Elektryczność i magnetyzm

II rok, III semestr

Czas trwania: wykład 60 godz., ćwiczenia 60 godz.

Zaliczenie przedmiotu – zaliczenie ćwiczeń + min.30 pkt:

egzamin testowy 25 pkt

egzamin ustny 25 pkt

Prowadzący: dr Jacek Semaniak

Literatura

1. R.P. Feynman, R.B. Leighton, M. Sands, Feynmana wykłady z fizyki, Elektryczność i magnetyzm. Elektrodynamika. Tom 2.1, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2001

2. E.M. Purcell, Elektryczność i magnetyzm, PWN, Warszawa 1975

3. A.K. Wróblewski, J.A. Zakrzewski, Wstęp do fizyki, Tom 2 cz. 2, PWN

Program wykładu - 11. Pola skalarne i wektorowe. Podstawy rachunku różniczkowego i całkowego pól

wektorowych.Wielkości charakteryzujące pola wektorowe. Iloczyn skalarny i wektorowy. Pochodne pól. Operator ∇. Operacje algebraiczne z operatorem ∇. Całki wektorowe. Strumień pola wektorowego. Krążenie pola wektorowego. Pola bezwirowe i bezźródłowe.

2. Elektrostatyka. Opis wektorowy pola elektrostatycznego.Ładunek elektryczny. Prawo zachowania ładunku. Prawo Coulomba. Zasada superpozycji. Pole elektryczne. Wektor natężenia pola elektrostatycznego. Linie pola. Dipol elektryczny. Momenty dipolowe cząsteczek.

3. Prawo Gaussa i jego zastosowania.Strumień pola elektrostatycznego. Prawo Gaussa. Różniczkowa postać prawa Gaussa. Pole ładunku kulistego, liniowego, warstwy naładowanej (pole pomiędzy dwoma warstwami). Równowaga w polu elektrostatycznym. Trwałość atomów.

4. Potencjał elektryczny.Praca w polu elektrostatycznym. Zachowawczość pola elektrostatycznego. Potencjał i różnica potencjałów. Energia ładunku punktowego. Energia elektrostatyczna ładunków.

Program wykładu - 25. Pole elektrostatyczne w obecności przewodników.

Przewodniki w polu elektrostatycznym. Pojemność przewodnika. Rozkład ładunku w przewodnikach. Wnęki i ostrza. Metoda obrazów: ładunek punktowy w obecności płaszczyzny i kuli przewodzącej. Kondensator. Łączenie kondensatorów. Pole elektryczne kondensatora. Energia kondensatora.

6. Dielektryki.Mechanizm polaryzacji dielektryków. Stała dielektryczna. Wektor polaryzacji. Równania elektrostatyki dla pól z dielektrykami. Pola i siły w dielektrykach. Dielektryki polarne iniepolarne.

7. Prąd elektryczny.Natężenie i gęstość prądu. Klasyczny model przewodnictwa elektrycznego dla metali. Równanie ciągłości, pierwsze prawo Kirchoffa. Opór elektryczny. Prawo Ohma. CiepłoJoule’a. Łączenie oporów. Siła elektromotoryczna. Drugie prawo Kirchoffa. Obwody elektryczne. Ładowanie kondensatora przez opór.

8. Elementy teorii pasmowej ciał stałych.Założenia kwantowej teorii gazu elektronowego. Pasmowa teoria ciała stałych. Przewodniki, izolatory, półprzewodniki. Kontaktowa różnica potencjałów. Termoemisja, Zjawiska termoelektryczne: Seebecka, Thompsona i Peltiera.

Program wykładu - 3

9. Prąd elektryczny w elektrolitach i gazach.Dysocjacja. Przewodnictwo elektryczne elektrolitów. Prawa elektrolizy. Czynniki jonizujące. Prądy elektryczne w atmosferze. Pole elektryczne wokół przewodnika prostoliniowego - zasada działania detektorów gazowych.

