Elektrostatika 1

PREDAVANJE 1 (PROF. D. KANDI, MAINSKI FAKULTET-BEOGRAD) 1

ELEKTROSTATIKA

1. Kratak istorijski uvod

Prva ljudska saznanja o elektricitetu potiu joiz antikog doba, kada je oko 600. godine prenae ere grki filosof Tales iz Mileta opisao pojavu da ilibar, tj. uti jantar (tvrda, okamenjenasmola) koji su grki trgovci kupovali od nomadskih plemena sa obale Baltikog mora i koji je nastarogrkom jeziku nazvan "" =onaj (kamen) koji privlaiima interesantnu osobinu dakada se protare vunenom tkaninom privlai lake delie materije (slamu, suvo lie, komadie lane-og platna, itd.). Teofrast, najistaknutiji Aristotelov uenik, pie istoriju filosofije prirode i pominje"kamen" (mineral) "linkurion", koji navodno ima joveu moprivlaenja odilibara. Nije poznatokoji je to mineral Teofrast imao u vidu, ali savremeni minerolozi pretpostavljaju da je reo topazu,cirkonu, ili turmalinu. Mnogo docnije, usvojeno je da sma reelektricitet oznaava prisustvo naro-itog fizikog agensa na telima koji izaziva odreeni skup pojava, meu koje spada i pomenuto pri-vlaenje lakih tela. Za svako telo kod koga se moe zapaziti prisustvo takvog agensa kae se da jenaelektrisano. Inae, samu re"elektricitet" (koja u slobodnom prevodu znai "nailibarisavanje") unauku je oko 1600. godine uveo engleski naunik i hirurg na dvoru engleske kraljice Elizabete I,Viljem DilbertWilliam Gilbert (1540-1603), koji je pored elektrinih, daleko vie izuavao mag-netske pojave i prvi je opisao prirodan Zemljin magnetizam u svom delu "De magnete magnetisquecorporibus ... ".

Osim ilibara, trenjem se mogu naelektrisati joi staklo, porculan, tvrda guma, razne vrstesmola, itd. Istorijski gledano, najstariji nain naelektrisavanja ili elektrizovanja tela je putem trenja,koje predstavlja samo vid elektrizovanja dodirom, a jedina uloga trenja je realizacija prisnog meha-nikog kontakta izmeu tela koja se elektrizuju.

Tela se mogu naelektrisati i pomou elektrostatike indukcije ili influencije (=uticaj, upliv, de-lovanje), koja se primenjuje za elektrizovanje metala.

Na osnovu eksperimentalnih zapaanja vezanih za elektrizovanje tela putem trenja, Dilbert jeuoio da se, u sutini, mogu razlikovati dve grupe materijala: (a) elektrici (ilibar, svila, staklo, itd.) koji se trenjem mogu naelektrisati i (b) neelektrici (metali) kod kojih trenjem to nije moguepostii. Skoro itav jedan vek kasnije, francuski istraivadi Fe du Fay (1698-1739)pokazao jeda razlika izmeu ovih grupa materijala ne poiva na njihovoj razliitoj sposobnosti da se naelektri-u, vena razliitoj sposobnosti zadravanja naelektrisanja na mestu pojave. Danas se materijali uelektrinom pogledu dele prema sposobnosti provoenja elektriciteta u sledee tri grupe:

Provodnici, u koje spadaju metali kao provodnici prve i elektrolitiki rastvori kiselina, baza isoli (tj. elektroliti) kao provodnici druge vrstePoluprovodniciDielektrici, ili izolatori

Mada idealni provodnici i izolatori ne postoje, ipak, u savremenoj tehnikoj praksi usvojenoje da se izolatorima smatraju svi materijali sa elektrinom provodnou 10151020 puta manjom odelektrine provodnosti dobrih metalnih provodnika.

Posmatranjem uzajamnog mehanikog dejstva naelektrisnih tela, ustanovljeno je postojanjeprivlanih (atrakcionih) i odbojnih (repulzionih) sila. To je i navelo di Fea da pretpostavi postojanjedve vrste naelektrisanja: "staklastog" koje po savremenoj konvenciji oznaavanja naelektrisanjaodgovara pozitivnom naelektrisanju stakleneipke protrljane svilenom tkaninom i "smolastog" kojeprema istoj konvenciji odgovara negativnom naelektrisanju ebonitneipke protrljane krznom, ili vu-nenom tkaninom.


Nasuprot di Feovoj dualistikoj hipotezi o prirodi elektriciteta (postojanje dve razliite vrstenaelektrisanja), ameriki eksperimentator Benemin Frenklin Benjamin Franklin (1706-1790),postavio je unitaristiku hipotezu po kojoj u prirodi postoji samo jedna vrsta elektriciteta prisutnado izvesne mere na svim, pa ak i na nenaelektrisanim telima (za koja se kae da su u elektrinoneutralnom stanju). Viak naelektrisanja na telu preko normalnog pretpostavljenog iznosa Frenklinje oznaavao sa "+", a manjak sa "-",to prema di Fe-ovoj konvenciji odgovara staklastoj, odnosnosmolastoj vrsti naelektrisanja, respektivno.

Ipak, kod obe pomenute hipoteze zajedniko je bilo to to je elektricitet smatran impondera-bilnim, kontinualnim nestiljivim fluidom. Meutim, savremena nauka o elektricitetu eksperimen-talno je utvrdila da elektricitet ima diskretnu, a ne kontinualnu strukturu i da se u prirodi javlja uelementarnim (nedeljivim) pozitivnim i negativnim iznosima (kvantima) kao i njihovim celobroj-nim umnocima (videti u udbeniku: Milikenov ogled-lan 1.1.2 i Zakoni elektrolize-lan 1.1.3).Takoe, utvreno je i da se pod odreenim uslovima elektricitet u kretanju makroskopski ponaakao nekakav nestiljivi fluid.

Telo neutralno u elektrinom pogledu, ima podjednak broj protona i elektrona. Nejonizovaniatomi ponaaju se posmatrano iz taaka izvan atoma kao elektrino neutralni sistemi; jezgro atomaima priblino oblik sfere radijusa 210-1510-14m, zavisno od vrste atoma. Poluprenici elektronakoji se kreu oko jezgra reda su veliine oko 510-15 m, dok je poluprenik atoma znato vei i iz-nosi oko 10-10 m=1 . Dakle, izmeu atomskog jezgra i elektronskog omotaa postoji ogroman"prazan" prostor koji se zove vakuum. Za telo sa manjkom elektrona kae se da je pozitivno, a zatelo sa vikom elektrona da je negativno naelektrisano.

