Eje 2 razonamiento lógico matemático

Eje 2. Razonamiento lógico matemático

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Universidad Abierta y a Distancia de México

UnADM

Curso Propedéutico para el Aprendizaje

Autogestivo en un Ambiente Virtual


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“[…] Se ha convertido casi en un comentario cliché, que nadie hoy en día alardea de ser

un ignorante en literatura, pero es aceptable socialmente alardear de ignorar la ciencia y

afirmar orgulloso que se es un incompetente en matemáticas”.

Richard Dawkins

Dentro del razonamiento lógico-matemático se pretende medir habilidades para

contextualizar las matemáticas en nuevas situaciones, lo cual propicia generar nuevos

conocimientos y aplicarlos en trabajos prácticos. Estas habilidades permiten además,

procesar, analizar y utilizar gran cantidad de información en las áreas de las matemáticas

como la aritmética, el álgebra, la geometría y otros campos del conocimiento.

El razonamiento matemático está relacionado con la habilidad matemática, lo que permite

comprender conceptos y proponer algoritmos para resolver problemas, ya sean éstos

contextualizados o abstractos. En este apartado te presentamos problemas de

razonamiento lógico-matemático, puesto que el dominio de estas áreas es indispensable

para iniciar tus estudios en la Universidad Abierta y a Distancia de México (UnADM).

En la primera unidad se explican los métodos y técnicas para resolver problemas,

partiendo del razonamiento inductivo, complementado con el razonamiento deductivo. Los

problemas se presentan de acuerdo al grado de complejidad, pero, si se toman en cuenta

los procedimientos presentados, dicha complejidad no será impedimento para resolver los

problemas. En la segunda unidad se muestran métodos de Polya para resolver problemas

matemáticos, así como diversos ejemplos correspondientes a éstos.

Otra parte fundamental que revisaremos, es el razonamiento lógico y abstracto, donde se

podrán desarrollar mecanismos para la solución de secuencias de figuras. Para

comprender mejor estos elementos, es necesario prestar mucha atención a los ejemplos

que se presentan a lo largo del curso, ya que éstos ayudarán a resolver aquellas

situaciones que se proponen dentro de la actividad.


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Competencias

A través de este eje desarrollarás la siguiente competencia específica:

Desarrolla la habilidad de resolver problemas mediante los conceptos generales de

matemáticas básicas para su representación dentro de la vida cotidiana.

Propósitos

Los propósitos de este eje son los siguientes:

Utilizar el razonamiento lógico-matemático para crear estructuras de conocimientos.

Desarrollar la capacidad de análisis y construcción de esquemas que permitan la

solución de un problema.

Resolver problemas mediante el uso del razonamiento lógico-matemático.

Metodología: ¿cómo vas a desarrollar las competencias?

La forma en que recomendamos cursar este eje es revisar y analizar los ejemplos que

proponemos, dado que ellos permitirán resolver los diferentes planteamientos que se

presentan en cada una de las unidades que estudiaremos. Además, es indispensable que

revisemos los recursos que se sugieren, ya que son una herramienta valiosa para lograr

la competencia del curso.

Este eje, aunque se asemeja al área de matemáticas, será de utilidad para la realización

de la actividad integradora, donde nos permitirá razonar, estructurar y tomar decisiones al

momento de elección o determinación del giro de tu lectura final. Así que te invitamos a

analizar y resolver los diferentes planteamientos que presentamos en este eje.


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Mapa general del eje


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Unidad 1. Razonamiento inductivo y deductivo

En la vida cotidiana utilizamos el razonamiento para tomar decisiones en alguna situación.

Dicho razonamiento nos permite estructurar diferentes enunciados que, a su vez,

permiten determinar un curso de acción, sea correcto o incorrecto.

Lo mismo sucede en la escuela, constantemente debemos tomar decisiones dentro del

ámbito estudiantil, para lo cual utilizamos dos tipos de razonamiento: el inductivo y el

deductivo. Pero, te has preguntado…

¿Cuál es la estructura del pensamiento al razonar para determinar el resultado a un

problema?

¿Pones en juego, por ejemplo, procesos de solución para resolver un problema o

simplemente intuyes el resultado?

Para profundizar sobre los tipos de razonamiento, revisa la siguiente lectura

Razonamiento inductivo y deductivo.

Razonamiento deductivo e inductivo

La historia de las matemáticas se remonta al antiguo Egipto y Babilonia. Ante la necesidad de resolver problemas a través de errores y victorias, estas culturas lograron determinar técnicas que después utilizaron constantemente, como recetas de cocina, lo cual se repitió una y otra vez en problemas similares. Al observar que esta técnica funcionaba con ciertos tipos de problemas, concluyeron que este método funcionaba para problemas del mismo tipo. Cuando resolvemos un problema, podemos llamar a la solución conjetura, que es una hipótesis que se fundamenta en observaciones repetidas de un proceso o patrón determinado. A este tipo de procesos, por su parte, se le llama razonamiento inductivo. El razonamiento inductivo se define como obtener una conclusión general, o conjetura, a partir de observaciones repetidas en ejemplos específicos; dicha conclusión puede llegar a ser verdadera o no. Es fácil demostrar que la solución a estos ejemplos es falsa, pues basta con encontrar un ejemplo que así lo compruebe; a ese tipo se le conoce como contraejemplo. Podemos mencionar, además, el siguiente ejemplo para ilustrar mejor el punto. Conjetura. Todos los números primos son impares: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23... Si observamos el conjunto de números, todos son números primos, mas no todos


