Električni strujni krugovi, rešavanje električnog kola, elektromagnetizam

II. ELEKTRIČNI STRUJNI KRUGOVIRealan naponski izvor

ELEKTRIČNI STRUJNI KRUGOVI

Jednostavan strujni krug

• Do sada smo o električnom izvoru govorili kao o idealnom elementu, koji nema nikakav električni otpor.

• U stvarnom svijetu takav izvor nije moguće izraditi.

• Realan izvor uvijek pokazuje i svojstvo električnog otpora.

+ -

E

Idealan naponski izvor

ELEKTRIČNI STRUJNI KRUGOVI Jednostavan strujni krug

Realan naponski izvor

• Za shematski prikaz realnog naponskog izvora služimo se nadomjesnom shemom.

• Nadomjesna shema uključuje idealni izvor spojen u seriju s unutarnjim otporom izvora.

+ -

E

R0

Nadomjesna shema realnog naponskog izvora



• Taj otpor ne postoji u obliku otpornika, ali realan izvor pokazuje svojstva kao da se sastoji od idealnog izvora i otpornika.

• To znači da utjecaj unutarnjeg otpora izvora treba uzeti u obzir pri analizi rada električnog kruga.

• Taj utjecaj ima posljedice na iznos električne struje kroz električni krug i na energetsku bilancu kruga.



Strujni krug s realnim naponskim izvorom


Jednostavan strujni krug

Strujni krug s idealnim naponskim izvorom

R

+ -

E

+ -

U

I

-

I

+

E

R+ -

U

R0


EU ====

EU ==== 0IR−



RR

EI

++++====

0

• U strujnom krugu s realnim naponskim izvorom struja će imati vrijednost:

• Napon na trošilu će iznositi:

=U 0IRE −−−−



• U strujnom krugu s idealnim naponskim izvorom elektromotorna sila izvora E bila je jednaka naponu na trošilu.

• Ako koristimo realan naponski izvor, struja koja teče kroz otpor izvora izazvat će napon na otporu IR0, pa će napon na trošilu U biti manji od E.

• To smanjenje napona moramo uzeti u obzir pri određivanju struje kroz strujni krug.



Strujno-naponski dijagram kruga s realnim naponskim izvorom



-

I

+

E

R+ -

U

R0

+-RIU =

0R

EIk ====

E

I0

IREU 0−−−−====U

I

radna točka

U

-+

E

U=E

R0

+-

-

Ik

+

E

U=0

R0

+-

opterećenje R>0 Ω

prazni hod I=0 A

kratki spoj R=0 Ω

• Grafički prikaz napona na izvoru i trošilu nam daje dobar uvid u stanje u krugu s realnim izvorom.

• Radnu točku određuje presjecište pravaca koji predstavljaju napon na stezaljkama izvora i napona na trošilu.

• Ukoliko je otpor trošila jednak nuli, krugom će teći struja kratkog spoja Ik.

• Ako je krug otvoren, na stezaljkama će se pojaviti napon praznog hoda E.



Teorem maksimalne snage

P

R0

maxP

0RR =Snaga na trošilu u ovisnosti o otporu trošila



RIP2=

(((( ))))20

2

RR

RE

++++====

44

0

0

2EI

R

EPmax ========

• Maksimalnu snagu na trošilu dobit ćemo onda kada je otpor trošila R jednak unutarnjem otporu izvora R0.

• Do ovog zaključka možemo doći traženjem maksimuma za iznos snage deriviranjem funkcije snage i primjenom uvjeta dP/dR=0.

• Ako je zadovoljen uvjet R=R0 kaže se da je krug prilagođen po maksimalnoj snazi.

• U tom se slučaju jednaka snaga troši na trošilu i unutarnjem otporu izvora.




Stupanj djelovanja


• Stupanj djelovanja uređaja ηηηη – omjer korisno upotrijebljene energije W i privedene energije Wu :

uW

W====ηηηη

• Energija privedena uređaju Wu je uvijek veća od korisno iskorištene energije W za iznos Wg koji se troši u samom uređaju:

WWW ug −−−−====



• Korisna snaga (radna): t

WP ====

• Stupanj djelovanja uređaja ηηηη – omjer korisne snage i ukupne snage:

gPP

P

++++====ηηηη

• Snaga gubitaka: t

WP

g

g ====


METODE RJEŠAVANJAELEKTRIČNIH KRUGOVA

ELEKTRIČNI STRUJNI KRUGOVI Metode rješavanja

• Grana električne mreže – dio mreže koji se sastoji od serijski vezanih izvora i otpora kroz koje prolazi struja iste jakosti.

• Čvor električne mreže – točka ili mjesto na mreži gdje se sastaju tri ili više grana.

• Kontura električne mreže – bilo koji zatvoreni strujni krug (zamka) koji dobivamo pri obilasku po granama mreže.

• Pretpostavka: zadane su elektromotorne sile i otpori –tražimo nepoznate struje u granama.

Osnovni pojmovi


Metode rješavanja

Direktna primjena Kirchhoffovih zakona



• Mreža sadrži:

– g... grana,

– č... čvorova,

– n... nezavisnih kontura (svaka sljedeća kontura razlikuje se od prijašnjih barem za 1 granu).

• Za izračun struja u svim granama treba imati g linearnih nezavisnih jednadžbi:

– (č-1) jednadžbi za struje u čvorovima (I Kirchhoffov zakon)

– n= g-č+1 naponskih jednadžbi II Kirchhoffovog zakona.



Električna mreža sa četiri čvora i šest grana

• Potreban broj jednadžbi (č=4, g=6):

– č-1=3 strujne jednadžbe I Kirchhoffovog zakona,

– n=g-č+1=3 naponske jednadžbe II Kirchhoffovog zakona.

E1

E2

R6

+-+-

+ -

E3

R2

R1

R3

R4R5

a bc

d

I5I4

I1

I3

I6

I2

I II

III+-

+-

+ -

+

-

+

-

+

-



a ... 0621 ====++++++++−−−− III

b ... 0532 ====++++−−−−−−−− III

c ... 0643 ====−−−−−−−− III

Jednadžbe čvorova – strujne jednadžbe:

Jednadžbe kontura - naponske jednadžbe:

I ...

II...

III ...

022255111 ====−−−−++++−−−−−−−−−−−− RIERIRIE

04455333 ====++++++++++++−−−− RIRIRIE

066333222 ====−−−−++++−−−−−−−− RIERIERI



• Smjerove kontura moramo pretpostaviti:

– napon ima pozitivan predznak, ako pri obilasku konture prolazimo kroz izvor u smjeru njegovog napona - u suprotnom ima negativan predznak,

– umnožak otpora i jakosti struje je pozitivan ako obilazimo promatrani otpornik u pretpostavljenom smjeru struje - u suprotnom ima negativan predznak.

• Smjerove struja u čvorovima moramo pretpostaviti.

• Preporuka:

– struje koje ulaze u čvor imaju pozitivan predznak,

– struje koje izlaze iz čvora imaju negativan predznak.


Metode rješavanja

Metoda napona čvorova



• Direktna primjena Kirchhoffovih jednadžbi je nespretna – potrebno je rješavati sustav jednadžbi s toliko nepoznanica koliko ima grana.

• Metoda napona čvorova i druge metode koriste manje jednadžbi.

• Metoda napona čvorova sastoji se u sljedećem:

– jedan čvor se proglasi referentnim, s potencijalom 0V,

– postave se jednadžbe za struje u ostalim čvorovima,

– postave se jednadžbe potencijala za sve grane i iz njih se izraze struje,

– dobiveni izrazi za struje se uvrste u jednadžbe za struje u čvorovima.




1

3

• Potreban broj jednadžbi – ukupno č-1:

- č-1=3 strujne jednadžbe I Kirchhoffovog zakona,

- g=6 jednadžbi potencijala za grane iz kojih se izraze struje.

E1

E2

R6

+-+-

+ -

E3

R2

R1

R3

R4R5

0

I5I4

I1

I3

I6

I2 2+-

+-

+ -

+

-

+

-

+-



0621 ====++++++++−−−− III

0532 ====++++−−−−−−−− III

0541 ====−−−−++++ III

Jednadžbe čvorova – strujne jednadžbe:

Jednadžbe potencijala:

661 0 RI−−−−====ϕϕϕϕ

1 ...

2 ...

3 ...

