ELABORAZIONE NUMERICA DEI SEGNALI

AA. 2009-2010

conversione A/D Francesca Gasparini

ELABORAZIONE NUMERICA DEI SEGNALI

AA. 2009-2010

conversione A/D Francesca Gasparini

http://www.ivl.disco.unimib.it/Teaching.html

conversione A/Dconversione A/D

• Campionamento: genera a partire da un segnale analogico un segnale a tempo discreto. I segnali a tempo discreto possono essere riconvertiti in segnali analogici attraverso un’operazione detta interpolazione.

• Quantizzazione: i segnali a tempo discreto sono convertiti in segnali a tempo e a valore discreto. Ciascuno di questi valori appartiene ad un set limitato di possibili valori. Segnale digitale.

• Codifica: ciascun valore quantizzato è espresso attraverso ad una sequenza binaria di b-bit.

conversione A/D D/Aconversione A/D D/A

L’operazione che permette di ricostruire il segnale analogico x(t) a partire dalla sequenza x(nTc) è detta ricostruzione.

La ricostruzione fedele è possibile solo se:• non c’è quantizzazione• il campionamento è avvenuto nel rispetto del teorema di Shannon.

Nei convertitori digitale/analogico i punti del segnale digitale vengono interpolati per generare il segnale analogico ricostruito. L’accuratezza della ricostruzione dipende dalla qualità del processo di conversione A/D.

conversione A/D D/Aconversione A/D D/A

Quindi per effetto dell’errore di quantizzazione (anche se il campionamento è ideale), collegando in cascata un A/D e un D/A risulterà in generale:

xr(t)x(t)

La conversione D/A può invertire solo l’operazione di campionamento: interpolazione.

La quantizzazione è irreversibile e pertanto non può essere invertita.

Ricostruzione del segnale:Campionamento ideale

Ricostruzione del segnale:Campionamento ideale

Campionamento idealeCampionamento ideale

II campionamento ideale si formalizza attraverso l’impiego della funzione impulso: l’estrazione di una sequenza di campioni equivale alla moltiplicazione del segnale analogico per un treno d(t) di funzioni impulso (t).

Fc=1/Tc

tdtxnx a

cnTttd

ca nTttxnx

ccaca nTtnTxnTttxnx

Un segnale campionato x(n) è descritto come combinazione lineare pesata di impulsi (treno di impulsi d(t)) posizionati negli istanti temporali nTc. I pesi della combinazione lineare sono dati dai valori assunti dalla funzione analogica xa(t) nei punti campionati nTc.

Campionamento idealeCampionamento ideale

Lo spettro del segnale campionato è la somma di infinite repliche dello spettro del segnale analogico traslate di multipli interi di fc.

Se il segnale X(f) è a banda limitata -B<|X(f)|< B e fc>= 2B, il segnale è ricostruibile. B è la frequenza massima, 2B è la frequenza di Nyquist.

Campionamento ideale: SpettroCampionamento ideale: Spettro

il segnale è ricostruibile: significa che è possibile interpolare il segnale campionato per otttenere il segnale originale.

Campionamento ideale:Campionamento ideale: Conversione D/A

Interpolare un segnale a tempo discreto significa ricostruire l’andamento del segnale tra due campioni consecutivi spaziati di Tc

(periodo o passo di campionamento)

Interpolatore ideale restituisce un segnale continuo che passa dai campioni di x[n]. Un simile interpolatore risulta però impossibile da realizzare fisicamente.

Le interpolazioni più comuni (approssimate) sono le interpolazioni polinomiali a tratti:

•Polinomio di ordine zero (mantenitore)•Lineare•Polinomi di ordine superiore•Spline (cubica)

-fc/2 fc/2

H(f)

Interpolatore idealeInterpolatore ideale

Dal teorema del campionamento abbiamo allora quale funzione nel dominio spazio (tempo) è l’interpolatore ideale.

se il teorema del campionamento è soddisfatto basta isolare una replica, (in particolare quella centrata sullo zero), per ricostruire il segnale. si fa moltiplicando l’intero spettro per una funzione finestra.

ricostruzione segnalericostruzione segnalePer teorema della convoluzione: Ad una moltiplicazione nel dominio delle frequenze corrisponde una convoluzione nel dominio diretto.

La trasformata di una finestra è un sinc.

T

t

TtTt

tf

tf

tgc

c

sinc

sin

22

22sin

0

2

1

21

Tf

ff

fHc

-fc/2 fc/2

H(f)

ricostruzione del segnale

La ricostruzione avviene allora attraverso la convoluzione: nTtgnTxtx

na

Un simile filtro risulta però impossibile da realizzare fisicamente.Coinvolge infinite repliche della funzione g traslata e pesata dai campioni della sequenza.Servono infatti infiniti campioni prima e dopo l’istante in cui si vuole interpolare. Ha quindi validità puramente teorica.

