Electricitate si magnetism .doc

7/27/2019 Electricitate si magnetism .doc

http://slidepdf.com/reader/full/electricitate-si-magnetism-doc 1/50

©Copyright 2006-2010, Viorel StancuThis electronic version is for personal use and may not be duplicated or distributed.

1

Electricitate şi magnetism

Introducere

Cele patru forŃe fundamentale. Fizica actuală recunoaşte existen Ńa a patru for Ńe

fundamentale. Ele sunt: for Ńa gravita Ńională, for Ńa nucleară slabă, for Ńa electromagnetică şi

for Ńa nucleară tare.

ForŃa gravitatională . Una din problemele nerezolvate ale fizicii clasice este gravita Ńia. Se

ştie, conform legii atrac Ńiei universale a lui Newton, că două corpuri lăsate liber pe o suprafa Ńă

plană, într-o regiune din spa Ńiu izolată de mediul extern, în absen Ńa oricăror for Ńe de frecare, ar

trebui să se deplaseze unul către altul datorită for Ńei de atrac Ńie gravita Ńională. Ceea ce nu se

ştie este de ce se întîmplă aşa. Nu se cunoaşte care este explica Ńia atrac Ńiei gravita Ńionale.

For Ńa gravita Ńională contribuie decisiv la existen Ńa structurilor cu auto-organizare din univers,

aşa cum este sistemul solar sau galaxiile şi metagalaxiile. Ea este importantă atît pentrumen Ńinerea Pămîntului pe orbită în jurul Soarelui cît şi pentru men Ńinerea noastră pe suprafa Ńa

Pămîntului. For Ńa gravita Ńională este o for Ńă slabă. De exemplu, for Ńa electrică dintre doi

electroni este de 1043 ori mai mare decît for Ńa gravita Ńională dintre ei.

ForŃa electromagnetică. Această for Ńă este rezultatul unificării for Ńelor electrice şi magnetice,

unificare realizată de Maxwell în 1864. For Ńa electrică contribuie decisiv la men Ńinerea

electronilor pe orbite în atom în jurul nucleului. For Ńa electromagnetică determină mişcarea

particulelor din starea de plasmă a materiei. După cum se ştie 90% din universul vizibil este

sub formă de plasmă. For Ńa electromagnetică se manifestă numai între particulele încărcate

electric.

ForŃa nucleară slabă. Această for Ńă se manifestă între toate tipurile de particule , însă numai

la distan Ńe mai mici 10−17 metri. For Ńa nucleară slabă intervine atît în dezintegrarea

radioactivă a nucleelor cît şi în multe reac Ńii care au loc în soare sau în stele şi care conduc la

eliberarea de energie prin fuziune termonucleară.

ForŃa nucleară tare. For Ńa nucleară tare se manifestă numai între particulele cunoscute sub

denumirea de hadroni (protoni, neutroni, pioni), însă numai la distan Ńe mai mici 10−15 metri.

Ea determină stabilitatea nucleelor deoarece se opune respingerii electrice dintre protonii din

nucleu. For Ńa nucleară tare este identică pentru protonii şi neutronii din nucleu. Această for Ńă

intervine în procesele de eliberarea de energie prin fisiune şi fuziune nucleară.




2

Conceptul de interacŃiune în fizica clasică şi în fizica modernă. Se pune întrebarea: cum

interac Ńionează două particule între ele? De exemplu: cum interac Ńionează doi electroni? Din

punctul de vedere al fizicii clasice, interac Ńiunea dintre două particule se realizează

instantaneu prin intermediul câmpului. Acesta este un purtător material al interac Ńiunii dintre

particule. Fiecare particulă creează în jurul ei un câmp, care este o formă continuă de existen Ńă

a materiei. De exemplu un electron creează în spa Ńiul din jurul său atît un câmp gravita Ńional

cît şi un câmp electric, iar dacă electronul se află în mişcare el creează de asemenea şi un

câmp magnetic. În cazul unei mişcări rectilinii uniforme nerelativiste, toate cele trei câmpuri

create de electron variază invers propor Ńional cu pătratul distan Ńei fa Ńă de particula sursă, în

cazul de fa Ńă de electron. Prin urmare, în fizica clasică, interca Ńiunea dintre două particule este

interac Ńiunea dintre fiecare particulă şi câmpul creat de cealaltă în punctul în care se află

particula. În fizica modernă, interac Ńiunea dintre două particule se realizează prin intermediulunor particule, numite particule virtuale. Se consideră că, timp de un moment din 137 de

momente foarte scurte, fiecare particulă reală, emite şi apoi reabsorbe acele particule virtuale

ale căror corepondente reale sunt cuante ale câmpului creat de particula reală. De exemplu un

electron emite şi reabsorbe fotoni virtuali, fotonii reali fiind cuante ale câmpul electric. Se

spune că electronul pulsează energie sub formă de radia Ńie invizibilă. Cînd o astfel de

particulă virtuală este aborbită de o altă particulă reală decît cea care a emis-o, se spune că s-a

realizat o interac Ńiune între cele două particule reale. Prin urmare, interac Ńiunea dintre două

particule se realizează prin schimbul de particule virtuale. Particulele virtuale sunt purtători ai

interac Ńiunii dintre două particule. Intensitatea interac Ńiunii este creşte cu creşterea numărului

de particule virtuale schimbate. Particulele virtuale se deosebesc de cele reale în primul rînd

prin faptul că ele nu pot fi detectate, în al doilea rînd prin faptul că, în general, pentru ele nu

mai este valabilă rela Ńia cunoscută dintre energie şi impuls ( E 2 = p2

c2 + m2

c4 ), iar în al

treilea rînd prin faptu că masele lor diferă dee masele particulelor corespunzătoare reale. De

exemplu în timp ce masa fotonului real este zero, masa fotonului virtual este diferită de zero.

Pentru ca o particulă reală să emită o particulă virtuală este necesar ca particula realăconsiderată să posede un surplus de energie. Apari Ńia acestui surplus de energie poate fi

explicată dacă se admite că particula considerată face parte dintr-un sistem de mai multe

particule. În acest caz, ca urmare a interac Ńiunii dintre particule, este posibil ca energia

particulei considerate să prezinte fluctua Ńii, adică să crescă semnificativ la anumite

momente de timp. Din ce cauză aceste fluctua Ńii apar, cu o probabilitate de 1/137, nu se

ştie. Este interesant de remarcat că




3

valoarea acestei probabilită Ńi, 1/137, coincide cu cea a constantei de structură fină, care este o

constantă universală. Timpul de via Ńă al particulelor virtuale depinde de energia lor, respectiv

de masa acestora. În conformitate cu principiul de incertitudine al lui Heisenberg, din

mecanica cuantică, se poate scrie

∆ E ⋅ ∆t ≥ ℏ / 2

unde h este constanta lui Planck, ∆E este surplusul de energie, sau energia împrumutată de

par ticula dată de la sistemul de particule iar ∆t timpul de împrumut. Prin urmare cu cît

particula virtuală este mai grea cu atît timpule ei de via Ńă va fi mai scurt, şi de asemenea şi

raza de ac Ńiune a interac Ńiunii va fi mai mică. Interac Ńiunea electrică dintre doi electroni, cînd

particula virtuală este fotonul virtual (Fig. 47 a), sau interac Ńiunea nucleară tare dintre doi

protoni, cînd particula virtuală este pionul virtual (Fig. 47 b), pot fi ilustrate intuitiv utilizînd

diagramele lui Feynman:

e e

(a) γ

ee

p p

(b)π

p p

Fig.47

Deoarece masa fotonului este zero, rezultă că raza de ac Ńiune a interac Ńiunii electrice este

nelimitată, iar deoarece pionul este o particulă cu masa relativ mare (masa pionului neutru este

de aproximativ 264 de ori mai mare decît masa electronului, iar cea a pionului încărcat este de

aproximativ 273 de ori mai mare decît masa electronului) rezultă că interac Ńiunea nucleară

tare este de rază foarte scurtă. Pentru interac Ńiunea nucleară slabă, raza de ac Ńiune a

interac Ńiunii fiind de 10−17 , rezultă că particulele virtuale care transportă acestă interac Ńiune



e

n


4

trebuie să fie foarte grele. Într-adevăr, este vorba de bozonii virtuali W şi Z, care au masele de

aproximativ de 100 de ori mai mare decît masa protonului. Pentru interac Ńiunea gravita Ńională,

se consideră că particulele virtuale care transportă această interac Ńiune sunt gravitonii virtuali,

care au masa egală cu zero, raza de ac Ńiune a interac Ńiunii gravita Ńională fiind deci nelimitată.

Trebuie remarcat că deocamdată nu există eviden Ńă experimentală privind existen Ńa

gravitonilor reali.

Câmpul electric în vid. Cine creează câmpul elctric?

Câmpul electric este creeat de particulele încărcate: electroni şi ioni pozitivi sau negativi.

