TRANSFORMADA Z Información útil que todo matemático debe saber

Métodos y Teoremas Explicación de diversas formas de implementar la TZ para llegar a una solución

Comparaciones Para diferenciar la TZ con otros métodos conocidos

EDICION EXTRA INFORMATIVA

Índice

• Trasformada z ………………………………… Pag1 • Funciones elementales, Teoremas y

Propiedades de las transformada z…..Pag2 • Teorema de valor inicial…………………… Pag3 • Teorema de translación compleja, Teorema

de translación Real…………………………… Pag4 • Teorema de valor final……………………… Pag5 • Transformada Z inversa………………….. Pag6 • Método para obtener transformada Z Pag7 • Método para Fracciones Parciales……. Pag8 • Método computacional…………………….. Pag9,10 • Método de la integral de inversión….. Pag11 • Transformada Z unilateral……………….. Pag12 • Transformada Z bilateral………………….. Pag13 • Región de convergencia( ROC)……… Pag14 • Ejemplos……………………………………………. Pag15 • Propiedades ……………………………………… Pag16 • Relación con Fourier………………………….. Pag17 • Relación con Laplace.………………………… Pag18 • Aplicación en la vida real de la transformada

Z………………………………………………………… Pag19 • Función transferencia………………………. Pag20 • Ceros y Polos………………………………… Pag21,22 • Salida Del Sistema…………………………... Pag23

I

Transformada Z:

La transformada Z, al igual que otras

transformaciones integrales, puede ser

definida como una transformada

unilateral o bilateral, el papel de la

transformada z en los sistemas discretos

es similar al de la transformada de

Laplace en los sistemas continuos. La

transformada Z de una función en tiempo

continuo X(t), solo se toman los valores

muestreados de X(t), esto es X(0), X(T),

X(2T),……, donde T es el período de

muestreo. La Transformada Zeta (TZ) se

emplea en el estudio del Procesamiento

de señales Digitales, como son el análisis

y proyecto de Circuitos Digitales, los

Sistemas de Radar o Telecomunicaciones

y especialmente los Sistemas de Control

de Procesos por computadoras.

1

Teoremas y propiedades

de la transformada Z

El uso de la Transformada

Z puede facilitar las

propiedades y teoremas de

ésta, las cuales se basan y

se obtienen de la

definición. Se supone que

la función del tiempo x(t)

tiene transformada z y que

x(t) es cero (0) para t<0.

Funciones Elementales

La aplicación de la

transformada Z se demuestra

calculando la Transformada Z

de Funciones Elementales

tales como escalón unitario,

rampa unitaria, exponencial

Es importante resaltar la

aplicación de cada

propiedad con Ejemplos en particular el Teorema de

Corrimiento el cual

representa básicamente el desplazamiento de una señal y su respectiva transformada

Z.

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Teorema del valor inicial. Si x ( t ) tiene por transformada z, X( z ) , y si el existe, entonces el valor inicial x ( 0) de x ( t ) ó x ( k ) está dado por

El teorema del valor inicial es conveniente para verificar la incidencia de posibles errores en el cálculo de la transformada z. Debido a que x ( 0) se suele conocer, comprobar su valor mediante el límite ayuda a descubrir errores en la transformada z, si éstos se producen.

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Teorema de traslación compleja. Si x ( t ) tiene la transformada z, X( z ) , entonces la transformada z de

viene dada por

Teorema de traslación real. Siendo n un entero no negativo (positivo o cero), entonces

Y

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Teorema del valor final. Suponemos que x (kT) , siendo T el periodo de muestreo, tiene la transformada z, X ( z ) , con x (kT) = 0 para valores negativos de k, y que todos los polos de X(z ) están dentro del círculo unitario, con la posible excepción de un sólo polo en z = 1. Esta es la condición para la estabilidad de X ( z ) , es decir, la condición para que x(kT) (k = 0, 1, 2...) permanezca finita. Entonces el valor final de x (kT) , que es su valor conforme el tiempo tiende a infinito, puede obtenerse mediante

El teorema del valor final es muy útil para determinar el comportamiento de x(k ) a medida que k tiende a infinito, a partir de su transformada z, X ( z )

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Transformada Z inversa La notación de la transformada Z inversa es Z-1. la transformada z de inversa de X(z) da como resultado la correspondiente secuencia x(k) o x(t). A partir de la transformada z inversa de X(z) da como resultado una única x(k), pero no da una única x(t). La secuencia de tiempo x(kT) o x(k) es cero para k<0. La Transformada Z inversa se define

donde C es un círculo cerrado que envuelve el origen y la región de convergencia (ROC). El contorno, C, debe contener todos los polos x(z).

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La TZ con un rango finito de n y un número finito de z

separadas de forma uniforme puede ser procesada de forma eficiente con el

algoritmo de Bluestein. La transformada discreta de Fourier (DFT) es un caso especial de la TZ, y se

obtiene limitando z para que coincida con el círculo unidad.

