EKSPERIMEN ACAK & PELUANG

MA3181 Teori Peluang

Utriweni Mukhaiyar

1 September 2014

Jenis-jenis Observasi

2

OBSERVASI / DATA

KUALITATIF KUANTITATIF

Nominal Ordinal/Rank Diskrit Kontinu

Tidak mengenal

urutan dan operasi

aritmatika

Mengenal urutan

dan operasi

aritmatika

Berhubungan dengan

‘proses menghitung’,

dan pengamatan atas

himpunan terhitung.

Didasarkan pada suatu selang/interval

sehingga meliputi

semua bilangan riil

Jenis asuransi (“umum

dan jiwa” atau

“kendaraan, rumah,

dll”)

Pengelompokan risiko

dari nasabah asuransi

kendaraan bermotor

(kecil, menengah, besar)

Banyak klaim yang diajukan seorang nasabah

setiap tahun.

Besar klaim yang

diajukan seorang

nasabah pada suatu

tahun

© 2012 by UM

Eksperimen Acak

Ciri-ciri eksperimen acak (Statistik):

O Dapat dulangi baik oleh si pengamat sendiri maupun orang lain.

O Proporsi keberhasilan dapat diketahui dari hasil-hasil sebelumnya.

O Bisa diukur (diamati).

O Hasilnya tidak bisa ditebak (tidak ada pola) karena adanya galat/error (acak murni / purely random).

Sifat Keacakan

O Konsep pada hal yang belum terjadi (a priori

concept).

O Tak dapat dibuktikan (a negative property).

O Bukan sifat “fisik" sebuah percobaan (not a

“physical property" of an experiment).

Ruang Sampel & Kejadian (Event)

O Ruang sampel S , yaitu himpunan dari semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak (statistik).

O Kejadian (event), yaitu himpunan bagian (subset) dari suatu ruang sampel S .

Notasi untuk even (kejadian) umumnya huruf kapital, misal A, B, dan lain-lain. Jika kejadiannya banyak, bisa ditulis sebagai barisan, misal E1, E2, ......dst.

Ruang Sampel Diskrit

O Diskrit : banyaknya (number) anggota pada S tsb dapat dihitung/dicacah (countable). Hasil pencacahannya mungkin saja berhingga atau tidak berhingga.

O Contoh 1 : S pada (percobaan) pemeriksaan nasabah bank AAA pemegang kartu kredit. Setiap nasabah dipilih (secara acak), diperiksa, lalu digolongkan sebagai kredit macet atau lancar.

Ruang Sampel Kontinu

O Kontinu: anggota dari S tsb adalah bagian dari suatu interval.

O Contoh 2 : S pada pengamatan besar klaim (dalam juta rupiah) setiap tahun yang diajukan oleh seorang nasabah, misalnya S = {x: 2 < x < 4}.

Jika kita pilih tahun-tahun secara acak, maka mungkin ditemukan tahun-tahun dengan besar klaim 2,1 juta atau 3,5 juta atau 2,75 juta atau nilai lainnya yang berkisar antara 2 < x < 4.

8

8

Ruang Sampel dan Kejadian

O Ruang sampel, dinotasikan S

Event (kejadian)

S = { , , ... , }

E = { , , }

Ruang Sampel Diskrit

Ruang Sampel Kontinu

Populasi dan Sampel

O Pada Contoh 1: Semua nasabah yang terdaftar di bank AAA tersebut disebut populasi, sedangkan beberapa nasabah yang diambil disebut sampel. Ruang sampel pada contoh ini adalah dua kategori nasabah pemegang kartu kredit yang mungkin, yaitu {macet, tidak macet} dan termasuk jenis diskrit, karena banyaknya elemen pada S ini dapat dihitung, yaitu ada 2 buah, n(S) = 2.

Contoh 3 Menentukan Ruang Sampel & Kejadian

O Dua lokasi eksplorasi memulai aktifitas pengeboran. Sukses atau tidaknya pengeboran untuk tiap lokasi dilihat apabila ditemukannya minyak setelah satu bulan di lokasi yang bersangkutan. Tentukan ruang sampelnya dan berilah contoh kejadian/eventnya.

