Eje 2. Razonamiento lógico matemático.pdf

8/10/2019 Eje 2. Razonamiento lgico matemtico.pdf

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Eje 2. Razonamiento lgico matemtico

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Universidad Abierta y a Distancia de MxicoUnADM

Curso Propedutico para el Aprendizaje

Autogestivo en un Ambiente Virtual


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[] Se ha convertido casi en un

comentario clich, que nadie hoy en da

alardea de ser un ignorante en literatura,pero es aceptable socialmente alardear

de ignorar la ciencia y afirmar orgulloso

que se es un incompetente en

matemticas.

Richard Dawkins

Dentro del razonamiento lgico-matemtico se pretende medir habilidades para

contextualizar las matemticas en nuevas situaciones, lo cual propicia generar nuevos

conocimientos y aplicarlos en trabajos prcticos. Estas habilidades permiten adems,

procesar, analizar y utilizar gran cantidad de informacin en las reas de las matemticas

como la aritmtica, el lgebra, la geometra y otros campos del conocimiento.

El razonamiento matemtico est relacionado con la habilidad matemtica, lo que permite

comprender conceptos y proponer algoritmos para resolver problemas, ya sean stos

contextualizados o abstractos. En este apartado te presentamos problemas de

razonamiento lgico-matemtico, puesto que el dominio de estas reas es indispensable

para iniciar tus estudios en la Universidad Abierta y a Distancia de Mxico (UnADM).

En la primera unidad se explican los mtodos y tcnicas para

resolver problemas, partiendo del razonamiento inductivo,

complementado con el razonamiento deductivo. Los problemasse presentan de acuerdo al grado de complejidad, pero, si se

toman en cuenta los procedimientos presentados, dicha

complejidad no ser impedimento para resolver los problemas.

En la segunda unidad se muestran mtodos de Polya para

resolver problemas matemticos, as como diversos ejemplos

correspondientes a stos.

Otra parte fundamental que revisaremos, es el

razonamiento lgico y abstracto, donde se podrn

desarrollar mecanismos para la solucin desecuencias de figuras. Para comprender mejor

estos elementos, es necesario prestar mucha

atencin a los ejemplos que se presentan a lo

largo del curso, ya que stos ayudarn a resolver

aquellas situaciones que se proponen dentro de la

actividad.


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Competencias

A travs de este eje desarrollars la siguiente competencia

especfica:

Desarrollala habilidad de resolver problemas mediante los

conceptos generales de matemticas bsicas para su

representacin dentro de la vida cotidiana.

Propsitos

Los propsitos de este eje son los siguientes:

Utilizar el razonamiento lgico-matemtico para crear

estructuras de conocimientos.

Desarrollar la capacidad de anlisis y construccin de

esquemas que permitan la solucin de un problema.

Resolver problemas mediante el uso del razonamiento

lgico-matemtico.

Metodologa: cmo vas a desarrollar las competencias?

La forma en que recomendamos cursar este eje es revisar y analizar

los ejemplos que proponemos, dado que ellos permitirn resolver los

diferentes planteamientos que se presentan en cada una de las

unidades que estudiaremos. Adems, es indispensable que revisemos

los recursos que se sugieren, ya que son una herramienta valiosa para

lograr la competencia del curso.

Este eje, aunque se asemeja al rea de matemticas, ser de utilidad

para la realizacin de la actividad integradora, donde nos permitirrazonar, estructurar y tomar decisiones al momento de eleccin o

determinacin del giro de tu lectura final. As que te invitamos a

analizar y resolver los diferentes planteamientos que presentamos en

este eje.


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Planeacin para tu aprendizaje

Para conocer las actividades, recursos y la forma en que ser evaluado tu trabajo, revisa la siguiente planeacin en la cual te

mostramos todos los elementos necesarios para cursar este eje de manera satisfactoria.

Unidad 1. Razonamiento inductivo y razonamiento deductivo1.1. Razonamiento inductivo

1.2. Razonamiento deductivo

Logros:

1. Identificar los elementos necesarios para la resolucin de problemas

2. Aplicar el razonamiento inductivo y el razonamiento deductivo en la resolucin de problemas

Competencias digitales:Utilizar medios y entornos digitales para interactuar con otros.Actividad Evaluacin Horas Herramienta Recursos

Actividad 1.Razonamientoinductivo yrazonamientodeductivo

10%

12 horas

9 para lectura de

contenidos

3 para la resolucindel cuestionario

Cuestionariomoodle

Contenido en plataformaLectura: Razonamiento inductivo y deductivoVideos: Razonamiento inductivo

Razonamiento deductivo

Unidad 2. El arte de resolver problemas2.1. Uso de tabla o diagrama

2.2. Trabajar hacia atrs

2.3. Uso de ensayo y error

2.4. Suposicin y verificacin

2.5. Elaboracin de un bocetoLogro:1. Identificar los cuatro pasos de Polya para la resolucin de problemas de razonamiento lgico-


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matemtico.(Compresin)

2. Resolver problemas de lgica matemtica por medio de los pasos de Polya. (Anlisis)Competencias digitales:Maneja software para la elaboracin de organizadores grficos; utiliza habilidades ofimticas.

Actividad Evaluacin Horas Herramienta Recursos

Actividad 2.Ingenio lgico-

matemtico

10%

12 horas

9 para revisin de

recursos

3 para solucin de laactividad

Cuestionariomoodle

Contenido en plataforma.Lectura: Mtodo de cuatro pasos de Polya

Unidad 3. Razonamiento lgico y razonamiento abstracto

3.1. Ejemplos de razonamiento lgico

3.2. Relacin de tiempo

3.3. Ordenamiento lineal

3.4. ParentescoLogro:1. Identificar problemas de orden lgico o abstracto por medio de sus caractersticas. (Compresin)

2. Resolver problemas de lgica matemtica utilizando los diferentes mtodos aprendidos en las unidades anteriores.(Anlisis)Competencias digitales:Publicar en un blog; postear en los blog de sus compaeros(as).

