EL HOMBRE DE VITRUVIO

Fernando Gemes

itzikareaga @ euskalnet.net

RESOLUCION DE LA

CUADRATURA DEL

CIRCULO

EL HOMBRE DE VITRUVIO

EL HOMBRE DE VITRUVIO

Marco Vitruvio Polin ( en latn Marcus Vitruvius Pollio )

fue un arquitecto, escritor e ingeniero romano del siglo I

antes de Cristo.

Fue arquitecto de Julio Cesar durante su juventud. Es el

autor del tratado sobre arquitectura, en diez libros, ms

antiguo que se conserva. La obra trata sobre rdenes,

materiales, tcnicas decorativas, tipos de edificios,

colores, y mecnica.

De Architectura se public en la mayor parte de los

pases y todava hoy constituye una fuente documental

por las informaciones que aporta sobre la pintura y la

escultura griegas y romanas.

El famoso dibujo de Leonardo da Vinci, sobre las

proporciones del hombre, conocido como el Hombre de

Vitruvio, esta basado en las indicaciones que sobre el

canon de belleza Vitruvio desarrolla en este tratado.

Aunque toda la fama se le atribuye a Leonardo, dada su

genialidad, no hay que olvidar que este se baso en el

canon de Vitruvio, para esbozar este genial dibujo.

Algunos adems, le atribuyen propiedades geomtricas

entre las que se incluye la cuadratura del circulo.

Como engaa la vista!, el hombre de Vitruvio, a la izquierda, parece estar dibujado en un rectngulo y el de Leonardo, no deja lugar a dudas, este si est inscrito dentro de un cuadrado, la realidad es

que ambos, estn incorporados dentro de un cuadrado, como veremos en la imagen siguiente.

Si pasamos a la misma escala los dos dibujos y copiamos el cuadrado del de Vitruvio y lo pegamos

sobre el de Leonardo, vemos que coinciden exactamente, si observamos la figura, los pies que en

el primer dibujo los deja fuera del cuadrado, Leonardo simplemente los recoge, pero la altura del

hombre, es la misma en los dos dibujos, ya que los talones estn tocando el suelo en ambos.

Giacomo Andrea

da Ferrara

(1490 )

Hay dibujos similares, al de

Leonardo, este de su amigo

Giacomo, es de 1490.

La primera vez que se contempla el Hombre de Vitruvio desnudo, completamente desnudo, pero no

fsicamente, sino geomtricamente, uno se pregunta con que premisas dibujo Leonardo el famoso

cuadro. Se empiezan a realizar trazados geomtricos, verificaciones matemticas, y de una forma u

otra siempre fallan. O bien las proporciones que vemos no se asemejan a las del dibujo original, o

no cuadran los nmeros, o ambas cosas a la vez. Pero tanto ir el cntaro a la fuente al fin se

rompe, y a partir de este momento vemos de que forma tan sencilla realiz Leonardo el trazado, lo

de sencilla es un decir, para llegar al resultado hay que pensar en muchas posibilidades, dar con el

resultado, es a base de muchas paciencia, muchos nmeros, hasta que en una resta, por ejemplo,

damos con la clave. A partir de este momento pensamos que Leonardo era un genio, o vio este

resultado en alguna parte, o no encontr esta solucin. Eso si es un enigma.

Los nmeros estaban ah incluso antes de haberse realizado el dibujo, desde el principio de los

tiempos, eternamente, incluso si no damos con la solucin, ellos estn. Cuando realizamos las

verificaciones numricas pertinentes, aparecen unas coincidencias que son las que confirman que

el dibujo parece estar resuelto, no son nada misteriosas, son el resultado de aplicar la geometra

correctamente.

Sin ms prembulos vamos a realizar varios trazados que resuelven el problema, el anlisis de los

mismos se realiza, bien por el teorema de Pitgoras, la comprobacin de ngulos, o la resolucin

de tringulos partiendo de sus razones trigonomtricas. Algunos se preguntaran de donde salen

estos datos, en realidad, he preparado un pequeo programa informtico que resuelve estas

cuestiones, por lo que la verificacin se hace fcilmente.

Ms adelante trataremos el problema de la cuadratura del crculo, que algunos afirman que est

implcita en el dibujo. Yo ni afirmo ni niego, sern las resoluciones geomtricas las que aporten luz

sobre tema. He visto varias algunas soluciones, todas aproximadas, por tanto incorrectas, que se

basan en Vitruvio, no s si ser capaz de dar con la buena, si es que Leonardo dio con ella.

Y yo cuadro el crculo, excepto un porcin

tan minscula como el intelecto sea capaz

de imaginar, es decir, como el punto visible

Evidentemente esto no da lugar a dudas,

Leonardo hall la cuadratura del crculo de

una forma muy aproximada, como cita en

uno de sus escritos.

Por otra parte, no sabemos que Pi utiliz, ni

con cuantos decimales trabajaba, pero an

hay ms, creo que hizo trampa y solucion

la cuadratura del crculo a la inversa, esto

es, a partir del cuadrado y no del crculo.

