EJERCICIOS DE ESTAD´ISTICA I.T.O.P. · 1 ≤ x < 3 5 3 ≤ x < 5 7 5 ≤ x < 7 10 7 ≤ x < 9 9 ≤ x < 11 2 a) Dar las marcas de clase y calcular la frecuencia correspondiente al

EJERCICIOS DE ESTADISTICA

I.T.O.P.

Alberto Luceno

Fco. Javier Gonzalez

Universidad de Cantabria

1. ESTADISTICA DESCRIPTIVA

1. Estadıstica descriptiva

1.En un estudio entre 145 familias, se ha observado que el numero de hijos se distribuye de la siguientemanera:

hijos 0 1 2 3 4 5 6 7 8frecuencia 31 25 35 20 0 16 12 5 1

Se pide:

a) Hacer un diagrama de barras.

b) Calcular, la media, la moda, la mediana y la desviacion tıpica.

x = 2,41, Mo = 2, Me = 2, Sx = 2,11

2.En diferentes dıas se ha observado el numero de veces que ha sonado la alarma en un servicio debomberos, obteniendose los siguientes datos:

5, 3, 1, 5, 3, 6, 4, 2, 5, 6, 3, 6, 5, 2, 6, 7, 3

Se pide:

a) Obtener la moda, la mediana, Q1, Q3 y el cuantil 0,40.

b) Obtener la media y la desviacion tıpica.

c) Efectuar un diagrama apropiado.

a) Mo = 3, 5, 6, Me = 5, Q1 = 3, Q3 = 6, c0,40 = 3 b) x = 4,235, Sx = 1,751

3.El porcentaje de algodon en una tela utilizada para elaborar camisas para hombre se presenta en lasiguiente tabla. Calcular los estadısticos mas importantes y construir el histograma de frecuencias.

porcentaje de algodon32,1 32,5 32,6 32,7 32,8 32,9 33,1 33,133,4 33,5 33,6 33,6 33,6 33,6 33,6 33,833,8 34 34,1 34,1 34,1 34,2 34,3 34,334,4 34,5 34,5 34,6 34,6 34,6 34,6 34,634,7 34,7 34,7 34,7 34,7 34,7 34,9 3535 35,1 35,1 35,1 35,2 35,3 35,4 35,4

35,5 35,6 35,7 35,8 35,9 36,2 36,4 36,636,8 36,8 36,8 37,1 37,3 37,6 37,8 37,9

a) Disenar la distribucion de frecuencias con un cambio de variable.

b) Calcular los estadısticos: media, moda, mediana, Q1, Q3, c0,6, varianza y desviacion tıpica.

c) Representar el diagrama de tallo y hojas.

d) A partir del diagrama anterior determinar la mediana, el primer cuartil y el tercer cuartil ycomparese los resultados con los obtenidos a partir de la distribucion de frecuencias.

e) Representar los histogramas de frecuencias absolutas y acumuladas.

Universidad de Cantabria. Alberto Luceno y Fco. Javier Gonzalez 2


f ) Representar el diagrama de caja y determinar los valores extremos.

b) S2x = 1,82, Mo = 34,8, Q1 = 33,8, Q3 = 35,475, c0,60 = 34,9

4.Un ingeniero se plantea la eleccion entre dos fabricantes distintos para el suministro de cierto aditivopara el hormigon. El ingeniero recibe las muestras de los suministradores A y B. Realiza las medidaspara 15 bolsas de cada tipo del suministro. Los resultados se recogen en la tabla:

Laboratorio A 2,769 2,813 2,863 2,875 2,9242,955 2,962 2,98 3,007 3,0283,051 3,076 3,123 3,161 3,216

Laboratorio B 2,865 2,901 2,923 2,940 2,9452,969 2,984 2,981 2,996 3,0023,017 3,039 3,044 3,057 3,14

Se pide:

a) Disenar una distribucion de frecuencias para cada tipo de aditivo.

b) Realizar los histogramas adecuados para comparar graficamente ambos aditivos.

c) Determinar los principales estadısticos.

d) Justificar el aditivo elegido.

Descriptive Statistics Variable

N Mean Median TrMean StDev SE MeanLabA 15 2,9869 2,9800 2,9860 0,1273 0,0329 %LabB 15 2,9869 2,9840 2,9845 0,0688 0,0178 %

Variable Minimum Maximum Q1 Q3 %LabA 2,7690 3,2160 2,8750 3,0760 %LabB 2,8650 3,1400 2,9400 3,0390

5.Las puntuaciones obtenidas por un grupo de alumnos en un test de habilidad psicomotriz han sidolas siguientes:

Puntuaciones xi fi xi fi Fi

[5, 10) 7’5 3 22’5 3[10, 15) 12’5 6 75 9[15, 20) 17’5 13 227’5 22[20, 25) 22’5 7 157’5 29[25, 30) 27’5 2 55 31

31 537’5

a) Calcular los principales estadısticos centrales.

b) Rango intercuartil.

a) x = 17,34, Me = 17,5, Q1 = 13,96, Q3 = 20,9 b) RIQ = 16,94

6.En la siguiente tabla de frecuencias, se registran los pesos en gramos de ciertas tornillos.



intervalo marca de clase frecuencia1 ≤ x < 3 53 ≤ x < 5 75 ≤ x < 7 107 ≤ x < 99 ≤ x < 11 2

a) Dar las marcas de clase y calcular la frecuencia correspondiente al cuarto intervalo, sabiendoque la media x es igual a 6 gramos.

b) Hallar el tercer cuartil Q3.

a) f4 = 13 b) Q3 = 7, 885

1.1. Distribucion conjunta de dos variables

7.La siguiente tabla registra en diferentes horas la temperatura (T) del agua de un rıo y su contenidoen oxıgeno disuelto (DO):

T DO T DO T DO T DO T DO29,57 9,88 29,48 6,67 28,43 2,90 31,68 13,80 28,51 2,5829,99 12,14 29,06 5,29 28,64 3,94 31,34 12,32 28,30 2,4130,58 13,66 28,81 4,23 29,02 5,52 31,00 11,00 28,09 2,5131,00 14,19 28,60 3,56 29,52 7,83 30,79 10,00 28,00 2,7131,34 14,50 28,51 2,98 30,07 10,68 30,45 8,45 28,13 3,4831,26 13,72 28,51 2,58 30,67 12,98 30,07 6,48 28,30 4,3631,17 12,54 28,43 2,32 31,17 14,26 29,69 4,91 28,72 5,7130,96 11,48 28,34 2,14 31,55 14,93 29,36 3,89 29,14 7,9130,50 9,92 28,34 2,09 31,76 14,91 29,02 3,21 29,74 10,6129,99 8,32 28,26 2,27 31,81 14,61 28,76 2,83 30,37 12,66

Se pide:

a) Construir una distribucion conjunta de frecuencias para las dos variables T y DO tomando 5intervalos.

b) Dibujar un diagrama de dispersion conjunto de las dos variables.

c) Hacer un estudio de las distribuciones marginales.

d) Calcular la matriz de varianzas-covarianzas.

Vease el capıtulo 1 del libro de Luceno y Gonzalez(2003)

8.En cierto colectivo de personas se toma una muestra de 30 personas a las que se observa el peso,obteniendose los siguientes datos:

57,2; 92,5; 72,8; 74,8; 60,1; 96,1; 74,3; 89,1; 69,2; 77,7;65,0; 82,1; 66,2; 51,3; 83,9; 71,3; 84,8; 62,5; 103,2; 64,1;73,1; 87,3; 58,9; 76,1; 45,8; 79,1; 68,9; 62,5; 81,5; 65,7



Obtener los estadısticos mas importantes.

Variable N Mean Median TrMean StDev SE Mean %peso 30 73,24 72,95 73,10 13,26 2,42

Variable Minimum Maximum Q1 Q3 %peso 45,80 103,20 63,70 82,55

9.La duracion en horas de una serie de bombillas viene dada por la siguiente

7, 24, 31, 34, 26, 19, 88, 76, 81, 44, 43, 40, 54, 55,61, 58, 59, 29, 37, 36, 47, 49, 66, 70, 39, 50, 68


Variable N Mean Median TrMean StDev SE Mean %horas 27 47,81 47,00 47,84 19,65 3,78

Variable Minimum Maximum Q1 Q3 %horas 7,00 88,00 34,00 61,00

10.Se han obtenido las siguientes medidas en milımetros de una serie de 30 tornillos cogidos al azar.

124, 116, 144, 133, 109, 120, 146, 114, 112, 110, 123, 115, 123, 138, 127,111, 125, 137, 132, 140, 121, 139, 126, 130, 139, 131, 125, 142, 124, 122



2. PROBABILIDAD

2. Probabilidad

11.(Espacio muestral). Describir el espacio muestral de las siguientes experiencias aleatorias:

a) E1 = Lanzamiento de un dado y anotamos el resultado.b) E2 = Lanzamiento tres dados y sumamos las puntuaciones.c) E3 = La duracion de una lampara hasta que se funde.d) E4 = La resistencia a rotura de unos tubos de aluminio.e) E5 = Numero de piezas defectuosas de un lote de 5000.f ) E6 = Lanzamiento de dos monedas.

12.Sean A y B sucesos con P (A) = a, P (B) = b y P (A∩B) = c. Expresar las probabilidades siguientesen funcion de a, b y c.

P (A ∪ B) P (A ∩ B) P (A ∪ B) P (A ∩ B)

a) P (A ∪ B) = 1 − c b) P (A ∩ B) = b − c c) P (A ∪ B) = 1 − a + c d) P (A ∩ B) = 1 − a − b + c

13.Sabiendo que P (A) = 0,2, P (B) = P (C) = 0,2 y P (A ∩ B) = P (A ∩ C) = P (B ∩ C) = 0,1 yP (A ∩ B ∩ C) = 0,05. Calcular la probabilidad de P (A ∪ B ∪ C).

P (A ∪ B ∪ C) = 0,35

14.El problema de Galileo. Un prıncipe italiano pregunto en una ocasion al famoso fısico Galileo, ¿porque cuando se lanzan tres dados, se obtiene con mas frecuencia la suma 10 que la suma 9, aunquese puedan obtener de seis maneras distintas cada una?

a) P (suman 9) =25

63= 0,116 b) P (suman 10) = 27

63= 0,125

15.Una urna contiene dos bolas blancas y tres bolas rojas. Efectuadas dos extracciones sucesivas,determinar la probabilidad de extraer una bola blanca y, a continuacion, una bola roja:

a) Cuando habiendo extraıdo la primera bola esta es devuelta a la urna para realizar la segundaextraccion.

b) Cuando habiendo extraıdo la primera bola esta no es devuelta a la urna para realizar la segundaextraccion.

a) P (BR) =6

25b) P (BR) =

6

20

16.Se extrae una carta de una baraja de 40 cartas. Comprobar cuales de los siguientes pares de sucesosson independientes:

a) A = rey B = espadasb) A = figuras B = espadasc) A = rey B = figuras


2. PROBABILIDAD

a) si b) si c) no

17.De una baraja de 40 cartas se extrae una al azar y se mira. Se repite esta operacion 4 veces. Tenemosque apostar a que la 1a es copa, la 2a es oro, la 3a es bastos y la 1a es espadas. Si nos dejan elegirentre reponer o no la carta extraıda, ¿que elegiremos?

a) con reposicion

(1

4

)4

b) sin reposicion10 · 10 · 10 · 1040 · 39 · 38 · 37

18.El problema del caballero de la Mere. Se considera generalmente 1654 como el ano del nacimientode la teorıa de probabilidades: el caballero de la Mere, filosofo y hombre de letras en la corte deLuis XIV, propuso dos problemas al celebre matematico Blaise Pascal;

a) ¿Que es mas probable, obtener al menos un seis en cuatro lanzamientos de un dado, u obteneral menos un doble seis al lanzar 24 veces dos dados?

b) Se lanza una moneda varias veces. Por cada “1” obtenido, A recibe un punto, y por cada “0”,se adjudica un punto B. Gana la apuesta el primero que obtenga 5 puntos. Al cabo de sietejugadas, A tiene 4 puntos y B tiene 3. En este momento se interrumpe el juego. ¿Como repartirla apuesta de la manera mas equitativa? Las propuestas de Mere dieron lugar a un intercambiode correspondencia entre Pascal y Fermat, del que nacieron los fundamentos de la teorıa deprobabilidades. (Engel, Probabilidad y Estadıstica, Mestral, 1988).

a) P (S) = 0, 51775, P (T ) = 0, 4914 b) deben repartir lo apostado en razon de 3 a 1

19.El problema de las uvas pasas. ¿Cuantas uvas pasas se deben mezclar con 500 gramos de harinapara tener una certeza del 99 % de que un bollo de 50 gramos contenga al menos una pasa? (Engel,

Probabilidad y Estadıstica, Mestral, 1988).

n ≥ 44

20.En una habitacion hay una reunion de n personas. ¿Cual es la probabilidad de que el cumpleanosde al menos dos personas sea el mismo dıa?

p = 1 − 365 · 364 · 363 · · · (365 − n + 1)

365n

2.1. Probabilidad condicionada

21.Demostrar que si dos sucesos A y B son independientes, tambien lo son los sucesos complementariosde A y B.

22.Demostrar:

P (A|B) > P (A) =⇒ P (B|A) > P (B)

23.Sean dos sucesos A y B, donde P (A) = 0,5 y P (A ∪ B) = 0,8. Asignar el valor de P (B) para que:

a) A y B sean incompatibles.

b) A y B sean independientes.

a) P (B) = 0,3 b) P (B) = 0,6


2. PROBABILIDAD

24.Indicar en cada caso si los sucesos A y B son incompatibles o independientes:

a) P (A) = 0,2, P (B) = 0,4 y P (A ∪ B) = 0,6.

b) P (A) = 0,3, P (B) = 0,5 y P (A ∪ B) = 0,65.

c) P (A) = 0,4, P (B) = 0,5 y P (A ∪ B) = 0,7.

25.Una urna contiene 5 bolas blancas y 3 negras. Tres jugadores A, B y C extraen una bola sin devolu-cion en este mismo orden. Gana el primer jugador que saca una blanca. Calcular la probabilidadde que gane C.

P (GA) =36

56; P (GB) =

15

56; P (GC) =

5

56

26.Supongamos que tenemos 10 urnas: 5 de ellas son de tipo U1 y contienen 3 blancas y 3 negras, 3de ellas son de tipo U2 y contienen 4 blancas y 2 negras, y el resto son de tipo U3 y contienen 1blanca y 5 negras. Se pide:

a) Probabilidad de que una bola extraıda al azar de una de las 10 urnas sea blanca.

b) Probabilidad de que habiendo salido una bola negra, proceda de una urna del tipo U2.

c) Sabiendo que ha salido una bola negra, ¿de que tipo de urna es mas probable que haya salido?

a) 2960 b) 6

31 c) U1

27.Alarma Falsa. En cierto lugar se ha instalado un dispositivo de alarma. Si hay peligro, el dispositivose pone en funcionamiento el 99 % de las ocasiones. Por otra parte, la probabilidad de que se disparela alarma espontaneamente es del 0,5 %, y la probabilidad de que una noche haya un intento derobo es 0,1 %. Si una noche determinada se oye la alarma, ¿cual es la probabilidad de que sea falsa(no haya peligro)?