Jawab: Ruang sampelnya adalah S = {SS,ST,TS,TT}, dimana S = Sukses; T = Tidak sukses (nominal)

Contoh kejadian, mis kejadian E1 dimana dua aktifitas pengeboran tersebut sukses, maka E1 ={SS}; dan E2 dimana salah satu lokasi masih belum menemukan minyak, maka E2={ST,TS}.

Contoh 4

Jawab: Misalkan X : tingkat curah hujan (mm), ruang sampel S = { x | 0 x 600, x R} dan E2 adalah kejadian tingkat curah hujan lebih dari 200 mm, maka E2 = {x | 200 < x 600, x R}

Perhatikan bahwa E2 S

O Dilakukan survey dan pencatatan tingkat curah hujan setiap hari yang terjadi di suatu daerah pegunungan.

Gabungan (Union)

O Union dua peristiwa E1 dan E2 ditulis E1E2, adalah himpunan semua elemen yang ada di dalam E1 atau di dalam E2 (termasuk di dalam keduanya jika ada).

Contoh 5. Perhatikan Contoh 3.

Misal E1 adalah kejadian salah satu lokasi

berhasil menemukan minyak, dan E2

adalah kejadian tidak ada lokasi yang

berhasil. Maka E1 E2 = {ST,TS,TT}.

Irisan

O Irisan dua peristiwa E1 dan E2, ditulis E1∩E2, adalah himpunan semua elemen yang ada di dalam E1 dan di dalam E2.

Contoh 6. Perhatikan Contoh 2.

Misalkan E1: himpunan besar klaim

lebih dari 2,65 juta, dan E2: himpunan

besar klaim kurang dari 3,70 juta.

Maka E1 ∩ E2 = {x | 2,65 < x < 3,70}.

Komplemen

O Komplemen suatu peristiwa E1, ditulis E1

c, adalah himpunan semua elemen yang tidak di dalam E1.

Contoh 7. Perhatikan Contoh 4.

E2c= {0 ≤ x ≤ 200}, yaitu himpunan

tingkat curah hujan 0 sampai dengan

200.

Peluang

O Peluang adalah cara matematis untuk

mengkarakterisir/menggambarkan

ketidakpastian (to characterize uncertainty).

O "Probability is not just a number, it's a

structure of reasoning"

Peluang Suatu Kejadian

O Prinsip dasar : frekuensi relatif

O Jika suatu ruang sampel mempunyai n(S ) elemen, dan suatu event E mempunyai n(E) elemen, maka probabilitas E adalah:

( )( )

( )

n EP E

n S

17

Seorang pengusaha sukses merencanakan untuk berlibur keliling

Indonesia 1 bulan penuh (terhitung tanggal 1 sampai tanggal

terakhir bulan ybs) tahun 2010. Perusahaannya mewajibkan setiap

anggotanya membuat surat izin tertulis dengan menyertakan lama

waktu izin (dalam hari). Kantor tempat pengusaha tersebut bekerja

7 hari dalam 1 minggu. Berapa peluang bahwa pengusaha sukses

tersebut mengajukan izin 31 hari?

( ) 7( )

( ) 12

n EP E

n S

Jawab: n(S) = 12 (banyak bulan dalam 1 thn). Misal E : kejadian bulan dengan 31 hari, maka n(E) = 7 yaitu E = {Jan, Mar, Mei, Jul, Agt, Okt, Des}

Contoh 8

Konsep Peluang Permutasi dan Kombinasi

Banyak cara untuk menghitung anggota ruang sampel

atau kejadian.

O Permutasi adalah cara menyusun suatu objek

dengan memperhatikan urutan penyusunan.

O Kombinasi adalah cara menyusun suatu objek

tanpa memperhatikan urutan penyusunan.

!( 1)...( ( 1))

( )!

n

k

nP n n n k

n k

!

!( )!

n

k

n nC

k k n k

Latihan (permutasi atau kombinasi?)

O Calon Badan Pengurus himpunan

O Calon Presiden dan Wakil Presiden

O Pasangan ganda putra Thomas cup

Latihan

O Seorang mahasiswa menjawab 7 dari 10 pertanyaan dalam suatu ujian. Berapa banyak pilihan yang dia miliki? Berapa banyak pilihan yang dia miliki jika dia harus menjawab minimal 3 pertanyaan dari 5 pertanyaanpertama?