10. Pole magnetyczne.Siła Lorentza. Indukcja magnetyczna. Zjawisko Halla. Siła elektrodynamiczna. DoświadczenieOersteda. Prawo Biota-Savarta. Prawo Ampere’a. Pole magnetyczne przewodnika prostoliniowego, kołowego i solenoidu. Prądy atomowe. Dipol magnetyczny. Prawo Gaussa. Potencjał wektorowy. Względność pól elektrycznego i magnetycznego.

11. Indukcja elektromagnetyczna.Prawo indukcji elektromagnetycznej Faradaya. Samoindukcja i indukcja wzajemna. Energia pola magnetycznego. Obwody LC. Prąd zmienny. Równania Maxwella. Prędkość światła.

12. Pole magnetyczne w materii.Siły działające na dipol w zewnętrznym polu magnetycznym. Energia dipola. Diamagnetyzm. Paramagnetyzm. Podatność magnetyczna. Ferromagnetyzm.

Pole wektorowe i skalarne

Pole wielkości fizycznej A: przestrzeń lub cześć przestrzeni, w której każdemu punktowi przyporządkowana jest określona wielkość fizyczna A.

Tzn.

Każdemu punktowi (x,y,z) przestrzeni przypisujemy wielkość (mogącą zmieniać się w czasie t), którą traktujemy jako funkcję zmiennych x, y, z i t.

Ar

funkcja wektorowa pole wektorowe⇒A funkcja skalarna pole skalarne⇒

Prawa fizyczne zapisane w postaci równań, których obie strony sąskalarami lub wektorami nie zależą od wyboru układu odniesienia.

Pole skalarne

Np. pole temperatury – z każdym punktem przestrzeni związana jest wielkość skalarna T(x,y,z,t)

T1T3T2

y

Temperatura we wszystkich punktach na powierzchni oznaczonej Ti jest taka sama (krzywa ciągła pokazuje przecięcie tej powierzchni z płaszczyzną z=0 – obrazek znany z map pogody)

x

Pole wektoroweNp. pole prędkości – z każdym punktem przestrzeni związana jest wielkość wektorowa V(x,y,z,t)

V1

V2

V3

V4V5

Pole prędkości w wirze wodnym. Wektor prędkości zmienia się w zależności od punktu w wirze i czasu.

Pole wektorowerr

Np. pole grawitacyjne – z każdym punktem przestrzeni związana jest wielkość wektorowa – natężenie pola grawitacyjnego E(x,y,z,t)

MM mmFF11

22

FF22

11

→→ →→

rr1212→→

E4

E3E2

E1

Ei MMasa M wytwarza wokół siebie pole grawitacyjne. Pole to opisywane jest w każdym punkcie (x,y,z) wielkością wektorową – natężeniem pola grawitacyjnego .E

Linie pola

Pole wektorowe można przedstawić jako zbiór „strzałek” ilustrujących wartość pola wektorowego w punktach, z których zaczepione są strzałki.

Lub

W postaci linii stycznych w każdym punkcie do kierunku wektora pola przy założeniu, że gęstość linii jest proporcjonalna do natężenia pola.

Podstawowe działania na wektorach -dodawanie

aabb

aa

bbcc kajaiaa zyx

rrrr ++=

kbjbibb zyxrrrr

++=

BB( ) ( ) ( )kbajbaibabac zzyyxx

rrrrrr +++++=+=

Podstawowe działania na wektorach -odejmowanie

kbjbibb zyxrrrr

++=

aabb

aabb

cc--bb

BBkajaiaa zyxrrrr ++=

( ) ( ) ( )kbajbaibabac zzyyxxrrrrrr −+−+−=−=

Podstawowe działania na wektorach –mnożenie wektora przez skalar (n)