Aceste particule se numesc surse ale câmpului electric. Fiecare atom con Ńine trei tipuri de

par ticule elementare: electroni, protoni şi neutroni. To Ńi elcctronii din univers sunt identici

între ei, acelaşi lucru fiind valabil şi pentru protoni şi respectiv pentru neutroni. În timp ce

neutronii sunt neutri electric, sarcina electronului este negativă iar a protonului este pozitivă,ambele fiind egale între ele în valoare absolută, acestă valoare fiind aproximativ dată de

e = 1.602 ⋅10−19

C . Masa unui electron este m = 9.108 ×10−31 kg, masa unui

proton

este m p = 1.6724 ×10

−27 kg iar masa unui neutroneste

m = 1.6748 ×10−27 kg. În timp

ce

electronii, protonii şi antiparticulele lor au timpul de via Ńă infinit, neutronii au timpul de via Ńă

infinit numai în interiorul nucleelor, timpul lor de via Ńă în afara nucleelor fiind de aproximativ

17 min. Trebuie remarcat că deşi particulele încărcate (electronul, protonul, ionii pozitivi şi

negativi), au o anumită structură, pentru simplificarea descrierii teoretice, vom considera, în

cele ce urmează, aceste particule ca fiind punctiforme.

Legea lui Coulomb. For Ńa de interac Ńiune dintre două sarcini punctiforme q1 şi q2 aflate în

vid la distan Ńa r una de alta este dată de legea lui Coulomb:

F =1

4πε0

q1q2

r 2(1)

unde ε0 = 1 / (4π × 9 × 109

) F/m. Sub formă vectorială această lege se scrie

F =

1

4πε 0

q1q2 r r

3 (2)

Legea lui Coulomb, stabilită experimental de către fizicianul francez Coulomb în 1785, arată

că interac Ńiunea electrică dintre două sarcini variază invers propor Ńional cu pătratul distan Ńei

dintre ele, asemănător interac Ńiunii gravita Ńionale dintre două particule neutre.



3

Intensitatea câmpului electric. Fie Q şi q două sarcini punctiforme aflate în vid la distan Ńa r

una de alta. Intensitaea câmpului creat de sarcina Q în punctul în care se află sarcina q este

dată de rela Ńia

unde

FE = (3)q

F =

1

4πε 0

qQr

r 3 (4)

este for Ńa de interac Ńiune dintre cele două sarcini.

Din (3) şi din (4) rezultă că intensitatea câmpului creat de sarcina Q la distan Ńa r de Q este

E = 1 Qr

4πε 0 r (5)

Câmpul electric din jurul particulelor încărcate poate fi ilustrat cu ajutorul liniilor de câmp. În

cazul unei particule pozitive liniile de câmp sunt divergente, iar în cazul unei particule

negative aceste linii sunt convergente (Fig. 49).

+ −

Densitatea de sarcină.

Fig. 49

Densitatea volumică de sarcină. Densitatea volumică a unei distribu Ńii continue de sarcini

este de sarcini este definită de raportul

ρ = ∆Q

∆V

unde ∆Q este sarcina totală distribuită în volumul ∆V.

La limită se poate scrie

(6)



şi prin urmare

ρ = dQ

dV

Q =

∫ ρ

dV

V

(8)

(7)

Densitatea superficială de sarcină. Densitatea superficială a unei distribu Ńii continue de

sarcini este definită de raportul

σ = ∆Q

∆S

unde ∆Q este sarcina totală distribuită pe suprafa Ńa ∆S.


(9)

şi prin urmare

σ = dQ

dS

Q = ∫ ρdS

S

(11)

(10)

Densitatea liniară de sarcină. Densitatea liniară a unei distribu Ńii continue de sarcini este

definită de raportul

τ = ∆Q

∆ L

∆Q este sarcina totală distribuită pe un element de conductor de lungime ∆L


(12)

şi prin urmare

τ = dQ

dL

Q = ∫ τ dL

L

(13)

(14)

Densitatea punctiformă de sarcină. În cazul unei sarcini punctiforme, densitatea de sarcină

se defineşte cu ajutorul func Ńiei delta a lui Dirac

ρ ( r ) = q ⋅δ ( r )

unde q este sarcina iar δ este func Ńia delta a lui Dirac.

(15)

Func Ńia delta se defineşte astfel δ(r) = 0 pentru r ≠ 0, şi δ(0) = ∞. În plus func Ńia delta

trebuie să satisfacă condi Ńia:



+∞

∫ δ ( r ) d r = 1−∞

(16)

Natura potenŃială a câmpului electrostatic. Dacă lucru mecanic efectuat de for Ńele câmpului

electrostatic pentru a deplasa o sarcină între două puncte din spa Ńiu nu depinde de drumul

urmat, ci numai de pozi Ńiile ini Ńială şi finală, atunci cămpul electrostatic este un câmp

poten Ńial. O afirma Ńie echivalentă este următoarea: Dacă lucru mecanic efectuat de for Ńele

câmpului electrostatic pentru a deplasa o sarcină de-a lungul unui contur închis este zero,

atunci cămpul electrostatic este un câmp poten Ńial. În conformitate cu defini Ńia unui câmp

poten Ńial, se poate scrie

B B

∫ E ⋅ d l = ∫ E ⋅ d l ,

A A

(17)

L1 L2

where L1 and L2 are different paths between points A and B (Fig. 50).

B

L 1

L 2

A

Fig. 50

B A

Deoarece ∫ E ⋅ d l = − ∫ E ⋅ d l ,

A B

Ecua Ńia (16) devine

L2 L2

B A

∫ E ⋅ d l + ∫ E ⋅ d l =0

A B

(18)

sau

L1 L2

∫ E ⋅ d l =

0 L

(19)

where L este conturul închis din Fig. 50.



Luînd în considerare teorema lui Stokes’

din (18) şi (19) rezultă

∫ rot E ⋅ d S = ∫ E ⋅

d lS L

∫ rot E ⋅ d S = 0S

(20)

(21)

unde S este suprafa Ńa delimitată de conturul închis L. Deoarece suprafa Ńa S este arbitrară,

rezultă

sau

Solu Ńia acestei ecua Ńii este

rot E = 0 ∇ × E =

0

(22)

(23)

sau

E = − grad ϕ

(24)

E = −∇ ϕ , (25)

Func Ńia scalară ϕ se numeşte poten Ńialul scalar al câmpului electric. Conform rela Ńiei (25)

câmpul electric derivă dintr-un poten Ńial, deci are o natură poten Ńială. Este uşor de observat că

poten Ńialul scalr ϕ nu este univoc determinat, ci este definit numai pînă la o constantă

arbitrară. Astfel, atît ϕ cît şi ϕ’=ϕ+a, unde a este o constantă, conduc la aceeaşi valoare a

câmpului electric definit de (24). Pentru ca ϕ să fie univoc determinat este necesar să fie

cunoscută valoarea poten Ńialului într-un anumit punct particular, de exemplu se poate

presupune că la o distan Ńă infinită de sursă, poten Ńialul scalar este zero, ϕ (∞ ) = 0 . Această

procedură prin care se asigură o valoare bine determinată a poten Ńialului scalar se numeşte

normalizare.

Expresia lucrului mecanic în funcŃie de potenŃial. Lucru mecanic efectuat de for Ńele

câmpuli electric cînd o sarcină q se mişcă între două puncte 1 şi 2, este

2 2 2

luînd în considerare că

A = ∫ F ⋅ d r =∫ qE ⋅ d r = − ∫ q grad ϕ ⋅

d r 1 1 1

grad ϕ ⋅ d r = ∂ϕ

dx + ∂ϕ

dy + ∂ϕ

dz = d ϕ

(26)

(27)

∂ x ∂ y ∂ z



0 r

=∞

rezultă

prin urmare,

2

A = −∫ q ⋅ d ϕ =q [ϕ (1) − ϕ

(2)],1

A = q [ϕ (1) − ϕ (2)],

(28)

(29)

Aceasta este rela Ńia dintre lucru mecanic şi poten Ńial. Rela Ńia (28) arată că deşi poten Ńialul

scalar nu este univoc determinat, diferen Ńa de poten Ńial dintre două puncte este univoc

determinată şi poate fi măsurată experimental.

PotenŃialul câmpului unei sarcini punctiforme. Utilizînd rela Ńiile

2

A = ∫ qE ⋅ d r 1

şi

A = q [ϕ (1) − ϕ (2)],

(30)

(31)

şi, în plus, considerînd condi Ńia de normalizare

expresiee pentru poten Ńialul scalar în punctul 1:

ϕ (2) = ϕ (∞) = 0

se ob Ńine următoarea

∞

ϕ (1) = ∫ E ⋅ d r.1

(32)

Fie Q sursa câmpului electric E. Dacă punctul 1 considerat este la distan Ńa r de sarcina Q,

atunci se ob Ńine

∞

ϕ (r ) = ∫ E ⋅ d r.r

(33)

Luînd în considerare că valoarea intensită Ńii câmpului electric creat de sarcina Q este

rezultă

E =1

4πε 0

Qr

r 3

∞ ϕ (r ) =

Q 1 r

⋅ d r .

(34)

sau

4πε ∫ r 2 r

ϕ (r ) =Q

∞ dr Q

∫ 2

−

1

=

1 Q. (35)

4πε 0 r r 4πε 0 r r 4πε 0 r

Aceasta este expresia poten Ńialului scalar creat de sarcina punctiformă Q la o distan Ńă r de ea.



Expresia (35) poate fi ob Ńinută şi pe altă cale. Astfel plecînd de la rela Ńia




10

A = q [ϕ (1) − ϕ (2)],

şi considerînd condi Ńia de normalizare ϕ (2) = ϕ (∞) = 0 se ob Ńine

A∞ = qϕ (1) (36)

sau

Since

A∞ = qϕ (r )

(37)

∞ ∞

A∞ = ∫ Fdr = ∫ 1

4πεqQ

r ⋅ dr =qr

3

Q

4πε r (38)

din (38) şi (39) rezultă

r r 0 0

ϕ (r ) =Q

(39)

Sau, utilizînd (38) se mai poate scrie4πε 0

r

ϕ (r ) = A∞

q

(40)

Prin urmare, poten Ńialul scalar, ϕ(r), este numeric egal cu lucru mecanic efectuat de for Ńele

câmpului pentru a deplasa unitatea de sarcină pozitivă din punctul dat pînă la infinit.

