Elektromagnetizam 3.pdf

PREDAVANJE 9 (PROF. D. KANDIĆ, MAŠINSKI FAKULTET-BEOGRAD) 1

1. Supstancija u magnetskom polju

Sva dosadašnja razmatranja odnosila su se na magnetska polja vremenski konstantnih struja uvakuumu. Pokazano je i da se dobijeni rezultati sa dovoljnom tačnošću mogu primeniti i na sve onesupstancije koje neznatno utiču na stràno magnetsko polje i ponašaju se slično vakuumu. U takvespada pre svih vazduh, ali i čitav niz čvrstih, tečnih i gasovitih materija, osim feromagnetika.

Sve supstancije, bez obzira na kvalitativne razlike u efektima, podložne su magnećenju i svo-jim prisustvom u različitoj meri doprinose promeni magnetskog polja u kojem se nalaze. Namagne-ćenost supstancije potiče od elementarnih magnetskih momenata elektrona i jezgara atoma u različi-toj meri. Kretanje elektrona u atomima je složeno i može se razložiti na orbitalno kretanje i rotacijuoko sopstvene ose (spin elektrona). Spin elektrona je njegova primarna karakteristika koja se nemože svesti na nešto elementarnije i on igra prvorazrednu ulogu u objašnjenju ponašanja elektronau atomima, molekulima i kristalima, kao u i nizu makroskopskih pojava. Posebno važnu ulogu spinelektrona ima u proučavanju feromagnetskih pojava.

Elektroni zajedno sa svojim orbitama obrazuju ravne superprovodne strujne -konture, a sva-koj od njih odgovara po jedna -struja kojoj se može pridružiti odgovarajući elementarni orbitalnimagnetski moment m (PREDAVANJE 8, II deo, str. 18) antiparalelan momenatu količine kretanja L (toje tzv. magneto-mehanički paralelizam. Količnik modula magnetskog momenta elektrona i momen-ta količine kretanja |m|/|L| zove se orbitalni žiromagnetski količnik, koji je ravan |e|/(2m), čak i zaeliptične orbite. Da bi objasnili određene anomalije u spektrima zračenja atoma u magnetskom po-lju, Ulenbek (Uhlenbeck) i Gaudsmit (Gaudsmit) još1925. godine postavili su hipotezu da elektroniposeduju, pored orbitalnih, i sopstvene magnetske momente ms (ili magnetske momente spina) i mo-mente količine kretanja Ls, koji su čisto kvantno-mehaničkog karaktera. Količnik modula |ms|/|Ls |zove se žiromagnetski količnik spina. Njegovim indirektnim merenjem (Richardson-Einstein-de Ha-asov i Barnettov efekat) utvrđeno je da je njegova vrednost |e|/m, dakle, dvostruko veća od orbital-nog žiromagnetskog količnika |m|/|L| (ova pojava zove se magneto-mehanička anomalija).

Sa druge strane, protoni imaju svoje magnetske momente, koji su znatno manji od orbitalnihmomenata elektrona, pa čak i do 650 puta manji od sopstvenih magnetskih momenata elektrona ms.

Sve supstancije mogu se podeliti na dijamagnetike, paramagnetike i feromagnetike. Kod dija-magnetika i paramagnetika namagnećenost iščezava uklanjanjem stranog magnetskog polja, dok sekod feromagnetika ona zadržava. Feromagnetici, ne samo da svojim prisustvom značajno menjajumagnetsko polje u kojem su nalaze, većmogu da ga i samostalno stvaraju (permanentni magneti).

U dijamagnetike spadaju, npr., bakar (Cu), srebro (Ag), cink (Zn), bizmut (Bi), olovo (Pb),sumpor (S), kremen, grafit, tečni azot i voda. Prefiks "dija" je grčkog porekla, a jedno od njegovihznačenja je "popreko". Kovanica "dijamagnetski" potiče od načina ponašanja dijamagnetskih štapo-va u magnetskom polju: oni teže da se postave popreko na linije magnetske indukcije. Dijamagneti-zam je osnovno magnetsko stanje materije i javlja se kod svih supstancija. S njim u vezi je i dija-magnetski efekat, odnosno pojava indukovanih struja i magnetskih momenata u atomima, koji težeda anuliraju magnetski fluks strànog polja i da to polje oslabe. Dijamagnetski efekat može se objas-niti čak i pomoću klasične teorije i Borovog poluklasičnog modela atoma (zainteresovani studenti otome mogu da pročitaju u udžbeniku, str. 406-410).

U paramagnetike spadaju npr. aluminijum (Al), platina (Pt), kiseonik i vazduh. I prefiks "pa-ra" je grčkog porekla, a jedno od njegovih značenja je "uporedo". Kovanica "paramagnetski" potičeod načina ponašanja paramagnetskih štapova u magnetskom polju: na njih deluje mehanički mo-ment koji teži da ih postavi paralelno sa linijama magnetske indukcije. Paramagnetici spadaju usupstancije sa slabom magnetskom interakcijom između atoma i molekula, pa je to i razlog zbogkojeg kod paramagnetika dolazi samo do delimičnog usmeravanja magnetskih momenata atoma imolekula u smeru strànog magnetskog polja, a to usmeravanje je izraženije ako je stràno polje jače.Usled toga se intenzitet magnetske indukcije kod paramagnetika u strànom magnetskom polju ne-


znatno povećava, a taj efekat postaje sve manje izražen sa porastom temperature. Paramagnetizamza razliku od dijamagnetizma nije osnovna osobina supstancije, većposledica interakcionog dejstvasila koje favorizuju orijentaciju elementarnih magnetskih momenata u jednom pravcu i smeru. Naparamagnetike u magnetskom polju sile deluju uvek u smeru porasta polja. Magnetsko polje izrazi-tije deluje na paramagnetike nego na dijamagnetike: npr. dejstvo polja na bakar-hlorid je 45 puta,a na tečni kiseonik 3040 puta jače nego na tipične dijamagnetike.

U feromagnetike spadaju gvožđe (Fe), kobalt (Co), nikal (Ni), dve retke zemlje (danas jošuvek bez određene primene u elektrotrotehnici) gadolinijum (Gd) i disprozijum (Dy) i veći brojlegura i jedinjenja u kojima nema nijednog od navedenih elemenata. Kod feromagnetika postoji ja-ka interakcija između atoma i molekula, koji inače imaju velike magnetske momente. Jaka interak-cija između molekula sreće se joši kod antiferomagnetika i ferimagnetika. U feromagneticima une-tim u stràno magnetsko polje dolazi do pojave magnetske indukcije velikog intenziteta, mada porasttemperature taj efekat veoma mnogo narušava.

U pogledu magnetskih efekata i uticaja na magnetsko polje, svaki atom ili grupa atoma možese zameniti ekvivalentnom strujnom konturom u vakuumu, sa magnetskim momentom koji odgova-ra ukupnom magnetskom momentu atoma ili grupe atoma. Na osnovu toga, uzorak supstancije mo-že se zameniti mnoštvom elementarnih kontura (-konture) u vakuumu sa odgovarajućim Ampero-vim -strujama i magnetskim momentima. U supstanciji koja prethodno nije bila namagnećena i na-lazi se izvan stranog magnetskog polja, magnetsko polje Amperovih -struja makroskopski se naj-češće i ne može zapaziti, jer je ono primetno sàmo u neposrednoj blizini atoma. Ta pojava objašnja-va se činjenicom da su svi elementarni magnetski momenti orijentisani potpuno statistički, dakle, usvim pravcima podjednako, te zato i ne postoji rezultantno makroskopsko magnetsko polje. Među-tim, kada se supstancija unese u stràno magnetsko polje (npr. nekih makroskopskih strujnih kontu-ra), tada sve elementarne strujne konture teže da se pod dejstvom elektromagnetskih sila postave ta-ko da njihovi magnetski momenti budu kolinearni sa strànim poljem (videti PREDAVANJE 8-II deo,str.17).Toj tendenciji suprotstavljaju se termički uticaji, usled čega dolazi sàmo do delimične orijen-tacije -kontura i vektora magnetskih momenata, što za posledicu ima pojavu namagnećenosti uzor-ka supstancije, odnosno pojavu sopstvenog magnetskog polja. Kod dijamagnetika i paramagnetikanamagnećenost iščezava ukidanjem strànog magnetskog polja,a kod feromagnetika ona se zadržava.Sàmo kod njih se u odsustvu stranog magnetskog polja ne poništavaju elementarni magnetski mo-menti atoma i molekula, tako je kod feromagnetika uočljivo prisustvo sopstvenog magnetskog polja.

