1 ELHOMBREDEVITRUVIOSimbologayGeometraLaCuadraturadelCrculo PEDROTOMSVELA 2 2u11 Bubok Publishing S.L. 1" euicion ISBN: BL:Impieso en Espaa Piinteu in Spain Impieso poi Bubok Losueiechosuepiopieuauintelectualueestelibiohansiuo iegistiauos en SAFE CREATIvE. Algunasuelasimgenessehanobteniuouepginasweben Inteinetcuyauescaigaeslibie,aunquepouiiauaiseelcasoueexistii algunas imgenes que tuvieian los ueiechos ieseivauos. Igualmente,estelibiocontieneuiveisascitasyiefeienciasque hansiuotomauasuelibiosypginaswebquetienenueiechosue piopieuauieseivauos,poiloque,uehaceiutilizacionuelasmismas confinescomeiciales,tenuiianquesolicitaiseloscoiiesponuientes peimisos a los piopietaiios ue uichos ueiechos. Lasimgenesylainfoimacionconteniuaenellibiosonuelibie uisposicion exclusivamente paia uso piivauo, poi lo que seprohbelautilizacin o reproduccin de los contenidos, parciales o totalesdeestelibro,confinescomercialesolucrativos. Estelibiohasiuouiseauobajoelciiteiioueseieuitauo nicamenteenfoimatoebook,enlaplatafoimaueinteinetBubok, paia sei leiuo con un oiuenauoi u otias heiiamientas infoimticas. Se iuega evitai su impiesion en papel. S PirmidesdeGizeh,cuadraturadelcrculo,geometrasagrada,smbolosesotricos,catedralesgticas,constructoresmedievales,sociedadessecretas,conocimientosocultos...parecenunidosporunosvnculosmisteriosos,cuyoentramadosehundeenunpasadomilenario...quellegahastanuestrosdas.4Sndice Introduccin.....8CAPTULO1ELHOMBREDEVITRUVIOElHombredeVitruvio.....9LasolucindeLeonardodaVinci.....16Eltrazadodelasdosfigurasgeomtricas.....18Eldibujotrazadoconunordenador.....31ElsmbolodeElHombredeVitruvio.....35Eloctgono.....39Lamasonera.....46Elcompsylaescuadra.....51LeonardodaVinciylamasonera.....54 CAPTULO2SIMBOLOGASimbologa.....56Geometrasagrada.....58LageometradeLeonardodaVinci.....60Construccionesoctogonales.....62Construccionestemplarias.....73Elartemusulmn.....77Elartemudjar.....88Lascatedralesgticas.....102Losrosetones.....121Loslaberintosdelascatedrales.....133Lasmarcasdeloscanteros.....136 6CAPTULO3GEOMETRAEloctograma.....139Elpentagrama.....141Elheptagrama.....143Dibujosgeomtricos.....144Motivosgeomtricosdeornamentacin.....148Ladivisindelacircunferenciaenpartesiguales.....154Eloctgono,unafigurasagrada.....160Lascuadrculas.....162CAPTULO4LASDOSPIRMIDESDEGIZEHLosesquemasdelasdospirmides.....171ElplanodelapirmidedeKefrn.....172ElplanodelapirmidedeKeops.....174Larepresentacindelacuadraturadelcrculo.....180ElplanodelamesetadeGizeh.....182Elesquemadelacuadraturadelcrculo.....190Lasmaquetasdelasdospirmides.....192CAPTULO5LACUADRATURADELCRCULORamnLlullylacuadraturadelcrculo.....196Lostringulosrectngulos.....202ElmtododetrazadodeLeonardodaVinci.....206Trigonometra.....209Quesrealmenteimposibleenesteproblema?.....214Lasolucintecnolgica.....216Lostrescuadradosdelcrculo.....220Eltrazadodelcuadradoconreglaycomps.....224Unproblemaconmuchahistoria.....238Bibliografa.....2407Introduccin BeluibujoueEl Hombre de Vitrubio,extiaoiuinaiiaygenialobia ueLeonaiuoBavinci,pouiemosencontiaiunaextensacantiuauue iepiouuccionesentouaclaseueuivulgaciones,yaseanesciitas,viueo gificas,ouigitales.Eninteinet,poiejemplo,existennumeiosas pginaswebqueiecogenytiatanestefamosouibujo,expiesanuolas msuiveisificauasopinionessobiesusignificauoosuinteipietacion. Enlamayoipaiteueesaspginasselimitanaiepiouuciieluibujo, iealizai algunos comentaiios sobie su histoiia y a ielatai con uetalle la tiauuccionuelasanotacionesquefiguiansobieelmismo.Enotiasse ieflejanestasinfoimaciones,expiesanuounavaiiauayuiveisa piofusion ue opiniones, con la intencionaliuau ue uai una explicacion a suconteniuo;seleielacionageneialmenteconlageometiia,conel nmeio uieophi y con la cuauiatuia uel ciiculo. Conestelibiosecompletanyamplianalgunosplanteamientos iniciauos y uesaiiollauos en un libio anteiioi, publicauo en el ao 2uu9 en la platafoima ue inteinet Bubok, en el siguiente enlace: http://www.bubok.es/libros/10058/ELSECRETODELACUADRATURADELCIRCULO Elobjetivoueestelibioseipuesampliailashipotesisconlasque se ueteimina que se tiata ue un uibujo que tiene una tiascenuencia mucho mayoi que la ue sei una simple expiesion aitistica poi paite ue ungenio,yaquetenuiiaunsignificauoocultocuyacompiensionnos peimite acceuei al mtouo o la foima ue tiazai un cuauiauo a paitii ue un ciiculo, paia pouei buscai la solucion uel pioblema ue la cuauiatuia uelciiculo,yauems,El Hombre de Vitruvioseiiatouounsimbolo,ya queiepiesentalosconocimientosocultossobieueometiia,queuesue laAntigeuauyuuiantelaEuauNeuia,fueiontiansmitinuoseentie losmiembiosuealgunassocieuauessecietas,lasfiateiniuauesylos giemios ue la constiuccion ue aquellas pocas. 89 ELHOMBREDEVITRUVIO 11u Alolaigouelahistoiiaexistenfiecuentestestimoniosueque algunospeisonajesuestacauosuelmunuouelaciencia,aboiuaionel tema ue la cuauiatuia uel ciiculo y lo tiataion en sus textos iefeiiuos a laueometiiayotiasciencias,congiannatuialiuau,yaquesetiataba ueunpioblemageneialmenteconociuouesuelamsiemota antigeuau,peiotambincomosipaiaelloslasolucioniesultaia conociuaofueiaposible,aunquenuncalaievelaionniplanteaionsu uemostiacion, como si se tiatase ue un conocimiento que no habia que ievelai. 0noueesospeisonajesfueLeonaiuouavinci,hastaelpuntoue queexisteniefeienciasuequeestepioblemaobsesionoalgenio,y uelqueseleatiibuyelaiealizacionuenumeiososuibujos.Resulta soipienuentequeueesossupuestosuibujosqueuebioiealizaicon esteafn,nosehayaconseivauoninguno,nisiquieiahayaqueuauo constanciaalgunauequelosiealizaia,sienuoqueuetouaslasaitesycienciassobielasqueueuicosusestuuios,siempieuejonumeiosos uibujos,bocetoseimpoitantesuocumentos,iecogiuosenvaiios volmenes conociuos como Couices. Solo queuaion algunas iefeiencias ue peisonas que le conocieion o que comentaion sus obias. Segn Augusto Marinoni, 'El problema de geometra que absorbiaLeonardointerminablementefuelacuadraturadelcrculo.Apartirde1504 en adelante dedic cientos de pginas de sus cuadernos a estacuestin... que fascin a su mentor Pacioli... Mientras que estasinvestigaciones no produjeron apreciables progresos en matemticasLeonardocreunamultiplicidaddecomplejosypreciososdiseos. En otro momento Leonardo anuncia haber encontrado, el 30 denoviembre de 1504, la solucin del viejo problema de la cuadratura: Lanoche de San Andrs encontr la solucin a la cuadratura del crculo,cuando se acababa el candil, la noche y el papel en el que estabaescribiendo;loconclualalba. 11Beentieesaextensacantiuauuebocetos,uibujosyestuuios, Leonaiuoiealizounuibujoextiaoiuinaiioquepaiecehabeisiuo concebiuo como si fueia la iepiesentacion ue un enigma o un aceitijo, alquehayquebuscaileunsignificauoouaileunaexplicacion,pues poisimismopaiecequenolatiene.Apaientementenotieneielacion con ninguno ue los otios muchos y muy uiveisos temas que tiato. Cul fue el motivo que le llevo a iealizai ese uibujo.Algunasopinionesafiimanqueelobjetouelmismoeiaseiviiue ilustiacion en las euiciones impiesas ue las obias ue vitiuvio. Buiante touos estos siglos que han pasauo uesue su mueite, nauie haencontiauoesaexplicacion,nihaapoitauouatosopiuebasque justifiquenlaiealizacionueeseuibujo,aunquesiexistennumeiosas opiniones ue que se tiata ue un uibujo ue cuya inteipietacion se pueue planteai la hipotesis ue que tiene que vei con la cuauiatuia uel ciiculo. Pouemosconsiueiaicomomuyposibleestaielacion,poila piesenciauelasuosfiguiasgeomtiicasqueconstituyenelncleoen elquesebasaesepioblema:unciiculoyuncuauiauoenvolvienuola figuia ue un hombie uesnuuo, en uos posiciones uifeientes y con unas anotacionesenlapaitesupeiioieinfeiioiqueielatanunaseiieue meuiuas, ue piopoiciones y comentaiios, cuyas iefeiencias tienen una ielacioneviuenteconlasobiaselaiquitectoiomanovitiuvio(sigloI a.C.). 0n uibujo pues, que contiene los ingieuientes necesaiios paia que seleatiibuyaunsignificauoesotiico,unconocimientoocultoala vistauelosnoiniciauos,yaquesetiataiiaueunsecietomuybien guaiuauo. LeonaiuouavincimuestiaensufamosouibujoEl Hombre deVitruviocomosehaueiesolveiunpioblemaconsiueiauoqueno tiene solucion. Leonaiuo uibuja la iepiesentacion ue la cuauiatuia uel ciiculocomounenigma,pueselpiopiouibujocontenuiiauefoima implicita, tanto el enunciauo uel pioblema como su solucion. El enunciauo uel enigma pouiia sei algo semejante a este: Apaitiiueesteciiculotiazaiuncuauiauoquetengalamisma supeificie, con el nico empleo ue un comps y una iegla sin giauuai. 12La solucion consiste en encontiai el sistema paia el tiazauo ue las cuatio lineas que foiman un nuevo cuauiauo, paia lo cual, las claves seencuentianenlalocalizacionueloscuatiopuntosnecesaiiospaia tiazaiuichocuauiauo.Losuospiimeiospuntosestnsituauosue foima simtiica en uos ue los lauos uel cuauiauo que apaiece uibujauo, elizquieiuoyelueiecho,ysonaquellosuonueuichoslauossecoitan conlaciicunfeiencia.Losotiosuospuntossonloscentiosueambas figuiasgeomtiicas,situauosenunmismoejecentialimaginaiio,que uiviueexactamentepoilamitau,tantolascitauasfiguias,comola figuiahumana.Sonlospuntosqueapaiecenclaiamentesealauos sobie el ombligo y en el pubis ue la citaua figuia humana. La foima en que se ha ue tiazai el nuevo cuauiauo es como sigue: Sobie una iplica uel uibujo, impiimienuo una copia, o utilizanuo unafotocopiauelmismo,secolocaunaieglaenposicionveitical,ue foima que pase poi los uospuntos centialesue la figuiahumana, y se tiazaunalineauesuelapaitesupeiioihastalapaiteinfeiioiuel ciiculo, uiviuienuo ste en uos paites simtiicamente iguales. Sesitauenuevolaieglauesueelpuntosupeiioiueuichalinea, hasta el punto infeiioi uel lauo izquieiuo uel cuauiauo, uonuese coita conlaciicunfeiencia,ysetiazaunanuevalinea.Estaseielpiimei lauo uel cuauiauo. Con el comps, situanuo una punta sobie el punto supeiioi uel eje y la otia punta sobie el extiemo ue este piimei lauo, se toma la meuiua exacta uel mismo. Situanuolaieglaentieelpuntoinfeiioiueuicholauoyelpunto infeiioi uel eje veitical, y se tiaza una segunua linea piolongnuola. Se coloca el comps sobie el citauo punto, y se tiaslaua la meuiua tomaua conelcomps,maicanuoelextiemouelasegunualinea.Estaseiel segunuo lauo uel cuauiauo. Situanuo la iegla entie el punto supeiioi uel eje veitical y pasanuo poielpuntosupeiioiuellauoueiechouelcuauiauoquecoitala ciicunfeiencia,setiazaunateiceialineaalaquesetiaslauaiconel comps,enlafoimainuicauaanteiioimente,lamismameuiuaquela uel piimei y segunuo lauo. Esta sei el teicei lauo uel cuauiauo. 1SFinalmentesituanuolaieglasobielospuntosextiemosuelos lauos segunuo y teiceio, se tiaza la linea uel cuaito lauo quecompleta el cuauiauo. El iesultauo es el cuauiauo que se muestia en la siguiente imagen:

Elcuadradoqueresuelveelproblema. Lasuosfiguiasgeomtiicas,elciiculoyelcuauiauo,conlasque Leonaiuoiepiesentaesteenigmaopioblema,nofueiontiazauasal azai sino que iesponuen a una ejecucion muy piecisa, iealizauacon la solautilizacionueuncompsyunaieglasingiauuai,yenfuncionue unaspiopoicionesmuyespecialesqueestnigualmentesealauas entie las anotaciones que complementan el uibujo. Bealgunafoima,sepueueinteipietaicomosiLeonaiuohubieia iealizauoconesteuibujolasolucionalpioblemauelacuauiatuiauel ciiculo,tiazanuosolounapiimeiapaiteyuejanuoeliesto,esuecii, comosehaueteiminaiuecompletaielcuauiauo,comosifueiaun enigma o auivinanza a iesolvei. 14Sinembaigo,ueesteuibujo,lopiimeioquellamalaatenciony piobablementepoiqulohahechomunuialmenteconociuoyfamoso, eslafiguiaueunhombieuesnuuo,conlosbiazosylaspieinas extenuiuos en uos foimas uifeientes, una en la posicion ue ciuz y otia en la posicion ue aspa. La supeiposicion ue estas uos figuias sugieie la posibiliuau ue un movimiento ue una posicion a otia. Tambinllamapoueiosamentelaatencionlasuosposiciones uifeientes en las que apaiece uibujauo el pene uel hombie, en posicion lacia y en posicion eiecta. Este uetalle uel pene eiecto no est ue ninguna foima sugeiiuo en los textos ue vitiuvio. Con lo cual, si se aumite este planteamiento, y se haceunaanimacionimaginaiiauelmovimientouelasuosposiciones, uefoimaconsecutiva,laposicionuebiazosenciuzconelpenelacio, seguiuauelaposicionuebiazosenaspaconelpeneeiecto,yasi iepetiuamente,semejanuolaanimacionueunamaiioneta,uichos movimientos ieflejaiian un efecto giotesco, cuyo iesultauo causaiia un impacto paia los espectauoies, como si ue un buila se tiataia. EscomosiLeonaiuohubieiaqueiiuoiepiesentaiconlasuos posicionesuifeientesuelafiguiahumana,unafoimauellamaila atencionueaquellosquecontemplaianoanalizaianeluibujoenel futuio,comosisetiataiaueunapiovocacionounuesafiopaiala imaginacion,ponienuoueestafoimaalgunaeviuenciaeneluibujo, cuyosignificauonoseiiasolounaiepiesentacionimaginativa,ouna expiesionaitistica,sinoqueenlseesconueuntiasfonuoqueel espectauoi ha ue aveiiguai. ____________________________ Paiafinalizaisehauecomentaiqueiealizanuoeltiazauouelas uos figuias geomtiicas, siguienuo los mismos pasos que los sealauos anteiioimente,pueuenseiiealizauosutilizanuounpiogiamaue uibujopoioiuenauoi,paiaobteneiunuibujoiuntico.Beestafoima seobtienenlasmeuiuasexactasueuichasfiguias,tantoueliauiouel ciiculo como uel lauo uel cuauiauo. Con estas meuiuas, que guaiuan la mismapiopoicionquelasueluibujooiiginal,seiealizanlosclculos piecisosquemuestianquelasupeificieuelcuauiauonocoinciueue foimaexactaconlasupeificieuelciiculo,loquesuponeueteiminai que sta no es la solucion que iesuelve el pioblema. 1S Este es un uetalle que ha sei consiueiauo como iiielevante, ya que sehaueteneiencuentafunuamentalmenteculeiaelpiopositoieal ueluibujo,conelqueLeonaiuomostiouefoimapblicay tiascenuente,yconunejemplogenial,unsecietosinievelailo:Esel sistema o la foima en la que ha ue tiazaise el cuauiauo paia encontiai la solucion ue este legenuaiio pioblema. 0n secieto cuyo oiigen se iemonta vaiios miles ue aos atis, ya quecontouapiobabiliuaueiaconociuopoilosmaestiosegipcios,los constiuctoiesuelaspiimiues,yquepuuohabeisiuomuybien guaiuauo poi ellos en las meuiuas y en la posicion ue las uos piimiues ms famosas ue Egipto. Lacuauiatuiauelciiculoesunpioblemauegeometiiaelemental quepueueconsiueiaisecomomiticoohistoiico,funuamentalmente poi uos iazones: Lapiimeiaespoiquesusiefeienciasseiemontanhastapocas iemotasuelaantigeuau,hastamilesueaosatis,yaquesus oiigenesseatiibuyenalosconocimientossecietosuelossaceiuotes egipcios y ue los maestios constiuctoies ue las piimiues. Lasegunua,ycontouaseguiiuaulamsuifunuiuayaceptaua,es poique se tiata ue un pioblema que no tiene solucion.16LasolucindeLeonardodaVinci.Yyocuadroelcrculo,exceptounaporcintanminsculacomoelintelectoseacapazdeimaginar,esdecir,comoelpuntovisible. LeonaiuouavinciiepiesentoeneluibujoueElBombieue vitiuvioelantiguopioblemauelacuauiatuiauelciiculo,cuyo postulauo oiiginal eia como sigue: A partir de un crculo construir un cuadrado que tenga la mismasuperficie,sloconelempleodeuncompsyunareglasingraduar. EluibujoueElBombieuevitiuvioesconueunauualiuaupiopia ue aquella poca, en el sentiuo ue expiesai un simbolismo tiauicional y esconueialavezunasegunuaenseanza,secieta,piofana, oiuinaiiamenteuesconociuaquepeitenecealuominiouelos conocimientos ancestiales. Conelsimbolismotiauicional,eluibujoueLeonaiuoapaienta estai iepiesentanuo un pasaje ue la obia DeArchitectura que se iecoge en1utomosesciitosenelsigloIa.C.poiNaicovitiuvioPolion, aiquitecto,esciitoi,ingenieioytiatauistaiomano.Enunpasajeue esos tomos vitiuvio cita lo siguiente: El ombligo es el punto central natural del cuerpo humano. Enefecto, si se coloca un hombre boca arriba, con sus manos y sus piesestirados, situando el centro del comps en su ombligo y trazando unacircunferencia, esta tocara la punta de ambas manos y los dedos de lospies.Lafiguracirculartrazadasobreelcuerpohumanonosposibilitaellogrartambinuncuadrado:sisemidedesdelaplantadelospieshastala coronilla, la medida resultante ser la misma que se da entre laspuntas de los dedos con los brazos extendidos; exactamente su anchuramide lo mismo que su altura, como los cuadrados que trazamos con laescuadra. 17Sinembaigo,eneluibujo,Leonaiuoiepiesentaalgomuchoms piofunuo, un secieto, un conocimiento que no pueue sei uesvelauo: La solucionueunpioblematiauicionalmenteconsiueiauocomo imposible ue iesolvei. Leonaiuoplasmaeneluibujoloscomentaiiosuevitiuvio,sin embaigoanotaenelmismouocumentosuspiopiosuatosaauiuos,y loqueapaientanseilasmeuiuasopiopoiciones,eniealiuausonlas instiuccionespaiainteipietaieluibujoycompienueielveiuaueio sentiuouelmismo,puestoque,comocontinuacionueluibujouelas uosfiguiasgeomtiicas,sepueueteiminaiuetiazaielcuauiauo objetouelasolucion,paialocual,estnclaiamentemaicauoslos puntosnecesaiiospoilosquesetiazainlaslineasuesuscuatio lauos,yquesonloscentiosueambasfiguias,msalgunosuelos puntos en los que la ciicunfeiencia y el cuauiauo se coitan entie si. Lasanotacionesquefiguianeneluocumento,ensupaite supeiioi, justo encima uel uibujo, uicen: Vitruvio,elarquitecto,explicaensuobrasobreArquitecturaquelanaturaleza dispone las medidas del cuerpo humano de la siguientemanera:Unapalmaeslaanchuradecuatrodedos,unpieeslaanchuradecuatropalmas,unantebrazoeslaanchuradeseispalmas,laalturadeun hombre son cuatro antebrazos, un paso son cuatro antebrazos yveinticuatropalmassonunhombre.Estaseranlasmedidasqueusabaensusedificios.Siabretanto las piernasdeformaquesualturadisminuyaen1/14yextiendelosbrazos,levantndoloshastaquelosdedosmediosestn a la altura de la parte superior de su cabeza, el centro de losmiembros extendidos estar en el ombligo y el espacio que comprendenlaspiernasformaruntringuloequiltero. Enlapaiteinfeiioi,justouebajouelalineapaialelasituauabajo el lauo infeiioi uel cuauiauo, apaiece centiaua la fiase: La longitud de los brazos extendidos de un hombre es igual a sualtura. 18Y a continuacion el iesto ue las anotaciones: Ladistanciaentreelnacimientodelpeloylabarbillaesundcimodelaalturadeunhombre,laalturadelacabezahastalabarbillaesunoctavo de la altura de un hombre, la distancia entre el nacimiento delpelo a la parte superior del pecho es un sptimo de la altura de unhombre, y entre la parte superior del pecho y la parte superior de lacabeza, una sexta parte, la altura de la cabeza hasta el final de lascostillas es un cuarto de la altura de un hombre, la anchura mxima deloshombrosesuncuartodelaalturadeunhombre,ladistanciaentreelcodoalextremodelamanoesunquintodeunhombre,yentreelcodoyla axila, la octava parte, la longitud de la mano es un dcimo de suestatura; el inicio de los genitales marca el centro del hombre, ladistancia entre la planta del pie y la base de las rodillas es la cuartapartedelaalturadeunhombreyentrelabasedelarodillayeliniciodelos genitales tambin la cuarta parte, la distancia entre la barbilla a lanariz es un tercio de la longitud de la cara, la distancia entre elnacimiento del pelo y las cejas es un tercio de la longitud de la cara, ladistancia entre el nacimiento del pelo y la oreja es un tercio de lalongituddelacara. Eltrazadodelasdosfigurasgeomtricas. Comosehacomentauoconanteiioiiuau,lasfiguiasgeomtiicas uelcuauiauoyuelciiculo,nofueionuibujauasalazai,sinoque iesponuenaunmeticulosoyalavezgenialtiazauo,basauoenlas uifeientespiopoicionesquesevanobtenienuoapaitiiueunpiimei eje o linea veitical. Semuestianacontinuacionunaseiieuefotogiafiasqueiecogen, paso a paso, la foima en que Leonaiuo ua vinci iealizo el tiazauo ue las uosfiguiasgeomtiicas,elcuauiauopiimeioylaciicunfeiencia uespus,peifectamenteencajauasentiesi,uetalfoimaquequeuan sealauos entie ambas los puntos poi los que se tiazain las lineas uel cuauiauoque,finalmente,constituyelapaiteocultaueluibujo,yesla quemuestialafoimaenlaquesehaueencontiailasolucionuel pioblema. 19 Losuibujosquesepiesentanacontinuacion,hansiuoiealizauos manualmente, utilizanuo solo un comps y una iegla sin giauuai. 1. Con una iegla se uibuja una linea veitical y a paitii ue un punto tomauocomocentio,conelcomps,semaicansobieuichalineauos puntosueiefeiencia,equiuistantesuelcentio,comosisetiataiauel eje ue una ciicunfeiencia imaginaiia. 2u 2.Sobielamitausupeiioiuelalinea,situanuoelcompsenel punto cential y en el punto supeiioi, sucesivamente, se sealan los uos puntosueiefeienciaequiuistantes,uesuelosqueconlaieglasetiaza la linea que maicai el punto meuio. Lalineaveiticalueiefeienciahaqueuauouiviuiuapoilanueva maicasealanuolassiguientespiopoiciones:0nacuaitapaiteenla supeiioi y ties cuaitas paites en la infeiioi. 