Teorema lui Gauss. Teorema electrostatică a lui Gauss stabileşte o rela Ńie matematică întrefluxul electric printr-o suprafa Ńă închisă şi sarcina localizată în volumul mărginit de această

suprafa Ńă

Fig. 51. Calculul fluxului electric printr-o suprafa Ńă închisă cînd o sarcină punctiformă se află în interiorul volumului mărginit de această suprafa Ńă.



Fie o sarcină punctiformă Q aflată în interiorul unui volum V limitat de suprafa Ńa S (Fig. 51)

Fluxul Φ al câmpului electric E prin această suprafa Ńă este:

Deoarece

Φ = ∫ E ⋅d SS

(44)

1 Q r E =

rezultă

4πε 0 r 2

r

Φ = Q 1 r

⋅ d S

(45)4πε ∫ r

2 r

0 S

Fig. 52. Calculul fluxului electric printr-o suprafa Ńă închisă cînd o sarcină punctiformă se află în exteriorul volumului mărginit de această suprafa Ńă.

Pentru a evalua fluxul dat de (46), este util să se noteze

r ⋅ d S=

r dS cos ( r , d S) =

dS '

(46)

r r

unde dS’ este proiec Ńia ariei elementului de suprafe Ńă dS pe un plan perpendicular pe vectorul

de pozi Ńie r. Din geometrie se ştie că unghiul solid sub care un element de suprfa Ńă dS, de pe

suprafa Ńa unei sfere, se vede din centrul sferei este

unde r este raza sferei. Prin urmare

d Ω = dS

r 2 (47)



Φ =Q

∫ d Ω . (48)4πε 0

S

Deoarece unghilul solid sub care o suprafa Ńă închisă este văzută dintr-un punct aflat în

interiorul volumului delimitat de această suprafa Ńă este egal cu 4π, avem

∫ d Ω = 4π . (49)S

Prin urmare, din (48) şi (49) rezultă

Φ = Q

ε 0

(50)

Este uşor de arătat, că în cazul cînd sarcina Q se află în exteriorul volumului delimitat de

suprafa Ńa închisă, fluxul prin această suprafa Ńă este egal cu zero. Într-adevăr, deoarece fluxul

este dat de numărul de linii de câmp care trec printr-o suprafa Ńă, în acest caz numărul de linii

de câmp care trec prin suprafa Ńa închisă de la exterior către interior, este egal cu numărul de

linii de câmp care trec prin suprafa Ńa închisă de la interior către exterior, rezultă că fluxul va fi

egal cu zero.

Prin urmare cînd o sarcină punctiformă este în exteriorul volumului, fluxul câmpului electric

E prin suprafa Ńa închisă care delimitează volumul considerat este

Φ = 0 . (52)

Din (50) şi (52), se ob Ńine

Q/ε 0 , cind Q este in interiorul volumului delimitat de suprafata S

Φ = ∫ E ⋅ d S = S

0, cind Q este in exteriorul volumului

delimitat de suprafata S

(53)

Acesta este con Ńinutul teoremei electrostatice a lui Gauss pentru o particulă încărcată.

Forma diferenŃială a legii lui Coulomb. Ecua

Ńia lui Maxwell pentru div E. Conform

teoremei lui Green-Gauss-Ostrogradski, fluxul câmpului electric E printr-o suprafa Ńă închisă

se poate scrie:

∫ E ⋅ d S = ∫ divE ⋅ dV , (54)

S V

DeoareceQ ∫ E ⋅ d S =

S ε 0



iar

rezultă

Q = ∫ ρdV

V

∫ (divE − ρ / ε 0 )dV =

0.V

(55)

Această ecua Ńie este valabilă pentru orice volum V. Prin urmare integrantul trebuie să fie egal

cu zero, adică divE = ρ / ε 0 . (56)

Aceasta este forma diferen Ńială a legii lui Coulomb şi constituie ecua Ńia lui Maxwell pentru

div E. Ea se mai poate scrie şi sub forma ∇ ⋅E = ρ / ε 0 (57)

EcuaŃia lui Poisson şi ecuaŃia lui Laplace. Pentru a deduce o ecua Ńie pentru poten Ńialul

scalar ϕ vom considera ecua Ńiile E = −∇ ϕ . (58)

şi Substituind pe E dat de (58) în (59) rezultă

∇ ⋅E = ρ / ε

0

(59)

∆ϕ = − ρ / ε 0 . (60)

Această ecua Ńie este numită ecua Ńia lui Poisson. În regiunile din spa Ńiu în care nu există sarcini

(ρ = 0), ecua Ńia lui Poisson devine

Ecua Ńia (62) este numită ecua Ńia lui Laplace.

∆ϕ = 0 (61)

Dipolul electric. Un sistem format din două sarcini electrice punctiforme +q şi -q egale şi de

semn contrar, aflate la o distan Ńă l una de alta constituie un dipol electric. Linia care uneştecele două sarcini se numeşte axa dipolului iar vectorul care uneşte sarcina negativă cu cea

pozitivă, fiind orientat către sarcina pozitivă se numeşte bra Ńul dipolului. Se consideră că

distan Ńa dintre cele două sarcini este mult mai mică decît distan Ńa pînă la punctul în care

urmează a fi evaluat câmpul dipolului (Fig. 53). Vectorul este numit momentul dipolului.

p = q ⋅ l (62)



Fig.53 Dipolul electric

Energia unui dipol. Să considerăm un dipol electric plasat într-un câmp electric creat de o

sarcină punctiformă Q (Fig.54).

Fig. 54. Un dipol electric plasat într-un câmp electric extern creat de sarcina punctiformă Q.

Luînd în considerare că energia poten Ńială a unei sarcini punctiforme q plasată într-un câmp

electric extern este dată de rela Ńia

W p = qϕ (73)unde ϕ este valoarea poten Ńialului câmp electric în punctul în care se află sarcina q, rezultă că

încazul dipolului electric considerat (Fig. 54), se poate scrie

W p

= −qϕ ( r ) + qϕ ( r + l ) = q ϕ ( r + l ) −

ϕ ( r )(74)

Deoarece l << r , utilizînd o dezvoltare în serie Taylor, se ob Ńine



r r r

Substituind (75) în (74), rezultă

ϕ (

+ l ) ≅ ϕ ( ) + l ⋅ ∇ϕ (

) . (75)

sau

W p

= q l ⋅ ∇ϕ ( r ) = p ⋅ ∇ϕ ( r ) =

− p ⋅ E

(76)

W p

= − p ⋅ E (77)

Trebuie remarcat că această expresie nu ia în considerare energia de interac Ńiune a sarcinilor

+q şi -q care formează dipolul. Dacă un dipol este plast într-un câmp electric omogen asupra

sarcinilor +q şi -q care formează dipolul vor ac Ńiona for Ńele F1 şi F2 egale în mărime, dar

orientate în direc Ńii opuse (Fig. 55). Aceste for Ńe formează un cuple al cărui bra Ń este l sinα,

adică, depinde de orientarea dipolului fa Ńă de câmpul electric. Mărimea fiecărei din aceste

for Ńe este qE. Mărimea cuplului de for Ńe care ac Ńionează asupra dipolului va fi:T = qEl sin α = pE sin α

(78)

Fig. 55. Un dipol electric plasat într-un câmp electric extern omogen.

Este uşor de văzut că ecua Ńia (78) se mai poate scrie

T = p × E (79)

Cuplul de for Ńe (80) tinde să rotească dipolul astfel încît momentul său electric să fie pe

direc Ńia câmpului.

Câmpul electric în dielectrici

Polarizarea dielectricilor. Dielectricii sunt substan Ńe care au o conductibilitate electrică

foarte mică. În dielectrici nu există sarcini electrice libere, aşa cum sunt electronii în metale, ci

numai sarcini electrice legate, care pot fi uneori sub forma unor dipoli electrici. Cînd un

dielectric este introdus într-un câmp electric, sarcinile din dielectric se deplasează dar doar pe

distan Ńe foarte mici. Exemple de dielectrici sunt: ebonita, mica, sticla, chihlimbarul.



Dielectricii pot fi alcătui Ńi din molecule neutre, din atomi sau din ioni. Pentru a în Ńelege

comportarea dielectricilor în câmp electric, este util să studiem comportarea atomilor şi

moleculelor în câmp electric. Mai întîi trebuie remarcat că aşa cum în atomi există sarcini

pozitive localizate în nucleu şi sarcini negative date de electronii de pe orbite, tot aşa şi în

molecule există localizate sarcini pozitive şi negative. Dacă în absen Ńa unui câmp electric

extern, distribu Ńia sarcinilor pozitive şi negative în interiorul atomilor sau moleculelor este

astfel încît centrul sarcinilor pozitive coincide cu centrul sarcinilor negative, atunci atomii

respectivi se numesc atomi nepolari iar moleculele se numesc molecule nepolare, deoarece nu

prezintă moment de dipol electric. Atomul de heliu sau moleculele simetrice O2 , H2 , N2 ,

CO2 şi CH4 sunt cîteva exemple de atomi şi molecule nepolare. Dacă în absen Ńa unui câmp

electric extern, atomii sau molecule prezintă un moment de dipol, cînd centrul sarcinilor

pozitive nu coincide cu centrul sarcinilor negative, atunci atomii sau moleculele se numesc

atomi polari şi molecule polare. Exemple de molecule polare sunt moleculele asimetrice cum

ar fi CO, HCl sau HBr. Momentul de dipol al acestor molecule este cuprins aproximativ între

valorile 10-29−10-30 C⋅m. De exemplu pentru HCl valoarea momentului de dipol este de

3, 44 ×10−30 C ⋅ m , iar pentru HBr ea este de 2, 33 ×10

−30

C ⋅ m .

