Elektromagnetizam 1.pdf

PREDAVANJE 8 (PROF. D. KANDIĆ, MAŠINSKI FAKULTET-BEOGRAD) 1

ELEKTROMAGNETIZAM

1. Uvod

Magnetske pojave u svom najosnovnijem vidu bile su poznate jošu antičkoj Grčkoj, kada jezapaženo da komadi gvozdene rude magnetita (Fe3O4) privlače sitnije komadiće gvožđa. Mehaničkesile usled kojih nastaje to privlačenje nazvane su magnetskim silama, verovatno po maloazijskomgradu Magneziji (današnja Maniza), u čijoj su blizini bila nalazišta te rude. Komadi magnetita pred-stavljaju prirodne magnete, a pojave praćene magnetskim silama zovu se magnetske pojave. Kasni-je je primećeno da kada se predmeti od gvožđa nađu u blizini prirodnih magneta i sami postajumagneti, pošto se spontano namagnetišu. Tako dobijeni magneti zovu se veštački magneti. I kodprirodnih i kod veštačkih magneta postoje dve zone u čijoj blizini je najizraženije dejstvo magnet-skih sila.Te zone zovu se polovi magneta. Osobinu privlačenja magneti ne ispoljavaju samo premagvožđu i njegovim legurama, veći prema kobaltu i niklu. Magnet u obliku tanke horizontalno po-stavljene šipke ili igle obešene o tanku nit tako da se može obrtati oko vertikalne ose, uvek zauzimapravac sever-jug. Pol magneta okrenut ka severu zove se severni (N) (N "North"), a pol okrenutka jugu, zove se južni pol magneta (S) (S "South"). Interesantno da je sve do Viljema Džilbertameđu istraživačima vladalo uverenje da se magnetska igla postavlja u pravcu sever-jug pod utica-jem zvezde Severnjače, a ne prirodnog magnetskog polja Zemlje. Sličnost međusobnog mehaničkogdejstva naelektrisanja i magnetskih polova dala je povod za istovetan pristup u analizi električnih imagnetskih pojava. Usled toga je stvorena predstava o magnetskoj masi kao specifičnom fizičkomagensu raspoređenom na krajevima magneta, koji je smatran uzročnikom magnetskih dejstava.Takođe, konvencionalno je usvojeno i da je magnetska masa oko severnog pola pozitivna, a onaoko južnog negativna.U to vreme nije se jošnaslućivalo postojanje dublje veza između električnih imagnetskih pojava.

Činjenica da se raznoimeni polovi magneta privlače, a istoimeni odbijaju navela je istraživačena pokušaj da sečenjem magneta razdvoje magnetske polove, kao što se, recimo, odgovarajućim po-stupcima mogu razdvojiti raznorodna naelektrisanja. Međutim, rezultati svih tih pokušaja pokazalisu da se sečenjem magneta uvek dobijaju magneti sa oba pola. Ta činjenica, kao i osobina magnetada deluju samo na pokretna naelektrisanja, utemeljila je do početka 19. veka stav da između elek-tričnih i magnetskih pojava ne postoji veza. I pored toga, nauka o magnetizmu se dugo oslanjala navećstečena znanja o električnim pojavama. Prvi kvantitativan zaključak o delovanju magnetskih si-la izveo je Kulon 1785. godine, iste godine kada je otkrio i zakon o međusobnom dejstvu naelektri-sanih tela. Eksperimentišući sa dva dugačka magneta u obliku štapa i pretpostavljajući da su polovimagneta locirani na krajevima tih štapova, on je došao do zaključka da je intenzitet magnetske sileobrnuto proporcionalan kvadratu rastojanja između polova, a direktno proizvodu "magnetskih ma-sa" polova, koje mogu biti istog ili različitog znaka. Nažalost, u prirodi nije dokazano postojanjeizolovanih magnetskih polova (tj. magnetskih masa), tako da je uspešna analogija između električ-nih i magnetskih pojava bila propraćena i nizom fizički neutemeljenih definicija i pojmova.

Možda je najvažnije otkriće u istoriji magnetizma učinio 1820. godine danski fizičar HansKristijan Ersted (1777-1851). To otkriće opisano je udžbeniku (videti odeljak 3.4 poglavlja podnaslovom "ELEKTROKINETIKA" i videti fusnotu †na str. 271).

Ubrzo posle Erstedovog otkrića, niz sjajnih fizičara uspeo je da u vrlo kratkom roku otkrijeosnovne zakone magnetizma i njegovu blisku povezanost sa električnom strujom. Francuski fizičarAmper André Marie Ampère (1775-1836), fascinantnom intuicijom i izvanrednim eksperimentimapronašao je zakon o magnetskoj sili između dva strujna elementa (za definiciju strujnog elementa


videti str. 164 u udžbeniku, ili na str. 1 u PREDAVANJU 4) tj. zakon o sili međusobnog dejstva dvadelića kvazilineičnih strujnih provodnika u vakuumu. Taj zakon vrlo približno važi i kada se strujnielementi nalaze u vazduhu. Godine 1820. Amper je otkrio, ne samo postojanje elektromagnetskihsila između provodnika sa strujom, većje i dokazao sličnost u pogledu magnetskih osobina izmeđusolenoidnog namotaja sa vremenski konstantnom strujom i cilindričnog magnetskog štapa sličnihdimenzija. Takođe, pokazao je i da dva "solenoidna štapa" sa strujnim navojcima, međusobno uvekdeluju mehaničkim silama na sličan način kao i dva prâva magnetska štapa. Štaviše, Amper je poka-zao i da se svaki slobodno obešen strujni navojak (ili električna kontura), u magnetskom polju po-naša kao magnetska igla. Podstaknut tim zapažanjima (a ne poznajući atomsku teoriju), Amper jepostavio vrlo smelu hipotezu za to vreme o postojanju veoma malih -struja unutar stalnih, odnosnopermanentnih magneta, koje je označio kao prâve uzročnike svih magnetskih pojava. Istina, tada jebilo dosta poteškoća sa usvajanjem pomenute hipoteze, pošto ona nije na zadovoljavajući način ob-jasnila mehanizam permanentnog održavanja -struja bez utroška energije. U današnje vreme po-stojanje Amperovih -struja više se uopšte ne dovodi u pitanje, jer zna se da one potiču od orbital-nog kretanja i spina elektrona, kao i spina jezgra u atomima supstancije.

