1

LTH, 23 september 2008

Ekonometrisk analys av fastighetsmarknader

- en introduktion(tillämpad regressionsanalys)

2

MålEfter dagens och morgondagens

föreläsning/övningar ska du kunna

• Bygga, skatta och tolka hedoniska prismodeller för småhus i Excel.

• Hedoniska modeller: studerar hur olika egenskaper hos en vara, t ex hus, har för inverkan på priset (hedonisk efterfrågeteori). Egenskaper kan vara boyta, närhet till strand, standard etc etc.

3

Matematik Statistik Ekonomi

Ekonometri

• En ekonometriker ska i allmänhet vara en kompetent matematiker och statistiker med en i grund och botten ekonomisk skolning.

De tre ingredienserna i ekonometri är- ekonomisk teori- ekonomiska data och- statistiska metoder (främst multipel regressionsanalys).

4

Vad är statistik“The science of collecting, organizing, presenting, analyzing, and interpreting data to assist in making more effective decisions.” [2]

Två huvudkategorier:1. Beskrivande (Deskriptiv)

statistik (Descriptive statistics)

2. Statistisk inferens (Statistical inference)

(Jmf slide nr 48)

Referenser till engelskspråkig litteratur, se sista sliden.

5

Descriptive statistics“Methods of organizing, summarizing, and presenting data in an informative way.” [1]

“Descriptive statistics include graphical and numerical procedures that summarize and process data and are used to transform data to information.” [2]

Statistical inference“The methods used to estimate a property of a population on the basis of a sample.” [2]

“Inferential statistics provide the basis for predictions, forecasts, and estimates that are used to transform information to knowledge.” [3]

6

Population (Population)“The entire set of individuals or objects of interest or the measurements obtained from all individuals or objects of interest.” [2].- N usually represents the population size.

Urval, stickprov (Sample)“An observed subset, portion, or part, of the population of interest” [2].- n usually represents the sample size.

Vad utgör ett bra urval?

7

Vad är då ekonometri

(econometrics)?

Ekonometri handlar om samband mellan olika ekonomiska variabler. Några citat:

• “Econometrics is concerned with the systematic study of economic phenomena using observed data.”

8

Vad är ekonometri (econometrics)?

Ekonometri handlar om samband mellan olika ekonomiska variabler. Några citat:

• “Econometrics is concerned with the systematic study of economic phenomena using observed data.”

• “Econometrics is concerned with the empirical determination of economic laws.”

9

Vad är ekonometri (econometrics)?

Ekonometri handlar om samband mellan olika ekonomiska variabler. Några citat:

• “Econometrics is concerned with the systematic study of economic phenomena using observed data.”

• “Econometrics is concerned with the empirical determination of economic laws.”

• “Econometrics is based upon the development of statistical methods for estimating economic relationships, testing economic theories, and evaluating and implementing government and business policy.

10

Kategorier

Ekonometri

Teoretisk Tillämpad

Klassisk BayesianskKlassiskBayesiansk

11

Linjär regressionsanalysBeskrivning och analys av linjära samband mellan en beroende variabel (y) och en eller flera förklarande (oberoende) variabler (x1, x2,…,xk):

y = f (x1, x2,…,xk)

• Enkel linjär regressionsanalys: en förklarande variabel, t exPris = β0 + β1Boyta + u

• Multipel linjär regressionsanalys: flera förklarande variabler, t exPris = β0 + β1Boyta + β2Standardpoäng + u

12

Linjär regressionsanalysVi vill bygga och skatta en modell som kan förklara verkligheten – ”what’s going on out there?”

•Vilka variabler ska ingå i modellen?

•Hur ska det matematiska sambandet mellan den oberoende variabeln och de förklarande variablerna se ut?

•Vi är intresserade av Kasualitet: Beror BNP-ökningen på ökat byggande, eller ökat byggande på ökad BNP? Jämför korrelation: skilj på statistiska samband och kasuala samband. Vad påverkar vad?

•Har vi tillgång till bra data (observationer)?

13

Varför ekonometri i fastighetsekonomi?

14

Fastighetsvärdering/taxeringScatterplott, price and size of house in square feet.

y = 0,1402x + 11,204R2 = 0,6208

0

100

200

300

400

500

600

700

800

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500

Price

Square feetSource: HPRICE1, Wooldrige.