Actividad Evaluacin Horas Herramienta Recursos

Actividad 3.

Razonamiento

abstracto

10%

13 Horas

10 para el estudio de

los recursos

3 para la solucin de

la actividad

Cuestionariomoodle

Contenido en plataforma.Lecturas: Ordenamiento y clasificacin

jerrquica

Razonamiento lgico y abstracto

Videos: Razonamiento lgico Razonamiento abstracto


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Mapa general del eje

Desarrolla la habilidad de

resolver problemas mediante los

conceptos generales de

matemticas bsicas para su

representacin dentro dela vida

cotidiana

Unidad 1. Razonamiento

inductivo y deductivo

Unidad 2. El arte de resolverproblemas

Unidad 3. Razonamiento lgico

y abstracto

Actividad 1. Induccin y deduccin

Actividad 2. Ingenio lgico matemtico

Actividad 3. Razonamiento abstracto

Eje 2. Razonamientolgico matemtico


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Unidad 1. Razonamiento inductivo y deductivo

En la vida cotidiana utilizamos el razonamiento para tomar decisiones en alguna situacin.

Dicho razonamiento nos permite estructurar diferentes enunciados que, a su vez,

permiten determinar un curso de accin, sea correcto o incorrecto.

Lo mismo sucede en la escuela, constantemente debemos tomar decisiones dentro del

mbito estudiantil, para lo cual utilizamos dos tipos de razonamiento: el inductivo y el

deductivo. Pero, te has preguntado

Para profundizar sobre los tipos de razonamiento, revisa la siguiente lectura

Razonamiento inductivo y deductivo.

Razonamiento deductivo e inductivo

La historia de las matemticas se remonta al antiguo Egipto y Babilonia. Ante la necesidadde resolver problemas a travs de errores y victorias, estas culturas lograron determinartcnicas que despus utilizaron constantemente, como recetas de cocina, lo cual se repitiuna y otra vez en problemas similares.

Al observar que esta tcnica funcionaba con ciertos tipos de problemas, concluyeron queeste mtodo funcionaba para problemas del mismo tipo.

Cuando resolvemos un problema, podemos llamar a la solucin conjetura, que es unahiptesis que se fundamenta en observaciones repetidas de un proceso o patrn

determinado. A este tipo de procesos, por su parte, se le llama razonamiento inductivo.

El razonamiento inductivose define como obtener una conclusin general, o conjetura, apartir de observaciones repetidas en ejemplos especficos; dicha conclusin puede llegar aser verdadera o no. Es fcil demostrar que la solucin a estos ejemplos es falsa, puesbasta con encontrar un ejemplo que as lo compruebe; a ese tipo se le conoce comocontraejemplo. Podemos mencionar, adems, el siguiente ejemplo para ilustrar mejor elpunto.

Conjetura.


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Todos los nmeros primos son impares: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23...

Si observamos el conjunto de nmeros, todos son nmeros primos, mas no todos sonimpares, por lo que podemos crear un contraejemplo para refutar la conjetura.

ContraejemploEl nmero 2 es un nmero primo, pero no un nmero impar.Observa los siguientes ejemplos de razonamiento inductivo:

Conjetura 1: Alberto tiene 25 aos, vive en la ciudad de Mxico y siempre vota porpartidos de izquierda.Conjetura 2:Juan tiene 23 aos, vive en la ciudad de Mxico y siempre vota por partidosde Izquierda.Conjetura 3: Alberto tiene 22 aos, vive en la ciudad de Mxico y siempre vota porpartidos de izquierda.

Conclusin: Los ciudadanos entre 20 y 25 aos que viven en la ciudad de Mxico siemprevotan por partidos de izquierda.

Estas premisas pueden ser refutadas y demostrarse su falsedad, dado que no todas laspersonas que viven en la ciudad de Mxico votarn por partidos de izquierda.

Este tipo de razonamiento inductivo es un mtodo potencialmente fuerte para llegar a unaconclusin, mas no existe la certeza de que sea verdadera. Por esta razn, algunosmatemticos no aceptan una verdad como absoluta en tanto que no se demuestre demanera formal por medio del razonamiento deductivo. El razonamiento deductivo inici conlos matemticos griegos, como revelan los trabajos de Pitgoras, Arqumedes y Euclides,entre otros, quienes aplicaron conceptos generales a problemas especficos, lo que diocomo resultado un desarrollo lgico y estructurado de las matemticas.

Un razonamiento deductivo se define como la aplicacin de principios generales a

ejemplos especficos. En los siguientes ejemplos se muestra la diferencia entre unrazonamiento inductivo y otro deductivo.

Observa los siguientes ejemplos de razonamiento inductivo:

Conjetura 1: Alberto tiene 25 aos, vive en la ciudad de Mxico y siempre vota porpartidos de izquierda.Conjetura 2:Juan tiene 23 aos, vive en la ciudad de Mxico y siempre vota por partidosde Izquierda.Conjetura 3: Alberto tiene 22 aos, vive en la ciudad de Mxico y siempre vota porpartidos de izquierda.

Conclusin: Los ciudadanos entre 20 y 25 aos que viven en la ciudad de Mxico siemprevotan por partidos de izquierda.

Estas premisas pueden ser refutadas y demostrarse su falsedad, dado que no todas laspersonas que viven en la ciudad de Mxico votarn por partidos de izquierda.

Ahora te presentamos un ejemplo de razonamiento deductivo, el cual es el ms utilizadoen problemas lgico-matemticos. Sin embargo, no dejamos de lado el razonamientoinductivo, que nos lleva a resolver de manera parcial o total algunos problemas.

Conjetura 1:Todos los panecillos tardan una hora en hornearse.