Dielectricii alcătui Ńi din atomi sau molecule nepolare se numesc dielectrici nepolari, în

timp ce dielectricii alcătui Ńi din atomi sau molecule polare se numesc dielectrici polari.Dielectricii forma Ńi din ioni, cum ar fi cristalele ionice, sunt de asemenea dielectrici nepolari.

În absen Ńa unui câmp electric extern to Ńi dielectricii se caracterizează prin valoarea zero a

momentului de dipol electric macroscopic. Se spune că dielectricii sunt nepolariza Ńi. Prin

defini Ńie, momentul de dipol electric macroscopic este dat de suma momentelor de dipol

electric ale atomilor, moleculelor sau ionilor, din care este alcătuit dielectricul. Evident, în

cazul dielectricilor polari afla Ńi în absen Ńa unui câmp electric extern, momentul de dipol

macroscopic este zero, deoarece momentele de dipol ale atomilor sau moleculelor

dielectricului sunt orientate aleator.

Cînd un dielectric este introdus într-un câmp electric se spune că dielectricul se

polarizează. Prin polarizarea dielcctricului se în Ńelege apari Ńia, în interiorul dielectricului, a

unui momentului de dipol electric macroscopic diferit de zero. Cu alte cuvinte, polarizarea are

ca efect apari Ńia unei separări a sarcinilor electrice pozitive şi negative din dielectric. Aceste

sarcini se numesc sarcini legate. Există trei mecanisme de polarizare a dielectricilor, şi



anume, polarizarea indusă numită şi polarizare electronică, polarizarea de orientare şi

respectiv polarizarea atomică.

Cînd un dielectric nepolar este introdus într-un câmp electric are loc o separare a

sarcinilor din interiorul atomilor sau moleculelor dielectricului. Sub ac Ńiunea for Ńei electrice,

sarcinile pozitve se vor deplasa pe direc Ńia şi în sensul câmpului electric în timp ce sarcinile

negative se vor deplasa tot pe direc Ńia câmpului electric dar în sens opus. Prin urmare atomii

nepolari sau moleculele nepolare dobîndesc un moment de dipol, iar dielectricul se

polarizează. Această polarizare este numită polarizare indusă sau polarizare electronică. Ea

este temporară, deoarece dispare o dată cu îndepărtarea câmpului electric extern.

Cînd un dielectric polar este introdus într-un câmp electric extern intervin două tipuri de

polarizare. Pe de o parte, momentele de dipol ale atomilor sau moleculelor polare tind să se

orienteze pe direc Ńia câmpului electric extern şi astfel apare polarizarea de orientare Acestăorientare pe direc Ńia câmpului electric extern este par Ńială deoarece ei i se opune mişcarea de

agita Ńie termică a moleculelor (Fig. 56).

Fig. 56. Polarizarea dielectricilor polari în câmp electric.

Pe de altă parte are loc şi o mică separare a sarcinilor pe direc Ńia câmpului electric extern, şi

prin urmare intervine şi o polarizare indusă, însă aceasta este neglijabilă în raport cu

polarizarea de orientare. Spre deosebire de polarizarea indusă care este o polarizare temporară,

polarizarea de orientare are un caracter permanent.

Al treilea tip de polarizare, polarizarea atomică, apare în dielectricilor nepolari, alcătui Ńi

din cristale ionice. Cînd un astfel de dielectric este introdus într-un câmp electric extern, ionii

pozitivi sunt deplasa Ńi pe direc Ńia şi în sensul câmpului electric în timp ce ionii negativi se vor

deplasa tot pe direc Ńia câmpului electric dar în sens opus. Ca urmare re Ńeaua ionică este

deformată iar dielectricul dobîndeşte un moment de dipol electric.

Vectorul de polarizaŃie electrică. Prin defini Ńie, polariza Ńia sau intensitatea de polarizare este

definită de mărimea vectorială



p p

∆ pP =

∆V

unde ∆p este momentul de dipol al elementului de volum

(1)

∆V , adică ∆p este suma

momentelor de dipol ale atomilor sau moleculelor din elementului de volum ∆V . Deci∆

= ∑ ∆V

(2)

În cazul dielectricilor nepolari alcătui Ńi din atomi nepolari sau molecule nepolare, deoarece

momentul de dipol indus este acelaşi pentru to Ńi atomii sau toate moleculele, se poate scrie P = Np0 (3)

unde N este concentra Ńia atomilor sau moleculelor iar p0 este momentul de dipol indus.

În cazul dielectricilor polari, se poate scrie

P = N p

, (4)

unde N este concentra Ńia atomilor sau moleculelor iar ⟨ p ⟩ este valoarea medie a proiec Ńiei

momentului de dipol pe direc Ńia câmpului electric extern.

Polarizărea dielectricilor depinde de intensitatea câmpului electric extern. În cazul

dielectricilor izotropi liniari, se poate scrie

unde χ este subsceptibilitatea dielectrică.

P = χε 0 E, (5)

Pentru majoritatea dielectricilor solizi sau lichizi, subsceptibilitatea dielectrică este de ordinul

unită Ńii, pentru apă valoarea lui χ este de 80, iar pentru alcool ea este cuprinsă între 25 şi 30.

Efectul polarizării asupra câmpului electric. inînd cont de (5), momentul de dipolal

elementului de volum dV este

d p = PdV = χε 0 E dV

,

(6)

Deoarece χ > 0 rezultă că vectorul moment de dipol d p are aceeaşi direc Ńie şi sens cu cea a

câmpului electric extern E . Prin urmare, câmpul electric creeat de dipolul electric se opune

câmpului electric extern şi duce la micşorarea sa.

Se poate arăta că densitatea volumică de sarcină a sarcinilor legate este dată de rela Ńia ρ

b= −d ivP.

Vectorul de deplasare electrică. Să considerăm ecua Ńia lui Maxwell pentru div E : div E = ρ / ε 0

(7)

(8)



Luînd în considerare şi contribu Ńia sarcinilor legate la crearea câmpului electric, se ob Ńine Deoarece

Substituind valoarea lui

div E = ρ / ε 0 + ρb

/ ε

0 .

ρb

= −d ivP,

ρb

dată de (10) în (9) rezultă

(9)

(10)

sau

div E =1

( ρ − div P )ε 0

(11)

div (ε 0 E + P ) = ρ . (12)

Vectorul

D = ε 0 E + P

(13)

Este numit vectorul deplasare electrică. Substituind valoarea lui D div D = ρ.

dată de (13) în (12) rezultă

(14)

Deoarece

se ob Ńine

P = χε 0 E,

D = (ε 0 + χε 0 ) E = ε E,

ε = (1 + χ )ε 0

,

(15)

unde ε este permitivitatea dielectrică. Mărimea adimensională

ε r

= ε / ε 0 , (16)

se numeşte permitivitate relativă.

Teorema electrostatică a lui Gauss în prezenŃa dielectricilor. Ecua Ńia (16) se mai poate

scrie sub forma ∫ div D dV = ∫ ρ dV .

V V

(17)

sau, luînd în considerare că

ob Ńine

Q = ∫ ρ dV

V

şi utilizînd teorema lui Green-Gauss-Ostrogradski, se



∫ D ⋅ d S = Q,

S

(18)




20

2

Ecua Ńia (21) reprezintă teorema lui Gauss pentru câmpul electrostatic în prezen Ńa

dielectricilor.

Energia câmpului electrostatic. Expresia energiei câmpului electric con Ńinută în volumul V

din spa Ńiu este

1 W = ∫ E ⋅D dV . (13)

V

Densitatea de energie a câmpului electric va fi

Curentul electric staŃionar

1 w = E ⋅ D . (14)

2

Prin curent electric se în Ńelege o mişcare ordonată a unor sarcini electrice. Această mişcare

or donată, numită şi mişcare de drift, este determinată de ac Ńiunea câmpului electric asupra

sarcinilor electrice libere dintr-un mediu, care poate fi solid, lichid sau gaz. După cum se ştie

în absen Ńa unui câmp electric extern sarcinile elctrice libere dintr-un mediu au o mişcare

haotică, datorită agita Ńiei termice. Cînd acest mediu este supus ac Ńiunii unui câmp electric,

peste mişcarea haotică a particulelor încărcate se va suprapune şi o mişcare de drift pe direc Ńia

câmpului electric. Prin urmare, prin mediu curge un curent electric. Trebuie remarcat că viteza

mişcării ordonate a purtătorilor de sarcină este mult mai mică decît viteza mişcării haotice.

Astfel într-un conductor metalic, viteza mişcării haotice este de a pr oximativ 105 m/sec, în

timp ce viteza de drift a sarcinilor libere, aflate sub ac Ńiunea unui câmp electric este, de regulă,

de ordinul a 0.1 cm/sec.

