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EL HOMBRE DE VITRUVIO Fernando Güemes itzikareaga @ euskalnet.net RESOLUCION DE LA CUADRATURA DEL CIRCULO

EL HOMBRE DE VITRUVIO - api.ning.comapi.ning.com/.../HOMBREDEVITRUBIO.pdf · EL HOMBRE DE VITRUVIO Marco Vitruvio Polión ( en latín Marcus Vitruvius Pollio ) fue un arquitecto,

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  • EL HOMBRE DE VITRUVIO

    Fernando Gemes

    itzikareaga @ euskalnet.net

    RESOLUCION DE LA

    CUADRATURA DEL

    CIRCULO

  • EL HOMBRE DE VITRUVIO

  • EL HOMBRE DE VITRUVIO

    Marco Vitruvio Polin ( en latn Marcus Vitruvius Pollio )

    fue un arquitecto, escritor e ingeniero romano del siglo I

    antes de Cristo.

    Fue arquitecto de Julio Cesar durante su juventud. Es el

    autor del tratado sobre arquitectura, en diez libros, ms

    antiguo que se conserva. La obra trata sobre rdenes,

    materiales, tcnicas decorativas, tipos de edificios,

    colores, y mecnica.

    De Architectura se public en la mayor parte de los

    pases y todava hoy constituye una fuente documental

    por las informaciones que aporta sobre la pintura y la

    escultura griegas y romanas.

    El famoso dibujo de Leonardo da Vinci, sobre las

    proporciones del hombre, conocido como el Hombre de

    Vitruvio, esta basado en las indicaciones que sobre el

    canon de belleza Vitruvio desarrolla en este tratado.

    Aunque toda la fama se le atribuye a Leonardo, dada su

    genialidad, no hay que olvidar que este se baso en el

    canon de Vitruvio, para esbozar este genial dibujo.

    Algunos adems, le atribuyen propiedades geomtricas

    entre las que se incluye la cuadratura del circulo.

  • Como engaa la vista!, el hombre de Vitruvio, a la izquierda, parece estar dibujado en un rectngulo y el de Leonardo, no deja lugar a dudas, este si est inscrito dentro de un cuadrado, la realidad es

    que ambos, estn incorporados dentro de un cuadrado, como veremos en la imagen siguiente.

  • Si pasamos a la misma escala los dos dibujos y copiamos el cuadrado del de Vitruvio y lo pegamos

    sobre el de Leonardo, vemos que coinciden exactamente, si observamos la figura, los pies que en

    el primer dibujo los deja fuera del cuadrado, Leonardo simplemente los recoge, pero la altura del

    hombre, es la misma en los dos dibujos, ya que los talones estn tocando el suelo en ambos.

  • Giacomo Andrea

    da Ferrara

    (1490 )

    Hay dibujos similares, al de

    Leonardo, este de su amigo

    Giacomo, es de 1490.

  • La primera vez que se contempla el Hombre de Vitruvio desnudo, completamente desnudo, pero no

    fsicamente, sino geomtricamente, uno se pregunta con que premisas dibujo Leonardo el famoso

    cuadro. Se empiezan a realizar trazados geomtricos, verificaciones matemticas, y de una forma u

    otra siempre fallan. O bien las proporciones que vemos no se asemejan a las del dibujo original, o

    no cuadran los nmeros, o ambas cosas a la vez. Pero tanto ir el cntaro a la fuente al fin se

    rompe, y a partir de este momento vemos de que forma tan sencilla realiz Leonardo el trazado, lo

    de sencilla es un decir, para llegar al resultado hay que pensar en muchas posibilidades, dar con el

    resultado, es a base de muchas paciencia, muchos nmeros, hasta que en una resta, por ejemplo,

    damos con la clave. A partir de este momento pensamos que Leonardo era un genio, o vio este

    resultado en alguna parte, o no encontr esta solucin. Eso si es un enigma.

    Los nmeros estaban ah incluso antes de haberse realizado el dibujo, desde el principio de los

    tiempos, eternamente, incluso si no damos con la solucin, ellos estn. Cuando realizamos las

    verificaciones numricas pertinentes, aparecen unas coincidencias que son las que confirman que

    el dibujo parece estar resuelto, no son nada misteriosas, son el resultado de aplicar la geometra

    correctamente.

    Sin ms prembulos vamos a realizar varios trazados que resuelven el problema, el anlisis de los

    mismos se realiza, bien por el teorema de Pitgoras, la comprobacin de ngulos, o la resolucin

    de tringulos partiendo de sus razones trigonomtricas. Algunos se preguntaran de donde salen

    estos datos, en realidad, he preparado un pequeo programa informtico que resuelve estas

    cuestiones, por lo que la verificacin se hace fcilmente.

    Ms adelante trataremos el problema de la cuadratura del crculo, que algunos afirman que est

    implcita en el dibujo. Yo ni afirmo ni niego, sern las resoluciones geomtricas las que aporten luz

    sobre tema. He visto varias algunas soluciones, todas aproximadas, por tanto incorrectas, que se

    basan en Vitruvio, no s si ser capaz de dar con la buena, si es que Leonardo dio con ella.

  • Y yo cuadro el crculo, excepto un porcin

    tan minscula como el intelecto sea capaz

    de imaginar, es decir, como el punto visible

    Evidentemente esto no da lugar a dudas,

    Leonardo hall la cuadratura del crculo de

    una forma muy aproximada, como cita en

    uno de sus escritos.