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son impares, por lo que podemos crear un contraejemplo para refutar la conjetura. Contraejemplo El número 2 es un número primo, pero no un número impar. Este tipo de razonamiento inductivo es un método potencialmente fuerte para llegar a una conclusión, mas no existe la certeza de que sea verdadera. Por esta razón, algunos matemáticos no aceptan una verdad como absoluta en tanto que no se demuestre de manera formal por medio del razonamiento deductivo. El razonamiento deductivo inició con los matemáticos griegos, como revelan los trabajos de Pitágoras, Arquímedes y Euclides, entre otros, quienes aplicaron conceptos generales a problemas específicos, lo que dio como resultado un desarrollo lógico y estructurado de las matemáticas. Un razonamiento deductivo se define como la aplicación de principios generales a ejemplos específicos. En los siguientes ejemplos se muestra la diferencia entre un razonamiento inductivo y otro deductivo. Observa los siguientes ejemplos de razonamiento inductivo: Conjetura 1: Alberto tiene 25 años, vive en la ciudad de México y siempre vota por partidos de izquierda. Conjetura 2: Juan tiene 23 años, vive en la ciudad de México y siempre vota por partidos de Izquierda. Conjetura 3: Alberto tiene 22 años, vive en la ciudad de México y siempre vota por partidos de izquierda. Conclusión: Los ciudadanos entre 20 y 25 años que viven en la ciudad de México siempre votan por partidos de izquierda. Estas premisas pueden ser refutadas y demostrarse su falsedad, dado que no todas las personas que viven en la ciudad de México votarán por partidos de izquierda. Ahora te presentamos un ejemplo de razonamiento deductivo, el cual es el más utilizado en problemas lógico-matemáticos. Sin embargo, no dejamos de lado el razonamiento inductivo, que nos lleva a resolver de manera parcial o total algunos problemas. Conjetura 1: Todos los panecillos tardan una hora en hornearse. Conjetura 2: Son las 2 de la tarde y Adriana mete los panecillos al horno. Conclusión: Los panecillos estarán listos a las 3:00 pm. Veamos algunos ejemplos de los dos tipos de razonamientos, en los cuales utilizaremos los números naturales o números cardinales. Considera la siguiente secuencia de números: 1, 8, 15, 22, 29. ¿Cuál es el número que sigue en la lista?, ¿cuál es el patrón? Si observamos y analizamos los números, vemos que 1+7= 8, y 8+7=15. ¿Sumamos 15 y 7 para


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obtener 22?, ¿sumamos 22 y 7 para obtener 29? Sí, efectivamente. Sumamos 7 a todo número precedente, de modo que el número siguiente de la secuencia es 36, puesto que 29+7=36. Considerando el ejemplo anterior, para identificar el siguiente número de la secuencia, utilizamos la observación, y se determina tanto el patrón como el número que sigue en la secuencia. Este es un ejemplo de razonamiento inductivo. Usando el razonamiento inductivo se concluye que 41 era el número siguiente, pero, ¿qué pasa si se presenta otra respuesta, por ejemplo, se relaciona con las fechas de los meses Junio y Julio?

Junio D L M M J V S

1 2 3 4 5 6 7

8 9 10 11 12 13 14

15 16 17 18 19 20 21

22 23 24 25 26 27 28

29 30

Julio

D L M M J V S

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10 11 12

13 14 15 16 17 18 19

20 21 22 23 24 25 26

27 28 29 30 31

Entonces, la secuencia quedaría de manera diferente:

1, 8, 15, 22, 29, 6, 13, 20, 27 Si analizamos la secuencia, el patrón sigue siendo 7, pero el consecutivo cambia. Aquí se muestra una falla importante del razonamiento inductivo, el cual no nos garantiza que la verdad en un caso específico será verdad en lo general. Por lo tanto, el razonamiento inductivo no garantiza un resultado verdadero, pero ofrece los medios para hacer una conjetura. En matemáticas es común utilizar la expresión exponencial, que no es otra cosa que representar la multiplicación repetida:

Base = 3.3.3 = 27

Exponente

En el razonamiento deductivo se usan enunciados generales para aplicarlos en situaciones específicas, por ejemplo el teorema de Pitágoras:

“En un triángulo rectángulo, la suma del cuadrado de los catetos, es igual al cuadrado de la hipotenusa.”


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Cateto opuesto

Hipotenusa

Cateto adyacente Si los catetos miden 4 y 6 metros, podemos calcular la longitud de la hipotenusa, representada por .