He llegado a esta conclusin, porque he

dado con una solucin que cumple con

estos requisitos, y porque Leonardo no la

incluye en su dibujo, solo nos presenta el

resultado, no la solucin.

Primero voy a deducir esta solucin y luego

pasar a demostrar la ma, la que considero

es la exacta, partiendo de la circunferencia.

A - B 0,200000000000

A - C 0,200000000000

A - F 0,282842712475

A - G 0,282842712475

G - H 0,400000000000

H - F 0,400000000000

G - F 0,565685424949

A

C

D E

F

B G H

J

Como hemos visto, Leonardo

pudo solucionar el dibujo del

Hombre de Vitruvio a travs

del trazado grfico anterior.

Hay otra solucin probable, la

del grfico siguiente, que

parte del hexgono inscrito,

esta, a primera vista, tambin

es vlida, pero al verificarla,

se ve que tampoco es

correcta, pero que a la vista

parece exacta.

Dio el pintor con la solucin?

o es fruto de mi imaginacin,

eso no lo sabremos nunca, lo

que est claro, es que cita la

aproximacin, pero an as

es una solucin genial para la

poca, ya que es casi exacta.

Por tanto vamos a resolver el

trazado y verificarlo, como es

obligatorio.

A - B 0,200000000000

A - C 0,200000000000

A - F 0,282842712475

A - G 0,282842712475

F - G 0,565685424949

K - L 0,565685424949

C - B 0,400000000000

C - K 0,082842712475

B - L 0,082842712475

K - B 0,482842712475

K - M 0,241421356237

A - M 0,041421356237

K - N 0,400000000000

N - L 0,400000000000

N - A 0,282842712475

A - L 0,282842712475

A

El punto M es el centro del

segmento K -L, es la clave

para la solucin.

B

C

D E

G H

F J

K

L

M

N

K - M 0,241421356237

M - B 0,241421356237

K - B 0,482842712475

A - M 0,041421356237

M - R 0,241421356237

P - R 0,200000000000

M - P 0,135219344945

A - P 0,093797988708

P - B 0,106202011292

B - R 0,226448376462

K - P 0,376640701183

K - R 0,426448376462

B - R 0,226448376462

K - B 0,482842712475

AREA CIRCULO

K - B 0,183105438371

AREA CUADRADO

K - R 0,181858217787

DIFRENCIA

mm 0,001247220583

A

B

K

M

P R

Sobre un cuadrado de 20 centmetros, como en el dibujo

de Leonardo, la diferencia es de 1 milmetro cuadrado.

Una vez solucionado el problema de la

cuadratura del crculo tal y como suponemos

que la realiz Leonardo da Vinci, en su

famoso dibujo, el Hombre de Vitruvio,

entendemos la famosa frase que dice Y yo

cuadro el crculo, excepto una porcin tan

minscula como el intelecto sea capaz de

imaginar, es decir, como el punto visible

La diferencia entre el crculo y el cuadrado del

dibujo de Leonardo es de aproximadamente

un milmetro cuadrado, es decir, un punto

visible.

Si esta es la solucin que encontr Da Vinci,

realmente no es valida para la cuadratura del

circulo, aunque s matemticamente, ya que

por definicin la cuadratura del crculo es la

conversin de una figura limitada por una

curva en otra de igual superficie limitada por

lneas rectas, por lo que se debe partir de un

crculo y no a la inversa.

A pesar de todo y con los medios de la poca

nos parece una genialidad que pudiera dar

con la solucin, que como el mismo cita, fue

una noche a punto de acabarse el candil.

Leonardo di ser Piero Da Vinci, Florencia

Leonardo da Vinci (15.4.1452 ) - ( 2.5.1519 )

//commons.wikimedia.org/wiki/File:Loudspeaker.svg?uselang=es

Como suele suceder en muchos casos, aunque ya he dado con la solucin de la cuadratura,

que la desarrollare completa ms adelante, he vuelto a retomar el problema a partir del

hexgono inscrito, y me he dado cuenta que en anteriores soluciones tena un pequeo

error, consideraba el punto de contacto con la circunferencia, como la altura del cuadrado,

esto lo veremos en detalle a lo largo de la resolucin del problema. Como ya tengo la

solucin del trazado anterior, esta me sirve para confirmar la exactitud a partir del hexgono,

es increblemente sencillo el trazado, pero hay que comprobar los ngulos, las diferencias

de medidas, las sumas de segmentos, en definitiva, la verificacin matemtica.

Las coincidencias en el trazado son determinantes, por tanto la solucin, resuelve la figura

del hombre de Vitruvio y adems la cuadratura del crculo de una forma muy aproximada, tal

vez Leonardo dio con esta solucin grficamente. Es una solucin elegante, intuitiva, que a

no ser por la pequea discrepancia con el numero Pi oficial, servira para enunciar un nuevo

teorema sobre la cuadratura del circulo.