Un caso especial y simple de esta integral circular es que cuando C es el círculo unidad (que también puede usarse cuando la ROC incluye el círculo unidad), obtenemos la transformada inversa de tiempo discreto de Fourier:

Métodos para Obtener la Transformada Z Inversa.

Método de la División Directa Se obtiene mediante la expansión de x (z) en

un serie infinita de potencia Z-1, este método es útil cuando es difícil obtener la expresión en forma cerrada para la transformada Z inversa o cuando desea encontrar sólo algunos de los 1ros términos de x(K).

Este método se utiliza cuando es difícil encontrar una expresión en forma cerrada de la transformada z inversa o si se desea encontrar sólo algunos de los primeros términos de x(k)

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Método de Fracciones Parciales Este método se aplica igual que el de Transformada de Laplace, es muy empleado en problemas rutinarios de transformadas z. El Método requiere que todos los términos de las expansiones parciales se puedan reconocer fácilmente en la tabla de pares de Transformada Z Para encontrar la transformada z inversa, si X(z) tiene uno o más ceros en el origen (z=0), entonces X(z)/z o x(z) se expande en la suma de términos sencillos de primer o segundo orden mediante expansión en fracciones parciales y se emplean una tabla de transformada z para encontrar x(t) en cada uno de los términos expandidos. Antes de estudiar el Método es indispensable realizar un repaso del Teorema de Corrimiento de la Transformada z, ya que esta es una herramienta indispensable al aplicar Fracciones Parciales.

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Método Computacional Se presentan 2 enfoques para determinar la transformada z: · Enfoque de MATLAB · Ecuación en Diferencias.

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Matlab. Se puede utilizar Matlab para determinar la transformada z inversa. A partir de una ecuación específica. Este software tiene una cantidad de funciones y órdenes muy útiles para resolver problemas de Ingeniería de Control tanto para sistemas continuos como para sistemas discretos. Una vez que se ha estudiado los aspectos teóricos se puede utilizar MATLAB ya que tiene como ventaja que produce soluciones numéricas que implican varios tipos de operaciones incluyendo vectores y matrices. Ecuación en Diferencias. Para determinar la transformada z inversa utilizando este enfoque se deben seguir los siguientes pasos: • Dada la función (Por ejemplo G(z)) donde su entrada es la función Delta Kronecker, se linealiza la función, relacionando la entrada con la salida. • A la función linealizada le aplicamos el Teorema de Corrimiento y obtenemos una ecuación en diferencias • En la ecuación en diferencias sustituimos para los valores de k que nos permitan encontrar los datos iniciales y(0) y y(1)

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Método de la Integral de Inversión Esta es una técnica útil para la obtención de la transformada z inversa. Está basada en la definición de la Integral de Inversión la cual da como resultado Residuos de la función X(z)zk-1, así se puede definir que : Z[x(t)] = x(k) = K1 + K2 + K3 + ........... Km Donde K1, K2, K3 ........... Km son los residuos de los polos de la función X(z)zk-1 Debe observarse que el método de la integral de inversión se evalúa por residuos, siempre y cuando la función X(z)zk-1 no tenga polos en el origen (z=0).

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Transformada Z unilateral Consideraremos la definición de la Transformada Z Unilateral, la cual al muestrear una señal discontinua x(t), se supone que la señal es continua por la derecha. De forma alternativa, en los casos en que x[n] está definida únicamente para n ≥ 0, la transformada Z unilateral se define como

La transformada z representa el proceso de muestreo de una

señal. Así como se puede

determinar la transformada Z de una

función continua también podemos determinar la

transformada de Z de una Función definida en Laplace, ya que esta

representa una función de tiempo continuo.

En el procesamiento de señales, se usa esta definición cuando la señal es causal. En este caso, la Transformada Z resulta una serie de Laurent, con ROC del tipo | z | > R ; es decir que converge "hacia afuera". Un ejemplo interesante de la TZ unilateral es la función de generación de probabilidades, donde x[n] es la probabilidad que toma una variable discreta aleatoria en el instante n, y la función X(z) suele escribirse como X(s), ya que s = z−1. Las propiedades de las transformadas Z son útiles en la teoría de la probabilidad

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Transformada Z bilateral La TZ bilateral de una señal definida en el dominio del tiempo discreto x[n] es una función X(z) que se define

Donde n es un entero y z es, en general, un número complejo de la forma z = Aejω Donde A es el módulo de z, y ω es la frecuencia angular en radianes por segundo (rad/s).

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Región de convergencia (ROC) Como se puede observar, la transformada z se puede expresar como una serie de potencias infinita y existe sólo para aquellos valores de z para los cuales converge la serie. De esta forma, se define la región de convergencia (ROC) de X(z) como el conjunto de todos los valores de z para los cuales X(z) adquiere valores finitos. Siempre que se calcule la transformada z de una secuencia, se debe también indicar su correspondiente ROC , esta define la región donde la transformada-z existe.

Propiedades de la Región de Convergencia: La región de convergencia tiene propiedades que dependen de la características de la señal, x[n].

