Pontificia Universidad Catolica de ChileFacultad de Fsica

Fabian Cadiz

Electrodinamica

Con ejercicios resueltos

1

You can know the name of a bird in all the languages of the world, but whenyoure finished, youll know absolutely nothing whatever about the bird... So letslook at the bird and see what its doing thats what counts. I learned very earlythe difference between knowing the name of something and knowing something.

Richard FeynmanFsico (1918 - 1988)

2

Indice general

Indice general 3

I Electrostatica 9

1 Elementos de Calculo vectorial 11

1.1. Algebra de Vectores en 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2. Calculo diferencial en 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3. Calculo Integral en 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4. Operadores diferenciales en diferentes sistemas de coordenadas . . . . . . . . . . . . . 18

2 Introduccion 21

2.1. Breve historia de la fsica contemporanea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2. Teora Electromagnetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3 Electrostatica 33

3.1. Campo Electrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2. Distribuciones continuas de carga - Integrales de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.3. Delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.4. Propiedades de la delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4 Ley de Gauss 65

4.1. Ley de Gauss de la Electrostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5 El potencial Electrostatico 93

5.1. Interpretacion Fsica del Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.2. Energa Potencial de una distribucion de carga discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.3. El dipolo Electrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.4. Campo de un Dipolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.5. Energa potencial de un dipolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.6. Fuerza sobre un dipolo situado en un campo externo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.7. Expansion Multipolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

6 Las dos leyes fundamentales de la Electrostatica 137

6.1. Completitud de la teora Electrostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

6.2. Completitud de la Electrostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

6.3. Apendice: Descomposicion de Helmholtz en un volumen finito . . . . . . . . . . . . . . 147

II Conductores, Ecuaciones de Poisson y Laplace 151

7 Conductores 153

7.1. Condensadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

7.2. Ecuaciones de Poisson y Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

7.3. Almacenamiento de Energa en un condensador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

3

7.4. Fuerzas entre conductores cargados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

7.5. Condensadores en circuitos electricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

8 Ecuaciones de Poisson y Laplace 203

8.1. Ecuaciones de Poisson y Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

8.2. Ecuacion Integral de Poisson: Teoremas de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

8.3. Teoremas de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

8.4. Condiciones de Contorno: Unicidad de las soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

8.5. Funciones de Green: Solucion formal a los problemas de contorno . . . . . . . . . . . . 214

8.6. Funciones de Green G(x, x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

9 Solucion de la Ecuacion de Poisson y Laplace 221

9.1. Metodo de las Imagenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

9.2. Funciones Ortogonales y Expansiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

9.3. Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

9.4. Ecuacion de Laplace en Coordenadas Rectangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

9.5. Ecuacion de Laplace en coordenadas Cilndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

9.6. Ecuacion de Laplace en Coordenadas Esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

9.7. Polinomios de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

9.8. Problemas de Contorno con Simetra Azimutal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

9.9. Armonicos Esfericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

IIIEl campo en medios materiales 307

10 Dielectricos 309

10.1. El campo en medios Dielectricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

10.2. Ley de Gauss en un Dielectrico, Desplazamiento Electrico . . . . . . . . . . . . . . . . 312

10.3. Forma diferencial de la Ley de Gauss General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

10.4. Susceptibilidad Electrica y constante Dielectrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

10.5. Condiciones de borde en la frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

10.6. Condensadores con Dielectricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

IVCorrientes Electricas 357

11 Corrientes Electricas 359

11.1. Densidad de Corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360

11.2. Continuidad de la carga Electrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360

11.3. Ley de Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

11.4. Circuitos Electricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364

11.5. Circuitos RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392

V Magnetostatica. Campos variantes en el tiempo 411

12 Magnetostatica 413

12.1. Fuerza magnetica sobre una carga puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415

12.2. Movimiento de una carga en un campo electrico y magnetico uniforme . . . . . . . . . 416

12.3. Ley de Biot-Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426

12.4. Fuerza sobre conductores de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428

12.5. Torque sobre una espira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430

12.6. Corrientes estacionarias extensas localizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458

12.7. Las dos leyes fundamentales de la magnetostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459

12.8. Leyes fundamentales, forma diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460

4

13 Ley de Ampere 461

13.1. Potencial Vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481

13.2. Ecuacion de Poisson y Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481

13.3. Otros Gauges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482

13.4. Expansion Multipolar del campo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483

13.5. Magnetismo en la materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485

13.6. Leyes fundamentales en un medio magnetizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487

13.7. Relaciones constitutivas del material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488

13.8. Ferromagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488

13.9. Condiciones de borde para los campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489

14 Ley de Induccion de Faraday 507

14.1. Ley de Induccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508

14.2. Forma diferencial de la ley de Induccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510

VIInductancia y Corriente Alterna 533

15 Inductancia 535

15.1. Circuitos RL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539

15.2. Circuitos de Corriente Alterna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542

VIIEcuaciones de Maxwell y sus bases empricas 567

16 Ecuaciones de Maxwell 569

16.1. Corriente de Desplazamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569

16.2. Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571

16.3. Ecuaciones de Maxwell en un Medio Lineal, Homogeneo e Isotropico . . . . . . . . . . 573

VIIIOndas Electromagneticas 581

17 Ondas Planas Monocromaticas 583

17.1. Ondas electromagneticas planas en medios no conductores y libres de fuentes . . . . . 583

17.2. Ecuacion de Onda en una dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585

17.3. Solucion a la ecuacion de Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586

17.4. Vector Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589

17.5. El espectro Electromagnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590

17.6. Ondas Planas en medios conductores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592

17.7. Solucion para buenos conductores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596

17.8. Resumen sobre las ondas planas monocromaticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598

17.9. Condiciones de borde en la frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612

17.10.Condiciones de Borde para incidencia normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615

17.11.Incidencia Normal en un conductor perfecto: Ondas estacionarias . . . . . . . . . . . . 617

18 Ondas electromagneticas en la materia 629

18.1. Modelo de Drude-Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631

18.2. Permitividad en funcion de la frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632

18.3. Dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635

18.4. Relacion entre D,E y causalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 639

18.5. Reflexion y Refraccion en la frontera de dos medios dielectricos. Incidencia Oblicua . . 641

18.6. Reflexion y Transmision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646

5

IXGuas de Onda 661

19 Lneas de Transmision 66319.1. Parametros distribudos de algunas lneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66419.2. Lneas sin perdidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66719.3. Regimen transistorio en lneas sin perdidas y cargas resistivas . . . . . . . . . . . . . . 67019.4. Lneas con perdidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67719.5. Caso Sinusoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67819.6. Lneas sin distorsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68319.7. Lneas con perdidas bajas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68319.8. Lneas con perdidas altas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68419.9. Impedancia de entrada y Ondas Estacionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68719.10.Carga en cortocircuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69119.11.El transformador de /4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69219.12.Solucion grafica para lneas sin perdidas: La carta de Smith . . . . . . . . . . . . . . . 69519.13.Resumen de algunas propiedades de la carta de Smith . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69919.14.Medicion de distancias en la lnea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 699

20 Guas de Onda 71720.1. Propagacion de ondas entre placas paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71820.2. Constante de propagacion y frecuencia crtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72620.3. Atenuacion en Guas de Placas paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73120.4. Guas de Onda Rectangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74220.5. Ondas Transversales Magneticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74320.6. Ondas transversales Electricas TE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74520.7. Conexion entre cable coaxial y una gua de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746

X Radiacion 761

21 Solucion General a las Ecuaciones de Maxwell 76321.1. Transformaciones de Gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76421.2. Ecuacion para los Potenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76421.3. Solucion de la Ecuacion de Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76621.4. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76921.5. Radiacion de un Dipolo Oscilante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77021.6. Fundamentos de Antenas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77621.7. Directividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78221.8. Antena receptora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78421.9. Generacion de Ondas Planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796

22 Radiacion de fuentes que se mueven lentamente 79922.1. Potencial escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79922.2. Potencial vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80122.3. Campos de radiacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80222.4. Atomo Clasico: Inestabilidad de la materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 811

XINacimiento de la Fsica Cuantica y Electrodinamica Relativista 815

23 Ley de Planck 81723.1. Emision de Radiacion Electromagnetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81723.2. Radiacion de cuerpo Negro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81823.3. Solucion clasica: Ley de Rayleigh- Jeans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81823.4. Ley de Planck: Nacimiento de la fsica cuantica (1900) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822

6

24 El efecto fotoelectrico 827

25 El atomo de Bohr 831

Indice alfabetico 837

7

Parte I

Electrostatica

9

Capt

ulo

1Elementos de Calculo vectorial

Las leyes fsicas deben ser matematicamente bellas. Paul M. Dirac

Las leyes de la electrodinamica que se presentaran en este libro se encuentran expresadas enun lenguaje matematico muy particular que permite sintetizarlas de forma sencilla (y en muchoscasos, elegante). Hablaremos constantemente de campos, y por esto entendemos magnitudes fsicas quetendran determinados valores en cada punto del espacio. Algunos de estos campos tendran naturalezavectorial, mientras que otros seran escalares. En ambos casos existen herramientas elementales delcalculo que se presentaran a continuacion. Al final de este captulo se presentara una tabla con losoperadores diferenciales mas relevantes en los sistemas de coordenadas comunmente utilizados.

1.1. Algebra de Vectores en 3

La siguiente es una lista de identidades elementales del algebra vectorial, que se supondran bienconocidas. Para todo par de elementos A, B en 3 se definen las siguientes operaciones

A B = AxBx +AyBy +AzBz

A B = (AyBz AzBy) i+ (AzBx AxBz) j + (AxBy AyBz) k

y se muestran las siguientes propiedades

A (A B

)= 0

A (B C

)=(A B

) C

A(B C

)=(A C

)B

(A B

)C

A A = 0

11

1.2. Calculo diferencial en 3

Campos escalares y vectoriales

Sea f : 3 una funcion real. Tambien es llamada campo escalar, pues a cada punto delespacio (3) le asocia un numero real (un escalar). Ejemplo de un campo escalar puede ser el campode temperatura definido sobre cierta region del espacio T : [ 3 ]

Fig. 1.1: T (x, y, z) representa un campo escalar sobre

Ademas de la existencia de campos escalares, tambien existen campos vectoriales. La idea esbien simple, a cada punto del espacio se le asocia un vector. En general, el tipo de campos vectorialesque nos interesaran son de la forma F : [ 3] 3.

