Electricitate Si Magnetism curs

Electricitate şi magnetism

Prof.dr. Alexandru STANCU

[email protected]

prof.dr. Alexandru STANCU 2009 2

Argumente pentru studiul electromagnetismului

• Aplicaţii tehnologice• Element esenţial/central al ştiinţei fizicii şi

al ştiinţei• Important pentru înţelegerea unor

fenomenelor naturale• Important pentru înţelegerea chimiei şi

biologiei


Tradiţie (de ce la IAŞI ?)

• Dragomir HURMUZESCU• Ştefan PROCOPIU


Dragomir HURMUZESCU


Stefan PROCOPIU


Magnetonul Bohr


Pierre WEISS


Activităţi didactice

• Curs 3 ore pe săptămână• Laborator 2 ore pe săptămână• Seminar 2 ore pe săptămână


Tematica abordată

• Electrostatică; sarcini şi câmpuri• Potenţial electric• Câmpul electric în jurul conductorilor• Curenţi electrici• Câmpul purtătorilor de sarcină în mişcare


Tematica abordată

• Câmpul magnetic• Inducţia electromagnetică şi ecuaţiile lui

Maxwell• Circuite de curent alternativ• Câmpuri electrice în substanţă• Câmpuri magnetice în substanţă


Bibliografie recomandată1. Electricitate şi magnetism, Edward M. Purcell, Cursul

de fizică BERKELEY, vol. II, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1982.

2. Orice alt curs de electricitate şi magnetism3. Orice culegere de probleme4. Pagina web a Departamentului de Fizica

http://stoner.phys.uaic.ro cursuriEnrollment key: EM


eLearning


Materiale de studiu

Simulări … MAPLE


Bibliografie (electromagnetism)

• Cursul de la Berkeley (vol. II)– Electricitate şi magnetism– E.M.Purcell

• Lectures on Physics (vol. II)– R.P. Feynman

• Electrodinamica mediilor continue– L.D. Landau şi E.M. Lifşiţ

• Bazele teoriei electricităţii– I.E. Tamm


Nota

50% … activitatea la seminar şi laborator (mid-term)50% … examen final

teza … 20 probleme/intrebărioral … teorie/aplicaţii


Electrostatică: sarcini şi câmpuri

– Sarcina electrică– Conservarea sarcinii– Legea lui Coulomb– Energia unui sistem de purtători de sarcini– Câmpul electric– Distribuţii de sarcină– Flux– Legea lui Gauss– Aplicaţii


Sarcina electrică

• Observaţii empirice (forţa electrică/forţa magnetică)

• Thales din Milet în urmă cu 2500 de ani (electrizarea corpurilor prin frecare)

• China antică în urmă cu 5000 de ani (magneţii naturali)

Platon (în urmă cu 2400 de ani)“Piatra pe care Euripide a numit-o magnetică şi care este numită în mod obişnuit

a lui Hercule (...) nu atrage numai inelele de fier; ea comunică inelelor o forţă care le dă puterea ce-i aparţine însăşi pietrei, aceea de a atrage alte inele, astfel că se vede uneori un foarte lung lanţ de inele de fier care atârnă unul de altul. Şi forţa lor a tuturor depinde de această piatră.”


Din observaţii empirice ...

• Există două tipuri de sarcină electrică (pozitivă şi negativă)

• Sarcina se conservă• Sarcina se cuantifică

Într-un sistem izolat, sarcina electrică totală, adică suma algebrică a sarcinilor pozitive şi negative, se conservă.

Exemplu: foton electron + pozitron


Cuantificarea sarcinii electrice

Experienţa lui Millikan

Robert A. Millikan (Nobel Prize for Physics 1923 )


Experimentul lui Millikan


Legea lui Coulomb

• Charles Auguste de Coulomb – Născut la 14 iulie 1736, Franţa– 1785, interacţiunea dintre mici sfere încărcate electric (balanţa de torsiune)– Prima lege cantitativă în domeniul electricităţii

Istoric• Utilizând o balanţă de

torsiune, Coulomb a demonstrat în mod direct că două sarcini interacţionează cu o forţă ce variază invers proporţional cu pătratul distanţei dintre ele.


Forţa Coulomb

q Q

F21 F12 R12

= 1212 3

12

RF kqQR 12

00

1 , 8.8544187818 10 /4

k F mεπε

−= = ⋅

Film Legea lui Coulomb

În Sistemul Internaţional

În starea de echilibru mecanic a sistemului din figură se poate determina forţa care acţionează asupra sarcinii q.


Principiul superpoziţiei

(1)

(2)

(3)

F1

F2

F3

q

F=F1+ F2 +F3 =qE

Sarcinile “1”, “2” şi “3”acţionează asupra sarcinii de probă q prin rezultanta forţelor cu care ar acţiona fiecare din ele separat asupra acesteia.


Potenţialul electric

B

A

Q

q0 F0 R

Ra

Rb

dR

B B

ab 0 0 30A A

1 R dRL F dR Qq4 R

⋅= ⋅ =

πε∫ ∫

2 2 2 2

R xi yj zk,

dR dxi dyj dzk,

R dR xdx ydy zdz,R x y z ,2RdR 2xdx 2ydy 2zdz, deci

R dR RdR

= + +

= + +

⋅ = + +

= + += + +

⋅ = B

0ab 0 2

0 0 a bA

1 dR Qq 1 1L Qq4 R 4 R R

⎛ ⎞= = −⎜ ⎟

πε πε ⎝ ⎠∫

Film Lucrul mecanic şi energia


Diferenţa de potenţial

( )ab 0 0 b aL q U q V V= = − −

a bU V V= −

0

1 QV4 R

=πε

Potenţialul electric se determină în mod relativ nu în mod absolut

Potenţialul electric al sarcinii punctiforme într-un punct la distanţa R se defineşte ca fiind o mărime scalară, numeric egală cu lucrul efectuat de forţele electrostatice pentru a deplasa sarcina unitară de la distanţa R până la infinit, sau altfel, ca o mărime numeric egală cu lucrul efectuat de forţele exterioare pentru a aduce sarcina unitară de la infinit la distanţa R. Potenţialul definit în acest fel este numit potenţial coulombian. La infinit potenţialul coulombian este nul.


Energia unui sistem de sarcini electrice punctiforme

q1,V12 q2,V21

( ) ( )2 21 1 12 1 12 2 21 1 1 2 21 12 2

W q V q V q V q V q V q V= = = + = +

( )1 1 2 2

1

1 1...2 2

n

n n i i

i

W q V q V q V qV=

= + + + = ∑


Energia unei reţele cristaline

Cristalul de clorură de sodiu ( ),Na Cl+ −

2 2 2

0

1 6 12 8 ...2 4 2 3

N e e eWa a aπε

⎡ ⎤= − + − +⎢ ⎥

⎣ ⎦


Intensitatea câmpului electric

Q q0

F0 R

0

0

FEq

=

30

Q RE4 R

=πε

Film Intensitatea câmpului electric

Definiţia generală

Câmpul creat de o sarcină electrică punctiformă


Linii de câmp electric

E

dR

x y z

i j kE dR E E E 0

dx dy dz× = =

x y z

dx dy dzE E E

= =

Film Suprafeţe echipotenţiale şi linii de câmp


Distribuţii de sarcină electrică

P

Q

dvq

Rqp

Rq

Ω

x

z

yO

ρq

v 0

q dqlimv dvΔ →

Δρ = =

Δ

( )

p q q0 qp

1 1V dv4 R

Ω

= ρπε ∫

( )

qpp q q3

0 qp

R1E dv4 R

Ω

= ρπε ∫


Relaţia dintre câmp şi potenţial

0 0dL q E dR q dV= ⋅ = −

= + +x y zE E i E j E k

dR dxi dyj dzk= + +

V V VdV dx dy dzx y z

∂ ∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂

x y zE dR E dx E dy E dz⋅ = + +



0 0dL q E dR q dV= ⋅ = −

x y zE dR E dx E dy E dz⋅ = + +

V V VdV dx dy dzx y z

∂ ∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂

x y zV V VE , E , Ex y z

∂ ∂ ∂= − = − = −

∂ ∂ ∂



∂ ∂ ∂= + + = − − − =

∂ ∂ ∂

⎛ ⎞∂ ∂ ∂= − + + = −∇ = −⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

x y zV V VE E i E j E k i j kx y z

i j k V V gradVx y z


Gradientul unei funcţii scalare

dR dxi dyj dzk= + +

f f fdf dx dy dzx y z

∂ ∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂

grad i j kx y z∂ ∂ ∂

≡ ∇ = + +∂ ∂ ∂

( )df grad f dR= ⋅


Suprafeţe echipotenţiale

0V V const.= =

dV = 0

dV gradV dR= ⋅

E dR 0⋅ =

E gradV= −

E dR⊥

∂ ∂ ∂= + + = ⋅ =

∂ ∂ ∂V V VdV dx dy dz gradV dR 0x y z

gradV dR⊥


Suprafeţe echipotenţiale - linii de câmp

E

dR

grad V V2=const. < V1

V1=const.'

∂ ∂ ∂= + + = − − − = −∇ = −

∂ ∂ ∂x y zV V VE E i E j E k i j k V gradVx y z

= =0V V const.

× =E dR 0


Câmpul sarcinii punctuale

Q Simetria problemei


Câmpul sarcinii punctiforme

O

x

y

z

ij

k

uR

θ

ϕ

uθ

uϕ

r

R

x y z

dx dy dzE E E

= =

x 30

y 30

z 30

1 xE Q ,4 R

1 yE Q ,4 R

1 zE Q4 R

=πε

=πε

=πε

dx dy dzx y z

= =


Coordonate sferice

p p p p

p p p p

p p p

x R sin cosy R sin sinz R cos

⎧ = θ ϕ⎪ = θ ϕ⎨⎪ = θ⎩

O

x

y

z

ij

k

uR

θ

ϕ

uθ

uϕ

r

R

00

1 1V Q V4 R

= =πε

00 0

1 1R R Q4 V

= =πε


Câmpul sarcinii punctiforme

1 1

2 2

ln x ln y C x K yln x lnz C x K z

⎧ = + =⎧⎪ ⇒⎨ ⎨= + =⎪ ⎩⎩dx dy dzx y z

= =

Q

x

y

z

x=K2z

x=K1y

linia de câmp

( )0 0 0x , y ,z0

10

xKy

=

02

0

xKz

=


Fluxul câmpului electric

( )

3 3

R Rd dS dSR R

Σ

Ω = ⋅ ⇒ Ω = ⋅∫3

0 0

Q R QE dS dS4 R 4

ΩΦ = ⋅ = ⋅ =

πε ε π∫ ∫

R

dS

dΩ

(Σ)

Q


Relaţia flux-linii de câmp

0

Q4Ω

Φ =ε π

R

dS

dΩ

(Σ)

Q

Fluxurile sunt egale prin cele două suprafeţe

Numărul de linii de câmp care străbat cele două suprafeţe sunt egale

liniidecâmpNΦ ≈


Fluxul

4Ω = π

0

QΦ =

ε

30 0

Q R QE dS dS4 R 4

ΩΦ = ⋅ = ⋅ =

πε ε π∫ ∫


Fluxul

2Ω = π

0

Q2

Φ =ε

30 0

Q R QE dS dS4 R 4

ΩΦ = ⋅ = ⋅ =

πε ε π∫ ∫


Fluxul

0Ω = 0Φ =

interior suprafata0

1 1Q Q2

⎛ ⎞Φ = +⎜ ⎟ε ⎝ ⎠∑ ∑

30 0

Q R QE dS dS4 R 4

ΩΦ = ⋅ = ⋅ =

πε ε π∫ ∫


Teorema lui Gauss

Fluxul intensităţii câmpului electric printr-o suprafaţă închisă este egal cu suma sarcinilor interioare suprafeţei plus semisumasarcinilor de pe suprafaţă raportate la .ε0


Concluzii

Observăm că fluxul nu depinde de forma suprafeţei. Faptul că el este însă proporţional cu sarcina electrică interioară ne conduce spre interpretarea fluxului printr-o suprafaţă ca număr de linii de câmp ce trec prin aceasta.

Să presupunem că dintr-o sarcină punctuală pozitivă pornesc linii de câmp într-un număr proporţional cu mărimea sa. Numărul de linii de câmp ce trec prin suprafaţă, dacă aceasta este închisă şi include sarcina este acelaşi indiferent de forma suprafeţei.Pentru a obţine în această interpretare fluxul nul în cazul sarcinilor exterioare suprafeţei închise trebuie să adoptăm următoarea convenţie. Se alege un sens pozitiv de străbatere al suprafeţei - în sensul normalei la suprafaţă în punctul respectiv - adică, la numărul de linii de câmp ce străbat o suprafaţă se adună numărul de linii de câmp ce formează cu normala la suprafaţă unghiuri mai mici decât 90° şi se scade numărul de linii de câmp ce formează cu normala la suprafaţă unghiuri mai mari decât 90°.


Concluzii

Dacă fluxul este proporţional cu numărul de linii de câmp ce trec prin suprafaţă (respectând convenţia de mai sus), intensitatea câmpului electric poate fi interpretată ca densitate de linii ce trec prin suprafaţă.

Teorema lui Gauss este o consecinţă directă a dependenţei de inversul pătratului distanţei a forţei electrice (legea lui Coulomb). Utilizând teorema lui Gauss putem demonstra că în interiorul unei distribuţii superficiale sferice intensitatea câmpului electric este nulă. Dacă se verifică experimental acest fapt validăm nu numai teorema lui Gauss ci şi legea lui Coulomb. De fapt, asemenea verificări au fost făcute cu precizie foarte mare.