Fizika veliina koja opisuje stepen, odnosno meru naelektrisanosti nekog tela, zove se kolii-na elektriciteta, koliina naelektrisanja, ili elektrino optereenje. Koliina elektriciteta je skalarna,algebarska veliina,ija numerika vrednost govori, ili o viku, ili o manjku elektrona na nekom te-lu i oznaava se sa Q kada je vremenski konstantna, a sa q ako je vremenski promenljiva. Jedinicaza koliinu elektriciteta nosi naziv KulonCpo francuskom istraivau KulonuCharles August deCoulomb (1736-1806), koji je otkrio zakon uzajamnog mehanikog dejstva naelektrisanih kvazi-punktualnih tela. Danas je poznato da je svaka pozitivna (negativna) koliina elektriciteta celobro-jan umnoak jedne odreene pozitivne (negativne) elementarne koliine elektriciteta, koja se zovepozitivan (negativan) elektrini kvant. Moduli pozitivnih i negativnih elektrinih kvantova jednakisu modulu naelektrisanja elektrona tj.e, a smo naelektrisanje elektrona je e-1,60210-19 [C].

2. Odreivanje elektrinih kvantova iz zakona elektrolize

Sve do pojave elektronske teorije krajem XIX veka u fizici je preovladavalo shvatanje daelektrinu struju obrazuje kretanje kontinualnog nestiljivog fluida. Iako takvo vrlo uproeno shva-tanje nije prualo dublji uvid u samu sutinu strujnih pojava, ono nije ni smetalo otkrivanju mnogihkvantitativnih odnosa izmeu elektrine struje i propratnih pojava, kao to su: magnetsko polje,toplotni (Dulov) efekat i elektroliza. Kvantitativni zakoni elektrolize koje je otkrio Faradej navelisu Helmholca da jojo1881. godine ukae na diskretnu prirodu strukture elektriciteta i pretpostavipostojanje "atoma elektriciteta", odnosno nedeljivih, elementarnih elektrinih optereenja. Pojavuelektrolize otkrio je 1808. godine Dejvi [Humphry Davy (1778-1829)], a njene osnovne zakone kojisu odigrali vanu ulogu u otkriu diskretne strukture elektriciteta, Majkl Faradej Michael Faraday(1791-1867)1833. godine. Sada emo pokazati kako se elektrini kvanti mogu odrediti iz Farade-jevih zakona elektrolize. Na sl. 1a je prikazan elektrohemijski voltametar sa vodenim rastvoromsrebro-nitrata (AgNO3). Voltametar je ureaj za elektrolizu u obliku staklene, ili porculanske posu-de, najee sa vodenim rastvorom neke kiseline, baze, ili soli (elektrolit). U voltametar su uronjenedve ploaste, ilitapiaste metalne ili grafitne elektrode A (anoda) i K (katoda).


`

A K A K S

E

R

I

VoltametarVoltametar

AgNO3+H O2

AgNO3+H O2

(a)

Ag Ag Ag Ag

(b)

Sl. 1

U voltametru na sl. 1a odvija se proces elektrolitike disocijacije srebro-nitrata, koji je rever-zibilnog karaktera i odvija se po zakonu:

AgNO3 V Ag+ + NO3 .

Pretpostavimo da se zatvaranjem prekidaa S voltametar ukljui u elektrino kolo zajedno saotpornikom R i izvorom konstantne elektromotorne sile E (sl. 1b). U rastvoru srebro-nitrata izmeuelektroda uspostavi se elektrino polje, koje ima ponderomotorno dejstvo na pozitivne jone srebra(katjoni) i negativne jone kiselinskog ostatka (anjoni). Pod njegovim dejstvom, katjoni se kreu pre-ma katodi, a anjoni prema anodi, obrazujui tako u rastvoru dvokomponentnu, jonsku, kondukcionujednosmernu struju. Struja otpornika R iianih vodova koji povezuju elemente kola je elektronska,kondukciona jednosmerna struja. U ovom sluaju se u rastvoru odvija ireverzibilan proces elektro-lize po zakonu:

AgNO3 Ag+ + NO3 .

Elektrina neutralizacija jona srebra na katodi dovodi do taloenja srebra na njoj i poveanjamase katode, a na anodi nastupa sekundarna hemijska reakcija elektrino neutralisanog kiselinskogostatka NO3 (inae, hemijski vrlo reaktivnog) sa srebrom, tako da se formira srebro-nitrat rastvorljivu vodi. Krajnji rezultat elektrolize u ovom sluaju je aktivni transport srebra sa anode koja se "ota-pa", prema katodi koja "deblja", pri emu koncentracija srebro-nitrata u rastvoru ostaje stalna. Ot-pornik R je vezan u kolo radi kontrole i/ili ogranienja intenziteta struje I kola.

Na sl. 2 prikazana je aparatura za proveru Faradejevih zakona elektrolize. Procesi koji se od-vijaju u prvom voltametru pri postojanju stalne jednosmerne struje I u kolu nakon zatvaranja preki-daa S opisani su prethodno.

S

E

R

IA A AK K K

Voltametar 1 Voltametar 2 Voltametar 3

AgNO3+H O2

CuSO4+H O2

HCl+

H O2

Ag Ag Cu Cu Pt Pt

Sl. 2


U drugom voltametru na sl. 2 sa bakarnim elektrodama, pri stalnoj jednosmernoj struji u kolu,odvijaju se sledei procesi:

(1) Elektrolitika disocijacija bakar-sulfata po zakonu,

CuSO4 Cu++ + SO4 .

(2) Joni bakra odlaze na katodu, a joni radikala SO4 na anodu. Nakon neutralizacije jona na odgo-varajuim elektrodama prema izrazima,

Cu++ + 2e Cu i SO4 - 2e SO4,

elektroliza molekula bakar-sulfata je zavrena.