:

MantenitoreMantenitore

TktkTkTxtxr 1

Un semplice interpolatore è il mantenitore di ordine zero o approssimazione staircase. Il valore del segnale si mantiene costante fino al campione successivo

Questa approssimazione del segnale analogico produce un effetto “scalettatura” che può essere mitigato smussando il segnale (filtraggio passabasso).

MantenitoreMantenitore

Interpolatore lineareInterpolatore lineare

Migliora l’interpolazione rispetti al mantenitore perchè ricostruisce un andamento lineare tra due campioni consecutivi.

Richiede la conoscenza di duecampioni consecutivi delsegnale e quindi introduceun ritardo di elaborazione.

Ricostruzione del segnale:Campionamento reale

Ricostruzione del segnale:Campionamento reale

Due effetti contribuiscono alla distorsione del segnale ricostruibile:

1. Raramente il segnale ha banda limitata abbiamo quindi sempre a che fare con l’aliasing o ripiegamento dello spettro

campionamento realecampionamento realecampionamento realecampionamento reale

2. Tempo di campionamento non è istantaneo : il campionamento ideale si formalizza attraverso l’impiego della funzione impulso.

Nella realtà può essere approssimato da funzioni tipo gradino di durata inferiore rispetto al passo di campionamento T.

1. osservazioni sul teorema del campionamento1. osservazioni sul teorema del campionamento

il Teorema del campionamento è applicabile solo quando lo spettro del segnale ha banda limitata (ha supporto compatto) -succede raramente-.

se un segnale ha spettro con supporto illimitato non è possibile trovare la frequenza di campionamento che soddisfi il teorema di campionamento.

è possibile pensare di limitare la banda con un filtraggio passabasso: FILTRO ANTIALIASING.

Segnale campionato con aliasingSegnale campionato con aliasing

Ricostruzione segnale con aliasingRicostruzione segnale con aliasing

Filtro antialiasingFiltro antialiasing

Sinusoide a 1 Hz affetta da rumore a 60 Hz , con fc=28 Hz

Il filtro di antialiasing limita la banda del segnale in modo da ridurre la distorsione spettrale.

Limitando la banda dello spettro, lo spettro stesso si modifica ed il segnale ricostruito non può corrispondere al segnale originale.

1. FILTRO ANTIALIASING

-B B

H(f)Il filtro antialias ideale è una finestra nel dominio delle frequenze con larghezza tale da eliminare i contributi di frequenza fuori da un intervallo finito [-B B].

il fatto che il filtro passa basso non sia ideale implica che una porzione di segnale rimanga sempre oltre B (fc/2) e cioè che i contributi delle repliche per k0 nella banda del segnale utile non siano del tutto nulli.

1 FILTRO ANTIALIASING

1 FILTRO ANTIALIASING: distorsione introdotta1 FILTRO ANTIALIASING: distorsione introdotta

2

0

22

2

22

cc

c

ff

f

dffXdffXS

2

2

2

22

22

cc

c

ff

f

dffXdffXdffXD

Energia del segnale nella banda utile

Energia della distorsione

SNR = (Potenza del segnale/Potenza della distorsione)=Esegnale/Edistorsione=S/D

SNR dB=10 log10(S/D)

Quantifichiamo la distorsione introdotta dall’aliasing:

La delta di Dirac del campionatore ideale è sostituita da funzioni tipo gradino di durata td inferiore rispetto al passo di campionamento Tc

Il segnale campionato è allora il prodotto del segnale analogico per una sequenza di funzioni rettangolo.

2. tempo di campionamento Nella realtà un circuito campionatore è costituito da un interruttore che si apre e si chiude con cadenza regolare T, estraendo un campione x(n) ogni volta che si chiude. Il tempo di chiusura è non nullo e pari a .

Per il teorema della convoluzione, il prodotto nel dominio del tempo corrisponde ad una convoluzione degli spettri.

Il campionamento di un segnale mediante un impulso di durata non nulla può essere allora trattato nel dominio delle frequenze come lo spettro del campionamento ideale del segnale filtrato dallo spettro dell’impulso di campionamento, (P(f)=sinc(f)).

2. tempo di campionamento

*

Contrariamente al caso del campionamento ideale, lo spettro X (f) non é periodico. Ciononostante, rispettando il teorema del campionamento, é possibile ricostruire il segnale x(t).