    Por otra parte, no sabemos que Pi utiliz, ni

    con cuantos decimales trabajaba, pero an

    hay ms, creo que hizo trampa y solucion

    la cuadratura del crculo a la inversa, esto

    es, a partir del cuadrado y no del crculo.

    He llegado a esta conclusin, porque he

    dado con una solucin que cumple con

    estos requisitos, y porque Leonardo no la

    incluye en su dibujo, solo nos presenta el

    resultado, no la solucin.

    Primero voy a deducir esta solucin y luego

    pasar a demostrar la ma, la que considero

    es la exacta, partiendo de la circunferencia.

    A - B 0,200000000000

    A - C 0,200000000000

    A - F 0,282842712475

    A - G 0,282842712475

    G - H 0,400000000000

    H - F 0,400000000000

    G - F 0,565685424949

    A

    C

    D E

    F

    B G H

    J

  • Como hemos visto, Leonardo

    pudo solucionar el dibujo del

    Hombre de Vitruvio a travs

    del trazado grfico anterior.

    Hay otra solucin probable, la

    del grfico siguiente, que

    parte del hexgono inscrito,

    esta, a primera vista, tambin

    es vlida, pero al verificarla,

    se ve que tampoco es

    correcta, pero que a la vista

    parece exacta.

    Dio el pintor con la solucin?

    o es fruto de mi imaginacin,

    eso no lo sabremos nunca, lo

    que est claro, es que cita la

    aproximacin, pero an as

    es una solucin genial para la

    poca, ya que es casi exacta.

    Por tanto vamos a resolver el

    trazado y verificarlo, como es

    obligatorio.

  • A - B 0,200000000000

    A - C 0,200000000000

    A - F 0,282842712475

    A - G 0,282842712475

    F - G 0,565685424949

    K - L 0,565685424949

    C - B 0,400000000000

    C - K 0,082842712475

    B - L 0,082842712475

    K - B 0,482842712475

    K - M 0,241421356237

    A - M 0,041421356237

    K - N 0,400000000000

    N - L 0,400000000000

    N - A 0,282842712475

    A - L 0,282842712475

    A

    El punto M es el centro del

    segmento K -L, es la clave

    para la solucin.

    B

    C

    D E

    G H

    F J

    K

    L

    M

    N

  • K - M 0,241421356237

    M - B 0,241421356237

    K - B 0,482842712475

    A - M 0,041421356237

    M - R 0,241421356237

    P - R 0,200000000000

    M - P 0,135219344945

    A - P 0,093797988708

    P - B 0,106202011292

    B - R 0,226448376462

    K - P 0,376640701183

    K - R 0,426448376462

    B - R 0,226448376462

    K - B 0,482842712475

    AREA CIRCULO

    K - B 0,183105438371

    AREA CUADRADO

    K - R 0,181858217787

    DIFRENCIA

    mm 0,001247220583

    A

    B

    K

    M

    P R

    Sobre un cuadrado de 20 centmetros, como en el dibujo

    de Leonardo, la diferencia es de 1 milmetro cuadrado.

  • Una vez solucionado el problema de la

    cuadratura del crculo tal y como suponemos

    que la realiz Leonardo da Vinci, en su

    famoso dibujo, el Hombre de Vitruvio,

    entendemos la famosa frase que dice Y yo

    cuadro el crculo, excepto una porcin tan

    minscula como el intelecto sea capaz de

    imaginar, es decir, como el punto visible

    La diferencia entre el crculo y el cuadrado del

    dibujo de Leonardo es de aproximadamente

    un milmetro cuadrado, es decir, un punto

    visible.

    Si esta es la solucin que encontr Da Vinci,

    realmente no es valida para la cuadratura del

    circulo, aunque s matemticamente, ya que

    por definicin la cuadratura del crculo es la

    conversin de una figura limitada por una

    curva en otra de igual superficie limitada por

    lneas rectas, por lo que se debe partir de un

    crculo y no a la inversa.

    A pesar de todo y con los medios de la poca

    nos parece una genialidad que pudiera dar

    con la solucin, que como el mismo cita, fue

    una noche a punto de acabarse el candil.

    Leonardo di ser Piero Da Vinci, Florencia

    Leonardo da Vinci (15.4.1452 ) - ( 2.5.1519 )

    //commons.wikimedia.org/wiki/File:Loudspeaker.svg?uselang=es
  • Como suele suceder en muchos casos, aunque ya he dado con la solucin de la cuadratura,

    que la desarrollare completa ms adelante, he vuelto a retomar el problema a partir del

    hexgono inscrito, y me he dado cuenta que en anteriores soluciones tena un pequeo

    error, consideraba el punto de contacto con la circunferencia, como la altura del cuadrado,

    esto lo veremos en detalle a lo largo de la resolucin del problema. Como ya tengo la

    solucin del trazado anterior, esta me sirve para confirmar la exactitud a partir del hexgono,

    es increblemente sencillo el trazado, pero hay que comprobar los ngulos, las diferencias

    de medidas, las sumas de segmentos, en definitiva, la verificacin matemtica.

    Las coincidencias en el trazado son determinantes, por tanto la solucin, resuelve la figura

    del hombre de Vitruvio y adems la cuadratura del crculo de una forma muy aproximada, tal

    vez Leonardo dio con esta solucin grficamente. Es una solucin elegante, intuitiva, que a

    no ser por la pequea discrepancia con el numero Pi oficial, servira para enunciar un nuevo

    teorema sobre la cuadratura del circulo.