A lo largo de la historia el nmero Pi ha tenido diversos valores, desde el Renacimiento

Europeo se realizan clculos con polgonos inscritos y circunscritos, y actualmente se

calcula con series infinitas y han calculado el famoso nmero hasta con miles o millones

de decimales, cosa por otra parte poco prctica, pero mi pregunta es, la serie conduce al Pi

real es exacta, o es otra conjetura posible, pero aproximada. Por que son mejores las

series que los permetros ?, adems hay tantas series como autores, en esto como en todo,

la valida es la del matemtico ms conocido del momento, hasta que viene otro que dice

que la suya es mejor.

Dejando esta disputa de lado, yo voy a utilizar el Pi grfico, que adems de aparecer, ya sea

directamente o en forma de mltiplos o submltiplos en muchos trazados, es el que cuadra

perfectamente muchas operaciones matemticas.

Si por el punto medio del lado de un hexgono inscrito en una circunferencia

trazamos un segmento que pasando por la mitad del radio paralelo a dicho

lado hasta que corte a la circunferencia, este segmento ser igual al lado del

cuadrado, que partiendo perpendicularmente de este punto, cortar al radio

en un punto tal que ser la mitad del lado del cuadrado y a la circunferencia

en un punto que determinar la cuadratura de la misma.

1/2

A

B

C

D E

F G

K

LM

P

R

S

T

El primer problema que se plantea es

resolver el triangulo PSR, ya que no

conocemos ningn lado del mismo,

pero si podemos conocer todos sus

ngulos. En efecto, podemos resolver

el tringulo APG y saber sus ngulos.

Por tanto, los ngulos del otro son

fciles de deducir, uno es opuesto

por el vrtice , otro es recto, por tanto

el que falta se obtiene restando de

noventa el opuesto por el vrtice.

G 30

P 60

A 90

P 60

R 30

S 90 P S

R

Actualmente todo el mundo trabaja con calculadoras

y ordenadores, por lo que solucionar ngulos, senos

lneas trigonomtricas, y tringulos resulta bastante

sencillo, pero como todo lo hace la mquina, hay

veces que desconocemos el algoritmo que utiliza, si

trabaja con ngulos o con radianes, en definitiva la

esencia del problema, se la dejamos a una mquina.

Para que esto no ocurra, vamos a dar unas ligeras

nociones sobre ngulos, para poder saber al menos

lo que estamos haciendo, mejor dicho, lo que hace

la mquina.

ANGULOS

GRADOS A RADIANES GRADOS x ( PI / 180 )

( PI / 180 ) 0,017453292520

RADIANES A GRADOS RADIANES x (180 / PI )

( 180 / PI ) 57,295779513082

GRADOS A RADIANES ARCOSENO

ARCO SENO A SENO SERIE TAYLOR

SEN = ( X /1 ) - ( X3 / 3! ) + ( X5 ! / 5! ) - ( X7 / 7! ) + .....

La serie se cierra cuando se repite el nmero obtenido

El factorial de un nmero ( ! ) es la multiplicacin del

nmero por todos los anteriores.

EJEMPLO DE RESOLUCION ANGULOS

ANGULO 26,565051177078

( PI / 180 ) 0,017453292520

ARCO SENO ANGULO x ( PI / 180 )

ARCO SENO 0,463647609001

SENO 0,447213595500

Para hallar el seno de un ngulo, primero

hay que convertirlo a radianes, lo que es

lo mismo, hallar el arcoseno del angulo, y

una vez conocido le aplicamos la serie de

Taylor para hallar el seno. Evidentemente

con un ordenador o una calculadora este

proceso es automtico, pero hay que

tener en cuenta que primero hay traducir

el ngulo a radianes o arcoseno.

Con estas nociones elementales estamos

en condiciones de resolver cualquier tipo

de tringulo, incluso los obtusngulos,

esto, que a primera vista, parece ser un

tanto complicado, en la prctica, no lo es

tanto, y nos ayudar a comprender, y lo

que es ms importante, a resolver, los

problemas con ngulos.

HALLAR EL ANGULO EN FUNCION DEL SENO

Para hallar el ngulo en funcin del seno

se deben realizar varias operaciones.

Con calculadoras, o bien ordenadores, estas

operaciones se realizan de forma automtica,

pero vamos a explicar todo el proceso para

entenderlo y poder realizarlo a mano.

En principio hay que hallar el arco seno del

seno conocido. Esta operacin es la ms

compleja de todo el proceso, est basada

en la serie de Taylor. Cuantos ms trminos

calculemos, mayor aproximacin obtenemos.

La serie se cierra cuando el resultado de la

ltima operacin es cero, esto es, cuando

el resultado de una suma parcial da cero.