15

Makroanalyser

-20

-10

0

10

20

30

40

1966

1968

1970

1972

1974

1976

1978

1980

1982

1984

1986

1988

1990

1992

dBNPdPrice

Procent

År

y =-1,8+0,8x+u

Y=förändringPris

X=förändringBNP

16

Marknadsanalyser• log(Bostadsyta) = β0 + β1log(Pris)

+β1log(Inkomst) + β1log(Familjestorlek) + u

Exempel:- Priselasticitet: -0,10

- Inkomstelasticitet: 0,05.

- Ökar familjestorleken med 1 person så ökar efterfrågad kvantitet med drygt 5 procent.

17

Finansiella analyser

-3

-2

-1

0

1

2

3

2005

-01-

03

2005

-01-

10

2005

-01-

17

2005

-01-

24

2005

-01-

31

2005

-02-

07

2005

-02-

14

2005

-02-

21

2005

-02-

28

2005

-03-

07

2005

-03-

14

2005

-03-

21

2005

-03-

28

2005

-04-

04

2005

-04-

11

2005

-04-

18

2005

-04-

25

2005

-05-

02

2005

-05-

09

2005

-05-

16

2005

-05-

23

2005

-05-

30

2005

-06-

06

2005

-06-

13

2005

-06-

20

2005

-06-

27

2005

-07-

04

2005

-07-

11

2005

-07-

18

2005

-07-

25

2005

-08-

01

2005

-08-

08

2005

-08-

15

MarketReal Estate

y =-0,11+0,41x+u

Y=avkastning fastigheter

X=avkastning brett aktieindex

18

Tänk!• Är det rimligt att anta att sambanden du har

funnit är stabila över tiden?

• Does history repeat itself?

• Kasualitet eller nonsens-samband?

19

BakgrundsvariablerResultatvariablerPrediktorerResponsvariabelFörklaringsvariablerUndersökningsvariabelOberoende variablerBeroende variabel

x1, x2,…,xky

20

RegressorsRegressandPredicted VariablesPredicted variableControl variablesResponse variableExplanatory variablesExplained variableIndependent variablesDependent variable

x1, x2,…,xky

21

Varför urval (stickprov eller sampel)?

För dyrt och/eller omöjligt med totalundersökning.

Omöjligt fall: ”Sample” = blodprov. Helt enkelt oetiskt, kan inte tömma människan på allt blod (=populationen).

Småhusförsäljningar: Hur skulle en ”Drömsituation” för fastställande av taxeringsvärden se ut?

Diskutera olika faktorer som kan bidra till att ditt urval inte är representativt för den population du vill dra slutsatser om!

22

Skatta våra okända parametrar: Från population till skattningar

Punktskattningar av medelvärdet μ (exempel på lägesmått) och variansen σ2 (exempel på spridningsmått) i en population.

∑=

=n

iix

nx

1

1

∑=

−−

=n

ii xx

ns

1

22 )(1

1

Populations-parameter

Skattning baserat påurval (stickprov)

Medelvärde μ

Varians σ2

Våra Regressionskoefficienter…:

Kovarians och Korrelation ) Se nedan!

23

Populationsmedelvärde:

population in the valuesofNumber

...211

=

++==

∑=

NN

xxxN

xN

N

ii

μ

Urvalsmedelvärde – aritmetiska medelvärdet

sample in the valuesofNumber

...211

=

++==

∑=

nn

xxxn

xx n

n

ii

24

Medianen

• Ordna data stigande eller fallande. Medianen, Xm, är det “mellersta talet”.

Mao: Medianen är det tal i den ordnade datamängden som storleksmässigt ligger så att det finns lika många tal som är större än och mindre än medianen

• Om n är - udda, då utgörs Xm av den mellersta obervationen;

- Jämnt, då utgörs Xm av medelvärdet av de två “mellersta talen” .

25

Ofta används som spridningsmått standardavvikelsen s:

∑=

−−

=n

ii xx

ns

1

2)(1

1

I vårt enkla linjära regressionsexempel ovan, vilka är - populationsparametrarna? - skattningsfunktionerna?

26

Samband mellan två slumpvariabler

• Hur är två variabler relaterade till varandra?

• Vi kan beskriva sambandet med hjälp av - spridningsdiagram (scatter plot),- kovariansen (the covariance),- korrelationskoefficient (the correlation coefficient.

Vi studerar samband mellan två slumpvariabler, säger inget om

kausalitet.

27

- an indication of the strength of the relationship between two variables;

- an indication of the direction of the relationship between two variables;

- the range of each variable;

- an indication of extreme values (outliers);

- pattern of values over the range [3].