(3) Neutralisani joni bakra taloe se na katodi, a hemijski vrlo aktivni neutralizovani joni radikalakoji ne mogu da opstanu u slobodnom stanju, stupaju u hemijsku reakciju sa anodom po zakonuSO4+Cu CuSO4 stvarajui bakar-sulfat. Koncentracija bakar-sulfata u rastvoru ostaje stalna, aproces elektrolize, ukljuujui i sekundarnu reakciju, svodi se na aktivan transport bakra sa anodena katodu. U stvari, bakar sa anode prvo prelazi u elektrolit u obliku bakar-sulfata, a zatim se izelektrolita izdvaja na katodi. Ovaj proces primenjuje se u proizvodnji i elektrolitikom preiava-nju bakra.

Ako bi se umesto anode od bakra upotrebila hemijski vrlo postojana anoda od platine, ili gra-fita, neutralizovani radikali SO4 stupili bi u hemijsku reakciju sa rastvaraem (vodom) i dobila bi sesledea reakcija,

2SO4 + 2H2O 2H2SO4 + O2,

te bi krajnji produkti elektrolize i sekundarne reakcije u ovom sluaju bili drugaiji nego prethodno.U treem voltametru na sl. 2 elektroliza se odvija po sledeem zakonu,

HClH+ + Cl ,

pa se na katodi neutraliu vodonikovi, a na anodi joni hlora. Platinske elektrode su postojane i nestupaju u hemijsku reakciju sa neutralizovanim jonima rastvora.

Na osnovu rezultata i zapaanja do kojih je doao kroz brojne eksperimente sa elektrolizom,Faradej je 1833. godine ustanovio sledea dva zakona:

Prvi Faradejev zakon elektrolize: Masa supstancije m koja se pri elektrolizi izdvoji na ne-koj elektrodi srazmerna je koliini elektriciteta Qkoja protekne kroz rastvor, tj., m=KQ, gde je Kkg/Celektrohemijski ekvivalent izdvojene supstancije, ija veliina jedino zavisi od vrste izdvoje-ne supstancije, a ne i od jaine struje rastvora, temperature, pritiska, oblika i uzajamnog poloajaelektroda.

Ako u elektrolitu postoji stalna jednosmerna struja intenziteta I, tada kroz rastvor za vreme tprotekne koliina elektriciteta Q=It, pa se prvi Faradejev zakon moe napisati u obliku m=KIt.

Za supstanciju molarne mase A kg/moli valentnog broja v, veliina A/v kg/molzove sehemijski ekvivalent te supstancije.

Drugi Faradejev zakon elektrolize: Elektrohemijski ekvivalent supstancije srazmeran je nje-nom hemijskom ekvivalentu A/v, odnosno, K=A/(Fv), gde je F=96 497 C/mol eksperimentalnoodreena Faradejeva konstanta.


Iz Faradejevih zakona sledi m=AQ/(Fv), tj. da je masa supstancije izdvojene na elektrodidirektno srazmerna koliini elektricitetaQprotekloj kroz rastvor i njenom hemijskom ekvivalentuA/v. Na osnovu toga, drugom Faradejev zakonu moe se dati sledei alternativan oblik:

Drugi Faradejev zakon elektrolize (alternativan oblik): Mase supstancija m1, m2, ..., mn,koje se izdvoje na elektrodama voltametara sa jednakim proteklim koliinama elektriciteta, direktnosu proporcionalne hemijskim ekvivalentima supstancija,

m1 : m2 : ... : mn=A1/v1 : A2/v2 : ... : An/vn.

Sada emo pokazati kako se iz Faradejevih zakona elektrolize mogu odrediti elektrini kvanti.Pretpostavimo da se u procesu elektrolize u kolu na sl. 2 (prekidaS-zatvoren) prema nekoj uoenojelektrodi kreu joni supstancije i-te vrste, mase mi, naelektrisanja Qi i broja valencija vi. Ako se po-sle izvesnog vremena na toj elektrodi neutralie n jona posmatrane supstancije, tada je kroz rastvorprotekla koliina elektriciteta, Q=nQi, dok je masa izdvojene supstancije,

m=nmi=(mi/Qi)Q=(miNA)/(QiNA)Q,

gde je NA=6,02251023mol-1-Avogadrov broj. Kako je molarna masa supstancije i-te vrste jednakaAi=NAmi, tada je m=(AiQ)/(QiNA). Meutim, poto je prema Faradejevim zakonima m=AiQ/(Fvi),to se kombinovanjem prethodne dve relacije dobija QiNA=Fvi, odnosnoQi=(F/NA)vi. Poto je brojvalencija vi uvek prirodan, to se iz poslednje relacije zakljuuje da je naelektrisanje Qi jona bilokoje vrste u bilo kojem rastvoru uvek celobrojan umnoak elementarne koliine elektriciteta |e|==F/NA1,60210-19 C. Time je dokazano, ne samo postojanje dve vrste elementarnih naelektri-sanja (tj. kvantova), nego je priblino odreena i njihova veliina.

3. Naelektrisavanje (elektrizacija, elektrizovanje) tela

Sva tela se mogu nealektrisati na jedan od sledea dva naina:

Dodirom Elektrostatikom indukcijom (ili influencijom).

Elektrizovanje tela trenjem predstavlja vid elektrizovanja dodirom, pri emu mehaniki kontakt(trenje) slui jedino za realizaciju prisnijeg kontakta izmeu tela koja se elektrizuju i time olakavaprelaz elektrona sa jednog tela na drugo. Trenjem se elektrizuju dielektrina tela, a elektrostatikomindukcijom metali. Prema usvojenoj konvenciji, za naelektrisano telo sa manjkom elektrona kae seda je naelektrisano pozitivno, a za telo sa njihovim vikom da je naelektrisano negativno.

Elektrizovanje metala putem elektrostatike indukcije odvija se bez kontakta izmeu nekogprethodno venaelektrisanog tela i neutralnog metalnog tela kojeelimo da naelektriemo. Taj videlektrizovanja poiva na konceptu elektostatikog polja koje postoji u prostoru sa naelektrisanjima ikoje razdvaja naelektrisanja u atomima i molekulima i metala i dielektrika, produkujui indukovananaelektrisanja tj. indukovana optereenja. Meutim, kada se idealni dielektrik nalazi u stranomelektrinom polju umerenog intenziteta, indukovana naelektrisanja obe vrste ostaju zarobljena unu-tar atoma i molekula pod dejstvom snanih atomskih i molekularnih sila, pa se zato ta naelektrisanjazovu joi vezana, a nastala elastina, mehanika deformacija atoma i molekula zove se polarizacijadielektrika. Pri polarizaciji od neutralnih atoma i nepolarizovanih molekula nastaju elektrini dipoli.Ti dipoli su u vakuumu, karakteriu ih odgovarajui elektrini momenti i oni slabe primarno polje.Meutim, kod supstancija koje veimaju polarizovane molekule, strano polje izaziva njihovu do-datnu polarizaciju i poveanje vepostojeih elektrinih momenata.