    A lo largo de la historia el nmero Pi ha tenido diversos valores, desde el Renacimiento

    Europeo se realizan clculos con polgonos inscritos y circunscritos, y actualmente se

    calcula con series infinitas y han calculado el famoso nmero hasta con miles o millones

    de decimales, cosa por otra parte poco prctica, pero mi pregunta es, la serie conduce al Pi

    real es exacta, o es otra conjetura posible, pero aproximada. Por que son mejores las

    series que los permetros ?, adems hay tantas series como autores, en esto como en todo,

    la valida es la del matemtico ms conocido del momento, hasta que viene otro que dice

    que la suya es mejor.

    Dejando esta disputa de lado, yo voy a utilizar el Pi grfico, que adems de aparecer, ya sea

    directamente o en forma de mltiplos o submltiplos en muchos trazados, es el que cuadra

    perfectamente muchas operaciones matemticas.

  • Si por el punto medio del lado de un hexgono inscrito en una circunferencia

    trazamos un segmento que pasando por la mitad del radio paralelo a dicho

    lado hasta que corte a la circunferencia, este segmento ser igual al lado del

    cuadrado, que partiendo perpendicularmente de este punto, cortar al radio

    en un punto tal que ser la mitad del lado del cuadrado y a la circunferencia

    en un punto que determinar la cuadratura de la misma.

    1/2

    A

    B

    C

    D E

    F G

    K

    LM

    P

    R

    S

    T

    El primer problema que se plantea es

    resolver el triangulo PSR, ya que no

    conocemos ningn lado del mismo,

    pero si podemos conocer todos sus

    ngulos. En efecto, podemos resolver

    el tringulo APG y saber sus ngulos.

    Por tanto, los ngulos del otro son

    fciles de deducir, uno es opuesto

    por el vrtice , otro es recto, por tanto

    el que falta se obtiene restando de

    noventa el opuesto por el vrtice.

    G 30

    P 60

    A 90

    P 60

    R 30

    S 90 P S

    R

  • Actualmente todo el mundo trabaja con calculadoras

    y ordenadores, por lo que solucionar ngulos, senos

    lneas trigonomtricas, y tringulos resulta bastante

    sencillo, pero como todo lo hace la mquina, hay

    veces que desconocemos el algoritmo que utiliza, si

    trabaja con ngulos o con radianes, en definitiva la

    esencia del problema, se la dejamos a una mquina.

    Para que esto no ocurra, vamos a dar unas ligeras

    nociones sobre ngulos, para poder saber al menos

    lo que estamos haciendo, mejor dicho, lo que hace

    la mquina.

    ANGULOS

    GRADOS A RADIANES GRADOS x ( PI / 180 )

    ( PI / 180 ) 0,017453292520

    RADIANES A GRADOS RADIANES x (180 / PI )

    ( 180 / PI ) 57,295779513082

    GRADOS A RADIANES ARCOSENO

    ARCO SENO A SENO SERIE TAYLOR

    SEN = ( X /1 ) - ( X3 / 3! ) + ( X5 ! / 5! ) - ( X7 / 7! ) + .....

    La serie se cierra cuando se repite el nmero obtenido

    El factorial de un nmero ( ! ) es la multiplicacin del

    nmero por todos los anteriores.

    EJEMPLO DE RESOLUCION ANGULOS

    ANGULO 26,565051177078

    ( PI / 180 ) 0,017453292520

    ARCO SENO ANGULO x ( PI / 180 )

    ARCO SENO 0,463647609001

    SENO 0,447213595500

    Para hallar el seno de un ngulo, primero

    hay que convertirlo a radianes, lo que es

    lo mismo, hallar el arcoseno del angulo, y

    una vez conocido le aplicamos la serie de

    Taylor para hallar el seno. Evidentemente

    con un ordenador o una calculadora este

    proceso es automtico, pero hay que

    tener en cuenta que primero hay traducir

    el ngulo a radianes o arcoseno.

    Con estas nociones elementales estamos

    en condiciones de resolver cualquier tipo

    de tringulo, incluso los obtusngulos,

    esto, que a primera vista, parece ser un

    tanto complicado, en la prctica, no lo es

    tanto, y nos ayudar a comprender, y lo

    que es ms importante, a resolver, los

    problemas con ngulos.

  • HALLAR EL ANGULO EN FUNCION DEL SENO

    Para hallar el ngulo en funcin del seno

    se deben realizar varias operaciones.

    Con calculadoras, o bien ordenadores, estas

    operaciones se realizan de forma automtica,

    pero vamos a explicar todo el proceso para

    entenderlo y poder realizarlo a mano.

    En principio hay que hallar el arco seno del

    seno conocido. Esta operacin es la ms

    compleja de todo el proceso, est basada

    en la serie de Taylor. Cuantos ms trminos

    calculemos, mayor aproximacin obtenemos.

    La serie se cierra cuando el resultado de la

    ltima operacin es cero, esto es, cuando

    el resultado de una suma parcial da cero.