Spridningsdiagram visar

28

Kovarians (baserat på urval)

1

))((),( 1

−

−−==∑=

n

yyxxsyxCov

n

iii

xy

• Vad indikerar en positiv kovarians?

• Vad indikerar en negativ kovarians?

29

Korrelationskoefficient

)()(

))((

1

2

1

2

1

∑∑

∑

==

=

−−

−−==

n

ii

n

ii

n

iii

yx

xyxy

yyxx

yyxx

sss

r

• Standardiserad kovarians – mycket lättare att tolka.

• –1 till +1 (jmf spridningsdiagram)

• Vilka värden på korrelationskoefficienten vill dubeskriva som “Perfect”, “Strong”, “Moderate”, “Weak”, “No” positive/negative linear relationship?

30

Stickprovets regressionslinje (vid enkel linjär regression)

• Med hjälp av minsta-kvadratmetoden (Ordinary LeastSquare) kan man anpassa en rät linje, en regressionslinje, till ett datamaterial bestående av nstycken observationspar (xi, yi).

• Dvs, för att skatta de okända regressionsparametrarna β0 och β1 använder vi oss av OLS (MK-metoden). Hur?

• Välj estimatorerna (skattningsfunktionerna)så att summan av de kvadrerade avstånden från den anpassade räta linjen (regressionslinjen) och de observerade talparen (xi, yi) minimeras.

31

Stickprovets regressionslinje (vid enkel linjär regression)

• Regressionslinjen skriver vi som

• För en enskild observation har vi det anpassade värdet(i = 1,…,n).

• Residualen ei för observation i, är skillnaden mellan det faktiska yi och dess anpassade värde

• Det finns n stycken residualer.

xy ˆˆˆˆ 10 ββ +=

ii xy ˆˆˆˆ 10 ββ +=

:ˆiy

iiiii xyyye ˆˆˆˆ 10 ββ +−=−=

32

Stickprovets regressionslinje (vid enkel linjär regression)

• Välj så att summan av de kvadrerade residualerna

Blir så liten som möjligt. Lösningen till minimeringsproblemet ger oss skattningsfunktionerna

10ˆoch ˆ ββ

∑∑∑===

+−=−=N

Iii

N

Iii

N

Ii xyyye

1

210

1

2

1

2 )ˆˆˆ()ˆ( ββ

∑

∑

=

=

−

−−=−= n

ii

n

iii

xx

yyxxxy

1

2

1100

)(

))((ˆoch ˆˆ βββ

33

Stickprovets regressionslinje

• Ovanstående formler gäller om vi har en oberoende variabel (dvs enkel linjär regressionsanalys).

• Om multipel linjär regressionsanalys, då är det matrisalgebra som gäller (mer om multipel regressionsanalys senare).

• Under vissa förutsättningar är OLS-skattningarna väntevärdesriktiga och effektivaste av alla möjliga skattningar.

• Nu när vi vet principen för hur vi finner våra OLS-skattningar fortsätter vi med statistisk inferens och speciellt hypotesprövningar.

• SE WORDFIL LTH2007!

34

Klassisk ekonometrisk metod1. Framställning av teori eller hypotes.2. Specificering av den matematiska modellen för teorin.3. Specificering av den ekonometriska modellen.4. Erhålla data.5. Estimering (skattning) av parametrarna som ingår i den

ekonometriska modellen.6. Hypotesprövningar.7. Prediktioner8. Använd modellen för policysyften eller kontroller.

35

Illustration av de åtta stegenVi använder oss av ett klassiskt makroekonomiskt exempel:- Keynes konsumptionsteori och MPC (Marginal

propensity to consume; den marginella konsumtionsbenägenheten).

- Steg 1: Framställning av teori eller hypotes:”Hushåll ökar sin konsumtion när den disponibla inkomsten stiger, dock inte med hela inkomstökningen.”

(Jmf ”Priset på bostadsrätter ökar med y% när den disponibla inkomsten stiger med x%”)

36

Illustration av de åtta stegen• Steg 2: Specificering av den matematiska modellen för

Keynes teori. :

Låt C beteckna konsumtion och I disponibel inkomst. En matematisk modell för teorin kan då vara:

C = β0 + β1I

- β0 och β1 är modellens parametrar: intercept- respektive lutningskoefficienterna.

- β0 anger hur stor konsumtionen är då inkomsten är 0 kr.- β1 mäter den marginella konsumtionsbenägenheten.