Intensitatea curentului electric este definită de rela Ńia

I = dq

dt

unde dq este sarcina transportată printr-o suprafa Ńă în unitate de timp dt.

(1)

Prin conve Ńie, sensul curentului electric este ales astfel încît să coincidă cu sensul de deplasare

a unei sarcini pozitive aflate în câmp. Densitatea curentului electric este un vector al cărui

sens coincide cu sensul curentului electric. Acest vector este definit local, avînd o valoare bine

determinată, în fiecare punct al suprafe Ńei străbătute de curent. Modulul densită Ńii de curent

elctric este definit de rela Ńia

j = dI

dS ⊥(2)



Cu alte cuvinte, densitatea de curent este o mărime numeric egală cu valoarea curentului dI

care trece printr-o unitate de suprafa Ńă orientată perpendicular pe direc Ńia curentului.

Intensitatea curentului electric se poate exprima în func Ńie de densitatea de curent astfel I = ∫ j ⋅ dS

S (3)

În cazul cînd purtătorii de sarcină sunt electronii, densitatea de curent se poate scrie sub forma

j = env (4)

unde e este sarcina electronilor, n este concentra Ńia lor iar v este viteza de drift.

În cazul unui curent electric sta Ńionar, intensitatea curentului se poate scrie sub forma

I =

q

t (5)

unde q este sarcina transportată printr-o suprafa Ńă dată în timpul t.

EcuaŃia de continuitate. Fie o suprafa Ńă imaginară închisă S (Fig. 62) aflată întru-un mediu

prin care curge un curent electric.

j

dq---- < 0dt

VS

dq---- = 0dt

Fig. 62 Fig. 63

Sarcina electrică care iese în unitate de timp din volumul V mărginit de suprafa Ńa S, este: ∫ j ⋅

dS

S

Ca urmare sarcina din volumul V se va micşora cu



∂ t

− dq

dt

Luînd în considerare conservarea sarcinii electrice, rezultă

Deoarece

şi

j ⋅ dS = −

dq

S dt

q = ∫ ρ dV

V

(6)

(7)

∫ j ⋅ dS = ∫ div j dV , (8)

ecua Ńia (6) devine

S V

d

∫ div j dV = − ∂ρ∫ ρ dV = − ∫ d V (9)

Din (9) rezultă

V dt

V V ∂ t

∂ρ∫ div j dV = −∫ dV

V V

Deoarece volumul V este arbitrar, se ob Ńine

∂ρdiv j = −

∂ t

(10)

(11)

Aceasta este ecua Ńia de continuitate.

Forma diferenŃială a legii lui Ohm. Legea lui Ohm a fost stabilită pe cale experimentală.

Conform acestei legi, intensitatea curentului care trece printr-un conductor metalic este

propor Ńională cu tensiunea aplicată la capetele conductorului. Matematic, legea lui Ohm, sub

formă integrală, este dată de rela Ńia

I = 1

U R

(12)

Pentru a deduce forma diferen Ńială a legii lui Ohm, vom considera o por Ńiune infinit de mică a

unui conductor metalic, de lungime dl şi de sec Ńiune dS, prin care circulă densitatea de curent

j, sub ac Ńiunea unui câmpul electric E (Fig. 64).



dl

dS j

E

Fig. 64

Rezisten Ńa electrică a unui conductor cilindic omogen este

R = ρ l

S

unde l este lungimea conductorului, S este sec Ńiunea lui, iar ρ este rezistivitatea.

(14)

Legea lui Ohm sub formă diferen Ńială se referă la rela Ńia dintre vectorii j şi E în acelaşi

punct din interiorul conductorului. Înlocuind în (12) pe I prin j ⋅ dS , pe 1/R prin

dS

ρ dl

şi pe U prin E ⋅ dl , rezultă,

sau

j dS =

dS

ρ dl

E dl

j = σ E (15)

Ecua Ńia (15) reprezintă forma diferen Ńială a legii lui Ohm. Mărimea σ se numeşte

conductivitate elecrică.

Forma diferenŃială a legii lui Joule. Legea lui Joule sub formă integrală este

P = RI 2 (16)

1 dl Fie din nou conductorul din Fig. 64. Înlocuind în (16) pe pe I prin j ⋅ dS , şi pe R prin ,

σ dS

se ob Ńine

P = ( jdS )

2 1 dl

(21)σ dS

Prin urmare, puterea disipată pe unitate de volum va fi

P = dP / ( dl dS ) = j 2 /

σ(22)

sau, deoarece j = σ E , rezultă

P

V = j ⋅ E . (23)

Aceasta este forma diferen Ńială a legii lui Joule.



σ r

Câmpul magnetic staŃionar în vid.

Cine creează câmpul magnetic? Cine creează câmpul magnetic? Sursele câmpului magnetic

sunt particulele încărcate aflate în mişcare. Prin urmare, şi curentul electric este o sursă a

câmpului magnetic. Câmpul magnetic sta Ńionar este creat de un curent electric. El nu poate fi

generat mişcarea individuală a particulelor încărcate deoarece în acest caz câmpul magnetic ar

trebui să varieze în timp. În 1820 fizicianul danez Hans Oersted (1777-1851) a arătat pentru

prima dată că un conductor parcurs de curent creează în jurul său un câmp magnetic. Oersted a

observat că acest câmp poate devia acul unei busole aşezate în vecinătatea conductorului. Induc Ńia câmpului magnetic se notează cu B .

Legea Biot-Savart. Această lege, stabilită experimental, arată că induc Ńia câmpului magnetic

creat de un curent care trece printr-un conductor foarte sub Ńire este dată de expresia:

B = µ0

∫ I d σ × r (2)

4π r 3

unde I este intensitatea curentului, I d σ este un element de curent iar r este vectorul de pozi Ńie

al punctului în care este calculată induc Ńia câmpului magnetic.

Ι

d B

r

I d σ

Fig 66

Legea Biot-Savart se mai poate scrie şi sub forma:

Mărimea lui dB este

µdB = 0

4π I d ×

r 3

(3)



2

µdB = 0

4π I d σ sin α

r 2

(4)

unde α este unghiul dintre vectorii I d σ şi r .

Energia câmpului magnetostatic. Expresia energiei câmpului magnetostatic con Ńinută în

voluul V din spa Ńiu este

1W

m= ∫∫∫ H ⋅ B

dV

V

Densitatea de energie a câmpului magnetostatic are forma

µ H ⋅ Bw=

2

Electricitate si magnetism ( partea a doua)

Teorema lui Gauss pentru vectorul induc]ie magnetic\ B . Prin analogie teorema lui Gauss pentru vectorul induc]ie electric\ D

Φ = ∫ D ⋅dS = Q = ∑ Qi

,S i

se poate scrie teorema lui Gauss pentru vectorul induc]ie magnetic\ B

Φ = ∫ B ⋅dS = M = ∑ M i

S i

unde Mi sunt sarcinile magnetice aflate `n volumul delimitat de suprafa]a S, iar M este

sarcina magnetic\ total\ aflat\ `n acest volum. Deoarece `n natur \ nu au fost observa]i

magne]i care s\ ai b\ numai polul nord sau numai polul sud, se poate considera c\ nu exist\ sarcini magnetice, [i prin urmare teorema lui Gauss pentru vectorul induc]ie magnetic\ B

este de f orma



r

Φ = ∫ B ⋅dS =

0S

Lu`nd `n considerare teorema lui Green-Gauss-Ostrogradski, ecua]ia (5) devine

(5)

∫ div B dV = 0V

(6)

Deoarece volumul V a fost ales arbitrar rezult\ c\

div B = 0

Aceast\ ecua]ie este cunoscut\ ca cea de-a treia ecua]ie a lui Maxwell.

(7)

Forma integral\ a legii circuitale a lui Ampere. Fie un curent care curge printr-un conductor rectiliniu infinit de sub]ire (Fig. 67). Liniile câmpului magnetic generat de acest curent sunt

cercuri concentrice cu centrele pe linia de curent. Fie I d σ un element de curent. S\ calcul\m circula]ia vectorului B

∫ B ⋅dl

L

de-a lungul unui contur `nchis L dispus `n jurul curentului I.

Utiliz`nd legea Biot-Savart, se poate scrie

(8)

+∞

B = µ

0

4π I d σ ×r

∫ 3−∞

(9)



+ ∞Ι

R d BL

σ θ

r

I d σ

− ∞

Fig 67

Din (8) [i (9), rezult\

+∞µ B ⋅ dl = 0

4π I d σ ×

r ∫

r 3

⋅ dl (10)

L L −∞

Deoarece vectorii B [i dl sunt coliniari, se poate scrie

B ⋅ dl

Prin urmare ecua]ia (10) devine

= B ⋅ dl

(11)

+∞µ B ⋅ dl = 0

4π I d σ sin θ

∫ r

2⋅ dl (12)

L L −∞

Variabilele r [i σ se pot exprima `n func]ie de θ , conform cu Fig. (67), astfel:

r =R

sinθ

[i

, (13)

Deoarece

σ = R cos θ

. (14)sin θ

rezult\

σ ′ = d σ

d θ= −

R,

sin 2 θ



r R

d σ = −R

sin 2 θd θ . (15)

in`nd cont de (13) [i (15) [i lu`nd `n considerare c\ atunci c`nd r → −∞, θ → 0, [i c`nd r →

+ ∞, θ → π, se ob]ine urm\toare expresie pentru integrala din (12)

+∞ I d σ sin θ 0

sin θ π sin θ 2 I ∫ 2

= I ∫ −−∞ π

d θ = I ∫ 0

d θ = R R

(16)

Lu`nd `n considerare (16), ecua]ia (12) devine

+∞ ∫ B ⋅ dl µ= ∫

0 I d σ sin θ µ 2 I ∫ ⋅ dl = ∫

0 ⋅ dl =µ 0 ⋅ I ∫ dl = µ I .