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Conjetura 2:Son las 2 de la tarde y Adriana mete los panecillos al horno.Conclusin: Los panecillos estarn listos a las 3:00 pm.

Veamos algunos ejemplos de los dos tipos de razonamientos, en los cuales utilizaremoslos nmeros naturales o nmeros cardinales.

Considera la siguiente secuencia de nmeros: 1, 8, 15, 22, 29.

Cul es el nmero que sigue en la lista?, cul es el patrn? Si observamos y analizamoslos nmeros, vemos que 1+7= 8, y 8+7=15. Sumamos 15 y 7 para obtener 22?,sumamos 22 y 7 para obtener 29? S, efectivamente. Sumamos 7 a todo nmeroprecedente, de modo que el nmero siguiente de la secuencia es 36, puesto que 29+7=36.

Considerando el ejemplo anterior, para identificar el siguiente nmero de la secuencia,utilizamos la observacin, y se determina tanto el patrn como el nmero que sigue en lasecuencia. Este es un ejemplo de razonamiento inductivo.

Usando el razonamiento inductivo se concluye que 41 era el nmero siguiente, pero, qu

pasa si se presenta otra respuesta, por ejemplo, se relaciona con las fechas de los mesesJunio y Julio?

Junio

D L M M J V S

1 2 3 4 5 6 7

8 9 10 11 12 13 14

15 16 17 18 19 20 21

22 23 24 25 26 27 28

29 30

Julio

D L M M J V S

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10 11 12

13 14 15 16 17 18 19

20 21 22 23 24 25 26

27 28 29 30 31

Entonces, la secuencia quedara de manera diferente:

1, 8, 15, 22, 29, 6, 13, 20, 27

Si analizamos la secuencia, el patrn sigue siendo 7, pero el consecutivo cambia. Aqu semuestra una falla importante del razonamiento inductivo, el cual no nos garantiza que laverdad en un caso especfico ser verdad en lo general. Por lo tanto, el razonamientoinductivo no garantiza un resultado verdadero, pero ofrece los medios para hacer unaconjetura.

En matemticas es comn utilizar la expresin exponencial, que no es otra cosa querepresentar la multiplicacin repetida:


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Base = 3.3.3 = 27

Exponente

En el razonamiento deductivo se usan enunciados generales para aplicarlos en situacionesespecficas, por ejemplo el teorema de Pitgoras:

En un tringulo rectngulo, la suma del cuadrado de loscatetos, es igual al cuadrado de la hipotenusa.

Cateto

opuesto Hipotenusa

Cateto adyacente

Si los catetos miden 4 y 6 metros, podemos calcular la longitud de la hipotenusa,representada por .

() ()

Por lo tanto, la hipotenusa mide10 metros, aplicando la regla general del teorema dePitgoras.

El razonamiento de un problema normalmente requiere de algunas premisas, lo cual puedeser un supuesto, una ley, un teorema, una definicin matemtica, observacin o idea.Despus, con el razonamiento inductivo o deductivo, se puede obtener la solucin, mismaque se vuelve un argumento lgico.

Podemos concluir que el razonamiento inductivo se utiliza con frecuencia para predecir larespuesta de ejercicios de clculo, como se muestra en el siguiente ejemplo.

Predice la multiplicacin y el producto que sigue en esta lista de operaciones:

Primero, debemos identificar que el 21 se repite en todas las operaciones; en tanto que enel segundo factor, el incremento entre 5 y 8 es 3, por lo tanto, la siguiente multiplicacinsera:

- por lo cual es verdadero.


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Cuando utilizamos el razonamiento inductivo, corremos ciertos riesgos asociados alrazonamiento. Un ejemplo clsico es el de dividir por regiones una circunferencia,partiendo de puntos. Veamos la siguiente grfica:

Si observamos la figura, en la primera se coloc un punto sobre la superficie, y se denotauna regin; si en cambio, colocamos dos puntos sobre la circunferencia y los unimos conuna lnea recta, formamos dos regiones.

Si finalmente, colocamos tres puntos sobre la circunferencia y los unimos por medio delneas rectas, no se crean tres regiones, sino cuatro. Esto se puede representar por mediode una progresin geomtrica:

Qu pasara si colocamos cuatro puntos en la circunferencia, o cinco?, cuntas regionestendramos?

Representando cuatro y cinco puntos en la circunferencia, quedaran de la siguientemanera:

Si volvemos a representarlo en la progresin geomtrica, quedara de la siguiente manera:

AnalicemosCul sera el nmero de regiones si colocamos 6 puntos en la circunferencia?


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Si respondemos por medio de una conjetura tomada de un razonamiento inductivo, laprogresin quedara de la siguiente manera:

Representndolo grficamente, sera:

Nos han robado! Slo tenemos 31 regiones.

Ahora probemos con siete puntos en la circunferencia. Razonando inductivamente,tendramos:

Representndolo grficamente, tendramos:

Nos han vuelto a robar! Ahora tenemos 57 regiones, cuando deberamos tener 64.

Conclusin:Este tipo de ejemplos ilustran que en matemticas no podemos simplemente guiarnos porobservaciones; en su lugar, necesitamos argumentos lgicos y rigurosos que constituyenuna prueba que demuestra la veracidad del proceso.


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Una vez que hayas analizado la lectura recomendada, observa con atencin los

siguientes videos, en los que encontrars una explicacin clara de los conceptos de

induccin y deduccin.

Mansilla, M. (2012). Razonamiento inductivo y deductivoparte 1 y 2.[Archivo de video].Recuperado dehttps://www.youtube.com/watch?v=Uh3pyW4mf8c yhttps://www.youtube.com/watch?v=LM6tl4baz8A

Despus de haber analizado el documento y el video, te invitamos a leer la siguiente

reflexin, donde comprobaremos que, algunas veces, actuar de manera inductiva nos

lleva a resultados equivocados si no demostramos antes lo que solamente asumimos.