Struje:

616 GI ϕϕϕϕ−−−−====3332 0 RIE ++++−−−−====ϕϕϕϕ 3323 )( GEI ++++==== ϕϕϕϕ

443 0 RI−−−−====ϕϕϕϕ 434 GI ϕϕϕϕ−−−−====22221 RIE −−−−++++==== ϕϕϕϕϕϕϕϕ

11131 RIE ++++++++==== ϕϕϕϕϕϕϕϕ5532 RI−−−−==== ϕϕϕϕϕϕϕϕ

⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒

22122 )( GEI ++++−−−−==== ϕϕϕϕϕϕϕϕ11311 )( GEI −−−−−−−−==== ϕϕϕϕϕϕϕϕ

5235 )( GI ϕϕϕϕϕϕϕϕ −−−−====



• Umjesto otpora - vodljivosti:

1

1

1

RG ====

2

2

1

RG ====

L

6

6

1

RG ====

• Dobiju se 3 jednadžbe s nepoznanicama ϕϕϕϕ1, ϕϕϕϕ2 i ϕϕϕϕ3:

221113226211 )( GEGEGGGGG ++++====−−−−−−−−++++++++ ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

332253532221 )( GEGEGGGGG −−−−−−−−====−−−−++++++++++++−−−− ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

1154135211 )( GEGGGGG −−−−====++++++++++++−−−−−−−− ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

• Dobiveni potencijali se uvrste u izraze za struje.

Uvodimo oznake:

62111 GGGG ++++++++====



212 GG ====

113 GG ====

suma vodljivosti svih grana

priključenih na čvor 1

suma vodljivosti između čvorova 1 i 2

suma vodljivosti između čvorova 1 i 3

Na jednak način definiramo G21, G22, G23, G31, G32 G33 -slijedi sustav jednadžbi:

2211133122111 GEGEGGG ++++====−−−−−−−− ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

3322233222211 GEGEGGG −−−−−−−−====−−−−++++−−−− ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

11333322311 GEGGG −−−−====++++−−−−−−−− ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ



Općenito vrijedi za k-ti čvor:

kkG - suma vodljivosti svih grana priključenih na čvor k

- suma vodljivosti između čvorova k i jkjG

∑∑∑∑∑∑∑∑≠≠≠≠====

≠≠≠≠====

====−−−−č

kjj

kjkj

č

kjj

jkjkkk GEGG11

algϕϕϕϕϕϕϕϕ

kjE - suma napona između čvorova k i j

Elektromotorna sila Ekj je pozitivna ako je njezin napon usmjeren k čvoru, u protivnom je negativna.


Metode rješavanja

Metoda konturnih struja



Metoda konturnih struja također smanjuje broj nepoznanica za određivanje struja – u odnosu na direktnu primjenu Kirchhoffovih jednadžbi.

Metoda konturnih struja sastoji se u sljedećem:

odaberemo nezavisne konture (ukupno n),

odredimo smjer struja svake konture – preporuka: u smjeru kazaljke na satu,

pretpostavimo struju nezavisne grane (grana koja pripada samo toj konturi) u smjeru struje konture,

za svaku konturu napišemo naponsku jednadžbu,

rješavamo sustav od n jednadžbi s n nepoznanica.



Općenito vrijedi za k-tu konturu:

kk

n

kjj

kjjkkk ERIRI ====−−−−∑∑∑∑≠≠≠≠====1

Elektromotorna sila Ekk je pozitivna ako je njezin napon u smjeru konture, u protivnom je negativna.

kkR - suma svih otpora koji se nalaze unutar konture k

- suma svih međašnjih otpora između kontura k i jkjR

kkE - suma svih elektromotornih sila konture k

kI - struja promatrane konture k

jI - struja bilo koje druge konture j



Ia

E1

E2

R6

+-+-

+ -

E3

R2

R1

R3

R4R5

a bc

d

IeId

Ic

If

Ib

I II

III+-

+-

+ -

+

-

+

-

+

-


Struje kontura:

aII ====1I ... ⇒⇒⇒⇒ 1IIa ====II ... dII ====2

⇒⇒⇒⇒2IId ====

III ... fII ====3⇒⇒⇒⇒

3II f ====

21 IIIe −−−−====

31 IIIb −−−−====

23 IIIc −−−−====

Struje grana:



Jednadžbe konturnih struja:

2123525211 )( EERIRIRRRI ++++−−−−====−−−−−−−−++++++++

333543251 )( ERIRRRIRI −−−−====−−−−++++++++++++−−−−

3263233221 )( EERRRIRIRI ++++−−−−====++++++++++++−−−−−−−−

Sređeno:

21133122111 EERIRIRI ++++−−−−====−−−−−−−−

3233222211 ERIRIRI −−−−====−−−−++++−−−−

32333322311 EERIRIRI ++++−−−−====++++−−−−−−−−

Uvedene oznake:

52111 RRRR ++++++++====

512 RR ====

213 RR ====



- suma svih otpora koji se

nalaze unutar konture I

- međašnji otpor između kontura I i II

- međašnji otpor između kontura I i III

51221 RRR ========

54322 RRRR ++++++++====

323 RR ====

21331 RRR ========

63233 RRRR ++++++++====32332 RRR ========

I kontura ...

II kontura ... III kontura ...


Metode rješavanja

Metoda superpozicije



Metoda superpozicije – struja grane g jednaka je sumi svih pojedinačnih struja što bi ih u toj grani prouzročili pojedini naponi, svaki sam za sebe.

Metoda superpozicije sastoji se u sljedećem:struju u jednoj grani izračunamo tako da kratko spojimo sve

elektromotorne sile osim jedne,

izračunamo struju u toj grani samo uz taj napon,

izračunamo redom struje kroz tu granu i uz svaki od ostalih napona,

suma pojedinih struja je tražena struja promatrane grane,

postupak treba ponoviti za svaku granu.

Metoda vrijedi samo za linearne odnose u mreži.

Zadana električna mreža

+ -E1 E

2

+-R2

R1 R3

I2

I1 I3Zadatak:

Treba odrediti struju I2

kroz otpornik R2!

+E1 -

R2

R1 R3

I2'

I1' I3'02 ====E

32

312 ''

RR

RII

++++====

1. korak: Djeluje samo napon E1!

32

321

11 '

RR

RRR

EI

++++⋅⋅⋅⋅

++++====



01 ====E

21

132 ''''

RR

RII

++++====

2. korak: Djeluje samo napon E2!

I2''

R2

R1 R3

I1'' I3''

-E2

+

3. korak: Ukupna struja je jednaka zbroju pojedinačnih struja!

(((( ))))''' 222 III −−−−++++==== ''' 22 II −−−−====

21

213

23 ''

RR

RRR

EI

++++⋅⋅⋅⋅

++++====


Metoda superpozicijeELEKTRIČNI STRUJNI KRUGOVI

Metode rješavanja

Naponski i strujni izvori



Opterećenje realnih naponskih izvora - napon na stezaljkama se smanjuje u odnosu na elektromotornu silu zbog protunapona na unutarnjem otporu izvora:

Nadomjesna shema realnog naponskog

izvora

0IREU −−−−====

-

+

U

E

R0

+

-

R+

-

I


Idealni naponski izvor definiran je kao izvor konstantnog napona.

Idealni strujni izvor definiran je kao izvor koji uvijek daje struju konstantne jakosti, bez obzira na priključeno trošilo.

Realne naponske izvore možemo prikazati pomoću:

idealnih naponskih izvora,

idealnih strujnih izvora.



Jednadžbu podijelimo s R0 i izrazimo struju:


Napon realnog naponskog izvora:

0IREU −−−−====

0

00

IIR

U

R

EI k −−−−====−−−−====

U priključeno vanjskom trošilu možemo imati istu struju ako imamo izvor konstantne struje Ik kojem je paralelno, unutar izvora, priključen otpor R0.

-

+

U

E

R0

+

-

R+

-

I

Realni izvor prikazan idealnim naponskim

izvorom



Realni izvor prikazan idealnim naponskim

izvorom

-

+

UR0 R+

-

II0

Ik



Na unutarnjem otporu idealnog strujnog izvora je napon:

00RIU ====

Kroz unutarnji otpor idealnog strujnog izvora prolazi struja:

0

0R

UI ====

Realni izvori, predočeni idealnim strujnim izvorima, mogu se zamijeniti idealnim naponskim izvorima, sa serijskim unutarnjim otporom R0:

0RIE k====

Nadomjesni izvor više naponskih izvora



Serijski spoj više naponskih izvora rješava se postepeno:

naponski izvori se pretvore u ekvivalentni naponski izvor,

unutarnji otpori se nadomjeste jednim otporom.

