un cel mai apropiat de 0 element, notat

b:

|b|= minu∈B

|u|.

L

(u,v)

x

y

O

Fa,b

Fig. 2.1 In interiorul multimii M

Atunci, V =

z′ ∈ Cn∣

∣

∣d(z,z′)< |b|2

⊂ Cn\Rn. Intr-adevar, luand z′ ∈ V , avem

estimarile

d(z,z′) =

√

n

∑k=1

(

a′k −ak

)2+

n

∑k=1

(

b′k −bk

)2 ≥∣

∣b′j −b j

∣

∣ , j ∈ 1,n.

Exista j0 ∈ 1,n astfel ıncat b j0 = b. Inegalitatea∣

∣

∣b′j0 −b

∣

∣

∣=∣

∣

∣b′j0 −b j0

∣

∣

∣<|b|2 ne con-

duce la

∣

∣b′j0∣

∣≥ |b|− |b|2

=|b|2

> 0,

de unde rezulta ca z′j0 ∈ C\R.

Afirmatia a fost probata.

In planul real — R2 —, introducem multimea

Da,b = (x,y)|x ≥ 0, 0 ≤ y ≤ ax+b , a, b ≥ 0,


si numim frontiera superioara a acesteia multimea Fa,b = (x,ax+b)|x ≥ 0.

Fie multimea A ⊆ [0,+∞) nevida si familia F = (Ba)a∈A de multimi nevide,

unde Ba ⊆ [0,+∞). Presupunem ca exista a0 ∈ A si b0 ∈ Ba0pentru care a2

0+b20 > 0.

Ne intereseaza FA,F , frontiera superioara a multimii [40, p. 839]

M =⋂

a∈A

(

⋂

b∈Ba

Da,b

)

,

adica multimea6 FA,F = (x,y) ∈ FrM |(x,y) 6∈ (Ox — vezi Figura 2.1 —.

Multimile Da,b fiind ınchise ın topologia euclidiana a planului, deducem ca

multimea M este ınchisa. De aici, FrM ⊆ M .

Eliminarea dreptelor paralele. Pentru a ∈ A, fie b(a) = inf Ba. Afirmam ca are

loc egalitatea

M =⋂

a∈A

Da,b(a).

Intr-adevar, daca (x,y) ∈ ⋂

b∈Ba

Da,b, atunci y− ax ≤ b pentru orice b ∈ Ba, deci

y−ax ≤ b(a). Invers, daca (x,y) ∈ Da,b(a), atunci y−ax ≤ b(a)≤ b pentru b ∈ Ba.


Caz extrem. Afirmam ca M = [Ox daca si numai daca inf A = 0 si infa∈A

b(a) = 0.

Observam ca [Ox ⊆ M . De asemeni, avem

0 ≤ (inf A) · x ≤ ax ≤ ax+b(a), a ∈ A, x ≥ 0,

respectiv

0 ≤ infa′∈A

b(a′)≤ ax+b(a), a ∈ A, x ≥ 0,

deci (x,(inf A) ·x),(

x, infa∈A

b(a)

)

∈M . Daca (inf A)2+

(

infa∈A

b(a)

)2

> 0, atunci cel

putin unul dintre punctele anterioare se va gasi ın M \[Ox. Afirmatia a fost probata.

Un exemplu este oferit de multimea A =

1m

∣

∣m ∈ N∗ cu Ba = 0 pentru orice

a ∈ A. Aici, FA,F = (0,0).

Submultimi ale lui M . Sa presupunem ca [Ox ( M . Atunci, afirmam ca exista

(x0,y0) ∈ M \[Ox astfel ıncat x0 > 0.

Intr-adevar, ın caz contrar am avea M \[Ox ⊂ [Oy, deci multimea M ar contine

elementul (0,y0) cu y0 > 0. Inegalitatile

y0

2≤ a ·0+b(a)≤ ax+b(a), x ≥ 0, a ∈ A,

6 Aici, FrM desemneaza frontiera multimii M .


arata ca banda orizontala B =

(x,y)∣

∣x ≥ 0, 0 < y ≤ y02

este inclusa ın M \[Ox,

ceea ce constituie, evident, o contrazicere a presupunerii initiale. Afirmatia a fost

probata.

Fie (u,v) ∈ M \[Ox cu u > 0. Afirmam ca banda orizontala BB = (x,y)|x ≥u, 0 ≤ y ≤ v — situata la dreapta liniei verticale L din Figura 2.1 — este inclusa ın

M .

Intr-adevar, daca (x,y) ∈ BB, avem

0 ≤ y ≤ v ≤ au+b(a)≤ ax+b(a),

de unde (x,y) ∈ Da,b(a) pentru orice a ∈ A. Afirmatia a fost probata. Mai departe,

afirmam ca triunghiul T =

(x,y)∣

∣0 ≤ x ≤ u, 0 ≤ y ≤ vux

— situat la stanga liniei

verticale L din Figura 2.1 — este inclus ın M .

Intr-adevar, daca (x,y) ∈ T , avem

0 ≤ y ≤ v

u· x ≤ au+b(a)

u· x = ax+b(a) · x

u≤ ax+b(a),

de unde (x,y) ∈ Da,b(a) pentru orice a ∈ A. Afirmatia a fost probata.

Frontiera superioara a multimii M . Fie (x,y) ∈ FA,F . Afirmam ca daca x > 0,

atunci

y = y(x) = infax+b(a)|a ∈ A . (2.8)

Intr-adevar, fie α = infax+b(a)|a ∈ A. Este evident ca (x,α) ∈ M . Sa pre-

supunem ca y < α . Pentru punctul (x,α) din planul real, construim triunghiul T si

banda orizontala BB. Atunci, punctul (x,y) se va gasi ın interiorul7 multimii T ∪BB,

deci ın interiorul lui M . Presupunerea a fost contrazisa. Mai departe, sa presupunem

ca y>α . Atunci, va exista a0 ∈ A pentru care y> a0x+b(a0), deci (x,y) 6∈Da0,b(a0).

In concluzie, punctul (x,y) se va gasi ın complementara multimii (ınchise) M , adica

ıi va fi punct exterior. Am ajuns, din nou, la o contradictie. Afirmatia a fost probata.

Deoarece bilele deschise ın topologia euclidiana a planului real sunt interioare

de cercuri si interiorul oricarui cerc cu centrul ın Oy va contine si puncte cu abscisa

negativa, concludem ca

(0,y)

∣

∣

∣

∣

0 ≤ y ≤ infa∈A

b(a)

⊆ FA,F . (2.9)

Concavitatea frontierei superioare FA,F . Fie 0< x1 < x2 si x3 = (1−λ )x1+λx2,

unde λ ∈ [0,1]. Atunci, — via (2.8) —

7 In topologia euclidiana.


ax3 +b(a) = (1−λ ) · [ax1 +b(a)]+λ · [ax2 +b(a)] (2.10)

= (1−λ ) · f (a)+λ ·g(a) (unde f (a), g(a)≥ 0)

≥ (1−λ ) · infa′∈A

f(

a′)

+λ · infa′′∈A

g(

a′′)

= (1−λ ) · y(x1)+λ · y(x2), a ∈ A,

ceea ce ne conduce la y(x3) ≥ (1−λ )y(x1)+λy(x2). Daca x1 = 0, atunci — vezi

(2.9) — inegalitatea (2.10) se rescrie ca

ax3 +b(a) = (1−λ ) · [a ·0+b(a)]+λ · [ax2 +b(a)]

≥ (1−λ ) · y+λ · [ax2 +b(a)]

(

y ∈[

0, infa′′′∈A

b(

a′′′)

])

= (1−λ ) · y+λ ·g(a)≥ (1−λ ) · y+λ · y(x2), a ∈ A.

Concavitatea a fost probata.

Fie A = a1,a2 si Bai= bi, unde ai, bi > 0, i ∈ 1,2. Atunci, M = Da1,b1

∩Da2,b2

— vezi cele doua linii oblice, de culoare neagra, din Figura 2.1 — iar ine-

galitatile anterioare sunt stricte daca x3 este abscisa punctului de intersectie al celor

doua linii negre.

Constructia unei functii majorante. Fie functia ω0 : [0,+∞)→ [0,+∞] astfel ıncat

(1) sa existe h, k ≥ 0 cu proprietatea ca

ω0(x)≤ h · x+ k, x ≥ 0,

(2) limxց0

ω0(x) = 0 si (3) ω0(0) = 0. Atunci, afirmam ca exista functia ω : [0,+∞)→[0,+∞], concava si monoton nedescrescatoare, cu urmatoarele proprietati: — [40,

p. 838, Lemma] —

(i) 0 ≤ ω0(x)≤ ω(x) pentru orice x ≥ 0;

(ii) limxց0

ω(x) = ω(0) = 0;

(iii) ω(λ · x)≤ λ ·ω(x) pentru orice x ≥ 0 si λ ≥ 1;

(iv) x2ω(x1)≥ x1ω(x2) pentru orice 0 ≤ x1 < x2;

(v) ω(x2)≥ x2 · ω(x2)−ω(x1)x2−x1

pentru orice 0 ≤ x1 < x2;

(vi) x2 · ω(x2)−ω(x1)x2−x1

≥ ω(x1 + x2)−ω(x1) pentru orice 0 ≤ x1 < x2;

(vii) ([40, p. 840]) ω(x1 + x2)≤ ω(x1)+ω(x2) pentru orice 0 ≤ x1 ≤ x2.

Ca sa justificam estimarile precedente, introducem familia D =(

Da,b

)

a∈A,b∈Ba

astfel ıncat

0 ≤ ω0(x)≤ ax+b, unde x ≥ 0.

Existenta numerelor h, k ne asigura ca familia D este nevida.

Definim, pe baza (2.8), marimea


ω(x) = infa∈A

ax+b(a), x ≥ 0, (2.11)

unde A constituie multimea tuturor pantelor de drepte x 7→ ax+b folosite la introdu-

cerea familiei D . Monotonia functiei ω este evidenta iar concavitatea sa a fost deja

stabilita.

Fie a ∈ A. Inegalitatile ω0(x)−ax ≤ b pentru orice b ∈ Ba implica ω0(x)−ax ≤b(a). De aici, deducem ca ω0(x) ≤ inf

a′∈Aa′x+b(a′) = ω(x) pentru orice x ≥ 0.

Am probat partea (i) a afirmatiei.

Pentru partea (ii), sa presupunem ca, ın plus, k = 0. Cum Dh,k ∈ D , avem b(h) =0, de unde 0 ≤ ω(x) ≤ hx + b(h) = hx pentru orice x ≥ 0. Evident, obtinem ca

limxց0

ω(x) = ω(0) = 0. Sa presupunem ca avem k > 0. Conform proprietatii (2) a

functiei ω0, fiind dat ε ∈ (0,k), exista δ (ε)> 0 astfel ıncat

0 ≤ ω0(x)≤ ε , 0 < x ≤ δ (ε).

Introducem marimea a(ε)≥ h+ k−εδ (ε) . Atunci,

0 ≤ ω0(x)≤ hx+ k ≤ a(ε)x+ ε , x ≥ δ (ε),

respectiv

0 ≤ ω0(x)≤ ε ≤ a(ε)x+ ε , 0 < x ≤ δ (ε).

Deoarece ω0(0) = 0, avem Da(ε),ε ∈ D [40, p. 839]. Astfel, 0 ≤ ω(x) ≤ a(ε)x+ εpentru orice x ≥ 0, de unde 0 ≤ limsup

xց0

ω(x)≤ limsupxց0

[a(ε)x+ ε ] = ε . Valabilitatea

partii (ii) a afirmatiei este probata daca trecem la limita, ε ց 0, ın inegalitatea ante-

rioara.

Partea a (iii)-a rezulta din inegalitatea

a · (λx)+b(a)≤ λ · [ax+b(a)] , a ∈ A.

Partea a (iv)-a se bazeaza pe relatiile

x2 [ax1 +b(a)] = ax1x2 +b(a)x2 ≥ ax1x2 +b(a)x1

= x1 [ax2 +b(a)] , a ∈ A.

Partea a (v)-a foloseste partea a (iv)-a, rescrisa drept

ω(x2)(x2 − x1)≥ x2 [ω(x2)−ω(x1)] .

Am ajuns la partea a (vi)-a. Se observa ca x2 = (1−λ ) · x1 +λ · (x1 + x2), unde

λ =x2 − x1

x2.

Functia ω fiind concava, deducem ca


ω(x2) ≥(

1− x2 − x1

x2

)

ω(x1)+x2 − x1

x2ω(x1 + x2)

=x2 − x1

x2· [ω(x1 + x2)−ω(x1)]+ω(x1).

Partea a (vii)-a — cazul x1 < x2 — rezulta din partile a (v)-a si a (vi)-a,

ω(x2)≥ x2ω(x2)−ω(x1)

x2 − x1≥ ω(x1 + x2)−ω(x1).

Cazul x1 = x2 este concluzia partii a (iii)-a pentru λ = 2.


Prelungirea functiilor scalare. Fie C ⊂ Cn bila ınchisa ın topologia euclidiana,

de raza R, centrata ın 0Cn si B = C ∩Rn. Evident, B este bila ınchisa, de raza R,

centrata ın 0Rn , a spatiului liniar normat (Rn,‖⋆‖2). Conform celor prezentate la

ınceputul sectiunii de fata, B este o submultime ınchisa a spatiului metric (C,d) —

vezi formula (2.7) —.

Fie f : B → R o functie continua — ın raport cu topologia euclidiana indusa de

Rn —. Atunci, f este marginita si uniform continua, adica exista marimea M > 0

cu proprietatea ca | f (x)| ≤ M pentru orice x ∈ B, respectiv functia ω0 : [0,+∞)→[0,+∞] cu formula [40, pg. 838, 839]

ω0(t) = sup

| f (x)− f (x′)|∣

∣x, x′ ∈ B, ‖x− x′‖2 ≤ t

, t ≥ 0.

Uniform continuitatea lui f ne conduce la proprietatile (2) si (3) ale functiei ω0.

Estimarile

0 ≤ ω0(t) ≤ supx∈B

| f (x)|+ supx′∈B

| f (x′)| ≤ 2M

= 0 · t +2M, t ≥ 0, (2.12)

implica valabilitatea proprietatii (1) pentru h = 0 si k = 2M.

Introducem functia Φ : C → R via formula8 — [40, p. 839, Theorem 2] —

Φ(z) = supx∈B

f (x)−ω(‖x− z‖) , z ∈C,

unde ω este functia majoranta construita anterior. Formula lui Φ tine seama de fap-

tul ca, via (2.11), (2.12), avem

0 ≤ ω(t)≤ 0 · t +b(0)≤ 0 · t +2M = 2M <+∞, t ≥ 0.

Afirmam ca Φ|B = f , respectiv

∣

∣Φ(z)−Φ(z′)∣

∣≤ ω(

‖z− z′‖)

, z, z′ ∈C.

8 Formula lui Φ se gaseste si ın ultima nota de subsol din [70, p. 63] dar acolo nu se precizeazanicio metoda de constructie pentru functia ω .


Intr-adevar, pentru x, z′ ∈ B, avem

f (x)− f (z′)≤ | f (x)− f (z′)| ≤ ω0(‖x− z′‖)≤ ω(‖x− z′‖),

respectiv

f (x)−ω(‖x− z′‖)≤ f (z′).

Astfel,

Φ(z′) = supx′∈B

f (x′)−ω(‖x′− z′‖)

≤ f (z′)<+∞,

respectiv

f (z′) = f (z′)−ω(0) = f (z′)−ω(‖z′− z′‖)≤ sup

x′′∈B

f (x′′)−ω(‖x′′− z′‖)

= Φ(z′).

Am probat prima parte a afirmatiei.

Apoi, pentru z, z′ ∈C oarecare, avem

f (x)−ω(‖x− z‖) =[

f (x)−ω(‖x− z′‖)]

+[

ω(‖x− z′‖)−ω(‖x− z‖)]

≤[

f (x)−ω(‖x− z′‖)]

(monotonia lui ω) +[

ω(‖x− z‖+‖z− z′‖)−ω(‖x− z‖)]

≤[

f (x)−ω(‖x− z′‖)]

(proprietatea (vii)) +[

ω(‖x− z‖)+ω(‖z− z′‖)−ω(‖x− z‖)]

=[

f (x)−ω(‖x− z′‖)]

+ω(‖z− z′‖), x ∈ B.

Trecand la supremum dupa x,

Φ(z)≤ Φ(z′)+ω(‖z− z′‖)≤+∞. (2.13)

Formula anterioara ne conduce la — z′ ∈ B fixat —

Φ(z)≤ f (z′)+ω(‖z− z′‖)<+∞, z ∈C.

Adica, functia Φ ia doar valori finite deoarece — 0Rn ∈ B —

Φ(z)≥ f (0Rn)−ω(‖z‖)>−∞.

Schimband ıntre ele elementele z, z′ ∈C ın (2.13), ajungem la

|Φ(z)−Φ(z′)| ≤ ω(‖z− z′‖).


Cea de-a doua parte a afirmatiei a fost probata. Justificarea afirmatiei s-a ıncheiat.

In particular, prelungirea Φ a functiei f este uniform continua si pastreaza modulul

de continuitate9 ω .

Comportamentul ın 0Rn . Sa presupunem ca functia g : B → R satisface, ın afara

continuitatii, urmatoarele doua proprietati:

g(0Rn) = 0, limx→0Rn

g(x)

‖x‖2= 0. (2.14)

Introducem functia f : B → R cu formula

f (x) =

g(x)‖x‖ , x 6= 0Rn ,

0, x = 0Rn .

Evident, f este continua si admite prelungirea McShane-Whitney Φ : C → R, unde

Φ|B = f . Mai mult, pe baza proprietatii (ii) a functiei majorante ω , deducem ca

pentru orice γ1 > 0 exista γ2 > 0 astfel ıncat 0 ≤ ω(t)≤ γ1 pentru orice 0 ≤ t ≤ γ2.

Au loc estimarile

| f (x)|= | f (0Rn)− f (x)| ≤ ω0(‖0Rn − x‖) = ω0(‖x‖)≤ ω(‖x‖), x ∈ B,

respectiv

|Φ(z)|= |Φ(z)−Φ(0Rn)| ≤ ω(‖z−0Rn‖) = ω(‖z‖), z ∈C. (2.15)

In particular, |g(x)| ≤ γ1‖x‖ pentru orice x ∈ B cu ‖x‖ ≤ γ2.

Afirmam ca functia G : C → R, cu formula

G(z) = ‖z‖ ·Φ(z), z ∈C,

prelungeste functia g cu pastrarea proprietatilor (2.14) si a formulei lui γ2 = γ2(γ1),

|G(z)| ≤ γ1‖z‖

pentru orice z ∈C cu ‖z‖ ≤ γ2. Justificarea afirmatiei decurge din estimarea (2.15).

Prelungirea (extensia) McShane-Whitney a functiilor este esentiala ın teoria sis-

temelor dinamice [64, p. 40].

2.3 Teorema Poincare-Liapunov-Perron

Putem ın acest moment prezenta un rezultat general de comportament asimp-

totic al solutiilor sistemelor diferentiale n–dimensionale. El se bazeaza pe cercetari

ıntreprinse de H. Poincare, A. Liapunov si O. Perron [9, p. 23]: Fie A ∈ Mn(R),

9 Vezi [40, p. 838].

2.3 Teorema Poincare-Liapunov-Perron 27

unde n ≥ 2, si functia continua f : Rn → Rn pentru care

f (0Rn) = 0Rn , limx→0Rn

‖ f (x)‖‖x‖ = 0. (2.16)

Atunci, (i) daca partile reale ale valorilor proprii ale matricei A sunt negative, exista

o vecinatate marginita V a originii 0Rn cu proprietatea ca toate solutiile x = x(t)ale sistemului diferential

.x= Ax+ f (x), (2.17)

pentru care x(0) = x0 ∈V sunt definite ın [0,+∞) si satisfac estimarea limt→+∞

x(t) =

0Rn . (ii) Daca cel putin una dintre valorile proprii are partea reala pozitiva, atunci

exista δ > 0 si t⋆ ≥ 0 cu proprietatea ca pentru orice ε > 0 exista x0 ∈Rn, cu ‖x0‖<ε , astfel ca sistemul (2.17) sa admita cel putin o solutie x = x(t), cu x(t⋆) = x0, care

fie nu este definita pe toata semiaxa [t⋆,+∞), fie satisface inegalitatea ‖x(t)‖ ≥ δpentru cel putin un t ≥ t⋆.

Pentru a proba afirmatiile anterioare, urmam demonstratia din [6, pg. 81–82, 89].

Fie γ = max1≤k≤n

(Reλk)< 0 — cazul (i) —. Tinand seama de (2.16), remarcam ca,

pentru orice γ1 > 0, exista γ2 > 0 astfel ıncat10 ‖ f (x)‖ ≤ γ1‖x‖ oricare ar fi x ∈ Rn

cu ‖x‖ ≤ γ2. Fixam numerele ε , γ1 > 0 suficient de mici ca sa avem inegalitatea11

−ω2 =γ2+ γ1‖T−1‖‖T‖+ ε < 0, (2.18)

unde ω > 0. Numarul ε estimeaza marimea cantitatilor bi j din (2.2), adica |bi j| ≤ ε .

De asemeni, via (2.6), cantitatile ‖T−1‖, ‖T‖ depind de ε0, deci si de ε .

Teorema lui Peano [2, p. 98] ne asigura ca, fiind dat x0 ∈Rn, exista o solutie x(t) a

sistemului (2.17) definita pe un mic interval I la dreapta lui 0 astfel ıncat x(0) = x0.

Facem schimbarea de variabile x = Ty, unde y = y(t), t ∈ I, care ne conduce la

sistemul diferential

.y = T−1ATy+T−1 f (Ty)

=

λ1 b12 . . . . . . b1n

0 λ2 b23 . . . b2n

......

. . .. . .

...

0 0 . . . λn−1 bn−1n

0 . . . . . 0 λn

y1

...

yn

+

F1(y)...

Fn(y)

, (2.19)

10 Fixand convenabil numarul R > 0 — introdus la pagina 24 — si trecand la componente, ınlo-cuim ın cele ce urmeaza functia f cu prelungirea sa McShane-Whitney, notata tot cu f . Aceastapastreaza formula lui γ2 = γ2(γ1).11 Vom utiliza norma operatoriala a matricei M ∈ Mm,n(C), ‖M‖ = sup

‖x‖≤1

‖Mx‖‖x‖ . Aceasta ındepli-

neste conditia ‖M ·N‖ ≤ ‖M‖ · ‖N‖ pentru orice M ∈ Mm,n(C), N ∈ Mn,p(C), unde m, n, p ≥ 1.


unde functiile Fi : Cn → C sunt continue. In plus, daca ‖y‖ ≤ Γ2 = γ2‖T‖ , atunci —

F =

F1

...

Fn

—

|Fi(y)| ≤ ‖F(y)‖≤ ‖T−1‖ · ‖ f (Ty)‖ ≤ ‖T−1‖ · γ1‖Ty‖≤ γ1‖T−1‖‖T‖ · ‖y‖= Γ1‖y‖, (2.20)

deci limy→0Cn

|Fi(y)|‖y‖ = 0, unde i ∈ 1,n.

Prin conjugare complexa12 — y =

y1

...

yn

—,

d

dt

(

|yk|2)

= yk ·dyk

dt+ yk ·

dyk

dt

= yk

(

λkyk + ∑j>k

bk jy j +Fk(y)

)

+ yk

(

λk · yk + ∑j>k

bk j · y j +Fk(y)

)

= 2(Reλk) |yk|2 + ∑j>k

2Re(

bk jy jyk

)

+2Re(

ykFk(y))

≤ 2(Reλk) |yk|2 +2 ∑j>k

|bk jy jyk|+2|ykFk(y)|

≤ 2γ |yk|2 +2ε |yk|√

2n

∑j=k+1

|y j|2 +2|yk| · |Fk(y)|

≤ 2γ |yk|2 +2√

2ε |yk|√

n

∑j=1

|y j|2 +2|yk| · ‖F(y)‖

= 2γ |yk|2 +2√

2ε |yk| · ‖y‖+2|yk| · ‖F(y)‖,

unde k ∈ 1,n. De aici, prin sumare, ajungem la

d

dt

(

‖y‖2)

≤ 2γ‖y‖2 +2√

2ε ·√

2n

∑k=1

|yk|2 · ‖y‖+2

√

2n

∑k=1

|yk|2 · ‖F(y)‖

≤ 4( γ

2‖y‖+ ε‖y‖+‖F(y)‖

)

‖y‖. (2.21)

12 Reamintesc inegalitatea

(

n

∑s=1

as

)2

≤ 2n

∑s=1

a2s , unde as ∈ [0,+∞), s ∈ 1,n.


Fie acum y0 ∈ Cn, cu ‖y0‖ < Γ2. Data fiind continuitatea solutiei y = y(t) care

“porneste” din y0 = T−1x0, remarcam ca aceasta ındeplineste conditia ‖y(t)‖ < Γ2

pe un mic interval — notat tot I — la dreapta lui 0. Via (2.18), (2.21), (2.20), avem

d

dt

(

‖y(t)‖2)

≤ 4( γ

2+ ε +Γ1

)

· ‖y(t)‖2

= −4ω2 · ‖y(t)‖2, t ∈ I,

respectiv, prin integrare,

‖y(t)‖ ≤ ‖y0‖e−2ω2t ≤ ‖y0‖, t ∈ I. (2.22)

Teorema de extensie (explozie ın timp finit) [25, p. 14, Corollary 3.2] impli-

ca, data fiind marginirea solutiei y din (2.22), faptul ca aceasta exista ın [0,+∞). In

particular, daca x0 ∈Rn ındeplineste restrictia ‖x0‖≤Γ3 =γ2

‖T−1‖‖T‖ =Γ2

‖T−1‖ , atunci

solutia x = Ty a sistemului (2.17) exista ın [0,+∞).Mai mult, daca trecem la limita ın prima dintre inegalitatile (2.22), obtinem ca

limt→+∞

y(t) = limt→+∞

x(t) = 0. Asadar, vecinatatea V poate fi bila deschisa (a spatiului

liniar normat Rn) centrata ın 0Rn si de raza Γ3.

Facem urmatoarea observatie: esenta demonstratiei anterioare este analiza com-

portamentului asimptotic al solutiilor sistemului diferential (2.19) care au drept date

initiale vectori complecsi y0 alesi convenabil. Revenirea la sistemul initial, cu valori

reale, este imediata. Aceasta situatie nu va mai aparea ın cele ce urmeaza.

Pentru partea (ii) a demonstratiei, sa presupunem ca Reλ1 ≥ Reλ2 ≥ ·· · ≥Reλk > 0 ≥ Reλk+1 ≥ ·· · ≥ Reλn.

Inegalitatea (2.18) se rescrie ca

ω2 = γ −2n(

ε√

2+ γ1‖T−1‖‖T‖)

> 0, (2.23)

unde ω > 0 si γ = min1≤s≤k

Reλs = Reλk > 0.

Pe baza lui (2.23), introducem numarul c cu proprietatea ca

n(

ε√

2+ γ1‖T−1‖‖T‖)

=γ −ω2

2< c <

γ +ω2

2. (2.24)

Stabilim, mai ıntai, valabilitatea concluziei pentru sistemul diferential (2.19). Ca

si anterior, pentru orice s ∈ 1,n,


d

dt

(

|ys|2)

= 2(Reλs) |ys|2 + ∑j>s

2Re (bs jy jys)+2Re(

ysFs(y))

≥ 2(Reλs) |ys|2 − ∑j>s

2|bs j| |y j| |ys|−2|ys| |Fs(y)|

≥ 2(Reλs) |ys|2 −2ε‖y‖ · ∑j>s

|y j|−2‖y‖‖F(y)‖

≥ 2(Reλs) |ys|2 −2ε‖y‖ ·√

2‖y‖−2‖y‖‖F(y)‖,

respectiv

d

dt

(

|ys|2)

≤ 2(Reλs) |ys|2 +2ε‖y‖ ·√

2‖y‖+2‖y‖‖F(y)‖,

de unde13

d

dt

(

|y1|2 + · · ·+ |yk|2 −|yk+1|2 −·· ·− |yn|2)

≥ 2k

∑j=1

(Reλ j)|y j|2 −2k(

ε√

2+ γ1‖T−1‖‖T‖)

‖y‖2

−[

2n

∑j=k+1

(Reλ j)|y j|2 +2(n− k)(

ε√

2+ γ1‖T−1‖‖T‖)

‖y‖2

]

≥ 2γk

∑j=1

|y j|2 −2n(

ε√

2+ γ1‖T−1‖‖T‖)

‖y‖2

= 2γk

∑j=1

|y j|2 − (γ −ω2)‖y‖2

= 2

[

γ +ω2

2

k

∑j=1

|y j|2 −γ −ω2

2

n

∑j=k+1

|y j|2]

≥ 2c ·(

|y1|2 + · · ·+ |yk|2 −|yk+1|2 −·· ·− |yn|2)

.

Am folosit estimarea (2.24).

Asadar, pentru y0 ∈ Cn cu ‖y0‖ < Γ2, data fiind continuitatea solutiei y = y(t)care “porneste” din y0 = T−1x0, aceasta va ındeplini conditia ‖y(t)‖< Γ2 pe un mic

interval I situat la dreapta lui 0. Aici au loc inegalitatile

.Y ≥ 2cY,

respectiv — pentru t0 = 0 —

Y (t)≥ Y (t0)e2c(t−t0), (2.25)

13 Reamintesc ca Reλ j ≤ 0 pentru orice j ∈ k+1,n.


unde Y =k

∑j=1

|y j|2 −n

∑j=k+1

|y j|2.

Fiind date ε ∈ (0,Γ2) si y0 ∈ Cn cu ‖y0‖< ε , solutia y = y(t) a sistemului (2.19)

fie va exploda ın timp finit fie va satisface (2.25) pe fiecare subinterval al lui [0,+∞)ın care ‖y(t)‖<Γ2. Aceasta pentru ca nimic nu ımpiedica — la acest nivel de gene-

ralitate — solutia (definita ın [0,+∞)) y a sistemului (2.19) sa paraseasca, respectiv

sa revina ın bila deschisa centrata ın 0Cn de raza Γ2. Pentru a proba (2.25) pe subin-

tervale care nu ıncep ın 0, folosim invarianta la translatii (temporale) a sistemelor

diferentiale autonome [2, p. 122].

Daca pe [t⋆, t1), unde 0 ≤ t0 = t⋆ ≤ t1 ≤ +∞, are loc (2.25) si impunem ca Y0 =Y (t⋆)> 0, atunci

‖y(t)‖ ≥√

Y (t)≥√

Y0ec(t−t⋆), t ∈ [t⋆, t1). (2.26)

Sa presupunem ca, prin absurd, pentru orice δ > 0 si t⋆ ≥ 0 exista ε ∈ (0,Γ2)astfel ıncat daca ‖y(t⋆)‖ < ε atunci ‖y(t)‖ < δ ın [t⋆,+∞). Insa, luand t1 = +∞ ın

(2.26) si trecand la limita, ajungem la o contradictie: limt→+∞

‖y(t)‖=+∞.

Cum ıi aplicam discutia anterioara sistemului diferential (2.17)? Mai precis, cum

construim vectorul x(t⋆) ∈ Rn astfel ıncat vectorul y(t⋆) = T−1x(t⋆) ∈ Cn sa satis-

faca estimarea Y (t⋆)> 0?

Urmatorul exemplu arata ca trebuie impuse anumite restrictii suplimentare ma-

tricei T a schimbarii de variabile. Fie matricea unitara T , unde

T =1√2

(

1 −1

i i

)

, T−1 =(

T)t=

1√2

(

1 −i

−1 −i

)

.

Atunci, pentru orice x(t⋆) =

(

x1

x2

)

∈ R2, avem

y(t⋆) =

(

y1

y2

)

= T−1

(

x1

x2

)

=1√2

(

x1 − i · x2

−x1 − i · x2

)

,

respectiv

Y (t⋆) = |y1|2 −|y2|2 =1

2

[(

x21 + x2

2

)

−(

x21 + x2

2

)]

= 0. (2.27)

Asadar, matricea T nu poate fi doar o matrice nesingulara cu elemente complexe!

Renumerotam valorile proprii ale matricei A astfel ıncat sa putem introduce ba-

za S a spatiului liniar Rn urmand procedura si pastrand notatiile din [50, p. 85].