El cientfico y las pulgas

Un cientfico tena dos frascos grandes frente a l sobre la mesa del laboratorio. Elfrasco de la izquierda contena 100 pulgas, en tanto que el frasco de la derechaestaba vaco. El cientfico sac con cuidado una pulga del frasco de la izquierda, lacoloc sobre la mesa en medio de los dos frascos, dio un paso hacia atrs, y convoz fuerte dijo salta. La pulga salt y luego la coloc en el frasco de la derecha. Elcientfico sac entonces cuidadosamente una segunda pulga del frasco de laizquierda y la coloc sobre la mesa entre los dos frascos.

De nuevo dio un paso hacia atrs y, con voz fuerte, dijo salta. La pulga salt y fuecolocada en el frasco de la derecha. El cientfico trat del mismo modo a cada una

de las 100 pulgas del frasco de la izquierda y cada pulga salt como se le orden.Aplic la misma mecnica nuevamente con las pulgas de la derecha, nicamentecon un cambio.

El cientfico sac una pulga del frasco de la derecha, le arranc las patas traseras,y coloc la pulga sobre la mesa, dio un paso hacia atrs y dijo con voz fuertesalta. La pulga no salt y fue colocada en el frasco de la izquierda. El cientficohizo lo mismo con las 100 pulgas y ninguna de ellas salt cuando se les orden,por lo que el cientfico lleg a la siguiente conclusin:

Cuando se arrancan las patas traseras a una pulga, se vuelve sorda.
https://www.youtube.com/watch?v=Uh3pyW4mf8chttps://www.youtube.com/watch?v=Uh3pyW4mf8chttps://www.youtube.com/watch?v=LM6tl4baz8Ahttps://www.youtube.com/watch?v=LM6tl4baz8Ahttps://www.youtube.com/watch?v=Uh3pyW4mf8c


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Actividad 1. Razonamiento inductivo y deductivo

Propsito:Verificar el conocimiento obtenido sobre razonamiento deductivo y razonamientoinductivo.

Descripcin:Con esta actividad podrs evaluar tus habilidades para la resolucin de problemasmatemticos aplicando el razonamiento inductivo y deductivo.

Indicaciones:

1. Regresa al aula y busca laActividad 1. Razonamiento inductivo y deductivo, en lalista de tareas. Una vez que la identifiques, da clic para acceder al cuestionario.

2. Responde el cuestionario, y cuando termines, revisa la realimentacin.

3. El cuestionario te permitir solamente dos intentos.

Criterios de evaluacin:El cuestionario tiene un valor del 10% sobre la evaluacin final del curso.

Lineamientos de entrega:Debers responder el cuestionario en su totalidad.

Recursos:Cuestionario: Razonamiento inductivo y deductivo

Para responder el cuestionario interactivo debes ingresar al aulavirtual.

Cierre de la unidad

A lo largo de esta unidad revisamos que, antes de resolver un problema, ya sea de mbito

matemtico o cualquier situacin, debemos estructurarlo para poder identificar los

elementos necesarios para resolverlo. El razonamiento inductivo y el razonamiento

deductivo nos permiten formar estas estructuras; el primero determina inicialmente unresultado que puede o no tener validez, en tanto que el segundo verifica este resultado,

por lo cual ambos resultan tiles.

Este principio nos ayuda no slo a resolver cualquier tipo de problemas, sino a desarrollar

diferentes habilidades, as como la capacidad de razonar, tomar decisiones y generar

nuevas ideas en cualquier mbito educativo.


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Fuentes de consulta

Castro, L. (s/f). Diez plataformas para crear un blog[About.com]. Recuperado de

http://aprenderinternet.about.com/od/ConceptosBasico/tp/Diez-Plataformas-Para-Crear-

Un-Blog.htm

Mansilla, M. (2012). Razonamiento inductivo, deductivoparte 1 y 2 [archivo de video].

Recuperado dehttps://www.youtube.com/watch?v=Uh3pyW4mf8cy

https://www.youtube.com/watch?v=LM6tl4baz8A

Zevallos, A. (2001, 30 de marzo). Razonamiento Lgico - 17 Problemas Resueltos -

(Razonamiento Inductivo y Deductivo, Problemas Recreativos) Solucionario[El blog del

profe Alex]. Recuperado de:http://profe-alexz.blogspot.mx/2011/03/razonamiento-logico-

17-problemas.html
http://aprenderinternet.about.com/od/ConceptosBasico/tp/Diez-Plataformas-Para-Crear-Un-Blog.htmhttp://aprenderinternet.about.com/od/ConceptosBasico/tp/Diez-Plataformas-Para-Crear-Un-Blog.htmhttp://aprenderinternet.about.com/od/ConceptosBasico/tp/Diez-Plataformas-Para-Crear-Un-Blog.htmhttps://www.youtube.com/watch?v=Uh3pyW4mf8chttps://www.youtube.com/watch?v=Uh3pyW4mf8chttps://www.youtube.com/watch?v=Uh3pyW4mf8chttps://www.youtube.com/watch?v=LM6tl4baz8Ahttps://www.youtube.com/watch?v=LM6tl4baz8Ahttp://profe-alexz.blogspot.mx/2011/03/razonamiento-logico-17-problemas.htmlhttp://profe-alexz.blogspot.mx/2011/03/razonamiento-logico-17-problemas.htmlhttp://profe-alexz.blogspot.mx/2011/03/razonamiento-logico-17-problemas.htmlhttp://profe-alexz.blogspot.mx/2011/03/razonamiento-logico-17-problemas.htmlhttp://profe-alexz.blogspot.mx/2011/03/razonamiento-logico-17-problemas.htmlhttp://profe-alexz.blogspot.mx/2011/03/razonamiento-logico-17-problemas.htmlhttps://www.youtube.com/watch?v=LM6tl4baz8Ahttps://www.youtube.com/watch?v=Uh3pyW4mf8chttp://aprenderinternet.about.com/od/ConceptosBasico/tp/Diez-Plataformas-Para-Crear-Un-Blog.htmhttp://aprenderinternet.about.com/od/ConceptosBasico/tp/Diez-Plataformas-Para-Crear-Un-Blog.htm


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Unidad 2. El arte de resolver problemas

Ahora en esta unidad te brindamos algunos mtodos de solucin de problemas, tomados

desde la aportacin de George Polya, quien fue uno de los autores que propusieron el

mtodo de resolucin de problemas. Adems, te mostramos diferentes ejemplos y

tcnicas por los cuales podemos resolver problemas.