Ekvivalentna elektromotorna sila za n izvora: ∑∑∑∑

====

====n

i

iEE1

Ekvivalentni unutarnji otpor za nizvora: ∑∑∑∑

====

====n

i

iRR1

00

+

-

-+

-

+

+

-



-

+

UR

E1

R01

+

-

I

E2

R02

E3

R03

-

+

UR+

-

I

E

R0

adomjesni naponski izvorSerijski spoj 3 naponska izvora



Ekvivalentna elektromotorna sila:

321 EEEE −−−−++++====

Ekvivalentni unutarnji otpor:

0302010 RRRR ++++++++====



Paralelni spoj više naponskih izvora rješava se postepeno:

naponski izvori se pretvore u strujne izvore,

unutarnji otpori se pretvore u vodljivosti,

strujni izvori se pretvore u ekvivalentni strujni izvor,

ekvivalentni strujni izvor se pretvori u ekvivalentni naponski izvor,

ekvivalentna unutarnja vodljivost se pretvori u unutarnji ekvivalentni otpor.

E3



R

-

+

UGG01

+

-

I

G02 G03Ik1 Ik2 Ik3

Paralelni spoj 3 naponska izvora

Paralelni spoj 3 ekvivalentna strujna izvora

E2E1

R01

+

- +

-

I

R02

+

-

R03

+

-

-

+

U

+

-



adomjesni strujni izvor

U

-

+

G0 G+

-

I

Ik

-

+

UR+

-

I

R0

adomjesni naponski izvor

E



Ekvivalentna unutarnja vodljivost:

0302010 GGGG ++++++++====

Ekvivalentni strujni izvor:

321 kkkk IIII −−−−++++====

Ekvivalentni naponski izvor:0G

IE k====

Ekvivalentni unutarnji otpor:0

0

1

GR ====




Ekvivalentni naponski izvor:0G

IE k====

Ekvivalentni unutarnji otpor:0

0

1

GR ====

Općenito - ekvivalentni strujni izvor za n strujnih izvora :

∑∑∑∑====

====n

i

kik II1

∑∑∑∑====

====n

i

iGG1

00

Nadomjesni izvor više strujnih izvora



Serijski spoj više strujnih izvora rješava se postepeno:

strujni izvori se pretvore u ekvivalentni naponski izvor,

ekvivalentni naponski izvor se nadomjesti jednim strujnim izvorom.

Pritom treba uzeti u obzir smjerove struja:

struje u jednom smjeru treba uzeti s jednim predznakom,

suprotno usmjerene struje imaju protivan predznak.

+

-






-

+

U-

+

UE

R

R01

+

-

I

R02

R03

Ik1

Ik2

Ik3

R+

-

I

R0

U

-

+

R0 R+

-

I

Ik

Serijski spoj 3 strujna izvora

adomjesni naponski izvor



Ekvivalentna elektromotorna sila:

Ekvivalentni unutarnji otpor:0302010 RRRR ++++++++====

033022011 RIRIRIE kkk −−−−++++====

Ekvivalentni strujni izvor:0R

EIk ====



Općenito: ekvivalentna elektromotorna sila za n strujnih izvora:

∑∑∑∑====

====n

i

ikiRIE1

0

Ekvivalentni unutarnji otpor za n strujnih izvora:

∑∑∑∑====

====n

i

iRR1

00

Ekvivalentni strujni izvor:0R

EIk ====



Paralelni spoj više strujnih izvora rješava se postepeno:

svi strujni izvori se premjeste na jednu stranu mreže, a unutarnje vodljivosti na drugu stranu,

struja ekvivalentnog strujnog izvora je jednaka zbroju struja svih izvora,

ekvivalentna unutarnja vodljivost jednaka je zbroju unutarnjih vodljivosti svih izvora.



-

+

UGG01

+

-

I

G02 G03Ik1 Ik2 Ik3

Paralelni spoj 3 strujna izvora

-

+

UG+

-

I

G02 G03Ik1 Ik2 Ik3 G01

Preuređena shema paralelnog spoja 3 strujna izvora




U

-

+

G0 G+

-

I

Ik


0302010 GGGG ++++++++====

Ekvivalentni strujni izvor:

321 kkkk IIII ++++−−−−====



Ekvivalentni strujni izvor za n strujnih izvora :

∑∑∑∑====

====n

i

kik II1


∑∑∑∑====

====n

i

iGG1

00


Metode rješavanja

Theveninov teorem


Theveninov teorem

Theveninov teorem:

struja I kroz otpor R neke linearne mreže može se odrediti tako da se preostali dio mreže nadomjesti gledan sa stezaljki tog otpora jednim naponskim izvorom ET i

unutarnjim otporom RT ,

iz zadane sheme treba odstraniti otpor R tako da stezaljke na koje je bio priključen ostanu otvorene,

napon ET je napon praznog hoda na otvorenim stezaljkama,

otpor RT je otpor cijele preostale mreže, gledan sa stezaljki,

kad je R odstranjen, a sve elektromotorne sile mreže premoštene (unutarnji otpori moraju ostati), a strujni izvori odspojeni.

+

-


Theveninov teorem

R

E1

R1

+

-

I

R2

R3

a

b

-

+

abT UE ====

Theveninov napon na otvorenim stezaljkama (bez otpora R)

a

E1

R1

+

-R2

b

R3



Theveninov teorem

TR

Theveninov otpor na otvorenim stezaljkama (bez otpora R)

a

R1R2

b

R3

Theveninov napon:

2

21

1 RRR

EET ⋅⋅⋅⋅

++++====

Theveninov otpor:3

21

21 RRR

RRRT ++++

++++⋅⋅⋅⋅

====

+

-


Theveninov teorem

ET

R+

-

I

RT

adomjesni Theveninov izvor

a

b

Struja kroz otpor:

RR

EI

T

T

++++====


Metode rješavanja

Nortonov teorem


Nortonov teorem

Nortonov teorem:

struja I kroz otpor R neke linearne mreže može se odrediti tako da se preostali dio mreže nadomjesti gledan sa stezaljki tog otpora jednim strujnim izvorom I( i unutarnjim

paralelnim otporom RT ,

iz zadane sheme treba odstraniti otpor R i kratko spojiti stezaljke na koje je bio priključen,

struja I( je struja koja teče kroz kratko spojene stezaljke,

otpor RT je Theveninov otpor - otpor cijele preostale mreže,

gledan sa stezaljki, kad je R odstranjen, a sve elektromotorne sile mreže premoštene (unutarnji otpori moraju ostati), a strujni izvori odspojeni.


Nortonov teorem

R

E1

R1

+

- +

-

I

R2

R3

a

b

ortonova struja kroz kratko spojene stezaljke (bez otpora R)

a

E1

R1

+

-R2

b

R3


I(


Nortonov teorem

TR

Theveninov otpor na otvorenim stezaljkama (bez otpora R)

a

R1R2

b

R3

Nortonova struja:32

2

32

321

1

RR

R

RR

RRR

EI( ++++

⋅⋅⋅⋅

++++⋅⋅⋅⋅

++++====

Theveninov otpor:3

21

21 RRR

RRRT ++++

++++⋅⋅⋅⋅

====


Nortonov teorem

ortonov strujni izvor

U

-

+

RT R+

-

I

I(

Struja kroz otpor:

RR

RII

T

T

( ++++====


Metode rješavanja

Millmanov teorem


Millmanov teorem

Millmanov teorem:

ako imamo više paralelno spojenih grana, a samo dva čvora a

i b, onda možemo odrediti napon između ta dva čvora,

pomoću tog napona odredimo struje u pojedinim granama.


Millmanov teorem

Napon između čvorova:

- vodljivost j –te granejG

∑∑∑∑

∑∑∑∑

====

========n

j

j

n

j

jj

ab

G

GE

U

1

1

jE - suma elektromotornih sila j –te grane

Struja j-te grane:

jabjj G)U(EI ⋅⋅⋅⋅−−−−====

+

-


Millmanov teorem

Paralelni spoj 4 grane

R4

E2E1

R1

+

-I4

R2

E3

R3

+

-

-

+

abU

a

b

I1

Napon između čvorova:

4321

332211

GGGG

GEGEGEUab ++++++++++++

−−−−++++====


Millmanov teorem

Struja prve grane:

111 G)U(EI ab ⋅⋅⋅⋅−−−−====

Struja četvrte grane:

44 G)U(I ab ⋅⋅⋅⋅−−−−====

Struja četvrte grane ima negativan predznak – teče u suprotnom smjeru od pretpostavljenog!