Amperovi zemljaci i savremenici Bio [Jean-Baptiste Biot (1774-1862)], Savar Félix Savart(1791-1841)i Laplas [Pierre-Simon Laplace (1749-1827)], formulisali su matematički izraz zamagnetsku indukciju kao vektorsku veličinu koja opisuje (definiše) magnetsko polje. Britanski fizi-čar i eksperimentator Majkl Faradej [Michael Faraday (1791-1867)] 1831. godine otkrio je zakonelektromagnetske indukcije (str. 8, PREDAVANJE 6) i pojavu da je vremenski promenljivo magnetskopolje uvek praćeno vremenski promenljivim električnim poljem. Profesor fizike sa Univerziteta uPetrogradu Lenc prvi je dao praktično pravilo za određivanje smera struje povezane sa elektromag-netskom indukcijom (videti Lencov zakon, ili Lencovo pravilo str. 11-12, PREDAVANJE 6).

Svi pomenuti briljantni istraživači nepobitno su dokazali postojanje veze između električnih imagnetskih pojava, ali je, ipak, tek atomska teorija omogućila da se shvate i mehanizmi te veze.Električno i magnetsko polje u tolikoj meri su međusobno povezani da se s pravom može govoriti ojedinstvenom elektromagnetskom polju, a elektrostatičko i vremenski konstantno magnetsko poljesamo su njegovi specijalni slučajevi.

Električne i magnetske pojave potiču od elementarnih naelektrisanih čestica. Jedina razlikaizmeđu njih je u tome što se električni efekti javljaju i dok čestice miruju, a magnetski samokada se one kreću u odnosu na posmatrača. Magnetske sile između permanentnih magneta surezultante sile koje nastaju usled međusobnog dejstva elementarnih, naelektrisanih česticakoje se kreću u atomima (elektroni). Dakle, kao jedini uzrok nastanka magnetskog polja možese označiti makro- i mikroskopsko kretanje naelektrisanja, uključujići spin elektrona u atomu.

Kulonova sila međusobnog dejstva dva mala naelektrisana metalna tela u miru može se di-rektno meriti pomoću torzione vage. Međutim, sila međusobnog dejstva dva mala pokretnanaelektrisana tela ne može se direktno izmeriti, većsamo posredno i to kod dobrih provod-nika. Naime, kod takvih provodnika za održavanje struje potrebno je relativno slabo električ-no polje, pa zbog toga na njihovim površima praktično nema ni električnog polja ni naelektri-sanja. Usled toga, sila međusobnog dejstva dva dobra strujna provodnika ima magnetski, ane električni karakter. Rezultantna magnetska sila u tom slučaju predstavlja makroskopskistatistički izraz međusobnih dejstava svih elementarnih naelektrisanja u kretanju.

Jednostavnim eksperimentom sa dva permanentna magneta može se uočiti njihovo međusob-no dejstvo na daljinu zbog postojanja magnetskog polja u fizičkom prostoru u kojem se magnetinalaze; može se, takođe, zapaziti i povećavanje intenziteta magnetske sile sa smanjivanjem rastoja-nja između magneta; pored toga, karakter magnetskih sila može biti i privlačan i odbojan, zavisnood međusobnog položaja magneta. Te sile su obično znatno većeg intenziteta od električnih i kaotakve sreću se kod galvanometara, instrumenata sa kretnim kalemovima i kod elektromotora.


Izučavanje magnetskih pojava počinje obično od magnetske sile između dva kvazilineična strujnaprovodnika u vakuumu, ili jošpreciznije, od elementarne magnetske sile između strujnih elemenatatih provodnika. Matematički izraz za elementarnu magnetsku silu kao vektor, znatno je složenijegoblika od Kulonovog zakona i on važi ne samo u vakuumu, većveoma približno i u drugim nefero-magnetskimi sredinama (to su sredine gde nema gvožđa, kobalta, nikla i njihovih legura).

Amperov zakon za magnetsku silu (koji je plod čiste intuicije), pandan je Kulonovom zakonu.Strujni element je pandan punktualnom naelektrisanju, a magnetski moment strujne konture je pan-dan električnom momentu dipola u vakuumu. Videli smo da se ponašanje supstancije u električnompolju može opisati preko mnoštva dipola u vakuumu, a ponašanje supstancije u magnetskom poljumože opisati skupom električnih -kontura u vakuumu okarakterisanih magnetskim momentima.Dakle, električna struja i magnetsko polje nerazdruživo su povezani.

2. Amperov zakon za magnetsku silu između strujnih elemenata u vakuumu

Posmatrajmo dve tanke (kvazilineične) strujne konture u vakuumu: C1 sa vremenski konstant-nom strujom I1 i C2 sa vremenski konstantnom strujom I2, koje se nalaze u proizvoljnom međusob-nom položaju prikazanom na sl. 1a.Naravno, za održavanje struja u tim konturama moraju biti pri-ključeni i električni izvori. Ako su električne otpornosti ovih kontura male, to će za održavanje stru-je u njima biti dovoljno malo električno polje, te na površima provodnika neće biti naelektrisanja.Usled toga će i sila kojom jedna strujna kontura deluje na drugu biti čisto magnetskog karaktera, aona se za bilo kakav oblik i i bilo koji međusobni položaj kontura uvek može izmeriti.