Astfel,


S

=

f 1, . . . , f t ,xt+1,yt+1,xt+3,yt+3 . . . ,xt+2q+1,yt+2q+1

=

g1, . . . ,gt ,gt+1,gt+2, . . . ,gt+2q+1,gt+2q+2

=⋃

λ=

valoare proprie reala

a matricei A

⋃

g∈G (λ )g

(G (λ ) = G (λ ,0))

∪⋃

λ=

valoare proprie nereala

a matricei A

⋃

g∈G (λ ,λ)

g

,(

G

(

λ ,λ)

= G (Reλ , Imλ ))

unde vectorii g j = f j sunt eigenvectori generalizati corespunzand valorilor proprii14

reale λ j ale operatorului15 TC — cu matricea de reprezentare T = A ın baza cano-

nica BC a spatiului Rn, vezi [50, p. 4] — pentru 1 ≤ j ≤ t iar vectorii gt+2 j+1 +i · gt+2 j+2 = xt+2 j+1 + i · yt+2 j+1 sunt eigenvectori generalizati corespunzand va-

lorilor proprii λt+2 j+1 ∈ C\R ale operatorului TC pentru 0 ≤ j ≤ q. De asemeni,

λt+2 j+2 = λt+2 j+1, j ∈ 0,q. Aici, n = t ≥ 2 daca toate valorile proprii ale matricei

A sunt reale, respectiv n = t +2q+2 daca exista eigenvalori complexe nereale.

Are loc descompunerea ın subspatii liniare — [27, p. 187] —

Rn =

(

t⊕

r=1

R f r

)

⊕[

q⊕

s=0

(Rxt+2s+1 ⊕Ryt+2s+1)

]

=⊕

λ=valoare proprie a matricei A

SpanR g |g ∈ G (Reλ , Imλ )

=

[

⊕

Reλ>0

SpanR g |g ∈ G (Reλ , Imλ )]

⊕[

⊕

Reλ≤0

SpanR g |g ∈ G (Reλ , Imλ )]

= H1 ⊕H2.

Stim ca, pentru orice valoare proprie λ reala, spatiul liniar real

Vλ =Vλ ,0 =⋃

s≥0

Ker (TR−λ In)s = SpanR g |g ∈ G (λ ,0)

14 Numarate ımpreuna cu multiplicitatile lor algebrice.15 Pentru a-l distinge de matricea T , utilizata pana acum ın demonstratie, vom nota operatorul liniarT : Rn → Rn avand complexificatul TC, vezi [50, p. 17], cu expresia TR.


este invariant la actiunea operatorului liniar TR, adica TR(Vλ )⊆Vλ , respectiv, pen-

tru orice valoare proprie λ complexa nereala, spatiul liniar real

Vλ ,λ = VReλ , Imλ =

[

⋃

s≥0

Ker (TC−λ In)s

]

⊕[

⋃

s≥0

Ker(

TC−λ In

)s

]

∩Rn

= SpanR g |g ∈ G (Reλ , Imλ )

este invariant la actiunea operatorului liniar TR. Deci, operatorul liniar TR, repre-

zentat de matricea A ın baza BC , invariaza fiecare din subspatiile H1,2.

Fie SH1=

⋃

Reλ>0

G (Reλ , Imλ ) si SH2=

⋃

Reλ≤0

G (Reλ , Imλ ) submultimi ale

setului S care constituie baze ın spatiile liniare H1,2. Exista matricea nesingulara

T ∈ Mn(R) astfel ıncat

T−1AT =

(

B Oh1,h2

Oh1,h2C

)

, B ∈ Mh1(R),C ∈ Mh2

(R),

unde h j = dimRH j, j ∈ 1,2 si h1+h2 = n. Aici, B si C sunt matricele de reprezen-

tare ın bazele SH1, respectiv SH2

ale restrictiilor operatorului liniar TR la subspatiile

H1,2.

Introducem numerele 0 < c2 < 2c < c1 astfel ıncat c1 sa fie mai mic decat ori-

care dintre partile reale16 pozitive ale valorilor proprii ale matricei A si — Γ1 =γ1‖T−1‖‖T‖ —

Γ1 < minc1 −2c,2c− c2 .

Conform [50, p. 87, ecuatia (4.16)], avem

BSH1(TR(u),u)≥ c1 ·BSH1

(u,u), u ∈ H1,

unde BSH1desemneaza produsul scalar al spatiului liniar H1 determinat de baza

SH1, respectiv — via [50, p. 88, ecuatia (4.18)] —

BSH2(TR(u),u)≤ c2 ·BSH2

(u,u), u ∈ H2.

Sistemul diferential (2.19) devine

.y =

(

B Oh1,h2

Oh1,h2C

)

y1

...

yh1

yh1+1

...

yn

+

F1(y)...

Fn(y)

,

16 Evident, daca λ ∈ R, avem Reλ = λ .


unde functiile Fi : Rn → R sunt continue.

Fie Y = 12

(

h1

∑j=1

y2j −

n

∑j=h1+1

y2j

)

. Atunci,

.Y =

(

y1 · · · yh1

)

.y1

...

.yh1

−(

yh1+1 · · · yn

)

.yh1+1

...

.yn

=(

y1 · · · yh1

)

B

y1

...

yh1

−(

yh1+1 · · · yn

)

C

yh1+1

...

yn

+ r(y),

unde

r(y) =(

y1 · · · yh1

)

F1(y)...

Fh1(y)

−(

yh1+1 · · · yn

)

Fh1+1(y)...

Fn(y)

si

|r(y)| ≤∣

∣

∣

∣

∣

h1

∑j=1

y jFj(y)

∣

∣

∣

∣

∣

+

∣

∣

∣

∣

∣

n

∑j=h1+1

y jFj(y)

∣

∣

∣

∣

∣

≤n

∑j=1

|y jFj(y)|

≤ ‖y‖2 · ‖F(y)‖2 ≤ Γ1‖y‖22.

Au loc relatiile — vezi si [27, p. 190] —

.Y = BSH1

(TR(u),u)−BSH2(TR(v),v)+ r(y)

≥ c1 ·BSH1(u,u)− c2 ·BSH2

(v,v)−|r(y)|

≥ c1

h1

∑j=1

y2j − c2

h2

∑j=h1+1

y2j −Γ1

(

h1

∑j=1

y2j +

h2

∑j=h1+1

y2j

)

= (c1 −Γ1)h1

∑j=1

y2j − (c2 +Γ1)

h2

∑j=h1+1

y2j

≥ (2c) ·Y,

unde


u =

xu1(t)...

xun(t)

=(

i1 · · · in)

T

y1(t)...

yh1(t)

0...

0

∈ H1

si

v =

xv1(t)...

xvn(t)

=(

i1 · · · in)

T

0...

0

yh1+1(t)...

yn(t)

∈ H2.

Aici,

x(t) =

x1(t)...

xn(t)

= u+ v, t ∈ I.

Regasim estimarea (2.25), ceea ce ne va conduce la (2.26). Nemaiexistand posi-

bilitatea unei restrictii de tipul (2.27), deducem ca

‖T−1‖ · ‖x(t)‖ ≥ ‖y(t)‖ ≥√

Y (t)≥√

Y0ec(t−t⋆), t ∈ [t⋆, t1). (2.28)

Sa presupunem ca, prin absurd, pentru orice δ > 0 si t⋆ ≥ 0 exista ε ∈ (0,Γ3),

unde Γ3 =Γ2

‖T−1‖ , astfel ıncat daca ‖x(t⋆)‖ < ε atunci ‖x(t)‖ < δ ın [t⋆,+∞). Insa,

luand t1 =+∞ ın (2.28) si trecand la limita, ajungem la o contradictie: limt→+∞

‖x(t)‖=+∞.

Demonstratia teoremei Poincare-Liapunov-Perron se ıncheie.

Am vazut deja, la sistemul diferential (1.1), comportamentul descris ın partea

(i) a teoremei de la pagina 26. “Atractia” exercitata de 0R2 asupra “particulelor”–

solutii17 este ilustrata ın Figura 1.1. Un exemplu celebru (R. Vinograd, 1957, vezi

[14, p. 80]), arata cat de diferite pot fi curbele din planul fazelor ın cazul sistemelor

neliniare. Mai precis, fiind dat sistemul

( .x.y

)

=1

(x2 + y2) [1+(x2 + y2)2]

(

x2(y− x)+ y5

y2(y−2x)

)

, (2.29)

17 Pentru analogia miscare mecanica – evolutie ın planul fazelor, vezi [3, p. 98].


solutia care pleaca din (x0,y0), unde x0 =−5.5, y0 = 0.5, produce curba din Figura

2.2.

x

y

(0,0)

Fig. 2.2 Exemplul lui Vinograd

Folosim scriptul WINPP de mai jos.

vinograd.ode

1 dx/dt = ((x*x)*(y-x)+y*y*y*y*y)/((x*x+y*y)*(1+(x*x+y*y)*(x*x+y*yց

(cont.))))

2 dy/dt = ((y*y)*(y-2*x))/((x*x+y*y)*(1+(x*x+y*y)*(x*x+y*y)))


(cont.)=1, t o t a l=80000,bounds=10000

4 x(0)=-5.5

5 y(0)=0.5

6 done

Chiar daca ın cazul de fata este o chestiune de gust — putem scrie fie yˆ5 fie

y*y*y*y*y —, se merita reamintit faptul ca organizarea expresiei de iterat/inte-

grat poate influenta viteza de lucru/consumul de spatiu ın memorie, cf. discutiilor

din [26].

2.4 Reparametrizarea traiectoriilor: modificarea

2.4 Reparametrizarea traiectoriilor: modificarea timpului t 37

timpului t

Plecam de la urmatorul calcul (formal). Fiind data ecuatia diferentiala

..y= f (y), (2.30)

unde f : R → R este continua, consideram functia F = F(y) ∈ ∫ f (y)dy — o an-

tiderivata a lui f —.

Ecuatia devine

[

( .y)2]·

= 2..y.y

= 2 f (y).y= [2F(y)]

·,

de unde, prin integrare, ajungem la

.y=±

√

c+2F(y), c ∈ R. (2.31)

Fixand semnul din fata membrului drept — functiile continue au proprietatea

valorii intermediare (G. Darboux) —, din expresia (2.31) obtinem o ecuatie cu vari-

abile separabile [2, p. 69]. Daca alegem convenabil primitiva F — adica, luam c= 0

—, solutia ecuatiei diferentiale (2.30) se scrie ca

t =±∫ y(t) du

√

2F(u). (2.32)

Acest calcul, frecvent ın cursurile elementare de ecuatii diferentiale si fizica

matematica, ne obisnuieste cu ideea ca variabila t din ecuatia (2.30) poate fi imagi-

nata ca o functie de solutia ecuatiei.

Formalizam aici tipul de abordare anterior — t = t(y) —, urmand prezentarea

din [14, p. 16 si urm.]. Astfel, introducem ecuatia diferentiala

dx

ds= g(x) f (x), (2.33)

unde functiile g : R→ (0,+∞) si f : R→ R sunt netede (cel putin C1). Fiind local

Lipschitziene, asemenea functii fac ca problema Cauchy asociata ecuatiei (2.33) sa

aiba solutie unica [2, pg. 91, 95].

Justificarea formulei (2.32) este data de urmatoarea afirmatie. Daca fixam t0, x0 ∈R si α = α(t) este solutia ecuatiei

.x= f (x), (2.34)

cu α(t0) = x0, definita pe un mic interval I centrat ın t0, atunci: (i) functia X : I →R

cu formula


X(t) =∫ t

t0

du

g(α(u)), t ∈ I,

este injectiva; (ii) daca Y : X(I)→ I este inversa aplicatiei X, functia β : X(I)→R

cu formula β (s) = α(Y (s)) verifica ecuatia (2.33) si conditia β (0) = x0.

Intr-adevar, pentru partea (i), observam ca.X (t) = 1

g(α(t)) > 0, deci aplicatia t 7→X(t) este crescatoare. La (ii), expresia functiei β este echivalenta cu β (X(t))=α(t).De unde, aplicand regula de derivare a functiilor compuse, deducem ca

dβds

∣

∣

∣

∣

s=X(t)

· dX

dt(t) =

.α (t) = f (α(t)),

respectiv

dβds

(X(t)) = g(α(t)) · f (α(t)) = g(β (X(t))) f (β (X(t))),

adica (2.33). Afirmatia a fost probata.

Din demonstratia Afirmatiei reiese faptul ca pozitivitatea functiei g nu este nece-

sara. S-a folosit doar pozitivitatea aplicatiei t 7→ (gα)(t), unde t ∈ I.

Ca exemplu, fie α(t) = et solutia problemei Cauchy

.x= x, t ∈ I = (− ln2, ln2),x(0) = 1

si functia X : I → R cu formula

X(t) =∫ t

0

du

2− eu=

1

2

[

t − ln(

2− et)]

, t ∈ I.

Evident, X(I) =(

− ln52 ,+∞

)

iar

β = β (s) =2e2s

e2s +1

va constitui o solutie cu existenta pana la +∞ a ecuatiei dxds

= (2− x)x.

Ceea ce face rezultatul precedent este sa reparametrizeze18 curbele integrale

ale ecuatiei (2.34): practic, particulele-solutii ale ecuatiilor (2.34), (2.33) descriu

aceleasi curbe, ınsa evolueaza cu viteze [2, p. 6], [3, p. 18], diferite.

Putem, evident, generaliza tehnica reparametrizarii, impunand ca x = x : I → Rn

si f = f : Rn → Rn, unde n ≥ 1. Un exemplu utilizat ın geometria diferentiala [36,

p. 180] priveste sistemul

.x= g(x)f(x) =

x√

1+‖x‖2,

18 Insist asupra faptului ca reparametrizarea se realizeaza per curba — depinde de datele Cauchy— si nu per familie de curbe [61, pg. 30, 31].

2.5 Modificarea coordonatelor spatiale 39

vezi [14, p. 19].

2.5 Modificarea coordonatelor spatiale

In sectiunea anterioara am investigat ideea de a schimba modul de masurare a

timpului “matematic” [2, p. 31] t, ceea ce ne va permite sa parcurgem o curba simpla

regulara [45, p. 1] ıntr-o infinitate de momente, indiferent de lungimea efectiva a

acesteia.

Alta idee priveste distorsionarea spatiului “fizic” (rotatii, scalari pe directii da-

te) ın care se manifesta sistemul dinamic, vezi [3, p. 159]. Mai precis, fie matricea

nesingulara C = (ci j)i, j care expandeaza cu factorii 2, 3 directiile de coordonate

(carteziene) ale spatiului fizic19 (SF):

(

y1

y2

)

=C

(

x1

x2

)

, C =

(

2 0

0 3

)

. (2.35)

Consideram sistemul diferential

( .x1.x2

)

= A

(

x1

x2

)

, A =

(

0 −2

−1 0

)

. (2.36)

Transformarea (2.35) ne conduce la sistemul

( .y1.y2

)

= B

(

y1

y2

)

, B =CAC−1 =

(

0 − 43

− 32 0

)

. (2.37)

In Figurile 2.3, 2.4 sunt reprezentate traiectoriile20 sistemelor diferentiale de ma-

trice A, respectiv B care pleaca din

(

x1(0)x2(0)

)

=

(

1

1

)

,

(

y1(0)y2(0)

)

=C

(

1

1

)

=

(

2

3

)

.

Astfel de distorsiuni nu influenteaza alura generala a traiectoriilor ın planul fa-

zelor. Intr-adevar, daca D ⊂ R2 este un domeniu21 si realizam, ın locul lui (2.35),

schimbarea de variabile generala — neteda —

(

y1

y2

)

= F(x1,x2) =

(

f (x1,x2)g(x1,x2)

)

,

unde

D( f ,g)

D(x1,x2)(x1,x2) =

∣

∣

∣

∣

∣

∂ f∂x1

∂g∂x1

∂ f∂x2

∂g∂x2

∣

∣

∣

∣

∣

(x1,x2) 6= 0

19 Si pastreaza orientarea SF [42, p. 9] daca detC > 0 [52, p. 25].20 Pentru scripturile WINPP: t0=0,trans=0,dt=0.05,total=20,bounds=8.521 Adica, o multime deschisa si simplu conexa.


x1

x2

(0,0)

Fig. 2.3 Sistemul de matrice A

pentru orice (x1,x2) ∈ D , atunci curbura cu semn22 ın punctul curent M = M(x(t),y(t)) a traiectoriilor sistemului (2.36), data de expresia [45, p. 23]

ks =

.x1 (t)

..x2 (t)−

..x1 (t)

.x2 (t)

[.x1 (t)]2 +[

.x2 (t)]2

32

,

devine

Ks =

.y1 (t)

..y2 (t)−

..y1 (t)

.y2 (t)

[.y1 (t)]

2 +[.y2 (t)]

2 3

2

=A(x1,

.x1,

..x1,x2,

.x2,

..x2)(t)

[

B(x1,.x1,x2,

.x2)(t)

] 32

.

Aici,

22 In limba engleza, signed curvature.

2.5 Modificarea coordonatelor spatiale 41

y1

y2

(0,0)

Fig. 2.4 Sistemul de matrice B

A(x1,.x1,

..x1,x2,

.x2,

..x2)

= (.x1

..x2 −

..x1

.x2)

(

∂ f

∂x1

∂g

∂x2− ∂ f

∂x2

∂g

∂x1

)

(x1,x2)

+(.x1)

3

(

∂ f

∂x1

∂ 2g

∂x21

− ∂g

∂x1

∂ 2 f

∂x21

)

(x1,x2)

+(.x1)

2 .x2

(

2∂ f

∂x1

∂ 2g

∂x1∂x2+

∂ f

∂x2

∂ 2g

∂x21

−2∂g

∂x1

∂ 2 f

∂x1∂x2− ∂g

∂x2

∂ 2 f

∂x21

)

(x1,x2)

+.x1 (

.x2)

2

(

∂ f

∂x1

∂ 2g

∂x22

+2∂ f

∂x2

∂ 2g

∂x1∂x2− ∂g

∂x1

∂ 2 f

∂x22

−2∂g

∂x2

∂ 2 f

∂x1∂x2

)

(x1,x2)

+(.x2)

3

(

∂ f

∂x2

∂ 2g

∂x22

− ∂g

∂x2

∂ 2 f

∂x22

)

(x1,x2)

si


B(x1,.x1,x2,

.x2) = (

.x1)

2

[

(

∂ f

∂x1

)2

+

(

∂g

∂x1

)2]

(x1,x2)

+ (.x2)

2

[

(

∂ f

∂x2

)2

+

(

∂g

∂x2

)2]

(x1,x2)

+ 2.x1

.x2

(

∂ f

∂x1

∂ f

∂x2+

∂g

∂x1

∂g

∂x2

)

(x1,x2).

In cazul particular cand transformarea F are formula (2.35), obtinem

A(x1,.x1,

..x1,x2,

.x2,

..x2) = detC · ( .x1

..x2 −

..x1

.x2) (2.38)

= 6(.x1

..x2 −

..x1

.x2),

respectiv

B(x1,.x1,x2,

.x2) = (c2

11 + c221)(

.x1)

2 +(c212 + c2

22)(.x2)

2 (2.39)

+ (c11c21 + c12c22).x1

.x2 (2.40)

= 4(.x1)

2 +9(.x2)

2,

deci apar modificari ale valorilor curburii fara a se schimba semnul acesteia. De

asemeni, formulele (2.38) – (2.40) arata ca rotatiile plane nu modifica valorile cur-

burii traiectoriilor.

Sistemele diferentiale din (2.36), (2.37) sunt considerate echivalente topolo-

gic23 [3, p. 170] si spunem ca asemenea transformari pastreaza scheletul separa-

toarelor24. Pentru a-l vedea, utilizati optiunea Phaseplane/Flow a programului

WINPP. Prin separatoare ıntelegem curbele care despart zonele cu dinamica diferita

din planul fazelor [3, p. 103].

2.6 Sisteme plane ın forma canonica

Schimbarea de variabile x = Ty, unde T ∈ M2(C) este nesingulara, pe care am

folosit-o ın demonstratia teoremei de comportament asimptotic de la pagina 26,

implica — restransa la cazul T ∈ M2(R) — faptul ca sistemele diferentiale

( .x1.x2

)

= A

(

x1

x2

)

,

( .y1.y2

)

= T−1AT

(

y1

y2

)

= B

(

y1

y2

)

descriu curbe de acelasi fel si cu aceeasi orientare [2, p. 7] ın planul fazelor, ceea

ce difera fiind curbura — vezi, d.ex., [45, p. 7] — .

23 In limba engleza, topologically equivalent [17, p. 8]. In cazul exemplului (2.36), (2.37), sis-temele sunt chiar conjugate topologic [3, p. 168, Teorema]. Vezi si pagina 49 a tutorialului defata.24 In limba engleza, completed separatrix skeleton [17, p. 35].

2.6 Sisteme plane ın forma canonica 43

Folosind o rafinare a acestei descompuneri, cf. [52, p. 39 si urm.], [61, p. 44, The-

orem 1], si anume forma canonica Jordan a matricelor, putem determina o matrice

T ∈ M2(R) pentru care B sa aiba una dintre reprezentarile

Bλ ,µ1 =

(

λ 0

0 µ

)

, Bλ2 =

(

λ 1

0 λ

)

, Ba,b3 =

(

a −b

b a

)

,

unde λ , µ , a, b∈R iar cantitatile λ , µ , a±bi desemneaza valori proprii ale matricei

A.

Urmam discutia din [52, pg. 20–26]. Astfel, curbele desemnate ın planul fazelor

de solutiile sistemului diferential liniar si omogen de matrice B−2,−11 — cazul λ =

−2 < µ =−1 < 0 — sunt ilustrate ın Figura 2.5.

y1

y2

(0,0)

Fig. 2.5 Matricea B−2,−11

Aplicand o rotatie de matrice

C−1 =

(√3

2 − 12

12

√3

2

)

sistemului ın cauza, ajungem la sistemul diferential

( .z1.z2

)

=C−1B−2,−11 C

(

z1

z2

)

=

(

− 74

√3

4√3

4 − 54

)

(

z1

z2

)

,


pe care ıl observam ın Figura 2.6.

z1

z2

(0,0)

Fig. 2.6 Matricea C−1B−2,−11 C

Este vizibil faptul ca cele doua sisteme diferentiale prezinta acelasi tip de traiec-

torii — adica, sunt echivalente topologic —, deci ne putem margini la constructia

planului fazelor pentru sistemele diferentiale cu matricea coeficientilor adusa la

forma Jordan. In particular, identitatea

(

µ 0

0 λ

)

=

(

0 1

1 0

)(

λ 0

0 µ

)(

0 1

1 0

)

, λ ,µ ∈ R, (2.41)

cu T 2 = I2 pentru T =

(

0 1

1 0

)

, arata ca sistemele diferentiale din Figurile 1.1 —

B−1,−21 , deci cazul µ =−2 < λ =−1 < 0 — si 2.6, 2.5 produc curbe identice.

De asemeni, transformarea “trecut – viitor”, data de expresiile zi(t) = yi(−t),t ∈ R, unde i = 1, 2, face ca sistemele diferentiale

( .y1.y2

)

=

(

λ 0

0 µ

)(

y1

y2

)

,

( .z1.z2

)

=

(

−λ 0

0 −µ

)(

z1

z2

)

sa ne conduca la curbe identice, cu orientari opuse. In Figura 2.7 este ilustrat sis-

temul de matrice B2,11 — 0 < µ = 1 < λ = 2 —.

2.6 Sisteme plane ın forma canonica 45

y1

y2

(0,0)

Fig. 2.7 Matricea B2,11

Cazul λ = −1 < µ = 0 — B−1,01 — se gaseste ın Figura 2.8. Planul fazelor, ın

cazul λ = 0 < µ = 1, poate fi construit via transformarea trecut-viitor, respectiv

rotatia (2.41).

In Figura 2.9 sunt reprezentate curbele din planul fazelor datorate matricei

B−1,−11 : aici, λ = µ =−1 < 0.

In Figurile 2.10, 2.11 am desenat curbele corespunzatoare matricelor B−12 , B1

2.

In cazul de fata — λ = µ —, vectorul

(

0

1

)

— prin intermediul caruia se

genereaza axa Oy — este vector propriu generalizat al matricei Bλ2 , adica

(

Bλ2 −λ0 · I2

)2(

0

1

)

=

(

(λ −λ0)2 2(λ −λ0)

0 (λ −λ0)2

)(

0

1

)

=

(

0

0

)

pentru λ = λ0 ∈ R.

Figura 2.12 contine ilustratia planului fazelor pentru λ =−1 < 0 < µ = 1. Aici,

B = B−1,11 .

Cele trei cazuri privind valorile proprii λ ∈ C\R, si anume a = 0, b = 1 — B0,13

—, respectiv a = −1 < 0, b = 2 > 0 — B−1,23 — si a = −1 < 0, b = −2 < 0 —

B−1,−23 — sunt investigate ın Figurile 2.13 – 2.15.

Facem observatia ca


y1

y2

(0,0)

Fig. 2.8 Matricea B−1,01

Ba,−b3 =

(

0 −1

−1 0

)

Ba,b3

(

0 −1

−1 0

)

, a, b ∈ R,

cu T 2 = I2 pentru T =

(

0 −1

−1 0

)

. Astfel, sistemele diferentiale din Figurile 2.14,

2.15 sunt “ın oglinda” unul fata de celalalt.

Originea 0R2 din Figurile 1.1, 2.5, 2.6, 2.9, 2.10 desemneaza un nod stabil25. In

Figura 2.12 avem un punct-sa26. Figurile 2.14, 2.15 ilustreaza un focar stabil27. In

sfarsit, originea planului din Figura 2.13 constituie un centru28. Generic, putem con-

sidera originea 0R2 din Figurile 1.1, 2.5, 2.6, 2.9, 2.10, 2.14, 2.15 drept o scurgere

ori chiuveta29.

Dupa H. Poincare [61, pg. 40–42], nodul din Figurile 1.1, 2.5, 2.6, 2.7 este 2–

tangent, cel din Figurile 2.10, 2.11 este 1–tangent iar cel din Figura 2.9 un nod

stelar.

Clasificarea originii 0R2 pe baza ecuatiei caracteristice

25 In limba engleza, stable node.26 In limba engleza, saddle (point).27 In limba engleza, stable focus.28 In limba engleza, center.29 In limba engleza, sink, cf. [2, pg. 167, 172]. Aici, toate valorile proprii ale matricei B au parteareala negativa. Daca exista numai valori proprii cu partea reala pozitiva, originea 0R2 este o sursa.In limba engleza, source [52, p. 56].

2.7 Echivalente 47

y1

y2

(0,0)


det(A−λ · I2) = |A−λ · I2|= λ 2 −Trace(A) ·λ +detA

= 0,

cu radacinile λi =12 · (Trace(A)±

√D), unde D = [Trace(A)]2 − 4detA, i ∈ 1,2,

este ilustrata ın Figura 2.16. Vezi [2, p. 171].

2.7 Echivalente

Teorema Poincare-Liapunov-Perron ne ofera prilejul unei digresiuni geometrice.

Fiind dat sistemul (2.1), introducem aplicatia−→X : R2 × I → R cu formula

−→X (−→x , t) = eAt−→x =

+∞

∑q=0

tq

q!·Aq−→x , t ∈ I.

Aici, −→x =

(

x0

y0

)

∈ R2 iar I ⊆ R este un interval deschis centrat ın 0.

Evident, familia(−→

X (·, t))

t∈Iformeaza un grup uni-parametric de transformari

liniare ale spatiului euclidian R2, cf. [3, p. 126, Teorema], [44, p. 2]:


y1

y2

(0,0)

Fig. 2.10 Matricea B−12

eAt · eAs−→x = eA(t+s)−→x , t ,s , t + s ∈ I.

Ne intereseaza ce se ıntampla cu orbitele grupului [44, p. 13] atunci cand asupra

spatiului actioneaza difeomorfismul−→f :R2 →R2, unde

−→f (−→x )= T−1−→x si matricea

T ∈ M2(R) este nesingulara.

Mai ıntai, sa observam ca sistemului de ecuatii (2.19), rezultat ın urma acestei

actiuni, adica

d−→ydt

= T−1AT −→y , (2.42)

ıi corespunde grupul uni-parametric(−→

Y (·, t))

t∈Idat de aplicatia — [2, p. 155] —

−→Y (−→y , t) = eT−1ATt −→y = T−1eAtT −→y , t ∈ I,−→y ∈ R2. (2.43)

Apoi, cum −→x 7→ −→X−→x = A−→x este campul vectorial [3, p. 23], [44, p. 6] asociat

sistemului diferential (2.1), el genereaza orbitele grupului−→X (·, t),

−→X−→x =

∂∂ t

[

eAt−→x]

∣

∣

∣

∣

t=0

.

2.7 Echivalente 49

y1

y2

(0,0)

Fig. 2.11 Matricea B12

In sfarsit, campul vectorial−→Y corespunzator sistemului (2.42) este transportul-ı-

nainte30 [46, p. 21] al campului−→X :

−→Y =

−→f ⋆

−→X .

Putem reformula acum, via [44, p. 9, Propozitia 1], cea de-a doua egalitate din

(2.43): imaginea prin functia−→f a punctului curent de pe orbita care trece prin −→x

a grupului−→X (·, t) este punctul curent de pe orbita trecand prin f (−→x ) a grupului−→

Y (·, t). Spunem despre sistemele diferentiale (2.1) si (2.42) ca sunt conjugate topo-

logic31.

Alt rezultat cu “savoare” geometrica legat de sistemul (2.1) priveste derivata Lie

dupa campul−→X [46, p. 31] a functiei −→x 7→ ‖−→x ‖2, si anume

L−→X−→x

‖−→x ‖2 = 2(−→x |A−→x )R2 , (2.44)

cf. [3, p. 174], unde (·|·)R2 desemneaza produsul scalar euclicidian. Folosind aceasta

estimare, se pot construi homeomorfisme−→f : R2 →R2 care sa transporte traiectori-

ile particulelor-solutii ıntre Figurile 1.1, 2.5, 2.6, 2.9, 2.10, 2.14, 2.15 eventual repa-

30 In limba engleza, push-forward.31 Sau echivalente topologic izocron, cf. [2, pg. 254, 263].


y1

y2

(0,0)


rametrizandu-le, cf. [3, pg. 170, 178], [2, pg. 183, 184]. Astfel, sistemele diferentiale

ın cauza sunt echivalente topologic [58, p. 113].

2.8 Varietatea stabila W s si varietatea instabila W u ale unui

echilibru hiperbolic

Ca si pana acum, presupunem ca exista k ∈ 1,n, unde n < +∞, astfel ıncat va-

lorile proprii ale matricei A din cadrul sistemului diferential (2.17) sa ındeplineasca

inegalitatile

max1≤q≤k

Reλq < α < 0 < β < mink+1≤r≤n

Reλr.

In acest context, echilibrul 0Rn se numeste hiperbolic [14, p. 36].

Folosind forma canonica Jordan a matricei A, vezi [52, pg. 39, 40], deducem

existenta matricei nesingulare T ∈ Mn(R) pentru care

T−1AT =

(

B1 0k,n−k

0n−k,k B2

)

, B1 ∈ Mk(R), B2 ∈ Mn−k(R), (2.45)

2.8 Varietatea stabila W s si varietatea instabila W u ale unui echilibru hiperbolic 51

y1

y2

(0,0)

Fig. 2.13 Matricea B0,13

iar matricele B1, B2 au valorile proprii (λq)q∈1,k, respectiv (λr)r∈k+1,n. De asemeni,

exista K > 0 cu proprietatea ca

‖etB1‖ ≤ Keαt , t ≥ 0,

‖etB2‖ ≤ Keβ t , t ≤ 0.(2.46)

Vezi [2, pg. 163, 164].

Urmam prezentarea din [15, pg. 330–335]. Astfel, fie matricele

W1(u) =

(

euB1 0k,n−k

0n−k,k 0n−k,n−k

)

, W2(u) =

(

0k,k 0k,n−k

0n−k,k euB2

)

, u ∈ R.

Solutiile sistemului (2.19) verifica relatia generica

y(t) = y(t,x0)

= (W1 +W2)(t)x0 +

∫ t

(W1 +W2)(t − s)F(y(s))ds, t ∈ R, (2.47)

conform [41, pg. 98, 99].

Particularizam aceasta expresie, introducand ecuatia integrala


y1

y2

(0,0)


θ(t,a) = W1(t)a+∫ t

0W1(t − s)F(θ(s,a))ds

−∫ +∞

tW2(t − s)F(θ(s,a))ds, t ≥ 0, (2.48)

unde a = (a1, · · · ,ak,0, · · · ,0)T ∈ Rn.

De asemeni, consideram ca F ∈ C1(Rn,Rn) ındeplineste conditiile: F(0) = 0,

Jac0Rn (F) = 0 (matricea jacobiana a aplicatiei [46, p. 20]). In particular, pentru

orice γ1 > 0 exista γ2 > 0 cu proprietatea ca ‖F(x1)− F(x2)‖ ≤ γ1‖x1 − x2‖ si

‖Jacx3(F)‖ ≤ γ1 oricare ar fi xi ∈ Rn cu ‖xi‖ ≤ γ2, i ∈ 1,3.

Afirmam ca ecuatia (2.48) admite o singura solutie marginita, depinzand doar

de (ai)i∈1,k — si, evident, de variabila t —.