Fig. 1.2: La velocidad de los atomos de un objeto que rota es un ejemplo de campo vectorial

Derivadas de un campo escalar

Si f es un campo escalar diferenciable (y por lo tanto una funcion continua) sobre un dominioD 3, entonces se define el Gradiente de f como

f(x, y, z) = f(x, y, z)x

i+f(x, y, z)

yj +

f(x, y, z)

yk

El gradiente es un campo vectorial, pues a cada elemento de D le asocia un vector1. Se debe notarque el gradiente es perpendicular a curvas en donde el campo escalar f es constante, como las curvasque se muestran en la figura 1.1 . (Llamadas isotermas en el caso de que el campo escalar sea latemperatura). En efecto, la curva

f(x, y, z) = C

1 En realidad no es inmediato que cualquier conjunto de 3 numeros es un vector. Un vector debe ser invariante bajoun cambio de coordenadas, lo que se cumple efectivamente para f

12

puede ser parametrizadaf(x(t), y(t), z(t)) = C

Derivando con respecto a t, se obtiene

f

xx(t) +

f

yy(t) +

f

zz(t) = 0

f (x(t), y(t), z(t)) = 0

y entonces el gradiente es perpendicular a la direccion tangente a la curva. Mas aun, si u es unvector unitario, se define la derivada direccional de f en la direccion u como

Duf(x, y, z) = f(x, y, z) u

Se puede demostrar que el modulo de la derivada direccional se maximiza en la direccion del gra-diente, es decir, el gradiente posee la direccion de maxima variacion de f .

como un operador

Conviene considerar al gradiente como algo independiende de que funcion se esta derivando. Lla-maremos al operador diferencial

=(

x,

y,

z

)Por supuesto que esto as escrito no significa nada. El operador debe operar sobre una funciondefinida sobre algun conjunto de 3, por ejemplo

f =(f

x,f

y,f

z

)Tiene completo sentido. Hemos multiplicado al operador por una cantidad escalar. Hay que tener

ciertas precauciones con este tipo de notacion, por ejemplo, del algebra de vectores es sabido que si es un escalar

A = A

sin embargo, f = f . En efecto, el primero es un nuevo operador

f =(f

x, f

y, f

z

)Divergencia y Rotor

Si F es un campo vectorial, entonces F

debe ser un escalar que podra tener algun sentido fsico. Entendiendo como un operador vectorial,se tiene

F =(

x,

y,

z

) (Fx, Fy, Fz)

F = xFx +

yFy +

zFz

13

A esta cantidad escalar asociada a un campo vectorial se le llama divergencia de F .

Veamos que mas es posible definir a partir del operador gradiente. Que ocurre por ejemplo con F?. Por supuesto que el resultado debe ser un campo vectorial, de hecho, muy util. Desarrollandoeste producto cruz teniendo en mente el algebra de vectores se tiene(

F)x

=Fzy Fy

z( F

)y

=Fxz Fz

x( F

)z

=Fyx Fx

y

A este nuevo campo vectorial se le llama rotor . En resumen, hemos definido las siguientes opera-ciones diferenciales sobre un campo escalar f , que a su vez definen nuevos campos :

Gradiente f Campo Vectorial

Divergencia F Campo Escalar

Rotor F Campo Vectorial

Segundas derivadas

Hasta ahora hemos definido cantidades que involucran unicamente primeras derivadas. Veamosque ocurre con las siguientes combinaciones

(f)

(f)

( F

) ( F

)

( F

)

Veamos la primera de ellas, es claro que debe obtenerse un campo escalar. Desarrollando

(f)

= (f

x,f

y,f

z

)

(f)

=2f

x2+2f

y2+2f

z2

Se ve que esto se puede reescribir como

(f)

= f =(

)f = 2f

Vemos a 2 como un nuevo operador, y como tiene gran relevancia en fsica, tiene un nombreespecial. Es llamado Laplaciano

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Laplaciano 2 2

x2+

2

y2+

2

z2

Se debe notar ademas que debido a que el Laplaciano es un operador escalar, podra aplicarseperfectamente sobre un campo vectorial

2F

por supuesto esto significa que el operador Laplaciano actua sobre cada componente de F

2F =(2Fx, 2Fy, 2Fz

)

Veamos que ocurre con la segunda expresion. Notemos que tiene la siguiente forma

A(Af)

=(A A

)f = 0

Esperamos entonces que

(f)

sea nulo para cualquier campo escalar f . Podemos verificarlo calculando explcitamente alguna de suscomponentes

[ f ]x = z(f)y y

(f)z

[ f ]x =

z

(f

y

) y

(f

z

)= 0

Del mismo modo se muestra para las demas componentes

La tercera expresion es por supuesto un campo vectorial

( F

)Sin embargo, no hay nada muy especial que decir acerca de el. Es simplemente un campo vectorial

que podra aparecer en algunas identidades.

La cuarta expresion tiene la forma

A (A B

)= 0

Es decir, esperamos que

( F

)= 0

Para cualquier campo vectorial F . Es as, y es facil de verificar componente a componente.

Por ultimo, veamos que sucede con la ultima combinacion

( F

)Esta tiene la forma de

A(B C

)= B

(A C

)(A B

)C

15

Totalmente inspirados en dicha expresion podemos escribir

( F

)=

( F

)(

)F

Reconocemos al Laplaciano en el ultimo termino

( F

)=

( F

) 2F

Esta ultima identidad sera utilizada cuando tratemos de resolver la ecuacion de onda para loscampos electromagneticos que se obtiene a partir de las ecuaciones de Maxwell. En resumen, hemosencontrado:

(f)

= 2f Laplaciano, campo escalar

(f)

= 0

( F

)Campo vectorial

( F

)= 0

( F

)=

( F

) 2F campo vectorial

Dos teoremas adicionales

En muchos problemas fsicos, sucede que un determinado campo vectorial F tiene rotor nulo. Esdecir

F = 0

Hemos visto que el rotor de un gradiente es siempre cero. Sera cierto entonces que F puede serescrito como el gradiente de algun campo escalar?, de esta forma su rotor sera siempre nulo. Lointeresante es que la respuesta es afirmativa, y enunciaremos el siguente teorema

Del mismo modo, hemos visto que la divergencia de un rotor es siempre cero. Luego, si la divergenciade un campo vectorial F es nula, podria tenerse que F fuera el rotor de un campo vectorial. De seras, estara garantizado que su divergencia sea nula. En efecto, enunciamos el segundo teorema

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1.3. Calculo Integral en 3

Integral de lnea de un campo vectorial

Sea F : [ 3] 3 un campo vectorial. Consideremos una curva contenida en . Seax0, x1, ...xn una particion de , (xk, yk) un punto en el trazo de que va de xk1 a xk, y xk =xk xk1. Se define la integral de lnea de F (x) por

dx F (x) = lm

n

nk=1

F (xk, yk) xk

Esto se puede reescribir como

dx F (x) = lm

n

nk=1

F (xk, yk) xk xk

xk =

dsT (x) F (x)

donde T (x) es la tangente unitaria a la curva en x. As

dx F (x) =

dsT (x) F (x)

La integral de lnea de un campo vectorial sobre una curva corresponde a sumar las proyecccionesde F (x) en la direccion tangente a la curva en todo punto.

Integral de superficie de un campo vectorial

Sea F : [ 3] 3 y S una superficie contenida en . Se define la integral de flujo del campoF sobre S como

SdS(x) F (x) =

SdS(x)n(x) F (x)

corresponde a sumar la proyeccion del campo F sobre la normal a la superficie S en cada punto.

Teorema de la Divergencia

Sea 3 una region. Si F un campo vectorial continuo y diferenciable en . Entonces

d3x F (x) =

dS(x) F (x)

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Teorema de Stokes

Sea S una superficie en 3. Si F es un campo vectorial continuo y diferenciable en una region quecontiene a S. Entonces

SdS(x)

( F (x)

)=

Sdx F (x)

donde S es el contorno de S (una curva en 3)

1.4. Operadores diferenciales en diferentes sistemas decoordenadas

Coordenadas cartesianas

Sean A y f un campo vectorial y escalar definidos sobre 3, respectivamente. Al utilizar coor-denadas cartesianas, un punto de 3 esta determinado por 3 coordenadas x = xi + yj + zk, donde{i, j, k

}es la usual base cartesiana de 3

f(x) = f(x, y, z)

A = Ax(x)i+Ay(x)j +Az(x)k

Entonces nos interesaran los siguientes operadores

f = fxi+

f

yj +

f

zz

A = Axx

+Ayy

+Azz

A =(Azy Ay

z

)i+

(Axz Az

x

)j +

(Ayx Ax

y

)k

2f = 2f

x2+2f

y2+2f

z2

2A = 2Axi+ 2Ay j + 2Azk

Coordenadas cilndricas

Las coordenadas cilndricas se relacionan con las cartesianas mediante

x = cos y = sin z = z

=x2 + y2 = arctan

y

xz = z

Un campo vectorial general tendra la forma

A(x) = A(x)+A(x)+Az(x)k

y un campo escalar

f = f(, , z)

18

Se tiene

f = f+

1

f

+

f

zz

A = 1

(A) +

1

A

+Azz

A =(

1

AzAz

)+

(Az Az

)+

1

(A

A

)k

2f = 1

(f

)+

1

22f

2+2f

z2

2A =(2A

A2 22A

)+

(2A

A2

+2

2A

)+ 2Azk

Coordenadas Esfericas

Las coordenadas esfericas se definen a traves de

x = r sin# cos y = r sin# sin z = r cos#

r =x2 + y2 + z2 # = arc cos

z

r' = arctan

y

r

19

Se tiene

f = frr +

1

r

f

##+

1

r sin

f

A = 1r2

r(r2Ar) +

1

r sin#

sin#A##

+1

r sin#

A

A = 1r sin#

( sin#A

# A#

)r +

(1

r sin#

Ar 1r

rAr

)#+

1

r

(rA#r

Ar#

)

2f = 1r2

r

(r2f

r

)+

1

r2 sin#

#

(sin#

f

#

)+

1

r2 sin2 #

2f

2

20

Capt

ulo

2Introduccion

2.1. Breve historia de la fsica contemporanea

La historia de la fsica muestra una incesante busqueda por la unificacion. Los fsicos tratan deexplicar el comportamiento de la naturaleza, y para ello se basan en leyes, las cuales deben ser corrob-oradas mediante la experimentacion. El primer gran laboratorio de la historia fue la vida cotidiana,pues la observacion del mundo y sus propiedades permitieron distinguir algunos primeros patrones.En el siglo 16 a.c surgieron personajes notables cuyos aportes dieron inicio a la rapida evolucion enlas teoras de la fsica. Uno de los primeros de ellos fue Galileo, astronomo italiano que se piensa fue elprimero en utilizar un instrumento optico para observar los astros. Galileo observo detalladamente elmovimiento de los planetas, y anoto cuidadosamente sus observaciones. Ademas fue uno de los padresde la mecanica, realizo diversos experimentos para tratar de comprender el movimiento de los cuerpos,y como estos caen en la superficie terrestre.