( ) ( )

√

Por lo tanto, la hipotenusa mide10 metros, aplicando la regla general del teorema de Pitágoras. El razonamiento de un problema normalmente requiere de algunas premisas, lo cual puede ser un supuesto, una ley, un teorema, una definición matemática, observación o idea. Después, con el razonamiento inductivo o deductivo, se puede obtener la solución, misma que se vuelve un argumento lógico. Podemos concluir que el razonamiento inductivo se utiliza con frecuencia para predecir la respuesta de ejercicios de cálculo, como se muestra en el siguiente ejemplo. Predice la multiplicación y el producto que sigue en esta lista de operaciones:

Primero, debemos identificar que el 21 se repite en todas las operaciones; en tanto que en el segundo factor, el incremento entre 5 y 8 es 3, por lo tanto, la siguiente multiplicación sería:

- por lo cual es verdadero.

Cuando utilizamos el razonamiento inductivo, corremos ciertos riesgos asociados al razonamiento. Un ejemplo clásico es el de dividir por regiones una circunferencia, partiendo de puntos. Veamos la siguiente gráfica:


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Si observamos la figura, en la primera se colocó un punto sobre la superficie, y se denota una región; si en cambio, colocamos dos puntos sobre la circunferencia y los unimos con una línea recta, formamos dos regiones. Si finalmente, colocamos tres puntos sobre la circunferencia y los unimos por medio de líneas rectas, no se crean tres regiones, sino cuatro. Esto se puede representar por medio de una progresión geométrica

¿Qué pasaría si colocamos cuatro puntos en la circunferencia, o cinco?, ¿cuántas regiones tendríamos? Representando cuatro y cinco puntos en la circunferencia, quedarían de la siguiente manera:

Si volvemos a representarlo en la progresión geométrica, quedaría de la siguiente manera:

Analicemos ¿Cuál sería el número de regiones si colocamos 6 puntos en la circunferencia? Si respondemos por medio de una conjetura tomada de un razonamiento inductivo, la progresión quedaría de la siguiente manera:


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Representándolo gráficamente, sería:

¡Nos han robado! Sólo tenemos 31 regiones. Ahora probemos con siete puntos en la circunferencia. Razonando inductivamente, tendríamos:

Representándolo gráficamente, tendríamos:

¡Nos han vuelto a robar! Ahora tenemos 57 regiones, cuando deberíamos tener 64. Conclusión: Este tipo de ejemplos ilustran que en matemáticas no podemos simplemente guiarnos por observaciones; en su lugar, necesitamos argumentos lógicos y rigurosos que constituyen una prueba que demuestra la veracidad del proceso.


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Una vez que hayas analizado la lectura recomendada, observa con atención los

siguientes videos, en los que encontrarás una explicación clara de los conceptos de

inducción y deducción.

Mansilla, M. (2012). Razonamiento inductivo y deductivo parte 1 y 2. [Archivo de video].

Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=Uh3pyW4mf8c y

https://www.youtube.com/watch?v=LM6tl4baz8A

Después de haber analizado el documento y el video, te invitamos a leer la siguiente

reflexión, donde comprobaremos que, algunas veces, actuar de manera inductiva nos

lleva a resultados equivocados si no demostramos antes lo que solamente asumimos.

Para ampliar la información y tener más argumentos para responder a la actividad 1, te

recomendamos revisar el siguiente vínculo electrónico, donde encontrarás diversos

ejemplos sobre razonamiento inductivo y deductivo, así como de razonamiento lógico,

tomado de la siguiente referencia:

El científico y las pulgas

Un científico tenía dos frascos grandes frente a él sobre la mesa del laboratorio. El

frasco de la izquierda contenía 100 pulgas, en tanto que el frasco de la derecha estaba

vacío. El científico sacó con cuidado una pulga del frasco de la izquierda, la colocó

sobre la mesa en medio de los dos frascos, dio un paso hacia atrás, y con voz fuerte

dijo “salta”. La pulga saltó y luego la colocó en el frasco de la derecha. El científico

sacó entonces cuidadosamente una segunda pulga del frasco de la izquierda y la

colocó sobre la mesa entre los dos frascos. De nuevo dio un paso hacia atrás y, con

voz fuerte, dijo “salta”. La pulga saltó y fue colocada en el frasco de la derecha. El

científico trató del mismo modo a cada una de las 100 pulgas del frasco de la izquierda

y cada pulga saltó como se le ordenó.

Aplicó la misma mecánica nuevamente con las pulgas de la derecha, únicamente con

un cambio. El científico sacó una pulga del frasco de la derecha, le arrancó las patas

traseras, y colocó la pulga sobre la mesa, dio un paso hacia atrás y dijo con voz fuerte

“salta”. La pulga no saltó y fue colocada en el frasco de la izquierda. El científico hizo lo

mismo con las 100 pulgas y ninguna de ellas saltó cuando se les ordenó, por lo que el

científico llegó a la siguiente conclusión:

Cuando se arrancan las patas traseras a una pulga, se vuelve sorda.

https://www.youtube.com/watch?v=Uh3pyW4mf8c



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Zevallos, A. (2001, 30 de marzo). Razonamiento Lógico - 17 Problemas Resueltos -

(Razonamiento Inductivo y Deductivo, Problemas Recreativos) – Solucionario [El blog del

profe Alex]. Recuperado de http://profe-alexz.blogspot.mx/2011/03/razonamiento-logico-

17-problemas.html

Recordemos que los problemas se resuelven con la resolución de problemas

similares.