4π r 2 4π R 2π R

0

Deci

L L −∞

∫ B ⋅dl

L

L L

= µ0 I . (17)

Aceasta este forma integral\ a legii circuitale a lui Ampere.

Forma diferen]ial\ a legii circuitale a lui Ampere. Fie S suprafa]a delimitat\ de conturul L

(Fig. 67). Curentul total I care curge prin aceast\ suprafa]\ este

I = ∫ j ⋅ dS

S (18)

Utiliz`nd teorema lui Stokes, se poate scrie

∫ B ⋅ dl = ∫ rot B dS (19) L S

in`nd cont de (18) [i (19), ecua]ia (17) devine

Sau

∫ rot B dS = µ

0 ∫ j ⋅ dS

S S

(20)

∫ (rot B − µ0 j ) dS = 0 . (21)

S

Deoarece suprafa]a S a fost aleas\ arbitrar \, rezult\



rot B = µ0 j . (22)

Acesta este forma diferen]ial\ a legii circuitale a lui Am pere.

Curentul de deplasare. Conform legii circuitale a lui Ampere se poate scrie: rot B = µ

0 j

(1)

unde j este vectorul densitate de curent al sarcinilor electrice libere, numit\ [i densitate de

curent de conduc]ie. Densitatea curentului de conduc]ie, j , trebuie s\ satisfsac\ ecua]ia de

continuitate:

∂ρdiv j = −

∂ t (2)

Este u[or de v\zut c\ ecua]ia (1) este vala bil\ numai `n cazul particular c`nd div j = 0 . ~ntr-

adev\r, aplic`nd operatorul divergen]\ ambilor membri din ecua]ia (1) se ob]ine:

deoarece

div (rot B ) = div ( µ0

j ) = 0 (6)

div (rot B ) = ∇ ⋅ (∇ × B ) = B ⋅ (∇ × ∇ ) = 0 . (7)

Prin urmare, pentru cazul general, c`nd conform ecua]iei de continuitate, div j ≠ 0 , ecua]ia

(1) trebuie corectat\. Aceast\ corec]ie a fost efectuat\ de Maxwell `n 1864, care a ar \tat c\ `n

mem br ul drept din ecua]ia (1), pe l`ng\ densitatea de curent a sarcinilor electrice libere,

trebuie s\ se considere [i o densitate de curent datorat\ sarcinilor electrice legate, numit\

densitate de curent de deplasare. ~n acest caz ecua]ia (1) devine:

rot B = µ

0 j + µ

0 j

d (8)

Densitatea total\ de curent va fi dat\ de suma dintre densitatea curentului de conduc]ie [i

densitatea curentului de deplasare:

jtot

= j + jd

Aplic`nd operatorul diver gen]\ ambilor membri din ecua]ia (8), rezult\:

div jd

= −div j

(9)

(10)

Din (8) [i din (10) rezult\:

∂ρ

Deoarece, conform legii lui Gauss

div jd

= ∂

t

(11)




30

I

rezult\ c\

ρ = div D

(12)

∂ρ =

∂(div D ) = div

∂ D (13)

∂ t ∂ t ∂t

in`nd cont de (13) ecua]ia (11) devine: div j

∂ D = div (14)

d ∂ t

prin urmare, se poate scrie

∂ D j

d =

∂ t (15)

Substituind valoarea lui jd dat\ de (15) `n ecua]ia (8), se

ob]ine:

rot B = µ

∂ D0 j + µ

0∂

t

(16)

sau, deoarece B

= µ0

H , ecua]ia (16) devine

∂ Drot H = j +

∂ t (17)

unde H este intensitatea câmpului magnetic, j este densitatea curentului de conduc]ie iar D

este induc]ia câmpului electric. Ecua]ia (17) este cunoscut\ sub denumirea de prima ecua]ie a

lui Maxwell.

Pentru a vedea care este semnifica]ia fizic\ a curentului de deplasare, vom considera cazul

unui circuit elctric ce con]ine un condensator [i este alimentat cu o tensiune alternativ\ (Fig.

69).

I

B

I

∼ B I d

I

B

Fig. 69



Deoarece `ntre arm\turile condensatorului nu exist\ sarcini electrice libere, rezult\ c\

`n spa]iul dintre ar m\turi exist\ doar un curent de deplasare datorat sarcinilor electrice

legate. Prin conductorii de leg\tur \ care unesc arm\turile condensatorului cu sursa

alter nativ\ de alimentare, circul\ at`t un curent de conduc]ie c`t [i unul de deplasare, dar

acesta din urm\ este neglijabil de mic fa]\ de curentul de conduc]ie. Ca [i curentul de

conduc]ie, curentul de deplasare este o surs\ de câmp magnetic. De asemenea, ca [i curentul

de conduc]ie, curentul

de deplasare `n dielectrici produce efecte termice dar nu [i `n vid.

Fie un dielectric aflat `ntr-un câmp electric extern E 0 . Datorit\ polariz\rii dielectricului,

câmpul electric `n interiorul dielectricului se va mic[ora, devenind E = E 0 + E p

, sau, `n

modul, E = E 0 − E p

,

unde

E p

este câmpul electric datorat polariz\rii dielectricului. Prin

urmare, ecua]ia ce define[te induc]ia electric\

se poate scrie sub forma

sau

D = ε 0 E + P

D = ε 0 ( E 0 − E p )

+ P

D = ε 0 E 0 − ε 0 E p

+ P

(18)

(19)

(20)

Prin urmare, densitatea curentului de deplasare se poate scrie sub f orma:

j = ∂ D

= ε∂ E 0 − ε

∂ E p

+ ∂ P

(21)d ∂ t

∂ P

0 ∂t

0∂t ∂t

Termenul se nume[te curent de polarizare [i se datoreaz\ de plas\rii sarcinilor electrice∂t

legate, `n timpul polariz\rii dielectricului. ~n absen]a dielectricului, c`nd `ntre pl\cilecondensatorului este vid, rela]ia (21) devine

j = ∂ D

= εd ∂ t 0

∂ E 0

∂t (22)

~n fizica moder n\, se consider \ c\ apari]ia curentului de deplasare `n vid se datoreaz\

polariz\rii vidului.

Legea induc]iei electromagnetice a lui Faraday. Dac\ un conductor `nchis se afl\ `ntr-un câmp

magnetic [i dac\ fluxul câmpului magnetic prin suprafa]a m\r ginit\ de conductor variaz\

`n timp, fie din cauza mi[c\rii conturului, fie din cauza varia]iei câmpului magnetic,



experien]a arat\ c\ `n circuit apare un curent electric, numit curent de induc]ie, care se va

men]ine at`ta



∫

timp c`t dureaz\ varia]ia fluxului magnetic. Acest fenomen poart\ numele de induc]ie

electr omagnetic\ [i a fost descoperit `n 1831 de fizicianul englez Michael Faraday (1791-

1867). Faraday a considerat c\ apari]ia curentului de induc]ie este cauzat\ de apari]ia unei

for]e electromotoare propor]ionale cu varia]ia fluxului magnetic `n unitatea de tim p.

In 1833, E. Lenz (1804-1865) a completat legea lui Faraday preciz`nd c\ sensul curentului

indus este astfel `nc`t tinde s\ se opun\ cauzei care i-a dat na[tere. Exprimarea matematic\ a

acestei legi a fost dat\ `n 1845 de F.E. Neumann (1798-1865):

E = − d Φ

dt (23)

Este de remarcat c\ varia]ia fluxului magnetic `n timp va genera un câmp electric chiar [i `n

absen]a unui conductor.

Forma diferen]ial\ a legii induc]iei electromagnetice. Deoarece

E = ∫ E ⋅ dl , Φ = ∫ B ⋅

dS .

(24)

L S

legea lui Faraday dat\ de rela]ia (23) devine

∫ E ⋅ dl

L

= − d

B ⋅ dS dt

S

(25)

Fig. 71. Legea lui Faraday a induc]iei electr omagnetice

Utiliz`nd teorema lui Stokes’ , se poate scrie



∫ E ⋅ dl = ∫ rot E ⋅ dS . (26) L S

Din (25) [i (26) rezult\

∂ B∫ rot E ⋅ dS = −∫ ⋅ dS , (27)S S

∂ t

i deoarece suprafa]a S este o suprafa]\ arbitrar \, se ob]ine:

∂ Brot E = − . (28)

∂ t unde E este câmpul electric indus. Ecua]ia (28) reprezint\ forma diferen]ial\ a legii induc]iei

electromagnetice a lui Faraday. Ea mai este cunoscut\ sub denumirea de cea de-a doua

ecua]ie a lui Maxwell.

Natura ne poten]ial\ a câmpului electric indus. Deoarece, varia]ia `n timp a unui câmp

magnetic genereaz\ un câmp electric indus, pentru care rot E ≠ 0 . (29)

rezult\ c\ lucru mecanic efectuat de acest câmp de-a lungul unui contur `nchis este diferit de

zero, [i deci câmpul electric indus nu este un câmp poten]ial, nu deriv\ dintr-un poten]ial.