aa

bb

kajaiaa zyxr ++=

rrr

knajnainaanb zyxrrrrr

++==BB

Podstawowe działania na wektorach – iloczyn wektorowy

aa××b

zyx

zyx

bbbaaakji

ba

rrr

rr =×

αsin|| abba =×rrBB

bbαα

b

aa

Podstawowe działania na wektorach – iloczyn skalarny

AA

aa

bb

αα

αcosabba =⋅rr

zzyyxx babababa ++=⋅rr

Pochodna pola skalarnego

A(x,y,z,t) – wielkość skalarna

tA

∂∂

zmiana pola A w czasie

∂∂

∂∂

∂∂

zA

yA

xA ,, zmiana pola A związana z położeniem

Czy może być traktowane jako wektor?

∂∂

∂∂

∂∂

zA

yA

xA ,,

Operator nabla ∇

y

A1

A2

∆R

x

z

Rozpatrzmy dwa punkty skalarnego pola wektorowego odległe o małe ∆R, w których wartość pola wektorowego wynosi A1 i A2(np. temperatury T1 i T2).

12 AAA −=∆ Nie zależy od układu odniesienia

W dowolnym układzie odniesienia: zzAy

yAx

xAA ∆

∂∂

+∆∂∂

+∆∂∂

=∆

zzyyxx babababa ++=⋅rr

RAA ∆⋅∇=∆

kzAj

yAi

xAA

rrr

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇

kzjyixRrrrr

∆+∆+∆=∆

Różnica wielkości skalarnej pomiędzy dwoma punktami jest iloczynem skalarnym gradientu tej wielkości i wektora przesunięcia.

operator wektorowy∇

kz

jy

ix

rrrr

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇

Operacje z operatorem nabla ∇A – pole skalarne

kzAj

yAi

xAA

rrrr

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇

Tworzenie wektora

( )zyx A,A,AA =r

pole wektorowe

zA

yA

xAA zyx

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=⋅∇rr

dywergencja pola A (div A)

Iloczyn skalarny

Iloczyn wektorowy

zyx AAAzyx

kji

A∂∂

∂∂

∂∂

=×∇

rrr

rrrotacja pola A (rot A)

Wielkości charakteryzujące pola wektorowe.Strumień pola wektorowego.

da

S

V

AA

Jaki jest „przepływ” (strumień) pola wektorowego przez element powierzchniowy ?da

αcos⋅⋅=⋅=Φ daAadAd rr

Całkowity „przepływ” (strumień) pola wektorowego przez zamkniętą powierzchnię S:

ndaad ⋅= rr

∫ ⋅=ΦS

adA rrwektor powierzchniowy o wartości równej powierzchni elementu powierzchniowego da (np.dxdy, dydz) skierowany na zewnątrz prostopadle do tej powierzchni

Suma strumieni

S

Sa

SbSab

n2n1

A

∫ ∫ ⋅+⋅=Φa abS S

danAdanA 11rrrr

∫ ∫ ⋅+⋅=Φb abS S

danAdanA 22rrrr

∫∫ ⋅−=⋅⇒−=abab SS

danAdanAnn 2121rrrrrr

ba Φ+Φ=Φstąd

Strumień przez dowolną powierzchnię zamkniętą równy jest sumie strumieni wypływających ze wszystkich części, na które została ona podzielona

∑Φ=Φi

i

Jaki jest całkowity strumień wypływający z kostki?

(x,y,z) (x+∆x,y,z)

(x,y+∆y,z)

(x,y,z+∆z)