37

Illustration av de åtta stegenSteg 2 fortsättning:

C = β0 + β1I

• Linjär konsumtionsfunktion.

• K är en funktion av I, därför säger vi att C är den beroende variabeln, medan I är den oberoende(förklarande) variabeln.

• Antagande om kausalitet (orsakssamband) mellan C och I: kausaliteten går in en riktning, dvs I antas orsaka C och inte tvärtom.

38

Illustration av de åtta stegenSteg 3: Specificering av den ekonometriska modellen.

• Notera följande i den matematiska modellen i steg 2: C = β0 + β1I antar att det finns ett exakt eller deterministiskt samband mellan konsumtion och inkomst.

Men relationer eller samband mellan ekonomiska variabler är vanligtvis inexakta: kan vi förvänta oss att alla datapunkter (C, I) ligger på en rät linje om vi samlar in data från säg 100 hushåll? Nej! Varför?

Andra variabler påverkar konsumtion (ålder, storlek påhushållet, religion, etc etc).

39

Illustration av de åtta stegen

• Steg 3 fortsättning: Specificering av den ekonometriska modellen.

• Den ekonometriska modellen tar hänsyn till att ekonomisk teori inte kan exakt kan förklara hushållens beteenden.

• För att tillåta inexakta relationer eller samband mellan ekonomiska variabler specificerar vi följande ekonometriska modell: C = β0 + β1I + u, där u är feltermen (error term, disturbance).

• Feltermen u representerar alla de variabler som påverkar konsumtionen, men som inte ingår i modellen explicit: våra ”unobserved”.

40

Illustration av de åtta stegen• Steg 3 fortsättning: Specificering av den ekonometriska

modellen.

• C = β0 + β1I + u

• Exempel på en enkel linjär regressionsmodell.

• Den ekonometriska modellen för konsumtion består av två komponenter: en del som beror linjärt på inkomsten I och en del som är slumpmässig.

41

Illustration av de åtta stegen• Steg 4: Skaffa data.

• Data är observerbara värden på en variabel.year consumption income1984 3081,5 4620,31985 3240,6 4803,71986 3407,6 5140,11987 3566,5 5323,51988 3708,7 5497,71989 3822,3 5649,51990 3972,7 5865,21991 4064,6 6062,01992 4132,2 6136,31993 4105,8 6079,41994 4219,8 6244,41995 4343,6 6389,61996 4486,0 6610,71997 4595,3 6742,11998 4714,1 6928,41999 4801,2 7100,62000 4920,5 7220,32001 5011,3 7350,32002 5140,5 7499,22003 5230,2 7600,02004 5330,7 7722,22005 5390,6 7832,42006 5500,0 7945,2

42

Illustration av de åtta stegen• Steg 4 fortsättning: Skaffa data.

• Tvärsnittsdata består av urval av individer, hushåll, företag, regioner, städer, länder etc tagna vid en giventidpunkt (ignorerar små skillnader i timing).Exempel: huspriser 2006. BNP för alla länder 2006.Även för givna veckor, månader, kvartal,…

• Tidsseriedata består av observationer på en eller flera variabler över tiden.Exempel: årliga huspriser 1980 till 2006. Svensk BNP för perioden 1980 till 2006. KPI. FPI. Vårt konsumtionsexempel.Datafrekvens: dagar, veckor, månader, kvartal, år,…

43

Illustration av de åtta stegen• Steg 4 fortsättning: Skaffa data.

• Vissa data har både tvärsnitts- och tidsseriedimension.

• Exempel: Paneldata (longitudinell data) består av observationer på en eller flera variabler på sammaobjekt/individer över tiden.

Exempel:- BNP för alla världens länder för perioden 1970 till 2004. - Alla ni och era inkomster fr o m i år och 30 år framåt. - Repeated Sales Price Index (vad är objektet?)

44

Steg 4: Mer engelsk terminologi• Cross–section data: Data which consist of

observations relating to units at a given point in time. Dvs Tvärsnittsdata.

• Time-series data: Data which describe the movement of a variable over time (daily, weekly, monthly, quarterly, yearly).

• Pooled data: Data which combine cross-section and time-series data.

• Panel data: same as pooled data, but the data consists of repeated observations on the same objects through time.

45

Illustration av de åtta stegen• Steg 5: Estimering av den ekonometriska modellen.

• Med vår data kan vi estimera (skatta) parametrarna i konsumtionsfunktionen. De numeriska värdena vi erhåller ger konsumtionsfunktionen empiriskt innehåll.