    En trigonometra, el arco seno est definido

    como la funcin inversa del seno de un ngulo.

    arco seno x = x + (1/2*x3/3) + (1*3/2*4)*(x5/5) + (1*3*5)/(2*4*6)*(x7/7) + (1*3*5*7)/(2*4*6*8)*(x9/9)

    a

    b

    c

    A

    B

    C

    a = 3

    b = 4

    c = 5

    Angulo A Angulo B

    Seno 0,6000000 0,8000000

    Coseno 0,8000000 0,6000000

    Tangente 0,7500000 1,3333333

    Cotangente 1,3333333 0,7500000

    Secante 1,2500000 1,6666666

    Cosecante 1,6666666 1,2500000

    Arco Seno 0,6435011 0,9272952

    a

    b

    c

    A

    B

    C

  • HALLAR UN LADO EN FUNCION DEL SENO

    Hipotenusa y ngulo A

    a = c x Sen A

    b = c x Cos A

    a = c / Cosc A

    b = c / Sec A

    Hipotenusa y ngulo B

    a = c x Cos B

    b = c x Sen B

    a = c / Sec B

    b = c / Cosc B

    Cateto a y ngulo B

    b = a x Tang B

    c = a x Sec B

    b = a / Cotag B

    c = a / Cos B

    Cateto a y ngulo A

    b = a x Cotag A

    c = a x Cosec A

    b = a / Tang A

    c = a / Sen A

    Cateto b y ngulo A

    a = b x Tang A

    c = b x Sec A

    a = b / Cotag A

    c = b / Cos A

    Cateto b y ngulo B

    a = b x Cotag B

    c = b x Cosc B

    a = b / Tang B

    c = b / Sen B

    Angulo ( A ) Angulo ( B )

    Seno 0,600000 0,800000

    Coseno 0,800000 0,600000

    Tangente 0,750000 1,333333

    Cotangente 1,333333 0,750000

    Secante 1,250000 1,666667

    Cosecante 1,666667 1,250000

    A

    B

    C

    Cateto b

    Ca

    teto

    a 3

    4

    Este sencillo ejemplo sirve para

    comprobar todas las frmulas.

    Verificar con teorema Pitgoras.

  • Antes de continuar nos hacen falta unas

    nociones de trigonometra, el Teorema

    del Seno dice : En todo tringulo la

    relacin de un lado entre el valor del

    seno del ngulo opuesto se mantiene

    constante.

    a / Sen A = b / Sen B / = c / Sen C

    El seno del ngulo doble es igual a dos

    veces el valor del seno del ngulo por el

    coseno. Esto nos sirve para determinar

    el valor del seno del ngulo de 120, ya

    que conocemos el del ngulo de 60.

    Evidentemente, el clculo de los senos

    lo desarrollo con un programa que he

    preparado al efecto, pero el de 60, en

    concreto, se puede realizar por clculo,

    ya que su valor es raz cuadrada de tres

    entre dos, y el del coseno es un medio, y

    el de la tangente es raz cuadrada de

    tres.

    Conviene tener presente estas nociones.

    C

    A B

    a b

    c

    h

    Sen 60 0,866025403784

    Cos 60 0,500000000000

    Sen 120 0,866025403784

    c / Sen C = b / Sen B

    Sen B = 0,866025403784 x 0,5 / 1

    Sen B 0,433012701892

    Sabemos que el ngulo en C vale 120, y

    que el segmento c vale 1, por ser un radio

    y el lado b mide 0,5 por construccin.

    A continuacin vamos a ver como se hallan

    ngulos a partir del seno y viceversa, es un

    poco complicado, hay que conocer las

    frmulas y tener una calculadora.

  • C

    A B

    a b

    c

    h

    CONSTANTE ( PI / 2 ) / 90

    CONSTANTE 0,017453292520

    ANGULO 120

    ARCO SENO 2,094395102393

    SENO 0,866025403784

    ANGULO 25,658906273255

    ARCO SENO 0,447832396929

    SENO 0,433012701892

    ANGULO 34,341093726745

    ARCO SENO 0,599365154268

    SENO 0,564118398854

    A partir de este momento podemos recurrir

    a la tabla Hallar un lado en funcin del

    seno para solucionar los tringulos

    rectngulos formados por la altura ( h ), De

    esta forma podemos hallar la altura y por

    otra parte nos sirve de verificacin, ya que

    siempre insistimos en que todas la

    medidas deben verificarse.

    Los ngulos del tringulo los podemos hallar por

    el Teorema del Seno, y una vez conocidos

    hallamos sus correspondientes senos aplicando

    las frmulas del cuadro. Conocidos los ngulos podemos aplicar

    el teorema de los senos, para hallar los

    lados del tringulo.

    ( Pitgoras )