Două sarcini punctuale

qa

z

qb

Simetria problemei


Două sarcini punctuale

O

x

y

z

ij

k

k

θ

ϕ

ur

uϕr

R

x rcosy rsinz z

= ϕ⎧⎪ = ϕ⎨⎪ =⎩


2 sarcini

Simetriecilindrică

(axială)

z

x

yO

qa

qb


2 sarcini

= + + =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + − = + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + = + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟

πε ⎝ ⎠⎛ ⎞

= + = +⎜ ⎟πε ⎝ ⎠

p p p

a p p p p r p a a

b p p p p r p b b

a ba b

0 a b

a ba b a b3 3

0 a b

R x i y j z k,R R

d dR x i y j z k r u z k,R R2 2d dR x i y j z k r u z k,R R2 2

1 q qV V V4 R R

1 R RE E E q q4 R R

z

x

yO

qa

qb

P Ra

Rb


2 sarcini

a b1 1

2 20 2 22 2p p p p

a p r p b p r p

3 32 20 2 2

2 2p p p p

1 q qV4

d dr z r z2 2

d dq r u z k q r u z k2 21E

4d dr z r z2 2

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= +⎨ ⎬

πε ⎪ ⎪⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪+ − + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭⎧⎪ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦= +⎨

πε ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎫⎪

⎪ ⎪⎪ ⎪

⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

qb qaO

θb0 θa0

θb

θa

z

r

(Σ)


Unghiul solid

Ω

θ R

R sin(θ)

R cos(θ)

h=R [1-cos(θ)]

( )2calota sfericaS 2 Rh 2 R 1 cos= π = π ⎡ − θ ⎤⎣ ⎦

( )calota sferica2

S2 1 cos

RΩ = = π ⎡ − θ ⎤⎣ ⎦


2 sarcini

a aa

0

q4Ω

Φ = −ε π

qb qaO

θb0θa0

θb

θa

z

r

(Σ)

b bb

0

q4Ω

Φ =ε π

a bΦ = Φ + Φ

( )( )

a a

b b

2 1 cos

2 1 cos

Ω = π ⎡ − π − θ ⎤⎣ ⎦Ω = π − θ

a a b bq cos q cos Cθ + θ =


Problemă

Fie q1 şi q2 două sarcini electrice punctiforme de semne contrare. Din A porneşte o linie de câmp ce formează cu dreapta ce uneşte sarcinile unghiul θ1.Să se calculeze unghiul θ2 pe care îl va face această linie de câmp cu dreapta AB în punctul B. Sub ce unghi minim θ0 pleacă din A o linie de câmp care nu ajunge în B? Ce unghi va face această linie de câmp cu axa Oz la infinit?


Problemă

Două sarcini punctiforme identice de mărime q se află la distanţa 2d.Cât de mult se va apropia linia de câmp ce formează la plecarea din sarcina q unghiul a cu dreapta ce uneşte sarcinile pe planul de simetrie (dmin).Calculaţi unghiul dintre linia de câmp şi planul de simetrie al sistemului departe de sarcini, în funcţie de d.Pentru puncte situate departe de sistem calculaţi intensitatea câmpului electric şi potenţialul.


Suprafeţe echipotenţialea b

o o1 12 22 2

2 2p p p p

q q 4 Vd dr z r z2 2

+ = πε⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

a

b

qn=q

o o1 1

2 2 b2 22 2p p p p

1 1 4 Vnq

d dr z r z2 2

πε+ =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

n = n−

0V = 0

1 12 22 2

2 2p p p p

1 1nd dr z r z2 2

=⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦



2 22 2p p p 2

d n 1r z z d 0 pentru n 14 n 1

++ + + = ≠

−

( )22 2p p c or z z r+ − =

( )2

c 2

n 1z d2 n 1

+= −

−o 2

nr dn 1

=−

Se observă că suprafaţa echipotenţială sferică V0=0 înconjoară sarcina în modul mai mică.



x

yO

qb

qa

z

C(0,0,zc)

0 2

nr dn 1

=−

a

b

qn = 1q

<

( )2

c 2

n 1z d 0 dacă n 12 n 1

+= − > <

−


Distribuţii continue

•Distribuţii liniare

•Segment liniar, inel circular

•Distribuţii superficiale

•Disc, plan, sferă,

•Distribuţii volumice

•Sferă


Distribuţii liniare

Simetrie axială!

z

A B


Segment

Q(z,0)

P(zp,rp)

A(-d/2,0) B(d/2,0) O

dz

z

r

Rqp

d/2

qpp 3

0 qpd/2

R1E dz4 R

−

= λπε ∫( )qp p p rR z z k r u= − +

dq


Segment

d/2

qpp 3

0 qpd/2

R1E dz4 R

−

= λπε ∫

( )qp p p rR z z k r u= − +

dq

( )( )

d/2

p p p r 3/22 20p pd/2

1 dzE z z k r u4 z z r

−

λ⎡ ⎤= − +⎣ ⎦πε ⎡ ⎤− +⎢ ⎥⎣ ⎦∫

( )

d/2

ppr 3/22 20

p pd/2

r dz1E4 z z r

−

λ=

πε ⎡ ⎤− +⎢ ⎥⎣ ⎦∫

( )( )

d/2

ppz 3/22 20

p pd/2

z z dz1E4 z z r

−

− λ=

πε ⎡ ⎤− +⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ( )3/2 2 2 22 2

d Ca aa

ξ ξ= +

ξ +ξ +∫( )3/2 2 22 2

d 1 Caa

ξ ξ= − +

ξ +ξ +∫


Segment

( )( )

( )

( )( )

d/2 d/2

pp ppr 3/2 3/22 22 20 0

p p p pd/2 d/2

d/2

p ppp

2 2 22 20 0 p 2 2p p pp p p pd/2

d z zr dz r1E4 4z z r z z r

d dz zz zr 2 24 4 r d dr z z r z r z r

2 2

− −

−

−λ λ= = =

πε πε⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎧

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟−λ λ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = −⎨πε πε⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− +⎢ ⎥ − + − − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∫ ∫

p p

2 20 p 2 2

p p p p

d dz z2 2

4 r d dz r z r2 2

⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ =⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪+ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪λ ⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠= −⎨ ⎬

πε ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭

( )3/2 2 2 22 2

d Ca aa

ξ ξ= +

ξ +ξ +∫


Segment

( )( )

( ) ( )( )

( )

d/2 d/2

p p ppz 3/2 3/22 22 20 0

p p p pd/2 d/2

d/2

p p

2 2 220 0 p 2 2p pp p p pd/2

z z dz z z d z z1E4 4z z r z z r

r r14 4 r d dz z r z r z r

2 2

4

− −

−

− λ − −λ= = − =

πε πε⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪λ λ ⎪ ⎪= = − =⎨ ⎬

πε πε⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞− +⎢ ⎥ − + − − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭

λ=

πε

∫ ∫

p p

2 20 p 2 2

p p p p

r rr d dz r z r

2 2

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪−⎨ ⎬

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭

( )3/2 2 22 2

d 1 Caa

ξ ξ= − +

ξ +ξ +∫


Câmpul total

P(zp,rp)

A(-d/2,0) B(d/2,0) O

Epz

z

r Epr

p p

pr 2 20 p 2 2

p p p p

d dz z2 2E

4 r d dz r z r2 2

⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪+ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪λ ⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠= −⎨ ⎬

πε ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭

p ppz 2 2

0 p 2 2p p p p

r rE

4 r d dz r z r2 2

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪λ ⎪ ⎪= −⎨ ⎬

πε ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭


Formulă simplificată P(d/2,rp)

A(-d/2,0) B(d/2,0)

O z

r

Epz

Epr

α

rp

d

2 2pd r+

pr 2 20 p p

dE4 r d r

λ=

πε +

ppz 2 2

0 p p

rE 1

4 r d r

⎧ ⎫λ ⎪ ⎪= −⎨ ⎬πε +⎪ ⎪⎩ ⎭

( )2 2

p

dsind r

α =+

( ) p

2 2p

rcos

d rα =

+

pdz2

=


Formulă simplificată

O

z

r

Epz

Epr

α+

α

( ) ( )pr0 p

E sin sin4 r + −

λ= ⎡ α + α ⎤⎣ ⎦πε

( ) ( ){ }

( ) ( )

pz0 p

0 p

E 1 cos 1 cos4 r

cos cos4 r

− +

+ −

λ= ⎡ − α ⎤ − ⎡ − α ⎤ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦πε

λ= ⎡ α − α ⎤⎣ ⎦πε


Cazul simetric

O

z

r

Epr

α α

( )pr0 p

E 2sin4 r

λ= α

πε

pzE 0=

Fir infinit 2π

α →

pr0 p

E2 r

λ=

πε


Cazul simetric(distribuţie liniară infinită)

z

n E

r

L


Cazul simetric(distribuţie liniară infinită)

z

n E

r

L

r0

L2 rLE λΦ = π =

ε

r0 p

E2 r

λ=

πε

r r0

dVE dV E dr drdr 2 r

λ= − ⇒ = − = −

πε

0

V lnr C2

λ= − +

πε

0 00

r r ,V 0 C lnr2

λ= = ⇒ =

πε

0

0

rV ln2 r

λ=

πε


Inel

Q

P(0,0,zp)

Rqp

θ

ϕ

dϕ

x

y

z

r0

2

0

0 qp0

r dV4 R

π

λ ϕ=

πε ∫2 2

qp 0 pR r z= +

2

0 0 02 2

0 qp 0 qp 0 0 p0

r r rV d 24 R 4 R 2 r z

π

λ λ λ= ϕ = π =

πε πε ε +∫


Calculul câmpului electric pe axa inelului

02 2

0 0 p

rV2 r zλ

=ε +

Q

P(0,0,zp)

Rqp

θ

ϕ

dϕ

x

y

z

r0

( )

( )

3/22 2z 0 0 p p

p 0

20 p 2

3/22 20 0 0 00 p

V 1E r r z 2zz 2 2

r zsin cos

2 r 2 rr z

−∂ λ ⎛ ⎞= − = − − + =⎜ ⎟∂ ε ⎝ ⎠

λ λ= = θ θ

ε ε+


Calcul prin integrare

02

0 qp

r ddE4 R

λ ϕ=

πε

Q

P(0,0,zp)

Rqp

θ

ϕ

dϕ

x

y

z

r0

dEx

dEz

dEy

dE

θ ϕ

xdE dEsin cos= − θ ϕ

ydE dEsin sin= − θ ϕ

zdE dEcos= θ

0

qp

rsinR

θ =


Rezultate din integrare

π

λ θ= − ϕ ϕ =

πε ∫2

0x 2

0 qp0

r sinE cos d 04 R

π

λ θ= − ϕ ϕ =

πε ∫2

0y 2

0 qp0

r sinE sin d 04 R

2

20z 2

0 qp 0 00

r cosE d sin cos4 R 2 r

π

λ θ λ= ϕ = θ θ

πε ε∫

xdE dEsin cos= − θ ϕ

ydE dEsin sin= − θ ϕ

zdE dEcos= θ


Disc încărcat uniform (potenţialul)

P(0,0,zp)

θ

x

y

z

r0

r

dr

2 20 p

2 rdrdV4 r z

σ π=

πε +

( )0 0r r

2 2 2 2p 0 p p2 2

0 0 0p0 0

22 2 2 200 p p 0 p p2 2

0 0 0 0

rdrV d r z r z z2 2 2r z

r Qr z z r z z2 r 2 r

σ σ σ ⎡ ⎤= = + = + − =⎣ ⎦ε ε ε+

σπ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + − = + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦πε πε

∫ ∫


Disc (câmpul electric pe axă)

p p2 2z 0 p p2 2 2 2

p p 0 0 0 0 p 0 p

z zV Q QE r z zz z 2 r 2 r z r z

⎡ ⎤⎧ ⎫∂ ∂ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥= − = − + − = −⎨ ⎬⎣ ⎦ ⎢ ⎥∂ ∂ πε πε +⎩ ⎭ ⎣ ⎦

p pp pz 2 2 2 2 2

0 0 p 0 p0 p 0 p

p pp

2 20 p 0 p0 p

0

z zz zQE2 r z 2 zr z r z

z zz2 2 cos

4 z 4 zr z

4

⎡ ⎤ ⎡ ⎤σ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − = − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥πε ε+ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤σ σ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= π − = π − θ =⎢ ⎥πε πε ⎢ ⎥+ ⎣ ⎦⎣ ⎦

σ Ω=

ε π

P(0,0,zp) θ

x

y

z

Ω

-k


Cazuri particulare

P(0,0,zp) θ

x

y

z

Ω

-k

z0

E4

σ Ω=

ε π

Când raza tinde la infinit sau când distanţa faţă de disc tinde la zero

2Ω → π z0

E2σ

=ε


x

y

z

σ

n S

Planul infinit (suprafaţă Gauss)

Simetrie !Datorită simetriei rezultă că avem doar câmp normal la plan, având aceiaşi valoare la o distanţă dată de acesta

dd

Φ = Φ + Φ =

Φ =Φ =

total baza supr.laterala z

baza z

supr.laterala

2 2E S

E S0

total0 0

Q SσΦ = =

ε εz

0

E2σ

=ε


Distribuţie sferică superficială

P

z

Simetrie

Film Câmpul sarcinilor distribuite sferic


Calcul prin integrare (exemplu)

P(0,0,zp)

z

dθ

θ

R0 sinθ

R0 cosθ R0

zp- R0 cosθ

Q

O

( )0 0

2 20 0 0

2 sin14 2 cosp p

R R ddV

z R z R

σ π θ θ=

πε + − θ

2 2 20 02 cosp pt z R z R= + − θ

02 2 sinptdt z R d= θ θ

( )max

min

20 0

max min0 0 02 2

t

p pt

R RV dt t tR z z

σ σ= = −

ε ε∫


Calcul (continuare)

P(0,0,zp)

z

dθ

θ

R0 sinθ

R0 cosθ R0

zp- R0 cosθ

Q

O

A) Punct în exterior

0pz R>min 0pt z R= −

max 0pt z R= +

( )

( )

0 0max min 0

0 0

20

0 0

22 2

44 4

p p

p p

R RV t t Rz z

R Qz z

σ σ= − = =

ε ε

σ π= =

πε πε


Calcul (continuare)

P(0,0,zp)

z

dθ

θ

R0 sinθ

R0 cosθ R0

zp- R0 cosθ

Q

O

B) Punct în interior

0pz R< min 0 pt R z= −

max 0 pt R z= +

( )

( )

0 0max min

0 0

20

0 0 0 0

22 2

44 4

pp p

R RV t t zz z

R QR R

σ σ= − = =

ε ε

σ π= =

πε πε


Rezultat

00 0

00

.4

( ).

4

Q ptr R RR

V RQ ptr R R

R

⎧ ≤⎪ πε⎪= ⎨⎪ >⎪ πε⎩

P(0,0,zp)

z

dθ

θ

R0 sinθ

R0 cosθ R0

zp- R0 cosθ

Q

O


Câmpul sferei încărcate uniform

0

020

0 .( )

.4

R

ptr R RE R Q ptr R R

R

≤⎧⎪= ⎨ >⎪ πε⎩


Calcul cu teorema lui Gauss

E

n

R0

Ri

Re 20

0

20 0

02

0

4 .

4 .2

4 0 .