Pojava kada bez ikakvog mehanikog kontakta sa drugim naelektrisanim telima, u metalima idielektricima dolazi do razdvajanja pozitivnih i negativnih optereenja pod uticajem stranogelektrinog polja, a bez obzira na njihovu prethodnu elektrinu neutralnost, zove se elektro-statika indukcija, ili influencija (=uticaj, upliv, delovanje).

Principi raspodele optereenja na metalnim telima: Kod metalnih tela (provodnika) u stanjuelektrostatike ravnotee, naelektrisanja se uvek rasporeuju na povrima tih tela u skladu sasledea etiri principa:

U unutranjosti tela ne postoji elektrostatiko polje Ne postoji tangencijalna komponenta tog polja na povrima tela Naelektrisanja se na povrima rasporeuju tako da je energija rezultantnog elektrostatikog

polja minimalna (Tomsonova teorema) Kada se u sistem naelektrisanih metalnih tela unese strano neutralno metalno telo i/ili, metal-

no telo na nultom potencijalu, energija elektrostatikog sistema se smanjuje.

4. Zakon o konzervaciji elektriciteta

Prema klasinoj formulaciji zakona o konzervaciji (odranju, ouvanju) elektriciteta ukupanbroj pozitivnih i negativnih elektrinih kvantova u prirodi je nepromenljiv. U dananje vreme ta jeformulacija odbaena, poto je eksperimentalno ustanovljeno da se iz g-fotona velike energije moegenerisati par elektron-pozitron. Mase elektrona i pozitrona su jednake, a naelektrisanje pozitrona je|e|. Pozitron ne ulazi u postojani sastav materije jer ima kratko vremeivota, reda veliine 100ns.Zato se danas zakonu o konzervaciji elektriciteta daje sledea tana formulacija:

Zakon o konzervaciji elektriciteta: Algebarska suma pozitivnih i negativnih naelektrisanja uprirodi je nepromenljiva. Elektricitet u prirodi nije mogue trajno niti stvoriti, a ni unititi,vese on jedino moe razdvajati u okviru tela i premetati sa jednog tela na drugo.

5. Elektrostatiko polje u vakuumu

Elektrostatika je oblast elektrotehnike koja prouava elektrostatika polja takastih (punktual-nih) naelektrisanja i naelektrisanih tela i povri, koji miruju u odnosu na posmatraa iije se stanjenaelektrisanosti ne menja u toku vremena. Elektrostatiko polje predstavlja poseban vid sloenogkompleksa elektrinih i magnetskih pojava obuhvaenog pod pojmom elektromagnetsko polje.

Elektrostatiko polje je konzervativno fiziko polje (kao i gravitaciono), to znai da je radsila polja pri punom obilasku probnog punktualnog naelektrisanja po bilo kojoj zatvorenoj putanji(konturi) ravan nuli. Ovo je direktna posledica zakona o odranju rada, odnosno energije, primenje-nog na izolovan elektrostatiki sistem u stanju ravnotee, koji ne moe menjati svoju ukupnu ener-giju. Elektrostatiko polje je bezvrtlonog karaktera kao i druga konzervativna polja, to prua mo-gunost za njegovu karakterizaciju pomou jednoznane skalarne funkcije - elektrinog potencijala.Potencijal je relativna algebarska fizika veliina, za razliku od elektrinog napona (napon je razli-ka potencijala), koji je apsolutna algebarska fizika veliina. Jedinica za elektrini potencijal i na-pon je ista: Volt V. Pored toga to je bezvrtlono, elektrostatiko polje je i izvorno, jer ima svojeizvore i ponore izvori su tamo gde su pozitivna,a ponori tamo gde su negativna naelektrisanja.Na sl. 3a prikazan je spektar (=slika) elektrostatikog polja sa jednim izvorom (ili ponorom). Jasnosu uoljive radijalne linije koje obrazuju spektar polja i koje se zovu linije elektrostatikog polja.Na sl. 3b prikazan je spektar bezvrtlonog polja sa dva izvora (ili dva ponora). Donji izvor je oi-gledno "jai" od gornjeg, jer dominantno utie na izgled rezultantnog spektra. Ova slika odgovaraspektru elektrostatikog polja koje stvaraju dva istorodna nejednaka naelektrisanja.


(a) (b)Sl. 3

Za razliku od elektrostatikog, magnetsko polje nije ni izvorno ni konzervativno, vevrtlo-no. Zbog toga su linije njegovog spektra konture one nemaju ni poetak ni kraj (zatvaraju sesame u sebe). Na sl. 4a prikazan je spektar bezizvornog vrtlonog polja sa jednim vrtlogom, a na sl.4b spektar bezizvornog vrtlonog polja sa dva vrtloenja u suprotnim smerovima.

(a) (b)Sl. 4

Postoji velika slinost izmeu elektrostatikog polja naelektrisanja i naelektrisanih tela i povr-i u dielektriku i stacionarnog (vremenski konstantnog) elektrinog polja u provodnoj sredini, kojepostoji uporedo sa stacionarnim strujnim poljem kondukcionih elektrinih struja. Svi zakoni kojivae u elektrostatikom, vaie i u delovima stacionarnog elektrinog polja u kojima ne deluju elek-trini izvori (generatori) neophodni za odravanje stacionarne raspodele naelektrisanja i potencijala.U delovima elektrinih kola i mrea sa elektrinim izvorima, pored elektrostatikih, deluju i siledrugaijeg porekla, pa zato tamo i nije mogue direktno primeniti zakone elektrostatike. Elektriniizvori moraju stalno da ulau energiju u odravanje stacionarnog elektrinog i strujnog polja, potobi u suprotnom zbog provodnosti sredine dolo do spontane neutralizacije (razelektrizacije) sistema.Meutim, kod elektrostatikog polja, energija elektrinih izvora neophodna je samo za uspostavlja-nje tog polja. Uprkos razlici izmeu elektrostatikog i stacionarnog elektrinog polja, u elektroteh-nici se danasesto oba ova polja jedinstveno zovu elektrinim poljem.

