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EL MUNDO ESPIRAL
Eva Abril Martínez Veselina Kenalieva Clara Pérez Gálvez
Marta Pinazo Latorre 1º Bachillerato
Coordina: Soledad Brun Brun
INTRODUCCIÓN
Desde los tiempos más remotos, ninguna curva ha fascinado tanto al ser
humano como la espiral. No existe ninguna cultura que no la haya utilizado
como elemento simbólico, mágico, artístico o simplemente ornamental.
Las espirales han acompañado a la humanidad en todo tiempo y lugar. Donde
menos lo sospechamos, nos sorprende su presencia. Por tanto, no podían
pasar desapercibidas a los matemáticos que ya las hicieron objeto de su
investigación varios siglos antes de Cristo.
Sin embargo, su estudio no se incluye en los programas de matemáticas de
Secundaria. Por ello, este trabajo es fruto de una actividad complementaria
realizada en el primer trimestre del curso por cuatro alumnas de 1º de
Bachillerato.
¿QUÉ ES UNA ESPIRAL?
Una espiral es una curva abierta que surge a partir de un punto que gira y al
mismo tiempo se aleja del origen, combinando los movimientos de rotación y
dilatación.
Según el sentido del giro pueden ser dextrógiras (a la derecha) o levógiras
(hacia la izquierda). En las volutas de los capiteles Jónicos y en las piñas o en
los girasoles podemos observar los dos tipos.
¿DÓNDE SE ENCUENTRAN?
No es difícil dar con ellas, están por todas partes:
• NOS DAN LA HORA:
• JUGAMOS Y NOS DIVERTIMOS CON ELLAS: un matasuegras, el
campo de juego de la oca, un tobogán del parque acuático,...
• NOS ADORNAN: pendientes, anillos, dibujos en camisetas,....
• DECORAN NUESTRAS CASAS: diversos objetos en forma de espiral,...
...Y NUESTRAS CALLES: paseando por nuestros pueblos las hemos visto en
farolas, verjas, bancos, jardines, fachadas,...
• NOS LAS COMEMOS: pulpo, regaliz, ensaimadas, pastas,…
• NOS RESUELVEN PROBLEMAS DE ESPACIO: Muchos objetos
rectilíneos flexibles se recogen en espiral para que ocupen el menor
espacio posible: un metro de modista, embutidos, mangueras, cuerdas,
cables, papel,...
• LAS ENCONTRAMOS EN LA ARQUITECTURA: tanto civil como
religiosa (el minarete de la Gran mezquita de Samarra, construida en el
año 847, presenta una original forma helicoidal sobre basamento
cuadrado, de modo que la rampa de acceso a su parte superior da cinco
vueltas en sentido antihorario )
... Y EN EL ARTE: tanto antiguo (capiteles Jónicos) como moderno (artistas
como Dalí, Matisse y sobre todo SCHER, utilizaron la espiral como estructura
básica de creación artística)
• LAS ESPIRALES ESTÁN PRESENTES.........
EN LA FLORA: girasoles, margaritas, piñas, pétalos de las rosas, tallos,
etc.
EN LA FAUNA: conchas de muchos moluscos, fósiles, cola del caballito
de mar o el camaleón que enrolla su lengua y su cola en espiral.
EN LOS FENÓMENOS ATMOSFÉRICOS (como las borrascas o los
tornados)
Y EN EL UNIVERSO: las galaxias.
CLASIFICACIÓN
Atendiendo a sus características se distinguen varios tipos de espirales:
• ESPIRAL PARABÓLICA
Fermat habló de ella por 1ª vez en 1636.
Es la curva que describen los bailarines que, en fila india y siguiendo a uno de
ellos que lleva la mano alzada, dan vueltas hacia dentro para después hacer el
camino de salida. Se observa en algunas danzas rituales.
• HIPERBÓLICA
Varignon en 1704 y Bernouilli en 1710 se interesaron por ella.
Es una curva simétrica que en ciertas condiciones resulta ser la sombra de la
hélice.
• CLOTOIDE
Fue citada por Euler en 1774.
También es llamada “curva del acuerdo” porque permite conectar rectas y
curvas, por lo que es muy útil en la construcción de nudos de comunicación.
Pero las más conocidas y estudiadas son la espiral de Arquímedes y la espiral
Logarítmica.
• ESPIRAL DE ARQUIMEDES
Es conocida desde la Edad de Piedra. La podemos ver en grabados rupestres,
como los del Neolítico Sahariano (5000 años a.c.) de Tazzarine (Marruecos) y
en el templo del Sol en Newgrange (Irlanda).
La utilizaron como grafo decorativo o símbolo mítico las culturas maya, azteca,
inca,...
Fue, sin embargo, Arquímedes quien la estudió en profundidad en el siglo III
a.c., por lo que lleva su nombre.
Características:
• El radio varía de forma proporcional al ángulo girado.
• La anchura de sus espiras es constante.
Algunos ejemplos los encontramos en: Capiteles jónicos, ensaimada,
matasuegras, tejido de cestería, cerámica popular, rastra de embutido,
telarañas, serpiente enroscada, cintas de vídeo, enrollamiento de papel,
cuerda....
• ESPIRAL LOGARÍTMICA
Hacia 1528, Durero, consciente de la misteriosa belleza que encierran las
espirales, creó una que lleva su nombre. La dibujó con regla y compás a partir
de rectángulos áureos y constituye una muy buena aproximación a la espiral
logarítmica, aunque no lo sea en sentido estricto.