Fig. 2.1: Galileo construyo un sistema para estudiar el movimiento de los cuerpos en la superficieterrestre

Galileo descubrio la ley de inercia de la dinamica (un objeto tiende a permanecer en reposo a menosque algo actue sobre el), describio el movimiento de los cuerpos y descubrio las lunas de Jupiter, su-giriendo as un modelo heliocentrico acorde a las ideas de Copernico. Contemporaneamente TychoBrahe y Johannes Kepler realizaron observaciones que permitieron establecer las leyes que gobier-nan el movimiento de los planetas en el sistema solar. Exactamente que hace mover los planetas, deque esta hecha la materia, que es la luz, eran todas preguntas fundamentales. Los trabajos de loscientficos recien mencionados fueron los primeros en dar pistas importantes sobre las leyes de la nat-uraleza.

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Uno de los fsicos mas relevantes de la historia fue el ingles Isaac Newton, quien en 1687 publico sufamoso libro Philosophia Naturalis Principia Mathematica. En ella Newton postula sus famosas leyesde la mecanica clasica (conocidas como las leyes de Newton). Se dio inicio al concepto de que toda lamateria interactua mediante fuerzas, y son las fuerzas las que provocan el movimiento de los cuerpos.Las leyes de Newton permitieron predecir el movimiento de un objeto conociendo las fuerzas queactuan sobre el. Ademas, Newton fue responsable de una de las primeras unificaciones en la fsica,al establecer con su ley de Gravitacion Universal que el movimiento de los planetas en torno al solresponde al mismo principio que mantiene a los objetos ligados a la superficie terrestre. La fuerza quenos atrae a la tierra es de la misma naturaleza que aquella que hace girar a los planetas en torno alSol. Nace una de las propiedades fundamentales de la materia, la masa, y todos los objetos con masainteractuan entre s mediante la fuerza gravitacional.

Newton introdujo el concepto de tiempo, como algo que fluye de forma pareja e independiente acualquier agente externo. Fue ademas uno de los fundadores del calculo diferencial, dando as a lasleyes de la mecanica una forma matematica bien definida. Las leyes de Newton fueron una unificacionen el sentido de que el fenomeno que provoca el movimiento de los planetas, como la cada de unobjeto en la superficie de la tierra es el mismo. Por supuesto que las leyes de Kepler se explicaronexitosamente con la teora de la mecanica de Newton. Ademas nacio uno de los principios basicos,que las leyes de la Fsica son las mismas en cualquier lugar del universo. En esta epoca la fsica seperfilaba como una ciencia naciente, y grandes personajes como Huygens, Hooke y el mismo Newton sededicaron a estudiar las propiedades basicas de la materia y de la luz. Newton descubrio un fenomenoconocido como dispersion de la luz, y ocurre cuando la luz proveniente del sol pasa a traves de unprisma. El mismo efecto se aprecia cuando uno observa un arcoiris.

Esto permitio deducir que la luz interactua de alguna forma misteriosa con la materia, y queademas esta compuesta de diferentes constituyentes, que son responsables de los distintos colores queuno observa. En resumen, la materia posee una propiedad fundamental llamada masa, y la gravitacionse establece como una de las interacciones fundamentales. Ademas, la luz esta compuesta de distintoscolores.

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Nacio tambien el concepto de energa, cada objeto posee una energa y al interactuar con otropuede ocurrir un intercambio de esta. El movimiento tiene asociada una energa (cinetica), pero ex-isten muchos otros tipos de energa. Una de ellas es la energa termica, conocida entonces como unamanifestacion de la materia, donde la temperatura se define como una medida de esta energa. Se veaque dos objetos intercambian energa termica, fluyendo desde un objeto con mayor temperatura a otrocon menor. Esta area de la fsica se conoce como Termodinamica. Exista ya la idea de que la materiaestaba dividida en bloques muy pequenos llamados atomos, imposibles de percibir a simple vista. Porsupuesto que podran existir muchas otras teoras, pero la suposicion de que la materia esta com-puesta de atomos permita explicar muchos mas fenomenos, entre ellos la energa termica. Todo estacompuesto de atomos, y estos se mantienen unidos mediante algun mecanismo, alguna fuerza aun pordescubrir. Uniones de atomos forman las moleculas, y la combinacion de distintas moleculas permiteformar estructuras mas complejas. Dependiendo del ordenamiento de las moleculas en un material, estepuede presentar distintos comportamientos, se distinguen as distintos estados de la materia. Cuandolos atomos se mantienen unidos a pequenas distancias, presentando pequenas energas cineticas, for-man estructuras solidas. Si se le agrega continuamente mas energa, llega un punto en que los atomosadquieren suficiente energa cinetica y se comienzan a alejar entre si, formando un fluido o lquido.Cuando se agrega aun mas energa, los atomos se separan mucho mas, y forman lo que se llama ungas. Esta fue una de las ideas brillantes de Boltzmann, y es que el calor es movimiento de atomos ymoleculas. La energa termica no es otra cosa que la energa interna de vibracion de los atomos.

Fig. 2.2: La hipotesis de que la materia esta compuesta por atomos permite explicar los distintosestados de la materia. La energa termica de los objetos es una medida de la energa cinetica internade sus atomos constituyentes

El concepto de caliente o fro es una medida natural de la energa cinetica interna de un objeto.Cuando uno entra en contacto con un objeto con mucha energa interna, por ejemplo, si ud acerca sumano, los atomos de este objeto impactaran con alta energa los atomos de su mano. Esto se traduceen un traspaso de energa interna, lo que es percibido como calor. Esto es la conduccion del calor porcontacto. En el siglo 18 muchos fsicos trabajaron desarrollando las leyes de la termodinamica, entreellos Boyle, Young, Joule, Boltzmann. En 1733 Bernoull fue uno de los primeros en utilizar las leyes deNewton junto a argumentos estadsticos para deducir los resultados de la termodinamica, dando inicioa la mecanica estadstica. Nace entonces otra gran unificacion en la fsica, las leyes de la termodinami-ca y el calor podan ser explicadas mediante la suposicion de que toda la materia esta compuesta deatomos que interactuan entre s. La energa de movimiento de estos atomos es lo que se llama calor,y al aumentar la agitacion de estos atomos, se pueden obtener distintos estados de la materia.

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En el siglo 18 tambien se lograron grandes avances en la optica, la parte de la fsica que estudiala luz. Se midio por primera vez la velocidad de la luz, se construyeron lentes complejos y en 1801Young mostro con su famoso experimento la interferencia de la luz, demostrando que esta posee unanaturaleza ondulatoria.

Fig. 2.3: Tal cual las ondas en el agua, la luz manifiesta un fenomeno puramente ondulatorio: lainterferencia

Era evidente tambien que la luz transmita energa que era capaz de calentar objetos. La luzproveniente del sol es absorbida por la materia, y se transforma en calor. Se saba tambien que ciertasreacciones eran tan energeticas que emiten luz (El fuego de una hoguera, por ejemplo). Incluso cuandoun brasero se encuentra apagado (es decir, cuando aparentemente no emite luz), uno percibe calorcuando se acerca lo suficiente. Este tipo de energa invisible aun no era bien entendida. El astronomoaleman Herschel descubrio que este tipo de energa era luz invisible, al hacer pasar luz solar por unprisma y midiendo la temperatura registrada por un termometro mas alla del rojo. Esto recibe hoy enda el nombre de radiacion infrarroja. En el siglo 19 los fsicos descubrieron otra de las interaccionesfundamentales: el electromagnetismo.

Coulomb, Faraday, Ohm, Ampere, son solo algunos de la gran cantidad de fsicos que estudiaronlos fenomenos misteriosos asociados a este nuevo campo. Se descubrio que exista otra propiedadfundamental de la materia, la carga electrica. Dos objetos cargados electricamente interactuan a travesde una fuerza, que puede ser repulsiva o atractiva. Se determina que existen 2 tipos de cargas, llamadaspositiva y negativa. Cargas de igual signo se repelen, cargas de signo contrario se atraen. Se definio elcampo electrico como una magnitud fsica que toda carga electrica genera en el espacio. Cualquierotra carga en prescencia de este campo sentira una fuerza, la fuerza electrica. El asunto se complicaal estudiar lo que ocurre cuando las cargas se mueven, y es que aparece otro fenomeno en su inicioindependiente, llamado magnetismo. Faraday descubrio la famosa ley de Induccion, que estableceque un campo magnetico variable en el tiempo genera un campo electrico. Gracias a la gran tareaunificadora de James Clerk Maxwell (que tambien trabajo en la teora cinetica de los gases), sedescubrio que los campos electrico y magnetico no son independientes, sino que estan completamentecorrelacionados. Ambos componen el campo electromagnetico, y las 4 ecuaciones de Maxwell logranexplicar todos los fenomenos electromagneticos conocidos en aquella epoca. Se considera este trabajocomo uno de los descubrimientos mas grandes del siglo 19 , al nivel de la gravitacion universal deNewton en el siglo 16.