Polaznu taku u prouavanju elektrostatikih polja u vakuumu predstavlja Kulonov zakon kojije eksperimentalno otkriven jo1785. godine. Kulon je pomou torzione vage odreivao sile uza-jamnog dejstva veoma udaljenih metalnih sfera u visokom vakuumu, naelektrisanih koliinamaelektriciteta Q1 i Q2 menjajui naelektrisanja sfera i rastojanje r izmeu njih, koje je uvek biloznatno vee od poluprenika sfera. Zbog toga je sfere bilo mogue smatrati kvazipunktualnim telimai tretirati ih kao punktualna (ili takasta) naelektrisanja. Na sl. 5 prikazana su dva naelektrisana tela,ne obavezno sfernog oblika, dimenzija znatno manjih od rastojanja izmeu njihovih teita. I tada jeta tela mogue smatrati kvazipunktualnim i predstaviti ih punktualnim naelektrisanjima Q1 i Q2.


R1R2

r

r >> max( R1, R )2

Q1

Q2

r

1 2

21

Kvazipunktualna naelektrisana tela 1 i 2u vakuumu i njihova predstava pomo}upunktualnih naelektrisanja 1 i 2

Q1

Q2

0 ( )vakuum

Sl. 5

U vezi sile F uzajamnog dejstva punktualnih naelektrisanja Q1 i Q2 (sl. 5) Kulon je doao dosledeih zakljuaka:

Sila F je privlanog (odbojnog) karaktera kada su naelektrisanja raznorodna (istorodna). Njen intenzitet F=Fdirektno je srazmeran proizvodu modula naelektrisanja, a obrnuto

kvadratu njihovog rastojanja:

1 22

Q QF k

r ,

gde fizika "konstanta" k za vakuum (a vrlo priblino i za vazduh) u MKSA sistemu jedinica imavrednost k=k0=9109 Nm2/C2. Eksperimentalno je dokazano da k jako zavisi od fizikih osobinasredine u kojoj se procesi odvijaju,to nagovetava vanost sredine u elektromagnetskim procesimauopte. Kod racionalizovanog naina pisanja jednaina "konstanta" k se pie u obliku k=1/(4),gde jedielektrina propustljivost sredine, ili permitivnost dielektrika. Meutim, ponekonaziva idielektrinom konstantom sredine,to nije adekvatan naziv s obzirom da se kod mnogih dielektrikanelinearno menja sa intenzitetom elektrinog polja i radnom frekvencijom. Permitivnost vakuuma(a priblino i vazduha kao dielektrika) iznosi 0 10-9/(36) C2/(Nm2), odnosno 0 10-9/(36)F/m, gde je [F]Farad jedinica za elektrinu kapacitivnost. Bezdimenziona veliinar=/0 zovese relativna permitivnost dielektrika. Na osnovu najtanijih rezultata merenja brzine svetlosti uvakuumu c0 za permitivnost vakuuma se dobija0 = 8,85410-12F/m.

Neka je vektor poloaja drugog punktualnog naelektrisanja u odnosu na prvo r12=r, a prvog uodnosu na drugo r21=r (sl. 5). Takoe, neka je i r=rSa F12 oznaimo elektrostatiku ili Kulono-vu silu koja deluje na punktualno naelektrisanje Q2, a sa F21 elektrostatiku silu koja deluje na Q1.Kulonov zakon se u vektorskom obliku moe formulisati na sledei nain:

Kulonov zakon: Ako se punktualna naelektrisanja Q1 i Q2 nalaze u vakuumu i ako je vektorpoloaja drugog naelektrisanja u odnosu na prvo r12=r, a prvog u odnosu na drugo r21=r,tada se sile mehanikog dejstva F12 elektrostatikog polja na drugo i F21 na prvo naelektrisa-nje mogu predstaviti sledeim relacijama:

1 2 1 212 12 21 21 12 213 3

0 04 4Q Q Q Q, , , r

r r

F r F r F F r0 .

U vezi Kulonovog zakona mogu se dati sledee napomene:

(a) U elektrostatici vai zakon akcije i reakcije, kako u mikroskopskom pogledu izmeu dvapunktualna naelektrisanja, tako i u makroskopskom izmeu dva naelektrisana tela, povri, itd.

(b) Kada se naelektrisana tela nalaze u homogenom dielektriku permitivnosti 0r, pokazuje seda je intenzitet Kulonovih silar puta manji nego kada se ista tela nalaze u vakuumu. Kulonovzakon se tada pie u sledeem obliku:


1 2 1 212 12 21 21 12 213 34 4

Q Q Q Q, , , rr r

F r F r F F r0 .

Elektrostatike sile su vie redova veliine manjeg intenziteta od elektromagnetskih i koristese kod indikatorske i analogne merne instrumentacije (npr. u sistemima za horizontalan ivertikalni otklon elektronskog mlaza kod katodnog osciloskopa).

(c) Kulonova sila deluje u pravcu odreenom poloajem punktualnih naelektrisanja, a njen smerje odbojan ako su naelektrisanja istorodna, a privlaan kada su raznorodna.

6. Elektrostatiko polje

Elektrostatiko, odnosno elektrino polje naroito je fiziko stanje u prostoru u kome se nala-ze naelektrisanja. Njegova osnovna manifestacija je mehaniko dejstvo (elektrostatika, ili Kulono-va sila) na uneto probno punktualno naelektrisanje Q u obliku male naelektrisane kuglice, to semoe iskoristiti za karakterizaciju tog polja preko vektora jaine elektrinog polja E:

Vektor jaine elektrostatikog, odnosno elektrinog polja E jednoznana je funkcija koordi-nata taaka u prostoru definisana kolinikom vektora mehanike, tj. elektrostatike (Kulono-ve) sile F koja deluje na uneto (probno) punktualno naelektrisanjeQ (Q0) i samog na-elektrisanja:

QF

E .