Kao što se elementarna strujna kontura u potpunosti može okarakterisati svojim magnetskimmomentom, tako se i element namagnećene supstancije, koji je predstavljen mnoštvom Amperovih-struja, može okarakterisati vektorskim zbirom momenata svih elementarnih strujnih kontura mu fizički maloj zapremini V. Makroskopska veličina koja karakteriše stanje namagnećenosti u ele-mentu V definisana je količnikom:

Mm

V

V, (*)

i zove se vektor magnetizacije. U svakoj tački nenamagnećene supstancije vektor magnetizacije jenula-vektor. Ako u svakoj tački namagnećenog tela vektor M ima isti pravac i smer, za to telo kažese da je homogeno namagnetisano, pa je M=N'm, gde je N' koncentracija -kontura u okolini po-smatrane tačke, a m magnetski moment svake od kontura. Intenzitet vektora magnetizacije M=|M|očigledno da ima dimenzije [A/m]. Ispostavlja se da su kod dijamagnetika i paramagnetika vektoriM i B kolinearni (M B) i da M linearno raste sa porastom indukcije strànog magnetskog polja B,pa su zato te supstancije linearne i izotropne u magnetskom pogledu. Kod grupacija atoma u fero-magneticima takva kolinearnost između M i B ne postoji, kao ni linearna zavisnost između M i B,pa se na tom nivou feromagnetici ponašaju magnetski nelinearno i anizotropno.


Veličina koja karakteriše namagnetisanost supstancije u nekoj tački, odnosno koja izražavastepen orijentisanosti Amperovih -struja u okolini te tačke, zove se vektor magnetske polarizacije ion je definisan kao J=0M. Jedinica za J=|J| je [N/(Am)] (=) [T].

Na osnovu definicione relacije (*) za M, mnoštvo elementarnih magnetskih momenata u fi-zički maloj cilindričnoj zapremini V=Sh unutar namagnećene supstancije (sl. 1a), uvek sеmožezameniti ekvivalentnim magnetskim momentom MV. Ako je izvodnica cilindrične zapremine Vkolinearna sa vektorom magnetizacije M i normalna na malu ravnu površveličine S, tada se zapre-mina V može predstaviti na ekvivalentan način u magnetskom pogledu, vrlo tankom trakom (h 0), koja se podudara sa omotačem cilindra (sl. 1b) u kojoj postoji Amperova -struja označenogsmera i intenziteta IA, za koji su magnetski moment trake m (m=IAS=IASn) i zapremine V,MV (MV=MSh) jednaki (n-jedinični vektor normale na S; |n|=1). Odatle se dobija da je M==(IA/h)n, a pošto je M=Mn, to sledi da je M=|M|=IA/h.

S

S n SM

h

M

h

l

00S n S C

Ik

k-ta makroskopskastrujna kontura

IA

(a) (b)V

X

Obr

a~un

skism

erza

sabi

ranj

em

akro

skop

skih

iAm

pero

vih

stru

jau

vaku

umu

"+"

Sl. 1

Posmatrajmo sada proizvoljno usvojenu orijentisanu konturu C u supstanciji, gde pored Am-perovih struja IA postoje i makroskopske konture sa strujama Ik ( 1 )k , n , koje se kao beočuzina lancu zahvataju sa konturom C (sl. 1b). Naravno da u posmatranom sistemu mogu postojati idruge makroskopske strujne konture koje se uopšte ne zahvataju sa konturom C, pa njihove strujene figurišu u Amperovom zakonu o cirkulaciji vektora B u vakuumu, kada se ovaj primeni na sistemmakroskopskih i Amperovih -struja. Ako je l-orijentisan linijski element konture C, tada s obzi-rom na M=|M|, M=Mn i h=dln (sl. 1b) sledi, Mh=Mln=Ml=IA. Ovaj rezultat se rečimamože iskazati ovako: skalarni proizvod vektora magnetizacije M i orijentisanog linijskog elemental u tački X proizvoljne konture C u magnetskom polju u supstanciji, jednak je Amperovoj -strujiIA oko elementa u tački X računatoj u referentnom smeru vezanom po pravilu desne zavojnicesa usvojenim smerom orijentacije konture (, "+", videti sl. 1b). Kada je fizički element l vrlomalil 0), tada se može napisati da l dl, pa na osnovu prethodnog i Stoksove teoreme sledi:

0 0

A A AKroz

d d dUkupna Amperova struja krozkonturu C u referentnom smeru

vezanom po pravilu desne zavojniceC S C Ssa usvojenom orijentacijom konture C

I I M l M S J Srot

0 00 0

A A0 00 0S

1 1lim d lim d Ova relacija važi u svakoj tački

magnetskog polja u sup s tan cijiS SSS S

M S J S J Mrot rot ,


gde je S0 proizvoljna površoslonjena na konturu C i orijentisana u smeru vezanom po pravilu desnezavojnice sa usvojenom orijentacijom konture, dok je JA vektor lokalne površinske gustine Ampe-rovih -struja u tačkama površi S0.

Pošto se Amperove -struje i makroskopske struje nalaze u vakuumu, to ćemo prvo primenitiintegralni oblik Amperovog zakona o cirkulaciji vektora B u vakuumu na konturu C i sve struje:

0 A k 0 k( ) ( )Kroz

d dPo strujama svih makroskopskihk kC C C

kontura koje se zahvataju sa konturom C

I I I

B l M l

k( )0 0

0d : )(Po strujama svih makroskopskihkC


I , ,

B BM l H B HM M ,

k( )

d

(Po strujama svih makroskopskihkC


Integra ln i oblik generalisanog

Amperovog zakona.I

Zove se i teorema o cirkulaciji vektora , ili

zakon ukupne ili

H lH

)tota lne struje.

. (**)

Vektor H u prethodnoj relaciji definisan kao B/0-M zove vektor jačine magnetskog polja ili mag-netizaciono polje. Jedinica za jačinu magnetskog polja H=|H| je [A/m]. U sumu struja makroskop-skih kontura [relacija (**)] struja Ik unosi se: (1) sa predznakom "+", ako je istog smera sa obračun-skim smerom za sabiranje struja, koji je vezan po pravilu desne zavojnice sa usvojenom orijentaci-jom konture C (, "+", videti sl. 1b) i (2) sa predznakom "-", ako je suprotnog smera od obračun-skog smera za sabiranje struja (sl. 1b).

Sada ćemo primeniti diferencijalni oblik Amperovog zakona na makroskopske struje sa lokal-nom površinskom gustinom J i Amperove -struje sa lokalnom (površinskom) gustinom JA:

0 A 0( ) ( ) B J J J Mrot rot

rot rotB

M H J0

FHG

IKJ

( )Diferencija i ili loka i oblikgeneralisanog Amperovog zakona

ln ln. (***)

Û Integralni i diferencijalni oblik generalisanog Amperovog zakona važe, kako u vakuumu, ta-ko i u bilo kojoj materijalnoj sredini (u dijamagneticima, paramagneticima i feromagnetici-ma). Tako npr. ako se teorema o cirkulaciji vektora H primeni na toruse sa sl. 23 i sl. 24(PREDAVANJE 8, II deo), ali u slučaju kada su njihova jezgra od feromagnetika, dobija se:

H l

FHG

IKJ z z zd d d

[ ](0 ) ( )C C C

H l H l H xN I x a

x a b2

0

, ,b, , ,l q

HN I

xx a H x a b

2

0

, ,b , , ,[ ] [0 ) ( )l q ,

pri čemu se pravac i smer vektora H određuje isto kao i vektora B-po pravilu desne zavojnice(ti vektori su kolinearni u slučaju kada je torusno jezgro magnetski izotropno). Integralni


oblik generalisanog Amperovog zakona izveden je za proizvoljnu konturu C u vremenski kon-stantnom magnetskom polju. Takođe je i diferencijalni oblik generalisanog Amperovog zako-na izveden za vremenski konstantno magnetsko polje. Međutim, u slučaju kada je magnetskopolje vremenski promenljivo, generalisani oblici Amperovog zakona u integralnom i diferen-cijalnom obliku dobijaju sledeći složeniji oblik:

d dd d ,

d dC S t t

D DH l J S H Jrot ,

gde je D vektor električnog pomeraja u posmatranoj sredini sa magnetskim poljem H, dok jeS proizvoljna površoslonjena na konturu C i orijentisana u smeru vezanom po pravilu desnezavojnice sa usvojenim smerom orijentacije konture. Integralni oblik prethodne jednačine po-znat je kao jedna od četiri integralne Maksvelove jednačine makroskopskih elektromagnetskihpolja.

U vakuumu je M=0, pa između vektora B i H postoji veza B=0H što znači da za karakteri-zaciju magnetskog polja u vakuumu nisu potrebna dva, većje dovoljan samo jedan vektor (B ili H).

U supstancijama koje su linearne i izotropne u magnetskom pogledu (a takvi su praktično svidijamagnetici i paramagnetici), vektor magnetizacije M uvek je kolinearan sa vektorom jačine mag-netskog polja H, pa je zbog toga kod njih M=mH, gde je m magnetska susceptibilnost (m je ne-imenovan broj). Pošto je u svakoj sredini B=0(H+M), to kod linearnih i izotropnih sredina imamoB=0(H+M)=0(1+m)H. Ako se relativna magnetska permeabilnost supstancije definiše kao r==1+m, a apsolutna permeabilnost kao =0r (r=0), tada je B=0(1+m)H=0rH=H. Je-dinica za magnetsku permeabilnost je ista kao i za permeabilnost vakuuma [N/A2] ili [H/m]. Koddijamagnetika je m 0, ali je r=1+m neznatno manje od jedinice. Međutim, kod paramagnetikaje m 0, dok je r=1+m neznatno veće od jedinice.