Como hemos visto en la primera unidad, el razonamiento inductivo puede ser til para

iniciar la solucin de un problema, pero tambin debemos utilizar el razonamiento

deductivo para comprobar si la solucin es veraz o falsa.

Para resolver problemas debemos tener una organizacin al momento de comprender,analizar, clasificar y determinar el resultado, puesto que si slo nos guiamos por

conjeturas o premisas, podemos caer en errores que no dificulte su solucin adecuada.

Es por ello que existen procesos o tipos de estrategias para resolver un problema, a

continuacin te mostramos algunos de stos.

Mtodo de cuatro pasos de Polya

La estrategia ms conocida es la de George Polya. Nacido en Hungra en 1887, Polya

fue un matemtico que desarroll diversas tcnicas para la solucin de problemas. Su

publicacin ms famosa fue How to solve it (Cmo resolverlo),donde propuso unmtodo de cuatro pasos para la solucin de problemas.

Revisa y reflexiona sobre el mtodo de cuatro pasos que propuso Polya, expuesto en el

documento Mtodo de cuatro pasosy relacinalo con cada uno de los cinco ejemplos que

a continuacin te mostramos:


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Mtodo de cuatro pasos de Polya

A continuacin te presentamos en qu consiste el mtodo de cuatro pasos de Polya

para la solucin de problemas:

Paso 1 Comprenda el problema. Usted no puede resolver un problema si no

entiende qu le pidieron calcular. Se debe leer y analizar el problema

cuidadosamente. Tal vez sea necesario leerlo varias veces. Despus de

eso, pregntese, qu debo calcular?

Paso 2 Elabore un plan: Existen muchas maneras de enfrentar un problema.

Elija un plan adecuado para el problema especfico que est resolviendo.

Paso 3 Aplique un plan: Una vez que sabe cmo enfocar el problema, ponga

en prctica ese plan. Tal vez llegue a un callejn sin salida y encuentre

obstculos imprevistos, pero debe ser persistente.

Paso 4 Revise y verifique: Revise su respuesta para ver que sea razonable.

Satisface las condiciones del problema? Se han contestado todas las

preguntas que plantea el problema? Es posible resolver el problema de

manera diferente y llegar a la misma respuesta?

El paso 2 del mtodo para la solucin de problemas de Polya aconseja elaborar un plan.

Aqu se presentan algunas sugerencias y estrategias que han demostrado ser tiles.

Sugerencias para la solucin de problemas

Elabore una tabla o diagrama

Busque un patrn

Resuelva un problema similar ms

sencillo

Elabore un bosquejo

Use el razonamiento inductivo

Formule una ecuacin y resulvala

Si una frmula aplica, sela

Trabaje hacia atrs

Suponga y verifique

Use ensayo y error

Use el sentido comn

Busque la trampa que se le tiende en el caso

de que una respuesta parezca demasiado

evidente o imposible

Cuando a George Polya se le preguntaba cmo lleg a ser matemtico, l contestaba

que no era lo suficientemente inteligente para ser fsico, y demasiado para ser filsofo,

as que eligi matemticas, que es una cosa intermedia.

Ahora que conociste los mtodos propuestos por Polya, es momento de revisar algunos

ejemplos para que te vayas familiarizando con estos procesos. Recuerda que esto te

ser til durante toda la carrera profesional que curses.

El desarrollo del plan que nos propone Polya requiere el uso de varios mtodos.


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Ejemplos de Mtodos para resolver problemas

1. Uso de tabla o diagrama

Se tomar un ejemplo del libro Liber Abacidel matemtico Leonardo Pisano, conocido

como Fibonacci.

Ejemplo 1.

Un hombre coloc un par de conejos en una jaula. Durante el primer mes los conejos

no se reprodujeron, pero cada mes a partir de entonces tuvieron una nueva pareja de

conejos. Si cada nueva pareja se reprodujera de la misma manera, cuntas parejasde conejos habra al cabo de un ao?

Solucin:

Se comenzar con el mtodo que propone George Polya:

Paso 1. Comprende el problema: la intencin es comprender qu es lo que solicita el

problema, y la mejor manera de hacerlo es redactando el problema para entenderlo

correctamente. Por ejemplo, cuntas parejas de conejos tendr el hombre al final del

ao, si inicia con una pareja de conejos que no procrea durante el primer mes, pero

cada mes siguiente cada pareja que tuvieron procrea un nuevo par?

Paso 2. Elabora un plan: en el ejemplo se identifica un patrn definido de cmo se

reproducen los conejos, as que podras construir la siguiente tabla:

Mes Nmeros de parejas al

inicio

Nmero de

nuevas parejas

procreadas=

Nmeros de

parejas al final del

mes


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11

12 La respuesta

estar aqu.

Paso 3. Aplica el plan:al inicio del primer mes slo hay una pareja de conejos, y no sereproducen durante este periodo; es decir, 1+0 = 1. Este patrn contina, pero al

segundo mes hay dos parejas; es decir, 1+1 =2. Al tercer mes solamente se reproduce

una pareja, porque la segunda no se reproduce durante su primer mes de vida; es decir

2+1=3. Al seguir el patrn, la tabla quedara de la siguiente manera.