Actividad 1. Razonamiento inductivo o deductivo

Revisa en el aula virtual en qué consiste la actividad.

Lee el siguiente planteamiento

En un congreso de la ciudad de México se reunieron diferentes personalidades del

mundo, un presidente de la asociación petrolera Ramiro Paredes, su mujer e hija; un

jeque Musulmán Muhí y sus tres mujeres; una bonita tibetana, la señora Chen y sus dos

maridos; y un cura de la catedral de México. La señora Paredes está sentada a la

izquierda de su marido, las tres musulmanas están tímidamente juntas y han procurado

que no haya ningún hombre sentado junto a ellas. El jeque se niega a sentarse junto

alguno de los tibetanos, cuyo régimen matrimonial no aprueba. Don Ramiro, muy tímido

con las mujeres, evita su cercanía. La hija del alcalde, muy alegre y divertida, evita

sentarse junto a sus padres y dice al oído de la señora Chen: “¿Cómo da lata tener dos

maridos?”, mientras que roza con la rodilla a su vecino de forma tan provocativa que éste

vuelca su vaso de vino.

¿Cómo están sentados los once personajes alrededor de la mesa?

Actividad 2. Deducción e inducción


Cierre de la unidad

A lo largo de esta unidad revisamos que, antes de resolver un problema, ya sea de ámbito

matemático o cualquier situación, debemos estructurarlo para poder identificar los

elementos necesarios para resolverlo. El razonamiento inductivo y el razonamiento

deductivo nos permiten formar estas estructuras; el primero determina inicialmente un

resultado que puede o no tener validez, en tanto que el segundo verifica este resultado,

por lo cual ambos resultan útiles.

http://profe-alexz.blogspot.mx/2011/03/razonamiento-logico-17-problemas.html



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Este principio nos ayuda no sólo a resolver cualquier tipo de problemas, sino a desarrollar

diferentes habilidades, así como la capacidad de razonar, tomar decisiones y generar

nuevas ideas en cualquier ámbito educativo.

Fuentes de consulta

Castro, L. (s/f). Diez plataformas para crear un blog [About.com]. Recuperado de

http://aprenderinternet.about.com/od/ConceptosBasico/tp/Diez-Plataformas-Para-Crear-

Un-Blog.htm

Mansilla, M. (2012). Razonamiento inductivo, deductivo parte 1 y 2 [archivo de video].

Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=Uh3pyW4mf8c y


Zevallos, A. (2001, 30 de marzo). Razonamiento Lógico - 17 Problemas Resueltos -

(Razonamiento Inductivo y Deductivo, Problemas Recreativos) – Solucionario [El blog del

profe Alex]. Recuperado de: http://profe-alexz.blogspot.mx/2011/03/razonamiento-logico-

17-problemas.html

http://aprenderinternet.about.com/od/ConceptosBasico/tp/Diez-Plataformas-Para-Crear-Un-Blog.htm

http://aprenderinternet.about.com/od/ConceptosBasico/tp/Diez-Plataformas-Para-Crear-Un-Blog.htm

https://www.youtube.com/watch?v=Uh3pyW4mf8c





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Unidad 2. El arte de resolver problemas

Antes de iniciar con el arte de resolver problemas, te presentamos una actividad que

podrás ir resolviendo en el transcurso de esta unidad. Para realizarla, es necesario

analizar y determinar los elementos más contundentes en cada punto de la revisión del

tema.

Te brindamos los métodos de solución de problemas, tomados desde la aportación de

George Polya, quien fue uno de los autores que propusieron el método de resolución de

problemas. Además, mostramos diferentes ejemplos y técnicas por los cuales podemos

resolver problemas.

Te invitamos a revisar el siguiente reto matemático.

Telsita, Thalesa, Hipotenusia, Aritmética y Restarin tienen un montón de 100 tarjetas

enumeradas del 1 al 100. Como son muy hábiles con los números, se dedican a incluir o

quitar del montón aquellas tarjetas según le gusten o no.

Telsita toma las cien tarjetas, y como no le agradan los números pares, los descarta y

pasa las tarjetas a Thalesa; éste, que es un amante de los múltiplos de 5, se da cuenta

de que le faltan algunos, y los coge de los que Telsita había eliminado, y luego le entrega

las tarjetas a Hipotenusia.

Hipotenusia, como está enojada con Telsita y Thalesa, decide deshacerse de ellas y

coger las tarjetas que éstos habían descartado, y se los pasa a Aritmética.

Aritmética, tras observarlas, elimina aquellas que son múltiplos de 6 y de 8 porque las

considera de mal gusto, y finalmente, se las pasa a Restarin.

A Restarin no le agradan los números primos mayores a 7, así que elimina las tarjetas

que tienen como divisor alguno de estos números.

Restarin hace un recuento de las tarjetas que le quedan. ¿Cuántas tarjetas tiene ahora

en su poder? ¿Cuál es el mayor número escrito en esas tarjetas?