En trigonometra, el arco seno est definido

como la funcin inversa del seno de un ngulo.

arco seno x = x + (1/2*x3/3) + (1*3/2*4)*(x5/5) + (1*3*5)/(2*4*6)*(x7/7) + (1*3*5*7)/(2*4*6*8)*(x9/9)

a

b

c

A

B

C

a = 3

b = 4

c = 5

Angulo A Angulo B

Seno 0,6000000 0,8000000

Coseno 0,8000000 0,6000000

Tangente 0,7500000 1,3333333

Cotangente 1,3333333 0,7500000

Secante 1,2500000 1,6666666

Cosecante 1,6666666 1,2500000

Arco Seno 0,6435011 0,9272952

a

b

c

A

B

C

HALLAR UN LADO EN FUNCION DEL SENO

Hipotenusa y ngulo A

a = c x Sen A

b = c x Cos A

a = c / Cosc A

b = c / Sec A

Hipotenusa y ngulo B

a = c x Cos B

b = c x Sen B

a = c / Sec B

b = c / Cosc B

Cateto a y ngulo B

b = a x Tang B

c = a x Sec B

b = a / Cotag B

c = a / Cos B

Cateto a y ngulo A

b = a x Cotag A

c = a x Cosec A

b = a / Tang A

c = a / Sen A

Cateto b y ngulo A

a = b x Tang A

c = b x Sec A

a = b / Cotag A

c = b / Cos A

Cateto b y ngulo B

a = b x Cotag B

c = b x Cosc B

a = b / Tang B

c = b / Sen B

Angulo ( A ) Angulo ( B )

Seno 0,600000 0,800000

Coseno 0,800000 0,600000

Tangente 0,750000 1,333333

Cotangente 1,333333 0,750000

Secante 1,250000 1,666667

Cosecante 1,666667 1,250000

A

B

C

Cateto b

Ca

teto

a 3

4

Este sencillo ejemplo sirve para

comprobar todas las frmulas.

Verificar con teorema Pitgoras.

Antes de continuar nos hacen falta unas

nociones de trigonometra, el Teorema

del Seno dice : En todo tringulo la

relacin de un lado entre el valor del

seno del ngulo opuesto se mantiene

constante.

a / Sen A = b / Sen B / = c / Sen C

El seno del ngulo doble es igual a dos

veces el valor del seno del ngulo por el

coseno. Esto nos sirve para determinar

el valor del seno del ngulo de 120, ya

que conocemos el del ngulo de 60.

Evidentemente, el clculo de los senos

lo desarrollo con un programa que he

preparado al efecto, pero el de 60, en

concreto, se puede realizar por clculo,

ya que su valor es raz cuadrada de tres

entre dos, y el del coseno es un medio, y

el de la tangente es raz cuadrada de

tres.

Conviene tener presente estas nociones.

C

A B

a b

c

h

Sen 60 0,866025403784

Cos 60 0,500000000000

Sen 120 0,866025403784

c / Sen C = b / Sen B

Sen B = 0,866025403784 x 0,5 / 1

Sen B 0,433012701892

Sabemos que el ngulo en C vale 120, y

que el segmento c vale 1, por ser un radio

y el lado b mide 0,5 por construccin.

A continuacin vamos a ver como se hallan

ngulos a partir del seno y viceversa, es un

poco complicado, hay que conocer las

frmulas y tener una calculadora.

C

A B

a b

c

h

CONSTANTE ( PI / 2 ) / 90

CONSTANTE 0,017453292520

ANGULO 120

ARCO SENO 2,094395102393

SENO 0,866025403784

ANGULO 25,658906273255

ARCO SENO 0,447832396929

SENO 0,433012701892

ANGULO 34,341093726745

ARCO SENO 0,599365154268

SENO 0,564118398854

A partir de este momento podemos recurrir

a la tabla Hallar un lado en funcin del

seno para solucionar los tringulos

rectngulos formados por la altura ( h ), De

esta forma podemos hallar la altura y por

otra parte nos sirve de verificacin, ya que

siempre insistimos en que todas la

medidas deben verificarse.

Los ngulos del tringulo los podemos hallar por

el Teorema del Seno, y una vez conocidos

hallamos sus correspondientes senos aplicando

las frmulas del cuadro. Conocidos los ngulos podemos aplicar

el teorema de los senos, para hallar los

lados del tringulo.

( Pitgoras )