Pentru a demonstra asertiunea, fixam γ ∈ (α,0) si K1 ≥ K astfel ca

2K ·max

1−α + 1

β ,1

γ−α + 1β−γ

· γ1 < 3K(

1−α + 1

β

)

γ1 < 1,

2K1‖a‖< γ2.(2.49)

De asemeni, marim eventual cantitatea K pentru a avea 2K > 1.

Utilizand tehnica aproximatiilor succesive (E. Cotton, E. Picard), construim o

solutie a ecuatiei integrale. Mai precis,


y1

y2

(0,0)


Trace

det D = 0

Cen

tre

Puncte-sa,

FocareFocare

Noduri Noduri

Fig. 2.16 Clasificarea originii 0R2

θ0(t,a) = 0,

θm+1(t,a) = W1(t)a+∫ t

0W1(t − s)F(θm(s,a))ds

−∫ +∞

tW2(t − s)F(θm(s,a))ds, m ≥ 1.

Afirmam ca


‖θm+1(t,a)−θm(t,a)‖ ≤ K1eγt · ‖a‖2m ,

‖θm(t,a)‖ ≤ 2K1eγt‖a‖, m ≥ 0. (2.50)

Aceasta (noua) asertiune va fi probata ın continuare folosind inductia matematica ın

raport cu m.

Asadar, cand m = 1, avem via (2.46)

‖θ1(t,a)‖ = ‖θ1(t,a)−θ0(t,a)‖= ‖W1(t)a‖ ≤ Keαt‖a‖ ≤ K1eγt‖a‖≤ 2K1eγt‖a‖.

Presupunand inegalitatile adevarate pentru m = h− 1 si tinand seama de (2.49),

deducem ca

‖θh+1(t,a)−θh(t,a)‖

≤∫ t

0Keα(t−s) · γ1‖θh(s,a)−θh−1(s,a)‖ds

+

∫ +∞

tKeβ (t−s) · γ1‖θh(s,a)−θh−1(s,a)‖ds

≤ K1

2h−1‖a‖ ·Kγ1 ·

∫ t

0eαt · e(γ−α)sds

+K1

2h−1‖a‖ ·Kγ1 ·

∫ +∞

teβ t · e(γ−β )sds

≤ Kγ1K1

2h−1‖a‖ ·

(

1

γ −α+

1

β − γ

)

eγt

= K1eγt ‖a‖2h

·2K

(

1

γ −α+

1

β − γ

)

γ1

≤ K1eγt ‖a‖2h

,

respectiv

‖θh(t,a)‖ ≤h−1

∑i=0

‖θi+1(t,a)−θi(t,a)‖ ≤ K1eγt‖a‖h−1

∑i=0

2−i

≤ 2K1eγt‖a‖.

Ultima afirmatie a fost stabilita.

In consecinta, seria telescopica ∑m≥0

[θm+1(·,a)− θm(·,a)] converge uniform, ın

[0,+∞), ın raport cu variabila t la solutia θ(·,a) a ecuatiei integrale (2.48). In plus,

pe baza (2.50),

limt→+∞

θ(t,a) = 0. (2.51)


Structura “pe blocuri” a matricelor Wi, ne conduce la sistemul de ecuatii integrale

θ k(t,a) = eB1tak +∫ t

0 eB1(t−s)Fk(θ(s,a))ds,

θ n−k(t,a) =−∫+∞t eB2(t−s)Fn−k(θ(s,a))ds,

t ≥ 0. (2.52)

Aici, θ(t,a) = (θ k(t,a),θ n−k(t,a))T ∈ Rk ×Rn−k si a = (ak,0Rn−k)T iar F(u) =(Fk(u),Fn−k(u))T ∈ Rk ×Rn−k, unde u ∈ Rn.

Solutia θ = θ(t,a) pleaca din punctul

(θ k(0,a),θ n−k(0,a))T (2.53)

= (a1, · · · ,ak,θk+1(0,ak,0Rn−k), · · · ,θn(0,a

k,0Rn−k))T ,

unde, vezi (2.49),

√

k

∑i=0

a2i <

γ22K1

.

Am gasit, asadar, o solutie a ecuatiei integrale (2.48). De asemeni, nicaieri ın

demonstratia inductiva nu am folosit faptul ca ultimele n− k intrari ale coloanei a

sunt nule. Ele au fost alese astfel pentru ca ecuatia ın cauza nu le “vede”:

W1(t)a =

(

eB1tak

0Rn−k

)

, a ∈ Rn, t ∈ R.

Fie acum a, b ∈ Rn verificand restrictiile

‖a‖, ‖b‖< γ2.

Presupunem ca θ(·,a) si θ(·,b) sunt solutii ale ecuatiei integrale (2.48) cu proprie-

tatea ca32

‖θ(t,a)‖ ≤ γ2, ‖θ(t,b)‖ ≤ γ2, t ≥ 0.

Are loc estimarea

‖θ(t,a)−θ(t,b)‖ ≤ Keαt‖ak −bk‖

+ Kγ1

(

1− eαt

−α+

1

β

)

· sups≥0

‖θ(s,a)−θ(s,b)‖

≤ K‖ak −bk‖

+ Kγ1

(

1

−α+

1

β

)

· sups≥0

‖θ(s,a)−θ(s,b)‖,

de unde, trecand la supremum dupa t ∈ [0,+∞), ajungem la

32 Facem observatia ca ‖ak‖ = ‖θ k(0,a)‖ ≤ ‖θ(0,a)‖ < γ2. Restrictia suplimentara (2.49)2 ınprivinta lui a, adica ‖ak‖ ≤ ‖a‖< γ2

2K1, este impusa de tehnica de demonstratie (2.50) si nu va mai

fi folosita ın cele ce urmeaza.


supt≥0

‖θ(t,a)−θ(t,b)‖ ·[

1−Kγ1

(

1

−α+

1

β

)]

≤ K‖ak −bk‖,

respectiv

‖θ(·,a)−θ(·,b)‖∞ ≤ 2K‖ak −bk‖. (2.54)

Deci, daca ak = bk, atunci θ(·,a) = θ(·,b). Trebuie remarcat faptul ca nu am

precizat prin ce tehnica sunt construite solutiile marginite! De asemeni, θ (·,0Rn) =0.

Unicitatea solutiei marginite, oferita de (2.54), ımpreuna cu expresia punctului

sau de plecare (2.53) stabilesc existenta functiilor ψi : B → R cu formula

ψi(ak) = θi(0,a

k,0Rn−k), i ∈ k+1,n.

Aici, B este bila deschisa a spatiului euclidian Rk cu centrul ın originea spatiului si

raza γ2. Din (2.54) rezulta, ın plus, ca — reamintesc, 2K > 1 —

|ψi(ak)−ψi(b

k)| ≤ 2K‖ak −bk‖, (2.55)

deci functiile (ψi)i∈k+1,n sunt continue. Asertiunea initiala a fost stabilita. In parti-

cular, ψi (0Rk) = 0.

Mai departe, afirmam ca functiile (ψi)i∈k+1,n sunt continuu diferentiabile.

Pentru a proba acest lucru, ıncepem cu estimarea

supt≥0

supak,ak+h∈B,h6=0

‖θ(t,ak +h,0Rn−k)−θ(t,ak,0Rn−k)‖‖h‖ ≤ 2K <+∞. (2.56)

Apoi, derivam formal ecuatia (2.48) ın raport cu a j, j ∈ 1,k. Obtinem ca

∂θ∂a j

(t,a) = W1(t) · e j +∫ t

0W1(t − s)Jacθ(s,a)(F) · ∂θ

∂a j(s,a)ds

−∫ +∞

tW2(t − s)Jacθ(s,a)(F) · ∂θ

∂a j(s,a)ds,

unde e j = (0, · · · ,1, · · · ,0)T ∈ Rn — cifra 1 este situata pe pozitia a j–a —.

Tinand seama de proprietatile functiei F , avem ‖Jacθ(s,a)(F)‖ ≤ γ1. Printr-un

proces iterativ asemanator celui care a stabilit existenta solutiei θ , se arata ca ecuatia

integrala liniara

ζ (t,a) = W1(t) · e j +∫ t

0W1(t − s)Jacθ(s,a)(F) ·ζ (s,a)ds

−∫ +∞

tW2(t − s)Jacθ(s,a)(F) ·ζ (s,a)ds (2.57)


are o singura solutie marginita33 — continua —: ζ j = ζ j(t,a).Fixam j ∈ 1,k si h = h · e j pentru h ∈ R suficient de mic.

Atunci, deducem ca

∥

∥

∥

∥

θ(t,a+h)−θ(t,a)h

−ζ j(t,a)

∥

∥

∥

∥

(2.58)

≤[

∫ t

0Keα(t−s)+

∫ +∞

tKeβ (t−s)

]

×∥

∥

∥

∥

F(θ(s,a+h))−F(θ(s,a))h

− Jacθ(s,a)(F)ζ j(s,a)

∥

∥

∥

∥

ds

=

[

∫ t

0Keα(t−s)+

∫ +∞

tKeβ (t−s)

]

×∥

∥

∥

∥

M(s,a,h)(F) · θ(t,a+h)−θ(t,a)h

− Jacθ(s,a)(F)ζ j(s,a)

∥

∥

∥

∥

ds

≤[

∫ t

0Keα(t−s)+

∫ +∞

tKeβ (t−s)

]

×[

‖Jacθ(s,a)(F)‖ ·∥

∥

∥

∥

θ(s,a+h)−θ(s,a)h

−ζ j(s,a)

∥

∥

∥

∥

+ ‖Jacθ(s,a)(F)−M(s,a,h)(F)‖ ·∥

∥

∥

∥


∥

∥

∥

∥

]

ds

≤[

∫ t

0Keα(t−s)+

∫ +∞

tKeβ (t−s)

]

×[

γ1

∥

∥

∥

∥


−ζ j(s,a)

∥

∥

∥

∥

(vezi (2.56)) +‖Jacθ(s,a)(F)−M(s,a,h)(F)‖ ·2K]

ds,

unde, plecand de la

Fi(θ(s,a+h))−Fi(θ(s,a))

=

(

∫ 1

0∇Fi (θ(s,a)+u[θ(s,a+h)−θ(s,a)])du

| [θ(s,a+h)−θ(s,a)] )Rn , — produs scalar —

pentru i ∈ 1,n, definim matricea M prin formula

F(θ(s,a+h))−F(θ(s,a)) = M(s,a,h)(F) · [θ(s,a+h)−θ(s,a)]. (2.59)

Adica,

33 Liniaritatea ecuatiei ne permite utilizarea unor estimari de tipul celor din (2.50) fara a face apella restrictia (2.49)2. In lipsa acestei observatii, raza bilei B ar fi trebuit redusa la marimea

γ22K1

,ceea ce ar fi facut imposibila estimarea (2.66).


M(s,a,h)(F) =∫ 1

0Jacθ(s,a)+u[θ(s,a+h)−θ(s,a)](F)du. (2.60)

Formula acestei matrice ne conduce la existenta limitei

limh→0

M(s,a,h)(F) = Jacθ(s,a)(F) (2.61)

uniform ın raport cu s ∈ [0,+∞)34.

Revenind la (2.58), obtinem ca

∥

∥

∥

∥


−ζ j(t,a)

∥

∥

∥

∥

≤ K

(

1

−α+

1

β

)

γ1 · sups≥0

∥

∥

∥

∥


−ζ j(s,a)

∥

∥

∥

∥

+2K2

(

1

−α+

1

β

)

· sups≥0

∥

∥Jacθ(s,a)(F)−M(s,a,h)(F)∥

∥

≤ 1

2· sup

s≥0

∥

∥

∥

∥


−ζ j(s,a)

∥

∥

∥

∥

+2K2

(

1

−α+

1

β

)

· sups≥0

∥


∥ .

Trecand la supremum dupa t, ajungem la

supt≥0

∥

∥

∥

∥


−ζ j(t,a)

∥

∥

∥

∥

≤ 4K2

(

1

−α+

1

β

)

· sups≥0

∥


∥

≤ 2K

γ1· sup

s≥0

∥


∥ .

Pe baza (2.61), deducem ca

limh→0

supt≥0

∥

∥

∥

∥


−ζ j(t,a)

∥

∥

∥

∥

= 0,

34 Observam ca

‖θ(s,a)+u[θ(s,a+h)−θ(s,a)]‖ ≤ ‖θ(s,a)‖+‖θ(s,a+h)−θ(s,a)‖≤ ‖θ(s,a)‖+2K‖h‖ ≤ 2K1‖a‖+2K‖h‖ ≤ 2K1‖a‖+2K1‖h‖≤ 2K1 (1+‖a‖) ,

unde s ≥ 0, u ∈ [0,1] si ‖h‖ ≤ 1. Estimarea (2.61) reprezinta o consecinta a faptului ca aplicatiax 7→ Jacx(F) este uniform continua ın bila ınchisa a spatiului euclidian Rn cu centrul ın origineaspatiului si raza 2K1 (1+‖a‖).


de unde ∂θ∂a j

= ζ j, j ∈ 1,k. Diferentiabilitatea functiilor ψi este acum probata.

Similar relatiilor (2.52), ecuatia (2.57) ne conduce la

ζ k(t,a) = eB1tekj +∫ t

0 eB1(t−s)π1k

(

Jacθ(s,a)(F)ζ (s,a)))

ds,

ζ n−k(t,a) =−∫+∞t eB2(t−s)π2

n−k

(

Jacθ(s,a)(F)ζ (s,a)))

ds,t ≥ 0, (2.62)

unde ζ (t,a) = (ζ k(t,a),ζ n−k(t,a))T ∈ Rk ×Rn−k, e j = (ekj,0Rn−k)T iar π1

k : Rn →Rk, π2

n−k : Rn → Rn−k sunt proiectorii35 corespunzatori descompunerii

uT = (u1, . . . ,un)

≡ ((u1, . . . ,uk),(uk+1, . . . ,un))

= (π1k (u),π

2n−k(u)), u ∈ Rn.

De asemeni, avem estimarile

‖ζ (t,a)‖ ≤ Keαt

+∫ t

0Keα(t−s) · sup

‖z‖≤supξ≥0

‖θ(ξ ,a)‖‖Jacz(F)‖ · sup

ξ≥0

‖ζ (ξ ,a)‖ds

+∫ +∞

tKeβ (t−s) · sup

‖z‖≤supξ≥0

‖θ(ξ ,a)‖‖Jacz(F)‖ · sup

ξ≥0

‖ζ (ξ ,a)‖ds

≤ K +K

(

1

−α+

1

β

)

· sup‖z‖≤2K1‖a‖

‖Jacz(F)‖ · supξ≥0

‖ζ (ξ ,a)‖

≤ K +K

(

1

−α+

1

β

)

γ1 · supξ≥0

‖ζ (ξ ,a)‖

≤ K +1

2· sup

ξ≥0

‖ζ (ξ ,a)‖, t ≥ 0,

de unde — trecand la supremum dupa t —

‖ζ (·,a)‖∞ ≤ 2K. (2.63)

Din cea de-a doua dintre relatiile (2.62) deducem ca

‖ζ n−k(t,a)‖ ≤∫ +∞

tKeβ (t−s) · sup

‖z‖≤2K1‖a‖‖Jacz(F)‖ · ‖ζ (s,a)‖ds

(vezi (2.63)) ≤ 2K2

β· sup‖z‖≤2K1‖a‖

‖Jacz(F)‖,

35 In limba engleza, projection operator (sing.), cf. [32, p. 20]. In fapt, un proiector este πk : Rn →Rn cu formula πk(u) = (u1, . . . ,uk,0, . . . ,0)

T . Evident, (πk)2 = πk si ‖πk(u)‖ ≤ ‖u‖, u ∈ Rn.


respectiv

lim‖a‖→0,a 6=0

supt≥0

‖ζ n−k(t,a)‖= 0.

In particular,

∂ψi

∂a j

∣

∣

∣

∣

ak=0Rk

= 0. (2.64)

Apoi,

‖ζ (t,a)−ζ (t,b)‖

≤[

∫ t

0Keα(t−s)+

∫ +∞

tKeβ (t−s)

]

·[

‖Jacθ(s,a)(F)− Jacθ(s,b)(F)‖

×‖ζ (s,a)‖+‖Jacθ(s,b)(F)‖ · ‖ζ (s,a)−ζ (s,b)‖]

ds

≤ K

(

1

−α+

1

β

)

·[

sups≥0

‖Jacθ(s,a)(F)− Jacθ(s,b)(F)‖ ·2K

+ γ1 · sups≥0

‖ζ (s,a)−ζ (s,b)‖]

≤ K

γ1· sup

s≥0

‖Jacθ(s,a)(F)− Jacθ(s,b)(F)‖+ 1

2· ‖ζ (·,a)−ζ (·,b)‖∞,

respectiv

‖ζ (·,a)−ζ (·,b)‖∞

≤ 2K

γ1· sup

u,v∈Rn,‖u−v‖≤2K‖a−b‖,‖u‖,‖v‖≤γ2

‖Jacu(F)− Jacv(F)‖. (2.65)

Estimarea (2.65) probeaza continuitatea functiei ζ ın raport cu cea de-a doua

variabila pe baza local uniform continuitatii aplicatiei x 7→ Jacx(F).Am obtinut, pana acum, existenta multimii

S = (ak,ψk+1(ak), · · · ,ψn(a

k))|ak ∈ B.

Aceasta alcatuieste o varietate diferentiala (C1) (simpla) reala de dimensiune k, cf.

[46, p. 10].

Fie V bila deschisa a spatiului euclidian Rn cu centrul ın originea spatiului si raza

γ2. Atunci, B×0Rn−k si S sunt submultimi ale lui V .

De asemeni, varietatea S este tangenta ın 0Rn subspatiului Rk — (2.64) — iar

particulele-solutii36 ale sistemului diferential (2.19) care pornesc din ea se ındreapta

36 Vezi p. 35.


catre 0Rn , conform (2.51), traiectoriile lor devenind tangente “la infinit”37 aceluiasi

subspatiu (acest fapt, problema spatiilor asimptotice, va fi evident la sfarsit).

Cea de-a doua estimare (2.50) ne arata ca solutiile care pleaca din S raman ın V

pentru orice t ≥ 0. Fie t0 ≥ 0 fixat. Au loc urmatoarele relatii — via schimbarea de

variabile s = ξ + t0 —

θ(t + t0,a)

=W1(t + t0)a+∫ t+t0

0W1(t + t0 − s)F(θ(s,a))ds

−∫ +∞

t+t0

W2(t + t0 − s)F(θ(s,a))ds

=W1(t + t0)a+

(

∫ t0

0+

∫ t+t0

t0

)


−∫ +∞

t+t0


=W1(t)

[

W1(t0)a+∫ t0

0W1(t0 − s)F(θ(s,a))ds

]

+∫ t+t0

t0

W1(t + t0 − s)F(θ(s,a))ds−∫ +∞

t+t0


=W1(t)

[

W1(t0)a+∫ t0

0W1(t0 − s)F(θ(s,a))ds

]

+∫ t

0W1(t −ξ )F(θ(ξ + t0,a))dξ −

∫ +∞

tW2(t −ξ )F(θ(ξ + t0,a))dξ

=W1(t)b

+∫ t

0W1(t −ξ )F(θ(ξ + t0,a))dξ −

∫ +∞

tW2(t −ξ )F(θ(ξ + t0,a))dξ ,

unde t ≥ 0. De aici, rezulta ca

θ(t + t0,a) = θ(t,b), t ≥ 0. (2.66)

In plus,

b = (θ k(t0,a),0Rn−k)T ,

de unde θ(t0,a) ∈ S.

Pe de alta parte, unicitatea solutiei pentru problema Cauchy si invarianta la

translatii temporale a solutiilor sistemelor diferentiale autonome ne conduc la —

37 Altfel spus, traiectoriile plecand din S au spatiile asimptotice incluse ın subspatiul Rk. Se cuvinefacut un comentariu privind aceste subspatii. Forma speciala a partii liniare a sistemului diferential(B = T−1AT ) face ca baza canonica a spatiului euclidian Rn sa fie formata din vectori proprii

generalizati ai matricei B. In schimb, cand revenim la sistemul original, varietatea S corespun-zatoare va fi tangenta ın 0Rn subspatiului k–dimensional format de vectorii proprii generalizaticorespunzand valorilor proprii cu partea reala negativa [58, p. 111].


vezi (2.47) —:

y(t,y(t0,x0)) = y(t + t0,x0) (2.67)

cand t0, t ≥ 0. In particular,

θ(t + t0,a) = y(t + t0,x0),θ(t,b) = y(t,y(t0,x0)),

unde

x0 = (ak,ψk+1(ak), · · · ,ψn(a

k))T = θ(0,a),y(t0,x0) = (θ k(t0,a),ψk+1(θ k(t0,a)), · · · ,ψn(θ k(t0,a)))

T = θ(t0,a).

Pe baza formulei (2.47), solutia ι = y(·,θ(t0,a)) — marginita — verifica ecuatia

integrala

ι(t) = (W1 +W2)(t)θ(t0,a)+∫ t

0(W1 +W2)(t − s)F(ι(s))ds

= W1(t)θ(t0,a)+∫ t

0W1(t − s)F(ι(s))ds

−∫ +∞

tW2(t − s)F(ι(s))ds

+ W2(t)θ(t0,a)+∫ +∞


= W1(t)θ(t0,a)+∫ t


−∫ +∞

tW2(t − s)F(ι(s))ds

+ W2(t) ·[

(0Rk ,θ n−k(t0,a))T +

∫ +∞

0W2(−s)F(ι(s))ds

]

. (2.68)

Structura speciala a matricei W2(t) — intrarile acesteia contin factori de forma

eλ t , cu λ > 0 — ımpreuna cu restrictia (2.51) ne conduc la concluzia ca marimea

din paranteza patrata din (2.68) trebuie sa fie 0 38. Aceasta ınseamna ca functia

marginita ι este defapt o solutie a ecuatiei (2.48) cu ak = [θ(t0,a)]k = θ k(t0,a).Unicitatea solutiei pentru ecuatia ın cauza implica

ι(0) = y(0,θ(t0,a))= (θ k(t0,a),ψk+1(θ k(t0,a)), · · · ,ψn(θ k(t0,a))).

Astfel, via (2.67), regasim faptul ca θ(t0,a) ∈ S.

Cum t0 ≥ 0 este arbitrar, concludem ca solutiile sistemului diferential (2.19) care

pornesc din S raman ın S pentru “totdeauna”.

38 O abordare explicita ın cazul n = 2 se gaseste ın [47, Theorem 4].


Problema spatiilor asimptotice (asimptotelor, ın R2): Varietatea S este tangenta

ın 0Rn la Rk iar particulele-solutii ale sistemului (2.19) situate ın S ajung la 0Rn cand

t →+∞, deci spatiile lor asimptotice sunt incluse ın Rk.

In mod simetric, introducem expresia integrala [58, p. 184]

ζ (t,a) = W2(t)a−∫ 0

tW2(t − s)F(ζ (s,a))ds

+∫ t

−∞W1(t − s)F(ζ (s,a))ds, t ≤ 0,

unde a = (0, · · · ,0,ak+1, · · · ,an)T ∈ Rn. Si ea verifica formal sistemul diferential

(2.19). Putem stabili ın mod analog existenta unei varietati diferentiale reale U ,

de dimensiune n− k, pentru care limt→−∞

ζ (t,a) = 0, unde a ∈ U [15, p. 344]. Noua

varietate, ortogonala varietatii S, este tangenta ın 0Rn subspatiului Rn−k al spatiului

euclidian Rn.

Problema ortogonalitatii: In general, varietatile S si U sunt ortogonale doar

pentru sistemul diferential.y= By + F(y), unde matricea B se gaseste ın forma

canonica Jordan. Acest fapt poate fi remarcat ın exemplul urmator. Fie matricele

A1,2, B ∈ M2(R) cu formulele

A1 =

(

0 1

1 0

)

, A2 =

(

0 32

23 0

)

, B =

(

−1 0

0 1

)

.

Au loc relatiile

T−1i AiTi = B, T1,2 ∈ M2(R),

unde

T1 =1√2

(

1 1

−1 1

)

, T−11 = (T1)

T ,

si

T2 =

(

−3 3

2 2

)

, T−12 =− 1

12

(

2 −3

−2 −3

)

Sistemele diferentiale

( .x1.x2

)

= Ai

(

x1

x2

)

, i = 1, 2, sunt reprezentate ın Figurile

2.17, respectiv 2.18.

Cum matricea T1 desemneaza o rotatie plana, varietatile S,U din Figura 2.17

raman ortogonale, ceea ce nu mai este valabil ın Figura 2.18.

Varietatile S, U se numesc varietate stabila (locala), respectiv varietate instabila

(locala) pentru echilibrul hiperbolic 0Rn . Vezi [2, p. 269, Theorem 19.11]. Daca

φ t este grupul Lie39 de transformari asociat sistemului diferential (2.17), atunci

39 Sau curentul, cf. [57, p. 69]. In limba engleza, flow.


U

S

x1

x2

(0,0)

Fig. 2.17 S, U ortogonale

“ ımbracam” varietatile locale, formand multimile

W slocal

=⋃

t≤0

φ t(S), W ulocal

=⋃

t≥0

φ t(U).

Evident, φ t(W slocal

) ⊆ W slocal

, respectiv φ t(W ulocal

) ⊆ W ulocal

, adica W slocal

, W ulocal

sunt invari-

ate de curentul φ t , solutiile care pleaca dintr-una din ele ramanand acolo pentru

“totdeauna”. Aceasta observatie ne conduce la multimile40

W s(0Rn) = x0 ∈ Rn| limt→+∞

φ(t,x0) = 0,W u(0Rn) = x0 ∈ Rn| lim

t→−∞φ(t,x0) = 0,

care reprezinta varietatea stabila (globala), respectiv varietatea instabila (globala)

a sistemului diferential ın 0Rn [57, p. 120]. Este clar ca W slocal

⊆ W s(0Rn) si W ulocal

⊆W u(0Rn).

O demonstratie a existentei acestor varietati folosind Principiul Contractiei Fi-

brelor (C. Pugh, M. Hirsch) poate fi citita ın [14, p. 326 si urm.]. O vom detalia

ıncepand cu pagina 103.

In cazul 2–dimensional, varietatile ın cauza devin niste curbe. Tehnica iterativa

descrisa anterior nu functioneaza multumitor ıntotdeauna pentru a le gasi expresii

40 φ t(x0) = φ(t,x0).

2.9 Lema lui M. Morse: reprezentarea functiilor scalare prin forme patratice 65

U

S

x1

x2

(0,0)

Fig. 2.18 S, U ne-ortogonale

simple acestor curbe [57, ibid.]. Un exemplu “norocos” este prezentat ın [52, pg.

111, 112].

2.9 Lema lui M. Morse: reprezentarea functiilor scalare prin

forme patratice

Fie F : Rn → R o functie neteda. Folosim notatiile DF(x) = ∇x(F), D2F(x) =Hessx(F) ca sa ne referim la gradientul, respectiv la matricea hessiana, calculate ın

x ∈ Rn, ale functiei F .

Afirmam ca, daca DF(0) = 0 si detD2F(0) 6= 0, atunci exista functia neteda

Φ : V → Rn astfel ıncat

Φ(0) = 0, DΦ(0) = In,F(Φ(x)) = F(0)+ 1

2 (x|D2F(0)x)Rn(2.69)

ıntr-o mica vecinatate V a punctului 0Rn .

Urmam prezentarea din [18, p. 212, Lemma 3]. Incepem justificarea introdu-

cand functia ψ : R→ R cu formula ψ(t) = F(tx), unde F(x) = (F1(x), · · ·,Fn(x))T ,

respectiv x = (x1, · · · ,xn)T .

Au loc relatiile


ψ(1)−ψ(0) =∫ 1

0ψ ′(t)dt (2.70)

= −∫ 1

0(1− t)′ ·ψ ′(t)dt

= ψ ′(0)+∫ 1

0(1− t)ψ ′′(t)dt (2.71)

= ψ ′(0)−∫ 1

0

[

(1− t)2

2

]′ψ ′′(t)dt

= ψ ′(0)+1

2ψ ′′(0)+ · · · , (2.72)

respectiv — notatii: Fxi= ∂F

∂xi, Fxix j

= ∂ 2F∂xi∂x j

—

ψ ′(t) =n

∑i=1

Fxi(tx) · (txi)

′ = (DF(tx)|x)Rn ,

ψ ′′(t) = ∑1≤i, j≤n

Fxix j(tx)xix j = (x|D2F(tx)x)Rn ,

(2.73)

unde t ∈ R, x ∈ Rn. In particular, ψ ′(0) = (DF(0)|x)Rn = 0.

Fie matricea (neteda)

A = A(x) =∫ 1

0(1− t)D2F(tx)dt = (Ai j(x))1≤i, j≤n. (2.74)

Relatiile (2.71), (2.72) ne conduc la

F(x) = ψ(1)

= ψ(0)+(x|A(x)x)Rn (2.75)

= F(0)+(x|A(0)x)Rn +o(‖x‖2), cand x → 0Rn . (2.76)

Este clar ca A(0) = 12 D2F(0), deci exista o motivatie ın ıncercarea de a construi

schimbarea de variabile Φ care sa ınlature elementul o din identitatea (2.76).

De asemeni, via (2.70), (2.73), observam ca functia F admite reprezentarea

F(x) = F(0)+(G(x)|x)Rn , G(x) =

∫ 1

0DF(tx)dt, x ∈ Rn,

rezultat cunoscut si ca lema lui J. Hadamard [3, p. 104]. Am utilizat deja aceasta

tehnica ın (2.59), (2.60).

Matricea hessiana a aplicatiei F fiind simetrica, valorile proprii ale matricei A(0)sunt reale. Utilizand eventual o baza a spatiului euclidian Rn formata din vectori

proprii ai acestei matrici, putem presupune ca matricea A(0) este diagonala.

Vom stabili, folosind inductia matematica dupa m ∈ 0, . . . ,n, existenta aplica-

tiilor netede Φm = (Φ1m, · · · ,Φn

m)T , definite ın jurul originii 0Rn , cu valori ın Rn,

pentru care


Φm(0) = 0, DΦm(0) = In,

F(Φm(x)) = F(0)+ sgn m2 ·

m

∑i=1

Fxixi(0)x2

i

+ sgn (n−m−1)2 ·

n

∑i, j=m+1

ai jm(x)xix j,

(2.77)

unde functiile ai jm sunt netede si ai j = a ji oricare ar fi i, j ∈ m+1,n.

Prin derivarea ultimei relatii (2.77) — aplicam operatorul ∂ 2

∂xk∂xs, unde k, s ≥

m+1 —, obtinem ca

∑1≤u,v≤n

Fxuxv(Φm) ·∂Φu

m

∂xk

∂Φvm

∂xs+

n

∑w=1

Fxw(Φm) ·∂ 2Φm

∂xk∂xs

= askm +

n

∑i=m+1

(

∂aikm

∂xs+

∂aism

∂xk

)

xi +1

2

n

∑i, j=m+1

∂ 2ai jm

∂xk∂xs· xix j,

de unde

Fxsxk(0) = ask

m (0). (2.78)

In cazul m = 0, via (2.75), luam Φ0 = IdRn — identitatea —, respectiv ai j0 = Ai j.

Mai departe, presupunem ca reprezentarea (2.77) este adevarata pentru un anu-

mit m < n si ne intereseaza cum ajungem la functiile Φm+1, ai jm+1 — acestea din

urma apar ın discutie doar daca m+1 < n —.

Definim schimbarea de variabile y = y(x) = (y1(x), · · · ,yn(x))T prin formulele

y1 = x1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ym = xm(

ym+1 +n

∑j=m+2

a(m+1) jm (y)x j

a(m+1)(m+1)m (y)

)

√

a(m+1)(m+1)m (y)

Fxm+1xm+1(0) = xm+1

ym+2 = xm+2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

yn = xn.

(2.79)

Derivam expresia care introduce functia ym+1, rescrisa astfel

Y (x1, · · · ,xm,ym+1,xm+2, · · · ,xn) = xm+1,

unde

Y = Yx1,··· ,xm,xm+2,··· ,xn(ym+1)

=

(

ym+1 +n

∑j=m+2

x j ·a(m+1) jm

a(m+1)(m+1)m

)

√

a(m+1)(m+1)m

Fxm+1xm+1(0)

,


obtinand

dY

dym+1=

1+

n

∑j=m+2

x j · da(m+1) jm

dym+1

a(m+1)(m+1)m

−da

(m+1)(m+1)mdym+1

(

a(m+1)(m+1)m

)2·

n

∑j=m+2

x j a(m+1) jm

Marginirea locala — consecinta a netezimii — functiilor ai jm, da

i jm

dym+1si (2.78) im-

plica faptul ca, pe o mica vecinatate a originii 0Rn , functia dYdym+1

are semn constant

nenul. Atunci, pe baza teoremei de inversiune locala, concludem ca relatiile (2.79)

definesc, cu adevarat, o schimbare neteda de variabile.