Metode rješavanja

Transfiguracija zvijezde i trokuta



U električnim shemama mogu otpori biti tako spojeni da se njihov rezultantni otpor ne može jednostavno odrediti.

Takve kombinacije otpora treba transfigurirati.

Transformacijom se ne smiju promijeniti niti strujne, niti naponske prilike u ostatku mreže.

Najčešće su transfiguracije trokuta otpora u zvijezdu i zvijezde u trokut.



Transfiguracija trokuta u zvijezdu

R13

R12 R23

2

1 3

R3

R2

0R1

312312

12311

RRR

RRR

++++++++⋅⋅⋅⋅

====

312312

23122

RRR

RRR

++++++++⋅⋅⋅⋅

====

312312

31233

RRR

RRR

++++++++⋅⋅⋅⋅

====



Transfiguracija zvijezde u trokut

R13

R12 R23

2

1 3

R3

R2

0R1

3

212112

R

RRRRR

⋅⋅⋅⋅++++++++====

1

323222

R

RRRRR

⋅⋅⋅⋅++++++++====

2

131331

R

RRRRR

⋅⋅⋅⋅++++++++====

III. ELEKTROMAGNETIZAM

ELEKTROMAGNETIZAM

Magnetsko polje

ELEKTROMAGNETIZAM

Magnetsko polje oko vodiča

Magnetsko polje

ELEKTROMAGNETIZAM Magnetsko polje

Smjer magnetskog polja oko vodiča

I

(

Smjer magnetskog polja oko dugog ravnog vodiča

Smjer magnetskog polja zavojnice



(

S

I

+- E

• Smjer magnetskog polja vezan je sa smjerom strujepravilom koje se često naziva pravilom desne ruke:

– ako vodič obuhvatimo desnom rukom tako da palac pokazuje smjer struje u vodiču, tada svinuti prsti pokazuju smjer silnica magnetskog polja.

• Polje postaje sve slabije ako se udaljavamo od vodiča.

• Silnice dugog ravnog vodiča su kružnog oblika.



• Struja koja teče kroz vodič stvara oko tog vodiča magnetsko polje.

• Slično pravilo desne ruke vrijedi i za smjer magnetskog polja zavojnice:

– ako zavojnicu obuhvatimo desnom rukom tako da svinuti prsti pokazuju smjer struje u zavojnici, tada palac pokazuje smjer silnica magnetskog polja.



• Polje je najjače unutar zavojnice – indukcija je najveća.

Sila na vodič u magnetskom polju

ELEKTROMAGNETIZAM

Sile u magnetskom polju

Bv

Sila na ravni vodič u homogenom magnetskom polju

ELEKTROMAGNETIZAM Sile u magnetskom polju


I

lv

( )BlIFvvv

×=

Fv

IlBF = • Iznos sile na vodič u homogenom magnetskom polju je:

• Smjer sile se određuje pravilom lijeve ruke:

– ako lijevu ruku postavimo tako da nam silnice udaraju u dlan, a prsti pokazuju smjer struje u vodiču, onda palac pokazuje smjer sile na vodič.

• Ovo pravilo vrijedi samo ako su silnice magnetskog polja okomite na vodič.



IlBF =

• U općem slučaju sila je:



( )BlIFvvv

×=

• Sila je vektorska veličina, kao i polje .Fv

Bv

• Struja I je skalarna veličina. Zato duljini pridjeljujemo vektorski karakter.

lv

• Pri tome duljina l vodiča odnosi se samo na onu duljinu koja se nalazi u polju indukcije B. Sam vodičmože biti dulji, a osim toga struja se mora zatvarati u strujnom krugu.



Bv

I

lv

d

BvF

vd

Sila na vodič u nehomogenom magnetskom polju

(((( ))))BlIFvvv

××××==== dd

∫∫∫∫∫∫∫∫ ××××========ll

BlIFFvvvv

dd

• Sasvim općenito magnetsko polje je nehomogeno, a vodič kojim teče struja može biti proizvoljnog oblika.

• U takvom općenitom slučaju možemo računati samo doprinose ukupnoj sili na djelić vodiča.

• Ukupna je sila jednaka integralu (zbroju) svih doprinosa sili duž cijelog vodiča.

• Pojava sile na vodič u magnetskom polju ima veliku primjenu u tehnici (npr. mjerni instrumenti, električni motori i generatori).


Sila na vodič u magnetskom poljuELEKTROMAGNETIZAM

Zakon o konzervaciji magnetskog toka

S


ELEKTROMAGNETIZAM

Tok magnetskih silnica kroz zatvorenu plohu

∫ ⋅=S

SBvv

dΦΦΦΦ

∫ =⋅S

SB 0dvv

• Svi pokusi pokazuju da su magnetske silnice u sebi zatvorene linije.

• To znači da svaka silnica koja ulazi na nekom mjestu u zatvorenu plohu, mora na nekom drugom mjestu izaći iz te plohe.

• Druga je mogućnost da silnica bude zatvorena u sebe unutar plohe.

• Ovo se svojstvo naziva principom neprekinutosti magnetskih silnica.


ELEKTROMAGNETIZAM

• Posljedica neprekinutosti magnetskih silnica je pojava da je ukupan magnetski tok kroz zatvorenu plohu jednak nuli.

• Prikazano u matematičkom obliku to znači da će zatvoreni plošni integral skalarnog produkta vektora magnetske indukcije i vektora diferencijala površine biti jednak nuli.

• Ovaj se zakon naziva zakon o konzervacijimagnetskog toka ili ponekad Gaussov zakon o magnetskoj indukciji.


ELEKTROMAGNETIZAM ELEKTROMAGNETIZAM

Biot-Savartov zakon

Biot-Savartov zakon

ELEKTROMAGNETIZAM

I

αααα

rrr0vv

=

Bv

d

Biot-Savartov zakon

lv

d

T

( )2

0

04

dd

r

rlIB

ππππµµµµ

vvv ×=

T

Biot-Savartov zakonELEKTROMAGNETIZAM

I

C

ααααlv

d0

rv r

Magnetska indukcija linijske struje u proizvoljnoj zatvorenoj konturi

( )2

0

04

dd

r

rlIB

ππππµµµµ

vvv ×=

∫×

=C

r

rlIB

2

0

0 d

4

vvv

ππππµµµµ

• Smjer polja može se odrediti prema pravilu desne ruke.

• Pomoću Biot-Savartovog zakona može se odrediti iznos indukcije bilo kakve linijske struje u zatvorenoj konturi.

• Za jednostavne konfiguracije može se indukcija odrediti analitičkim proračunom, a za složene konfiguracije koriste se numerički proračuni.


• Biot-Savartov zakon daje iznos doprinosa magnetskoj indukciji djelića struje u bilo kojoj točki prostora.lI

vd


Magnetska indukcija u osi kružne strujne petlje

I

C

lv

d

αααα

0rv

r

( )0,0,xTx0

y

z

a

Bv

d

αααα

xBv

d

ααααsindd BBx =

22sin

xa

a

r

a

+==αααα


=

( )2

0

04

dd

r

rlIB

ππππµµµµ

vvv ×=

rl ⊥d

2

0

4

dd

r

lIB

ππππµµµµ

= ∫==C

xx BBB d

ααααµµµµ 30 sin2a

I= ( )3

0

2 22

2

ax

Ia

+=

µµµµ∫=a

2l

r

Iππππ

ααααππππµµµµ 2

0

0 dsin4

=∫=C

B ααααsind


x0

B

I

C

x0

y

a

Bv

z( )30

2 22

2

ax

IaB

+=

µµµµ

a

IB

2

0µµµµ=max

• U osi kružne strujne petlje indukcija ima samo komponentu u smjeru osi.

• Za bilo koji djelić struje postoji uvijek simetrično postavljen djelić, tako da se komponente indukcije okomite na os međusobno poništavaju.

• Indukcija ima maksimalnu vrijednost u ravnini na kojoj leži strujna petlja, a zatim opada prema nuli pri udaljavanju od petlje.

• U točkama izvan osi petlje raspodjela indukcije ne može se jednostavno izračunati.



Helmholtzovi svici

x

B

0

x0

a

y

a

1 2

a

1B 2B

21 BBB +=

• U slobodnom prostoru će se indukcija koju stvara bilo kakav sustav struja vektorski zbrajati.

• Ako se dva jednaka okrugla zavoja protjecana jednakom strujom postave na razmak jednak njihovom polumjeru, i to tako da im se osi podudaraju,rezultantno magnetsko polje u njihovoj osi bit će između zavoja skoro konstantno.