C

A B

a b

c

h

a / Sen A = b / Sen B / = c / Sen C

A - B = c 1,000000000000

Sen C 0,866025403784

c / Seno C 1,154700538379

A - C = b 0,500000000000

Sen B 0,433012701892

b / Sen B 1,154700538379

B - C = a 0,651387818866

Sen a 0,564118398854

a / Sen A 1,154700538379

C - D = a x Sen B 0,282059199427

B - D 0,587153045284

D - A 0,412846954716

B - A 1,000000000000

D

1 2

Una vez concluida la explicacin, un tanto complicada,

pero sencilla, una vez que se conoce el procedimiento,

vamos a trazar el dibujo tal y como se ve realmente,

con sus medidas reales, para luego continuar, con los

comprobaciones, para dar por vlido el trazado. A P

R

A - P 0,500000000000

A - R 1,000000000000

P - R 0,651387818866

c

b

a

1/2

A - B 1,000000000000

A - C 1,000000000000

A - D 1,000000000000

A - E 1,000000000000

B - C 2,000000000000

A - F 1 ,000000000000

F - G 0,500000000000

A - G 0,866025403784

G - B 0,133974596216

A - K 0,500000000000

K - L 0,500000000000

F - M 0,750000000000

K - M 0,433012701892

F - K 0,866025403784

H - G 0,288675134595

A - H 0,577350269190

A - E 1,000000000000

A - H 0,577350269190

H - E 1,154700538379

F - G 0,500000000000

H - G 0,288675134595

F - H 0,577350269190

A

B

C

D E

F G

H

K

L

Bisectriz en F

M

N

1/2

A - G 0,866025403784

A - P 0,500000000000

G - P 1,000000000000

P - R 0,651387818866

R - U 0,564118398854

P - U 0,325693909433

U - E 0,174306090567

A - U 0,825693909433

R - U 0,564118398854

A - R 1,000000000000

A - U 0,825693909433

S - T 1,651387818866

R - T 1,564118398854

S - R 0,087269420012

A

B

C

D E

F G L M

R

P

S

T

U

Ya hemos descubierto el

lado del cuadrado, ahora

queda por determinar el

punto de contacto en la

circunferencia, y los lados

a partir de este dato.

C - B 2,00000000000

Z - X 0,825693909433

C - X 1,768682220668

B - X 0,933682602543

C - B 2,00000000000

C - Z 1,564118398854

Z - B 0,435881601146

B - X 0,933682602543

C - B 2,000000000000

AREA CIRCULO

C - B 3,141592653590

AREA CUADRADO

C - X 3,128236797708

C-Z*2 3,128236797708

DIFERENCIA AREAS

0,013355855882

A

B

C

D E

F L

X Z

Evidentemente , este

trazado no soluciona

la cuadratura.

SOLUCION EXACTA DE LA CUADRATURA

DEL CIRCULO Y EL DIBUJO DEL HOMBRE

DE VITRUVIO.

Pitgoras y su famoso Teorema

facilitaron a Vitruvio y Leonardo

la resolucin del famoso dibujo.

Despus de varios intentos y

cuando digo varios digo cientos,

he decido solucionar el dibujo a

la inversa, esto es, he supuesto

que Leonardo no encontr la

solucin exacta a la cuadratura

del circulo.

Esto todava ha sido ms difcil,

sin un ordenador, posiblemente

no lo habra conseguido, pero

una vez solucionado, no parece

tan complicado.

Antes de comenzar he resuelto

la cuadratura del crculo y la

rectificacin de la circunferencia

grficamente, y a escala, lo he

colocado sobre el dibujo del

hombre de Vitrubio, y esta vez

si encajan las piezas de este

rompecabezas,

Todos los resultados anteriores,

a partir del hexgono inscrito

entre las dos piernas, no daban

resultados exactos, hasta que

he dado con este. Lo he

verificado meticulosamente, y

puedo decir que las medidas

son perfectas, todas son

grficas, solo he usado un

compas, cartabones y una regla

no graduada para realizarlas.

PROCEDIMIENTO GRAFICO PARA

RECTIFICAR LA CIRCUNFERENCIA

Despus de muchos dibujos, por supuesto errneos, que a primera vista parecan correctos,

una vez verificados matemticamente, se comprueba o bien que faltan o sobran unos

milmetros, o que el ngulo formado es diferente, o ambas cosas a la vez. No hay que fiarse

de la vista, un dibujo no muy preciso, puede aportar una solucin aparente, pero que en

realidad, no soluciona el problema. Cuando se encuentra la solucin, la verificacin no da

lugar a dudas, si es correcta, los decimales cuadran hasta con ms de doce unidades. Yo

trabajo con doce, que me parece una exactitud suficiente.

1 - Se dibuja una circunferencia con radio A-B

2 - Se une un dimetro con el punto medio del radio perpendicular C-F

3 - Desde el centro se traza una perpendicular a este segmento A-G

4 - Desde el punto de contacto se trazan dos parales a los dimetros D-G / G-K

5 - Con un radio igual a medio radio ms el segmento trazado desde el punto de contacto

se traza un arco hasta que corte al otro segmento que une el semiradio con el dimetro

segmento E-D

6 - Desde el punto E con radio E-D se traza el arco D-H

7 - Desde el punto K con radio K-H se traza el arco H-L

8 - Con centro en C se traza el arco C-L hasta que corte al dimetro en el punto M

Como hemos visto, todo el trazado se realiza sin ninguna medida, esto es, solo con regla

compas y cartabones, ya sabemos que las perpendiculares se pueden trazar solamente

con el compas, as como bisectrices, y la divisin de segmentos en dos partes iguales. Hay

trazados grficos para dividir, en tres, cinco, siete y nueve partes iguales.