Au loc egalitatile — ipoteza de inductie —

F(Φm(y)) = F(Φm(y(x)))

= F(0)+m

∑i=1

Fxixi(0)y2

i

+1

2a(m+1)(m+1)m (y)y2

m+1 +n

∑j=m+2

a(m+1) jm (y)ym+1y j

+1

2

n

∑i, j=m+2

ai jm(y)yiy j

= F(0)+m

∑i=1

Fxixi(0)x2

i +1

2

n

∑i, j=m+2

ai jm(y)xix j

+1

2a(m+1)(m+1)m (y)y2

m+1 +n

∑j=m+2

a(m+1) jm (y)ym+1x j, (2.80)

respectiv — ridicam la patrat cea de-a (m+1)–a egalitate (2.79) —

1

2Fxm+1xm+1

(0)x2m+1

=1

2a(m+1)(m+1)m (y)y2

m+1 +n

∑j=m+2

a(m+1) jm (y)ym+1x j (2.81)

+1

2

n

∑α ,β =m+2

a(m+1)αm (y)a

(m+1)βm (y)

a(m+1)(m+1)m (y)

xα xβ .

Inserand cantitatea (2.81) ın relatiile (2.80), deducem ca


F(Φm(y))

= F(0)+m

∑i=1

Fxixi(0)x2

i

+

[

1

2Fxm+1xm+1

(0)x2m+1 −

1

2

n

∑i, j=m+2

a(m+1)im (y)a

(m+1) jm (y)

a(m+1)(m+1)m (y)

xix j

]

+1

2

n

∑i, j=m+2

ai jm(y)xix j

= F(0)+m+1

∑i=1

Fxixi(0)x2

i +1

2

n

∑i, j=m+2

bi jm+1(y)xix j.

Aici,

bi jm+1(y) = ai j

m(y)−a(m+1)im (y)a

(m+1) jm (y)

a(m+1)(m+1)m

(y).

In concluzie, Φm+1(x) = Φm(y(x)) si ai jm+1(x) = b

i jm+1(y(x)). Afirmatia (2.77) a

fost, asadar, probata.

Estimarea (2.69) (datorata lui M. Morse) este obtinuta luand m = n ın (2.77).

Tinand seama de aceasta reprezentare a functiilor netede, devine evident faptul

ca rolul “jucat” de aplicatia F de la pagina 52 ın structura sistemului diferential

(2.17) este cel al partii patratice.

Sa presupunem ca F(0) = 0. Atunci, lema lui Morse ne conduce la

F(Φ(x)) =1

2(x|D2F(0)x)Rn = (A(0)x|x)Rn ,

respectiv la

F(x) = (A(0)φ(x)|φ(x))Rn , φ = Φ−1. (2.82)

Urmand prezentarea din [36, pg. 182–184], construim o demonstratie a lemei (R.

Palais) care poate fi adaptata la cazul spatiilor Hilbert infinit dimensionale.

Deoarece functia matriceala A din (2.74) este neteda iar matricea A(0) in-

versabila, matricele A(x) raman inversabile41 ıntr-o mica vecinatate V a originii 0Rn .

Fie B : V → Mn(R) functia data de formula B(x) = A(0)−1A(x). Evident, matricea

B(x) este inversabila.

Micsorand eventual talia multimii V , presupunem ca ‖I − B(x)‖ < 1, x ∈ V .

Atunci, putem introduce functia C : V → Mn(R) cu formula

C(x) =√

B(x) =+∞

∑m=0

(

12m

)

[I −B(x)]m, (2.83)

41 Automorfismele spatiului euclidian Rn alcatuiesc o multime deschisa [32, p. 31].


vezi [32, p. 34].

Fie B(x)∗ matricea adjuncta [32, p. 23] a matricei B(x). Daca y, z ∈ Rn (matrice

coloana), au loc relatiile — observam ca (y|z)Rn = zT y = yT z —

(B(x)y|z)Rn = zT B(x)y

= (y|B(x)∗z)Rn = yT B(x)∗z. (2.84)

Produsul scalar luand valori reale, avem

zT B(x)y = (zT B(x)y)T = yT B(x)T z. (2.85)

Din egalitatile (2.84), (2.85) deducem ca — matricele A(x) sunt simetrice —

B(x)∗ = B(x)T = A(x)A(0)−1

= A(0)B(x)A(0)−1, x ∈V.

Ultima formula a adjunctei ne permite, prin inductie matematica, sa observam ca

(

B(x)k)∗

= [B(x)∗]k , [B(x)∗]k = A(0)B(x)kA(0)−1, k ∈ N.

In mod analog, relatiile precedente sunt verificate si de matricea I −B(x). De ase-

meni, [I −B(x)]∗ = I −B(x)∗.

Tinand seama de formula (2.83) a matricei C(x), concludem ca aceasta verifica

relatiile

C(x)∗ =C(x)T = A(0)C(x)A(0)−1, x ∈V.

Atunci,

C(x)∗A(0)C(x) = A(0)C(x)A(0)−1A(0)C(x) = A(0)C(x)2 = A(0)B(x)

= A(x).

Pe baza formulei (2.75), putem scrie ca

F(x) = (A(x)x|x)Rn = (C(x)T A(0)C(x)x|x)Rn = [C(x)x]T A(0)C(x)x

= (A(0)C(x)x|C(x)x)Rn .

Am ajuns la (2.82), unde φ(x) =C(x)x, x ∈V .

Capitolul 3

Varietati centrale, solutii periodice, stabilitate

3.1 Poze (iarasi. . . )

In cartile dedicate sistemelor dinamice ıntalnim din abundenta ilustratii ın care

curbele folosite la descrierea fenomenelor nu sunt obtinute ın urma unor simulari

numerice. Pentru a produce asemenea reprezentari grafice ne putem baza1 pe pa-

chetele xy, xypdf, pe familia PSTricks [69] ori pe sistemele METAFONT (D.

Knuth), METAPOST (J. Hobby) [19, pg. 469, 313, 52], [35]. Un capitol aparte ıl

constituie grafica 3D, pentru care sunt disponibile deja platforme de dezvoltare per-

formante [16].

Un exemplu este dat de Figura 3.1. Pentru a o realiza, recurgem la limbajul

PostScript.

Incepem prin a defini o biblioteca de functii matematice: x 7→ |x|, x 7→ sign(x),x 7→ 1

x· χR−0(x), x 7→ x2 si x 7→

√1+ x2.

biblioteca.ps

1 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

2 %%%%%%%%%%%biblioteca generala%%%%%%%%%%%

3 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

4 %%%%%%modulul

5 %%%%%%semnul

6 %%%%%%unupeceva

7 %%%%%%laputerea2

8 %%%%%%radical din 1 plus patratul a ceva: radi1mare

9

10 /modululdict 1 d i c t def

11 /modulul

12 modululdict begin

13 /numar exch def

14 numar numar mul s q r t

15 end

16 def

17

1 In LATEX.

71

72 3 Varietati centrale, solutii periodice, stabilitate

Fig. 3.1 Constructia unei orbite

18 /semnuldict 1 d i c t def

19 /semnul

20 semnuldict begin

21 /numar exch def

22 numar 0 eq 0numar modulul numar div i f e l s e

23 end

24 def

25

26 /unupecevadict 1 d i c t def

27 /unupeceva

28 unupecevadict begin

29 /numar exch def

30 numar 0 eq 01 numar div i f e l s e

31 end

32 def

33

34 /laputerea2dict 1 d i c t def

35 /laputerea2

36 laputerea2dict begin

37 /numar exch def

38 numar numar mul

39 end

40 def

41

42 /radi1maredict 1 d i c t def

43 /radi1mare

44 radi1maredict begin

45 /numar exch def

46 numar laputerea2 1 add s q r t

47 end

48 def

3.1 Poze (iarasi. . . ) 73

Pentru a folosi functiile din biblioteca, lansam ın executie programul Gho-

stscript, utilizand, eventual, urmatorul fisier de comenzi.

programare_ps.bat

1 @echo o f f

2 s e t prog_scriere=C:\Program Files\gs\gs9.06\bin

3 s e t prog_citire=C:\Program Files\Ghostgum\gsview

4 ::se utilizeaza o cale convenabila :

5 s e t fisier_programe=C:\octavian\De_pe_Seagate\LaTeX2011\ց

(cont.)programare_ps

6 ::se precizeaza un director (folder) pentru programele *.ps :

7 s e t caut="C:\octavian\De_pe_Seagate\LaTeX2011\programare_ps"

8 s e t mesaj=Nu aveti un folder pentru programe!

9 s e t text=Pentru ghostview: gsview32. Pentru ghostscript: gswin32

10

11 path=%path%;%prog_scriere%;%prog_citire%

12 i f not e x i s t %caut% (echo. & echo %mesaj% & echo. & goto final)

13 chdir %fisier_programe%

14 echo. & echo %text% & echo.

15

16 :final

17

18 c a l l cmd

Ca sa nu ne complicam, am salvat fisierul biblioteca.ps pe Desktop. Ras-

punsul Ghostscript-ului este:GPL Ghostscript 9.06 (2012-08-08)

Copyright (C) 2012 Artifex Software, Inc. All rights reserved.

This sofware comes with NO WARRANTY: see the file PUBLIC for details.

GS>

Precizam fisierul de lucru, indicand calea completa:GS>(C:/Documents and Settings/Octavian/Desktop/biblioteca.ps) run

GS>

Aceasta facilitate este esentiala daca, la producerea pozelor unui material sti-

intific, utilizam intensiv o biblioteca de dimensiuni mari. Altfel, se recomanda sa

inseram codul bibliotecii ın sursa ilustratiei.

Vom folosi operatorii pstack si clear pentru a prezenta/vizualiza si respectiv

a goli stiva [1, p. 15].

testarea functiilor

1 GS>123 modulul pstack c l e a r

2 GS>123.0

3 GS>-4 semnul pstack c l e a r

4 GS>-1.0

5 GS>4 unupeceva pstack c l e a r

6 GS>0.25

7 GS>0 unupeceva pstack c l e a r

8 GS>0

9 GS>-3456 radi1mare pstack c l e a r

10 GS>3456.00024

11 GS>


Asa cum se observa ın script-ul anterior, la linia 8, am evitat erorile din cazulnenul

0 impunand ca 10 ≡ 0.

Mai departe, avem nevoie de elemente grafice primitive: puncte.

puncte.ps

1 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

2 %%%%nod bun la toate, cuplaje de linii%%%%

3 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

4 /punctuletdict 7 d i c t def

5 punctuletdict begin


7 end

8 /punctulet

9 punctuletdict begin

10 /grosfrontiera exch def % grosimea frontierei

11 /culoare exch def % culoarea umpluturii

12 /raza exch def % raza

13 /centruy exch def % y centru

14 /centrux exch def % x centru


16

17 newpath

18 centrux centruy t r a n s l a t e

19 0 0 raza 0 360 arc

20

21 gsave

22 culoare s e t g r a y f i l l

23 g r e s t o r e

24 grosfrontiera s e t l i n e w i d t h

25 s t r o k e

26


28 end

29 def

Cu ajutorul unor triunghiuri isoscele, avand laturile curbate, putem construi linii

diverse. Fireste, pentru a obtine rezultate spectaculoase, ar trebui manevrate tehni-

cile2 NURBS [53].

triunghiuri.ps

1 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

2 %%%%%%%%sageti, curbe din tringhiuri%%%%%%%%

3 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

4 /triunghicurbdict 18 d i c t def

5 triunghicurbdict begin


7 end

8 /triunghicurb

9 triunghicurbdict begin

10 %%%foloseste biblioteca.ps

11 %%%intrari:

2 Adica, Non-Uniform Rational B–Splines [51].

3.1 Poze (iarasi. . . ) 75

12 /lungimeh exch def %puneti minus pentru a schimba orientarea

13 /sosirey exch def

14 /sosirex exch def

15 /plecarey exch def

16 /plecarex exch def

17 %%%prelucrari:

18 /mijlocx plecarex sosirex add 2 div def

19 /mijlocy plecarey sosirey add 2 div def

20 /scaderex sosirex plecarex sub def

21 /scaderey sosirey plecarey sub def

22 /semn sosirey plecarey sub semnul def

23 /panta scaderex 0 eq 0scaderey scaderex div i f e l s e def

24 /pantainaltimii panta 0 eq 0panta unupeceva neg i f e l s e def

25 /fractie1 pantainaltimii radi1mare lungimeh exch div def

26 /fractie2 scaderey neg semnul fractie1 mul def

27 /varfulx sosirey plecarey eq mijlocxmijlocx fractie2 add ց

(cont.) i f e l s e def

28 /varfuly sosirey plecarey eq mijlocy lungimeh addfractie2 ց

(cont.)pantainaltimii mul mijlocy add i f e l s e def


30

31 newpath

32 plecarex plecarey moveto

33 plecarex plecarey varfulx varfuly sosirex sosirey curve to

34 s t r o k e

35


37 end

38 def

39

40 /triunghisageatadict 18 d i c t def

41 triunghisageatadict begin


43 end

44 /triunghisageata

45 triunghisageatadict begin


47 %%%intrari:






53 %%%prelucrari:
















66

67 newpath


69 varfulx varfuly l i n e t o

70 sosirex sosirey l i n e t o


72 s t r o k e

73


75 end

76 def

77

78 /triunghicupunctedict 18 d i c t def

79 triunghicupunctedict begin


81 end

82 /triunghicupuncte

83 triunghicupunctedict begin


85 %%%intrari:






91 %%%prelucrari:















104

105 newpath

106 plecarex plecarey 4 .6 .3 punctulet

107 sosirex sosirey 4 .6 .3 punctulet

108 varfulx varfuly 4 .6 .3 punctulet

109 s t r o k e

110


112 end

3.1 Poze (iarasi. . . ) 77

113 def

Acum, constructia Figurii 3.1 se rezuma la manipularea de coordonate pentru

obiectele grafice: triunghiuri, puncte.

figura_3_1.eps


2 %%BoundingBox: 14 14 180 180

3

4 %%%%%constructii de orbite:

5 %%%%%puncte expresive (cerculete)

6 %%%%%sageti (modelate cu triunghiuri)

7 %%%%%auxiliar: biblioteca (de calcule)

8

9 (C:/Documents and Settings/Octavian/Desktop/biblioteca.ps) run

10 (C:/Documents and Settings/Octavian/Desktop/puncte.ps) run

11 (C:/Documents and Settings/Octavian/Desktop/triunghiuri.ps) run

12

13 3 15 t r a n s l a t e

14 50 50 120 120 30 triunghicurb

15 120 120 170 80 53 triunghicurb

16 70 20 170 80 -50 triunghicurb

17 50 50 3 .6 .3 punctulet

18 80 25 80 15 -11 triunghisageata

19

20 newpath

21 20 10 moveto

22 150 10 l i n e t o

23 s t r o k e

24

25 newpath

26 20 10 moveto

27 60 100 l i n e t o

28 s t r o k e

29

30 20 10 3 .6 .3 punctulet

31 120 5 120 15 11 triunghisageata


33

34 showpage

Curba din Figura 3.1 descrie “artistic” o traiectorie ıntr-un sector eliptic al echili-

brului nehiperbolic 0R2 apartinand sistemului diferential

( .x.y

)

=

(

x(x+ y)y(

x+ y2

)

)

,

vezi [52, p. 151]. In realitate, folosind algoritmul RK4 si scriptul WINPP:

sectoare.ode

1 dx/dt = x*(x+y)

2 dy/dt = y*(x+0.5*y)



(cont.)=0.02, t o t a l=100,bounds=5000

4 x(0)=-0.23

5 y(0)=2

6 done

ajungem la situatia din Figura 3.2.

x

y

(0,0)

Fig. 3.2 Echilibrul nehiperbolic 0R2

3.2 Sisteme diferentiale omogene

Fie sistemul diferential

( .x.y

)

=

(

Xm(x,y)Ym(x,y)

)

, t ∈ R, (3.1)

unde aplicatiile Xm, Ym : R2 → R sunt functii netede, omogene3 de ordinul m ∈ N−0. Adica, fiind date numerele α , β , λ ∈ R, are loc relatia Xm(λ ·α,λ ·β ) = λ m ·Xm(α,β ). Presupunem, ın plus, ca 0R2 este singurul punct stationar al sistemului

(3.1).

Urmam prezentarea din [61, p. 49 si urm.]. Incepem prin a cauta, lucrand formal,

o solutie a sistemului (3.1). Astfel, pentru a specula omogenitatea neliniaritatilor,

introducem functia u = u(t) = yx, ceea ce ne conduce la — x 6= 0 —

3 Reamintesc teorema lui L. Euler [42, p. 154] privind functiile omogene de clasa C1, si anume:

mXm(α ,β ) = ∂Xm∂x

(α ,β )α + ∂Xm∂y

(α ,β )β .

3.2 Sisteme diferentiale omogene 79

dy

dx=

.y.x=

Ym(x,y)

Xm(x,y)=

xmYm(1,u)

xmXm(1,u)=

Ym(1,u)

Xm(1,u)

=udx+ xdu

dx= u+ x

du

dx, (3.2)

respectiv la ecuatia diferentiala liniara si omogena [2, p. 85]

dx

du=

Xm(1,u)

Ym(1,u)−uXm(1,u)· x, u ∈ R. (3.3)

Prin integrarea ecuatiei (3.3) obtinem formulele

x(u) = x0 exp(

∫ uu0

Xm(1,v)Ym(1,v)−vXm(1,v)

dv)

,

y(u) = x0uexp(

∫ uu0

Xm(1,v)Ym(1,v)−vXm(1,v)

dv)

,u ∈ R,

unde u0 =y0x0

.

Relatiile (3.2) arata ca sistemul diferential (3.1) este invariant la omotetiile de

centru 0R2 ,

(

x

y

)

7→ K

(

x

y

)

, unde K ∈ R. In particular, este suficient sa studiem

(doar) cate o traiectorie per sector4 pentru sistemul dinamic (3.1), vezi [4, p. 4].

Mai departe, trecem la coordonate polare,

x = ρ cosθ ,y = ρ sinθ ,

ρ =√

x2 + y2,θ = arctan

(

yx

)

.(3.4)

Au loc egalitatile

.ρ =

x.x +y

.y

ρ=

ρ cosθ ·Xm +ρ sinθ ·Ym

ρ

=ρ cosθ ·ρmXm(cosθ ,sinθ)+ρ sinθ ·ρmYm(cosθ ,sinθ)

ρ= ρm · [Xm(cosθ ,sinθ)cosθ +Ym(cosθ ,sinθ)sinθ ]= ρmZ(θ), (3.5)

respectiv

.θ =

x.y −y

.x

ρ2

= ρm−1 · [−Xm(cosθ ,sinθ)sinθ +Ym(cosθ ,sinθ)cosθ ]= ρm−1N(θ). (3.6)

Evident, functiile Z, N pastreaza netezimea functiilor omogene Xm, Ym.

4 Vezi pagina 87.


Fie R = (O,−→B) reperul canonic al spatiului fizic [42, p. 14]. Daca M este punctul

curent5 pe traiectoria — ın planul fazelor Oxy — trecand prin (x0,y0) a sistemului

diferential (3.1), fie α ∈ [0,π] unghiul facut de tangenta ın M la traiectorie cu dreapta

OM. Atunci, folosind vectorul viteza6 v [42, p. 19] — vezi Figura 3.3 —,

cosα =OM · v

|OM| · |v|=

x.x +y

.y

√

(x2 + y2)(X2m +Y 2

m)

=cosθXm(cosθ ,sinθ)+ sinθYm(cosθ ,sinθ)√

X2m(cosθ ,sinθ)+Y 2

m(cosθ ,sinθ)

=Z(θ)

√


m(cosθ ,sinθ)(3.7)

α

x

y

O

M

Fig. 3.3 Vectorul viteza

si

sinα =|OM× v||OM| · |v|

=|x .

y −y.x |

√

(x2 + y2)(X2m +Y 2

m)

=|−Xm(cosθ ,sinθ)sinθ +Ym(cosθ ,sinθ)cosθ |

√


m(cosθ ,sinθ)

=|N(θ)|

√


m(cosθ ,sinθ). (3.8)

5 De coordonate x = x(t), y = y(t), z = 0.6 Cu notatiile din [42], “ · ” desemneaza produsul scalar (·|·)R3 .


Facem observatia ca toate calculele de pana acum raman valabile daca ınlocuim,

ın definitia (3.4) a marimii θ , cantitatea arctan(

yx

)

cu arctan(

yx

)

+ kπ , unde k ∈ Z.

In cazul ın care numarul k este impar, noile formule de trecere la coordonate polare

vor fi x = −r cosθ , y = −r sinθ , ceea ce ınseamna, practic, sa supunem solutiile

sistemului diferential (3.1) la simetria7 de centru 0R2 . Evident, aceasta invariaza

familia solutiilor unui sistem diferential omogen, fapt care justifica observatia. Pre-

supunem, ın cele ce urmeaza, ca θ = θ(t) ∈R poate lua (aprioric) orice valoare din

domeniul (−∞,+∞).Ce afirma, defapt, calculul privind unghiul α? Daca traiectoria sistemului di-

ferential (3.1) intersecteaza transversal8 dreapta de panta m = tanβ , unde β ∈ R,

care trece prin O, tangentele ın punctele de intersectie la traiectoria ın cauza au

(aceeasi) panta constanta — depinzand de β —. Spunem ca aceste drepte sunt

izocline9 pentru sistemul diferential (3.1).

Alta consecinta a calculului privind unghiul α este ca, daca sinα = 0, adica

“raza” fixa d = OM este tangenta ın M traiectoriei, atunci ecuatia functionala

N(θ) = 0, θ ∈ R, (3.9)

admite cel putin un zero, notat θ0. Reformularea ın coordonate polare a sistemului

(3.1) — sistemul (3.5), (3.6) — devine ın acest caz

.ρ = Z(θ0) ·ρm,.θ = 0,

t ∈ R, (3.10)

deci un sistem cu solutii de forma (ρ(t),θ0), θ0 ∈R. De aici rezulta ca semidreptele

din planul fazelor trecand prin O si avand panta (comuna) tanθ0 sunt traiectorii ale

sistemului dinamic (3.1).

Atunci cand ecuatia (3.9) este verificata de toate numerele reale θ , punctul

stationar 0R2 reprezinta un nod stelar pentru sistemul (3.1) [61, p. 51].

Presupunem, ın continuare, ca ecuatia (3.9) nu are radacini reale. Astfel, exista

Nmic > 0 cu proprietatea ca minθ∈[−π,π]

|N(θ)|= Nmic. Inlocuind eventual pe t cu −t, vom

considera ca N(θ)> 0 pentru orice θ ∈R. Cum functia N admite perioada 2π , este

evident ca

minθ∈R

N(θ) = Nmic. (3.11)

Sistemul diferential (3.5), (3.6) ne conduce la

dρdθ

=

.ρ.θ=

Z(θ)N(θ)

·ρ , θ ∈ R, (3.12)

de unde, prin integrare, obtinem

7 Adica, omotetia de coeficient K =−1.8 Adica, netangent [20, p. 30].9 In limba engleza, isocline (sing.) [57, p. 109].


ρ(θ) = ρ0 exp

(

∫ θ

θ0

Z(u)

N(u)du

)

, θ ∈ R, ρ0 ∈ (0,+∞). (3.13)

Formula (3.13) arata ca, ın planul fazelor, solutia sistemului diferential (3.5),

(3.6), plecata din (ρ0,θ0), se “ ınvarte” pentru “ totdeauna” — vezi (3.11) — ın

jurul originii 0R2 .

Daca avem fie limθ→+∞

∫ θθ0

Z(u)N(u) du=−∞ fie lim

θ→−∞

∫ θθ0

Z(u)N(u) du=−∞, ceea ce implica

limθ→+∞

ρ(θ) = 0, respectiv limθ→−∞

ρ(θ) = 0, atunci punctul stationar 0R2 va constitui

un focar (stabil pentru −, instabil pentru +) al sistemului dinamic (3.1).

De asemeni, daca∫ θ0+2π

θ0

Z(u)N(u) du = 0, adica ρ(θ0) = ρ(θ0 + 2π), atunci traiec-

toriile sistemului (3.5), (3.6) vor fi curbe ınchise, cu centrul de simetrie ın 0R2 , acest

punct fiind centrul sistemului dinamic (3.1).

Folosind teorema lui L. Euler referitoare la functiile omogene, reorganizam inte-

grala din (3.13). Astfel, au loc egalitatile

mZ(θ)

=

(

∂Ym

∂xcosθ +

∂Ym

∂ysinθ

)

sinθ +

(

∂Xm

∂xcosθ +

∂Xm

∂ysinθ

)

cosθ

=∂Xm

∂xcos2 θ +

∂Ym

∂ysin2 θ + sinθ cosθ

(

∂Ym

∂x+

∂Xm

∂y

)

(3.14)

si

dN

dθ

=

(

−∂Ym

∂xsinθ +

∂Ym

∂ycosθ

)

cosθ −Ym sinθ

−(

−∂Xm

∂xsinθ +

∂Xm

∂ycosθ

)

sinθ −Xm cosθ

=∂Ym

∂ycos2 θ +

∂Xm

∂xsin2 θ − sinθ cosθ

(

∂Ym

∂x+

∂Xm

∂y

)

−(Ym sinθ +Xm cosθ)

=∂Ym

∂ycos2 θ +

∂Xm

∂xsin2 θ −Z

−sinθ cosθ(

∂Ym

∂x+

∂Xm

∂y

)

. (3.15)

Introducand expresia dintre parantezele rotunde din (3.15) ın (3.14), ajungem la

(m+1)Z =∂Xm

∂x+

∂Ym

∂y− dN

dθ,

respectiv la


ρ(θ) = ρ0

[

N(θ0)

N(θ)

] 1m+1

exp

1

m+1

∫ θ

θ0

(

∂Xm∂x

+ ∂Ym∂y

)

(cosv,sinv)

N(v)dv

,

unde θ ∈ R.

Sa presupunem acum ca θ0 este un zero izolat al ecuatiei (3.9). Folosind dezvol-

tari ın serii Taylor limitate, putem trage cateva concluzii privind comportamentul

asimptotic al solutiilor sistemului (3.5), (3.6).

Deoarece originea planului fazelor este unicul punct stationar al sistemului

diferential (3.1), deducem ca Z(θ)2 +N(θ)2 > 0 pentru orice θ . Va exista, asadar,

δ = δ (θ0) cu proprietatea ca

Z(θ) = Z(θ0)+Z′(θ0)(θ −θ0)+ · · ·

= Z(θ0)(1+ ε1(θ −θ0)), |ε1(θ −θ0)|<1

2

atunci cand |θ − θ0| < δ . De asemeni, exista numarul ıntreg k ≥ 1 astfel ıncat

N(i)(θ0) = 0, i ∈ 0,k−1, si N(k)(θ0) 6= 0. In consecinta,

N(θ) =1

k!N(k)(θ0)(θ −θ0)

k(1+ ε2(θ −θ0)), |ε2(θ −θ0)|<1

2,

pentru orice θ ∈ (θ0 −δ ,θ0 +δ ).In Figura 3.5, linia continua desemneaza multimea (raza) invarianta (ρ ,θ) :

θ = θ0 a sistemului dinamic (3.5), (3.6), ın timp ce unghiul plin10 cu laturi “punc-

tate”, de marime 2δ , pentru care raza invarianta este bisectoare, constituie unghiul

normal A [61, p. 53] al razei invariante. Notam cu A−, respectiv A+ regiunile

(ρ ,θ) : θ0 −δ ≤ θ < θ0 si (ρ ,θ) : θ0 −δ ≥ θ > θ0.

Astfel, pentru θ ∈ A−∪A+, ecuatia (3.12) ramane valabila, adica

dρdθ

= k!Z(θ0)

N(k)(θ0)(1+ ε3(θ −θ0)) ·

1

(θ −θ0)k·ρ , |ε3(θ −θ0))|<

1

2.

Prin integrare — cand θ < θ0 —, obtinem omoloaga relatiei (3.13), si anume

ρ(θ) = ρ(θ0 −δ )exp

(

c(θ0,k)∫ θ

θ0−δ

1+ ε3(s−θ0)

(θ0 − s)kds

)

,

unde c(θ0,k) = (−1)kk!Z(θ0)

N(k)(θ0).

Observam ca, ın functie de marimea numarului k, avem estimarile

10 Sau domeniul sectorial.


∫ θ

θ0−δ

1+ ε3(s−θ0)

(θ0 − s)kds (3.16)

∈

[

12(k−1)

(

1(θ0−θ)k−1 − 1

δ k−1

)

, 32(k−1)

(

1(θ0−θ)k−1 − 1

δ k−1

)]

, k ≥ 2,

[

12 ln δ

θ0−θ ,32 ln δ

θ0−θ

]

, k = 1.

Daca c(θ0,k)< 0, tragem concluzia ca

limθրθ0

ρ(θ) = 0.

In mod natural, putem pune ıntrebarea: cand se ıntampla asa ceva? Pentru a

raspunde, separam variabilele ın ecuatia diferentiala (3.6), adica — reamintesc ca

m ≥ 1 —

dt =dθ

ρ(θ)m−1N(θ)=

k!

N(k)(θ0)(1+ ε4(θ −θ0)) ·

1

ρ(θ)m−1

× (−1)k dθ(θ0 −θ)k

, |ε4(θ −θ0)|<1

2.

Presupunem ca numarul k este impar si c(θ0,k)< 0. Astfel, Z(θ0) si N(k)(θ0) au

acelasi semn. Fixam N(k)(θ0)> 0.

Printr-o noua integrare, conform (3.16),

∫ t(θ)

t(θ0−δ )ds

=− k!

N(k)(θ0)

∫ θ

θ0−δ

1+ ε4(s−θ0)

ρ(θ)m−1

ds

(θ0 − s)k(3.17)

≤− k!

N(k)(θ0)· 1[

supξ∈[θ0−δ ,θ0)

ρ(ξ )

]m−1· 1

2(k−1)

[

1

(θ0 −θ)k−1− 1

δ k−1

]

,

deci limθրθ0

t(θ) =−∞. In mod analog, daca N(k)(θ0)< 0, limθրθ0

t(θ) = +∞.

Asadar, comportamentul solutiei este descris de relatiile

limt→−∞

ρ(t) = 0, limt→−∞

θ(t) = θ0.

Vezi Figurile 3.6 si 3.14, unde liniile punctate sunt izocline. Cazul N(k)(θ0)< 0 este

ilustrat ın Figurile 3.5, 3.13.

In Figurile 3.5, 3.6 am descris directiile campului vectorial −→x 7→ −→X−→x =

(

Xm

Ym

)

(−→x ), unde −→x =

(

x

y

)

, asociat sistemului diferential (3.1). Din (3.7), (3.8) deducem


ca

sinα = f (θ −θ0)

=1+ ε5(θ −θ0)

k!· |N(k)(θ0)|√

(X2m +Y 2

m)(cosθ0,sinθ0)· |θ0 −θ |k

si

cosα = g(θ −θ0)

=Z(θ0)

√

(X2m +Y 2

m)(cosθ0,sinθ0)· (1+ ε6(θ −θ0)),

unde |εi(θ −θ0)|< 12 cand (ρ ,θ) ∈ A−, i ∈ 5,6, deci marimea unghiului (neori-

entat) α scade pe masura ce ne apropiem de raza invarianta. In functie de semnul

marimii Z(t0) stabilim orientarea (sageata) vectorilor campului−→X .

Traiectoria descrisa de punctul curent M = M(x(t),y(t)) ın planul fazelor are

curbura cu semn data de formula [45, p. 23]

ks =

.x (t)

..y (t)− ..

x (t).y (t)

[.x (t)]2 +[

.y (t)]2

32

=ρ(θ)2 +2[ρ ′(θ)]2 −ρ(θ)ρ ′′(θ)

ρ(θ)2 +[ρ ′(θ)]232

· sgn [.θ (t)] (3.18)

(via (3.12)) =N(θ)[N(θ)2 +Z(θ)2 −N(θ)Z′(θ)+N′(θ)Z(θ)]

ρ(θ)[Z(θ)2 +N(θ)2]32

× sgn [.θ (t)]

=N(θ) · sgn [N(θ)]

ρ(θ)[Z(θ)2 +N(θ)2]32

× [Z(θ0)2 +N′(θ0)Z(θ0)+O(|θ −θ0|)] (cand θ → θ0)

=1

k!· |N(k)(θ0)|

ρ(θ0)|Z(θ0)|3· (1+ ε7(θ −θ0))

× [Z(θ0)2 +N′(θ0)Z(θ0)]|θ0 −θ |k, |ε7(θ −θ0)|<

1

2, (3.19)

unde (ρ ,θ) ∈ A−.

Spunem despre curba din Figura 3.4 ca este convexa ın M catre O daca linia

punctata plecand din O intersecteaza ıntai curba si apoi tangenta (orientata) ın M la

aceasta din urma. In caz contrar, avem concavitate catre O. Curbura cu semn este

pozitiva pentru aceasta convexitate [45, p. 7].