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Fig. 2.4: En el siglo 19 se descubre otra propiedad fundamental de la materia: la carga electrica, yse obtiene una nueva interaccion fundamental adicional a la fuerza gravitacional: la fuerza electro-magnetica

Se descubre que la materia es comunmente electricamente neutra (contiene igual cantidad de car-gas positivas y negativas, equilibradas de forma muy fina). Ademas se aprecia que la carga puedetraspasarse de un objeto a otro, manifestando que estas cargas deban ser elementos individuales con-stituyentes de la materia. Se distinguen 2 tipos de materiales, los conductores son aquellos con unagran cantidad de portadores de carga negativa que pueden moverse casi libremente sobre el materi-al. Por otro lado los aislantes poseen todas sus cargas muy fuertemente unidas, de forma que no semueven libremente. De esta forma, ante la prescencia de un campo electrico, en un conductor habra ungran movimiento de cargas, llamado corriente electrica. Estos campos electromagneticos transmitenenerga, pues actuan sobre cargas electricas, induciendo movimiento sobre ellas. La ley de Faradayes el principio fundamental para la conversion electromecanica de la energa, y es que al rotar unmaterial conductor en un campo magnetico, aparece en el una corriente electrica, y esto se utiliza paratransmitir energa electrica a lo largo de las ciudades de todo el mundo.

Una de las predicciones de las leyes de la electrodinamica formuladas por Maxwell es que cuandoun conjunto de cargas electricas vara en el tiempo, estas generan un campo electrico y magneticovariables que se propagan conjuntamente a traves del espacio a una velocidad que en ese entoncescoincidio perfectamente con la velocidad de la luz. Esto sugiere que la luz es una fluctuacion elec-tromagnetica. Mas aun, las ecuaciones de Maxwell mas el formalismo de Fourier dejan en evidenciaque una onda electromagnetica es la superposicion de ondas de diferentes frecuencias (lo que expli-ca el fenomeno de dispersion descubierto por Newton). La luz visible es solo una parte del espectroelectromagnetico, y existen muchas frecuencias asociadas que son invisibles para nosotros. Este de-scubrimiento espectacular fue confirmado en 1888 por Heinrich Hertz, que produjo ondas de bajafrecuencia, llamadas ondas de radio.

Fig. 2.5: El proyecto ALMA es un conjunto de radiotelescopios dispuestos en el norte de Chile, capacesde detectar radiacion electromagnetica infraroja proveniente del espacio

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Por supuesto que todas las leyes de la optica pueden ser explicadas con las ecuaciones de Maxwell,siendo una nueva gran unificacion en la fsica. En 1895 Roentgen descubrio los rayos X, ondas elec-tromagneticas de muy alta frecuencia. Henri Becquerel descubrio la radioactividad en 1896, notandoque ciertos elementos emitan una radiacion electromagnetica de alta energa. En 1897 Thompsondescubrio el electron, una partcula elemental portadora de carga negativa. Surgio entonces la idea deque los atomos posean un nucleo de carga positiva que atrae a los electrones que orbitan en tornoa el. Este inmenso desarrollo tuvo consecuencias dramaticas en la vida de las personas, que hoy enda consumen energa electrica diariamente, se comunican a traves de ondas electromagneticas queviajan a la velocidad de la luz, etc. En este contexto los fsicos consideraban tener una vision bastantecompleta de la naturaleza, sin embargo en los inicios del siglo 20 se produjeron las dos revolucionesintelectuales mas gandes jamas vistas: la teora de la relatividad y la fsica cuantica. En el 1900 lavision de los atomos era mas o menos como se muestra en la siguiente figura

Fig. 2.6: Un nucleo de carga positiva con electrones girando alrededor fue uno de los primeros modelosatomicos

La fuerza electromagnetica era responsable de mantener unidos a los electrones con los nucleos(de carga positiva, deducidos por Rutherford), y tambien de la union entre los atomos para formarmoleculas. A escala atomica la fuerza electromagnetica es inmensamente mas intensa que la fuerzagravitacional, siendo esta despreciable frente a la primera. El hecho de que la materia sea electrica-mente neutra permite que a gran escala sea la fuerza gravitacional la que gobierna el universo. Existanen ese entonces 2 problemas fundamentales con la teora electromagnetica: La forma de las ecuacionesde Maxwell no era la misma en distintos sistemas de referencia inerciales, lo que contradeca el prin-cipio de relatividad (las leyes de la fsica deben ser las mismas para todos los observadores). Peoraun, un electron girando en torno a un nucleo de carga positiva deba emitir radiacion, pues todacarga acelerada rada energa en forma de ondas electromagneticas. Segun esto, los atomos deban serinestables y los electrones deban colapsar hacia el nucleo en un tiempo muy pequeno.

En 1905 Albert Einstein formulo la teora de la relatividad especial, que es absolutamente com-patible con las leyes de la electrodinamica y en la cual el espacio y el tiempo se unifican en una solaentidad, el espacio-tiempo. La relatividad tiene consecuencias tremendas totalmente en contra de laintuicion comun, y reformularon completamente la forma en como espacio y tiempo eran concebidas.Ademas logro establecer una equivalencia entre masa y energa, con su celebre ecuacion E = mc2.La relatividad especial de Einstein y la teora de Newton coinciden cuando los objetos se mueven avelocidades pequenas en relacion a la velocidad de la luz. El mismo ano Einstein publico un mod-elo que explicaba de forma satisfactoria el calor especfico de los solidos y ademas explico el efectofotoelectrico, mediante el cual se le otorgo el premio Nobel anos despues. Einstein se baso en unasideas de Max Planck y propuso que la luz estaba compuesta por partculas fundamentales, llamadasfotones, cada una de energa E = , donde es una constante universal conocida como constante dePlanck, y es la frecuencia de la radiacion asociada al foton.

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Fig. 2.7: La luz esta compuesta por partculas elementales (fotones). Los electrones en un conductorpueden absorver fotones, adquiriendo as suficiente energa cinetica como para escapar del material

El efecto fotoelectrico manifiesta la propiedad dual de la luz, esta compuesta por partculas y almismo tiempo presenta un comportamiento ondulatorio. Es una de las ideas que dio inicio a la MecanicaCuantica. El efecto fotoelectrico y la mecanica cuantica permitieron desarrollar los semiconductores(utilizados hoy en da en casi cualquier dispositivo electronico), asi como tambien los detectores de luzdigitales (entre ellos, las camaras CCD). En 1915, el fsico Danes Niels Bohr propuso un modelo parael atomo de Hidrogeno (el mas simple de todos), donde un electron orbita en torno a una partculaaproximadamente 2 mil veces mas masiva y de carga opuesta, llamada proton. Adoptando las ideasde Einstein y Planck acerca de la cuantizacion de los niveles energeticos, postulo que el electron soloadmita orbitas muy particulares, discretizando as los posibles niveles de energa que este poda tener.El modelo de Bohr tuvo el exito de explicar las lneas de absorcion del Hidrogeno, pues un electronpodra absorber unicamente fotones de energa igual a la diferencia de energa entre 2 orbitas posibles.

Fig. 2.8: Al hacer incidir luz sobre distintos elementos, ciertas lneas del espectro son absorbidas. Estees un fenomeno manifiestamente cuantico, y fue uno de los primeros que la fsica cuantica logro explicarde forma satisfactoria.

El electron hasta el da de hoy es considerado como una partcula fundamental (no se le ha des-cubierto estructura interna). En este entonces se haban descubierto otras 2 partculas que conformanlos nucleos atomicos, el proton y el neutron (el cual no posee carga electrica).

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En 1915 Einstein logro generalizar su teora de la relatividad, conocida hoy como la teora de larelatividad general. En ella establece que la materia curva el espacio tiempo, estableciendo as que lagravedad no es mas que un efecto geometrico. Ante la auscencia de curvatura, los objetos se muevenen lnea recta. Cuando un objeto pasa cerca de un objeto muy masivo (como el Sol), sigue moviendoseen lnea recta, pero ahora en un espacio curvo. El efecto es el de una trayectoria curvada, como elmovimiento de los planetas

La relatividad general de Einstein logro explicar la precision de la orbita de Mercurio, algo que nose puede con la teora de Newton para la gravedad. Ademas predijo que la trayectoria de la luz se curvaal pasar cerca de un objeto masivo, lo que fue corroborado por Eddington durante un Eclipse, en 1919.Este mismo principio es utilizado en Astronoma, donde es posible observar objetos que se encuentrandetras de algun objeto muy masivo, gracias a que la luz proveniente de ellos se curva al pasar cerca deeste. Esta teora predijo tambien la existencia de los agujeros negros, regiones del espacio tiempo concurvatura infinita, donde nada puede escapar. Hoy se piensa que la mayora de las galaxias masivasposeen agujeros negros en sus centros. Tambien la teora de Einstein tuvo consecuencias tremendasen la cosmologa, pues sus ecuaciones predicen que el universo se expande, algo que haba formuladoHubble al ver que todas las galaxias se alejan unas de otras, gracias al efecto Doppler del corrimientoal rojo, o Redshift (otro efecto relativista). Predice tambien la existencia de la materia oscura y laenerga oscura, algo que hasta el da de hoy no es comprendido.

Fig. 2.9: La luz se curva al pasar cerca de una fuente de energa

La relatividad de Einstein predijo el Big bang, permitio estimar la edad del universo y tambiensu futuro. Es una de las aventuras intelecuales mas fascinantes jamas vistas, gravedad es geometra!.Hoy en da la relatividad de Einstein resulta fundamental para el correcto funcionamiento del sistemaGPS (Global positioning System), el cual no podra tener la precision necesaria sin inclur efectosrelativistas de dilatacion temporal.

