Universitatea OVIDIUS Constana Departamentul ID-IFR Facultatea Matematica-Informatica
ELEMENTE DE
ANALIZA MATEMATICA SI
MATEMATICI SPECIALE
Caiet de Studiu Individual
Specializarea IEDM Anul de studii I
Semestrul I
Titular disciplin: Prof. univ. dr. EDUARD-MARIUS CRACIUN
2010
Cuprins
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
2
ELEMENTE DE ANALIZA MATEMATICA SI MATEMATICI SPECIALE CUPRINS
Unitate
de nvare
1 2 3
4
5
Titlul INTRODUCERE 1RECAPITULAREA UNOR NOIUNI DE BAZA DIN ANALIZA MATEMATIC DE LICEU 1.1 Mulimi. 1.2 Funcii Lucrare de verificare Unitate de nvare Nr. 1 Rspunsuri i comentarii la ntrebrile din testele de autoevaluare Bibliografie Unitate de nvare Nr. 1 2 SPAII METRICE 2.1 Definiii i exemple 2.2 Spaii metrice particulare Lucrare de verificare Unitate de nvare Nr. 2 Rspunsuri i comentarii la ntrebrile din testele de autoevaluare Bibliografie Unitate de nvare Nr. 2 SIRURI DE NUMERE 3.1 Siruri de numere: definiie i exemple 3.2 Criterii de convergen Lucrare de verificare Unitate de nvare Nr. 3 Rspunsuri i comentarii la ntrebrile din testele de autoevaluare Bibliografie Unitate de nvare Nr. 3 SERII DE NUMERE 4.1 Serii numerice 4.2 Criterii de convergen Lucrare de verificare Unitate de nvare Nr. 4 Rspunsuri i comentarii la ntrebrile din testele de autoevaluare Bibliografie Unitate de nvare Nr. 4 LIMITE DE FUNCII 5.1 Limita unei funcii ntr-un punct Lucrare de verificare Unitate de nvare Nr. 5 Rspunsuri i comentarii la ntrebrile din testele de autoevaluare Bibliografie Unitate de nvare Nr. 5
Pagina
6
8
8 9
11 11 11
13 13 14 16 16 17
19 19 20 21 21 21
23 23 24 25 26 26
28 28 29 29 30
Cuprins
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
3
6
7
8
9
10
11
12
FUNCII CONTINUE 6.1 Funcii continue pe spaii metrice Lucrare de verificare Unitate de nvare Nr. 6 Rspunsuri i comentarii la ntrebrile din testele de autoevaluare Bibliografie Unitate de nvare Nr. 6 DERIVATE PARIALE SI DIFERENIALA DE ORDINUL NTI 7.1 Derivate pariale de ordinul nti Lucrare de verificare Unitate de nvare Nr. 7 Rspunsuri i comentarii la ntrebrile din testele de autoevaluare Bibliografie Unitate de nvare Nr. 7 DERIVATE PARIALE SI DIFERENIALE DE ORDIN SUPERIOR 8.1 Derivate pariale de ordin superior 8.2 Derivata dupa un versor Lucrare de verificare Unitate de nvare Nr. 8 Rspunsuri i comentarii la ntrebrile din testele de autoevaluare Bibliografie Unitate de nvare Nr. 8 EXTREME LIBERE 9.1 Puncte de extrem local 9.2 Algoritm de determinare a punctelor de extrem local Lucrare de verificare Unitate de nvare Nr. 9 Rspunsuri i comentarii la ntrebrile din testele de autoevaluare Bibliografie Unitate de nvare Nr. 9 EXTREME CU LEGTURI 10.1 Extreme condiionate 10.2 Multiplicatorii lui Lagrange. Exemplu Lucrare de verificare Unitate de nvare Nr. 10 Rspunsuri i comentarii la ntrebrile din testele de autoevaluare Bibliografie Unitate de nvare Nr. 10 INTEGRALA RIEMANN 11.1 Sume Riemann. 11.2 Clase de funcii integrabile Lucrare de verificare Unitate de nvare Nr. 11 Rspunsuri i comentarii la ntrebrile din testele de autoevaluare Bibliografie Unitate de nvare Nr. 11 INTEGRALE IMPROPRII 12.1 Integrale improprii de spea I Lucrare de verificare Unitate de nvare Nr. 12 Rspunsuri i comentarii la ntrebrile din testele de autoevaluare
32 32 33 33 33
35 35 36 37 37
39 39 40 41 41 42
44 44 44 46 46 47
49 49 50 51 51 52
54 54 55 56 56 56
58 58 60 60
Cuprins
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
4
13
14
Bibliografie Unitate de nvare Nr. 12 INTEGRALE DUBLE 13.1 Definiia integralei duble. Proprieti ale integralei duble. Metode de calcul Lucrare de verificare Unitate de nvare Nr. 13 Rspunsuri i comentarii la ntrebrile din testele de autoevaluare Bibliografie Unitate de nvare Nr. 13 INTEGRALE TRIPLE 14.1 Definiia integralei triple. Calculul integralei triple Lucrare de verificare Unitate de nvare Nr. 14 Rspunsuri i comentarii la ntrebrile din testele de autoevaluare Bibliografie Unitate de nvare Nr. 14 BIBLIOGRAFIE
60
62
62 64 65 65
67 67 68 68 69
70
Observaie: numrul unitilor de nvare este egal cu numrul edinelor de curs la forma de nvmnt zi (28 ore curs = 14 UI, 14 ore curs = 7 UI)
Introducere
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
6
Elemente de analiza matematica si matematici speciale INTRODUCERE
foto