In cazul particular discutat pana acum — k impar si Z(θ0), N(k)(θ0)> 0 —, daca

avem k ≥ 3, atunci semnul curburii ks este dat de estimarea


ks =1

k!· |N(k)(θ0)|

ρ(θ0)|Z(θ0)|· (1+ ε7(θ −θ0)) · |θ0 −θ |k,

deci este plus. Asadar, traiectoria paraseste regiunea A− ca o curba convexa catre

O.

Trebuie retinut ca, via (3.19), semnul curburii ks coincide cu semnul marimii

Z(t0)2 +N′(t0)Z(t0). Pentru a obtine concavitatea catre O a orbitei este, evident,

necesar ca N′(t0) 6= 0.

Demonstratia formulei (3.18) se bazeaza pe relatiile

.x=

.ρ cosθ −ρ

.θ sinθ ,

.y=

.ρ sinθ +ρ

.θ cosθ ,

..x=

(

..ρ −ρ

.θ

2)

cosθ −(

2.ρ

.θ +ρ

..θ)

sinθ ,

..y=

(

..ρ −ρ

.θ

2)

sinθ +(

2.ρ

.θ +ρ

..θ)

cosθ ,

respectiv

.x..y − ..

x.y= 2

.ρ2 .

θ +ρ.ρ

..θ −ρ

.θ

..ρ +ρ2

.θ

3,

.x

2+

.y

2=

.ρ2

+ρ2.θ

2

si

ρ ′ =.ρ.θ, ρ ′′ =

(ρ ′)·.θ

=

..ρ

.θ − .

ρ..θ

.θ

3.

De aici,

.x..y − ..

x.y=

.θ

3 [

ρ2 +2(ρ ′)2 −ρρ ′′]

,(

.x

2+

.y

2) 3

2= |

.θ |3

[

ρ2 +(ρ ′)2] 3

2.

Inainte de a comenta subcazul k = 1, introducem alta cantitate auxiliara ın

analiza, si anume distanta pana la raza invarianta — reamintesc, suntem ın A− —,

D(θ0 −θ) = ρ(θ)sin(θ0 −θ)

= ρ(θ0 −δ )sin(θ0 −θ)exp

(

c(θ0,k)∫ θ

θ0−δ

1+ ε3(s−θ0)

(θ0 − s)kds

)

.

Acum, pentru k = 1, cum Z(t0) si N′(t0) au acelasi semn, deci Z(θ0)2 +N′(θ0)

Z(θ0)> 0, remarcam ca [61, p. 61], prin dezvoltare ın serie Taylor,


1+ ε3(s−θ0)

θ0 − s=

1

θ0 −θ+ c1 + c2(s−θ0)+ · · · , ci ∈ R. (3.20)

Mai departe, via (3.20),

D(θ0 −θ) =ρ(θ0 −δ )δ−c(θ0,1)

· sin(θ0 −θ)(θ0 −θ)c(θ0,1)

· exp(c1(θ −θ0 +δ )+ · · ·) (3.21)

si limθրθ0

D(θ0 −θ) = 0. Acest subcaz nu produce nicio schimbare ın desenul fazelor.

In continuare, presupunem ca numarul k este impar, Z(θ0) > 0 si N(k)(t0) <0. Astfel, via (3.17), lim

θրθ0

ρ(θ) = limt→+∞

ρ(t) = +∞, limt→+∞

θ(t) = θ0. De asemeni,

tinand cont de limita limuց0

(

sinu · ec

uγ)

= +∞, unde c, γ > 0, estimarea (3.16) arata

ca limθրθ0

D(θ0 −θ) = +∞. Situatia este ilustrata ın Figura 3.16 (k ≥ 3).

Cazului k = 1, Z(θ0)2 + N′(θ0)Z(θ0) < 0 si Z(θ0) > 0 ıi corespunde Figu-

ra 3.18. Intr-adevar, cumN′(θ0)Z(θ0)

< −1, deci c(θ0,1) ∈ (0,1), din (3.21) rezulta ca

limθրθ0

D(θ0 −θ) = 0.

Pentru k = 1 si Z(θ0)2 +N′(θ0)Z(θ0) = 0 — evident, Z(t0) si N′(t0) au semne

contrare11 —, obtinem c(θ0,1)= 1 ın (3.21), de unde limθրθ0

D(θ0−θ)= d ∈ (0,+∞).

Am ajuns la contextul Figurilor 3.19 – 3.22, ın care traiectoriile au drept asimptote

directii “punctate”, paralele cu raza invarianta (ρ ,θ) : θ = θ0 a sistemului dinamic

(3.5), (3.6).

De exemplu, ın Figura 3.19 avem Z(θ0) = −N(θ0) < 0. Din (3.17) rezulta ca

limθրθ0

t(θ) =−∞. Conform (3.21), traiectoria sistemului dinamic a avut, ın urma cu

“+∞ momente”, drept asimptota linia punctata ∆ . Cum limθրθ0

ρ(θ) = +∞, punctul

curent vine “de la +∞” pe raza invarianta.

Separand variabilele ın prima dintre ecuatiile (3.10), deducem ca

∫ ρ(0)

ρ(T )

du

um=−Z(t0) ·

∫ T

0dt, T > 0,

unde 0 < ρ(T )< ρ(0). Astfel, limT→+∞

ρ(T ) = 0.

Figurile 3.23 – 3.26 se refera la situatia cand numarul k ≥ 2 este par. Aici, ks > 0.

In sfarsit, ın Figurile 3.27 – 3.29 liniile (drepte) continue sunt raze invariante

corespunzand unor zerouri izolate ale ecuatiei (3.9), iar curbele desemneaza traiec-

torii posibile. In ordinea indicata, domeniile sectoriale formate ıntre liniile continue

reprezinta un12 unghi eliptic, unul hiperbolic, respectiv unul parabolic13.

11 In fapt, Z(θ0) =−N′(θ0) 6= 0.12 Sau sector eliptic.13 Sau ventilator. In limba engleza, fan, cf. [39, p. 219].


O

M

Fig. 3.4 Convexitate ın M catre O

O

δ

Fig. 3.5 Raza invarianta


Fig. 3.6 Directiile campului vectorial










Fig. 3.13 Alura traiectoriilor









∆

Fig. 3.19 Alura traiectoriilor, asimptotele




3.3 Desene 97

3.3 Desene

Singurul element de noutate, ın ilustratiile anterioare, ıl reprezinta linia puncta-

ta. Codul sau este listat ın cele ce urmeaza.

linie_punctata.ps

1 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

2 %%%%%%%%%%%%linie punctata%%%%%%%%%%%%

3 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

4 /liniepunctatadict 22 d i c t def

5 liniepunctatadict begin


7 end

8

9 /liniepunctata

10 liniepunctatadict begin

11 %%%date de intrare:





16 /lungime exch def %lungimea liniutei

17 %%%prelucrari:

18 /diferentax

19 sosirex plecarex sub def

20 /diferentay

21 sosirey plecarey sub def

22 /lungimealiniei

23 diferentax diferentax mul

24 diferentay diferentay mul

25 add s q r t def

26 /lungime lungime 0 l e 1lungime i f e l s e def

27 /spatiugol

28 lungime 4 div def %il propun eu, nu utilizatorul

29 /numardeaplicari

30 lungimealiniei lungime div c v i def

31 /cosunghi

32 sosirex plecarex sub lungimealiniei div def

33 /sinunghi

34 sosirey plecarey sub lungimealiniei div def

35 /adaosx

36 lungime spatiugol sub cosunghi mul def

37 /adaosy

38 lungime spatiugol sub sinunghi mul def

39 /pasx

40 lungime cosunghi mul def

41 /pasy

42 lungime sinunghi mul def


44 %%%constructia liniei:

45 1 1 numardeaplicari

46 newpath

47 0.6 s e t l i n e w i d t h




3.3 Desene 99






3.3 Desene 101





49 adaosx adaosy r l i n e t o

50 s t r o k e

51 /plecarex plecarex pasx add def

52 /plecarey plecarey pasy add def

53 f o r


55 end

56 def

Pentru modalitatea de ıntrebuintare a dictionarelor — instructiunea dict din

linia 4 — ın PostScript, vezi [1, pg. 132, 133]. O tehnica avansata de producere

a curbelor punctate este detaliata ın [1, p. 147 si urm.]. O vom prezenta ıncepand

cu pagina 145.

Acum, Figura 3.5 poate fi realizata cu instructiunile de mai jos.

figura_3_5.eps


2 %%BoundingBox: 14 14 120 120

3

4 (C:/Octavian/De_pe_Seagate/Eseuri/SistemeDinamice_1_2012/ց

(cont.)Biblioteca_ps/biblioteca.ps) run


(cont.)Biblioteca_ps/linie_punctata.ps) run


(cont.)Biblioteca_ps/triunghiuri.ps) run

7

8 newpath

9 20 20 t r a n s l a t e

10 2.6 0 0 70 30 liniepunctata




14

15 newpath

16 1 s e t l i n e w i d t h

17 0 0 moveto

18 60 60 l i n e t o

19 s t r o k e

20 newpath

21 18 54 moveto

22 23 42 l i n e t o

23 s t r o k e

24 newpath

25 19 31 moveto

26 17 20 l i n e t o

27 s t r o k e

28 newpath

29 31 19 moveto

30 20 17 l i n e t o

31 s t r o k e

32 newpath

33 54 18 moveto

3.4 Varietati centrale W c ale unui echilibru 103

34 42 23 l i n e t o

35 s t r o k e

36

37 20 43.4 24 45.4 -3 triunghisageata

38 43.4 20 45.4 24 3 triunghisageata

39 15.4 23.1 19.8 22.4 -3 triunghisageata

40 23.1 15.4 22.4 19.8 3 triunghisageata


42 48 48 60 26 8 triunghicurb

43


45 0 s e t g r a y


47 newpath

48 -4 -4.6 moveto

49 (O) show

50

51 /Symbol f i n d f o n t 6 s c a l e f o n t s e t f o n t

52 0 s e t g r a y


54 newpath

55 60 20 moveto

56 (d) show

57

58 showpage

3.4 Varietati centrale W c ale unui echilibru

Ne intereseaza, ın aceasta subsectiune, comportamentul asimptotic al solutiilor

sistemului diferential (2.17) atunci cand matricea A poseda valori proprii cu partea

reala nula.

Urmam prezentarea din [14, pg. 326–339] si ıncepem discutia cu o modificare a

principiului contractiei (S. Banach), numita principiul contractiei fibrelor. Mai pre-

cis, fiind date spatiile metrice (X ,dX ), (Y,dY ), sa consideram ca aplicatia continua14

F : X ×Y → X ×Y introdusa prin relatia

F(x,y) = (F1(x),F2(x,y)), x ∈ X , y ∈ Y,

ındeplineste conditiile:

(i) exista un atractor global x∞ ∈ X pentru F1 : X → X , adica, oricare ar fi x ∈ X ,

sirul15 ((F1)n(x))n≥1 converge la x∞ ın metrica spatiului;

(ii) acesta este si punct fix16 al functiei F1, F1(x∞) = x∞;

(iii) exista numarul µ ∈ (0,1) pentru care

14 In raport cu topologia generata de metrica produs a spatiului X ×Y , avand formula d((x1,y1),(x2,y2)) = dX (x1,x2)+dY (y1,y2).15 Evident, (F1)

n = F1 · · · F1 — aplicam “ ” de n−1 ori —.16 Consecinta a continuitatii aplicatiei F1, caci


dY (F2(x,y1),F2(x,y2))≤ µ ·dY (y1,y2), x ∈ X , yi ∈ Y.

Atunci, afirmam ca, daca aplicatia F2(x∞, ·) : Y → Y admite17 punctul fix y∞,

elementul (x∞,y∞) constituie un atractor global al functiei F .

Pentru a proba aceasta, fie x ∈ X si y ∈ Y . Observam ca

F 2(x,y) = (F1,F2)(F(x,y)) = (F1,F2)(F1(x),F2(x,y))

= ((F1)2(x),F2(F1(x),F2(x,y)))

=(

(F1)2(x),F

F1(x)2 (F2(x,y))

)

=(

(F1)2(x),F

F1(x)2 (F x

2 (y)))

,

unde F x2 (y) = F2(x,y), respectiv

F 3(x,y) =(

(F1)3(x),F

F1(F1(x))2 (F

F1(x)2 (F2(x,y)))

)

=(

(F1)3(x),F

F1(F1(x))2 (F

F1(x)2 (F x

2 (y))))

.

Prin inductie matematica dupa n ≥ 1, deducem ca

F n(x,y) =(

(F1)n(x),(F

(F1)n−1(x)

2 F(F1)

n−2(x)2 · · · F x

2 )(y))

, (3.22)

cf. [14, p. 127].

Mai departe, via (3.22),

d(F n(x,y),F n(x,y∞))

= dY

(

(F(F1)

n−1(x)2 · · · Fx

2 )(y),(F(F1)

n−1(x)2 · · · F x

2 )(y∞))

≤ µndY (y,y∞) (3.23)

si

dX (F1(x∞),x∞) ≤ dX (F1(x∞),Fn+11 (x))+dX (F

n+11 (x),x∞)

= dX (F1(x∞),F1(Fn1 (x)))+o(1) cand n →+∞.

17 Spatiul metric (Y,dY ) nu este neaparat complet.


d(F n(x,y∞),Fn(x∞,y∞))

= dX ((F1)n(x),(F1)

n(x∞))

+dY

(

(F(F1)

n−1(x)2 · · · F x

2 )(y∞),y∞

)

≤ dX ((F1)n(x),x∞) — ipoteza (ii) —

+[

dY

(

(F(F1)

n−1(x)2 · · · Fx

2 )(y∞),F(F1)

n−1(x)2 (y∞)

)

+dY

(

F(F1)

n−1(x)2 (y∞),y∞

)]

≤ dX ((F1)n(x),x∞)

+µ ·dY

(

(F(F1)

n−2(x)2 · · · F x

2 )(y∞),y∞

)

+dY

(

(F(F1)

n−1(x)2 (y∞),y∞

)

.

Prin inductie matematica dupa n ≥ 1, remarcam ca

d(F n(x,y∞),Fn(x∞,y∞)) ≤ dX ((F1)

n(x),x∞)

+n−1

∑i=0

µn−1−idY

(

F(F1)

i(x)2 (y∞),y∞

)

. (3.24)

Observam apoi ca

dY

(

F(F1)

i(x)2 (y∞),y∞

)

= dY

(

F2((F1)i(x),y∞),y∞

)

= dY

(

F2((F1)i(x),y∞),F2(x∞,y∞)

)

= o(1) cand i →+∞

drept consecinta a continuitatii aplicatiei F2. Fie M = M(x) < +∞ astfel ıncat

dY

(

F(F1)

i(x)2 (y∞),y∞

)

≤ M pentru orice i ≥ 0.

Fixam ε > 0. Exista numerele ıntregi i1 ≥ 1, i1 = i1(x), respectiv n1 > i1, n1 =

n1(x,y), cu proprietatea ca 0 ≤ dY

(

F(F1)

i(x)2 (y∞),y∞

)

≤ 14 (1−µ)ε pentru orice i ≥

i1, respectiv µndY (y,y∞)+ dX ((F1)n(x),x∞) <

ε2 , n ≥ n1. Astfel, tinand seama de

(3.23), (3.24),


d(F n(x,y),F n(x∞,y∞)) = d(F n(x,y),(x∞,y∞))

≤ d(F n(x,y),F n(x,y∞))+d(F n(x,y∞),Fn(x∞,y∞))

≤ µndY (y,y∞)+dX ((F1)n(x),x∞)+

n−1

∑i=0

µn−1−idY

(

F(F1)

i(x)2 (y∞),y∞

)

≤ ε2+

(

i1−1

∑i=0

+n−1

∑i=i1

)

µn−1−idY

(

F(F1)

i(x)2 (y∞),y∞

)

≤ ε2+Mµn−i1 ·

i1−1

∑i=0

µ i +1

4(1−µ)ε · ∑

j≥0

µ j

≤ ε2+

M

1−µ·µn−i1 +

ε4=

3ε4

+M

1−µ·µn−i1 < ε ,

unde n ≥ N = N(ε ,x,y)≥ max

n1, i1 +ln

ε(1−µ)4M

ln µ

este suficient de mare.

Cum numarul ε a fost ales ın mod arbitrar, afirmatia este probata.

Presupunem acum ca matricea A a sistemului diferential (2.17) admite o descom-

punere de tipul (2.45). In fapt, consideram sistemul diferential

( .x.y

)

=

(

S 0k,l

0l,k U

)(

x

y

)

+

(

F(x,y)G(x,y)

)

, (3.25)

unde matricea S ∈ Mk(R) admite valorile proprii (λi)i∈1,k iar matricea U ∈ Ml(R)

valorile proprii (λi)i∈k+1,k+l , k, l ≥ 1. Ca si anterior, functiile netede F : Rk+l ≡Rk ×Rk → Rl , G : Rk+l → Rl joaca rolul unor parti patratice, adica F(0,0) = 0,

G(0,0) = 0 si, pentru orice γ1 > 0, exista γ2 > 0 astfel ıncat

‖Jac(x3,y3)F‖+‖Jac(x3,y3)G‖< γ1 (3.26)

si

‖F(x1,y1)−F(x2,y2)‖+‖G(x1,y1)−G(x2,y2)‖≤ γ1‖(x1,y1)− (x2,y2)‖ (3.27)

daca ‖(xi,yi)‖< γ2, xi ∈ Rk, yi ∈ Rl .

Asa cum am procedat ın cazul hiperbolic, ne intereseaza gasirea unei varietati

diferentiale simple W c = (x,y) : y = ψ(x), cu ψ(0) = 0, Jac0Rk

ψ = 0 [12, p. 3],

pe care sa analizam comportamentul asimptotic al solutiilor sistemului (3.25). In

acest scop, modificam functiile F, G, multiplicandu-le cu functii netede de suport

compact, si impunem ca relatiile (3.26), (3.27) sa aiba loc oriunde ın Rk+l . Talia

marimii γ1 va fi precizata ulterior. In jurul lui 0, vechile si noile functii F, G vor

coincide [33, p. 251].

Introducem spatiul Banach real Em,n al functiilor continue f :Rm →Rn, m, n≥ 1,

cu proprietatea ca


f (0) = 0, ‖ f‖= supξ∈Rm−0

‖ f (ξ )‖‖ξ‖ <+∞,

vezi si [41, p. 80]. Un subspatiu (liniar) important este Lip(Em,n), format din

functiile Lipschitziene, pentru care

Lip( f ) = supξ1 6=ξ2∈Rn

‖ f (ξ1)− f (ξ2)‖‖ξ1 −ξ2‖

<+∞, f ∈ Em,n. (3.28)

In particular, cum f (0) = 0, avem ‖ f (x)‖ ≤ ‖ f‖ · ‖x‖ si

‖ f‖ ≤ Lip( f ). (3.29)

Daca f =

f1

...

fn

∈ Lip(Em,n) este neteda, atunci

∣

∣

∣

∣

∂ fi

∂x j(ξ )∣

∣

∣

∣

≤ suph∈R−0

| fi(ξ +he j)− fi(ξ )||h| ≤ sup

h 6=0

‖ f (ξ +he j)− f (ξ )‖|h|

≤ Lip( f ), i ∈ 1,n, j ∈ 1,m,

unde e1, . . . ,em este baza canonica (ortonormata) a spatiului euclidian Rm, respec-

tiv18

‖Jacx f‖ ≤√

mn ·Lip( f ), x ∈ Rm. (3.30)

Folosind estimarea (3.29), se observa ca multimile (Bm,nρ )ρ>0, unde B

m,nρ = f ∈

Em,n : Lip( f ) ≤ ρ, alcatuiesc spatii metrice complete daca sunt dotate cu metrica

sup,

d( f1, f2) = supξ 6=0

‖ f1(ξ )− f2(ξ )‖‖ξ‖ , fi ∈ B

m,nρ .

Presupunem ca exista numerele α, β ∈ R astfel ıncat

max1≤i≤k

Re λi < α < β < mink+1≤i≤k+l

Re λi. (3.31)

Atunci, putem introduce marimea K > 0 pentru care sa aiba loc omoloagele relatiilor

(2.46), adica

18 Daca M ∈ Mm,n(R), atunci, pe baza inegalitatii Cauchy-Buniakovski-Schwarz, are loc inegali-

tatea ‖M‖= sup‖x‖≤1

‖Mx‖‖x‖ ≤ sup

‖x‖≤1

[

1‖x‖ ·

√

∑i, j|mi j|2 ·∑

k

|xk|2]

=√

∑i, j|mi j|2.


‖etS‖ ≤ Keαt , t ≥ 0,

‖etU‖ ≤ Keβ t , t ≤ 0.(3.32)

Fie ψ ∈ Lip(Ek,l), unde

Lip(ψ)<β −αKγ1

−1, (3.33)

si sistemul diferential

.x = Sx+F(x,ψ(x)). (3.34)

Aici19,

‖F(x1,ψ(x1))−F(x2,ψ(x2))‖ ≤ γ1(‖x1 − x2‖+‖ψ(x1)−ψ(x2)‖)≤ γ1(1+Lip(ψ))‖x1 − x2‖, (3.35)

respectiv

‖F(x,ψ1(x))−F(x,ψ2(x))‖ ≤ γ1‖ψ1(x)−ψ2(x)‖≤ γ1‖ψ1 −ψ1‖ · ‖x‖ (3.36)

si

‖F(x1,ψ1(x1))−F(x2,ψ2(x2))‖ ≤ ‖F(x1,ψ1(x1))−F(x2,ψ1(x2))‖+ ‖F(x2,ψ1(x2))−F(x2,ψ2(x2))‖≤ γ1(1+Lip(ψ1)‖x1 − x2‖+ γ1‖ψ1 −ψ2‖ · ‖x2‖.

Astfel, aplicatia (x,ψ) 7→ F(x,ψ(x)), notata tot F, este local Lipschitziana ın Rk ×Lip(Ek,l).

Plecand de la (3.33), introducem numarul ρ > 0 pentru care

√klρ < β−α

Kγ1−1, K2γ1(1+

√klρ)

β−α−Kγ1(1+√

klρ)< ρ ,

K2γ1

[

1+√

klρβ−α−2Kγ1(1+

√klρ)

+ 1

β−α−Kγ1(1+√

klρ)

]

= ζ , ζ ∈ (0,1).(3.37)

Este evident ca, fiind date numerele α, β , ρ , estimarile (3.37) pot fi obtinute facan-

du-l pe γ1 din (3.26), (3.27) suficient de mic. De asemeni, estimarile sunt valabile

si fara factorul√

kl, dat fiind ca aplicatia u 7→ K2γ1(1+u)β−α−Kγ1(1+u) este crescatoare ın

vecinatatea lui 0.

Pentru a ∈ Rk, avem ecuatia integrala

19 ‖(x,y)‖=√

‖x‖2 +‖y‖2 ≤ ‖x‖+‖y‖, unde (x,y) ∈ Rk ×Rl .


x(t) = etSa+∫ t

0e(t−τ)SF(x(τ),ψ(x(τ)))dτ (3.38)

a solutiilor ecuatiei diferentiale functionale.x = Sx+F(x,ψ). Tehnica standard [23,

pg. 26–27] arata ca ecuatia (3.38) admite solutia (unica, locala) x = x(t,a,ψ) si ca

aplicatia (t,a,ψ) 7→ x(t,a,ψ) este Lipschitziana (local).

Estimarea — F(0,ψ(0)) = F(0,0) = 0, reamintesc (3.35) —

‖x(t)‖ ≤ Keαt

[

‖a‖+∫ t

0e−ατ · γ1(1+Lip(ψ))‖x(τ)‖dτ

]

,

reorganizata ca

z(t)≤ K‖a‖+∫ t

0Kγ1(1+Lip(ψ))z(s)ds, z(t) = e−αt‖x(t)‖,

ne conduce, via inegalitatea Gronwall-Bellman, la

z(t)≤ K‖a‖eKγ1(1+Lip(ψ))t , ‖x(t)‖ ≤ K‖a‖e[Kγ1(1+Lip(ψ))+α ]t . (3.39)

Deducem de aici ca, indiferent de semnul lui α , solutia x exista ın [0,+∞).De asemeni, sunt valabile estimarile auxiliare

‖x(t,a,ψ)− x(t,b,ψ)‖ ≤ K‖a−b‖e[Kγ1(1+Lip(ψ))+α ]t , (3.40)

respectiv

‖x(t,a,ψ1)− x(t,a,ψ2)‖

≤∫ t

0Keα(t−s) [γ1(1+Lip(ψ1))‖x(s,a,ψ1)− x(s,a,ψ2)‖

+ γ1‖ψ1 −ψ2‖ · ‖x(s,a,ψ2)‖]ds

via (3.39) ≤ K2‖a‖γ1‖ψ1 −ψ2‖eαt∫ t

0eKγ1(1+Lip(ψ2))sds+

∫ t

0Keα(t−s)

×γ1(1+Lip(ψ1))‖x(s,a,ψ1)− x(s,a,ψ2)‖ds.

Reorganizand ultima estimare drept

v(t)≤ K‖a‖ · ‖ψ1 −ψ2‖eKγ1(1+Lip(ψ2))t

1+Lip(ψ2)+∫ t

0Kγ1(1+Lip(ψ2))v(s)ds,

unde v(t) = e−αt‖x(t,a,ψ1)− x(t,a,ψ2)‖, ajungem, cu ajutorul inegalitatii Gron-

wall-Bellman, la

‖x(t,a,ψ1)− x(t,a,ψ2)‖ ≤K‖a‖ · ‖ψ1 −ψ2‖e[2Kγ1(1+Lip(ψ2))+α ]t

1+Lip(ψ2). (3.41)

Mai departe, introducem functia y cu formula


y(t,a,ψ) = ψ(x(t,a,ψ)), t ≥ 0, a ∈ Rk, ψ ∈ Lip(Ek,l).

In particular, y(0,a,ψ) = ψ(a).Vrem ca aceasta functie sa o verifice pe cea de-a doua ecuatie (3.25), ceea ce,

prin integrare, ınseamna ca

y(t) = etU

[

y(0)+

∫ t

0e−τU G(x(τ ,a,ψ),y(τ))dτ

]

, t ≥ 0,

respectiv — ın mod formal —

y(0) =−∫ +∞

0e−τU G(x(τ ,a,ψ),y(τ))dτ + lim

s→+∞

[

e−sU y(s)]

.

Deoarece, pe baza (3.39), avem

∥

∥e−sU y(s)∥

∥ ≤ Ke−β sLip(ψ) · ‖x(s,a,ψ)‖≤ K2‖a‖Lip(ψ)e[Kγ1(1+Lip(ψ))+α−β ]s,

conditia (3.33) implica relatia

ψ(a) =−∫ +∞

0e−τU G(x(τ ,a,ψ),ψ(x(τ ,a,ψ)))dτ . (3.42)

Alternativ, se putea construi o expresie cu integrala∫ 0−∞, vezi [12, p. 17].

Invarianta la translatii temporale a sistemelor diferentiale autonome ne conduce

— ınlocuindu-l pe a cu x(t,a,ψ) — la

ψ(x(t,a,ψ)) = −∫ +∞

0e−τU G(x(τ + t,a,ψ),ψ(x(τ + t,a,ψ)))dτ

= −∫ +∞

te(t−s)U G(x(s,a,ψ),ψ(x(s,a,ψ)))ds,

respectiv la

e−tU ψ(x(t,a,ψ)) =−∫ +∞

te−sU G(x(s,a,ψ),ψ(x(s,a,ψ)))ds, t ≥ 0.

Derivand ultima relatie, ajungem la punctul de plecare, adica functia t 7→ ψ(x(t,a,ψ)) verifica cea de-a doua ecuatie a sistemului (3.25). Asadar, solutia sistemului

diferential (3.25) care pleaca din punctul (a,ψ(a)) ramane pentru “ totdeauna” ın

graficul aplicatiei ψ daca aceasta din urma ındeplineste restrictia (3.42).

Introducem operatorul T : Bk,lρ → C(Rk,Rl) avand drept formula partea dreapta

a egalitatii (3.42).

Cum functia G = G(x,ψ) ındeplineste, la fel ca F , conditiile (3.35), (3.36), de-

ducem ca


‖T (ψ)(a)‖ ≤∫ +∞

0Ke−βτ · γ1(1+Lip(ψ))‖x(τ ,a,ψ)‖dτ

(via (3.39)) ≤ K2‖a‖γ1(1+Lip(ψ)) ·∫ +∞

0e[Kγ1(1+Lip(ψ))+α−β ]τdτ

< +∞, (3.43)

deci integrala are sens (este convergenta).

In mod analog, pentru a,b ∈ Rk si ψ ∈ Bk,lρ , avem, tinand seama de (3.40),

‖T (ψ)(a)−T (ψ)(b)‖

≤∫ +∞

0Ke−βτ · γ1(1+Lip(ψ))‖x(τ ,a,ψ)− x(τ ,b,ψ)‖dτ

≤ K2γ1(1+Lip(ψ))‖a−b‖∫ +∞

0e[Kγ1(1+Lip(ψ))+α−β ]sds

=K2γ1(1+Lip(ψ))‖a−b‖β −α −Kγ1(1+Lip(ψ))

≤ K2γ1(1+ρ)‖a−b‖β −α −Kγ1(1+ρ)

(cf. (3.37)) ≤ ρ‖a−b‖,

ceea ce implica faptul ca T (Bk,lρ )⊆ B

k,lρ — T (ψ(0)) = 0 —.

Mai departe, pentru a ∈ Rk si ψ1, ψ2 ∈ Bk,lρ , deducem ca

‖T (ψ1)(a)−T (ψ2)(a)‖

≤ γ1(1+Lip(ψ1))∫ +∞

0Ke−βτ‖x(τ ,a,ψ1)− x(τ ,a,ψ2)‖dτ

+γ1‖ψ1 −ψ2‖ ·∫ +∞

0Ke−βτ‖x(τ ,a,ψ2)‖dτ

≤ K2γ11+Lip(ψ1)

1+Lip(ψ2)‖a‖ · ‖ψ1 −ψ2‖

∫ +∞

0e[2Kγ1(1+Lip(ψ2))+α−β ]tdt

+K2γ1‖a‖ · ‖ψ1 −ψ2‖∫ +∞

0e[Kγ1(1+Lip(ψ2))+α−β ]tdt

= K2γ1‖a‖ · ‖ψ1 −ψ2‖

×

1+Lip(ψ1)1+Lip(ψ2)

β −α −2Kγ1(1+Lip(ψ2))+

1

β −α −Kγ1(1+Lip(ψ2))

≤ K2γ1‖a‖[

1+ρβ −α −2Kγ1(1+ρ)

+1

β −α −Kγ1(1+ρ)

]

· ‖ψ1 −ψ2‖

(via (3.37)) ≤ ‖a‖ ·ζ‖ψ1 −ψ2‖,

respectiv

‖T (ψ1)−T (ψ2)‖ ≤ ζ‖ψ1 −ψ2‖, ψi ∈ Bk,lρ .


Am stabilit pana acum ca operatorul T : Bk,lρ → B

k,lρ este o contractie iar punctul

sau fix, ψ : Rk → Rl , o aplicatie Lipschitziana cu ψ(0) = 0 care constituie20 o

varietate topologica centrala [38, p. 33] pentru sistemul diferential (3.25).

Analizam, ın continuare, netezimea aplicatiei ψ . Pentru aceasta, introducem

o ecuatie integrala de tipul celei din (2.57). Mai precis, derivand ecuatia (3.38),

obtinem ecuatia matriceala

∂x

∂a(t,a,ψ) = etS +

∫ t

0e(t−s)S

[

∂F

∂x+

∂F

∂y· Jacx(s,a,ψ)ψ

]

∂x

∂ads, (3.44)

unde functia ψ ∈Bk,lρ este presupusa neteda. In particular, cum Jac(x,y)F =

(

∂F∂x, ∂F

∂y

)

(x,y) si

max

∥

∥

∥

∥

∂F

∂x

∥

∥

∥

∥

,

∥

∥

∥

∥

∂F

∂y

∥

∥

∥

∥

≤∥

∥Jac(x,y)F∥

∥< γ1, (3.45)

deducem ca∥

∥

∥

∥

∂x

∂a(t,a,ψ)

∥

∥

∥

∥

≤ Keαt +∫ t

0Keα(t−s)γ1

[

1+ supτ≥0

∥

∥Jacx(τ ,a,ψ)ψ∥

∥

]

·∥

∥

∥

∥

∂x

∂a(s,a,ψ)

∥

∥

∥

∥

ds

(vezi (3.30)) ≤ Keαt +∫ t

0Kγ1(1+

√klρ)eα(t−s)

∥

∥

∥

∥

∂x

∂a(s,a,ψ)

∥

∥

∥

∥

ds,

respectiv

∥

∥

∥

∥

∂x

∂a(t,a,ψ)

∥

∥

∥

∥

≤ Ke[Kγ1(1+√

klρ)+α ]t , t ≥ 0. (3.46)

Derivand formal ecuatia (3.42), avem

Jacaψ =−∫ +∞

0e−τU

[

∂G

∂x+

∂G

∂y· Jacx(τ ,a,ψ)ψ

]

∂x

∂a(τ ,a,ψ)ds. (3.47)

La fel ca ın cazul integralei improprii din (3.43), tinand cont de (3.45) — pentru

functia G — si de (3.46), deducem convergenta integralei din (3.47).