0,83

28.Una persona tiene dos negocios en funcionamiento, A y B. El primer negocio tiene perdidas en el25% de los balances, mientras que el 2o, donde la perspectiva de beneficio es menor, tiene perdidassolo en el 5% de los casos. Se supone que el conjunto de operaciones es analogo en ambos negocios.Si, analizando el resultado economico de una de las operaciones, se observan perdidas, ¿cual es laprobabilidad de que dicha operacion correspondiese al negocio B?

1/6

29.Para la eleccion de las personas de un jurado se disponen de dos urnas. En la 1a hay 10 papeletascon nombres de 6 hombres y 4 de mujeres, en la 2a hay 5 papeletas con nombres de 2 hombres y 3de mujeres. Alguien cambia una papeleta de la 1a urna a la 2a e inmediatamente despues se extraeal azar una papeleta de la 2a urna que resulta ser nombre de mujer. ¿Cual es la probabilidad deque la papeleta cambiada contenga un nombre de mujer?

16/34

30.Considerese tres cartas: una con las dos caras negras, otra con ambas caras blancas y la tercera conuna blanca y la otra negra. Se elige una carta al azar y se coloca sobre la mesa. La cara superiorresulta negra, ¿cual es la probabilidad de que la cara oculta sea blanca?


2. PROBABILIDAD

A B C

1/3

31.Una fabrica de ladrillos suministra estos a buen precio pero el 10 % de ellos son defectuosos. Conobjeto de mejorar la calidad del producto se someten los ladrillos a un ensayo no destructivo antesde su venta. Este ensayo da como buenos el 99 % de los que son buenos y da por malos el 98 % delos que son malos.

a) Determinar la probabilidad de que un ladrillo en mal estado supere el proceso de control decalidad.

b) Determinar la probabilidad de aceptar como bueno un ladrillo cualquiera.

c) Determinar la probabilidad de que un ladrillo, que ha sido aceptado, este en malas condiciones

d) Si el coste estimado por cada ladrillo fabricado en malas condiciones es C euros. Determinarel precio maximo que debe pagarse por ensayo no destructivo para que este sea rentable.

a) 0,02 b) 0,893 c) 0, 0022 d) 0,098 · C

32.Los almacenes A, B y C, que estan dirigidos por la misma persona, tienen 50, 75 y 100 empleados,y, respectivamente, el 50 %, 60 % y 70 % de ellos son mujeres. El hecho de que una persona seadespedida del trabajo es igualmente probable entre todos los empleados, independientemente delsexo. Se despide un empleado, que resulta ser mujer. ¿Cual es la probabilidad de que trabajara enel almacen C? 0,5

33.Dos proveedores A y B entregan la misma mercancıa a un fabricante, que guarda todas las existenciasde esta mercancıa en un mismo lugar. Los antecedentes demuestran que el 5 % de la mercancıaentregada por A es defectuosa y que el 9 % lo es de B. A entrega 4 veces mas que B. Si se saca unapieza y no es defectuosa, ¿cual es la probabilidad de que la haya fabricado A? 0,806

34.Se disena un dispositivo de frenado para evitar que un automovil patine en el que incluye unsistema electronico e hidraulico. El sistema completo puede descomponerse en tres subsistemasen serie que operan de manera independiente: un sistema electronico, un sistema hidraulico y unsistema mecanico. En un frenado particular, las probabilidades de estas unidades funcionen sonaproximadamente 0,995, 0,993 y 0,994, respectivamente. Calcular la probabilidad de que sistemafrene.

0,98


2. PROBABILIDAD

35.El volumen de produccion diario en tres plantas diferentes de una fabrica es de 500 unidades enla 1a, 1000 en la 2a y 2000 en la 3a planta. Sabiendo que el porcentaje de unidades defectuosasproducidas en las plantas es de 1%, 0,8% y 2%, respectivamente, determinar la probabilidad deque:

a) Extraıda una unidad al azar, resulte no defectuosa.

b) Habiendo sido extraıda una unidad defectuosa, haya sido producida en la primera planta.

a) 0,985 b) 0,094

36.Tres imprentas realizan trabajos para la oficina de publicaciones de la Universidad de Cantabria.La oficina de publicaciones no negocia una multa contractual por trabajos atrasados, y los datossiguientes reflejan una gran experiencia con estas imprentas.

imprenta fraccion fraccion de tiempoi de contratos con retraso1 0,2 0,22 0,3 0,53 0,5 0,3

Un departamento observa que un pedido tiene mas de un mes de retraso. ¿Cual es la probabilidadde que el contrato se haya otorgado a la imprenta 3?

15/34

37.Una compania de aviones dispone de 20 pilotos y 15 auxiliares de vuelo. Si en cada vuelo viajancomo equipo responsable, dos pilotos y tres auxiliares. Se pide:

a) ¿De cuantos equipos distintos dispone la compania para los vuelos?

b) El piloto RX34 tiene a su mujer como auxiliar de vuelo. Si tomamos un vuelo al azar, ¿cuales la probabilidad de que vaya el matrimonio en el personal de vuelo?

c) Si elegimos un vuelo al azar, ¿cual es la probabilidad de que vaya RX34 o su mujer en elpersonal de vuelo?

a) 86,450 b) 0,14 c) 0, 28

38.Una fabrica dispone de 20 transportistas, 45 empleados de mantenimiento y 5 ingenieros supervi-sores. La contratacion de todo el personal se divide en fija y temporal. De los transportistas 8 sonfijos; de los empleados de mantenimiento 35 son fijos y de los ingenieros 3 son fijos. Si elegimos unapersona al azar:

a) ¿Cual es la probabilidad de que tenga un contrato temporal?

b) ¿Cual es la probabilidad de que tenga un contrato temporal y no sea ingeniero?

c) Si elegimos una persona que tiene contrato fijo, ¿cual es la probabilidad de que sea un trans-portista?

a)24

70b)

22

70c)

8

46


3. VARIABLES ALEATORIAS

3. Variables aleatorias

3.1. Variables aleatorias discretas

39.En algunos casinos se realiza el siguiente juego: se elige uno de los numeros 1, 2, 3, 4, 5, 6. Acontinuacion se lanzan tres dados. Si el numero elegido aparece 1, 2, 3 veces, se recibe 1, 2, 3 veceslo apostado, y se recupera este. Si no aparece el numero elegido, se pierde lo apostado. Sea X lavariable aleatoria que proporciona la ganancia. Obtener E(X).

E[X] = −0, 078

40.Una variable aleatoria tiene la siguiente funcion de probabilidad,

x 1 2 3 4 5P (x) 0,05 0,20 0,05 0,45 0,25

a) Comprobar que es una funcion de probabilidad.

b) Calcular P (x ≤ 3).

c) Calcular P (x > 3).

d) Calcular P (x = 1 ∪ x = 3 ∪ x = 5).

e) Calcular E(X).

f ) Representar la funcion de distribucion FX(x).

b) 0,3 c) 0,7 d) 0,35 e) 3,65

41.Fiabilidad de un componente. Para una componente de un sistema, sea A el suceso “la componentefunciona”. Se define la funcion indicatriz del suceso A como aquella funcion IA tal que IA = 1 si Aes cierto e IA = 0 si A es falso. ¿Que indica E(IA)?

42.A partir la figura 3.1

a) Determinar la funcion indicatriz de los sistemas.

b) Determinar la fiabilidad de los sistemas.

c) Suponiendo p1 = p2 = p3 = 0,90, determinar la fiabilidad de los sistemas y compararlos.

1

3

2

(a) Circuito1

1 2

(b) Circuito2

1 2

3(c) Circuito3

Figura 3.1: Funcion indicatriz y fiabilidad

a) 1 − (1 − I1)(1 − I2)(1 − I3), I1I2, 1 − (1 − I1I2)(1 − I3) b) 1 − q1q2q3, p1p2, 1 − (1 − p1p2)q3



1 2

3 4(a) Circuito4

1

2

1

2(b) Circuito5


43.Determinar la funcion indicatriz y la fiabilidad de cada uno de los sistemas de la figura 3.2

a) I = 1 − (1 − I1I2)(1 − I3I4), R = 1 − (1 − p1 p2)(1 − p3 p4)

b) I = [1 − (1 − I1)(1 − I2)][1 − (1 − I3)(1 − I4)], R = (1 − q1 q2)(1 − q3 q4)

44.Determinar la funcion indicatriz y la fiabilidad de cada uno de los sistemas de la figura 3.3

1 2

4 5

3

(a) Circuito6

1

2

3

4(b) Circuito7


a) I = 1 − (1 − I1I2)(1 − I3)(1 − I4I5), R = 1 − (1 − p1 p2)(1 − p3)(1 − p4 p5)

b) I = I1 + I2(1 − I1)(I3 + I4 − I3 I4), R = p1 + p2(1 − p1)(p3 + p4 − p3 p4)

45.Sea una variable aleatoria definida por su funcion de distribucion:

F (x) =

0 x < −20,4 −2 ≤ x < 0,50,8 0,5 ≤ x < 31 x ≥ 3

a) Representar F (x) y calcular la funcion de probabilidad de esta variable.

b) Calcular E(X).

a) P (−2) = 0,4, P (0,5) = 0,4, P (3) = 0,2 b) E(X) = 0

46.Se lanza una moneda tres veces; sea X el numero de caras obtenidas. Hallar la funcion de proba-bilidad y de distribucion de X.

P (0) = 1/8, P (1) = 3/8, P (2) = 3/8, P (3) = 1/8 ; F (0) = 1/8, F (1) = 4/8, F (2) = 7/8, F (3) = 1

47.El numero medio de personas que acuden a un local es de 1000 con una desviacion tıpica σ = 20.¿Cual es el numero de sillas necesarias para asegurar que todos los asistentes puedan sentarse, conuna probabilidad de 0,75? (Usar la desigualdad de Chebyschev.) n ≥ 1090



48.Sea X variable aleatoria cuya distribucion de probabilidad viene dada por

P (X = r) =3

2

1

r! (4 − r)!r = 0, 1, 2, 3, 4

P (X = r) = 0 para otros valores

Hallar P (X = 3); P (1 ≤ X ≤ 2,5) y P (X ≤ 2,5).

P (3) = 1/4, P (1 ≤ X ≤ 2,5) = 5/8, P (X ≤ 2,5) = 11/16

49.Los artıculos en venta en unos grandes almacenes se someten al control diario y se estima quela probabilidad de que en un dıa sean vendidos r artıculos defectuosos es 2

3

(13

)r. Determinar la

probabilidad de que en un dıa elegido al azar, de los artıculos vendidos:

a) Dos o mas sean defectuosos.

b) Cinco sean defectuosos.

c) Tres o menos sean defectuosos.

d) Determinar la esperanza del numero de artıculos defectuosos vendidos en el dıa.

a) 1/9 b)2

3

(1

3

)5

c) 1 −(

1

3

)4

d) E[X] = 3

3.2. Variables aleatorias continuas

50.De las siguientes afirmaciones sobre la funcion de distribucion de una variable aleatoria, marcar con⊠ las que sean correctas.

a) F (−∞) = 0, F (∞) = 1. ¤

b) F es monotona no decreciente. ¤

c) F es monotona creciente. ¤

d) F es continua por la derecha, es decir, F (x) = lıma→x+

F (a). ¤

e) P (X = x) = F (x) − F (x−). ¤

f ) P (X = x) = F (x) − F (x−). ¤

g) P (x < X ≤ y) = F (y) − F (x). ¤

h) P (x < X < y) = F (y) − F (x). ¤

i) P (X ≥ x) = 1 − F (x). ¤

51.Sea X una variable aleatoria que tiene como funcion de densidad de probabilidad f(x) = a(1 + x2)si x ∈ (0, 3) y f(x) = 0 en los demas casos. Se pide:

a) Hallar a y la funcion de distribucion de X.

b) Hallar la probabilidad de que X este comprendido entre 1 y 2.

c) P (X < 1).

d) P (X < 2|X > 1).



e) Calcular P (|X − µ| ≥ k σ), con k = 2.

a) a = 1/12, F (x) =1

12

(1

3x3

+ x

)b)

5

18c) P (X < 1) =

1

9d) P (X < 2|X > 1) =

45

144e) 0,054

52.Sea Y una variable aleatoria con funcion de densidad dada por:

pY (y) =

0,2 −1 ≤ y ≤ 00,2 + k y 0 < y ≤ 10 en el resto

a) Determinar el valor de k.

b) Determinar la funcion de distribucion, FY (y).

c) Calcular P (0 ≤ Y ≤ 0,5).

d) P (Y > 0,5|Y > 0,1).

a) k = 1,2 b) FY (y) = 0,2y + 0,2 − 1 < y < 0 FY (y) = 0,6y2 + 0,2y + 0,2 0 ≤ y < 1 c) 0,25 d) 0,71

53.La cantidad aleatoria de dinero ahorrado por una persona en un mes sigue una ley de probabilidaddada por:

F (x) =

0 x < 0x2 0 ≤ x < 112 1 ≤ x < 2x4 2 ≤ x < 41 4 ≤ x

donde x viene expresado en cientos de euros. Determinar la probabilidad de que, en un mes lacantidad de dinero ahorrado:

a) Sea superior a 200 euros.

b) Sea inferior a 450 euros.

c) Sea superior a 50 euros y menor o igual a 250 euros.

d) Calcular el ahorro mensual medio.

a) 0,5 b) 1 c) 3/8 d) 175 euros

54.Con objeto de establecer un plan de produccion, una empresa ha estimado que la demanda aleatoriade sus potenciales clientes se comportara semanalmente con arreglo a la ley de probabilidad definidapor la funcion de densidad

pX(x) =

38 (4x − 2x2), 0 ≤ x ≤ 2

0, en el resto

donde x viene expresada en millones de unidades. ¿Que cantidad C debera tener dispuesta a laventa, al comienzo de cada semana, para poder satisfacer la demanda en dicho periodo con unaprobabilidad de 0,5? C = 1



55.Cierta aleacion se forma con la mezcla fundida de dos metales. La aleacion que resulta contienecierto porcentaje de plomo X, que puede considerarse como una variable aleatoria. Suponiendo queX tiene la siguiente funcion de densidad de probabilidad:

pX(x) = 10−5 3x(100 − x)

5, 0 ≤ x ≤ 100,

y que el beneficio neto G obtenido al vender esta aleacion, es una funcion del porcentaje de plomo:G = A + BX, se pide calcular el beneficio esperado. E[G] = A + 50 B