21S.Situanuoelcompssobieestepuntomeuioysobielamaica uel punto infeiioi ue la linea, sucesivamente, se sealan los uos puntos ue iefeiencia equiuistantes, sobie los que se sita la iegla paia maicai un punto que uiviue ue nuevo poi la mitau la paite infeiioi ue linea. Bemosmaicauoelpuntomeuiouelastiescuaitaspaitesuela linea ue iefeiencia inicial. 224.Situanuoelcompssobieesepuntomeuioytomanuola uistancia hasta el punto infeiioi, uesue caua uno ue los ties puntos ue lalineasevanmaicanuosucesivamentelospuntosequiuistantes.Con laieglasetiazanlaslineasqueunenuichospuntosfoimanuoun cuauiauo. La meuiua ue los lauos ue este cuauiauo, guaiuan una piopoicion muyespecialiespectouelalineainicialueiefeiencia.Bichalinea coiiesponueiiaaluimetioueunaciicunfeienciaimaginaiiaycaua una ue sus uos mitaues seiia la meuiua ue un iauio. Lasuma ue 6 iauios ue la citaua ciicunfeiencia iesulta sei igual a la suma ue los 4 lauos uel cuauiauo.Con uicha piopoicion (64=1,S) la meuiuauecaualauouelcuauiauoiesultaseiigualalameuiuaueun iauioymeuio,oloqueeslomismo,igualalameuiuauelasties cuaitas paites uel uimetio. 2SS. Situanuo el comps sobie el punto meuio uel lauo izquieiuo uel cuauiauoyelviticeinfeiioiuelmismo,sesealanlosuospuntos equiuistantes.Situanuolaieglaentieuichospuntos,setiazalalinea quelosuneysemaicaelpuntomeuioquecoiiesponuealacuaita paite uel lauo uel cuauiauo. Situanuoelcompsenelcentiouelcuauiauoytomanuola uistanciahastauichopuntomeuio,setiaslauaesameuiuahastala paite infeiioi ue la linea veitical, maicanuo sobie ella un nuevo punto ue iefeiencia. En el uibujo oiiginal, Leonaiuo coloca esta maica justo en el punto cential ue una linea paialela al lauo infeiioi uel cuauiauo, que tiene su misma meuiua, y en la que auems, apaiecen sealauas unas maicas en susuosextiemos,conunaseiieuepequeasuivisionesiguales,que sugieien sei maicas paia meuiciones. Sin embaigo, el veiuaueio objeto uelamencionaualineainfeiioi,noesotioqueelueuejaiconstancia en el uibujo ue esa maica utilizaua como iefeiencia.24 6. Con el comps se toma la misma meuiua ue la mitau ue la linea inicial(uniauio)ysesitaenelpuntoinfeiioisealauo,tiaslauanuo uichameuiuauenuevosobielalineaveiticalymaicanuounnuevo punto ue iefeiencia. La uistancia uesue el centio ue la linea inicial hasta el punto meuio uellauoinfeiioiuelcuauiauo,esigualalauistanciaentielosuos ltimos puntos ue iefeiencia. Conestaopeiacionhemosobteniuounpuntoueiefeienciaque tiansmitelaspiopoicionesexistentesentielasmeuiuasueliauioue una ciicunfeiencia y el lauo ue un cuauiauo. 2S 7. Situanuo el comps en el punto maicauo y tomanuo como iauio lameuiuahastalamitauuellauoinfeiioiuelcuauiauo,setiazauna ciicunfeienciaquesecoitaconelcuauiauoenseispuntosuifeientes, ue los cuales cuatio son los que maican las nuevas iefeiencias. Los uos situauos en el lauo izquieiuo y los uos en el lauo ueiecho. Bastaaqui,hemostiazauolasuosfiguiasgeomtiicasqueson, en piopoicion, iunticas a las uel uibujo tal como lo iealizo Leonaiuo. Apaitiiueaquisoloiestacompletailapaiteoculta,aquellaque nosmuestiacomosehaueiesolveielpioblemauelacuauiatuiauel ciiculo y cuyo tiazauo contina en las siguientes imgenes. 26 8.Situanuolaieglaentieelpuntosupeiioiuelejeveiticalyel puntouonueellauoinfeiioiizquieiuouelcuauiauosecoitaconel ciiculo, se tiaza la linea que une ambos puntos. Esta linea sei el piimei lauo uel cuauiauo. 279.Situanuolaieglaentieelextiemoinfeiioiueesalineayel puntoinfeiioiuelejeveitical,setiazaunasegunualineapiolongaua ms all ue este punto. Conelcompssituauoenelviticequefoimanambaslineas,se toma la meuiua ue la piimeia linea, y tiaslaua a la segunua, maicanuo sobie ella exactamente la misma meuiua. Ya tenemos los uos piimeios lauos uel cuauiauo. 28 1u.Situanuoelcompsentieelpuntosupeiioiuelejeveiticaly elpuntosupeiioiuonueellauoueiechouelcuauiauosecoitaconel ciiculo, se tiaza una teiceia linea piolongnuola. Situanuoelcompssobieelviticeueambaslineasconlameuiuatomauauelapiimeialineasetiaslauamaicanuosobieella exactamente la misma meuiua. Ya tenemos el teicei lauo uel cuauiauo. 29 11.Finalmente,situanuolaieglaentielosuospuntosextiemos uelaslineassegunuayteiceia,setiazalalineaquecieiiaycompleta el cuauiauo. Elcuauiauofinaleseliesultauoocultoueunconocimientoque uebiosignificailapiincipaliazonpoilaqueLeonaiuoiealizoeste uibujo. Comohemospouiuocompiobaiatiavsuealgunasiefeiencias, queafiimanqueLeonaiuoestabaobsesionauoconestepioblemay poielqueiealizonumeiososuibujos,ueloscualesnoexisteninguna constancia.Tansolounuibujoqueiesultaseielqueaglutinatouala enseanzaquepeimitecompienueielmtouoqueuebeutilizaise paiatiazaielcuauiauoqueuasolucionalpioblemauelacuauiatuia uel ciiculo. Su0nconocimientoquehapeimaneciuoocultouuiantemileniosa losojosuelospiofanosyquenicamentehabiianconociuoaquellas peisonasuelmunuouelacultuiaylaciencia,quefoimaianpaiteue ueteiminauassocieuauessecietas,quelohabiianguaiuauo celosamente,yaquefoimaiiapaiteueesosconocimientossagiauos quesevantiansmitienuoentieaquellaspeisonasconociuasconel nombie ue iniciauos. Quinquieiaqueloueseepueuecompiobailaexactituuuel tiazauoquesehaejecutauo,veiificanuolaspiopoicionessealauas, paia lo cual solo es necesaiio utilizai una copia uel uibujo ue vitiuvio y un comps. Paiaveiificailapiimeiapiopoicion,sesitaunextiemouel compsenelpuntoquemaicaelombligouelafiguiahumana(el centiouelciiculo),yelotioextiemoenelpuntocentialmaicauo sobielalineasituauabajoellauoinfeiioiuelcuauiauo,paialelaal mismo.Acontinuacion,conesameuiua,sesitaelcompssobieun viticeuelcuauiauoysehaceunamaicaenunoueloslauos.Esa maica seala la meuiua ue los uos teicios uel lauo. Paiaveiificailasegunuapiopoicion,sesitaunextiemouel comps en el punto que maica el pubis ue la figuia humana (el centio uel cuauiauo), y el otio extiemo en el mismo punto cential maicauo en lalineasituauabajoellauoinfeiioiuelcuauiauo.Acontinuacion,se tiaslaua esa meuiua hasta coitai uno ue los lauos. Esa maica seala la meuiua ue cuaita paite uel lauo. Es impoitante uestacai que el uibujo se ha iealizauo con una iegla sin giauuai,que se utiliza exclusivamente paia tiazai las lineas iectas entieuospuntosmaicauospieviamente,yconuncompsquese utilizapaiamaicailospuntosueiefeiencia,paiatomailasuistancias o las meuiciones entie uos puntos, paia tiaslauai las meuiuas ue unas lineas a otias, y paia compaiai las uifeientes piopoiciones. Comosehapouiuocompiobaienlaseiieuefotogiafias,es posibleiesolveiestepioblema,peiofunuamentalmentesisetieneel conocimientouelmtouoquehasehaueseguiieneltiazauouel cuauiauo. Y ese mtouo es el que Leonaiuo ua vinci uejo en un uibujo genial como es ElhombredeVitruvio. S1Eldibujotrazadoconunordenador. Bificilmente puuo habei imaginauo Leonaiuo ua vinci, uanuo poi hecho que poseia ue una extiaoiuinaiia imaginacion, que en un futuio lejano,elcompsylaieglaseiiansustituiuospoiotiasheiiamientas que iban a piopoicionai una mayoi peifeccion en la iealizacionue los uibujos,yauems,obteneicongianpiecisionlasmeuiuasylosuatos paia la iealizacion ue los clculos. Bemos ue ieconocei que seiia mucho ms uificil ue imaginai esto mismo,paiaotiaspeisonasmenosinstiuiuasycapacitauasquel, incluiuasmuchasuelaspeisonasque,aunhoy,seguimosconocienuo nuevosavancestecnologicosuelosquehacetansolounaspocas ucauas ni siquieia pouiamos imaginai. Lainfoimticanoshaabieitolaspueitashaciaunanueva uimension:Laiealiuauviitual.Laposibiliuauueiealizaielmismo uibujoconunoiuenauoi,obteneilasuifeientesmeuiuascongian piecision y hacei los clculos con muchos nmeios uecimales, nos va a peimitiisacainuevasconclusionesqueconlosuibujoshechos manualmente iesultaiia imposible. Paiaello,ysiguienuolosmismospasosquelosmostiauosenla seiie ue fotogiafias que hemos visto, se ha iealizauo el mismotiazauo con un piogiama ue uibujo poi oiuenauoi.

S2Eldibujorealizadoconunordenador Detalledelospuntosdeldibujo. Punto 1.Eselcentiouelalineainicial(ab),uiviuiuapoiuos iauios (1a) y (1b). Punto 2.Eselcentiouelaciicunfeienciafinalobteniua,cuyo iauio es (2b) y con cuya meuiua se calcula la supeificie uel ciiculo. Punto 3.Eselcentiouelcuauiauooiiginalutilizauocomo iefeiencia paia obtenei la ciicunfeiencia. La meuiua ue sus lauos es igual a las paites ue la linea inicial. Puntoa.Es el piimei punto ue iefeiencia sobie la linea inicial. Punto b. Eselsegunuopuntoueiefeienciasobielalinea inicial y es el punto ue iefeiencia paia obtenei el iauio uel ciiculo. aedbc123fSSPuntoc.Es el punto al que se tiaslaua la meuiua ue iefeiencia entie el centio uel cuauiauo y el punto que uiviue el lauo izquieiuo en 4 paites iguales. Punto d. Eselpuntouonueelciiculosecoitaconlapaite infeiioi uel lauo izquieiuo uel cuauiauo. Punto e. Eselpuntouonueelciiculosecoitaconlapaite supeiioi uel lauo ueiecho uel cuauiauo. Punto f. Eselpuntouonueelciiculosecoitaconlalinea inicial.Lasmedidasdeldibujoylosclculos. Elsiguientecuauioiecogelasmeuiuasquesehanobteniuouel uibujo y los clculos que se han iealizauo. Elciiculoquesehaobteniuoconelejemplo,cuyaciicunfeiencia inicialsehatiazauoalazai,tieneuniauioquemiueunos1S,S centimetios,yellauouelcuauiauofinaliesultantetieneunameuiua ue unos 27,12 centimetios. S40no ue los uatos que hemos ue iesaltai es la meuiua uel lauo uel cuauiauo exacto que ha siuo calculaua como la iaiz cuauiaua uel uato ue la supeificie uel ciiculo. Bicha meuiua es ue 271,46S2 milimetios, Sicompaiamoslasmeuiuasuellauoobteniuoconeluibujo (271,2448mm.)yesameuiuaexactacalculaua,vemosquehayuna uifeienciauetansolou,2184milimetios.Apenaspocomsue2 ucimasuemilimetio,menoiquelameuiuacalculauacomoexacta. 0nauifeienciaqueiesultainapieciableasimplevista,eimposibleue uetectai con una iegla convencional. Esteejemplo,ypoitantoeluibujooiiginalueLeonaiuo,iesultan sei una apioximacion a la solucion exacta ue la cuauiatuia uelciiculo, yaquetienesolounpoicentajeueeiioiueunu,16%poiuefecto,en lauifeienciauelassupeificiescalculauasiespectouelasupeificieuel ciiculo.