A - B 1,000000000000

A - C 1,000000000000

A - F 0,500000000000

C - F 1,118033988750

A - E 0,500000000000

C - G 0,894427191000

G - F 0,223606797750

A - G 0,447213595500

A - F 0,500000000000

A - D 0,400000000000

D - F 0,100000000000

G - D 0,200000000000

E - D 0,900000000000

E - H 0,900000000000

H - C 0,218033988750

K - E 0,223606797750

K - H 0,676393202250

H - L 1,352786404500

C - L 1,570820393250

C - M 1,570820393250

CUADRATURA DEL CIRCULO

RECTIFICACION DE LA CIRCUNFERENCIA

A B

C

D E F

G

H

K

L

M

1,570820393250

2,000000000000

3,141640786500

C - N 2,00000000000

C - M 1,570820393250

M - N 0,429179606750

M - R 0,821074953125

C - R 1,772467428897

N - R 0,926476774399

C - N 2,000000000000

AREA CIRCULO

Pi x Radio al cuadrado

PI 3,141640786500

A - C 1,000000000000

AREA 3,141640786500

AREA CUADRADO

Lado al cuadrado

C - R 1,772467428897

AREA 3,141640786500

CUADRATURA DEL CIRCULO

RECTIFICACION DE LA CIRCUNFERENCIA

A B

C

L

M

N

R

La cuadratura del crculo es exacta

con el nmero Pi obtenido grficamente

3,141640786500

3,141592653590

0,000048132910

milsimas de milmetro

El trazado anterior es el nico

que resuelve el Hombre de

Vitruvio exactamente.

PI / 2

PI

PI / 2 1,570820393250

PI 1,772467428897

0,821074953125 Pi

1

Pi

Como hemos visto, la parte ms compleja consiste en

rectificar la circunferencia, el resto es bastante sencillo.

En principio, por diferencias obtenemos el segmento

M-N, ya que conocemos el segmento C-M y el

dimetro de la circunferencia, a partir de este punto,

por semejanza de tringulos, hallaremos la altura M-R.

Tenemos un tringulo rectngulo C-N-R inscrito en una

semicircunferencia, ya sabemos que las proyecciones

de los dos catetos del tringulo que forman ngulo

recto, multiplicadas entre s, es igual a la altura del

tringulo al cuadrado, por tanto basta con extraer la

raz cuadrada para obtener la altura. Un vez obtenida

la altura, por Pitgoras podemos hallar el resto, esto es

los dos catetos, puesto que conocemos los dems

datos.

SEMEJANZA DE TRIANGULOS

a2 = c * m

c / b = b / n b2 = c * n

m / h = h / n h2 = m * n

a2 / b2 = m / n

b2 = h2 + n2

a2 = h2 + m2

c2 = b2 + a2

a / c = h / b ab = ch

A

C

B c

b a

h

m n

M

C

N

R

Supongo que he solucionado

la cuadratura del crculo,

pero el nmero Pi que utilizo

es ligeramente diferente del

oficial, en realidad este sale

por trazado grfico, por tanto

considero que es el exacto,

adems este mismo nmero

aparece en varios trazados,

por tanto, lo considero como

vlido. Adems la diferencia

entre ellos es insignificante.

0,570820393250

A - B 1,000000000000

A - C 1,000000000000

C - M 1,570820393250

M - N 0,429179606750

M - R 0,821074953125

C - R 1,772467428897

N - R 0,926476774399

C - N 2,000000000000

P - S 1,642149906251

C - P 0,178925046875

S - N 0,178925046875

P - N 1,821074953125

P - T 0,570820393250

A - M 0,570820393250

T - V 1,141640786500

X - Y 0,570820393250

Y - R 0,570820393250

A B

C

M

N

R

P

S

T

Si centramos el cuadrado,

el segmento del mismo P-T

que corta la circunferencia,

es igual al segmento A-M y

al segmento X-Y

V

X

Y

A - B 1,000000000000

A - C 1,000000000000

C - N 2,000000000000

U - N 1,642149906251

U - C 0,357850093749

U - Z 0,766579087832

Z - X 1,533158175665

Z - C 0,845990654498

Z - N 1,812263725980

C - N 2,000000000000

A - M 0,570820393250

M - R 0,821074953125

A - R 1,000000000000

Z - U 0,766579087832

A - U 0,642149906251

A - Z 1,000000000000

A - W 0,178925046875

C - U 0,357850093749

A B

C

M

N

R

P

S

T V

X

Y

Z U

W

Estas medidas, aunque no

son muy relevantes, sirven

para verificar los trazados

grficos matemticamente.

LO QUE EL OJO NO VE

Antes de entrar en materia, voy a presentar un trabajo que aparentemente es perfecto, pero el cual no

soporta una verificacin matemtica, y cuando se hacen las oportunas comprobaciones, llegamos a la

conclusin de siempre, los trazados grficos pueden parecer exactos, pero hay que demostrarlo con

las verificaciones matemticas oportunas.