56.Si la duracion en horas de cierto tubo de radio es una variable aleatoria continua X con funcion dedensidad

pX(x) =100

x2, x > 100,

SE PIDE:

a) Probabilidad de que un tubo dure menos de 200 horas si se sabe que el tubo funciona todavıadespues de 150 horas de servicio.

b) Si se instalan tres de estos tubos en un conjunto, probabilidad de que exactamente uno tengaque ser sustituido despues de 150 horas de servicio.

c) ¿Cual es el numero mınimo de tubos n que se pueden poner en un sistema en paralelo, de modoque haya una probabilidad 0,999 de que despues de 150 horas de servicio funcione todavıa elsistema?

a) 1/4 b) 4/9 c) n ≥ 7

57.El tiempo de vida (en cientos de horas) de un transistor es una variable aleatoria Z con funcion dedistribucion

FZ(z) =

0 z < 0

1 − e−z2

0 ≤ z

SE PIDE:

a) Demostrar que FZ(z) es una funcion de distribucion.

b) Obtener la funcion de densidad de probabilidad pZ(z).

c) Calcular la probabilidad de que un determinado transistor dure mas de 200 horas.

b) pZ(z) = 2z e−z2c)

1

e4

58.Una estructura metalica puede sufrir, debido al calor, una dilatacion que (medida en cm) es unavariable aleatoria X con funcion de densidad de probabilidad dada por:

pX(x) =

ax 0 ≤ x ≤ 3b 3 < x < 5

b3 (8 − x) 5 ≤ x ≤ 8

a) Sabiendo que la funcion de densidad de probabilidad es una funcion continua de x, determinara y b.



b) Calcular e interpretar la probabilidad de que la dilatacion sea inferior a 3.

c) Si con un aparato se ha observado que la estructura ha dilatado mas de 3 cm, ¿con que prob-abilidad la dilatacion estara entre 3 y 5 cm?

a) a =1

15; b =

1

5b)

3

10c)

4

7

59.Sea una variable aleatoria X, que tiene como funcion de densidad:

pX(x) =

x + 6

50−6 ≤ x ≤ 4

0 resto

a) Calcular la funcion de distribucion de X.

b) Hallar k, si P (k ≤ x ≤ k + 1) = 0,09.

a) F (x) =1

50(1

2x2

+ 6x + 18) b) k = −2

60.La demanda, expresada en toneladas, de un determinado producto es una variable aleatoria cuyafuncion de densidad es:

pX(x) =x

62 ≤ x ≤ 4

¿Cuales son la media, la varianza y la mediana de esta demanda? El fabricante del producto sabeque cada kilo vendido reporta un beneficio de 12 euros, y cada kilo que queda sin vender suponeuna perdida de 6 euros. Es por tanto, importante para el establecer cual es la cantidad a fabricar.Si el criterio para establecer dicha cantidad es el maximizar la ganancia esperada, determinar cuales la fabricacion optima.

3.3. Cambio de variable

61.Sea X una variable aleatoria con E(X) = 2 y V ar(X) = 0,5. Sea Y = 3X − 8. Hallar E(Y ) yV ar(Y ).

62.Supongamos que una variable aleatoria X tiene funcion de densidad de probabilidad:

pX(x) = 2x 0 < x < 1

Determinar la funcion de densidad de probabilidad de las variables Y = H1(X) = 3X + 1, Z =H2(X) = e−X y W = H3(X) = X2.

a) FY (y) =(

y−13

)2pY (y) = 2

3

(y−13

)1 < y < 4

b) FZ(z) = 1 − ln2 z pZ(z) = −2 ln zz

e−3 < z < e−1

c) FW (x) = w pW (w) = 1 0 < w < 1

63.Para medir la velocidad del aire se usa un tubo que permite medir la diferencia de presion. Estadiferencia esta dada por R = 1

2d V 2, con d la densidad del aire (supuesta constante) y V la veloci-dad del viento (en km/h). Si V es una funcion de densidad de probabilidad uniforme en (10, 20),encontrar la funcion de densidad de probabilidad de R.

pR(r) =1

10√

2rd; 50d < r < 200d



64.La tabla siguiente representa la distribucion de probabilidad conjunta de la variable aleatoria dis-creta (X,Y ). Determinar

Y \X 1 2 31 1

1216 0

2 0 19

15

3 118

14

215

a) Calcular P (X = 2, Y = 1); P (X = 2); P (Y = 1) y P (X = 3|Y = 2).

b) Calcular E(X); E(Y ) y Cov(X,Y ).

65.Dos lıneas de produccion fabrican cierto tipo de artıculo. Supongase que la capacidad es de 5artıculos para la lınea I y de 3 artıculos para la lınea II, y que el numero verdadero de artıculosproducidos por cada lınea es una variable aleatoria. Sea (X,Y ) la representacion de la variablealeatoria bidimensional que da el numero de artıculos producidos por la lınea I y por la lınea II:

Y \X 0 1 2 3 4 50 0 0,01 0,03 0,05 0,07 0,091 0,01 0,02 0,04 0,05 0,06 0,082 0,01 0,03 0,05 0,05 0,05 0,063 0,01 0,02 0,04 0,06 0,096 0,05

a) Determinar la probabilidad del suceso: la lınea I produce mas artıculos que la lınea II.

b) Hallar las distribuciones marginales.

c) Calcular P (X = 3) y P (Y = 1).

d) Calcular E(X) y E(Y ).

e) Calcular P (X = 2|Y = 2).

a) 0,13 c) P (x = 3) = 0,21, P (y = 1) = 0,26 d) E[X] = 3,39, E[Y ] = 1,48 e)1

5


4. DISTRIBUCIONES DISCRETAS MAS COMUNES

4. Distribuciones discretas mas comunes

66.Suponiendo que cada bebe tiene una probabilidad 0,51 de ser varon, hallese la probabilidad de queuna familia de 6 hijos tenga:

a) Por lo menos un nino.

b) Por lo menos una nina.

a) 0,986 b) 0,982

67.Si la probabilidad de acertar en un blanco es 1/5 y se hacen 10 disparos de forma independiente,¿cual es la probabilidad de acertar por lo menos dos veces?

1 − q10 − 10 p q9, con p = 1/5 y q = 4/5

68.Demostrar que si la variable aleatoria X tiene distribucion binomial (X ∼ Bin(n, p)), se tiene:

µX = np ; σ2X = npq.

69.Se lanza una moneda 500 veces. Estimar la probabilidad de que el numero de caras este comprendidoentre 240 y 260. 0,6208

70.En una regulacion de calles por semaforos, la luz verde esta encendida durante 15 segundos, la luzambar 5 segundos y la luz roja 55 segundos. Supongamos que las condiciones de trafico inducenvariaciones aleatorias en los tiempos de llegada de los automoviles, de forma que “llegar cuando elsemaforo esta verde” es un suceso aleatorio. Para cinco coches que lleguen en tiempos diferentes eindeterminados, calcular la probabilidad de que:

a) solo tres encuentren la luz verde;

b) a lo sumo cuatro encuentren la luz verde;

c) mas de uno encuentre la luz verde.

a) 0, 0512 b) 0, 99968 c) 0, 26272

71.Una firma de pedidos por correo envıa una carta a sus clientes. La probabilidad de que un clienteelegido al azar conteste a esa carta es de p = 0,1. Hallar:

a) Distribucion de probabilidad del numero X de cartas que debe enviar hasta obtener exacta-mente 1 respuesta.

b) La esperanza y varianza matematica de la variable X.

c) Distribucion de probabilidad del numero Y de cartas que debe enviar para obtener exactamentek respuestas.

d) La esperanza y varianza matematica de la variable Y .

a) P (X = k) = p qk−1 b) E[X] = 1/p,V ar[X] = q/p2

c)

(n − 1k − 1

)pk qn−k d) E[Y ] = k/p,V ar[Y ] = kq/p2



72.Una caja con 12 artıculos tiene 4 defectuosos. Si se toma una muestra de 3, en un caso con reemplaza-miento y en otro sin reemplazamiento, ¿cual sera la probabilidad de no incluir artıculos defectuosos

en la muestra? a)

(8

12

)3

b)336

1320

73.Se lanza un dado todas las veces necesarias hasta que aparece un 6. Si X mide el numero dellanzamiento en que ocurre. Se pide:

a) ¿Que funcion de probabilidad tiene la variable aleatoria X?

b) Calcular P (X = 3).

c) Calcular P (X > 4).

a) P (X = k) = p qk−1 b) p(X = 3) = p q2 c) p(X > 4) = q4, siendo p la probabilidad de que salga un 6 y

q = 1 − p

74.Sea X una variable aleatoria geometrica de parametro p. Demostrar que:

P (X > a + b|X > a) = P (X > b),

para cualesquiera constantes positivas a y b.

75.Para controlar la natalidad, un polıtico algo excentrico, propone para los nuevos matrimonios lasiguiente norma: unicamente podran tener hasta un varon y como maximo 5 hijos. Sea X la variablenumero de hijos y V la variable numero de varones de un matrimonio. Se pide:

a) Probabilidad de que un matrimonio solo tenga un hijo.

b) Probabilidad de que un matrimonio tenga k hijos.

c) Numero medio de hijos por matrimonio.

d) Numero medio de varones por matrimonio.

e) ¿Reduce esta norma la frecuencia de varones en la poblacion?

76.Tres personas A, B, y C lanzan sucesivamente en el orden A, B, C un dado. La primera personaque saque un 6 gana. Si p es la probabilidad de sacar un 6 y q = 1 − p, ¿cuales son sus respectivasprobabilidades de ganar?

P (GA) =p

1 − q3; P (GB) =

pq

1 − q3; P (GC) =

pq2

1 − q3

77.Se lanza un dado todas las veces necesarias hasta obtener dos seises y X mide el numero dellanzamientos hasta que dicho suceso ocurre. Se pide:

a) ¿Que funcion de probabilidad tiene la variable aleatoria X?

b) P (X = 3).

c) P (X > 4).



78.Sea X una variable aleatoria binomial negativa NB(k, p). Demostrar que:

µ =k

p; σ2

x = kq

p2.

79.Se conoce de estudios anteriores que el tipo de grupo sanguıneo de una poblacion se distribuye deacuerdo a los siguientes datos.

Grupo A B AB OPorcentaje 43,2 14,2 6 36,6

En determinada situacion de emergencia se necesitan realizar 5 transfusiones del tipo A. Se solicitanvoluntarios a la poblacion y se realizan extracciones sucesivas. ¿Cual es la probabilidad de cubrirla emergencia con el decimo donante?

80.Sea X binomial Bin(n, p) y sea Y binomial negativa NB(k, p), demostrar las siguientes relacionesentre ellas:

a) P (Y ≤ n) = P (X ≥ r).

b) P (Y > n) = P (X < r).

81.La centralita telefonica de un hotel recibe un numero de llamadas por minuto que sigue una ley dePoisson con media 0,5. Determinar la probabilidad de que en un minuto al azar:

a) Se reciba una unica llamada.

b) Se reciban un maximo de dos llamadas.

c) La centralita quede bloqueada, sabiendo que no puede realizar mas de 3 conexiones por minuto.

a) 0, 303 b) 0, 986 c) 0, 002

82.En una gran ciudad se producen 2 incendios anuales por termino medio. ¿Cual es la probabilidadde que el proximo ano se produzcan mas de cuatro?

0, 0527

83.Sea X una variable aleatoria de Poison de parametro λ, Po(λ). Demostrar que:

µ = λ ; σ2x = λ.

84.Se lanza una moneda 500 veces. Hallar la probabilidad de que la frecuencia relativa de caras este com-prendida entre 0,45 y 0,65.

0,987

85.¿Cuantas veces habrıa que lanzar una moneda regular a fin de tener al menos un 95% de seguridadde que la frecuencia relativa de caras diste a lo mas 0,1 de la probabilidad teorica 0,5? 96



86.¿Cuantas veces habrıa que lanzar un dado regular a fin de tener al menos un 95% de seguridad deque la frecuencia relativa de caras diste a lo mas 0,1 de la probabilidad teorica 1/6? 54

87.Una fabrica produce artıculos defectuosos con una probabilidad del 5%. ¿Cuantas tornillos habrıaque inspeccionar para tener al menos un 98% de seguridad de que la frecuencia relativa de tornillosdefectuosos fD diste de 0,05 en menos de 0,02? Contestar a la pregunta anterior si la probabilidadreal de 0,05 es desconocida. n ≥ 643 n ≥ 3383

88.Dos personas juegan a cara o cruz y han convenido en continuar la partida hasta que tanto la caracomo la cruz se hayan presentado por lo menos 3 veces. Hallar la probabilidad de que el juego nose acabe cuando se han hecho 10 tiradas. 0, 109375

89.Un test psicotecnico comprende 50 preguntas, para cada una existe una unica respuesta correctasobre 5 posibles. Cada respuesta correcta vale 1 punto.

a) Si se somete a una persona a este test y responde al azar, hallar la probabilidad de que obtengacero puntos.

b) Si fuesen 200 personas respondiendo al azar, hallar el numero medio de personas que obtienen10 puntos.

a) 1,4 10−5 b) 28

90.Una gran empresa celebra, exactamente dentro de un ano, su centenario. La direccion decide quetodos los hijos de los trabajadores que nazcan el dıa del centenario tendran derecho a una cuentade ahorro de 5000 euros. Suelen nacer 730 ninos al ano, es decir, unos 2 por dıa. El valor esperadodel desembolso a efectuar es de 10000 euros. La direccion destina 25000 euros para prevenir algunadesviacion. ¿Cual es la probabilidad de que esta cantidad resulte insuficiente?