Lauifeienciauelassupeificiescalculauasuacomoiesultauola uifeienciaueunos118milimetioscuauiauos,significativamente gianue como paia consiueiai que el uibujo fueia la solucion con la que Leonaiuocieyoqueiesolviaelpioblema.Sinembaigo,yaunquelos nmeiosnocuauien,sepueuevaloiaiqueeluibujoueEl Hombre deVitruvio,auemsueseigenialeimaginativo,uauniesultauouetal apioximacion, que pouiia sei consiueiauo como esa solucion. Becualquieifoima,laafiimacionuequeestanoeslasolucion exacta, solo se pueue iealizai basaua en un nico aigumento, y es el ue quesehautilizauounpiogiamaueuibujoinfoimticopaiatiazaiel mismo uibujo. SSElsmbolodeElHombredeVitruvio. ElHombredeVitruvioesunsmbolodelaGeometra EluibujoueElBombieuevitiuvioeslaiepiesentacionueun simbolo,puestoquecontieneensusignificauounconocimientouela ueometiia,queLeonaiuouavincitiansmitioconunaintencionue mantenei oculto uicho conocimiento, lejos uel alcance ue los piofanos, al igual que hicieion otios muchos aitistas y aiquitectos, que utilizaion muyuiveisossimbolosyfoimaspaiatiansmitiiesetipoue conocimientosalosquenicamentepueuenacceueipeisonas iniciauasyelcompiomisoueseguiimantenienuoesaieseiva,yque, comoveiemos,foimanpaiteconsustancialuenumeiosasobias aiquitectonicas que fueion constiuiuas poi touas las cultuias a lo laigo uepeiiouosquecompienuenuesuelaAntigeuauyuuiantelaEuau Neuia,ueloscualesnosqueuaioncomounaheienciaunpatiimonio ueinestimablevaloi,comosonlasgianuesmaiavillasaiquitectonicas y aitisticas ue las citauas pocas. S6 Quienespuuieionteneiaccesoalconocimientoaestemtououe tiazauoueLeonaiuouavinciquepueueiesolveilacuauiatuiauel ciiculo,sinuuuaqueconocieionalavezlauificultauuesealaila solucionuelpioblema.Yaquesetiataueunpioblemaque,ejecutauo conuichomtouo,aumiteunamultipliciuauuetiazauosuifeientes que,alseiiealizauosconuncompsyunaiegla,uanmltiples iesultauosapaientementecoinciuentes,poiloqueantetantas solucionesposiblesiesultaimposibleuecantaisepoiunaueellascon absolutaseguiiuau.Quizsfueestauificultaulaiazonpoilaquese ueteiminoque,tantoesemtouocomoesaimposibiliuau, peimanecieianocultosentielosconocimientosqueseuivulgaionen mateiia ue geometiia. Yelaccesoaesosconocimientos,contouapiobabiliuausolo pouiia tenei lugai uentio ue socieuaues secietas, a las que solo pouian peiteneceipeisonasuestacauas,conunagianfoimacioncultuial,o poisupiofesion,yquehubieianteniuounapiepaiacionpievia,que siempie han exigiuo ese tipo ue socieuaues, y siguen exigienuoincluso actualmente,yaquetienenestiictasieglasyfoimaspaiaiecibiiy tiansmitii sus enseanzas. Estansolounahipotesis,peioenloqueseiefieiealoscitauos conocimientos,Leonaiuouavincipuuohabeisiuounoueaquellos hombies uestacauos ue su poca, iazon poi la que puuo tenei acceso al mtouoquehemosmostiauoconanteiioiiuau,conelque,como hemospouiuosabeipoialgunasiefeiencias,iealizonumeiosos tiazauossinconseguiiunasolucionquelefueiasatisfactoiia,hasta que iueo una foima ue tiansmitiilo, mantenienuo ese conocimiento en secieto, y a la vez seguii peipetunuolo paia posteiioies geneiaciones, aunque fueia en foima ue enigma. Yuentioueesahipotesis,esuonuetenuiiasuexplicacionel enigmticoyalavezapaientementebuilescouibujoueEl Hombre deVitruvio.Tououncompenuioueenseanzasiefeiiuasalaueometiia, ieflejauoenunuibujo,quetieneunasanotacionesquesealanuna claiaiefeienciaaunuestacauoaiquitectouelaantigeuau,comofue NaicovitiuvioPolion,paiatiansmitiiconlunconocimientoqueha seguiuopeimanecienuoocultouuiantevaiiossiglos,yqueueno habeilo iealizauo, sin uuuaque se habiia peiuiuo paia siempiecon la mueiteueLeonaiuo,alhabeiseuestiuiuoesosmltiplesyuifeientes uibujos que, segn las iefeiencias que conocemos, iealizo. S7 EsconociuoqueLeonaiuopeitenecioaalgunauelassocieuaues ocultas ue su poca, piobablemente a alguna logia ue la masoneiia, poi lo cual tuvo que iespetai el juiamento que ata a touos los miembios ue ese tipo ue socieuaues, lo que le obligaba a guaiuai silencio ue aquellos conocimientosqueiecibiouentioueesasocieuau,sobiegeometiiay aiquitectuia,aunquefueianuelomselementales,peioqueuuiante milenios fueion consiueiauos sagiauos poi sus poitauoies. Sea cual fueie la iazon, paiece claio que uel piopio uibujo paiece ueuuciise que Leonaiuo conocio ese mtouo paia iesolvei el pioblema uelacuauiatuia.Poiellosuigenunaseiieuepieguntassobieel motivo que le llevo a mostiai pblicamente un solo uibujo: Poi qu Leonaiuo no hizo pblico ese conocimiento.Encontiolasolucionpoisuspiopiosmeuiosotuvoaccesoa infoimacion ue otias cultuias.Eia un secieto que se mantenia uesue pocas antiguas.Eseconocimientoeiaconociuopoiotioshombieseminentes uesue la antigeuau. Y seguiamente muchas ms. NosepueueuescaitaiqueeluibujoueElBombieuevitiuvio puuieiaconteneiotiossecietos,oconocimientosocultos,comopoi ejemplolasimbolicafiguiaueloctogono.Comoyahemossealauo, entielasposiblesclavesqueapaieceneneluibujo,comosonlas anotacionesuelasmeuiuasolasmaicasenuifeientespaitesuel hombie uesnuuo, estn las uos posiciones uifeientes ue los biazos y las pieinasuelafiguiahumana.Bichasposicionespouiianexpiesai tambinlaiepiesentacionueunosejesimaginaiios,queson coinciuentes,tantopaiaelciiculocomopaiaelcuauiauo:Laposicion uelosbiazosylaspieinasenciuziepiesentaiianlosuosejes,el hoiizontalyelveitical.Ylaposicionuebiazosypieinasenaspa, iepiesentaiian los uos ejes tiansveisales. Siseuibujanuichosejessobieunaciicunfeiencia,staqueua uiviuiuaenochopaitesiguales,poiloqueuichasposicionespouiian estaisugiiienuolafiguiaueunoctogono.Lasugeienciaueunafiguia geomtiica como el octogono, o la uivision ue la ciicunfeiencia en ocho paitesiguales,pouiiapaieceielementaloinclusoiiielevante,sino fueia poique uicha figuia, al igual que la ciicunfeiencia, ha teniuo una especialtiascenuenciaenlasconstiuccionesaiquitectonicasuuiante vaiios siglos, especialmente en las constiucciones ue caictei ieligioso. S8 Acaso pueue tenei la figuia ue un octogono algn otio significauo ms tiascenuente. Existeunagiansimilituuyielacionentielasfasesylas piopoicionesqueutilizoLeonaiuopaiatiazailasuosfiguias geomtiicas uel uibujo tal como ya las hemos visto, con las fases y las piopoicionesconlasquesepueuentiazailosesquemasoplanosue numeiosaspiimiuesueEgiptocomoveiemosmsauelante,en cuyouiseo,apaitiiueunaciicunfeiencia,losquelasconstiuyeion utilizaion un mismo mtouo o pation. Con una excepcion: El uiseo ue lauianPiimiueueKeopsseobtieneapaitiiueunaciicunfeienciay uesuoctogono,cuyolauotienelamismameuiuaqueellauouel cuauiauouelabaseueuichapiimiue,poiloquepaitienuouela figuia ue un octogono se pueuen obtenei ue foima piopoicional touas lasmeuiuasueuichapiimiue:loslauos,lasaiistas,lasapotemasyla altuia, tal como veiemos ms auelante. Eugene Canseliet (18991982), uiscipulo ue Fulcanelli, esciibio en el piologo ue una ue las piimeias euiciones uel libioElMisteriodelascatedrales,el siguiente piiafo: .S9Eloctgono. Lafiguiaueloctogonoesunouelossimbolosmspiofusamente utilizauosenlageometiiayenlaaiquitectuia,uelquelatiauicion apuntaaunasiaicesqueseiemontaiianhastalosoiigenesuelas constiuccionesfaiaonicasuelosegipcios,enlasquelasfoimasylas piopoicioneseianconsiueiauascomoconocimientosuecaictei sagiauo.Uno de los aspectos que ms sorprende en el misterio de la ordentemplaria es la presencia de la figura octogonal en todas susconstrucciones.Ermitas,iglesiasycastillosrepitenportodaEuropayenelOrientecercano,noporcasualidad,esteelementoornamental.Lacruzqueportabanloscaballerostenatambinmuchoqueverconestafigurageomtrica.El octgono, aparece muy relacionado con la Cruz templaria y elalfabeto hermtico, que es sabido utilizaban en sus transaccioneseconmicasyensuscomunicacionesinternas.AlgunosautoreshandichoqueelalfabetodebiserlesinspiradodurantesupresenciaenPalestinayotros han dicho que tales grficos tenan un alcance talismnico omgico. Lo ms seguro es que tuviera un sentido criptogrfico a lausanzadeotrassociedadesesotricasmedievales...El uso de ese alfabeto secreto no puede ser entendido sin el empleode una cruz especial que los caballeros templarios portaban siemprecomo alhaja, colgada de una cinta curiosamente roja. A esta cruz se ladenominaba"delasochobeatitudes"o"bienaventuranzas".La cruz de ocho puntas, incluida en un polgono, producir unoctgono. As pues, dicha cruz servira como smbolo base para eltrazado octogonal en la planta de las capillas templarias. En el planoarquitectnico, al signo mediador del ocho, los caballeros constructoresaadan la significacin central de la cruz, la Unidad, invisible en laconstruccinmaterialperosinlacualstanoexistira.ApartirdelasentamientodelaOrdendelTempleenJerusaln,enelTemplo de Salomn y ms concretamente en la mezquita de Omar oCpuladelaRoca,Occidenteretomaconpujanzaeltipodeconstruccinpoligonal y es la Orden del Temple la que, salvo contadas excepciones,construyeestascuriosasedificacionesunpocoportodaEuropa.4uElesquemaconstructivooctogonal,estclaramenteinspiradoenlaCpula de la Roca o Santuario de la Roca en Jerusaln. Este santuarioislmicofuelaprimeraiglesiadelaOrdendelTemple.Para los musulmanes, el octgono, la estrella de ocho puntas, hacereferencia a los cuatro profetas principales y a los cuatro ngelesmayoresquesujetanelTronodeDios.ElDomodelarocaenJerusalnesun edificio de ocho lados, en cuyo panel exterior hay una orla deoctgonosestrelladosinscritosenuncrculo.Elgruposimblicofemeninodelochopodemosverlovivoantantoen la arquitectura civil como en la religiosa. Muchsimos baptisterios,fuentes, pozos de claustros en iglesias y monasterios, y tambin deedificios civiles, han sido construidos en forma de cilindro poligonal deocho lados. Podemos ver esta geometra repetida una y otra vez en losbaos rabes, y tambin en diversas iglesias de planta octogonal (laVeracruz segoviana, Eunate y el Santo Sepulcro en Navarra, la CapillaPalatina, el Baptisterio de Miln, San Lorenzo Maggiore en Italia, etc.),ascomoenmltiplestorresmudjaresodeestainfluencia.Con la superposicin de los dos cuadrados, el de los cuatroelementos (agua, tierra, fuego y aire), junto a los cuatro humores y loscuatro estados de los elementos (fro, humedad, calor y sequedad), yhacindolosgirar,tendramosdenuevolageometraoctogonal.>http:www.esquinamagica.comwikimagicainuex.php.title=0ctogiama#La_Luna.2C_venus_y_la_geometi.CS.ABa_uel_8 41FuentetemplariaTomar.PortugalFuenterabeAlhambradeGranadaFuenteromanaMuseoromanodeMrida 42 Betouoloanteuichosepueueapieciai,queuesuelostiempos msiemotosuelaantigeuauyuefoimaespecialuuiantelaEuau Neuia,muchasconstiuccionesyelementosuecoiativosielacionauos conlaaiquitectuia,estnplagauasuesimbolosqueasuvezfoiman paite ue las tiauiciones y iitos que envuelven a las socieuaues secietas, yqueuuiantetouosesossiglossefueiontiansmitienuocomouna tiauicionheimticaysecietaquehabiaqueguaiuaibajoiiguioso juiamento. Leonaiuo ua vinci, al igual que otios uestacauos peisonajes uesu poca,esseguioquefoimopaiteuealgunasocieuausecieta,en concietoseleielacionaconlamasoneiia,poiloquenouebeiesultai aventuiauosuponeiqueeneluibujoueElBombieuevitiuviopuuo iepiesentai algo ms que una simple expiesion aitistica, ya que iecoge yieflejatouaunasimbologiatiansmitiuauesuelaantigeuau,con unosconocimientosquepaialosegipciosylosgiiegossignificaionla base piimoiuial ue la ueometiia. Lasiaicesuetouaestatiauicionapuntanypiofunuizanenla cultuiaegipcia,enlacuallaspiincipalesconstiuccionestenianun componenteiitualyieligioso,basauoenlascieenciasespiiituales ielacionauasconsusuiosesyconlaviuaenelmsall.Yenaquella cultuia, las constiucciones que ms uestacan poi su caictei espiiitual yquetienenlaconsiueiacionuemssagiauassonlaspiimiuesue Egipto,poiloquenouebeiiaextiaainosquegianpaiteuela simbologia geomtiica ms sagiaua tenga ielacion, y quizs su oiigen, en esas piimoiuiales constiucciones. LabaseuelapiimiueueKeopslaconfoimauncuauiauocuyo lauo se obtiene ue la octava paite ue la uivision ue una ciicunfeiencia. Es uecii, caua lauo uel cuauiauo es igual al lauo ue un octogono iegulai quesefoimaconunaciicunfeiencia,apaitiiuelacualsetiazan, auems,touasycauaunauelaslineasqueconfoimanlapiimiue, cuyas caias estn foimauas poi cuatio tiingulos. Tenemosqueconsiueiaientonces,quesonlaciicunfeienciaoel ciiculo, el tiingulo, el cuauiauo y el octogono, las figuias geomtiicas piimigeniasysagiauas,cuyasimbologiahanconstituiuounapaite sustancialenlasconstiuccionesuecaicteiieligiosoyespiiitual, uuiante los siglos que nos pieceuen. 4SEnunauelasobiasueRobeitBauvalyuiahamBancocktitulaua Talismn,se iecogen numeiosas sugeiencias sobie la existencia ue una claiautilizacionuelafiguiaueloctogonocomosimboloueconociuas socieuauessecietasalolaigouelahistoiia:Losctaios,templaiios, iosaciuces,masones,etc.Existeunacoinciuenciaentouasestas socieuaues, y es que sus cieencias ue caictei ieligioso, ue una foima y otia,teiminaionsienuoconsiueiauascomoheiejiaspoilaIglesia Catolica,ypoitantopeiseguiuas,enalgncasohastasutotal uesapaiicion.Yesqueuichascieenciasteniantambinencomnlas mismas iaices, que se hunuiiian hasta lo ms piofunuo ue la sabiuuiia yfilosofiauelosantiguossaceiuotesegipcios,cuyosconocimientos siguensienuoconsiueiauoscomolacunauetouaslascivilizaciones,y queestaiianiecogiuosenlosconociuoscomotextos hermticosue Beimes Tiismegisto. A mouo ue ejemplo, uno ue los simbolos que ponen ue manifiesto laielacionentieeloctogonoyunaueesassocieuauessecietasesla cruzpatada,queiuentificabaaloscaballeros templarios,yqueest compuesto poi una ciuz ue coloi iojo encuauiaua uentio ue un maico octogonal. Cruzpatadatemplaria 44Piobablementeauoptaionuichosimbolopoilaielacionquelos templaiios tenian con el templo ue Salomon, a los que ue alguna foima, fue la figuia uel octogono, la que inspiio paia constiuii en }eiusaln la conociua como CpuladelaRoca que tiene una estiuctuia octogonal y estdeliberadamente alineada con los cuatro puntos cardinales: Norte,Sur,Este,Oeste. TemplodelaRoca.Jerusaln Beestafoima,elsignificauoaiquitectonicoueloctogonoseiiael ueunsimbolofunuamentalutilizauouesuelaantiguaaiquitectuia egipcia, y cuya figuia habiia seguiuo sienuo utilizaua en la Antigeuau yenlaEuauNeuia,yposteiioimentepoiuestacauosaiquitectosque, auems, apaiecen ue una y otia foima ielacionauos con algunas ue las citauassocieuaues.0noueesosconociuosaiquitectoshabiiasiuo Berninielcualconstiuyolafamosacolumnataqueiouealaplaza situauauelanteuelabasilicaueSanPeuioenelvaticano,enRoma, cuyouiseogeomtiicocompletaelsuelouelespaciouelaplazacon unaelipseuiviuiuaenochopaites,enfoimaoctogonalyencuyo centiosecolocounobelisco egipcioquefuetiaiuouesuelaciuuauue Beliopolis,enlaquesesuponelaexistenciaueunTemplo del Soluel queelnicoiestoquequeuaesotioobeliscoeiigiuopoielfaiaon Sesostiis I. 4S DiseooctogonalenSanPedroVaticano.Roma Existennumeiosasiefeienciasquepaiecenielacionaieste simboloconsocieuauesocultasoesotiicas,especialmenteconla Masonera.Behecholasiaicesuelamasoneiiasehunuenenlos conocimientosuelantiguoEgipto,peisonalizauosenlafiguiaue HermesTrismegisto. Y entie los conocimientos que foiman paite ue sus iitosysimbolosseencuentialaueometiia,cienciaquepuuoseiel oiigen o el funuamento ue uichas socieuaues masonicas. Como una pequea muestia ue touas estas iefeiencias, se iecogen acontinuacionunaseiieuecitassobielamasoneiiaque,aunquesea uefoimamuysupeificial,noshanueseiviipaiacompienueila peifecta sintonia que existe entie los piincipales simbolos que foiman paite ue sus iitos, siempie ielacionauos con la geometiia, y las figuias uelciiculoyuelcuauiauosimbolizauaseneluibujoueEl Hombre deVitruvio.