R e

R

R i

QE R ptr R R R

QE R ptr R R

E R ptr R R R

⎧ π = = >⎪ ε⎪⎪

Φ = π = =⎨ ε⎪⎪ π = = <⎪⎩


Sferă (distribuţie volumică)

E

n

R0

Ri

Re

32 0

00

32 00 0

03

20

0

414 .3

414 .3

1 44 .3

R e

R

R i

RE R ptr R R R

RE R ptr R R

RE R ptr R R R

⎧ ππ = ρ = >⎪ ε⎪

⎪ π⎪Φ = π = ρ =⎨ ε⎪⎪ π⎪ π = ρ = <

ε⎪⎩

020 0 0

020

.4

.4

R

Q R ptr R RR R

EQ ptr R R

R

⎧ ≤⎪ πε⎪= ⎨⎪ >⎪ πε⎩


Potenţialul

020 0 0

020

.4

.4

R

Q R ptr R RR RdVE

QdR ptr R RR

⎧ ≤⎪ πε⎪= − = ⎨⎪ >⎪ πε⎩

020 0 0

020

.4

.4

dV Q R ptr R RdR R RdV Q ptr R RdR R

⎧ = − ≤⎪ πε⎪⎨⎪ = − >⎪ πε⎩

2

1 020 0 0

2 00

.4 2

.4

Q RV C ptr R RR R

QV C ptr R RR

⎧= − + ≤⎪ πε⎪

⎨⎪ = + >⎪ πε⎩


Calcul

Condiţii la limită !!!

0 00 0

R R R RR R R R

V V= =< >

=

0R

V→∞

=

2

20

120 0 0 0 0

10 0

0

4 2 432 4

CRQ QC

R R RQC

R

=

− + =πε πε

=πε

2

1 020 0 0

2 00

.4 2

.4

Q RV C ptr R RR R

QV C ptr R RR

⎧= − + ≤⎪ πε⎪

⎨⎪ = + >⎪ πε⎩


Rezultate

2

020 0 0

00

3 .4 2 2

.4

Q RV ptr R RR R

QV ptr R RR

⎧ ⎛ ⎞= − ≤⎪ ⎜ ⎟πε⎪ ⎝ ⎠⎨

⎪ = >⎪ πε⎩

020 0 0

020

.4

.4

R

R

Q RE ptr R RR R

QE ptr R RR

⎧ = ≤⎪ πε⎪⎨⎪ = >⎪ πε⎩


Potenţialul electric

• Electrostatică– Teorema lui Gauss în forma locală– Ecuaţiile lui Laplace şi Poisson– Energia câmpului electrostatic


Teorema lui Gauss în forma locală

( )0

qE dSΣ

ΔΔΦ = ⋅ =

ε∫

0 00 0

1lim limv v

qdiv Ev vΔ → Δ →

ΔΦ Δ ρ= = =

Δ ε Δ ε

( ) ( )

div E dv E dSΩ Σ

= ⋅∫ ∫ (Ω)


Divergenţa în coordonate carteziene

B(x0+Δx/2, y0+Δy, z0+Δz/2)

A(x0+Δx/2, y0, z0+Δz/2)

x

y

z

R0

Δz

Δx

Δy


div (calcul)

B(x0+Δx/2, y0+Δy, z0+Δz/2)

A(x0+Δx/2, y0, z0+Δz/2)

x

y

z

R0

Δz

Δx

Δy

( )y A B yA yB

yB yA

E x z E x z

E E x z

Φ = Φ + Φ = − Δ Δ + Δ Δ =

= − Δ Δ

( )0 0 0 0 0 0

0 0 0, , , ,

, ,2 2

y yyA y

x y z x y z

E Ex zE E x y zx z

∂ ∂Δ Δ= + +

∂ ∂

( )0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0, , , , , ,

, ,2 2

y y yyB y

x y z x y z x y z

E E Ex zE E x y z yx y z

∂ ∂ ∂Δ Δ= + + Δ +

∂ ∂ ∂


div (calcul)

B(x0+Δx/2, y0+Δy, z0+Δz/2)

A(x0+Δx/2, y0, z0+Δz/2)

x

y

z

R0

Δz

Δx

Δy

( )y A B yA yB

yB yA

E x z E x z

E E x z

Φ = Φ + Φ = − Δ Δ + Δ Δ =

= − Δ Δ

( )0 0 0

0 0 0

, ,

, ,

yy yB yA

x y z

y

x y z

EE E x z y x z

y

Ev

y

⎡ ⎤∂Φ = − Δ Δ = Δ Δ Δ =⎢ ⎥

∂⎢ ⎥⎣ ⎦∂

= Δ∂

0 0 0, ,

xx

x y z

Evx

∂Φ = Δ

∂0 0 0, ,

zz

x y z

Evz

∂Φ = Δ

∂

0 0 0, ,

yx ztotal

x y z

EE Evx y z

∂⎛ ⎞∂ ∂Φ = Δ + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

yx zEE Ediv Ex y z

∂∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂


Rotorul

( )

0C E dlΓ

Δ = ⋅ =∫

( )0

lim 0Sn

Crot ESΔ →

Δ= =

Δ

( ) ( )

rot E dS E dlΣ Γ

⋅ = ⋅∫ ∫ (Γ)


rot (calcul)

x

y

z

R0

Δz

Δx

Δy A B

CD

M NPQ


rot (calcul)

x

y

z

R0

Δz

Δx

ΔyA B

CD

M NPQ

ABCDA AB BC CD DA

yM xN yP xQ

C C C C C CE y E x E y E x

Δ = = + + + == Δ − Δ − Δ + Δ

( )0 0 0 0 0 0

0 0 0, , , ,

, ,2

y yyM y

x y z x y z

E EyE E x y z xx y

∂ ∂Δ= + Δ +

∂ ∂

( )0 0 0

0 0 0, ,

, ,2

yyP y

x y z

EyE E x y zy

∂Δ= +

∂

( )0 0 0 0 0 0

0 0 0, , , ,

, ,2

x xxN x

x y z x y z

E ExE E x y z yx y

∂ ∂Δ= + + Δ

∂ ∂

( )0 0 0

0 0 0, ,

, ,2

xxQ x

x y z

ExE E x y zx

∂Δ= +

∂


rot (calcul)

x

y

z

R0

Δz

Δx

ΔyA B

CD

M NPQ

( ) ( )yM yP xN xQ

y x

y x

C y E E x E E

E Ey x x yx yE Ex yx y

Δ = Δ − − Δ − =

∂ ∂= Δ Δ − Δ Δ =

∂ ∂

∂⎛ ⎞∂= Δ Δ −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

( ) y x

z

E Erot Ex y

∂⎛ ⎞∂= −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

x y z

i j k

rot E Ex y z

E E E

∂ ∂ ∂= = ∇ ×

∂ ∂ ∂


EcuaţiaPoisson. Ecuaţia Laplace

0

div E ρ=

ε

0rot E = E gradV= −

( )0

div gradV ρ− =

ε

0

V ρ∇ ⋅ ∇ = −

ε0

V ρΔ = −

ε

0VΔ =

2 2 2

2 2 2 0V V Vx y z

∂ ∂ ∂+ + =

∂ ∂ ∂


Condiţii la limită. Soluţia ecuaţiei Laplace.

0VΔ =Condiţii la limită

•Dirichlet

•Neumann

•mixte

( )0frontiera domeniuluiV V R=

( )'0

frontiera domeniului

V V Rn

∂=

∂

Într-un anumit domeniu din spaţiu

Soluţie unică în domeniul respectiv!!! ( )V R


Exemplu

(Ω) R0

Re 00 .V pt R RΔ = ≥

00

0R R

R

V V

V=

→∞

⎧ =⎪⎨

=⎪⎩


Coordonate sferice

p p p p

p p p p

p p p

x R sin cosy R sin sinz R cos

⎧ = θ ϕ⎪ = θ ϕ⎨⎪ = θ⎩

x

y

z

Oi

j

k

uR

θ

ϕ

uϕ

uθ

r

R


Coordonate curbilinii ortogonale

x

y

z

O i

j

k

uR

θ

ϕ

uϕ

uθ

r

RdR

uR

uϕ

uθ

r

RdR

sinRdR dR u Rd u R d uθ ϕ= + θ + θ ϕ


Exemplu ... revenire

00 .V pt R RΔ = ≥

00

0R R

R

V V

V=

→∞

⎧ =⎪⎨

=⎪⎩

(Ω)R0

Re

22

2 2 2 2 2

22

1 1 1sinsin sin

1

f f ff RR R R R R

d dfRR dR dR

∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞Δ = + θ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ θ ∂θ ∂θ θ ∂ϕ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Simetrie sferica!


Soluţie

( )

22

0 0

1 0

0R

d dVRR dR dRV R V

V→∞

⎧ ⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎪⎪ =⎨⎪ =⎪⎪⎩

21

dVR CdR

=

12

dV CdR R

=

12

CV CR

= − +C2=0


Soluţie (continuare)

( )

22

0 0

1 0

0R

d dVRR dR dRV R V

V→∞

⎧ ⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎪⎪ =⎨⎪ =⎪⎪⎩

10

0

CVR

= −

00

RV VR

=

12

CV CR

= − +


Câmpul departe de un sistem de sarcini

= + + =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + − = + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + = + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟πε ⎝ ⎠

⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟

πε ⎝ ⎠

p p p

a p p p p r p a a

b p p p p r p b b

a ba b

0 a b

a ba b a b3 3

0 a b

R x i y j z k,R R

d dR x i y j z k r u z k,R R2 2d dR x i y j z k r u z k,R R2 2

1 q qV V V4 R R

1 R RE E E q q4 R R

z

x

yO

qa

qb

P Ra

Rb


2 sarcini

a b1 1

2 20 2 22 2p p p p

a p r p b p r p

3 32 20 2 2

2 2p p p p

1 q qV4

d dr z r z2 2

d dq r u z k q r u z k2 21E

4d dr z r z2 2

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= +⎨ ⎬

πε ⎪ ⎪⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪+ − + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭⎧⎪ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦= +⎨

πε ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎫⎪

⎪ ⎪⎪ ⎪

⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭


Ce se întâmplă la distanţe mari?

p p

p p

p p p

1 1r ,z d 2 20 2 22 2p p p p

1 1r ,z d 2 20 2 22 2 2 2p p p p p p

R ,r ,z d0 p

q 1 1V lim4

d dr z r z2 2

q 1 1lim4 d dr z z d r z z d

4 4

q 1lim4 R

1

>>

>>

>>

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= − =⎨ ⎬

πε ⎪ ⎪⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪+ − + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= −⎨ ⎬

πε ⎪ ⎪⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − + + + +⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭

=πε 1 1

2 22 2p p2 2 2 2p p p p

1

z d z dd d1R 4R R 4R

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪−⎨ ⎬⎪ ⎪⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎪− + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭


Continuare

p p p1 1R ,r ,z d

0 p 2 22 2p p2 2 2 2p p p p

p p p2 2 3

0 p p p 0 p

q 1 1V lim4 R z d z dd d1 1

R 4R R 4R

z d z d qz dq 1 14 R 2R 2R 4 R

>>

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= − =⎨ ⎬

πε ⎪ ⎪⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎪− + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭

⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪≈ + − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟πε πε⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

pe 3

0 p

R1V p4 R

= ⋅πε


Formule generale

pe 3

0 p

R1V p4 R

= ⋅πε

( )e p p e5 3

0 p p

3 p R R1 pE grad V4 R R

⎡ ⎤⋅⎢ ⎥= − = −⎢ ⎥πε⎣ ⎦

Temă... Calculaţi E


În plan

p ee 3 2

0 p 0 p

R1 p cosV p4 R 4 R

θ= ⋅ =

πε πε

eR 3

p 0 p

e3

p 0 p

V 2p cosER 4 R

V p sinER 4 Rθ

∂ θ⎧ = − =⎪ ∂ πε⎪⎨ ∂ θ⎪ = − =⎪ ∂θ πε⎩

θ z

r

R

E

ER Eθ


Ecuaţia liniei de câmp

( ) ( )( )

00

0

R R

R

R R R

R

R

E E u E u

dl dR u Rd u

E dlE u E u dR u Rd u

E Rd u E dR u

Rd dRE E

θ θ

θ

θ θ θ

ϕ θ ϕ

θ

= +

= + θ

× =

+ × + θ =

θ + − =

θ=θ z

r

R

E

ER Eθ


Ecuaţia liniei de câmp

eR 3

p 0 p

e3

p 0 p

V 2p cosER 4 R

V p sinER 4 Rθ

∂ θ⎧ = − =⎪ ∂ πε⎪⎨ ∂ θ⎪ = − =⎪ ∂θ πε⎩

R

Rd dRE Eθ

θ=

( )

( ) ( )2

sin 2cos2cos

sin2 sin

sinln sin ln

Rd dR

d dRR

d dRR

d d R

θ=

θ θθ θ

=θ

θ=

θ⎡ ⎤θ =⎣ ⎦

2sinR k= θ


Linii de câmp

2sinR k= θ


Energia câmpului electric

q,V

W qV=

În câmp electric EXTERIOR


Energia unui sistem de n sarcini

q1,V12 q2,V21

( ) ( )2 21 1 12 1 12 2 21 1 1 2 21 12 2

W q V q V q V q V q V q V= = = + = +

( )1 1 2 2

1

1 1...2 2

n

n n i i

i

W q V q V q V q V=

= + + + = ∑


Energia unui sistem de sarcini distribuite

( )012 2

W Vdv div E Vdvε= ρ =∫ ∫

0

div E ρ=

ε( ) ( )div VE V div E E gradV= + ⋅

( )div VE dv VE dS= ⋅∫ ∫

( ) ( )0

2W div VE dv E gradV dv⎡ ⎤ε

= + ⋅ −⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫


Continuare

( )div VE dv VE dS= ⋅∫ ∫Dacă se integrează pe întreg spaţiul ...

1VR

≈ 2

1ER

≈ 2S R≈

Integrala tinde la zero !


Continuare

( ) ( )0

2W div VE dv E gradV dv⎡ ⎤ε

= + ⋅ −⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫

20

2W E dvε

= ∫20

2w Eε

=Densitatea de energie


Exemple

12

W Vdv= ρ∫ 20

2W E dvε

= ∫

1. Sferă încărcată superficial 2

0 0 0 0

1 1 1 1 12 2 4 2 4s

Q QW V dS dSR R

= σ = σ =πε πε∫ ∫

Metoda 1


Exemple

≤⎧⎪= ⎨ >⎪ πε⎩

0

020

0 .1 .