  • C

    A B

    a b

    c

    h

    a / Sen A = b / Sen B / = c / Sen C

    A - B = c 1,000000000000

    Sen C 0,866025403784

    c / Seno C 1,154700538379

    A - C = b 0,500000000000

    Sen B 0,433012701892

    b / Sen B 1,154700538379

    B - C = a 0,651387818866

    Sen a 0,564118398854

    a / Sen A 1,154700538379

    C - D = a x Sen B 0,282059199427

    B - D 0,587153045284

    D - A 0,412846954716

    B - A 1,000000000000

    D

    1 2

    Una vez concluida la explicacin, un tanto complicada,

    pero sencilla, una vez que se conoce el procedimiento,

    vamos a trazar el dibujo tal y como se ve realmente,

    con sus medidas reales, para luego continuar, con los

    comprobaciones, para dar por vlido el trazado. A P

    R

    A - P 0,500000000000

    A - R 1,000000000000

    P - R 0,651387818866

    c

    b

    a

  • 1/2

    A - B 1,000000000000

    A - C 1,000000000000

    A - D 1,000000000000

    A - E 1,000000000000

    B - C 2,000000000000

    A - F 1 ,000000000000

    F - G 0,500000000000

    A - G 0,866025403784

    G - B 0,133974596216

    A - K 0,500000000000

    K - L 0,500000000000

    F - M 0,750000000000

    K - M 0,433012701892

    F - K 0,866025403784

    H - G 0,288675134595

    A - H 0,577350269190

    A - E 1,000000000000

    A - H 0,577350269190

    H - E 1,154700538379

    F - G 0,500000000000

    H - G 0,288675134595

    F - H 0,577350269190

    A

    B

    C

    D E

    F G

    H

    K

    L

    Bisectriz en F

    M

    N

  • 1/2

    A - G 0,866025403784

    A - P 0,500000000000

    G - P 1,000000000000

    P - R 0,651387818866

    R - U 0,564118398854

    P - U 0,325693909433

    U - E 0,174306090567

    A - U 0,825693909433

    R - U 0,564118398854

    A - R 1,000000000000

    A - U 0,825693909433

    S - T 1,651387818866

    R - T 1,564118398854

    S - R 0,087269420012

    A

    B

    C

    D E

    F G L M

    R

    P

    S

    T

    U

    Ya hemos descubierto el

    lado del cuadrado, ahora

    queda por determinar el

    punto de contacto en la

    circunferencia, y los lados

    a partir de este dato.

  • C - B 2,00000000000

    Z - X 0,825693909433

    C - X 1,768682220668

    B - X 0,933682602543

    C - B 2,00000000000

    C - Z 1,564118398854

    Z - B 0,435881601146

    B - X 0,933682602543

    C - B 2,000000000000

    AREA CIRCULO

    C - B 3,141592653590

    AREA CUADRADO

    C - X 3,128236797708

    C-Z*2 3,128236797708

    DIFERENCIA AREAS

    0,013355855882

    A

    B

    C

    D E

    F L

    X Z

    Evidentemente , este

    trazado no soluciona

    la cuadratura.

  • SOLUCION EXACTA DE LA CUADRATURA

    DEL CIRCULO Y EL DIBUJO DEL HOMBRE

    DE VITRUVIO.

    Pitgoras y su famoso Teorema

    facilitaron a Vitruvio y Leonardo

    la resolucin del famoso dibujo.

  • Despus de varios intentos y

    cuando digo varios digo cientos,

    he decido solucionar el dibujo a

    la inversa, esto es, he supuesto

    que Leonardo no encontr la

    solucin exacta a la cuadratura

    del circulo.

    Esto todava ha sido ms difcil,

    sin un ordenador, posiblemente

    no lo habra conseguido, pero

    una vez solucionado, no parece

    tan complicado.

    Antes de comenzar he resuelto

    la cuadratura del crculo y la

    rectificacin de la circunferencia

    grficamente, y a escala, lo he

    colocado sobre el dibujo del

    hombre de Vitrubio, y esta vez

    si encajan las piezas de este

    rompecabezas,

    Todos los resultados anteriores,

    a partir del hexgono inscrito

    entre las dos piernas, no daban

    resultados exactos, hasta que

    he dado con este. Lo he

    verificado meticulosamente, y

    puedo decir que las medidas

    son perfectas, todas son

    grficas, solo he usado un

    compas, cartabones y una regla

    no graduada para realizarlas.

  • PROCEDIMIENTO GRAFICO PARA

    RECTIFICAR LA CIRCUNFERENCIA

    Despus de muchos dibujos, por supuesto errneos, que a primera vista parecan correctos,

    una vez verificados matemticamente, se comprueba o bien que faltan o sobran unos

    milmetros, o que el ngulo formado es diferente, o ambas cosas a la vez. No hay que fiarse

    de la vista, un dibujo no muy preciso, puede aportar una solucin aparente, pero que en

    realidad, no soluciona el problema. Cuando se encuentra la solucin, la verificacin no da

    lugar a dudas, si es correcta, los decimales cuadran hasta con ms de doce unidades. Yo

    trabajo con doce, que me parece una exactitud suficiente.

    1 - Se dibuja una circunferencia con radio A-B

    2 - Se une un dimetro con el punto medio del radio perpendicular C-F

    3 - Desde el centro se traza una perpendicular a este segmento A-G

    4 - Desde el punto de contacto se trazan dos parales a los dimetros D-G / G-K

    5 - Con un radio igual a medio radio ms el segmento trazado desde el punto de contacto

    se traza un arco hasta que corte al otro segmento que une el semiradio con el dimetro

    segmento E-D

    6 - Desde el punto E con radio E-D se traza el arco D-H

    7 - Desde el punto K con radio K-H se traza el arco H-L

    8 - Con centro en C se traza el arco C-L hasta que corte al dimetro en el punto M

    Como hemos visto, todo el trazado se realiza sin ninguna medida, esto es, solo con regla

    compas y cartabones, ya sabemos que las perpendiculares se pueden trazar solamente

    con el compas, as como bisectrices, y la divisin de segmentos en dos partes iguales. Hay

    trazados grficos para dividir, en tres, cinco, siete y nueve partes iguales.