Mes Nmeros de

parejas al inicio

Nmero de

nuevas parejas

procreadas=

Nmeros de parejas al

final del mes

1 1 0 1

2 1 1 2

3 2 1 3

4 3 2 5

5 5 3 8

6 8 5 13

7 13 8 21

8 21 13 34

9 34 21 55

10 55 34 89

11 89 55 144

12 144 89 233

Habr 233 parejas de conejos al final del ao.

Paso 4. Revisa y verifica: regresa y asegrate de que la interpretacin del problema

fue correcta; verifica si la suma de los nmeros coincide con los resultados.

2. Trabajar hacia atrs


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Planteamiento

Albertoasiste cada semana al Hipdromo de las Amricas para las carreras de caballo

con sus amigos. En una semana duplic su dinero, pero luego perdi $300. Regres

con su dinero la siguiente semana, lo triplic, y luego perdi $600. La siguiente semanavolvi a llevar su dinero y lo intent nuevamente. En esta ocasin cuadruplic su

dinero, y luego jug lo suficiente para llevarse a su casa un total de $6,000. Con

cunto inici la primera semana?

Solucin

Como el problema requiere determinar la cantidad de dinero con que inici Alberto, y se

conoce la cifra final, se puede aplicar el mtodo de trabajar haca atrs. La cantidad

final es $6,000, y representa cuatro veces la cantidad con la que inici la tercera

semana.

Se divide $6,000 entre 4, para saber la cantidad que tena la tercera semana, lo que

resulta ser $1,500. Antes de perder $600 la segunda semana, tena 1500 + 600, o sea,

2,100. Es decir, triplic su dinero, pues la segunda semana inici con 2,100 dividido

entre 3, es decir, 700. Al repetir este proceso en la primera semana, sera:

Lo cual representa el doble de la cifra con la que inici, por lo tanto:

Respuesta

Para verificar si el procedimiento es correcto, se puede representar en ecuaciones:

Primera semana, ( ) Segundo semana, ( ) Tercera semana, ()

3. Uso de ensayo y error

Pedro, Ral y Ana son amigos, y cada uno es dueo de slo uno de los siguientesanimales: perro, gato y tortuga. Identifica el nombre de la persona propietaria de cada

animal con base en los siguientes datos:

1.- El sobrino de Ana tiene un gato

2.- Pedro tiene un perro

3.- Pedro no es el dueo de la tortuga


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Solucin:

Se parte por medio de ensayo y error. Se proponen cada uno de los datos y todas las

combinaciones posibles, y se eliminan aquellas que contradicen alguno de los datos

hasta obtener asignaciones completas.

El anterior sera un ejemplo de combinaciones posibles, aunque se podran colocar

otras, como:

1. Pedro tiene la tortuga Falso

2. Pedro tiene el perro Verdadero

3. Ral tiene la tortuga Falso

4. Ral tiene el perro Falso

5. Ral tiene el gato debe ser cierta por que no contradice ninguna

informacin y es la nica opcin disponible

6. Ana tiene la tortuga no contradice ninguna informacin7. Ana tiene el perro Falso

8. Ana tiene el gato Falso, ya que un animal no puede tener dos

dueos

9. Ana tiene el gato Falso

10. Ana tiene la tortuga Verdadero

4. Suposicin y verificacin

Planteamiento

A las orillas de un ro se vio a la cuarta parte de una manada de borregos. El doble dela raz cuadrada de esa manada se fue al establo; y 3 por 5 camellos permanecieron a

la orilla del rio en espera del pastor. Cul es el nmero de camellos en esa manada?

Solucin

Si te das cuenta, en este problema el resultado es un nmero natural. Como en el

planteamiento del problema se menciona un cuarto de la manada, y la raz cuadrada

de esa manada, el nmero de borregos debe ser un mltiplo de 4, como un cuadrado

perfecto. Se inicia con una ecuacin donde representa el nmero de borregos en lamanada, el cual se sustituye por 4, para ver si es la solucin.

Un cuarto

de la

manada +El doble de la

raz cuadrada

de la manada +3 veces 5

camellos =Nmero de

camellos en

la manada


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+ + =

() + + 15 = 4

1 + 4 + 15 = 4

20

4

Si observas el proceso, 4 no es la solucin, por lo que se intenta con el siguiente

nmero perfecto, que es mltiplo de 4.

()

Observas que 16 tampoco es la solucin al problema, as que se utiliza el siguiente

nmero cuadrado perfecto, y que es mltiplo de 4.

()

Aqu se cumple la igualdad y se encuentra el resultado al problema. La ecuacin

permite verificar el resultado.

5. Elaboracin de un boceto

Planteamiento:

La copa y el botn


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De la siguiente figura, y moviendo solamente dos palillos, deja el botn fuera de la

copa. No puedes mover el botn. La copa puede quedar en cualquier orientacin, pero

debe mantenerse formada.

Solucin

Para solucionar este tipo de problemas, debes realizar procesos y dibujarlos.

Para profundizar un poco ms sobre la resolucin de problemas, a travs de la creatividad

y el juego, te invitamos a consultar el siguiente vnculo electrnico, donde se muestran

ms ejemplos de razonamiento:

Tomado de: Lerdo, I.N. (2011). Juegos de todo el mundo: juegos con cerillas y palillos[Museo del juego] Recuperado de:http://museodeljuego.org/wp-

content/uploads/contenidos_0000001237_docu1.pdf

Actividad 2. Ingenio lgico matemtico

Propsito
http://museodeljuego.org/wp-content/uploads/contenidos_0000001237_docu1.pdfhttp://museodeljuego.org/wp-content/uploads/contenidos_0000001237_docu1.pdfhttp://museodeljuego.org/wp-content/uploads/contenidos_0000001237_docu1.pdfhttp://museodeljuego.org/wp-content/uploads/contenidos_0000001237_docu1.pdfhttp://museodeljuego.org/wp-content/uploads/contenidos_0000001237_docu1.pdfhttp://museodeljuego.org/wp-content/uploads/contenidos_0000001237_docu1.pdf


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Resolver problemas matemticos usando las estructuras del razonamiento lgico-matemtico.