En 1638 apareció en un escrito de Descartes como espiral equiangular. Era la
trayectoria que seguía un cuerpo cuando caía por la superficie de una esfera
en movimiento y Descartes encontró su ecuación.
Posteriormente, Bernoulli la llamó logarítmica, pero, cuando estudió sus
propiedades le pareció maravillosa y la rebautizó como “Spira mirabilis”
Características:
• Matemáticamente, se puede expresar en coordenadas polares
mediante un logaritmo (de ahí su nombre).
• La diferencia entre las espiras aumenta mucho más rápido que la
rotación.
• En el aspecto visual es una espiral que se abre con gran rapidez. Los
ángulos crecen en progresión aritmética mientras que los radios, por
su parte, lo hacen en progresión geométrica.
La podemos encontrar en: El caracol del oído humano, las conchas de los
caracoles, fósiles de amonites, cola de los caballitos de mar, las margaritas, las
semillas del girasol, las borrascas, las galaxias, los pétalos de las rosas…
¿CÓMO SE CONSTRUYEN?
• LA ESPIRAL DE ARQUÍMEDES
a) Método manual: Podemos dibujar una espiral enrollando un trozo de hilo
en torno a un lápiz, sujetando el extremo libre a una chincheta en el
centro de una hoja de papel y luego dando vueltas con el lápiz con el
hilo tenso, dejando que se vaya soltando.
b) Método geométrico: A partir de una plantilla de círculos concéntricos,
dividimos dichos círculos en tantos sectores como el número de
círculos, tal como se muestra en el siguiente dibujo.
Uniendo los puntos de intersección de cada círculo con un sector angular
obtenemos la espiral de Arquímedes.
• LA ESPIRAL DE DURERO
Partiendo de un rectángulo áureo (el que cumple la proporción áurea entre
sus lados), se van construyendo otros áureos más pequeños, encajados
cada uno en el interior del que le precede. Se toma entonces un compás y
se traza el cuarto de círculo que une los vértices opuestos de cada uno de
los cuadrados que han ido quedando, tal como se ve en la figura.
CURIOSIDADES.
- Jacob Bernoulli, enamorado de la espira mirabilis, pidió que fuera grabada en su tumba. Pero el cantero que grabó la lápida dibujó una espiral de Arquímedes en vez de la Logarítmica.
- Arquímedes murió a manos de un soldado romano mientras dibujaba
una de sus espirales en el suelo. “No molestes a mis círculos”, le dijo antes de que lo atravesara con la espada.
- Arquímedes también inventó su famoso tornillo para sacar el agua de
los ríos. Sin embargo, hace 100 años a alguien se le ocurrió utilizarlo como atracción de feria; los pasajeros se montaban en unas barquillas en las que eran subidos hasta lo alto de una torre. Al tiempo que veían el tornillo espiral girar a su alrededor la barquilla iba avanzando lentamente en línea recta.
- Muchas especies de cefalópodos tienen conchas en forma de espiral.
El “Nautilus pompilius” habita a unos seiscientos metros de profundidad, así que necesita resistir una gran presión del agua, lo que consigue gracias a que su concha está formadas por varias cámaras que aumentan de tamaño siguiendo una espiral logarítmica conforme va creciendo el Nautilus.
- El número de espirales levógiras y dextrógiras que forman las semillas
de una piña o de un girasol coincide con dos números consecutivos de la sucesión de Fibonacci: por ejemplo 55 y 89 o 89 y 144.
- Las espiroquetas, bacterias causantes de enfermedades dentales,
adoptan la forma de una espiral de Arquímedes para encogerse cuando hay peligro, o sea, cuando llega el cepillo de dientes.
- En la rueda encargada de moler el grano en los molinos de nuestra zona, podemos observar también la presencia de una espiral marcando la trayectoria que debe seguir el grano.
BIBLIOGRAFÍA - BULT Brian y HOBBS David. Léxico de matemáticas. Ed. Akal. Madrid 2001 - CALLÍS, J. y FIOL, M.L. “La Xia de Gaia”. El mundo de las espirales. Revista UNO, nº 40. Ed. Graó. Barcelona, 2005 - CHAMOSO José y Rawson William, Contando la geometría, Ed. Nivola. Madrid 2004. - CLAPHAM Christopher. Diccionario de matemáticas, Ed. Oxford. Madrid, septiembre de 1998. - DE BURGOS Juan. Los relatos de Gudor Ben Jusá,; Edita: Fundación General U.P.U. Madrid, 1994 - GONZÁLEZ URBEJA. Pitágoras. El filósofo del número, Ed. Nivola. Madrid 2001 - RODRÍGUEZ VIDAL Rafael, Diversiones matemáticas, Ed. Reverté. Barcelona, 1983 - ARGÜELLES RODRÍGUEZ, J.A. Historia de la matemática, Ed. Akal, Madrid, 1989
En internet:
- http://thales.cica.es/recursos/rd99/ed99-0648-02/ed99-0648-02.html - http://formacion.pntic.mec.es/web_espiral/matematicas/arquimedes.htm - http://epsilones.com/paginas/a-bestiario.html.bestiario-espiral - http://cablenet.com.ni/curiosidades/datos_curiosos/circulos_sembrados.html