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En los anos 20 Heisenberg y Schrodinger formularon teoras cuanticas totalmente equivalentes,como lo demostrara Dirac en 1926. La fsica cuantica involucra un cambio drastico en donde el de-terminismo debe ser abandonado de forma radical. El concepto de trayectoria debe ser reemplazadopor una funcion de onda compleja, cuyo modulo cuadrado constituye una densidad de probabilidadde encontrar a una partcula en determinada region del espacio. Surge entonces una incertidumbreinevitable en la medida de cantidades fsicas. La mecanica cuantica entrega una descripcion bastantecompleta de la materia, de la estabilidad de los atomos y su interaccion con la radiacion electro-magnetica, es pilar fundamental de la nanotecnologa y de la tecnologa laser (Amplificacion de Luzpor emision estimulada de radiacion). Un efecto cuantico de gran relevancia en Astronoma consisteen una transicion en la estructura hiperfina del atomo de Hidrogeno (elemento mas abundante deluniverso), la cual conlleva la emision de radiacion electromagnetica de longitud de onda bien deter-minada, igual a 21 cm. Esta emision es detectada con radiotelescopios y permite entre muchas cosasmedir velocidades, redshift, temperaturas, rotaciones, etc.

Fig. 2.10: Imagen del centro de la galaxia en la lnea de 21 cm

En 1926 Dirac formulo una teora relativista de la Mecanica Cuantica, en donde se obtiene deforma natural la existencia del spin del electron. Esta es otra propiedad fundamental de las partculas,y es un efecto relativista. Ademas su ecuacion predijo la existencia de una partcula de igual masaque el electron, pero de carga positiva. Esta nueva partcula, llamada positron, no la encontramos deforma natural. Es un tipo de partculas llamada antimateria, y un positron con un electron podrananiquilarse emitiendo radiacion gamma. Todas las partculas elementales tienen su correspondienteantipartcula, esta asimetra entre materia y antimateria es uno de los tantos enigmas con que trabajanlos fsicos hoy en da. Por que razon la materia es mas abundante que la antimateria?. Hoy en dala antimateria posee una aplicacion en la medicina muy conocida, la Tomografa por emision depositrones. Esta es una tenica no invasiva de diagnostico capaz de medir la actividad metabolica dediferentes tejidos del cuerpo humano. Esta tecnologa se basa en detectar la distribucion que adopta enel interior del cuerpo un radioisotopo (que emite positrones) administrado a traves de una inyeccion,lo que se hace es medir la produccion de rayos gamma como resultado de la destruccion de un positroncon un electron. Permite formar en tiempo real una imagen como la que se muestra a continuacion

Fig. 2.11: La tomografa por emision de positrones permite detectar actividad cancergena en tiemporeal y con una tecnica no invasiva

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La mecanica cuantica suministro las herramientas teoricas para la fsica de la materia condensada,la cual estudia el comportamiento de los solidos y los lquidos, incluyendo fenomenos tales comoestructura cristalina, semiconductividad y superconductividad. En los anos 40 ya se haba consideradola posibilidad de que al bombardear determinados elementos con neutrones se podra generar unareaccion en cadena liberando una enorme cantidad de energa en forma de radiacion electromagnetica.Las fuerzas que mantienen unidos a los nucleones (protones y neutrones) constituyen otro tipo deinteraccion fundamental, la fuerza nuclear fuerte. Esta es la interaccion mas fuerte de la naturaleza yes responsable de la union de nucleones. Hoy se sabe que los neutrones y protones no son partculasfundamentales, pues tienen estructura interna. Cada uno esta constitudo por 3 quarks, que interactuanigualmente mediante la fuerza nuclear fuerte. La fuerza entre quarks aumenta con la distancia, por loque es realmente muy difcil ver quarks libres en la naturaleza.

Fig. 2.12: Partculas formadas por 3 quarks son llamadas bariones. Ejemplos son el proton y el neutron

En los anos 40 se desarrollo la fsica nuclear, donde la separacion de partculas en el nucleo atomicoproduce gran cantidad de energa en forma de radiacion, la cual es capaz de calentar agua y moveruna turbina para generar energa electrica, la cual es finalmente consumida por las personas. La teoracuantica de campos se formulo para extender la mecanica cuantica de manera consistente con la rel-tividad especial. Fue desarrollada en los anos 40 por Feynman, Schwinger, Tomonaga y Dyson, quienesformularon la electrodinamica cuantica, en la cual se describe la interaccion electromagnetica desdeun punto de vista cuantico. Esta teora establecio las bases para el desarrollo de la fsica de partculas,la cual estudia las fuerzas elementales mediante las cuales interactuan las partculas elementales. En1954 Yang y Mills desarrollaron las bases del modelo estandar, el cual se completo en los anos 70 y conel se describen casi todas las partculas elementales observadas. Adicionalmente a la fuerza electro-magnetica y a la fuerza nuclear fuerte, se agrega la fuerza nuclear debil, responsable del decaimientonuclear beta. Hasta la fecha, casi todas las pruebas experimentales de las tres fuerzas descritas por elmodelo standard estan de acuerdo con sus predicciones. Sin embargo, el modelo estandar no alcanzaa ser una teora completa de las interacciones fundamentales debido a que no incluye la gravedad, lacuarta interaccion fundamental conocida. Este es uno de los mayores desafos de la fsica actual.

En todo este contexto, la electrodinamica se presenta como el estudio de una de las interaccionesfundamentales de la materia. En este libro se presentaran las bases para una descripcion clasica delelectromagnetismo, desarrolladas mediante el trabajo de muchsimos fsicos que dedicaron gran partede su vida al estudio de los campos electromagneticos.

30

2.2. Teora Electromagnetica

Este curso trata sobre los fundamentos de la teora Electromagnetica, una teora realmente exitosay que es capaz de explicar y predecir una gran cantidad de fenomenos. Una de las primeras dificultadesen su construccion fue la prescencia de una gran cantidad de fenomenos complejos, que en un principioaparentemente no tenan relacion unos con otros. Es por esto que uno de los mayores logros de laelectrodinamica es mostrar que en realidad estan todos relacionados, ademas de permitir la creacionde nuevas aplicaciones, que no aparecen de forma inmediata en la naturaleza y que han cambiado lavida de todo el mundo. 1Absolutamente toda la teora se encuentra resumida en un conjunto de cuatroecuaciones diferenciales, llamadas Ecuaciones de Maxwell

Estas 4 ecuaciones resumen todos los resultados empricos acumulados durante anos por los estudiosde los fsicos Coulomb, Gauss, Ampere, Faraday y muchos otros. Fueron presentadas en 1873 por elmatematico ingles James Clerk Maxwell2. Ademas de explicar todos los fenomenos electricos ymagneticos conocidos hasta la epoca, muestran que electricidad y magnetismo no son fenomenosindependientes, y explica la forma en como ambos se relacionan. Las ecuaciones de Maxwell fueroncapaces de predecir la creacion de ondas electromagneticas de energa cuya velocidad de propagacionteorica coincida con la velocidad de la luz (hecho que corroboro Heinrich Hertz en 1887). Hoy sesabe que la luz es un tipo de onda electromagnetica, luego, todas las leyes de la optica, tambienson explicadas de forma consistente por las ecuaciones de Maxwell. Esto fue un gran suceso pueslogro mostrar que fenomenos que parecan totalmente diferentes provenan de los mismos principiosfsicos. Radiacion infraroja, luz visible, radiacion ultravioleta, rayos x, rayos gama, son todos diferentestipos de ondas electromagneticas, y solo se diferencian en un numero caracterstico de cada onda, quellamaremos frecuencia. Todas reciben el nombre de radiacion, debido a que propagan (irradian) energa.En este libro se pretenden desarrollar las bases empricas para las ecuaciones de Maxwell, mediante laintroduccion de los campos electrico E y magnetico B. Primeramente estudiaremos el caso estatico,en donde los campos no tienen dependencia temporal. En este caso las ecuaciones de Maxwell setransforman en:

E = o

E = 0

B = 0

B = oJ

Notemos que ahora hay 2 ecuaciones para cada campo totalmente independientes entre s, enotras palabras, electricidad y magnetismo son fenomenos absolutamente independientes mientras los

1Las leyes de la electrodinamica no solo ocasionaron el avance tecnologico mas rapido en la historia de la humanidad,sino que ademas trajo cambios radicales en la forma en que entendemos el universo. La incompatibilidad de las ecuacionesde Maxwell con la relatividad Galileana motivo a Einstein a postular su teora de la relatividad especial

2A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field, James Clerk Maxwell

31

campos sean estaticos. Las dos primeras ecuaciones corresponden a la Electrostatica, mientras quelas 2 ultimas a la Magnetostatica. Desarollaremos las ideas y principios fundamentales de ambos ca-sos estaticos, para luego estudiar los campos variantes en el tiempo y derivar las ecuaciones de Maxwell.

Fig. 2.13: James Clerk Maxwell

James Maxwell (1831-1879) Fsico Escoces. Es el creador de la electrodinamica moderna yel fundador de la teoria cinetica de los gases. Sus teoras constituyeron el primer intento de unificardos campos de la fsica que, antes de sus trabajos, se consideraban completamente independientes: laelectricidad y el magnetismo (conocidos como electromagnetismo). Ademas, en el ano 1859 Maxwellformulo la expresion termodinamica que establece la relacion entre la temperatura de un gas y laenerga cinetica de sus moleculas.

32

Capt

ulo

3Electrostatica

Una de las propiedades intrnsecas de la materia corresponde a lo que se conoce como carga electri-ca. Esta propiedad es el origen de las fuerzas electromagneticas en el sentido clasico. Lo primero queharemos sera estudiar como interactuan las partculas con carga, para ello considere un sistema dedos cargas puntuales y en reposo, q1 y q2, separadas por una distancia r en el vaco. Por dos car-gas puntuales, nos referimos por supuesto a objetos cuyo diametro maximo es muchsimo menor quela separacion entre ellos. Las fuerza de interaccion entre cargas estaticas fue estudiada por CharlesAugustin de Coulomb, (Fsico e Ingeniero frances), encontrando una gran similitud entre el compor-tamiento de las fuerzas electrostaticas y las de gravitacion, pero notando que, a diferencia de la fuerzagravitacional, las fuerzas electrostaticas tambien pueden ser repulsivas.