Kod feromagnetika važi relacija B=0(H+M), ali kolinearnost M=mH ne postoji. Međutim,kod njih se, ipak, mogu koristiti relacije M=mH i B=H (B=|B|, H=|H| i M=|M|), vodeći račun otome da je =0r, r=1+m i da m i r nisu konstante, većvišeznačne funkcije intenziteta polja H.

Tela načinjena od linearnih, izotropnih i homogenih supstancija (a u takve spadaju homogenidijamagnetici i paramagnetici), homogena su, takođe i u magnetskom pogledu (odnosno homogenosu namagnećena), kada je vektor magnetizacije M u svim tačkama isti. Nehomogeno namagnećenotelo od homogenog feromagnetskog materijala nije homogeno u magnetskom pogledu. Pošto je kodhomogeno namagnećenog tela M=Cst, to je u svakoj njegovoj unutrašnjoj tački rezultantna gustinaAmperovih struja JA=rot M=0. Ako je C fizički mala kontura unutar homogeno namagnećenog te-la u kome ne postoje makroskopske struje (J=0), tada je:

d d d 0C S S

H l H S J Srot Ad d d 0C S S

M l M S J Srot ,

gde je S proizvoljna površunutar tela, oslonjena na konturu C i orijentisana u smeru vezanom popravilu desne zavojnice sa orijentacijom konture. Magnetsko polje namagnećene supstancije u kojojnema makroskopskih struja (J=0) potiče isključivo od Amperovih -struja. Međutim, kako je u sva-koj tački unutar homogeno namagnećenog tela bez makroskopskih struja JA=0, to se zaključuje darezultantno magnetsko polje potiče isključivo od Amperovih struja na površi tela. Sada ćemo odre-diti podužnu gustinu JsA tih struja na površi homogeno namagnećenog tela. Posmatrajmo jedan jakouvećani delićpovrši takvog tela oko tačke X (sl. 2a). Vektori magnetskih momenata m Amperovih-kontura oko te tačke su kolinearni, pa je vektor JsA normalan na vektor magnetizacije M (koji jekolinearan sa m) i vektor jedinične normale n površi oko tačke X. Za malu pravougaonu konturu Cmože se napisati:


A sA0 0 0 0lim d cos sin , lim d lim d lim dh h h h

C C S S

M l M l J l

M l M l M S J Srot ,

sA sAsinJ M J M n (Amperove struje postoje u vakuumu),

čime smo došli do važne relacije koja povezuje vektore podužne gustine površinskih Amperovihstruja i magnetizacije u svakoj tački površi homogeno namagnećene supstancije.

M

J sA

nPovr{inske Amperove

struje

l

0

(a)

X

l | |l

Sh/2

h/2

C

I > 0 (struja navojaka)

(b)

N'

M

n

J sA

Sl. 2

Posmatrajmo veoma dug i tanak solenoid sa jezgrom od homogenog materijala permabilnosti(sl. 2b). Pretpostavimo da je solenoid ravnomerno i gusto motan, da je podužna gustina nje-govih navojaka N' i da je struja navojaka vremenski konstantna sa intenzitetom I. Magnetsko polje usolenoidu je homogeno intenziteta H=N'I i indukcije B=N'I. Do ovog formalno dobijenog rezul-tata moguće je doći i na sledeći način. Intenzitet vektora magnetizacije u solenoidu je M=mH==(r-1)H=(r-1)N'I. Kako je gustina Amperovih struja u jezgru JA=0, to se koristeći sl. 2b možezaključiti da se u bliskim delovima dve susedne Amperove struje kompenzuju, a da jedino struje napovrši jezgra ostaju nekompenzovane i da se svode na rezultantnu površinsku Amperovu struju po-dužne gustine JsA=M n i intenziteta JsA=|JsA|=M=(r-1)N'I. Zbog toga rezultantno magnetsko po-lje B u solenoidu nastaje superpozicijom polja BI=N'I struje I i polja BM=(r-1)N'I struje JsA

u vakuumu, odnosno B=BI+BM=N'I+(r-1)N'I=N'I. Kada je relativna permeabilnost jezgrasolenoida velika (r 1), tada je i podužna gustina dopunskih struja na njegovoj površi velika; onaje r-1 puta veća od podužne gustine primarne struje solenoida N'I.

Posmatrajmo homogeno namagnećen permanentni magnet u obliku neograničenog, pravogkružnog cilindra, koji se nalazi u vakuumu. U tačkama u unutrašnjosti magneta je M=Cst i B=0M,dok je u vakuumu M=0. Međutim, ako je takav magnet konačne dužine, u tačkama unutar magnetasmerovi vektora B i H=B/0-M su suprotni, kao i |B| < 0|M|. Linije polja B su neprekidne, dok selinije polja H i M prekidaju na graničnoj površi magnet/vakuum.

2. Granični uslovi na razdvojnoj površi dve sredine

Granični uslovi nisu nikakve nove relacije vezane za dve bliske tačke sa raznih strana površikoja razdvaja dve sredine različitih magnetskih osobina, većsu ti uslovi sàmo poseban izraz genera-lisanog Amperovog zakona i zakona o konzervaciji magnetskog fluksa. Granični uslovi imaju prak-tičnu vrednost samo u slučaju kada je jedna sredina feromagnetik, a druga to nije. Granični uslovi


na razdvojnoj površi dijamagnetika i/ili paramagnetika nisu od interesa, pošto između tih sredinanema neke značajnije razlike. Dijamagnetici i paramagnetici vrlo slabo utiču na magnetsko polje ukojem se nađu, dok feromagnetici utiču jako.

Pretpostavimo da na razdvojnoj površi između sredina 1 i 2 nema makroskopskih struja (sl.3a), a zatim bilo gde postavimo orijentisanu cilindričnu površSc vrlo male osnovice S u fizičkompogledu i izvodnice koja normalno proseca površDa bi se izveli granični uslovi na sâmoj površipotrebno je pretpostaviti da u graničnom slučaju dužina izvodnice cilindra h 0Neka su B1 i B2

vektori magnetske indukcije, a H1 i H2 jačine magnetskog polja u sredinama 1 i 2 respektivno napreseku S cilindra Sc i površi Normalne komponente vektora B1 i B2 su B1n=B1n i B2n=B2n,respektivno, gde je n vektor jedinične normale orijentisane površi S=Sn. Na osnovu zakona okonzervaciji magnetskog fluksa imamo:

lim d ( ) ( )c

1 2 1n 2n 1n 2nhS

S B B S B B

z00B S B n B n .

Sc n

n

h

B1

B2

S

B1n

B2n

B1t

B2t

1

Sredina 1

Sredina 2

h

Sredina 1

Sredina 2

K

l

l

H1

H2

2

1

2

B1t

B1

B1n

B2n

B2t

B2

(a)

(b)

(c)

Sl. 3

Pretpostavimo da je K orijentisana pravougaona kontura u ravni vektora H1 i H2, vrlo male ši-rine =|l| u fizičkom pogledu i visine h koja u graničnom procesu teži nuli (sl. 3b). Takođe, nekaje i pravac vektora l paralelan ravni Neka su tangencijalne komponente vektora H1 i H2 respek-tivno H1t i H2t. Pošto na graničnoj površi sredina 1 i 2 nema makroskopskih struja, tada u tačkama tepovrši mora biti rot H=0, pa i cirkulacija vektora H po konturi K mora biti ravna nuli:

1 2 1t 2t 1t 2t0lim d 0h

K

H H l H H

H l H l H l .

Poslednje dve relacije ukazuju na neprikidnost normalnih komponenti magnetske indukcije itangencijalnih komponenti vektora jačine magnetskog polja na razdvojnoj površi dve sredine. Tedve relacije zovu se granični uslovi. Koristeći ih zajedno sa sl. 3c može se izvesti zakon prelamanjalinija magnetskog polja na razdvojnoj površi dve sredine bez makroskopskih struja:


tgtg

1

2

1t 1n

2t 2n

1t

2t

1 1t

2 2t

1

2

B BB B

BB

HH

//

.

Pri prelasku iz sredine veće, u sredinu manje magnetske permeabilnosti, linije magnetskogpolja priklanjaju se ka normali na razdvojnu površ. U posebnom slučaju kada je sredina 1 vazduh ilivakuum, a sredina 2 izrazit feromagnetik () iz poslednje relacije zaključuje se da će linijemagnetskog polja u vazduhu ili vakuumu praktično biti normalne na razdvojnu površ, tj. da 0,u slučaju kada je 0 2 /2.

3. Feromagnetski materijali i neke njihove osobine

Feromagnetski i njima slični materijali danas imaju veliku i raznovrsnu primenu u elektroteh-nici za izradu: (1) jezgara električnih mašina (obrtnih generatora, motora i transformatora) i (2) stal-nih magneta i jezgara elektromagneta. Magnetska permeabilnost r feromagnetika obično je veomavelika i zajedno sa intenzitetima magnetizacije M=|M| i indukcije B=|B| predstavlja složenu i više-značnu funkciju jačine polja H=|H|. Međutim, M i B ne zavise jedino od jačine polja H u određe-nom trenutku, veći od jačine tog polja kojoj je materijal ranije bio podvrgnut, odnosno M i B zaviseod tzv. "istorije magnećenja" materijala. Ta pojava svojstvena je sàmo feromagneticima i zove sehisterezis (grčki: =zakašnjavam). Sada ćemo prvo ukratko objasniti poreklo feromagne-tizma i opisati Vajsovu fenomenološku teoriju domena, a zatim ćemo razmotriti krive magnećenjaferomagnetskih materijala, koje imaju veliki značaj u elektrotehnici. Napominjemo da je formiranjedomena i prirodu unutrašnjih sila koje dovode do spontane namagnećenosti supstancije, uspešnoobjasnila tek kvantna teorija.