Descripcin:

Con esta actividad podrs evaluar tus habilidades utilizando algunos mtodos revisadosdurante esta unidad para la resolucin de problemas lgico-matemticos.

Indicaciones:1. Regresa al aula y busca laActividad 2. Ingenio lgico matemtico, en la lista de

tareas. Una vez que la identifiques, da clic para acceder al cuestionario.



Criterios de evaluacin:

El cuestionario tiene un valor del 10% sobre la evaluacin final del curso.

Lineamientos de entrega:Debers responder el cuestionario en su totalidad.

Recursos:Cuestionario: Ingenio lgico matemtico

Para responder el cuestionario interactivo debe ingresar al aulavirtual

Constante de Kaprekar

Como podemos ver, cada uno de los problemas que acabas de resolver tieneparticularidades que necesitan diversos mtodos de solucin. Ahora te invitamos a revisar

la siguiente reflexin que aporta un conocimiento muy til en diferentes momentos de tu

vida estudiantil.

Alguna vez has escuchado de la constante de Kaprekar?

Si no la conoces, realiza la siguiente

actividad para identificarla.

Selecciona un nmero de tres dgitos

diferentes. Primero, ordnalos de manera

descendente, y resta los mismos tres

dgitos, pero ahora ordenados de manera

ascendente. Por ejemplo, selecciona los

dgitos 4, 6 y 9, de modo que, en primera

Observa que obtuviste 495. Repitiendo el

proceso, vuelves a obtener el nmero 495.

A este nmero se le conoce como la

constante de Kaprekar, en la cual el

resultado siempre ser 495, si el proceso se

aplica a cantidades de tres dgitos.

Te invitamos a realizar el mismo proceso de

Kaprekar a un nmero de dos dgitos


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Cierre de la unidad

Hasta ahora nos hemos dado cuenta de que la resolucin de problemas no se aplica slo

a las matemticas, sino que se amplan en otras ramas de la educacin universitaria.

Adems, cuando se presenta un problema, algunas veces lo resolvemos por medio de la

intuicin y su resultado nos convence, pero existen otros que necesitan ms de unaprediccin inductiva; necesitan estructuras, mtodos, tcnicas y dems herramientas que

permiten llegar a su solucin.

Te exhortamos a revisar la ltima unidad de este eje, donde fortalecers todo lo aprendido

hasta el momento.

Fuentes de consulta

Lerdo, I.N. (2011). Juegos de todo el mundo: juegos con cerillas y palillos[Museo del

juego]. Recuperado dehttp://museodeljuego.org/wp-content/uploads/contenidos_0000001237_docu1.pdf

Miller, C. D., Heeren, V. E., y Hornsby, J. (2013). Matemtica: Razonamiento y

aplicaciones. 12 Edicin. Mxico: Editorial Pearson Educacin.

instancia, obtienes 964.

964 954

- 469 - 459

495 495

diferentes (interpreta 9 como 09, si es

necesario) y compara los resultados. Qu

parece ser verdad?

Realiza lo mismo, pero, en lugar de dosdgitos, utiliza cuatro dgitos Qu conjetura

se puede formar respecto a esta situacin?
http://museodeljuego.org/wp-content/uploads/contenidos_0000001237_docu1.pdfhttp://museodeljuego.org/wp-content/uploads/contenidos_0000001237_docu1.pdfhttp://museodeljuego.org/wp-content/uploads/contenidos_0000001237_docu1.pdfhttp://museodeljuego.org/wp-content/uploads/contenidos_0000001237_docu1.pdfhttp://museodeljuego.org/wp-content/uploads/contenidos_0000001237_docu1.pdfhttp://museodeljuego.org/wp-content/uploads/contenidos_0000001237_docu1.pdf


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Unidad 3. Razonamiento lgico y abstracto

Muchos de los ejercicios que hemos revisado en las dos unidades anteriores han sido

para orientarte y proporcionarte mtodos para la solucin de problemas, mtodos que te

sirven para determinar procesos y tcnicas. Los ejemplos tratados en esta unidad nos

muestran situaciones relacionadas con el pensamiento creativo y a medida que los

vayamos resolviendo, mejorar notablemente tu capacidad de razonamiento.

Reflexionemos en lo siguiente:

La forma de resolverlos es ir sacando conclusiones con un criterio lgico, sin hacer uso de

conocimientos matemticos o de lgica.

Por su parte, el razonamiento abstracto se constituye por series de figuras, y debemos

escoger cul de las figuras es la que contina; para ello, tenemos que notar ciertas

caractersticas como el cambio de posicin, rotacin y analogas de las figuras.

Para precisar, reforzar y continuar con el aprendizaje dentro de esta unidad, te

recomendamos leer la siguiente presentacin sobre ordenamiento jerrquico:


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Para verificar a travs de videos algunos procesos de solucin, te sugerimos revisar los

ejemplos en el siguiente par de vnculos electrnicos sobre razonamiento lgico y

abstracto:


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Zevallos, A. (2013). Razonamiento lgico 152 - verdades y mentiras

[video].Recuperado de

https://www.youtube.com/watch?v=S_1AQM0LozE

Zevallos, A. (2013).Analogas grficas problema 201 - razonamiento

abstracto [video].Recuperado dehttps://www.youtube.com/watch?v=pKQ5t6n8vC4

Por ltimo, te brindamos un documento donde revisars diversos ejemplos y ejercicios

sobre razonamiento lgico y abstracto, tomado de la siguiente referencia:

Ayala, O. (s/f). Razonamiento. Recuperado de

http://repositorio.utn.edu.ec/bitstream/123456789/1176/1/RAZONAMIENTO.pdf

Despus de que hemos tenido un acercamiento al razonamiento lgico y al razonamiento

abstracto, te mostramos ciertos ejemplos que pueden ayudarte en la realizacin de laactividad de aprendizaje:

1. Razonamiento Lgico

Relacin de tiempo

Ordenamiento lineal

Parentesco

2. Razonamiento abstracto

Ahora veamos los siguientes ejemplos de cada uno de ellos.