1.La ROC no tiene que contener algún polo. Por definición un polo es donde x[z] es infinito. Ya que x[z] tiene que ser finita para todas las z para tener convergencia, no puede

existir ningún polo para ROC.

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2.Si x[n] es una secuencia de duración finita, entonces la ROC es todo el plano-z, excepto en |z|=0 o |z|=∞. 3.Si x[n] es una secuencia del lado derecho entonces la ROC se extiende hacia fuera en el ultimo polo desde x[z]. 4.Si x[n] es una secuencia del lado izquierdo, entonces la ROC se extiende hacia dentro desde el polo mas cercano en x[z]. 5.Si x[n] es una secuencia con dos lados, la ROC va ser un anillo en el plano-z que esta restringida en su interior y exterior por un polo.

Ejemplo 1 (Sin ROC)

Sea Expandiendo en obtenemos Siendo la suma No hay ningún valor de Z que satisfaga esta condición

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LINEALIDAD: La TZ de

una combinación lineal de

dos señales en el tiempo es

la combinación lineal de

sus transformadas en Z.

DESPLAZAMIENTO

TEMPORAL: Un

desplazamiento de k hacia la

derecha en el dominio del

tiempo es una multiplicación

por z−k en el dominio de Z.

CONVOLUCIÓN: La TZ

de la convolución de dos

señales en el tiempo es el

producto de ambas en el

dominio de Z.

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Relación con Fourier

La TZ es una

generalización de la

transformada de Fourier

de tiempo discreto

(DTFT). La DTFT puede

hallarse evaluando la TZ

X(z) en z=℮^jw o, lo que

es lo mismo, evaluada en

el círculo unidad. Para

determinar la respuesta

en frecuencia del sistema,

la TZ debe ser evaluada

en el círculo unidad.

¿SABIAS QUE?

Jean-Baptiste-Joseph

Fourier, fue

un matemático y físico francés

conocido por sus trabajos

sobre la descomposición de

funciones periódicas en series

trigonométricas convergentes

llamadas Series de Fourier,

método con el cual consiguió

resolver la ecuación del calor.

La transformada de

Fourier recibe su nombre en

su honor. Fue el primero en

dar una explicación científica

al efecto invernadero en un

tratado. Se le dedicó un

asteroide que lleva su

nombre y que fue descubierto

en1992.

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donde X(t) es la señal continua muestreada, X [n]= X(nT) la n-ésima muestra, T el período de muestreo, y con la sustitución : Z= e^sT

Del mismo modo, la TZ unliateral es simplemente la transformada de Laplace unilateral de la señal ideal muestreada. En ambas se asume que la señal muestreada vale cero para todos los índices negativos en el tiempo.

Relación con Laplace

La TZ bilateral es simplemente la

transformada de Laplace

bilateral de la señal muestreada

Para procesar imágenes digitales

Como las utilizadas en:

Televisores de Alta Definición HD

Cámaras Digitales

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20

Función de transferencia

Se calcula haciendo la TZ de la ecuación

y dividiendo

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Ceros y polos

Gracias al teorema fundamental del álgebra sabemos que

el numerador tiene M raíces (llamadas ceros) y el

denominador tiene N raíces (llamadas polos).

Factorizando la función de transferencia

Donde qk es el k-ésimo cero y pk es el k-ésimo polo.

Los ceros y polos son por lo general complejos, y por

tanto se pueden dibujar en el plano complejo.

En definitiva, los ceros son las soluciones de la ecuación

obtenida de igualar el numerador a cero, mientras que

los polos son las de la ecuación que se obtiene al igualar

a cero el denominador.

Se puede factorizar el

denominador mediante la

descomposición en fracciones

simples, las cuales pueden ser

transformadas de nuevo al dominio

del tiempo. Haciendo esto

obtenemos la respuesta al impulso

y la ecuación diferencial de

coeficientes lineales constantes del

sistema.

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Grafica Simple de Polos y Ceros

H(z)=z(z−1/2)(z+3/4)

Los ceros son: {0}

Los polos son: {1/2,−3/4}

Graficas de Polos y Ceros

Figura: Usando los ceros y polos de la funcion de

transferencia, un cero es graficado a el valor cero y los

dos polos se colocan en 1/2 y −3/4

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Salida del sistema

Si por un sistema H(z) pasa una señal X(z) entonces la

salida será Y(z) =H(Z) X(z) . Haciendo una

descomposición en fracciones simples de Y(z) y la TZ

inversa de cada una de ellas puede encontrarse

entonces la salida Y(n)

Región de convergencia de la transformada z.

Como se puede observar, la transformada z se puede

expresar como una serie de

potencias infinita y existe sólo para aquellos valores de z

para los cuales converge la

serie. De esta forma, se define la región de

convergencia (ROC) de X(z) como el

conjunto de todos los valores de z

para los cuales X(z) adquiere valores

finitos.

Siempre que se calcule la

transformada z de una secuencia, se

debe también indicar

su correspondiente ROC. En el

ejemplo 1, X(z) toma valores finitos

para todo z

excepto para el punto z=0, y por

tanto la ROC se define como C-{0}

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