Actividad 3. Razonamiento lógico matemático



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Como hemos visto en el primer apartado, el razonamiento inductivo puede ser útil para

iniciar la solución de un problema, pero también debemos utilizar el razonamiento

deductivo para comprobar si la solución es veraz o falsa.

¿Pero, realmente podemos resolver problemas?

¿Tenemos una estructura hecha para resolverlos?

Para resolver problemas debemos tener una organización al momento de comprender,

analizar, clasificar y determinar el resultado, puesto que si sólo nos guiamos por

conjeturas o premisas, podemos caer en errores que no permitan solucionarlo

adecuadamente. Es por ello que existen procesos o tipos de estrategias para resolver un

problema, a continuación te mostramos algunos de éstos.

Método de cuatro pasos de Polya

La estrategia más conocida es la de George Polya. Nacido en Hungría en 1887, Polya

fue un matemático que desarrolló diversas técnicas para la solución de problemas. Su

publicación más famosa fue “How to solve it” (Cómo resolverlo), donde propuso un

método de cuatro pasos para la solución de problemas.

Revisa y reflexiona sobre el método de cuatro pasos que propuso Polya, expuesto en el

documento Método de cuatro pasos y relaciónalo con cada uno de los cinco ejemplos que

mostramos después.

Método de cuatro pasos de Polya A continuación te presentamos en qué consiste el método de cuatro pasos de Polya para la solución de problemas:

Paso 1 Comprenda el problema. Usted no puede resolver un problema

si no entiende qué le pidieron calcular. Se debe leer y analizar el

problema cuidadosamente. Tal vez sea necesario leerlo varias


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veces. Después de eso, pregúntese, ¿qué debo calcular?

Paso 2 Elabore un plan: Existen muchas maneras de enfrentar un

problema. Elija un plan adecuado para el problema específico

que está resolviendo.

Paso 3 Aplique un plan: Una vez que sabe cómo enfocar el problema,

ponga en práctica ese plan. Tal vez llegue a “un callejón sin

salida” y encuentre obstáculos imprevistos, pero debe ser

persistente.

Paso 4 Revise y verifique: Revise su respuesta para ver que sea

razonable. ¿Satisface las condiciones del problema? ¿Se han

contestado todas las preguntas que plantea el problema? ¿Es

posible resolver el problema de manera diferente y llegar a la

misma respuesta?

El paso 2 del método para la solución de problemas de Polya aconseja elaborar un plan. Aquí se presentan algunas sugerencias y estrategias que han demostrado ser útiles.

Sugerencias para la solución de problemas

Elabore una tabla o diagrama

Busque un patrón

Resuelva un problema similar más

sencillo

Elabore un bosquejo

Use el razonamiento inductivo

Formule una ecuación y resuélvala

Si una fórmula aplica, úsela

Trabaje hacia atrás

Suponga y verifique

Use ensayo y error

Use el sentido común

Busque la trampa que se le

tiende en el caso de que una

respuesta parezca demasiado

evidente o imposible

Cuando a George Polya se le preguntaba cómo llegó a ser matemático, él contestaba que no era lo suficientemente inteligente para ser físico, y demasiado para ser filósofo, así que eligió matemáticas, que es una cosa intermedia. Ahora que conociste los métodos propuestos por Polya, es momento de revisar algunos ejemplos para que te vayas familiarizando con estos procesos. Recuerda que esto te será útil durante toda la carrera profesional que curses. El desarrollo del plan que nos propone Polya requiere el uso de varios métodos.


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Ejemplos de Métodos para resolver problemas

Existen muchos métodos mediante los cuales se resuelven problemas. Veamos algunos

ejemplos de los que más se utilizan:

1. Uso de tabla o diagrama

Se tomará un ejemplo del libro “Liber Abaci” del matemático Leonardo Pisano, conocido como Fibonacci. Ejemplo 1. Un hombre colocó un par de conejos en una jaula. Durante el primer mes los conejos no se reprodujeron, pero cada mes a partir de entonces tuvieron una nueva pareja de conejos. Si cada nueva pareja se reprodujera de la misma manera, ¿cuántas parejas de conejos habría al cabo de un año? Solución: Se comenzará con el método que propone George Polya: Paso 1. Comprende el problema: la intención es comprender qué es lo que solicita el problema, y la mejor manera de hacerlo es redactando el problema para entenderlo correctamente. Por ejemplo, ¿cuántas parejas de conejos tendrá el hombre al final del año, si inicia con una pareja de conejos que no procrea durante el primer mes, pero cada mes siguiente cada pareja que tuvieron procrea un nuevo par? Paso 2. Elabora un plan: en el ejemplo se identifica un patrón definido de cómo se reproducen los conejos, así que podrías construir la siguiente tabla: Mes Números de parejas al inicio Número de nuevas

parejas

procreadas

Números de

parejas al final del

mes

1°

2°

3°

4°

5°

6°

7°

8°

9°

10°

11°

12° La respuesta estará

aquí.