Relacin de tiempo

Si el ayer del pasado maana del maana de anteayer de maana es jueves, qu

da fue ayer?

Para solucionarlo, lo ms conveniente es crear una recta numrica para representar

los das.
https://www.youtube.com/watch?v=S_1AQM0LozEhttps://www.youtube.com/watch?v=S_1AQM0LozEhttps://www.youtube.com/watch?v=pKQ5t6n8vC4https://www.youtube.com/watch?v=pKQ5t6n8vC4http://repositorio.utn.edu.ec/bitstream/123456789/1176/1/RAZONAMIENTO.pdfhttp://repositorio.utn.edu.ec/bitstream/123456789/1176/1/RAZONAMIENTO.pdfhttps://www.youtube.com/watch?v=pKQ5t6n8vC4https://www.youtube.com/watch?v=S_1AQM0LozE


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Si el ayer: -1

Del pasado maana: +2

Del maana: +1

De anteayer: -2

De maana: +1

Entonces:

Del resultado se deduce que maana (+1) es jueves, y hoy es mircoles; as que ayer

fue martes.

Ordenamiento lineal

Jorge es mayor que Sandra y ella es menor que Fidel. Marco es mayor que Jorge y

Fidel, y ste es menor que Jorge. Cul de los siguientes enunciados es verdadero?

a) Fidel es mayor que Jorge y menor que Sandrab) Jorge es mayor que Sandra y Fidel

c) Marco es menor que Jorge y mayor que Fidel

Para resolver este problema, puedes relacionarlos de acuerdo a los enunciados:

Por lo tanto,

El enunciado verdadero es el de la opcin b).

Parentesco

En un restaurante estaban presentes: un padre, una madre, un to, una ta, un


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hermano, una hermana, un sobrino, una sobrina y dos primos. Si cada uno consumi

$350, cunto gastaron en total como mnimo?

Solucin:

Analizando el problema, puedes determinar que cada integrante de la familia puededesempear diferentes papeles.

Representado en un esquema, quedara de la siguiente manera.

Por consiguiente, estuvieron cuatro personas, as que ()

Ejemplos de razonamiento abstracto

1.- Cul es la figura que sigue en la secuencia?

Solucin:

Suprimiendo las puntas de la flechas, la respuesta correcta sera C).

2.- Cul es la figura que sigue en esta serie?


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Solucin:

Si analizas el movimiento de las figuras, stas van rotando 90, por lo tanto, la

solucin es B).

Actividad 3. Razonamiento abstracto

Propsito:Aplicarel razonamiento abstracto para resolver problemas lgicos, deduciendo ciertasconsecuencias de la situacin planteada figuras.

Descripcin:En esta actividad tendrs oportunidad de verificar las habilidades adquiridas para laaplicacin del razonamiento abstracto.

Indicaciones:1. Regresa al aula y busca laActividad 3. Razonamiento abstracto,en la lista de

tareas. Una vez que la identifiques, da clic para acceder al cuestionario.



Criterios de evaluacin:El cuestionario tiene un valor del 10% sobre la evaluacin final del curso.

Lineamientos de entrega:

Debers responder el cuestionario en su totalidad.

Recursos:

Cuestionario: Razonamiento abstracto.

Para responder el cuestionario interactivo ingresa al aula virtual

Cierre de la unidad

A travs de esta unidad revisamos diferentes ejemplos que nos permitieron desarrollar el

razonamiento lgico-matemtico, crear estructuras, resolver problemas no tan comunesen una asignatura como las matemticas pero que contienen fundamentos matemticos.

No se abordaron contenidos matemticos de manera especfica porque la principal

intencin es aportar herramientas fundamentales para la creacin de textos, utilizando el

anlisis y la toma de decisiones. Debers considerar estos elementos para los

conocimientos que vas a adquirir en el futuro.


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Fuentes de consulta

Zevallos, A. (2013). Razonamiento lgico 152 - verdades y mentiras. [Archivo de video].

Recuperado dehttps://www.youtube.com/watch?v=S_1AQM0LozE

Zevallos, A. (2013).Analogas grficas problema 201 - razonamiento abstracto. [Archivo

de video].Recuperado dehttps://www.youtube.com/watch?v=pKQ5t6n8vC4

Ayala, O. (s/f). Razonamiento. Recuperado de:

http://repositorio.utn.edu.ec/bitstream/123456789/1176/1/RAZONAMIENTO.pdf
https://www.youtube.com/watch?v=S_1AQM0LozEhttps://www.youtube.com/watch?v=S_1AQM0LozEhttps://www.youtube.com/watch?v=S_1AQM0LozEhttps://www.youtube.com/watch?v=pKQ5t6n8vC4https://www.youtube.com/watch?v=pKQ5t6n8vC4https://www.youtube.com/watch?v=pKQ5t6n8vC4http://repositorio.utn.edu.ec/bitstream/123456789/1176/1/RAZONAMIENTO.pdfhttp://repositorio.utn.edu.ec/bitstream/123456789/1176/1/RAZONAMIENTO.pdfhttp://repositorio.utn.edu.ec/bitstream/123456789/1176/1/RAZONAMIENTO.pdfhttps://www.youtube.com/watch?v=pKQ5t6n8vC4https://www.youtube.com/watch?v=S_1AQM0LozE

Documents

Eje 2. Razonamiento lógico matemático.pdf