Il campionamento reale produce effetti reversibili sul segnale campionato: è possibile ricostruire perfettamente il segnale di partenza attraverso un filtraggio ideale analogo a quello impiegato nel caso di campionamento ideale, moltiplicato per un’opportuna costante che tiene conto dell’attenuazione subita.

2. tempo di campionamento

campionamento con Sample and Holdcampionamento con Sample and Hold

I dispositivi elettronici che elaborano il segnale campionato esigono spesso che i campioni in ingresso vengano mantenuti costanti: operazione di campionamento e mantenimento (Sample and Hold SH)

equivale ad una cascata di campionamento ideale e di un sistema che mantiene costante il valore: sistema con risposta all’impulso pari ad un rettangolo.

x(t)

d(t)treno di delta

x(nTc)1

Tct

xSH(t)

campionamento con Sample and Hold

Il segnale è distorto in frequenza dallo spettro del sistema di mantenimento.(Convoluzione con un sinc)

Il segnale non è ricostruibile semplicemente con un filtraggio passa basso ideale. E’ necessario utilizzare un filtro opportuno per compensare la distorsione.

campionamento con Sample and Hold

L’operazione che permette di ricostruire il segnale a partire dalla sequenza x(nTc) avviene attraverso l’interpolazione. (Caso più semplice mantenitore di ordine zero)

La ricostruzione fedele può avvenire solo se il segnale è campionato rispettando il teorema del campionamento.

1.campionamento ideale di segnale a banda limitata La ricostruzione avviene in condizioni di campionamento ideale

moltiplicando lo spettro per un rettangolo (filtraggio ideale) che ne evidenzi una sola replica. Equivale a filtrare nel dominio del tempo per una funzione sinc. (interpolatore ideale: sinc)

2.campionamento reale o sample and hold:La ricostruzione in caso di campionamento reale, avviene filtrando con un opportuno filtro che annulli la distorsione introdotta.

ricostruzione del segnalericostruzione del segnale

QUANTIZZAZIONEQUANTIZZAZIONE

la quantizzazione è l’operazione tramite la quale un campione reale che necessita ipoteticamente di un numero infinito di bit per essere rappresentato, è espresso su un numero finito di bit: RISOLUZIONE

E’ un processo di discretizzazione di ampiezza. L’uscita del quantizzatore è una versione compressa dell’input, con perdita di informazione. Operazione irreversibile

Curva non lineare (a gradini) caratteristica di un quantizzatore

Per tutti i valori di input che appartengono ad uno degli intervalli su cui sono definiti i gradini, l’output assume il valore del gradino corrispondente (discretizzazione dell’input).

QUANTIZZAZIONEQUANTIZZAZIONE

QUANTIZZAZIONE UNIFORMEQUANTIZZAZIONE UNIFORME

La dinamica [-V V] che contiene il segnale viene suddivisa uniformemente in un numero di sottointervalli L=2n.n è la risoluzione. Ogni intervallo ha ampiezza =2V/L ( passo di quantizzazione).

Il quantizzatore è uniforme se tutti i livelli sono ugualmente distribuiti rispetto all’asse delle ascisse (valori di input).

Il processo di quantizzazione consiste nell’associare a ciascun campione x(m) il numero binario su n bit xq(m), corrispondente al livello quantizzato dell’intervallo in cui cade x(m) secondo quanto indicato dalla relazione ingresso uscita del tipo in figura.

campionamento

quantizzazione

SATURAZIONESATURAZIONEUn quantizzatore è caratterizzato da una dinamica di ingresso: massimo range di valori ammissibili ad es. [–V V].

Se il segnale di ingresso supera questi valori estremi, il segnale viene modificato attraverso un’operazione di saturazione, o saturazione con azzeramento prima dell’operazione di quantizzazione

V

-V-V

V

V

-V-V V

saturazione saturazione con azzeramento

Il range dinamico di un segnale è definito come la sua escursione massima D=[Valmax-Valmin].Il segnale è campionato e poi quantizzato su L livelli il passo di quantizzazione =D/L