0,0166

91.El 4 % de las reservas de un vuelo no son utilizadas. Segun esta observacion, una compania deaviacion vende 75 billetes para 73 plazas. ¿Cual es la probabilidad de que todos los pasajerosconsigan plaza? 0,8069

92.Supongase que en un estudio dental sobre ninos se ha obtenido la proporcion p = 2/3 de la poblacioninfantil que tiene alguna caries. Calcular:

a) Probabilidad de que haya que examinar 6 ninos para encontrar uno con caries.

b) Probabilidad de que haya que examinar 15 ninos para encontrar 5 con caries.

a) p q5 b)

(144

)p5 q10

93.El departamento de matematicas propone un examen de test consistente en 25 cuestiones. Cadacuestion tiene 5 respuestas listadas. Si un estudiante no conoce la respuesta correcta de ningunacuestion y prueba suerte, calcular:

a) ¿Cual es el numero esperado de respuestas correctas y su desviacion tıpica?



b) Suponiendo que cada respuesta acertada vale 1 punto, ¿cuanto debe valer cada respuestafallada para que la nota esperada del estudiante que prueba suerte sea nula?

c) Si se pasa el examen cuando se responden correctamente 13 cuestiones, ¿cual es la probabilidadde que pase el alumno que ha probado suerte?

a) E[X] = 5, σ = 2 b) −0,25 c) 0,004

94.Se lanza un dado todas las veces necesarias hasta que aparece un 6. Si sabemos que no salio en laprimera tirada, ¿cual es la probabilidad de necesitar mas de 3 lanzamientos? 0,694

95.Una caja contiene 100 artıculos, de los que 4 son defectuosos. Sea X el numero de artıculos defec-tuosos encontrados en una muestra de 9.

a) Hallar P (X = 2).

b) Aproximar la probabilidad anterior por una binomial.

c) Aproximar la probabilidad anterior por una Poisson.

a) 0,0376 b) 0,0432 c) 0,0452

96.Supongase que el numero de llamadas telefonicas que recibe una operadora desde las 9:00 horashasta las 9:05 horas sigue una distribucion de Poisson con λ = 4. Hallar:

a) Probabilidad de que la operadora no reciba ninguna llamada al dıa siguiente en ese intervalode tiempo.

b) Probabilidad de que en los dos proximos dias la operadora reciba un total de 3 llamadas enese intervalo de tiempo.

a) 0,018 b) 0,0286

97.Un almacen suministra un determinado tipo de grua. El numero de pedidos por dıa se ajusta auna distribuccion de Poisson con parametro λ = 2. Tres de estas gruas por lo general se tienendisponibles en el almacen. Si se piden mas de tres, el comprador debe desplazarse a una distanciaconsiderable hasta una empresa de ingenierıa.

a) En un dıa cualquiera, ¿cual es la probabilidad de que se realice un viaje a la empresa deingenierıa?

b) ¿Cual es el numero medio de pedidos por dıa?

c) ¿Cuantas gruas de repuesto deben permanecer en el almacen para despachar a los compradoresel 90 % de las veces?

d) ¿Cual es el numero medio de compradores atendidos diariamente en el almacen?

e) ¿Cual es el numero esperado de veces que el compradores realizara el viaje a la empresa deingenierıa?

a) 0,1680 b) E[X] = 3 c) n = 5 d) 2,328 e) 0,672

98.Se supone que el numero de accidentes por semana que ocurren en una fabrica sigue una distribucionde Poisson con parametro λ = 2. Se pide:



a) Probabilidad de que en una semana cualquiera ocurra un solo accidente.

b) Probabilidad de que, en un grupo de 10 semanas, ocurran 3 accidentes en tres semanas distintas.

c) Probabilidad de que en una semana haya mas de 3 accidentes.

d) Funcion de densidad del tiempo entre dos accidentes.

e) Probabilidad de que el tiempo entre dos accidentes sea superior a 3 semanas.

a) p = 0, 27067 b)

(103

)p3 q7 c) 0, 14288 d) Exponencial(α = 2) e) 0, 002

99.Una agencia inmobiliaria dedicada a la venta de apartamentos en la Costa ha realizado un estudiode ventas, comprobando que solo el 5 % de las personas que acuden a visitar el piso piloto compranun apartamento. Se pide:

a) Calcular la probabilidad de que tenga que recibir 10 visitas hasta vender un apartamento.

b) Calcular la probabilidad de que tenga que recibir 10 visitas hasta vender dos apartamentos.

c) Se han tenido que recibir 10 visitas hasta vender 2 apartamentos. ¿Cual es la probabilidad deque las 3 primeras visitas no efectuaran ninguna compra?

a) 0, 03151 b) 0, 01493 c) 6/9

100.Un video club tiene 12 pelıculas infantiles para alquilar a diario. Para este grupo se estima que lademanda sigue un proceso de Poisson con tasa 10 pelıculas/dıa. Se pide:

a) Probabilidad de que en un dıa se hayan alquilado todas las pelıculas.

b) ¿Cuantas pelıculas deberıa haber en existencia para que la probabilidad de no satisfacer lademanda de un dıa solo fuese del 0,07 %?

a) 0, 208 b) n = 15

101.Un lote de 10 motores electricos se debe rechazar totalmente o vender, segun el resultado de lasiguiente operacion: se escogen dos motores al azar sin sustitucion y se inspeccionan. Si uno o masson defectuosos, el lote se rechaza; en otro caso es aceptado. Supongamos que cada uno de losmotores cuesta 75$ y se vende por 100$. Si el lote contiene un motor defectuoso, ¿cual es beneficioneto esperado del fabricante? E[B] = 50

102.A un hotel llegan dos carreteras A y B. El numero de llegadas diarias por cada carretera siguendistribuciones de Poisson independientes con parametros 8 y 9 respectivamente.

a) Si un dıa llegaron 12 personas, ¿cual es la probabilidad de que 7 llegaran por la carretera A?

b) El coste diario de manutencion por persona es de 2000 euros si son menos de 5 personas y1500 euros si son 5 o mas personas. ¿Cual sera el coste diario esperado?

a) 0, 16834

103.Una empresa de fabricacion de explosivos tiene dos secciones una segura S y otra con riesgo deaccidentes R. En la seccion S hay 2000 empleados donde el numero de accidentes XS por anosigue una distribucion de Poisson de parametro λ1 = 5 y en R hay 500 empleados y el numero deaccidentes YR por ano sigue una distribucion de Poisson de parametro λ2 = 10. Los accidentes seproducen de forma independiente en las dos secciones.


4. DISTRIBUCIONES CONTINUAS MAS COMUNES

a) ¿Cual es la probabilidad de que se produzcan cinco accidentes en la seccion S?

b) ¿Cual es el numero medio de accidentes por ano en la empresa?

c) Si en un ano se han registrado 8 accidentes, ¿cual es la probabilidad de que se hayan producido6 accidentes en la seccion R?

La compania ”La Avispa.asegura a cada empleado de la seccion S por una prima de p1 eurosy a cada empleado de la seccion R por una prima de p2 euros y una indemnizacion comun de10 millones por accidentado.

d) Expresar los beneficios B por ano de la compania.

e) ¿Cuales son los valores mınimos justos de las primas p1 y p2, para que el beneficio esperadopor la compania no sea negativo?

a) 0, 1754 b) 15 c) 0,273 e) p1 = 2500 , p2 = 20000

4. Distribuciones continuas mas comunes

104.Una variable aleatoria X se distribuye de forma uniforme en (2, 4). Se pide:

a) P (X < 2,5)

b) P (X > 3,2)

c) P (2,2 < X < 3,5)

d) E(X) y V ar(X)

105.Se sabe que la cantidad aleatoria demandada durante un cierto periodo de tiempo por parte de unaempresa textil tiene distribucion uniforme y no supera la tonelada. Determinar para dicho periodode tiempo:

a) Probabilidad de que la cantidad demandada no supere los 900 kg.

b) Probabilidad de que la cantidad demandada este comprendida entre 800 y 900 kg.

c) La demanda esperada.

a) 0, 9 b) 0,1 c) E[X] = 500 kilos

106.Una empresa tiene una funcion de costes que viene dada por C = 100,000 + 2X. En el mercadovende cada unidad a 5 euros y la demanda X del citado artıculo tiene una distribucion uniformeentre 25000 y 30000 unidades. ¿Cual sera el beneficio esperado? −17,500

107.Comprobar que si T es exponencial de parametro α se cumple la propiedad

µT =1

α; σ2

T =1

α.

108.Comprobar que si T es exponencial de parametro α se cumple la propiedad

P (T > s + t|T > s) = P (T > t)

¿Porque se suele decir que la variable aleatoria exponencial “no tiene memoria”?



109.La variable aleatoria T es de tipo Exponencial(λ). ¿Cual es la probabilidad de que T sea superiora su valor esperado? ¿Cual es la probabilidad de que T sea superior al doble de su valor esperado?

a) e−1 b) e−2

110.La funcion de densidad del tiempo T entre dos averıas de una instalacion de calculo es

f(t) = 0,25e−0,25t.

Para resolver un determinado problema es necesario que funcione la instalacion sin fallos durante 3minutos, que es el tiempo necesario para la resolucion del problema. Si falla la instalacion duranteel periodo de 3 minutos hay que volver a empezar con el calculo del problema teniendo en cuentaque la existencia de una averıa solo se aprecia despues de los tres minutos. Sea Y el tiempo totalnecesario para la resolucion del problema. Hallar:

a) Distribucion de Y .

b) Tiempo medio de resolucion del problema.

c) Probabilidad de que en 18 minutos puedan ser resueltos 3 problemas.

a) P (Y = 3k) = p qk−1 con p = 0,472 b) 6, 35 c) 0,7072

111.La duracion de la vida de una bombilla es Exponencial(α). La probabilidad de que sobrepase las100 horas de uso es 0,9.

a) ¿Cual es la probabilidad de que sobrepase 200 horas de uso?

b) ¿Cuantas horas se mantiene funcionando con una probabilidad 0,95?

112.El tiempo medio de funcionamiento de una bombilla es de 120 horas. Se ponen en funcionamiento6 bombillas al mismo tiempo. Sea Ti el tiempo que transcurre hasta que se estropean i bombillas.Determinar E[Ti] para i = 1, 3, 6. Grado de dificultad: Grande

113.En la figura 4.4 cada componente tiene una funcion de fiabilidad de tipo exponencial con parametroαi. Determinar la funcion de fiabilidad del sistema y el tiempo medio de vida del sistema.

α1 α2

(a) Sistema-1

α1

α2

(b) Sistema-2

Figura 4.4: Fiabilidad en serie y paralelo

a) G(t) = e−(α1+α2)t E[t] = 1α1+α2

b) G(t) = 1 − (1 − e−α1 t)(1 − e−α2 t) E[t] = 1α1

+ 1α2

− 1α1+α2

114.En la figura 4.5 cada componente tiene la misma funcion de fiabilidad de tipo exponencial conparametro α. Determinar la funcion de fiabilidad del sistema y el tiempo medio de vida del sistema.



α1

α3

α2

(a) Sistema-3

Figura 4.5: Fiabilidad en serie y paralelo

115.En la figura 4.4 cada componente tiene una funcion de fiabilidad de tipo exponencial con parametroαi. Sea A el suceso la componente 1 se estropea antes que la componente 2. Determinar la proba-bilidad del suceso A.

116.Sean 30 instrumentos electronicos E1, E2, . . . , E30. Tan pronto como falla E1 se activa E2, y ası suce-sivamente. Si el tiempo en que falla Ei, para cualquier i, es de tipo exponencial con parametroα = 0,1 hora−1 y T es el tiempo total de funcionamiento de los 30 instrumentos, hallar la proba-bilidad de que T supere las 350 horas.

117.Sea Z una variable aleatoria normal con µ = 0 y σ = 1. Calcular:

a) p(Z ≤ 0) b) p(Z ≤ 1)c) p(Z > 1) d) p(Z > −1)e) p(−1 < Z < 1) f) p(−2 < Z < −1)

118.Sea X una variable aleatoria normal con µ = 50 y σ2 = 25. Calcular:

a) p(X ≤ 40) b) p(X ≤ 60)c) p(X > 65) d) p(X > 35)e) p(40 < X < 60) f) p(30 < X < 42)

119.Se sabe que el numero X de personas que entran diariamente en unos grandes almacenes se dis-tribuye normalmente. Si hay una probabilidad 0,58 de que entren menos de 75 clientes y unaprobabilidad 0,38 de que entren entre 75 y 80 clientes, determinar la media y la varianza de lavariable X. µ = 74,35 y σ = 3,22

120.La duracion aleatoria de un determinado tipo de artıculos, en horas, viene regulada por la ley deprobabilidad N(180, 5). Determinar la probabilidad de que la duracion de tal artıculo:

a) Sea superior a 170 horas.

b) Sea inferior a 150 horas.

a) 0,9773 b) 0

121.Sabiendo que la demanda aleatoria de gasolina durante un cierto periodo de tiempo se comportacon arreglo a la ley normal de media 150000 litros y desviacion tıpica 10000 litros, determinar lacantidad que hay que tener dispuesta a la venta en dicho periodo para poder satisfacer la demandacon una probabilidad de 0,95. C = 169600 litros



122.Un instrumento electronico esta formado por tres componentes. Dos formas posibles de disponerestas componentes son: i) en serie, ii ) en paralelo. Si los tiempos de fallo de cada componente sonindependientes y siguen una distribucion exponencial con funcion de densidad:

f(t) = 0,01 e−0,01t,

se desea saber:

a) Probabilidad de que el instrumento funcione despues de 50 horas en los dos casos.

b) Si el sistema no ha fallado durante 20 horas, ¿cual es la probabilidad de que falle en las 30horas siguientes?

a) e−1 0,8452 b) 0,4512 0,1261

123.Para ganar el jubileo un peregrino decide ir, a golpe de alpargata, desde su pueblo hasta Santiagode Compostela, siendo la distancia entre ambos lugares de 300 km. Este peregrino es precisamentefabricante de dicho tipo de calzado y sus datos han permitido establecer a un ingeniero, que viveen el pueblo, a efectos de control de calidad, que los kilometros que se pueden recorrer con un parde alpargatas, antes de que queden inservibles, es una variable N(20, 16). Aunque el peregrino nole importa disciplinarse severamente, tampoco quiere correr un riesgo excesivo de destrozarse lospies. Por eso, quiere saber cual es el menor numero de pares de alpargatas que debe llevar paratener una garantıa de al menos un 91 % de que no tendra que caminar descalzo. n ≥ 17

124.Un individuo juega con probabilidad de ganar igual a 1/2 en cada juego. Si gana en un juego obtiene5 euros y si pierde paga 5 euros. Durante una tarde juega 400 veces. ¿Con cuanto dinero debe acudirsi quiere tener una probabilidad de 0,95 de hacer frente a sus posibles perdidas?

196

125.Un corredor de bolsa adquiere 50 acciones diferentes. Se sabe, por estudios anteriores, que losbeneficios de cada accion se distribuyen uniformemente en el intervalo (1000, 2000), y que dichosbeneficios son independientes. Dicho corredor concierta con sus clientes una ganancia, por cadaaccion de 1200 euros, ¿que probabilidad tiene de no perder dinero? 0,8

126.Un instituto de opinion publica quiere obtener una muestra de votantes de un cierto estado, suficien-temente grande para que la probabilidad de obtener una proporcion de votos a favor del candidatoA inferior al 50 %, sea de 0,01, si la intencion de voto a favor de dicho candidato es realmente del52 %. ¿Que tamano debera tener la muestra? n ≥ 3388

127.Dos individuos A y B realizan un juego bajo las siguientes condiciones: se lanza un dado perfecto,si sale “1 o 2” el jugador A paga 6 euros a B, pero si sale “3, 4, 5 o 6” el jugador B paga 21 eurosa A. Se pide:

a) Si juegan 300 partidas determinar la probabilidad de A gane entre 175 y 230 euros.

b) El beneficio esperado para ambos jugadores en 300 partidas.

c) Si B lleva en el bolsillo 200 euros, ¿cuantas partidas al menos hay que jugar para que B lopierda todo con una probabilidad de al menos 0,9772?



a) 0,99 b) E[BA] = 3600 E[BB ] = −3600 c) n ≥ 28

128.El contenido de un bote de cerveza se distribuye normalmente con media 30 cl, y desviacion tıpica2 cl.

a) ¿Cual es la probabilidad de que un bote determinado tenga mas de 33 cl?

b) En un envase de 6 botes ¿cual es la probabilidad de que el contenido lıquido total sea inferiora un litro y tres cuartos?

a) 0,0668 b) 0

129.Sabiendo que el 30% de los enfermos con infartos de miocardio que ingresan en un hospital, fallecenen el mismo, y que al ano ingresan 2000, determinar la probabilidad de que fallezcan en el hospitalun maximo de 550. 0,0073

130.En un proceso de fabricacion se sabe que el numero aleatorio de unidades defectuosas producidasdiariamente, viene dado por la ley de probabilidad:

P (X = r) = e−10 10r

r!r = 0, 1, 2, . . .