• Vi estimerar parametrarna med den statistiska teknik som kallas regressionsanalys. Vi erhåller följande skattningar av β0 och β1: –268,07 och 0,72.

• Sålunda har vi följande estimerade (skattade) konsumtionsfunktion:

IIC 72,007,268ˆˆˆ10 +−=+= ββ

Ibland b0resp b1

46

Illustration av de åtta stegen• Steg 5: Estimering av den ekonometriska modellen.

•

• Tolkning: För perioden 1984 – 2006 är lutningskoefficienten (dvs MPC) 0,72.

Med andra ord, en ökning av den reala inkomsten med 1 dollar ledde, i genomsnitt, till en ökning av real konsumtion med 72 cents.

IIC 72,002,268ˆˆˆ10 +−=+= ββ

47

Illustration av de åtta stegen• Steg 6: Hypotesprövning

• Statistisk hypotesprövning innebär att man med hjälp av slumpmässiga urval bedömer trovärdigheten i hypoteser –antaganden – angående populationen.

• Vi vill med hypotesprövning fastställa hur mycket bevis för att en viss hypotes är sann som finns i vårt urval.

• I vårt fall är nollhypotesen att MPC < 1.- Kan vi förkasta den eller inte?

• Begrepp: nollhypotes, alternativhypotes, teststatistika, kritisk region.

48

Illustration av de åtta stegen• Steg 7: Prediktion

• Givet att vår modell inte har motbevisat vår teori eller hypotes, kan vi använda den för att göra prognoser(forecasts, predictions).

• Med hjälp av kända eller förväntade framtida värde(n) på den oberoende (förklarande) variabeln, kan vi erhålla prediktion av den beroende variabeln.

• Antag att vi vill göra en prediktion av den genomsnittliga konsumtionen för år 2008. Antag att vi förväntar oss att inkomsten (GDP) för 2008 kommer att bli 8050. Vi erhåller då prediktionen

.5535)8050(72,002,268ˆ =+−=C

49

Illustration av de åtta stegen• Steg 8: Använd modellen för policysyften eller

kontroller

• Antag att regeringen tror att om konsumtionen uppgår till 5600 (miljarder dollar) kommer arbetslösheten hamna på 4,5%.

• Hur stor måste inkomsten vara för att konsumtionen ska uppnå 5600?

• Med finans- (och ev. penningpolitiska medel) kan regeringen manipulera kontrollvariablen I för att uppnå den önskvärda nivån på målvariabeln C.

.7414

72,002,2685600

=⇔

+−=

I

I

50

Statistikprogram ett måste

• Excel• SPSS• Eviews• Stata• Matlab• R• SAS

51

Övningar på att tolka skattade regressionslinjer

%Δy = (100b1)Δxx1log(y)Log-level

%Δy = b1 %Δxlog(x1)log(y)Log-log

Δy = b1 Δxx1yLevel-level

Tolkningav b1

Oberoendevariabel

Beroendevariabel

Modell

y = b0 + b1* x1

52

Övningar på att tolka skattade regressionslinjer

pris = b0 + b1*Boyta = 10 + 50 000*BoytaTolkning:

b1 anger hur mycket pris ändras i genomsnitt när boyta ökar med en kvm.

ln(pris) = b0 + b1*ln(Boyta) = 10 + 0,80*BoytaTolkning: elasticiteter

(här priselasticitet m.a.p. Boyta).b1 anger hur många procent pris ändras i genomsnitt när boyta ökar med 1 procent.

(1 procents ökning av boytan leder till att pris ökar med i genomsnitt 0.80%)

53

Övningar på att tolka skattade regressionslinjer

ln(pris) = b0 + b1*rum = 10 + 0.50*rum

Tolkning: semi-elasticiteterb1 anger hur många procent pris ändras i genomsnitt när rum ökar med 1 enhet.

(För varje rum så ökar pris ökar med i genomsnitt 50%)

54

Övningar på att tolka skattade regressionslinjer

pris = b0 + b1*Boyta + b2*standardpoäng

= 10 + 40 000*Boyta + 10 000*standardpoäng

Tolkning:b1 anger hur mycket pris ändras i genomsnitt när boyta ökar med en kvm, och standardpoäng är konstant (ceteris paribus tolkning).b2…

55

Övningar på att tolka skattade regressionslinjer(US-English)

log(price) = 10 + 0.65*log(sqrft) – 0.066*bedrooms + 0.15*baths

- The price elasticity with respect to square footage is 0.65. Holding bedrooms and baths fixed, a 1 percentage increase in square footage is predicted to increase housing price (price) by about 0.65% (on average).