0C1

C2

r

I2I1

dl2

dl1

(a)

rdl2

dl1

r 2v1v

dQ2

dQ1

(b)

0

Sl. 1

Međutim, ako je potrebno izračunati magnetsku silu međusobnog dejstva dve strujne konture,primenjuje se diferencijalno-integralni metod: prvo se svaka kontura predstavi preko svojih nado-vezanih strujnih elemenata I1dl1 i I2dl2, zatim se odrede sve elementarne magnetske sile međusob-nog dejstva tih elemenata i konačno se izvrši vektorska integracija dobijenih elementarnih sila kakobi se odredila rezultantna magnetska sila međusobnog dejstva tih strujnih kontura. Pošto, nažalost,izolovani strujni elementi fizički ne postoje, to se ni elementarne magnetske sile ne mogu izmeriti.Umesto toga ide se sledećim putem: (a) na osnovu merenja makroskopskih sila za različite slučaje-ve strujnih kontura može se doći do ideje kako bi trebalo da izgleda izraz za silu između strujnihelemenata, (2) zatim se koristeći taj izraz u novim primerima izračunavaju rezultantne sile i (3) takodobijeni rezultati potom se eksperimentalno verifikuju. I tako, primenjujući korake (1)(3) utvrđenoje da se u svim slučajevima strujnih kontura u vakuumu dobija tačan izraz za rezultantnu makro-skopsku magnetsku silu ako se pretpostavi da su elementarne magnetske sile dF12 kojom strujni ele-ment I1dl1 deluje na element I2dl2 i dF21 kojom strujni element I2dl2 deluje na element I1dl1 slede-ćeg oblika:


d d (d ) d d (d ) ,F l l r F l l r r120 1 2 2 1

3 210 1 2 1 2

34 4

I Ir

I Ir

r | |, (*)

gde je 0=410-7 [N/A2] ili [H/m] ("H"-jedinica za induktivnost) tačna vrednost za magnetskupermeabilnost vakuuma (a veoma približno i vazduha), r–vektor položaja strujnog elementa I2dl2 uodnosu na strujni element I1dl1, a -r – vektor položaja strujnog elementa I1dl1 u odnosu na strujnielement I2dl2. Izraz (*) zove se Amperov zakon za magnetsku silu između strujnih elemenata u va-kuumu, uprkos tome što on ne zadovoljava zakon akcije i reakcije kao originalan izraz formulisanod strane sâmog Ampera s obzirom na to da je:

d dF F12 21 0 Zakon akcije i reakcije za strujne elementeb g

d (d ) -d (d )l l r l l r2 1 1 2 0

d (d ) - (d d ) - d (d ) (d d ) tj. , d (d ) -d (d ) , ilil l r r l l l l r r l l l l r l l r1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 0 0,

r l l (d d )1 2 0 Ekvivalentan oblik zakona akcije i reakcije za strujne elemente. (**)

U pogledu generisanja elementarne magnetske sile strujni element I1dl1=I1v1dt=dQ1v1 ekvivalen-tan je naelektrisanju dQ1=I1dt koje bi se u nekom trenutku našlo na istom mestu gde i taj element, abrzina naelektrisanja v1=dl1/dt tada bi imala pravac i smer elementa (sl. 1b). Ponavljamo da sestrujni elementi orijentišu uvek u referentnom smeru struje provodnika, bez obzira na njenu vre-mensku varijaciju. Pošto isto važi i za strujni element I2dl2, zaključujemo da se problem uzajamnogdejstva dva strujna elementa u suštini svodi na problem međusobnog dejstva dva naelektrisanja kojase kreću u odnosu na posmatrača. Drugim rečima, to je problem međusobnog dejstva tri tela: dvanaelektrisanja i vremenski promenljivog električnog polja sa njegovim inercijalnim svojstvima us-led konačne brzine prostiranja i promene gustine energije u različitim tačkama tog polja. Prema to-me, logično je i očekivati da u opštem slučaju za elementarnu silu međusobnog dejstva strujnih ele-menata ne važi zakon akcije i reakcije. Naravno, iz relacije (**) vidimo da u specijalnom slučajukada su posmatrani strujni elementi kolinearni, zakon akcije i reakcije važi.

Uloga Amperovog zakona u magnetizmu (*) ista je kao i uloga Kulonovog u elektrostatici.Pošto izolovani strujni elementi ne postoje, to se ni Amperov zakon ne može direktno proveriti, alise njegov intuitivno pretpostavljeni oblik može iskoristiti kao sredstvo da bi se došlo do rezultata omeđusobnom makroskopskom dejstvu dve strujne konture u vakuumu. Celokupno eksperimentalnoiskustvo pokazuje da magnetske sile međusobnog dejstva takvih kontura uvek zadovoljavaju zakonakcije i reakcije. Naravno, činjenica da taj zakon ne važi za fizički nepostojeće strujne elemente, nebi trebalo da čudi.

Sledeći primer pokazuje nam da se magnetske sile, a pogotovo one velikog intenziteta, moguznatno efikasnije generisati od Kulonovih istog intenziteta. Jer, u tim slučajevima elektrostatičkopolje u pojedinim tačkama, kao i u delovima prostora, obično postane toliko velikog intenziteta dajošpre pojave Kulonove sile željenog intenziteta nastupi električni proboj dielektrika.

Primer 1: Dva kolinearna "strujna ele-menta" 1 i 2 dužine 5 [cm] sa istimstrujama od po I=50 [A] nalaze u vazdu-hu na rastojanju a=1 [m] (sl. 2). Da li seista privlačna sila sa kojom ovi elementimeđusobno deluju može ostvariti i sa dvemetalne sfere poluprečnika R=0,5 [cm],koje se nalaze u vazduhu na rastojanju ai naelektrisane su raznoimenim količina-ma elektriciteta Q ?

0

a

I I

2R 2R

0Q -Q

F21 F12

1 2

Sl. 2


Kako su strujni elementi kolinearni i a , to je prema Amperovom zakonu (*) privlačnamagnetska sila između njih intenziteta, F=|F12|=|F21| [0/(4)](I/a)2=0,625 []. PrivlačnaKulonova sila istog intenziteta može se ostvariti sa dve metalne sfere u vazduhu, poluprečnika R (Ra) ako se ove raznorodno naelektrišu količinama elektriciteta Q sa modulom |Q|=a(40F)1/2 8,34 [nC] (010-9/36[F/m]). Tada će intenzitet električnog polja E0 u vazduhu na površima tihsfera biti približno jednak:

2 2

0 2 20 0

kV30

cm4 4| Q | | Q | a F a

ER | Q | RR a

,

što pokazuje da se privlačna sila F uopšte i ne može ostvariti pomoću ovih naelektrisanih sfera, jerelektrično polje u vazduhu na površima sfera prevazilazi električnu čvrstoću vazduha, zbog čega do-lazi do njegovog električnog proboja. Sa druge strane, udvostručavanjem intenziteta struje elemena-ta (I=100 [A]) i njihovim smeštanjem u sredinu magnetske permeabilnosti 40 , dobija se pri-vlačna magnetska sila između strujnih elemenata intenziteta od oko 25 [mN]. Usnopljavanjem pro-vodnika, a time i strujnih elemenata, intenzitet magnetske sile i dalje se može uvećavati. Iz prethod-nog zaključujemo da se promenom intenziteta struje i permeabilnosti sredine, u opštem slučaju mo-gu daleko lakše ostvariti magnetske sile određenog (pa i velikog) intenziteta, nego kada se koristeelektrostatički postupci. Zato se danas elektrostatičke (Kulonove) sile pretežno koriste kod elektron-ske merne instrumentacije, a magnetske kod analogne merne instrumentacije, u deflekcionim siste-mima katodnih cevi TV prijemnika i panel pokazivačima, kod elektromotora itd.