Determinar la probabilidad de que en 150 dıas, el numero de unidades defectuosas producidas superelas 1.480 unidades. 0,69

131.Una empresa sabe que la demanda aleatoria de un artıculo que produce, se ajusta por la leyN(10000, 100). Si la empresa decide seguir produciendo el artıculo en el futuro, supuesto que lademanda este comprendida entre 9930 y 10170 unidades, determinar la probabilidad de que no sigaproduciendo tal artıculo. 0,2866

132.Una tienda comercial dispone a la venta diariamente solo dos artıculos a precios p1 y p2, de formaque: el 70% de las unidades ofrecidas lo son del artıculo de precio p1 y el 30% restante lo son delartıculo de precio p2. Si en un dıa determinado se venden 2000 unidades, determinar la probabilidadde que mas de 800 unidades correspondan al artıculo de precio p2. 0

133.Un concesionario de automoviles vende a particulares vehıculos de la misma marca. Sabiendo quela probabilidad de que este tipo de vehıculos este en servicio dos anos despues es de 0,8, determinarla probabilidad de que–de 4000 automoviles vendidos–mas de 3120 esten en servicio dentro de dosanos. 0,9992

134.La demanda de un producto oscila diariamente entre 20 y 40 unidades. Determinar la probabilidadde que en un periodo de 182 dıas, el n0 de unidades demandadas supere 6370 unidades, supuestala independencia de la demanda de cada dıa respecto de las restantes.

0


5. AJUSTE DE DISTRIBUCIONES

5. Ajuste de Distribuciones

135.Se lanza un dado 1200 veces y se obtienen los siguientes resultados:

Xi 1 2 3 4 5 6Oi: frecuencia 175 215 220 190 170 230

¿Es el dado regular? Se rechaza con χ2 = 15,75 > χ25 = 11,07 para α = 0,05

136.Para cuatro variedades de plantas, la teorıa de Mendel predice descendientes en la proporcion 9 : 3 :3 : 1. Por cruzamiento se tomaron 240 descendientes y se agruparon por variedades, obteniendose:

Xi Var1 Var 2 Var 3 Var 4Oi: frecuencia 120 40 55 25

¿Estan de acuerdo los resultados con la teorıa? Se rechaza con χ2 = 11,11 > χ23 = 7,81 para α = 0,05

137.Durante la Segunda Guerra Mundial se dividio el mapa de Londres en cuadrıculas de 1/4 km y seconto el numero de bombas caıdas en cada cuadrıcula durante un bombardeo aleman. Los resultadosfueron:

x: Impactos en cuadrıcula 0 1 2 3 4 5Oi: frecuencia 229 211 93 35 7 1

Se quiere contrastar la hipotesis de que los datos siguen una distribucion de Poisson. Se pide:

a) Disenar las columnas adecuadas que registren las frecuencias observadas y las esperadas.

b) Calcular el estadıstico del contraste χ2.

c) Hallar el cuantil 0,95 de la distribucion χ2g.l. y decidir si se acepta que los datos de la muestra

se ajustan a la distribucion teorica.

b) χ2 = 1,02 c) χ23;0,95 = 7,81

138.Se desea contrastar que el numero de rayos gamma emitidos por segundo, por cierta sustanciaradiactiva, es una variable aleatoria que tiene ddistribucion de Poisson con λ = 2,6. Utilizar lossiguientes datos obtenidos en 300 intervalos de un segundo para contrastar esta hipotesis nula en elnivel de significacion del 0,05.

Numero de rayos gamma 0 1 2 3 4 5 6 7 o masOi: frecuencia 19 48 66 74 44 35 10 4

Se acepta con χ2 = 12,4 < χ27 = 14,07 para α = 0,05

139.El tiempo de vida de 70 motores se registra en la siguiente tabla:

Anos de funcionamiento (0, 1) (1, 2) (2, 3) (3, 4) ≥ 4Oi: frecuencia 30 23 6 5 6


5. AJUSTE DE DISTRIBUCIONES

Contrastar la hipotesis de que los datos siguen una distribucion exponencial.

Se acepta con χ2 = 3,18 < χ23 = 7,81; α = 0,05

140.La siguiente tabla proporciona los tiempos (en minutos) que transcurren entre sucesivas conexionesde los usuarios al servidor encargado de mantener el servicio del sitio Web de una empresa.

9,71 3,76 17,59 0,72 0,96 2,59 16,76 9,16 3,53 16,4715,58 6,07 39,88 1,27 20,31 12,69 2,47 2,44 10,97 16,28

Se pide:

a) Dibujar la muestra en papel probabilıstico exponencial.

b) Usando pruebas del tipo de la de Kolmogorov-Smirnov, contrastar la hipotesis nula que afirmaque los datos proceden de una distribucion exponencial de parametro desconocido.


141.La siguiente tabla proporciona los tiempos (en anos) que transcurren hasta que se averıa unamaquina.

2,63 2,5 3,52 2,79 4,56 5,03 4,99 3,68 3,28 2,121,8 3,25 2,94 3,7 4,33 3,09 4,16 3,86 4,21 3,27

Se pide:

a) Dibujar la muestra en papel probabilıstico de Weibull.

b) Usando pruebas del tipo de la de Kolmogorov-Smirnov, contrastar la hipotesis nula que afirmaque los datos proceden de una distribucion de Weibull de parametros desconocidos.

β = 4,49434; θ = 3,82296. Vease el capıtulo 5 del libro de Luceno y Gonzalez(2003)

142.Los numeros de pedidos recibidos en una fabrica durante las ultimas 20 semanas aparecen en lasiguiente tabla.

298 302 305 297 283 309 286 292 304 307300 302 288 296 317 319 295 304 313 306

Se pide:

a) Dibujar la muestra en papel probabilıstico de normal.

b) Usando pruebas del tipo de la de Kolmogorov-Smirnov, contrastar la hipotesis nula que afirmaque los datos proceden de una distribucion normal de parametros desconocidos.

x = 301,15; s = 9,65333. D+ = 0,072; D− = 0,062; D = 0,072; no se rechaza H0: α > 0,15. A2 = 0,143; α = 0,965.


6. CALIDAD Y MONITORIZACION DE PROCESOS

6. Calidad y monitorizacion de procesos

143.En una fabrica de automoviles que produce discos de frenado se han observado los diametros de 30discos. Los datos obtenidos estan dados en centımetros en la siguiente tabla:

Intervalo de muestreo (t) Diametro xt1 Diametro xt2 Diametro xt3

1 14,97 14,98 14,982 15,00 15,03 14,973 14,97 14,96 15,014 15,01 15,02 14,985 15,07 15,04 14,996 14,99 15,00 15,007 15,00 15,01 14,978 15,01 15,01 14,979 14,96 15,03 14,9810 15,06 14,97 15,04

Estos datos han sido obtenidos a lo largo de 10 intervalos de muestreo sucesivos (t = 1, 2, . . . , 10horas), en cada uno de los cuales se han elegido al azar 3 discos para medir sus diametros (xt1, xt2

y xt3). Se pide:

a) Calcular las abscisas y las ordenadas de los puntos que hay que dibujar en un grafico X.Calcular las abscisas y las ordenadas de los puntos que hay que dibujar en un grafico R.

b) Dibujar el grafico X. A la vista de este grafico, ¿puede decirse que la media del procesoesta bajo control estadıstico?

c) Dibujar el grafico R. A la vista de este grafico, ¿puede decirse que la variabilidad del procesoesta bajo control estadıstico?

d) Dibujar el grafico co-plot usando una constante de suavizacion de 0,7 para el grafico EWMA.

e) Dibujar el grafico CUSUM unilateral superior suponiendo que el valor objetivo del diametroes 15 cm, que se desea detectar variaciones en la media del proceso del orden de +0,04 cm yque el intervalo de decision es 0,12 cm. Repetir el grafico usando MINITAB.

f ) Dibujar el grafico EWMA usando MINITAB. Explicar las diferencias observadas respecto delgrafico EWMA dibujado previamente.


144.Usando los datos del ejercicio anterior, se pide:

a) Estimar los ındices de capacidad Cp, CpU , CpL, Cpk, Cpm y Cpc usando estimadores “globales”.

b) Estimar los ındices de capacidad Cp, CpU , CpL y Cpk usando estimadores “dentro de” cadaintervalo de muestreo.

c) Obtener el analisis de capacidad proporcionado por MINITAB.




145.En una fabrica de barras de acero se va a empezar a producir un nuevo tipo de barras que debetener una resistencia a traccion en el intervalo 1250± 10 Kg/cm2. Despues de dedicar algun tiempopara tratar de poner el proceso de fabricacion bajo control se desea conocer si el estado de controlalcanzado es adecuado para comenzar la fabricacion en serie de dichas barras. Para ello, durante 10horas sucesivas, se han ensayado a rotura 3 barras elegidas al azar de entre las producidas en cadahora, habiendose obtenido los datos de la tabla siguiente.

t xt1 xt2 xt3

1 1247,10 1250,15 1247,752 1247,25 1255,38 1246,753 1248,63 1248,63 1248,714 1250,87 1250,00 1251,345 1249,18 1249,95 1246,986 1248,15 1251,03 1251,377 1245,88 1249,15 1244,178 1249,49 1249,08 1248,659 1246,91 1248,89 1251,5810 1251,93 1252,18 1248,87

Se pide:

a) Estimar los ındices de capacidad Cp, CpU , CpL, Cpk, Cpm y Cpc usando estimadores “globales”.

b) Estimar los ındices de capacidad Cp, CpU , CpL y Cpk usando estimadores “dentro de” cadaintervalo de muestreo.

c) Obtener el analisis de capacidad proporcionado por MINITAB.


146.El jefe de obra de la empresa que esta construyendo una autopista utiliza una norma segun lacual debe extraer diariamente 50 probetas de hormigon y vigilar que el porcentaje de probetas quesuperan una baterıa de ensayos se mantenga constantemente alrededor de 60 %. Los numeros deprobetas que han superado la baterıa de ensayos durante los ultimos 40 dıas han sido los siguientes.

28 36 31 30 35 27 27 25 28 2434 28 32 24 30 29 33 24 31 3431 28 30 25 30 25 26 26 33 3026 30 31 38 31 30 25 28 28 35

Se pide:

a) Dibujar un grafico np. Repetir el grafico usando MINITAB con todos los tests disponibles.

b) Dibujar un grafico EWMA con λ = 0,2. Repetir el grafico usando MINITAB con todos lostests disponibles.

c) Dibujar un grafico CUSUM suponiendo que se desea detectar variaciones en la media delproceso del orden de ±0,5σ y que el intervalo de decision es 14. Repetir el grafico usandoMINITAB.




147.El jefe de relaciones con los clientes de una gran marca considera normal que el numero mediosemanal de reclamaciones de los clientes sea alrededor de 80. Si aumenta el numero de reclamaciones,quiere enterarse lo antes posible puesto que ello puede indicar que esta disminuyendo la calidad desus productos. Si disminuye el numero de reclamaciones, tambien desea saberlo cuanto antes porqueello puede indicar un cambio de actitud de los clientes hacia su marca.

Durante las ultimas 20 semanas se han producido los siguientes numeros de reclamaciones.

82 97 93 81 91 80 85 79 100 8289 94 80 87 93 78 97 92 79 104

Se pide:

a) Dibujar un grafico c. Repetir el grafico usando MINITAB con todos los tests disponibles.

b) Dibujar un grafico EWMA con λ = 0,25. Repetir el grafico usando MINITAB con todos lostests disponibles.

c) Dibujar un grafico CUSUM unilateral superior suponiendo que se desea detectar variacionesen la media del proceso del orden de +5 y que el intervalo de decision es 36. Repetir el graficousando MINITAB.



7. INFERENCIA ESTADISTICA

7. Inferencia Estadıstica

148.Se ha analizado un conjunto de n microprocesadores y se encuentran x defectuosos.

a) No se conoce la probabilidad p de que uno cualquiera sea defectuoso. Estimar p por el metodode los momentos.

b) No se conoce n, pero sı la probabilidad de ser defectuoso p. Estimar n por el metodo de losmomentos.

a) p =x

nb) n =

x

p

149.Los defectos en una placa fotografica siguen una distribucion de Poisson Po(λ). Se estudian 7placas encontrando 3, 5, 2, 2, 1, 3 y 4 defectos, respectivamente. Calcular el estimador de maximaverosimilitud de λ.

λ =20

7

150.Si x1, x2, . . . , xn es una muestra aleatoria simple de una variable aleatoria normal de media µ yvarianza σ2, y consideramos la cuasi-varianza muestral

s2 =

∑ni=1(xi − x)2

n − 1

determinar E[s2]. E[s2] = σ2

151.Una maquina automatica fabrica piezas, de las cuales se desea controlar su longitud X, que se sabese distribuye de forma N(60; 1,52). Se extraen regularmente muestras de 9 piezas.

a) ¿Cual es la ley de probabilidad de X?

b) ¿En que intervalo (a, b) simetrico respecto de µ existe una probabilidad 0,95 de hallar X?

c) Para controlar la varianza σ2 se estudian los valores de la variable

S2 =9∑

1

(Xi − X)2

¿cual es la ley de probabilidad de S2/σ2?

d) ¿Cual es la esperanza de S2? ¿Cual es su varianza?

e) En que intervalo (0, a) debe encontrarse S2 con una probabilidad 0,95?

a) N(60,1; 52/√

9) b) 60,1 ± 3, 267 c) χ28 d) E

[S2

σ2

]= 8 V ar

[S2

σ2

]= 16 e) 0 < S2 < 68,25

152.El diametro interior de un anillo de piston seleccionado al azar es una variable aleatoria con media12 cm y desviacion tıpica 0,04 cm.

a) Si x es el diametro medio de una muestra de n = 16, ¿donde esta centrada la distribucion dex, y cual es la desviacion tıpica de la distribucion de x?



b) Contestar a las preguntas anteriores si n = 64.

c) Suponiendo que X se distribuye de forma Normal, calcular P (11,99 ≤ X ≤ 12,01) cuandon = 16.

d) Suponiendo que X se distribuye de forma Normal, ¿cual es la distribucion de la cuasi-varianzamuestral s2?

e) Hallar P (10−3 ≤ s2 ≤ 2 10−3).

a) µ = 12; σx = 0,01 b) µ = 12; σx = 0,005 c) 0,6826 d)15 s2

σ2∼ χ

215 e) 0,6318

153.Cierto tipo de componentes electricas tienen una resistencia media de 200 Ω, con desviacion tıpicaσ = 10Ω. Se utilizan 25 de ellas en un circuito:

a) Calcular la probabilidad de que la resistencia media de las 25 componentes este entre 199 y202 Ω.

b) Calcular la probabilidad de que la resistencia total de las 25 componentes no supere lo 5100Ω.

a) 0,5328 b) 0,9772

154.Sea p la proporcion de fumadores en una poblacion. Entre 1000 personas elegidas al azar, hay 600fumadores. Determinar un intervalo de confianza para p, con un nivel de confianza 0,95.