Fig. 3.1: La fuerza entre dos cargas puntuales puede ser repulsiva y atractiva

La fuerza que ejerce q sobre q esta dada por la ley de Coulomb

Fq =1

40

qq

x x 3(x x)

33

Es decir, la fuerza electrostatica es proporcional al producto de las cargas e inversamente propor-cional al cuadrado de la distancia entre ellas. Notar que la direccion unitaria

(x x) x x

va siempre desde la carga q hacia la carga q. El signo de la fuerza estara determinado entonces porel producto de las cargas, as, si ambas poseen el mismo signo, la fuerza sera repulsiva, mientras quesi son de signo opuesto, la fuerza sera atractiva. En el sistema S.I., la constante de proporcionalidadesta dada por

K =1

4o= 8, 9875 109 Nm2/C2

Donde 0 se conoce como la permitividad del vaco.

0 = 8, 854 1012 C2/m2N

Similarmente, la fuerza sobre q debido a q esta dada por Fq = Fq, como debe ser por la terceraley de Newton. La ley de Coulomb describe perfectamente las fuerzas entre 2 cargas puntuales, luego,resulta de interes estudiar que sucede cuando hay mas de dos cargas presentes. Supongamos queexisten N cargas qj con j = 1, 2, ...N . Supongamos que hay una carga q en la posicion x y que laposicion de la carga qj es xj . La fuerza que ejercen las N cargas sobre q esta dada por el principiode superposicion

Fq =Nj=1

1

40

qqj x xj 3

(x xj)

Es decir, la suma de cada fuerza por separado. El principio de superposicion implica que la fuerzaneta entre 2 cargas es independiente de la prescencia de otras cargas. Esto es cierto siempre ycuando las cargas esten en posiciones fijas (recordar que son fuerzas electrostaticas). Podran notarinmediatamente que como estamos considerando cargas estaticas que se ejercen fuerzas entre s, debennecesariamente existir fuerzas externas que las mantengan en equilibrio. Supondremos entonces quelas cargas estan forzadas a mantenerse en su posicion, de forma que las leyes que hemos establecidohasta ahora son validas.

Fig. 3.2: Charles-Augustin de Coulomb (1736-1806)

34

3.1. Campo Electrico

La fuerza electrostatica, como la fuerza gravitacional, es una fuerza que actua a distancia, es de-cir, no requiere que los objetos esten en contacto entre s. Entonces, si tenemos 2 cargas puntuales,digamos, q y q0, podemos medir la fuerza que ejerce q sobre q0. A q0 se le llamara carga de prueba,y la posicionaremos en diferentes lugares del espacio y mediremos la fuerza que siente debido a lapresencia de la carga fija q. En este sentido, se piensa que q genera algo en todo el espacio que debeser independiente de si colocamos o no la carga de prueba q0. Se dice que una carga electrica generaun campo electrico (matematicamente descrito por un campo vectorial) en todo el espacio, el cuales capaz de actuar sobre otras cargas.

Justamente para cuantificar la magnitud del campo creado por la carga, podemos medir la fuerzaque experimenta una carga positiva de prueba qo en algun punto del espacio.El campo electrico E se define formalmente como

E = lmq00

Fq0q0

Es decir, el campo existe en todo el espacio y es independiente de la carga de prueba. La sutilezade elegir una carga de prueba infinitamente pequena es para que el campo producido por q0 no alterede ninguna forma a la fuente del campo que queremos cuantificar.

Diremos entonces con este nuevo enfoque que la carga q es una fuente (crea) un campo electricoE que ejerce una fuerza Fq0 = q0E(x) sobre una carga q0 ubicada en xUsando la definicion de Campo Electrico y la Ley de Coulomb, se obtiene que el campo electrico auna distancia r de la carga puntual q esta dado por

E =1

40

q

r2r

donde r es la direccion radial desde la carga q

Fig. 3.3: Representacion grafica del campo vectorial E para una carga positiva(izquierda) y negativa(derecha)

35

Logicamente, el principio de superposicion es tambien valido para el campo electrico, bajo lasmismas condiciones mencionadas anteriormente. As, el campo en x de una distribucion discreta de Ncargas puntuales ubicadas en qj ,j = 1, 2, ...N esta dado por

E(x) =

Nj=1

1

40

qj x xj 3

(x xj)

La ley de Coulomb y el principio de superposicion son las leyes empricas fundamentales de laElectrostatica. Mas adelante, veremos que las ecuaciones de Maxwell para el campo Electrostatico

E(x) = 0

E(x) = 0

contienen la informacion que acabamos de presentar (y por supuesto, contienen muchsima informa-cion adicional!), de una forma mucho mas general, simple y elegante.

3.2. Distribuciones continuas de carga - Integrales de Coulomb

Se pueden extender estas ideas para el caso en que se tiene una gran cantidad de cargas distribudasen una region del espacio. Supongamos una distribucion continua de carga limitada a un volumen V ,por esto entendemos una region del espacio en donde se puede definir una densidad volumetrica decarga en cada punto, digamos (x) (C / m3)

En el caso de obtener una distribucion continua de carga, se utiliza una particion del volumen Ven celdas de volumen infinitesimal d3x. En la posicion x, se encuentra un pequeno volumen con cargadada por

dq(x) = d3x(x)

Como esta es una carga infinitesimal, el campo que genera en x sera el de una carga puntual

dE(x) =d3x(x)

4"0

x x

x x 3

36

Para obtener el campo generado por toda la distribucion de carga, basta con sumar (integrar)sobre el volumen V las contribuciones individuales de cada elemento de volumen, luego

E(x) =1

40

V

d3x(x)

x x 3(x x)

En el caso de obtener una superficie S de carga, en donde para cada x en S se tiene una densidadsuperficial de carga (que denotaremos (x) para diferenciarla de una densidad volumetrica), se obtiene

E(x) =1

40

S

ds(x)

x x 3(x x)

Por ultimo, para una distribucion lineal , en donde para cada x en se tiene una densidad linealde carga, denotada (x) entonces el campo en x esta dado por

E(x) =1

40

dx(x)

x x 3(x x)

Estas son las integrales de Coulomb y son una extension al caso de una distribucion discreta decargas, a distribuciones continuas en el espacio

Ejemplo: Campo de un anillo de cargaConsideremos un anillo con densidad lineal de carga constante y dada por . El objetivo es calcularel campo electrico generado por esta distribucion de carga en un punto sobre el eje de simetra adistancia z del origen

Un elemento diferencial de longitud sobre el anillo esta dado por dl = Rd, donde es el angulopolar. Este elemento posee una carga dq = dl = Rd, de forma que el campo electrico en un puntox debido a esta carga infinitesimal esta dado por la ley de Coulomb

E(x) =dq

40

x x

x x 3=dR

40

x x

x x 3

donde x es la posicion del elemento de carga, en este caso

x = Rr = R(

cosi+ sinj)

de forma que el campo total se obtiene integrando sobre todo el anillo (abarcando todo el rangode )

37

E(x) =R

40

20

dxRr xRr 3

ahora, se desea el campo en un punto sobre el eje simetra del anillo, a distancia z del origen, deforma que

x = zk

y queda

E(zk) =R

40

20

dzk Rr zk Rr 3

por supuesto que

zk Rr =(z2 +R2

)1/2E(zk) =

R

40

20

dzk R cosiR sinj

(z2 +R2)3/2

De estas tres integrales (en i, j, k), la unica que no es nula es la integral segun k. Esto es facil dever apelando a la simetra de la distribucion de carga

E(zk) =Rz

40

20

d1

(z2 +R2)3/2k

E(zk) =2R

40

(z

(z2 +R2)3/2

)k

esto se puede reescribir considerando que Q = 2R es la carga total del anillo

E(zk) =Q

40

(z

(z2 +R2)3/2

)k

Si z es suficientemente grande en comparacion con las dimensiones del anillo (z >> R), entonces

E(zk) Q40z2

k

que sera el campo a distancia z de una carga puntual Q en el origen

38

Problema 1.1

Dos pequenas esferas de igual masa m y carga q, cuelgan por 2 hilos sin masa, sin carga y de largol. Cada esfera forma un angulo # con el eje vertical, como se muestra en la figura. Calcule la carga q

SolucionDebido a la simetra del sistema, bastara con hacer analisis de fuerzas para una de las cargas.Consideramos el equilibrio entre las tres fuerzas que actuan: la fuerza de repulsion (las dos cargas sonde igual signo) electrostatica Fe, la tension sobre el hilo T , y la fuerza gravitacional mg.

De la segunda ley de Newton para la esfera

Fx = Tsin# Fe = max = 0

Fy = Tcos#mg = may = 0

Como el sistema se encuentra en equilibrio, ax = ay = 0, entonces la primera ecuacion equivale a

T sin# =q2

4"0r2

donde r es la separacion entre las 2 cargas

q2 = 4"0T sin#r2

O equivalentemente,

q = r

4"0T sin#

Del equilibrio de fuerzas para el eje vertical obtenemos

39

T =mg

cos

Y ademas, r = 2l sin#. Finalmente se obtiene

qeq = 2lsin#

4"0mgtg# = 4lsin#0mgtan#

Problema 1.2

La figura muestra un cuadrado de largo L, formado por cuatro cargas positivas iguales de magnitudQ en un plano horizontal. Una carga positiva q y masa m, se introduce a una altura H metros porencima de centro del cuadrado. Se pide mostrar que la carga q estara en el equilibrio cuando

qQ =mg0H

(H2 +

L2

2

)3/2

SolucionEste problema se puede resolver de forma inmediata utilizando el principio de superposicion. Consid-eremos por el momento 2 cargas opuestas, como se muestra en la figura

El campo electrico en el eje que pasa por el eje de simetra, a una distancia del plano que contienea las cargas, sera

E() = 2Q

40R2sin#k

Se tiene

R =

2 +

L2

2

sin# =

2 + L2/2

40

De esta forma

E() =Q

20

{2 +

L2

2

}3/2k

Lo mismo ocurrira para las otras dos cargas, de forma que el campo total sera

E()T =Q

0

{2 +

L2

2

}3/2k

Ahora, para una carga q ubicada sobre el eje k, el equilibrio de fuerzas ocurrira cuando H es talque la magnitud de la fuerza electrostatica se iguala a la fuerza gravitacional

qET (H) = mg

Esto es

qQ =mg0H

(H2 +

L2

2

)3/2

Problema 1.3

Considere la distribucion de cargas puntuales de la figura

a) Calcule el campo electrico en Pb) Evalue el caso lmite r > d, como vara la magnitud del campo electrico con la distancia en estecaso?