- Given size (sqrft) and number of bedrooms, one more bathroom (baths) is predicted to increase housing price (price) by 15% (on average).

- Varför negativt tecken på koefficienten för bedrooms?

56

Övningar på att tolka skattade regressionslinjermed dummyvariabler (binär variabel)

log(pris) = b0 + b1*log(Boyta) + b2*strandtomt

= 10 + 0.70*log(Boyta) + 0.65* strandtomt

- strandtomt är en dummyvariabel som är lika med 1 om huset är byggt på en strandtomt, annars 0.

- Hus på strandtomter är i genomsnitt 65% dyrare än andra hus, allt annat lika.

57

Sammanfattning 1

Vi vill försöka fastställa kasualt samband mellan variabler. Vad har variabel x för kasual effekt påvariabeln y? Att ”fånga in” verkligheten i en modell.

Teoretiska modellen (enkel linjär regression):

y = β0 + β1*x + u

y: beroende variabel, undersökningsvariabel

x: oberoende variabel, förklarande variabel

u: felterm, slumpterm: fångar in de variabler som ej är observerade.

β0 och β1: regressionskoefficienter, okända parametrar som ska skattas.

β0: intercept med y-axeln: värdet på y när x = 0. Ofta av lite intresse.

β1: anger lutningen på regressionslinjen.

• Man kan säga att ett viktigt mål med regressionsanalys är att erhålla skattningar av de okända parametrarna (β-parametrarna).

58

Sammanfattning 1

Den multipla linjära regressionsmodellen

k oberoende variabler och ett intercept => finns k + 1 stycken (okända) parametrar att skatt (vilka?).

Oavsett hur många oberoende variabler vi har inkluderat i vår modell kommer det alltid att finnas faktorer som vi inte kan inkludera. Än en gång är det feltermen u som samlar in alla ”icke observerade” faktorer.

Pris = f(x1, x2, x3,…).

• Problem med multikollinearitet.• Ceteris paribus tolkning.

59

Några datorövningar

Glöm ej deskriptiv statistik, korrelation etc.

Gör övningar i Excel! Var kreativ, prova, experimentera!

Rent rates.xls

•Huspriser Norra Ängby 1.xls

•Huspriser_1.xls

•Norra och Södra Ängby.xls

• Huspriser_2.xls

60

Statistisk inferensteori & hypotesprövning

Kom ihåg: Statistisk slutledning eller statistiskinferens är konsten att göra intelligenta gissningar med hjälp av slumpmässiga urval.

Med ett slumpmässigt urval (exv. fastighets-försäljningar ett visst år) kan vi skatta okända parametrar – till exempel medelvärden och varianser – för populationen.

Dessutom kan vi pröva hypoteser – antaganden – om populationen. Se LTH 2008

Hypotesprövning

61

Statistisk inferens (jmf slides 4 och 5)

• Population - parametrar• Urval - skattningar• Statistiska slutsatser

– Skatta parametrar– Testa hypoteser

Vi vill med hjälp av vårt urval dra slutsatser om populationen!

Population

Urval

Samtliga fastigheter

Sålda fastigheter

62

Två Fallgropar

• Heteroskedasticitet - ej konstant varians• Multikollinearitet - hög inbördes korrelation

mellan olika oberoende variabler

63

Några referense• [1]. D. Geltner, N.G. Miller, J. Cayton, and P. Eichholtz (2007).

Commercial Real estate - Analysis and Investments, 2nd ed.The MIT Press

• [2]. D. A. Lind, W. G. Marchal, and S.A. Wathen (2008). StatisticalTechniques in Business and Economics, 13th ed. McGraw-Hill Irwin

• [3]. P. Newbold, W. L. Carlson, and B. Thorne (2003). Statistics for Business and Economics, 5th ed. Prentice Hall

• [4]. R. V. Hogg, and E. A. Tanis (2001). Probability and StatisticalInference, 6th ed. Prentice Hall

• [5]. J. M. Wooldridge (2006). Introductory Econometrics –A Modern Approach, 3rd ed. Thomson South-Western

• [6]. G. R. Brown, and G. A. Matysiak (2000). Real Estate Investment – A Capital Market Approach. Financial Times, Prentice Hall