4

pt R RE Q pt R R

R

0

2 2 20 0

0

2 220

20 0 0

42 2

142 4 2 4

R

W E dv E R dR

Q QR dRR R

∞

∞

ε ε= = π =

⎛ ⎞ε= π =⎜ ⎟πε πε⎝ ⎠

∫ ∫

∫


Exemple

2. Sferă încărcată în volum2

020 0 0

00

3 .4 2 2

.4

Q RV ptr R RR R

QV ptr R RR

⎧ ⎛ ⎞= − ≤⎪ ⎜ ⎟πε⎪ ⎝ ⎠⎨

⎪ = >⎪ πε⎩

020 0 0

020

.4

.4

R

R

Q RE ptr R RR R

QE ptr R RR

⎧ = ≤⎪ πε⎪⎨⎪ = >⎪ πε⎩


Exemple

0

22

20 0 0

22

20 0 0

0

3 50 0

20 0 0

230

0 0 0 0

1 1 3 42 2 4 2 2

1 342 4 2 2

1 3 142 4 2 3 2 5

1 1 1 34 1332 4 2 5 5 4

R

Q RW Vdv R dRR R

Q R R dRR R

R RQR R

Q QRR R

⎛ ⎞= ρ = ρ − π =⎜ ⎟πε ⎝ ⎠

⎛ ⎞= ρ π − =⎜ ⎟πε ⎝ ⎠

⎛ ⎞= ρ π − =⎜ ⎟πε ⎝ ⎠

⎛ ⎞= ρ π − =⎜ ⎟πε πε⎝ ⎠

∫ ∫∫

20

2W E dvε

= ∫

2

020 0 0

00

3 .4 2 2

.4

Q RV ptr R RR R

QV ptr R RR

⎧ ⎛ ⎞= − ≤⎪ ⎜ ⎟πε⎪ ⎝ ⎠⎨

⎪ = >⎪ πε⎩


Exemple

020 0 0

020

.4

.4

R

R

Q RE ptr R RR R

QE ptr R RR

⎧ = ≤⎪ πε⎪⎨⎪ = >⎪ πε⎩

0

0

0

0

2 22 2 20 0

2 20 0 0 0

0

24

6 20 0

0

52 20

60 0 0 0 0

4 42 2 4 4

1 1 12 4

1 1 1 32 4 5 5 4

R

R

R

R

Q R QW E dv R dR R dRR R R

Q R dR dRR R

RQ QR R R

∞

∞

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ε ε ⎢ ⎥= = π + π =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥πε πε⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥= + =⎢ ⎥πε⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤

= + =⎢ ⎥πε πε⎣ ⎦

∫ ∫ ∫

∫ ∫


Câmpul electric în jurul conductorilor

• Conductori în electrostatică

• Teorema lui Coulomb

• Presiunea electrostatică

• Capacitatea electrică

• Condensatorul

• Influenţa electrostatică

• Metoda imaginilor


Linii de câmp

Experiment

Liniile de câmp sunt normale la suprafaţa conductorului


Conductori în electrostatică

•Sarcinile electrice se distribuie pe suprafaţa exterioară a conductorului

•Câmpul în interiorul conductorului este nul


Proprietăţi

•Câmp zero în interiorul conductorului

•Potenţialul constant

•Sarcina se distribuie la suprafaţă

•Liniile de câmp sunt normale la suprafaţă


Teorema lui Coulomb


Câmpul în apropierea conductorului

0n

S E SσΔΦ = = Δ

ε

0nE σ

=ε


Câmpul pe suprafaţa conductorului

02 nS E SσΔ

Φ = = Δε

02nE σ=

ε


Câmpul

⎧⎪⎪⎪ σ

= ⎨ ε⎪⎪ σ⎪

ε⎩

0

0

0 în interior

pesuprafaţă2

înapropierea suprafeţei

nE


Presiunea electrostatică

( ) 2

02nSS E

pS

σΔ σ= =

Δ ε


Densitatea de sarcină

Q1, R1 Q2, R2 211 2

0 1 0 2

21 1 1

22 2 2

222 21 1

0 1 0 2

1 1 2 2

4 4

4

4

444 4

constant

QQV VR R

Q RQ R

RRR R

R R

= = =πε πε

= σ π

= σ π

σ πσ π=

πε πεσ = σ =

Regulă: rază mică, densitate de sarcină mare


Capacitatea conductorului izolat

Q, V ,,

Q VnQ nV

QCV

=

Principiul superpoziţiei

11 ( )1SI

CC F faradV

= =


Influenţa electrostatică

-Q

Q

Elemente corespondente


Influenţa totală

Q

-Q

Ecranul electric


Metoda imaginilor

q0

V=0

O

z


Cazul planului infinit

q0

V=0

O

z


Problema echivalentă

q0

V=0

O

z

-q0

R0

d

d


Soluţia celor două probleme ...

q0

V=0

O

z

q0

V=0

O

z

-q0

R0

d

d

Când R0 tinde la infinit ...


Câmpul şi potenţialul

R+

R-

P(zp,rp)

q0-q0

r

O

03 3

04q R RE

R R+ −

+ −

⎛ ⎞= −⎜ ⎟πε ⎝ ⎠

0

0

1 14qV

R R+ −

⎛ ⎞= −⎜ ⎟πε ⎝ ⎠

( )( )

±

±

= +

= +

∓

∓22

p r p

p p

R r u z d k

R r z d


Densitatea de sarcină de influenţă

R+

R-

P(zp,rp)

q0-q0

r

O

( )( )

( )

00 0 3/20 2 2

0

0 0 03/2 2 22 2

0 0 0

24

12

i z izp

p pi i p p

pp

q dE rr d

r drQ r dr q d q d q

r dr d

=

∞∞ ∞

σ = ε = σ = − επε +

⎛ ⎞⎜ ⎟= σ π = − = − − = −⎜ ⎟++ ⎝ ⎠

∫ ∫

( )3/2 2 22 2

d 1 Caa

ξ ξ= − +

ξ +ξ +∫


Densitatea de sarcină

rp

zp

q0

z

Sarcina de influenţă totală este -q0


Sfera conductoare. Cazul I

x

y

zq0

z0

R0

(Σ)


Problema

V=0


Problema echivalentă

x

y

zq0

z0

R0

q’0z’0

q0

z0 V=0


Problemele echivalente

V=0

V=0


Calcul

q’0z’0

q0

z0 V=0P

θp

R0


Continuare

( ) ( )

( ) ( )

'0 0

2 2 2 '2 '0 00 0 0 0 0 0 0 0

2 2 '2 ' '2 2 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0

2 ' '20 0 0 0

2 2 '2 '2 2 20 0 0 0 0 0

' 00 0

0

2' 00

0

1 1 0,4 42 cos 2 cos

2 cos 2 cos

p p

p

p

p

q qVR z R z R z R z

q R z R z q R z R z

q z q z

q R z q R z

Rq qz

Rzz

= + =πε πε+ − θ + − θ

⇒ + − θ = + − θ

⎧ =⎪⇒ ⎨+ = +⎪⎩

⎧ = −⎪⎪⇒ ⎨

θ

=

∀

⎪⎪⎩


Probleme

( )

( )

0

2 '0 0

0

2 sin

i R

i i p p

E

Q R d q

Σ

π

σ = ε

= σ θ π θ θ =∫Demonstraţi !!!

Puteţi demonstra SIMPLU utilizând teorema lui Gauss sau prin integrare directă.


Sfera izolată


Cazul sferei izolate

V

q0

q’0

q’’0

'' ' 00 0 0

0

Rq q qz

= − =


Problemă

Să se calculeze câmpul într-o cavitate sferică de rază R2 inclusă într-o sferă de rază R1 dacă distanţa dintre centre este a. Sfera de rază R1 din care se decupează sfera de rază R2 este încărcată uniform cu sarcini electrice uniform distribuite în volum cu densitatea ρ.

a

R2 R1


Sisteme de conductori

Q1, V1 Q2, V2

Q3, V3

Q4, V4 Qn, Vn


2 conductori

Q2, V2 Q1, V1

Principiul superpoziţiei Q2=C21, V2=0Q1=C11, V1=1 Q2=C21 V1, V2=0 Q1=C11 V1, V1

x V1=

Q2=C22, V2=1Q1=C12, V1=0 Q2=C22 V2, V2 Q1=C12 V2, V1=0

x V2=


2 conductori

Q2=C21 V1, V2=0 Q1=C11 V1, V1 Q2=C22 V2, V2 Q1=C12 V2, V1=0

Q2=C21 V1 +C22 V2, V2 Q1= C11 V1 + C12 V2, V1

+

=1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

Q C V C VQ C V C V

= +⎧⎨ = +⎩


Condensatorul

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

V p Q p QV p Q p Q

= +⎧⎨ = +⎩

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

Q C V C VQ C V C V

= +⎧⎨ = +⎩

Condensator = sistem format din două conductoare izolate între ele şi încărcate cu sarcini egale şi de semne contrare.


Condensatorul

= +⎧= = −⎨ = +⎩

= −⎧⎨ = −⎩

1 11 1 12 21 2

2 21 1 22 2

1 11 12

2 21 22

, ;V p Q p Q

Q Q Q QV p Q p Q

V p Q p QV p Q p Q

( )1 11 22 12 212

1QCV V p p p p

= =− + − −


Condensatorul plan

0 0

0

Q UES dSQC

U d

σ= = =

ε εε

= =

+Q

-Q

E

d U

S


Condensatorul sferic

R1

R2

U

2 2

1 1

20

20 0 1 2

0 1 2

2 1

4

1 14 4

4

R

R R

R

R R

QER

Q dR QU E dRR R R

R RQCU R R

=πε

⎛ ⎞= = = −⎜ ⎟πε πε ⎝ ⎠

πε= =

−

∫ ∫


Condensatorul cilindric

λ= =

πε πε

= = =πε πε

πε= =

∫ ∫2 2

1 1

0 0

2

0 0 1

0

2

1

2 2

ln2 4

2

ln

r

r r

r

r r

QEr rL

rQ dr QU E drr L r

LQC rUr


Sistem de două conductoare sferice

Q1

Q2

R1

R2

d

11

0 1

22

0 2

110 1

220 2

12 21

4

41

41

40

QVR

QVR

pR

pR

p p

=πε

=πε

=πε

=πε

= =


Continuare

211

0 1 0

212

0 0 2

110 1

220 2

12 210

4 4

4 41

41

41

4

QQVR d

QQVd R

pR

pR

p pd

⎧ = +⎪ πε πε⎪⎨⎪ = +⎪ πε πε⎩

=πε

=πε

= =πε

21 21

1 0 1 0 22 21 2 1 2

21 2 2

2 0 1 0 22 21 2 1 2

21

11 0 21 2

22

22 0 21 2

1 212 21 0 2

1 2

4 4

4 4

4

4

4

dR Rd RQ V Vd R R d R R

dR R d RQ V Vd R R d R R

d RCd R R

d RCd R R

dR RC Cd R R

⎧= πε − πε⎪ − −⎪

⎨⎪ = − πε + πε⎪ − −⎩

= πε−

= πε−

= = − πε−


Energia

( )

( )

1

1 2

2 2

1 2

0

2 220 0 0

12

2

2 2 2 2

2 2 2

n

i i

i

W QV

nQ Q Q

Q QU CU QW V VC

SCd

U EdS E EW Ed Sd vd

=

=

== − =

= − = = =

ε=

=

ε ε ε= = =

∑


Lucrul mecanic (Q=const.)

dx

F

Q

2

0

2

0

2

0

2

0 02

0

.

2

2

2

2 2

2

s

Q const

QFdx dW dC

SCx

QdW d xS

QFdx dxS

QF Q QES

F pS S

=

⎛ ⎞= − = − ⎜ ⎟

⎝ ⎠ε

=

⎛ ⎞= ⎜ ⎟ε⎝ ⎠

= −ε

σ= − = − = −

ε ε

σ= − = −

ε


U=const.

dx

F

U

x ( )2

2

0

220 0

2

20

2

.

2

2

2 2

2

U constU dCU UdC Fdx

U dCFdx

SCx

S SUUFdx d dxx x

SUFx

=

= +

=

ε=

ε ε⎛ ⎞= = −⎜ ⎟⎝ ⎠

ε= −


Gruparea condensatoarelor (in serie)

U

U1 U2 U3

−Q +Q −Q −Q+Q +Q

1 2 31 2 3

1 2 3

1 1 1 1echivalent

echivalent

Q Q Q QU U U UC C C C

C C C C

= + + = = + + ⇒

⇒ = + +

1

1 1n

s iiC C

=

= ∑


Gruparea condensatoarelor (in paralel)

U

−Q1 +Q1

−Q2 +Q2

−Q3 +Q3

1 2 3 1 2 3

1 2 3

echivalent

echivalent

Q Q Q Q C U C U C U C UC C C C= + + = = + + ⇒

⇒ = + +

1

n

p i

i

C C=

= ∑


Problema 9.1

B

1 2 3

4

56

A

Să se calculeze capacitatea echivalentă între punctele A şi B.

Toate condensatoarele au capacitatea cunoscută C.


Problema 9.2

B 1

2 3

4 5 6

A

Să se calculeze capacitatea echivalentă între punctele A şi B.

Toate condensatoarele au capacitatea cunoscută C.


Transformarea triunghi-stea

C1

C2 C3

C12C31

C23

1 1

22 33

12 311 12 31

23

23 122 23 12

31

31 233 31 23

12

C CC C CC

C CC C CC

C CC C CC

⎧= + +⎪

⎪⎪⎪ = + +⎨⎪⎪

= + +⎪⎪⎩

1 212

1 2 3

2 323

1 2 3

3 131

1 2 3

C CCC C C

C CCC C C

C CCC C C

⎧=⎪ + +⎪

⎪⎪ =⎨ + +⎪⎪

=⎪+ +⎪⎩


Alte reguli ...

1. Se aplică legea conservării sarcinii în nodurile reţelei

2. Pentru ochiuri de reţea se poate scrie că suma căderilor de tensiune este zero


Problema 9.3

E

1

2

3

E

C

3C

K

Să se calculeze sarcinile electrice care traversează punctele 1, 2 şi 3 la închiderea întrerupătorului K. Se cunosc E şi C.


Medii conductoare

Conductorii sunt corpuri în care mişcarea sarcinilor (curentul electric) apare sub acţiunea câmpului electric.