46Lamasonera. Coneltiminofiancsman o masn,seiuentificabaalos albailes,aloscanteios,alostallauoiesuepieuias,esuecii,atouos aquellosoficiosielacionauosconlaaiquitectuiaylaconstiuccion. BesuelaAntigeuauyenlaEuauNeuiasuigieionheimanuauesque agiupabanalosuifeientesgiemiosueuichosoficiosyqueeian conociuas como lamasonera. Sobielosoiigenesuelamasoneiia,existenuistintashipotesisy opiniones,aunquecasitouaslasielacionanconleyenuastemplaiias, especulaciones heimticas y las ms uiveisas coiiientes esotiicas.

De lo que ya no hay duda es de que las catedrales gticasconstruidas en Europa durante la Edad Media fueron obra de masonesagrupados gremialmente en logias, lo que se ha denominado MasoneraOperativa. Estos masones (que si bien eran en general hombres, hubocasos de membresa femenina), utilizaban los instrumentos deconstruccinparaelusonormalaqueestabandestinados,lesdabanunainterpretacinsimblicadecarcteresotrica,moral,ticayespiritual.Estos gremios operativos tenan una organizacin gradual;manejaban conocimientos cientficos y tecnolgicos avanzados, queguardaban en el mayor secreto; tenan medios de reconocimientoigualmente secretos; practicaban la fraternidad, y mantenan reunionesreservadasenlaslogias,enlasqueejercanlalibertaddepensamientoyexpresin.No todos los gremios de masones operativos eran iguales, ya que elpasenquevivaninfluafuertementeensuscaractersticasparticularesy diferenciadoras. Esto hizo que, desde la propia Edad Media, se fuesegestando un desarrollo diferente de lo que posteriormente seran losdistintos ritos y costumbres masnicas de la llamada masoneraespeculativa.As,al grado de Maestro se le consideraba el grado supremo y se lesupona un nivel elevado de conocimiento en cuestiones como lageometra, la utilizacin de la escuadra y el comps, del cuadrado y deltringulo, y de la aritmtica, adems de ser iniciado en el smbolo ycapacitadoparalaenseanza.47De esta forma, por la buena ciencia de la geometra, comenz eloficio de la masonera, as fund el clrigo Euclides este oficio degeometraentierrasdeEgipto,enEgiptoatodosloenseyendistintospasesdetodaspartes. Elcuauiauoesunouelossimbolosuelamasoneiia;ensu uefinicionseleuesciibecomola expresin geomtrica del nmerocuatro,ysuponeelresultadodelaunindedostringulosrectngulos(odosescuadras).Paralosmasones,essmbolodelequilibrioestableydelaarmona. Tambin representa lo terrero y lo medible. Puede aparecerinscrito en un crculo, en cuyo caso simboliza la relacin existente entreloterrestreylocelesteotranscendente.Laescuadrayelcomps.Smbolosdelamasonera Lamasoneiiatomofoimaentielosantiguosgiemiosuecanteios yalbailesenlaEuiopauelgoticomeuieval.LosNaestiosue0biaue lascateuialesgoticas,cuanuosupeiabanlosexmenesqueles otoigabanelaccesoaesacategoiia,iecibiancomosimbolos,auems ueltitulocoiiesponuiente,un comps, una escuadra y un mandil.Son esosmismossimboloslosquetiauicionalmentesigueniecibienuolos miembiosqueacceuenalgiauoueNaestiouentiouelaslogias ielacionauas con la masoneiia. Algunos autoies ielatan que son vaiios los posibles oiigenes ue la masoneiia,unosatiibuyeneloiigenalapocaenqueseiealizola constiuccionueltemploueSalomon,otiosqueseiianlosmasones templaiioscuyooiigenestaiiaenlasCiuzauas,otiossugieienque 48losmisteiiosueEgiptoyPeisiahabiianinfluiuoenlosiitos masonicos...Poi ejemplo, la linea ue la masoneiia escocesa sostiene su iueaaceicauelauescenuenciauelamismauelosantiguosmiembios ue la 0iuen uel Temple. El arquitecto Hiram Abriff es un smbolo de los masones. Estepersonaje es el maestro de los maestros, y su historia, derivada de laconstruccin del Templo de Salomn, se considera el mito propiofundamentaldelamasonera. Sobie algunos iefeientes histoiicos que se iemontan a pocas ms antiguas, el esciitoi }. Schauiei publico en el ao 1861 unas teoiias con las que tiataba ue piobai una conexion existente entie la Nasoneiia y loscolegiosogiemiosuelosobieiosiomanosylaueestosconlas escuelas ue Aites y 0ficios y con los misteiios ue uiecia y Egipto. Como se pueue apieciai, son muchos los iefeientes histoiicos que apuntan a losconstiuctoiesysaceiuotesegipcios.Lasenseanzasqueestos impaitian,estabanveuauasalosnoiniciauos,yalgunasuelascuales, concietamente las ue Aiquitectuia y ueometiia, solo eian tiansmitiuas en secieto entie los piopios constiuctoies. Entre los albailes medievales no solo se seguan y respetaban lascostumbres tradicionales, sino que adems reciban una enseanzasecretadelaarquitecturabasadaensmbolosyenunaciertamsticadelosnmerosqueaplicabanalosproyectosytrabajosdelaconstruccin.Los maestros de obra de la Edad Media, no olvidaron nunca lasreglasdeorodelosconstructoresegipcios,sinlasqueprobablementenohubierasidoposiblelaarmonaarquitectnica. En 18uS en Italia apaiece la 0iuen bajo el nombie ue Rito Egipcio o}uuaico,mejoiconociuoconelnombieueNiziaim.Estaiamauela masoneiia uice iemontaise uesue Aun mismo, peio seiia nicamente enelsentiuouequeeliitofueseuepositaiiouecieitosmisteiiosue Egipto ypoi este meuio hubiese iecibiuo las enseanzas iniciticas ue la ms alta antigeuau. 49LamasoneraenEstadosUnidos. La masoneiia en Estauos 0niuos ue Amiica, uuiante el siglo XvIII tuvo entie sus iepiesentantes ms eminentes a uestacauos peisonajes comoueoigeWashingtonyBenjaminFianklin,quefueionlosliueies inuepenuentistasyievolucionaiiosquellevaionaesanacionala inuepenuencia y al establecimiento ue un sistema uemocitico basauo enlosiuealesmasones.0namuestiaueesaielacioneinfluenciaque tuvieionloscitauosuiiigentespoliticosconlamasoneiiaapaieceen un simbolo claiamente mason, que constituye el ieveiso uel uian Sello uelosEstauos0niuos,quefiguiaenlasmoneuasybilletesueuolaies estauouniuenses,yencuyaiepiesentacionapaieceuefoimamuy significativa la figuia ue una piimiue con un tiingulo en la cspiue. GranSellodeEstadosUnidos SuAlgunosritualesysmbolosdelaMasonera.Lalogiadebeestarformadacomomnimopordoshabitculosenforma cbica; las habitaciones pueden tener tambin una disposicinms amplia en su longitud que en su anchura, siempre que estnorientadasdeOrienteaOccidente. Al traspasar la puerta exterior debe existir un vestbulo donde se ha deencontrar la verdadera puerta de la logia, situada en una orientacinque tambin puede ser simblica prxima a noroeste. En su interior,todoslosmiembrosdebenestardispuestosenasientosdistribuidosjuntoa las paredes del Norte, Sur y Oeste. El Oriente es el lugar de honor. Alllos maestros y presidentes toman su asiento. El suelo ha de estarajedrezado y dispuesto en cuadrculas blancas y negras. Mientras, en eltecho ha de estar suspendido un emblema de la letra G procedente dela masonera operativa y smbolo del nombre de Dios God en inglsaunque hay quienes la consideran como la primera letra de la palabraGeometra.Sobre el estrado se coloca, en el centro, la ctedra del VenerableMaestro, presidente de la logia, que tiene delante un pedestal bajo enforma de columna jnica con el emblema del Maestro la escuadragrabadodelante.SobreelpedestaldescansauncojnenquesehallaunaBiblia junto a una escuadra y un comps, una y otra de plata oplateados; un mallete o martillo de desbastar, una tabla de resonancia,unacajadeherramientasyunacolumnajnica.Laescuadrayelcompssonsmbolosdelequilibrioylarectitud.La mayoiia ue las iefeiencias que se citan, han siuo tomauas ue la obiaueNiguelNaitinAlbo,LA MASONERA, Una hermandad decarctersecreto, publicaua en 2uu7. S1Elcompsylaescuadra.El comps y la escuadra representan dos estructuras distintas ycontradictorias:elcuadradoyelcrculo.Laescuadraeselinstrumentoatravs del cual se trazan y delimitan todas las estructuras posibles delmundomaterial:cuadrados,rectngulosylneasrectas;mientrasqueelcomps delimita el crculo, representacin mxima de lo Absoluto, deaquello que tiene principio y fin en s mismo. Por tanto la escuadrarepresentaralatierrayelcomps,elcielo. Estos simbolos, la escuauia y el comps, asi como otios emblemas peitenecientesalosgiemiosuelaconstiuccionyuelaaiquitectuia, ieflejanunaclaiaconnotacionmasonica,yconellolapiesenciauela masoneiia en la constiuccion ue numeiosas cateuiales y otios euificios ieligiososenlasquetomaionpaitelosmiembiosueestaslogiaso asociaciones.Poiejemplo,apaiecengiabauasescuauiasuealbaily compases, en la escaleia uoiaua ue la cateuial gotica ue Buigos. EscaleradoradaCatedraldeBurgos S2El comps tal vez sea el smbolo ms vinculado a la masoneradesde sus orgenes. Es el elemento que simboliza la bsqueda de laespiritualidad, transcendiendo el plano fsico. El comps, asociado a laescuadrayalaregla,comosmbolodelorelativonoeneltiemposinoenelespacio,yaquecircunscribelalneaderechaenunespaciolimitado. ElcompsEl comps es un smbolo esotrico para muchas sociedadessecretas. Esto es lo que expresa el comps, cuyos brazos sirven no sloparaindicarlamedidaproporcionaldelasdistanciasquehayentredospuntos y su comparacin, sino tambin para el trazado geomtricoperfecto de la circunferencia, imagen del ciclo hermtico y de la Obracumplida.Fulcanelli.Lasmoradasfilosofales. Amououecuiiosiuauhemosuecomentaiunuetallemuy elemental paia vei que con el comps y una escuauia se pueue llegai a compienueifcilmentecomo,apaitiiueunaciicunfeienciayunoue susejes,sepueuenllegaiatiazaiunsinfinuetiingulosiectngulos uifeientes. El mtouo es muy sencillo. SSSeuibujaunaciicunfeienciayunejequepasapoielcentio.Se tomalaescuauiaysesitancauaunouesusuoslauossobielos puntosextiemosueuichoeje.Seacualsealaposicionenquese coloque la escuauia, su vitice siempie toca en un punto uel peiimetio ciiculai.Sisemaicanlasuoslineasiectasquesealanlaescuauia, siempie queuai uibujauo sobie el ciiculo un tiingulo iectngulo. Sea cual sea la posicion en que se site la escuauia. Conunaescuadraseformanmltiplestringulosrectngulosentreunejeyelpermetrocircular Se pueue planteai como una hipotesis posible que esta cuiiosiuau geomtiica aplicable a la escuauia, fueia conociua uesue la antigeuau poi los antiguos constiuctoies egipcios, poi los maestios ue obia y poi losaiquitectosuuiantelaEuauNeuia,yquinsabe,quizsfueiaste unoueesosconocimientosocultosquesetiasmitianlosmiembios uentio ue las logias o socieuaues masonicas. S4LeonardodaVinciylamasonera. Leonardo da Vinci era miembro activo del Gremio de los Pintoresde Florencia y por tanto parece razonable colegir que perteneci a laMasonera Operativa. En las Ciudades Repblicas del norte de Italia, loshombresdelsaberydelasartesgozabandelaespecialproteccindelosgobernantes y esto dio oportunidad a la fundacin de Academiashumanistas y de investigacin, en contraposicin a las viejasUniversidades,fundadasporelclero,enlasquedominabanlosconceptosescolsticos.Francmasones son los masones libres, que rechazan toda ideadogmtica y aceptan los principios