  • A - B 1,000000000000

    A - C 1,000000000000

    A - F 0,500000000000

    C - F 1,118033988750

    A - E 0,500000000000

    C - G 0,894427191000

    G - F 0,223606797750

    A - G 0,447213595500

    A - F 0,500000000000

    A - D 0,400000000000

    D - F 0,100000000000

    G - D 0,200000000000

    E - D 0,900000000000

    E - H 0,900000000000

    H - C 0,218033988750

    K - E 0,223606797750

    K - H 0,676393202250

    H - L 1,352786404500

    C - L 1,570820393250

    C - M 1,570820393250

    CUADRATURA DEL CIRCULO

    RECTIFICACION DE LA CIRCUNFERENCIA

    A B

    C

    D E F

    G

    H

    K

    L

    M

    1,570820393250

    2,000000000000

    3,141640786500

  • C - N 2,00000000000

    C - M 1,570820393250

    M - N 0,429179606750

    M - R 0,821074953125

    C - R 1,772467428897

    N - R 0,926476774399

    C - N 2,000000000000

    AREA CIRCULO

    Pi x Radio al cuadrado

    PI 3,141640786500

    A - C 1,000000000000

    AREA 3,141640786500

    AREA CUADRADO

    Lado al cuadrado

    C - R 1,772467428897

    AREA 3,141640786500

    CUADRATURA DEL CIRCULO

    RECTIFICACION DE LA CIRCUNFERENCIA

    A B

    C

    L

    M

    N

    R

    La cuadratura del crculo es exacta

    con el nmero Pi obtenido grficamente

    3,141640786500

    3,141592653590

    0,000048132910

    milsimas de milmetro

  • El trazado anterior es el nico

    que resuelve el Hombre de

    Vitruvio exactamente.

    PI / 2

    PI

    PI / 2 1,570820393250

    PI 1,772467428897

    0,821074953125 Pi

    1

    Pi

  • Como hemos visto, la parte ms compleja consiste en

    rectificar la circunferencia, el resto es bastante sencillo.

    En principio, por diferencias obtenemos el segmento

    M-N, ya que conocemos el segmento C-M y el

    dimetro de la circunferencia, a partir de este punto,

    por semejanza de tringulos, hallaremos la altura M-R.

    Tenemos un tringulo rectngulo C-N-R inscrito en una

    semicircunferencia, ya sabemos que las proyecciones

    de los dos catetos del tringulo que forman ngulo

    recto, multiplicadas entre s, es igual a la altura del

    tringulo al cuadrado, por tanto basta con extraer la

    raz cuadrada para obtener la altura. Un vez obtenida

    la altura, por Pitgoras podemos hallar el resto, esto es

    los dos catetos, puesto que conocemos los dems

    datos.

    SEMEJANZA DE TRIANGULOS

    a2 = c * m

    c / b = b / n b2 = c * n

    m / h = h / n h2 = m * n

    a2 / b2 = m / n

    b2 = h2 + n2

    a2 = h2 + m2

    c2 = b2 + a2

    a / c = h / b ab = ch

    A

    C

    B c

    b a

    h

    m n

    M

    C

    N

    R

    Supongo que he solucionado

    la cuadratura del crculo,

    pero el nmero Pi que utilizo

    es ligeramente diferente del

    oficial, en realidad este sale

    por trazado grfico, por tanto

    considero que es el exacto,

    adems este mismo nmero

    aparece en varios trazados,

    por tanto, lo considero como

    vlido. Adems la diferencia

    entre ellos es insignificante.

  • 0,570820393250

    A - B 1,000000000000

    A - C 1,000000000000

    C - M 1,570820393250

    M - N 0,429179606750

    M - R 0,821074953125

    C - R 1,772467428897

    N - R 0,926476774399

    C - N 2,000000000000

    P - S 1,642149906251

    C - P 0,178925046875

    S - N 0,178925046875

    P - N 1,821074953125

    P - T 0,570820393250

    A - M 0,570820393250

    T - V 1,141640786500

    X - Y 0,570820393250

    Y - R 0,570820393250

    A B

    C

    M

    N

    R

    P

    S

    T

    Si centramos el cuadrado,

    el segmento del mismo P-T

    que corta la circunferencia,

    es igual al segmento A-M y

    al segmento X-Y

    V

    X

    Y

  • A - B 1,000000000000

    A - C 1,000000000000

    C - N 2,000000000000

    U - N 1,642149906251

    U - C 0,357850093749

    U - Z 0,766579087832

    Z - X 1,533158175665

    Z - C 0,845990654498

    Z - N 1,812263725980

    C - N 2,000000000000

    A - M 0,570820393250

    M - R 0,821074953125

    A - R 1,000000000000

    Z - U 0,766579087832

    A - U 0,642149906251

    A - Z 1,000000000000

    A - W 0,178925046875

    C - U 0,357850093749

    A B

    C

    M

    N

    R

    P

    S

    T V

    X

    Y

    Z U

    W

    Estas medidas, aunque no

    son muy relevantes, sirven

    para verificar los trazados

    grficos matemticamente.

  • LO QUE EL OJO NO VE

    Antes de entrar en materia, voy a presentar un trabajo que aparentemente es perfecto, pero el cual no

    soporta una verificacin matemtica, y cuando se hacen las oportunas comprobaciones, llegamos a la

    conclusin de siempre, los trazados grficos pueden parecer exactos, pero hay que demostrarlo con

    las verificaciones matemticas oportunas.