• Umjesto pojedinačnog zavoja mogu se koristiti i okrugli svici.

• Takvi se svici nazivaju Helmholtzovi svici.



Magnetska indukcija u osi ravnog solenoida

Silnice magnetskog polja ravnog solenoida

I Biot-Savartov zakon

ELEKTROMAGNETIZAM

αααα

ααααd

xd

xl

(II dd =

xb

l

T

a

xb−

Bd ααααctgaxb =−

ααααctgabx −=

ααααµµµµ 30 sin2

dd

a

IB = αααα

µµµµ3

0

sin2

d

a

xl

(I

=

αααα

ααααd

xdT

a

Bd

Biot-Savartov zakon

ELEKTROMAGNETIZAM

1αααα2αααα

ααααctgabx −=

αααααααα

dsin

d2

ax =

ααααµµµµ

30

sin2

d

da

xl

(I

B = ααααααααµµµµ

dsin2

0

l

(I=

∫=2

1

dsin2

0

αααα

αααα

ααααααααµµµµ

l

(IB ( )21

0 coscos2

ααααααααµµµµ

−=l

(I

• U sredini solenoida indukcija u osi je:

a na krajevima:


2

0

21

1

+

=

l

al

(IB

µµµµ

2

0

1

1

2

+

=

l

al

(IB

µµµµ

• Za vrlo dugi solenoid (l>>a) dobije se za sredinu solenoida vrijednost:

a na krajevima polovica ove vrijednosti :


l

(IB 0µµµµ=

l

(IB

2

0µµµµ=

ELEKTROMAGNETIZAM

Sila između dvije strujne petlje

Sila između dvije strujne petljeELEKTROMAGNETIZAM

Bv

I

BvF

vd

lv

d


( )BlIFvvv

×= dd

∫∫ ×==ll

BlIFFvvvv

dd

Sila između dvije strujne petljeELEKTROMAGNETIZAM

1I

1C

2I

2C1dlv

αααα

0

12rv 12r

1dBv

2dlv

Ampereov zakon u

elementarnom obliku

( )2

0

121101

4

dd

r

rlIB

ππππµµµµ

vvv ×=

( )12212 ddd BlIFvvv

×= ( )[ ]0

12122

12

021 dd

1

4rll

r

II vvv××= µµµµ

ππππ

( )∫ ∫ ××=2 1

0

12122

12

02112 dd

1

4C C

rllr

IIF

vvvv

ππππµµµµ

• Pomoću Biot-Savartovog zakona možemo odrediti indukciju koju stvara bilo kakva strujna petlja.

ELEKTROMAGNETIZAM Sila između dvije strujne petlje

• S druge strane, silu na djelić struje možemo računati prema Ampereovom zakonu.

lIv

d

• Ponekad se dobiveni izraz naziva Ampereovim zakonom u elementarnom obliku.

• Ukupna sila između dvije strujne petlje proizvoljnog oblika i međusobnog položaja dobije se kao dvostruki zatvoreni krivuljni integral infinitezimalno malenog iznosa sile koja je rezultat magnetskog polja koje stvara diferencijal jedne struje na mjestu diferencijala druge struje.

ELEKTROMAGNETIZAM

Definicija jedinice amper

Definicija jedinice amper

ELEKTROMAGNETIZAM

I

1

Sila između dva tanka duga paralena vodiča

I

2

21Fv

12Fv

d

d

IB

ππππµµµµ2

01 =

lIBF 112 =

ld

IF

ππππµµµµ2

2

0=1Bv

• Sila između dva duga, tanka paralelna vodiča protjecana jednakim iznosom struje proporcionlna je duljini vodiča i kvadratu iznosa struje.

• Preko te sile definira se SI jedinica za jakost struje:

Struja od jednog ampera je ona istosmjerna struja koja pri protjecanju kroz dva paralelna, vrlo tanka, beskonačno duga vodiča na razmaku od jednog metra, u vakuumu, stvara silu na svaki vodič od 2·10-7 N/m.

• Realizacija uređaja za definiciju ampera je strujna vaga, kod koje se sila između vodiča računa pomoću Ampereovog zakona u elementarnom obliku.

ELEKTROMAGNETIZAM

Definicija jedinice amperELEKTROMAGNETIZAM

Elektromagnetska indukcija

Elektromagnetska indukcija u vodljivom štapu koji se giba u magnetskom polju

Bv

( )BvqFm

vvv×=

Elektromagnetska indukcija u štapu koji se giba u magnetskom polju

ELEKTROMAGNETIZAM Elektromagnetska indukcija

BvEi

vvr×=

0=+ em FFvvEqFe

vv=

0=+ iEEvv BvE

vvv×−=

+

-

vv

iEr

q

Ev



• Ta sila će izazvati pomicanje naboja u štapu, tako da će se na jednom kraju štapa pojaviti pozitivan, a na drugom negativan naboj.

• Ako vodljivi štap pomičemo konstantnom brzinom u konstantnom magnetskom polju na naboj q u štapu djelovat će sila .mF

v

• Možemo reći da na naboj djeluje vektor induciranog električnog polja koji je jednak vektorskom produktu brzine štapa i vektora magnetskog polja.

iEv

• Ovi naboji izazvat će u štapu električno polje . Ev



• Raspored električnog polja u štapu bit će takav da će na svakom mjestu u štapu ukupna sila na naboje biti jednaka nuli.

• Drukčije rečeno vektor električnog polja zbog razdvojenih električnih naboja bit će u ravnoteži s vektorom induciranog električnog polja.

• Pojava vektora induciranog električnog polja nije posljedica raspodjele naboja, i suprotnog je smjera nego polje zbog raspodjele naboja.



BvEi

vvr×=

Bv

lv

vv

Napon pomicanja

( ) lBvevvv⋅×=iE

r

q

+

- ( ) lBv

Uvvv⋅×=

=−= 2112 ϕϕϕϕϕϕϕϕ

V

+

-

1

2



• Jakost vektora induciranog električnog polja u prikazanom primjeru konstantna je cijelom dužinim štapa koji se nalazi u magnetskom polju.

• Na krajevima štapa pojavljuje se kao posljedica ovog polja elektromotorna sila:

( ) lBvevvv⋅×=

• Ova se elektromotorna sila naziva elektromotorna sila pomicanja (gibanja).

• Ako na krajeve vodiča koji se giba u magnetskom polju spojimo voltmetar, izmjerit ćemo napon, koji nazivamo napon pomicanja ili napon gibanja.

• Takav vodič možemo promatrati kao naponski izvor.

• Ako izvor nije opterećen, napon će biti jednak elektromotornoj sili.

• Taj je napon najveći ako su vektori brzine, indukcije i duljine vodiča okomiti jedan na drugoga:



vBlU =

• Smjer induciranog napona često praktično određujemo tzv. pravilom desne ruke:

Ako desnu ruku postavimo tako da nam silnice

udaraju u dlan, a palac pokazuje smjer gibanja

vodiča, onda će ispruženi prsti pokazivati smjer

induciranog napona (tj. položaj točke s višim

potencijalom).



• Naravno, pravilo desne ruke vrijedi ako su vektori indukcije, duljine i brzine okomiti.

• U općem slučaju treba računati pomoću vektorskog produkta za elektromotornu silu.


Bv

vv

1

2

lv

d


Gibanje neravnog vodiča u nehomogenom polju

( ) lBvevvv

dd ⋅×=

( )∫ ⋅×=2

1

dlBvevvv

• Vodič koji se giba u magnetskom polju ne mora biti ravan, a magnetsko polje ne mora biti homogeno.

• Elektromotornu silu dobijemo kao integral diferencijala elektromotorne sile duž vodiča.

• U takvom će slučaju općenito elektromotorna sila biti vremenski ovisna veličina:



( ) ( )telBve =⋅×= ∫2

1

dvvv

Otpor strujnog kruga

Elektromagnetska indukcija u štapu koji se giba u magnetskom poljuELEKTROMAGNETIZAM Elektromagnetska indukcija

Bv

lv

+

-

e

I

vv

Struja u krugu proizvedene elektromotorne sile pomicanja

( ) lBvevvv⋅×=

R

eI =

• Ako vodič koji se giba u magnetskom polju postavimo na dva stacionarna vodiča, tako da on po njima kliže, stacionarni vodiči će biti na različitom potencijalu.

• Stacionarne vodiče možemo spojiti, i u tako uspostavljenom električnom krugu poteći će struja.

• Iznos struje bit će određen elektromotornom silom i ukupnim otporom u krugu.