1827 Ohm I=U/R

R – rezistenţa electricăUΔL

r

ΔS1L LR

S Sρ

γΔ Δ

= =Δ Δ


Forma diferenţială a legii lui Ohm

1

1

LU RI j SS

UL

j EjE

γ

γγ

ργ

=

Δ= = Δ

Δ

= = ⇒Δ

=

1. Dielectrici γ<10-5(Ωm)-1

2. Semiconductori 10-5<γ<103(Ωm)-1

3. Conductori 103<γ (Ωm)-1

I j dSΣ

= ⋅∫


Rezistivitatea metalelor

5.0 107 (Ωm)-1

1.5 107 (Ωm)-1

6.2 107 (Ωm)-1

1.0 107 (Ωm)-1

5.8 107 (Ωm)-1

3.6 107 (Ωm)-1

2.0 10-8 (Ωm)Aur

6.8 10-8 (Ωm)Nichel

1.6 10-8 (Ωm)Argint

1.0 10-7 (Ωm)Fier

1.7 10-8 (Ωm)Cupru

2.8 10-8 (Ωm)Aluminiu

rezistivitatea conductivitatea



Ecuaţia de continuitate

ΩQ ΔS

n j

0

0

V V V

V

div j

di

Q d

v jt

v dv j dS dt

dit

vt t

dvv j

ρ

ρ

ρ ρ

Σ

∂∂

∂⎛ ⎞+⎜ ⎟∂⎝ ⎠

∂ ∂= = = − ⋅ = −

∂ ∂

+∂

=

∂=

∫ ∫ ∫ ∫∫


Timp de relaxare

( )

( ) ( )

0

0 0

0 0

0

0 0 exp

div j div Et t

divEt

divE

t tt

ρ ρ γ

ρ γ

ρε

ρ ρ γγ ρ ρε ε

∂ ∂+ = ⇒ + =

∂ ∂∂⎧ + =⎪ ∂⎪

⎨⎪ =⎪⎩

⎛ ⎞∂+ = ⇒ = −⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠

Exemplu: Cu γ=6,0 107 (Ωm)-1

ε0=8,8 10-12 F/m

ε0/γ=10-19 s (aprox.)


Câmpul în interiorul unui conductor

În electrostatică E=0 în interiorul conductorilor.

Când există curenţi electrici în conductori, câmpul electric este diferit de zero.


Câmpul electric în cazul c.c.

j Eγ= 0 0j E≠ ⇒ ≠

Simplificare: Conductori liniari filiformi

Câmpul electric are componentă tangenţială dar şi normală la suprafaţa conductorului parcurs de curent


Sarcini de suprafaţă şi de volum

Sarcinile de suprafaţă sunt sursele câmpului care există în conductor şi care asigură curentul în acesta.

Sarcinile de volum ... conductori neomogeni!


Mecanismul de generare a curenţilor

Sursa de tensiune electromotoare

• separă sarcinile pozitive de cele negative

• sarcinile de la bornele sursei nu creează direct câmpul electric în conductori dar asigură formarea unei distribuţii a sarcinilor pe conductori care să realizeze câmpul electric în interiorul acestora.


Modificarea potenţialului în lungul conductorului

0 0j E≠ ⇒ ≠Potenţialul nu mai este constant într-un conductor!

TOTUŞI, câmpul în interiorul conductorului este creat de sarcini de suprafaţă care nu îşi schimbă densitatea în timp. Consecinţa este că acest câmp este câmp potenţial.


Legea lui Ohm pentru o porţiune de circuit

( ) ( ) 12

12 12

1 2V V El Uj jS Ij E E

S SIU l IRS

γγ γ γ

γ

− = =

= ⇒ = = =

= =


Originea câmpului electromotor

Câmpul electric electromotor nu poate fi tot de origine electrostatică.

Dacă ar fi aşa, lucrul mecanic al forţei electrice de-a lungul unui contur închis ar fi nul.


Legea lui Ohm pentru un circuit simplu

E,r

R

EE RI rI IR r

= + ⇒ =+


Efectul termic al curentului electric

22

dL UdQdQ IdtdL UIdt

dL UP UI RIdt R

===

= = = =

( )2

2 21V

l P jP j S P E j ES S l

γγ γ

Δ ΔΔ = Δ ⇒ = = = = ⋅

Δ Δ Δ

Forma locală


Circuite electrice. Legile lui Kirchhoff.

Circuite electrice...

Noduri ale reţelei (n)

Laturi ale reţelei (l)

K1...pentru noduri (n-1 ecuaţii)

K2...pentru ochiuri de reţea (l-n+1 ecuaţii)

0k

k k k

I

R I e

⎧ =⎪⎨⎪ =⎩

∑∑ ∑


Exemplu

E2,r2

R1 R2

E1,r1


Exemplu

E2,r2

R1 R2

E1,r1

I2

I1

I

1 2

1 1 2 1 1 1

1 2 2 2

I I IIR I R I r EIR I r E

+ =⎧⎪ + + =⎨⎪ + =⎩


Metoda curenţilor pe ochiuri

E,r

R1 R2

R3 R4

Rd J1

J0

J2

A B C

D

0

0 1

0 2

1

2

1 2

r

AB

BC

DA

CD

BD

I JI J JI J JI JI JI J J

== += +=== −


Metoda curenţilor pe ochiuri

E,r

R1 R2

R3 R4

Rd J1

J0

J2

A B C

D

( )( )

( )

0 1 2 1 1 2 2

0 1 1 1 3 2

0 2 1 2 2 4

0

0d d

d d

J r R R J R J R E

J R J R R R J R

J R J R J R R R

+ + + + =⎧⎪

+ + + − =⎨⎪ − + + + =⎩


Continuare

( )( )

( )

0 1 2 1 1 2 2

0 1 1 1 3 2

0 2 1 2 2 4

0

0d d

d d

J r R R J R J R E

J R J R R R J R

J R J R J R R R

+ + + + =⎧⎪

+ + + − =⎨⎪ − + + + =⎩

( )( )

( )

1 2 1 2

1 1 3

2 2 4

0

1

2

00

d d

d d

r R R R RR R R R RR R R R

JJ

R

E

J

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣

+ ++ + −

⎦− + +

Este adaptabilă pentru punerea automată în ecuaţie.

Principiul superpoziţiei stărilor de echilibru.


Sursa de tensiune, sursa de curent

e

v

iv

i e

i=j

v

iv

i j


Teorema lui Thévenin

O reţea liniară văzută din două dintre nodurile sale, A şi B, este echivalentă cu un generator de tensiune cu tensiune electromotoare egală cu tensiunea în gol între A şi B şi de rezistenţă internă egală cu rezistenţa reţelei între A şi B.

B

A

B

e0

R0

A


Exemplu de calcul

E

R1 R2

R3 R4

Rd

A B C

D

Să se calculeze curentul prin Rd folosind teorema lui Thévenin.


Calcul

3 41 20

1 2 3 4

R RR RRR R R R

= ++ +

R1 R2

R3 R4

A

B C

D

I

J


Calcul

E

R1 R2

R3 R4

A

B C

D

I

J

( ) ( )0 1 3B De V V IR JR= − = − − −

( )( )

1 2

3 4

1 4 2 30

1 2 3 4

eIR R

eJR R

R R R Re eR R R R

=+

=+

− +=

+ +


Rezultat

0

0 d

eiR R

=+

E

R1 R2

R3 R4

Rd

A B C

D

( )( )1 4 2 3

01 2 3 4

R R R Re eR R R R

− +=

+ +3 41 2

01 2 3 4

R RR RRR R R R

= ++ +


Teorema lui Norton

O reţea liniară văzută din două dintre nodurile sale, A şi B, este echivalentă cu un generator de curent de intensitate egală cu cea în scurtcircuit între A şi B legat în paralel cu o rezistenţă internă egală cu rezistenţa reţelei între A şi B.

B

A

B

i0 R0

A


Probleme

r R R

C C

E,r


Transformarea triunghi-stea

⎧= + +⎪

⎪⎪⎪ = + +⎨⎪⎪

= + +⎪⎪⎩

1 212 1 2

3

2 323 2 3

1

3 131 3 1

2

R RR R RR

R RR R RR

R RR R RR

⎧=⎪ + +⎪

⎪⎪ =⎨ + +⎪⎪

=⎪+ +⎪⎩

12 311

12 23 31

23 122

12 23 31

31 233

12 23 31

R RRR R R

R RRR R R

R RRR R R

R1

R2 R3

R12R31

R23

1 1

22 3 3


Problema 1

R R

R

R R


Electricitatea în atmosferă

E = 100 V/m


Electricitatea în atmosferă

• Diferenţa de potenţial totală între suprafaţa pământului şi limita superioară a atmosferei este de 400 kV

• Densitatea de curent 10-12 A/m2

• Curentul total 1800 A (spre suprafaţa pământului)• Ionosfera se află la aprox. 50 km• Furtunile (trăsnetele) aduc sarcinile negative pe pământ• La baza norilor sarcinile sunt în general negative. Se creează

diferenţe de potenţial de până la 100 MV în raport cu suprafaţa pământului (>>0.4MV)

• Un trăsnet transportă circa 25 C.• Curentul într-un fulger este de aprox. 10 kA


Câmpul sarcinilor electrice în mişcare


00

02F q

dλ

πε⊥′ =

02021 v

c

λλ =

−

00 0 2

0 00 2

22 1

F q qd vd

c

λλπε

πε⊥ = =

−

Este corect ?


Transformările Lorentz

( )0 0

00 2 '

x xy yz z v t

vt t zc

γ

γ

′=⎧⎪ ′=⎪⎪ ′ ′= +⎨⎪

⎛ ⎞⎪ ′= +⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

( )0 0

00 2

x xy yz z v t

vt t zc

γ

γ

′ =′ =′ = −

⎛ ⎞′ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

0 202

1

1 vc

γ =

−


( )

0 00 02 2

00 2

0 0 0

0020 2

1

1

1

xx

z

yy

z

zz

z

udx dxuv vdt dt dz uc c

uu

v uc

dz v dt u vdzu vvdt udt dzcc

γ γ

γ

γ

γ

⎧⎪ ′⎪ ′ = = =

′ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪⎪⎪ ′ =⎨

⎛ ⎞⎪ −⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎪

−′ −⎪ ′ = = =⎪ ′ ⎛ ⎞ −−⎪ ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

00 2

00 2

0

02

1

1

1

xx

z

yy

z

zz

z

uuv uc

uu

v uc

u vu v uc

γ

γ

⎧′⎪

=⎪ ⎛ ⎞′⎪ +⎜ ⎟⎝ ⎠⎪

⎪ ′⎪ =⎨⎛ ⎞⎪ ′+⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠

⎪ ′ +⎪ =⎪ ′+⎪⎩


00 21 z

v uc

γ γ γ ⎛ ⎞′ ′= +⎜ ⎟⎝ ⎠ 2

2

2

2

1

1 si 1

1

cu

cu ′

−

=γ′

−

=γ

( )

12 2 2 2

2

12

2220

2 2 22 2 2 2 20 0 00 02 2 2

12 2 22 2 2

0 0 02 2 2 2

02

1

11 1 1

1 1 1

1

x y z

y zx

z z z

x y zz

z

u u uc

u u vuv v vc u c u c uc c c

u u uv v vuc c c c

v uc

γ

γ γ

−

−

−

⎡ ⎤+ += − =⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥′ ′ +′⎢ ⎥− − − =⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ ′ ′+ + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

′ ′ ′⎡ ⎤+ +⎛ ⎞⎛ ⎞′= + − − − =⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

⎛ ′= +

112 2 22 22

0 002 2 21 1 1x y z

z

u u uv v uc c c

γ γ−− ′ ′ ′⎛ ⎞+ +⎛ ⎞⎞ ⎛ ⎞′ ′− − = +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠


( ) ( )

( )

( ) ( ) 0

0

00

0

2

2

0 01

1

x x

z x x

xz xx

xx

dpFdt

v u F

d mu d m udt dt

vd dm u u m udt c dt

d m udc

dtm udt dt dt

γ

γ γ γ

γ

= = =

⎡ ⎤⎛ ⎞′ ′ ′ ′= + = =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦′ ′ ′

′ ′= = =

=

⎛ ⎞ ′−⎜ ⎟⎝ ⎠′

xzx uucvu ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ′+γ=′

20

0 1 00 21 z

vdt udt c

γ′ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠


( )

( ) ( )

( )

( )

00 0 0 2

0 0 0 0 0 0

0 002

0

2

002

0

0 1

1

1

1

1

1

1

1

zz z z z

z z

z

z

z

z

z

z

vd dm u m u udt dt c

d dm u v m u vdtdt dtdt

d m u vv dtucd m u dm v

v dt d

dpFdt

Fv uc

tuc

γ γ γ

γ γ γ γ

γ

γ γ

⎡ ⎤⎛ ⎞′ ′= = + =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

′ ′ ′ ′= + = + =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦′ ⎛ ⎞⎜ ⎟′⎝ ⎠

′ ′= + =⎡ ⎤⎣ ⎦′⎛ ⎞′+⎜ ⎟⎝ ⎠

′ ′⎡ ⎤′= + =⎢ ⎥′ ′⎛ ⎞ ⎣ ⎦′+ ⎟

⎠′+⎜

′

⎝

=

0 0dm vdtγ ′⎛ ⎞+⎜ ⎟′⎝ ⎠


Pentru simplificarea relaţiei utilizăm teorema energiei:

'uFtdEd

⋅′=′′ 2

02 cmcmE γ′=′=′

uFtd

dcm ′⋅′=′

γ′20

0 02

0 02

0 02 2

0 02 2

0 00 02 2

1

1

1 1

z z

z

yxx y z

z z

x x y y z

m vF F F uv m cuc

uv u vF F Fv vc cu uc c

v vF u F u Fc c

γ γ

⎛ ⎞′ ′ ′= + ⋅ =⎜ ⎟

⎝ ⎠′+

′′′ ′ ′= + + =

′ ′+ +

′ ′ ′= + +


00 2

00 2

0 00 02 2

1

1

x z x

y z y

z x x y y z

vF u FcvF u Fc

v vF F u F u Fc c

γ

γ

γ γ

⎧ ⎛ ⎞ ′= −⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎪⎪⎪ ⎛ ⎞ ′= −⎨ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎪⎪

′ ′ ′= + +⎪⎪⎩ d

qFy0

00 2πε

λ=′

dqu

cvFu

cvF zyzy

0

002

002

00 2

11πελ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −γ=′⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −γ=


dq

cvFy

0

002

20

21

πελ

−=

2021y

vF Fc ⊥

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠

2

20

0

00

00

122

cv

d

qd

qF

−πε

λ=

πελ

=⊥

202m e

vF Fc

= −


00 2

00 2

0 00 02 2

1

1

x z x

y z y

z x x y y z

vF u FcvF u Fc

v vF F u F u Fc c

γ

γ

γ γ

⎧ ⎛ ⎞ ′= −⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎪⎪⎪ ⎛ ⎞ ′= −⎨ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎪⎪

′ ′ ′= + +⎪⎪⎩

21 Φ×+Φ= uFkFjFiF zyx ′+′γ+′γ=Φ 001

jFcviF

cv

xy ′γ+′γ−=Φ 20

020

02


Eq01 =Φ 2 0q BΦ =

BuqEqF ×+= 00

Forţa Lorentz


00 qndlSdqtotal =

BudlSFd m ×ρ= 0

udlld

SIj ρ==0

BldIFd m ×=

Forţa Laplace


Legea de transformare a câmpurilor

BuqEqFBuqEqF ′×′+′=′×+= 0000 ;

( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ′×+′γ=′=

′×−′γ=′=

⊥⊥

⊥⊥

20

0

00

;

;

cEvBBBB

BvEEEE

IIII

IIII


xzx FucvF ′⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −γ= 2

00 1

( )( )[ ]yzzyxz

yzzyx

BuBuqEqucv

BuBuqqE

′′−′′+′⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −γ=

=−+

0020

0

0

1

( )00 0 0 02

x y z z y

x z x y z z y

E u B u B

vE u E u B u v Bc

γ γ γ

+ − =

′ ′ ′ ′= − + − −

yzy uucvu ′⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −γ= 2

00 1 zzz uu

cvvu ′⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=− 2

00 1


( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

′=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′+′γ=

′+′γ=

zz

xyy

yxx

BB

EcvBB

BvEE

20

0

00

( )00 0 0 02

x y z z y

x z x y z z y

E u B u B

vE u E u B u v Bc

γ γ γ

+ − =

′ ′ ′ ′= − + − −


Câmpul electric al sarcinilor în mişcare

304 R

RQE′′

πε=′

kzjyixR ′+′+′=′

jyixur r ′+′=′

P


( ) 232204 zr

zQEE z′+′

′πε

=′≡′II

( ) 232204 zr

rQEE r′+′

′πε

=′≡′⊥

( ) 232204 zr

zQEE′+′

′πε

=′= IIII

( ) 23220

00 4 zrrQEE

′+′

′πε

γ=′γ= ⊥⊥


( )⎩⎨⎧

−γ=′=′

tvzzrr

00

( )20

20

2222 tvzrzrR −γ+=′+′=′

( )ktvzurR r 00 −+=

( ) 00000 cos si sin θ=−θ= RtvzRr


⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛θ−γ=θγ+θ=′ 0

22

202

0200

220

200

220

2 sin1cossincvRRRR

30

023

02

2

20

2

20

0

03

00

0 sin1

1

44 RR

cv

cv

QRRQuEkEE r

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛θ−

−

πε=

′γ

πε=+= ⊥II

( ) 232204 zr

zQEE′+′

′πε

=′= IIII ( ) 23220

00 4 zrrQEE

′+′

′πε

γ=′γ= ⊥⊥

( )⎩⎨⎧

−γ=′=′

tvzzrr

00


Problemă

• Comparaţi câmpul electric creat de sarcinile în repaus cu cel al sarcinilor aflate în mişcare rectilinie şi uniformă.


00 0 0 02 2 2

202

00 032 2 3

20 0220

02

0

1 1

114

1 sin

B B

v EB B v E v Ec c c

vRQ cv E v B

c c Rvc

γ γ

πεθ

⊥⊥ ⊥ ⊥ ⊥

′= =

⎛ ⎞′×′ ′= + = × = × =⎜ ⎟⎝ ⎠

−= × = × =

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠

II II

30

002

041

RRvQ

cB ×

πε=

00

2 1με

=c


30

00

0

4 RRvQB ×

πμ

= 30

00

4 RRlIdBd ×

πμ

=

Legea Biot-Savart


Circulaţia vectorului inducţie magnetică

PP ldBdC ⋅=


( )

( )[ ]( )∫∫ΓΓ

−×⋅π

μ=⋅

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛×

πμ

PQQP

QPp

QP

QPQ ldld

RR

IldRR

lId 30

30

44

( )dl dl d SQ P× − = 2

( ) ( )( )∫ ∫∫Γ ΓΓ

ωπ

μ−=⋅

πμ

−=⋅π

μ= 202

30

320

444dISd

RR

IRR

SdIdCPQ

PQ

QP

QP

( )∫Γ

ω=ω 2dd


( ) ω+Ω+Ω+Ω−==Ω ddtotal 0

d dΩ = − ω


dC I d=μ

π0

4Ω

0 0

4 4P P P P P P PI IB dl d grad dl grad V dlμ μ

π π⋅ = Ω = Ω⋅ = − ⋅

V Ip = −

μπ0

4Ω P P PB grad V= −


4πΔΩ = ±


Teorema Ampère

0 0B dl I j dS rotB dSμ μ= = =∫ ∫ ∫i i i

0rotB jμ=

0B dl Iμ=∫ i


Potenţialul vector magnetic

( )∫ ×

πμ

=V

QQP

QPQP dv

RR

jB 30

4


( )∫ ×

πμ

=V

QQP

QPQP dv

RR

jB 30

4

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

QPQ

QPP

QP

QP

Rgrad

Rgrad

RR 11

3

( )

( )P Q

1

1 ( rot j 0)

P QQP Q P

QP QP QP

Q PQP

rot jjrot j grad

R R R

j grad am folositR

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − × =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞

= − × =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠


( )⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

πμ

= ∫V

QQP

Qpp dv

Rj

rotB4

0

( )Q

V QP

QP dv

Rj

A ∫πμ

=4

0

P P PB rot A=


Metode de calcul pentru inducţia magnetică

1. Aplicând direct legea Biot-Savart pentru elementul de curent şi integrând de-a lungul curentului care generează câmpul magnetic

2. Calculând potenţialul scalar şi apoi utilizând relaţia între inducţia magnetică şi potenţialul scalar

3. Calculând potenţialul vector şi apoi utilizând relaţia între inducţia magnetică şi potenţialul vector

4. Aplicând teorema lui Ampère (pentru sistemele cu simetrie ridicată)


30

00

0

4 RRvQB ×

πμ

= 30

00

4 RRlIdBd ×

πμ

=

Legea Biot-Savart


V Ip = −

μπ0

4Ω

P P PB grad V= −


Teorema Ampère

0 0B dl I j dS rotB dSμ μ= = =∫ ∫ ∫i i i

0rotB jμ=

0B dl Iμ=∫ i


( )

0

4Q

p p QQPV

jB rot dv

Rμπ

⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟⎝ ⎠

∫

( )Q

V QP

QP dv

Rj

A ∫πμ

=4

0

P P PB rot A=


0

00 0

0

22

B dl I

IB r I Brϕ ϕ

μ

μπ μπ

Γ

=

= → =

∫ i


dz

Q

P(zP,rP) ( )( )

( )

( )( )

/ 20

3/ 2

/ 20

3/ 22 2/ 2

/ 20

3/ 22 2/ 2

/ 2

03/ 22 2 2

/ 2

4

4

4

14

L

L

LP P r

L P P

LP

L P P

L

PP

PP P

L

RB I dLR

z z k r uI dzk

z z r

r dzuI

z z r

z zIr

r z z r

ϕ

μπ

μπ

μπ

μπ

−

−

−

−

= × =

− += × =

⎡ ⎤− +⎣ ⎦

= =⎡ ⎤− +⎣ ⎦

−=

⎡ ⎤− +⎣ ⎦

∫

∫

∫

( )3/2 2 2 22 2

d Ca aa

ξ ξ= +

ξ +ξ +∫


Interacţiunea dintre curenţi liniari paraleli

Definiţia Amperului

012 1 2 1 2

71 2 0

20

7

2

, 4 10

, 1 , 1 , 122 10

F B I L I I Ld

HI I Im

F I L I A L m d md

F N

μπ

μ π

μπ

−

−

= =

⎛ ⎞= = = × ⎜ ⎟⎝ ⎠

= = = =

= ×


P(0,0,zp)

( )2 2

0

2 1 cos 2 1 p

p

z

r zπ θ π

⎛ ⎞⎜ ⎟Ω = − − = − −⎜ ⎟+⎝ ⎠

0 02 2

0

14 2

p

p

zI IVr z

μ μπ

⎛ ⎞⎜ ⎟= − Ω = −⎜ ⎟+⎝ ⎠


( )

( ) ( )

( ) ( )

02 2

0

1/ 22 200

1/ 2 3/ 22 2 2 200 0

3

3/ 22 2 2 2 30 0 00 0 02 2

0 0

12

2

1 22 2

sin2 2

pz

p p p

p pp

p p p p

p p p p

p

zIdV dBdz dz r z

I d z r zdz

I r z z r z z

I I rr z r z z z Br r z

μ

μ

μ

μ μ θ

−

− −

−

⎛ ⎞⎜ ⎟= − = − − =⎜ ⎟+⎝ ⎠

⎡ ⎤= − − + =⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞= − − + − − + =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

⎛ ⎞⎜ ⎟⎡ ⎤= − + − + + = =⎣ ⎦ ⎜ ⎟+⎝ ⎠


P(0,0,zp)

( )0 0 03 34 4 4 m

m

I I R RV S pR R

p IS

μ μ μπ π π

= − Ω ≅ − − =

=

i i


L1

L2

L3

L4

R2

R

0 31 2 4

1 2 3 44pI LL L LA

R R R Rμ

π⎛ ⎞

≅ + + +⎜ ⎟⎝ ⎠


0 1 2 1 2

1 2 3 4

01 2

1 3 2 4

4

1 1 1 14

pI L L L LA

R R R R

I L LR R R R

μπ

μπ

⎛ ⎞≅ + − − =⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= − + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

( )

( )

2 21 3 2 4

1 3 2 2 2

2 4 3 3 3

cos ,

cos ,

R R R R R R

RR R L L R LRRR R L L R LR

≅ ≅

− = =

− = =

i

i


( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

0 1 2 1 2

1 2 3 4

1 2 2 1 2 10 03 3 3

0 0 03 3 3

2 1 2 1 1 2

4

4 4

4 4 4

p

m

I L L L LAR R R R

L L R L L R R L LI IR R R

R SI I R RS pR R R

a b c b a c c a b

R L L L R L L R L

μπ

μ μπ π

μ μ μπ π π

⎛ ⎞≅ + − − =⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞ × ×⎜ ⎟= − + = =⎜ ⎟⎝ ⎠

× −= = × = ×

× × = −

× × = −

i i

i i

i i


( )05 3

3

4m m

p R R pB gradV rotAR R

μπ

⎡ ⎤⎢ ⎥= − = = −⎢ ⎥⎣ ⎦

i

Demonstraţi !!!


( )

03

0 03 3

0

3 3

,4

0 04 4

4

0

m m m

mm

m

RA p p p kR

i j kpA p yi xj

R Rx y z

i j kpB rotA

x y zy x

R R

μπ

μ μπ π

μπ

= × =

= = − +

∂ ∂ ∂= =

∂ ∂ ∂

−


( ) ( )

( )

3/ 22 2 20 03

5/ 22 2 20 05

05

03 3

03 5 3

4 433 2

4 2 43

4

4

1 3 2 1 34 2 2

m mx x

m m

my

z m

m

p p xxB rotA x y zz R z

p x p xzx y z zR

p yzBR

x yB px R y R

xp x yR R R

μ μπ π

μ μπ π

μπ

μπ

μπ

−

−

∂ ∂⎛ ⎞ ⎡ ⎤= = − = − + + =⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎣ ⎦∂ ∂⎝ ⎠⎛ ⎞= − − + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

=

⎡ ⎤∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )

( )

5

2 20

3 5

05 3

2 2

2

324

3

4

m

m m

yR

x yp

R R

p R R pB

z z

R R

μπ

μπ

⎡ ⎤=⎢ ⎥

⎣ ⎦⎡ ⎤+⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⋅⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎣

+ −

⎦


Formule generale

pe 3

0 p

R1V p4 R

= ⋅πε

( )e p p e5 3

0 p p

3 p R R1 pE grad V4 R R

⎡ ⎤⋅⎢ ⎥= − = −⎢ ⎥πε⎣ ⎦


Câmpul magnetic al unui curent circular

PmP ArotVgradB =−=

Ωπ

μ−=

40IVmP

( ) ( )PmPPIV α−

μ=⇒α−π−=Ω cos1

2cos12 0

PPP

mPzP B

rz

rrI

zVB α=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

μ=

∂∂

−= 30

3

20

20

0

0 sin2

0

00 2r

IB μ=


Calcul prin integrare directă

R

dL

dB z

y

x

α

α

00 3

0 02

0 02

0 02

0 02

4

4

cos4

sin cos4

sin sin4

z

x

y

I RdB r d uR

I r ddBR

I r ddBR

I r ddBR

I r ddBR

ϕμ ϕ

πμ ϕ

πμ ϕ α

πμ ϕ α ϕ

πμ ϕ α ϕ

π

= ×

=

=

=

=


( ) ( ) ( )2 22 2 3

30 0 0 0 0 003/ 2 3/ 2 3/ 22 2 2 2 2 2

00 00 0 0

20 0

20

20 0

20

sin4 4 2

sin cos 04

sin sin 04

z

x

y

I r d I r I rB d Brr z r z r z

I r dBR

I r dBR

π π

π

π

μ ϕ μ μϕ θπ π

μ ϕ α ϕπ

μ ϕ α ϕπ

= = = =+ + +

= =

= =

∫ ∫

∫

∫


Sistemul de bobine Helmholtz

[ ]

( ) ( ) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+++

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−+

=α+α=+= −+

2/3

220

20

2/3

220

20

0

33021

2/2/

sinsin

dzrr

dzrr

B

BBBB PPzzz

00

==z

zdz

dB

00

2

2=

=z

z

dzBd

( ) ( ) ...!3!2

03

03

32

02

2

0++++=

===

zdz

Bdzdz

Bdzdz

dBBzBz

z

z

z

z

zzz

d=r0


Câmpul uniform


Câmpul solenoidului

B este uniform în interiorul solenoidului şi este zero în exteriorul acestuia.