O Ada berapa carakah yang mungkin dilakukan seorang bapak saat hendak memberikan 7 hadiah kepada 3anaknya, jika anak tertua mendapatkan 3 hadiah dan 2 anak yang lain mendapatkan masing-masing 2 hadiah?

Aksioma Peluang

Peluang atau ukuran peluang P pada lapangan-σ (σ-field) 𝒜 adalah suatu pemetaan dari 𝒜 terhadap selang [0, 1] yang memenuhi tiga aksioma berikut:

1. 0 ≤ P(A) ≤ 1, untuk setiap A 𝒜

2. P(S) = 1

3. Untuk himpunan terhitung (countable), kejadian saling lepas A1, A2, …,

𝑃 𝐴𝑖

∞

𝑖=1

= 𝑃(𝐴𝑖)

∞

𝑖=1

Peluang

O P(Ac) = 1 – P(A)

Bukti:

Kejadian-kejadian A dan Ac saling lepas dan AAc = S. Jadi,

1 = P(S) = P(A Ac) = P(A) + P(Ac)

atau P(Ac) = 1 – P(A)

O Jika A B maka P(A) ≤ P(B)

O P(E F) = P(E) + P(F) – P(E F)

Definisi Lapangan-σ

Misalkan 𝒜 adalah koleksi dari sub-

himpunan dari S. 𝒜 dikatakan lapangan-σ (σ-

field) jika:

1. S 𝒜

2. Jika A 𝒜 maka Ac 𝒜

3. Jika 𝐴 = 𝐴𝑖∞𝑖=1 dan jika Ai 𝒜 untuk

i=1,2,…, maka A 𝒜.

Contoh 9. Lapangan-σ

Misalkan S = {00, 01, 10, 11}. Beberapa lapangan-σ yang dapat didefinisikan atas ruang sampel tersebut adalah:

O 𝒜0 = {∅, 𝑆}

O 𝒜1 = {∅, 00 , 01, 10, 11 , 𝑆}

O 𝒜2 = {∅, 00 , 11 , 01, 10, 11 ,00, 01, 10 , 00, 11 , 01, 10 , 𝑆}

O 𝒜3= {Ф, {00}, {01}, {10}, {11}, {00, 01}, {00, 10}, {00, 11}, {01, 10}, {01, 11}, {10, 11}, {01, 10, 11}, {00, 10, 11}, {00, 01, 11}, {00, 01, 10}, S}

Ruang Peluang

O (S, 𝒜, P) disebut sebagai ruang peluang.

O Misalkan ruang sampel S berupa selang tutup [-3, 3] dan hanya ada dua kejadian yang dapat dideteksi yaitu A = [0, 3] dan Ac = [-3, 0). Maka lapangan-σ yang dapat dibentuk adalah:

𝒜 = {Ф, [-3, 0), [0, 3], [-3, 3]}

O Ukuran peluang harus memetakan anggota 𝒜 ke selang unit [0, 1]. Dalam hal ini dapat didefinisikan:

P(A) = P(Ac) = 1/2

Latihan

Diketahui S = [-3, 3] dan partisi

[-3, 3] = [-3, 0) [0, 1] (1, 3]

maka

O Bangun lapangan-σ yang mungkin?

O Ukuran peuang P yang sesuai?

Contoh 10

O A manufacturer has five seemingly identical computer terminals available for shipping. Unknown to her, two of the five are defective. A particular order calls for two of the terminals and is filled by randomly selecting two of the five that are available.

a. List the sample space for this experiment.

b. Let A denote the event that the order is filled with two nondefective terminals. List the sample points in A.

c. Construct a Venn diagram for the experiment that illustrates event A.

d. Assign probabilities to the simple events in such a way that the information about the experiment is used and the axioms probability are met.

e. Find the probability of event A.

Solusi

Latihan

31

Peluang Bersyarat

O Peluang bersyarat (conditional probability) dikatakan bersyarat karena eventnya sudah dibatasi.