~ntr-adev\r, lucru mecanic efectuat de câmp de-a lungul unui contur `nchis, va fi:

A = qE = q ∫ E ⋅ dl

= ∫ rot E ⋅dS ≠ 0 . (30)

Câmpul electric indus E

Ecua]iile lui Maxwell

L S

se mai nume[te [i câmp rota]ional sau tur bionar .

~n 1864, Maxwell a unificat pentru prima dat\ dou\ for]e fundamentale din natur \: for]a

electric\ [i for]a magnetic\. El a propus un set de ecua]ii care s\ descrie unitar fenomenele din

electricitate [i magnetism. Aceste ecua]ii, cunoscute azi ca ecua]iile lui Maxwell, permit

investigarea teoretic\ a undelor electromagnetice din natur \. Deoarece lumina este tot o und\

electr omagnetic\, teoria lui Maxwell mai este cunoscut\ [i ca teoria electr omagnetic\ a

luminii. Din teoria lui Maxwell rezult\ c\ viteza de propagare a undelor electromagnetice `n

vid este egal\ cu viteza luminii `n vid.

Sistemul de ecua]ii al lui Maxwell este:



∂ Drot H = j + , (I) (31)

∂ t

∂ Brot E = − , (II) (32)

∂ t

div B = 0 , (III) (33)

div D = ρ . (IV) (34)

Aceste ecua]ii mai sunt cunoscute [i sub denumirea de ecua]ii de câmp. Pentru ca acesteecua]ii s\ constituie un sistem `nchis, c`nd num\r ul ecua]iilor este egal cu num\r ul de

necunoscute, ele trebuie completate cu alte ecua]ii cunoscute sub denumirea de rela]ii de

material. ~n cazul unui mediu liniar [i izotrop, rela]iile de material se pot scrie sub f orma:

(35)

D = ε E , B = µ H , j = σ E . (V)

Rela]iile de material ]in cont de pr opriet\]ile electromagnetice ale mediului, mai exact ele

descriu: a) dependen]a induc]iei electrice de polarizarea mediului, descris\ de permitivitateaelectric\ ε ; b) depende]a induc]iei magnetice de propriet\]ile magnetice ale mediului,

descrise de permeabilitatea magnetic\ µ ; c) dependen]a densit\]ii de curent de

conductibilitatea mediului σ .

Ecua]iile lui Maxwell sunt ecua]ii liniare cu derivate par]iale de ordinul `nt`i. Ele sunt formate

din dou\ ecua]ii vectoriale, numite ecua]ii de evolu]ie [i din dou\ ecua]ii scalare numite

ecua]ii de condi]ie. Ecua]ia (I) reprezint\ forma diferen]ialal\ a legii induc]iei

magnetoelectrice. Ecua]ia(II) re prezint\ forma diferen]ialal\ a legii induc]iei

electromagnetice. Ecua]iile (III) [i (IV) se refer \ la sursele câmpurilor magnetic [i electric.

Legea de conservare a energiei câmpului electromagnetic. Teorema Umov-Poynting. Fluxul

de energie. Dup\ cum se [tie o und\ reprezint\ propagarea unei oscila]ii `n spa]iu. ~n cazul

undelor electr omagnetice m\rimile care oscileaz\ sunt vectorii câmp electric [i câmp

magnetic. Propagarea undelor electromagnetice `n spa]iu este `nso]it\ de o propagare a

energiei câmpului electromagnetic `n spa]iu. Fie o regiune finit\ din spa]iu, de volum V,



( )

delimitat\ de o suprafa]\ `nchis\ σ . Energia câmpului electromagnetic din aceast\ regiune

este dat\ de rela]ia:

W em

= ∫∫∫ w dV

V

(36)

unde w reprezint\ densitatea volumic\ de energie a câmpului electromagnetic, fiind definit\

de expresia

Se poate ar \ta c\ vector ul

ε E 2 + µ H

2

w =2

(37)

S = E × H

(38)

este vectorul densit\]ii fluxului de energie. El mai este numit [i vectorul Umov-Poynting.C`nd undele electromagnetice se propag\, `n exterior, prin regiunea din spa]iu delimitat\ de

suprafa]a `nchis\ σ , va exista o curgere `n exterior a energiei câmpului electromagnetic prin

suprafa]a `nchis\ σ , [i deci un flux de energie dat de rela]ia:

Φ = ∫∫ S ⋅ d σ = ∫∫∫ ∇S

dV

(39)

σ V

Pentru a deduce legea de conservare a energiei câmpului electromagnetic, vom pleca de la primele dou\ ecua]ii ale lui Maxwell:

∇ × H = j + ε ∂ E

∂t (40)

∇ × E = −µ ∂ H

∂t (41)

Multiplic`nd scalar prima ecua]ie cu E

ecua]ie din prima, se ob]ine:

[i pe a doua cu H , [i sc\z`nd apoi cea de-a doua

E ⋅ ∇ × H − H ⋅ ∇ × E = j ⋅ E + ε E ⋅ ∂ E

+ µ

H ⋅ ∂ H

(42)

Lu`nd `n considerare c\

deoarece

∂t ∂t

E ⋅ ∇ × H − H ⋅ ∇ × E = −∇ E × H

(43)

[i utiliz`nd rela]iile evidente

div ( A × B ) = B rotA − A rotB



em ∫∫∫ ∫∫

∂t

em ∫∫

∂ E 2

∂t

∂ E = 2 E ⋅ ,

∂t

∂ H 2

∂t

∂ H = 2 H ⋅

∂t (44)

ecua]ia (42) devine:

2 2

−∇ ( E × H ) = j ⋅ E + ∂

ε E

∂t

+ µ H

2 (45)

sau, ]in`nd cont de rela]ia (38), ultima ecua]ie se mai poate scrie sub forma:

∂ ε E 2 + µ H

2

− = j ⋅ E + ∇S (46)∂t 2

Integr`nd aceast\ expresie pe regiunea din spa]iu de volum V delimitat\ de suprafa]a `nchis\

σ , se ob]ine:

∂ ε E 2 + µ H

2 ∫∫∫ − dV = ∫∫∫ j ⋅ E dV + ∫∫∫ ∇S

dV (47)

D∂t 2 D D

sau, ]in`nd cont de (36), (37) [i (39), se poate scrie:

∂− W = j ⋅ E dV + S ⋅ d σ∂t

(48)V σ

Deoarece, conform formei diferen]iale a legii lui Joule, puterea disi pat\ pe unitate de volum

este P

V = j ⋅

E

rezult\ c\ primul termen din memrul drept al ecua]iei (48) reprezint\ cantitatea de c\ldur \, Q,

degajat\ prin efect Joule `n volumul V `n unitate de timp, prin urmare se poate scrie

∫∫∫ j ⋅ E dV = QV

(49)

in`nd cont de (49) ecua]ia (48) devine

∂− W = Q + S ⋅ d σσ

(50)



( )

Ecua]ia (50) re prezint\ legea conser v\rii energiei câmpului electromagnetic, cunoscut\ [i sub

denumirea de teorema Umov-Poynting. Ea se enun]\ astfel: Sc\derea energiei câmpului

electromagnetic `n unitate de timp, `n domeniu considerat, este egal\ cu suma dintre fluxul de

ener gie electr omagnetic\ ce str \ bate suprfa]a σ , care m\r gine[te volumul V al domeniului, [i

c\ldura degajat\ `n mediul respectiv prin efect Joule.

Propagarea undelor electromagnetice `n dielectrici. Unde plane. O und\ electr omagnetic\ se

nume[te und\ plan\ dac\ vectorii câmpului undei au aceea[i m\rime `n toate punctele oric\r ui

plan per pendicular pe direc]ia de propagare a undei. Evident m\rimea acestor vectori poate

varia de la plan la plan. O und\ plan\ se nume[te monocr omatic\ dac\ varia]ia `n timp a

vectorilor undei ascult\ de o lege armonic\ cu o anumit\ frecven]\ constant\. De

exemplu, pentru o und\ electr omagnetic\ plan\ [i monocr omatic\, ce se pr opag\ de-a

lungul axei Z,

vectorii câmpului au f orma

E ( z , t ) = E ( z ) e

i

ω t ; B ( z , t ) = B ( z ) e

i ω t (51)

Ecua]iile de propagare pentru vectorii de câmp ai undei. Fie un mediu izotrop [i omogen

pentru care ε = const, µ = const, ρ = 0, σ = 0, [i respectiv j = σE = 0. ~ntr-un astfel de

mediu, ecua]iile lui Maxwell sunt de f or ma

∇ × B = ε µ ∂ E

∂t (52)

∂ B∇ × E = −∂t

(53)

∇ B = 0 (54)

∇ E = 0 (55)

s\ a plic\m operatorul rotor ammilor membri din ecua]ia (53). Se ob]ine:

∂ B∇ × ∇ × E = −∇×

∂t

(56)



B

Deoarce operatorul nabla implic\ o derivare `n raport cu coordonatele spa]iale, se poate scrie

∇ × ∂ B

=∂t ∂ (∇ × )∂t

sau, ]in`nd cont de (52), ecua]ia (56) se poate scrie sub f orma

∇ × (∇ × E ) = −ε µ ∂2 E

∂t 2

(57)