• Pri tome smatramo da vodiči u krugu nisu idealni, nego imaju neki otpor R.


ELEKTROMAGNETIZAM Elektromagnetska indukcijaElektromagnetska indukcija u štapu koji se giba u magnetskom polju


Mehanička sila potrebna

da se nastavi gibanje

Bv

lv

I

vv

Ravnoteža sila pri gibanju vodiča u magnetskom polju

+

-

e

( )BlIFm

vvv×=

mFv

mFFvv

−=0

0Fv



IlBFm =

tIeAel dd = tvlBId=

tvFAmeh dd 0= tvFm d−= tIlBvd−=

mehel AA dd −=

• Budući da se vodič, kojim teče struja, nalazi u magnetskom polju, na njega će djelovati sila Fm

prema Ampereovom zakonu.

• Da bi se vodič nastavio gibati istom brzinom, moramo na njega primijeniti vanjsku mehaničku silu F0 .

• Pri tome ta mehanička vanjska sila mora biti jednakog iznosa i suprotnog smjera u odnosu na silu na vodičusljed magnetskog polja.

• Pri tome ulažemo mehanički rad.



• Električni rad jednak je umnošku struje, napona i vremena.

• Mehanički rad jednak je umnošku sile, brzine i vremena.

• Ako za silu i inducirani napon uvrstimo veličine koje ih prikazuju kao funkcije indukcije, duljine vodiča, struje i brzine, lako možemo pokazati da su električni i mehanički rad jednakog iznosa i suprotnog predznaka.

• Naravno, to mora biti tako zbog zakona o očuvanju energije.



• Ustvari, naš uređaj predstavlja u principu pretvaračmehaničke energije u električnu.

• Pri tome se električna energija pretvara u toplinsku energiju u električnim otporima spojnih vodova.

• Može se pokazati da vrijedi i obrat, tj. da na analogan način možemo pretvarati električnu energiju u mehaničku.

• Pri tome bi u električni krug trebalo postaviti izvor električne energije, zbog čega bi potekla struja.

• Struja u magnetskom polju bi izazvala silu, koja bi mogla izvršiti mehanički rad.



ELEKTROMAGNETIZAM

Faraday-Lenzov zakon

Elektromagnetska indukcijaFaraday-Lenzov zakon


Principijelni prikaz Faradayevog pokusa iz 1831. godine

+

-

A

2I

1I

2

+

-

1

E

• Faraday je pokusima pokušavao pronaći analogiju između elektrostatske influencije i električne struje.

• Konstantna struja u jednoj zavojnici nije izazivala struju u drugoj.

• 1831. je u jednom pokusu ustanovio da promjena struje u jednoj zavojnici izaziva struju u drugoj.

• Pri tome je do pojave struje dolazilo i pri povećavanju, i pri smanjivanju struje u prvoj zavojnici.





• Elektromotorna sila u zatvorenoj konturi jednaka je negativnoj derivaciji obuhvaćenog magnetskog toka po vremenu.

te

d

dΦΦΦΦ−=

• Uz rezultate drugih istraživača (Henry, Lenz) ustanovljeno je da struju u zavojnici izaziva promjena magnetskog toka u zavojnici.

• Matematičku formulaciju za elektromotornu silu u zatvorenoj konturi dao je Neumann 1845. godine:

• Navedeni je izraz poznat kao Faraday-Lenzov ili često samo kao Faradayev zakon elektromagnetske indukcije.

• Pri tome je potpuno svejedno što izaziva promjenu magnetskog toka.

• To može biti:– pomicanje permanentnog magneta

– promjena struje u drugoj zavojnici

– pomicanje konture

– promjena oblika konture

– itd.





Smjer struje u sekundarnoj zavojnici pri uključivanju struje u primarnoj

1I

Tok Φ2 se protivi

povećanju toka

kroz zavojnicu 22ΦΦΦΦ

+

-

A

2I2

+

-

1

1ΦΦΦΦ E



Smjer struje u sekundarnoj zavojnici pri iskjučivanju struje u primarnoj

01 =I

Tok Φ2 se protivi

smanjenju toka

kroz zavojnicu 22ΦΦΦΦ

01→ΦΦΦΦ

A

2

+

-

1

2I

E• Ova je pojava poznata pod nazivom Lenzovo pravilo.

• Ako je obuhvaćeni tok bio nula, struja će se protiviti njegovom povećanju.

• Ako je obuhvaćeni tok imao vrijednost različitu od nule, struja će se protiviti njegovoj promjeni.



• Smjer induciranog napona u zavoju je uvijek takav da od tog napona stvorena struja svojim magnetskim učinkom nastoji spriječiti promjenu obuhvaćenog magnetskog toka.



• Struja može ulančavati tok koji stvara neki permanentni magnet, ili neka druga zavojnica.

• Uobičajeno je ulančani tok označavati s ΨΨΨΨ.

• Ulančani tok svitka s ( zavoja jednak je sumi tokova kroz pojedine zavoje.

• Često je dovoljno točno pomnožiti tok kroz jedan zavoj s brojem zavoja, kao npr. kod torusne zavojnice, da bi se dobio ulančani tok.

• Prema Faradayevom zakonu elektromagnetske indukcije promjena magnetskog toka kroz svaki zavoj izaziva induciranje napona.



• To znači da pri računanju iznosa iduciranog napona treba uzeti u obzir ulančani magnetski tok:

• Kao što je već spomenuto, pri tome je svejedno što uzrokuje ulančani tok i njegovu promjenu.

te

d

dΨΨΨΨ−=

S



Princip generiranja izmjeničnog napona

B

Vodiči

Klizni prsteni

Četkice

Os vrtnje

Smjer vrtnje

ωωωω



tSB ωωωωcos=

Bv

αααα

tωωωωαααα =ωωωω

ααααΦΦΦΦ cosSB=



tSB ωωωωωωωω sin=

tEe m ωωωωsin=Ako umjesto jednog imamo (zavoja, maksimalni iznos elektromotorne sile bit će (puta veći:

SB(Em ωωωω= tSB(e ωωωωωωωω sin=

• Elektromotorna sila ima sinusoidalan oblik. Pri tome se veličina ωωωω naziva kružna frekvencija.

te

d

dΦΦΦΦ−= ( )t

tSB ωωωωcos

d

d−=



2

TT

e

0

t

tωωωωππππ ππππ2

tEe m ωωωωsin=

fππππωωωω 2=

perioda

tfEe m ππππ2sin=

Tf

1=

frekvencija

SB(Em ωωωω=



• Izmjenična elektromotorna sila može se generirati pomoću žičane petlje koja se vrti u homogenom magnetskom polju.

• Krajevi petlje spoje se na klizne prstene, po kojima klize četkice koje osiguravaju stalan električki kontakt.

• Ako je brzina vrtnje konstantna, napon je sinusoidalnog oblika.

• Maksimalna vrijednost napona ovisi o indukciji, površini petlje i brzini vrtnje. Napon se može povećati ako se umjesto jednostruke petlje koristi više zavoja, pa je tada ukupni ulančani tok toliko puta veći koliko ima zavoja.



Princip generiranja istosmjernog napona

S

Vodiči namota

ČetkiceLamele kolektora

B

Os vrtnje

Smjer vrtnje

ωωωω



e

o

t

SB(Em ωωωω=

Istosmjerni pulsirajući napon

• Istosmjerni puslirajući napon može se dobiti iz sličnog uređaja kao i izmjenični, ako se klizni prsteni zamijene kolektorom s dvije lamele.



• Sustav kolektor-četkice predstavlja pri tome mehanički ispravljač, pa se na četkicama dobije pulsirajući istosmjerni napon.

• Manje amplitude pulsacija postižu se s više prostorno raspoređenih zavoja (svitaka) koji su spojeni na kolektor s više lamela.

• Budući da se danas pomoću poluvodičkih uređaja može jednostavno dobiti istosmjerni napon, generatori istosmjernog napona pomoću kolektora se vrlo rijetko koriste.



• Za oba prikazana uređaja elektromehaničkih pretvarača energije vrijedi i obrat.

• To znači da se takvi uređaji mogu koristiti i kao pretvarači električne energije u mehaničku, tj. kao električni motori.

• Praktične izvedbe takvih uređaja dosta se razlikuju od njihovog principijelnog prikaza.

• Osnovni razlog za to je potreba za homogenim magnetskim poljem u velikom volumenu.