U narednom razmatranju zadržaćemo se i dalje na magnetskim poljima u vakuumu, a za strujeelektričnih kontura usvojićemo da su vremenski konstantne i/ili sporo promenljive. Rezultati koji sebudu dobili sa velikom tačnošću biće direktno primenjivi, ne samo za vakuum kao sredinu, većikod dijamagnetika i paramagnetika&). Međutim, kod feromagnetika ti rezultati neće biti primenjiviu direktnom obliku, pa će njihovo ponašanje u magnetskom polju morati da se posebno prouči.

3. Vektor magnetske indukcije. Bio-Savarov zakon i njegova primena

Strujni elementi u Amperovom zakonu za magnetsku silu (*) nalaze se u vakuumu. S obziromda ljudskom čulnom iskustvu i pojmanju nije prihvatljivo da može postojati bilo kakvo međusobnodejstvo strujnih elemenata bez "vidljivog" fizičkog posrednika, to se upravo magnetskom polju kaoobjektivnoj fizičkoj realnosti pridaje uloga tog posrednika u posmatranom dejstvu. Dakle, čak i uvakuumu kao fizički linearnoj sredini smatraćemo da elementarna magnetska sila dF12 nastaje usleddejstva magnetskog polja struje I1 linijskog elementa dl1 konture C1 na strujni element I2dl2; ada elementarna sila dF21 nastaje usled dejstva magnetskog polja struje I2 linijskog elementa dl2konture C2 na strujni element I1dl1. Na osnovu toga, a u cilju definisanja vektorske funkcije kojakarakterizuje magnetsko polje u vakuumu, relaciju (*) pogodno je napisati u sledećem obliku:

0 01 1 2 212 2 2 21 1 13 3

d d ( )d d d d .

4 4I I

I Ir r

l r l rF l F l (***)

&) Relativna magnetska permeabilnost dijamagnetika je r:=/0 1 ( manje, ali približno jednako). U takve sup-stancije spadaju, npr. Ag, Cu, Zn, Bi, grafit, voda itd. Relativna magnetska permeabilnost paramagnetika je r 1 ( veće, ali približno jednako). U takve supstancije spadaju, npr. Pt, Al, O2, vazduh itd. U feromagnetike spadaju Fe,Co i Ni zajedno sa svojim legurama, kao i dve retke zemlje: gadolinjum (Gd) i disprozijum (Dy) – koje nemaju primenuu savremenoj elektrotehnici. Uobičajeno je da se za dija- i paramagnetike kaže da su supstancije linearne u magnetskompogledu, a da su feromagnetici nelinearni u tom pogledu.


Iz prethodne relacije vidi se da elementarna magnetska sila dF12, koja deluje na strujni ele-ment I2dl2, zavisi samo od tog elementa i njegovog položaja u odnosu na strujni element I1dl1. Nasličan način i elementarna magnetska sila dF21, koja deluje na strujni element I1dl1, zavisi samo odtog elementa i njegovog položaja u odnosu na strujni element I2dl2. Na osnovu prethodnog mogućeje uvesti jedinstvenu vektorsku veličinu B koja karakteriše magnetsko polje i koja se zove vektormagnetske indukcije, a u literaturi joši vektor gustine magnetskog fluksa. Od 1956. godine jedinicaza jačinu, ili intenzitet B=|B| magnetske indukcije nosi naziv Tesla ([T]) po genijalnom pronalazačuNikoli Tesli (1856-1943).

Zamišljene orijentisane linije u magnetskom polju sa osobinom da je u svakoj njihovoj tačkipravac vektora B tangencijalan na liniju koja prolazi kroz tu tačku i koje su orijentisane naisti način kao i B, zovu se linije magnetske indukcije, ili linije magnetskog polja. Skup svih tihlinija obrazuje spektar ili sliku polja, a njegov intenzitet u nekoj tački srazmeran je (površin-skoj) gustini linija u toj tački. Pošto je vektor magnetske indukcije B jednoznačna vektorskafunkcija koordinata tačaka, to sledi da se linije magnetske indukcije ne mogu presecati.

Na osnovu relacije (***) (videti i sl. 1a) sada je moguće na sledeći način definisati vektoreelementarnih indukcija dB1 i dB2 magnetskih polja koje na mestima gde su locirani strujni elementiI1dl1 i I2dl2 stvaraju strujni elementi I2dl2 i I1dl1, respektivno:

0 02 2 1 11 2 12 2 2 2 21 1 1 13 3

d (- ) dd : , d : d d d , d d d

4 4I I

I Ir r

l r l r

B B F l B F l B .

rX

0dl

I dB

(a)

I

dl

X

0

C

r

(b)Sl. 3

Iz prethodne relacije sledi da se u opštem slučaju vektor elementarne indukcije dB magnetskog po-lja koje u bilo kojoj tački X (sl. 3a) stvara strujni element proizvoljne strujne konture C (sl. 3b) savremenski konstantnom ili sa sporopromenljivom strujom I, može odrediti iz sledeće relacije:

03

dd

4I

r

l rB ; 0

2

d sind d d (d )

4I l

B , l | |, ,r

l l r , (#)

odakle je jasno da je pravac vektora B u tački X normalan na ravan vektora r i dl. Veličina uglana sl. 3a označenog strelicom, nije algebarska, jer strelica označava sàmo da je smer vektora Bpovezan sa vektorima dl i r po pravilu desne zavojnice. To znači da je vektor B orijentisan u smerunapredovanja te zavojnice kada se ona okreće u smeru koji najkraćim putem dovodi do poklapanjavektora dl i r (tj. drugim rečima, kada se dl okreće u smeru orijentacije ugla ). U slučaju na sl. 3avektor elementarne indukcije dB usmeren je kao odlazeća strela ("") kada je I 0, a kao dolazeća("") kada je I 0. Zbog toga se za smer vektora dB određen na ovaj način kaže da je algebarski,što znači da je dB zaista orijentisano kao na sl. 3a kada je I 0, a u suprotnom smeru kada je I 0.