41

Soluciona) El campo electrico en P puede ser obtenido utilizando el principio de superposicion.

El campo generado por la carga 2q es

E1 =2q

40r2j

donde se ha definido el eje j como el eje vertical hacia arriba, en el plano de la figura. Es clarapor la simetra del problema que la superposicion de los campos E2 + E3 generara un campo concomponente unicamente segun j, dado por

E2 + E3 = 2q

40

1

(r2 + d2)cos#j

donde # es el angulo que forma E2 ( y E3) con el eje j. Se tiene

cos# =r

r2 + d2

E2 + E3 = qr

20

1

(r2 + d2)3/2j

As, la superposicion dara un campo total igual a

E(P ) =

(2q

40r2 qr

20

1

(r2 + d2)3/2

)j

E(P ) =q

20

(1

r2 r

(r2 + d2)3/2

)j

b) Para analizar el lmite r >> d, reescribimos el campo electrico de la siguiente manera

E(P ) =q

20

1r2 1

r2(

1 +(dr

)2)3/2 j

Ahora, utlizando la expansion de Taylor a primer orden

(1 + x)n 1 + nx x

Se tiene (1 +

(d

r

)2)3/2= 1 3

2

d2

r2

E(P ) q20

(1

r2 1r2

+3

2r2d2

r2

)j

Y entonces

E(P ) 3qd2

40r4j

Notar que para grandes distancias, r >> d, esta distribucion de carga genera un campo que decaecomo 1/r4, lo que contrasta con el campo de una carga puntual, el cual decae segun 1/r2

Problema 1.4

Se tiene una lnea homogenea de carga con densidad lineal , y de longitud finita a. Calcular elcampo electrico en el punto P a distancia x del extremo

SolucionTomamos un pequeno elemento d de la lnea de carga, situado a una distancia del punto A, yobtenemos el campo electrico en el punto P debido a este elemento diferencial

dE(P ) =1

40

d

(a+ x )2i

Y el campo electrico total se obtiene integrando para toda la lnea de carga. Esto es

E(P ) =1

40

a0

d

(a+ x )2i

Sea z = a+ x , as, dz = d y el campo queda

E =

40

xa+x

dz

z2i =

40

1

z

xa+x

i =

(

40x

40(a+ x)

)i

43

E =(x+ a) x40x(x+ a)

i =a

40x(x+ a)i =

1

40

Q

x(x+ a)i

Con Q la carga total de la lnea.

Notar que si x a

E Q4"0x2

i

que concuerda con el campo de una carga puntual

Problema 1.5

Una varilla no conductora esta doblada en un semicrculo de radio R. Una carga + q esta uni-formemente distribuida a lo largo de la varilla en la mitad superior y una carga -q esta uniformementedistribuida a lo largo de la varilla en la mitad inferior. Determine la magnitud y direccion de campoelectrico en el centro del semicrculo.

SolucionObtendremos primero el campo electrico generado por el segmento superior (de carga total q). Paraello definimos los ejes como se muestra a continuacion, siendo x = 0 el origen y x = Rr(#) sera elvector que recorre la distribucion de carga.

El vector x = Rr, # {0, /4} designa un elemento infinitesimal de longitud de arco, cuya cargaes

dq = dl2q

R= Rd#

2q

R= d#

2q

R

donde se ha utlizado una densidad homogenea de carga igual a = qR/2 . Este diferencial de carga

genera un campo electrico en x = 0 dado por

dE1(0) =dq

40

x x

x x3=

dq

40

RrR3

44

dE1(0) = 2q

420

r

R2

De esta forma, el campo electrico total se obtiene utilizando el principio de superposicion

E1(0) = q

220R2

/40

r = q220R2

/40

(cos#i+ sin#j

)Esto da

E1(0) = q

220R2

(i+ j

)El cual forma un angulo de /4 con el eje horizontal

El campo generado por el segmento de carga q puede ser obtenido utlizando simples argumentosde simetra. Si este segmento tuviera carga q, el campo E2 generado en el origen sera identico a E1excepto por la inversion del signo de la componente segun j. Es decir

E2(0) = q

220R2

(i j

)Y dado que la carga es q, se tiene

E2(0) =q

220R2

(i j

)Sumando ambos campos, se tiene

E(0) = q20R2

j

Problema 1.6

Una barra delgada con densidad de carga uniforme se dobla con la forma de un arco de crculode radio R. El arco subiende un angulo total 2#0, simetrico con respecto al eje x, como se muestra enla figura. Cual es el campo electrico E en el origen O?. Vea que sucede cuando #0

45

SolucionConsidere un elemento diferencial de longitud dl = Rd#, que forma un angulo # con respecto al eje x.La cantidad de carga que contiene este elemento es dq = dl = Rd

Su contribucion al campo electrico en O es

dE = 140

dq

r2r =

1

40

dq

R2( cos#i sin#j) = 1

40

d#

R( cos#i sin#j)

Integrando para # entre #0 y #0, se obtiene

E =1

40

R

#0#0

d#( cos#i sin#j)

E =1

40

R( sin#i+ cos#j)

#0#0

= 140

2 sin#0R

i

Vemos que el campo electrico solo tiene componente en el eje x, lo que concuerda con la simetradel problema. Si tomamos el lmite cuando 0 , el arco se transforma en un anillo circular. Yaque sin = 0, la ecuacion anterior implica que el campo electrico en el centro de un anillo de carga esnulo. Esto se esperara por argumentos de simetra. (Comparar ademas con el campo de un anillo decarga calculado en este captulo)

Por otro lado, para angulos muy pequenos, sin#0 #0, recuperamos el caso de una carga puntual

46

E 140

20R

i = 140

2#0R

R2i = 1

40

Q

R2i

Donde la carga total del arco es Q = l = (2R#0)

Problema 1.7

Un recipiente hemisferico no conductor de radio interior a tiene una carga total Q repartidauniformemente en su superficie interior. Encuentre el campo electrico en el centro de curvatura

SolucionTomamos como origen el centro de curvatura de la semiesfera. A partir de esto podemos determinarla contribucion de un elemento diferencial de carga en la superficie al campo electrico en el eje quepasa por el centro de curvatura, que coincide con la direccion k (El campo E, por simetra, solo ten-dra componente en k).

dE(x) =1

40

(x x)x x3

ds

Un elemento diferencial de superficie sobre la esfera esta dado por

ds = a2 sin#d#d

y como la carga esta distribuda uniformemente, la densidad superficial es simplemente

=Q

2a2

Con esto, podemos determinar el campo total integrando sobre toda la superficie

E(x) =1

40a2 2

0d

/2

d# sin#Q

2a2(x x)x x3

Evaluando en x= 0 obtenemos el campo en el centro de curvatura

E(0) =1

40

20

/2

Q

2a2x

x3a2 sin#dd

E(0) =1

40

20

Q

2a2

/2

x

x3a2 sin#dd

47

El vector x que recorre la superficie esta dado por

x = a cos#k + a sin# cosi+ a sin# sinj

Por el argumento de simetra, solo interesa la componente segun k. De todas formas se puedeverificar calculando explcitamente las integrales en i y j . Con esto

E(0) =Q

40a2

/2

a cos#a3

a2 sin#d#k

E(0) =Q

40a2

/2 cos# sin#d#k = Q

80a2

/2 sin(2#)d#k

Finalmente el campo en el centro de curvatura es

E(0) =Q

80a2k

Problema 1.8

Considere un alambre muy delgado como el de la figura, este esta compuesto por dos rectasinfinitas y un arco de crculo de 135 grados. El alambre tiene una densidad lineal de carga constante.Encuentre el campo electrico producido en el punto P

SolucionEste problema se resuelve mediante integrales de Coulomb y el principio de superposicion. Descom-ponemos el problema en subproblemas mas simples, una distribucion de carga lineal y otra en un arcode crculo (ya visto en el problema anterior). Resolvamos entonces el problema de una distribucionlineal infinita de carga

48

Un elemento de longitud dx a distancia x del origen genera una contribucion al campo en P dadapor

dE(P ) =dx

4"0

x x

x x 3

donde x = Rj es el vector posicion del punto P , y x = xi el vector que recorre la distribucion decarga (parametro x). Por el principio de superposicion, el campo electrico en P se obtiene sumandosobre toda la distribucion

E(P ) =

4"0

0

dxRj xi

(x2 +R2)3/2

E(P ) = 4"0

0

dxx

(x2 +R2)3/2i+

R

4"0

0

dx

(x2 +R2)3/2j

Calculemos primero la integral

I1 =

0

dxx

(x2 +R2)3/2

con el trivial cambio de variable u = x2, du = 2xdx

I1 =1

2

0

du

(u+R2)3/2=

1

2

0

du(u+R2)3/2 = 2 12

(u+R2)1/20

I1 =1

R

Ahora, obtenemos

I2 =

0

dx

(x2 +R2)3/2

y utilizamos la conocida sustitucion x = R tan#, dx = Rsec2#d#. Con esto la integral queda dela forma

I =

d#Rsec2#

(R2 tan2 #+R2)3/2=

d#Rsec3#

R3sec3#=

1

R2

d#

sec#=

1

R2

d# cos#

I =1

R2sin#

Utilizando que x/R = tan#

sin# =x

x2 +R2

de forma que

I2 =1

R2x

x2 +R2

0

=1

R2lmx

xx2 +R2

I2 =1

R2lmx

112 + (R/x)2

=1

R2

Luego el campo electrico debido al alambre en el punto P es

E1(P ) =1

4"0

(Ri+

Rj

)

E1(P ) =

2

4"0R

(12

(i+ j))