fundamentales de los masonesoperativos que les sirvieron para estructurar la FrancmasoneraProgresista Primitiva, que naci como un fenmeno social en 1517 bajla direccin de un grupo de hombres de ciencia y de las artes de laconstruccin, encabezados por Leonardo da Vinci, Americo Vespucio yPaolo Toscanelli, que combatieron la teologa y cultivaron la filosofa,teniendo como arma la verdad cientficamente demostrada; lucharonpor la democracia, fundaron el rgimen republicano abatiendo lamonarquaylateocraciayenlaactualidadluchanporlademocracia,lapaz y el progreso del gnero humano, y por la fraternidad, lacooperacinylasolidaridadentretodosloshombres.Los tradicionales talleresescuelas laicos, como el de Andrea deVerrochio, en el que se haban educado Leonardo da Vinci, AmricoVespucio, Pedro Sorderi, etc., ya no eran adecuados para llenar estanecesidad, toda vez que la amplitud de los conocimientos a que haballegado el Renacimiento en los diferentes campos de las Ciencias, exigalapresenciadeespecialistasencadaunodeellos.Como consecuencia de esta situacin, el Gremio de Constructores yartistas florentinos (Masonera operativa) se vio abocado a resolverla,encomendando su estudio al sabio Pablo Toscanelli, conservador de labiblioteca de Niccolo de Niccoli, en colaboracin con Leonardo de Vinci,artistayhombredeciencia,pertenecientealGremio,yAmricoVespucio,navegante,cosmgrafoycartgrafonotable.SSEstos tres hombres concibieron la idea de la formacin de unaAcademia, integrada por personas capacitadas en diferentes ramas delsaber, con el fin de ilustrarse mutuamente por medio de intercambio deconocimientos y prcticas, en presencia de los jvenes estudiosos quedeseaban adquirir una preparacin superior, mtodo de enseanzaprctica,dadalaescasezdemanuscritos,puesestabanescritosenlengualatina,griega,rabe,etc.,noaccesiblesmsqueaunoscuantoshombresilustradosdeentonces.http:masones.blogia.com2uu6uSu6u1logiaslautaiinasyfiancmasoneiiapiogiesista1.php S6SIMBOLOGA Ellenguajedelossmbolosesellenguajedelospueblosquenacen;amedidaquelospueblosenvejecen,dejadesercomprendido.2S7No est entie los objetivos ue este libio el analizai las costumbies, losiitos,lasieglas,olossecietosquefoimanpaiteconsustancialue lassocieuauessecietasque,comolasquesehanuesciitoenlascitas anteiioies,hanexistiuouesuetiemposiemotos,yaqueiesultaiia piolijo el intentai comentai, aunque fueia bievemente, la infoimacion ylahistoiiauecualquieiaueestassocieuaues.Belasiefeienciasque sehancitauoenielacionconestaclaseuesocieuaues,lonicoque iealmentetieneunasignificacioninteiesantepaiaelobjetivoueeste libio, son aquellos simbolos que compoitan una paite consustancial ue touas ellas. Yesqueuuiantesiglos,enlaplanificacionyconstiuccionuela mayoiiaueeuificacionessingulaies,suspiomotoiesoconstiuctoies nouuuaionenuejaiunaimpiontapeisonal,ieflejanuoenellastouos susconocimientosocieencias,meuiantelautilizacionuesimbolosy foimasconeviuentessignificaciones,enunoscasosuesencilla inteipietacionyenotiosmantenienuoelocultismofueiauelalcance ue los piofanos. Y nos iefeiimos tanto a aquellos simbolos ue caictei maicauamenteieligioso,comosonlaiepiesentacionconestatuasue lospeisonajesuelaBibliaquepueblanlospoiticosuelascateuiales goticas, como a aquellos simbolos ue caictei geomtiico que auoinan piofusamente las fachauas ue los euificios islmicos o muujaies. Los simbolos ieligiosos y los geomtiicos, poi ejemplo, ieflejan ue unafoimauiiectaymaicaualaintencionaliuauquepeiseguiansus piomotoiesolosquecosteaionlasobias,yaquepiouucenunefecto ueieconocimientoinmeuiatoenlosespectauoiespaialosqueiban uiiigiuos. Peiosonmuchosotioslossimbolosyfoimasquepasan uesapeicibiuospaialosespectauoiesqueloscontemplan,yaque fueioncolocauosnicamentepaiaquepuuieianseiieconociuospoi aquellosqueposeyeianlafoimacionolapiepaiacionnecesaiiaspaia su compiension o explicacion. Sonsignosuemuyuifeientesignificacion,comolossignos matemticos,comolaconstanteoelnmero de oro Phiconcuya piopoicionseuiseaionnumeiososeuificiosyalgunascateuiales goticas; signos ue misteiio, como son loslaberintosue algunas ue esas cateuiales; signosocultos como losuelaalquimia que segn ielataen susobiasFulcanelliapaiecenennumeiosasiepiesentaciones escultoiicasuealgunascateuialesgoticasfiancesas;signosue S8geometiia,comolasfoimasmltiplesyvaiiauasqueapaiecenenlos rosetonesciiculaiesqueocupanlugaiesuepiivilegioenlasgianues fachauasueiglesiasycateuiales;enfin,signosesotiicoscomolosue lasconstiuccionestemplarias,ueincompiensiblesimbolismopoila sbita y tigica uesapaiicion ue sus miembios. Beentielosnumeiosossimbolosquefueionutilizauos,tantoen geometiia como en aiquitectuia, y que como veiemos, apaiecen ue una foimamuygeneializauaennumeiososmonumentos,templosy euificios ieligiosos, uestacan uos poi su significacion geomtiica y poi elcaicteisimbolicoueloqueiepiesentan:La circunferencia y eloctgono. Aunque hay muchos simbolos geomtiicos ms, que tambin sein objeto ue comentaiio en capitulos siguientes. Geometrasagrada.Los principios fundamentales de la geometra arcana trasciendenlasconsideracionesreligiosassectarias.Comounacienciaquellevaalareintegracin de la humanidad con el todo csmico, ella ha de obrar,como en el caso de la electricidad, sobre todo aqul que rena loscriterios fundamentales, sin importar de quin se trate. La aplicacinuniversal de idnticos principios de geometra arcana en lugaresseparados por vastos espacios de tiempo, lugar y creencia atestigua sunaturalezatrascendental.Fue aplicada a las pirmides y templos del Antiguo Egipto, a lostemplosmayas,alostabernculosdeJehov,alosziguratsbabilonios,alas mezquitas islmicas y a las catedrales cristianas. Como un hiloinvisible,losprincipiosinmutablesconectanestasestructurassagradas.Unodelosprincipiosdelageometrasagradaloencontramosenlamximahermtica"comoesarriba,asesabajo"ytambinen"aquelloque se halla en el pequeo mundo, el microcosmos, refleja lo que sehallaenelgranmundoomacrocosmos".Este principio de correspondencia se halla en la base de todas lascienciasarcanas,dondelasformasdeluniversomanifestadosereflejanenelcuerpoyenlaconstitucindelhombre.S9En la concepcin bblica el hombre ha sido creado a imagen ysemejanza de Dios, siendo l un templo dispuesto por el Creador paraalbergar al espritu que eleva al hombre por encima del reino animal.Por ello,la geometra sagradano trata nicamente sobre las figurasgeomtricasobtenidasalamaneraclsicaconcompsyescuadra,sinotambin de las relaciones armnicas del cuerpo humano, de laestructuradelosanimalesylasplantas,delasformasdeloscristalesydetodaslasmanifestacionesdelasformaseneluniverso.Desde tiempos remotos la geometra ha sido inseparable de lamagia. An las arcaicas inscripciones en las rocas siguen formasgeomtricas. Debido a que las complejidades y abstractas verdadesexpresadas por las formas geomtricas solamente pueden serexplicadas como reflexiones de las ms profundas verdades , fueronconsideradascomomisteriossagradosdelmayornivelyfueronpuestasfuera de los ojos profanos. Estos profundos conocimientos pudieron sertransmitidos de un iniciado a otro por medio de smbolos geomtricossinquelosignorantesdeellosiquieratomarannotadequeseefectuabadichacomunicacin.Cadaformageomtricaestinvestidadeunsignificadosimblicoypsicolgico.Deestamaneratodoaquellohechoporlamanodelhombreque incorpore dichos smbolos deviene un vehculo para las ideas yconceptos incorporados en su geometra. A travs de las edades lasgeometrassimblicashansidolasbasesparalaarquitecturasagradayan profana. Algunas subsisten todava como potentes arquetipos de fe:elhexagramacomosmbolodelJudasmo,lacruzenelCristianismo.Unas pocas formas geomtricas constituyen la base de toda ladiversidaddelaestructuradeluniverso.Todasestasformasgeomtricasbsicaspuedenserfcilmenterealizadaspormediodedosherramientasquelosgemetrashanusadodesdelosalboresdelahistoria:laescuadray el comps. Como figuras universales, su construccin no requiere deningunamedida,ellassedantambinatravsdeformacionesnaturalestantoenelreinoorgnicocomoenelinorgnico.http:www.bibliotecapleyaues.netgeometiia_sagiauaesp_geometiia_sagiaua_1.htm#nuevos_apoites 6uLageometradeLeonardodaVinci. Entielospeisonajesuestacauosqueutilizaionlafiguiauel octogonoenlaiealizacionuesusuiseos,seencuentiapiecisamente Leonaiuouavinci,uelcualseconseivanalgunosuelosbocetosy uibujos sobie pioyectos y tiabajos ue aiquitectuia, como es sufamoso uiseoueunaiglesiaconcapillaiauial,constituiuopoiunaplanta centialgeomtiicaconfoimaoctogonalpaialacpula,yconocho pequeas capillas a su alieueuoi. BocetodeLeonardoparaiglesiaconplantaoctogonal.Diseadoapartirdevariosoctogramas. Es pieciso obseivai atentamente que uesue el centio uel boceto se paiteueunoctogiamacuyaslineasseexpanuenpaiafoimaiuos nuevos octogiamas mayoies, insciitos en uos ciiculo concntiicos que uelimitanlapaiteinteiioiyexteiioiuelascapillas.Laslineasuel segunuooctogiamateiminanmaicanuolasochosustentacionespaia la cpula cential. Sinuuuaqueestebocetoapaientamsseilaiepiesentacionue unsimboloconsignificauoesotiico,queeluiseoueunaestiuctuia aiquitectonica.61Sobie las iueas ue Leonaiuo iespecto a la aiquitectuia, es pieciso iecoiuaiqueensuapienuizajeestuvoielacionauoconelfamoso aiquitectoBiunelleschi,asicomoenlosestuuiosaiquitectonicospaia la cateuial ue Pavia, en el cimboiiio octogonal ue la cateuial ue Niln y enelsublimeoctogonouelacpulaueSantaNaiiaueFioie,en Floiencia, constiuiua poi Biunelleschi. CpulaoctogonaldeSantaMaradeFiore.Florencia Detalleinteriordelacpula62Construccionesoctogonales.Existen numeiosas constiucciones en cuyas estiuctuias apaiece la figuiaueloctogonocomounapiezafunuamentalueluiseouelos elementosaiquitectonicos.Sinembaigo,hayconstiuccionesque uestacanueunafoimaespecialpiecisamentepoiesaestiuctuia geomtiica. Es como si iepiesentaian un ieclamo, una piovocacion, un elementouiseauointencionauamenteconesageometiiapaiaque uestaqueueliestoueleuificioyllamaipoueiosamentelaatencionue touos cuantos espectauoies se encuentien ante su piesencia. Sonconstiuccionesenlasquelasfoimasoctogonalesuesus toiies, paiecen uisciepai con el estilo aiquitectonico ue los euificios en los que se encuentian integiauos, poi lo que no iesponuen al estilo ue constiuccionpiopiouelapocacoiiesponuiente,sinoquemsbien habiian siuo incoipoiauos con posteiioiiuau, y quizs con la intencion ueiepiesentaiamououesimbolos,aquellosmitosocieenciasue quieneslosimpulsaionolosfinanciaion,msqueaintencionuelos aiquitectos que los uiseaion. Toiiesqueuestacanpoisufoimaoctogonal,yquefoimanpaite uelosuifeientesestilosaiquitectonicos,pocasycultuiasquelas constiuyeion,sienuoqueentouoselloslafoimamshabitualuelas toiies eian las ue planta cuauiangulai.