ELEKTROMAGNETIZAM

Magnetski krugovi

Jednostavan magnetski krug


ELEKTROMAGNETIZAM Magnetski krugovi

(

I

l

I(SµµµµΦΦΦΦ = rµµµµµµµµµµµµ 0=

S

lRm µµµµ=

mR

I(=ΦΦΦΦ

ΦΦΦΦI(

Rm =

l

Sm

µµµµΛΛΛΛ =

Ohmov zakon za

magnetski krug

protjecanje

ΘΘΘΘ=I(



• Najjednostavniji magnetski krug predstavlja tanki torus s jednoliko raspoređenim namotom.

• Umnožak broja zavoja i struje predstavlja protjecanje ili magnetsku uzbudu ΘΘΘΘ.

• Magnetski otpor ili reluktanciju Rm određujemo na analogan način kao električni otpor vodiča u strujnom krugu.

• Magnetski krug može biti linearan ili nelinearan, što ovisi o permeabilnosti µµµµ koja može biti konstantna ili ovisiti o indukciji.



• Ohmov zakon za magnetske krugove definiran je po analogiji za električne krugove.

• Ako je tijelo torusa načinjeno od feromagnetskogmaterijala, nazivamo ga željeznom jezgrom, i smatramo da ima nelinearna svojstva.

• Nelinearna svojstva jezgre se gotovo uvijek definiraju pomoću krivulje magnetiziranja koja može biti zadana tablično ili grafički (a ne preko permeabilnosti).

• Iako nelinearan, jednostavan magnetski krug, kao npr. torus od punog željeza, možemo direktno riješiti.



1ΦΦΦΦΦΦΦΦ =SS =

(( =ll =

?=I

SB 1

1

ΦΦΦΦ=

1B

1H

lHI( 1==ΘΘΘΘ

(

lHI 1=

B

0 H



1II =

SS =

(( =ll =

?=ΦΦΦΦ

lH(I 11 =

1H

B

0 H

l

(IH 1

1 =

SB11 =ΦΦΦΦ

1B



• Za rješavanje magnetskog kruga moraju biti poznate dimenzije kruga, broj zavoja i krivulja magnetiziranja.

• Ako je zadan magnetski tok ΦΦΦΦ, onda se najprije izračuna indukcija B u jezgri.

• Iz krivulje magnetiziranja odredi se jakost polja H.

• Na osnovu jakosti polja H i srednje duljine silnice l

odredi se potrebna uzbuda ΘΘΘΘ (protjecanje).

• Struja I je onda jednaka uzbudi podijeljenoj s brojem zavoja (.



• Ako je zadana struja a traži se tok, prvo se odredi uzbuda ΘΘΘΘ (protjecanje) kao umnožak struje I i broja zavoja (.

• Jakost polja H jednaka je uzbudi ΘΘΘΘ podijeljenoj s duljinom silnice l.

• Iz karakteristike magnetiziranja odredi se pripadna indukcija B.

• Tok ΦΦΦΦ je umnožak indukcije i presjeka jezgre S.

• Istim postupkom se može odrediti bilo koja vrijednost traženog toka, ili struje.

ELEKTROMAGNETIZAM

Magnetski krug sa zračnim rasporom

Magnetski krugovi



Magnetski krug s jezgrom konstantnog presjeka

konst.S =(

I

(

I

l

0l

0S

ΘΘΘΘ==+ I(lHHl 00

BSSB =00



ΘΘΘΘ==+ I(lHHl 00?=I

B

0 HΦΦΦΦ(

l

S

l

S

0

0zadano

SB

ΦΦΦΦ=

H

0

0S

BΦΦΦΦ

=0

00 µµµµ

BH =

(

lHHlI 00+=



I(lHHl =+ 00?=ΦΦΦΦ

0

00 µµµµ

BH =

B

0 H

(

l

S

l

S

0

0zadano

I

00S

BS

µµµµ=

jednadžba pravca

0

00

Sl

I(S µµµµ

l

I(

0

00

0

00

Sl

I(S

Sl

lSHB

µµµµµµµµ+−=

B

H

BS=ΦΦΦΦ



• Magnetski krug sa zračnim rasporom može se direktno riješiti ako je zadan magnetski tok, a traži sepotrebna uzbuda ΘΘΘΘ .

• Indukcija u jezgri odredi se na osnovu toka i presjeka jezgre.

• Iz krivulje magnetiziranja očita se pripadna jakost poljai tako odredi potrebna uzbuda za jezgru.

• Potrebna uzbuda za zračni raspor dobije se na osnovu jakosti polja u zračnom rasporu. Ukupna uzbuda ΘΘΘΘ je suma uzbude za željezo i zračni raspor.



• Ako se traži tok za zadanu uzbudnu struju, zadatak se može riješiti grafički ako je jezgra konstantnog presjeka.

• Iz uvjeta da je tok kroz jezgru jednak toku kroz zračni raspor i zakona protjecanja za srednju silnicu dobije se relacija koja predstavlja pravac u B-H dijagramu.

• Presjecište tog pravca i krivulje magnetiziranja definira radnu točku jezgre, tj. vrijednost indukcije i polja u jezgri.

• Tok se dobije množenjem tako dobivene indukcije i presjeka jezgre.

(

Magnetski krug sa zračnim rasporomELEKTROMAGNETIZAM Magnetski krugovi

Magnetski krug s jezgrom promjenljivog presjeka

I

1l

0l

2l

2l

3l

4l1S4S

2S

3S2S

0S

004433

2211 2

lHlHlH

lHlHI(

+++

++==ΘΘΘΘ

odaberemo

ΦΦΦΦ1

1S

BΦΦΦΦ

=

2

2S

BΦΦΦΦ

=

3

3S

BΦΦΦΦ

=

34 BB =34 SS =

Magnetski krug sa zračnim rasporomELEKTROMAGNETIZAM Magnetski krugovi

B

0 H

1B

1H2H

2B

3H

3B

00

0 µµµµΦΦΦΦS

H =

• Provedenim postupkom određena je jedna točka za odabrani (ili zadani) magnetski tok.

( ) 00433

2211 2

lHllH

lHlHI(

+++

++=



• Ako je zadana struja, a traži se tok za zadanu struju, ne može se ga direktno izračunati, niti odrediti grafički.

ΦΦΦΦ

0mF

[ ]Wb

[ ]A

Karakteristika magnetskog kruga



• Presjek jezgre ne mora biti svagdje jednak. Svojstva materijala jezgre mogu također biti različita za razne dijelove magnetskog kruga.

• U takvom slučaju moguće je jedino izračunati potrebnu uzbudu ΘΘΘΘ za zadani magnetski tok.

• Taj se postupak ponovi za različite iznose toka, i rezultati se prikažu grafički u veber-amperskoj karakteristici magnetskog kruga.

• Na osnovu ove karakteristike može se odrediti tok za zadanu uzbudu ΘΘΘΘ.



ΦΦΦΦ

0 ΘΘΘΘ

[ ]Wb

[ ]A

pravac magnetiziranja

zračnog raspora

zračni raspor linearizira

karakteristiku magnetskog kruga

0ΘΘΘΘ FeΘΘΘΘ



ΦΦΦΦ

0 ΘΘΘΘ

[ ]Wb

[ ]A

Utjecaj zračnog raspora na karakteristiku magnetskog kruga

0ΘΘΘΘ FeΘΘΘΘ

FeΘΘΘΘ

02ΘΘΘΘ

karakteristika za

zračni raspor 2l0

karakteristika za

zračni raspor l0

magnetski napon za

zračni raspor se poveća

magnetski napon za

željezo se ne promijeni



• Postupak određivanja karakteristike magnetskog kruga čija jezgra nema svagdje jednak presjek jednak je bez obzira na to ima li magnetski krug zračni raspor ili ne.

• Ako zračni raspor postoji, on je često najveći dio magnetskog otpora cijelog kruga.

• Budući da je taj magnetski otpor konstantan i relativno velik, on znatno utječe na karakteristiku kruga.

• Za male iznose magnetskog toka karakteristika je praktički linearna, i potrebna uzbuda se troši gotovo isključivo na magnetiziranje zračnog raspora.



• Tangenta na karakteristiku kruga u ishodištupredstavlja praktički karakteristiku magnetiziranja zračnog raspora.

• Taj se pravac često naziva pravac zračnog raspora.

• Ako se raspor promijeni, nagib pravca će se promijeniti.

• Veći zračni raspor pomiče pravac udesno, a manji ulijevo.

• Dio uzbude za željezo praktički se pri tome ne mijenja.