Atomi i molekuli feromagnetika u suštini su paramagnetski, jer poseduju nekompenzovanemagnetske momente (kao i atomi i molekuli paramagnetskih materijala). Izučavanje žiromagnetskihpojava kod feromagnetika jasno ukazuje da su za pojavu feromagnetizma najodgovorniji nekom-penzovani magnetski momenti spina elektrona u nepopunjenim unutrašnjim ljuskama, a da valentnielektroni nisu nosioci jakih magnetskih momenata zbog slabe veze sa atomskim jezgrom i njihovepodložnosti sadejstvu sa elektronima susednih atoma u obrazovanju molekula i kristala. Pri takvimmeđusobnim dejstvima hemijskog karaktera sopstveni magnetski momenti spina valentnih elektro-na se kompenzuju. Dakle, orbitalni magnetski momenti elektrona nisu od primarnog značaja zanastanak feromagnetizma.Magnetska sprega između atoma i molekula kod paramagnetika je relativ-no slaba, a kod feromagnetika vrlo jaka. Usled toga se u feromagneticima formiraju velike grupacijeod po 10121015 molekula sa magnetskim momentima savršeno orijentisanim u istom pravcu i sme-ru (sl. 4a). Takve grupe molekula zovu se Vajsovi domeni i oni u suštini predstavljaju stalne magne-te namagnetisane do zasićenja. Linearna dimenzija Vajsovih domena kod gvožđa kreće se od 10-3

[cm] do nekoliko [mm], pa čak i do nekoliko [cm] u čistim monokristalima. Osim toga, na granica-ma domena postoje vrlo jaka magnetska polja, zahvaljujući kojima su Vajsovi domeni eksperimen-talno i uočeni još1931. godine (F. Bitter). Ako se uzorak feromagnetskog materijala lepo izbrusi ipremaže koloidnim rastvorom finog praha oksida gvožđa (npr. magnetita), čija su zrnca prečnikamanjeg od 1 [], tada dolazi do sakupljanja tih zrnaca na granicama domena, usled čega se obrazujufigure koje odgovaraju oblicima domena i mogu se posmatrati mikroskopom. Kada feromagnetiknije namagnećen, magnetski momenti domena su haotično orijentisani u svim pravcima (kao i kodparamagnetika sl. 4b), pa je rezultantna makroskopska namagnećenost ravna nuli. Između susednihdomena sa različitim pravcima rezultantnih magnetskih momenata postoje prelazni slojevi (ili gra-nice domena) debljine 10-810-6 [m] u kojima je promena pravca magnetskih momenata postepena.Ti slojevi zovu se Blohovi zidovi.

Prâvo objašnjenje spontane namagnećenosti feromagnetika na nivou domena dala je kvantnateorija. Naime, Hajzenberg je pokazao da su za orijentaciju magnetskih momenata atoma unutar do-


mena odgovorne tzv. sile razmene, koje nemaju objašnjenje u klasičnoj fizici, a analogne su silamakoje obezbeđuju stabilnost molekula. Radijus dejstva tih sila je mali i praktično ograničen samo nabliske atome. Kada se posmatra uzorak feromagnetika (svi feromagnetici su kristalne strukture), ta-da u oblasti koja odgovara Vajsovom domenu linearne dimenzije reda 10-2 [mm] sa približno 1015

atoma supstancije između elektrona u susednim jonima deluju vrlo jake elektrostatičke sile kojeutiču na orijentaciju magnetskih momenata elektrona i ekvivalentne su dejstvu magnetskog poljaindukcije B=105 [T]. Kristalna zrna, odnosno Vajsovi domeni, anizotropni su u magnetskom pogle-du, a njihove kristalografske ose orijentisane su statistički. Zbog toga se u feromagnetskim telima samnoštvom domena anizotropija kompenzuje i tela se ponašaju makroskopski magnetski izotropno.

(a) (b)

Sl. 4

Usmeravajuće dejstvo prethodno pomenutih sila narušavaju termičke oscilacije kristalne re-šetke. Iznad temperature TCf koja se zove Kirijeva feromagnetska temperatura, termičke oscilacijepotpuno onemogućavaju paralelnu orijentaciju magnetskih momenata jona kristalne rešetke i fero-magnetik tada počinje da se ponaša kao običan paramagnetik.

M

M2M1

(a) (b)

(c) (d)

M

M 0m

m

m

m

Sl. 5

Magnetska polarizacija kod feromagnetskih materijala ostvaruje se sa maksimalnom uređe-nošću magnetskih momenata atoma i molekula, koja u okviru domena postoji čak i u odsustvu strà-nog magnetskog polja. Međutim, istraživanja pokazuju da pored magnetskih momenata karakteris-tičnih za atome dijamagnetika, paramagnetika i feromagnetika postoje i drugi specifični tipovi pola-rizacije karakteristični za neke druge materijale sa velikom primenom u elektrotehnici (kao što su,recimo, feriti). Na sl. 5a prikazan je deo prostorno centrirane kubne kristalne rešetke -gvožđa sajednim atomom u središtu elementarne ćelije kristala. Magnetski momenti atoma m (crni kružići samalom strelicom) pokazuju visok stepen usmerenosti, tako da u zavisnosti od temperature T, re-


zultantna gustina magnetskog momenta M (koja makroskopski karakteriše stanje namagnećenosti),može biti vrlo velika. Međutim, kada temperatura T dovoljno poraste (T TCf), tada zbog haotičneorijentacije magnetskih momenata m i rezultantna gustina magnetskog momenta opadne (M 0).

Na sl. 5b prikazana je orijentacija magnetskih momenata m kod antiferomagnetskih supstan-cija (MnO, FeO, CoO, MnF2, FeF2, NiF2, MnS, CuCl2, itd.). Kod njih su magnetski momenti "su-sednih" atoma naizmenično antiparalelni, tako da je rezultantna magnetizacija M=0. Pri određenojtemperaturi (Néelova temperatura) antiferomagnetizam kod ovih materijala nestaje, a pojavljuju separamagnetizam i dijamagnetizam. Antiferomagnetici danas jošuvek nemaju značajniju primenu uelektrotehnici.

Poseban tip antiferomagnetskih materijala su tzv. ferimagnetski materijali, ili feriti. U tim ma-terijalima postoji antiparalelna orijentacija magnetskih momenata susednih atoma i grupa atoma.Međutim, zbog nesimetrične strukture, ekvivalentni momenti susednih grupa atoma nisu isti, takoda ovakva antiparalelna orijentacija, ipak, rezultuje u formiranju Vajsovih domena sa intenzivnomnamagnećenošću (sl. 5c). Premda magnetizacija zasićenja kod ferita dostiže samo 20 % magnetiza-cije zasićenja gvožđa, feriti ipak imaju ogroman značaj u savremenoj elektrotehnici visokih frek-vencija, pre svega zbog velike specifične električne otpornosti reda 1031010 m. Obični pro-vodni feromagnetski materijali (kao što je gvožđe) ne mogu se koristiti na visokim frekvencijama,pošto usled elektromagnetske indukcije u njima dolazi do intenzivne pojave vrtložnih ili Fukoovihstruja koje slabe visokofrekventno magnetsko polje i proizvode nepotrebno zagrevanje materijalausled Džulovog efekta. Velika grupa ferita ima tipičnu hemijsku formulu oblika MeFe2O3, gde jeMe-oznaka za dvovalentni metal (Mn, Fe, Co, Ni, Cu, Zn, Mg, Cd).

Metamagnetici su antiferomagnetski materijali kod kojih pod dejstvom jakog magnetskogpolja dolazi do prelaska antiferomagnetskog ponašanja u feromagnetsko.

Parazitski feromagnetizam je antiferomagnetizam kod koga različiti smerovi magnetizacijeM1 i M2 (sl. 5d) nisu antiparalelni i ne poništavaju se.