Veliina E=Ezove se intenzitet ili jaina elektrostatikog, odnosno elektrinog polja. Jedinica zaintenzitet polja je iliN/C, iliV/m, gde jeV-Volt jedinica za elektrini potencijal i napon.

Posmatrajmo sada usamljeno punktualno naelektrisanje Q u vakuumu. Ako se u neku takunjegovog polja odreenu vektorom poloaja r u odnosu na to naelektrisanje unese probno punktu-alno naelektrisanjeQ, naQe delovati Kulonova (mehanika) sila:

|,4 30

rrF r

rQQ .

Tada su vektor jaine elektrinog polja E naelektrisanja Q i njegov intenzitet E, odreeni izrazima:

rErFE r

rQ

Er

QQ

,4

,4 20

30

.

Linije elektrinog polja, ili linije sile, predstavljaju zamiljene orijentisane linije sa osobinomda tangenta u svakoj njihovoj taki ima pravac vektora jaine elektrinog polja u toj taki.Skup linija polja obrazuje sliku, ili spektar polja. Linije polja izviru iz pozitivnih, a uviru unegativna naelektrisanja i one se ne mogu presecati, poto je vektor jaine elektrinog poljajednoznana funkcija koordinata taaka u prostoru.

Na sl. 6a i 6b prikazan je spektar elektrinog polja usamljenog punktualnog naelektrisanja Qu vakuumu, u sluaju kada je Q > 0 i kada je Q < 0. U oba sluaja, sa slike jasno se vidi da polje imaradijalan karakter i da njegove linije "izviru" iz pozitivnog, a "uviru" u negativno naelektrisanje.


EE

r r

(a) (b)

Q0 Q0

Sl. 6

Posmatrajmo sada sistem od n punktualnih naelektrisanja Qi ( n,i 1 ) u vakuumu koji pred-stavlja fiziki linearnu sredinu. Vektor jaine elektrinog polja u taki odreenoj vektorom poloajari, u odnosu na punktualno naelektrisanje Qi ( n,i 1 ), odreuje se vektorskom superpozicijom poljakoja u toj taki stvaraju pojedina punktualna naelektrisanja:

),1(,4

1

1iii3

i

i

0

nirrQn

i

rrE .

Vektor jaine elektrinog polja usamljene povri u vakuumu naelektrisane sa povrinskom gu-stinom naelektrisanjadQ/dS (sl. 7a) u taki X odreenoj vektorom poloaja r u odnosu na po-jedine take povri, dobija se vektorskom integracijom polja elementarnih naelektrisanja dQ=dS:

30

1 d4 S

S , rr E r r .

0

r r

SV

(a) (b)

X X

dS

dV

Sl. 7

Vektor jaine elektrinog polja usamljenog domena V u vakuumu naelektrisanog sa zapremin-skom gustinom naelektrisanja=dQ/dV(sl. 7b) u taki X odreenoj vektorom poloaja r u odno-su na take domena, dobija se vektorskom integracijom polja elementarnih naelektrisanja dQ=dV:

E r r z14 0 3 dVr rV , .


Elektrino polje kao fiziko vektorsko polje moe se okarakterisati jednoznanom vektorskomfunkcijom E=E(x, y, z)=Exi + Eyj + Ezk, gde su i, j i k jedinini vektori (ortovi), a Ex, Ey i Ezkomponente vektora E u pravcu ortogonalnih osa x, y i z, respektivno, koje obrazuju ortogonalnikoordinatni sistem desne orijentacije. Neka je dl=dxi+dyj+dzk vektorski element orijentisane lini-je polja u bilo kojoj njenoj taki. Na osnovu definicije linije polja sledi da element dl i vektor poljaE u posmatranoj taki moraju biti kolinearni. Iz uslova te kolinearnosti sledi sistem diferencijalnihjednaina linija polja,ijom se integracijom odreuje spektar elektrinog polja:

0)(,ddd

zyxzyx

EEEE

zE

yE

x.

Spektar elektrinog polja prua informaciju, ne samo o pravcu i smeru vektora E, vei o in-tenzitetu (jaini) polja. Intenzitet elektrinog polja u bilo kojoj taki srazmeran je gustini linija, tj.broju linija polja po jedinici povrine, koje prolaze kroz vrlo malu povrupravnu na liniju polja utoj taki. Spektar polja moe se na grub nain eksperimentalno snimiti pomou elektreta.

7. Potencijal elektrinog polja i napon

Elektrostatiko polje je konzervativno fiziko polje. Njegova energija u stanju elektrostatikeravnotee je stalna i moe se menjati samo pri uspostavljanju ili iezavanju polja, ili unoenjemnaelektrisanja, naelektrisanih povri i tela, kao i elektrino neutralnih metala i dielektrika. Energijapolja menja se i promenom uzajamnog poloaja prethodno navedenih objekata.

Sada emo na elektrostatiki sistem u stanju ravnotee primeniti zakon o odranju energije.Rad A Kulonovih sila F pri jednom obrtu unetog probnog punktualnog naelektrisanja Q 0, poproizvoljno odabranoj konturi C u polju, jednak je cirkulaciji sile F po toj konturi:

A QC C

z zF l E ld d ( Q F E ).Pretpostavljajui, bilo da je A > 0, bilo da je A < 0, dolazi se do apsurdnog zakljuka da sistem ustanju elektrostatike ravnotee mora promeniti svoju energiju (videti tekst u udbeniku !). Odatlese zakljuuje da mora biti A=0. Kako jeQ0, to sledi da cirkulacija vektora E po bilo kojoj kon-turi C mora biti ravna nuli i da je u svakoj taki elektrostatikog polja rot E=0:

E l E l E S E LNMOQP z z zd ( ): d d

Stoksova teorema

Orijentacije konture i povrsivezane su po pravilu desne zavojnice

(*)

(**)C C S

C SC S

0

, rot rot 0

Za cirkulaciju (*) kae se da izraava konzervativnu prirodu elektrostatikog polja,a za relaciju (**)da iskazuje njegov bezvrtloan karakter. Relacija (*), takoe, vai i u onim delovima stacionarnogelektrinog polja unutar provodnika sa stacionarnim kondukcionim strujama, gde vladaju iskljuivoKulonove sile (dakle, izvan elektrinih generatora). Kao to je vepomenuto, sve veliine i zakonivezani za elektrostatiko polje mogu se primenjivati i kod stacionarnog elektrinog polja, uz jedinoogranienje da konture integracije (kaoto je npr. C) ne prolaze kroz elektrine izvore (generatore).