49

La contribucion del sector de arco de crculo ya fue obtenida en un problema anterior, luego esinmediato que

E2(P ) =2

4"0Rsin

(3

8

)i

Finalmente, el campo total en P se obtiene por superposicion. Veamos que ocurre con el campoque produce el segmento rectilneo superior

El campo E1 en P forma un angulo de 3/8 con la horizontal. De esta forma, la superposicion delos 3 campos es como sigue

E(P ) =

( E2 2 E1 cos

(3

8

))i

E(P ) =1

4"0

(2

Rsin

(3

8

) 2

R

2 cos

(3

8

))i

E(P ) =

2"0R

(sin

(3

8

)

2 cos

(3

8

))i

50

Problema 1.9

Se pide calcular el campo electrico a distancia r del centro de una distribucion uniforme de carga0 localizada dentro de una esfera de radio R, mediante la integral de Coulomb, o sea, calcule

E(x) =0

4"0

Vd3x

x x

x x 3

puesto que

(x) =

{0 si x R0 si x > R

para r > R

SolucionUbiquemos el centro de la esfera en el origen

Sea x un punto a distancia r del origen

x = rr

y x un punto dentro de la distribucion de carga

r = rr

El campo electrico esta dado por la integral de Coulomb sobre la distribucion de carga

E(x) =1

4"0

Vd3x(x)

x x

x x 3=

04"0

Vd3x

x x

x x 3

51

E(x) =0

4"0

20

d

0d# sin#

R0drr2

rr rr rr rr 3

De la simetra de la distribucion de carga, es claro que el campo electrico sera solo funcion de ladistancia r y su direccion sera radial, es decir

E(x) = E(r)r

esto nos permite ademas orientar el vector x segun la direccion k, de forma que

rr rr =(r2 + r2 2rr cos#

)1/2E(x) =

04"0

20

d

0d# sin#

R0drr2

rr rr(r2 + r2 2rr cos#)3/2

= E(r)r

E(r) = r E = 204"0

0d# sin#

R0drr2

r r cos#

(r2 + r2 2rr cos#)3/2

Hasta ahora, esta expresion es absolutamente general. Sin embargo, el valor de la integral depen-dera si el punto x se encuentra dentro o fuera de la distribucion

Campo externo, r > R

se tiene

r = r cos#+ x x cos

Sea s = x x , luego

r r cos#

(r2 + r2 2rr cos#)3/2=s cos

s3=

cos

s2

de la relacion

r2 + r2 2rr cos# = s2

se puede obtener para cos#

cos# =r2 + r2 s2

2rr

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y utilizando el teorema del coseno para r

r2 + s2 2rs cos = r2

de aqu obtenemos que

cos =r2 + s2 r2

2rs

Por ultimo

scos# = sin#d#

ds= 2s

2rr= s

rr

Luego R0dr

0d# sin#r2

r r cos#

(r2 + r2 2rr cos#)3/2

=

R0dr r+rrr

dss

rrr2r2 + s2 r2

2rs3=

R0dr r+rrr

dsr

2r2

(1 +

r2 r2

s2

)

=1

2r2

R0drr

r+rrr

ds

(1 +

r2 r2

s2

)

y r+rrr

ds

(1 +

r2 r2

s2

)=

r+rrr

ds+ (r2 r2) r+rrr

ds

s2

= (r + r) (r r) + r2 r2

2 + 1

(1

r + r 1r r

)

= 2r (r2 r2)(r r) (r + r)r2 r2

= 4r

As1

2r2

R0drr

r+rrr

ds

(1 +

r2 r2

s2

)=

2

r2

R0drr2 =

2R3

3r2

de forma que

E(r) =204"0

0d# sin#

R0drr2

r r cos#

(r2 + r2 2rr cos#)3/2=

R3

3"0r2

As, para r > R

E(x) =R3

3"0r2r

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si Q = 43R30 es la carga total de la esfera, entonces

E(x) =Q

4"0r2r

es decir, fuera de la esfera, el campo electrico es igual al campo de una carga puntual de cargatotal Q ubicada en el origen. La integral de Coulomb para r < R es levemente mas compleja, y paracalcularla resulta util manejar los conceptos sobre integrales de angulo solido. El valor pedagogico deeste calculo no es espantar al lector del estudio de la electrostatica, sino de mostrar explcitamente que,aunque la geometra del problema es muy sencilla, la integral para el campo electrico no lo es. Estopor supuesto motiva a desarrollar mas herramientas matematicas para el calculo de campos electricos,que en muchos casos facilitaran la vida (Comparar en el proximo captulo con el calculo mediante laLey de Gauss). De todas formas, integrar bien es un arte en muchos casos, muy util

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3.3. Delta de Dirac

En Electrodinamica es muy utilizada la delta de Dirac (x), que satisface

(x) = 0, x = 0

dx(x) = 1

Semejante funcion no existe en el analisis ordinario. La (x) de Dirac es una funcion generaliza-da (o distribucion de Schwartz, en honor a Laurent Schwartz , matematico frances autor de la teorade distribuciones (1950)).

Funciones Generalizadas

Sea el espacio vectorial de funciones complejas de cuadrado integrable bajo el producto internodado por

(f, g) =

dxf(x)g(x)

Sea{gn(x), n = 1, 2, 3, ...}

una sucesion de funciones de cuadrado integrable, esto es

(gn, gn) =

dx gn(x)2

Delta de Dirac (x)

El ejemplo mas ilustre y sobresaliente de funcion generalizada es la delta de Dirac, que resultafundamental para el desarollo de muchas teoras de la fsica, as como del Analisis de Senales (Disciplinade la Ingeniera Electrica). Existen varias sucesiones que definen a la delta de Dirac, comenzaremoscon una sucesion de la forma

n(x) =

0 x < 1/nn/2 1/n < x < 1/n0 x > 1/n

Fig. 3.4: Primeras 3 funciones dadas por la sucesion n(x)

Notar que a medida que aumenta n, la funcion se asemeja a un rectangulo cada vez mas angostoen torno al origen y de mayor amplitud. Sin embargo, siempre el area bajo n(x) es 1. Fsicamenteusaremos la delta de Dirac para modelar distribuciones de carga que son nulas excepto en un puntodel espacio

Veamos que en efecto n(x) define una sucesion de funciones de cuadrado integrable

(n(x), n(x)) =

dx n(x)2 = 1/n1/n

dx(n

2

)2=(n

2

)2( 2n

)=n

2

Ademas

dxn(x) =

1/n1/n

dx(n

2) =

n

2

2

n= 1

Veamos que ocurre con

dxn(x)f(x)

donde f(x) es cualquier funcion de cuadrado integrable. Se tiene que

Fig. 3.5: Utilizando el teorema del valor medio integral

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dxn(x)f(x) =n

2

1/n1/n

dxf(x) =n

2

2

nfn = fn

donde f es el valor de la funcion para algun x entre 1/n < x < 1/n . De esta forma, es claro que

lmn

dxn(x)f(x) = lmn

fn = f(0)

En resumen, la sucesion n(x) define la funcion generalizada (x), llamada delta de Dirac , cuyaspropiedades fundamentales son

dx(x) = 1

dx(x)f(x) = f(0)

(x) = 0, x = 0

Del mismo modo, podemos interpretar (x xo) como la distribucion siguiente

dx(x x0) = 1

dx(x x0)f(x) = f(xo)

(x x0) = 0, x = x0Nota

No existe ninguna funcion ordinaria con estas propiedades, pero s existe una funcion generaliza-da! Fsicamente, la Delta puede representar una senal o Impulso de gran amplitud y de extensioninfinitamente pequena. Por ejemplo, (t to) puede representar un sonido o una fuerza de granamplitud que ocurre en el instante t = to, y de extension practicamente nula en el tiempo (Un aplau-so o el impulso que actua sobre una pelota cuando rebota contra una pared). En electrodinamica, = q(xxo)(y yo)(z z0) representara la densidad volumetrica de una carga puntual q ubicadaen (x0, y0, z0), es decir, es nula en todo el espacio excepto en el punto (xo, y0, z0)

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Igualdad de Funciones Generalizadas

Dos funciones generalizadasg(x) = lm

n{gn(x)}

(x) = lmn

{n(x)}

son iguales si y solo si, con cualquier funcion de prueba f se tiene

dx[g(x) (x)]f(x) = 0

Es decir

g(x).= (x)

dx[g(x) (x)]f(x) = 0

Anteriormente mostramos como una sucesion de funciones rectangulares (n(x)) definen a (x).De igual forma, se puede construr la delta de Dirac con una sucesion de Gaussianas

n(x) =nen

2x2

de forma que

(x) = lmn

{n(x)}

Fig. 3.6: Construccion de (x) mediante una sucesion de Gaussianas

Este tipo de funciones nos es familiar, sabemos que siempre una distribucion Gaussiana (comodistribucion de Probabilidad) integra 1. A medida que n crece, la varianza en torno al origen deesta distribucion disminuye. Para demostrar que esta sucesion define igualmente a la delta basta condemostrar que

I = lmn

dx{n(x)nen

2x2}f(x) = 0

Propuesto!

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3.4. Propiedades de la delta de Dirac

dx(x)f(x) = f(0)

(x)f(x) = f(0)(x)

(x) = (x)

(ax) =(x)

a

dx(x)f(x) = f (0)

(x x) = 0, x = x

badx(x x) = 1, a < x < b

(x x) = (x x)

dx(x x)f(x) = f(x)

dx(x x)(x x) = (x x)

(f(x)) =Ni=1

(x xi) f (x) x=xi

donde xi son los ceros simples de f(x)

Delta de Dirac en 3 dimensiones

Se define(x x) = (x x)(y y)(z z)

la cual cumple Vd3x(x x) =

{1 si x V0 si x / V

3d3x(x x) = 1

3d3x(x x)f(x) = f(x)

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Fig. 3.7: Paul Dirac

Paul Dirac(1902-1984) Fsico Ingles. Se graduo de Ingeniero Electrico en 1921, posteriormenteestudio matematicas y fue recibido en la Universidad de Cambridge. En 1926 desarrollo una version dela mecanica cuantica en la que una el trab