CC’

n n

∆x

∆y

∆z

1 Cx2

3

45

6

∫−=Φ dydzCx10, →∆∆ yxzyCx ∆∆−=Φ )1(1 bo

zyCx ∆∆−=Φ )2(2

podobnie

xx

CCC xxx ∆

∂∂

+= )1()2(ale, dla dostatecznie małych ∆x

zyxx

Cx ∆∆∆∂

∂=Φ+Φ 21

stąd

zyxy

Cy ∆∆∆∂

∂=Φ+Φ 43

zyxz

Cz ∆∆∆∂

∂=Φ+Φ 65

constCyx =⇒→∆r

0,

∫−

∆∆∆

∂

∂+

∂

∂+

∂∂

=⋅61

zyxz

Cy

Cx

CadC zyxrr

Twierdzenie Gaussa_wprowadzenie∆

Twierdzenie Gaussa

( )∫ ∆⋅∇=⋅kostkiS

VCadC_

rrrr Dywergencja wektora C w danym punkcie jest strumieniem (wypływem) na jednostkę objętości w otoczeniu tego punktu

Ponieważ całkowity strumień z danego obszaru równy jest sumie strumieni z każde z jego części, więc:

∫ ∫ ⋅∇=⋅S V

dVCadCrrrr

Twierdzenie GaussaCałka po dowolnej powierzchni zamkniętej ze składowej normalnej wektora jest równa całce objętościowej po obszarze ograniczonym tą powierzchnią, z dywergencji tego wektora

Krążenie pola wektorowego

++

++

Kierunek krążenia

Γ

Cds

C – pole wektorowe

Całkę krzywoliniową wzdłuż krzywej zamkniętej Γ ze składowej stycznej wektora C nazywamy

krążeniem pola wektorowego C po krzywej Γ :

∫Γ

⋅ sdC rr

Suma krążeń

(1)

(2)

Γ1 Γ2

Γa

Γab

Γb

ds1

ds2

Kierunek krążenia taki sam w obu pętlach:∫∫∫

ΓΓΓ

⋅+⋅=⋅aba

sdCsdCsdC 11

rrrrrr

∫∫∫ΓΓΓ

⋅+⋅=⋅abb

sdCsdCsdC 22

rrrrrr

∫∫ΓΓ

⋅−=⋅abab

sdCsdC 21rrrr

ale

∫∫∫ΓΓΓ

⋅+⋅=⋅21

sdCsdCsdC rrrrrrstąd

∑ ∫∫ΓΓ

⋅=⋅i i

sdCsdC rrrr

Krążenie po obwodzie kwadratu

(x,y) (x+∆x,y)

(x,y +∆y)

C

C

Cx

Cy

y

x

1

2

3

4

constCyx =⇒→∆∆r

0,

( ) ( ) ( ) ( ) yCxCyCxCsdC yxyxkwobw

∆−∆−∆+∆=⋅∫ 4321_

rr

( ) ( ) yy

CCC xxx ∆

∂∂

+= 13

( ) ( ) xx

CCC y

yy ∆∂

∂+= 24 ( ) aCsdC

kwobwz∆×∇=⋅∫

_

rrrr

yxy

Cx

CsdC

kwobw

xy ∆∆

∂

∂−

∂

∂=⋅∫

_

rr

Twierdzenie StokesaC

ds

n

Crr

×∇

( ) danCsdCS

∫ ∫Γ

⋅×∇=⋅ rrrrr

Krążenie C wzdłuż krzywej Γ jest całką powierzchniową składowej normalnej rotacji C.

Pola bezwirowe

(1)

(2)

a

b

Cϕ – pole skalarne

( ) ( ) ∫ ⋅∇=−)2(

)1(

12 sdrϕϕϕ pole potencjalne

( ) 0=∇×∇ ϕr( ) ( ) ∫ =⋅∇⇒=

petla

sd 012 rϕ stąd (zawsze)

odwrotnie

⇒=×∇ 0Crr

ϕϕ ∇=Cr

:istnieje

powierzchnia S

pętla Γ

Crr

×∇

n

Pola bezźródłowe

( )∫ =⋅×∇⇒→ΓS

danC 00 rrr

z tw. Gaussa

( ) ( )∫ ∫ =×∇⋅∇=⋅×∇S V

dVCdanC 0rrrrrr

zatem

( ) 0=×∇⋅∇ Crrr