Elaborazione dei segnali mediante Elaborazione dei segnali mediante circuiti analogici o digitali.circuiti analogici o digitali.

Simboli logici e tabelle della verita` delle Simboli logici e tabelle della verita` delle porte logiche elementari.porte logiche elementari.

Porta NOR realizzata con interruttori ideali.Porta NOR realizzata con interruttori ideali.

Porta NAND realizzata con interruttori ideali.Porta NAND realizzata con interruttori ideali.

Circuiti integrati Circuiti integrati

Le porte logiche che abbiamo analizzato precedentemente sono contenute all’interno di circuiti integrati come quelli in figura

ProprietàProprietà• Per gli operatori AND e OR valgono le seguenti

proprietà:

• Per l’operatore NOT si provano le seguenti identità:

commutativacommutativa x1+x2 = x2+x1 x1 x2 = x2 x1

associativaassociativa x1+x2+x3 = x1+(x2+x3) x1 x2 x3 = x1(x2 x3)

distributiva deldistributiva del prodotto rispetto alla sommaprodotto rispetto alla somma x1 x2 + x1 x3 =

x1(x2+x3)

x + x = 1x x = 0

x = x

Teorema di De MorganTeorema di De MorganPer negare una funzione occorre negare ogni singola variabile e scambiare la OR con la AND e viceversa:

(x · y) = x + y(x+y) = x · y

Forma canonicaForma canonicaÈ possibile esprimere una funzione booleana tramite espressione analitica oppure tramite la tabella di verità.

Le funzioni booleane possono essere scritte in vari modi ma vi sono delle espressioni che vengono considerate standard.

Per far ciò definiamo i mintermini e i maxtermini

MinterminiMinterminiConsiderando una riga della tabella di verità sidefinisce mintermine il prodotto delle variabilibooleane relative a tal riga prese in forma diretta

ocomplementata a seconda se assumono valore 1 o

0.

MaxterminiMaxterminiSi definisca maxtermine la somma delle variabilibooleane prese in forma diretta o negata a

seconda seassumono valore 0 o 1.Con n variabili abbiamo mintermini e

maxtermini

1° Forma Canonica1° Forma CanonicaUna funzione logica è esprimibile come somma dei minterm che danno uscita 1.

2° Forma Canonica2° Forma CanonicaUna funzione logica è esprimibile come prodotto dei maxterm che danno uscita 0.

EsempioEsempioDate tre variabili booleane (A,B,C), si scriva la funzione Y che vale 1 quando solo due di esse hanno valore 1

Y = ABC + ABC + ABC = (A+B+C)·(A+B+C)·(A+B+C)·(A+B+C)·(A+B+C)

A B C Y0 0 0 00 0 1 00 1 0 00 1 1 11 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 0

Mappa di KarnaughMappa di Karnaugh

StoriaLa mappa di Karnaugh è stata inventata nel 1953 da Maurice

Karnaugh, un ingegnere in Telecomunicazioni presso i Bell Laboratories

UtilizzoUna mappa di Karnaugh riguarda una funzione booleana di un

numero poco elevato di variabili e si costruisce a partire dalla tabella della verità di tale funzione.

Il metodo delle mappe di Karnaugh ha il vantaggio di essere un procedimento grafico piuttosto intuitivo e quindi di permettere semplificazioni della funzione booleana spesso più immediate di quelle ottenibili solo con modifiche algebriche.

Mappa di KarnaughMappa di KarnaughMetodo di semplificazione• Raggruppare gli 1 adiacenti in blocchi di 2n (2,

4, 8, 16)• Formare i gruppi più grandi possibile e nel

minor numero possibile• Ogni gruppo corrisponde a un fattore in cui

sono presenti le variabili che non cambiano nel passaggio da una casella all’altra

• Le variabili vanno scritte dirette se valgono 1 e negate se valgono 0

• La funzione semplificata è la somma dei termini corrispondenti ai gruppi formati sulla mappa

Consideriamo la funzione:

f (A, B, C, D)

Essendoci 16 combinazioni delle 4 varibili booleane, anche la mappa di Karnaugh dovrà avere 16 posizioni. Il modo più conveniente per disporle è in una tabella 4x4.

Mappa di KarnaughMappa di KarnaughEsempioEsempio