ELEKTROMAGNETIZAM

Složeni magnetski krugovi

Magnetski krugovi



(

1S

4S

2S

5S

3S

0S

I

0l

a

b

1ΦΦΦΦ 3ΦΦΦΦ

2ΦΦΦΦ

Primjer složenog magnetskog kruga

1l

2l

5l

3l

4l



ili općenito:

321 ΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦ +=

01

=∑=

n

k

kΦΦΦΦPrvi Kirchhoffovzakon za magnetski krug

I(lHlHlHlHlH =++++ 4400553311

ili općenito:

∑∑==

=n

i

ik

m

k

k lH11

ΘΘΘΘDrugi Kirchhoffovzakon za magnetski krug



• Da bi se riješio složeni magnetski krug uz Ohmovzakon za magnetske krugove koriste se i Kirchhoffovizakoni za magnetske krugove.

• Prvi Kirchhoffov zakon za magnetski krug predstavlja ustvari zakon o konzervaciji magnetskog tokaprimijenjen na čvor magnetskog kruga gdje se magnetski tok račva.

• Drugi Kirchhoffov zakon je Ampereov zakon protjecanja.

• Pri rješavanju magnetskog kruga moramo uzeti u obzir nelinearnost pojedinih dijelova kruga.



321 ΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦ +=

ΘΘΘΘ==+ I(lHlH 2211

04400553322 =++++− lHlHlHlHlH

11lHVab −=ΘΘΘΘmagnetski napon

između čvora a i b

22lH= 44005533 lHlHlHlH +++=

(e znamo jakosti polja za pojedine segmente!

Karakteristike pojedinih dijelova kruga

moramo računati točku po točku



ΦΦΦΦ

0

[ ]Wb

[ ]AV

( )111 Vf=ΦΦΦΦ

( )abVf22 =ΦΦΦΦ

( )abVf33 =ΦΦΦΦ

1V abV

abVlH +11

( )abVf2332 =+ΦΦΦΦΦΦΦΦ

( )ΘΘΘΘΦΦΦΦ f=1

ΘΘΘΘ

Φ



• Složeni magnetski krug se rješava grafičkom ili numeričkom metodom u više koraka:

– odredimo krivulje tokova ΦΦΦΦ3 i ΦΦΦΦ2 u ovisnosti o uzbudi točku po točku,

– krivulje tokova ΦΦΦΦ3 i ΦΦΦΦ2 zbrojimo po ordinatama, pa dobijemo

karakteristiku ΦΦΦΦ3 + ΦΦΦΦ2 u ovisnosti o uzbudi,

– odredimo karakteristiku ΦΦΦΦ1 u ovisnosti o uzbudi,

– ukupno potrebnu uzbudu za bilo koji iznos ukupnog toka dobijemo zbrajanjem potrebne uzbude, tj. zbrajanjem po apscisama.


22lHVab ====

222 SB====ΦΦΦΦ

• Određivanje ΦΦΦΦ2:

• Odabrati iz odrediti2B )H(fB==== 2H

)!V(f ab====2 ΦΦΦΦ

• Postupak ponoviti s više vrijednosti indukcija i

odrediti krivulju

2B



0543 VVVVVab ++++++++++++====

000

000

0

000

SB

lHVB

HB

====

====⇒⇒⇒⇒====⇒⇒⇒⇒

ΦΦΦΦ

µµµµ• Odabrati

⇒⇒⇒⇒====⇒⇒⇒⇒====3

3303

SB

ΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦ iz odrediti)H(fB ==== 3333 lHVH ====⇒⇒⇒⇒

⇒⇒⇒⇒====⇒⇒⇒⇒====4

4434

SB

ΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦ iz odrediti)H(fB ====

4444 lHVH ====⇒⇒⇒⇒

⇒⇒⇒⇒====⇒⇒⇒⇒====5

5535

SB

ΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦ iz odrediti)H(fB ==== 5555 lHVH ====⇒⇒⇒⇒

)V(f ab====3ΦΦΦΦ• Ponoviti s više vrijednosti indukcija B0 i odrediti



321 ΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦ ++++====)V( ab• Grafički (numerički) odrediti krivulju

• Odabrati iz odrediti⇒⇒⇒⇒====⇒⇒⇒⇒1

111

SB

ΦΦΦΦΦΦΦΦ )H(fB==== 1111 lHVH ====⇒⇒⇒⇒

1VVI( ab ++++========ΘΘΘΘ• Odrediti

1 ΦΦΦΦ• Postupak ponoviti s više vrijednosti !

)V( 11ΦΦΦΦ• Odrediti krivulju

)(ΘΘΘΘΦΦΦΦ1• Odrediti krivulju

• Očitati magnetski tok za zadanu uzbudu !1ΦΦΦΦ ΘΘΘΘ

ELEKTROMAGNETIZAM

Magnetski krug s permanentnim magnetom

Magnetski krugovi

mH



B

0 H

rB

I

mH

Magnetiziranje prstenastog magneta

ΦΦΦΦ



0l

l

mH

B

0

H

rB

0d 00 =+=∫ lHHllHvv

l

lHH 0

0−=

B

H−



• Ako namagnetiziramo torusnu jezgru od tvrdog magnetskog materijala, u njoj će nakon isključenja vanjskog magnetskog polja ostati indukcija Br.

• Takav permanentni magnet ima vrlo ograničenu uporabnu vrijednost.

• Ako takav permanentni magnet razrežemo, dobijemo zračni raspor duljine l0.

• Primjenom zakona protjecanja na srednju silnicu ustanovimo da je polje u magnetu negativno, tj. suprotno smjeru indukcije. Indukcija se smanji.



BSSB =00

0

0S

BSB =

0

00 µµµµ

BH =

00S

BS

µµµµ=

l

lHH 0

0−= BS

S

l

l

0

0

0

1

µµµµ−=

BkH R−=

0

0

0

1

S

S

l

lkR µµµµ= koeficijent razmagnetiziranja

jednadžba pravca u B-H dijagramu



B

H

H= -kR B

B

0 H

rB

cH−

Tradna točka

l

S

S

lkR

00

0

µµµµ=

veći Rm0

manji Rm0



• Radna točka magneta određena je presjecištempravca čiji je nagib definiran koeficijentom razmagnetiziranja kR i karakteristike magnetiziranja.

• Koeficijent razmagnetiziranja možemo promatrati kao umnožak magnetskog otpora zračnog raspora Rm0 i omjera površine presjeka S i duljine magneta l.

• Povećanje magnetskog otpora zračnog raspora pomiče pravac i radnu točku ulijevo, tj. daje manju indukciju. Smanjenje otpora zračnog raspora daje radnu točku s većom indukcijom u magnetu.



0

0S

SBB =

l

lHH 0

0=l

lB 0

0

0

µµµµ=

volumen

magneta

volumen zračnog

raspora

0

00l

lHB µµµµ=

0

0

2

0V

VHBB µµµµ=

HB

BVV

0

2

00

µµµµ=

00

0

2

0lS

SlHBB µµµµ=

Minimalan volumen magneta

dobijemo ako imamo

maksimalan umnožak BH.



B

0 H

rB

cH−

BH

(((( ))))maxBHoptBT

optimalna

radna točka

Određivanje optimalne radne točke



• Indukciju i jakost polja u zračnom rasporu dobijemo iz osnovne relacije da je tok u magnetu jednak toku u zračnom rasporu.

• Kvalitetni magnetski materijali su skupi i teško se obrađuju.

• Često se zračni raspor oblikuje dodacima od mekog željeza, čiji se magnetski otpor u proračunu obično može zanemariti, jer se ne radi o visokim indukcijama.

• Zračni se raspor može oblikovati tako da je indukcija veća ili manja od indukcije u magnetu.



• Obzirom na cijenu magnetskih materijala, potrebno je odrediti volumen magneta tako, da se postigne potrebna indukcija u volumenu zračnog raspora, uz što manji volumen magneta.

• Minimum volumena postiže se radnu točku za koju je umnožak BH maksimalan.

• Potreban volumen magneta se odredi na osnovu tog umnoška, zahtijevane indukcije u zračnom rasporu i volumena zračnog raspora.



• Potrebne dimenzije zračnog raspora dobiju se tako da se ostatak magnetskog kruga formira dodacima od mekog željeza.

• Suvremeni magnetski materijali za permanentne magnete imaju relativno nisku remanentnu indukciju, ali veliku koercitivnost. Umnožak BH je velik.

• Za njihovo magnetiziranje potrebna su vrlo jaka magnetska polja, i u uobičajenim ih je uvjetima praktički nemoguće razmagnetizirati.

Documents

Električni strujni krugovi, rešavanje električnog kola, elektromagnetizam