Utiliz`nd formula∇ × (∇ × E ) = ∇ (∇ E ) − ∆ E

[i lu`nd `n considerare, conform ecua]iei (55), c\ ∇ E = 0 , ecua]ia (57) devine

∂2 E

∆ E − ε µ = 0∂t

2 (58)

Aceasta este ecua]ia de propagare pentru vectorul câmp electric, E , al undei. Similar se ob]ine ecua]ia de propagare pentru vectorul de câmp magnetic, B , al undei,

∂ 2

B∆ B − ε µ = 0∂t

2 (59)

Se obser v\ c\ forma acestor ecua]ii este analoag\ cu cea a ecua]iei undei a lui d’Alembert

∆ϕ − 1

u 2

∂2ϕ= 0

∂t 2 (60)

unde u este viteza de faz\ a undei. Compar`nd ecua]iile (58), (59) [i (60) se obser v\ c\ viteza

de faz\ a undelor electromagnetice este



r r 0

v = 1

= 1⋅

1=

c(61)

unde

εµ ε0µ0 ε r µ r ε r µ r

c =1

ε 0µ

0≈ 3 ⋅10

8

m / s

(62)

Rela]ia (61) se mai poate scrie sub f orma

unde n este indicele de refrac]ie al mediului

v = c

n(63)

n =1

ε r µ

r

(64)

~n vid (c`nd εr = µr

= 1) viteza undelor electromagnetice coincide cu cea a luminii `n vid, `n

timp ce `ntr-un dielectric viteza undelor electromagnetice este mai mic\ dec`t viteza luminii `n

vid.

Transversalitatea undelor electromagnetice. ~n cazul pr opag\rii dup\ axa x a unei unde

electromagnetice plane, solu]ia ecua]iei de propagare pentru vectorii de câmp ai undei este de

f or ma

E ( x, t ) = E 0 sin (ω t − kx )

B ( x, t ) = B0 sin (ω t − kx )

unde k este num\r ul de und\ ( k = ω / v = 2π / λ ). Sub f or m\ complex\, solu]ia ecua]iei de

propagare se scrie

E ( , t ) = E 0 ei (ω

t −k ⋅r )

; B ( , t ) = B

e

i (ω

t − k ⋅r

) (65)

unde k este vectorul de und\ (orientat pe direc]ia de propagare a undei). Este u[or de v\zut c\ prin aplicarea operatorului nabla func]iei f (r ) = e

− ik

⋅r se ob]ine

Fie ecua]ia lui

Maxwell ∇ e− i k ⋅r



= −i k e−i k ⋅r (66)




40

r

0

unde

∇ E = 0

(67)

E

( , t

) = E

0ei (ω t −k ⋅r ) (68)

Substituind (68) `n (67) [i ]in`nd cont de (66) se ob]ine

div E = ∇ ⋅ E = −i k ⋅ E =

0

(69)

Prin urmare vectorul câmp electric E

direc]ia de propagare a undei.

Similar, plec`nd de la ecua]ia

al undei este perpendicular pe vectorul k , adic\ pe

∇ ⋅ B = 0

cu

(70)

(71)

se ob]ine

B ( r ) = B ei (ω t −k ⋅r )

div B = ∇ ⋅ B = −i k ⋅ B =

0

(72)

Deci [i vectorul câmp magnetic B

direc]ia de propagare a undei.

al undei este perpendicular pe vectorul k , adic\ pe

S\ plec\m acum de la primele dou\ ecua]ii ale lui Maxwell

∇ × B = εµ ∂ E

∂t (92)

∂ B∇ × E = −∂t

(93)

Substituind pentru E

[i B valorile date de (65), se ob]ine




41

−k × B = ε µ ω E (94)



n

( )

k × E = ω B

(95)

Dac\ n este versorul pe direc]ia de propagare a undei, atunci

Substituind (96) `n (5) rezult\k = ω v

(96)

n × E = v B (97)

Ultima rela]ie arat\ c\ vectorii E

[i B sunt reciproc perpendiculari. Din (97) se ob]ine

E = vB (98)

Deoarece raportul E / B nu depinde de timp, rezult\ c\ `ntr-un dielectric omogen vectorii E [i

B variaz\ `n faz\.

Lu`nd `n considerare c\

v =1

,εµ

B = µ H

ecua]ia (8) devine

µ E = H

ε(99)

Densitatea fluxului de energie. Aceast\ m\rime este definit\ de vectorul lui Poynting, notat cu

S . Modulul acestui vector, pentru o und\ plan\ este dat de rela]ia

S = E ×

H

= E H =1

⋅ 1

(ε E 2 + µ H

2)

=εµ 2

1⋅

1( E ⋅ D + B ⋅ H

)εµ 2

(100)

unde 1 εµ = v este viteza de propagare a unei iar

1 w = E ⋅ D + B ⋅ H

2 (101)



v

( )

este densitatea volumic\ de energie a câmpului electromagnetic .

Prin urmare se poate scrie

S = w (102)

Ecua]ia de mai sus arat\

c\

rata de transfer a energiei de c\

tre o und\

plan\

`ntr-un dielectricomogen este egal\ cu viteza de faz\ a undei.

Poten]ialele vector [i scalar ale câmpului electromagnetic.

S\ consider \m cea de-a treia ecua]ie al lui Maxwell

divB = 0 (1)

este u[or de v\zut c\

B = rot A (2)

este o solu]ie a ecua]iei (1). ~ntr-adev\r , substituind (2) `n (1) se ob]ine

div (rot A) = ∇ ⋅ ∇ × A = (∇ × ∇ ) ⋅ A = 0

Vectorul A se nume[te poten]ial vector al câmpului magnetic.

S\ consider \m acum cea de-a doua ecua]ie a lui Maxwell

∂ Brot E = −

∂t (3)

Substituind (2) `n (3), se ob]ine

rot E = − ∂

rot A = −rot ∂ A

∂t ∂t

sau




43

∂t ∂t ∂t ∂t ∂t

∂ A rot E + = 0 (4)

∂t

Solu]ia ecua]iei (4) se poate scrie sub f orma

∂ A E + = − grad ϕ , (5)

∂t

unde ϕ este poten]ialul scalar. Din ecua]ia (5) rezult\

∂ A E = − grad

ϕ −

.∂t

(6)

Ambiguitatea poten]ialelor [i transformarea de etalonare.

Poten]ialele scalar [i vector ale câmpului electromagnetic nu sunt definite `n mod univoc. Fie

un câm p electromagnetic descris de poten]ialele A [i ϕ conform ecua]iilor (2) [i (5), [i fie

χ(x, y, z, t) o anumit\ func]ie arbitrar \. Este u[or de v\zut c\ poten]ialele

∂χ A '

= A

+ grad

χ ,

ϕ '

= ϕ

−∂t (7)

definesc acelea[i câmpuri E , B ca [i cele definite de poten]ialele A [i ϕ:

B ' = rot A ' = rot A + rot ( grad χ ) = B

(8)

∂ A '

∂χ

∂ A

∂ ∂ A

E ' = − grad ϕ '− = − grad ϕ + grad − − ( grad χ ) = − grad ϕ − = E (9)

Transform\rile (7) se numesc transform\ri de etalonare.

Equa]ia pentru poten]ialul vector .

Vom pleca de la prima ecua]ie a lui Maxwell



∂t

rot B = µ j + εµ ∂ E

∂t (10)

Substituind (2) [i (6) `n (10), se ob]ine

rot (rot A) = µ j + εµ ∂

− grad ϕ − ∂ A

. (11)∂t

∂t

Lu`nd nconsiderare c\

rot (rot A) = grad (div A) − ∆ A

(12)

ecua]ia (10) devine

∂2 A ∂ϕ ∆ A − εµ

∂t 2 = −µ j + grad div A + εµ . (13)

Pentru a `nl\tura ambiguitatea poten]ialelor vom impune o condi]ie suplimentar \, care se

alege de f orma

div A + εµ ∂ϕ

= 0 , (14)∂t

care se nume[te ecua]ia lui Lorentz. ~n aceste condi]ii ecua]ia (13) devine

∂2 A∆ A − εµ

∂t 2 = −µ j . (15)

Aceast\ ecua]ie se nume[te ecua]ia lui .D’Alembert.

Alegerea func]iei de etalonare χ.

Func]ia de etalonare χ se alege pun`nd condi]ia ca ecua]ia lui Lorentz s\ fie invariant\ fa]\

de transf or m\rile de etalonare. Se ob]ine




45

( )

∂ϕ ' ∂ ∂χ ∂ϕ ∂2 χ

div A '+ εµ∂t

= div ( A + grad ϕ ) +

εµ∂t

ϕ −∂t

= div A + εµ ∂t

+ ∆χ − εµ

∂t 2

(16)

Prin urmare, func]ia χ trebuie s\ satisfac\ ecua]ia:

∂2 χ∆χ − εµ = 0

∂t 2 (17)

Equa]ia pentru poten]ialul scalar.

S\ consider \m cea de-a patra ecua]ie a lui Maxwell

ρdiv E =

ε (18)

Substituind (6) `n (18), se ob]ine

∂ A ρ

div − grad ϕ − = , (19)

∂t

ε

sau

∂ ρ∆ϕ + div A = − . (20)

∂t ε

Substituind valoarea lui div A dat\ de (14), rezult\

∂2ϕ ρ∆ϕ − = − . (21)

∂t 2 ε

Documents

Electricitate si magnetism .doc