Posmatrajmo sada neku proizvoljno odabranu, orijentisanu konturu C u elektrinom polju nakoju se oslanja orijentisana povrS proizvoljnog oblika (sl. 8a). Orijentacija vektorskih elemenatapovri dS, kao i samog vektora povri S (S=dS), vezani su po pravilu desne zavojnice sa usvojenomorijentacijom konture C. Na istoj slici sa dl oznaen je orijentisani element konture C.

Za polje E mogu se definisati njegov elementarni fluks (=protok) dkroz elementarnu orijen-tisanu povrdS predstavljenu vektorom dS i ukupni flukskroz orijentisanu povrS (sl. 8a):


d d cos ( d ) , d , (=) V m

dS

d ,

Elementarni fluks polja kroz povr SUkupan fluks polja

kroz povrS

E S E S E S E S

E

C

+

S

E

V

S

C

+

A

B

b

a

E

(a) (c)

(b)

S

SdS

dl

dV

dS

dl

Sl. 8

Za domen V u elektrinom polju E, koji je ogranien zatvorenom povri S i orijentisan premaspoljanosti domena (sl. 8b), moe se definisati izlazni fluks polja E kroz povrS:

z E SdS

.

Iz teoreme Gaus-Ostrogradskog i integralnog oblika Gausovog zakona za domen sa prostor-no raspodeljenim naelektrisanjima zapreminske (tj. lokalne) gustinedobija se implikacija:

E S E E S E z z z zd div d-

: d d div

(razmatra se u PREDAVANJU 2)

,S V S V

V

Teorema Gaus Ostrogradskog

S V

Gausov zakon

1

0 0

koja predstavlja lokalni (ili diferencijalni) oblik Gausovog zakona i vai u svakoj taki polja.Odatle se zakljuuje da su take gde se nalaze pozitivna naelektrisanja (> 0) izvori (linija)polja i tamo je div E > 0, dok su take gde su negativna naelektrisanja (< 0) ponori (linija)polja i tamo je div E < 0. Izvori i ponori polja predstavljaju take prekida linija polja. Meu-tim, tamo gde nema naelektrisanja (=0) linije polja su neprekidne i tamo je div E=0.

Zbog konzervativnog karaktera elektrinog polja, cirkulacija vektora E po bilo kojoj orijenti-sanoj konturi C na kojoj su proizvoljno odabraneetiri take A, a, B i b (sl. 8c) uvek je jednaka nuli:

E l E l E l E l E l E l z z z z z zd d d d d dC AaB BbA AaB BbA AbB

0 .

Poto prema poslednjoj relaciji linijski integral vektora E od take A do take B, ne zavisi od puta-nje integracije, to daje mogunost za karakterizaciju elektrinog polja pomou relativne, algebarskefizike veliine V(x, y, z), koja se zove elektrostatiki, ili elektrini potencijal. Elektrini potencijalV(x, y, z) jednoznana je i neprekidna funkcija koordinata taaka u elektrinom polju koja to poljekarakterie zajedno sa vektorom E. Jedinica za elektrini potencijal je V-Volt. Potencijal se uvekrauna u odnosu na odabranu referentnu taku R, koja se zove i taka nultog potencijala. Sa prakti-nog stanovita, odreivanje raspodele potencijala kao isto skalarne veliine, znatno je lake nego


odreivanje raspodele jaine polja E kao vektorske veliine. Kaoto emo videti, vektor jaine po-lja E moe se jednoznano odrediti preko relacije E= -grad V(x, y, z). Inverzni problem, odreivanjeraspodele potencijala u sluaju kada je poznata raspodela polja E, nema jednoznano reenje toneposredno sledi iz sme definicije potencijala koju sada navodimo:

Elektrini potencijal bilo koje take X u elektrinom polju E je relativna, algebarska, fizikaveliina, definisana na sledei nain:

R

X

V lE dX (po bilo kojoj putanji integracije).

Referentna taka sistema R, ili taka nultog potencijala, moe se izabrati proizvoljno, ali sepri njenom izboru, ipak, rukovodimo prirodom reavanog problema. U velikom broju sluajeva kojise sreu u praksi mogue je usvojiti da je referentna taka u beskonanosti (tj. R), tako da je:

X

V lE dX (po bilo kojoj putanji integracije).

Potencijal take u elektrinom polju je relativna fizika veliina, jer zavisi od izbora referent-ne take R. U to se lako uveravamo na sledei nain. Neka je VX potencijal take X u odnosuna referentnu taku R, a VX* potencijal take X u odnosu na neku drugu referentnu taku R*.Koristei prethodnu definiciju mogue je za bilo koju izabranu putanju integracije napisati:

.ddddd***

X*

X constVVR

R

X

R

R

X

R

X

R

X

lElElElElE

Elektrini napon UAB izmeu taaka A i B u polju definie se kao razlika potencijala tih taa-ka. Napon je apsolutna, algebarska, fizika veliina i njegova jedinica je kao za potencijal [V]-Volt:

AB A B AB BAd d d d dR R R B B

A B A R A

U V V , U U E l E l E l E l E l .

Putanja integracije u prethodnoj relaciji je proizvoljna pod uslovom da u stacionarnom elektri-nom polju ne prolazi kroz elektrine izvore. Jedinica za jainu polja E jeN/C, ali iV/m.

Prema usvojenoj konvenciji o oznaavanju napona koristi se strelica i veliko slovo "U" ako jenapon konstantan, a vremenski promenljivi naponi oznaavaju se strelicom i malim slovom "u" (sl.9a). Slovima "U" i "u"esto se dodaje i donji desni indeks od dva alfanumerika znaka koji obrazu-ju ureeni par (sl. 9b i c). Strelica za napon stoji kod one take koja je oznaena prvim indeksom. Usvakom od sluajeva na sl. 9 napon je prema definiciji jednak razlici potencijala take kod vrhastrelice i take na suprotnoj strani.

A B a 1

32 C 4

UABU1a

u32 uC4

X Y

32

U

u

(a) (b) (c)

Sl. 9


Ako se punktualno naelektrisanje Q nalazi u taki X elektrinog polja sa potencijalom VX, ta-da na njega deluje Kulonova sila F=QE, pa je:

R

X

R

X

QQV lFlE ddX (po bilo kojoj putanji integracije).