J sJReverzibilno zaokretanje domena

Ireverzibilno pove}anjei zaokretanje domena

Reverzibilno pove}anje domena

0H

12

34

Uve}an detaljgornje krive

1-2 i 3-4 - reverzibilno zaokretanje

2-3 - ireverzibilno zaokretanje

(a)

N SPermanentni magnet

Sol

enod

safe

rom

agne

tskim

jezg

rom

Zvu~

nik

Poja~ava~

(b)

Fe-{ipka

Sl. 6

Kada se prethodno nemagnećen feromagnetik unese u strano magnetsko polje H čiji se inten-zitet postepeno povećava, na magnetske domene deluju momenti koji teže da ih postave u pravcu ismeru polja. Zbog toga se pri malom intenzitetu strànog polja prvo orijentišu domeni koji zaklapajunajmanje uglove sa pravcem polja, usled čega se povećava njihova zapremina i proširuju granice naračun susednih domena. Ako se zatim stràno magnetsko polje isključi, dolazi do uspostavljanjaprvobitnog stanja, pa se tada za proces magnećenja kaže da je reverzibilan (videti sl. 6a). Međutim,u slučaju ako se i dalje nastavi sa povećanjem intenziteta strànog polja H dolazi do ireverzibilnogpovećavanja granica domena i njihove relativno nagle rotacije u pravcu polja. Taj proces ne tečekontinualno, većse odvija u malim skokovima. Izdvojeni detalj na krivoj J(H) (sl. 6a) pokazuje da


je u delovima 1-2 i 3-4 povećanje intenziteta magnetske polarizacije reverzibilno, dok je u delu 2-3ono vrlo naglo i ireverzibilno. Takva skokovita promena magnetske polarizacije J i indukcije B uferomagnetskim materijalima zove se Barkhauzenov efekat. On se može registrovati jednostavnomaparaturom prikazanom na sl. 6b. Kada se permanentni magnet prinese solenoidu, usled Barkhauze-novog efekta magnetska indukcija u gvozdenoj šipki naglo se menja, a time i magnetski fluks kroznavojke ravnomerno i gusto motanog solenoida (broj navojaka je vrlo veliki). Usled promene fluksau namotaju se indukuju kratkotrajne (impulsne) elektromotorne sile koje u kolu generišu strujne im-pulse. Ovi se prvo pojačavaju, a zatim registruju u obliku šuma u zvučniku. Ako se i dalje nastavi sapovećanjem strànog magnetskog polja, u jednom trenutku dolazi do magnetskog zasićenja materija-la (M=Ms=C st). Tada su svi magnetski momenti orijentisani u smeru strànog polja, nema više nikak-vih skokovitih promena, a reverzibilno zaokretanje domena odvija se postepeno sa promenom polja(sl. 6a). Magnetska indukcija u feromagnetiku sa zasićenjem je B=0H+Js=0(H+Ms). U slučajukada je H Ms imamo da je B 0H, pa se intenzitet magnetske indukcije jako sporo i približnolinearno povećava sa porastom polja H.

U svim feromagneticima postoji neka vrsta trenja. Usled toga nastaju sledeće pojave: Zaokretanje domena uvek je praćeno pretvaranjem energije magnetskog polja u toplotu. Ovi

gubici zovu se histerezisni gubici. Promene magnetizacije uvek kasne za promenom strànog polja, koje tu magnetizaciju izaziva.

Takvo ponašanje zove se histerezisno ponašanje. Isključivanjem strànog polja domeni se više ne vraćaju u prvobitno stanje u kojem su bili hao-

tično orijentisani. Rezultat toga je da u feromagnetiku i dalje postoji magnetsko polje, uprkosčinjenici da je strano polje isključeno. Indukcija polja u feromagnetiku zove se remanentna(ili zaostala) indukcija i njome se objašnjava postojanje permanentnih (ili stalnih) magneta.Feromagnetski materijali najčešće se u praksi ne opisuju na prethodni način, većpomoću kri-

ve magnećenja B(H), koja se snima jednostavnom aparaturom prikazanom na sl. 7a. Uzorak fero-magnetika koji se ispituje obično je formiran u obliku tankog torusnog jezgra.

(a)A

ER

N R2 2,

N R1 1,

lS

BG

+

e, Q

I I,

0

1

2

35

46

7

Hm

H

B

Hm

(b)

1'

1''

Sl. 7

Namotaj feromagnetskog torusa permeabilnosti (H) sa N1 ravnomerno i gusto namotanihzavojaka ukupne termogene otpornosti R1 vezan je na red sa ampermetrom A i naponskim izvoromems E, čija se struja I reguliše promenljivim otpornikom R. Oko torusnog namotaja nalazi se drugigalvansko izolovani namotaj sa N2 zavojaka termogene otpornosti R2, povezan sa balističkim galva-nometrom BG, koji meri količinu elektriciteta proteklu kroz kolo. Torusno jezgro nije prethodno bi-lo magnećeno, dužina njegove srednje linije je l, a veličina poprečnog preseka je S (sl. 7a). Intenzi-tet magnetskog polja u tačkama na srednjoj liniji torusa prema generalisanom Amperovom zakonuje H=N1I/l. Ako se za vreme t struja namotaja (N1, R1) promeni za I, tada se intenzitet polja u to-


rusu promeni se za H=N1I/l, a kroz balistički galvanometar protekne količina elektriciteta Q==et/R2, gde je e indukovana ems u namotaju (N2, R2), e= -N2t, a priraštaj magnetskogfluksa kroz torus, odnosno kroz svaki njegov navojak. Pošto je torus tanak, to je fluks praktičnoravnomerno raspoređen po S, pa je priraštaj magnetske indukcije B=/S= -R2/(N2S)Q. Krivamagnećenja snima se polazeći od tačke (H, B)=(0, 0), tako što se struja I postepeno menja u određe-nim koracima I koji se mere ampermetrom A. U svakom od njih prvo se izračuna H=N1I/l, azatim se na osnovu Q izmerenog pomoću BG izračuna i B= -R2/(N2S)Q. Na taj način dolazise do diskretnog skupa tačaka na krivoj magnećenja. U slučaju kada je torusno jezgro prethodno većbilo namagnećeno, ono se mora razmagnetiti takošto se ponovo izvrši njegovo magnećenje pomoćujakog naizmeničnog polja, čija amplituda veoma postepeno opada do nule. Feromagnetik se, takođe,može razmagnetiti i jakim potresima i udarima.

Ako feromagnetik prethodno nije bio magnećen, tada se sa porastom jačine polja H, indukcijau torusu menja po krivoj 0-1 od 0 do prevojne tačke na toj krivoj (sl. 7b). Posle toga je porastfunkcije B(H) jako usporen jer potiče od člana 0H, a sama funkcija približava se pravoj vrlo ma-log nagiba prema H-osi. Materijal torusa tada ulazi u magnetsko zasićenje sa gustinom magnetskogmomenta Ms. Kriva 0-1 na sl. 7b zove se prvobitna kriva magnećenja i za nju se definiše početnamagnetska permeabilnost datog feromagnetika kao, a=dB/dH|H=0=tg(sl. 7b).

Ako jačina polja posle maksimalne vrednosti Hm počne da opada do nule, magnetska indukci-ja u torusu menja se po krivoj 1-2 (H 0) koja se nalazi iznad prvobitne krive magnećenja. Kadabude H=0 (tačka 1') u torusu ostaje prisutna izvesna remanentna, ili zaostala magnetska indukcijaBr. Njena pojava objašnjava se činjenicom da po prestanku dejstva spoljašnjeg polja magnetski mo-menti ne dospevaju u prvobitan haotičan poredak. Ta indukcija jednaka je zaostaloj magnetskoj po-larizaciji u materijalu. Promenom smera struje i njenim povećavanjem po veličini, magnetska in-dukcija nastavlja da se menja po krivoj 1-2 do tačke 1'' sa koordinatama (H, B)=(-Hc, 0), gde se Hc

0 zove koercitivno polje (ili koercitivna sila). Materijali sa velikim koercitivnim poljem zovu semagnetski tvrdi, a oni kod kojih je to polje malo zovu se magnetski meki materijali. Ako polje H idalje nastavi opada u negativnom smeru, tada se pri H= -Hm dolazi u tačku 2, gde je indukcija u to-rusu negativna i maksimalna po modulu. Pri sledećoj promeni jačine polja od –Hm do Hm indukcijase menja po krivoj 2-3 (tačka 3 leži malo ispod tačke 1). Pri narednoj promeni H od Hm do -Hm

indukcija se menja po krivoj 3-4 (tačka 4 leži malo ispod tačke 2), a zatim se indukcija menja: pokrivoj 4-5 (tačka 5 leži malo ispod tačke 3) pri promeni polja H od -Hm do Hm, po krivoj 5-6(tačka 6 leži malo ispod tačke 4) pri promeni polja H od Hm do -Hm, po krivoj 6-7 (tačka 7 ležimalo ispod tačke 5) pri promeni polja H od -Hm do Hm, itd. Ponavljajući tako ciklus magnećenjaviše puta, uočava se sve manja razlika između tačaka skupa 1, 3, 5, ...i tačaka skupa2, 4, 6, ....Većposle desetak ciklusa magnećenja kriva B=B(H) prelazi u zatvorenu simetričnu krivu CH (sl.8a), koja se zove ciklus histerezisa. Oblik te krive zavisi od vrste materijala i maksimalne jačinepolja Hm.

Krive magnećenja dobijene pri relativno sporim promenama polja H zovu se statičke krivemagnećenja. Međutim, u praksi su od velikog interesa baškrive magnećenja dobijene pri relativnobrzim, ali periodičnim, promenama polja H, a naročito kada su te promene prostoperiodične ("ciso-idne") sa frekvencijom f=50 Hz. Krive magnećenja koje se dobijaju u ovom poslednjem slučajuzovu se dinamičke krive magnećenja, a njihov oblik zavisi od vrste feromagnetika, maksimalne ja-čine magnetskog polja Hm i radne frekvencije f. Sa porastom f ciklusi histerezisa simetrično se šire,odnosno "debljaju" u pravcu H-ose. Ciklus histerezisa predstavlja možda najvažniju karakteristikuferomagnetskih materijala.