Izraz (#) za vektor magnetske indukcije dB strujnog elementa zove se Bio-Savarov zakon.


Magnetska indukcija B koju u tački X stvara strujna kontura C u vakuumu (sl. 3b) može seodrediti vektorskom integracijom indukcija pojedinih strujnih elemenata te konture:

o o0 03 2

d d sin(1 ) ( ); (2 )

4 4C C

I I lC B

r r

l rB ,

pri čemu su u slučaju (1o) oblik konture i položaj tačke X proizvoljni, dok su u slučaju (2o) kontura itačka u istoj ravni. U slučaju (2o) vektor rezultantne magnetske indukcije B u tački X je normalan naravan crteža (videti sl. 3b), a njegov algebarski intenzitet B računat u smeru ka crtežu (ili od njega),može imati pozitivan ili negativan predznak.

U praksi se red veličine intenziteta vektora magnetske indukcije kreće u vrlo širokim granica-ma. Horizontalna i vertikalna komponenta vektora indukcije prirodnog magnetskog polja Zemlje nateritoriji Srbije iznose Bh 20 [T] i Bv 35 [T], respektivno. Intenzitet magnetske indukcije uokolini strujnih provodnika u vazduhu kreće se od 1 [T] do 10 [mT], a u feromagnetskim jezgrimai vazdušnim procepima električnih mašina on je u opsegu 0,1-1 [T]. Najveći intenzitet magnetskeindukcije u današnje vreme ostvaren je pomoću elektromagneta i iznosi par desetina [T], a jošvećiintenziteti (30 [T]) mogu se realizovati sa tzv. superprovodnim magnetima.

Sada ćemo se baviti određivanjem raspodele indukcije B magnetskog polja u vakuumu, kojestvaraju kvazilineične strujne konture proizvoljnog oblika. Vakuum je linearna sredina u fizičkompogledu, pa u njemu važi princip superpozicije. Strujna kontura proizvoljnog oblika može se uvekdekomponovati u konačan broj linijskih (ili dužnih) i lučnih segmenata ili sekcija, pa se indukcija Bu bilo kojoj tački magnetskog polja, u opštem slučaju dobija vektorskom integracijom indukcija ko-je u toj tački stvaraju strujni linijski i strujni lučni segmenti konture ponaosob, odnosno indukcijakoje stvaraju "strujne duži" i "strujni lukovi". Zato je potrebno da se prvo odrede opšti izrazi za ras-podelu indukcije magnetskog polja usamljene "strujne duži" i usamljenog "strujnog luka", naravno,uvek imajući u vidu da takvi strujni elementi fizički ne mogu da egzistiraju izolovano.

(a) Magnetska indukcija "strujne duži"

Na sl. 4a prikazana je "strujna duž" u vakuumu sa vremenski konstantnom ili vremenski sporopromenljivom strujom I. Odredimo pravac, smer i intenzitet vektora indukcije u proizvoljnoj tački Xizvan prave određene datom duži. Usvojimo da "strujna duž" i tačka X leže u ravni crteža i da su zabilo koji njihov međusobni položaj veličine uglova 1 i 2 pozitivne, a uglova 1 i 2 algebarske.Veličine uglova 1 i 2 smatraju se negativnim kada se ovi nanose ispod normale d (tj. u smerusuprotnom od struje I), a pozitivnim kada se ti uglovi nanose iznad normale d (tj. u smeru struje I).Neka je i–jedinični vektor x-ose.

Sl. 4

Referentni smerstruje I

Orijentacija linijamagnetske indukcije

Desn

aru

ka

I

0

1d

2d3d

1B

2B

3B

Linije magnetske indukcije orijentisanesu u smeru vezanom po pravilu desne

zavojnice sa algebarskim smerom struje I

Kru`nice

Neograni~en, prav, kvazilinei~nistrujni provodnik u vakuumu

(b)

10

2 0

d ,B BI d

x-osa

0

X

1 0

2 0

dxi

x

0

(a)

r


Prema geometrijskim odnosima na sl. 4a i Bio-Savarovom zakonu (#) dobija se sledeće:

1 1 1 1 1 1 10 0, cos cos sin2 2

, ,

,

2 2 2 2 2 2 20 0, cos cos sin2 2

, ,

,

1 2ctg ctg , d dsin sin

d dr , x d d x

,

0 0 03 2

d d sind , , d sin d

4 4 4I I Ix x

r | | Bdr r

i r

B r dB, B (i, r),

2

1

0 0 01 2 2 1sin d cos -cos sin -sin

4 4 4I I I

Bd d d

. (&)

Kada u specijalnom slučaju "strujna duž" prerasta u neograničen, prav, kvazilineičan strujniprovodnik, tada 1 0, a 2 , odnosno 1 -/2, a 2 /2, tako da se iz prethodne relacijeza B odmah dobija Bio-Savarov zakon u obliku do kojeg su ovi istraživači došli eksperimentalno:

0

2I

Bd

Eksperimentalni oblik Bio-Savarovog zakona. (##)

Zbog aksijalne simetrije posmatranog sistema, bez obzira na to da li se radi o "strujnoj duži" ili oneograničenom pravolinijskom strujnom provodniku, zaključuje se da spektar magnetskog polja udatom slučaju mora biti aksijalno simetričnog karaktera.