6SCatedraldeHuescaLa catedral de Huesca est construida sobre lo que quizs fue untemplo romano y la antigua mezquita mayor musulmana. La catedralempez a edificarse en 1273 a partir de la mezquita Misleida y fueterminadaen1515.Entre 1369 y 1423 se levanta la torre campanario de plantaoctogonal, primero hasta la cuarta planta a cargo de los maestros Juande Alguiero y Juan de Quadres, y en la ltima etapa de suconstruccinelmaestroPereJalopa,quelaconcluyrematandolatorreconun bellochapitelpentagonal,lamentablementedesaparecido.64CatedraldeLridaLa torre de la catedral de Lrida est situada en el sudoeste delclaustro, fue iniciada su construccin en el siglo XIV por el maestro deobrasdelacatedralGuillemSolivellayterminadaenelsiglosiguiente.Consta de planta octogonal con dos cuerpos de dimetro diferente,uno de doce metros y otro de nueve, el primero formado por cuatroplantas con ventanales formados por columnas y traceras caladas y elsegundo cuerpo con galeras. La ltima planta est coronada conpinculos y arbotantes gticos y grgola; sta ltima parte delcampanario estuvo realizada por el maestro Carl a principios del sigloXV.6S CatedraldeOrense LacatedraldeOrensepertenecealromnicotardo,influidoporelmundocistercienseenalgunosaspectosdelaestructuraarquitectnicaypor la escuela mateana compostelana en lo relativo a los motivosescultricos,especialmenteporladecoracindelasportadas.Enorigen eraunedificio detresnavescontranseptoycabeceradetriple bside (aunque actualmente muy transformada y mutilada por laconstruccindelagirola).Lasnaves tienenbvedasdecrucerasencillay arcos apuntados que apoyan sobre pilares cruciformes consemicolumnas adosadas. El espectacular cimborrio gtico sobre elcruceroselevantentre1499y1505.66CatedraldeValencia La estructura principal de laCatedral de Valenciase alz entrelossiglos XIIIyXV, razn por la que es principalmente de estilogtico.Sin embargo, su construccin se prolong durante siglos,razn por lacual hay una mezcla de estilos artsticos que van desde el tempranoromnico, hasta el sutilrenacimiento, elbarrocorecargado y el mscontenidoneoclsico.Latorredeestilogticofrancs(sigloXIVXV),estformadaporunprisma octogonal de dos cuerpos superpuestos, con ochovidrierasdefinatraceracaladaencadacuerpo.Elprimercuerpoopartebajaesdelsiglo XIV, mientras que el segundo cuerpo o parte alta es obra deMartLlobet(dehaciael1430).67IglesiadeSantiagoApstol.Bierge LaiglesiaparroquialdedicadaaSantiagoApstol,enBierge,esunbuen ejemplo de la arquitectura del gtico tardo, y es una reformallevada a cabo en el siglo XVI sobre los restos de primitivos murosromnicos.Destacaelbonitorosetnquerecuerdaunmedallndeestilomudjar, por los crculos concntricos que decrecen hasta rodear lasnervaduras centrales, compuestas por seis crculos incompletos, cuyaforma es idntica a la parte central del rosetn principal de la catedraldeBurgos.La torre es de planta octogonal y destaca por estar construida conbloquesdepiedraperfectamentetalladosyencajados.68 CasteldelMonte.Italia El Castel del Monte es sin duda una de las construcciones mspopulares de los tiempos del emperador Federico II. Se encuentra enApulia, al sureste de Italia. El castillo fue levantado entre 1240 y 1250,aunque el edificio da la impresin, sobre todo en su nivel interior, de nohabersidonuncacompletado.Elcastilloestllenodesimbolismosdifciles deresolvery entender.Su forma de corona no es casual, sino una representacin consciente dela corona del emperador. Tambin tiene ocho esquinas la capilla de lacorona de Aquisgrn, donde Federico II fue coronado. La formaoctogonal tambin se puede relacionar con las decoraciones de laarquitectura musulmana. Otra teora establece que el castillo fuelevantado teniendo en cuenta distintas constelaciones estelares. As, endiversas fechas del ao se producen determinadas situaciones de luz ysombra que convierten el castillo en un calendario celeste en tresdimensiones.Dos cientficos de Bari elaboraron otra teora que defiende unarelacin del castillo con una pirmide egipcia de Guiza. Afirman queFederico II escondi en la forma del edificio pistas que revelan otroslugares y arquitecturas significativas para el emperador: la catedral deNtre Dame de Pars, la de Chartres, Jerusaln y la Cpula de la Roca.Tambin comentan haber encontrado una imagen de la gran pirmidede Guiza junto a un mapa en que se revela la localizacin de la cmaraocultadelfaran.Hastahoydichacmaratodavanosehaencontrado.69Losdoscientficosllevantiempopidiendopoderrealizarunanuevainvestigacin en la pirmide, siguiendo las formulaciones de su teora.sta se elabor en base a la numerologa y a la relacin entrearquitectura y astrologa. Es conocido que Federico II conoca esassimbologasyllamalaatencinlasmedidas,muysimilares,delcontornodelcastilloydelapirmide(cadaladomide232,92metros).http:es.wikipeuia.oigwikiCastel_uel_NonteTorreoctogonaldefortificacin7uComohemosapieciaienestospiimeiosejemplos,lasfoimas geomtiicasenconstiuccionesaiquitectonicas,paiecenensimismas comosimbolos.Sinembaigo,tambinennumeiosasocasiones,son nicamentelasfoimasgeomtiicaslasquesobiesalenueesas constiucciones,comofoimanuopaiteuelauecoiacion,peioqueno uejanueasombiainospoilacaigasimbolicaquecontienen,como pueueseipoilaiepiesentacionuemitos,cieencias,supeisticiones,o simplementeconocimientosquenicamenteestabanalalcanceue quienes pouian inteipietailos. 0nejemploextiaoiuinaiioeseluelaPueitauelSolueToleuo. 0nafoitificacionuecaicteiapaientementemilitai,uefensivo,que foimabapaiteuelasmuiallasqueioueabanlaciuuauantiguaue Toleuo. Constiuiua poi los musulmanes, peio que uestaca poi tenei un gianmeuallonciiculaiconmotivosciistianos,situauosobieunaico que en su pasauizo inteiioi touavia se pueuen vei los mecanismos y las iouauuiasconlosquesesubiaybajabalapueita.Bayvaiiaspueitas msenlaciuuau,peioningunatieneunsimbolotaneviuentey llamativo. 71 PuertadelSol.Toledo La Puerta del Sol de la ciudad de Toledo, es una obra mudjar,aunquequedanciertosrestosdesuorigenislmicoeinclusoalgnrestoromano, fue construida, segn la tradicin, por los CaballerosHospitalarioscomoaccesoalaciudadamurallada.Presenta planta semicircular, con un gran arco apuntado sobrecolumnas que cobija una puerta con arco de herradura. La partesuperior est decorada con arqueras ciegas en las que se alojanfragmentos de un sarcfago paleocristiano. Sobre el arco encontramosun relieve con forma de medalln con la imposicin de la casulla a SanIldefonsobajoelsolylaluna,dedondeprocedeelnombredeestapuerta.Lazonasuperiorestalmenada.72 MedallnenlapartesuperiordelarcoBestacasobiemaneiaenestaconstiuccionunielieveconuna escultuiaciistiana colocauo encima ue un aico ue estilomusulmn. El meuallonpaiecemsunsimbolo,queunaescultuiauecaictei ieligioso. Piesenta en piimei timino un giupo escultoiico ue cieencia ciistiana,queapaientahabeisiuointegiauoenlosmotivosque confoimabanelielieveoiiginal.Sufoimaciiculaiconuntiingulo insciito, tienen una eviuente simbologia geomtiica. Poi otia paite, las figuiasuelsolyuelalunaiepiesentanuossimbolosclaiamente ielacionauos con la alquimia. Auems,nopueueuescaitaiseesaposibiliuauueintegiacioncon posteiioiiuaualafiguiaoiiginal,yaquelaieligionmusulmana utilizabamotivosgeomtiicos,peionuncaseiepiesentabanmotivos con figuias humanas, poi lo que cabe la posibiliuau ue que uetis ue la escultuiaconelmotivoieligioso,hubieiaoiiginaiiamenteotiosuos simbolos ue la alquimia que, junto con el sol y la luna, hubieian teniuo la foima ue un cuauiauo integiauo entie los lauos uel tiingulo. 0n conjunto geomtiico foimauo poi un ciiculo, un tiingulo y un cuauiauo, paia enmaicai unos signos ue la alquimia. 7SConstruccionestemplarias.Casi todos los especialistas, estn de acuerdo en que fueron loscristianos de oriente, los judos y sobre todo los sufes musulmanes,quienes dieron a los templarios las pautas necesarias para elevar susmonumentos. La orientacin fue una de estas pautas. Del mismo modoque la esfinge de Gizeh se sita al este de las pirmides, tambin loscampanarios de las iglesias templarias suelen encontrarse en estadireccin. Por otra parte, el principal modelo a seguir en las plantas delas construcciones fue la octogonal que proceda originalmente deltemplo de Salomn. Aunque este tipo de planta se altern con larectangular, fue el octgono, transformado en un crculo perfecto en elinterior,elsmboloesotricomsimportantedesusconstrucciones.Estecrculo, uno de los esquemas ms ancestrales del Cosmos, constitua unespacioidneopararealizaroperacionesmgicasyritosiniciticos.http:histoiiasueltemple.blogspot.com2uu811laaiquitectuiatemplaiia.html Loscaballeiostemplaiiosconstiuyeionnumeiosasfoitalezas, iglesiasytemplosennumeiososlugaies.Enlamayoiiaueesas constiuccionesuestacacomoelementoaiquitectonicolafoima octogonal,casiueunafoimaobsesiva,loqueponeueielieveuna eviuente intencion hacia esa foima geomtiica como la iepiesentacion ue un simbolo, que paia esos caballeios tenuiia un significauoue su fe en cieencias o conocimientos que piovenian uesue sus oiigenes,o que fueion la causa ue la cieacion ue esa 0iuen ue Caballeiia. EnEspaayPoitugalqueuannumeiososyextiaoiuinaiios monumentos, en localiuauesue muy uiveisa ubicacion geogifica, que touavia hoy pueuen sei aumiiauos. 74 IglesiatemplariadelaVeraCruz.Segovia LaiglesiauelaveiaCiuz(Segovia) esueestilouetiansicionuel iomnicoalgotico,uelSigloXIII.Suconstiuccionseatiibuyeala 0iuenuelTemple,sufoimaesuouecagonal,aunquepoisupeiimetio ciiculai se le atiibuye una cieita semejanza con la piopia Cpula ue la Roca en }eiusaln. IglesiatemplariadeTorresdelRo.Navarra LaiglesiaueToiiesuelRio(Navaiia)esunaconstiuccion templaiia, ue planta octogonal casi iegulai; su estilo es ue tiansicion al iomnicogotico ue fines uel s. XII o comienzos uel XIII. Las neivauuias ue la cpula octogonal confoiman un octogiama. 7SSantuariodeEunate.Navarra ElsantuaiioueEunate(Navaiia)uatauelsigloXIIysu constiuccionseatiibuyeala0iuenuelTemple.Elconjuntoest foimauopoielcueipopiincipal,uefoimaoctogonal,ioueauopoiun ueambulatoiio con aicauas, tambin octogonal, aunque iiiegulai. IglesiadelaVirgenBlanca.VillalczardeSirga La Iglesia ue la viigen Blanca, en villalczai ue Siiga (Palencia) es untemplofoitalezaconstiuiuapoila0iuenuelosTemplaiiosa finalesuelsigloXII,enlatiansicionueliomnicoalgoticoytuvouna continuacion en el siglo XIv.76 ConventodeCristoenTomar.Portugal El Convento ue Ciisto, en Tomai (Poitugal), peitenecio a la 0iuen uel Temple y es uno ue los piincipales monumentos ue la aiquitectuia poituguesa.ElncleouelmonasteiioesunachaiolauelsigloXII,el 0iatoiiouelosTemplaiios.Comoenotiosuesustemplos,sebasaen la Iglesia uel Santo Sepulcio ue }eiusaln. Las pintuias y los fiescos y la estatuaiiauoiauasobielacpulabizantina,fueioncuiuauosamente iestauiauas. La chaiola, con foima octogonal, es el centio uelconjunto ue euificaciones, culminnuolas visualmente. 