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Paso 3. Aplica el plan: al inicio del primer mes sólo hay una pareja de conejos, y no se reproducen durante este periodo; es decir, 1+0 = 1. Este patrón continúa, pero al segundo mes hay dos parejas; es decir, 1+1 =2. Al tercer mes solamente se reproduce una pareja, porque la segunda no se reproduce durante su primer mes de vida; es decir 2+1=3. Al seguir el patrón, la tabla quedaría de la siguiente manera. Mes Números de

parejas al inicio

Número de

nuevas parejas =

procreadas

Números de

parejas al final

del mes

1° 1 0 1

2° 1 1 2

3° 2 1 3

4° 3 2 5

5° 5 3 8

6° 8 5 13

7° 13 8 21

8° 21 13 34

9° 34 21 55

10° 55 34 89

11° 89 55 144

12° 144 89 233

Habrá 233 parejas de conejos al final del año. Paso 4. Revisa y verifica: regresa y asegúrate de que la interpretación del problema fue correcta; verifica si la suma de los números coincide con los resultados.

2. Trabajar hacia atrás Planteamiento Alberto asiste cada semana al Hipódromo de las Américas para las carreras de caballo con sus amigos. En una semana duplicó su dinero, pero luego perdió $300. Regresó con su dinero la siguiente semana, lo triplicó, y luego perdió $600. La siguiente semana volvió a llevar su dinero y lo intentó nuevamente. En esta ocasión cuadruplicó su dinero, y luego jugó lo suficiente para llevarse a su casa un total de $6,000. ¿Con cuánto inició la primera semana? Solución Como el problema requiere determinar la cantidad de dinero con que inició Alberto, y se conoce la cifra final, se puede aplicar el método de trabajar hacía atrás. La cantidad final es $6,000, y representa cuatro veces la cantidad con la que inició la tercera semana. Se divide $6,000 entre 4, para saber la cantidad que tenía la tercera semana, lo que resulta ser $1,500. Antes de perder $600 la segunda semana, tenía 1500 + 600, o sea, 2,100. Es decir, triplicó su dinero, pues la segunda semana inició con 2,100 dividido entre 3, es decir, 700. Al repetir este proceso en la primera semana, sería:


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Lo cual representa el doble de la cifra con la que inició, por lo tanto: - Respuesta Para verificar si el procedimiento es correcto, se puede representar en ecuaciones: Primera semana, ( )

Segundo semana, ( ) Tercera semana, ( )

3. Uso de ensayo y error Pedro, Raúl y Ana son amigos, y cada uno es dueño de sólo uno de los siguientes animales: perro, gato y tortuga. Identifica el nombre de la persona propietaria de cada animal con base en los siguientes datos: 1.- El sobrino de Ana tiene un gato 2.- Pedro tiene un perro 3.- Pedro no es el dueño de la tortuga Solución: Se parte por medio de ensayo y error. Se proponen cada uno de los datos y todas las combinaciones posibles, y se eliminan aquellas que contradicen alguno de los datos hasta obtener asignaciones completas. El anterior sería un ejemplo de combinaciones posibles, aunque se podrían colocar otras, como:

1. Pedro tiene la tortuga Falso 2. Pedro tiene el perro Verdadero 3. Raúl tiene la tortuga Falso 4. Raúl tiene el perro Falso 5. Raúl tiene el gato debe ser cierta por que no contradice ninguna

información y es la única opción disponible 6. Ana tiene la tortuga no contradice ninguna información 7. Ana tiene el perro Falso 8. Ana tiene el gato Falso, ya que un animal no puede tener dos dueños 9. Ana tiene el gato Falso 10. Ana tiene la tortuga Verdadero

4. Suposición y verificación Planteamiento A las orillas de un río se vio a la cuarta parte de una manada de borregos. El doble de la raíz cuadrada de esa manada se fue al establo; y 3 por 5 camellos permanecieron a la orilla del rio en espera del pastor. ¿Cuál es el número de camellos en esa manada?


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Solución Si te das cuenta, en este problema el resultado es un número natural. Como en el planteamiento del problema se menciona “un cuarto de la manada”, y “la raíz cuadrada de esa manada”, el número de borregos debe ser un múltiplo de 4, como un cuadrado

perfecto. Se inicia con una ecuación donde representa el número de borregos en la manada, el cual se sustituye por 4, para ver si es la solución. Un cuarto

de la

manada +

El doble de la

raíz cuadrada

de la manada +

3 veces 5

camellos

=

Número de

camellos en

la manada

+

√ +

=

( ) +

√ +

15 =

4

1 +

4 +

15 =

4

20

4

Si observas el proceso, 4 no es la solución, por lo que se intenta con el siguiente número perfecto, que es múltiplo de 4.

( ) √

Observas que 16 tampoco es la solución al problema, así que se utiliza el siguiente número cuadrado perfecto, y que es múltiplo de 4.

( ) √


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Aquí se cumple la igualdad y se encuentra el resultado al problema. La ecuación permite verificar el resultado.

5. Elaboración de un boceto Planteamiento: La copa y el botón De la siguiente figura, y moviendo solamente dos palillos, deja el botón fuera de la copa. No puedes mover el botón. La copa puede quedar en cualquier orientación, pero debe mantenerse formada.