Na sl. 8b prikazani su ciklusi histerezisa koji odgovaraju različitim maksimalnim poljima Hm isvi oni su sličnog, mada ne potpuno istog oblika. Najvažniji od tih ciklusa je svakako onaj najveći(obično se za taj ciklus definišu Br i Hc), jer on reprezentuje stanje maksimalno mogućeg magnet-skog naprezanja koje se u datom feromagnetiku može ostvariti, s obzirom da feromagnetik tadaduboko ulazi u magnetsko zasićenje.


Isprekidana kriva linija na sl. 8b koja povezuje vrhove ciklusa histerezisa zove se osnovna ilinormalna kriva magnećenja i obično se navodi kao karakteristika magnećenja materijala. Ta krivase razlikuje od prvobitne krive magnećenja, ali je ta razlika u praksi obično zanemarljiva.

Pri malim vrednostima Hm i periodičnom magnećenju histerezisna petlja veoma liči na vrlomalu elipsu, koja se zove Rejlijeva histerezisna petlja. Tada se stanje u feromagnetiku može smatra-ti kvazilinearnim. Ako je uz to joši magnećenje prostoperiodično, jačina polja će se menjati po za-konu H= 2 Heffcis(2ft+), a indukcija po zakonu B= 2 Beffcis(2ft+). Kada se redom pređe nakompleksne predstavnike tih veličina, H=Heffeji B=Beffe j(j= 1 ), onda se može definisati ikompleksna permeabilnost feromagnetika kao =B/H=(Beff/Heff)e j(=e-j(-=re-j(sezove ugao gubitaka feromagnetika).

U praksi je čest i slučaj da se magnetsko polje menja perodično u vremenu, a da se te promenesuperponiraju sa vremenski konstantnom komponentom polja (to se sreće npr. kod prigušnica sapredmagnećenjem). U ovom slučaju ciklusi histerezisa su nesimetrični.

Br

Hm

B

H

Hm

(a)

0Hc

CH

Remanentna indukcijajednaka je zaostaloj

magnetskoj polarizaciji

(b)

B

H0

Osnovna ilinormalna krivamagne}enja

Hc

Br

Magnetsko zasi}enje

Sl. 8

Sada ćemo dati nekoliko različitih definicija permeabilnosti feromagnetskih materijala podes-nih za njihovo različito opisivanje u zavisnosti od uslova primene. Magnetsku permeabilnost kodferomagnetika očigledno da nije moguće jednoznačno definisati kao odnos B i H, pošto je BH==fHnelinearna i višeznačna funkcija polja H. U tu svhu se koristi normalna kriva magnećenja (sl.8b), pomoću koje se definiše normalna permeabilnost materijala n kao odnos B/H dužte krive (sl.9a). Jasno je da je n=f1(H) kao i da je početna permeabilnost a=limH0 (dB/dH)=f1(0). Maksimal-na permeabilnost max dobija se pri magnetskom polju H koje odgovara onoj tački na normalnojkrivoj magnećenja u kojoj prava povučena iz koordinatnog početka dodiruje tu krivu (sl. 9b). Odsvih vrsta permeabilnosti koje se mogu definisati, normalna permeabilnost najpodesnija je za opisi-vanje feromagnetskih materijala, jer se ti materijali najčešće koriste u uslovima prostoperiodičnepromene polja H.

Diferencijalna permeabilnost d=f2(H) definiše se kao odnos dB/dH dužnormalne krivemagnećenja (sl. 9a). Očigledno da je d(H=0)=limH0 (dB/dH)=a.

U mnogim praktičnim primenama često se sreće slučaj da je malo prostoperiodično magnet-sko polje superponirano na vremenski konstantno jako polje. U tom slučaju nastaje mali, vrlo pljos-nati ciklus histerezisa oko tačke X (sl. 9c) za koji se može definisati inkrementalna permeabilnostferomagnetika kao inkr=B/H.

Ako se prilikom snimanja krive magnećenja jačina polja smanji za mali iznos H, a zatim seponovo vrati na prvobitnu vrednost (sl. 9d) indukcija se menja po krivoj koja nije potpuno zatvore-


na, ali višekratnim ponavljanjem tog procesa ona postaje takva. Tako dobijeni unutrašnji ciklusihisterezisa mogu se aproksimirati vrlo malim elipsama sa glavnim osama nagiba tgkoji približnoodgovara nagibu tangente na veliki ciklus histerezisa u tački remanentne indukcije Br. Magnetskapermeabilnost definisana kao rev=tg=dB/dH|H=0, B=Br zove se reverzibilna magnetska permeabil-nost i ona se pored normalne permeabilnosti n često koristi u projektovanju magnetskih kola.

B

H

O

H

O

Osnovna ili normalnakriva magne}enja

n

max

a

inkr

BH

rev tgdd

r

BH H B B0,

(a)

(b)

(c)

(d)

O

O

B

B

H

H

H

B

Mali ili unutra{njiciklusi histerezisa

Br

X

Sl. 9

4. Magnetska kola

Feromagnetski materijali najčešće se koriste za izradu jezgara električnih mašina i uređaja(električnih generatora, motora, transformatora, elektromagneta, elektromagnetskih relea i slično).Ta jezgra su obično vrlo različitog oblika, mogu imati uske vazdušne procepe i barem na jednomsvom delu nose izolovan strujni namotaj. Magnetski fluks skoro u potpunosti je kanalisan feromag-netskim jezgrom, slično kao što je električna struja kanalisana električnim provodnicima. Samo ma-li deo ukupnog fluksa koji izlazi iz feromagnetika (a obrazuju ga linije indukcije koje napuštaju tajferomagnetik), zove se rasipni magnetski fluks. Njegova maksimalna vrednost obično iznosi 1015% ukupnog magnetskog fluksa i u prvoj aproksimaciji može se zanemariti. Glavni magnetski fluksjednak je razlici ukupnog i rasipnog magnetskog fluksa. Kod magnetskih kola ti fluksevi ne moguse odrediti tačno, većsamo približno: tačnost je veća kod tankih nego kod debelih magnetskih kola,a samo u jako malom broju slučajeva ti fluksevi mogu se odrediti teorijski bez greške. U daljem raz-matranju usvojićemo da se uticaj rasipnog magnetskog fluksa može zanemariti. Sada prvo dajemodefiniciju magnetskog kola.

Magnetsko kolo u širem smislu je skup tela i sredina kroz koje se zatvaraju linije magnetskeindukcije, odnosno kroz koje se zatvara magnetski fluks.Magnetsko kolo u užem smislu predstavlja sistem u kome se pomoću feromagnetskih materija-la unapred kanališe magnetski fluks određenimželjenim putem.Magnetsko kolo može biti prosto, ako ima samo jednu granu i jedan fluks; a može biti i slože-no ili razgranato, ako ima više grana sa odgovarajućim fluksevima.


Pod analizom prostog (ili nerazgranatog) magnetskog kola podrazumeva se određivanje nje-govog magnetskog fluksa. Pod analizom složenog (ili razgranatog) magnetskog kola podrazu-meva se određivanje flukseva njegovih grana. Po analogiji sa električnim kolima i mrežamabilo bi logično da se razgranata magnetska kola zovu magnetskim mrežama, ali takav terminnije rasprostranjen, pa nije ni usvojen.Problemi analize prostih i/ili složenih magnetskih kola sa specificiranim geometrijskim karak-teristikama jezgara i osobinama materijala mogu se svrstati u jednu od sledeće dve klase:

Problemi I vrste - traže se brojevi zavojaka i struje namotaja u slučaju kada je poznat flukskola (ili fluksevi grana)

Problemi II vrste - traži se fluks kola (ili fluksevi grana) u slučaju kada su poznate karakte-ristike namotaja (tj. struje i brojevi zavojaka pojedinih namotaja)

Feromagnetski materijali nisu linearni i ne mogu se jednoznačno okarakterisati određenomnormalnom magnetskom permeabilnošću n, s obzirom da ova zavisi od intenziteta magnetizacio-nog polja H. Međutim, zbog jednostavnijeg proračuna u praksi se ponekad uvodi aproksimacija daje magnetsko kolo približno linearno i da se može okarakterisati nekom srednjom magnetskom per-meabilnošću r 1. Takav pristup posebno je pogodan za analizu tankih magnetskih kola sa ma-lom jačinom polja u granama, pa se može usvojiti da je vrlo približno B aH. Nažalost, kod tač-nijih proračuna moraju se uzeti u obzir debljina kola i nelinearnost feromagnetika, što jako kompli-kuje analizu koja formalno podseća na analizu nelinearnih električnih mreža. Električne mreže seobično nalaze u sredini sa 1018puta manjom električnom provodnošću od provodnosti granamreže, tako da se uticaj rasipnih struja može zanemariti i analiza sprovesti sa velikom tačnošću. Na-žalost, nelinearna magnetska kola obično su u vazduhu kao sredini sa magnetskom permeabilnošćusàmo 102 puta manjom od permeabilnosti kola, tako da rasipni fluks ima uticaj na tačnost ana-lize. Analiza ovakvih kola ne može se sprovesti sa greškom manjom od 510 %. U daljem tekstuusvojićemo nekoliko sledećih pretpostavki:(1) Da se kod magnetskih kola rasipanje može zanemariti.(2) Da su tâ kola tanka u odnosu na svoju dužinu (ili dužinu grana), pa je po njihovom popreč-

nom preseku magnetski fluks ravnomerno raspodeljen, a vektori magnetske indukcije i jačinepolja konstantni i normalni na taj presek (ovo je uslov kvazilineičnosti magnetskih kola).Zbog nelinearnosti feromagnetskih materijala kod magnetskih kola je, pored aproksimativnih

pretpostavki (1) i (2), potrebno usvojiti joši sledeće:(3) Da su poznate krive magnećenja materijala kola. Pod krivom magnećenja podrazumeva se, ili

prvobitna, ili normalna kriva magnećenja, između kojih praktično ne postoji značajna razlika.