Stimate student, Numele meu este Eduard-Marius Craciun (n.1965), n prezent sunt profesor universitar, titular al Facultaii de Matematica-Informatica din cadrul Universitii Ovidius Constana. Sunt absolvent al Facultii de Matematica-Informatica a Universitatii din Bucureti. Sunt autor a numeroase cri i articole n domeniul matematicilor aplicate si al mecanicii publicate in prestigiose edituri din tara si din strainatate (SUA, China, Germania, Franta, Italia, sa). Materialul este organizat n 14 uniti de nvare, fiecare din aceste uniti coninnd o parte de prezentare teoretic a subiectului tratat, o parte de exerciii (teste de autoevaluare), rezolvrile acestora i o lucrare de verificare final. Testele de autoevaluare ajut la fixarea cunotinelor dobndite n fiecare unitate de nvare i permit evaluarea continu a cursantului. Lucrrile de verificare reprezint o evaluare final la sfritul fiecrei etape de nvare, prin care se urmrete determinarea gradului de nsuire de ctre dumneavoastr a conceptelor, metodelor, tehnicilor etc. prezentate anterior. Rspunsurile pe care le formulai vor fi transmise prin e-mail la adresa [email protected] pentru a fi verificate i comentate. Lucrarea pe care o redactai i pe care o trimitei tutorelui trebuie s conin pe prima pagin denumirea cursului Elemente de analiza matematica si matematici speciale, numele i prenumele dumneavoastr i adresa de e-mail pe care o avei. Pentru o just identificare a lucrrii este de dorit ca pe fiecare pagin s inserai numele i prenumele dumneavoastr. Rspunsurile trebuie s fie clar formulate, n limita posibilitilor fiind recomandabil utilizarea unui procesator de texte. n medie rspunsurile ar trebui s se ntind pe o jumtate de pagin, putnd exista formulri mai lungi sau mai scurte funcie de subiectul tratat. ntre dou rspunsuri succesive este necesar a fi lsat un spaiu de 5-6 cm pentru eventuale comentarii din partea tutorelui. Ponderea acestor lucrri de evaluare n totalul notei de examen este de 50%, restul de 50% fiind constituit de examenul propriu-zis.
mailto:[email protected]
Introducere
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
7
Succes ! Spor la nvat i succes!
Recapitularea unor notiuni de baza din analiza matematica de liceu
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
8
Unitate de nvare Nr. 1
RECAPITULAREA UNOR NOTIUNI DE BAZA DIN ANALIZA
MATEMATICA DE LICEU
Cuprins
Pagina
Obiectivele Unitii de nvare Nr. 1 RECAPITULAREA UNOR NOIUNI DE BAZA DIN ANALIZA MATEMATIC DE LICEU
Recapitularea noiunilor de baza ale analizei matematice din liceu nsuirea aparatului de calcul din analiza matematic de liceu
8
1.1 Mulimi ...... 8
1.2 Funcii ....... 9
Lucrare de verificare Unitate de nvare Nr. 1.... 11
Rspunsuri i comentarii la testele de autoevaluare................................. 11
Bibliografie Unitate de nvare Nr. 1.. 11
Recapitularea unor notiuni de baza din analiza matematica de liceu
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
9
OBIECTIVELE Unitii de nvare Nr. 1
Principalele obiective ale Unitii de nvare Nr. 1 sunt:
Recapitularea noiunilor de baz ale analizei matematice din liceu nsuirea aparatului de calcul din analiza matematic de liceu
Mulimi 1.1 Mulimi
Dac elementul x se afl printre elementele mulimii A vom scrie Ax i citim x aparine mulimii A. n caz contrar scriem Ax i citim x nu aparine mulimii A. Notm cu mulimea vid (fr nici un element).
Definiie
Dac A, B sunt dou mulimi atunci:
1) A este inclus n B i notm BxAxBA ; 2) BABA i AB ; 3) intersecia mulimilor A i B este mulimea
AxxBA | i Bx ;
4) reuniunea mulimilor A i B este mulimea
AxxBA | sau Bx .
Dac X este o mulime atunci mulimea submulimilor acestei mulimi se noteaz XAAXP | , (mulimea prilor lui X).
Dac naaaX ,...,, 21 este o mulime finit atunci P(X) este o mulime cu 2n elemente, de aceea o alt notaie pentru P(X) este 2X.
Exemplu
Dac 321 ,, aaaX , atunci
.,,,,,,,,,,,, 321313221321 aaaaaaaaaaaaXP
Definiie
Dac A1, A2 sunt dou mulimi se numete produsul cartezian al mulimii A1 cu mulimea A2 mulimea
22112121 ,|, AaAaaaAA .
Recapitularea unor notiuni de baza din analiza matematica de liceu
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
10
Exemplu
RRRR yxyx ,|,2 ; RRRRR zyxzyx ,,|,,3 ;
nixxxx inn ,...,1,|,...,,... 21 RRRRRR .
Dac A i B sunt dou mulimi atunci mulimea
AxxBA |\ i Bx
se numete diferena celor dou mulimi.
Dac X i XA atunci complementara lui A n raport cu X este mulimea XxxACX | i Ax .
Test de autoevaluare 1.1 Scriei rspunsul n spaiul liber din chenar. Fie familia de mu