( )( )

( )

P A BP B A

P A

Jika event pembatas itu A dan event yang probabilitasnya ingin dihitung adalah B, maka peluang bersyaratnya adalah:

32

Peluang Bersyarat

O

Contoh 11

Warna pasir Jenis pasir

Halus Kasar

Hitam 2 3

Abu-abu 2 4

Terang (putih, kuning) 1 2

33

P(Halus Hitam) 2 5 2P(Halus| Hitam) = :

P(Hitam) 14 14 5

34

Kejadian Saling Bebas dan Saling Lepas

O Dua kejadian E dan F dikatakan saling bebas (independent) jika berlaku:

( ) ( ). ( )P EF P E P F

Dua kejadian E dan F dikatakan saling lepas jika berlaku:

( ) 0P EF

35

Contoh 12

O Sebuah kartu dipilih secara acak dari serangkai

kartu bridge yang berjumlah 52 kartu. Jika E

adalah kejadian terpilih kartu As dan F adalah

kejadian terpilih gambar hati. Tunjukkan bahwa

E dan F saling bebas. Apakah E dan F saling

lepas?

36

Solusi:

4 13 52 1( ). ( ) . ( )

52 52 52.52 52P E P F P EF

( ) 1/ 52P EF

( ) 4 / 52P E

( ) 13 / 52P F

Jawab:

karena hanya terdapat satu As yang bergambar hati.

karena terdapat 4 As dalam kartu bridge

karena terdapat 13 kartu bergambar hati

Jadi E dan F saling bebas, tapi tidak saling lepas.

Peluang Bersyarat Banyak kejadian

37 S

A

B2 B3

B4

B5 B1

A B2

A B5 A B1

A B3

A B4

Peluang Bersyarat Banyak kejadian

38

Aturan Bayes

39

Contoh 13

40

Suatu perusahaan besar menggunakan tiga hotel sebagai tempat menginap para langganannya. Dari pengalaman yang lalu diketahui bahwa 20% langganannya di tempatkan di Hotel I, 50% di Hotel B, dan 30% di Hotel S. Bila 5% di Hotel I kamar mandi tidak berfungsi dengan baik, 4% di Hotel B, dan 8% di Hotel S, berapa peluang bahwa, a. Seorang pelanggan mendapat kamar yang

kamar mandinya tidak baik. b. Seorang pelanggan mendapat kamar mandi

yang tidak baik ditempatkan di Hotel S.

Solusi

41

Latihan 1. Perusahaan asuransi XYZ mengklasifikasikan orang menjadi 3 kelompok: risiko

rendah, risiko sedang dan risiko tinggi. Perusahaan mencatat bahwa peluang orang-

orang berisiko rendah, sedang dan tinggi untuk mengalami kecelakaan (dalam

rentang satu tahun) adalah berturut-turut 0.05, 0.15 dan 0.30. Jika 20 persen dari

populasi adalah orang berisiko rendah, 50 persen berisiko sedang dan 30 persen

berisiko tinggi, berapa proporsi orang yang mengalami kecelakaan dalam suatu

tahun tertentu? Jika seseorang tidak mengalami suatu kecelakaan, berapa peluang

orang tersebut berasal dari kelompok risiko rendah?

2. Jika P(A|B) = 0,3, P(B) = 0,8 dan P(A) = 0,3. Selidiki manakah pernyataan yang

mungkin benar: “kejadian A dan B adalah saling lepas” atau ““kejadian A dan B

adalah saling bebas”.

3. Proporsi banyaknya orang di suatu komunitas yang mengidap suatu penyakit

tertentu adalah 0,005. Suatu tes tersedia untuk mendiagnosis penyakit tersebut.

Jika seseorang mengidap penyakit tersebut, peluang bahwa tes memberikan sinyal

positif adalah 0,99. Jika seseorang tidak mengidap penyakit tersebut, peluang

bahwa tes memberikan sinyal positif adalah 0,01. Jika tes memberikan sinyal

positif, berapa peluang bahwa yang bersangkutan mengidap penyakit tersebut?

43

Referensi Dekking F.M., et.al., A Modern Introduction to Probability and

Statistics, London : Springer, 2005.

Devore, J.L. and Peck, R., Statistics – The Exploration and Analysis of Data, USA: Duxbury Press, 1997.

Hogg, et.al., Intro. to Mathematical Statistics 6th ed., Pearson: New Jersey, 2005.

Wackerly, et.al., Mathematicsl Statistics and Its Application 7th Ed., USA: Thomson, 2008.

Walpole, Ronald E., et.al, Statistitic for Scientist and Engineering, 8th Ed., 2007.

Wild, C.J. and Seber, G.A.F., Chance Encounters – A first Course in Data Analysis and Inference, USA: John Wiley&Sons,Inc., 2000.