( )

3

30 0 0z 220 0

0 p

dI nIdz rdB sin2r 2r r z z

⎡ ⎤μ μ ⎢ ⎥= θ = ⎢ ⎥

+ −⎢ ⎥⎣ ⎦

θ

P(zp)

Q(z) dz O(0)

B(d/2)A(-d/2)

( )( )

( )

d/2d/22

p0 0 0z 3/2 22 22

p 0p 0d/2 d/2

p p0

2 22 2

p 0 p 0

z znIr dz nIB2 2 z z rz z r

d dz znI 2 22 d dz r z r

2 2

− −

−μ μ= = =

⎡ ⎤ − +− +⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥− +⎜ ⎟ ⎜ ⎟μ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠= +⎢ ⎥

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥− + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

∫

( )3/2 2 2 22 2

d Ca aa

ξ ξ= +

ξ +ξ +∫


Cazul Ar= Az=0

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

ϕ ϕ

ϕϕ

ϕ ϕ

⎧ ⎡ ⎤∂ ∂∂⎪ = − = = −⎢ ⎥∂ϕ ∂ ∂⎪ ⎢ ⎥⎣ ⎦

⎪∂∂⎪ ⎡ ⎤= − = =⎨ ⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦⎪

⎪ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂∂⎪ = − = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ∂ ∂ϕ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩

1

0

1 1

zrr

zr

rzz

rA AArot A Br z z

AArot A Bz r

rA rAArot A Br r r r


Solenoidul infinit

d → ∞ z 0 0 sB nI i= μ = μ

Pe axa bobinei !

Ci

Datorită simetriei

•Inducţia nu are componentă după ϕ

0 s 0z

0

i pentrur rB

0 pentrur rμ ≤⎧

= ⎨ >⎩


B dS rotA dS A dL⋅ = ⋅ = ⋅∫ ∫ ∫


Curent superficial plan

δ

L

sIiL

=

Simetrie !


dB


( )

02 2

0 02 22 2 2 2

2 22 20 0 0

2 2 2 2

0 022 2 2 2

cossin

2

2 2

ln 02 4 4

sin2 2

z

y

s

P

s sz

PP P

L L LPs s sz P L

P PL L

s s PPy

P P

dB dBdB dB

i dydBy z

i dy i ydyydBy zy z y z

d y zi i iydyB y zy z y z

i dy i z dyzdB dByy z y z

αα

μπ

μ μπ π

μ μ μπ π π

μ μαπ π

−− −

= −= −

=+

= − = −++ +

+= − = − = − + =

+ +

= − = − = −+ +

∫ ∫

2

0 0 02 2

0

0

1 22 2 2

,2

P

LLs P s P s P

yP P P P PL L

sy

P

sy

z

i z i z i zdy y LB arctg arctgy z z z z z

i LB arctgz

icand L B

μ μ μπ π π

μπ

μ

− −

+

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞= − ⎜ ⎟

⎝ ⎠

→ ∞ → −

∫


Discontinuitatea componentei tangenţiale

z

O

( )( )

0 sparalel

0 s

i 2 pentruz 0B

i 2 pentruz 0⎧+ μ ≤⎪= ⎨− μ >⎪⎩


Probleme

Comparaţi relaţiile de discontinuitate care apar la trecerea prin distribuţii superficiale (de sarcina, pentru intensitatea câmpului electric şi de curent, pentru inducţia magnetică)


Interacţiunea dintre curenţi şi câmpul magnetic


Sarcini magnetice fictive

L

-qm

+qm

I

S

B -qm

+qm

L


( ) ( )( )

m m

m m m

R q B R q B

q R R B q L B p B

+ −

+ −

Γ = × + × − =

= − × = × = ×

B -qm

+qm

L

Fenomene electrice şi magnetice variabile în timp

Fenomenul de inducţieelectromagnetică


Fenomenul de inducţie electromagnetică

• Curenţii produc câmp magnetic. Acesta acţionează asupra momentelor magnetice (magneţi permanenţi, alţi curenţi)

• Motoare electrice pe această idee ?• Faraday observă că un câmp magnetic,

oricât de intens nu produce curenţi electrici. Efectele apar numai când apar modificări.


Fenomenul de inducţie electromagnetică


Experienţele lui Faraday (1839)

De ce un curent electric nu creează un un alt curent electric în conductorii din preajmă?


DefiniţieFenomenul de apariţie a unei t.e.m. Într-un circuit străbătut de un flux magnetic variabil

cosB S SH φμΦ = ⋅ =t.e.m. de inducţie se poate obţine prin modificarea oricăruia dintre cei patru termeni.


Cazuri particulare

• Circuit mobil – inducţie magnetică statică• Circuit fix – inducţie magnetică variabilă



Motor - generator


Aplicaţii practice




Microfon - difuzor


Inducţie - autoinducţie


Forţe care acţionează asupra curenţilor induşi


Curenţi turbionari (induşi) în conductori masivi


Curenţi turbionari (Foucault)


Aspecte cantitative – legea inducţiei electromagnetice

B

v ⊕

F

0

L

e vBdx BLv= =∫

L


Legea inducţiei electromagnetice

0

L

dedtd Be B dS dS E

dy de vBdx BLv

dl rotE dSdt t

BrotEt

BLdt dt

Φ= −

∂= − ⋅ = − ⋅ = ⋅ = ⋅

∂

Φ=

∂= −

=

∂

= =

∫ ∫

∫

∫ ∫


Câmpul electric

0

0

BrotEt

divB B rotA

Arot Et

A AE gradV E gradVt t

∂= −

∂= ⇒ =

⎛ ⎞∂+ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠

∂ ∂+ = − ⇒ = − −

∂ ∂


Regula fluxului se aplică şi când variază câmpul şi când se mişcă circuitul.

F E v Bq

= + ×

Ce câmp se aplică asupra sarcinilor pentru a le pune în mişcare ca urmare a fenomenului de inducţie electromagnetică?

Legea lui Lenz (film)

Câmpul electric indus (film)

Circuit care se mişcă

Când circuitul este fixExistă şi în vid!


Inducţia mutuală

1 10

1 2 12 2 0

1 22 21 1 12;

N IBL

dB N N S dIN Sdt L dt

dI dIdt dt

μ

ε μ

ε ε

=

= − = −

= Μ = Μ


1 1{1} {1}

d dB n da A dsdt dt

ε = − = −∫ ∫i i


1 1{1}

0 2 2{2}

12

0 2 2 21 1 12{1} {2}

12

0 2 112 {1} {2}

12

4

4

4

d A dsdt

I dsAr

d I ds dIds Mdt r dt

ds dsMr

ε

μπμεπμπ

= −

=

= − =

= −

∫

∫

∫ ∫

∫ ∫

i

i

i


0 2 112 {1} {2}

12

12 21

4ds dsM

rM M M

μπ

= −

= =

∫ ∫i


Autoinducţia

1 21 11 12

1 22 21 22

11 1 22 2; ;

dI dIM Mdt dtdI dIM Mdt dt

M L M L

ε

ε

= +

= +

= − = −


Energia câmpului magnetic

Bt

∂∂

indusB


( )( )

2

2 2

12 2

12

indusddL e Idt Idt Iddt

LILI IdW Id dW LIdI W

B dS rotA dS A dL

IW A dL A jdv

rotH j

W A rotHdv

div a b b rota a rotb

div A H H rotA ArotH

Φ= − = = Φ

Φ =

Φ= Φ ⇒ = ⇒ = =

Φ = ⋅ = ⋅ = ⋅

= ⋅ = ⋅

=

= ⋅

× = −

× = −

∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫


( )( )

12

1212

12

W A rotHdv

div A H H rotA ArotH

W div AH rotAdv

W H

v

Bdv

H d

= ⋅

×

×

= −

=

−= ∫

∫

∫

∫12

w H B= ⋅ Densitatea de energie a câmpuluimagnetic


Relaţia forţe, cupluri, energie

• Lucrul mecanic efectuat de surse:

( )

1

1 1

1 12 2

N

i ii

N N

ik i k i ii i

I d dW Fdx

W x L I I I

=

= =

Φ = +

= = Φ

∑

∑ ∑


Cazuri particulare

( )

( )

.

.1

1

1 1 1

0

12

1 12 2

1. .

2. .

const

N

i i I consti

N

i ii

N N N

i i i i i ii i i I

dW Fdx

I d dW Fd

c

x

W I

I d

dWFdx

onst

I cons

dWI d Fdx I d Fdx

t

Fdx

Φ=

==

=

= = =

Φ

= + ⇒

Φ = +

= Φ

Φ = Φ

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞=

Φ =

=

+ ⇒ Φ = ⎜ ⎟− ⇒⎝ ⎠

∑

∑

∑ ∑ ∑


Cuplul forţelor

1. .

2. .

I

const

I cons

dWd

dW

pen r x

d

t

t

u

θ

θ

θ

Φ

⎛ ⎞Γ = −⎜

Φ

⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞Γ = ⎜⎝

=

=

⎟⎠

∼


Aparate electrodinamice

I1 I2

θ

( ) ( )2

2 211 1 22 2 12 1 2

1

2 1 2

12

2

1 1 22 2ik i k

iW L I I L I L I L I I

dLI Cd

CI dLd

θ θ

θθ

θ

θ

=

=

⎡ ⎤= = + +⎣ ⎦

Γ = = ⇒

∑


Wattmetrul

A B

I i

Z R

12

12

121

dLIid

UiR

d C RP dLLP C

R dd

θ

θθ

θ

θ

Γ =

=

⇒ = ⇒ =Γ =

Circuite electrice în regim tranzitoriu şi alternativ


Generatorul de curent alternativ


T.e.m. alternativă


Variaţia fluxului


T.e.m. indusă

( ) ( )0 0cos sind de NBS t NBS tdt dt

ω ϕ ω ω ϕΦ⎡ ⎤= − = − + = +⎣ ⎦


Circuit RLC in curent alternativ

u(t)

R L C

A B D E


Ecuaţia pentru circuitul RLC serie


Forma finală a ecuaţiei


Soluţia


Problema cu condiţii iniţiale


Soluţia ecuaţiei omogene


Soluţia ecuaţiei neomogene (1)










Soluţia generală


Soluţia staţionară


Regimul permanent


Impedanţa


Impedanţa, rezonanţa


Factor de calitate


Metoda numerelor complexe


Importanţa soluţiei armonice




Impedanţa complexă


Reactanţele complexe


Probleme


Puterea în circuite AC

RI

LωI I/Cω

ZI=U ϕ I

( )( )

( )( ) ( )

( )( )( )

( )

0

0

0

0

0 0

22

0

sin

sin

sin / 2

/ sin / 2/

1/

sin

1/tan

R

L

C

i I t

u I R t

u I L t

u I C tI U Z

Z R L C

u I Z t

L CR

ω

ω

ω ω π

ω ω π

ω ω

ω ϕ

ω ωϕ

=

=

= +

= −

=

= + −

= +

−=


Puterea instantanee

( )( )

( )( ) ( )

( )( )

0

0

0

0

0 0

0

2 20

sin

sin

sin / 2

/ sin / 2/sin

sin

R

L

C

R R

i I t

u I R t

u I L t

u I C tI U Zu I Z t

p u i RI tp ui

ω

ω

ω ω π

ω ω π

ω ϕ

ω

=

=

= +

= −

=

= +

= =

=


Regim lent variabil

• Circuite în curent alternativ

– Metoda analitică– Metoda fazorială– Metoda numerelor complexe


Metoda analiticău(t)

R L C

A B D E

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

∫ idtC1=

Cq=u=u

dtdiL-e=u=u

Ri=u=u

DEC

BD L

ABR

tU=Cq+

dtdiL+Ri m ωsin

tL

U=q+q2+q m2oo ωωδ sin ⎪

⎩

⎪⎨

⎧

ω

δ

LC1=

LR=2

2o

o


Metoda analitică

( )

( )

( )

( )

( )

m

m

mR

m mL L

m mC C

Uq(t)= cos tZ

Ui(t)=q(t)= sin tZ

RUu (t)=Ri(t)= sin tZ

L U Uu (t)=Lq(t)= cos t =X sin t +Z Z 2

q(t) U Uu (t)= = cos t =X sin tC C Z Z 2

ω ϕω

ω ϕ

ω ϕ

ω πω ϕ ω ϕ

πω ϕ ω ϕω

− −

−

−

⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞− − − −⎜ ⎟⎝ ⎠

1LCtg =

R

ωωϕ

−

22

m

m

C1-L+R=

IU

=Z ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ωω


Rezolvarea ecuaţiei diferenţiale

R=10 Ω R=40 Ω


Metoda fazorială

RI

LωI I/Cω

ZI=U ϕ I

( )( )

( )( ) ( )

( )( )( )

( )

0

0

0

0

0 0

22

0

sin

sin

sin / 2

/ sin / 2/

1/

sin

1/tan

R

L

C

i I t

u I R t

u I L t

u I C tI U Z

Z R L C

u I Z t

L CR

ω

ω

ω ω π

ω ω π

ω ω

ω ϕ

ω ωϕ

=

=

= +

= −

=

= + −

= +

−=



( ) ( )( )exp

exp

1

m

m

u t u U j t

i i I j t

di j idt

q idt ij

ω

ω

ω

ω

= =

= =

=

⎛ ⎞= = ⎜ ⎟

⎝ ⎠∫

mm UCj

LjRI =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω

+ω+1

IU

IU

Zm

m ==

22 1* ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

ω−ω+==

CLRZZZ c

1 1

R

L L

C C

Z R

Z X j L

Z X jj C C

ω

ω ω

=

≡ =

≡ = = −


Aplicaţii

• Circuitul RLC paralel• Puterea în circuite de curent alternativ• Rezonanţa RLC serie• Transmisia energiei electrice


Regimul tranzitoriu

• RL • RC• RLC ...