0,6 ± 0,030

155.La proporcion de escolares zurdos es p. En una muestra aleatoria de 100 escolares, hay 10 zurdos.Dar un intervalo de confianza para p, con un nivel de confianza 0,95.

0,1 ± 0,0588

156.Al examinar a 20000 madrilenos, se han obtenido los siguientes resultados:

Grupo sanguıneo A B AB OPorcentaje 43,2 14,2 6 36,6

Determinar un intervalo de confianza, con un nivel de confianza del 95,45% para la proporcion pde personas con grupo sanguıneo del tipo O. 0,366 ± 0,00667

157.Se quiere estimar la proporcion de zurdos en una poblacion con una confianza del 95% y unaprecision de 0,01.

a) ¿Cual debe ser el tamano de la muestra elegida?

b) Mediante un muestreo previo se estima que p ≈ 0,1. ¿Que tamano debe tener la muestra sipara calcularlo se utiliza la estimacion de p dada?

a) n ≥ 97 b) n ≥ 35

158.Se quiere estimar la proporcion p de electores que votaran al candidato polıtico A, con un nivel deconfianza 0,9 y una precision de 0,05. ¿Que tamano debe tener la muestra? n ≥ 269



159.En una poblacion muy grande, se extrae al azar una muestra de 100 votantes para conocer susopiniones respecto de dos candidatos. De los individuos de la muestra, 55 apoyan al candidato A y45 apoyan al candidato B. Se pide:

a) Calcular un intervalo de confianza para la proporcion de votos a favor de cada candidato.

b) Calcular cual deberıa ser el tamano de la muestra para que una fraccion 0,55 de partidariosde A nos de una confianza del 95% de que este saldra elegido.

a) 0,55 ± 0, 097 0,45 ± 0, 097 b) n ≥ 400

160.La resistencia media de fractura de cierto tipo de vidrio es de 1 kg/cm2 con una desviacion tıpicade 0,14 kg/cm2:

a) ¿Cual es la probabilidad de que la resistencia media de una muestra de 100 piezas sea superiora 1,028 kg/cm2?

b) Construir un intervalo de confianza al nivel de confianza 95% para la media de la muestra x.

a) 0,0228 b) 1 ± 0,02744

161.Si la vida en horas de una bombilla electrica de 75 watios se distribuye de forma normal, condesviacion tıpica σ = 5 horas y elegimos una muestra aleatoria de 20 bombillas cuya vida media esde 1014 horas, se pide:

a) Construir un intervalo de confianza bilateral para la vida media de las bombillas con un nivelde significacion del 0,05.

b) Construir un intervalo de confianza inferior al para la vida media de las bombillas con un nivelde significacion del 0,05.

c) Si queremos tener un nivel de confianza del 95% de que el error en la estimacion de la vidamedia fuera menor que dos horas, ¿que tamano de muestra elegirıamos?

162.Un fabricante de pinturas desea determinar el tiempo de secado en promedio de una nueva pinturapara interiores. Si en 12 areas de prueba de igual tamano, el obtuvo un tiempo de secado medio de66,3 minutos y una cuasi-desviacion tıpica de 8,4, construir un intervalo de confianza con un nivelde significacion del 0,05. 66,3 ± 5,33

163.Las resistencias a fractura X, en kg/cm2, de unas placas de acero fueron:

69,5; 71,9; 72,6; 73,3; 73,5; 75,5; 75,7; 75,8; 76,1; 76,2;77; 77,9; 78,1; 79,6; 79,7; 79,9; 80,1; 82,2; 83,7; 93,7

Calcular un intervalo de confianza para la desviacion tıpica σx de la distribucion de la resistencia afractura al nivel de confianza 0,99. ¿Es valido este intervalo, cualquiera que sea el tipo de distribucionde la variable aleatoria X? 13,275 < σ2 < 74,84

164.La longitud de los craneos de 10 esqueletos fosiles de una especie de aves extinta tiene una media de5,68 cm y una cuasi-desviacion tıpica de 0,29 cm. Suponiendo que estas longitudes estan distribuidasde forma normal, obtener un intervalo de confianza al 95% de la longitud media de los craneos deesta especie de aves. 5,68 ± 0,207



165.Una empresa se dedica a la fabricacion de lamparas de radio y televisiones. Las de radio tienen unaduracion media de 2500 horas y una desviacion tıpica de 250 horas. Las de television una media de2200 horas y 100 horas de desviacion. Se cogen 50 lamparas de radio y 75 de television al azar. Sepide:

a) Distribucion muestral de la diferencia de medias.

b) Probabilidad de que la diferencia de medias este comprendida entre 250 y 400.

c) Probabilidad de que la duracion media de las lamparas de radio no sea superior en mas de 200horas a la duracion media de las lamparas de television.

a) N(300; 37,2) b) 0,9069 c) 0,0036

166.Se estan probando dos composiciones diferentes de gasolina sin plomo para determinar sus octanajes.La varianza del octanaje para la composicion 1 es σ2

1 = 1,5 y para la composicion 2 es σ22 = 1,5. Se

extraen sendas muestras aleatorias de tamano n1 = 15 y n2 = 20, y se miden los octanajes mediosrespectivos, x1 = 89,6 y x2 = 92,5. Construir un intervalo de confianza al 95% para estimar ladiferencia de los octanajes medios de las dos composiciones de gasolina sin plomo.

167.Se tomaron muestras aleatorias de tamano 20 de dos poblaciones independientes. Las medias y lasdesviaciones tıpicas de las muestras fueron x1 = 22, x2 = 21,5, s1 = 1,8 y s2 = 1,5. Suponiendo queσ2

1 = σ22 construir un intervalo de confianza al nivel de confianza 95% para µ1 − µ2.

168.Las capacidades de produccion de calor del carbon extraıdo de dos minas se estudian con dosmuestras:

MinaA 8500 8330 8480 7960 8030MinaB 7710 7890 7920 8270 7860

Suponiendo que los datos constituyen muestras aleatorias independientes tomadas de poblacionescon varianzas iguales, construir un intervalo de confianza al nivel 95% para la diferencia entre elpromedio real de las capacidades de produccion de calor del carbon extraıdo de ambas minas.

440 ± 336

169.Se lleva a cabo un estudio para determinar la proporcion de casas que poseen al menos dos aparatosde television. ¿De que tamano debe ser la muestra si se desea tener una confianza del 99% de queel error al estimar esta proporcion sea menor que 0,01?

170.Un tecnico en computadoras esta investigando la eficacia de dos lenguajes de diseno diferentes en elmejoramiento de tareas de programacion. A 12 programadores expertos, familiarizados con amboslenguajes, se les pide que codifiquen una funcion estandar en ambos lenguajes, y se registra el tiempoen minutos que ambos codigos emplean en su ejecucion. Los tiempos se muestran en la tabla:



programador lenguaje 1 lenguaje 21 17 182 16 143 21 194 14 115 18 236 24 217 16 128 14 139 21 1910 23 2411 13 1512 18 20

Encontrar un intervalo de confianza al 95% para la diferencia en los tiempos de codificacion medios.¿Hay alguna indicacion de que uno de los lenguajes de diseno sea preferible?

(−2,2; 1,2)

171.Un medico dice poseer un metodo para determinar el sexo de los ninos 6 meses antes de su nacimientocon una efectividad del 80%. Para probar esta afirmacion se utiliza el siguiente procedimiento. Sele dejan hacer 14 predicciones. Si el numero de exitos X es al menos de 11, se acepta su metodo yen caso contrario no se acepta.

a) Calcular la probabilidad de que se acepte su metodo siendo malo.

b) Calcular la probabilidad de que se rechace su metodo siendo bueno.

c) ¿Parece justo este procedimiento?

a) 0,0286 b) 0,30 c) Este procedimiento no parece justo pues, aunque es pequena la probabilidad de que se

le admita su metodo siendo realmente malo, la probabilidad de rechazarle cuando su metodo es valido es del 0,30. Un buen

procedimiento debe tener estas dos probabilidades pequenas.

172.Un grafologo busca empleo. Con el fin de verificar su cualificacion, se le entregan 10 pares de muestrasde escrituras. Cada par contiene la escritura de un medico y de un abogado. Se le contratara siidentifica correctamente por lo menos 8 de los 10 pares. Sea p su probabilidad de exito. Se pide:

a) ¿Cual es la probabilidad L(p) de que sea contratado?

b) Determinar L(p) para p = 0,5 y p = 0,85.

a) L(p) =∑10

i=8

(10i

)pi q10−i b) L(0,5) = 0,055 L(0,85) = 0,82

173.Se dispone de una moneda cuyo aspecto no es simetrico. Se quiere contrastar si es regular, es decir,si p = 1/2. Se lanza la moneda 1000 veces y se obtiene 550 veces “cruz”. ¿Que podemos decidir?

no es realmente regular

174.En la experiencia de la “moneda regular”, se ha obtenido 530 veces “cruz”. ¿Es significativo esteresultado en contra de la hipotesis de que la moneda es regular para un nivel de significacion 5%?

si: α = 0,0287



175.Al lanzar un dado 600 veces se obtienen 120 “seises”. ¿Es significativo este resultado en contra dela hipotesis de que el dado es regular para un nivel de significacion 5%?

176.Cierta enfermedad es mortal en el 10% de los casos. De doscientos mineros afectados por dicha en-fermedad, se mueren 29. ¿Significa esto que los mineros son mas vulnerables a la citada enfermedad?¿Cual es la probabilidad de obtener, al azar, una desviacion tan grande?

177.Un ingeniero se plantea la eleccion entre dos fabricantes distintos para el suministro de cierto aditivopara el hormigon. El ingeniero recibe las muestras de los laboratorios A y B. Realiza un estudio delas 15 bolsas de cada tipo del suministro obteniendo:

Descriptive Statistics Variable

N Mean Median TrMean StDev SE Mean

LabA 15 2,9869 2,9800 2,9860 0,1273 0,0329 %

LabB 15 2,9869 2,9840 2,9845 0,0688 0,0178

Variable Minimum Maximum Q1 Q3

LabA 2,7690 3,2160 2,8750 3,0760 %

LabB 2,8650 3,1400 2,9400 3,0390

¿Cual es el aditivo mas conveniente?

178.Los datos que aparecen en la siguiente tabla fueron obtenidos en un experimento disenado paraestimar la posible diferencia sistematica entre los rendimientos obtenidos en un proceso quımicocon dos catalizadores diferentes, que llamaremos A y B.

Dıa Catalizador A Catalizador B1 81,31 81,012 77,40 77,573 80,89 74,724 82,15 81,735 79,25 74,606 80,77 78,687 81,19 78,808 79,86 81,17

Se teme que el rendimiento pueda variar de unos dıas a otros dependiendo de factores que nopueden controlarse. Por ello, se eligieron 8 dıas diferentes y en cada uno de dichos dıas se realizo elproceso una vez con el catalizador A y otra vez con el catalizador B. El orden en que se usaron loscatalizadores A y B se eligio al azar cada dıa.

Sean µA y σ2A la media y la varianza poblacionales de los rendimientos obtenidos con el catalizador

A. Analogamente, sean µB y σ2B la media y la varianza poblacionales de los rendimientos obtenidos

con el catalizador B.

Se pide:

a) Estimar la diferencia de medias µA − µB puntualmente y mediante un intervalo de confianzapara al nivel de confianza 0,95.



b) ¿Puede rechazarse la hipotesis nula H0 : µA = µB frente a la hipotesis alternativa H1 : µA 6= µB

con un riesgo de primera especie de 0,05? Calcular aproximadamente el nivel de significacionde la prueba usada.

c) ¿Puede rechazarse la hipotesis nula H0 : σ2A = σ2

B frente a la hipotesis alternativa H1 : σ2A 6= σ2

B

usando un riesgo de primera especie de 0,05? Calcular aproximadamente el nivel de significacionde la prueba usada.

a) 1,818; (−0,312; 3,947) b) no: α ≈ 0,083 c) Vease el capıtulo 7 de Luceno y Gonzalez(2003): Datos apareados.

179.Los datos que aparecen en la siguiente tabla fueron obtenidos en un experimento disenado paraestimar la posible diferencia sistematica entre los rendimientos obtenidos en un proceso quımicocon dos catalizadores diferentes, que llamaremos A y B.

Catalizador A Catalizador B81,31 73,9377,40 75,6280,89 70,3882,15 75,9179,25 71,6580,77 72,7781,19 76,4579,86 73,13

Durante 16 dıas consecutivos se realizo el proceso quımico con uno de los catalizadores elegido alazar entre A y B, realizando el sorteo de forma que no se obtuvieran mas de 8 datos con ningunode los catalizadores.

Sean µA y σ2A la media y la varianza poblacionales de los rendimientos obtenidos con el catalizador

A. Analogamente, sean µB y σ2B la media y la varianza poblacionales de los rendimientos obtenidos

con el catalizador B.

Se pide:

a) Estimar la diferencia de medias µA − µB puntualmente y mediante un intervalo de confianzapara al nivel de confianza 0,95.

b) ¿Puede rechazarse la hipotesis nula H0 : µA = µB frente a la hipotesis alternativa H1 : µA 6= µB

con un riesgo de primera especie de 0,05? Calcular aproximadamente el nivel de significacionde la prueba usada.

c) ¿Puede rechazarse la hipotesis nula H0 : σ2A = σ2

B frente a la hipotesis alternativa H1 : σ2A 6= σ2

B

usando un riesgo de primera especie de 0,05? Calcular aproximadamente el nivel de significacionde la prueba usada.

a) 6,623; (4,604; 8,641) b) sı: α < 0,001 c) no: α ≈ 0,347(testF ); α ≈ 0,219(Levene). Datos independientes.