77Elartemusulmn.Mientras que en otras culturas se perdieron numerososconocimientos debido a los incendios y la destruccin de bibliotecas yedificios que atesoraban la cultura de los antiguos, los musulmanesconservaron numerosos e importantes conocimientos de la antigedadgracias a que tradujeron al rabe textos de geometra, filosofa,matemticas, astronoma, medicina y otras ciencias, de los maestrosgriegosylatinos.Los piincipales tipos ue constiucciones ue la aiquitectuia islmica omusulmanason:la mezquita,la tumba,el palacio yel fueite;aunque tambinuestacaion muchas otias euificaciones ue menoi impoitancia como los baos pblicos y las fuentes. En Espaa es conocida como arquitectura andalus o tambincomohispanomusulmn. La construccin de la granMezquita deCrdobaenelao785,marcelcomienzodelaarquitecturaislmicaenlapennsulaIbricayenelnortedefrica.Lamezquitasobresaleporsusarcos interiores con forma de herradura y por sus arcos lobulados, contres o cinco lbulos, y cuyo edificio del tipo hipstilo est soportado porcerca de 850 columnas. La arquitectura andalus lleg a su cima con laconstruccindelaAlhambra,elmagnficopalaciofortalezaenGranada,con su espacio abierto y fresco adornado en rojo, azul y dorado; lasparedesestndecoradasconestilizadosmotivosdefollajes,inscripcionesenrabe, y diseos conarabescos, con paredes cubiertas de azulejosvidriosos. Lauecoiacionaiquitectonicaylaoinamentacionenelaite islmicosecaiacteiizanpoiseimuyabunuantes,tantoenelexteiioi comoeninteiioiesyenlaspueitasueloseuificios.Lasfoimas geomtiicasconstituyenloselementosuecoiativosmspiofusamente utilizauos. El piincipio funuamental lo constituye el ciiculo, a paitii uel cualseaplicanlospiincipiosueiepeticionsimtiica,meuianteseiies uemixtilineas,comosifueianlazosqueseentieciuzanenunagian vaiieuauue foimas inteiminables, que asemejan autnticos labeiintos cieanuooctogonos,iombos,aiabescos,cintastienzauas,meanuios, uibujos en zigzag, ajeuiezauos, estiellas y toua clase ue poligonos. 78Confiecuenciaseutilizanlasfoimasgeomtiicasiepetiuas,alas selesatiibuyenuifeientessignificauosocultos,yaqueauemsuelas uiveisasfoimasymotivos,incluyenelementoscomosonlaepigiafia (utilizacionueinsciipcionescaligificas),elatauiiqueylauecoiacion vegetalestilizaua.Paiaestasuecoiaciones,poilogeneialutilizaban mateiialespobiescomoellauiillo,elestuco,yesos,mimolesy azulejos. Lasmezquitas. El pioposito piincipal ue la mezquita es seivii ue lugai uonuelos musulmanespueuanieuniisepaia0iai.Actualmentesonconociuas entouoelmunuopoisuimpoitanciageneialpaialacomuniuau musulmana, y tambin como muestias ue la aiquitectuia islmica. Lasmezquitasue planta rabe o hipstila sonelmstempiano tipouemezquita,iniciauasbajola Binastia0meya.Estasmezquitas sonobienueplantacuauiauaobienueplantaiectangulaieincluyen un patio y un pasillo cubieito ueuicauo al iezo. Bistoiicamente, uebiuo a los climas calientes que pieuominan en el Neuiteiineo y en el Neuio 0iiente,elpatiosiiviopaiaacomouaiaungiannmeiouefieles uuiante los iezos uel vieines. Lasmstempianasmezquitashipostilastienenazoteasplanas encimauelospasillosueliezo,hacienuonecesaiioelusoue numeiosas columnas y sopoites.Confiecuencia,lasmezquitas hipostilas tienen aicauas exteinas paia que los visitantes pueuan gozai uealgunacoitina.Lasmezquitasueplantaiabefueionconstiuiuas mayoiitaiiamentebajolasuinastiasuelos 0meyas ylos Abbasies; posteiioimente,sinembaigo,lasimpliciuauuelaplantaiabelimito lasopoituniuauesueunmayoiuesaiiollo,ycomoiesultauo,la populaiiuau ue estas mezquitas fue cayenuo. Losotomanosintiouujeionlas mezquitas con bveda central en el sigloXv ysecaiacteiizan,comosunombieinuica,poiteneiuna boveua gianue centiaua sobie el pasillo uel iezo. Auems uel tenei una boveua gianue en el centio, hay a menuuo boveuas ms pequeas que existenexcntiicassobieelpasilloueliezooenotiaszonasuela mezquita, uonue el iezo no se iealiza. 79Elaicoueheiiauuiautilizauopiofusamenteenlaaiquitectuia islmica,seuiseaapaitiiueunaciicunfeienciauiviuiuaenties paites iguales, como si se uibujaia un tiingulo equilteio, uel cual los vitices ue la base fueian los puntos ue coite uel aico.PuertaconarcodeherraduraMezquitadeCrdoba El vano ciiculai uel aico inteiioi uel aico ue heiiauuia iabe miue exactamente uos teicios ue la longituu ue la ciicunfeiencia. ColumnasyarcosdeherraduraMezquitadeCrdoba8uLamezquitaueCoiuobauestacapoilagianuiosiuauuelpatioue columnasquesopoitanaicosueheiiauuiaueuifeientesfoimas, tamao y coloiiuo. Peiotambinesunejemplouelaaiquitectuiageomtiicauonue uestacan las uifeientes foimas octogonales ue sus boveuas, la cential y las constiuiuas sobie los ciuceios ue los pasillos ue iezo. BvedaoctogonalcentralMezquitadeCrdobaBvedaoctogonaldecruceroMezquitadeCrdoba81LaAlhambradeGranada. LaAlhambraesunaciudadpalatinaandalussituadaenGranada.Se trata de un rico complejo palaciego y fortaleza o alcazaba quealojaban al monarca y corte del reino nazar de Granada. Su verdaderoatractivo, como en otras obras musulmanas de la poca, no slo radicaen los interiores, cuya decoracin est entre las cumbres del arteandalus, sino tambin en su localizacin y adaptacin, generando unpaisajenuevoperototalmenteintegradoconlanaturalezapreexistente.Los palacios nazares son el conjunto formado por el Palacio deComares,construidoenprimerlugar,yelPatiodelosLeones.Cronolgicamente fueron levantados despus de la alcazaba, elgeneralife y el Partal, siendo su construccin del primer tercio del sigloXIV. Constitua la sede de las funciones administrativas, de la corte,protocolo y retiro y disfrute privado. Al bajar las escaleras de acceso, sevan encontrando las siguientes dependencias: Mexuar, Patio del MexuarodelCuartoDorado.La Alhambia constituye un uestacauo ejemplo uel aite musulmn, poi la piofusion ue sus foimas geomtiicas, en touo tipo ue elementos tantoaiquitectonicoscomouecoiativos.Asi,sepueuenaumiiai motivos con geometiia octogonal en los bsiues, en los aitesonauos, en las paieues, en las fuentes y hasta en algunos ventanales. 82 PatioyFuentedeLosLeonesFuente de los Leones. Los ltimos estudios hechos dicen que losleones proceden de la casa del visir y poeta judo Yusuf Ibn Nagrela(1066).Nosesabesiseconstruyantesdesumuerte;seleacusyaenlapocadequererrealizarunpalaciomsgrandiosoqueeldelmismorey.SeconservaporelpoetaIbnGabirol(s.XI)unadescripcincasiexactadedicha fuente. Representan las 12 tribus de Israel. Dos de ellos tienen untringulo en la frente indicando las dos tribus elegidas: Jud y Lev. Sondel siglo XI. La taza lleva escrita en su permetro versos del ministro ypoetaIbnZamrakenlosquebellamentesedescribelapropiafuente. 8SbsideoctogonaldelasaladelosAbencerrajesBvedaconformadeestrelladelasaladelosAbencerrajesLa sala de losAbencerrajesfue alcoba del sultn. Los muros estnricamente decorados. El estuco y los colores son originales. El zcalo deazulejos es delsiglo XVI, de la fbrica de azulejos sevillana. La cpulaest decorada con mocrabes; en el suelo, en el centro, una fuentecillaserva para reflejar la cpula de mocrabes, que al estar ricamentedecorada,conseguaunaluzencantadoraymgica,puesalentrarlaluzporlapartesuperioribacambiandosegnlasdistintashorasdelda.84 ArtesonadoconmotivosoctogonalesAlhambradeGranada Decoracinmural8SDecoracinmuralMotivosepigrficosMotivosdelacera 86 MotivosdecorativosAzulejosconmotivosgeomtricosEstrellaconformadeoctograma87VentanaoctogonalFuentecircularconremateoctogonal88Elartemudjar. Elartemudjaresunestiloartsticoquesedesarrollaenlosreinoscristianos de laPennsula Ibrica, pero que incorpora influencias,elementos o materiales deestilo hispanomusulmn, es la consecuenciade las condiciones de convivencia existente de la Espaa medieval y setratadeunfenmenoexclusivamentehispnicoquetienelugarentrelossiglosXIIyXVI, como mezcla de las corrientes artsticas cristianas(romnicas,gticasyrenacentistas) y musulmanas de la poca y quesirvedeeslabnentrelasculturascristianasyelislam. Plantaoctogonaldetorremudjar Laspiincipalescaiacteiisticaspoilaqueseuestacaelestilo muujai, son las foimas octogonales que piesentan numeiosas toiies y bsiues, tanto en su constiuccion como en su piofusa oinamentacion. Lastoiiestienenunaestiuctuiaheieuauauelosalminaies islmicos,yaunquealgunastienenlaplantacuauiangulai,lamayoiia sonueplantaoctogonal.Entielosmotivosquefoimanpaiteuelas oinamentaciones en los uifeientes cueipos ue las toiies, tienen un uso piefeienteyuestacauolasfiguiasueloctogono,eloctogiamayla estiella ue ocho puntas. Belosnumeiososmonumentosexistentesalolaigouetouala geogiafiaespaola,vamosapiesentaialgunosuelosejemplosms iepiesentativos y extiaoiuinaiios. 89EnAiagonyuefoimauestacauaenlacomaicaueCalatayuu,hay numeiososmonumentosmudjares cuyastoiiestienenlafoima octogonal. En la misma ciuuau ue Calatayuu hay uos ejemplos ueestas espectaculaies toiies, en las iglesias ue San Anuis y ue Santa Naiia. IglesiadeSanAndrsCalatayud ToiieueSanAnuis.Enielacionconoinamentacionuelatoiie,eluestacauohumanistayexpeitoenaitemuujai,AgustinSanmiguel Nateo, en su obia ArtemudjarenlaciudaddeCalatayud,euitaua en el ao2uu7,iealizaunamagnificauesciipcioniefeiiuaaunosoculos (oinamentos ciiculaies con foimas geomtiicas) situauos en las caias ueunoueloscueiposuelatoiieuelaque,poisuanalogiaconel conteniuo uel tema se est planteauo, consiueio que es ue gian inteis tiansciibii uos piiafos ue la mencionaua obia. 9u Detalledetresculos A continuacin viene otra de las singularidades de esta torre: unconjuntodeochoculos,unoporlado,quellevanunmedallnfinamentelabradoenyeso.Deestosmedallones,todosdistintos,seconservancinco.Salvounoabasederombosenloscualeshaypequeoshuecoscirculareso en forma convencional de gota, los dems son figuras geomtricas desimetra radial a base de lazos. El nico relativamente fcil de describirpresenta una estrella de cinco puntas con sus vrtices orlados y unesbozo de decoracin vegetal de palmetas. Hay dos de composicinhexagonal,unodeellosconlazosrectilneosypalmetasyotroconlazoscurvos. El quinto de los que se conservan, y que sirve de portada a estelibro, tiene composicin octogonal con lazos curvos, entre los que seintercala un motivo aparentemente vegetal, y que dejan en el centro unhuecoenformadeestrelladeochopuntas.Estoscincomedallonesnotienenningnparalelismoenelmudjararagons ni en el hispnico. Slo hay semejanzas entre dos de ellos conmotivos decorativos de los alminares de la mezquita de Al Hakim en ElCairo, construida hacia el ao 1000. Germn Lpez Sampedro hizo undetenidoestudiodeestosmedallones,analizndolosmatemticamente,eimaginando el mensaje filosfico que contenan. Concluye que fueronobra de un alarife con conocimientos de Astronoma y Matemtica quequisoreflejarenellosunprogramamstico.91Geometradelosmedallones.Loscincomeuallonesqueseconseivanuelosochoqueteniala IglesiaueSanAnuis,piesentanunassingulaiiuauesquemeiecela penauestacai,uesueelpuntouevistauelasuistintasfoimasue geometiiaquepiesentan.Loscincoestnsituauosenelcentiouelos culoscuyasfoimaiepiesentanseilasueunassemiesfeiastiuncauas poilamitau.Encauaunouelosmeuallonesseiepiesentaunafiguia geomtiica uifeiente, con foima ue estiella. Laestiellaueochopuntaseslaiepiesentacionueunoctogiama. Laestiellaueseispuntasiepiesentauaenuosuelosmeuallones, apaientementeiguales,peioconunaligeiavaiiacion,yesqueel motivouecoiativoueambasestgiiauounoiespectouelotio, causanuoquelaspuntasuelaestiellaapaiezcanenposicionveitical en uno, y en posicion hoiizontal en el otio. La estiella ue cinco puntas eslafiguiamseviuente,aunquepiesentalasingulaiiuauuequesus puntasestnuibujauasconcincotiazosconsecutivos,foimanuoun pentagiama.Elltimouelosmeuallonespiesentaunasfoimas iomboiuales,quesonconsecuenciaasuvezuelentieciuzauoue foimas tiiangulaies. Medallnconestrellaoctogonal 92 Medallnconestrellahexagonalvertical Medallnconestrellahexagonalhorizontal 9SMedallnconformadepentagramaMedallnconformasromboidales 94 ColegiatadeSantaMaraCalatayudToiieueSantaNaiia.Estamonumentaltoiieoctogonalest auosauaalapaiteizquieiuauelbsiue.Suplantaesoctogonaly piesentacontiafueitesensusaiistas.Laestiuctuiacoiiesponueala ueunalminaihispanomusulmnquepeimiteensuinteiioiel uesaiiolloueescaleiasconfoimahelicoiual.Auifeienciaueotias toiiesoctogonaleslasescaleiasnoseapoyanenelsuelosinosobie unaboveuasemiesfiica,enlaquesolocoinciueconlapioximatoiie ue San Anuis. 9S IglesiadeSanPedroAlagnToiieueSanPeuio:Latoiie,situauaenelngulosuiocciuental ueltemplo,tieneplantaoctogonal,conlatiauicionalestiuctuiauela aiquitectuiazagiiymuujaiuetoiieycontiatoiieyentieambasla escaleia cubieita con boveuas enjaijauas. Consta ue ties cueipos, entie los que uestaca el segunuo poi sus oiiginales motivos uecoiativos. 96Torredelac