Dakle, potencijal take X numeriki je jednak radu Kulonovih sila izvrenom pri premetanjujedininog punktualnog naelektrisanja Q=+1Ciz take X, u referentnu taku R sistema. Kada jeVXQ > 0 sile polja vre rad na raun elektrostatike energije sistema koja se smanjuje. Kada jeVXQ < 0, rad pri navedenom premetanju naelektrisanja vre spoljanje sile FS protiv elektrosta-tikih (FS= -F) i njihov rad se pretvara u pozitivan prirataj elektrostatike energije sistema.

Meutim, kada spoljanje sile FS premetaju punktualno naelektrisanje Q iz referentne takeR u taku X sistema, rad koji one pri tome izvre je:

QVQR

X

X

R

R

X

X

R

Xdddd lElFlFlFS ,

pa je potencijal take X numeriki, takoe, jednak i radu spoljanjih sila pri premetanju jedininog,punktualnog naelektrisanja Q=+1 Ciz referentne take sistema R, u taku X. Ako je VXQ > 0spoljanje sile su te koje vre rad uz prirataj elektrostatike energije sistema. U suprotnom kada jeVXQ < 0, Kulonove sile su te koje vre rad, a ne spoljanje, i to na raun energije sistema.

Na osnovu prethodnog sledi:

B

A

B

A

QVVQUQ lFlE dd)( BAAB ,

V

(a)(c)

(b)

S

X

R

E

rX

r

rR

Xr

X

r

Usamljeno punktualno naelektrisanje

Q

Putanjaintegracije

dV

dl

dS

dV

dS

Sl. 10

Potencijal take X u elektrinom polju usamljenog punktualnog naelektrisanja Q u vakuumu(sl. 10a) moe se odrediti na osnovu definicije potencijala:

R

X

X 3 2 20 0 0 0 X R

d cos ( d ) d 1 1d d ( )

4 4 4 4

rR R R

X X X r

Q Q l , Q r QV

r r r r r

r lE l r l

,

lrrr ddRRXX lirrr .


Ako se u prethodnoj relaciji usvoji referentna taka u beskonanosti, tj. rR, tada se dobijaVX=Q/(40rX). Prema principu superpozicije za vakuum kao fiziki linearnu sredinu, a uz uslov daR, odmah slede relacije za potencijal take X u elektrinom polju u vakuumu koje potie od:

(a) usamljene povri S sa povrinskomgustinom naelektrisanja

V SrS

Xd z14 0 ,

(b) usamljenog domena V sa zapreminskomgustinom naelektrisanja:

dXV

VrV z14 0 .

Ako elektrostatiki sistem u vakuumu obrazuje k punktualnih naelektrisanja Qi ( k,i 1 ), m na-elektrisanih povri Sj okarakterisanih povrinskom gustinom elektricitetaj ( m,j 1 ) i n naelektri-sanih domena Vp okarakterisanih zapreminskom gustinom elektricitetap ( n,p 1 ), tada je potenci-jal rezultantnog elektrostatikog polja u taki X odreen relacijom:

VQr

Sr

VrSj

m

Vp

n

i

k

Xi

i

j j

j

p p

p=

d d

j p

FHG

IKJz z 14 0 1 11

.

Geometrijsko mesto taaka istog potencijala u elektrinom polju zove se ekvipotencijalna po-vr. Linije elektrinog polja upravne su na ekvipotencijalne povri u takama u kojima ih prosecaju,poto bi u suprotnom egzistirale tangencijalne komponente polja Et0 u tim takama, pa bi na istojekvipotencijalnoj povri postojale dve vrlo bliske take sa razliitim potencijalima, to bi bilo u su-protnosti sa samom definicijom ekvipotencijalne povri.

Posmatrajmo dve vrlo bliske ekvipotencijalne povri 1 i 2 u elektrinom polju (sl. 11), iji supotencijali V i V+dV, respektivno. Na slici su crtkastim linijama ucrtane linije elektrostatikog poljai take A i B koje pripadaju istoj liniji polja, a razliitim ekvipotencijalnim povrima.

Linije elektri~nog poljaEkvipotencijalna povr{ 1

Ekvipotencijalna povr{ 2

E

A

B

V

V Vd

dl

Sl. 11

Poto je E=E(x, y, z)=Exi + Eyj +Ezk, dl=dxi + dyj +dzk, VA=V i VB=V+dV, tada je:

UAB=VA-VB= zzVy

yVx

xVVzEyExE dddddddd zyx

lE

x y z , tj.V V V

E , E , Ex y z ( )

V V VV x, y,z

x y z E i j k grad .

Vektor elektrostatikog polja E u svakoj taki ima pravac i smer u kome potencijal polja naj-bre opada. Potencijal V(x, y, z), kao funkcija x, y i z, ne moe imati take prekida prve vrste.


8. Primeri test zadataka

1. Zadatak: Dva jednaka nepokretna punktu-alna naelektrisanja Q1 nalaze se u takama A iB u vakuumu (sl. 12). U taki C puteno je daiz mirovanja krene pokretno punktualno na-elektrisanje Q2 mase m. Odrediti njegovu tra-jektoriju i brzinu u beskonanosti. Usvojiti daje potencijal beskonano udaljenih taaka ra-van nuli.Podaci: Q1=4Q2=0.6 [nC], m=9 [gr], a=10[cm], b=20 [cm] i010-9/36[F/m].

x

y

0

0

( 0)B a,(- 0)A a, ( 0)C b,

1Q 1Q 2Q

Sl. 12

2. Zadatak: Usamljena metalna sfera nalazise u vakuumu i naelektrisana je koliinomelektriciteta Q1 (sl. 13). U taki A(a, 0) pute-no je da iz mirovanja krene punktualno na-elektrisanje Q2 mase m. Odrediti njegovu br-zinu u taki B(b, 0). Usvojiti da je potencijalbeskonano udaljenih taaka ravan nuli.Podaci: Q1=1.8 [nC], Q2=0.5 [nC], m=1.8 [g],a=36 [cm] i b=1 [m].

R1Q

2,m Q xv

9

0

10 F36 m

O

y

( , 0)A a ( , 0)B b

Documents

Elektrostatika 1