180.El departamento de control de calidad de una empresa ha examinado 1000 unidades de un pro-ducto fabricado por la empresa, habiendose observado que no hay ninguna unidad defectuosa en lamuestra. Se pide:

a) Estimar puntualmente la proporcion de unidades defectuosas producidas en la fabrica.



b) Calcular intervalos de confianza para dicha proporcion al nivel de confianza 0,95, usando dosmetodos diferentes.

c) Una hipotesis nula que afirma que la proporcion de unidades defectuosas producida es igual a0.001. ¿Puede rechazarse esta hipotesis?

a) 0 b) un intervalo es (0,000000; 0,002991) c) no puede rechazarse: α ≈ 0,4

181.En un experimento sobre la influencia de la propaganda en los gustos de las personas, se ha selec-cionado una muestra al azar de 350 personas.

A todas estas personas se les ha pedido que dijeran si les gusta o no un cierto tipo de comida rapida.De las 350 personas consultadas, 125 contestaron que sı les gusta y el resto contestaron que no.

Despues de invitar a estas personas a ver una pelıcula que contiene anuncios subliminales, se lesinvito a una merienda en las que se les proporciono “exactamente” el tipo de comida rapida objetodel estudio. Posteriormente, se les paso una encuesta para que dijeran si les habıa gustado o no lamerienda. De las 125 personas que contestaron afirmativamente a la pregunta del apartado anterior,110 dijeron que les gusto la merienda y 15 que no les gusto. De las 225 personas que contestaronnegativamente a la pregunta del apartado anterior, 75 dijeron que les gusto la merienda y 150 queno les gusto.

Se pide:

a) Estimar puntualmente la diferencia entre las proporciones de personas que contestaron afir-mativamente antes y despues de la proyeccion de la pelıcula.

b) Calcular un intervalo de confianza para la diferencia entre las proporciones de personas quecontestan afirmativamente antes y despues de ver pelıculas con anuncios subliminales, usandoun nivel de confianza 0,95.

c) Una hipotesis nula que afirma que no hay diferencia entre las proporciones del apartado ante-rior. ¿Puede rechazarse esta hipotesis?

Vease el capıtulo 7 del libro de Luceno y Gonzalez(2003). Es el caso de datos apareados.

182.Para realizar el acabado de una superficie metalica pueden usarse dos maquinas diferentes: A y B.De las 150 veces que se uso la maquina A, en 10 ocasiones fue necesario hacer una segunda pasadapara conseguir una superficie sin defectos. De las 150 veces que se uso la maquina B, solamente fuenecesaria una segunda pasada en 6 ocasiones. Se pide:

a) Estimar puntualmente la diferencia entre las proporciones de veces que hay que hacer unasegunda pasada con cada una de las maquinas.

b) Calcular un intervalo de confianza para la diferencia entre las proporciones de veces que hayque hacer una segunda pasada con cada una de las maquinas, usando un nivel de confianza0,95.

c) Una hipotesis nula que afirma que no hay diferencia entre las proporciones del apartado ante-rior. ¿Puede rechazarse esta hipotesis?

a) 0,02667 b) (−0,0240966; 0,0774299) c) no puede rechazarse: α ≈ 0,3. Es el caso de datos independientes.


8. TABLAS ESTADISTICAS

8. Tablas estadısticas

α 0,15 0,1 0,05 0,025 0,01d(α) 1,138 1,224 1,358 1,480 1,628

Tabla 5.4: Tabla de Smirnov.

αCaso Ki(n) Gi(n) 0,15 0,1 0,05 0,025 0,01

I√

n − 0,01 + 0,85√n

0 0,775 0,819 0,895 0,995 1,035

II√

n + 0,26 + 0,5√n

0,2n 0,926 0,995 1,094 1,184 1,298

III√

n 0 1,160 1,290 1,420 1,530IV

√n 0 0,803 0,874 0,939 1,007

di(α)

Tabla 5.9: Generalizaciones de la tabla de Smirnov para los siguientes casos: (I) Normal con µ = xy σ2 = s2; (II) Gumbel con ψ conocido y δ estimado usando ML; (III) Gumbel con δ conocido y ψestimado usando ML; y (IV) Gumbel con δ y ψ estimados usando ML.

αCaso Ki(n) Gi(n) 0,15 0,1 0,05 0,025 0,01

0 1 + 1/n 0,4n − 0,6

n2 0,284 0,347 0,461 0,581 0,743I 1 + 0,5/n 0 0,091 0,104 0,126 0,148 0,178II 1 + 0,16/n 0 0,148 0,175 0,222 0,271 0,338III 1 0 0,320 0,431 0,547 0,705IV 1 + 0,2/

√n 0 0,102 0,124 0,146 0,175

di(α)

Tabla 5.10: Tabla de Cramer-von Mises para los casos: (0) Cualquier distribucion continua contodos sus parametros especificados (I) Normal con µ = x y σ2 = s2; (II) Gumbel con ψ conocido yδ estimado usando ML; (III) Gumbel con δ conocido y ψ estimado usando ML; y (IV) Gumbel conδ y ψ estimados usando ML.

αCaso Ki(n) Gi(n) 0,15 0,1 0,05 0,025 0,01

0√

n + 0,155 + 0,24√n

0 1,537 1,620 1,747 1,862 2,001

I√

n + 0,05 + 0,82√n

0 1,320 1,386 1,489 1,585 1,693

II√

n + 0,24 + 0,35√n

0,2n 1,445 1,527 1,655 1,774 1,910

III√

n 0 1,460 1,580 1,690 1,810IV

√n 0 1,372 1,477 1,557 1,671

di(α)



Tabla 5.11: Tabla de Kuiper para los mismos casos que la tabla 5.10.

αCaso Ki(n) Gi(n) 0,15 0,1 0,05 0,025 0,01

0 1 + 0,8/n 0,1n − 0,1

n2 0,131 0,152 0,187 0,221 0,267I 1 + 0,5/n 0 0,085 0,096 0,116 0,136 0,163II 1 + 0,16/n 0 0,112 0,129 0,159 0,189 0,230III 1 + 0,15/

√n 0 0,123 0,152 0,181 0,220

IV 1 + 0,2/√

n 0 0,097 0,117 0,138 0,165di(α)

Tabla 5.12: Tabla de Watson para los mismos casos que la tabla 5.10.

αCaso Ki(n) Gi(n) 0,15 0,1 0,05 0,025 0,01

0 1 0 1,610 1,933 2,492 3,070 3,857I 1 + 4/n − 25/n2 0 0,576 0,656 0,787 0,918 1,092II 1 + 0,6/n 0 0,916 1,062 1,321 1,591 1,959III 1 0 1,725 2,277 2,854 3,640IV 1 + 0,2/

√n 0 0,637 0,757 0,877 1,038

di(α)

Tabla 5.13: Tabla de Anderson-Darling para los casos que la tabla 5.10.

n 2 3 4 5 6 7 8 9 10d2 1,128 1,693 2,059 2,326 2,534 2,704 2,847 2,970 3,078

Tabla 6.1: Valores de d2 para la formula (6.5).

n 2 3 4 5 6 7 8 9 10dR 1,323 1,906 2,340 2,691 2,988 3,247 3,472 3,676 3,861

Tabla 6.2: Valores de dR para la formula (6.6).



x Φ(x) x Φ(x) x Φ(x)0.00 0.50000 1.70 0.955435 3.40 0.9996630190.05 0.51994 1.75 0.959941 3.45 0.9997196590.10 0.53983 1.80 0.964070 3.50 0.9997673270.15 0.55962 1.85 0.967843 3.55 0.9998073440.20 0.57926 1.90 0.971284 3.60 0.9998408540.25 0.59871 1.95 0.974412 3.65 0.9998688460.30 0.61791 2.00 0.977250 3.70 0.9998921700.35 0.63683 2.05 0.979818 3.75 0.9999115550.40 0.65542 2.10 0.982136 3.80 0.9999276280.45 0.67364 2.15 0.984222 3.85 0.9999409190.50 0.69146 2.20 0.986097 3.90 0.9999518840.55 0.70884 2.25 0.987776 3.95 0.9999609080.60 0.72575 2.30 0.989276 4.00 0.9999683140.65 0.74215 2.35 0.990613 4.05 0.9999743780.70 0.75804 2.40 0.991802 4.10 0.9999793310.75 0.77337 2.45 0.992857 4.15 0.9999833670.80 0.78814 2.50 0.993790 4.20 0.9999866460.85 0.80234 2.55 0.994614 4.25 0.9999893040.90 0.81594 2.60 0.995339 4.30 0.9999914540.95 0.82894 2.65 0.995975 4.35 0.9999931881.00 0.84134 2.70 0.996533 4.40 0.9999945831.05 0.85314 2.75 0.997020 4.45 0.9999957031.10 0.86433 2.80 0.997445 4.50 0.9999965991.15 0.87493 2.85 0.997814 4.55 0.9999973151.20 0.88493 2.90 0.998134 4.60 0.9999978851.25 0.89435 2.95 0.998411 4.65 0.9999983391.30 0.90320 3.00 0.998650 4.70 0.9999986981.35 0.91149 3.05 0.998856 4.75 0.9999989821.40 0.91924 3.10 0.999032 4.80 0.9999992061.45 0.92647 3.15 0.999184 4.85 0.9999993821.50 0.93319 3.20 0.999313 4.90 0.9999995201.55 0.93943 3.25 0.999423 4.95 0.9999996281.60 0.94520 3.30 0.999517 5.00 0.9999997131.65 0.95053 3.35 0.999596 6.00 0.999999999

Tabla 8.1: Algunos valores de la funcion de distribucion normal estandar. Debe tenerse en cuentaque Φ(−x) = 1 − Φ(x).



α Φ−1(α) α Φ−1(α) α Φ−1(α)0.50 0.00000 0.840 0.99446 0.968 1.852180.51 0.02507 0.850 1.03643 0.969 1.866290.52 0.05015 0.860 1.08032 0.970 1.880790.53 0.07527 0.870 1.12639 0.971 1.895700.54 0.10043 0.880 1.17499 0.972 1.911030.55 0.12566 0.890 1.22653 0.973 1.926840.56 0.15097 0.895 1.25357 0.974 1.943140.57 0.17637 0.900 1.28155 0.975 1.959960.58 0.20189 0.905 1.31058 0.976 1.977370.59 0.22755 0.910 1.34075 0.977 1.995390.60 0.25335 0.915 1.37220 0.978 2.014090.61 0.27932 0.920 1.40507 0.979 2.033520.62 0.30548 0.925 1.43953 0.980 2.053750.63 0.33185 0.930 1.47579 0.981 2.074850.64 0.35846 0.935 1.51410 0.982 2.096930.65 0.38532 0.940 1.55477 0.983 2.120070.66 0.41246 0.941 1.56322 0.984 2.144410.67 0.43991 0.942 1.57179 0.985 2.170090.68 0.46770 0.943 1.58047 0.986 2.197280.69 0.49585 0.944 1.58927 0.987 2.226210.70 0.52440 0.945 1.59819 0.988 2.257130.71 0.55338 0.946 1.60725 0.989 2.290360.72 0.58284 0.947 1.61644 0.990 2.326340.73 0.61281 0.948 1.62576 0.991 2.365610.74 0.64334 0.949 1.63524 0.992 2.408920.75 0.67449 0.950 1.64485 0.993 2.457270.76 0.70630 0.951 1.65463 0.994 2.512130.77 0.73885 0.952 1.66456 0.995 2.575830.78 0.77219 0.953 1.67466 0.996 2.652090.79 0.80642 0.954 1.68494 0.997 2.747770.80 0.84162 0.955 1.69540 0.998 2.878150.81 0.87790 0.956 1.70604 0.999 3.090240.82 0.91537 0.957 1.71688 0.9999 3.719470.83 0.95416 0.958 1.72793 0.99999 4.26546

Tabla 8.2: Algunos valores de la funcion Φ−1(α), inversa de la funcion de distribucion normalestandar, para 0,5 ≤ α < 1. Para 0 < α ≤ 0,5 puede usarse la relacion Φ−1(1 − α) = −Φ−1(α).Observese ademas que Φ−1(α) ≡ zα siendo zα el cuantil α de la distribucion normal estandar.



n t(n, 1 − α/2)1 6.3137 12.7062 31.8210 63.6559 318.2888 636.57762 2.9200 4.3027 6.9645 9.9250 22.3285 31.59983 2.3534 3.1824 4.5407 5.8408 10.2143 12.92444 2.1318 2.7765 3.7469 4.6041 7.1729 8.61015 2.0150 2.5706 3.3649 4.0321 5.8935 6.86856 1.9432 2.4469 3.1427 3.7074 5.2075 5.95877 1.8946 2.3646 2.9979 3.4995 4.7853 5.40818 1.8595 2.3060 2.8965 3.3554 4.5008 5.04149 1.8331 2.2622 2.8214 3.2498 4.2969 4.7809

10 1.8125 2.2281 2.7638 3.1693 4.1437 4.586811 1.7959 2.2010 2.7181 3.1058 4.0248 4.436912 1.7823 2.1788 2.6810 3.0545 3.9296 4.317813 1.7709 2.1604 2.6503 3.0123 3.8520 4.220914 1.7613 2.1448 2.6245 2.9768 3.7874 4.140315 1.7531 2.1315 2.6025 2.9467 3.7329 4.072816 1.7459 2.1199 2.5835 2.9208 3.6861 4.014917 1.7396 2.1098 2.5669 2.8982 3.6458 3.965118 1.7341 2.1009 2.5524 2.8784 3.6105 3.921719 1.7291 2.0930 2.5395 2.8609 3.5793 3.883320 1.7247 2.0860 2.5280 2.8453 3.5518 3.849621 1.7207 2.0796 2.5176 2.8314 3.5271 3.819322 1.7171 2.0739 2.5083 2.8188 3.5050 3.792223 1.7139 2.0687 2.4999 2.8073 3.4850 3.767624 1.7109 2.0639 2.4922 2.7970 3.4668 3.745425 1.7081 2.0595 2.4851 2.7874 3.4502 3.725126 1.7056 2.0555 2.4786 2.7787 3.4350 3.706727 1.7033 2.0518 2.4727 2.7707 3.4210 3.689528 1.7011 2.0484 2.4671 2.7633 3.4082 3.673929 1.6991 2.0452 2.4620 2.7564 3.3963 3.659530 1.6973 2.0423 2.4573 2.7500 3.3852 3.646040 1.6839 2.0211 2.4233 2.7045 3.3069 3.551060 1.6706 2.0003 2.3901 2.6603 3.2317 3.4602

100 1.6602 1.9840 2.3642 2.6259 3.1738 3.3905200 1.6525 1.9719 2.3451 2.6006 3.1315 3.3398∞ 1.6449 1.9600 2.3263 2.5758 3.0902 3.2905

α = 0.1 0.05 0.02 0.01 0.002 0.001

Tabla 8.3: Algunos cuantiles de la distribucion t(n) de Student.