Fie Ck,lb = Cb(R

k,L(Rk,Rl)) spatiul liniar real al functiilor matriceale continue

marginite, cu norma

‖Φ‖= supξ∈Rk

‖Φ(ξ )‖= supξ∈Rk

(

sup‖η‖≤1

‖Φ(ξ )η‖‖η‖

)

<+∞, Φ ∈Ck,lb .

20 In mod informal, varietatea propriu-zisa fiind multimea (x,ψ(x)) : x ∈ Rk.


Evident, Φ = Jac(·)ψ ∈Ck,lb , unde ψ ∈ B

k,lρ , si ‖Φ‖ ≤

√klρ . Introducem multimea

B(k, l,ρ) = Φ ∈Ck,lb : ‖Φ‖ ≤

√klρ. Desigur, ımpreuna cu metrica sup d(Φ1,Φ2

) = ‖Φ1 −Φ2‖, aceasta alcatuieste un spatiu metric complet21.

Notam cu W = W (t,a,ψ,Φ) solutia urmatoarei reorganizari a ecuatiei liniare

(3.44)

W (t) = etS +∫ t

0e(t−s)S

[

∂F

∂x(x(s,a,ψ),ψ(x(s,a,ψ)))

+∂F

∂y(x(s,a,ψ),ψ(x(s,a,ψ))) ·Φ(x(s,a,ψ))

]

W (s)ds, t ≥ 0,

unde a ∈ Rk, ψ ∈ Bk,lρ , Φ ∈ B(k, l,ρ).

Folosind estimari asemanatoare celor prin care am stabilit contractia operatoru-

lui T dat de (3.42), deducem continuitatea aplicatiei (t,a,ψ,Φ) 7→ W (t,a,ψ,Φ).Evident, W verifica inegalitatea (3.46).

Fie Ψ : Bk,lρ ×B(k, l,ρ)→ B(k, l,ρ) definit, via (3.47), prin formula

Ψ(ψ,Φ)(a) = −∫ +∞

0e−tU

[

∂G

∂x(x(t,a,ψ),ψ(x(t,a,ψ)))

+∂G

∂y(x(t,a,ψ),ψ(x(t,a,ψ)))Φ(x(t,a,ψ))

]

W (t,a,ψ,Φ)dt.

Observam, pe baza estimarii (3.46), ca

‖Ψ(ψ,Φ)‖ ≤ K2γ1(1+√

klρ)β −α −Kγ1(1+

√klρ)

< ρ <+∞,

deci aplicatia Ψ este bine-definita.

Pentru a utiliza principiul contractiei fibrelor, consideram aplicatia H : Bk,lρ ×

B(k, l,ρ)→ Bk,lρ ×B(k, l,ρ) cu formula H(ψ,Φ) = (T (ψ),Ψ(ψ,Φ)). Astfel,

‖Ψ(ψ,Φ1)−Ψ(ψ,Φ2)‖ ≤ K2γ1

√klρ

β −α −Kγ1(1+√

klρ)· ‖Φ1 −Φ2‖

(via (3.37)) ≤ ζ‖Φ1 −Φ2‖.

Nu discutam aici chestiunea continuitatii [14, pg. 337–338] functiei H. Ea poate

fi probata folosind tehnicile descrise ın [41, pg. 90–96].

Fie sirul ((ψn,Φn))n≥0, unde (ψ0,Φ0) =(

0Ek,l,0

Ck,lb

)

si

(ψn+1,Φn+1) = H(ψn,Φn) = (T (ψn),Ψ(ψn,Φn)),Jac(·)ψn = Φn,

n ≥ 0.

21 Defapt, spatiul liniar Cb(Rk,L(Rk,Rl)) este izomorf cu Cb(R

k,Rkl).


“Rolul” punctului x∞ ∈ X = Bk,lρ este jucat de varietatea topologica ψ . Cum

spatiul metric Y = B(k, l,ρ) este complet, exista punctul fix y∞ = Φ al aplicatiei

H(x∞, ·). Asadar, sirul ((ψn,Φn))n≥0 converge catre (ψ,Φ) si, tinand seama de

rationamentul din [41, p. 83], avem Jac(·)ψ = Φ .

Existenta varietatii centrale netede (C1) a fost, ın sfarsit, probata. Spre deose-

bire de cazul varietatilor stabila si instabila ale unui echilibru hiperbolic, varietatea

centrala W c nu este neaparat unica [33, p. 249], [14, p. 344]. Chestiunea netezimii

(C∞, Cω ) acesteia ramane una delicata [12, pg. 28–30].

3.5 Teorema Poincare-Bendixson I: solutii periodice ın plan

Sa consideram sistemul diferential

( .x.y

)

=

(

X(x,y)Y (x,y)

)

, t ∈ R, (3.48)

unde functiile X , Y : R2 → R sunt netede.

Folosim prezentarea din [61, p. 146 si urm.].

Fie γP′ =

(

xP′(t)yP′(t)

)

: t ∈ [0, t0]

un arc de curba biregular pe una din traiec-

toriile sistemului (3.48), unde

(

xP′(t0)yP′(t0)

)

= P′. Biregularitatea [42, p. 28] presupune

ca

| .x..y − .

y..x |

√

(

.x

2+

.y

2)(

..x

2+

..y

2)

(t) = B(Q)

=

∣

∣

∣X2 ∂Y∂x

+XY(

∂Y∂y

− ∂X∂x

)

−Y 2 ∂X∂y

∣

∣

∣

√

(X2 +Y 2)

[

(

∂X∂x

X + ∂X∂y

Y)2

+(

∂Y∂x

X + ∂Y∂y

Y)2]

(Q)> 0,

unde Q ∈ γP′ . Multimea γP′ fiind compacta ın planul euclidian, avem minQ∈γP′

B(Q) =

B(Q0)> 0 pentru un anume Q0 ∈ γP′ .

Notam cu D′ = D(P′,δ ′) discul de centru P′ =

(

xP′(t0)yP′(t0)

)

si de raza δ ′.

Procedura standard [22, p. 24] arata ca, fiind dat ε > 0, exista marimea δ ′ = δ ′(

γP′ ,ε), astfel ıncat, pentru orice Q′ ∈ D′, traiectoria γQ′ , unde Q′ =

(

xQ′(t0)yQ′(t0)

)

, sa fie

3.5 Teorema Poincare-Bendixson I: solutii periodice ın plan 115

biregulara, parametrizarea t 7→(

xQ′(t)yQ′(t)

)

sa fie definita22 pe [0, t0] si, ın plus,

d

((

xP′(t)yP′(t)

)

,

(

xQ′(t)yQ′(t)

))

< ε , t ∈ [0, t0]. (3.49)

Insistam asupra procedurii, comentandu-i demonstratia. Mai precis, fiind dat sis-

temul diferential

.x = f (t,x) (3.50)

unde functia f : Rn+1 → Rn este neteda, sa presupunem ca acesta poseda solutia

x = x(t) ın intervalul [t0, t1]. Fiind marginita, ea poate fi prelungita la dreapta lui t1[5, p. 45] si admitem ca solutia x exista, defapt, pe intervalul mai “larg” [t0, t1 +χ ],unde χ ∈ (0,1) este fixat.

Fixam numerele ε , L f , M f > 0 pentru care

‖ f (t,u)‖ ≤ M f , ‖ f (t,u)− f (t,v)‖ ≤ L f ‖u− v‖, (t,u), (t,v) ∈ K, (3.51)

unde K = (s,u) : s ∈ [t0, t1 + χ ],‖x(s)− u‖ ≤ ε. Evident, multimea K este com-

pacta si L f = L f (ε), M f = M f (ε).Mai departe, introducem numerele

b ∈(

0,χ

1+M f

)

, a =(

1+M f

)

·b

astfel ıncat

(√2+M f

)2·b < ε (3.52)

si N = ⌈ t1−t0b

⌉+1, respectiv (Tk)k∈0,N cu formula Tk = t0 + k ·b. Este evident ca

N = N(ε), a < χ , b < min

a,a

M f

, (3.53)

respectiv

t1 − t0 < N ·b ≤ t1 − t0 +b < t1 − t0 + χ , (3.54)

de unde TN−1 ≤ t1 < TN < t1 + χ .

Fie multimile — vezi si [31, p. 85] —

D+a (t,U) = (s,u) : s ∈ [t, t +a], ‖x(t)+U −u‖ ≤ a,

22 In cazul unui sistem diferential neted.z= f (t,z), solutia z = z(t,0,z0) cu z(0) = z0 ∈ Rn are

intervalul maximal de existenta (t−(z0), t+(z0))⊆ (−∞,+∞), unde aplicatiile t+, −t− sunt inferiorsemicontinue, cf. [2, p. 125].


unde U ∈ Rn, cu ‖U‖< b · e−L f b, si t ∈ [t0, t1].Se observa ca

D+a (t,U)⊆ K.

Intr-adevar, t0 ≤ t ≤ s ≤ t +a < t1 + χ si — via (3.52) —

‖x(s)−u‖ =

∥

∥

∥

∥

[

x(t)+

∫ s

tf (ξ ,x(ξ ))dξ

]

−u

∥

∥

∥

∥

≤ ‖x(t)+U −u‖+‖−U‖+∫ s

t‖ f (ξ ,x(ξ ))‖dξ

≤ a+‖U‖+∫ s

tM f dξ < a+b · e−L f b +M f a

<[

(

1+M f

)2+1]

·b <(√

2+M f

)2b

< ε , (s,u) ∈ D+a (t,U) .

Asadar, inegalitatile (3.51) sunt valabile ın orice set D+a (t,U).

Conform teoremei de existenta si unicitate (Picard-Lindelof), sistemul diferential

poseda, ın compactul D+a (t,U), o singura solutie y = y(s) pentru problema Cauchy

(PC (t,U))

dds[y(s)] = f (s,y(s)),

y(t) = z ∈ Rn,z = x(t)+U, (3.55)

definita ın intervalul [t, t +α], unde α = min

a, aM f

. In particular, tinand seama

de (3.53), solutia y exista peste tot ın intervalul [t, t +b].De asemeni, plecand de la relatiile

‖x(s)− y(s)‖ =

∥

∥

∥

∥

[

x(t)+∫ s

tf (ξ ,x(ξ ))dξ

]

−[

x(t)+U +∫ s

tf (ξ ,y(ξ ))dξ

]∥

∥

∥

∥

≤ ‖U‖+∫ s

tL f ‖x(ξ )− y(ξ )‖dξ ,

putem estima valorile functiei y,

‖x(s)− y(s)‖ ≤ ‖U‖ · eL f b, s ∈ [t, t +b]. (3.56)

Fie x0 = x(t0) si x1 ∈ Rn cu proprietatea ca

‖x0 − x1‖ < b · e−L f ·(t1−t0+χ) (3.57)

(vezi (3.54)) < b · e−NL f b. (3.58)

Notam cu y1 solutia problemei PC (t0,x1 − x0) si afirmam ca este posibil sa de-

finim, ın mod inductiv, functiile (yq)1≤q≤Nastfel ıncat yq+1 sa fie solutia problemei

PC (Tq,yq(Tq)− x(Tq)).


Pentru a proba afirmatia, folosim inegalitatea (3.56) si estimarea (3.58). Astfel,

y1(t0) = x1 si — daca N ≥ 2 —

‖x(s)− y1(s)‖ ≤ ‖x0 − x1‖ · eL f b < b · e−(N−1)L f b

≤ b · e−L f b, s ∈ [T0,T1]. (3.59)

Daca N = 1, atunci

‖x(s)− y1(s)‖ ≤ ‖x0 − x1‖ · eL f b < b

(vezi (3.52)) < ε , s ∈ [t0, t1].

In continuare, presupunem ca N ≥ 2.

Inegalitatea (3.59) ne permite sa introducem solutia y2 a problemei PC (T1,U1),unde U1 = y1(T1)− x(T1). Functia y2 este, evident, prelungirea la dreapta lui T1 =t0 +b a solutiei y1 a sistemului diferential (3.50).

Prin inductie matematica, deducem ca — aici, q ≤ N −1 —

‖x(s)− yq+1(s)‖ ≤ ‖x(Tq)− yq(Tq)‖ · eL f b < b · e−(N−q−1)L f b, s ∈ [Tq,Tq+1].

De unde, pentru Uq = yq(Tq)− x(Tq), avem

‖Uq‖< b · e−L f b, 1 ≤ q ≤ N −1.

Afirmatia a fost justificata.

In concluzie, orice solutie y a sistemului diferential (3.50), cu y(t0) = x1, va e-

xista ın ıntreg intervalul [t0, t1] daca are loc (3.57). Aici, functia yk+1 desemneaza

restrictia lui y la intervalul [Tk,minTk+1, t1], k ∈ 0,N −1. Graficul functiei y se

gaseste ın multimea

N−1⋃

k=0

D+a (Tk,Uk)⊆ K, Uk = y(Tk)− x(Tk),

deci

‖x(t)− y(t)‖< ε , t ∈ [t0, t1].

Un fapt esential trebuie remarcat: numerele L f , M f , asa cum sunt introduse ın

(3.51), depind de compactul K, care, la randul sau, depinde de t0, t1. Insa, daca sis-

temul diferential este considerat autonom — f (t,x) = f (x) —, daca presupunem ca

solutia x = x(t) este marginita — deci exista pentru orice t ∈ R —, atunci prezenta

acestor numere este asigurata, ele fiind legate doar de talia solutiei, M = supt∈R

‖x(t)‖.

Astfel, estimarea (3.58) depinde numai de marimea t1 − t0 si de ε .

Comentariul anterior priveste controlul traiectoriilor ın viitor. Inversand sensul

timpului t, putem realiza controlul ın trecut.


Revenind la discutia principala, fixam punctul P =

(

xP′(t1)yP′(t1)

)

si t1 ∈ (0, t0) si

introducem discul D = D(P,δ ). Talia marimii δ va fi ajustata ulterior. Pentru un

punct Q′ ∈ D′, estimarea (3.49) ne arata ca Q ∈ D, unde Q =

(

xQ′(t1)yQ′(t1)

)

. Aici, δ ′ =

δ ′(γP′ ,δ ).Reamintind calculul din (3.7), (3.8), fie α = α(P,Q) unghiul facut de tangen-

tele (orientate) ın punctele P si Q la traiectoriile γP′ si γQ′ ale sistemului diferential

(3.48). Atunci,

sinα(t1) =|U1(t1)|U3(t1)

= o(1),

cosα(t1) =U2(t1)U3(t1)

= 1+o(1)uniform ın raport cu t1 cand Q′ → P′,

unde

U1(t1) = X(xP′(t1),yP′(t1))Y (xQ′(t1),yQ′(t1))

− Y (xP′(t1),yP′(t1))X(xQ′(t1),yQ′(t1)),

respectiv

U2(t1) = X(xP′(t1),yP′(t1))X(xQ′(t1),yQ′(t1))

+ Y (xP′(t1),yP′(t1))Y (xQ′(t1),yQ′(t1))

si

U3(t1) =

∥

∥

∥

∥

(

X

Y

)

(xP′(t1),yP′(t1))

∥

∥

∥

∥

·∥

∥

∥

∥

(

X

Y

)

(xQ′(t1),yQ′(t1))

∥

∥

∥

∥

.

Aceste estimari ne permit ca, micsorand eventual talia marimii δ , sa presupunem

ca α(t) ∈[

0, π4

]

, t ∈ [0, t0].

In Figura 3.30, alaturi de traiectoria γP′ este ilustrat un arc din cercul sau de

curbura [45, p. 4], trecand prin centrul P al discului D. Dreptele ortogonale care

se intersecteaza ın P reprezinta tangenta T si normala23N ale traiectoriei. Discul

interior, D1 = D(

P, δ√2

)

, are urmatoarea proprietate.

Fiind dat punctul Q ∈ Int(D1) — interiorul discului —, trasam prin el doua

drepte ortogonale d1, d2 astfel ıncat paralela prin Q la tangenta T sa fie bisectoarea

a doua dintre cele patru unghiuri adiacente pe care dreptele ortogonale le formeaza.

Atunci, daca punctul Q nu se gaseste pe dreapta N, aceasta din urma va intersecta

dreptele d1, d2 ın puncte interioare ale discului D.

Traiectoria γQ′ a sistemului (3.48) — pe care se gaseste punctul Q — nu poate

parasi zona hasurata decat prin arcele A1, A2 ale frontierei discului D — datorita

restrictiei privind unghiului α —. Din acelasi motiv, orientarea24 curbelor γP′ , γQ′

23 Dreapta-suport a normalei pricipale [42, p. 29].24 Dinspre d2 catre d1.


T

P

Q

Nd

d

A

A1

2

1

2

P

Q/

/

Fig. 3.30 Traversarea dreptei N, discurile D si D1

coincide. In concluzie, traiectoria γQ′ “traverseaza” dreapta N ın drumul sau catre

Q′. Spunem ca dreapta N constituie o sectiune [14, p. 83] sau o transversala [52, p.

243] a sistemului dinamic (3.48). O analiza moderna a acestei traversari, bazata pe

teorema de rectificare a campurilor vectoriale [2, p. 253], [3, p. 64], [44, pg. 10–11]

poate fi citita ın [2, p. 334].

Fie acum γP =

(

xP(t)yP(t)

)

: t ∈ R

o traiectorie, biregulara, marginita a sistemu-

lui (3.48) trecand prin P =

(

xP(t0)yP(t0)

)

. Sa consideram ca exista sirul, crescator si

nemarginit superior, (tn)n≥1 astfel ıncat limn→+∞

d(Pn,P) = 0, unde Pn =

(

xP(tn)yP(tn)

)

,

n ≥ 1. Afirmam ca traiectoria γP este un ciclu, adica exista numarul T > 0 pentru

care

(

xP(t +T )yP(t +T )

)

=

(

xP(t)yP(t)

)

, t ∈ R.

Intr-adevar, ın caz contrar, va exista numarul N = N(δ ) pentru care Pn ∈ D1

cand n ≥ N. Aici, D1 este discul folosit anterior pentru constructia unei transversale.

Micsorand eventual diametrul acestui disc, fie P′ =

(

xP(t−1)yP(t−1)

)

punctul prin care

traiectoria iese din D1, vezi Figura 3.31. Aici, t0 < t−1.

Remarcam ca


(

xP(tn +(t−1 − t0))yP(tn +(t−1 − t0))

)

= φ tn+(t−1−t0)

((

xP(0)yP(0)

))

= φ t−1−t0(Pn)→ φ t−1−t0(P) = P′ cand n →+∞,

unde (φ t)t∈R reprezinta grupul Lie de transformari [44, p. 2] asociat sistemului

(3.48).

Pentru numarul N1 > N suficient de mare, φ t−1−t0(PN1) se gaseste ın micul disc

D′(P′,ρ ′) si joaca rolul punctului Q′. Deci, arcul de traiectorie care a reintrat ın

D1 va traversa25 dreapta N ın drum spre Q′. Fie P1 punctul de traversare. Daca

P = P1, atunci solutia este ciclu (periodica), caci relatia P1 = φ t1(x) = P = φ t0(x) =

φ t1−t0(φ t0(x)), unde x =

(

xP(0)yP(0)

)

, ne conduce la

φ t(x) = φ t−t1(φ t1

(x)) = φ t−t1(φ t0(x)) = φ t−(t1−t0)(x)

= φ t0−t1(φ t(x)), t ∈ R.

In caz contrar, exista doar doua variante de traversare a dreptei N, ilustrate ın

Figura 3.31. Particula-solutie M, deplasandu-se pe orbita γP va relua traversarea de o

infinitate de ori, pastrand sensul de traversare. Insa, datorita sirului (tn)n≥1, particula

va trebui sa se apropie de P de o infinitate de ori, ceea ce nu se poate ıntampla ın

lipsa autointersectiilor.

PP

N

QP

P

PN

Q

P

/

//

/

1

1

Fig. 3.31 Traversari ale dreptei N

25 Evident, Pn ∈ D1, n ≥ N1. Ca sa folosim argumentatia cu transversala, suntem obligati sa damtimpul ınapoi cu tN1

momente si sa tinem seama de estimarea (3.58), care va depinde doar demarimea t−1 − t0.

3.6 Hasuri 121

3.6 Hasuri

Pentru a evidentia zonele din interiorul discului D prin care va trece traiectoria

γQ′ , le-am hasurat. Codul acestora este listat mai jos.

hasuri.ps

1 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

2 %%%%%%%%%%%%%%%hasuri%%%%%%%%%%%%%%%

3 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

4

5 %%%%%%%folosim biblioteca.ps

6

7 /hasuravertdict 21 d i c t def

8 hasuravertdict begin


10 end

11 /hasuravert

12 hasuravertdict begin

13 %%%date de intrare

14 /culoare exch def

15 /raza exch def

16 /yunu exch def

17 /xunu exch def

18 /yzero exch def

19 /xzero exch def

20 %%%prelucrari generale

21 /difx xunu xzero sub def

22 /dify yunu yzero sub def

23 /razacalculata

24 difx laputerea2

25 dify laputerea2

26 add s q r t def

27 /raza

28 raza 0 l e %raza negativa

29 razacalculataraza i f e l s e def

30 /raza

31 raza razacalculata l e %punctul (x1,y1) in afara cercului


33 %%%calcul ordonate

34 /cosalfa

35 difx modulul

36 raza unupeceva

37 mul def

38 /sinalfa

39 cosalfa laputerea2 neg

40 1 add s q r t def

41 /dy

42 raza sinalfa mul def

43 /alfa %cazul x1=x0

44 cosalfa 0 eq 90sinalfa cosalfa atan i f e l s e def

45 /alfa %cazul x1<x0

46 xunu xzero l t alfa neg 180 addalfa i f e l s e def

47 %%%calcul abscise


48 /cosbeta

49 dify modulul

50 raza unupeceva

51 mul def

52 /sinbeta

53 cosbeta laputerea2 neg


55 /dx

56 raza sinbeta mul def

57 /beta %cazul y1=y0

58 cosbeta 0 eq 0sinbeta cosbeta atan i f e l s e def

59 /beta %cazul y1>y0

60 yunu yzero gt beta neg 90 addbeta i f e l s e def

61 /beta %cazul y1<y0

62 yunu yzero l t beta 90 subbeta i f e l s e def

63 %%%regasirea punctului (x1,y1) prin coordonate relative

64 /pozitiey

65 dy dify sub def

66 /minuspozitiey

67 pozitiey neg def

68


70

71 newpath

72 xzero yzero t r a n s l a t e

73 0 0 raza beta alfa arc

74 0 minuspozitiey r l i n e t o


76


78


80 end

81 def

82

83 /hasuraorizdict 22 d i c t def

84 hasuraorizdict begin


86 end

87 /hasuraoriz

88 hasuraorizdict begin

89 %%%date de intrare

90 /culoare exch def

91 /raza exch def

92 /yunu exch def

93 /xunu exch def

94 /yzero exch def

95 /xzero exch def

96 %%%prelucrari generale

97 /difx xunu xzero sub def

98 /dify yunu yzero sub def

99 /razacalculata

100 difx laputerea2

101 dify laputerea2

3.6 Hasuri 123

102 add s q r t def

103 /raza

104 raza 0 l e %raza negativa


106 /raza

107 raza razacalculata l e %punctul (x1,y1) in afara cercului


109 %%%calcul ordonate

110 /cosalfa

111 difx modulul

112 raza unupeceva

113 mul def

114 /sinalfa

115 cosalfa laputerea2 neg


117 /dy

118 raza sinalfa mul def

119 /alfa %cazul x1=x0

120 cosalfa 0 eq 90sinalfa cosalfa atan i f e l s e def

121 /alfa %cazul x1<x0

122 xunu xzero l t alfa neg 180 addalfa i f e l s e def

123 %%%calcul abscise

124 /cosbeta

125 dify modulul

126 raza unupeceva

127 mul def

128 /sinbeta

129 cosbeta laputerea2 neg


131 /dx

132 raza sinbeta mul def

133 /beta %cazul y1=y0

134 cosbeta 0 eq 0sinbeta cosbeta atan i f e l s e def

135 /beta %cazul y1>y0

136 yunu yzero gt beta neg 90 addbeta i f e l s e def

137 /beta %cazul y1<y0

138 yunu yzero l t beta 90 subbeta i f e l s e def

139 %%%regasirea punctului (x1,y1) prin coordonate relative

140 /pozitiex

141 dx difx add def

142 %%%partea orizontala

143 /alfa

144 alfa neg def

145 /beta

146 yunu yzero ge beta neg 180 addbeta 180 add neg i f e l s e def

147


149

150 newpath

151 xzero yzero t r a n s l a t e

152 0 0 raza alfa beta arcn

153 pozitiex 0 r l i n e t o


155



157


159 end

160 def

O serie de manipulari — scalarea literelor, apostrofuri — sunt utile ın afisarea

notatiilor.

litere.ps

1 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

2 %%%%%%%litere, apostrofuri%%%%%%%

3 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

4 /literedict 1 d i c t def

5 /litere

6 literedict begin

7 /scalaliterei exch def

8 /Times-Roman f i n d f o n t

9 scalaliterei s c a l e f o n t

10 s e t f o n t

11 end

12 def

13 /apostrofdict 1 d i c t def

14 /apostrof

15 apostrofdict begin

16 /scalaapostrofului exch def

17 /Times-Roman f i n d f o n t

18 scalaapostrofului s c a l e f o n t

19 s e t f o n t

20 (/) show

21 end

22 def

Acum, Figura 3.30 poate fi realizata folosind instructiunile care urmeaza.

figura_3_30.eps


2 %%BoundingBox: 14 14 130 100

3




(cont.)Biblioteca_ps/puncte.ps) run




(cont.)Biblioteca_ps/litere.ps) run


(cont.)Biblioteca_ps/hasuri.ps) run

9

10 50 50 60 40 25 .7 hasuravert

11 50 50 60 40 25 .7 hasuraoriz

12

13 0 s e t g r a y

3.6 Hasuri 125

14 60 40 .8 .6 .3 punctulet

15 newpath

16 50 50 t r a n s l a t e

17 0 0 25 0 360 arc

18 s t r o k e

19 newpath

20 0 0 20 0 360 arc

21 s t r o k e

22 newpath

23 -16 15 moveto

24 18 -14 l i n e t o

25 s t r o k e

26 newpath

27 10 -10 t r a n s l a t e

28 -5 7.2 5 90 190 arc

29 s t r o k e

30 newpath

31 -15 4 moveto

32 -3 17 l i n e t o

33 s t r o k e

34 -19 -22 -9 10.6 8 triunghicurb

35 -19 -22 .8 .6 .3 punctulet

36 -9 10.6 13 15 8 triunghicurb

37 13 15 55 34 -26 triunghicurb

38 -10 -22 -.6 -.4 6 triunghicurb

39 .7 .3 17 2 4 triunghicurb

40 17 2 56 31 -33 triunghicurb

41 -9 10.5 .8 .6 .3 punctulet

42 55 34 .8 .6 .3 punctulet

43 -10 -22 .8 .6 .3 punctulet

44 56 31 .8 .6 .3 punctulet

45

46 newpath

47 55 34 t r a n s l a t e

48 0 0 12 0 360 arc

49 s t r o k e

50

51 -14 -18 -13.1 -19.4 2 triunghisageata

52 -8 -26.8 -6.8 -28 2 triunghisageata

53

54 4 litere

55 newpath

56 -55 -34 t r a n s l a t e

57 -6 17 moveto

58 (T) show

59 -10 12 moveto

60 (P) show

61 .5 -3.4 moveto

62 (Q) show

63 -4 7 moveto

64 (N) show

65 .4 10 moveto

66 (d) show

67 -10 -3.4 moveto


68 (d) show

69 -15 -18 moveto

70 (A) show

71 16 10 moveto

72 (A) show

73

74 2 litere

75 2.4 9.4 moveto

76 (1) show

77 -7.8 -4 moveto

78 (2) show

79 18.8 9.6 moveto

80 (1) show

81 -12 -18.4 moveto

82 (2) show

83

84 4 litere

85 newpath

86 55 34 t r a n s l a t e

87 -3 0 moveto

88 (P) show

89 2.2 -5 moveto

90 (Q) show

91

92 5.2 -3.6 moveto

93 2 apostrof

94 -.6 1.4 moveto

95 2 apostrof

96

97 showpage

3.7 Multimi limita: ω , α . Functii Liapunov. Principiul lui J.

LaSalle. Stabilitate Liapunov

Proprietatea atribuita punctului P, care ne-a permis — la pagina 119 — sa sta-

bilim ca traiectoria γP este un ciclu, poate fi reorganizata ıntr-un cadru abstract. Ne

bazam pentru aceasta pe prezentarea din [24, p. 10 si urm.].

In spatiul metric complet (Z,d), introducem familia de aplicatii continue (S(t))t≥0, unde S(t) : Z → Z, astfel ıncat

S(0) = idZ , S(t + s) = S(t)S(s). (3.60)

In plus, pentru orice z ∈ Z, functia t 7→ S(t)(z) este continua ın [0,+∞). Ne referim

la aceasta familie cu apelativul sistem dinamic26.

Aceste proprietati sunt completate ın cazuri diverse, vezi [7, pg. 10–11]. De obi-

cei, se impune ca t ∈ R — ceea ce face ca aplicatiile S(t) sa fie homeomorfisme,

26 In limba engleza, dynamical system.

3.7 Multimi limita: ω , α . Functii Liapunov. Principiul lui J. LaSalle. Stabilitate Liapunov 127

[S(t)]−1 = S(−t) —, respectiv ca functia27 S : R×Z → Z, unde S(t,z) = S(t)(z), sa

fie continua28. Restrictia sa, S : [0,+∞)×Z → Z, constituie un semi-curent [62, p.

13].

Pentru z ∈ Z, fie multimea

ω(z) = y ∈ Z : exista (tn)n≥1, limn→+∞

S(tn)(z) = y, limn→+∞

tn =+∞.

Ea reprezinta multimea ω–limita (G. Birkhoff, vezi [8, p. 209]) a punctului z.

Au loc proprietatile:

(i) ω(z) =⋂

s>0

⋃

t≥sS(t)(z);

(ii) ω(S(t)(z)) = ω(z) pentru orice t ≥ 0, z ∈ Z;

(iii) S(t)(ω(z))⊆ ω(z). In plus, daca multimea⋃

t≥0S(t)(z) este relativ compac-

ta, atunci are loc egalitatea ın incluziunea precenta.

Pentru (i), luam y ∈ ω(z). Atunci, existand sirul crescator si nemarginit (tn)n≥1

din enunt, deducem ca, pentru orice s > 0, vom avea un numar ıntreg N = N(s)pentru care tn ≥ ⌈s⌉+ 1, n ≥ N. Astfel, punctul y va fi limita sirului (S(tn)(z))n≥N

din⋃

t≥sS(t)(z), deci se va gasi ın

⋃

t≥sS(t)(z). Cum y este independent de s, putem

aplica intersectia.

Reciproc, stim ca y ∈ ⋃

t≥1S(t)(z). Va exista sirul (tn)n≥1, cu tn ≥ 1, pen-

tru care limn→+∞

d(y,S(tn)(z)) = 0. Daca acest sir este nemarginit, el va poseda un

subsir strict crescator, notat tot cu (tn)n≥1. Existenta acestuia din urma implica

y ∈ ω(z). In schimb, daca sirul este marginit de M1 < +∞, alegem un termen

T cu d(S(T )(z),y) < 12 , ıl notam cu t1 si repetam rationamentul plecand de la

y ∈ ⋃

t≥M1+1S(t)(z). In cel mai rau caz, obtinem sirul (tn)n≥1, unde

tn+1 ≥ Mn +n, d(S(tn)(z),y)<1

n+1, n ≥ 1.

Pentru acest sir crescator si nemarginit superior, limn→+∞

d(S(tn)(z),y) = 0, adica y ∈ω(z).

La (ii), fixand T ≥ 0,

ω(S(T )(z)) =⋂

s>0

⋃

t≥s

S(t)(S(T )(z))=⋂

s>0

⋃

t≥s+T

S(t)(z)

⊆⋂

s>0

⋃

t≥s

S(t)(z)= ω(z).

27 Numita si curent. In limba engleza, flow, vezi [3, p. 14, nota de subsol].28 In general, o functie reala, de mai multe variabile reale, care este continua ın raport cu fiecaredintre variabile, va fi doar masurabila Borel (H. Lebesgue), cf. [60, p. 170, Ex. 8(b)]. O conditiesimpla pentru continuitatea ın ambele variabile (ın limba engleza, joint continuity) se gaseste ın[2, p. 107].