(a) Omov zakon za prosto magnetsko kolo. Kirhofovi zakoni za razgranata magnetska kola

Posmatrajmo prosto i tanko magnetsko kolo na sl. 10a koje se nalazi u vazduhu. Neke od nje-govih sekcija imaju strujne namotaje, dok ih druge nemaju pa se za takav sistem namotaja kažeda je asimetričan. Usled toga će i magnetsko rasipanje kod ovog kola biti nešto veće nego u slučajukada postoji samo jedan strujni namotaj, ravnomerno i gusto namotan na jezgro. Pretpostavimo, kaoi obično, da je magnetska permeabilnost materijala svake od sekcija znatno veća od permeabilnostiokolnog vazduha. Zbog toga se rasipni fluks u prvoj aproksimaciji može zanemariti, te se možepretpostaviti da linije magnetske indukcije ne napuštaju jezgro kola. To obezbeđuje da je prethodnonavedeni uslov (1) zadovoljen. Pretpostavimo i da su preostali uslovi (2) i (3) zadovoljeni. Posma-trajmo sada u jezgru magnetskog kola zamišljenu srednju liniju (kontura C), koja je orijentisanaproizvoljno i čiji su segmenti normalni na odgovarajuće poprečne preseke. Ti preseci su orijentisaniu smeru vezanom po pravilu desne zavojnice sa orijentacijom konture C. Orijentacija konture C


predstavlja algebarski ili referentni smer u kome se računa magnetski fluks kola, a ona ujednoodređuje i smer cirkulacije vektora H po toj konturi kod primene generalisanog Amperovog zako-na. Simbol praćen znakom "+" pokraj njega određuje obračunski smer za sabiranje struja kodprimene Amperovog zakona. Neka je li srednja dužina, a Si konstantna površina poprečnog presekai-te sekcije kola ( )i n1, .

N I1 1,N I2 2,

N Ij j,

N In n,

N I3 3, Sk

C

(a)

Sekcije1, ... n

1

2

3j k

n

0

" "

k

lk

(b)

N I1 1,

N I2 2,

C

1

2

3

4

5

6

A

DF

G

1

2

3

4

5

6

" "

0

Sl. 10

S obzirom da je u svakoj tački i-te sekcije Bi=iHi i da je magnetski fluks kroz svaki njenpoprečni preseki BiSi ( )i n1, , pri čemu je 1 n :=0, tada je:

H l H l

z z z z z d d d d di i

i=1

n

i ii=1

ni

ii

i=1

ni i

i ii

i =1

ni

i ii=1

n

i i i iC l l l l

H lB

lB S

Sl

lS

0 ,

gde 0 predstavlja magnetski fluks kroz poprečni presek kola, ili fluks po jednom navojku.Sa druge strane, na osnovu generalisanog Amperovog zakona važi sledeće:

n

k k 1 1 2 2 3 3 j j n nk=1

d videti sl. 10a- -C

N I N I N I N I ... N I ... N I H l

n ni m

k k 0 0k=1 i=1 i i m

dC

Kap Hopkinsonov zakon, iliOmov z

l FN I

S R akon za magnetsko kolo

H l ,

gde je u opštem slučaju:

F N I Magnetomotorna ili magnetopobudna sila magnetskog kolam k kk =1

n

: [A] ,

imi

i i

: ( 1 ) 1 H -l

R i ,n / Magnetska otpornost ili reluk tan sa i te sekcije kolaS

, (*)

n ni

m mii=1 i=1 i i

: [1/H]l

R R Ukupna magnetska otpornost ili reluk tan sa prostog kolaS

.


Ukupna magnetska otpornost prostog magnetskog kola jednaka je zbiru magnetskih otpornosti sek-cija. U zavisnosti od broja zavojaka, načina namotavanja, smerova i intenziteta struja u namotajima,magnetomotorna sila Fm i fluks kola 0 mogu biti pozitivni, negativni ili nula. Sledstveno tome,takvi su i algebarski intenziteti magnetske indukcije Bi i jačine magnetskog polja Hi ( )i n1, , res-pektivno, koji se računaju u odnosu na usvojenu orijentaciju konture C. Magnetomotorna sila Fm,takođe se određuje prema orijentaciji konture C: u slučaju kada su orijentacije te konture i k-tognamotaja vezane po pravilu desne zavojnice, proizvod NkIk ( )k n1, unosi se u sumu za Fm (*) sapredznakom "+", dok u suprotnom unosi se sa predznakom "-". Veličina i=1/Rmi ( )i n1, Hzovese magnetska provodnost ili permeansa i-te sekcije, a =1/Rm=1/(1/1)+(1/2)+ ... +(1/n)mag-netska provodnost ili permensa čitavog magnetskog kola.

Ovde se mora primetiti sledeće. Pošto su sekcije kola od feromagnetskog materijala, tada je zasvaku od njih i=fi(Hi) ( )i n1, , pa se odatle korišćenjem odgovarajućih krivih magnećenja materi-jala mogu konstruisati funkcije i=fi*(Bi) i i=fi**(0) ( )i n1, . Tada se iz Omovog zakona za mag-netsko kolo (*) dalje neposredno dobija:

0

FR

N I

lS

N I

lf S

m

m

k kk=1

n

i

i ii=1

n

k kk=1

n

i

i**

0 ii =1

n 0

( )

: ( )

,

što znači da se magnetski fluks u tankim feromagnetskim kolima bez rasipanja praktično mora odre-diti grafoanalitički, odnosno numeričko-grafičkim rešavanjem nelinearne jednačine 0=(0).

Posmatrajmo sada tanko i razgranato (složeno) magnetsko kolo sa četiri "čvora" A, D, F i G išest proizvoljno orijentisanih "grana" 16 (sl. 10b). Orijentacije grana ujedno predstavljaju i alge-barske smerove u odnosu na koje se računaju fluksevi 16 i algebarski intenziteti magnetskihpolja H1H6 i magnetskih indukcija B1B6 grana. U odnosu na te smerove pomenute veličine mogubiti pozitivne, negativne ili nula. "Čvor" magnetskog kola je područje u kojem se stiču najmanje tri"grane" kola. Za čvorove A, D, F i G može se na osnovu zakona o konzervaciji magnetskog fluksanapisati sledeće:

B S B S

B S B S

z zz z

d d

d d

A D

F G

0 0

0 0

,

,(u opštem slučaju) grana

Za bilokoji ~vor

0 .

Jednačina oblika grana=0, koja se može napisati za svaki čvor bilo kojeg magnetskog kola, zovese prvi Kirhofov zakon za magnetska kola (IKZM). Taj zakon važi kako za linearna, tako i za ne-linearna magnetska kola. Slično kao kod električnih mreža sa vremenski konstantnim i sporo pro-menljivim strujama, tako je i za magnetsko kolo sa nččvorova moguće napisati tačno nč-1 linearnonezavisnih jednačina po IKZM za proizvoljno odabrani skup od nč-1 čvorova. Za jedini preostaličvor, jednačina po IKZM dobija se sabiranjem svih prethodnih jednačina. Prema generalisanom Am-perovom zakonu za svaku konturu linearnog ili nelinearnog magnetskog kola (na primer, za konturuC šrafiranu na sl. 10b), moguće je napisati sledeće:

k k 1 1 2 2( ) Po strujama svih namotaja koji

se zahvataju sa konturom

d videti sl. 10bkC

C

N I N I N I H l


U prethodnoj sumi: (1) strujni obuhvat NkIk uzima se sa predznakom "+" kada je smer struje Ik istikao i obračunski smer za sabiranje struja "" i (2) NkIk se uzima sa predznakom "-" kada je smerstruje Ik suprotan od obračunskog smera "" (videti sl. 10b). Pretpostavimo da j-ta grana ima sred-nju dužinu lj, konstantan poprečni presek Sj (kada to nije slučaj grana se dekomponuje u delovekonstantnog poprečnog preseka) i normalnu magnetsku permeabilnost j=fj(Hj)=fj*(Bj)=fj**(j). Ka-ko je magnetsko kolo tanko i bez rasipanja, može se smatrati da su u svakoj njegovoj grani i sva-kom poprečnom preseku vektori H i B normalni na taj presek. Odatle sledi:

j j j j k kd d

C CC

H l , H l N I

H l H lDu` konture Du` kontureDu` j- te Du` konture

grane( j)

,

gde se proizvod Hjlj uzima sa predznakom "+" kada se orijentacije j-te grane i konture C poklapaju,a sa predznakom "-" kada su te orijentacije suprotne. U prethodnoj relaciji proizvod Fmk=NkIk uzi-ma se sa predznakom "+" kada su orijentacije k-tog namotaja i konture C vezani po pravilu desnezavojnice, dok se u suprotnom Fmk uzima sa predznakom "-". U tom smislu FmC=Fmk |Dužkonture Cpredstavlja ekvivalentnu, ili ukupnu, magnetomotornu silu (mms), odnosno magnetopobudnu silu(mps) koja deluje u konturi C. Relacija oblika:

H l N I F F

C C C

Cj j k k mk mC mmskonture

Du` konture Du` konture Du` konture

,

zove se drugi Kirhofov zakon za magnetska kola (IIKZM) sa vremenski konstantnim i/ili vremenskisporo promenljivim strujama. Pošto je magnetska otpornost j-te grane, Rmj=lj/(jSj)=lj/fj(Hj)Sj==lj/fj*(Bj)Sj=lj/fj

**(j)Sj, a kako je njen magnetski fluks j=BjSj, tada se na osnovu prethodnogIIKZM može napisati u alternativnom obliku:

H lB l B S l

SR F

C C C C

Cj jj j

j

j j j

j jmj j mC mms

kontureDu` konture Du` konture Du` konture Du` konture

, odnosno

R F Alternativni oblikC

Cmj j mC mmskonture

IIKZMDu` konture

.