Lo que el ojo no ve, es tan importante como lo que ve, esta agudeza visual solo puede discriminarse

con la verificacin matemtica. Esta practica nos evitara errores de principiante, y en un trabajo que se

considera riguroso, no sirve dar como validas medidas aproximadas.

Hay otro error muy comn cuando se trabaja sobre un dibujo de El Hombre de Vitruvio, es considerar

las medidas como vlidas y sacar relaciones entre ellas, cuando de lo que se debe partir es de un

trazado grfico previo y deducir las medidas a partir de este modelo. Evidentemente cuando hablo de

medidas no me refiero a medidas reales, sino a trazados grficos, obtenidos solamente con regla o

cartabones sin graduar, y compas. Las medidas, exclusivamente, deben ser trazados geomtricos, las

unidades solo sirven para verificar la exactitud de tales trazados.

Pero an as, vamos a continuar con el problema para demostrar que la circunferencia que corta al

cuadrado tampoco soluciona el problema. Para ello, solucionaremos los tringulos por el teorema de

Pitgoras, y algunos conocimientos elementales de geometra.

En principio, si aplicamos una medida que realmente no se puede medir, es para ver si a lo largo del

trazado aparece alguna medida patrn, por desgracia, como veremos, tampoco se da en esta ocasin.

Con esta resolucin pongo fin a la posibles soluciones, entre otras cosa, porque ya conocemos la

buena, sencilla, limpia, y lo ms importante, exacta.

Vamos a analizar como una

figura que aparentemente

resuelve el misterioso dibujo

es solo una ilusin ptica,

es una pequea diferencia,

pero diferencia al fin y al

cabo.

Evidentemente el trazado

ha de ser grfico, pero al

menos hay que conocer una

medida exacta como punto

de partida y para efectuar

las verificaciones.

Si digo que no es exacto, es

porque no hay ninguna

medida que sirva de

referencia para resolver los

trazados.

Vamos a demostrar como Leonardo,

tuvo que partir de una circunferencia

y no del cuadrado para realizar la

cuadratura. En efecto, an sabiendo

cuanto ha de medir el cuadrado, no

es posible llegar a la solucin por

este camino.

1 - Trazamos dos perpendiculares

2 - Dibujamos una circunferencia

2 - Inscribimos un hexgono

3 - Trazamos un radio

4 - Se forma un triangulo equiltero

5 - Unimos dos puntos opuestos del

hexgono, que dividen al radio en

dos partes iguales

6 - Con lo que podemos enunciar

que uniendo los puntos opuestos de

un hexgono dividimos el dimetro

en cuatro partes iguales

Hay cosas que no hay que olvidar,

por ejemplo, que el lado del

hexgono es igual al radio.

Como es preceptivo verificamos los

enunciados matemticamente. Los

haremos por Pitgoras y por

semejanza de ngulos.

A - B 0,821074953125

A - C 0,821074953125

C - B 1,642149906251

C - D 0,821074953125

C - E 0,410537476563

D - E 0,711071767818

D - F 1,422143535636

A

B

C

D E F

Una vez comprobados los

tringulos vamos a continuar

con el trazado, para ello

vamos a inscribir un tringulo

equiltero, y posteriormente ,

un segundo tringulo, con lo

que obtenemos una estrella

de David o de Salomn.

En algunas operaciones, al

duplicar un nmero el ltimo

decimal no se corresponde

con el duplo, esto se debe a

que no damos ms que doce

decimales pero el ordenador

trabaja con ms, y es la

llevada del decimal anterior.

A - B 0,821074953125

A - C 0,821074953125

C - B 1,642149906251

C - D 0,821074953125

C - E 0,410537476563

D - E 0,711071767818

D - F 1,422143535636

G - H 1,422143535636

C - G 1,422143535636

C - H 1,422143535636

C - J 1,231612429688

A - K 0,474047845212

M - K 0,237023922606

K - N 0,948095690424

P - M 0,110003185308

L - E 0,237023922606

L - R 0,474047845212

D - L 0,474047845212

A

B

C

D E F

G H

El tringulo CGH sabemos que es equiltero,

simplemente porque sus lados unen dos

vrtices equidistantes, del hexgono.

J

K

L

M

1/3 2/3

N P

R

C - S 0,615806214844

D - C 0,821074953125

D - S 0,410537476563

S - A 0,410537476563

C - J 1,231612429688

C - T 0,615806214844

S - T 0,355535883909

S - V 0,711071767818

T - A 0,205268738281

T - J 0,615806214844

S - J 0,615806214844

V - J 0,615806214844

A

B

C

D E F

G H J

K

L

M

1/3 2/3

N P

R

En la pgina anterior tenemos las medidas

fundamentales del trazado en curso, sin

entrar en consideraciones religiosas, solo

matemticas, vamos a trazar la estrella de

David, o de seis puntas.

S T V

Ya tenemos el origen del cuadrado

y el centro de la circunferencia, en

el punto T, en la pgina siguiente

completamos el trazado.

