El Ángulo de Brocard

Sea un triángulo ABC cualquiera , ubiquemos en el interior del triángulo un punto interior P de manera que : = = = θ , de acuerdo a este enunciado construyamos la siguiente figura:

Fig.1

Al ángulo “ θ ” se le denomina “ángulo de Brocard” y al punto P “punto de Brocard”.Existe una relación trigonométrica entre las medidas de los ángulos interiores del triángulo ABC : = α , = β , = φ y el ángulo de Brocard θ :

(☺)

Demostración:

La siguiente figura muestra los trazos adecuados que indica el procedimiento

siguiente: Fig.2

Usando la figura (1) por B se traza una recta paralela al lado AC.Se prolonga AP de modo que corte a dicha paralela en el punto F entonces:

Luego unimos F con C, y por F trazamos una perpendicular a la prolongación de AC, que la corta en el punto G. Análogamente desde el punto B trazamos una perpendicular a AC, que la corta en el punto H.Entonces notamos que: BH = FG = h.Al ser entonces el cuadrilátero PBFC es inscriptible.

Ahora bien del triángulo APB : luego

Por tanto al ser el cuadrilátero PBFC inscriptible : además que

Veamos el triángulo rectángulo AGF : (1)

Pero (2)

(2) en (1) : (3)

Triángulo rectángulo AHB: (4)

Triángulo rectángulo BHC: (5)

Triángulo rectángulo CGF: (6)

Sustituyendo (4), (5) y (6) en (3).

Estimado lector, ¿qué te pareció la demostración?, fácil ¿verdad?

Aplicación

En el triángulo de la figura, un triángulo rectángulo isósceles, hallar “θ”

Fig.3 Solución

La figura (3) muestra claramente que el ángulo θ es el ángulo de Brocard (compárese con a figura 1).

Solución geométrica

Primeramente resolveremos este problema mediante argumentos netamente geométricos.

Fig.4

Prolongamos BP y por el punto A trazamos una perpendicular a dicha prolongación en el punto Q. De la figura (3) se observa que: (recuérdese que el triángulo rectángulo ABC es isósceles AB = BC) y además que:

y

Entonces . Por tanto el triángulo AQP es rectángulo isósceles y en consecuencia:

El triángulo BPC es congruente con el triángulo BQA ( criterio ALA).En consecuencia: Finalmente el triángulo BQA es rectángulo y

Por tanto,

Solución trigonométrica

De la figura ( 3 ) usando la expresión (☺) y teniendo en cuenta que:

, y entonces:

de donde:

Por tanto:

Como pueden notar la solución geométrica es más laboriosa, mientras que la solución trigonométrica es bastante práctica y sencilla.¡Buén provecho!