Proizvod Rmjj uzima se sa predznakom "+" ako se orijentacije j-te grane i konture C poklapaju, asa predznakom "-" ako su te orijentacije suprotne. Normalne magnetske permeabilnosti grana (j)koje figurišu u prethodnoj relaciji mogu se odrediti pomoću odgovarajućih krivih magnećenja mate-rijala Bj(Hj). Međutim, pokazuje se da je umesto tih permeabilnosti daleko korisnije raspolagati safunkcijama oblika j=BjSj=j(Umj), koje se dobijaju množenjem ordinata krivih magnećenja Bj sapovršinama preseka grana Sj, a apscisa Hj tih krivih sa srednjim dužinama grana lj. Algebarska veli-čina Umj =Hjlj koja se na taj način dobija zove se magnetski napon grane i on ima smer formalnopridružen usvojenoj orijentaciji grane. Sistem jednačina koji predstavlja alternativan oblik IIKZMformalno je linearan, a u suštini nelinearan, zbog nelinearne zavisnosti između permeabilnosti i ja-čine magnetskog polja kod feromagnetskih materijala, odnosno zbog takve zavisnosti između fluk-seva i magnetskih napona grana. Zbog toga analiza prostih i složenih feromagnetskih kola ima dostasličnosti sa analizom nelinearnih električnih kola i mreža.

U praksi, grane magnetskih kola vrlo retko su tanke, pa je njihova dužina obično uporediva sa


dimenzijama poprečnog preseka, te se zato te grane moraju smatrati "debelim". Nažalost, tačna ana-liza debelih magnetskih kola za sada ne postoji, ali se, ipak, u tu svrhu koristi određen aproksima-tivni postupak pomoću kojeg se dolazi do rezultata sa zadovoljavajućom tačnošću. Osnovna pretpo-stavka koja se u tom postupku usvaja jeste da se magnetska otpornost grane ili prostog magnetskogkola može definisati kao Rm=ls/(sS), gde je: (1) ls-srednja dužina, (2) S-površina poprečnog prese-ka i (3) s-magnetska permeabilnost grane ili prostog kola u tačkama na njihovoj srednjoj liniji (sl.11a). Kada se određuje dužina ls potrebno je obratiti pažnju da se pored linijskih segmenata b, d, f ih, mora uzeti u obzir i određeni broj kružnih lučnih segmenata a, c, e i g (sl. 11a). Tako, npr. za pro-sto magnetsko kolo na sl. 11a srednja dužina grane "1" je ls1=a+b+c+d+h, a grane "2" je ls2=e+f+g.Veličina greški koje nastaju pri prethodno učinjenim aproksimacijama vrlo grubo se može procenitina primeru prostog magnetskog kola u obliku torusa pravougaonog poprečnog preseka (sl. 11b) sahomogenim feromagnetskim jezgrom poznate karakteristike magnećenja, na koji je ravnomerno igusto namotano N zavojaka sa strujom I. Prema generalisanom Amperovom zakonu, magnetsko po-lje H u torusu određeno je relacijom:

H H x N Ix

x a H x a b

( ) [ ] [0 ) ( )2

0

, ,b , , ,l q .

Kako je u datom slučaju torusno jezgro feromagnetsko, to je B=H=f(H)H:=F(x), gde se prekofunkcije F(x), prethodne relacije i krive magnećenja, jednoznačno definiše dvostruko preslikavanjex HB za x a, b. Fluks kroz poprečni presek torusa 0 i njegova magnetska otpornost Rmdati su sledećim izrazima:

0

02 2

FHG IKJ

z z z

H h x fN I

xN I

xh x F x h x R

N I

a

b

a

b

a

b

d d ( ) d , m .

Međutim, ako se uvede jednostavna i gruba aproksimacija da je permeabilnost svih tačaka utorusu približno jednaka permeabilnosti s dužnjegove srednje linije ls, dobija se:

s s ss s s 0

s

, , d ln( ) 2 2

b

a

B N I N I hN I bH B h x

a b H x a Preko krive

magne}enja

,

RN I

h ba

m

s ln

FHG IKJ0

2

. (#)

Uvedimo sada jošgrublji metod određivanja magnetske otpornosti torusa, tako što ćemo pret-postaviti da se ova može izračunati prema sledećem jednostavnom aproksimativnom obrascu:

Rl

Sb a

h b amas

s s

( )( )

. (&)

Relativna greška aproksimacije koja se ovim putem čini, u odnosu na Rm dobijeno prema (#) je:

RR

R RR

b ab a

ba

g b am

m

ma m

m ( )ln ( )

FHG IKJ /

//1

2 11 .


Sa grafika funcije g(b/a) prikazane na sl. 12 u opsegu b/a 1, 3.2vidi se da aproksimacija(&) daje dobre rezultate u pogledu veličine greške,čak i kod vrlo debelih torusa.

I

N

a

b

cd

e

f

gh

l2s

l1s

1 1,S

2 2,S

(a)

Grana 1Grana 2

I

h

N

ab

f H( )

(b)Sl. 11

Sl. 12

Iz prethodnih razmatranja zaključujemo da se magnetska otpornost grane i/ili prostog magnet-skog kola može odrediti, čak i u opštem slučaju sa malom greškom, koristeći relaciju Rm=ls/(sS),koja npr. i kod vrlo debelih torusa (b/a=3) daje procentualnu grešku manju od 10 % (videti sl. 12).Srećom, čak i kod mnoštva drugih debelih magnetskih kola koja se sreću u paksi, pristup zasnovanna primeni aproksimativne relacije Rm=ls/(sS), uglavnom daje dovoljno dobre rezultate u pogleduveličine učinjene greške.

Poseban slučaj predstavljaju magnetska kola sa vazdušnim procepima, koja se najčešće srećuu praksi (električni motori i generatori, elektromagneti, relea). Posmatrajmo magnetsko kolo na sl.13a sa vazdušnim procepom širine l0 u kome je jačina magnetskog polja H0, a indukcija B0=0H0.U feromagnetiku je jačina magnetskog polja H, a indukcija B=H=f(H)H. Prema Omovom zakonuza magnetska kola, fluks kola na sl. 13a je:


m

0m m0

0m0

0 0

reluktansa feromagnetskih delova kola,( )

gde je:

reluktansa vazdušnog procepa,

lR

f H SN I ,

R Rl

RS

a S0 efektivna površina preseka vazdušnog procepa. U samom procepu magnetsko polje približno jehomogeno, a u blizini ivice procepa ono je zbog rasipnog magnetskog fluksa nehomogeno. Zbog to-ga je efektivna površina preseka vazdušnog procepa S0 uvek nešto veća od površine preseka S fero-magnetskih delova kola (tj. S0 S), a izraz za Rm0 utoliko je tačniji ukoliko je l0 manje u odnosu nadimenzije poprečnog preseka procepa. Kako je =f(H) 0, to je za razumne vrednosti l, l0, S i S0

reluktansa feromagnetskog dela kola Rm obično zanemarljiva u odnosu na Rm0 (tj. Rm Rm0), pa je:

00

00

0

N IR

N I Slm

.

Iz poslednje relacije vidi se da je veoma važno da se što jednostavnije obezbedi što bolja pro-cena efektivne površine vazdušnog procepa S0. Za magnetska kola konstantne debljine i presekanajčešće korišćenog oblika (kružni, pravougaoni i kvadratni), na sl. 13b i 13c dati su izrazi premakojima se određuje S0, a na sl. 13d i 13e izrazi za izračunavanje S0 u slučaju kada se debljine fero-magnetskih delova kola jako razlikuju.

S0

S

0

l0

l

N

I

ab

l0

D

l0

S a l b l0 0 0 ( ) ( ) S D l0 0 4 ( )2 /

(a) (b) (c)

C

ab

l0

S a l b l0 0 02 2 ( ) ( )

(d)

D

l0

S D l0 02 4 ( )2 /

(e)

Sl. 13

Documents

Elektromagnetizam 3.pdf