n χ2(n, α)1 3.9E-05 9.8E-04 3.841 5.024 6.635 7.879 10.8272 0.010 0.051 5.991 7.378 9.210 10.597 13.8153 0.072 0.216 7.815 9.348 11.345 12.838 16.2664 0.207 0.484 9.488 11.143 13.277 14.860 18.4665 0.412 0.831 11.070 12.832 15.086 16.750 20.5156 0.676 1.237 12.592 14.449 16.812 18.548 22.4577 0.989 1.690 14.067 16.013 18.475 20.278 24.3218 1.344 2.180 15.507 17.535 20.090 21.955 26.1249 1.735 2.700 16.919 19.023 21.666 23.589 27.877

10 2.156 3.247 18.307 20.483 23.209 25.188 29.58811 2.603 3.816 19.675 21.920 24.725 26.757 31.26412 3.074 4.404 21.026 23.337 26.217 28.300 32.90913 3.565 5.009 22.362 24.736 27.688 29.819 34.52714 4.075 5.629 23.685 26.119 29.141 31.319 36.12415 4.601 6.262 24.996 27.488 30.578 32.801 37.69816 5.142 6.908 26.296 28.845 32.000 34.267 39.25217 5.697 7.564 27.587 30.191 33.409 35.718 40.79118 6.265 8.231 28.869 31.526 34.805 37.156 42.31219 6.844 8.907 30.144 32.852 36.191 38.582 43.81920 7.434 9.591 31.410 34.170 37.566 39.997 45.31421 8.034 10.283 32.671 35.479 38.932 41.401 46.79622 8.643 10.982 33.924 36.781 40.289 42.796 48.26823 9.260 11.689 35.172 38.076 41.638 44.181 49.72824 9.886 12.401 36.415 39.364 42.980 45.558 51.17925 10.520 13.120 37.652 40.646 44.314 46.928 52.61930 13.787 16.791 43.773 46.979 50.892 53.672 59.70240 20.707 24.433 55.758 59.342 63.691 66.766 73.40350 27.991 32.357 67.505 71.420 76.154 79.490 86.66060 35.534 40.482 79.082 83.298 88.379 91.952 99.60870 43.275 48.758 90.531 95.023 100.425 104.215 112.31780 51.172 57.153 101.879 106.629 112.329 116.321 124.83990 59.196 65.647 113.145 118.136 124.116 128.299 137.208

100 67.328 74.222 124.342 129.561 135.807 140.170 149.449250 196.160 208.098 287.882 295.689 304.939 311.346 324.831500 422.303 439.936 553.127 563.851 576.493 585.206 603.446α = 0.005 0.025 0.95 0.975 0.99 0.995 0.999

Tabla 8.4: Algunos cuantiles de la distribucion χ2(n) de Pearson.



n2 F (n1, n2)1 647.8 799.5 864.2 899.6 937.1 948.2 956.6 968.62 38.51 39.00 39.17 39.25 39.33 39.36 39.37 39.403 17.44 16.04 15.44 15.10 14.73 14.62 14.54 14.424 12.22 10.65 9.979 9.604 9.197 9.074 8.980 8.8445 10.01 8.434 7.764 7.388 6.978 6.853 6.757 6.6196 8.813 7.260 6.599 6.227 5.820 5.695 5.600 5.4617 8.073 6.542 5.890 5.523 5.119 4.995 4.899 4.7618 7.571 6.059 5.416 5.053 4.652 4.529 4.433 4.2959 7.209 5.715 5.078 4.718 4.320 4.197 4.102 3.964

10 6.937 5.456 4.826 4.468 4.072 3.950 3.855 3.71711 6.724 5.256 4.630 4.275 3.881 3.759 3.664 3.52612 6.554 5.096 4.474 4.121 3.728 3.607 3.512 3.37413 6.414 4.965 4.347 3.996 3.604 3.483 3.388 3.25014 6.298 4.857 4.242 3.892 3.501 3.380 3.285 3.14715 6.200 4.765 4.153 3.804 3.415 3.293 3.199 3.06016 6.115 4.687 4.077 3.729 3.341 3.219 3.125 2.98617 6.042 4.619 4.011 3.665 3.277 3.156 3.061 2.92218 5.978 4.560 3.954 3.608 3.221 3.100 3.005 2.86619 5.922 4.508 3.903 3.559 3.172 3.051 2.956 2.81720 5.871 4.461 3.859 3.515 3.128 3.007 2.913 2.77421 5.827 4.420 3.819 3.475 3.090 2.969 2.874 2.73522 5.786 4.383 3.783 3.440 3.055 2.934 2.839 2.70023 5.750 4.349 3.750 3.408 3.023 2.902 2.808 2.66824 5.717 4.319 3.721 3.379 2.995 2.874 2.779 2.64025 5.686 4.291 3.694 3.353 2.969 2.848 2.753 2.61330 5.568 4.182 3.589 3.250 2.867 2.746 2.651 2.51140 5.424 4.051 3.463 3.126 2.744 2.624 2.529 2.38850 5.340 3.975 3.390 3.054 2.674 2.553 2.458 2.31775 5.232 3.876 3.296 2.962 2.582 2.461 2.366 2.224

100 5.179 3.828 3.250 2.917 2.537 2.417 2.321 2.179125 5.147 3.800 3.222 2.890 2.511 2.390 2.295 2.153150 5.126 3.781 3.204 2.872 2.494 2.373 2.278 2.135200 5.100 3.758 3.182 2.850 2.472 2.351 2.256 2.113500 5.054 3.716 3.142 2.811 2.434 2.313 2.217 2.074∞ 5.024 3.689 3.116 2.786 2.408 2.288 2.192 2.048

n1 = 1 2 3 4 6 7 8 10

Tabla 8.5: Cuantiles q0,975 de la distribucion F de Snedecor.



n2 F (n1, n2)1 976.7 982.5 986.9 990.3 993.1 1001.4 1009.8 1018.32 39.41 39.43 39.44 39.44 39.45 39.46 39.48 39.503 14.34 14.28 14.23 14.20 14.17 14.08 13.99 13.904 8.751 8.684 8.633 8.592 8.560 8.461 8.360 8.2575 6.525 6.456 6.403 6.362 6.329 6.227 6.123 6.0156 5.366 5.297 5.244 5.202 5.168 5.065 4.959 4.8497 4.666 4.596 4.543 4.501 4.467 4.362 4.254 4.1428 4.200 4.130 4.076 4.034 3.999 3.894 3.784 3.6709 3.868 3.798 3.744 3.701 3.667 3.560 3.449 3.333

10 3.621 3.550 3.496 3.453 3.419 3.311 3.198 3.08011 3.430 3.359 3.304 3.261 3.226 3.118 3.004 2.88312 3.277 3.206 3.152 3.108 3.073 2.963 2.848 2.72513 3.153 3.082 3.027 2.983 2.948 2.837 2.720 2.59514 3.050 2.979 2.923 2.879 2.844 2.732 2.614 2.48715 2.963 2.891 2.836 2.792 2.756 2.644 2.524 2.39516 2.889 2.817 2.761 2.717 2.681 2.568 2.447 2.31617 2.825 2.753 2.697 2.652 2.616 2.502 2.380 2.24718 2.769 2.696 2.640 2.596 2.559 2.445 2.321 2.18719 2.720 2.647 2.591 2.546 2.509 2.394 2.270 2.13320 2.676 2.603 2.547 2.501 2.464 2.349 2.223 2.08521 2.637 2.564 2.507 2.462 2.425 2.308 2.182 2.04222 2.602 2.528 2.472 2.426 2.389 2.272 2.145 2.00323 2.570 2.497 2.440 2.394 2.357 2.239 2.111 1.96824 2.541 2.468 2.411 2.365 2.327 2.209 2.080 1.93525 2.515 2.441 2.384 2.338 2.300 2.182 2.052 1.90630 2.412 2.338 2.280 2.233 2.195 2.074 1.940 1.78740 2.288 2.213 2.154 2.107 2.068 1.943 1.803 1.63750 2.216 2.140 2.081 2.033 1.993 1.866 1.721 1.54575 2.123 2.046 1.986 1.937 1.896 1.765 1.612 1.417

100 2.077 2.000 1.939 1.890 1.849 1.715 1.558 1.347125 2.050 1.973 1.911 1.862 1.820 1.685 1.524 1.303150 2.032 1.955 1.893 1.843 1.801 1.665 1.502 1.271200 2.010 1.932 1.870 1.820 1.778 1.640 1.474 1.229500 1.971 1.892 1.830 1.779 1.736 1.596 1.423 1.137∞ 1.945 1.866 1.803 1.751 1.708 1.566 1.388 1.000

n1 = 12 14 16 18 20 30 60 ∞

Tabla 8.6: Cuantiles q0,975 de la distribucion F de Snedecor (continuacion).



n2 F (n1, n2)1 16212 19997 21614 22501 23440 23715 23924 242222 198.5 199.0 199.2 199.2 199.3 199.4 199.4 199.43 55.55 49.80 47.47 46.20 44.84 44.43 44.13 43.684 31.33 26.28 24.26 23.15 21.98 21.62 21.35 20.975 22.78 18.31 16.53 15.56 14.51 14.20 13.96 13.626 18.63 14.54 12.92 12.03 11.07 10.79 10.57 10.257 16.24 12.40 10.88 10.05 9.155 8.885 8.678 8.3808 14.69 11.04 9.597 8.805 7.952 7.694 7.496 7.2119 13.61 10.11 8.717 7.956 7.134 6.885 6.693 6.417

10 12.83 9.427 8.081 7.343 6.545 6.303 6.116 5.84711 12.23 8.912 7.600 6.881 6.102 5.865 5.682 5.41812 11.75 8.510 7.226 6.521 5.757 5.524 5.345 5.08513 11.37 8.186 6.926 6.233 5.482 5.253 5.076 4.82014 11.06 7.922 6.680 5.998 5.257 5.031 4.857 4.60315 10.80 7.701 6.476 5.803 5.071 4.847 4.674 4.42416 10.58 7.514 6.303 5.638 4.913 4.692 4.521 4.27217 10.38 7.354 6.156 5.497 4.779 4.559 4.389 4.14218 10.22 7.215 6.028 5.375 4.663 4.445 4.276 4.03019 10.07 7.093 5.916 5.268 4.561 4.345 4.177 3.93320 9.944 6.987 5.818 5.174 4.472 4.257 4.090 3.84721 9.829 6.891 5.730 5.091 4.393 4.179 4.013 3.77122 9.727 6.806 5.652 5.017 4.322 4.109 3.944 3.70323 9.635 6.730 5.582 4.950 4.259 4.047 3.882 3.64224 9.551 6.661 5.519 4.890 4.202 3.991 3.826 3.58725 9.475 6.598 5.462 4.835 4.150 3.939 3.776 3.53730 9.180 6.355 5.239 4.623 3.949 3.742 3.580 3.34440 8.828 6.066 4.976 4.374 3.713 3.509 3.350 3.11750 8.626 5.902 4.826 4.232 3.579 3.376 3.219 2.98875 8.366 5.691 4.635 4.050 3.407 3.208 3.052 2.823

100 8.241 5.589 4.542 3.963 3.325 3.127 2.972 2.744125 8.167 5.529 4.488 3.912 3.277 3.080 2.925 2.698150 8.118 5.490 4.453 3.878 3.245 3.048 2.894 2.667200 8.057 5.441 4.408 3.837 3.206 3.010 2.856 2.629500 7.950 5.355 4.330 3.763 3.137 2.941 2.789 2.562∞ 7.879 5.298 4.279 3.715 3.091 2.897 2.744 2.519

n1 = 1 2 3 4 6 7 8 10

Tabla 8.7: Cuantiles q0,995 de la distribucion F de Snedecor.



n2 F (n1, n2)1 24427 24572 24684 24766 24837 25041 25254 254662 199.4 199.4 199.4 199.4 199.4 199.5 199.5 199.53 43.39 43.17 43.01 42.88 42.78 42.47 42.15 41.834 20.70 20.51 20.37 20.26 20.17 19.89 19.61 19.325 13.38 13.21 13.09 12.98 12.90 12.66 12.40 12.146 10.03 9.878 9.758 9.664 9.589 9.358 9.122 8.8797 8.176 8.028 7.915 7.826 7.754 7.534 7.309 7.0768 7.015 6.872 6.763 6.678 6.608 6.396 6.177 5.9519 6.227 6.089 5.983 5.899 5.832 5.625 5.410 5.188

10 5.661 5.526 5.422 5.340 5.274 5.071 4.859 4.63911 5.236 5.103 5.001 4.921 4.855 4.654 4.445 4.22612 4.906 4.775 4.674 4.595 4.530 4.331 4.123 3.90413 4.643 4.513 4.413 4.334 4.270 4.073 3.866 3.64714 4.428 4.299 4.201 4.122 4.059 3.862 3.655 3.43615 4.250 4.122 4.024 3.946 3.883 3.687 3.480 3.26016 4.099 3.972 3.875 3.797 3.734 3.539 3.332 3.11117 3.971 3.844 3.747 3.670 3.607 3.412 3.206 2.98418 3.860 3.734 3.637 3.560 3.498 3.303 3.096 2.87319 3.763 3.638 3.541 3.464 3.402 3.208 3.000 2.77620 3.678 3.553 3.457 3.380 3.318 3.123 2.916 2.69021 3.602 3.478 3.382 3.305 3.243 3.049 2.841 2.61422 3.535 3.411 3.315 3.239 3.176 2.982 2.774 2.54623 3.474 3.351 3.255 3.179 3.116 2.922 2.713 2.48424 3.420 3.296 3.201 3.125 3.062 2.868 2.658 2.42825 3.370 3.247 3.152 3.075 3.013 2.819 2.609 2.37730 3.179 3.056 2.961 2.885 2.823 2.628 2.415 2.17640 2.953 2.831 2.737 2.661 2.598 2.401 2.184 1.93250 2.825 2.703 2.609 2.533 2.470 2.272 2.050 1.78675 2.661 2.540 2.445 2.369 2.306 2.105 1.876 1.589

100 2.583 2.461 2.367 2.290 2.227 2.024 1.790 1.485125 2.536 2.415 2.320 2.244 2.180 1.976 1.738 1.420150 2.506 2.385 2.290 2.213 2.150 1.944 1.704 1.374200 2.468 2.347 2.252 2.175 2.112 1.905 1.661 1.314500 2.402 2.281 2.185 2.108 2.044 1.835 1.584 1.184∞ 2.358 2.237 2.142 2.064 2.000 1.789 1.533 1.000

n1 = 12 14 16 18 20 30 60 ∞

Tabla 8.8: Cuantiles q0,995 de la distribucion F de Snedecor (continuacion).


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EJERCICIOS DE ESTAD´ISTICA I.T.O.P. · 1 ≤ x < 3 5 3 ≤ x < 5 7 5 ≤ x < 7 10 7 ≤ x < 9 9 ≤ x < 11 2 a) Dar las marcas de clase y calcular la frecuencia correspondiente al