    Lo que el ojo no ve, es tan importante como lo que ve, esta agudeza visual solo puede discriminarse

    con la verificacin matemtica. Esta practica nos evitara errores de principiante, y en un trabajo que se

    considera riguroso, no sirve dar como validas medidas aproximadas.

    Hay otro error muy comn cuando se trabaja sobre un dibujo de El Hombre de Vitruvio, es considerar

    las medidas como vlidas y sacar relaciones entre ellas, cuando de lo que se debe partir es de un

    trazado grfico previo y deducir las medidas a partir de este modelo. Evidentemente cuando hablo de

    medidas no me refiero a medidas reales, sino a trazados grficos, obtenidos solamente con regla o

    cartabones sin graduar, y compas. Las medidas, exclusivamente, deben ser trazados geomtricos, las

    unidades solo sirven para verificar la exactitud de tales trazados.

    Pero an as, vamos a continuar con el problema para demostrar que la circunferencia que corta al

    cuadrado tampoco soluciona el problema. Para ello, solucionaremos los tringulos por el teorema de

    Pitgoras, y algunos conocimientos elementales de geometra.

    En principio, si aplicamos una medida que realmente no se puede medir, es para ver si a lo largo del

    trazado aparece alguna medida patrn, por desgracia, como veremos, tampoco se da en esta ocasin.

    Con esta resolucin pongo fin a la posibles soluciones, entre otras cosa, porque ya conocemos la

    buena, sencilla, limpia, y lo ms importante, exacta.

  • Vamos a analizar como una

    figura que aparentemente

    resuelve el misterioso dibujo

    es solo una ilusin ptica,

    es una pequea diferencia,

    pero diferencia al fin y al

    cabo.

    Evidentemente el trazado

    ha de ser grfico, pero al

    menos hay que conocer una

    medida exacta como punto

    de partida y para efectuar

    las verificaciones.

    Si digo que no es exacto, es

    porque no hay ninguna

    medida que sirva de

    referencia para resolver los

    trazados.

  • Vamos a demostrar como Leonardo,

    tuvo que partir de una circunferencia

    y no del cuadrado para realizar la

    cuadratura. En efecto, an sabiendo

    cuanto ha de medir el cuadrado, no

    es posible llegar a la solucin por

    este camino.

    1 - Trazamos dos perpendiculares

    2 - Dibujamos una circunferencia

    2 - Inscribimos un hexgono

    3 - Trazamos un radio

    4 - Se forma un triangulo equiltero

    5 - Unimos dos puntos opuestos del

    hexgono, que dividen al radio en

    dos partes iguales

    6 - Con lo que podemos enunciar

    que uniendo los puntos opuestos de

    un hexgono dividimos el dimetro

    en cuatro partes iguales

    Hay cosas que no hay que olvidar,

    por ejemplo, que el lado del

    hexgono es igual al radio.

    Como es preceptivo verificamos los

    enunciados matemticamente. Los

    haremos por Pitgoras y por

    semejanza de ngulos.

  • A - B 0,821074953125

    A - C 0,821074953125

    C - B 1,642149906251

    C - D 0,821074953125

    C - E 0,410537476563

    D - E 0,711071767818

    D - F 1,422143535636

    A

    B

    C

    D E F

    Una vez comprobados los

    tringulos vamos a continuar

    con el trazado, para ello

    vamos a inscribir un tringulo

    equiltero, y posteriormente ,

    un segundo tringulo, con lo

    que obtenemos una estrella

    de David o de Salomn.

    En algunas operaciones, al

    duplicar un nmero el ltimo

    decimal no se corresponde

    con el duplo, esto se debe a

    que no damos ms que doce

    decimales pero el ordenador

    trabaja con ms, y es la

    llevada del decimal anterior.

  • A - B 0,821074953125

    A - C 0,821074953125

    C - B 1,642149906251

    C - D 0,821074953125

    C - E 0,410537476563

    D - E 0,711071767818

    D - F 1,422143535636

    G - H 1,422143535636

    C - G 1,422143535636

    C - H 1,422143535636

    C - J 1,231612429688

    A - K 0,474047845212

    M - K 0,237023922606

    K - N 0,948095690424

    P - M 0,110003185308

    L - E 0,237023922606

    L - R 0,474047845212

    D - L 0,474047845212

    A

    B

    C

    D E F

    G H

    El tringulo CGH sabemos que es equiltero,

    simplemente porque sus lados unen dos

    vrtices equidistantes, del hexgono.

    J

    K

    L

    M

    1/3 2/3

    N P

    R

  • C - S 0,615806214844

    D - C 0,821074953125

    D - S 0,410537476563

    S - A 0,410537476563

    C - J 1,231612429688

    C - T 0,615806214844

    S - T 0,355535883909

    S - V 0,711071767818

    T - A 0,205268738281

    T - J 0,615806214844

    S - J 0,615806214844

    V - J 0,615806214844

    A

    B

    C

    D E F

    G H J

    K

    L

    M

    1/3 2/3

    N P

    R

    En la pgina anterior tenemos las medidas

    fundamentales del trazado en curso, sin

    entrar en consideraciones religiosas, solo

    matemticas, vamos a trazar la estrella de

    David, o de seis puntas.