1/2

A

B

C

P

T

A - B 0,821074953125

A - C 0,821074953125

A - T 0,205268738281

A - X 1,026343691407

B - X 2,052687382814

X

Con esto, lo nico que se

demuestra es que para

realizar el famoso dibujo

Leonardo tuvo que partir

de la circunferencia, no

del cuadrado, ya que este

no devuelve un radio

exacto para hallar la

cuadratura del crculo.

Evidentemente, se parte

de los trazados grficos,

los nmeros solo sirven

para verificar los trazados

Obtener las medidas del

dibujo es sencillo una

vez se ha dado con la

solucin, por tanto, dejo

este procedimiento sin

resolver.

Las principales, segn

el texto de Vitruvio y

Leonardo, se indican a

continuacin.

Para m, lo que interesa

realmente, es solucionar

la cuadratura del crculo,

y el trazado geomtrico,

cosa que hemos hecho

y demostrado. Por tanto

el hombre de Vitruvio,

ya tiene solucin.

Fernando Gemes

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http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/e/ee/Eur.it.100.gif

El texto ms explcito sobre las proporciones es aquel que describe

las del cuerpo humano: III,1 (B. 282; O.S. 58-59)

Compuso la naturaleza el cuerpo del hombre de suerte que su rostro, desde la barba hasta lo alto de la frente y la raz del pelo es la dcima parte de su altura. Otro tanto es la palma de la mano desde el nudo de la mueca hasta el extremo del dedo largo. Toda la cabeza desde la barba hasta lo alto del vrtice o coronilla es la octava parte del hombre. Lo mismo es por detrs desde la nuca hasta lo alto. Desde lo alto del pecho hasta la raz del pelo es la sexta parte: hasta la coronilla la cuarta. Desde lo bajo de la barba hasta lo inferior de la nariz es un tercio del rostro: toda la nariz hasta el entrecejo otro tercio, y otro desde all hasta la raz del pelo y fin dela frente. El pie es la sexta parte de la altura del cuerpo: el codo la cuarta: el pecho tambin la cuarta. (El palmo la vigsimo cuarta). Todos los otros miembros tienen tambin su conmensuracin proporcionada Del modo mismo, pues, los miembros de los templos sagrados deben tener exactsima correspondencia de dimensiones dcada uno de ellos a todo el edificio. Luego si la naturaleza compuso el cuerpo del hombre de manera que sus miembros tengan proporcin y correspondencia con todo l, no sin causa los antiguos establecieron tambin en la construccin de los edificios una exacta conmensuracin de cada una de sus partes con el todo.

EL HOMBRE DE VITRUVIO

La longitud de los brazos extendidos de un hombre es igual a la altura.

El ombligo es el punto central natural del cuerpo humano.

Si se coloca un hombre boca arria, con sus manos y sus pies estirados, situando el centro del comps en

su ombligo y trazando una circunferencia, esta tocara la punta de ambas manos y los dedos de los pies.

La figura circular trazada sobre el cuerpo humano nos posibilita el lograr tambin un cuadrado: si se mide

desde la planta de los pies a la coronilla, la medida resultante ser la misma que se da entre la punta de

los dedos con los brazos extendidos; exactamente su anchura mide lo mismo que su altura, como los

cuadrados que trazamos con la escuadra.

La distancia entre el nacimiento del pelo y la barbilla es un dcimo la altura del hombre.

La altura de la cabeza hasta la barbilla es un octavo de la altura de un hombre.

La distancia entre la barbilla a la nariz es un tercio de la longitud de la cara.

La distancia entre el nacimiento del pelo y las cejas es un tercio la longitud de la cara.

La distancia entre el nacimiento del pelo y la oreja tambin es un tercio de la longitud de la cara.

La distancia entre el nacimiento del pelo a la parte superior del pecho es un sptimo de la altura.

Entre la parte superior del pecho y la parte superior de la cabeza, una sexta parte.

La altura de la cabeza hasta el final de las costillas es un cuarto de la altura de un hombre.

La anchura mxima de los hombros es una cuarto de la altura de un hombre.

La distancia entre el codo al extremo de la mano es un quinto de un hombre.

Entre el codo y la axila, la octava parte.

La longitud de la mano es un decimo de su estatura.

El inicio de los genitales marca el centro del hombre.

La distancia entre la planta del pie y la base de las rodillas es la cuarta parte de la altura de un hombre.

Entre la base de la rodilla y los genitales, tambin es la cuarta parte.

Si abre tanto las piernas de forma que su altura disminuya en 1/14 y extiende los brazos, levantndolos

hasta que los dedos medios estn a la altura de la parte superior de su cabeza, el centro de los

miembros extendidos estar en el ombligo y el espacio que comprenden las piernas formar un triangulo

equiltero.

Cuatro dedos hacen una palma

Cuatro palmas hacen un pie

Seis palmas hacen un codo

Cuatro codos hacen la altura de un hombre

Cuatro codos hacen un paso

Veinticuatro palmas hacen un hombre