Il range dinamico (in dB) di un quantizzatore dipende dalla sua risoluzione e quindi da quanti livelli L ammette, ed è definito come:

se la risoluzione è di 16 bit, L=216, il range dinamico è

L10log20

dB962log20 1610

RANGE DINAMICO DI UN QUANTIZZATORE

ERRORE di QUANTIZZAZIONEERRORE di QUANTIZZAZIONE

si definisce errore di quantizzazione (o rumore di quantizzazione) la differenza fra il valore quantizzato ed il valore reale del campione

nxnxn qq

ERRORE di QUANTIZZAZIONEERRORE di QUANTIZZAZIONE

nxnxn qq

supponiamo di volere approssimare una funzione a valori reali tra 01 con una sola cifra decimale. es funzione x(t)=0.9t

n x(n) xq(n)

troncato

xq(n)

approssimato

0 1 1.0 1.0

1 0.9 0.9 0.9

2 0.81 0.8 0.8

3 0.729 0.7 0.7

4 0.6561 0.6 0.7

5 0.59049 0.5 0.6

6 0.531441 0.5 0.5

7 0.482969 0.4 0.5

8 0.43046721 0.4 0.4

9 0.387420489 0.3 0.4

ERRORE di QUANTIZZAZIONEERRORE di QUANTIZZAZIONE

/2

approssimato troncato

2

maxmax

nxnxqq nxnxqq maxmax

Il processo di quantizzazione è irreversibile. Tuttavia un numero sufficientemente elevato di campioni permette di ridurre l’errore.

la qualità del segnale quantizzato si esprime come rapporto della potenza media PS del segnale a tempo discreto x(n) e la potenza dell’errore di quantizzazione PN.

N

SQ P

PSNR 10log10

1

0

21 N

nqN n

NP

1

0

21 N

nS nx

NP

ERRORE di QUANTIZZAZIONEERRORE di QUANTIZZAZIONE

ERRORE di QUANTIZZAZIONEERRORE di QUANTIZZAZIONE

/2

approssimato

2

maxmax

nxnxqq

per segnali con ampiezza nella dinamica del quantizzatore, l’errore di quantizzazione è una variabile casuale che ha una distribuzione uniforme tra -/2 e /2 con valor medio nullo

-/2-/2 /2

1/

f() densità di probabilità

rumore di quantizzazionerumore di quantizzazione

-/2-/2 /2

1/

f() densità di probabilità

potenza del rumore di quantizzazione = varianza della variabie casuale

123

11 22/

2/

32/

2/

2

2/

2/

22/

2/

22

d

dfdfPN

SNRqSNRqDato un segnale sinusoidale analogico

Definire un quantizzatore a b bit ottimo per quel segnale, e calcolare il SNRq.

Cosa vuol dire ottimo? Significa che la dinamica del quantizzatore e quella del segnale sono uguali. Cioè il segnale sfrutta bene la dinamica del quantizzatore.

tAtxa 0cos

N

SQ P

PSNR 10log10

Range dinamico del segnale sinusoidale D=2*A

Se quantizzatore ha b bit – il numero di livelli del quantizzatore è: L=2b; – il passo di quantizzazione è =D/L=2A/2b

Fissato è fissato PN

Calcoliamo allora PS

SNRqSNRq

bN

AP

2

222

2

3

12

2

cos11 2

0

2

0

0

2 AdttA

Tdttx

TP

TT

aS

SNRqSNRq

bbb 02.676.12log10276.12log102

3log10 10

21010

bSNRQ 02.676.1

si può dimostrare che per un segnale qualsiasi con distribuzione gaussiana che si distribuisce sull’intero range dinamico del quantizzatore vale:

bSNRQ 02.625.1

2

32log10

23

2log10log10 2

10

2

2

2

1010b

bN

SQ A

A

P

PSNR

bSNRQ 02.676.1

ad ogni bit aggiunto il rapporto segnale rumore cresce di circa 6dB.

SNRqSNRq

esercizio: dato un quantizzatore a 16 bit ed un segnale con dinamica che occupa l’intero range del quantizzatore qual è il suo SNRQ

dBSNRQ 961602.676.1

• La quantizzazione provoca una perdita irreversibile di informazione, quindi il segnale di uscita manifesta una distorsione o errore di quantizzazione.

• E’ importante stabilire in quali condizioni la distorsione introdotta è minima.

• Maggiore è la risoluzione, numero di bit, più il segnale si avvicina al segnale originale, minore è la perdita di informazione

• Progetto ottimo del quantizzatore: consiste nella scelta del numero di livelli e nella determinazione dei rispettivi valori, che rendano minima la distorsione: cioè equivale a trovare la curva caratteristica ottima.

QUANTIZZAZIONEQUANTIZZAZIONE

campionamento e quantizzazione sono due operazioni fra loro indipendenti

in realtà campionare un segnale con una frequenza di campionamento superiore al limite imposto dal teorema del campionamento comporta un rapporto SNRQ|dB migliore.

oppure, sovracampionando di un fattore N con frequenza di campionamento f’c=Nfc si può ottenere pari SNRQ|dB

riducendo però la risoluzione cioè il numero di bit del segnale.

QUANTIZZAZIONE e SOVRACAMPIONAMENTOQUANTIZZAZIONE e SOVRACAMPIONAMENTO