RL

u(t)

R L

A B 0

0

0

0

( 0) 0

( ) exp

0, 0

( ) 1 exp

diRi L Udt

i tU Rti t kR L

Ut i kR

U Rti tR L

+ =

= =

⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎝ ⎠

= = ⇒ = −

⎡ ⎤⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦


RL

0

( 0)

( ) exp

0,

( ) exp

diRi Ldt

i t IRti t kL

t i I k IRti t IL

+ =

= =

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

= = ⇒ =

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

u(t)

R L

A B


RC

u(t)

R C

A B D E

0

0

0

0

0

;

( 0) 0

( ) exp

0, 0

( ) 1 exp

( ) exp

q dqRi U iC dt

q ttq t CU k

RCt q k CU

tq t CURC

U ti tR RC

+ = =

= =

⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎝ ⎠

= = ⇒ = −

⎡ ⎤⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠


RLC regim tranzitoriu

• Soluţie analitică• Soluţie numerică


Curentul de deplasare (1)

Curentul de deplasare


Curentul de deplasare

d d

D

Q D DI S S jt t t t

σ

σ

=

∂ ∂ ∂ ∂= = = ⇒ =

∂ ∂ ∂ ∂

+σ

−σ

00

n n nE D Eσ ε σε

= ⇒ = =


Curentul de deplasare (2)

( )( )

( )

( )

( . ) 0

( . )

0

th Ampere rot H j div rot H div j

dQ dec continuitate dv j dS ddv div iv jdt dt t

div rot H div j

divDdivD div rot

j dvt

tD

t t

Dt

H div j div j

rot H j

ρ

ρ

ρρ

ρ

ΩΣΩ

= ⇒ = =

∂= = = − ⋅ = ⇒ = −

∂

= + =

⎛ ⎞= ⇒ = + = +

∂−

∂

∂∂

∂ ∂⇒⎜ ⎟

⎝ ∂

= +∂

⎠∂

∂

∫ ∫∫ ∫


Ecuaţiile lui Maxwell

0

DrotH jt

BrotEt

divB

divD ρ

⎧ ∂= +⎪ ∂⎪

⎪ ∂⎪ = −⎨ ∂⎪⎪ =⎪

=⎪⎩



Soluţia sistemului ec. Maxwell

( )... , , , , , 16necunoscute E D H B j necunoscute

D E

B H

j E

ρ

ε

μ

γ

=

=

=

0

DrotH jt

BrotEt

divB

divD ρ

⎧ ∂= +⎪ ∂⎪

⎪ ∂⎪ = −⎨ ∂⎪⎪ =⎪

=⎪⎩

Relaţii constitutive(de material)

Nu sunt independente


Alte ecuaţii ...

( ) ( )

( ) ( )

0

0

1

0

12

0

2

Ddiv rotH div j divj divD divDt t t

Bdiv rotE div

w

divBt t

divB

div

B

D

E D H

ρ

ρ

⎧ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂= + = = + = − =⎪ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎪

⎪⎪ ∂ ∂= − = − =⎨

∂ ∂⎪⎪ =

= ⋅ + ⋅

⎪=⎪⎩

Densitatea de energie a câmpuluielectromagnetic


Energia câmpului electromagnetic

( )

( ) ( )12

P j Edv

D DrotH j P rotH Edvt t

Bdiv E H H rotE E rotH H E rotHt

P D E H B dv E H dtW WP S d P S dt t

σ

σ σ

= ⋅

⎛ ⎞∂ ∂= + ⇒ = − ⋅⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

∂× = ⋅ − ⋅ = − ⋅ − ⋅

∂∂

= − ⋅ + ⋅ − × ⋅ =∂∂ ∂

= − − ⋅ ⇒ = − − ⋅∂ ∂

∫

∫

∫ ∫

∫ ∫


Vectorul Poynting S

( ) ( )

( )

12

P D E H B dv E H dtW WP S d P S dt t

S E H

σ

σ σ

∂= − ⋅ + ⋅ − × ⋅ =

∂∂ ∂

= − − ⋅ ⇒ = − − ⋅∂ ∂

= ×

∫ ∫

∫ ∫


Ec. Maxwell

( )( )( )( )

... , , , , , 16

3 .

3 .

3 .

necunoscute E D H B j necunoscute

D E ec

B H ec

j E ec

ρ

ε

μ

γ

=

=

=

( )

( )

3 .

3 .

0

DrotH jt

BrotEt

ec

ec

divB

divD ρ

∂⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪ =⎪

=⎪⎩

= +∂

∂= −

∂

W P S dt

σ∂= − − ⋅

∂ ∫div j

tρ∂

= −∂

1 12 2

w E D B H= ⋅ + ⋅

Ecuaţiile lui Maxwell


Ecuaţiile Maxwell –condiţiile de trecere (la limită)

2 1

2 1

2 1

2 1

0

0

t t

n n

t t s

n n

E ED DH H iB B

σ− =− =− =− =


Transmisia energiei

2

2 2 22

2

2 22

r z

z

r

S E HjE

j rHr

j j r j jP S rL rL r L Vr

ϕ

ϕ

γππ

ππ π πγ π γ γ

=

=

=

= = = =

Ez

Hϕ

Sr

jz


Ecuaţia undelor

0

DrotH jt

BrotEt

divB

divD ρ

⎧ ∂= +⎪ ∂⎪

⎪ ∂⎪ = −⎨ ∂⎪⎪ =⎪

=⎪⎩

0 0 0

0 0 0

0

ErotB jt

Erot rotA jt

B rotA ArotE rotE rot Et t t

AE gradV AE gradVtt

μ ε μ

μ ε μ

∂= +

∂∂

= +∂

⎛ ⎞∂ ∂ ∂= − ⇒ = − ⇒ + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝

∂= −

⎠∂

= − ⇒∂∂

−+

D E

B H

j E

ε

μ

γ

=

=

=


Condiţia de etalonare

( )

0 0 0

0 0 0

2

0 2

0 0

0 0 0 0

0

Erot rotA jt

Agrad div A A j gradVt t

V

A VA j grad div At

A

div A Lorentz

E gr V

t

at

t

d

μ ε μ

μ ε

ε

μ

ε μ ε

μ

μ μ

∂= +

∂

⎛ ⎞∂ ∂− Δ = + − −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

∂ ∂⎛ ⎞Δ − = − + +⎜ ⎟∂ ∂⎝

∂= − −

∂

⎠

+ =

⇒

∂∂


Ecuaţia undelor pentru V şi A2

0 0 02

AA jt

ε μ μ∂Δ − = −

∂

0

0

0 00

2

0 0 20

0

divE

Adiv gradVt

divA VV divAt

AE gradVt

t

VVt

ρε

ρε

ρ ε με

ρε με

=

⎛ ⎞∂− − =⎜ ⎟∂⎝ ⎠

∂ ∂−Δ

∂= − −

∂

− = + =∂ ∂

∂⇒ Δ − = −

∂


Ec. Undelor pentru E,H

0 0

0 0

0

00

D ErotH j rotBt t

B BrotE rotEt t

divB divB

divD divE

j

ε μ

ρ

ρ

⎧ ⎧∂ ∂= + =⎪ ⎪∂ ∂⎪ ⎪

⎪ ⎪∂ ∂⎪ ⎪= − = −⇒⎨ ⎨∂ ∂⎪ ⎪⎪ ⎪= =⎪ ⎪

= =⎪ ⎪⎩ ⎩==


Calcul (1)

0 0

0 0 0 0

0 0

0 0

0

0

ErotBt rotE rotErot rotB grad divB BB t trotE

t rotB rotBrot rotE grad divE EdivB t tdivE

BBt t

EEt t

ε μ

ε μ ε μ

ε μ

ε μ

⎧ ∂=⎪ ∂ ⎧ ⎧∂ ∂⎪ = − Δ =⎪ ⎪⎪ ∂⎪ ⎪ ⎪∂ ∂= − ⇒ ⇒⎨ ⎨ ⎨∂ ∂ ∂⎪ ⎪ ⎪= − − Δ = −⎪ ⎪ ⎪= ∂ ∂⎩ ⎩

⎪=⎪⎩

⎛ ⎞∂ ∂−Δ = −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

⎛∂ ∂−Δ = −

∂ ∂⎝

2

0 0 2

2

0 0 2

0

0

BBtEE

t

ε μ

ε μ

⎧ ⎧ ∂⎪ Δ − =⎪⎪ ⎪ ∂⇒⎨ ⎨⎞ ∂⎪ ⎪Δ − =⎜ ⎟⎪ ⎪ ∂⎩⎠⎩


Soluţia ecuaţiei undelor (2D)

2

2 2

2

2

2

2 2

1 0

' ''

1 1' ''

ffv t

xf tv

x xf t f f t ft v t v

x xf t f f t fx v v x v v

∂Δ − =

∂⎛ ⎞±⎜ ⎟⎝ ⎠

∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞± = ± =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞± = ± ± =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠


Soluţia armonică (3D)

( ) ( )( ) ( )

2

0 0 2

2

0 0 2

0

0

0

0

, exp

, exp

...xx x x x

EEtBB

t

E E R t E j t k R

B B R t E j t k R

E j EtE jk E E jkEx

ε μ

ε μ

ω

ω

ω

⎧ ∂Δ − =⎪⎪ ∂

⎨∂⎪Δ − =⎪ ∂⎩

⎡ ⎤= = − ⋅⎣ ⎦⎡ ⎤= = − ⋅⎣ ⎦

∂=

∂∂

= − ⇒ ∇ = −∂


Soluţia armonică 3D

2

0 0 0 00 0

00 0 00 0

jt

jk k

E ErotB B jk B j Et tB B jk E j BrotE Et t jk B

divB B jk EdivE E

ω

ε μ ε μ ε μ ω

ω

∂=

∂∇ = − ⇒ Δ = ∇⋅∇ = −

⎧ ⎧∂ ∂= ∇× =⎪ ⎪ ⎧− × =∂ ∂⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪∂ ∂ − × = −⎪⎪ ⎪= − ∇× = −⇒ ⇒⎨ ⎨ ⎨∂ ∂ − ⋅ =⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪= ∇⋅ = − ⋅ =⎩⎪ ⎪

= ∇⋅ =⎪ ⎪⎩ ⎩


Continuare ...

0 0 0

0

0

jk B j E B E B

jk E j B

jk B

jk E

ε μ ω

ω

⎧− × = ⋅ ⇒ ⋅ =⎪⎪− × = −⎪⎨⎪− ⋅ =⎪

− ⋅ =⎪⎩

E

B

k


Oscilatorul lui Hertz

p(t) ( ) 0 0sin sinp t p t p t kω ω= =


2

03 2

0

0

03 2

sin coscos 2 2

4

si sin cos nsin

4

P P

P P

P P

P P

R

P

P

R Rt tv vp

R v R

R Rt tv v

R v R

E

RtvpE

v R

E

θ

ω ωθ ω

πε

ω ωω

ωθ ω

πε

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎛ ⎞⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥+ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎛ ⎞⎝ ⎠ ⎝

=

⎡ ⎤⎡ ⎤⎛ ⎞−⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎠⎣ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎢ ⎥= ⎦ ⎣ − ⎜ ⎟⎢⎦+ ⎜ ⎥⎝ ⎠

⎢⎦

⎠

⎣

⎝⎥

⎟

0ϕ

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪ =⎪⎪⎪⎩


020

0

0

sin -cossi

4

-n

P

P

R

P

P

B

B

Rtv

B pv R

Rtv

R

θ

ϕ

ωμ ωω θπ

ω

⎧⎪⎪ =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ =⎨⎪⎪⎪

⎡ ⎤⎪ ⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎪ ⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎢ ⎥⎪ = − ⎜ ⎟⎢ ⎥⎪ ⎝ ⎠⎢

⎡ ⎤⎛ ⎞⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

⎥⎪⎪ ⎣ ⎦⎩


03

0

03

0

sincos

24

sinsin

4

0

P

RP

P

P

Rtvp

ER

Rtvp

ER

E

θ

ϕ

ωθ

πε

ωθ

πε

⎧ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎛ ⎞−⎪ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦⎪ ⎢ ⎥=⎪ ⎢ ⎥

⎪ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦

⎪⎡ ⎤⎡ ⎤⎛ ⎞⎪ −⎢ ⎥⎢ ⎥⎜ ⎟⎪⎪ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎢ ⎥=⎨ ⎢ ⎥⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎪

⎪⎪⎪ =⎪⎪⎪⎩

Câmpul aproape de sursă


Zona undelor

20

0

00

0 0

sinsin

04

sin -0 sin

4

R R

P

P

P

P

E B

Rtvp

E Bv R

Rtv

E B pv R

θ θ

ϕ ϕ

ωθ ω

πε

ωμ ωω θπ

⎧ ⎧⎪ ⎪⎪ ⎪= =⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪

⎡ ⎤⎡ ⎤⎛ ⎞⎪ ⎪−⎢ ⎥⎢ ⎥⎜ ⎟⎪ ⎪⎪ ⎪⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎣ ⎦⎢ ⎥= − =⎨ ⎨⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎛ ⎞⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎣ ⎦⎪ ⎪ ⎢ ⎥= = −⎜ ⎟⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎣ ⎦⎩ ⎩


Puterea emisă

O

x

y

z

i j

k

uR

θ

ϕ

uθ

uϕ

r

R

Eθ

Bϕ

SR


0

20

0

00

2

30

00

sinsin

4

sin -sin

4

sinsin 1 sin

4 4

2

R

P

P

P

P

P

RP

R

E BS

RtvpE

v R

Rtv

B pv R

RtvpS p

v R

P S

θ ϕ

θ

ϕ

μ

ωθ ω

πε

ωμ ωω θπ

ωθ ωω θ

πε π

=

⎡ ⎤⎡ ⎤⎛ ⎞−⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎢ ⎥= −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎢ ⎥= −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞−⎪ ⎪⎜ ⎟⎢ ⎥⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎝ ⎠⎣ ⎦= ⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎪ ⎪

⎪ ⎪⎩ ⎭

=2 4

2 2 303

00 0

2 2 442 20 0

3 30 0

2 40

30

1sin sin sin4 2

1 4sin sin4 2 3 6

12

PP

P P

p RR d t dv v

p pR Rt tv v v v

pPv

π πωπ θ θ ω θ θπε

ωω ω ωπε πε

ωπε

⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎛ ⎞= − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − × = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠

=

∫ ∫


Puterea medie radiată• Radiaţia curenţilor alternativi de joasă frecvenţă este mică.

• Lumina solară care străbate atmosfera este difuzată de moleculele de aer care pot fi asimilate cu nişte oscilatori elementari. Sub acţiunea undelor, oscilatorii efectuează oscilaţii forţate (departe de rezonanţă, deci cu amplitudinea independentă de frecvenţa undei incidente). Intensitatea radiaţiei luminii difuzate este proporţională cu frecvenţa (la puterea a patra). Deci, puterea radiată prin unda cu frecvenţa mai mare (culoarea albastră) este mult mai mare decât cea corespunzătoare luminii roşii. Cerul are culoarea albastră din acest motiv.

• Domeniul de frecvenţă a undelor electromagnetice.

2 40

3012

pPv

ωπε

=

Documents

Electricitate Si Magnetism curs