    S T V

    Ya tenemos el origen del cuadrado

    y el centro de la circunferencia, en

    el punto T, en la pgina siguiente

    completamos el trazado.

    1/2

  • A

    B

    C

    P

    T

    A - B 0,821074953125

    A - C 0,821074953125

    A - T 0,205268738281

    A - X 1,026343691407

    B - X 2,052687382814

    X

    Con esto, lo nico que se

    demuestra es que para

    realizar el famoso dibujo

    Leonardo tuvo que partir

    de la circunferencia, no

    del cuadrado, ya que este

    no devuelve un radio

    exacto para hallar la

    cuadratura del crculo.

    Evidentemente, se parte

    de los trazados grficos,

    los nmeros solo sirven

    para verificar los trazados

  • Obtener las medidas del

    dibujo es sencillo una

    vez se ha dado con la

    solucin, por tanto, dejo

    este procedimiento sin

    resolver.

    Las principales, segn

    el texto de Vitruvio y

    Leonardo, se indican a

    continuacin.

    Para m, lo que interesa

    realmente, es solucionar

    la cuadratura del crculo,

    y el trazado geomtrico,

    cosa que hemos hecho

    y demostrado. Por tanto

    el hombre de Vitruvio,

    ya tiene solucin.

    Fernando Gemes

  • 1/10

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    1/8 1/4 1/7 1/6

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    1/6

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    1/4

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  • http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/e/ee/Eur.it.100.gif
  • El texto ms explcito sobre las proporciones es aquel que describe

    las del cuerpo humano: III,1 (B. 282; O.S. 58-59)

    Compuso la naturaleza el cuerpo del hombre de suerte que su rostro, desde la barba hasta lo alto de la frente y la raz del pelo es la dcima parte de su altura. Otro tanto es la palma de la mano desde el nudo de la mueca hasta el extremo del dedo largo. Toda la cabeza desde la barba hasta lo alto del vrtice o coronilla es la octava parte del hombre. Lo mismo es por detrs desde la nuca hasta lo alto. Desde lo alto del pecho hasta la raz del pelo es la sexta parte: hasta la coronilla la cuarta. Desde lo bajo de la barba hasta lo inferior de la nariz es un tercio del rostro: toda la nariz hasta el entrecejo otro tercio, y otro desde all hasta la raz del pelo y fin dela frente. El pie es la sexta parte de la altura del cuerpo: el codo la cuarta: el pecho tambin la cuarta. (El palmo la vigsimo cuarta). Todos los otros miembros tienen tambin su conmensuracin proporcionada Del modo mismo, pues, los miembros de los templos sagrados deben tener exactsima correspondencia de dimensiones dcada uno de ellos a todo el edificio. Luego si la naturaleza compuso el cuerpo del hombre de manera que sus miembros tengan proporcin y correspondencia con todo l, no sin causa los antiguos establecieron tambin en la construccin de los edificios una exacta conmensuracin de cada una de sus partes con el todo.

  • EL HOMBRE DE VITRUVIO

    La longitud de los brazos extendidos de un hombre es igual a la altura.

    El ombligo es el punto central natural del cuerpo humano.

    Si se coloca un hombre boca arria, con sus manos y sus pies estirados, situando el centro del comps en

    su ombligo y trazando una circunferencia, esta tocara la punta de ambas manos y los dedos de los pies.

    La figura circular trazada sobre el cuerpo humano nos posibilita el lograr tambin un cuadrado: si se mide

    desde la planta de los pies a la coronilla, la medida resultante ser la misma que se da entre la punta de

    los dedos con los brazos extendidos; exactamente su anchura mide lo mismo que su altura, como los

    cuadrados que trazamos con la escuadra.

    La distancia entre el nacimiento del pelo y la barbilla es un dcimo la altura del hombre.

    La altura de la cabeza hasta la barbilla es un octavo de la altura de un hombre.

    La distancia entre la barbilla a la nariz es un tercio de la longitud de la cara.

    La distancia entre el nacimiento del pelo y las cejas es un tercio la longitud de la cara.

    La distancia entre el nacimiento del pelo y la oreja tambin es un tercio de la longitud de la cara.

    La distancia entre el nacimiento del pelo a la parte superior del pecho es un sptimo de la altura.

    Entre la parte superior del pecho y la parte superior de la cabeza, una sexta parte.

    La altura de la cabeza hasta el final de las costillas es un cuarto de la altura de un hombre.

    La anchura mxima de los hombros es una cuarto de la altura de un hombre.

    La distancia entre el codo al extremo de la mano es un quinto de un hombre.

    Entre el codo y la axila, la octava parte.

    La longitud de la mano es un decimo de su estatura.

    El inicio de los genitales marca el centro del hombre.

    La distancia entre la planta del pie y la base de las rodillas es la cuarta parte de la altura de un hombre.

    Entre la base de la rodilla y los genitales, tambin es la cuarta parte.

    Si abre tanto las piernas de forma que su altura disminuya en 1/14 y extiende los brazos, levantndolos

    hasta que los dedos medios estn a la altura de la parte superior de su cabeza, el centro de los

    miembros extendidos estar en el ombligo y el espacio que comprenden las piernas formar un triangulo

    equiltero.

  • Cuatro dedos hacen una palma

    Cuatro palmas hacen un pie

    Seis palmas hacen un codo

    Cuatro codos hacen la altura de un hombre

    Cuatro codos hacen un paso

    Veinticuatro palmas hacen un hombre