Û Za prav, kvazilineičan i neograničen provodnik, iz relacije (##) "zaključuje" se da B kada d 0.Međutim, kako jedna fizička veličina nikada ne može dostići beskonačno veliku vrednost, to sledi daBio-Savarov zakon važi za tačke u magnetskom polju koje leže izvan provodnika, počevši od sâmenjegove granične površi. Nešto docnije pokazaćemo (videti primer 9 na str. 26, ibid) da na osnovuAmperovog zakona o cirkulaciji vektora magnetske indukcije B (videti na str. 25, ibid.) sledi: (1) da jeintenzitet magnetske indukcije ravan nuli u tačkama na osi (ne)ograničenog, pravog provodnika, kruž-nog poprečnog preseka, (2) da taj intenzitet linearno raste sa udaljenošću tačaka od ose provodnika,sve do njegove granične površi, (3) da Bio-Savarov zakon u obliku (##) važi u tačkama izvan provod-nika, uključujući i one na samoj graničnoj površi i (4) da su kod takvih provodnika linije magnetskeindukcije koncentrične kružnice, kako unutar provodnika, tako i izvan njega. Za neograničen, prav,kvazilineičan strujni provodnik u vakuumu, na sl. 4b prikazane su neke od kružnih linija magnetskeindukcije. Njihova orijentacija određuje se po pravilu desne zavojnice: palac desne ruke postavi se ureferentnom smeru struje, a preostali skupljeni prsti određuju orijentaciju linija magnetske indukcije.Algebarski intenzitet indukcije isti je u svim tačkama jedne od tih linija indukcije [npr. za tri takve lini-je na sl. 4b algebarski intenzitet magnetske indukcije u njihovim tačkama je, Bi=0I/(2di) ( )i 1 3, ].

Primer 2: Odrediti magnetsku indukciju B u centru pravougaone, kvazilineične konture sastrujom I, koja se nalazi u vakuumu (sl. 5a). Odrediti zatim i indukciju B magnetskog poljakoje u tački X stvara deo te strujne konture prikazan na sl. 5b.


a

b

0

2

2

I

3

4

1

2B B B B1 2 3 4

B

(a)

0I

2

2

12

2

2

1

B

B2

B1

(b)

1

2

a

X

Sl. 5

Magnetska indukcija B u centru pravougaone, kvazilineične konture sa strujom I, koja se na-lazi u vakuumu (sl. 5a) određuje se superpozicijom magnetskih indukcija B1, B2, B3 i B4, koje u tojtački stvaraju "strujne duži" 1, 2, 3 i 4, respektivno. Kako se pravac i smer indukcije "strujne duži"određuje po pravilu desne zavojnice, to se zaključuje su svi vektori B1, B2, B3 i B4 normalni na ra-van crteža i da imaju isti smer. Isti pravac i smer ima i rezultantna magnetska indukcija B=B1+B2++B3+B4, a njen algebarski intenzitet je B=B1+B2+B3+B4 . Smer rezultantne indukcije u datom slučajumoguće je, takođe, odrediti i pomoću pravila desne zavojnice: ako se prstima desne ruke konturaobuhvati u referentnom smeru struje, tada palac pokazuje pravac i smer rezultantne magnetske in-dukcije. Prema sl. 5a, iz relacije (&) na str. 8 odmah se dobijaju svi algebarski intenziteti indukcija:

B BIb

Ib

I a

b a b1 2

0 0 0

2 24

2

sin -sin(- )

sin,

B BIa

Ia

I b

a a b3 4

0 0 0

2 24

2

sin - sin(- )

sin,

2 20 0 01 3 2 2 2 2

22 ( ) 2

I a I b IB B B a b

a bb a b a a b

,

dok se u posebnom slučaju kada je kontura kvadratna (a=b) dobija, B=2 2 0I/(a).Za deo strujne konture prikazan na sl. 5b rezultantna magnetska indukcija B u tački X određu-

je se superpozicijom magnetskih indukcija B1 i B2 koje u bi toj tački zajedno stvarali neograničen,pravolinijski provodnik 1 i pravougaona strujna kontura 2 sa istom strujom I. Vektori B1 i B2 nor-malni su na ravan crteža, a njihova orijentacija označena je na sl. 5b. Vektor rezultantne magnetskeindukcije B, takođe je normalan na ravan crteža (sl. 5b), a pri tome je usvojeno da je referentni smeru kome se računa njegov algebarski intenzitet usmeren ka crtežu. U odnosu na taj izabrani smer,algebarski intenzitet rezultantne indukcije u tački X je B=B2-B1, pri čemu su:

22 20 0 0

1 2 2 1

2 2 1, , 12

I I I aB B a b B B Ba a b a b

.

Videti i primere 2-5 na str. 365-368 u udžbeniku. Često se za algebarski i prâvi intenzitet vektorakoristi isti naziv "intenzitet" (a često i ista oznaka), a o čemu je reč, uvek je nedvosmisleno jasno izkonteksta, s obzirom na međupovezanost smerova fizičkih veličina koje definišu posmatrani vektor.


(b) Magnetska indukcija u centru kružnog "strujnog luka"

Svaki tanak žičani strujni provodnik može se dekomponovati u konačno mnogo "strujnih du-ži" i "strujnih lukova". Magnetska indukcija koju u nekoj tački u vakuumu stvara sistem kvaziline-ičnih strujnih kontura određuje se vektorskom superpozicijom indukcija koje u toj tački stvara ko-načan skup "strujnih duži" i "strujnih lukova" koji predstavljaju elemente datih kontura. Magnetskuindukciju "strujne duži" odredili smo po pravcu, smeru i intenzitetu u prethodnom članu, a ostajejošda se to isto učini i za "strujni luk" u ravni. Elementarna dB i ukupna magnetska indukcija B ucentru 0 takvog "strujnog luka" (videti sl. 6a) mogu se odrediti iz Bio-Savarovog zakona. Dobija se:

0 0 0 0 03 2

0

d d sind , d d d4 4 4 4 4

I I II I lB Br r rr r

l rB , ($)

gde je dl=|dl|=rd(r=|dr|-poluprečnik luka), a =(dl, r)=/2. Ugao izražen je u[rad]. Vektorrezultantne magnetske indukcije B normalan na ravan u kojoj luk leži, a njegova orijentacija odre-đuje se po pravilu desne zavojnice: prstima desne ruke luk se obuhvati u referentnom smeru struje I,a palac pokazuje smer vektora B.