Solución Para solucionar este tipo de problemas, debes realizar procesos y dibujarlos.

Para profundizar un poco más sobre la resolución de problemas, a través de la creatividad

y el juego, te invitamos a consultar el siguiente vínculo electrónico, donde se muestran

más ejemplos de razonamiento:

Tomado de: Lerdo, I.N. (2011). Juegos de todo el mundo: juegos con cerillas y palillos

[Museo del juego] Recuperado de: http://museodeljuego.org/wp-

content/uploads/contenidos_0000001237_docu1.pdf

http://museodeljuego.org/wp-content/uploads/contenidos_0000001237_docu1.pdf



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Actividad 4. Ingenio lógico matemático


Constante de Kaprekar

Revisa la siguiente reflexión que aporta un conocimiento muy útil en diferentes momentos

de tu vida estudiantil.

¿Alguna vez has escuchado de la constante de Kaprekar?

Si no la conoces, realiza la siguiente

actividad para identificarla.

Selecciona un número de tres dígitos

diferentes. Primero, ordénalos de manera

descendente, y resta los mismos tres

dígitos, pero ahora ordenados de manera

ascendente. Por ejemplo, selecciona los

dígitos 4, 6 y 9, de modo que, en primera

instancia, obtienes 964.

964 954

- 469 - 459

495 495

Observa que obtuviste 495. Repitiendo el

proceso, vuelves a obtener el número 495.

A este número se le conoce como la

constante de Kaprekar, en la cual el

resultado siempre será 495, si el proceso se

aplica a cantidades de tres dígitos.

Te invitamos a realizar el mismo proceso de

Kaprekar a un número de dos dígitos

diferentes (interpreta 9 como 09, si es

necesario) y compara los resultados. ¿Qué

parece ser verdad?

Realiza lo mismo, pero, en lugar de dos

dígitos, utiliza cuatro dígitos ¿Qué conjetura

se puede formar respecto a esta situación?


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Cierre de la unidad

Hasta ahora nos hemos dado cuenta de que la resolución de problemas no se aplica sólo

a las matemáticas, sino que se amplían en otras ramas de la educación universitaria.

Además, cuando se presenta un problema, algunas veces lo resolvemos por medio de la

intuición y su resultado nos convence, pero existen otros que necesitan más de una

predicción inductiva; necesitan estructuras, métodos, técnicas y demás herramientas que

permiten llegar a su solución.

Te exhortamos a revisar la última unidad de este eje, donde fortalecerás todo lo aprendido

hasta el momento.

Fuentes de consulta

Lerdo, I.N. (2011). Juegos de todo el mundo: juegos con cerillas y palillos [Museo del

juego]. Recuperado de http://museodeljuego.org/wp-

content/uploads/contenidos_0000001237_docu1.pdf

Miller, C. D., Heeren, V. E., y Hornsby, J. (2013). Matemática: Razonamiento y

aplicaciones. 12ª Edición. México: Editorial Pearson Educación.




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Unidad 3. Razonamiento lógico y abstracto

Muchos de los ejercicios que hemos revisado en las dos unidades anteriores han sido

para orientarte y proporcionarte métodos para la solución de problemas, métodos que te

sirven para determinar procesos y técnicas. Los ejemplos tratados en esta unidad nos

muestran situaciones relacionadas con el pensamiento creativo y a medida que los

vayamos resolviendo, mejorará notablemente tu capacidad de razonamiento.

Reflexionemos en lo siguiente:

¿Has realizado algún test psicotécnico?

¿Cómo detectas características en un patrón de figuras o en un problema?

La forma de resolverlos es ir sacando conclusiones con un criterio lógico, sin hacer uso de

conocimientos matemáticos o de lógica.

Por su parte, el razonamiento abstracto se constituye por series de figuras, y debemos

escoger cuál de las figuras es la que continúa; para ello, tenemos que notar ciertas

características como el cambio de posición, rotación y analogías de las figuras.

Para precisar, reforzar y continuar con el aprendizaje dentro de esta unidad, te

recomendamos leer la siguiente presentación sobre ordenamiento y clasificación

jerárquica.

Para verificar a través de videos algunos procesos de solución, te sugerimos revisar los

ejemplos en el siguiente par de vínculos electrónicos sobre razonamiento lógico y

abstracto:

Zevallos, A. (2013). Razonamiento lógico 152 - verdades y mentiras [video]. Recuperado

de

https://www.youtube.com/watch?v=S_1AQM0LozE

Zevallos, A. (2013). Analogías gráficas problema 201 - razonamiento abstracto [video].

Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=pKQ5t6n8vC4

Por último, te brindamos un documento donde revisarás diversos ejemplos y ejercicios

sobre razonamiento lógico y abstracto, tomado de la siguiente referencia:

Ayala, O. (s/f). Razonamiento. Recuperado de

http://repositorio.utn.edu.ec/bitstream/123456789/1176/1/RAZONAMIENTO.pdf


https://www.youtube.com/watch?v=pKQ5t6n8vC4



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Después de que hemos tenido un acercamiento al razonamiento lógico y al razonamiento

abstracto, te mostramos ciertos ejemplos que pueden ayudarte en la realización de la

actividad de aprendizaje:

1. Razonamiento Lógico

Relación de tiempo

Ordenamiento lineal

Parentesco

2. Razonamiento abstracto

Relación de tiempo Si el ayer del pasado mañana del mañana de anteayer de mañana es jueves, ¿qué día fue ayer? Para solucionarlo, lo más conveniente es crear una recta numérica para representar los días.