Reciproc, caut sirul crescator si nemarginit (superior) (sn)n≥1 astfel ıncat limn→+∞

d

(y,S(sn)(S(T )(z))) = 0. Stiu ca exista sirul nemarginit (tn)n≥1 pentru care limn→+∞

d(y,

S(tn)(z)) = 0. Putem lua sn = tn −T , unde n ≥ N = N(T ) va fi suficient de mare.

La (iii), cum aplicatia S(t) este continua, S(t + tn)(z) = S(t)(S(tn)(z))→ S(t)(y)cand n → +∞ daca y ∈ ω(z). Adica, S(t)(y) ∈ ω(z). Daca, ın plus, multimea⋃

t≥0S(t)(z) este compacta, alegem sirul (cu o infinitate de termeni) (S(tn)(z))n≥1,

unde limn→+∞

tn =+∞.

Afirmam ca sirul respectiv poseda un subsir convergent. Intr-adevar, total–mar-

ginirea29 multimii⋃

t≥0S(t)(z) implica existenta unui subsir

(tkn)n≥1 ⊆ (tk−1

n )n≥1 ⊆ ·· · ⊆ (tn)n≥1

situat ıntr-o bila, de raza 12k , cu centrul ıntr-un punct Mk din multime. Atunci, sirul

“diagonal” (tnn )n≥1 este sir Cauchy, deci convergent. Afirmatia a fost probata.

Exista, asadar, un sir convergent S(tn)(z) : n ≥ 1, cu limn→+∞

S(tn)(z) = y ∈ Z,

adica multimea ω(z) nu este vida. Mai departe, fie y∈ω(z), cu limn→+∞

d(S(tn)(z),y)=

0. Sirul (S(tn − t)(z))n≥N(t), unde t este fixat iar numarul N(t) suficient de mare,

se gaseste ın⋃

t≥0S(t)(z). In consecinta, va avea un subsir convergent — pastram

notatia —, S(tn− t)(z)→ w ∈ Z, ın raport cu metrica d cand n →+∞. Continuitatea

aplicatiei S(t) ne conduce la S(tn)(z) = S(t)(S(tn−t)(z))→ S(t)(w) pentru n→+∞.

Unicitatea limitei implica y = S(t)(w), adica y ∈ S(t)(ω(z)).Afirmatiile (i) – (iii) au fost probate.

Lor le adaugam alte proprietati: daca multimea⋃

t≥0S(t)(z) este relativ compac-

ta, atunci

(iv) ω(z) este un compact30 conex ın Z;

(v) limt→+∞

d(S(t)(z),ω(z)) = 0.

La (iv), observam ca multimile

(

⋃

t≥sS(t)(z)

)

s>0

alcatuiesc o familie descres-

catoare (nestrict), ın raport cu incluziunea, de multimi compacte si conexe. Aceasta

pentru ca sunt submultimi ınchise ale unui compact, respectiv ınchiderea unor ima-

gini de multimi conexe printr-o aplicatie continua [71, pg. 10, 20] — t 7→ S(t)(z)—. Asemenea familii ordonate le transmit limitelor lor (intersectii) proprietatile de

compactitate, respectiv de conexitate [71, p. 12].

Pentru (v), presupunem prin absurd ca exista ε > 0 si sirul strict crescator, nemar-

ginit superior, (tn)n≥1 astfel ıncat d(S(tn)(z),ω(z))≥ ε . Ipoteza de compactitate ne

permite sa consideram ca, trecand eventual la un subsir, limn→+∞

S(tn)(z) = y, y∈ω(z),

ceea ce contrazice presupunerea.

29 Vezi [59, p. 20].30 In afara restrictiei de compactitate pentru traiectorie, multimile limita pot fi nemarginite [7, pg.21–22].


Proprietatile (iv), (v) au fost stabilite.

O functie continua V : Z → R desemneaza o functie (A.) Liapunov31 atunci cand

V (S(t)(z))≤V (z) pentru orice t ≥ 0, z ∈ Z. (3.61)

Daca, ın plus, din egalitatea V (S(t)(z)) = V (z), valabila ın [0,+∞), rezulta ca

S(t)(z) = z pentru orice t ≥ 0, atunci functia Liapunov va fi considerata stricta.

Presupunand ca multimea⋃

t≥0S(t)(z) este relativ compacta, observam ca:

(vi) exista limt→+∞

V (S(t)(z)) = c ∈ R;

(vii) V (y) = c, unde y ∈ ω(z).La (vi), data fiind compactitatea multimii M =

⋃

t≥0S(t)(z), functia V |M este

marginita. Atunci, aplicatia t 7→ V (S(t)(z)), fiind monoton necrescatoare si margi-

nita, va avea limita (finita) cand t tinde la +∞.

Pentru (vii), cum y ∈ ω(z), exista sirul nemarginit superior (tn)n≥1 astfel ıncat

limn→+∞

S(tn)(z) = y. Insa limt→+∞

V (S(t)(z)) = c, de unde, ın particular, c = limn→+∞

V (S(

tn)(z)) =V (y).Afirmatiile (vi), (vii) au fost probate. Ele alcatuiesc principiul lui (J.) LaSalle

[24, p. 18] ori al invariantei [37, p. 30].

In mod analog, pentru z ∈ Z, fie multimea

α(z) = y ∈ Z : exista (tn)n≥1, limn→+∞

S(tn)(z) = y, limn→+∞

tn =−∞.

Aceasta reprezinta multimea α–limita [8, ibid.] a punctului z. Putem reconstitui pen-

tru ea proprietatile stabilite ın cazul multimii ω–limita.

Pentru a exemplifica functia Liapunov, ıntrebuintam analiza din [5, pg. 55–57,

150–156].

Fie sistemul diferential

.x= f (x), t ∈ R, (3.62)

unde functia continua f : Rn → Rn ındeplineste conditia de monotonie

( f (x)− f (y)|x− y)Rn ≤ 0, x, y ∈ Rn. (3.63)

Au loc estimarile — aici, x, y sunt solutii ale sistemului (3.62) —

d

dt

[

‖x(t)− y(t)‖2]

= 2( f (x(t))− f (y(t))|x(t)− y(y))Rn (3.64)

≤ 0, t ∈ R,

de unde, prin integrare, deducem ca

‖x(t)− y(t)‖ ≤ ‖x(0)− y(0)‖, t ≥ 0. (3.65)

31 Sau Lyapunov, cf. [54, p. 204].


Afirmam ca exista semi-curentul continuu 32 S : [0,+∞)×Rn →Rn cu formula33

S(t,x(0)) = x(t) ın [0,+∞). Tinand seama de (3.28), observam ca Lip(S(t)) ≤ 1,

t ≥ 0.

Pentru a stabili validitatea afirmatiei, facem observatia ca exista urmatoarea vari-

anta a estimarii (3.64):

d

dt

[

‖x(t)‖2]

= 2( f (x(t))− f (0)|x(t))Rn +2( f (0)|x(t))Rn

≤ 2( f (0)|x(t))Rn ,

care, prin integrare, ne conduce la — luam t ≥ s ≥ 0 —

1

2‖x(t)‖2 ≤ 1

2‖x(s)‖2 +

∫ t

s‖ f (0)‖ · ‖x(τ)‖dτ ,

respectiv, via inegalitatea lui I. Bihari [49, p. 6], la

‖x(t)‖ ≤ ‖x(s)‖+∫ t

s‖ f (0)‖dτ

= ‖x(s)‖+(t − s) · ‖ f (0)‖. (3.66)

Mai departe, fixand x(0), y(0) ∈ Rn, avem

‖S(t,x(0))−S(s,y(0))‖≤ ‖S(t,x(0))−S(s,x(0))‖+‖S(s,x(0))−S(s,y(0))‖(vezi (3.65)) ≤ ‖S(t,x(0))−S(s,x(0))‖+‖x(0)− y(0)‖

≤ ‖x(0)− y(0)‖+∫ t

s‖ f (S(τ ,x(0)))‖dτ

(vezi (3.66)) ≤ ‖x(0)− y(0)‖+∫ t

ssup

‖ξ‖≤‖x(0)‖+t‖ f (0)‖‖ f (ξ )‖dτ

≤(

1+ sup‖ξ‖≤‖x(0)‖+t‖ f (0)‖

‖ f (ξ )‖)

·d((

t

x(0)

)

,

(

s

y(0)

))

, t ≥ s ≥ 0,

ın spatiul metric complet ([0,+∞)×Rn,dRn+1).Cea de-a doua cerinta (3.60) este o consecinta a invariantei la translatii temporale

manifestata de sistemele diferentiale autonome ale caror probleme Cauchy admit

solutie unica.


Introducem multimea F = x∈Rn : f (x) = 0 si afirmam ca: daca F este nevida,

atunci ea este convexa si ınchisa. Intr-adevar, pentru x, y ∈ F si z ∈ Rn, avem

32 Fireste, d(x,y) = dRn (x,y) = ‖x− y‖ ın Rn.33 Aici, x = x(·,0,x0), unde x0 ∈ Rn, desemneaza solutia care a plecat, la momentul 0, din punctul

x0.


( f (z)|z− [λx+(1−λ )y])Rn

= λ ( f (z)− f (x)|z− x)Rn +(1−λ )( f (z)− f (y)|z− y)Rn

≤ 0, λ ∈ [0,1],

si, pentru z = zε = ε [λx+(1−λ )y]+ (1− ε)v, ε ∈ (0,1), v ∈ Rn,

( f (zε)|v− [λx+(1−λ )y])Rn ≤ 0.

Impunand ca ε ր 1, obtinem inegalitatea

( f (λx+(1−λ )y)|v− [λx+(1−λ )y])Rn ≤ 0,

de la care, pentru v = λx+(1−λ )y− f (λx+(1−λ )y), ajungem la f (λx+(1−λ )y) = 0. Afirmatia a fost justificata.

Presupunem, ın continuare, ca multimea F este nevida. Fixam z ∈ Rn. Au loc

proprietatile:

(iv*) ω(z) este nevida, compacta si conexa;

(viii) fiind dat punctul v ∈ ω(z), exista sirul crescator si nemarginit superior

(sn)n≥1, unde sn = sn(z,v), astfel ıncat

v = limn→+∞

S(sn,v);

Adica, v ∈ ω(v).(ix) pentru orice v ∈ ω(z), avem ω(v) = ω(z).(x) sirul (sn)n≥1 de la (viii) este independent de v ∈ ω(z).(xi) pentru orice v, w ∈ ω(z),

‖S(t,v)−S(t,w)‖= ‖v−w‖;

(xii) pentru orice v ∈ F exista r ≥ 0 astfel ıncat

ω(z)⊆ x ∈ R : ‖v− x‖= r;

(v*) daca ω(z)⊆ F , atunci exista z∞ ∈ F pentru care limt→+∞

S(t,z) = z∞.

La (iv*), fie x ∈ F . Atunci, via (3.65), avem34

‖S(t,z)‖ ≤ ‖S(t,z)−S(t,x)‖+‖x‖ ≤ ‖z− x‖+‖x‖, (3.67)

deci multimea⋃

t≥0S(t)(z) este marginita. Fiind ınchisa, ea va fi compacta. Din

demonstratia afirmatiei (iii) concludem ca ω(z) este nevida.

Pentru (viii), fiind dat v ∈ ω(z), exista sirul crescator si nemarginit superior

(tn)n≥1 astfel ıncat limn→+∞

‖S(tn)(z)− v‖ = 0. Trecand, eventual, la un subsir, im-

punem ca sirul (sn)n≥1, unde sn = tn+1 − tn, sa fie strict crescator si nemarginit. De

34 Evident, S(t,x) = x pentru orice t ≥ 0.


aici, cum S(tn+1) = S(sn)S(tn), remarcam ca

‖S(sn)(v)− v‖ ≤ ‖S(sn)(v)−S(tn+1)(z)‖+‖S(tn+1)(z)− v‖≤ Lip(S(sn)) · ‖v−S(tn)(z)‖+‖S(tn+1)(z)− v‖≤ ‖v−S(tn)(z)‖+‖S(tn+1)(z)− v‖= o(1) cand n →+∞.

La (ix), afirmatia (viii) implica ω(z) ⊆ ω(v). Reciproc, fie w ∈ ω(v) si un

sir nemarginit superior, crescator, (un)n≥1 pentru care w = limn→+∞

S(un)(v). Cum

v ∈ ω(z), afirmatia (iii) ne conduce la S(un)(v) ∈ ω(z), deci, ca limita a acestui

sir (S(un)(v))n≥1, punctul w se va afla ın aderenta multimii ω(z). Adica, chiar ın

ω(z).Pentru (x), presupunem fixate marimile v∈ω(z), respectiv (sn)n≥1 de la afirmatia

(viii). Fie w ∈ ω(z). Conform (ix), w ∈ ω(v), asadar exista sirul (hn)n≥1, strict

crescator si nemarginit superior, astfel ca limn→+∞

S(hn)(v) = w. Au loc estimarile

‖S(sn)(w)−w‖≤ ‖S(sn)(w)−S(sn +hn)(v)‖+‖S(sn +hn)(v)−S(hn)(v)‖+‖S(hn)(v)−w‖≤ Lip(S(sn)) · ‖w−S(hn)(v)‖+Lip(S(hn)) · ‖S(sn)(v)− v‖+‖S(hn)(v)−w‖= o(1) cand n →+∞.

La (xi), fixam T ≥ 0. Astfel, via (x),

‖v−w‖ = limn→+∞

‖S(sn)(v)−S(sn)(w)‖

≤ limsupn→+∞

[Lip(S(sn −T )) · ‖S(T )(v)−S(T )(w)‖]

≤ ‖S(T )(v)−S(T )(w)‖ ≤ ‖v−w‖.

La (xii), plecand de la inegalitatea (3.64), obtinem ca

d

dt

[

‖S(t)(z)− v‖2]

=d

dt

[

‖S(t)(z)−S(t)(v)‖2]

≤ 0, (3.68)

deci exista limt→+∞

‖S(t)(z)−v‖= r ∈ [0,+∞). Daca x∈ω(z), adica x= limn→+∞

S(tn)(z)

pentru un anumit sir (tn)n≥1, strict crescator si nemarginit, atunci

‖x− v‖= limn→+∞

‖S(tn)(z)− v‖= limt→+∞

‖S(t)(z)− v‖= r.

In sfarsit, pentru (v*), fie v ∈ ω(z). Cum v ∈ F , conform (xii), exista r ≥ 0 astfel

ıncat d(ω(z),v)≥ inf‖x− v‖ : ‖x− v‖= r= r, de unde r = 0. Adica,

ω(z) = v. (3.69)


Presupunand ca, prin absurd, exista numarul ε0 > 0 si sirul (tn)n≥1, crescator si

nemarginit, astfel ıncat d(S(tn)(z),v) ≥ ε0, n ≥ 1, atunci, data fiind marginirea

orbitei35 γ+(z) = S(t,z) : t ≥ 0 — vezi (3.67) —, deducem existenta limitei

limk→+∞

S(tnk,z) = w ∈Rn pentru un anumit subsir al sirului (tn)n≥1. Asadar, w ∈ ω(z).

De asemeni, d(w,v)≥ ε0, ceea ce vine ın contradictie cu (3.69).

Fie v ∈ F . Observam ca aplicatia V : Rn → R, cu formula V (x) = ‖x− v‖, es-

te, conform (3.68), o functie Liapunov pentru sistemul diferential (3.62), (3.63). De

asemeni, tot pentru a proba (3.61), fie t ≥ s ≥ 0. Observam ca

V (S(t,z))

= ‖S(t)(z)−S(t)(v)‖= ‖S(t − s)(S(s,z))−S(t − s)(S(s,v))‖≤ Lip(S(t − s)) · ‖S(s,z)−S(s,v)‖ ≤ ‖S(t,z)− v‖=V (S(s,z)), z ∈ Rn.

Sa presupunem acum ca sistemul diferential (3.62), (3.63) ındeplineste restricti-

ile

f (0) = 0, ( f (x)|x)Rn < 0, x 6= 0. (3.70)

Afirmam ca: (a) pentru orice ε > 0 exista δ = δ (ε)> 0 astfel ıncat daca ‖z‖ ≤ δ ,

atunci ‖S(t,z)‖< ε , t ≥ 0; (b) pentru orice z ∈ Rn, avem limt→+∞

S(t,z) = 0Rn .

Intr-adevar, cum 0Rn ∈ F , din (3.68) rezulta ca

‖S(t,z)‖ ≤ ‖z‖, t ≥ 0, (3.71)

deci putem lua δ = ε2 . Am probat punctul (a).

La (b), plecand de la (3.64), deducem ca

‖z‖2 = ‖S(t,z)‖2 +∫ t

0[−2( f (S(s,z))|S(s,z))Rn ]ds

= ‖S(t,z)‖2 +∫ t

0gz(s)ds, t ≥ 0, z ∈ Rn, (3.72)

unde functia gz : [0,+∞)→ [0,+∞) este continua.

Din estimarea anterioara rezulta ca∫ +∞

gz(t)dt <+∞, ceea ce implica existenta

unui sir (tn)n≥1, unde tn = tn(z), strict crescator si nemarginit superior, cu propri-

etatea ca liminfn→+∞

gz(tn) = 0.

Pe baza (3.71), deducem, trecand eventual la un subsir, existenta limitei limn→+∞

S

(tn,z) = v ∈ Rn. De aici, v ∈ ω(z) si limn→+∞

gz(tn) = −2( f (v)|v)Rn = 0. Din (3.70)

rezulta ca v = 0Rn . Astfel, 0Rn ∈ ω(z) pentru orice z ∈ Rn.

35 Putem, ın acest moment, interpreta proprietatea (ii), si anume: ω(z) = ω(γ+(z)). In general,fiind dat setul S ⊆ Z, multimea ω–limita a acestuia este ω(S) =

⋃

z∈S

ω(z), cf. [52, p. 191].


Fie acum w ∈ ω(z). Afirmatia (xi) arata ca ‖S(t,w)‖ = ‖w‖, t ≥ 0. Conform

(3.72), aplicatia gw este identic nula, deci S(t,w)≡ 0. In particular, S(0,w) = w = 0,

deci ω(z) = 0Rn pentru orice z ∈ Rn. Afirmatia a fost probata.

Solutia identic nula a sistemului diferential (3.62) este considerata stabila (Lia-

punov) [31, p. 60] daca verifica punctul (a) din afirmatia precedenta. Astfel, solutia

nula de la punctul (i) al teoremei Poincare-Liapunov-Perron — vezi pagina 26 —

este stabila Liapunov. In schimb, la punctul (ii) al aceleiasi teoreme, ıntalnim insta-

bilitatea (Liapunov) a solutiei nule. Daca solutia nula este stabila Liapunov si exista

η > 0 astfel ıncat limt→+∞

d(S(t,z),0Rn) = 0 pentru orice z ∈ Rn cu ‖z‖ < η , atunci

solutia nula este asimptotic stabila (Liapunov). In particular, solutia nula a sistemu-

lui diferential (3.62), (3.63), (3.70) este global — η =+∞ — asimptotic stabila [5,

p. 155].

Partea legata de cantitatea η din definitia asimptotic stabilitatii poarta denumirea

de conditie de atractivitate [21, p. 6]. Mai precis, pentru a fi asimptotic stabila a

la Liapunov, solutia nula trebuie sa fie stabila si atractiva. Stabilitatea unei solutii

nu-i influenteaza atractivitatea. Astfel, ın exemplul lui Vinograd (2.29), solutia nula

este instabila ınsa atractiva, fapt demonstrat ın [21, pg. 191-194] prin trecere la

coordonate polare.

3.8 Excurs de functii Liapunov. Criterii de stabilitate Liapunov

In calculele din subsectiunea precedenta par sa fi disparut, ca prin minune, ar-

gumentele geometrice. La prima vedere, asadar, stabilitatea Liapunov ınlocuieste

“desenele” cu treceri la limita riguroase.

Ce spune, defapt, ea: daca pot estima convenabil, ın fiecare moment t, talia

solutiei, atunci am gasit un candidat pentru stabilitatea Liapunov. Vezi Figura 3.32.

O t

x(t)ε

−ε

Fig. 3.32 Stabilitatea Liapunov

3.8 Excurs de functii Liapunov. Criterii de stabilitate Liapunov 135

Din pacate ınsa, acest fel de stabilitate nu este potrivit pentru investigarea

situatiei din Figura 3.33, unde trebuie utilizata stabilitatea orbitala (Poincare) [30,

p. 218].

Aici, desi orbitele (curbele γP) raman “apropiate”, odata cu trecerea timpului se

produc defazaje ınsemnate, unele dintre particulele-solutie “rotindu-se” mai repede

decat celelalte pe (propria) traiectorie. Exemple interesante sunt oferite de [52, p.

207, Ex. 3(b)], [30, p. 34, Ex. 33].

Inainte de a continua analiza planului fazelor, ınceputa la pagina 114, vom

prezenta cateva cerinte practice privind functia Liapunov V atasata unui sistem

diferential ordinar.

(i) Pentru a exprima faptul ca aceasta descreste ın lungul traiectoriilor — vezi

(3.61) —, deci

d

dt[V (t,x(t))] =

∂V

∂ t(t,x(t))+

(

∇x(t)V∣

∣

.x (t)

)

Rn

(cf. (3.62)) =∂V

∂ t(t,x(t))+

(

∇x(t)V∣

∣ f (x(t)))

Rn

≤ 0, t ≥ 0,

este suficient sa impunem ca functia V ∈C1(Rn+1,R) sa verifice inegalitatea

V ′L(t,x) =

∂V

∂ t(t,x)+(∇xV | f (x))Rn ≤ 0, t ≥ 0, x ∈ Rn. (3.73)

Am ıntalnit acest tip de estimare la derivata Lie (2.44):

d

dt[V (t,x(t))] = lim

h→0

V (t +h,x(t +h))−V (t,x(t))

h

= limh→0

V (t +h,x(t)+h.x (t))−V (t,x(t))

h

= limh→0

V (t +h,x(t)+h · f (x(t)))−V (t,x(t))

h

= limh→0

V (u+h,v+h · f (v))−V (u,v)

h

∣

∣

∣

∣

(

u

v

)

=

(

t

x(t)

) ,

vezi [45, pg. 24, 31].

Facem observatia ca netezimea functiei V poate fi redusa daca ınlocuim derivata

din (3.73) cu urmatoarea limita 36

V ′L(u,v) = limsup

hց0

V (u+h,v+h · f (v))−V (u,v)

h, (3.74)

36 Variante ale sale, bazate pe derivatele G. Dini, constituie derivata orbitala a functiei Liapunov.In limba engleza, orbital derivative [2, p. 232].


γP

Fig. 3.33 Stabilitatea orbitala

unde

(

u

v

)

∈ [0,+∞)×Rn, conform [31, p. 80]. De exemplu, fiind dat L > 0 astfel

ıncat

|V (u1,v1)−V (u2,v2)| ≤ L ·dRn+1

((

u1

v1

)

,

(

u2

v2

))

, ui ≥ 0, vi ∈ Rn,

avem

1

h· |V (u+h,v+h f (v))−V (u,v)|

≤ L

h[|(u+h)−u|+‖(v+h f (v))− v‖]

= L(1+‖ f (v)‖) , h > 0,

deci limita din (3.74) exista si |V ′L(u,v)| ≤ L(1+‖ f (v)‖)<+∞.

(ii) Pentru a evalua valorile functiei V ın lungul traiectoriilor, presupunem ca

exista functia continua γ : [0,+∞)×R→ R, cu γ(t,0)≡ 0, pentru care solutia nula

a ecuatiei diferentiale

w′ = γ(t,w), t ≥ 0, (3.75)

sa fie stabila/asimptotic stabila (Liapunov) si impunem ca

3.8 Excurs de functii Liapunov. Criterii de stabilitate Liapunov 137

V (0,0Rn)≡ 0, V ′L(t,x)≤ γ(t,V (t,x)), t ≥ 0, x ∈ Rn, (3.76)

vezi [31, p. 90, Theorem 5.21].

Astfel, daca x = x(t) este solutia sistemului (3.62), deducem ca V ′L(t,x(t)) =

ddt[V (t,x(t))] ≤ γ(t,V (t,x(t))), t ≥ 0, estimare din care, pe baza inegalitatii lui B.

Viswanatham37[67], rezulta ca

V (t,x(t))≤ wx0(t), t ≥ 0,

unde wx0reprezinta solutia maximala [25, p. 25], [31, p. 83] a ecuatiei diferentiale

(3.75), cu data wx0(0) =V (0,x0), x0 ∈ Rn.

In diverse cazuri particulare, putem evita utilizarea solutiilor extremale pe baza

unor trucuri de calcul [2, p. 234].

(iii) Pentru a extrage solutia x(t) din evaluarea aplicatiei V , vom presupune ca

exista functia continua ω : [0,+∞) → [0,+∞), monoton nedescrescatoare, astfel

ıncat ω(0) = 0 si ω(r)> 0 cand r > 0, cu proprietatea ca [5, p. 135]

V (t,x)≥ ω(‖x‖), t ≥ 0, x ∈ Rn.

Considerand ca sistemul (3.62) admite o functie Liapunov V care ındeplineste

conditiile (i) – (iii), solutia nula a acestuia va avea acelasi tip de stabilitate cu solutia

nula a sistemului de comparatie (3.75), cf. [31, ibid.].

Doua cazuri particulare trebuie mentionate. Primul se refera la ecuatia diferentiala

..x + f (x) = 0, t ≥ 0, (3.77)

unde aplicatia f : R→ R este neteda si satisface restrictia de semn

x · f (x)> 0, x 6= 0.

Rescriind ecuatia (3.77) ca un sistem diferential de ordinul ıntai,

( .x.y

)

=

(

y

− f (x)

)

, (3.78)

si introducand functia

V (t,x,y) =V (x,y) =y2

2+

∫ x

0f (u)du, t, x, y ∈ R,

observam ca

37 Versiunea “cu derivate” (Dini) a acestui rezultat ıi apartine lui G. Peano [25, p. 26, Theorem 4.1;p. 44].


V ′L(t,x(t),y(t)) =

d

dt[V (x(t),y(t))] =

(

∇(x(t),y(t))V

∣

∣

∣

∣

(

y(t)− f (x(t))

))

Rn

=

((

f (x(t))y(t)

)∣

∣

∣

∣

(

y(t)− f (x(t))

))

R2

= 0,

adica derivata orbitala a aplicatiei V se anuleaza ın lungul fiecarei solutii t 7→(

x(t)y(t)

)

. Asadar, V constituie o functie Liapunov pentru sistemul diferential (3.78).

Daca limx→±∞

∫ x0 f (u)du = +∞, atunci ecuatiei (3.77) ıi putem atasa semi-curentul

continuu S : [0,+∞)×R2 → R2 cu formula

S(t,x0,y0) =

(

x(t,0,x0,y0).x(t,0,x0,y0)

)

, x0, y0 ∈ R,

unde x(0,0,x0,y0) = x0 si.x(0,0,x0,y0) = y0. Luand γ = 0 ın cerinta (ii) privind

functiile Liapunov, respectiv [5, p. 139]

ω(r) = inf

V (x,y) : r ≤∥

∥

∥

∥

(

x

y

)∥

∥

∥

∥

≤ 1

, r ∈ [0,1], ω(r) = ω(1), r ≥ 1,

ın cerinta (iii), deducem stabilitatea Liapunov a solutiei nule a ecuatiei (3.77).

Facem urmatoarea observatie: fiind data functia ω : [a,b]→ [0,ω(b)], monoton

nedescrescatoare, cu ω(a) = 0 si ω(r)> 0 cand r > a, exista o functie ω− : [a,b]→[0,ω(b)], strict crescatoare, astfel ıncat ω−(r) ≤ ω(r), r ∈ [a,b]. Intr-adevar, un

candidat pentru ω− este

ω−(r) =r−a

b−a·ω(r), r ∈ [a,b].

Fiind motona, ω− este inversabila iar ω−1− : [0,ω(b)]→ [a,b] este continua si (strict)

crescatoare, ceea ce ne permite “extragerea” solutiei x(t).Pentru o generalizare a rezultatului de stabilitate precededent, vezi [31, p. 93, Ex.

5.4].

In plus, sistemul (3.78) admite reprezentarea

.x= ∂V

∂y,

.y=− ∂V

∂x,

t ≥ 0,

deci este un sistem diferential Hamiltonian [52, p. 172], [46, p. 63].

Al doilea caz se refera la sistemul diferential liniar

.x= Ax, t ≥ 0, (3.79)

unde A ∈ Mn(R). Presupunand ca valorile proprii ale matricei A au partea reala

negativa, fixam matricea pozitiv definita C ∈ Mn(R) si introducem matricea

3.9 Simboluri, coordonate si curbe punctate 139

B =

∫ +∞

0eAT tCeAtdt.

Atunci, AT B+BA =−C, B este pozitiv definita iar aplicatia

V (t,x) =V (x) = (Bx|x)Rn , x ∈ Rn,

desemneaza o functie Liapunov pentru sistemul (3.79):

V ′L(t,x(t)) =

d

dt

[

x(t)T Bx(t)]

= [Ax(t)]T Bx(t)+ x(t)T [Ax(t)]

=((

AT B+BA)

x(t)∣

∣x(t))

Rn =−(Cx(t)|x(t))Rn

≤ 0,

conform [22, p. 295], [5, pg. 140–142].

Un subiect aparte ıl constituie teoremele reciproce de stabilitate: atunci cand

solutia sistemului diferential admite un anumit tip de stabilitate, putem construi o

functie Liapunov care sa confirme acest fapt [22, p. 307].

3.9 Simboluri, coordonate si curbe punctate

In Figura 3.30 — la pagina 119 —, am folosit o varianta scalata a simbolului

“/” la producerea semnului “ ′ ” din secventele tipografice P′, Q′. Vezi procedura

apostrof din programul litere.ps de la pagina 124. Aceasta pentru ca nu

mi-a placut accentul standard din font38-ul [1, p. 35] Times-Roman.

Urmatorul program, bazat pe prezentarea din [1, pg. 91–94], afiseaza codurile ın

baza opt ale caracterelor unui font.

figura_3_35.eps


2 %%BoundingBox: 30 30 550 800

3

4 %%%%Font-uri:

5 %%%%Times-Roman, Times-Italic, Times-Bold,

6 %%%%Helvetica, Symbol

7 %%%%Vezi Tutorial & Cookbook de PostScript, pag. 91-92

8

9 /caracter 1 s t r i n g def

10 /sirnou 3 s t r i n g def

11

12 /linienouadict 2 d i c t def

13 /linienoua

14 %%%sintaxa:

15 %%%abscisa distantadintrelinii linienoua

38 Sau grup de caractere.


16 linienouadict begin

17 /distantadintrelinii exch def

18 /abscisa exch def

19 c u r r e n t p o i n t distantadintrelinii sub

20 exch pop abscisa

21 exch moveto

22 enddef

23

24 /tiparsirnou

25 sirnou cvs show

26 def

27

28 /tiparcaractercaracter 0

29 3 -1 r o l l

30 put

31 caracter showdef

32

33 /Afisezdict 2 d i c t def

34 /Afisez

35 Afisezdict begin

36 /ddistantadintrelinii exch def

37 /aabscisa exch def

38 dup tiparsirnou

39 ( ) show

40 tiparcaracter

41 aabscisa ddistantadintrelinii linienoua

42 end

43 def

44


46 newpath

47 40 750 moveto

48 1 1 50

49 40 10 Afisez

50 f o r

51

52 80 750 moveto

53 51 1 100

54 80 10 Afisez

55 f o r

56

57 120 750 moveto

58 101 1 150

59 120 10 Afisez

60 f o r

61

62 160 750 moveto

63 151 1 200

64 160 10 Afisez

65 f o r

66

67 200 750 moveto

68 201 1 250

69 200 10 Afisez


70 f o r

71

72 240 750 moveto

73 251 1 255

74 240 10 Afisez

75 f o r

76


78 newpath

79 280 750 moveto

80 1 1 50

81 280 10 Afisez

82 f o r

83

84 320 750 moveto

85 51 1 100

86 320 10 Afisez

87 f o r

88

89 360 750 moveto

90 101 1 150

91 360 10 Afisez

92 f o r

93

94 400 750 moveto

95 151 1 200

96 400 10 Afisez

97 f o r

98

99 440 750 moveto

100 201 1 250

101 440 10 Afisez

102 f o r

103

104 480 750 moveto

105 251 1 255

106 480 10 Afisez

107 f o r

108


110 newpath

111 102 775 moveto

112 (Caracterele Times-Roman) show

113 345 775 moveto

114 (Caracterele Symbol) show

115 showpage

Fac observatia ca, la interpretarea secventei

valoare_de_inceput increment valoare_de_final continut for

ın stiva vor fi incluse si valorile ciclate:

...

valoare_de_inceput + increment


continut

valoare_de_inceput

...

Aceasta particularitate a limbajului PostScript este speculata ın procedura

Afisez din programul anterior — la linia 38 — pentru a ilustra numarul de ordine

al caracterelor din Figura 3.35.