Kada kružni "strujni luk" preraste u kružnu strujnu konturu (sl. 6b), tada iz relacije ($) sledi:

20 0

0

d4 2

I IB Pujeov obrazac

r r

.

r

0

[rad]I

I

dB B,dB B,

(b)

I dl

r0

0

(a)Sl. 6

I

Idl

R

0X

d

0

x-osa

y-osa

dB*d

R d2 2r

Konus vektoraelementarnih

magnetskih indukcijad

Ovaj element je dijametra lno

sup rotan od elementa I l

dB**

dB B,

Sl. 7


(c) Magnetska indukcija na osi normalnoj u centru kružne strujne konture

Odredimo magnetsku indukciju B u tački X na osi normalnoj u centru O kružne strujne kontu-re (sl. 7). Sa slike se vidi da svakom strujnom elementu Idl koji stvara indukciju dB* odgovaradijametralno suprotan element koji stvara indukciju dB** tako da vektorski zbir dB*+dB** nema y-, većsamo x-komponentu dB. Skup svih vektora elementarnih magnetskih indukcija koje u tački Xstvaraju strujni elementi kružne konture, obrazuje elementarni konus ekvimodularnih vektora sa te-menom u tački X. Odatle se zaključuje da vektor rezultantne magnetske indukcije B ima jedinokomponentu u pravcu x-ose čija se orijentacija određuje po pravilu desne zavojnice: ako se prstimadesne ruke kontura obuhvati u referentnom smeru struje, onda palac pokazuje orijentaciju vektoraB. Iz osnovu Bio-Savarovog zakona dalje sledi:

0 0 03 2 2 2

d d sin (d , ) dd , d d4 4 4

I I l I R* B* B**r r R d

l r l rB ,

2 2 , d d d , (d , )2

r | | R d l | | R

r l l r ,

20

3 2 2 22 2

dd 2 d sin ; [0, ], sin ,

2 /

I R RB* ort x ose

R dR d

B i i i ,

2 2

30 0 03 2 3 22 2 2 2

0

d sin2 2 2/ /

I I IR RRR d R d

B i i i , ($$)

odakle se u specijalnom slučaju kada d 0 dobija Pujeov obrazac,što se naravno moglo i očekivati.

N,I N,I

R

R

S

R/2

B

0

(a)

0

1 2

X

xx-osa

R

I

N, N'

0

B

x-os

a

0 Xx x+dx

R

L

2

1

N, N' I

D (c)

(b)

0

Sl. 8

Za dobijanje praktično homogenog magnetskog polja u određenom delu prostora često se ko-riste Helmholcovi kalemovi (sl. 8a). To su dva tanka, jednaka koaksijalna kružna namotaja sa po Nvrlo gusto namotanih zavojaka, koji praktično predstavljaju kružne strujne konture. Namotaji se na-


u

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6S (0.5,1.43108)

B2n

Bn

B1n

dBn/du

laze u vakuumu na rastojanju R jednakom poluprečnicima namotaja. Odredimo magnetsku indukci-ju u proizvoljnoj tački X koja se nalazi bilo gde na x-osi x (-, +), a posebno u blizini tačke Sna sredini između zavojaka (x=R/2). Prema relaciji ($$) vektori magnetskih indukcija B1 i B2 koje utačkama na x-osi stvaraju kalemovi 1 i 2, respektivno, kao i vektor rezultantne indukcije B=B1+B2,za u=x/R (-, +) definisani su sledećim relacijama:

0 0 0

0 1 23 2 3 222: , : , , , (- , )

2 1 1 1/ /

N I B BxB u u

R R u u

B i B i ;

B B B i

RS|T|

UV|W|1 2 0 2 3 2 2 3 2

1

1

1

1 1B

u uc h b g/ / ,

1 2

1n 2n n3 2 3 2 3 2 3 22 22 20 0 0

| | | |1 1 | | 1 1: , : , :1 11 1 1 1

/ / / /B B BB B Bu uu u

B B B .

Na sl. 9 prikazane su varijacije funkcija B1n(u), B2n(u) i Bn(u) u opsegu u -1, +2, odakle se vidida je rezultantno magnetsko polje "nekako koncentrisano" u delu prostora između kalemova, da jeza u=1/2 (tj. x=R/2) ono maksimalno ( dBn(u)/du|u=1/2=0) i da se polje oko tačke S slabo menja( d2Bn(u)/du2|u=1/2=0). To drugim rečima znači da je magnetsko polje na x-osi u delu prostora okotačke S praktično homogeno.

Sl. 9

Struje namotaja na sl. 8a istog susmera i jednakog intenziteta.

Struje namotaja na sl. 8a suprotnog susmera. Struja desnog namotaja dvostruko je

većeg intenziteta od struje levog.

Spektar magnetskog polja.Namotaji se privlače.

Spektar magnetskog polja.Namotaji se odbijaju.


(d) Magnetska indukcija na osi solenoida

Sada ćemo odrediti magnetsku indukciju u tačkama na osi ravnomerno i gusto namotanogsolenoida (rečje grčkog porekla; "solén" na grčkom znači "kanal, cev", a dodatak "oid"–grčki "oi-dós"–znači "sličan, nalik na") kružnog poprečnog preseka poluprečnika R (sl. 8b). Solenoid je spi-ralni namotaj koji se formira ravnomernim i gustim namotavanjem tankog, izolovanog, žičanog pro-vodnika na šupalj kartonski cilindar. Solenoidi se, inače, najčešće primenjuju kod analogne elektro-dinamičke merne instrumenatacije, koja se koristi u električnim mrežama i sistemima za merenjestruje, napona i snage, pri jednosmernim i naizmeničnim radnim režimima. Unutrašnjost solenoidamože biti vazduh, ali i neki feromagnetik. Magnetsko polje vazdušnog solenoida praktično je istokao i magnetsko polje vakuumskog solenoida.

Posmatrajmo vazdušni solenoid dužine L sa N ravnomerno i gusto namotanih zavojaka (sl. 8c)i strujom I. Svaki od tesno priljubljenih zavojaka može se smatrati jednom kružnom strujnom kon-turom. Na dužini dx solenoida postoji (N/L)dx zavojaka (N'=N/L je podužna gustina zavojaka, ilibroj zavojaka po jedinici dužine), koji se mogu zameniti jednim zavojkom sa strujom I(N/L)dx.Indukcija magnetskog polja tog zavojka u tački X na osi solenoida, koja se nalazi na rastojanju D odpočetka solenoida (sl. 8c) prema relaciji ($$) je:

330 0 sind sin d d

2 2N I N I

x x , ort x oseR L L R

B i B i i

Du` osesolenoida

.