Si el ayer: -1 Del pasado mañana: +2 Del mañana: +1 De anteayer: -2 De mañana: +1 Entonces:

Del resultado se deduce que mañana (+1) es jueves, y hoy es miércoles; así que ayer fue martes.

Ordenamiento lineal Jorge es mayor que Sandra y ella es menor que Fidel. Marco es mayor que Jorge y Fidel, y éste es menor que Jorge. ¿Cuál de los siguientes enunciados es verdadero? a) Fidel es mayor que Jorge y menor que Sandra b) Jorge es mayor que Sandra y Fidel c) Marco es menor que Jorge y mayor que Fidel


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Para resolver este problema, puedes relacionarlos de acuerdo a los enunciados:

Por lo tanto,

El enunciado verdadero es el de la opción b).

Parentesco En un restaurante estaban presentes: un padre, una madre, un tío, una tía, un hermano, una hermana, un sobrino, una sobrina y dos primos. Si cada uno consumió $350, ¿cuánto gastaron en total como mínimo? Solución: Analizando el problema, puedes determinar que cada integrante de la familia puede desempeñar diferentes papeles. Representado en un esquema, quedaría de la siguiente manera.

Por consiguiente, estuvieron cuatro personas, así que ( )

Ejemplos de razonamiento abstracto 1.- ¿Cuál es la figura que sigue en la secuencia?


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Solución: Suprimiendo las puntas de la flechas, la respuesta correcta sería C). 2.- ¿Cuál es la figura que sigue en esta serie?

Solución: Si analizas el movimiento de las figuras, éstas van rotando 90°, por lo tanto, la solución es B).

Revisa los siguientes planteamientos:

Planteamiento 1

Al derrotar a la bruja Morgana, el rey Arturo y sus tres caballeros de la mesa redonda

(Lanzarote, Gauvain y Tristán) regresan al castillo de Camelot. De pronto se encuentran

con cuatro caminos (A, B, C y D), y todos llevan a Camelot. Feliz por la victoria, Arturo y

sus caballeros deciden hacer una competencia, cada uno por un camino diferente;

además, cada uno montaba un caballo de distinto color (blanco, plateado, marrón y

negro).

Se sabe que:

El caballero de caballo blanco toma el camino D.

El camino D y B presentan muchas dificultades, al contrario de A y C, que son

caminos más sencillos.

El caballero de caballo marrón toma el camino A.

Gauvain toma el camino B.

Al estar muy cansados, Lanzarote y el caballero de caballo negro toman los

caminos más sencillos.

Antes de comenzar la competencia, el rey Arturo, Gauvain y Lanzarote escuchan

al caballero de caballo negro tocar la lira.


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Planteamiento 2

Almorzaban juntos tres políticos: el señor Blanco, el señor Rojo y el señor Amarillo. Uno

llevaba corbata blanca, otro, corbata roja, y el otro, corbata amarilla, pero no

necesariamente en ese orden.

-“Es curioso”- dijo el señor de corbata roja- “Nuestros apellidos son los mismos que

nuestras corbatas, pero ninguno lleva la que corresponde al suyo”.

-“Tiene usted razón”- dijo el señor Blanco.

¿De qué color llevaba la corbata el señor Amarillo, el señor Rojo y el señor Blanco,

respectivamente?

a) Blanco, rojo, amarillo.

b) Rojo, amarillo, blanco.

c) Amarillo, blanco, rojo.

d) Rojo, blanco, amarillo.

e) Blanco, amarillo, rojo.

Actividad 5. Razonamiento lógico y abstracto


Actividad 6. Razonamiento abstracto


Cierre de la unidad

A través de esta unidad revisamos diferentes ejemplos que nos permitieron desarrollar el

razonamiento lógico-matemático, crear estructuras, resolver problemas no tan comunes

en una asignatura como las matemáticas pero que contienen fundamentos matemáticos.

No se abordaron contenidos matemáticos de manera específica porque la principal

intención es aportar herramientas fundamentales para la creación de textos, utilizando el

análisis y la toma de decisiones. Deberás considerar estos elementos para los

conocimientos que vas a adquirir en el futuro.

¡Éxito!


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Fuentes de consulta

Zevallos, A. (2013). Razonamiento lógico 152 - verdades y mentiras. [Archivo de video].

Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=S_1AQM0LozE

Zevallos, A. (2013). Analogías gráficas problema 201 - razonamiento abstracto. [Archivo

de video]. Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=pKQ5t6n8vC4

Ayala, O. (s/f). Razonamiento. Recuperado de:



https://www.youtube.com/watch?v=pKQ5t6n8vC4


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Eje 2 razonamiento lógico matemático