Comenzile

/Times-Roman findfont 6 scalefont setfont

(abc\44de) show

vor produce39 sirul “ abc$de ”.

In anumite situatii poate fi util sa afisam coordonatele carteziene ale diverselor

repere dintr-o constructie geometrica complicata. Evident, acestea pot fi determina-

te si cu ajutorul programului GSView. Rezultatul codului de mai jos este afisat ın

Figura 3.34.

50.0130.0

130.079.9999

113.941155.779

55.089929.3782

Fig. 3.34 Vizualizarea pozitiilor

figura_3_34.eps


2 %%BoundingBox: 14 14 180 180

3

4 /vizualizaredatedict 16 d i c t def

5 /vizualizaredate

39 Atentie, codul octal al unui caracter este dat de scrierea ın baza opt a numarului sau de ordine:36(10) = 44(8).


6 vizualizaredatedict begin

7 f l a t t e n p a t h

8 %aici salvam datele ca siruri

9 /sirunu 10 s t r i n g def

10 /sirdoi 10 s t r i n g def

11 /sirtrei 10 s t r i n g def

12 /sirpatru 10 s t r i n g def

13

14 %coordonate de inceput

15 /unu exch def %y-ul de inceput

16 /doi exch def

17 /unutine unu def %salvari

18 /doitine doi def

19 /uunutine unutine def %alte salvari

20 /ddoitine doitine def

21 uunutine sirunu cvs %transf. in sir

22 ddoitine sirdoi cvs

23 /trei exch def

24 /patru exch def

25 /treitine trei def

26 /patrutine patru def

27 /ttreitine treitine def

28 /ppatrutine patrutine def

29 ttreitine sirtrei cvs

30 ppatrutine sirpatru cvs

31

32

33 p a t h f o r a l l

34

35 doitine unutine moveto

36 sirdoi show

37 %distanta 6 pe verticala

38 %intre afisari

39 %trebuie potrivita cu dimensiunea

40 %fontului

41 doitine unutine 6 sub moveto

42 sirunu show

43 patrutine treitine moveto

44 sirpatru show

45 patrutine treitine 6 sub moveto

46 sirtrei show

47 end

48 def

49


51

52 newpath

53 50 130 moveto

54 130 80 l i n e t o

55 vizualizaredate

56 s t r o k e

57

58 newpath

59 90 90 70 70 240 arc


60 vizualizaredate

61 s t r o k e

62

63 showpage

1

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 !34 "35 #36 $37 %38 &39 ’40 (41 )42 *43 +44 ,45 -46 .47 /48 049 150 2

51 352 453 554 655 756 857 958 :59 ;60 <61 =62 >63 ?64 @65 A66 B67 C68 D69 E70 F71 G72 H73 I74 J75 K76 L77 M78 N79 O80 P81 Q82 R83 S84 T85 U86 V87 W88 X89 Y90 Z91 [92 \93 ]94 ^95 _96 ‘97 a98 b99 c100 d

101 e102 f103 g104 h105 i106 j107 k108 l109 m110 n111 o112 p113 q114 r115 s116 t117 u118 v119 w120 x121 y122 z123 124 |125 126 ~127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150

151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 ¡162 ¢163 £164 ⁄165 ¥166 ƒ167 §168 ¤169 '170 “171 «172 ‹173 ›174 fi175 fl176 °177 –178 †179 ‡180 ·181 µ182 ¶183 •184 ‚185 „186 ”187 »188 …189 ‰190 ¾191 ¿192 À193 `194 ´195 ˆ196 ˜197 ¯198 ˘199 ˙200 ¨

201 É202 ˚203 ¸204 Ì205 ˝206 ˛207 ˇ208 —209 Ñ210 Ò211 Ó212 Ô213 Õ214 Ö215 ×216 Ø217 Ù218 Ú219 Û220 Ü221 Ý222 Þ223 ß224 à225 Æ226 â227 ª228 ä229 å230 æ231 ç232 Ł233 Ø234 Œ235 º236 ì237 í238 î239 ï240 ð241 æ242 ò243 ó244 ô245 ı246 ö247 ÷248 ł249 ø250 œ

251 ß252 ü253 ý254 þ255 ÿ

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 !34 ∀35 #36 ∃37 %38 &39 ∋40 (41 )42 ∗43 +44 ,45 −46 .47 /48 049 150 2

51 352 453 554 655 756 857 958 :59 ;60 <61 =62 >63 ?64 ≅65 Α66 Β67 Χ68 ∆69 Ε70 Φ71 Γ72 Η73 Ι74 ϑ75 Κ76 Λ77 Μ78 Ν79 Ο80 Π81 Θ82 Ρ83 Σ84 Τ85 Υ86 ς87 Ω88 Ξ89 Ψ90 Ζ91 [92 ∴93 ]94 ⊥95 _96 97 α98 β99 χ100 δ

101 ε102 φ103 γ104 η105 ι106 ϕ107 κ108 λ109 µ110 ν111 ο112 π113 θ114 ρ115 σ116 τ117 υ118 ϖ119 ω120 ξ121 ψ122 ζ123 124 |125 126 ∼127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150

151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 €161 ϒ162 ′163 ≤164 ⁄165 ∞166 ƒ167 ♣168 ♦169 ♥170 ♠171 ↔172 ←173 ↑174 →175 ↓176 °177 ±178 ″179 ≥180 ×181 ∝182 ∂183 •184 ÷185 ≠186 ≡187 ≈188 …189 190 191 ↵192 ℵ193 ℑ194 ℜ195 ℘196 ⊗197 ⊕198 ∅199 ∩200 ∪

201 ⊃202 ⊇203 ⊄204 ⊂205 ⊆206 ∈207 ∉208 ∠209 ∇210 211 212 213 ∏214 √215 ⋅216 ¬217 ∧218 ∨219 ⇔220 ⇐221 ⇑222 ⇒223 ⇓224 ◊225 ⟨226 227 228 229 ∑230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 ð241 ⟩242 ∫243 ⌠244 245 ⌡246 247 248 249 250

251 252 253 254 255 ÿ

Caracterele Times-Roman Caracterele Symbol

Fig. 3.35 Codurile caracterelor


Reamintesc programul triunghiuri.ps, cu ale carui instructiuni am dese-

nat curbele “libere” din ilustratiile de pana acum. Pe baza metodei de punctare40

dezvoltata ın [1, pg. 147–149], le adaugam acestora un triunghi curb punctat.

triunghiuri_punctate.ps

1 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

2 %%%%%%%%curbe din tringhiuri, punctate%%%%%%%%

3 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

4 /distantadict 4 d i c t def

5 /distanta

6 distantadict begin

7 /ydoi exch def

8 /xdoi exch def

9 /yunu exch def

10 /xunu exch def

11 xunu yunu sub dup mul

12 xdoi ydoi sub dup mul

13 add s q r t

14 end

15 def

16

17 /lungimeacurbeidict 7 d i c t def

18 /lungimeacurbei

19 lungimeacurbeidict begin

20 f l a t t e n p a t h

21 /suma 0 def

22 /yzero exch def

23 /xzero exch def

24 /merglay yzero def

25 /merglax xzero def

26 /yunu exch def

27 /xunu exch def

28 /suma suma

29 xzero yzero xunu yunu distanta

30 add def

31 /xzero xunu def

32 /yzero yunu def

33

34

35

36 /yunu merglay def

37 /xunu merglax def

38 /suma suma

39 xzero yzero xunu yunu distanta

40 add def

41 /xzero xunu def

42 /yzero yunu defp a t h f o r a l l

43 suma

44 end

45 def

46

47 /curbapunctatadict 8 d i c t def

40 Ori liniere. De la englezescul dash, adica “ – ”.


48 /curbapunctata

49 curbapunctatadict begin

50 /model exch def

51 /lungime lungimeacurbei def

52 /lungimemodel 0 def

53 model

54 lungimemodel add

55 /lungimemodel exch def

56 f o r a l l

57 model l e n g t h 2 mod 0 ne

58 /lungimemodel lungimemodel 2 mul def i f

59 /zero model 0 g e t def

60 /unu lungimemodel zero sub def

61 /adaos lungime unu sub lungimemodel add def

62 /final lungime lungimemodel adaos mul sub

63 unu sub 2 div def

64 /deplasare zero final sub def

65 model deplasare s e t d a s h

66 end

67 def

68

69 /triunghicurbpunctatdict 19 d i c t def

70 triunghicurbpunctatdict begin


72 end

73 /triunghicurbpunctat

74 triunghicurbpunctatdict begin


76 %%%intrari:

77 /comandapunctare exch def %neaparat un array






83 %%%prelucrari:















96 gsave

97 newpath


99 plecarex plecarey varfulx varfuly sosirex sosirey curve to


100 comandapunctare curbapunctata

101 s t r o k e

102 g r e s t o r e


104 end

105 def

In codul Figurii 3.41 — listat ın cele ce urmeaza — se utilizeaza procedura

triunghicurbpunctat.

figura_3_41.eps


2 %%BoundingBox: 14 14 154 92

3




(cont.)Biblioteca_ps/puncte.ps) run




(cont.)Biblioteca_ps/triunghiuri_punctate.ps) run


(cont.)Biblioteca_ps/litere.ps) run

9


11 newpath

12 80 30 moveto

13 80 83 l i n e t o

14 135 118 l i n e t o

15 135 65 l i n e t o

16 s t r o k e

17 newpath

18 135 65 moveto

19 132 63 l i n e t o

20 s t r o k e

21 newpath

22 1 s e t g r a y

23 132 63 moveto

24 130 61.6 l i n e t o

25 s t r o k e

26 newpath

27 0 s e t g r a y

28 130 61.6 moveto

29 118 54 l i n e t o

30 s t r o k e

31 newpath

32 1 s e t g r a y

33 118 54 moveto

34 116 53 l i n e t o

35 s t r o k e

36 newpath

37 0 s e t g r a y

38 116 53 moveto


39 80 30 l i n e t o

40 s t r o k e


42 79 63 87 28 -60 triunghicurb

43 79 63 116 57 20 [3 1] triunghicurbpunctat

44 87 28 114 40 -8 triunghicurb

45 116 57 114 40 6 triunghicurb

46 80 73 90 19 -120 triunghicurb

47 90 19 118 79 -80 triunghicurb

48 80 73 114 67 12 [3 1] triunghicurbpunctat

49

50 116 57 .8 .6 .3 punctulet

51 118 79 .8 .6 .3 punctulet

52 114 67 .8 .6 .3 punctulet

53

54 93 29.8 93.5 27 3 triunghisageata

55 93 20.2 93.2 17.4 3 triunghisageata

56

57 6 litere

58 newpath

59 107.2 54 moveto

60 (M) show

61 116 67 moveto

62 (M) show

63 120 81 moveto

64 (P(M)) show


66 129 107 moveto

67 (S) show

68 60 40 moveto

69 (G) show

70 4 litere

71 113 53 moveto

72 (0) show

73

74 showpage

3.10 Teorema Poincare-Bendixson II: demonstratie, aplicatia lui

Poincare

Sa revenim la sistemul diferential (3.48). Urmand prezentarea din [52, pg.

243–246], afirmam ca: daca, ıntr-un domeniu marginit al planului, exista orbita

Γ = γ+(P) iar multimea41 ω(Γ ) nu contine puncte singulare ale sistemului (3.48),

atunci ω(Γ ) este un ciclu al acestuia. Rezultatul din afirmatie se bazeaza pe cerce-

tari ıntreprinse de H. Poincare si I. Bendixson [17, p. 24].

41 Vezi nota de subsol de la pagina 133.


Incepem justificarea cu observatia ca, traiectoria Γ fiind relativ compacta, pro-

pozitia (iv) de la pagina 128 arata ca multimea42 ω(Γ ) este nevida, compacta si

conexa.

Apoi, pentru P ∈ Γ , daca S este un segment ınchis, centrat ın P, al normalei N

— vezi Figura 3.30 —, un arc ınchis43 A al traiectoriei ıl poate intersecta numai

ıntr-un numar finit de puncte. In particular, ın cazul unei traiectorii periodice exista

un singur punct de intersectie, si anume P. De asemeni, odata cu trecerea timpului

t, punctele de intersectie se ındeparteaza de P [22, p. 52].

Intr-adevar, daca ar exista un sir infinit de puncte de intersectie Pn ∈ S ∩A

(multime compacta), unde Pn = φ tn(P), atunci sirul (tn)n≥1, fiind nemarginit, ar

poseda un subsir, notat la fel, pentru care limn→+∞

φ tn(P) = Q ∈Γ ∩S — arc ınchis! —

si limn→+∞

tn = t∞ ∈R: Q = φ t∞(P). Remarcam ca directia u, care este versorul director

[42, p. 15] al dreptei PnQ, este si versorul director al segmentului transversal S. De

aici, cum44

.

OQ ≡ d

dt

∣

∣

∣

∣

t=t∞

[

φ t(P)]

= f(

φ t∞(P))

= f (Q)

= limn→+∞

φ tn(P)−φ t∞(P)

tn − t∞, unde f =

(

X

Y

)

,

si

φ tn(P)−φ t∞(P)

tn − t∞=

Pn −Q

tn − t∞

≡ 1

tn − t∞·(

OPn −OQ)

=1

tn − t∞·QPn = λ (tn − t∞) ·u, λ (tn − t∞) ∈ R,

deducem ca vectorii u si O f (Q) sunt coliniari, fapt care contrazice transversalitatea

dreptei N.

Daca Γ este periodica si are cel putin doua puncte de intersectie cu transversa-

la S, notate P si R — intersectii consecutive —, ne gasim ıntr-una din variantele

ilustrate ın Figura 3.36.

Aici, ın cazul (a), pentru t suficient de mare, multimea Γt =⋃

s≥tφ s(P) se va afla

ın aceeasi regiune a planului — marginita de cercul topologic PT R — cu punctul

W. Orbita Γ fiind periodica, de perioada per, avem φ tV+k·per(P) = φ tV (P) = V ,

unde tV ∈R, k ∈Z. Insa, pentru k suficient de mare, φ tV+k·per(P)∈Γt , ceea ce nu se

poate ıntampla decat daca fie orbita s-ar autointersecta, fie ar intersecta segmentul

42 Aici, ω(Γ ) =⋃

t≥0ω(φ t(P)) =

⋃

t≥0ω(P) = ω(P).

43 Adica, A = φ t(P) : t ∈ [a,b], a < b.44 W ≡ OW , unde W ∈ R2 iar O = 0R2 .


R

PV

S

WT

P

R

V

WT

S

(a) (b)

Fig. 3.36 Cercul topologic PT R

(PR). Ambele posibilitati sunt, evident, inacceptabile. Cazul (b) se exclude ın mod

analog.

Mai departe, daca exista orbita Γ0 ⊆ ω(Γ ) corespunzand unei solutii periodice

a sistemului diferential (3.48), atunci

Γ0 = ω(Γ ). (3.80)

Intr-adevar, daca vom presupune ca Γ0 ( ω(Γ ), atunci, cum ω(Γ ) este conexa si

Γ0 ∪ (ω(Γ )−Γ0) = Γ0 ∪ (ω(Γ )−Γ0)⊆ ω(Γ ) = ω(Γ ),

va rezulta ca Γ0 ∩ (ω(Γ )−Γ0) 6= /0. Fie P0 ∈ Γ0 ∩ (ω(Γ )−Γ0) si S un segment

de dreapta ınchis, transversal ın P0 orbitei γ+(P0) = φ t(P0) : t ≥ 0 = Γ0. Cum

P0 ∈ ω(Γ ), traiectoria Γ se va apropia de P0 atat de mult ıncat S va constitui o

transversala si pentru aceasta. Vezi Figura 3.37.

Oricat de aproape de P0 se gasesc puncte P1 ∈ ω(Γ )−Γ0. Pentru ele45, φ t(P1) ∈ω(Γ )−Γ0, t ≥ 0, si orbita γ+(P1) va traversa segmentul S ın P′ = P′(P1). Am

obtinut, asadar, o transversala S a traiectoriei γ+(P) pe care se gasesc doua puncte

distincte din ω(P), si anume P0 si P′. Pe baza discutiei de la pagina 119 deducem

ca asa ceva nu se poate ıntampla46 — vezi Figura 3.38 pentru diversele configuratii

de traversare —, deci presupunerea precedenta a fost absurda.

45 Aici, φ t(ω(Γ )) = φ t(ω(P)) = ω(P) = ω(Γ ). Sistemul diferential fiind neted, orbitele γ+(P0)si γ+(P1) nu se pot ıntalni.46 Topologia euclidiana fiind normala (T4) [34, p. 112], cele doua puncte de pe transversala posedavecinatati disjuncte, ın care se gasesc puncte din traiectoria Γ . Micsorand talia acestor vecina-tati, remarcam ca traiectoria Γ intersecteaza transversala S ın ınca doua puncte, de unde, ın modinductiv, concludem ca multimea Γ ∩S este infinita.


ΓΓ

ω(Γ)

P

S P0

0

Fig. 3.37 Transversala S

In sfarsit, putem ataca demonstratia teoremei Poincare-Bendixson. Daca orbita

Γ este periodica, atunci φ t(H) = φ t+n·per(H), n ≥ 0, H ∈ Γ , deci Γ ⊆ ω(Γ ). Con-

form discutiei de pana acum, Γ = ω(Γ ), adica aceasta din urma reprezinta o orbita

periodica. In caz contrar, cum multimea ω(Γ ) este nevida, exista P0 ∈ ω(Γ ), de

unde φ t(P0) ∈ ω(Γ ) pentru orice t ≥ 0, respectiv ω(P0) ⊆ ω(Γ ). Fie P1 ∈ ω(P0).La fel ca anterior, putem construi o transversala S, trecand prin P1, pentru traiec-

toria γ+(P0). Insa, atat P1 cat si γ+(P0) sunt submultimi ale lui ω(P). De unde,

multimea S va fi o transversala si pentru Γ , deci S nu va putea avea decat cel mult

un punct de intersectie cu ω(Γ ) — pentru a nu repeta situatia ilustrata ın Figura

3.38 —. Adica, γ+(P0) trebuie sa intersecteze transversala S chiar ın P1! Am obtinut

ca γ+(P0)∩ω(P0) 6= /0. Ne regasim ın contextul discutiei de la pagina 119, ceea

ce ne conduce la concluzia ca traiectoria γ+(P0) este periodica. Asadar, multimea

ω(Γ ) contine o traiectorie periodica, deci, via (3.80), coincide cu acea traiectorie.

Demonstratia s-a ıncheiat.

Ilustram teorema Poincare-Bendixson cu ajutorul sistemului diferential

.x=(

1−√

x2 + y2)

x− y,.y= x+

(

1−√

x2 + y2)

y,t ∈ R. (3.81)

Trecand la coordonate polare — (3.4) —, sistemul devine

( .x.y

)

=

(

x −y

y x

)(

1−ρ1

)

,

respectiv


Fig. 3.38 Traversari

(

x y

−y x

)( .x.y

)

= ρ2

(

1−ρ1

)

.

Am tinut seama de faptul ca

(

x −y

y x

)−1

=1

x2 + y2

(

x y

−y x

)

,

(

x

y

)

6=(

0

0

)

.

Mai departe,

.ρ = x

.x+y

.y

ρ = ρ(1−ρ),.θ = x

.y−y

.x

ρ2 = 1,t ∈ R. (3.82)

Observam ca solutiilor constante ρ ≡ 0, ρ ≡ 1 ale primeia dintre ecuatiile (3.82)

le corespund punctul singular 0R2 , respectiv curba invarianta S1, cu parametrizarea

(

x(t)y(t)

)

=

(

cos t

sin t

)

, t ∈ R, (3.83)

ale sistemului (3.81). Vezi Figura 3.39.

Fie t1 < t2 ın R. Prin integrare ın raport cu timpul t, obtinem identitatea

ln

(

ρ(t2)1−ρ(t2)

· 1−ρ(t1)ρ(t1)

)

= t2 − t1.


x

y

(0,0)

P

P

ω(Ρ)

Fig. 3.39 Curba invarianta

Fixand punctul P 6= 0R2 ın interiorul cercului S1, deducem ca solutia

(

ρθ

)

=(

ρ(t,0,ρ0,θ0)θ(t,0,ρ0,θ0)

)

, unde P = P(ρ0,θ0), a sistemului (3.82) are comportamentul

asimptotic dat de relatiile

limt→−∞

ρ(t) = 0, (pentru t1 →−∞)

limt→+∞

ρ(t) = 1, (t2 →+∞)

limt→−∞

θ(t) =−∞,

limt→+∞

θ(t) = +∞.

In concluzie — Figura 3.40 —, α(P) = 0R2 si ω(P) = S1. Solutia periodica

(3.83) a sistemului (3.81) a fost prevazuta de teorema Poincare-Bendixson.

VA URMA. . .


x

y

(0,0)

Pω(Ρ)α(Ρ)

Fig. 3.40 Multimile α si ω

M

M

P(M)

Σ

Γ

0

Fig. 3.41 Aplicatia lui Poincare

Referinte Bibliografice

1. Adobe Systems, Inc.: PostScript language, Tutorial and cookbook. Addison-Wesley, Reading(1985)

2. Amann, H.: Ordinary differential equations. W. de Gruyter, Berlin (1990)3. Arnold, V.I.: Ecuatii diferentiale ordinare. Ed. Stiintifica si Enciclopedica, Bucuresti (1978)4. Arnold, V.I.: Geometrical methods in the theory of ordinary differential equations. Springer-

Verlag, New York (1988)5. Barbu, V.: Ecuatii diferentiale. Ed. Junimea, Iasi (1985)6. Bellman, R.: Stability theory of differential equations. McGraw-Hill, New York (1953)7. Bhatia, N.P., Szego, G.P.: Stability theory of dynamical systems. Springer-Verlag, New York

(1970)8. Birkhoff, G.D.: Dynamical systems. Colloquium Publ. 9, AMS, Providence (1966)9. Brauer, F.: Some stability and perturbation problems for differential and integral equations.

Monogr. Matematica 25, IMPA, Rio de Janeiro (1976)10. Calculator de orbite: WINPP,

http://www.math.pitt.edu/˜bard/bardware/

11. Calculator de orbite: documentatia WINPP,http://www.math.pitt.edu/˜bard/classes/wppdoc/readme.htm

12. Carr, J.: Applications of centre manifold theory. Springer-Verlag, New York (1981)13. Casselman, B.: Mathematical Illustrations,

http://www.math.ubc.ca/˜cass/graphics/manual/index.html#main

14. Chicone, C.: Ordinary differential equations with applications, Second edition. Springer-Verlag, New York (2006)

15. Coddington, E.A., Levinson, N.: Theory of ordinary differential equations. McGraw-Hill,New York (1955)

16. Doob, M.; Hefferon, J.: Approaching Asymptote. TUGboat 33, 213–218 (2012)17. Dumortier, F., Llibre, J., Artes, J.C.: Qualitative theory of planar differential systems.

Springer-Verlag, Berlin (2006)18. Evans, L.C.: Partial differential equations. AMS, Providence (1999)19. Goossens, M., Mittelbach, F., Rahtz, S., Roegel, D., Voss, H.: The LATEX graphics companion,

Second edition. Addison-Wesley, Upper Saddle River (2008)20. Guillemin, V., Pollack, A.: Differential topology. AMS Chelsea Publish., Providence (2010)21. Hahn, W.: Stability of motion. Springer-Verlag, Berlin (1967)22. Hale, J.K.: Ordinary differential equations. Wiley Interscience, New York (1969)23. Hale, J.K.: Functional differential equations. Springer-Verlag, New York (1971)24. Haraux, A.: Systemes dynamiques dissipatifs et applications. Masson, Paris (1991)25. Hartman, P.: Ordinary differential equations. J. Wiley & Sons, New York (1964)26. Heineman, G.T., Pollice, G., Selkow, S.: Algorithms in a nutshell. O’Reilly, Sebastopol

(2009)

155

156 Referinte Bibliografice

27. Hirsch, M.W., Smale, S.: Differential equations, dynamical systems, and linear algebra. Aca-demic Press, New York (1974)

28. Horn, R.A., Johnson, C.R: Matrix analysis. Cambridge Univ. Press, Cambridge (1990)29. Interpretor de PostScript: Ghostscript,

http://www.ghostscript.com/download/gsdnld.html

30. Jordan, D.W., Smith, P.: Nonlinear ordinary differential equations, Second edition. ClarendonPress, Oxford (1991)

31. Kartsatos, A.G.: Advanced ordinary differential equations. Mariner Publ., Tampa (1980)32. Kato, T.: Perturbation theory for linear operators. Springer-Verlag, Berlin (1995)33. Kelley, A.: Stability of the center-stable manifold. Apendicele B din cartea “Abraham, R.:

Foundations of mechanics. W.A. Benjamin, Inc., New York (1967) ”.34. Kelley, J.L.: General topology. Van Nostrand Reinhold, New York (1955)35. Knuth, D.E.: The METAFONT book. Addison Wesley, Reading (1986)36. Lang, S.: Differential and Riemannian manifolds. Springer-Verlag, New York (1995)37. LaSalle, J.P.: The stability of dynamical systems. SIAM, Philadelphia (1976)38. Lee, J.M.: Introduction to topological manifolds. Springer-Verlag, New York (2000)39. Lefschetz, S.: Differential equations: geometric theory. Interscience Publish., New York

(1959)40. McShane, E.J.: Extension of range of functions. Bull. Amer. Math. Soc. 40, 837–842 (1934)41. Mustafa, O.G.: Integrarea asimptotica a ecuatiilor diferentiale ordinare ın cazul neautonom.

Ed. Sitech, Craiova (2006) On-line la adresa: under construction

42. Mustafa, O.G.: Elemente de mecanica punctului material si a solidului rigid. Ed. Didactica siPedagogica, Bucuresti (2006) On-line la adresa: under construction

43. Mustafa, O.G.: Note de TEX. DAL, Craiova (2009)On-line la adresa: under construction

44. Mustafa, O.G.: Heat Lie, Grupuri de transformari si ecuatii cu derivate partiale. DAL, Craiova(2009) On-line la adresa:http://www.octag.ro/pag/files/heatlie.pdf

45. Mustafa, O.G.: Curbe si suprafete. DAL, Craiova (2009)On-line la adresa: under construction

46. Mustafa, O.G.: Derivata Lie, conexiunea afina, calculul bi-hamiltonian. DAL, Craiova (2010)On-line la adresa: under construction

47. Mustafa, O.G., Rogovchenko, S.P., Rogovchenko, Yu.V.: Asymptotic integration of second-order differential equations: Levinson-Weyl theory, Poincare-Perron property, Lyapunov typenumbers, and dichotomy. Nonlinear Stud. 17, 95–119 (2010) On-line la adresa:http://nonlinearstudies.com/index.php/nonlinear

/article/view/372

48. Mustafa, O.G.: Note de laborator: C++, Vers. 2.0. DAL, Craiova (2012) On-line la adresa:under construction

49. Mustafa, O.G.: The Bihari inequality and some applications, DAL, Craiova (2008) On-line laadresa: under construction

50. Mustafa, O.G.: Forma canonica Jordan a matricelor, Teorie, aplicatii. DAL, Craiova (2015)On-line la adresa:http://www.octag.ro/pag/files/jordan.pdf

51. NURBS,http://en.wikipedia.org/wiki/NURBS

52. Perko, L.: Differential equations and dynamical systems, Second edition. Springer-Verlag,New York (1996)

53. Piegl, L.A., Tiller, W.: The NURBS book, 2nd edition. Springer-Verlag, New York (1997)54. Pontryagin, L.S.: Ordinary differential equations. Addison-Wesley, Reading (1962)55. Preparator de grafice: under construction

56. Programul Adobe Reader,http://get.adobe.com/reader/

57. Robinson, R.C..: An introduction to dynamical systems: continuous and discrete. Pearson,Upper Saddle River (2004)

58. Robinson, R.C.: Dynamical systems. Stability, symbolic dynamics, and chaos. CRC Press,Boca Raton (1995)

Referinte Bibliografice 157

59. Rouche, N., Mawhin, J.: Equations differentielles ordinaires (Vol. 1). Masson, Paris (1973)60. Rudin, W.: Analiza reala si complexa, Editia a treia. Ed. Theta, Bucuresti (1999)61. Sansone, G., Conti, R.: Non-linear differential equations, Revised edition. Pergamon Press,

Oxford (1964)62. Sell, G.R.: Topological dynamics and ordinary differential equations. Van Nostrand Comp.,

New York (1971)63. Serre, D.: Matrices. Theory and applications. Springer-Verlag, New York (2002)64. Smith, H.L.: Monotone dynamical systems. An introduction to the theory of competitive and

cooperative systems. AMS, Providence, Rhode Island (1995)65. Standardul limbajului PostScript,

http://partners.adobe.com/public/developer/ps/

index_specs.html

66. Sistemul TeX Live,http://www.tug.org/texlive/

67. Viswanatham, B.: A generalization of Bellman’s lemma. Proc. Amer. Math. Soc. 14, 15–18(1963)

68. Vizualizator de PostScript: GSView,http://www.gsview.com/downloads.html

69. Voss, H.: PSTricks, Graphics and PostScript for TEX and LATEX. UIT, Cambridge (2011)70. Whitney, H.: Analytic extensions of differentiable functions defined in closed sets. Trans.

Amer. Math. Soc. 36, 63–89 (1934)71. Whyburn, G.T.: Topological analysis, Revised edition. Princeton Univ. Press, Princeton

(1964)

Index

Adobe Reader, 14algoritmul RK4, 3, 77alura traiectoriei, 39arc ınchis, 149ASCII, 3atractivitate, 134atractor, 103atractie, 2, 35automorfism, 69

biblioteca, 71

calculator de orbite, 3camp vectorial, 49, 119centru, 46cerc topologic, 149chiuveta, 46ciclu, 119, 120, 126, 148coduri-sursa, x, 6complexificare, 16comportament asimptotic, 26, 42, 103, 153conjugare complexa, 28conjugare topologica, 42, 49constant ın timp, 1convexitate ın M catre O, 85curbura, 42curbura cu semn, 40, 85

*.dat, 3derivata Lie, 49, 135derivata orbitala, 135derivate Dini, 135descompunerea Schur, 17distorsionarea spatiului, 39

echilibru, 1echilibru hiperbolic, 63, 114

echilibru nehiperbolic, 77echivalenta topologica, 42, 44echivalenta topologica izocrona, 49Europa, ixexemplul lui Vinograd, 35, 134

familie uni-parametrica, 1fisier de comenzi, 14, 73focar stabil, 46font, 139forma canonica Jordan, 43, 44, 50, 63frontiera superioara, 20functie Liapunov, 129

Ghostscript, 3, 73global, 64grafica 3D, 71graphicx, 13grup Lie, 63grup uni-parametric, 47GSView, 3, 142

inegalitatea lui Viswanatham, 137instabilitate Liapunov, 134integrare numerica, 3intuitia geometrica, xinvarianta la translatii, 31, 61, 110, 130invarianta, 64izoclina, 81

Jupiter, ix

lema lui Hadamard, 66

MAPLE, 3METAFONT, 71METAPOST, 71

159

160 Index

Microsoft Visual Studio 2010 Ultimate, 10miscare mecanica, 35multimea α–limita, 129multimea ω–limita, 127

nod stabil, 2, 46norma operatoriala, 27NURBS, 74

omotetie, 79orbita, 2, 6, 48, 120, 133, 135, 149, 151orientare, 42ortonormare, 17

P4, 3Palais, R., 69partea patratica, 69, 106particula-solutie, 35, 38, 49, 120, 135planul fazelor, 2, 42, 43, 80, 135PostScript, 3, 71, 102, 142prelungirea McShane-Whitney, 26, 27preparator.exe, 10principiul contractiei fibrelor, 64, 103principiul lui LaSalle, 129problema asimptotelor, 63problema ortogonalitatii, 63produs scalar, 49proiector, 59pst-plot, 5PSTricks, 71punct singular, 1punct stationar, 1punct-sa, 46

reparametrizarea curbelor integrale, 38rotatie, 43

scheletul separatoarelor, 42scurgere, 46sector, 79

sector eliptic, 87sectiune, 119semi-curent, 127, 130, 138separatoare, 42sistem de comparatie, 137sistem diferential Hamiltonian, 138sistem dinamic, 126solutie maximala, 137spatiu Hilbert, 69stabilitate asimptotica, 134stabilitate Liapunov, 134stabilitate orbitala, 135stiva, 73sursa, 46

teorema lui Euler, 78, 82teorema Poincare-Liapunov-Perron, 26, 47TeX Live, 3translator de orbite, 3transport-ınainte, 49transversal, 81, 119, 120, 149, 151

unghi eliptic, 87unghi hiperbolic, 87unghi parabolic, 87

valoare proprie, 16, 43, 45, 50, 66, 138varietate centrala, 112varietate centrala neteda, 114varietate diferentiala, 60, 63, 106varietate instabila, 63varietate stabila, 63varietate topologica, 112vector propriu generalizat, 45, 61vizualizator, 3

WINPP, 3, 77

xy, 71xypdf, 71