Međutim, kako je sa sl. 8c, D-x=Rctgi dx=(R/sin2)d, to iz prethodne relacije odmah sledi opštiizraz za vektor magnetske indukcije B u tačkama na osi ravnomerno i gusto namotanog vakuums-kog ili vazdušnog solenoida, konačne dužine L, sa strujom I:

B i i i

z

0 0

10

12 2 21

N IL

N IL

N Isin d cos cos cos cos

2

2 2b g b g',

01 2cos cos

2N' I

B

Algebarski intenzitet indukcije B računat u smeru x-ose. (*)

Kao i u svim prethodnim slučajevima orijentacija vektora B određuje se po pravilu desne zavojnice:kada se prstima desne ruke solenoid obuhvati u referentnom smeru struje I, tada palac pokazujeorijenataciju vektora B.(a) Za neograničen (tj. beskonačan) strujni solenoid 1 0, a 2, pa iz relacije (*) sledi da je usvim tačkama na njegovoj osi magnetska indukcija, B=0N'Ii, dok je njen algebarski intenzitet,B=0N'I.(b) U slučaju kada je strujni solenoid ograničen, a tačka X je na osi solenoida u njegovom centru(D=L/2), tada je magnetska indukcija Bc u ovoj tački prema relaciji (*):

0 0 0c 1 2 c2 2

1cos cos

2 1 (2 ) 1 (2 )

N I N I N ' IB

L L R / L R / L

B i i i i ,

(**)

gde je cos(2 / )

, , cos(2 / )

1 2 2 2 2

1

1

1

11

R L R L, a Bc algebarski intenzitet

magnetske indukcije Bc računat u smeru x-ose.


u

B/Bo

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.60

0.5

1

1.5

2

v=0.1

v=0.5

v=0.4

v=0.3

v=0.2v=0.01

Kada je ovaj ograničeni solenoid tanak ( 2R L), tada iz relacije (**) sledi Bc B=0N'Ii iBc B=0N'I što znači da je magnetska indukcija u centru takvog solenoida ista kao i u tačka-ma na osi neograničenog solenoida. Kod tankih solenoida moguće je, takođe, smatrati da je magnet-ska indukcija približno ista u svim tačkama jednog poprečnog preseka.

Ako se tačka X (sl. 8c) nalazi na levom kraju ograničenog solenoida (D=0), tada je magnetskaindukcija Bl u toj tački [videti relaciju (*) na prethodnoj strani]:

0 0 01 2 2 2

1cos cos

2 2 1 ( ) 2 1 ( )l l

N I N I N ' IB

L L R / L R / L

B i i i i ,

(***)

gde je 1 2 2, cos

( / )

/ 2

1

1 R L, a Bl algebarski intenzitet indukcije Bl u smeru x-ose.

Ako se tačka X (sl. 8c) nalazi na desnom kraju ograničenog solenoida (D=L), tada je magnet-ska indukcija Bd u toj tački [videti relaciju (*) na prethodnoj strani]:

0 0 0d 1 2 d2 2

1cos cos

2 2 1 ( ) 2 1 ( )

N I N I N ' IB

L L R / L R / L

B i i i i ,

(****)

gde je cos( / )

, ,1 2 2

1

12

R L/ a Bd algebarski intenzitet indukcije Bd u smeru x-ose.

Kada je ograničeni solenoid tanak ( 2RL), tada kod njega nije samo Bc=B=0N'I, većiz re-lacija (***) i (****) sledi i da je Bl=Bd=B/2=(0N 'I/2)i, odnosno Bl=Bd=B/2=0N'I/2 štoznači da je u centru ovakvog solenoida algebarski intenzitet magnetske indukcije dvostruko veći ne-go na njegovim krajevima.

(c) I konačno, u slučaju kada je solenoid vrlo dug i tanak, može se smatrati da je magnetsko polje usvim njegovim tačkama približno homogeno i jednako B=0N'Ii, odnosno B=0N'I.

Sl. 10

Magnetsko polje retkonamotanog, kratkogstrujnog solenoida

Magnetsko polje gustonamotanog, kratkogstrujnog solenoida


Određivanje raspodele indukcije u tačkama izvan ose ograničenog debelog solenoida, a pogotovokada je on joši retko namotan, predstavlja veoma težak problem, koji nećemo ovde razmatrati. Ko-ličnik v poluprečnika solenoida R i njegove dužine L zove se faktor debljine solenoida (v:=R/L).Kod ograničenog, ravnomerno i gusto namotanog solenoida, algebarski intenzitet indukcije dužosemenja se prema relaciji (*) (videti i sl. 8c):

00 02 2 2 2

0

1 : , : , : , : ( )2( 1)

N ' Iu u D R BB B , B u v f u,vL L Bu v u v

.

Na sl. 10 prikazana je varijacija normalizovane indukcije f(u, v) dužose ograničenog solenoida zašest različitih vrednosti faktora debljine v=R/L. Kod tanjih solenoida v je manje, pa je kod njih pro-mena indukcije dužose i po poprečnom preseku solenoida manje izražena. Zato se može smatrati daje magnetsko polje u vrlo dugom i tankom solenoidu približno homogeno sa indukcijom B=0N'I.

Primer 3: Odrediti magnetsku indukciju B u tački C za strujne provodnike u vakumu nasl.11ae. Odrediti i struju I* u slučaju provodnika na sl. 11f tako da u tački C bude B=0.

12

3

I

C B B

C

I

I

2 3

4

/ 6

RR

CB

R

I

RR

1 2

3 4

5

CB

I

12

3

4 5

6

/ 6

1

2

3 4

R

R / 6C

BI

C 1

2

I *

R R/2

(a) (b)(c)

(f)(e)(d)

3

4

5

B 0

0

0

0

0

0 0

U svim slu~ajevima je R=10 cm, a I=5 A

Sl. 11

(a) 0 0 01 2 3 1 2

( 1)0 20 71 [ T]

4 4 4I I I

B , B , B , B B B ,R R R

.

(b) 0 0 01 2 3 4 1 4

3 40 3 29 6 [ T]

4 3 4 3I I I

B , B B , B , B B B ,R R R

.

(c) 0 01 2 3 4 5 1 2 5

2 30

16 8I I

B B , B B , B , B B B B ,R R

0 0 02 32 3 27 1 [ T]

8 8 8I I I

B ,R R R

.

Documents

Elektromagnetizam 1.pdf